Στοχαστικές Διαδικασίες (έμφαση στις σ.δ. διακριτού χρόνου)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Στοχαστικές Διαδικασίες (έμφαση στις σ.δ. διακριτού χρόνου)"

Transcript

1 Στοχαστικές Διαδικασίες (έμφαση στις σ.δ. διακριτού χρόνου) Εισαγωγικές Έννοιες για το μάθημα Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες

2 Τυχαίες Μεταβλητές: Ορισμοί Θεωρούμε το πείραμα της ρίψης ενός νομίσματος. Το πείραμα έχει δύο πιθανές εκβάσεις (αποτελέσματα): Κ = "κορόνα" Γ = "γράμματα" Θεωρούμε ότι οι δύο εκβάσεις του πειράματος είναι ισοπίθανες, δηλαδή το νόμισμα μπορεί να δώσει Κ ή Γ με την ίδια πιθανότητα. Έστω ότι καταμετρούμε τα συνεχή αποτελέσματα ρίψης του νομίσματος. Για παράδειγμα, ρίχνουμε το νόμισμα Ν φορές, και έστω ότι μετράμε Ν Κ φορές κορόνα και Ν Γ φορές γράμματα. N Για μεγάλο αριθμό Ν αναμένουμε: K N N N Πιθανότητα εμφάνισης Κ ή Γ : Pr K 0.5 Pr 0.5

3 Τυχαίες Μεταβλητές: Ορισμοί Ονομάζουμε το σύνολο όλων των πειραματικών αποτελεσμάτων ως δειγματικό χώρο (sample space) και συμβολίζουμε Ω: K, Pr 1 Κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου ονομάζεται ενδεχόμενο (event) και το συμβολίζουμε ως ω. Ένα υποσύνολο που περιλαμβάνει μόνο ένα στοιχείο ονομάζεται στοιχειώδες ενδεχόμενο (elementary event). Ο δειγματικός χώρος καλείται και βέβαιο ενδεχόμενο. K 1 Εάν ένας δειγματικός χώρος αποτελείται από n στοιχεία, τότε το πλήθος των υποσυνόλων είναι n : { },{ K},{ Γ},{ K, Γ}

4 Τυχαίες Μεταβλητές: Ορισμοί Ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή ως εξής: όταν το αποτέλεσμα του πειράματος είναι Κ, θέτουμε, ενώ όταν είναι Γ, θέτουμε. R 1 K 1 f Δηλαδή, ορίσαμε μια αντιστοίχηση (συνάρτηση) των στοιχείων του δειγματικού χώρου Ω και ενός υποσυνόλου των πραγματικών αριθμών. 1 { K} f( ) 1 { } R Pr Pr επιπλέον Pr 0, όπου 1, και Pr 1 1

5 Τυχαίες Μεταβλητές: Ορισμοί Άρα, για την τυχαία μεταβλητή, έχουμε ως πεδίο ορισμού ένα δειγματικό χώρο, π.χ., και ως πεδίο τιμών ένα υποσύνολο των πραγματικών K, R 1 αριθμών, π.χ.. Επειδή, ο δειγματικός χώρος αποτελείται από διακριτά ενδεχόμενα και, η τυχαία μεταβλητή ονομάζεται διακριτή τυχαία μεταβλητή. Επιπλέον, παρατηρούμε ότι ο χαρακτηρισμός μιας τυχαίας μεταβλητής δίνεται στατιστικά μέσω της ανάθεσης πιθανοτήτων (νόμος πιθανότητας) στις τιμές της μεταβλητής. Δηλαδή, ο νόμος πιθανοτήτων είναι ένας κανόνας, ο οποίος αντιστοιχίζει έναν αριθμό (πιθανότητα) σε κάθε συμβάν. Ένας νόμος πιθανότητας πρέπει να ικανοποιεί τα παρακάτω αξιώματα: A A Pr 0 Pr 1 Pr A A Pr A Pr A A, A : A A

6 Τυχαίες Μεταβλητές: Ορισμοί Συνήθως, δεν ενδιαφερόμαστε μόνο να χαρακτηρίσουμε στατιστικά κάποια συμβάντα, αλλά κυρίως να περιγράψουμε με έναν πιθανοτικό τρόπο (συνάρτηση) μια τυχαία μεταβλητή. Δηλαδή ενδιαφερόμαστε για έναν πιθανοτικό νόμο, ο οποίος εφαρμόζεται κατευθείαν στην τυχαία μεταβλητή και όχι στα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου. Ορίζουμε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (probability distribution function): Για το παράδειγμα ρίψης νομίσματος: F a a ( ) Pr 0 a 1 F ( a) a a Ορίζουμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probability density function): d f( a) F( a) da 1 f ( a) dapr{ } 1 KB1

7 Τυχαίες Μεταβλητές: Μέσοι όροι Ονομάζουμε μέση (mean) ή αναμενόμενη (epected) τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής που λαμβάνει μια τιμή α k με πιθανότητα Pr a ως: k Για συνεχείς τ.μ. Pr E m a a k k k E af( a) da Η μέση τιμή μιας συνάρτησης g()της τυχαίας μεταβλητής είναι: Eg { ( )} gaf ( ) ( ada ) Ονομάζουμε μέση τετραγωνική τιμή (mean square value): E Ονομάζουμε διασπορά (variance) της τυχαίας μεταβλητής, ως τη μέση τετραγωνική τιμή της τυχαίας μεταβλητής y m : var( ) ( ) ( ) ( ) E m a m f a da

8 Τυχαίες Μεταβλητές: Μέσοι όροι Η τετραγωνική ρίζα της διασποράς ονομάζεται τυπική απόκλιση (standard deviation): Για τον τελεστή E, ισχύει η ιδιότητας της γραμμικότητας: Ea { by} ae { } bey { } var( ) E{( m) } E{ m m} E E E { } { m} { m} E{ } m E{} m E { } m μέση τετραγωνική τιμή

9 Τυχαίες Μεταβλητές: Από κοινού κατανομές Όταν εμπλέκονται περισσότερες από μία μεταβλητές, τότε είναι απαραίτητο να λάβουμε υπόψη τις στατιστικές εξαρτήσεις που υπάρχουν μεταξύ τους. Παράδειγμα: Έστω ότι έχουμε δύο τυχαίες μεταβλητές και y Ορίζουμε την από κοινού συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (joint probability distribution function): F, ( a, a ) Pr a, ya y y y Ορίζουμε την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (joint probability density function): f ( a, a ) F ( a, a ), y y, y y a ay

10 Τυχαίες Μεταβλητές: Από κοινού μέσοι όροι Ορίζουμε τη συσχέτιση (correlation) δύο τυχαίων μεταβλητών και y: ry E y Ορίζουμε τη συνδιασπορά (covariance) δύο τυχαίων μεταβλητών και y: c cov(, y) E ( m )( ym ) y y * cov( y, ) E( m)( ym) y E y m y m m m y m y E y E E y m r m m y y y m m y Αν m ή m y είναι μηδέν, τότε η συνδιασπορά ισούται με τη συσχέτιση.

11 Τυχαίες Μεταβλητές: Από κοινού μέσοι όροι Ορίζουμε το συντελεστή συσχέτισης (correlation coefficient) δύο τυχαίων μεταβλητών και y: cov( y, ) 1 y y y Γενικά ορίζουμε τις ποσότητες: Ροπές: E Κεντρικές ροπές: E ( m ) k k Από κοινού ροπές: Τάξη (order): k r E y k Κεντρικές ροπές: E ( m ) ( ym ) k r y r E Άρα, η μέση τιμή είναι ροπή πρώτης τάξης, η μέση τετραγωνική τιμή E είναι ροπή δεύτερης τάξης, η διασπορά E( m ) είναι κεντρική ροπή δεύτερης τάξης, η συνδιασπορά * είναι από κοινού κεντρική ροπή δεύτερης τάξης. E ( m )( ym ) y

12 Τυχαίες Μεταβλητές: Ανεξαρτησία, συσχέτιση και ορθογωνιότητα Όταν η τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής δεν εξαρτάται από την τιμή μιας άλλης τυχαίας μεταβλητής y, τότε οι τυχαίες μεταβλητές και y ονομάζονται στατιστικά ανεξάρτητες (statistically independent). Δύο τυχαίες μεταβλητές και y είναι στατιστικά ανεξάρτητες αν η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι διαχωρίσιμη ως εξής: fy, ( ab, ) f( a) f y( b) cov( y, ) r EEy { } { } 0 y Ey { } r EEy { } { } y cov( y, ) y y 0 Δύο τυχαίες μεταβλητές και y που ικανοποιούν την παραπάνω σχέση ονομάζονται ασυσχέτιστες (uncorrelated).

13 Τυχαίες Μεταβλητές: Ανεξαρτησία, συσχέτιση και ορθογωνιότητα Δύο τυχαίες μεταβλητής που είναι στατιστικά ανεξάρτητες είναι ασυσχέτιστες. Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει. Για τις ασυσχέτιστες τυχαίες μεταβλητές ισχύει η ιδιότητα: var( y) var( ) var( y) Δύο τυχαίες μεταβλητές και y ονομάζονται ορθογώνιες (orthogonal) αν έχουν μηδενική συσχέτιση: ry 0 Δύο τυχαίες μεταβλητές που είναι ορθογώνιες δεν είναι απαραίτητα ασυσχέτιστες. KB KB3 Δυο ασυσχέτιστες τυχαίες μεταβλητές, όπου η μία τουλάχιστον έχει μηδενική μέση τιμή είναι και ορθογώνιες.

14 Τυχαίες Μεταβλητές: Gaussian Μια τυχαία μεταβλητή ονομάζεται Gaussian ή κανονική (normal) τυχαία μεταβλητή όταν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι: 1 f( a) e ( am ) Η σ.π.π. ορίζεται πλήρως αν γνωρίζουμε τις τιμές m, και. y m όπου και είναι η μέση τιμή και η διασπορά αντίστοιχα. Δύο τυχαίες μεταβλητές ονομάζονται από κοινού Gaussian τυχαίες μεταβλητές όταν η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι: 1 fy, ( a, b) e 1 y y 1 ( am )( bm ) ( bm ) ( am ) y y y y y y (1 ) y όπου είναι ο συντελεστής συσχέτισης.

15 Τυχαίες Μεταβλητές: Gaussian Ιδιότητα: Αν και y είναι από κοινού Gaussian τυχαίες μεταβλητές, τότε για κάθε σταθερά a και b η τυχαία μεταβλητή είναι Gaussian με μέση τιμή και διασπορά: z aby m am bm z y a b ab z y y y cov(, y) Ιδιότητα: Αν δύο από κοινού Gaussian τυχαίες μεταβλητές και y είναι y 0 f ( ab, ) f ( a) f ( b) ασυσχέτιστες, δηλαδή, τότε είναι και στατιστικά ανεξάρτητες, δηλαδή. y y Ιδιότητα: Αν και y είναι από κοινού Gaussian τυχαίες μεταβλητές, τότε ο βέλτιστος μη γραμμικός εκτιμητής για το y, δηλαδή, ο οποίος ελαχιστοποιεί το μέσο τετραγωνικό σφάλμα είναι ένας ŷ a b γραμμικός εκτιμητής:. yˆ g( ) E{( yyˆ ) }

16 Τυχαίες Μεταβλητές: Gaussian f ( ) a probability density function var=1 var= m 5

17 Τυχαίες Διαδικασίες: Ορισμοί Ορίζουμε ως τυχαία διαδικασία (random process) ή στοχαστική διαδικασία (stochastic process) ή τυχαίο σήμα (random signal) μια συλλογή από σήματα, δηλαδή συναρτήσεις στο χρόνο, τα οποία αντιστοιχούν σε διαφορετικά αποτελέσματα ενός πειράματος. { } M i i1 Δηλαδή, δοθέντος ενός δειγματικού χώρου, σε κάθε συμβάν t (; i ) αντιστοιχεί ένα σήμα το οποίο έχει πιθανότητα. i Pr{ } i Παράδειγμα : Θεωρούμε το πείραμα ρίψης ενός ζαριού. Η έκβαση του πειράματος είναι ο αριθμός του ζαριού, συνεπώς. Θεωρούμε όλα τα αποτελέσματα ισοπίθανα, δηλαδή για κάθε i = 1,,3,4,5,6. Ορίζουμε την τυχαία διαδικασία: {1,, 3, 4, 5, 6} Pr i 1/ 6 1 t (; i) Asin( fct i) όπου i Pr{ i } i 6 i i

18 Τυχαίες Διαδικασίες: Ορισμοί amplitude phi=180 phi=90 phi=60 phi=45 phi=36 phi=30 t (; ) Asin( f t ) i c i -0.5 A 1; % amplitude (Volt) f c 100; % frequency (Hz) time

19 Τυχαίες Διαδικασίες: Ορισμοί t (; i ) Κάθε μια από τις συναρτήσεις ονομάζεται συνάρτηση δείγμα (sample function) ή πραγματοποίηση (realization) της τυχαίας διαδικασίας. Για κάθε χρονική στιγμή, έχουμε Ν διαφορετικές πιθανές τιμές. Οι τιμές αυτές συμβολίζονται γενικά και αποτελούν στην ουσία μια τυχαία μεταβλητή. Δηλαδή, σε κάθε χρονική στιγμή, η τιμή μιας τυχαίας διαδικασίας είναι μια τυχαία μεταβλητή. t 0 t ( ) 0 t ( ; i ) 0 Άρα, μια τυχαία διαδικασία είναι μια συλλογή από τυχαίες μεταβλητές., t ( ), t ( ), t ( ), t (), t D 0 1, και γενικά γράφουμε. Όταν αναφερόμαστε σε τυχαίες διαδικασίες διακριτού χρόνου το σύνολο D ταυτίζεται με το σύνολο των ακεραίων και γράφουμε. n ( ) n

20 Τυχαίες Διαδικασίες: Ορισμοί X (30) phi=180 phi=90 phi=60 phi=45 phi=36 phi=30 amplitude 0 X ( n) Asin( f nt ) c s -0.5 A 1; % amplitude (Volt) f c 100; % frequency (Hz) samples

21 Τυχαίες Διαδικασίες: Ορισμοί Συνεπώς, μια διακριτή τυχαία διαδικασία είναι μια αντιστοίχηση των στοιχείων ενός δειγματικού χώρου (εκβάσεις ενός πειράματος) σε μια συλλογή από σήματα διακριτού χρόνου (ακολουθίες διακριτών τυχαίων μεταβλητών). ( n) 1 1 f i ( n) i n ( 0) n ( 1) n ( )... ακολουθία τυχαίων μεταβλητών

22 Τυχαίες Διαδικασίες: Ορισμοί Σε κάθε τυχαία μεταβλητή της ακολουθίας αντιστοιχεί μια συνάρτηση κατανομής πιθανότητας και μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: ( ) Pr ( ) ( ) d Fn a n a fn ( )( a) Fn ( )( a) da Για να χαρακτηρίσουμε πλήρως την τυχαία διαδικασία χρειαζόμαστε την από κοινού συνάρτηση κατανομής (ή πυκνότητας) πιθανότητας: 0 1 F ( a, a,, a ) Pr ( n ) a, ( n ) a,, ( n ) a ( n ), ( n ),, ( n ) 0 1 N N N N Μας δίνει πληροφορία για το πως οι τυχαίες μεταβλητές αλληλοεξαρτώνται.

23 Τυχαίες Διαδικασίες: Μέσοι όροι συνόλων Ορίσαμε την τυχαία διαδικασία ως μια αριθμημένη ακολουθία τυχαίων n ( ) n μεταβλητών. Συνεπώς, για κάθε n μπορούμε να υπολογίσουμε τη n ( ) μέση τιμή και τη διασπορά της τυχαίας μεταβλητής. Ορίζουμε ως μέσο όρο της τυχαίας διαδικασίας την ντετερμινιστική ακολουθία: m ( ) { ( )} n E n Ορίζουμε ως διασπορά της τυχαίας διαδικασίας την ντετερμινιστική ακολουθία: ( n) E{[ ( n) m ( n)] } Παρατηρούμε ότι η μέση τιμή και η διασπορά εξαρτώνται από το n.

24 Τυχαίες Διαδικασίες: Μέσοι όροι συνόλων X (30) phi=180 phi=90 phi=60 phi=45 phi=36 phi=30 amplitude m ( ) { ( )} n E n samples

25 Τυχαίες Διαδικασίες: Μέσοι όροι συνόλων Ορίζουμε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (autocorrelation) μιας τυχαίας διαδικασίας: (, ) { ( ) r ( )} k l E k l Ορίζουμε τη συνάρτηση αυτοσυνδιασποράς (autocovariance) μιας τυχαίας διαδικασίας: c k l E k m k l m l * (, ) {[ ( ) ( )][ ( ) ( )]} c ( k, l) E{[ ( k) m ( k)][ ( l) m ( l)]} Ek {() () lk () m ( l) m ( k) () lm ( k) m ( l) } Ek { ( ) ( l)} Ek { ( )} m ( l) m ( k) E { ( l)} m ( km ) ( l) r ( k, l) m ( km ) ( l) Αν m (n) = 0, τότε η αυτοσυνδιασπορά ισούται με την αυτοσυσχέτιση.

26 Τυχαίες Διαδικασίες: Μέσοι όροι συνόλων Ορίζουμε τη συνάρτηση ετεροσυσχέτισης (cross-correlation) μεταξύ δύο τυχαίων διαδικασιών (n)και y(n): (, ) { ( ) r ( )} y k l E k y l Ορίζουμε τη συνάρτηση ετεροσυνδιασποράς (cross-covariance) μεταξύ δύο τυχαίων διαδικασιών (n)και y(n): c k l E k m k y l m l r ( k, l) m ( k) m ( l) * y(,) {[ ( ) ( )][ () y()]} y y (, ) 0 cy k l r ( k, l) m ( k) m ( l) Όταν, δηλαδή για κάθε k και l, τότε οι y y δύο τυχαίες διαδικασίες ονομάζονται ασυσχέτιστες (uncorrelated). r (, ) 0 y k l Όταν για κάθε k και l, τότε οι δύο τυχαίες διαδικασίες ονομάζονται ορθογώνιες (orthogonal).

27 Τυχαίες Διαδικασίες: Μέσοι όροι συνόλων Παράδειγμα : n ( ) un ( ) yn ( ) Θεωρούμε το σήμα (n) το οποίο παραμορφώνεται από προσθετικό θόρυβο u(n). Γενικά, ο θόρυβος μοντελοποιείται ως μια τυχαία διαδικασία. Επίσης, θεωρούμε ότι ο θόρυβος έχει μηδενική μέση τιμή και ότι είναι ασυσχέτιστος με το σήμα yn ( ) n ( ) un ( ) εισόδου (n). Η έξοδος είναι. r ( k, l) E{ y( k) y ( l)} E{[ ( k) u( k)][ ( l) u( l)] } y E{[ ( k) u( k)][ ( l) u ( l)]} E{ ( k) ( l) ( k) u ( l) u( k) ( l) u( k) u ( l)} E{() k ()} l E{() k u ()} l E{() u k ()} l E{() u k u ()} l r (, ) k l ru ( k, l) r ( k, l) m ( k) m ( l) 0 u u

28 Τυχαίες Διαδικασίες: Gaussian Έστω ένα διάνυσμα από N (πραγματικές) τυχαίες μεταβλητές: [,,, N ] 1 T Το διάνυσμα ονομάζεται Gaussian τυχαίο διάνυσμα και οι τυχαίες μεταβλητές n ονομάζονται από κοινού Gaussian τυχαίες μεταβλητές, αν η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι: f ( ) ( ) 1 N / C e 1 ( ) T 1 m C ( m ) T όπου m [ m είναι το διάνυσμα με στοιχεία τη μέση τιμή των 1, m,, m N ] τυχαίων μεταβλητών n, είναι ένας συμμετρικός πίνακας θετικά ορισμένος C με στοιχεία τις τιμές συνδιασποράς μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών n, ci, j E{( imi)( jmj)} C δηλαδή και είναι η ορίζουσα του πίνακα. Μια τυχαία διαδικασία διακριτού χρόνου ονομάζεται Gaussian,αν κάθε ακολουθία δειγμάτων (n) της τυχαίας διαδικασίας είναι από κοινού Gaussian τυχαίες μεταβλητές.

29 Τυχαίες Διαδικασίες: Στασιμότητα Η έννοια της στασιμότητας μιας τυχαίας διαδικασίας συνδέεται με την έννοια της "στατιστικής χρονικής σταθερότητας", δηλαδή όταν οι στατιστικές ιδιότητες ή οι μέσοι όροι συνόλων της τυχαίας διαδικασίας είναι ανεξάρτητες του χρόνου. Όταν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας τυχαίας διαδικασίας (n) είναι ανεξάρτητη του χρόνου, δηλαδή: f ( ) ( ) a n f ( a) f ( a), k n ( ) n ( k) τότε η διαδικασία ονομάζεται στάσιμη (stationary) διαδικασία πρώτης τάξης. m ( n) m και ( n)

30 Τυχαίες Διαδικασίες: Στασιμότητα Όταν η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι ανεξάρτητη του χρόνου, δηλαδή: f ( a, a ) f ( a, a ), k n ( ), n ( ) 1 n ( k), n ( k) f n ( ), n ( ) 1 1 ( a, a ) τότε η διαδικασία (n) ονομάζεται στάσιμη διαδικασία δεύτερης τάξης. r ( k, l) r ( k n, l n) E{ ( k) ( l)} E{ ( kn) ( ln)} r ( k, l) r ( n, n( kl)) r ( kl) Δηλαδή, η αυτοσυσχέτιση εξαρτάται μόνο από τη διαφορά k l ονομάζεται lag., η οποία Αν μία διαδικασία είναι στάσιμη δεύτερης τάξης, τότε είναι και πρώτης τάξης.

31 Τυχαίες Διαδικασίες: Στασιμότητα Παρατηρούμε ότι: r ( k, l) r ( kl,0) r ( kl) c ( k, l) r ( k, l) m ( k) m ( l) r ( kl) m ( k) m ( l) r ( kl) m m c ( kl) r ( k, l) r ( kn, ln) Ek {( n ) ( ln)} En { ( ) ( n( kl))} r ( kl) Η διαδικασία είναι στάσιμη ης τάξης. Συνεπώς, είναι και στάσιμη 1ης τάξης. Άρα και η συνδιασπορά εξαρτάται μόνο από το lag. c (0) r (0) m m E{ ( n) ( n)} m m E n m n { ( ) } ( )

32 Τυχαίες Διαδικασίες: Στασιμότητα Γενικά, ορίζουμε ότι μια διαδικασία είναι στάσιμη L τάξης όταν f ( a, a,, a ) f ( a, a,, a ), k n ( ), n ( ),, n ( ) 1 L n ( k), n ( k),, n ( k) 1 L 1 L 1 L Μία διαδικασία που είναι στάσιμη για όλες τις τάξεις L > 0, ονομάζεται Αυστηρά Στάσιμη (Stationary in the Strict Sense). Πολύ αυστηρή συνθήκη, που σπάνια συναντάται σε πρακτικά προβλήματα. Μία διαδικασία ονομάζεται Στάσιμη υπό την Ευρεία Έννοια (WSS: Wide Sense Stationary), αν ικανοποιούνται οι εξής τρεις συνθήκες: Η μέση τιμή είναι μία σταθερά, ανεξάρτητη του χρόνου: Η αυτοσυσχέτιση εξαρτάται μόνο από τη χρονική διαφορά Η διασπορά είναι πεπερασμένη: m ( n) r (, ) k l k l c (0) m

33 Τυχαίες Διαδικασίες: Στασιμότητα Παρατηρείστε ότι οι παραπάνω συνθήκες αφορούν στατιστικά πρώτης και δεύτερης τάξης μόνο. Για Gaussian τυχαίες διαδικασίες, η στασιμότητα υπό την ευρεία έννοια είναι ισοδύναμη με την αυστηρή στασιμότητα. Δύο τυχαίες διαδικασίες και y ονομάζονται από κοινού WSS αν κάθε μια είναι WSS και επιπλέον η συνάρτηση ετεροσυσχέτισης r ( εξαρτάται μόνο από y k, l ) τη διαφορά δηλαδή: k l r ( k, l) r ( kn, ln) r ( kl) y y y

34 Τυχαίες Διαδικασίες: Στασιμότητα Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μιας WSS διαδικασίας παρουσιάζει τις ακόλουθες ιδιότητες: r ( ) k Ιδιότητα 1: Συμμετρία r ( k) r ( k) Ιδιότητα : Μέση τετραγωνική τιμή r E n (0) { ( ) } 0 Ιδιότητα 3: Μέγιστη τιμή r ( k) r (0) Ιδιότητα 4: Περιοδικότητα Αν ισχύει για κάποια τιμή k 0, r ( k ) r (0) τότε η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι περιοδική με περίοδο k 0. 0

35 Τυχαίες Διαδικασίες: Πίνακας αυτοσυσχέτισης Έστω ένα σύνολο από παρατηρήσεις της τυχαίας διαδικασίας, δηλαδή έστω ότι λαμβάνουμε τις p+1 τιμές: (0), (1),, (p). Κατασκευάζουμε το διάνυσμα: p (0) (1) ( ) T Στη συνέχεια κατασκευάζουμε τον πίνακα: H H (0) (1) (0) (1) ( p) ( p) (0) (0) (0) (1) (0) ( p) (1) (0) (1) (1) (1) ( p) ( p ) (0) p ( ) (1) p ( ) ( p)

36 Τυχαίες Διαδικασίες: Πίνακας αυτοσυσχέτισης Θεωρούμε ότι η τυχαία διαδικασία είναι WSS: E { (0) (0)} E { (0) (1)} E { (0) ( p)} H E { (1) (0)} E { (1) (1)} E { (1) ( p)} E{ } Ep {( ) (0)} Ep {( ) (1)} Ep {( ) ( p)} r(0) r( 1) r( p) H r(1) r(0) r(1 p) E{ } r( p) r( p1) r(0) Ek {() ()} l r( k l)

37 Τυχαίες Διαδικασίες: Πίνακας αυτοσυσχέτισης r(0) r( 1) r( p) H r(1) r(0) r(1 p) E{ } r( p) r( p1) r(0) r ( n) r ( n) r ( n) r ( n) Ιδιότητα Hermitian συμμετρίας r (0) r(1) r() r ( p) r(1) r(0) r (1) r ( p 1) H E{ } r() r( 1) r(0) r ( p ) r ( p) r ( p1) r ( p) r (0) R Ο πίνακας R ονομάζεται πίνακας αυτοσυσχέτισης (autocorrelation matri).

38 Τυχαίες Διαδικασίες: Πίνακας αυτοσυσχέτισης Ομοίως ορίζουμε τον πίνακα αυτοσυνδιασποράς (autocovariance matri). m H C E{( m )( m ) } R m m H όπου είναι διάνυσμα p+1 θέσεων με στοιχεία τη μέση τιμή (σταθερά) της WSS διαδικασίας: m m m m Όταν η διαδικασία έχει μηδενική μέση τιμή ισχύει: C R

39 Τυχαίες Διαδικασίες: Πίνακας αυτοσυσχέτισης Ο πίνακας αυτοσυσχέτισης μιας WSS διαδικασίας έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: Ιδιότητα 1: Είναι Hermitian και Toeplitz. R r(0) r (1) r( p) r(1) r(0) r ( p 1) r( p) r( p 1) r(0) R H ( r (0)) ( r (1)) ( r ( p) ) r(0) r(1) r( p) ( r ( 1) ) ( r (0)) ( r ( p1) ) r(1) r(0) r( p 1) ( r ( )) ( ( 1) ) ( (0)) r ( ) ( 1) (0) p r p r p r p r r (0) r (0) R

40 Τυχαίες Διαδικασίες: Πίνακας αυτοσυσχέτισης r ( 0) r (1) r ( p1) r ( p) r (1) r (0) r ( p ) r ( p 1) R R Toep r(0) r(1) r ( p) r ( p1) r ( p ) r (0) r (1) r ( p) r ( p1) r (1) r (0) Ιδιότητα : Είναι μη αρνητικά ορισμένος: R 0 Ιδιότητα 3: Οι ιδιοτιμές του είναι πραγματικές και μη αρνητικές: k 0

41 Τυχαίες Διαδικασίες: Εργοδικότητα Η μέση τιμή και η αυτοσυσχέτιση μιας τυχαίας διαδικασίας αποτελούν στατιστικούς μέσους όρους που αναφέρονται σε όλες τις συναρτήσεις δείγματα (πραγματοποιήσεις) της διαδικασίας. Ωστόσο, στην πράξη έχουμε διαθέσιμο ένα σύνολο παρατηρήσεων από μία μόνο πραγματοποίηση της διαδικασίας, και από τις παρατηρήσεις αυτές καλούμαστε να εκτιμήσουμε τα παραπάνω μεγέθη. Έστω μια τυχαία διαδικασία για την οποία έχουμε μια συλλογή από L υλοποιήσεις, δηλαδή σήματα διακριτού χρόνου i (n)για i = 1,,,L. Στην περίπτωση αυτή θα μπορούσαμε να κάνουμε μια εκτίμηση της μέσης τιμής ως εξής: L 1 mˆ ( n) ( n) εξαρτάται από το n (και το L) L i 1 i

42 Τυχαίες Διαδικασίες: Εργοδικότητα ( n) 1 ( n) ( ) L n n 0 L 1 mˆ ( n ) ( n ) 0 i 0 L i 1

43 Τυχαίες Διαδικασίες: Εργοδικότητα Όταν όμως έχουμε διαθέσιμη μόνο μία πραγματοποίηση της τυχαίας διαδικασίας, η παραπάνω εκτίμηση δεν έχει νόημα. Επειδή, έχουμε διαθέσιμες Ν παρατηρήσεις της τυχαίας διαδικασίας, δηλαδή Ν δείγματα της συγκεκριμένης υλοποίησης, μια εκτίμηση της μέσης τιμής είναι η ακόλουθη: N 1 mˆ ( N) ( n) N n 1 εξαρτάται από το Ν n ( ) N Για να έχει νόημα ο εκτιμητής θα πρέπει η μέση τιμή της διαδικασίας να μην εξαρτάται από το n. Για παράδειγμα, αν η διαδικασία είναι WSS, τότε m ( n) είναι. m mˆ ( N)

44 Τυχαίες Διαδικασίες: Εργοδικότητα Το ερώτημα που δημιουργείται είναι αν ο μέσος όρος συγκλίνει στην πραγματική μέση τιμή. mˆ ( N) mˆ ( N) Αν ο δειγματικός μέσος όρος μιας WSS διαδικασίας συγκλίνει στην πραγματική μέση τιμή υπό την έννοια του μέσου τετραγώνου, τότε η διαδικασία καλείται εργοδική ως προς τη μέση τιμή (ergodic in the mean). ˆ lim E{ m( N) m } 0 N lim mˆ ( N) m N Ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ως άνω σύγκλιση (υπό την έννοια του μέσου τετραγώνου) είναι οι εξής (συνθήκες ενός συνεπή εκτιμητή ): Ο εκτιμητής να είναι ασυμπτωτικά αμερόληπτος: lim { mˆ ( N)} m N Η διασπορά της εκτίμησης να τείνει στο μηδέν καθώς : lim var( mˆ ( N)) 0 N N

45 Τυχαίες Διαδικασίες: Εργοδικότητα mˆ ( N) Από τον ορισμό του εκτιμητή προκύπτει ότι ο εκτιμητής είναι αμερόληπτος (άρα και ασυμπτωτικά αμερόληπτος). Αποδεικνύεται ότι: N 1 1 k var( mˆ ( N)) 1 c( k) N kn1 N Για να ισχύει και η δεύτερη συνθήκη αρκεί: N 1 1 k lim 1 c( k) 0 N N kn1 N Θεώρημα 1: Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι η WSS τυχαία διαδικασία (n) με συνάρτηση αυτοσυνδιασποράς c (k) εργοδική ως προς τη μέση τιμή είναι: N 1 1 lim c( k) 0 N N k0 Θεώρημα : Ικανές συνθήκες για να είναι η WSS τυχαία διαδικασία (n) με συνάρτηση αυτοσυνδιασποράς c (k) εργοδική ως προς τη μέση τιμή είναι: c (0) lim c ( k) 0 k

46 Τυχαίες Διαδικασίες: Εργοδικότητα Αντίστοιχα, θέλουμε να εξετάσουμε την εκτίμηση της αυτοσυσχέτισης για μια ( ) { ( ) r ( )} k E n n k WSS διαδικασία,. Θεωρούμε τον εκτιμητή: N 1 1 rˆ ( k, N) ( n) ( n k) N n0 rˆ ( k, N) Αν η εκτίμηση συγκλίνει στην πραγματική τιμή υπό την έννοια του μέσου τετραγώνου, τότε η διαδικασία καλείται εργοδική ως προς την αυτοσυσχέτιση (autocorrelation ergodic). r ( ) k ˆ lim E{ r( k, N) r( k) } 0 N ˆ lim r ( k, N) r ( k) N Θεώρημα 3: Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι η WSS Gaussian τυχαία διαδικασία (n) με συνάρτηση αυτοσυνδιασποράς c (k) εργοδική ως προς την αυτοσυσχέτιση είναι: 1 lim ( k) 0 N N N 1 c k0

47 Τυχαίες Διαδικασίες: Φάσμα ισχύος Ονομάζουμε φασματική πυκνότητα ισχύος (power spectral density) ή φάσμα ισχύος (power spectrum) μιας WSS τυχαίας διαδικασίας (n) το μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης: jk j P( e ) r( k) e k Το φάσμα ισχύος εκφράζει την κατανομή της ισχύος της τυχαίας διαδικασίας στις διάφορες συχνότητες. 1 j jk r( k) P( e ) e d

48 Τυχαίες Διαδικασίες: Φάσμα ισχύος Το φάσμα ισχύος μιας WSS διαδικασίας έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: Ιδιότητα 1: Συμμετρία. j j P( e ) P ( e ) Το φάσμα έχει πραγματικές τιμές. Ιδιότητα : Θετικές τιμές. P( e j ) 0 Ιδιότητα 3: Συνολική ισχύς μιας WSS διαδικασίας μηδενικής μέσης τιμής. j E{ n ( ) } P ( e ) d 1 Ιδιότητα 4: Οι ιδιοτιμές του πίνακα αυτοσυσχέτισης μιας WSS διαδικασίας μηδενικής μέσης τιμής φράσσονται άνω και κάτω από τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του φάσματος: j j min P( e ) ma P( e ) i

49 Τυχαίες Διαδικασίες: Φιλτράρισμα τυχαίων διαδικασιών Έστω (n) μια τυχαία διαδικασία WSS με μέση τιμή και αυτοσυσχέτιση Το διακριτό σήμα (n) διέρχεται από ένα ευσταθές ΓΧΑ σύστημα με κρουστική απόκριση h(n). m r ( ). k ( n ) hn ( ) yn ( ) Θέλουμε να μελετήσουμε τα στατιστικά χαρακτηριστικά (μέση τιμή, διασπορά, αυτοσυσχέτιση, φάσμα ισχύος) του σήματος εξόδου. Καταρχήν, είναι το σήμα εξόδου y(n) τυχαία διαδικασία; ΝΑΙ διότι προκύπτει ως μία συνάρτηση της τυχαίας διαδικασίας (n): y( n) g[ n ( )] n ( ) hn ( ) hkn ( ) ( k) k συνέλιξη

50 Τυχαίες Διαδικασίες: Φιλτράρισμα τυχαίων διαδικασιών Υπολογίζουμε τη μέση τιμή της εξόδου: E{ y( n)} E{ hkn ( ) ( k)} hken ( ) { ( k)} k k hkm ( ) m hk ( ) m hke ( ) k k k WSS διαδικασία, άρα ανεξάρτητο του n-k jk 0 j mhe ( ) 0 = 1 Διαπιστώνουμε ότι, η μέση τιμή της εξόδου είναι σταθερά (ανεξάρτητη του n) και σχετίζεται με τη μέση τιμή της εισόδου μέσω ενός πολλαπλασιαστικού παράγοντα, ο οποίος είναι η απόκριση συχνότητας του συστήματος στη συχνότητα ω = 0.

51 Τυχαίες Διαδικασίες: Φιλτράρισμα τυχαίων διαδικασιών Υπολογίζουμε την ετεροσυσχέτιση μεταξύ εξόδου και εισόδου: r ( k,) l E{ y( k) ()} l E{[ h( m)( km)] ()} l y hmek ( ) { ( m ) ( l)} h( mr ) ( kml) m m hmr ( ) ( k lm) m m WSS διαδικασία, άρα εξαρτάται από τη διαφορά k-m-l Διαπιστώνουμε ότι, η ετεροσυσχέτιση εξαρτάται από τη διαφορά k-l. Αν k - l = n, τότε: r ( ln, l) h( m) r ( nm) h( n) r ( n) y m r ( l n, l) r ( n) h( n) r ( n) y y

52 Τυχαίες Διαδικασίες: Φιλτράρισμα τυχαίων διαδικασιών Υπολογίζουμε την αυτοσυσχέτιση της εξόδου: r ( nk, n) E{ y( nk) y ( n)} E{ y( nk)[ h ( l) ( nl)]} y E{ h () l y( nk) ( nl)} h () l E{ y( nk) ( nl)} l l h () l r ( kl) y h ( k) r ( k) h ( k) r ( k) y y l l Διαπιστώνουμε ότι η αυτοσυσχέτιση εξαρτάται από το lag k. Δείξαμε ότι εξαρτάται από το lag r ( nk, n) r ( k) h ( k) h( k) r ( k) y y

53 Τυχαίες Διαδικασίες: Φιλτράρισμα τυχαίων διαδικασιών Δείξαμε ότι για την τυχαία διαδικασία y(n) ισχύει: 1. Η μέση τιμή της εξόδου είναι σταθερή, ανεξάρτητη του χρόνου:. Η αυτοσυσχέτιση εξαρτάται μόνο από τo lag: r ( n k, n) r ( k) y y m ( n) m Επιπλέον: Αφού η διαδικασία (n) είναι WSS, δηλαδή, σημαίνει ότι η είσοδος είναι φραγμένη: ( n) Αφού το σύστημα h(n) είναι ευσταθές, και η έξοδος είναι φραγμένη: y( n) y y 3. Άρα, η διασπορά της εξόδου είναι φραγμένη: ( n ) y c (0) y Από 1,,3 συμπεραίνουμε ότι η έξοδος y(n)είναι WSS τυχαία διαδικασία. Επιπλέον, αφού η είσοδος (n) και η έξοδος y(n) είναι WSS τυχαίες διαδικασίες και η ετεροσυσχέτιση r y εξαρτάται από τo lag από κοινού WSS τυχαίες διαδικασίες. r ( n k, n) r ( k) y y είναι και

54 Τυχαίες Διαδικασίες: Φιλτράρισμα τυχαίων διαδικασιών Υπολογίζουμε τη διασπορά της εξόδου: ( n) E{ y( n) y ( n)} m ( n) m ( n) y y y E{ y( n0) y ( n)} m ( n0) m ( n) y y r ( 0) m m c ( 0) y y y y ανεξάρτητο του n όπου: y 0 k0 l r ( ) h ( k) h( k) r ( k) h ( k) [ h( l) r ( kl)] m l k0 m l [ hlr ( ) ( ml)] h( km) hlr ( ) ( mlh ) ( m) k0

55 Τυχαίες Διαδικασίες: Φιλτράρισμα τυχαίων διαδικασιών Έστω ότι το σύστημα έχει πεπερασμένη κρουστική απόκριση: h h(0) h(1) h( N 1) T Η ισχύς εξόδου είναι: N1 N1 y 0 m0 l0 { y( n) } { y( n) y ( n)} r ( ) h ( m) h( l) r ( ml) N 1 m0 h ( m) u( m) H h u um ( ) H h u u(0) T u(1) h (0) h (1) h ( N 1) un ( 1) u

56 Τυχαίες Διαδικασίες: Φιλτράρισμα τυχαίων διαδικασιών...συνέχεια: T T um ( ) hr( m) r ( m) h Τελικά: h(0) T h(1) u( m) r( m) r( m1) r( mn 1) hn ( 1) T r ( m) u(0) r(0) r( 1) r( N 1) H u(1) H r(1) r(0) r( N ) { yn ( ) } h h h un ( 1) r( N 1) r( N ) r(0) r(0) r( 1) r( N 1) H r (1) r( 0) r( N ) H h hh R r( N 1) r ( N ) r(0) h

57 Τυχαίες Διαδικασίες: Φιλτράρισμα τυχαίων διαδικασιών Υπολογίζουμε το φάσμα εξόδου: j j j P ( e ) P( e ) H( e ) y Διαπιστώνουμε ότι το φάσμα εξόδου ισούται με το φάσμα εισόδου πολλαπλασιασμένο με το τετράγωνο του μέτρου της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος. Μια WSS διαδικασία u(n) ονομάζεται λευκός θόρυβος (white noise) με μέση τιμή m u και διασπορά αν η αυτοσυσχέτιση είναι μηδενική για όλα τα lag εκτός από μηδέν: u r k u( ) u ( k) P( e j ) u u

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις στοχαστικές διαδικασίες

Εισαγωγή στις στοχαστικές διαδικασίες Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή στις στοχαστικές διαδικασίες 2.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό κάνουμε μια συνοπτική αναφορά στη θεωρία πιθανοτήτων και στις στοχαστικές διαδικασίες. Το μαθηματικό υπόβαθρο αυτό σχετίζεται

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σκοπός Οι δειγματικοί χώροι, ανάλογα με τη φύση και τον τρόπο έκφρασης των ενδεχομένων τους κατατάσσονται σε ποσοτικούς και ποιοτικούς. Προφανώς ο υπολογισμός πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης Στατικές (Στάσιμες) Διαδικασίες Στατική (Stationary) ορίζεται η διαδικασία της οποίας οι στατιστικές ιδιότητες δεν μεταβάλλονται με την πάροδο του χρόνου.

Διαβάστε περισσότερα

x(n) h(n) = h(n) x(n)

x(n) h(n) = h(n) x(n) ΣΥΝΕΛΙΞΗ Ορισμός: H συνέλιξη δύο σημάτων x(n) και h(n) είναι ένα τρίτο σήμα y(n) που ορίζεται ως yn ( ) = x(n) h(n) = x(k)h( n k) k= M yn ( ) = x(n) h(n) = lim x(k)h(n k) M (M+ ) k= M Tο κάθε δείγμα του

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτού χρόνου Τυχαίες ιαδικασίες

ιακριτού χρόνου Τυχαίες ιαδικασίες ιακριτού χρόνου Τυχαίες ιαδικασίες Τα σήµατα ταξινοµούνται σε δύο ευρείες κατηγορίες: 1. Αιτιοκρατικά (deterministic): Αναπαράγονται ακριβώς ίδια µε επαναλαµβανόµενες διαδικασίες. Παράδειγµα το µοναδιαίο

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί

Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Μάθημα 3 ο a Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Στο μάθημα αυτό θα ορίσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και θα αναφερθούμε σε σχετικές βασικές έννοιες και συμβολισμούς. Ross, σσ 135-151 Μπερτσεκάς-Τσιτσικλής,

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Ανελίξεις

Στοχαστικές Ανελίξεις Ντετερμινιστικά Σήματα - Τυχαία Σήματα Ταξινόμηση των σημάτων ανάλογα με τη βεβαιότητα όσο αφορά την τιμή τους κάθε χρονική στιγμή. Τα ντετερμινιστικά σήματα μπορούν να αναπαρασταθούν σαν πλήρως καθορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 007-008 ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής 1η Εργαστηριακή Άσκηση Αναγνώριση

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 6. Fourier Ανάλυση Σημάτων. (Επανάληψη Κεφ. 10.0-10.2 Κεφ. 10.3, 10.5-7) Ανάλυση σημάτων. Τι πρέπει να προσέξουμε

Διάλεξη 6. Fourier Ανάλυση Σημάτων. (Επανάληψη Κεφ. 10.0-10.2 Κεφ. 10.3, 10.5-7) Ανάλυση σημάτων. Τι πρέπει να προσέξουμε University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη (Επανάληψη Κεφ. 10.0-10. Κεφ. 10.3, 10.5-7) Ανάλυση σημάτων Τι πρέπει να προσέξουμε Επαρκής ψηφιοποίηση στο χρόνο (Nyquist) Αναδίπλωση (aliasing)

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Θορύβου Σε Γραμμικά Κυκλώματα

Ανάλυση Θορύβου Σε Γραμμικά Κυκλώματα AO Ηλεκτρονική ΙΙΙ Παύλος - Πέτρος Σωτηριάδης Ανάλυση Θορύβου Σε Γραμμικά Κυκλώματα Θεωρία, Εξαρτήματα και ιατάξεις Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών Άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασική Θεωρία Πιθανοτήτων

3. Βασική Θεωρία Πιθανοτήτων Περίληψη 3. Βασική Θεωρία Πιθανοτήτων Η στατιστική μηχανική βασίζεται στη θεωρία πιθανοτήτων για την παραγωγή μακροσκοπικών ιδιοτήτων στην ισορροπία. Οι θερμοδυναμικές μεταβλητές εμφανίζονται ως μέσοι

Διαβάστε περισσότερα

SOURCE. Transmitter. Channel Receiver

SOURCE. Transmitter. Channel Receiver Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Εισαγωγή στα Σήµατα Ψηφιακές Επικοινωνίες - ειγµατοληψία ρ. Αθανάσιος. Παναγόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ 1 Εργαστήριο Κινητών Ραδιοεπικοινωνιών, ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων Ορισµός πιθανότητας Έστω Ω το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος Συµβολίζουµε µε ω τα στοιχεία του Ω Ονοµάζουµε ενδεχόµενο (evet ένα υποσύνολο του Ω Για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Γ. ΑΓΓΕΛΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος =, όπου ~ N ( 0, και όλα τα μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε = (,, = ( 0, ( 0, f x f

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά μαθηματικά εργαλεία

Βασικά μαθηματικά εργαλεία Παράρτημα Αʹ Βασικά μαθηματικά εργαλεία Σύνοψη Παρατίθενται μια επανάληψη σε βασικές γνώσεις που αφορούν βασικά μαθηματικά εργαλεία, για την αντιμετώπιση προβλημάτων που παρουσιάζονται στο σύγγραμμα, και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 4ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 4ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 4ο Διαδικασία των συντελεστών αυτοσυσχέτισης Ονομάζουμε συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (autocorrelation function) και συμβολίζεται με τα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα διαλέξεων 2ης εβδοµάδας

Περιεχόµενα διαλέξεων 2ης εβδοµάδας Εισαγωγή οµή και πόροι τηλεπικοινωνιακού συστήµατος Σήµατα Περιεχόµενα διαλέξεων 1ης εβδοµάδας Εισαγωγή Η έννοια της επικοινωνιας Ιστορική αναδροµή οµή και πόροι τηλεπικοινωνιακού συστήµατος οµή τηλεπικοινωνιακού

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση

3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση 3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση 3. Αιτίες που προκαλούν την ετεροσκεδαστικότητα Η ετεροσκεδαστικότητα οφείλεται σε διάφορες αιτίες. Οι πιο σημαντικές από αυτές είναι: Η ετεροσκεδαστικότητα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ανίχνευσης & Εκτίμησης

Ανίχνευσης & Εκτίμησης Θεωρία Ανίχνευσης & Εκτίμησης Γεώργιος Β. Μουστακίδης, Καθηγητής Πανεπιστήμιο Πατρών Περιεχόμενα Πρόλογος Ευχαριστίες v vi 1 Εισαγωγή 1 1.1 Τρεις ενδιαφέρουσες εφαρμογές 1 1.1.1 Ανίχνευση αεροσκάφους

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

y[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] = 2x[n 1] (1) y h [n] = y h [n] = A 1 (2) n + A 2 (3) n (4) h[n] = 0, n < 0 (5) h[n] 5h[n 1] + 6h[n 2] = 2δ[n 1] (6)

y[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] = 2x[n 1] (1) y h [n] = y h [n] = A 1 (2) n + A 2 (3) n (4) h[n] = 0, n < 0 (5) h[n] 5h[n 1] + 6h[n 2] = 2δ[n 1] (6) Ασκήσεις σε Σήματα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 9 Οκτωβρίου 015 1. Ενα αιτιατό ΓΧΑ σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Κωδικοποίηση Αναλογικής Πηγής: Κβάντιση Εισαγωγή Αναλογική πηγή: μετά από δειγματοληψία γίνεται διακριτού χρόνου άπειρος αριθμός bits/έξοδο για τέλεια αναπαράσταση Θεωρία Ρυθμού-Παραμόρφωσης

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f = ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Πιθανοτήτων και Στοχαστικών Διαδικασιών

Στοιχεία Πιθανοτήτων και Στοχαστικών Διαδικασιών Α Στοιχεία Πιθανοτήτων και Στοχαστικών Διαδικασιών Α.1 Εισαγωγικά Το παρόν παράρτημα δεν έχει σαν στόχο να καλύψει αναλυτικά την ύλη της Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στοχαστικών Διαδικασιών. Υπάρχει στη βιβλιογραφία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. .4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επεξεργασία Σημάτων και Μάθηση

Στατιστική Επεξεργασία Σημάτων και Μάθηση Δημήτρης Αμπελιώτης Διδάκτωρ Ερευνητής Τμ. Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Χρήστος Μαυροκεφαλίδης Διδάκτωρ Ερευνητής Τμ. Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Κώστας Μπερμπερίδης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

c(x 1 + x 2 + x 3 ) εάν 0 x 1, x 2, x 3 k (x 1, x 2, x 3 ) =

c(x 1 + x 2 + x 3 ) εάν 0 x 1, x 2, x 3 k (x 1, x 2, x 3 ) = ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Τηλεπικοινωνιών ΤΗΛ 11: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΑ ΣΗΜΑΤΑ 4ο Εξάμηνο 009-010 η ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 Εστω X = x 1, x, x T τυχαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Μαρκοβιανές Αλυσίδες

Μαρκοβιανές Αλυσίδες Μαρκοβιανές Αλυσίδες { θ * } Στοχαστική Ανέλιξη είναι μια συλλογή τ.μ. Ο χώρος Τ (συνήθως είναι χρόνος) μπορεί να είναι είτε διακριτός είτε συνεχής και καλείται παραμετρικός χώρος. Το σύνολο των δυνατών

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές Μάθημα 2. Μη-στασιμότητα. Τάση? Εποχικότητα / περιοδικότητα? Ασταθή διασπορά? Αυτοσυσχέτιση?

Χρονοσειρές Μάθημα 2. Μη-στασιμότητα. Τάση? Εποχικότητα / περιοδικότητα? Ασταθή διασπορά? Αυτοσυσχέτιση? AE index General Index of Comsumer Prices Χρονοσειρές Μάθημα General Index of Comsumer Prices, period Jan - Aug 5 5 Μη-στασιμότητα 5 Τάση? Εποχικότητα / περιοδικότητα? 5 4 5 6 4 Auroral Elecroje Index

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Θεώρηµα Cramer-Rao Θεώρηµα Cramer-Rao Εστω X = (X 1, X,...,X n ) ένα δείγµα µε από κοινού πυκνότητα πιθανότητας f X

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης Θεωρία Ρυθμού-Παραμόρφωσης Θεώρημα Κωδικοποίησης Πηγής: αν έχω αρκετά μεγάλο μπλοκ δεδομένων, μπορώ να φτάσω κοντά στην εντροπία Πιθανά Προβλήματα: >

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER Ανάλυση σημάτων και συστημάτων Ο μετασχηματισμός Fourier (DTFT και DFT) είναι σημαντικότατος για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων Εντοπίζει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 5ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 5ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 5ο Μοναδιαία ρίζα Είδαμε προηγουμένως πως ο έλεγχος της στασιμότητας μιας χρονικής σειράς μπορεί να γίνει με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης.

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Εφαρµογές της Ψηφιακής Επεξεργασίας Σηµάτων Ακουστικά Σήµατα ü Αναγνώριση, Ανάλυση, Σύνθεση,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ 11. β) τον εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας για την άγνωστη παράμετρο λ 0.

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ 11. β) τον εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας για την άγνωστη παράμετρο λ 0. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Άσκηση Έστω X, X,..., X d τυχαίες μεταβλητές με ~ Posso ( ), Να εξάγετε α) τη συνάστηση πιθανοφάνειας στις 3 μορφές τις και β) τον εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας για την άγνωστη παράμετρο

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1 Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Δισδιάστατα σήματα

Διαβάστε περισσότερα

17-Φεβ-2009 ΗΜΥ Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση

17-Φεβ-2009 ΗΜΥ Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση ΗΜΥ 429 7. Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση 1 Μαθηματικές ιδιότητες Αντιμεταθετική: a [ * b[ = b[ * a[ παρόλο που μαθηματικά ισχύει, δεν έχει φυσικό νόημα. Προσεταιριστική: ( a [ * b[ )* c[ = a[ *( b[ * c[

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT -7- Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT (discrete time Fourier transform) 3.. Εισαγωγικά. 3.. Είδη µετασχηµατισµών Fourier Με την ονοµασία Μετασχηµατισµοί Fourier

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος X X X ), όπου X ~ N (,) και όλα τα X μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε ( ) (,, ) (, )

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδηµαϊκό Έτος 01-013 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 13: Ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων (Ι) Περιγραφές ΓΧΑ συστημάτων Έχουμε δει τις παρακάτω πλήρεις περιγραφές ΓΧΑ συστημάτων: 1. Κρυστική απόκριση (impulse

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Σημειώσεις Πανεπιστημιακών Παραδόσεων ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΗΛΙΏΝΗΣ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 205 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό

Διαβάστε περισσότερα

2 Ανάλυση Χρονοσειρών στο Πεδίο των Συχνοτήτων

2 Ανάλυση Χρονοσειρών στο Πεδίο των Συχνοτήτων Ανάλυση Χρονοσειρών στο Πεδίο των Συχνοτήτων Η ανάλυση χρονοσειρών στο πεδίο των συχνοτήτων είναι συμπληρωματική της ανάλυσης στο πεδίο του χρόνου, αλλά μπορεί να διερευνήσει χαρακτηριστικά που δεν εντοπίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ-ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1 Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 2 Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών με Σταθερούς Συντελεστές (Linear Constant- Coefficient

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Τυχαίες ιαδικασίες ιακριτού Χρόνου ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 47/8) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής CEID 7-8 Τυχαίες Μεταβλητές: Ορισµοί Θεωρούµετοπείραµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα