Η ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΕΝΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ
|
|
- Αγαθίας Βούλγαρης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 8 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (00) σελ Η ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΕΝΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Γιάννης Σ. Τριανταφύλλου, Μάρκος Β. Κούτρας Πανεπιστήμιο Πειραιώς,, Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή παρουσιάζουμε ένα σημαντικό χαρακτηριστικό ενός συστήματος αξιοπιστίας που ονομάζεται υπογραφή (igaure). Αρχικά δίνονται οι ορισμοί της μονοτονίας και της υπογραφής ενός συστήματος, οι οποίοι είναι απαραίτητοι για την περιγραφή και ερμηνεία της τελευταίας. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι υπογραφές γνωστών συστημάτων και ο τρόπος υπολογισμού τους. Στα κύρια αποτελέσματα της εργασίας πειριλαμβάνεται η εύρεση ενός γενικού τύπου για το διάνυσμα της υπογραφής ενός συνεχόμενου -από-τα- συστήματος. Τέλος παρουσιάζεται μία εφαρμογή της έννοιας της υπογραφής στη σύγκριση των χρόνων ζωής διαφόρων συστημάτων.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στα πλαίσια της εργασίας αυτής η μελέτη επικεντρώνεται σε μονότονα συστήματα, δηλαδή σε συστήματα, στα οποία η βελτίωση μιας μονάδας συνεπάγεται και την παράλληλη βελτίωση (ή τουλάχιστον τη μη χειροτέρευση) του συστήματος. Αναλυτικότερα δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός. Ένα σύστημα ονομάζεται μονότονο ή μονότονης δομής (cohere rucure) αν ισχύουν τα εξής α. Η συνάρτηση δομής του φ (x) είναι αύξουσα, δηλαδή x i y i, i,,, φ( x) φ x, x,..., x ) φ( y, y,..., y ) ( ( φ β. Κάθε μονάδα του επηρεάζει το σύστημα, δηλαδή η φ δεν είναι σταθερή ως προς κάποια συντεταγμένη. Για τον ορισμό και την ερμηνεία θεμελιωδών εννοιών για τη μελέτη συστημάτων Αξιοπιστίας, οι οποίες χρησιμοποιούνται στην παρούσα εργασία, ο αναγνώστης παραπέμπεται στο σύγγραμα των Barlow & Procha (97). Θεωρούμε ένα μονότονο σύστημα με ανεξάρτητες και όμοιες μονάδες (i.i.d. yem), οι χρόνοι ζωής X, X,, X των οποίων προέρχονται από μια συνεχή κατανομή F. Αν Τ είναι ο χρόνος ζωής του συστήματος, τότε η αποτυχία του συστήματος θα συμπίπτει πάντα με το χρόνο ζωής της i-οστής y)
2 . Συγκεκριμένα αν X (i) δηλώνει τον i-οστό μικρότερο χρόνο ζωής μονάδας για i,,...,, τότε έχουμε ότι, με πιθανότητα, ο χρόνος ζωής του συστήματος T { X ( ), X (),..., X ( ) }. Ορισμός. Υπογραφή (igaure) ενός μονότονου i.i.d συστήματος με μονάδες ονομάζεται το διάνυσμα πιθανότητας, όπου (,,, ) με μονάδας για κάποιο i {,,..., } i P ( T X (i ) ), i,,,. Για μονότονα i.i.d. συστήματα, η πιθανότητα ότι το σύστημα αποτυγχάνει στην i-οστή αποτυχία μονάδας δεν εξαρτάται από την κατανομή F των χρόνων ζωής των μονάδων. Αντίθετα η πιθανότητα αυτή είναι συνάρτηση μόνο του σχεδιασμού του συστήματος. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα ότι η αποτυχία της i-οστής μονάδας είναι μοιραία για το σύστημα εξαρτάται αποκλειστικά από την πιθανότητα ότι η τελευταία μονάδα που λειτουργεί σε ένα ελάχιστο σύνολο διακοπής (ε.σ.δ.) είναι ταυτόχρονα η i-οστή μονάδα που αποτυγχάνει γενικά στο σύστημα. Συνεπώς για να υπολογισθεί η υπογραφή ενός συστήματος αρκεί να εξετασθούν τα ε.σ.δ. και να μετρηθούν πόσοι συνδυασμοί ανάμεσα στις ισοπίθανες μεταθέσεις των Χ, Χ,..., Χ συμπίπτουν ακριβώς με την αποτυχία κάποιου ε.σ.δ. κατά το χρόνο αποτυχίας X (i). Επομένως εναλλακτικά η υπογραφή ενός μονότονου συστήματος με μονάδες μπορεί να ορισθεί ως εξής. Ορισμός. Υπογραφή (igaure) ενός μονότονου i.i.d συστήματος με μονάδες ονομάζεται το διάνυσμα πιθανότητας, όπου (,,, ) με A i! όπου Α είναι το πλήθος των μεταθέσεων για τις οποίες η i οστή αποτυχία προκαλεί αποτυχία του συστήματος. Στη συνέχεια θα δώσουμε μια πρόταση, η οποία τεκμηριώνει τη σχέση που έχει η υπογραφή ενός συστήματος με τα σύνολα λειτουργίας του. Για ένα μονότονο σύστημα με χρόνο ζωής Τ ορίζουμε το διάνυσμα Α Τ (α,α,...,α ) όπου # συνόλων λειτουργίας μεγέθους i a i. i Με άλλα λόγια το α i εκφράζει την αναλογία (ποσοστό) των υποσυνόλων μεγέθους i, τα οποία είναι σύνολα λειτουργίας για το σύστημα. Πρόταση. (Bolad (00)) Έστω ένα μονότονο i.i.d. σύστημα με μονάδες και υπογραφή (, ). Τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος συνδέονται με τις αντίστοιχες του διανύσματος Α Τ (α,...,α ) με την ακόλουθη σχέση
3 ai, i,,...,. i+ Αντίστροφα, οι ποσότητες εκφράζονται μέσω των α από τη σχέση a a, 0,,..., +.. Η υπογραφή γνωστών συστημάτων α. Σειριακό σύστημα (SS, Serial Syem) Το σειριακό σύστημα αποτυγχάνει όταν τουλάχιστον μία μονάδα του αποτύχει ή ισοδύναμα λειτουργεί όταν όλες οι μονάδες του λειτουργούν. Η υπογραφή ενός i.i.d. σειριακού συστήματος με μονάδες δίνεται από τον τύπο (,0,0,...,0). SS Πράγματι η πιθανότητα ότι ο χρόνος ζωής του i.i.d σειριακού συστήματος ταυτίζεται με την πρώτη αποτυχία μονάδας του συστήματος είναι ίση με ( P ( T X ( ) ) ), ενώ η πιθανότητα για το σύστημα να λειτουργεί και μετά από την αποτυχία μιας μονάδας του είναι ίση με 0, συνεπώς και η πιθανότητα ο χρόνος ζωής του συστήματος να ταυτιστεί με τον i-οστό διατεταγμένο χρόνο ζωής μονάδας είναι ίση με μηδέν για όλα τα i. β. Παράλληλο σύστημα (PS, Parallel Syem) Το παράλληλο σύστημα αποτυγχάνει όταν όλες οι μονάδες του αποτύχουν ή ισοδύναμα λειτουργεί όταν τουλάχιστον μία μονάδα του λειτουργεί. Η υπογραφή ενός i.i.d. παράλληλου συστήματος με μονάδες δίνεται από τον τύπο PS (0,0,...,0,). Πράγματι η πιθανότητα ότι ο χρόνος ζωής του i.i.d παράλληλου συστήματος ταυτίζεται με κάποιον χρόνο ζωής Χ (i) μιας μονάδας για όλα τα i: i είναι ίση με μηδέν, δηλαδή P ( T X ( i) ) 0, όταν i, ενώ είναι ίση με για τον τελευταίο διατεταγμένο χρόνο ζωής μονάδας, δηλαδή P T X ). γ. Γέφυρα (ΒS, Bridge rucure) ( ( ) Αποτελείται από μονάδες και λειτουργεί όταν είναι δυνατή η μετάβαση από τη θέση Α στη θέση Β μέσω μονάδων που λειτουργούν. A 3 4 Β
4 Για τον υπολογισμό της υπογραφής της γέφυρας θα κάνουμε χρήση της Πρότασης. Σύνολα λειτουργίας μεγέθους i 0, δεν υπάρχουν, ενώ με μέγεθος i υπάρχουν, με μέγεθος i 3 υπάρχουν 8 και τέλος όλα τα σύνολα με 4 ή μονάδες είναι σύνολα λειτουργίας για τη γέφυρα. Συνεπώς έχουμε a 0 0, a 0, a, a3, a4, a Επομένως για τις συντεταγμένες της υπογραφής της γέφυρας ισχύουν τα ακόλουθα 3 a a0, 4 a a, 3 a3 a, a4 a3, 0 και τελικά η υπογραφή της γέφυρας με μονάδες είναι το ακόλουθο διάνυσμα 3 (0,,,,0). BS δ. Σύστημα συνεχόμενο k-από-τα-: F (C(,k):F, coecuive k-ou-of-: Fail ) Το συνεχόμενο k-από-τα- : F σύστημα αποτυγχάνει όταν αποτύχουν τουλάχιστον k συνεχόμενες μονάδες από τις. Για τον υπολογισμό της υπογραφής ενός συνεχόμενου k-από-τα- συστήματος πρέπει να προσδιορίζουμε κάθε φορά το πλήθος εκείνων των μεταθέσεων των μονάδων ως προς τη σειρά αποτυχίας τους, οι οποίες προκαλούν την αποτυχία του συστήματος κατά τον i-διατεταγμένο χρόνο ζωής, καταλήγοντας έτσι στη ζητούμενη κάθε φορά πιθανότητα που αντιστοιχεί και σε μία συντεταγμένη του διανύσματος της υπογραφής. Στο σημείο αυτό θα μελετήσουμε αναλυτικά το συνεχόμενο -από-τα- σύστημα, για,3,...,8. Πιο συγκεκριμένα το συνεχόμενο -από-τα- σύστημα με όμοιες μονάδες είναι στην πραγματικότητα ισοδύναμο με ένα παράλληλο σύστημα δύο μονάδων, μιας και για να αποτύχει το σύστημα αυτό θα πρέπει να αποτύχουν και οι μονάδες του. Συνεπώς η υπογραφή του θα είναι C: / (0,). Για το συνεχόμενο -από-τα-3 σύστημα υπάρχουν! 4 δυνατές μεταθέσεις (σειρά αποτυχίας,,3 ή,,3 ή,3, ή 3,,) από τις συνολικά 3! 6 των 3 μονάδων ως προς τη χρονική σειρά με την οποία αποτυγχάνουν, οι οποίες προκαλούν την αποτυχία του συστήματος με τη δεύτερη αποτυχία μονάδας. Συνεπώς η δεύτερη συντεταγμένη της υπογραφής θα είναι ίση με! 4 P( T X () ). 3! 6 3 Επιπλέον οι δυνατές μεταθέσεις οι οποίες προκαλούν την αποτυχία του συστήματος με την τρίτη αποτυχία μονάδας είναι! ( σειρά αποτυχίας,3, ή 3,, ), άρα
5 ! 3 P( T X (3) ). 3! 6 3 Άρα η υπογραφή του συνεχόμενου -από-τα-3 συστήματος είναι ίση με C: / 3 (0,, ). 3 3 Η υπογραφή του συνεχόμενου -από-τα- συστήματος για όλα τα,3,..., 8 δίνεται συνοπτικά στον ακόλουθο πίνακα. Σύστημα C: Υπογραφή Σύστημα C: Υπογραφή C : / (0,) C : / C : /3 C : /4 C : /8 (0,, ) C : /6 3 3 C : /7 ( 0,,,0) 7 8 ( 0,,,,,0,0,0) ( 0, 4 ( 0, 0, 0 7, 0 3,0) ( 0,,,,0,0) 0 9,,,,0,0) Εναλλακτικά, μπορούμε να υπολογίσουμε την υπογραφή του συνεχόμενου - από-τα- συστήματος με τη χρήση της Πρότασης, καταλήγοντας σε έναν γενικό τύπο που θα δίνει την υπογραφή του συνεχόμενου -από-τα- συστήματος για κάθε. Αν το πλήθος των μονάδων που έχουν αποτύχει είναι μεγαλύτερο από [( +) / ], ή ισοδύναμα το πλήθος ( ) των μονάδων που λειτουργούν είναι μικρότερο από [( +) / ], τότε θα υπάρχουν οπωσδήποτε δύο συνεχόμενες μονάδες που έχουν αποτύχει και συνεπώς το σύστημα δεν θα λειτουργεί. Αυτό σημαίνει ότι το συνεχόμενο -από-τα- σύστημα δεν έχει σύνολα λειτουργίας με πλήθος μονάδων μικρότερο από [( +) / ]. Αν το πλήθος των μονάδων που έχουν αποτύχει είναι μικρότερο από [( +) / ], ή ισοδύναμα το πλήθος ( ) των μονάδων που λειτουργούν είναι μεγαλύτερο από [( +) / ], τότε το σύστημα λειτουργεί αν υπάρχει τουλάχιστον μία μονάδα που λειτουργεί μεταξύ κάθε δύο μονάδων που έχουν αποτύχει. Το πλήθος τέτοιων συνδυασμών ανάμεσα σε μονάδες που λειτουργούν και σε μονάδες που έχουν αποτύχει, δίνεται από τον ακόλουθο τύπο ( + ) + ( + )
6 Ο παραπάνω τύπος δίνει το πλήθος των συνόλων λειτουργίας με μέγεθος ( ) του συνεχόμενου -από-τα- συστήματος, για 0,,,...,. Οι συντεταγμένες a του διανύσματος Α Τ (α 0,α,α,...,α ) εκφράζουν την αναλογία των υποσυνόλων μεγέθους ( ), τα οποία είναι σύνολα λειτουργίας για το σύστημα. Με άλλα λόγια δηλώνουν το ποσοστό των συνόλων λειτουργίας, τα οποία περιέχουν ( ) μονάδες που λειτουργούν για 0,,,...,, δηλαδή + ( + )!!( + )! ( + )!( )! [( )!] ( + ) a!!( + )!!( + )!!( )! ( + )! ( )! ( + ) [( + ) ]!! ( ). Συνεπώς οι συντεταγμένες της υπογραφής ενός συνεχόμενου -από-τα- συστήματος θα δίνονται από τον γενικό τύπο ( + + )! ( + )! ( )!( + 3)!!( + )! a + a!! ( )!( + )!!( )! ( + )!( + )! ( + )!( )! ( + 3)!! ( + )!! ( + )!( )! ( + )( + ) ( + ) ( + )!! ( + )( + 3) ( ) Επομένως έχουμε τα ακόλουθα a 3 3 a a 0, a a a ( + )( + ). ( + )( + 3), ( 3)( 4) ( )( ) ( 3)( 4) 4 0, ( ) ( ) ( ) ( )!!!(3 )! a a, a a 0!(3 0 )!!(3 )! Συνοψίζοντας η υπογραφή ενός συνεχόμενου -από-τα- συστήματος (για κάθε ) είναι το ακόλουθο διάνυσμα
7 (0,, 4 0,...,, ). ( ) ( )!!!(3 )!!(3 )! 3. Εφαρμογές της υπογραφής στη Θεωρία Αξιοπιστίας α. Υπολογισμός της συνάρτησης αξιοπιστίας ενός συστήματος μέσω της υπογραφής Η υπογραφή ενός μονότονου συστήματος μπορεί να βοηθήσει στον υπολογισμό της συνάρτησης αξιοπιστίας του (Bolad, Samaiego & Verup (00)). Αρχικά θεωρούμε τις συντεταγμένες i της υπογραφής του συστήματος. Τότε, για ένα σύστημα που αποτελείται από όμοιες και ανεξάρτητες μονάδες με αξιοπιστία p, ορίζουμε το διάνυσμα d, οι συντεταγμένες του οποίου δίνονται συναρτήσει των i από τον ακόλουθο τύπο r r d r i ( ), για r,,...,. i + r Οι συντεταγμένες d r ονομάζονται domiaio και ικανοποιούν τις σχέσεις d 0 0, d r. r Προσδιορίζοντας τις συντεταγμένες d r από τον παραπάνω τύπο, στη συνέχεια μπορούμε να υπολογίσουμε την αξιοπιστία R ( p) του συστήματος ως εξής R p ) r ( d r p. β. Σύγκριση συστημάτων με χρήση της υπογραφής Όπως θα γίνει αντιληπτό στη συνέχεια, μία βασική χρήση της υπογραφής είναι στη σύγκριση δύο ή περισσοτέρων συστημάτων. Είναι συχνά πιθανό να μπορούμε να κρίνουμε ένα σύστημα ως καλύτερο από ένα άλλο με μια απλή παρατήρηση των υπογραφών τους. Για παράδειγμα ένα σύστημα -από-τα-4 έχει υπογραφή (όπως έχουμε δει και παραπάνω) / 4 (0,0,,0 ), ενώ ένα σύστημα 3-από-τα-4 έχει υπογραφή 3 / 4 (0,,0,0 ).Συνεπώς οι δύο υπογραφές είναι ικανές να ποσοτικοποιήσουν το γεγονός ότι ένα σύστημα -από-τα-4 είναι καλύτερο από ένα σύστημα 3-από-τα-4, το οποίο έχει τις ίδιες μονάδες με το πρώτο. Πράγματι αυτό είναι εμφανές, καθώς, σύμφωνα με τα δύο διανύσματα / 4 και 3 / 4, ο χρόνος ζωής του συστήματος -από-τα-4 ταυτίζεται, με πιθανότητα, με το δεύτερο διατεταγμένο χρόνο ζωής μονάδας του συστήματος, ενώ ο χρόνος ζωής του συστήματος -από-τα-4 ταυτίζεται, με πιθανότητα, με τον τρίτο διατεταγμένο r
8 χρόνο ζωής μονάδας του, άρα το σύστημα 3-από-τα- 4 τείνει να διαρκέσει περισσότερο από το σύστημα -από-τα-4. Στη συνέχεια θα δούμε πως διάφορες στοχαστικές συγκρίσεις μεταξύ συστημάτων είναι δυνατόν να θεμελιωθούν με τη βοήθεια της σύγκρισης των υπογραφών τους. Θεώρημα. (Shaked & Shahikumar (994)) Έστω, οι υπογραφές δύο συστημάτων με μονάδες και Τ, Τ οι αντίστοιχοι χρόνοι ζωής τους. Τότε T T. Πιο απλά, η παραπάνω στοχαστική διάταξη σημαίνει ότι, αν ισχύει η σχέση i i για όλα τα i,,, τότε έπεται F T ) F T ( ) για όλα τα, ( που σημαίνει ότι ο χρόνος Τ είναι πιθανότερο να υπερβεί την τιμή από τον Τ. Θεώρημα. (Kochar, Mukeree & Samaiego (999)) Έστω, οι υπογραφές δύο συστημάτων με μονάδες και Τ, Τ οι αντίστοιχοι χρόνοι ζωής τους. Τότε hr T hr T. Η διάταξη κατά βαθμίδα αποτυχίας σημαίνει ότι η συνάρτηση F T ) / F T ( ) είναι αύξουσα ως προς, αν η συνάρτηση i i ( / είναι αύξουσα ως προς i. Συνεπώς διαισθητικά η διάταξη βαθμίδας αποτυχίας σημαίνει ότι ο υπολειπόμενος χρόνος ζωής του Τ είναι στοχαστικά μεγαλύτερος από τον αντίστοιχο υπολειπόμενο χρόνο ζωής του Τ, δεδομένου ότι έχουν και οι δύο επιβιώσει μέχρι τη χρονική στιγμή (Bolad & El-Neweihi (99). ΣΗΜΕΙΩΣΗ Η εργασία χρηματοδοτήθηκε από το ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ μέσω του προγράμματος «Πυθαγόρας». ABSTRACT We pree a impora feaure of a reliabiliy yem, which i called igaure. The defiiio of coherece ad igaure of a yem are give. I addiio, we calculae he igaure of everal yem, uch a erial, parallel, e..c. The mai reul of hi paper i he developme of a geeral form of he igaure vecor for he coecuive -ou-of- yem. Fially, we udy ome applicaio of he igaure i he field of reliabiliy, e.g. i he compario bewee he lifeime of wo yem
9 ΑΝΑΦΟΡΕΣ Barlow, R. E. & Procha, F. (97). Saiical heory of Reliabiliy ad Life Teig, Hol, Riehar ad Wio, Ic. Bolad, P.J. (00). Sigaure of idirec maoriy yem, Joural of Applied Probabiliy, 38, Bolad, P.J. & El-Neweihi, E. (99). Compoe redudacy v yem redudacy i he hazard rae orderig, IEEE Traacio o Reliabiliy, R-44, No.4, Bolad, P.J., Samaiego, F.J. ad Verup, E.M. (00). Likig domiaio ad igaure i ework reliabiliy heory, Techical Repor # 37, Deparme of Saiic, Uiveriy of Califoria, Davi. Kochar, S., Mukeree, H. ad Samaiego, F.J. (999). The igaure of a cohere yem ad i applicaio o compario amog yem, Naval Reearch Logiic, 46, Shaked, M. ad Shahikumar, J.G. (994). Sochaic order ad heir applicaio, Academic, Sa Diego, CA
ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΠΜΣ: "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ"
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΠΜΣ: "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ" ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Φωτεινή Αστεριώτη A.M.
Διαβάστε περισσότεραΙ ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΠΟΛΥΩΜΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΜΦΥΤΕΥΣΙΜΕΣ ΣΕ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΗ ΑΛΥΣΙ Α
Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 7 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής 4) σελ 35-33 Ι ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΠΟΛΥΩΜΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΜΦΥΤΕΥΣΙΜΕΣ ΣΕ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΗ ΑΛΥΣΙ Α Σ Μπερσίµης Λ Αντζουλάκος και Μ Β Κούτρας
Διαβάστε περισσότεραΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Να εξετασθεί αν είναι γραμμικές οι ακόλουθες συναρτήσεις: a) f : R R με f b) f : R R f y, ( +, y
Διαβάστε περισσότερα2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,
Διαβάστε περισσότεραΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΙΔΙΟΤΗΤΑΣ IFR ΣΕ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΑ ΕΜΦΥΤΕΥΣΙΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2005) σελ217-224 Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΙΔΙΟΤΗΤΑΣ IFR ΣΕ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΑ ΕΜΦΥΤΕΥΣΙΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ MΒ Κούτρας και ΠE Μαραβελάκης Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (2 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω ο υποχώρος W του R 5 που παράγεται από τα διανύσματα v=(,,-,,), v=(,,-,6,8), v=(,,,,6), v=(,,5,,8), v5=(,7,,,9). a)
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι (3)
Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι () Παράδειγμα Δίνεται ο πίνακας A = 6. Να υπολογισθούν οι θεμελιώδεις υποχώροι που σχετίζονται με τον πίνακα Α. Να βρεθεί η διάστασή του κάθε ενός και από μία βάση τους.
Διαβάστε περισσότεραΧΡΟΝΟΙ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΜΕΧΡΙ ΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΡΙΤΙΜΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ
Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 8 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (5) σελ.97-33 ΧΡΟΝΟΙ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΜΕΧΡΙ ΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΡΙΤΙΜΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ Σ. Μπερσίμης
Διαβάστε περισσότεραΦΡΑΓΜΑΤΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ
Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Π Ε Ι Ρ Α Ι Ω Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Φώτιος Σ. Μηλιένος Διπλωματική Εργασία
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Παραδείγματα Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Παράδειγμα Να εξετασθεί αν είναι γραμμικές οι ακόλουθες συναρτήσεις: a) f : R R με f + 4 4+ b) f : R R με f + a+ b ac c) f : P M με f ( a + b + c + d ) d b d f :
Διαβάστε περισσότεραa ) a ) = lim f( a + h u ) f( a ) = lim (2) h = 0 f( a + h u ) f( a ) hdf( a )( u ) lim = 0 lim u ) f( a + h lim = 0 u ) = 0 lim = Df( a )( u ) lim
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Κατευθυνόμενη Παράγωγος Κατευθυνόμενη Παράγωγος: Ορισμός 1: Εστω f : U R 2 R μία πραγματική συνάρτηση δύο μεταβλητών με U ανοικτό, a = (a, b) U και u = (u, v) μία κατεύθυνση του R 2 (δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι
Παραδείγματα () Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα 7 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι: α) v=(,4,6), v=(,,), v=(7,,) b) v=(,4), v=(,), v=(4,) ) v=(,,), v=(5,,), v=(5,,)
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΒάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου
Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ
ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.
Διαβάστε περισσότεραΙσότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών
Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Συμβολισμοί Σε αναλογία με τους ορισμούς συμβολίζουμε μια ακολουθία: 1 είτε μέσω του διανυσματικού ορισμού, παραθέτοντας αναγκαστικά
Διαβάστε περισσότεραΣεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου
Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Μάθηµα 5 Εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης Ελεγξιµότητα και Παρατηρησιµότητα Καλλιγερόπουλος 5 Εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης Η εξωτερική συµπεριφορά ενός συστήµατος ορίζεται
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα αυτομάτου ελέγχου (ΙΙ) Modern Control Theory
Σ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Συστήματα αυτομάτου ελέγχου (ΙΙ) Modern Conrol Theory (η Ενότητα: Συστήματα Συνεχούς Χρόνου) Επίλυση εξισώσεων κατάστασης Διδάσκων : Αναπληρωτής Καθηγητής Έστω
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο
Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία Παρουσίαση η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος ο Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΟΜΟΓΕΝΕΣ MΑΡΚΟΒΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΕ ΜΙΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 2 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (27) σελ 3- ΤΟ ΟΜΟΓΕΝΕΣ MΑΡΚΟΒΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΕ ΜΙΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Γ Βασιλειάδης Γ Τσακλίδης
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των Θεμάτων του Διαγ/τος στην Τάξη και Σχόλια-Ιούνιος 2011
Λύσεις των Θεμάτων του Διαγ/τος στην Τάξη και Σχόλια-Ιούνιος Θέμα (Σχόλιο: Οι ερωτήσεις (α και (β που είναι και η ουσία του Θέματος (το (γ αποτελεί εφαρμογή είχαν ξαναζητηθεί πριν τρία χρόνια στα πλαίσια
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
9/6/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 5 Δίνεται ο πίνακας A 5. Αν διαγωνοποιείται να τον διαγωνοποιήσετε και στη συνέχεια να k υπολογίσετε το A όπου k θετικός
Διαβάστε περισσότεραΝΕΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ 3-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΓΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής 008, σελ 9-98 ΝΕΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ 3-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΓΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Γεώργιος
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 9/6/08 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Έστω A= k και w = 3 0. Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία
Διαβάστε περισσότερα1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο
1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε
Διαβάστε περισσότεραΤ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156
ιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολουποθέσεωνκαιτουοποίουτο αποτέλεσμα
Διαβάστε περισσότερα( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α
.5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:
Διαβάστε περισσότεραlim x)) = lim f( x) lim (f( x)) x)) x 2 y x 2 + y 2 = 0 r 3 cos 2 θsinθ r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) = lim
Ορια Πραγματικών Συναρτήσεων Εστω f : A R n R. Το καλείται σημείο συσσώρευσης του Α και γράφουμε: f x = b, b R ε > 0, δε = δ > 0 : f x b < ε, για κάθε x A με 0 < x < δ. Γεωμετρική Ερμηνεία της Εννοιας
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς ΙΙ Πειραιάς 2007 1 2 Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Μία διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΘΕΩΡΙΑ ΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Η Θεωρία διατεταγµένων παρατηρήσεων heory of order a ασχολείται µε τις ιδιότητες και εφαρµογές διατεταγµένων τυχαίων µεταβλητών καθώς και συναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραn = dim N (A) + dim R(A). dim V = dim ker L + dim im L.
Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 9 Γραμμικοί Ισομορφισμοί Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/3/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 9 19/3/2014 1 / 12 Γραμμικές απεικονίσεις και υπόχωροι Εικόνα
Διαβάστε περισσότεραx (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,
Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και
Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΑΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραn ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4
Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...
Διαβάστε περισσότερα2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.
Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ) που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω, έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες: P ( Ω ) 2 Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου Ο Δειγματικός Μέσος X είναι μια Τυχαία Μεταβλητή. Καθώς η επιλογή και χρήση διαφορετικών δειγμάτων από έναν
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε
Διαβάστε περισσότερασυστημάτων απλής μορφής
Αξιοπιστία συστημάτων απλής μορφής Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης Χειμερινό 2016 2017 Διδάσκων: Καθηγητής Παντελής Ν Μπότσαρης Εργαστήρια/Ασκήσεις: Δρ Πέτρος Πιστοφίδης ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕ
Διαβάστε περισσότερα1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων
. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Tα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί να θεωρηθεί ότι εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα προσδιοριστικά
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 12 - Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Χαρακτηριστικό πολυώνυμο Έστω ο πίνακας Α: Αν από τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου α,α αφαιρέσουμε τον αριθμό λ, τότε προκύπτει ο πίνακας: του οποίου η ορίζουσα είναι η εξής:
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (1 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι
Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με y, V και του πολλαπλασιασμού:
Διαβάστε περισσότερα1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών
Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»
Διαβάστε περισσότερα35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης
4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»
Διαβάστε περισσότερα3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall
3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΧρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ
Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή,
Διαβάστε περισσότεραa n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότερα1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΚυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που
Διαβάστε περισσότεραf x 0 για κάθε x και f 1
06 4.2 Το Λήμμα του Uysoh το Λήμμα της εμφύτευσης και το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Ο κύριος στόχος αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεμελιώδους αποτελέσματος γνωστού ως το Λήμμα του Uysoh.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραII. Συναρτήσεις. math-gr
II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική
Διαβάστε περισσότεραd(v) = 3 S. q(g \ S) S
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο
Διαβάστε περισσότερα8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι
94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό ) είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 5 Γενικά Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μία σχέση μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α,Β αντιστοιχίζει στοιχεία του Α με στοιχεία του Β άλλου μέσω ενός κανόνα που μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραAPEIROSTIKOS LOGISMOS I
APEIROSTIKOS LOGISOS I ΟΛΟΗΜΕΡΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Λύσεις ασκήσεων φυλλαδίου. Άσκηση : Αποδείξτε με τον ορισμό ότι:. lim ( ) = +,. lim =,. lim ln( + ) = ln, + 4. lim + =. Λύση:. Θεωρούμε αυθαίρετο
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.
Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΚ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Πραγματική Συνάρτηση ρισμός Έστω Α ένα υποσύνολο του R. νομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο
Διαβάστε περισσότερα(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 3: Συνδυασμός αντιστάσεων και πηγών Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:
Διαβάστε περισσότερα2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών
Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε
Διαβάστε περισσότεραd dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) Η παράγωγος μιας συνάρτησης = f() σε ένα σημείο 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης (ή τον παράγωγο αριθμό) στο σημείο 0. β) Γραφικά, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις
Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα
ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος
Διαβάστε περισσότεραΟι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά
Εισαγωγή Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά μοντέλα, είτε σε στοχαστικά ή αλλοιώς πιθανοτικά μοντέλα. προσδιοριστικά μοντέλα : επιτρέπουν προσδιορισμό
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού
Διαβάστε περισσότερα2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ
63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Έστω αλφάβητο Σ και γλώσσες Α, Β επί του αλφάβητου αυτού. Για κάθε μια από τις πιο κάτω περιπτώσεις να διερευνήσετε κατά πόσο Γ Δ, ή, Δ Γ, ή και τα δύο. Σε περίπτωση, που
Διαβάστε περισσότεραΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΦΡΑΓΜΑΤΩΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ *
Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 20 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2007), σελ 259-266 ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΦΡΑΓΜΑΤΩΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Φ. Μηλιένος, Μ. Κούτρας Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης,
Διαβάστε περισσότερα1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]
σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν
Διαβάστε περισσότερα1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.
Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν
Διαβάστε περισσότερα