AÓ Ï ÛË ÛÙÔ appleâ Ô ÙË Û ÓfiÙËÙ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "AÓ Ï ÛË ÛÙÔ appleâ Ô ÙË Û ÓfiÙËÙ"

Transcript

1 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 5 AÓ Ï ÛË ÛÙÔ appleâ Ô ÙË Û ÓfiÙËÙ ÎÔapplefi Το αντικείµενο του παρόντος κεφαλαίου είναι η περιγραφή του σήµατος στο πεδίο της συχνότητας. Η θεώρηση των σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου από το πεδίο της συχνότητας, µας δίνει µια εντελώς διαφορετική δυναµική κατανόησης και επεξεργασίας τους. Για τα σήµατα διακριτού χρόνου, τα οποία µας ενδιαφέρουν, η µετάβαση στο πεδίο της συχνότητας επιτυγχάνεται µε τη βοήθεια του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου. Για ακολουθίες πεπερασµένου µήκους χρησιµοποιείται ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier. º π ÚÔÛ ÔÎÒÌÂÓ appleôùâï ÛÌ Ù Μετά τη µελέτη του κεφαλαίου θα είστε σε θέση να: Υπολογίζετε ποσοτικά και ποιοτικά το φάσµα ενός σήµατος διακριτού χρόνου Υπολογίζετε το µετασχηµατισµό Fourier για σήµατα διακριτού χρόνου πεπερασµένης διάρκειας Εκτελείτε την κυκλική ολίσθηση σηµάτων διακριτού χρόνου Υπολογίζετε την απόκριση ενός συστήµατος διακριτού χρόνου (γραµµική συνέλιξη) µέσω του πεδίου της συχνότητας, βασιζόµενοι στο διακριτό µετασχηµατισµό Fourier Υλοποιείτε έναν από τους ταχείς µετασχηµατισµούς Fourier ŒÓÓÔÈ ÎÏÂÈ È ιακριτός µετασχηµατισµός Fourier (DFT) Tαχύς µετασχηµατισµός Fourier (FFT) Κυκλική συνέλιξη Μετασχηµατισµός Fourier Φάσµα σήµατος EÈÛ ÁˆÁÈÎ Ú ÙËÚ ÛÂÈ Στο προηγούµενο κεφάλαιο είδαµε ότι ένα σήµα διακριτού χρόνου µπορεί να εκφρα-

2 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 5 5 KEºA AIO : A À π ÀÃ στεί ως γραµµικός συνδυασµός ολισθηµένων µοναδιαίων κρουστικών {δ(n m)}. Στο κεφάλαιο αυτό, θα παρουσιάσουµε µια εναλλακτική αναπαράσταση οποιασδήποτε ακολουθίας ως συνδυασµoύ µιγαδικών εκθετικών ακολουθιών της µορφής {e jωn }, (κατ αναλογία µε το ανάπτυγµα σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος). Πρόκειται για µία πολύ χρήσιµη αναπαράσταση των σηµάτων και των συστη- µάτων διακριτού χρόνου σ ένα µετασχηµατισµένο πεδίο. Με άλλα λόγια, στο κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να µεταβούµε από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας και αντίστροφα. Και όλα αυτά θα αφορούν πάντοτε την περίπτωση των σηµάτων διακριτού χρόνου. Στην ενότητα. πραγµατευόµαστε το µετασχηµατισµό Fourier [] διακριτού χρόνου (DTFT, Discrete Time Fourier Transform), ο οποίος εφαρµόζεται σε µη περιοδικά σήµατα διακριτού χρόνου και παρουσιάζουµε τις ιδιότητές του. Με βάση το διαφορετικό τρόπο θεώρησης των σηµάτων από το πεδίο της συχνότητας, επανεξετάζουµε το θέµα της δειγµατοληψίας. Στη συνέχεια, µελετάµε το διακριτό µετασχηµατισµό Fourier (DFT, Discrete Fourier Transform) ο οποίος εφαρµόζεται σε σήµατα διακριτού χρόνου πεπερασµένου µήκους (ενότητα.). Τέλος, στην ενότητα.3 παρουσιάζουµε το βασικό αλγόριθµο για τον ταχύ υπολογισµό του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier (FFT, Fast Fourier Transform). [] Ιστορική αναδροµή: Ο Jean Baptiste Joseph Fourier (768 83) ήταν Γάλλος µαθη- µατικός και φυσικός. Ο Fourier ερευνούσε τη διάδοση της θερµότητας και το 87 παρουσίασε στο Ινστιτούτο της Γαλλίας µια εργασία του για τη χρήση των ηµιτονικών κυµατοµορφών στην αναπαράσταση των κατανοµών θερµοκρασίας. Η εργασία του αυτή υποστήριζε την ανορθόδοξη, για την εποχή εκείνη, άποψη ότι οποιοδήποτε συνεχές περιοδικό σήµα θα µπορούσε να εκφραστεί ως άθροισµα κατάλληλων ηµιτονικών κυµατοµορφών. Ανάµεσα στους κριτές της εργασίας υπήρχαν και δύο από τους πιο φηµισµένους µαθηµατικούς, ο Joseph Luis Lagrange (736 83) και ο Pierre Simon de Laplace (79 87). Και ενώ ο Laplace, όπως και άλλοι κριτές, ψήφισαν υπέρ της δηµοσίευσης της εργασίας, ο Lagrange αρνήθηκε, γιατί µέχρι τη στιγµή εκείνη δεν υπήρχε το κατάλληλο µαθηµατικό υπόβαθρο, στο οποίο θα µπορούσε να στηριχτεί η σχετική απόδειξη. Για πενήντα χρόνια ο Lagrange επέµενε ότι µια τέτοια προσέγγιση δε θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί για την αναπαράσταση σηµάτων µε «γωνίες», δηλαδή σηµάτων µε ασυνέχειες, όπως είναι οι τετραγωνικοί παλµοί. Το Ινστιτούτο της Γαλλίας, υποκύπτοντας στο γόητρο του Lagrange, απέρριψε την εργασία του Fourier. Τελικά, αυτή δηµοσιεύτηκε µετά το θάνατο του Lagrange.

3 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 53. ª à ª π ª FOURIER π ƒ π À à À 53. ªÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌfi Fourier È ÎÚÈÙÔ ÚfiÓÔ.. ÚÈÛÌÔ Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT, discrete time Fourier transform) ενός σήµατος διακριτού χρόνου x(n) είναι η αναπαράσταση του σήµατος αυτού ως συνδυασµού µιγαδικών εκθετικών ακολουθιών της µορφής {e jωn }, όπου ω µεταβλητή, γνωστή και ως (κυκλική) συχνότητα. Ο DTFT µίας ακολουθίας, εάν υπάρχει, είναι µοναδικός. Η αρχική ακολουθία µπορεί να υπολογιστεί, όταν µας δίνεται ο DTFT αυτής, µε τη βοήθεια του αντίστροφου µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου. Ο DTFT X(e jω ) της ακολουθίας x(n) ορίζεται ως jω X( e ) F{ x( n)} = x( n) e ενώ ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου ορίζεται ως xn F X e j ω X e j ω ( ) { ( )} = ( ) e j ω n dω π n= π π jωn (.) (.) Οι σχέσεις (.) και (.) αποτελούν το λεγόµενο ζεύγος µετασχηµατισµών Fourier διακριτού χρόνου. Η σχέση (.) ονοµάζεται και εξίσωση ανάλυσης, ενώ η (.) εξίσωση σύνθεσης. Βλέπουµε, λοιπόν, ότι µία ακολουθία µπορεί να εκφραστεί ως γραµ- µικός συνδυασµός µιγαδικών εκθετικών ακολουθιών. Η συνάρτηση X(e jω ) είναι µιγαδική και µπορεί να γραφεί ως jω jω jω X ( e ) = X ( e ) + jx ( e ) r i (.3) όπου X r (e jω ) και X i (e jω ) είναι πραγµατικές συναρτήσεις ως προς ω, και αποτελούν το πραγµατικό και φανταστικό µέρος της X(e jω ) αντίστοιχα. Η X(e jω ) σε πολικές συντεταγµένες γράφεται X( e ) = X( e ) e jω jω jθ( ω ) (.) όπου X e j ω jω jω ( ) = X ( e ) + X ( e ) (.5) r i θ( ω) jω = { X e }= arg ( ) tan X X jω i ( e ) jω r ( e ) (.6) Η ποσότητα X( e j ω ) ονοµάζεται συνάρτηση µέτρου και η ποσότητα θ(ω) συνάρτη-

4 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 5 5 KEºA AIO : A À π ÀÃ ση φάσης. Και οι δύο αυτές συναρτήσεις είναι πραγµατικές συναρτήσεις του ω. Σε πολλές εφαρµογές, ο µετασχηµατισµός Fourier ονοµάζεται φάσµα Fourier, και κατ επέκταση οι συναρτήσεις X( e j ω ) και θ(ω) αναφέρονται ως φάσµα µέτρου (magnitude spectrum) και φάσµα φάσης (phase spectrum) αντίστοιχα. Ο DTFT X(e jω ) της ακολουθίας x(n) είναι µία συνεχής συνάρτηση του ω. Επιπλέον, είναι περιοδική ως προς ω µε περίοδο ίση µε π, δηλαδή j( ω+kπ jω X(e ) = X(e ). (.7) Η τελευταία αυτή σχέση µπορεί να αποδειχθεί ως εξής: j( ω+ kπ) j( ω+ kπ) n X( e ) = x( n) e n= jωn jknπ jωn jω = xne ( ) e = xne ( ) = X( e ). n= Η περιοδικότητα είναι αποτέλεσµα του γεγονότος ότι τα διακριτού χρόνου µιγαδικά εκθετικά σήµατα, τα οποία διαφέρουν στη συχνότητα κατά πολλαπλάσια του π, είναι µεταξύ τους ταυτόσηµα. Ο DTFT, όπως ορίζεται από τη σχέση (.), είναι ένα άθροισµα άπειρων όρων, το οποίο πιθανόν να µην υπάρχει (να µη συγκλίνει) για κάποια σήµατα. Αποδεικνύεται ότι η αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη αυτού ικανοποιείται όταν η ακολουθία x(n) είναι αθροίσιµη κατ απόλυτη τιµή, δηλαδή: n= n= xn ( ) < (.8) Πριν προχωρήσουµε στις ιδιότητες του DTFT, ας δούµε ορισµένα παραδείγµατα υπολογισµού του. Ú ÂÈÁÌ. Να υπολογιστεί ο DTFT της ακολουθίας x(n) =a n u(n), όπου a <. Λύση: Από τον ορισµό (.) έχουµε: jω jωn n jωn n jωn jω n X ( e ) = x( n) e = a u( n) e = a e = ( ae ) = ae n= n= n= n= jω

5 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 55. ª à ª π ª FOURIER π ƒ π À Ã À 55 X(e jω ) (-a) (+a) -π -π X(e jω ) π tan - (a/ -a ) π ω -π -π π π ω tan - (a/ -a ) (α) X(e jω ) +a -π -π -a π π ω X(e jω ) tan - ( a / -a ) Ì. -π -π π tan - ( a / -a ) π ω (β) Μέτρο και φάση του DTFT της ακολουθίας x(n) = a n u(n), a < για (α) a > και (β) a <. Το µέτρο και η φάση της X(e jω ) φαίνονται στο Σχήµα.. Παρατηρούµε, ότι οι συναρτήσεις αυτές είναι συνεχείς και περιοδικές ως προς ω µε περίοδο π. Επίσης, µπορούµε εύκολα να δούµε ότι ο DTFT της x(n) υπάρχει, n n αφού xn ( ) = aun ( ) = a = < (για a < ). a n= n= n=

6 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ KEºA AIO : A À π ÀÃ Ú ÂÈÁÌ. Να υπολογιστεί ο DTFT της µοναδιαίας κρουστικής ακολουθίας x(n) =δ(n). Λύση: Από τον ορισµό (.) έχουµε: jω jωn jωn jω X( e ) = x( n) e = n e = e = n= δ( ) n= Ì. (α) Η µοναδιαία κρουστική ακολουθία και (β) ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου αυτής. Οι γραφικές παραστάσεις της δ(n) και του µετασχηµατισµού Fourier αυτής φαίνονται στο Σχήµα.. Παρατηρούµε, ότι η µοναδιαία κρουστική έχει µετασχηµατισµό Fourier ο οποίος συνίσταται στην ισόποση συνεισφορά όλων των συχνοτήτων. δ(n) X(e jω ) n -π -π π π ω ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË. Υπολογίστε τον DTFT της µετατοπισµένης µοναδιαίας κρουστικής ακολουθίας x(n) =δ(n M) και σχεδιάστε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË. Υπολογίστε τον DTFT του τετραγωνικού παλµού, n xn ( ) =, και σχε-, n > διάστε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. Ο µετασχηµατισµός Fourier (DTFT) των πιο γνωστών σηµάτων διακριτού χρόνου δίνεται από τον Πίνακα..

7

8 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ KEºA AIO : A À π Àà Αυτό σηµαίνει ότι ο µετασχηµατισµός Fourier είναι ένας γραµµικός µετασχηµατισµός, κατάλληλος για τη µελέτη γραµµικών συστηµάτων. Έτσι, ο DTFT του γραµ- µικού συνδυασµού δύο ή περισσοτέρων σηµάτων ισούται µε το γραµµικό συνδυασµό των DTFT του κάθε σήµατος. π Ã Εάν F jω xn ( ) Xe ( ) τότε xn ( n) e ω ω Xe ( ) (.) Απόδειξη Έστω g(n) =x(n n ). Από τον ορισµό (.) του DTFT έχουµε: j j n Ge ( ) = gne ( ) = xn n) e Θέτοντας q = n n, οπότε n = q + n, η τελευταία σχέση γίνεται: j j q n j n j q j n j Ge ( ω ) xqe ( ) ω( + ) e ω = = xqe ) ω = e ω ( Xe ( ω ) Η ιδιότητα αυτή σηµαίνει ότι, εάν ένα σήµα µετατοπιστεί στο πεδίο του χρόνου κατά n δείγµατα, τότε το φάσµα του µέτρου του παραµένει αναλλοίωτο. Αυτό που αλλάζει κατά ωn είναι το φάσµα της φάσης. Γίνεται φανερό, εποµένως, ότι το περιεχό- µενο των συχνοτήτων ενός σήµατος εξαρτάται µόνον από τη µορφή του και όχι από τη θέση του. Από µαθηµατική άποψη, αυτό εκφράζεται ως εξής: η ολίσθηση (µετατόπιση) στο πεδίο του χρόνου κατά n, ισοδυναµεί µε τον πολλαπλασιασµό του φάσµατος επί στο πεδίο της συχνότητας. υπολογισµό του µετασχηµατισµού Fourier G(e jω ) µε βάση τον ορισµό (.), χρησι- Ú ÂÈÁÌ.3, n < 5 Να υπολογιστεί ο DTFT της ακολουθίας gn ( ) =., αλλού Λύση: ω ω jωn ( n= q= F j n j e jωn n= q= Σχεδιάζοντας την ακολουθία g(n), παρατηρούµε ότι αυτή έχει την ίδια µορφή µε την x(n) της Άσκησης Aυτοαξιολόγησης., µόνο που είναι µετατοπισµένη προς τα δεξιά κατά δύο δείγµατα, δηλαδή g(n) =x(n ). Έτσι, µπορούµε να αποφύγουµε τον.

9 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 59. ª à ª π ª FOURIER π ƒ π À Ã À 59 µοποιώντας την ιδιότητα της µετατόπισης στο χρόνο κατά n =. Άρα, Ge ( ) = F{ gn ( )} = F{ xn ( )} = e Xe ( ) = e jω jω jω jω 5ω sin( ) ω sin( ) Παρατηρούµε ότι το αποτέλεσµα αυτό συµφωνεί µε την τελευταία σχέση του Πίνακα. για M =5, αφού πράγµατι η ακολουθία g(n) γράφεται και ως g(n) = u(n) u(n 5). ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË.3 Υπολογίστε τον DTFT της x(n) x(n ), αν γνωρίζετε ότι ο µετασχηµατισµός Fourier της x(n) είναι X(e jω ). Υπολογίστε τον DTFT της αιτιατής ακολουθίας x(n)=αa n cos(ω n + φ)u(n), όπου Α, a, ω, φ πραγµατικοί. ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË. π Àà Εάν F jω xn ( ) Xe ( ) jωn F j( ω ω ) τότε e x( n) X( e ) (.) Σύµφωνα µε την ιδιότητα αυτή, ο πολλαπλασιασµός µιας ακολουθίας x(n) επί e jω n ισοδυναµεί µε την ολίσθηση (µετατόπιση) του φάσµατος X(e jω ) κατά ω. Η ιδιότητα αυτή θα µας φανεί ιδιαίτερα χρήσιµη στη διαδικασία της σχεδίασης ψηφιακών φίλτρων που θα γνωρίσουµε στο Κεφάλαιο. øƒ ª À π Εάν F jω x ( n) X ( e ) και F jω x ( n) X ( e ) F j j j ω ω ω τότε xn ( ) = x( n)* x( n) Xe ( ) = X( e ) X( e ) (.)

10 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 6 6 KEºA AIO : A À π ÀÃ Απόδειξη: ω ω jωn j j n X( e ) = x( n) e = [ x ( n)* x ( n)] e n= = [ x ( m) x ( n m)] e n= m= < αλλάζοντας τη σειρά των αθροισµάτων και θέτοντας επιπλέον q = n m έχουµε > jω = x ( m) x ( n m) e = x ( m) x ( q) e m= n jω( q+ m) n = m= q= jωm jωq jω jω = x ( m) e x ( q) e = X ( e ) X ( e ) m= n= q= jωn Το θεώρηµα της συνέλιξης είναι από τα πλέον σηµαντικά εργαλεία στην ανάλυση γραµµικών συστηµάτων. Ουσιαστικά, µας λέει ότι η συνέλιξη δύο ακολουθιών στο πεδίο του χρόνου, ισοδυναµεί µε το γινόµενο των φασµάτων τους στο πεδίο της συχνότητας. Το γεγονός αυτό είναι µεγάλης σηµασίας στην ανάλυση σηµάτων και συστηµάτων και στην κατανόηση του τρόπου µε τον οποίο ένα LTI σύστηµα αποκρίνεται σε κάποια είσοδο που εφαρµόζεται σ αυτό. Θυµηθείτε τη γραµµική συνέλιξη, όπως τη γνωρίσαµε στην ενότητα.. Είδαµε ότι, αν σ ένα σύστηµα µε κρουστική απόκριση h(n) εφαρµοστεί το σήµα x(n), τότε η έξοδος του συστήµατος y(n) θα ισούται µε τη γραµµική συνέλιξη της εισόδου και της κρουστικής αυτού, δηλαδή y(n) =x(n)*h(n). Εποµένως, σύµφωνα µε το θεώρηµα της συνέλιξης, θα ισχύει Y(e jω )=X(e jω ) H(e jω ), όπου X(e jω ), Y(e jω ), H(e jω ) είναι οι µετασχηµατισµοί Fourier των ακολουθιών x(n), y(n), h(n) αντίστοιχα. øƒ ª À PARSEVAL Εάν F jω xn ( ) Xe ( ) τότε n= j xn ( ) ω = Xe ( ) d π ω π (.3) Απόδειξη: Στην προκειµένη περίπτωση µας συµφέρει να αρχίσουµε την απόδειξη από το δεύτερο µέλος της σχέσης. Έχουµε λοιπόν:

11 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 6. ª à ª π ª FOURIER π ƒ π À Ã À 6 π n= jω jω * jω jωn * jω X( e ) dω = X( e ) X ( e ) dω = ( x( n) e ) X ( e ) dω = π π π π π n= * jω jωn * xn ( ) X ( e ) e dω = xnx ( ) ( n) = x( n π π Το θεώρηµα του Parseval αναφέρεται στη διατήρηση της ενέργειας κατά τη µετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. Η ποσότητα αναφέρεται και ως φάσµα ενεργειακής πυκνότητας (energy density spectrum) του σήµατος x(n). Εκτός από τις ιδιότητες που αναφέραµε, υπάρχουν και πολλές άλλες τις οποίες απλώς παραθέτουµε στον Πίνακα.. n= n= ) X( e j ω ) Να αποδειχτεί η ιδιότητα του πολλαπλασιασµού δύο σηµάτων διακριτού χρόνου. ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË.5 Ó Î. Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) Ιδιότητα Μη Περιοδικό Σήµα Μετασχηµατισµός Fourier x( n) x ( n) jω X( e ) περιοδικές συναρτήσεις µε jω X ( e ) περίοδο π Γραµµικότητα a x (n) +a x (n) a X (e jω )+a X (e jω ) Μετατόπιση στο χρόνο x(n n ) e jωn X(e jω ) Μετατόπιση στη συχνότητα e jω n x(n) X( e j ( ω ω ) ) Συζυγής ακολουθία x * (n) X * (e jω ) Κατοπτρισµός στο χρόνο x( n) X(e jω ) Επέκταση χρόνου x(n/k) για n πολλαπλάσιο του k X(e jkω ) Συνέλιξη x (n)*x (n) X (e jω )X (e jω )

12 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 6 6 KEºA AIO : A À π ÀÃ Πολλαπλασιασµός ιαφόριση στη συχνότητα Συζυγής συµµετρία για πραγµατικά σήµατα x (n)x (n) nx(n) x(n) πραγµατική π π θ ω θ X e j j( ) ( ) X ( e ) dθ j dx e jω ( ) dω jω * jω X( e ) = X ( e ) jω jω Re{ X( e )} = Re{ X( e )} jω jω Im{ X( e )} = Im{ X( e )} jω jω X( e ) = X( e ) jω jω X( e ) = X( e ) Συµµετρία για πραγµατικά και άρτια σήµατα x(n) πραγµατική και άρτια X(e jω ) πραγµατική και άρτια Συµµετρία για πραγµατικά και περιττά σήµατα x(n) πραγµατική και περιττή X(e jω ) φανταστική και περιττή jω Θεώρηµα του Parseval xn ( ) = Xe ( ) d π ω n= π..3 ÂÈÁÌ ÙÔÏË : ÌÈ ÎfiÌË Ì ÙÈ Γνωρίσαµε τη δειγµατοληψία στην ενότητα. του Κεφαλαίου και είδαµε ότι αυτή έχει να κάνει µε τη µετατροπή ενός αναλογικού σήµατος σε ψηφιακό. Θα ασχοληθούµε και πάλι µε τη δειγµατοληψία, προσεγγίζοντας, όµως τη φορά αυτή, το όλο θέµα από µία διαφορετική οπτική γωνία. Γνωρίζοντας, πλέον, το µετασχηµατισµό Fourier και το πεδίο της συχνότητας, θα εξετάσουµε τα σήµατα από το πεδίο της συχνότητας και θα προσπαθήσουµε να κατανοήσουµε την επίδραση που έχει η δειγ- µατοληψία σ αυτά. Ο στόχος µας θα είναι και πάλι ο ίδιος, δηλαδή ο προσδιορισµός της κατάλληλης περιόδου δειγµατοληψίας Τ, έτσι ώστε, να µη χάνεται πληροφορία, και να είµαστε πάντοτε σε θέση να ανακατασκευάσουµε το αρχικό αναλογικό σήµα από τα δείγµατά του. Έστω λοιπόν, ότι το αναλογικό σήµα x a (t) τροφοδοτείται στην είσοδο ενός ιδανικού δειγµατολήπτη. Η έξοδος αυτού θα είναι η ακολουθία x(n), τα στοιχεία της οποίας αντιστοιχούν στις µετρήσεις του πλάτους της x a (t) ανά χρονικά διαστήµατα T δευτερολέπτων

13

14 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 6 6 KEºA AIO : A À π ÀÃ X a (Ω) X a ( ω - πk ) T Ì.3 Η δειγµατοληψία από το πεδίο της συχνότητας: (α) φάσµα αναλογικού σήµατος, (β) ένας από τους όρους του φάσµατος του δειγµατοληπτηµένου σήµατος, (γ) φάσµα δειγµατοληπτηµένου σήµατος για Fs > Fmax, και (δ) φάσµα δειγµατοληπτηµένου σήµατος για Fs < Fmax -Ω max Ω max Ω (α) X(e jω ) (β) πk Ω max T /T Ω -π -π max T Ω max T π π (γ) X(e jω ) /T -π -π π π π (δ) ω ω ω Θεωρήσαµε στα προηγούµενα ότι το αναλογικό σήµα είναι περιορισµένου εύρους συχνοτήτων, όπως άλλωστε παριστάνεται στο Σχήµα.3α. Στην πράξη αυτό δε συµβαίνει πάντοτε. Επιπλέον, ας µην ξεχνάµε, ότι ο θόρυβος που παρεισδύει σε κάθε σύστηµα εκτείνεται συνήθως σε όλο το εύρος των συχνοτήτων. Έτσι, για να διασφαλίσουµε το γεγονός ότι το σήµα εισόδου είναι περιορισµένου εύρους, τοποθετούµε πάντοτε ένα αναλογικό βαθυπερατό φίλτρο (analog lowpass filter) πριν από το σύστηµα ψηφιακής επεξεργασίας σηµάτων, για να αποκόπτει τις συχνότητες που είναι µεγαλύτερες από F s /. Ένα παρόµοιο αναλογικό φίλτρο τοποθετείται και στην έξοδο του ψηφιακού συστήµατος για τη σωστή ανακατασκευή του σήµατος εξόδου, δηλαδή για την επιλογή µόνο του βασικού φασµατικού περιεχοµένου µεταξύ F s / και F s /. Έτσι, ένα πλήρες σύστηµα ψηφιακής επεξεργασίας σηµάτων είναι όπως αυτό που φαίνεται στο Σχήµα..

15 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 65. π ƒ π ª Ã ª π ª FOURIER 65 Aναλογικό Σήµα Aναλογικό Bαθυπερατό Φίλτρο A/D Ψηφιακός Eπεξεργαστής Σήµατος D/A Aναλογικό Bαθυπερατό Φίλτρο Aναλογικό Σήµα Ì. ιάγραµµα βαθµίδων ενός συστήµατος ψηφιακής επεξεργασίας αναλογικών σηµάτων ÓÔ Ë ÂÓfiÙËÙ Στην ενότητα αυτή ασχοληθήκαµε µε το µετασχηµατισµό Fourier διακριτού χρόνου (DTFT). Είδαµε ότι ο µετασχηµατισµός αυτός εφαρµόζεται γενικά σε µη περιοδικά σήµατα διακριτού χρόνου άπειρου µήκους. O DTFT τέτοιων σηµάτων είναι συνεχής και περιοδικός. Η γνώση του µετασχηµατισµού Fourier µας βοήθησε να προσεγγίσουµε και πάλι το θέµα της δειγµατοληψίας, αλλά από το πεδίο της συχνότητας τη φορά αυτή, αποσαφηνίζοντας το φαινόµενο της φασµατικής επικάλυψης, το οποίο παρουσιάζεται όταν ο ρυθµός λήψης δειγµάτων είναι χαµηλότερος του απαιτούµενου.. È ÎÚÈÙfi ÌÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌfi Fourier.. ÚÈÛÌÔ Είδαµε στην ενότητα. ότι ο µετασχηµατισµός Fourier ενός σήµατος διακριτού χρόνου x(n) είναι η συνεχής συνάρτηση X(e jω ). Η συνάρτηση αυτή δεν είναι εύκολο να υπολογιστεί µε τη χρήση ενός ψηφιακού επεξεργαστή σήµατος, ο οποίος είναι συνήθως ένας γενικού σκοπού υπολογιστής ή ένα ειδικά σχεδιασµένο ψηφιακό κύκλωµα. Εκείνο που είναι εύκολο να υπολογιστεί, είναι δείγµατα του φάσµατος X(e jω ). Αυτό είναι το αντικείµενο µε το οποίο ασχολούµαστε στην παρούσα ενότητα, δηλαδή ο υπολογισµός του φάσµατος σε διακριτές συχνότητες (διακριτός µετασχηµατισµός Fourier), καθώς και οι ιδιότητες που ισχύουν σ αυτή την περίπτωση. π ƒπ ª Ã ª π ª FOURIER (DFT) Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) της πεπερασµένου µήκους Ν ακολουθίας x(n), δηλαδή x(n) = για n < και n, ισούται µε jω X( e ) = x( n) e n= jωn, ω π (.8) όπου τα όρια του αθροίσµατος αντικατοπτρίζουν το γεγονός ότι x(n) = εκτός του

16 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ KEºA AIO : A À π ÀÃ διαστήµατος n. Εάν λάβουµε δείγµατα της συνεχούς συνάρτησης X(e jω ) σε ισαπέχοντα διαστήµατα στη συχνότητα ω k = k ω = k(π/ν), k =,,,, (Βλ. Σχήµα.5), τότε θα πάρουµε τα δείγµατα k j j kn X( k) X( π ω π / ) = X(e ) ω = π k/ = x( n) e, k =,,, (.9) Ας σηµειωθεί ότι, αφού η X(e jω ) είναι περιοδική µε περίοδο π, µόνο τα δείγµατα της βασικής περιοχής συχνοτήτων είναι απαραίτητα. Επειδή τα δείγµατα αυτά προκύπτουν από τον υπολογισµό του µετασχηµατισµού Fourier X(e jω ) σε Ν ισαπέχουσες διακριτές συχνότητες, η σχέση (.9) ονοµάζεται διακριτός µετασχηµατισµός Fourier (Discrete Fourier Transform, DFT) της x(n). Αποδεικνύεται ότι µπορούµε να ανακατασκευάσουµε την ακολουθία x(n) από τα δείγµατα X(k) στη συχνότητα, µε βάση τη σχέση xn X k e j πkn/ ( ) = ( ), n=,,,, k = n= (.) η οποία αποτελεί τον αντίστροφο διακριτό µετασχηµατισµό Fourier (inverse DFT, IDFT). X(e jω ) Ì.5 ειγµατοληψία στη συχνότητα του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου (DTFT). X(k ω) -π k ω π ω π ω Οι σχέσεις (.9) και (.) αποτελούν το λεγόµενο «ζεύγος του DFΤ». Παρατηρήστε ότι, τόσο η ακολουθία x(n), όσο και η ακολουθία X(k) είναι του ίδιου µήκους Ν. xn ( ) X ( k). Οι σχέ- Θα συµβολίζουµε το ζεύγος του DFT Ν σηµείων ως σεις αυτές µπορούν να εκφραστούν και ως DFT nk X( k) = x( nw ), k =,,,, n= nk xn ( ) = X( k) W, n=,,,, k = (.) (.)

17 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 67. π ƒ π ª Ã ª π ª FOURIER 67 όπου εξ ορισµού είναι η Ν στή ρίζα της µονάδας. Οι παράγοντες W = e jπ/ (.3) αποτελούν τις µιγαδικές ακολουθίες βάσης στις οποίες στηρίζεται ο DFT και ονοµάζονται παράγοντες στροφής (twiddle factors). Στο Σχήµα.6 φαίνεται η µιγαδική αναπαράσταση των W και αναδεικνύεται η κυκλική ιδιότητα των παραγόντων στροφής για ένα DFT 8 σηµείων ( = 8). Η µετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας και αντιστρόφως, µε τη βοήθεια του ζεύγους των µετασχηµατισµών Fourier (εξισώσεις. και.), απεικονίζεται στο Σχήµα.7. W nk W 6 8 W 5 8 W X(k)=Σx(n)W nk n= DFT W 8 W 8 = x(n) X(k) W 3 8 =-W 7 8 W 8 =-W 6 8 W 8 =-W 5 8 x(n)= IDFT - ΣX(k)W -nk k= Ì.6 Παράγοντες στροφής για ένα DFT 8 σηµείων (Ν = 8). Ì.7 Σχηµατική αναπαράσταση της µετάβασης από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας και αντιστρόφως µε χρήση του ζεύγους DFT. Αποδεικνύεται πολύ εύκολα από τους ορισµούς του ζεύγους DFT, ότι οι ακολουθίες x(n) και X(k) είναι περιοδικές µε περίοδο Ν, δηλαδή x(n + ) =x(n) για όλα τα n (.) X(k + ) =X(k) για όλα τα k (.5)

18 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ KEºA AIO : A À π ÀÃ Ú ÂÈÁÌ. Να υπολογισθεί ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier της ακολουθίας {,,, }. Λύση: Η ακολουθία x(n) αποτελείται από τέσσερα δείγµατα (Ν =), τα εξής: x() =, x() =, x() =, x(3) =. Με βάση τη σχέση (.) υπολογίζουµε τις τέσσερις συνιστώσες της συχνότητας: n 3 X() = x( nw ) = x( ) W + x() W + x( ) W + x( 3) W = = x( ) + x( ) ( j) + x( ) ( ) + x( 3) j = + ( j) + ( ) + j = j j j π π όπου W = e = e = cos jsin = j = j π j jπ W = e = e = cosπ jsinπ = 3 n 3 X( ) = x( nw ) = x( ) W + x( ) W + x( ) W + x( 3) W = n= = x( ) + x( ) + x( ) + x( 3) = = 3 n= π3 π 3π j j 3 3π 3π W = e = e = cos jsin = j( ) = j Όµοια αποδεικνύεται ότι X() = και X(3) = + j. Παρατηρήστε ότι η συνιστώσα µηδενικής συχνότητας X() ισούται πάντοτε µε το άθροισµα όλων των στοιχείων της ακολουθίας x(n). Άρα ο DFT της ακολουθίας {,,, } ισούται µε τη µιγαδική ακολουθία {, j,, + j}. Για να είναι πιο κατανοητή η αναπαράσταση του αποτελέσµατος, συνηθίζεται να εκφράζουµε τους µιγαδικούς αριθµούς µε το µέτρο και τη φάση τους. Έτσι, ο DFT που µόλις υπολογίσαµε, εκφράζεται ως π, e,, e π π j j. Οι γραφικές παραστάσεις της ακολουθίας x(n) και του αντίστοιχου DFT X(k), φαίνονται στο Σχήµα.8.

19 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 69. π ƒ π ª Ã ª π ª FOURIER 69 x(n) X(k) n 3 (α) 3 k (β) X(k) - π π 3 k Ì.8 (α) Η ακολουθία x(n) και (β) το µέτρο και η φάση του DFT αυτής. ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË.6 Να υπολογιστεί ο DFT της µοναδιαίας κρουστικής. ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË.7 A, n=,,..., Να υπολογιστεί ο DFT της σταθερής ακολουθίας xn ( ) =, αλλού À π π À π Η περιοδική επέκταση της πεπερασµένου µήκους ακολουθίας x(n), n, ανά Ν δείγµατα, οδηγεί στην περιοδική ακολουθία x p( n) = x( n q ) q = (.6) µε βασική περίοδο Ν, όπως φαίνεται στα Σχήµατα.9α,β για Ν =6. Η ολίσθηση (µετατόπιση) της περιοδικής ακολουθίας x p (n) κατά n δείγµατα προς τα δεξιά, θα µας δώσει µία άλλη περιοδική ακολουθία ' x ( n) = x ( n n ) = x( n n q ) p Η πεπερασµένου µήκους ακολουθία x' p ( n), n x' ( n) =, αλλού p q= (.7) (.8)

20 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 7 7 KEºA AIO : A À π ÀÃ συνδέεται µε την αρχική ακολουθία x(n) µέσω της κυκλικής ολίσθησης. Στο Σχήµα.9γ φαίνεται η ακολουθία x' p (n) =x p (n n ) για n = και στο Σχήµα.9δ η πεπερασµένου µήκους ακολουθία x'(n) ( = 6). Γενικά, η κυκλική ολίσθηση µιας ακολουθίας µπορεί να παρασταθεί µε τη βοήθεια των υπολοίπων (modulo) ως x'(n) =x(<n n > ) (.9) όπου ο συµβολισµός <m > διαβάζεται ως m modulo και σηµαίνει το υπόλοιπο της διαίρεσης του m δια του Ν. Για n > (κυκλική ολίσθηση προς τα δεξιά), η σχέση αυτή σηµαίνει ότι xn ( n + ) για n=,, K, n x( < n n > ) = xn ( n) για n= n, K, (.3) Η κυκλική ολίσθηση κατά n, όπου n > Ν, ισοδυναµεί µε την κυκλική ολίσθηση κατά < n >. Για το παράδειγµα της ακολουθίας x(n)={,,3,,5,6} του Σχήµατος.9, η κυκλική ολίσθηση κατά δύο θα µας δώσει την ακολουθία x'(n)=x(<n > 6 ) = {5,6,,,3,}. Ο υπολογισµός της κυκλικά ολισθηµένης ακολουθίας x'(n) σύµφωνα µε τον ορισµό (.3) έχει ως εξής: x'() = x( < > 6 )=x( + 6) = x() = 5 x'() = x( < > 6 )=x( + 6) = x(5) = 6 x'() = x( < > 6 )=x() = x'(3) = x( < 3 > 6 )=x() = x'() = x( < > 6 )=x() = 3 x'(5) = x( < 5 > 6 )=x(3) = Συµπεραίνουµε, εποµένως, ότι η κυκλική ολίσθηση µιας ακολουθίας Ν σηµείων ισοδυναµεί µε τη γραµµική ολίσθηση της περιοδικής της επέκτασης. Ένας παραστατικός τρόπος, για την κατανόηση της κυκλικής ολίσθησης µιας πεπερασµένου µήκους ακολουθίας, είναι αυτός της τοποθέτησης των στοιχείων της στην περιφέρεια ενός κύκλου, όπως φαίνεται στο Σχήµα.9ε για την ακολουθία x(n) έξι στοιχείων. Τα στοιχεία τοποθετούνται σε ισαπέχοντα σηµεία στην περιφέρεια ενός κύκλου και µε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ωρολογίου (αριστερόστροφα). Κυκλική ολίσθηση κατά n σηµαίνει την ολίσθηση όλων των στοιχείων κατά n θέσεις αριστερόστροφα ή δεξιόστροφα, ανάλογα µε το αν το n είναι θετικό ή αρνητικό αντίστοιχα. Στο Σχήµα.9στ φαίνεται η x(<n > 6 ), η οποία προέκυψε από την x(n) του Σχήµατος.9ε µε κυκλική ολίσθηση αριστερόστροφα κατά n =.

21 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 7. π ƒ π ª Ã ª π ª FOURIER 7 x(n) (α) 3 5 n 6 x p (n) (β) n 3 x p (n ) (γ) n x'(n)=x(<n > 6 ) (δ) Ì (ε) 3 5 n (στ) 5 Κυκλική ολίσθηση ακολουθίας: (α) αρχική ακολουθία, (β) περιοδική επέκταση της αρχικής, (γ) γραµµική ολίσθηση της περιοδικής ακολουθίας, (δ) κυκλικά ολισθηµένη ακολουθία κατά δύο, (ε) η αρχική ακολουθία σε κύκλο, (στ) κυκλική ολίσθηση κατά δύο αριστερόστροφα.

22 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 7 7 KEºA AIO : A À π ÀÃ À π À π Η κυκλική συνέλιξη των ακολουθιών x (n) και x (n), n =,,,, ορίζεται ως x ( n) x ( n) = x ( m) x ( < n m> ), n=,, K, m= (.3) Παρατηρήστε ότι πρόκειται για µία νέα ακολουθία επίσης µήκους Ν, όσο δηλαδή και το µήκος καθεµιάς από τις αρχικές ακολουθίες, και όχι µήκους Ν, όπως θα συνέβαινε στην περίπτωση της γραµµικής συνέλιξης αυτών. Τα βήµατα για τον υπολογισµό της κυκλικής συνέλιξης είναι ίδια µε τα τέσσερα βήµατα που γνωρίσαµε κατά τον υπολογισµό της γραµµικής συνέλιξης (βλ. ενότητα.): αντιστροφή χρόνου(κατοπτρισµός) της µιας ακολουθίας, ολίσθηση της κατοπτρικής ακολουθίας, πολλαπλασιασµός των δύο ακολουθιών σηµείο προς σηµείο και άθροιση των γινοµένων. Η βασική διαφορά µεταξύ των δύο αυτών τύπων συνέλιξης, είναι ότι κατά την κυκλική συνέλιξη ο κατοπτρισµός και η ολίσθηση γίνονται µε κυκλικό τρόπο, υπολογίζοντας τους δείκτες της µιας ακολουθίας µε βάση την πράξη του υπολοίπου (modulo ). Στην περίπτωση της γραµµικής συνέλιξης, δεν υπάρχει η πράξη του υπολοίπου. Μπορούµε εύκολα να αποδείξουµε ότι η ιδιότητα της αντιµεταθετικότητας ισχύει και για την περίπτωση της κυκλικής συνέλιξης, δηλαδή x (n) x (n)=x (n) x (n) (.3) Αυτό σηµαίνει ότι οποιαδήποτε από τις δύο ακολουθίες υποστεί κατοπτρισµό και ολίσθηση, το αποτέλεσµα της κυκλικής συνέλιξης δεν αλλάζει. Ας δούµε στη συνέχεια ένα παράδειγµα υπολογισµού της κυκλικής συνέλιξης δύο ακολουθιών. Ú ÂÈÁÌ.5 Να υπολογισθεί η κυκλική συνέλιξη των ακολουθιών x (n)={,,3}, x (n)={,5,6}. Λύση: Ο υπολογισµός της κυκλικής συνέλιξης x 3 (n)=x (n) x (n) µε βάση τη σχέση (.3), µας υπαγορεύει την κυκλική ολίσθηση της κατοπτρικής της ακολουθίας x (m). Αυτό µπορεί να γίνει εύκολα µε την τοποθέτηση των ακολουθιών πάνω στις περιφέρειες δύο οµόκεντρων κύκλων, όπως φαίνεται στο Σχήµα.. Αρχικά οι δύο ακολουθίες τοποθετούνται πάνω στις περιφέρειες αριστερόστροφα (Σχήµα.α). Στη συνέχεια, βρίσκου- µε την κατοπτρική της ακολουθίας x (m), τοποθετώντας αυτή δεξιόστροφα, όπως φαίνεται στον εσωτερικό κύκλο του Σχήµατος.β. Ο εξωτερικός κύκλος παραµένει σταθερός, ενώ ο εσωτερικός περιστρέφεται κάθε φορά αριστερόστροφα κατά π/3 ή κατά

23 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 73. π ƒ π ª Ã ª π ª FOURIER 73 π/ν γενικά. Με κάθε περιστροφή κατά π/3, υπολογίζουµε τα αθροίσµατα των γινοµένων σύµφωνα µε τη σχέση (.3). Το αποτέλεσµα της κυκλικής συνέλιξης φαίνεται στο Σχήµα.ε. 5 x (m) x (m) 6 x (m) x (<-m>3) (α) x 3 ()= =3 (β) x (m) x (<-m>3) 5 x (m) x (<-m>3) x 3 ()= =3 x 3 ()= =8 (γ) x 3 (n)=x (n) x (n) (δ) {x 3 (n)}={3,3,8} n (ε).. π ÈfiÙËÙÂ ÙÔ È ÎÚÈÙÔ ÌÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌÔ Fourier Ì. Κυκλική συνέλιξη των ακολουθιών {,,3} και {,5,6} Ο DFT παρουσιάζει ορισµένες σηµαντικές ιδιότητες τις οποίες µπορούµε να αξιοποιήσουµε στις διάφορες εφαρµογές µας. Μερικές από τις ιδιότητες του DFT είναι ανάλογες µε τις αντίστοιχες του DTFT. Άλλες είναι διαφορετικές, γεγονός που οφείλεται στο πεπερασµένο µήκος των ακολουθιών και του DFT αυτών.

24 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 7 7 KEºA AIO : A À π Àà ƒªªπ Εάν DFT x ( n) X ( k) και DFT x ( n) X ( k) DFT τότε ax( n) + a x ( n) ax( k) + a X ( k) (.33) όπου a, a πραγµατικές ή µιγαδικές σταθερές. Η ιδιότητα της γραµµικότητας αποδεικνύεται πολύ εύκολα από τον ορισµό του DFT (σχέση.). À π π à Εάν DFT xn ( ) X ( k) kn τότε x( < n n > ) W X( k) (.3) DFT Η σχέση αυτή µας δείχνει ότι ο DFT της κυκλικά ολισθηµένης ακολουθίας έχει το ίδιο µέτρο µε την αρχική, αλλά διαφορετική φάση. ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË.8 Να υπολογισθεί ο DFT των ακολουθιών x (n) = {,,, } και x (n) = {,,, }. À π π Àà Εάν DFT xn ( ) X ( k) k n τότε W x( n) X( < k k > ) (.35) Με άλλα λόγια, ο πολλαπλασιασµός της ακολουθίας x(n) µε την εκθετική ακολουθία e j π k n του DFT αυτής. À π À π DFT, ισοδυναµεί µε την κυκλική ολίσθηση στη συχνότητα, κατά k µονάδες, Εάν DFT x ( n) X ( k) και DFT x ( n) X ( k) DFT τότε x ( n) x ( n) X ( k) X ( k) (.36) Η κυκλική συνέλιξη δύο ακολουθιών στο πεδίο του χρόνου, ισοδυναµεί µε τον πολλαπλασιασµό των αντίστοιχων DFT αυτών.

25 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 75. π ƒ π ª Ã ª π ª FOURIER 75 Να επαληθευτεί η ιδιότητα της κυκλικής συνέλιξης για την περίπτωση των ακολουθιών του Παραδείγµατος.5. ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË.9 π ª À À πø Εάν DFT x ( n) X ( k) και DFT x ( n) X ( k) DFT τότε x n x n ( ) ( ) (.37) X ( k ) X ( k ) Πρόκειται ουσιαστικά για τη διττή έκφραση της προηγούµενης ιδιότητας, και επαληθεύεται έτσι το γεγονός ότι ο πολλαπλασιασµός δύο ακολουθιών στο πεδίο του χρόνου αντιστοιχεί στην κυκλική συνέλιξη των DFT αυτών. øƒ ª À PARSEVAL Εάν DFT xn ( ) X ( k) τότε xn ( ) = X( k (.38) ) n= k = Το θεώρηµα του Parseval εκφράζει τη διατήρηση της ενέργειας κατά τη µετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. Με άλλα λόγια, το άθροισµα των τετραγώνων των τιµών των δειγµάτων ισούται µε τη µέση τιµή των τετραγώνων των φασµατικών γραµµών. Η αναπαράσταση των X(k) ονοµάζεται φάσµα ισχύος της x(n). Παρατηρούµε ότι το φάσµα ισχύος εξαρτάται µόνο από το µέτρο του φάσµατος και όχι από τη φάση του. Να επαληθευτεί το θεώρηµα του Parseval για το σήµα x(n) = {,,3}. ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË.

26 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ KEºA AIO : A À π ÀÃ Ο πλήρης κατάλογος των ιδιοτήτων του DFT παρουσιάζεται στον Πίνακα.3. Ó Î.3 Ιδιότητες του DFT Ιδιότητα Ακολουθία µήκους Ν DFT Ν σηµείων x (n) x (n) X (k) X (k) Γραµµικότητα a x (n) +a x (n) a X (k)+a X (k) Κυκλική µετατόπιση στο χρόνο x(<n n > Ν ) kn W X( k) Κυκλική µετατόπιση στη συχνότητα kn W x( n) X( <k k > Ν ) Συζυγής ακολουθία x * (n) X * (< k > Ν ) Κατοπτρισµός στο χρόνο x(< n > Ν ) X * (k) Κυκλική συνέλιξη x (n) x (n) [] X (k)x (k) Πολλαπλασιασµός Συζυγής συµµετρία για πραγµατικά σήµατα Θεώρηµα του Parseval x (n)x (n) x(n) πραγµατική n= xn ( ) = X( k) k = X( m) X ( k m ) < > m= * X( k) = X ( < k > ) Re{ X( k)} = Re{ X( < k > )} Im{ X( k)} = Im{ X( < k > )} X( k) = X( < k > ) X( k) = X( < k > ) [] x (n) x (n)= x ( m) x (<n m > ) m=

27 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 77. π ƒ π ª Ã ª π ª FOURIER Ú ÌÌÈÎ Û Ó ÏÈÍË Ì Ûˆ ÙÔ DFT Είδαµε στην προηγούµενη υποενότητα ότι το γινόµενο δύο DFT είναι ισοδύναµο µε την κυκλική συνέλιξη των αντιστοίχων ακολουθιών στο χρόνο. Η κυκλική συνέλιξη όµως δε φαίνεται να µας είναι χρήσιµη στην πράξη, αφού για τον υπολογισµό της απόκρισης y(n) ενός γραµµικού συστήµατος, πρέπει να βρούµε τη γραµµική συνέλιξη της εισόδου x(n) µε την κρουστική απόκριση h(n) αυτού, δηλαδή y(n) = x(n)*h(n) (ενότητα.). Μάλιστα, εάν L είναι το µήκος της ακολουθίας x(n) και M το µήκος τα ακολουθίας h(n), τότε το µήκος της ακολουθίας y(n) θα ισούται µε L + M. Από τις ιδιότητες του DTFT (ενότητα.), γνωρίζουµε ότι F j j j ω ω ω yn ( ) = xn ( )* hn ( ) Ye ( ) = Xe ( ) He ( ) (.39) Άρα, εάν θέλουµε να ανακατασκευάσουµε την y(n) από τα δείγµατα του φάσµατος της Y(e jω ) σε διακριτές συχνότητες, θα πρέπει να πάρουµε τουλάχιστον L + M δείγ- µατα στη συχνότητα. Συνεπώς, απαιτείται ένας DFT µήκους L + M, για την αναπαράσταση της ακολουθίας y(n) στο πεδίο του χρόνου. Έτσι, jω jω jω εάν Y( k) Y(e ) ω π = X(e ) H(e ) ω π, k =,,, = k/ = k/ τότε Y(k)=X(k)H(k), k =,,, (.) όπου X(k), H(k) οι DFT Ν σηµείων των ακολουθιών x(n), h(n) αντίστοιχα. Επειδή οι ακολουθίες x(n) και h(n) έχουν µήκος µικρότερο από Ν, προσθέτουµε στοιχεία µηδενικής τιµής σε καθεµιά από αυτές, έτσι ώστε το µήκος τους να γίνει ίσο µε Ν (zero padding). Αυτή η αύξηση του µήκους των ακολουθιών δεν επηρεάζει τα φάσµατά τους X(e jω ) και Y(e jω ), τα οποία είναι συνεχή. Απλώς, αυτό που έχουµε επιτύχει µε το να πάρουµε Ν δείγµατα στη συχνότητα, (υπολογίζοντας τους DFT µήκους Ν), είναι να αυξήσουµε το πλήθος των δειγµάτων, τα οποία αντιπροσωπεύουν τις ακολουθίες αυτές στο πεδίο της συχνότητας, πέρα από το ελάχιστο πλήθος (L και M αντίστοιχα). Ο Ν σηµείων DFT, όπου Ν = L + M, της ακολουθίας εξόδου y(n), είναι αρκετός για την αναπαράσταση της y(n) στο πεδίο των συχνοτήτων. Κατά συνέπεια, και ο πολλαπλασιασµός των Ν σηµείων DFT X(k) και H(k), σύµφωνα µε τη σχέση (.) και ο επακόλουθος Ν σηµείων ΙDFT του γινοµένου, θα µας δώσει την ακολουθία y(n) (Βλ. Σχήµα.). Κατ αναλογία, στο πεδίο του χρόνου αυτό σηµαίνει πως η Ν σηµείων κυκλική συνέλιξη των x'(n) και h'(n) ισοδυναµεί µε τη γραµµική συνέλιξη των x(n) (µήκους L) και h(n) (µήκους M). Με άλλα λόγια, αυξάνοντας το µήκος των ακολουθιών x(n) και h(n) σε Ν (προσθέτοντας στο τέλος καθεµιάς στοιχεία µηδενικής τιµής) και εκτελώντας την κυκλική συνέλιξη των ακολουθιών που προκύπτουν,

28 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ KEºA AIO : A À π ÀÃ παίρνουµε το ίδιο αποτέλεσµα µε εκείνο που θα παίρναµε, εάν εκτελούσαµε τη γραµ- µική συνέλιξη των αρχικών ακολουθιών. Εποµένως, ο DFT µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό της γραµµικής συνέλιξης, εφαρµόζοντας αυτόν στις ακολουθίες που έχουν κατάλληλα επιµηκυνθεί. Ì. Γραµµική συνέλιξη στο πεδίο της συχνότητας x'(n) h'(n) DFT DFT X(k) H(k) X(k) H(k) IDFT y(n) = x(n)*h(n) Ú ÂÈÁÌ.6 Χρησιµοποιήστε το ζεύγος του DFT για τον υπολογισµό της εξόδου ενός συστήµατος µε κρουστική απόκριση h(n) = {,,, } στο οποίο εφαρµόζεται είσοδος x(n) = {5,, 3,, }. Λύση Η ακολουθία εισόδου έχει µήκος L = και η κρουστική ακολουθία έχει µήκος M = 5. Η γραµµική συνέλιξη των δύο αυτών ακολουθιών θα µας δώσει την ακολουθία εξόδου y(n) µήκους Ν = L + M = 8. Εποµένως, το µήκος του DFT θα πρέπει να είναι (τουλάχιστον) οχτώ. Επιµηκύνουµε τις ακολουθίες x(n) και h(n), ώστε καθε- µιά να αποκτήσει µήκος ίσο µε οχτώ, προσθέτοντας στοιχεία µηδενικής τιµής, και στη συνέχεια υπολογίζουµε τον DFT των νέων ακολουθιών. Οι ακολουθίες που προκύπτουν είναι x'(n) = {5,, 3,,,,, } και h'(n) = {,,,,,,, }. Ο 8 σηµείων DFT της εισόδου x'(n) ισούται µε X k x n e j π kn /8 ( ) = '( ), k =,,, 7 και εποµένως: X() = 5 X() = 3 X() = 5, j7, X(5) =,6 + j, 7 n= X() = 3 j X(6) = 3 + j X(3) =,6 j, X(7) = 5, + j7, Ο 8 σηµείων DFT της κρουστικής h'(n) ισούται µε H k h n e j π ( ) '( ) kn /8 =, k =,,, 7 και εποµένως: 7 n=

29 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 79. π ƒ π ª Ã ª π ª FOURIER 79 H() = H() = H() = 3, j7,5 H() = 3 j3 H(5) =, j,6 H(6) = 3 + j3 H(3) =, + j,6 H(7) = 3, + j7,5 Το γινόµενο των δύο αυτών DFT στοιχείο προς στοιχείο θα µας δώσει την Y(k): Y() = 5 Y() = Y() = 37,68 j63, Y() = 5 j3 Y(5) =,3 j,59 Y(6) = 5 + j3 Y(3) =,3 + j,59 Y(7) = 37,68 + j63, H απόκριση y(n) προκύπτει από τον 8 σηµείων IDFT της Y(k) ως 7 yn ( ) = Y( ke ) j π kn 8 k = /8, n =,,, 7 και τελικά y(n)={5,5,39,35,5,5,6,}. Σηµειώστε ότι στο ίδιο αποτέλεσµα θα καταλήξουµε αν εκτελέσουµε την κυκλική συνέλιξη απευθείας στο πεδίο του χρόνου, όπως έγινε στο Παράδειγµα.5, τοποθετώντας τις µήκους οχτώ σηµείων ακολουθίες x'(n) και h'(n) στις περιφέρειες κύκλων, περιστρέφοντας και προσθέτοντας τα γινόµενα. Να υπολογίσετε την απόκριση ενός συστήµατος µε κρουστική h(n)={,, 3} για είσοδο x(n) = {3,, 5, } χρησιµοποιώντας DFT και IDFT των οχτώ σηµείων. ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË... DFT Û ÌÔÚÊ appleèó ÎˆÓ Ο DFT Ν σηµείων (εξίσωση.) µπορεί να θεωρηθεί και ως γραµµικός µετασχη- µατισµός ενός διανύσµατος Ν διαστάσεων στο χρόνο σε ένα Ν διαστάσεων διάνυσµα στη συχνότητα. Έστω x το διάνυσµα των Ν στοιχείων της ακολουθίας x(n), x =[x() x() x( )] T (.) όπου ο εκθέτης Τ υποδηλώνει τον ανάστροφο πίνακα, X το διάνυσµα των Ν συντελεστών X(k) Χ =[X() X() X(Ν )] T (.)

30 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 8 8 KEºA AIO : A À π ÀÃ και W ο DFT πίνακας W W W W W W W = W W W ( ) ( ) ( )( ) (.3) όπου W j π = e η Ν οστή ρίζα της µονάδας. Ο πίνακας W είναι συµµετρικός. Με βάση αυτούς τους ορισµούς, ο DFT µπορεί να εκφρασθεί σε µορφή πινάκων ως: X = Wx (.) Θεωρούµε ότι ο αντίστροφος του W υπάρχει και είναι ο W, οπότε πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη της σχέσης µε W παίρνουµε x=w X (.5) Όµως, η σχέση (.) του IDFT εκφράζεται σε µορφή πινάκων ως: x = (/)W*X (.6) όπου W* ο συζυγής µιγαδικός του W. Συγκρίνοντας τις δύο τελευταίες σχέσεις µπορούµε να συµπεράνουµε ότι W = (/)W* (.7) και, κατά συνέπεια, WW*=I (.8) όπου Ι ο µοναδιαίος πίνακας διαστάσεων Ν Ν. Εποµένως, ο πίνακας W είναι ένας ορθογώνιος (unitary) πίνακας. Από τις σχέσεις αυτές γίνεται σαφές ότι για τον υπολογισµό του DFT απαιτούνται Ν µιγαδικοί πολλαπλασιασµοί και Ν(Ν ) µιγαδικές προσθέσεις (λαµβάνοντας υπόψη τους πολλαπλασιασµούς ακόµη και µε τη µονάδα). Όµως, αφού ο πίνακας W είναι συµµετρικός, οι µισές τιµές αυτού είναι ίδιες µε τις άλλες µισές. Επιπλέον, οι τιµές αυτές είναι οι Ν ρίζες της µονάδας, και από αυτές οι µισές είναι αντίθετες των άλλων. Αυτό µπορεί να γίνει φανερό αν γράψουµε τον πίνακα W για Ν =8, όπως φαίνεται στο Σχήµα.. Ο πίνακας αυτός προέκυψε µε τη βοήθεια του Σχήµατος

31 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 8. π ƒ π ª Ã ª π ª FOURIER 8.6. Παρατηρούµε ότι υπάρχουν µόνο τέσσερις διαφορετικές τιµές στον πίνακα αυτό. Αξιοποιώντας, εποµένως, τη συµµετρία και την περιοδικότητα των τιµών του πίνακα, µπορούµε να απαλείψουµε τον πλεονασµό. Έτσι, µπορούµε να καταλήξουµε σε τεχνικές υπολογισµού του DFT µε αρκετά λιγότερες πράξεις, δηλαδή, καταλήγου- µε σ έναν ταχύ µετασχηµατισµό Fourier (fast Fourier transform, FFT), όπως θα δούµε στην ενότητα.3. n k a j b a j b j j j j 3 b j a b j a a j b j j b j a a j b j j b j a Ì. Ο πίνακας W για Ν =8 j j ( a =, b = +, j = ) Ú ÂÈÁÌ.7 Να υπολογιστεί ο DFT της ακολουθίας x(n) = {,,, }. Λύση Η ακολουθία x(n) είναι µήκους τέσσερα, οπότε πρέπει να υπολογίσουµε τον πίνακα W για Ν =. Αξιοποιώντας την περιοδικότητα και τη συµµετρία ( W + / = W ) των τιµών του πίνακα έχουµε W W W W W = W W W W W W W W W W W W = W W W = j j W W W W 3 W W j j k k Άρα, X = Wx = j. + j Όπως ήταν φυσικό, το αποτέλεσµα αυτό συµφωνεί µε εκείνο του Παραδείγµατος..

32 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 8 8 KEºA AIO : A À π ÀÃ ÓÔ Ë ÂÓfiÙËÙ Στην ενότητα αυτή γνωρίσαµε το διακριτό µετασχηµατισµό Fourier, δηλαδή το µετασχηµατισµό που εφαρµόζεται σε ακολουθίες πεπερασµένου µήκους. Αυτός είναι ο µετασχηµατισµός που χρησιµοποιείται στην πράξη στην επεξεργασία σηµάτων µε υπολογιστή. Είδαµε ότι για ένα σήµα Ν δειγµάτων, προκύπτουν Ν δείγµατα στη συχνότητα. Πρόκειται για ένα περιοδικό διακριτό φάσµα. Γνωρίσαµε επίσης την έννοια της κυκλικής ολίσθησης ενός σήµατος. Είδαµε ότι η κυκλική συνέλιξη δύο σηµάτων διακριτού χρόνου, µήκους L και M αντίστοιχα, µπορεί να δώσει το ίδιο αποτέλεσµα µε τη γραµµική συνέλιξη αυτών, µόνο αφού επεκτείνουµε τα αρχικά σήµατα µε επιπλέον στοιχεία µηδενικής τιµής, ώστε να αποκτήσουν µήκος τουλάχιστον ίσο µε L + M το καθένα, και αφού υπολογίσουµε την κυκλική συνέλιξη των νέων, µεγαλύτερου µήκους, ακολουθιών. Τέλος, διαπιστώσαµε για µία ακόµα φορά, ότι κατά τη µετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας η ενέργεια διατηρείται (θεώρηµα Parseval)..3 T ÌÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌfi Fourier (FFT) Ο ταχύς µετασχηµατισµός Fourier (fast Fourier transform, FFT) δεν είναι τίποτε άλλο παρά ένας αποδοτικός αλγόριθµος για τον υπολογισµό του DFT. Στην πράξη, δεν υπάρχει µόνο ένας αλγόριθµος, αλλά πλήθος από διαφορετικoύς αλγόριθµους που επιτυγχάνουν το σκοπό αυτό. Οι διαφορές τους βρίσκονται κυρίως στο πλήθος και στο είδος των πράξεων καθώς και στο µέγεθος της απαιτούµενης µνήµης. Όλοι όµως, έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό: χρειάζονται µόνο (Ν/) log µιγαδικούς πολλαπλασιασµούς για τον υπολογισµό ενός DFT Ν σηµείων. Εµείς θα αναφερθούµε στον αλγόριθµο των Cooley Tukey, ο οποίος προτάθηκε το 965 και ο οποίος έδωσε µία πραγµατικά εντυπωσιακή ώθηση στην ψηφιακή επεξεργασία σηµάτων. Ο αλγόριθ- µος αυτός µπορεί να εφαρµοστεί σε σήµατα αποτελούµενα από Ν δείγµατα, όπου Ν = m, δηλαδή πρόκειται για έναν αλγόριθµο βάσης (radix ), όπως αυτός ονοµάζεται. Αρχικά, η ακολουθία των Ν στοιχείων εισόδου x(n) χωρίζεται σε δύο ακολουθίες µήκους Ν/ η καθεµία, τις x(n) και x(n + ), αποτελούµενες από στοιχεία µε άρτιους και περιττούς δείκτες, αντίστοιχα. Έτσι, ξεκινώντας από τον ορισµό του DFT (εξίσωση.) έχουµε: n= n= n= nk nk ( n+ ) k X( k) = x( nw ) = x( nw ) + x( n+ ) W = nk nk k = x( nw ) + W x( n+ ) W n= n= (.9)

33 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 83.3 T ÃÀ ª Ã ª π ª FOURIER (FFT) 83 nk Όµως W = e = e / = W π π j nk j nk nk / οπότε η τελευταία σχέση γίνεται: k ή X( k) X ( k)+ W X ( k) (.5) Παρατηρούµε ότι ο υπολογισµός των Ν σηµείων του X(k) έχει εκφραστεί ως άθροισµα δύο DFTs µε πλήθος σηµείων Ν/ ο καθένας, εκ των οποίων ο ένας πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί nk k X( k) = x( nw ) + W x( n+ ) W W k / n = X( k) X( k) n = 3. Αυτός ο πολλαπλασιασµός ήταν αναµενόµενος, αν σκεφθούµε ότι η ακολουθία των περιττών δεικτών είναι ολισθηµένη κατά ένα δείγµα ως προς την αρχή του χρόνου, οπότε µε βάση την ιδιότητα της κυκλικής ολίσθησης στο χρόνο, αυτό συνεπάγεται πολλαπλασιασµό επί στο πεδίο της συχνότητας. n k+ = k + Λαµβάνοντας υπόψη µας ότι W W k nk = και W W,η σχέση (.5) = για k ίσο µε k +(Ν/) γίνεται: k X k + = X( k) W X( k) (.5) Κατά συνέπεια, έχουµε επιτύχει µέχρι το σηµείο αυτό, να εκφράσουµε τον αρχικό DFT των Ν σηµείων ως συνδυασµό δύο άλλων DFTs µισού µήκους ο καθένας. Ας ξαναγράψουµε τις δύο τελευταίες σχέσεις, προσέχοντας όµως αυτή τη φορά, ότι τα n, k κυµαίνονται µεταξύ και (Ν/) και όχι µεταξύ και Ν, όπως είχαµε ξεκινήσει: W k nk / 3 k X( k) = X ( k) + W X ( k) k X k + = X( k) W X( k) (.5) (.53) όπου k =,,., Ν/. Ο υπολογισµός των τιµών αυτών µπορεί να γίνει συνδυαστικά εκτελώντας µόνο ένα πολλαπλασιασµό. Παραστατικά, η διαδικασία αυτή δίνεται µε τη βοήθεια της λεγό- µενης πεταλούδας (butterfly) του Σχήµατος.3. Πρόκειται ουσιαστικά, για τον υπολογισµό ενός DFT σηµείων. Στο πάνω δεξί άκρο της πεταλούδας έχουµε την πρόσθεση των αριθµών που καταλήγουν σ αυτό, ενώ στο κάτω δεξί άκρο εκτελούµε την αφαίρεση των ίδιων αριθµών.

34 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 8 8 KEºA AIO : A À π ÀÃ X (k) X(k)=X (k)+w kx (k) Ì.3 Βασική πεταλούδα σηµείων X (k) W k - X(k+/)=X (k) W kx (k) Γραφικά, η µέχρι τώρα ανάλυση του DFT δίνεται στο Σχήµα.α για την περίπτωση που έχουµε οχτώ δείγµατα (Ν =8). Γίνεται σαφές ότι ο υπολογισµός του Ν σηµείων DFT έχει αναχθεί στον υπολογισµό δύο DFTs Ν/ σηµείων ο καθένας και στον τελικό συνδυασµό των αποτελεσµάτων τους. Η διαδικασία ανάλυσης που ακολουθήθηκε προηγουµένως µπορεί να συνεχιστεί και για τους δύο νέους DFTs των Ν/ σηµείων. Έτσι, χωρίζουµε και πάλι σε άρτια και περιττά και ακολουθώντας την ίδια τακτική καταλήγουµε στο διάγραµµα του Σχήµατος.β. Αυτή η διαδικασία ανάλυσης (αποδεκατισµού) συνεχίζεται µέχρις ότου καταλήξουµε στον υπολογισµό DFT σηµείων (Σχήµα.γ). Αυτό θα γίνει µετά από m στάδια, όπου m =log Ν. Το συνολικό διάγραµµα ροής ενός FFT οχτώ σηµείων φαίνεται στο Σχήµα.δ. x() X () 3ο Στάδιο X() x() X () X() x() DFT σηµείων X () X() x(6) X (3) X(3) Ì. ιαγράµµατα ροής FFT οχτώ σηµείων: (α) (γ) τα τρία διαδοχικά στάδια ανάπτυξης του αλγορίθµου, (δ) το συνολικό διάγραµµα ροής x() x(3) x(5) x(7) DFT σηµείων X () X () X () X (3) W 8 W 8 W 8 W X() X(5) X(6) X(7) (α)

35 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 85.3 T ÃÀ ª Ã ª π ª FOURIER (FFT) 85 ο Στάδιο x() X () X () x() DFT σηµείων X () X () x() x(6) x() x(5) DFT σηµείων DFT σηµείων X () X () X () X () W 8 W X () X (3) X () X () x(3) x(7) DFT σηµείων X () X () W 8 W 8 (β) - - X () X (3) ο Στάδιο x() X () x() X () W - 8 x() X () x(6) x() W 8 - X () X () x(5) x(3) W 8 - X () X () x(7) W 8 (γ) - X ()

36 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ KEºA AIO : A À π ÀÃ x() o Στάδιο o Στάδιο 3 o Στάδιο X() x() W 8 - X() x() W 8 - X() x(6) W 8 W X(3) Ì. x() W 8 - X() ιαγράµµατα ροής FFT οχτώ σηµείων: (α) (γ) τα τρία διαδοχικά στάδια ανάπτυξης του αλγορίθµου, (δ) το συνολικό διάγραµµα ροής x(5) x(3) x(7) W 8 W W 8 W W 8 W W X(5) X(6) X(7) (δ) Από το Σχήµα.δ µπορούµε να παρατηρήσουµε ότι: Η διάταξη των δειγµάτων εξόδου (συντελεστών) είναι κανονική, δηλαδή X(), X(),,X(7), ενώ η διάταξη των δειγµάτων εισόδου (δεδοµένων) είναι µη κανονική, x(), x(), x(), x(6), x(), x(5), x(3), x(7). Η µη κανονική αυτή διάταξη των δειγ- µάτων εισόδου είναι αποτέλεσµα της σταδιακής αποσύνθεσης των δειγµάτων εισόδου (πεδίο χρόνου), που εφαρµόσαµε κατά την ανάπτυξη του αλγορίθµου. Αυτή η διαδικασία αποσύνθεσης ονοµάζεται αποδεκατισµός στο χρόνο (decimation in time, DIT). H διάταξη των στοιχείων εισόδου δεν είναι τυχαία, αλλά προκύπτει από την κανονική διάταξη των δειγµάτων µε αντιστροφή της σειράς των δυαδικών ψηφίων των δεικτών τους (bit reversal). Η πλήρης αντιστοίχιση των κανονικών και των αναδιαταγµένων δεικτών για Ν = 8 δίνεται στον Πίνακα..

37 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 87.3 T ÃÀ ª Ã ª π ª FOURIER (FFT) 87 Ó Î. Κανονική διάταξη και διάταξη που προκύπτει από αντιστροφή της σειράς των δυαδικών ψηφίων για Ν =8 Κανονική διάταξη ιάταξη από αντιστροφή της σειράς των bits εκαδικός υαδικός υαδικός εκαδικός Ένα ενδιαφέρον στοιχείο του FFT που µόλις αναπτύξαµε, είναι η δυνατότητα εκτέλεσης των υπολογισµών στις ίδιες θέσεις µνήµης (in place). εν απαιτείται, δηλαδή, επιπλέον χώρος για την αποθήκευση των ενδιάµεσων αποτελεσµάτων. Από το Σχήµα., µπορούµε να παρατηρήσουµε ότι σε κάθε στάδιο, οι έξοδοι µπορούν να αποθηκεύονται στις ίδιες θέσεις µνήµης, όπου ήταν αποθηκευµένες οι είσοδοι του σταδίου εκείνου. Τέλος, το πλέον ουσιαστικό στοιχείο του FFT είναι η µειωµένη υπολογιστική πολυπλοκότητά του, δηλαδή, το συνολικό πλήθος πράξεων (πολλαπλασιασµών και προσθέσεων). Γενικεύοντας την περίπτωση του Σχήµατος.δ µπορούµε να δούµε ότι ο υπολογισµός του FFT Ν δειγµάτων (Ν = m ) γίνεται σε m στάδια (m =log ). Σε κάθε στάδιο έχουµε Ν/ πεταλούδες, δηλαδή, (Ν/) log πεταλούδες συνολικά. Από το Σχήµα.δ διαπιστώνουµε ότι για τον υπολογισµό κάθε πεταλούδας απαιτείται ένας µιγαδικός πολλαπλασιασµός και δύο µιγαδικές προσθέσεις. Έτσι, ο σηµείων FFT απαιτεί (Ν/) log µιγαδικούς πολλαπλασιασµούς και Ν log µιγαδικές προσθέσεις. Είδαµε στην παράγραφο.., ότι για τον απευθείας υπολογισµό του σηµείων DFT, απαιτούνται Ν µιγαδικοί πολλαπλασιασµοί και Ν( ) µιγαδικές προσθέσεις. Κατά συνέπεια, το κέρδος σε πράξεις και άρα σε χρόνο υπολογισµού, είναι πολύ µεγάλο, όπως φαίνεται στον Πίνακα.5 για διαφορετικό πλήθος δειγµάτων.

38 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ KEºA AIO : A À π ÀÃ Ενδεικτικά αναφέρεται ότι για Ν = το κέρδος αυτό γίνεται µεγαλύτερο του διακόσια, δηλαδή ο χρόνος υπολογισµού µειώνεται τουλάχιστον κατά δύο τάξεις µεγέθους. Ó Î.5 Μιγαδικοί πολλαπλασιασµοί για τον υπολογισµό του DFT και του FFT DFT FFT Λόγος Μιγαδικών Πλήθος Μιγαδικών Πλήθος Μιγαδικών Πολλαπλασιασµών Πολλαπλασιασµών Πολλαπλασιασµών (#DFT / #FFT) , , 3 8, , , , , , , , ,3 Θα πρέπει να τονιστεί ότι ο FFT αλγόριθµος, που µόλις αναπτύχθηκε, εφαρµόζεται µόνο για πλήθος δειγµάτων που είναι δύναµη του δύο (radix ). Το γεγονός αυτό αποτελεί άλλωστε και τον περιορισµό του FFT, δηλαδή ότι δεν µπορεί να εφαρµοστεί, έτσι όπως παρουσιάστηκε εδώ, για τυχαίο πλήθος σηµείων όπως ο DFT. Υπάρχουν πολλοί FFT αλγόριθµοι στη διεθνή βιβλιογραφία οι οποίοι αξιοποιούν τα διαφορετικά χαρακτηριστικά της εισόδου και επιτυγχάνουν υψηλότερες επιδόσεις. Έτσι, συναντούµε αλγορίθµους που εφαρµόζονται µόνο για πλήθος σηµείων που είναι δυνάµεις του τέσσερα (radi x ), ή αλγορίθµους µόνο για πραγµατικές εισόδους (real valued), ή αλγορίθµους για πλήθος σηµείων που είναι πρώτοι αριθµοί

39 Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 89 YOæH KEºA AIOY 89 (prime length). Η προηγούµενη ανάλυση βασίστηκε στoν αποδεκατισµό στο χρόνο (DIT). Με παρό- µοιο τρόπο θα µπορούσαµε να επιχειρήσουµε αποδεκατισµό στη συχνότητα (decimation in frequency, DIF) καταλήγοντας σ έναν FFT αλγόριθµο (Sande Tukey, 966), ο οποίος έχει την ίδια υπολογιστική πολυπλοκότητα µε τον αντίστοιχο DIT αλγόριθµο. Χαρακτηριστικό του DIF αλγορίθµου είναι ότι οι πολλαπλασιασµοί στις πεταλούδες γίνονται µετά την άθροιση των εισόδων και ότι τα δείγµατα εισόδου είναι σε κανονική διάταξη, ενώ τα δείγµατα εξόδου σε µη κανονική διάταξη (bit reversed). Υπενθυµίζεται τέλος, ότι ο FFT δεν αποτελεί κάποιο νέο µετασχηµατισµό Fourier, αλλά µία αποδοτική αλγοριθµική µέθοδο για τον υπολογισµό του DFT. ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË. Πόσοι µιγαδικοί πολλαπλασιασµοί απαιτούνται για την υλοποίηση της γραµµικής συνέλιξης δύο ακολουθιών µήκους Ν η καθεµιά, όπου Ν δύναµη του δύο; Υπολογίστε τη γραµµική συνέλιξη (α) απευθείας στο πεδίο του χρόνου, (β) µέσω του πεδίου της συχνότητας µε χρήση του DFT και (γ) µέσω του πεδίου της συχνότητας µε χρήση του FFT. Καταστρώστε πίνακα ο οποίος να δείχνει το πλήθος των πράξεων συναρτήσει του αριθµού των σηµείων Ν. Για ποιες τιµές του Ν µας συµφέρει να υπολογίσουµε τη γραµµική συνέλιξη µέσω του FFT και όχι απευθείας; ÓÔ Ë ÂÓfiÙËÙ Στην ενότητα αυτή γνωρίσαµε τον ταχύ µετασχηµατισµό Fourier. Αναπτύξαµε τον αλγόριθµο αποδεκατισµού στο χρόνο για την περίπτωση που το πλήθος των σηµείων είναι δύναµη του δύο. Είδαµε ότι υπάρχουν πολλοί αλγόριθµοι για τον ταχύ υπολογισµό του DFT, η υπολογιστική πολυπλοκότητα των οποίων, είναι της τάξεως του Ν log Ν και όχι του Ν, όπως συµβαίνει µε τον απευθείας υπολογισµό του DFT.

AÓ Ï ÛË ÛÙÔ appleâ Ô ÙË Û ÓfiÙËÙ

AÓ Ï ÛË ÛÙÔ appleâ Ô ÙË Û ÓfiÙËÙ Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.96) /7/3 :3 ÂÏ 5 AÓ Ï ÛË ÛÙÔ appleâ Ô ÙË Û ÓfiÙËÙ ÎÔapplefi Το αντικείµενο του παρόντος κεφαλαίου είναι η περιγραφή του σήµατος στο πεδίο της συχνότητας. Η θεώρηση των σηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

DFT ιακριτός µετ/σµός Fourier Discrete Fourier Transform

DFT ιακριτός µετ/σµός Fourier Discrete Fourier Transform DFT ιακριτός µετ/σµός Fourier Discrete Fourier Transform Νοέµβριος 5 ΨΕΣ Ορισµοί O διακριτός µετασχηµατισµός Fourier DFT, αναφέρεται σε µία πεπερασµένου µήκους ακολουθία σηµείων και ορίζεται ως εξής: X(

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT -7- Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT (discrete time Fourier transform) 3.. Εισαγωγικά. 3.. Είδη µετασχηµατισµών Fourier Με την ονοµασία Μετασχηµατισµοί Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM 1/ 80. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ DFT-FFT Σ.

Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM 1/ 80. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ DFT-FFT Σ. Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRASFORM / x X x X x X x 3 x DFT X 3 X x 5 X 5 x 6 X 6 x 7 X 7 / DFT - Ορισμοί αναφέρεται σε μία πεπερασμένου μήκους ακολουθία σημείων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΔΙΑΛΕΞΗ 1 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Διαφορετικοί Τύποι Μετασχηµατισµού Fourier Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603)

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 10: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT)

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστική Ιανουαρίου 2007 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα»

Εξεταστική Ιανουαρίου 2007 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα» Εξεταστική Ιανουαρίου 27 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα» Θέµα 1 ο (3%) Έστω δύο διακριτά σήµατα: x(n) = {1,,, -1} και h(n) = {1,, 1} µε το πρώτο δείγµα να αντιστοιχεί σε n= και για τα δύο. Υπολογίστε τα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη Διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT discrete cosine transform Η σχέση αποτελεί «πυρήνα»

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2004., η οποία όµως µπορεί να γραφεί µε την παρακάτω µορφή: 1 e

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2004., η οποία όµως µπορεί να γραφεί µε την παρακάτω µορφή: 1 e ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 AΣΚΗΣΗ () [ ] (.5)

Διαβάστε περισσότερα

FFT. εκέµβριος 2005 ΨΕΣ 1

FFT. εκέµβριος 2005 ΨΕΣ 1 FFT εκέµβριος 5 ΨΕΣ Ορισµοί O διακριτός µετασχηµατισµός Fourier DFT, αναφέρεται σε µία πεπερασµένου µήκους ακολουθία σηµείων και ορίζεται ως εξής: και ο αντίστροφος µετασχηµατισµός (inverse DFT) : όπου:

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 6: Απόκριση Συχνότητας Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου Η έννοια της Απόκρισης Συχνότητας Ιδιότητες της Απόκρισης

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε δει το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ DFT-FFT. Σ.

Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ DFT-FFT. Σ. Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRASFORM x x x IDFT X X X x 3 x 4 DFT X 3 X 4 x 5 X 5 x 6 X 6 x 7 X 7 DFT - Ορισμοί αναφέρεται σε μία πεπερασμένου μήκους ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΤΑΧΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΤΑΧΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΤΑΧΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

X(e jω ) = x[n]e jωn (1) x[n] = 1. T s

X(e jω ) = x[n]e jωn (1) x[n] = 1. T s Αναπαράσταση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας Ο Μετασχηματισμός Fourier Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes

Διαβάστε περισσότερα

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ . ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει μια γενική εικόνα του τι είναι σήμα και να κατατάξει τα διάφορα σήματα σε κατηγορίες ανάλογα με τις βασικές ιδιότητες τους. Επίσης,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x h γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής x µπορεί να θεωρηθεί ως ένας αλγόριθµος υπολογισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

x[n] = e u[n 1] 4 x[n] = u[n 1] 4 X(z) = z 1 H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + 4z 2 ) z 2 (βʹ) H(z) = H min (z)h lin (z) 4 z 1 1 z 1 (z 1 4 )(z 1) (1)

x[n] = e u[n 1] 4 x[n] = u[n 1] 4 X(z) = z 1 H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + 4z 2 ) z 2 (βʹ) H(z) = H min (z)h lin (z) 4 z 1 1 z 1 (z 1 4 )(z 1) (1) Ασκήσεις με Συστήματα στο Χώρο του Ζ Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 7 Νοεμβρίου 015 1. Υπολόγισε τον μετ. Ζ και την

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 11: Εφαρμογές DFT Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (FFT) Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Υπολογισμός Γραμμικής Συνέλιξης

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier 1. Ανάπτυγμα σήματος σε Σειρά Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις για το µάθηµα Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων

Επαναληπτικές Ασκήσεις για το µάθηµα Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων Άσκηση η α) Πώς θα µετρήσετε πρακτικά πόσο κοντά είναι ένα σήµα σε λευκό θόρυβο; Αναφέρατε 3 διαφορετικές µεθόδους (κριτήρια) για την απόφαση: "Ναι, πρόκειται για σήµα που είναι πολύ κοντά σε λευκό θόρυβο"

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός Fourier

Ο μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 1. Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 2. Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER - ΣΕΙΡΑ FOURIER

ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER - ΣΕΙΡΑ FOURIER ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER - ΣΕΙΡΑ FOURIER Για το σύνολο των ορθογωνίων αναλογικών εκθετικών περιοδικών σημάτων, για =, ±, ±, ±3, παρατηρούμε ότι m, T m d T,, m m T m Τα εκθετικά σήματα,, =, ±, ±,...,

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 22: Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με το ΔΜΦ

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 22: Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με το ΔΜΦ HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 22: Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με το ΔΜΦ Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Το ζεύγος εξισώσεων που ορίζουν το

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 06-7 Παρουσίαση Νο. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα # Βασικοί ορισμοί () Κάθε εικόνα είναι ένα δισδιάστατο (-D) σήμα. Αναλογική εικόνα: x t, t,

Διαβάστε περισσότερα

y[n] ay[n 1] = x[n] + βx[n 1] (6)

y[n] ay[n 1] = x[n] + βx[n 1] (6) Ασκήσεις με το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 8 Οκτωβρίου 015 1. Εστω το

Διαβάστε περισσότερα

ªÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌfi z. ÚÔÛ ÔÎÒÌÂÓ appleôùâï ÛÌ Ù

ªÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌfi z. ÚÔÛ ÔÎÒÌÂÓ appleôùâï ÛÌ Ù Îfi Ú. ÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË (ÛÂÏ.296) /7/23 2:23 ÂÏ 93 ªÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌfi z ÎÔapplefi Οι µετασχηµατισµοί αποτελούν ένα από τα σηµαντικότερα εργαλεία στην ανάλυση σηµάτων και LTI συστηµάτων. Στο παρόν Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER Ανάλυση σημάτων και συστημάτων Ο μετασχηματισμός Fourier (DTFT και DFT) είναι σημαντικότατος για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων Εντοπίζει

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος

Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός aplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος A R B i( ) i

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier 1. Ορισμός του Μετασχηματισμού Fourier 2. Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x h γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής x µπορεί να θεωρηθεί ως ένας αλγόριθµος υπολογισµού

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 1: Σήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Σήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή Διαφορές Αναλογικής Ψηφιακής Επεξεργασίας Παραγωγή Ψηφιακών

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x h γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής x µπορεί να θεωρηθεί ως ένας αλγόριθµος υπολογισµού

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 8: Μετασχηματισμός Ζ Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Z Μετασχηματισμός Ζ (Ζ-Transform) Χρήσιμα Ζεύγη ΖT και Περιοχές Σύγκλισης (ROC) Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier 1. Μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier DFT

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier DFT ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier DFT Διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT discrete cosine transform Η σχέση αποτελεί «πυρήνα»

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο της επεξεργασίας σήματος αλλά και συχνή αιτία πονοκεφάλου για όσους πρωτοασχολούνται

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

20-Φεβ-2009 ΗΜΥ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

20-Φεβ-2009 ΗΜΥ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier ΗΜΥ 429 8. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Μετασχηματισμός Fourier 4 κατηγορίες: Μετασχηματισμός Fourier: σήματα απεριοδικά και συνεχούς χρόνου Σειρά Fourier: σήματα περιοδικά και συνεχούς χρόνου Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ Κυκλική Συνέλιξη. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ Κυκλική Συνέλιξη. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ Κυκλική Συνέλιξη Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Διακριτού Χρόνου Σειρές Fourier Περιοδική Επέκταση Σήµατος Πεπερασµένης Χρονικής Διάρκειας.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Εκθετική Ορισμοί & Ιδιότητες Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουµε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηµατισµό Fourier µιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουµε στην εξίσωση ανάλυσης. Υπολογίζουµε εύκολα την απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Τρεις ισοδύναμες μορφές: () = = = = Σειρές Fourier j( 2π ) t Τ.. x () t FS a jω0t xt () = ae =

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 009-0 Παρουσίαση Νο. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα # Βασικοί ορισμοί () Κάθε εικόνα είναι ένα δισδιάστατο (-D) σήμα. Αναλογική εικόνα: x α Ψηφιακή

Διαβάστε περισσότερα

Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας. Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης

Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας. Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης Επεξεργασία στο πεδίο της συχνότητας Φασματικές τεχνικές Γενικά Τεχνικές αναπαράστασης και ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1/ 45

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1/ 45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform / 45 Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους μετασχηματισμών α Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

x[n] = x[n] = e j(k+rn)ωon = cos(k 2π N n + r2πn) + jsin(k 2π N n + r2πn) = cos(k 2π N n) + jsin( 2π N x[n] e j 2π N n = e j(k r) 2π N n = (2.

x[n] = x[n] = e j(k+rn)ωon = cos(k 2π N n + r2πn) + jsin(k 2π N n + r2πn) = cos(k 2π N n) + jsin( 2π N x[n] e j 2π N n = e j(k r) 2π N n = (2. Πανεπιστημιο Κυπρου Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων ΗΜΥ 22: Σηματα και Συστηματα για Μηχανικους Υπολογιστων Κεφάλαιο 4: Σειρές Fourier σε διακριτά περιοδικά σήματα!"#!"#! "#$% Σημειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER (H ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος ΨΕΣ Η Επεξεργασία Σήµατος µέσω της ψηφιοποίησής του και της επεξεργασίας µε ηλεκτρονικό υπολογιστή ή ειδικά ολοκληρωµένα κυκλώµατα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 6 Nv 6 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ανάπτυξη σε Σειρές Furier Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 3 η Τα Συστήματα στις Τηλεπικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Σειρές Fourier: Προσέγγιση Οι Σειρές Fourier μπορούν να αναπαραστήσουν μια πολύ μεγάλη κλάση περιοδικών

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1 Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Δισδιάστατα σήματα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 3: Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή στα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ταξινόμηση Συστημάτων ΔΧ

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1: Χρήση ψηφιακών φίλτρων για επεξεργασία σηµάτων συνεχούς χρόνου

Σχήµα 1: Χρήση ψηφιακών φίλτρων για επεξεργασία σηµάτων συνεχούς χρόνου ΜΑΘΗΜΑ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ 6. Εισαγωγή Τα φίλτρα είναι µια ειδική κατηγορία ΓΧΑ συστηµάτων τα οποία τροποποιούν συγκεκριµένες συχνότητες του σήµατος εισόδου σε σχέση µε κάποιες άλλες. Η σχεδίαση ψηφιακών

Διαβάστε περισσότερα

x[n]z n = ) nu[n]z n z 1) n z 1 (5) ( 1 z(2z 1 1]z n +

x[n]z n = ) nu[n]z n z 1) n z 1 (5) ( 1 z(2z 1 1]z n + ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος Χειµερινό Εξάµηνο 6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού - Γ. Καφεντζής εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ηµεροµηνία Ανάθεσης : //6 Ηµεροµηνία

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα ΙΙ

Σήματα και Συστήματα ΙΙ Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 2: Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου (DTFT) Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ BESSEL-THOMSON

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ BESSEL-THOMSON ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ BESSELTHOMSON 4. ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΦΑΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ Η χρονική καθυστέρηση συµβαίνει κατά την µετάδοση σε διάφορα φυσικά µέσα και αποτελεί ένα βασικό στοιχείο στην επεξεργασία

Διαβάστε περισσότερα

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Περιοδικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικά αναπτύγματα

2.1 Περιοδικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικά αναπτύγματα Σειρές Fourier. Σειρές Fourier. Περιοδικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικά αναπτύγματα Μία συνάρτηση f() είναι περιοδική με περίοδο όταν ισχύει f(+)=f(). Η ελάχιστη δυνατή περίοδος λέγεται και θεμελιώδης

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Πολυµέσων. Δρ. Μαρία Κοζύρη Π.Μ.Σ. «Εφαρµοσµένη Πληροφορική» Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

Επεξεργασία Πολυµέσων. Δρ. Μαρία Κοζύρη Π.Μ.Σ. «Εφαρµοσµένη Πληροφορική» Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Π.Μ.Σ. «Εφαρµοσµένη Πληροφορική» Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Ενότητα 0: Εισαγωγή στο µάθηµα 2 Διαδικαστικά Παράδοση: Παρασκευή 16:00-18:30 Διδάσκων: E-mail:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z. χρόνου και εξηγήσουµε έννοιες όπως περιοχή σύγκλισης, πόλος και µηδενικό.

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z. χρόνου και εξηγήσουµε έννοιες όπως περιοχή σύγκλισης, πόλος και µηδενικό. 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε τον µετασχηµατισµό και τον µονόπλευρο µετασχηµατισµό και να περιγράψουµε τις βασικές διαφορές τους. περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ανάπτυξη σε Σειρές Furier Αθανάσιος Κανάτας

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού Χρόνου - DTFT. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 1

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού Χρόνου - DTFT. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 1 Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού Χρόνου - DTFT Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 1 Γενικά Μορφές Μετασχηµατισµού Fourir Σήµατα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους µετασχηµατισµών α Μετασχηµατισµός Fourir FT β Σειρά

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ 4.. ΣΥΝΕΛΙΞΗ Στην προηγούµενη παράγραφο εισαγάγαµε την ιδέα της συνέλιξης από τα συµφραζόµενα των γραµµικών συστηµάτων. Σ' αυτήν την παράγραφο ορίζουµε τη συνέλιξη σαν µια πράξη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ / 46 Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1 / 55

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1 / 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform / 55 Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους μετασχηματισμών α Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Γραμμικά Φίλτρα 1. Ιδανικά Γραμμικά Φίλτρα Ιδανικό Κατωδιαβατό Φίλτρο Ιδανικό Ανωδιαβατό Φίλτρο Ιδανικό Ζωνοδιαβατό

Διαβάστε περισσότερα

FFT. Θα επικεντρωθούμε στο ΔΜΦ αλλά όλα ισχύουν και για τον

FFT. Θα επικεντρωθούμε στο ΔΜΦ αλλά όλα ισχύουν και για τον University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 5 και Ανάλυση με (Κεφ. 9.0-9.5, 10.0-10.2) ΟΔΜΦ Ο αντίστροφος ΔΜΦ Θα επικεντρωθούμε στο ΔΜΦ αλλά όλα ισχύουν και για τον αντίστροφο ΔΜΦ

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform / 55 2 / 55 3 / 55 Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους μετασχηματισμών

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος

Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος Εργαστήριο 3 Εισαγωγή στα Σήματα Αλέξανδρος Μανουσάκης Τι είναι σήμα; Ως σήμα ορίζουμε το σύνολο των τιμών που λαμβάνει μια ποσότητα (εξαρτημένη μεταβλητή) όταν αυτή μεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. στο χώρο της συχνότητας

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. στο χώρο της συχνότητας HMY 49: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου στο χώρο της συχνότητας Μιγαδικά εκθετικά σήματα και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER x(t+kτ) = x(t) = π/ω f = / x(t) = = 8 c j t e ω c = (a-jb ) Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c. Αυτός γίνεται κατορθωτός αν

Διαβάστε περισσότερα

2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier

2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier 2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο µετασχηµατισµός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήµατα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου. Ο µετασχηµατισµός αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτός Μετασχηµατισµός

ιακριτός Μετασχηµατισµός Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -6- ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier DFT (Discrete Fourier Transform) 5. Ορισµός O διακριτός µετασχηµατισµός Fourier DFT, µίας ακολουθίας σηµείων ορίζεται ως εξής: X() =

Διαβάστε περισσότερα