Μηχανική των ρευστών. και εφαρμογές

Transcript

1 Μηχανική των ρευστών και εφαρμογές

2 Εισαγωγή H κατάσταση της ύλης χαρακτηρίζεται από τις δυνάμεις που κυριαρχούν στα δομικά υλικά της. Οι πολύ ισχυρές πυρηνικές δυνάμεις καθορίζουν την πολύ πυκνή ύλη, οι ηλεκτροστατικές δυνάμεις συγκρατούν τα δομικά υλικά της συμπυκνωμένης ύλης, ενώ ηλεκτρομαγνητικές και βαρυτικές δυνάμεις είναι υπεύθυνες για την μορφή της πολύ αραιάς ύλης. Τα ρευστά ανήκουν μαζί με τα στερεά στην κατάσταση της συμπυκνωμένης ύλης. Ως ιδανικά ρευστά χαρακτηρίζονται εκείνα τα σώματα, των οποίων οι ιδιότητες μπορούν να περιγραφούν σε μία πρώτη προσέγγιση με την βοήθεια ορισμένων σχετικά απλών μοντέλων. Τα σώματα που δεν αντιδρούν σε τάσεις ολίσθησης ονομάζονται ρευστά. Τέτοια υλικά είναι τόσο τα υγρά όσο και τα αέρια. Συγκεκριμένα ως υγρό χαρακτηρίζεται το υλικό μέσο το οποίο προβάλλει αντίσταση σε τάσεις συμπίεσης που τείνουν να του μεταβάλλουν τον όγκο του, ενώ δεν αντιδρά καθόλου σε τάσεις ολίσθησης που τείνουν να μεταβάλλουν την μορφή του. Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

3

4

5

6 Μηχανικές καταπονήσεις παραμορφώσεις στα στερεά Οι δυνάμεις προκαλούν επιτάχυνση ή/και παραμόρφωση στα σώματα, στα οποία επιδρούν F S κανονική ή ορθή τάση ομοιόμορφη τάση και τάση ολίσθησης

7 ο νόμος του Ηοοke σ = Ε ε l l E Ε = συντελεστής, μέτρο ελαστικότητας ή μέτρο Young σε [N m -2 ], Δl/l = η ανηγμένη επιμήκυνση = ε O νόμος του Hooke

8 Μηχανικές καταπονήσεις παραμορφώσεις στα στερεά

9 Στατική των ρευστών. Πίεση στα υγρά Χαρακτηριστική ιδιότητα των υγρών και των αέριων είναι η ευκολία, με την οποία μετακινούνται τα μόρια τους, έτσι ώστε να παίρνουν το σχήμα και τις διαστάσεις του δοχείου που τα περικλείει. Μία σημαντική ιδιότητα των ρευστών είναι η πίεση. Αν εφαρμοστεί μια εξωτερική πίεση σε υγρό που βρίσκεται μέσα σε κάποιο δοχείο, τότε λόγω της κινητικότητας των μορίων του, αυτή η πίεση θα μεταδοθεί με την ίδια ένταση (μέτρο) προς όλες τις κατευθύνσεις, με αποτέλεσμα να ασκούνται δυνάμεις κάθετα στις επιφάνειες του δοχείου. Για την πίεση P που είναι ένα μονόμετρο μέγεθος ισχύει (F = δύναμη, A = επιφάνεια) p F A Αυτή είναι μια διατύπωση της αρχής του Pascal, στην οποία δεν λαμβάνεται καθόλου υπόψη η επίδραση του πεδίου βαρύτητας, πάρα μόνο η εξωτερική πίεση που ασκείται σε ένα σύστημα, πχ πίεση εμβόλου σε κύλινδρο. Αφού οι πιέσεις σε όλα τα σημεία του δοχείου είναι ίσες, τότε οι σχέσεις δυνάμεων επιφανειών σε δύο επιλεγμένα σημεία 1 και 2 (βλέπε σχήμα) είναι ανάλογες: Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

10 Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

11 Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

12 Η Υδραυλική πρέσα F F 1 2 A A 1 2 d d p F 1 A 1 F A 2 2 Παράδειγμα: Η Υδραυλική πρέσα. Σε μία υδραυλική πρέσα με δεδομένες τις διαστάσεις των δύο εμβόλων έχουμε ως προς την σχέση πιέσεων και δυνάμεων για Α 2 = 0.02 m² και A 1 = 0.1 m² F 1 = 900 N --> P 1 = F 1 /A 1 = 9000 N/m² F 2 =? σε ισορροπία η πίεση των εμβόλων είναι ίση P = P 1 = P 2 => F 2 = P A 2 = 180 N Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

13 Η Υδραυλική πρέσα Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

14 MΟΝΑΔΕΣ ΠΙΕΣΗΣ: 1 Pa = 1 N m -2 1 atm = Pa 1 mmhg = Pa 1 at = atm 1 mmhg = 13,6 mmh 2 O 1 bar = 10 5 N m -2 1 bar = 10 5 Pa 1 bar = 760 torr = 760 mmhg Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

15 Ο θεμελιώδης νομός της Υδροστατικής Στον θεμελιώδη νομό της Υδροστατικής συνυπολογίζεται και η επίδραση του πεδίου βαρύτητας, εξ αίτιας της οποίας η πίεση των υγρών συναρτάται επίσης και από το βάθος h, δηλ. την απόσταση από την ελεύθερη επιφάνεια του εκάστοτε σημείου. Η πίεση αυτή προέρχεται από το βάρος των υπερκείμενων στρωμάτων του υγρού. Έτσι είναι: P = P εξωτ + ε h ( P εξωτ = εξωτερική πίεση, ε = ειδικό βάρος του υγρού, ανεξάρτητο του βάθους) Ως υδροστατική πίεση χαρακτηρίζεται το άθροισμα όλων των πιέσεων που ασκούνται σε ένα υγρό και λόγω βαρύτητας και λόγω εμβόλων. Η πίεση μεταδίδεται μέσα στα υγρά από στοιχειώδη μάζα σε στοιχειώδη μάζα σε όλη την έκταση που καταλαμβάνει το υγρό και δρα κάθετα με το ίδιο μέτρο προς όλες τις επιφάνειες του δοχείου που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο (βάθος ή ύψος). Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

16 Ο θεμελιώδης νομός της Υδροστατικής Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

17 Ο θεμελιώδης νομός της Υδροστατικής Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

18 Ο νομός του Torricelli Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

19 Μέτρηση της πίεσης Υδράργυρος ρ = 13.6 g/cm 3 Αρχή Torricelli Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

20 Πιεσόμετρα Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

21 Από το θεμελιώδη νομό της υδροστατικής προκύπτουν η ελεύθερη επιφάνεια υγρού, που βρίσκεται σε ηρεμία (ισορροπία), σχηματίζεται ως οριζόντιο επίπεδο, η αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων, κατά την οποίαν το ύψος ή η στάθμη του υγρού, δηλ. η ελεύθερη επιφάνεια του, βρίσκεται στο ίδιο ύψος στα διάφορα δοχεία, που συγκοινωνούν μεταξύ τους, ανεξαρτήτου σχήματος. η άνωση. Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

22 Η Άνωση «Κάθε σώμα μερικά ή ολικα βυθισμένο σε υγρό υφίσταται άνωση που είναι ίση με το βάρος του υγρού που έχει εκτοπίσει» F A = ρ g V (ρ, V = πυκνότητα και όγκος του υγρού που εκτοπίζεται, g = επιτάχυνση βαρύτητας) Κάθε σώμα που είναι εμβυθισμένο μέσα σε ένα υγρό εμφανίζει ελάττωση του βάρους του. Ονομάζει κανείς άνωση την δύναμη F Α που ασκείται στο εμβυθισμένο σώμα, η οποία έχει κατεύθυνση ίδια με την κατεύθυνση της δύναμης του βάρους του σώματος, αλλά φορά αντίθετη, το δε μέτρο της ισούται με το βάρος του εκτοπιζόμενου υγρού (Αρχή του Αρχιμήδη). Η άνωση είναι συνέπεια της διαφοράς πίεσης που υφίσταται το σώμα στη κάτω και άνω επιφάνεια του, αφού οι πλευρικές πιέσεις είναι ίσες, F 3 = F 4 (βλ. σχ.) Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

23 Η Άνωση Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

24 Η Άνωση F 1 = P 1 S = ε h 1 S F 2 = P 2 S = ε h 2 S F 3 = F 4 F Α = F 2 -F 1 = ε ( h 2 -h 1 ) S = ε V = ρ g V Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις από τις σχέσεις των δυνάμεων του βάρους G και της άνωσης F Α : G > F Α G = F Α G < F Α : Το σώμα βυθίζεται στο πυθμένα. : Εμβυθιζεται και αιωρείται. : Επιπλέει στην επιφάνεια του υγρού. Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

25 Πιεσόμετρα Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

26 Παράδειγμα Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

27 ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

28 Η Άνωση Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

29 : Αριθμητικό παράδειγμα Υποτίθεται ότι ο Αρχιμήδης ερωτήθηκε να αποφανθεί, εάν ένα δακτυλίδι που του επιδείχτηκε ήταν από ατόφιο χρυσό ή όχι. Αφού το ζύγισε δύο φορές, στο αέρα και στο νερό βρήκε ότι το βάρος του ήταν 7.84 N και 6.86 N αντίστοιχα. Τι απεδείχθη; B= F g - T 2 = 7.84 N N = 0.98 N ρ w g V w = 0.98 N, O χρυσός έχει πυκνότητα: 19, kg/m 3 Άρα είτε ήταν κάλπικο είτε κούφιο το δακτυλίδι B= Ανωση, F g =βαρος σώματος=t 1, T 2 =ένδειξη ζυγού Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

30 : Πυκνότητα Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

31 Ασκήσεις 1. Σώμα κρεμασμένο από ζυγό D είναι πλήρως βυθισμένο σε υγρό C που εμπεριέχεται σε δοχείο Β. Η μάζα του δοχείου είναι 1,00 kg, η μάζα του υγρού είναι 1,80 kg. O ζυγός D δείχνει 3,50 kg και ο ζυγός Ε 7,50 kg. Ο όγκος του σώματος Α είναι 3, m 3. α) Ποια είναι η πυκνότητα του υγρού και β) ποια τιμή θα έδειχνε κάθε ζυγός, εάν έβγαζε κανείς το σώμα από το υγρό; 2. Στην επιφάνεια ενός ζυγού έχει τοποθετηθεί δοχείο γεμάτο μέχρι την υπερχείλισή του με νερό, ενώ ο δείκτης δείχνει μάζα m=5,0 kg. Τοποθετεί κανείς προσεκτικά μέσα στο νερό, στο δοχείο ένα μεταλλικό κέρμα (μάζας 1 kg και πυκνότητας 10 g/cm3) με αποτέλεσμα ένα μέρος του νερού να υπερχειλίσει. Ποια από τις παρακάτω τιμές μάζας θα δείχνει ο ζυγός στην συνέχεια κα γιατί; α) 4,9 kg, β) 5,0 kg, γ), 5,1 kg, δ), 5,9 kg, ε), 6,0 kg 3. Ποια καμπύλη αποδίδει την σχέση ανάμεσα στο ύψος h (υπολογισμένο από τον πυθμένα δεξαμενής που περιέχει ένα ασυμπίεστο υγρό και στην (βαρυτική) πίεση p (p B η πίεση στον πυθμένα); Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

32 Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

33 Ατμοσφαιρική πίεση Η σχεδόν παντελής έλλειψη δυνάμεων συνοχής στα αέρια έχει σαν αποτέλεσμα την τάση που παρουσιάζουν αυτά να καταλάβουν τον χώρο που τους προσφέρεται. Γι αυτό μπορούν εύκολα να εγκλωβιστούν σε δοχεία, στα οποία βρίσκονται μόνιμα κάτω από την επίδραση εξωτερικής πίεσης. Την πίεση αυτή μεταδίδουν προς όλες τις κατευθύνσεις (αρχή του Pascal στα αέρια). Λόγω του πεδίου βαρύτητας, η ατμοσφαιρική πίεση μεταβάλλεται σε σχέση με το ύψος πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας, σύμφωνα με την ακόλουθη σχέση p h = p 0 e - c h (Βαρομετρικός τύπος) (p h = πίεση στο ύψος h, p 0 = πίεση για h = 0, c = (ρ 0 g)/p 0 ) Ο βαρομετρικός τύπος προκύπτει από την παραδοχή, ότι η μεταβολή της πίεσης dp εξαρτάται από την υψομετρική διαφορά, την επιττάχυνση της βαρύτητας και την πυκνότητα: Ολοκληρώνοντας την σχέση αυτή και λαμβάνοντας υπόψη ότι: p V = R T και την σύνθεση του αέρα V M M g c R T 1 c ( ) 8150 m ln p + C = -c h p -ch h p 0 e dp dp dp p g dh c p dh c dh dp g dh Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

34 Η πίεση που ασκούν τα μόρια του αέρα μέσα στο πεδίο βαρύτητας αποδείχθηκε και μετρήθηκε με το πείραμα του Torricelli. Είναι 760 mmhg (= 1 atm) σε κανονικές συνθήκες, στο επίπεδο της θάλασσας (h=0). Στην ατμόσφαιρα η μέση μάζα των μορίων του αέρα είναι: Μ = 0.78 Μ Ν M O M Ar2 = 48, γραμμάρια Ο πίνακας δίνει τιμές πίεσης και μερικής τάσης οξυγόνου σε διάφορα ύψη. Υψόμετρο Ατμοσφαιρική πίεση μερική πίεση Ο2 επιφάνεια θαλάσσης mmhg 160 mmhg Όρος Washington Όρος Mont Blanc Όρος Everest Πτήση Αεροπλάνου ,, Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

35 Καρδιαγγειακό σύστημα Πίεση του αίματος Η πίεση του αίματος δεν παραμένει σταθερή. Μεταβάλλεται περιοδικά με τον ρυθμό του σφυγμού μεταξύ μιας μέγιστης τιμής, της συστολικής πίεσης pσ και μιας ελάχιστης τιμής, της διαστολικής πίεσης pδ. Σε έναν υγιή άνθρωπο μέσης ηλικίας διαπιστώνονται κατά την διάρκεια ενός καρδιακού σφυγμού τιμές πίεσης στην αριστερή κοιλία μεταξύ 0 και 110 Torr (17.63 KPa), στην αορτή μεταξύ 80 Torr και 120 Torr, ενώ στην αρτηρία του βραχίονα μεταξύ 70 Torr και 120 Τorr. Αυτές οι τιμές μεταβάλλονται εκτός αυτού επίσης κατά την διάρκεια σωματικής άσκησης ή ψυχικής επιβάρυνσης, κατά την αλλαγή στάσης του σώματος και με την ηλικία, καθώς επίσης εξ αιτίας σειράς ασθενειών. Η συστολή του μυοκαρδίου ασκεί στο αίμα της αριστερής κοιλίας πίεση περίπου 120 mmhg η δε διαστολή του αντίστοιχα πίεση περίπου 80 mmhg. Οι πιέσεις αυτές είναι αναγκαίες και αρκούν, ώστε να εξασφαλιστεί η τροφοδότηση των ιστών με αίμα. Το αίμα ωθείται μέσα από την αορτή, ακολουθώντας την πορεία του πολύπλοκου δικτύου αγγείων τους που διαθέτει γι αυτόν τον σκοπό ο οργανισμός. Έτσι το αίμα υποχρεώνεται να περάσει από τις μεγάλες αρτηρίες στους κυρίους αρτηριακούς κλάδους, στις τελικές αρτηρίες, στα αρτηριδια, στα τριχοειδή για να ακολουθήσει την αντίθετη οδό μέσω των φλεβιδιων, μικρών και μεγάλων φλεβών στην καρδιά. Το αίμα που επιστρέφει στην καρδιά έχει σχεδόν μηδενική πίεση, όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα. Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

36 Καρδιαγγειακό σύστημα Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

37 Υπολογιστικό παράδειγμα: η Πίεση του αίματος P = P καρδιάς + ρ g h H διαφορά της πίεσης εξ αιτίας του διαφορετικού ύψους σημείων του σώματος ανθρώπου σε όρθια στάση δείχνεται στο σχήμα. P καρδιά = 120 mmhg P ποδια = Pkαρδιά + ρ g h = 120 mmhg + (1.06 g/cm3 981 cm/s cm) = 120 mmhg + ( g/cm s2) P πόδια = 120 mmhg + ( dyn/cm2) = 120 mmhg + (1.3 N/cm2) P πόδια = 120 mmhg + ( N/m2) = 120 mmhg + ( Pa) = 120 mmhg + 98 mmhg = 218 mmhg P κεφάλι = 120 mmhg - (1.06 g/cm3 981 cm/s 2 55 cm) = 120 mmhg - 43 mmhg = 77 mmhg Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

38 Μέθοδοι μέτρησης αρτηριακής πίεσης Το σφυγμομανόμετρο Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

39 Auscultatory Method Pulse waves that propagate through the brachial artery, generate Korotkoff sounds. There are 5 distinct phases in the Korotkoff sounds, which define SP and DP The Korotkoff sounds are ausculted with a stethoscope or microphone (automatic measurement) Also with this method, several measurements should be done. The frequency range is Hz and the accuracy is +/- 2mmHg (SP) and +/- 4mmHg (DP)

40 Χαρακτηριστικές πιέσεις στο ανθρώπινο σώμα είδος πίεσης P σε [mmhg] Αρτηριακή πίεση (συστολική) ,, (διαστολική) φλεβική πίεση 5-10 μεγάλων φλεβών < 1 τριχοειδική πίεση (αρτηριακή) 30,, (φλεβική) 10 ενδοφθάλμια πίεση πίεση εγκεφαλονοτιαίου υγρού 5-12 ενδοκυστική πίεση (ουροδόχου κύστης) 0 25 Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

41 Δυναμική των ρευστών Η Υδρο- και η Αεροδυναμική μελετούν φαινόμενα που έχουν σχέση με την κίνηση των ρευστών. Σε πραγματικές συνθήκες κίνηση συμβαίνει κάτω από την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων. Πέρα από τις κινητήριες δυνάμεις, δυνάμεις τριβής αντιπαρατάσσονται στις κάθε είδους κινήσεις και πρώτα απ' όλα οι δυνάμεις της εσωτερικής τριβής που προέρχονται από την αλληλεπίδραση των ίδιων των μορίων του ρευστού μεταξύ τους. Ο χώρος μέσα στον οποίον ρέει ένα ρευστό καλείται πεδίο ροής. Αυτό περιγράφεται από τις ρευματικές γραμμές που είναι οι εφαπτόμενες σε κάθε σημείο του ρευστού και δείχνουν την φορά προς την κατεύθυνση της ροής. Σε κάθε σημείο του πεδίου ροής αντιστοιχείται και μια συγκεκριμένη ταχύτητα. α) τη στρωτή ή ομαλή ροή, όπου σε κάθε σημείο του πεδίου ροής η ταχύτητα είναι σταθερή, δηλ. οι γραμμές ροής είναι παράλληλες και β) την τυρβώδη ροή, κατά την οποία η ταχύτητα δεν παραμένει σταθερή ούτε ως προς το μέτρο, ούτε ως προς την κατεύθυνση του διανύσματός της, δηλ. οι γραμμές ροής ακολουθούν μία ακανόνιστη πορεία. Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

42 Στρωτή ροή τυρβώδης ροή Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

43 Δυναμική των ρευστών Στρωτή ροή τυρβώδης ροή Φ = ρ v S [Κg s -1 ] Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

44 Δυναμική των ρευστών Ως ροή Φ χαρακτηρίζεται το φυσικό μέγεθος που ορίζει την ποσότητα του ρευστού που διέρρευσε μέσα από μια κάθετη επιφάνεια (ενεργός διατομή) στη μονάδα του χρόνου. Φ = ρ v S [Κg s -1 ] Ως παροχή Π ορίζει κανείς τον όγκο του ρευστού που διέρρευσε μέσα από μια κάθετη επιφάνεια (ενεργός διατομή) στη μονάδα του χρόνου. dv dt S ds dt S v Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

45 Ροή ιδανικών ρευστών Σε αντίθεση προς τα πραγματικά ρευστά τα ιδανικά θεωρούνται ότι κατέχουν φυσικές ιδιότητες, όπως συμπιεστότητα, ομοιογένεια, μηδενικό ιξώδες, δεν παρουσιάζουν εσωτερική τριβή και αναπτύσσουν δυνάμεις συνάφειας με τα τοιχώματα που τα περιβάλλουν. Ως εκ τούτου καθίσταται ευκολότερη η μελέτη τους και γι αυτό συχνά χρησιμοποιούνται ως απλά μοντέλα των πραγματικών ρευστών. Στα ιδανικά ρευστά ισχύουν οι νόμοι: α) ο Νομός της συνέχειας: Η παροχή μιας φλέβας είναι σταθερή για οποιαδήποτε διατομή της. Μειώνεται η διατομή της σε κάποιο σημείο, το ρευστό ρέει εκεί με μεγαλύτερη ταχύτητα. Π 1 = Π 2 S 1 v 1 = S 2 v 2 Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

46 β) ο Νομός του Bernoulli: H ολική ενέργεια ενός ιδανικού ρευστού που ρέει κατά μήκος ενός σωλήνα παραμένει σταθερή. Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις

47 Παραδείγματα εφαρμογών της εξίσωσης του Bernoulli Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

48 Σαν συνέπεια της εφαρμογής της εξίσωσης του Bernoulli: Παράδειγμα I H λέπτυνση των τοιχωμάτων του αγγείου στο ανεύρυσμα οδηγεί στην αύξηση τη διαμέτρου του και στην μείωση της ταχύτητας ροής του αίματος, με αποτέλεσμα μια σημαντική αύξηση της πίεσης, η οποία μπορεί να καταστεί μοιραία, αφού το αγγείο μπορεί να διαρραγεί. Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

49 Σαν συνέπεια της εφαρμογής της εξίσωσης του Bernoulli: Παράδειγμα II S 1 v 1 = S 2 v 2 H στένωση του αυλού του αγγείου λόγω αθηρωμάτωσης οδηγεί στην αύξηση της ταχύτητας ροής του αίματος, λόγω μείωσης της διαμέτρου, με αποτέλεσμα μια σημαντική μείωση της πίεσης, η οποία μπορεί να επιτείνει την απόφραξη του αγγείου και την αναστολή της ροής αίματος μέσα από αυτό. Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

50 Αριθμητικό Παράδειγμα Mετράται η πίεση και η ταχύτητα ροής στην αορτή μέσω καθετήρα και είναι: Εάν η αρχική διάμετρος της αορτής είναι 2 cm και έχει μειωθεί με στένωση κατά 30% ποια είναι η ταχύτητα ροής και η διαφορά της πίεσης που αναπτύσσεται στο σημείο της στένωσης; Λύση α) Από τον νόμο της συνέχειας έχουμε: β) Από την εξίσωση του Bernoulli προκύπτει: Η διαφορά πίεσης είναι περίπου 2%. Εάν μειωθεί κατά 70% τότε η διαφορά πίεσης Γίνεται περισσότερο από δέκα φορές μεγαλύτερη και παύει πλέον να είναι ακίνδυνη!! Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

51 Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής v S v S h v P h v P ) ( ) ( S S P P v Εφαρμογές του νομού του Bernoulli Εφαρμογή του νομού του Bernoulli γίνεται σε διάφορα συστήματα μετρήσεων ή εφαρμογών, όπως πχ στο λύχνο Bunsen, στον ψεκαστήρα, το στραγγλιστηρα, το Βεντουριμετρο. Το Βεντουριμετρο : Με το τελευταίο μπορεί να μετρήσει κανείς την παροχή ενός σωλήνα από τον υπολογισμό της ταχύτητας ροής σε σημείο γνωστής διατομής του σωλήνα.

52 Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής h g h h g v A A 2 ) ( 2 0 Το Θεώρημα του Torricelli: Υγρό το οποίο ρέει κάτω από την επίδραση της βαρύτητας και βρίσκεται σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνεια, έχει ταχύτητα ίση με εκείνη που θα είχε, αν έπεφτε ελεύθερα από το ύψος αυτό. A A A E h v P h v P για v² -> 0 και ε = ρ g Εφαρμογή του νομού του Bernoulli

53 Παράδειγμα Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

54 Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

55 Παράδειγμα: Υπολογισμός της παροχής αορτής. Όγκος καρδιάς/χρόνο = παροχή της καρδιάς = = όγκος αίματος ανά σφυγμόχσυχνότητα σφυγμών. Η μέση παροχή αίματος στην αορτή σε ηρεμία είναι: Π = 70 cm 3 x 70 min -1 = 5 l min -1. Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

56 Poή πραγματικών ρευστών Στα πραγματικά ρευστά κυριαρχούν διατμηματικές δυνάμεις, λόγω συνοχής μεταξύ των στρωμάτων του ρευστού και συνάφειας μεταξύ ρευστού και στερεού, που έχουν σαν αποτέλεσμα την εκδήλωση εσωτερικής τριβής. F T S dv dz ( η = συντελεστής εσωτερικής τριβής, ιξώδες, Viscosity) Με την επίδραση της δύναμης F η επάνω πλάκα σύρεται απλώς με σταθερή ταχύτητα v, λόγω της εσωτερικής τριβής. To επάνω στρώμα του υγρού κινείται επίσης με ταχύτητα v, η οποία μειώνεται γραμμικά ως προς z μέχρι το κάτω στρώμα, στο οποίο η ταχύτητα είναι μηδενική. Το πηλίκο γ = dv/dz ονομάζεται βαθμίδα ή κλήση της ταχύτητας. Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

57 Ροή πραγματικού ρευστού μέσα σε σωλήνα Σε χαμηλές ταχύτητες τα ρευστά ρέουν ακολουθώντας μία κίνηση που καλείται στρωτή ροή. Σε μεγάλες ταχύτητες η ροή αποκτά μία πολύπλοκη μορφή και γίνεται τυρβώδης. Σε ροή που γίνεται σε αγωγό η μετάπτωση από στρωτή σε τυρβώδη ροή εξαρτάται από την διάμετρο του αγωγού και την ταχύτητα ροής, καθώς επίσης και από το ιξώδες του ρευστού. Στο βαθμό που αυξηθούν αυτοί οι παράμετροι η ροή τείνει να γίνει τυρβώδης. α) στρωτή ροή: Εφ όσον η ταχύτητα σε κάθε σημείο του πεδίου ροής είναι ανεξάρτητη από τον χρόνο, τότε η ροή αυτή καλείται στρωτή ή μόνιμη. Η παροχή σ αυτήν την περίπτωση δίδεται από τον νομός του Poiseuille ως εξής: 8 ( p 1 p2) l R 4 β) τυρβώδης ροή: Στην τυρβώδη ροή η ταχύτητα στοιχειώδους μάζας του ρευστού μέσα στο πεδίο ροής μεταβάλλεται διαρκώς γύρω από μία μέση τιμή. Κατά μήκος της ροής σχηματίζονται στροβιλισμοί που έχουν σαν συνέπεια την μείωση της παροχής για συγκεκριμένη πίεση. Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

58 Ο νόμος του Poiseuille: O νομός παροχής στα πραγματικά ρευστά σε συνθήκες στρωτής ροής 8 ( p 1 p2) l R 4

59 Συνθήκη μετάπτωσης Κάτω από προϋποθέσεις εμφανίζεται μεταβολή της μορφής ροής ενός ρευστού. Την συνθήκη μετάπτωσης από την μια μορφή ροής (στρωτή) στην τυρβώδη δίδει ο αριθμός Reynolds Re Re v R Παράδειγμα: Για αγωγό που έχει τιμή R κρισ = 1000, ισχύει όσον αφορά την μορφή ροής, η οποία είναι: λόγω Re < R κρισ, -> στρωτή ροή Re > R κρισ, -> τυρβώδης ροή Η τιμή R κρισ είναι μια σταθερά που εξαρτάται από την γεωμετρία του σωλήνα (σχήμα εγκάρσιας διατομής του). Πχ (R κρισ = 1160 σωλήνας κυκλικής διατομής = 4100 τριγωνικός σωλήνας, πλευράς l = 2100 τετράγωνος σωλ., πλευράς l ) Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

60 Συνθήκη μετάπτωσης Με αντικατάσταση από τα παραπάνω προκύπτει η κρίσιμη ταχύτητα v κρισ από την τιμή της οποίας και πάνω μια ροή γίνεται τυρβώδης: v R R Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

61 σχήμα: Παροχή σε στρωτή και τυρβώδη ροή για τρεις σωλήνες διαφορετικής ακτίνας R1,R2,R3. Συνέπεια των προηγούμενων είναι, ότι για να διατηρηθεί σταθερή η παροχή αίματος σε συνθήκες τυρβώδους ροής, χρειάζεται να αυξηθεί δυσανάλογα η διαφορά της πίεσης Δp που ασκείται από την καρδιά. Σε συνθήκες τυρβώδους ροής παράγονται επίσης ακουστοί ήχοι οι οποίοι διευκολύνουν στην παρακολούθηση της ροής. Παράδειγμα : Τυρβώδης ροή Η μέση ταχύτητα αίματος στην αορτή ήρεμου ανθρώπου είναι 0.25 m/s, ο δε αριθμός Reynolds για αυτήν την ροή είναι 875, μικρότερη την κρίσιμη τιμή (R κρισ = 1000), έτσι η ροή είναι στρωτή κατά το μεγαλύτερο μέρος του παλμού. Σε έντονη δραστηριότητα και αύξηση της ροής πχ 5 φορές, η ροή γίνεται τυρβώδης κατά μήκος της αορτής και των μεγάλων αρτηριών. Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

62 Αντίσταση σώματος μέσα σε ρευστό Η αντίσταση ως δύναμη που ασκείται σε σώμα κατά την κίνησή του μέσα σε ρευστό μπορεί να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες: Την μετωπική και την ανυψωτική δύναμη. Η πρώτη οφείλεται στο ιξώδες του ρευστού ή στις διαφορές πίεσης, ενώ η δεύτερη προέρχεται από διαφορές πίεσης κάθετα στην πορεία κίνησης του σώματος. Η αντίσταση του σώματος εξαρτάται κυρίως από το σχήμα του και την μορφή των ρευματικών γραμμών που προκαλεί αυτό γύρω του. Ως εκ τούτου το διάνυσμα της ταχύτητας έχει εκτός από v x και συνιστώσες v y και v z. H αντίσταση που συναντάνε σώματα οποιουδήποτε σχήματος είναι σε τυρβώδη ροή : F c S v 2 2 (τυρβώδη ροή) όπου ρ και v είναι η πυκνότητα και η ταχύτητα του ρευστού, Sμ και c το εμβαδόν μετωπιαίας επιφάνειας κάθετης στην ροή και ο συντελεστής αντίστασης, ο οποίος εξαρτάται από την μορφή του σώματος. Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

63 Σε στρωτή ροή του ρευστού γύρω από το σώμα ισχύει ο νόμος του Stokes: F T = k v η (στρωτή ροή) όπου k μία σταθερά που εξαρτάται από το σχήμα του σώματος ( k= 6 π R για σφαιρικού σχήματος σώμα). Εδώ βλέπουμε ότι ενώ στην στρωτή ροή η αντίσταση είναι ανάλογη της ταχύτητας v (σχετικής ταχύτητας) στην περίπτωση τυρβώδους ροής η αντίσταση αυτή εξαρτάται από το τετράγωνο της ταχύτητας. Αυτό σημαίνει για την παροχή, ότι στην δεύτερη περίπτωση είναι συνάρτηση της ΔP/L και έχει ως αποτέλεσμα την πτώση της παροχής. Μονάδα μέτρησης του συντελεστή εσωτερικής τριβής η είναι: 1 Pa s = 1 N s m -2 (Pascal sec, στο S.I.) = 10 P (Poise, στο CGS-σύστημα) H εσωτερική τριβή εξαρτάται από την θερμοκρασία και επίσης για μικρές ταχύτητες γραμμικά από την ταχύτητα (F v), ενώ για μεγάλες ταχύτητες ισχύει η σχέση F v². Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

64 Παράδειγμα: Καθίζηση αιμοφόρων συστατικών. Σε κάθε ένα σωματίδιο ή κύτταρο του αίματος επενεργούν οι δυνάμεις του βάρους του Fgτης εσωτερικής τριβής F T και της άνωσης F A. Για Fg > (F T+ + F A ) το σώμα καθιζάνει. F = -F g + F T + F A m γ = -ρ σ V g + ρ ρ V g + K η v οπου ρ σ, V και ρ ρ, V η πυκνότητα και ο όγκος του σώματος και του ρευστού αντίστοιχα, m, a η μάζα και η επιτάχυνση του σώματος, η ο συντελεστής εσωτερικής τριβής. Για γ = 0 v = σταθερή έχουμε: V v r ( ) v S K Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

65 Παράδειγμα: φυγοκέντριση συστατικών αίματος. Τα διάφορα συστατικά του αίματος, λόγω διαφορετικής πυκνότητας που έχουν, πχ το πλάσμα, τα ερυθρά αιμοσφαίρια, παρουσιάζουν διαφορετική ταχύτητα καθίζησης. Ο διαχωρισμός έτσι δυο ή περισσοτέρων φάσεων στο αίμα γίνεται με φυγοκέντρηση. Η φυγόκεντρος επιτάχυνση γ = v 2 / r που επιδρά στα συστατικά, λόγω v = ω r είναι : ω²r = 4 π² ν² r και έτσι υπολογίζεται μια ταχύτητα καθίζησης v s όπου ω, ν, r είναι η γωνιακή ταχύτητα, η συχνότητα περιστροφής και η ακτίνα του φυγοκεντριτη αντίστοιχα. Φυγοκεντριτες, ως οι συσκευές που χρησιμοποιούνται σε φυγοκετρήσεις, επιτυγχάνουν εύκολα επιταχύνσεις της τάξης των 10 6 φορές την επιτάχυνση της βαρύτητας g. Η διαφορική φυγοκέντριση χρησιμοποιείται ως μέθοδος διαχωρισμού ουσιών. V g ( ) v S K Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

66 Φυσιολογικές εφαρμογές του νόμου του Bernoulli O νόμος του Bernoulli μας δίνει τις σχέσεις πιέσεων που ασκούνται σε ένα αγγείο, συνυπολογίζοντας την στατική πίεση που αναπτύσεται στα άκρα του ΔP, την δυναμική πίεση που έχει λόγω ροής το αίμα και την υψομετρική πίεση λόγω διαφοράς ύψους δύο σημείων. Αν αγνοήσουμε την τρίτη συνιστώσα της πίεσης, τότε για ένα αγγείο ισχύει, ότι Εξετάζουμε τρεις περιπτώσεις: τελική πίεση - δυναμική πίεση = πλευρική πίεση α) Υπό κανονικές συνθήκες η ταχύτητα του αίματος στην αορτή είναι 20 cm/s. Υπολογίζοντας την δυναμική πίεση του αίματος προκύπτει P = Eκιν/V = (1/2 m v²)/s3 = = 1/2 1 g/cm3 20² (cm/s)² = 200 erg/ml = 200 dyn/cm²= 0.15 mmhg 1 mmhg = 1330 dyn/cm² 1 mmhg = 133 Pa για δυναμική πίεση = 0.15 mmhg --> τελική πίεση πλευρική πίεση β) Σε έντονη σωματική άσκηση αυξάνεται η ταχύτητα του αίματος 5 φορές. Έτσι έχουμε P = 1/2 1 g/ cm3 100²(cm/s)² = 3.8 mmhg --> τελική πίεση - πλευρική πίεση = 3.8 mmhg (σημαντική!) γ) Σε περίπτωση στένωσης του αυλού του αγγείου στη μισή διάμετρο του. Τότε η διατομή μειώνεται στο 1/16 της αρχικής και η ταχύτητα στο σημείο της στένωσης αυξάνεται κατά 16 φορές (νόμος της συνέχειας). --> Eκιν = 256 Eκιν --> P = 1/2 1 g/ cm3 (256 20)² (cm/s)² = 10 mmhg --> τελική πίεση - πλευρική πίεση = 10 mmhg (αρκετά σημαντική!)

67 Παράγοντες που επηρεάζουν το ιξώδες στο αίμα Ο αιματοκρίτης Η θερμοκρασία Η ταχύτητα ροής Η αξονική συγκέντρωση Το φαινόμενο Magnus

68 Οξυγόνωση της αιμοσφαιρίνης

69 Σχήμα: Πιέσεις, ταχύτητες και δυνάμεις που αναπτύσσονται στο σημείο στένωσης αγγείου Σχήμα: Σχηματική ροή των ερυθρών αιμοσφαιρίων σε αρτηρία που διακλαδίζεται

70

71 Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

72 Παράδειγμα στο Θεώρημα του Torricelli: Κλειστό δοχείο Προσδιόρισε την ταχύτητα εκροής από την οπή, δεδομένης της πίεσης P στην ελέυθερη επιφάνεια του κλειστού δοχείου στο σχήμα. για P >> P 0 το 2gh αγνοείται, ενώ για P = P 0 Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

73 Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

74 Επιφανειακή τάση Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

75 Τ = w + F Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

76 Δυνάμεις με τις οποίες έλκονται τα επιφανειακά και τα εσωτερικά μόρια του υγρού Τασίμετρο: Όργανο μέτρησης της επιφανειακής τάσης υγρού Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

77 Επιφανειοδραστικοί παράγοντες: Μειώνουν την επιφανειακή τάση του υγρού. Μόρια με υδρόφιλη και υδρόφοβη πλευρά, πχ σαπούνι, απορρυπαντικά κλπ σχηματίζουν επιφανειακό στρώμα στο υγρό και διευκολύνουν την διάλυση ελαίων στο νερό. Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

78 Αντιδραστήρια που δρουν σε μια σταγόνα λαδιού, στην οποία μειώνουν την επιφανειακή τάση και δημιουργούν επιμέρους μικρές σταγόνες που διαλύονται, αφού περιβάλλονται από υδρόφιλα μόρια. Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

79 Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

80 Λόγω μίας ελεύθερης επιφάνειας Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

81 Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

82 Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

83 Μέτρηση της επιφανειακής τάσης: Ζυγός του Du Nouy Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

84 Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

85 F = 2πr γ cosθ, h = 2γ cosθ / ρgr Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής

86 Ώσμωση, Ωσμωτική πίεση Iωάννης Σιανούδης: Σημειώσεις Φυσικής