ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ"

Transcript

1 Κεφάλαιο 8 ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ Θεωρούμε πάλι μία ΔΕ ẋ = f (x), όπου το διανυσματικό πεδίο f είναι κλάσεως C 1 σε ένα ανοιχτό υποσύνολο E του R n και έστω φ η ροή της. 8.1 Βασικοί ορισμοί Το Παράδειγμα του Κεφαλαίου 6 υποβάλλει τους ορισμούς που ακολουθούν. Ορισμός Ενα σύνολο S R n λέγεται αναλλοίωτο σύνολο της ροής φ αν για κάθε t και για κάθε x S, φ (t, x) S. Ειδικά ένα σύνολο S R n λέγεται θετικά αναλλοίωτο σύνολο της ροής φ αν για κάθε t 0 και για κάθε x S, φ (t, x) S. Παραδείγματα: (α) Αν x 0 είναι ένα σημείο ισορροπίας του συστήματος, τότε το μονοσύνολο {x 0 } είναι αναλλοίωτο σύνολο. (β) Οποιαδήποτε τροχιά είναι αναλλοίωτο σύνολο διότι για οποιοδήποτε x επί της τροχιάς, το σημείο φ (t, x) παραμένει στην ίδια τροχιά για κάθε t. (γ) Η εύρεση αναλλοίωτων συνόλων πέραν αυτών των τετριμμένων περιπτώσεων είναι σχετικά δύσκολη. Στο Παράδειγμα είχαμε βρεί δύο τριγωνικές περιοχές αναλλοίωτα σύνολα του απλούστερου δυναμικού συστήματος που περιγράφει ανταγωνιστικά είδη. Ορισμός Ενα σημείο p R n λέγεται ω-οριακό σημείο του x R n αν υπάρχει ακολουθία t n τέτοια ώστε lim n φ (t n, x) = p. 143

2 144 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ Ενα α-οριακό σημείο ορίζεται με παρόμοιο τρόπο θεωρώντας ακολουθία t n. Το σύνολο των ω-οριακών σημείων του x λέγεται ω-οριακό σύνολο του x και συμβολίζεται με ω (x). Παρόμοια ορίζεται το α-οριακό σύνολο του x. Το Σχήμα 8.1 σκιαγραφεί τον ορισμό. Ως τετριμμένο παράδειγμα, ένα σημείο ισορροπίας αποτελεί το α και ω-οριακό σημείο του εαυτού του µ µ 1 Σχήμα 8.1: Η τροχιά φ ενός σημείου x και ένας ευσταθής οριακός κύκλος C. Η ακολουθία φ (t 1, x), φ (t 2, x),... συγκλίνει στο p. Το σημείο p C είναι ένα ω-οριακό σημείο του x και ω (x) = C. Γιατί στον ορισμό του ω-οριακού σημείου παίρνουμε το όριο της φ (, x) πάνω σε μία ακολουθία αντί να θεωρήσουμε απλώς το όριο lim t φ (t, x); Υπενθυμίζουμε ότι για x E η απεικόνιση φ (, x) : R E ορίζει την καμπύλη μιας λύσης που λέγεται τροχιά που περνάει από το x. Συχνά ταυτοποιούμε την καμπύλη φ (, x 0 ) που περνά από το x 0 με το γράφημα της, δηλαδή θεωρούμε το σύνολο Γ x0 = {x E : x = φ (t, x 0 ), t R}. Αν το σημείο x 0 δεν παίζει ρόλο συμβολίζουμε απλώς με Γ μία τροχιά του συστήματος. Το ω-οριακό σύνολο μιας τροχιάς Γ ορίζεται ως το ω-οριακό σύνολο οποιουδήποτε x Γ και συμβολίζεται με ω (Γ). Επανερχόμαστε στο Παράδειγμα 6.1.2, όπου ο κύκλος Γ είναι αναλλοίωτο σύνολο της ροής. Κάθε σημείο του κύκλου Γ είναι ω-οριακό σημείο οποιουδήποτε εσωτερικού σημείου του Γ εκτός της αρχής φυσικά. Επομένως Γ είναι

3 8.2. ΤΟ ΘΕ ΩΡΗΜΑ POINCARÉ-BENDIXSON 145 το ω-οριακό σύνολο κάθε σημείου x με 0 < x < 1. Αλλά και οποιοδήποτε σημείο στο εξωτερικό του Γ έχει ως ω-οριακό σύνολο το Γ. Επιπρόσθετα ο Γ αποτελεί ο ίδιος τα ω και α οριακά σύνολα του. Προφανώς η αρχή είναι το α-οριακό σύνολο οποιουδήποτε σημείου στο εσωτερικό του Γ. Τα αναλλοίωτα σύνολα είναι πολύ σημαντικά στην μελέτη ενός δυναμικού συστήματος. Πράγματι, ο περιορισμός της ροής σε ένα αναλλοίωτο σύνολο που εν γένει είναι μικρότερης διάστασης από τον πλήρη χώρο των φάσεων απλοποιεί κατά πολύ το πρόβλημα. Η παρακάτω πρόταση παρέχει ένα απλό τρόπο εύρεσης αναλλοιώτων συνόλων. Πρόταση Εστω φ t η ροή της ΔΕ ẋ = f(x). Υποθέτουμε ότι μία C 1 συνάρτηση Z : R n R ικανοποιεί την ΔΕ Ż = αz, όπου η βαθμωτή συνάρτηση α : R n R είναι συνεχής και η παράγωγος Ż είναι κατά μήκος των τροχιών της ΔΕ. Τότε τα υποσύνολα του R n που ορίζονται ως Z > 0, Z = 0, Z < 0 είναι αναλλοίωτα σύνολα της ροής φ t. Απόδειξη. Εστω x Z + := {x R n : Z (x) > 0} και θεωρούμε την τροχιά φ t (x). Με ολοκλήρωση της Ż = αz, προκύπτει Z (φ t (x)) = Z (x) exp t 0 α, επομένως Z (φ t (x)) Z +. Ομοια αποδεικνύεται ότι τα Z = 0 και Z < 0 είναι αναλλοίωτα σύνολα της ροής. Παράδειγμα Ως εφαρμογή της Πρότασης 8.1.1, θεωρούμε το σύστημα ẋ = xm (x, y), ẏ = yn (x, y), (8.1.1) όπου M και N είναι αρκούντως ομαλές συναρτήσεις. Οι x (t) και y (t) ικανοποιούν τις υποθέσεις για την Z της Πρότασης 8.1.1, επομένως τα σύνολα x = 0 και y = 0 είναι αναλλοίωτα σύνολα της ροής. Επιπλέον επαναλαμβάνοντας την επιχειρηματολογία της Παρατήρησης 6.2.1, το πρώτο τεταρτημόριο x 0, y 0 του επιπέδου είναι επίσης αναλλοίωτο σύνολο. Επομένως μία τροχιά που ξεκινάει στο πρώτο τεταρτημόριο παραμένει σε αυτό για κάθε t. Η ιδιότητα αυτή που έχει η οικογένεια συστημάτων (8.1.1) καθιστά τα συστήματα αυτά κατάλληλα για την περιγραφή μοντέλων αλληλεπίδρασης πληθυσμών, βλ. π.χ. την Παράγραφο Το Θεώρημα Poincaré-Bendixson Τα μέχρι τώρα παραδείγματα υποδεικνύουν ότι σε δύο διαστάσεις η τροχιά ενός ομαλού σημείου μπορεί

4 146 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ 1. να πλησιάζει το άπειρο καθώς t, 2. να πλησιάζει ένα σημείο ισορροπίας καθώς t, 3. να πλησιάζει ένα οριακό κύκλο καθώς t, 4. να είναι η ίδια περιοδική, π.χ. ένας οριακός κύκλος. Το επόμενο θεώρημα μας λέει ότι ουσιωδώς αυτές είναι οι μόνες δυνατότητες για διδιάστατα συστήματα. Θεώρημα (Το Θεώρημα Poincaré-Bendixson). Θεωρούμε μία ΔΕ ẋ = f (x) με f C 1 (E), όπου E είναι ανοιχτό υποσύνολο του R 2. Εστω μία τροχιά Γ που περιέχεται σε ένα συμπαγές υποσύνολο του E που δεν περιέχει κανένα σημείο ισορροπίας. Τότε, ω (Γ) είναι περιοδική τροχιά. Ως πόρισμα του Θεωρήματος Poincaré-Bendixson προκύπτει ότι αν μία τροχιά Γ κείται εξ ολοκλήρου μέσα σε ένα συμπαγές χωρίο του επιπέδου, τότε είτε η Γ πλησιάζει ένα σημείο ισορροπίας, είτε πλησιάζει μία περιοδική τροχιά, ή η ίδια είναι περιοδική. Παράδειγμα Το σύστημα ẋ = y + x x xy2, ẏ = x + y y 3 x 2 y, έχει μοναδικό σημείο ισορροπίας την αρχή. Θα προσπαθήσουμε να βρούμε ένα χωρίο D (δακτύλιο), με εσωτερικό κύκλο C 1 και εξωτερικό κύκλο C 2 τέτοιους ώστε κάθε τροχιά που τέμνει τον C 1 ή τον C 2 να εισέρχεται στον D. Επομένως καμία τροχιά που εισέρχεται στον D μπορεί να διαφύγει εκτός του δακτυλίου (trapping region). Εστω n = (x, y) το διάνυσμα θέσης στο (x, y) (r, θ) με φορά προς τα έξω του κύκλου ακτίνας r και f το διανυσματικό πεδίο του συστήματος. Επομένως n f είναι θετικό ή αρνητικό, αναλόγως του αν το f δείχνει προς τα έξω ή προς τα μέσα. Εκτελώντας το εσωτερικό γινόμενο βρίσκουμε n f = r 2 r cos2 θ sin 2 θ, που είναι θετικό για r = 1/2 και αρνητικό για r = 2 για κάθε θ. Συνεπώς ο δακτύλιος D = x R 2 : 1/2 x 2 περιέχει μία περιοδική τροχιά, Σχήμα 8.2. Ο εντοπισμός της θέσης του οριακού κύκλου με μεγαλύτερη ακρίβεια απαιτεί λεπτότερα επιχειρήματα.

5 8.2. ΤΟ ΘΕ ΩΡΗΜΑ POINCARÉ-BENDIXSON Σχήμα 8.2: Ο δακτύλιος D : 1/2 r 2 περιέχει ένα οριακό κύκλο. Εν γένει είναι δύσκολη η εύρεση οριακού κύκλου ενός δυναμικού συστήματος και ακόμα δυσκολότερος ο εντοπισμός της θέσης του. Το επόμενο θεώρημα παρέχει ένα αρνητικό κριτήριο για την απουσία οριακών κύκλων σε διδιάστατα συστήματα. Θεώρημα (Bendixson). Εστω f = (f 1, f 2 ) C 1 (E), όπου E είναι ένα απλά συνεκτικό χωρίο του R 2. Αν f δεν είναι παντού μηδέν και δεν αλλάζει πρόσημο μέσα στο E, τότε η ΔΕ, ẋ = f (x) δεν έχει κλειστή τροχιά κείμενη εξ ολοκλήρου μέσα στο E. Απόδειξη. Θα δείξουμε το θεώρημα με απαγωγή σε άτοπο. Υποθέτουμε ότι η ΔΕ έχει κλειστή τροχιά, Γ : x = x (t), t [0, T ] κείμενη εξ ολοκλήρου μέσα στο E. Αν D είναι το εσωτερικό της Γ, τότε από το Θεώρημα Green προκύπτει D fdxdy = = T 0 T (f 1 dy f 2 dx) = Γ (f 1 f 2 f 2 f 1 ) dt = 0. 0 (f 1 ẏ f 2 ẋ) dt Αφού το f δεν αλλάζει πρόσημο το διπλό ολοκλήρωμα πρέπει να είναι είτε θετικό είτε αρνητικό, πράγμα άτοπο.

6 148 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ 8.3 Το σύστημα Lorentz Το Θεώρημα Poincaré-Bendixson ουσιωδώς οφείλεται στο γεγονός ότι μία τροχιά ενός δυναμικού συστήματος δεν αυτοτέμνεται. Αφού λοιπόν η τροχιά παραμένει στο επίπεδο, δεν μπορεί να παραμένει σε μία περιοχή K του επιπέδου για κάποιο διάστημα και αφού πλανηθεί αλλού να επανέρχεται στην K χωρίς να αυτοτμηθεί. Σε τρεις διαστάσεις όμως, ακόμα και αν μία τροχιά Γ περιέχεται σε ένα συμπαγές υποσύνολο K του R 3 που δεν περιέχει σημεία ισορροπίας, αυτή μπορεί να παραμένει για πεπερασμένο χρόνο σε μία περιοχή του K και να επανέρχεται περιοδικά σ αυτήν επ άπειρον χωρίς να αυτοτέμνεται. Επομένως η δομή των οριακών συνόλων σε δυναμικά συστήματα διάστασης μεγαλύτερης του δύο είναι πολύ πολύπλοκη. Τριδιάστατα συστήματα μπορούν ακόμα να έχουν παράξενους ελκυστές. Το πρότυπο τέτοιων συστημάτων είναι το σύστημα Lorentz. Οι εξισώσεις Lorenz προέκυψαν το 1963 ως μία υπερπλούστευση ενός μετεωρολογικού μοντέλου. Εγιναν διάσημες πολύ αργότερα διότι μέσω αυτών κατεδείχθη ότι ένα δυναμικό σύστημα με διάσταση μεγαλύτερη του δύο μπορεί να έχει λύσεις με χαοτική συμπεριφορά. Το σύστημα Lorenz είναι ẋ = σ (y x), ẏ = rx y xz, (8.3.1) ż = bz + xy, όπου οι παράμετροι σ, r, b είναι μη αρνητικές. Ο ίδιος ο Lorenz με αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων παρετήρησε για μεγάλο εύρος των παραμέτρων ακανόνιστες ταλαντώσεις που δεν επαναλαμβάνονται, βλ. Σχήμα 8.3. Στην παράγραφο αυτή θα θίξουμε μερικές μόνο πτυχές της χαοτικής συμεριφοράς των λύσεων του (8.3.1) χωρίς να επιζητούμε αυστηρή παρουσίαση. Η σχετική βιβλιογραφία για το σύστημα αυτό ανέρχεται σε χιλιάδες άρθρα με θεωρητική αλλά και αριθμητική προσέγγιση, βλ. [11]. Κάποιες πρώτες ιδιότητες του συστήματος (8.3.1) προκύπτουν σχετικά εύκολα, βλ. [12]. Η αρχή (0, 0, 0) είναι ευσταθές σημείο ισορροπίας και έλκει όλες τις τροχιές για r < 1. Για r > 1 η αρχή παραμένει σημείο ισορροπίας, αλλά γίνεται σάγμα. Για r > 1 δύο άλλα σημεία ισορροπίας εμφανίζονται που ο χαρακτήρας τους εξαρτάται από τις παραμέτρους. Ογκοι του χώρου των φάσεων συστέλλονται υπό τη ροή του (8.3.1). Το αποτέλεσμα αυτό είναι συνέπεια του Θεωρήματος Liouville, σύμφωνα

7 8.3. ΤΟ Σ ΥΣΤΗΜΑ LORENTZ Σχήμα 8.3: Η λύση y (t) του συστήματος Lorenz με αρχική συνθήκη (0, 1, 0), όπως προκύπτει με αριθμητική ολοκλήρωση. Οι τιμές των παραμέτρων είναι σ = 10, r = 28 και b = 8/3. με το οποίο αν θεωρήσουμε ένα υποσύνολο του χώρου των φάσεων ενός δυναμικού συστήματος ẋ = f (x) με όγκο V (t), τότε dv/dt = fdv. Στην περίπτωση μας είναι, f = σ 1 b < 0, V επομένως dv/dt < 0. Για μία στοιχειώδη απόδειξη του Θεωρήματος Liouville βλ. [12] και για μία γενικότερη απόδειξη βλ. [13]. Αποδεικνύεται ότι οι τροχιές του συστήματος παραμένουν σε μία φραγμένη περιοχή του R 3. Επίσης το σύστημα δεν έχει σχεδόν περιοδικές τροχιές, βλ. Κεφ. 8 στο [12]. Παρά τη φαινομενική αθωότητα των εξισώσεων η μη γραμμικότητα εμφανίζεται μόνο στους όρους xz και xy το σύστημα έχει ένα παράξενο ελκυστή (strange attractor) για ορισμένες τιμές των παραμέτρων. Σε αντίθεση με τα ευσταθή σημεία ισορροπίας και τους ευσταθείς οριακούς κύκλους ο παράξενος ελκυστής δεν είναι σημείο, καμπύλη ή επιφάνεια, αλλά είναι fractal, με διάσταση μεταξύ 2 και 3. Η τροχιά σε τρεις διαστάσεις έχει αποτελέσει αντικείμενο καλλιτεχνικών απεικονίσεων στο διαδίκτυο και φαίνεται στο Σχήμα 8.4. Η κατασκευή του πορτραίτου φάσεων με τη Mathematica έγινε με την εντολή lorenz = NDSolve[{x [t] == 3(y[t] x[t]), y [t] == 26.5x[t] y[t] x[t]z[t], z [t] == z[t] + x[t]y[t], x[0] == 0, z[0] == 0, y[0] == 1}, {x, y, z}, {t, 0, 200}, MaxSteps > 20000]; ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t], y[t], z[t]}/.lorenz], {t, 0, 200}, PlotPoints > 1000]

8 150 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ Σχήμα 8.4: Πορτραίτο φάσεων με αρχική συνθήκη (0, 1, 0) και τιμές των παραμέτρων σ = 3, r = 26.5, b = 1. Για να κατανοήσουμε το Σχήμα 8.4 θεωρούμε διαδοχικές απεικονίσεις της τροχιάς για όλο και μεγαλύτερα χρονικά διαστήματα, βλ. Σχήμα 8.5. Η τροχιά ξεκινάει κοντά στην αρχή, στρίβει δεξιά και στη συνέχεια επισκέπτεται το κέντρο της αριστερής σπείρας. Κινείται σπειροειδώς προς τα έξω, επανέρχεται στο δεξιό λοβό, κινείται σπειροειδώς και ξαναεπισκέπτεται τον αριστερό λοβό κ.ο.κ. επ άπειρον. Ο αριθμός των περιστροφών σε κάθε κύκλο είναι τυχαίος, δηλαδή η ακολουθία του αριθμού των περιστροφών σε κάθε λοβό έχει τα χαρακτηριστικά μιας τυχαίας ακολουθίας (random sequence). Το σύστημα Lorenz εμφανίζει ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες. Αυτό σημαίνει ότι γειτονικές τροχιές αποκλίνουν σε πεπερασμένο χρόνο. Ακριβέστερα, για κάθε δ > 0, αν θεωρήσουμε δύο λύσεις x (t) και u (t) με x (0) u (0) < δ, τότε για κάποιο ε > 0 υπάρχει τ > 0 : x (t) u (t) > ε t > τ, πρβλ. τον ορισμό του ασταθούς σημείου ισορροπίας. Συμβολίζουμε με δ 0 την αρχική απόσταση των λύσεων και με δ (t) την απόσταση τους τη στιγμή t, δηλαδή δ 0 = x (0) u (0) και δ (t) = x (t) u (t). Αριθμητικές μελέτες του συστήματος Lorenz δείχνουν ότι προσεγγιστικά δ (t) = O δ 0 e λt, όπου λ είναι της τάξης του 0.9 (ακριβέστερα, λ είναι συνάρτηση του χρόνου με τιμές πολύ κοντά στο 0.9). Επομένως οι τροχιές απομακρύνονται εκθετικά

9 8.3. ΤΟ Σ ΥΣΤΗΜΑ LORENTZ y 10 0 x y y z z z x x Σχήμα 8.5: Η τροχιά του συστήματος για χρονικά διαστήματα 7, 10 και 20 μονάδες χρόνου. Η αρχική συνθήκη είναι πάντα (0, 1, 0) και οι τιμές των παραμέτρων είναι σ = 3, r = 26.5 και b = 1. γρήγορα. Η εκθετική απομάκρυνση φυσικά σταματά όταν γίνει συγκρίσιμη με τις διαστάσεις του ελκυστή δεδομένου ότι οι τροχιές παραμένουν φραγμένες. Οπως έχει τονισθεί στην Παράγραφο 2.3, η γνώση των αρχικών συνθηκών προκύπτει από μετρήσεις, άρα υπόκειται σε σφάλματα. Ας υποθέσουμε ότι σε κάποιο πείραμα το σφάλμα της μετρούμενης από την ακριβή αρχική κατάσταση είναι δ 0 > 0. Συμβολίζουμε με δ (t) > 0 την διαφορά της πρόβλεψης από την ακριβή τελική κατάσταση. Επομένως η πρόβλεψή μας καθίσταται μη αποδεκτή όταν η διαφορά αυτή υπερβεί κάποια ανεκτή τιμή, έστω a > 0 δηλαδή όταν δ (t) a. Αυτό συμβαίνει μετά από χρόνο ln (a/δ0 ) τ = O. λ Για να κατανοήσουμε το αποτέλεσμα αυτό ας θέσουμε αυθαίρετα δ 0 = 10 2 και a = 1, οπότε 2 ln 10 τ = O. λ Ακόμα και αν βελτιώσουμε την αρχική μέτρηση κατά τρεις τάξεις μεγέθους, δηλαδή θεωρήσουμε δ 0 = 10 5, βρίσκουμε ότι η πρόβλεψή μας μπορεί να επεκταθεί μέχρι χρόνο τ = 2.5τ. Επιχειρήματα αυτού του τύπου δείχνουν τη δυσκολία πρόβλεψης της συμπεριφοράς ενός χαοτικού συστήματος. Για παράδειγμα η μακρά πρόβλεψη του καιρού δεν μπορεί να υπερβεί κάποιο χρονικό διάστημα.

10 152 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ 8.4 Ταξινόμηση οριακών συνόλων Τα παρακάτω δύο θεωρήματα χαρακτηρίζουν τα οριακά σύνολα μιας τροχιάς. Για την απόδειξη τους παραπέμπουμε στη βιβλιογραφία, π.χ. [5]. Θεώρημα Το οριακό σύνολο ω (Γ) είναι κλειστό υποσύνολο του E. Αν επιπλέον η τροχιά Γ κείται σε συμπαγές υποσύνολο του R n, τότε ω (Γ) είναι μη κενό, συνεκτικό και συμπαγές σύνολο. Θεώρημα Αν p είναι ω-οριακό σημείο της τροχιάς Γ, τότε όλα τα σημεία της τροχιάς που περνά από το p είναι επίσης οριακά σημεία της Γ, δηλαδή αν p ω (Γ), τότε Γ p ω (Γ). Σκιαγράφιση της απόδειξης. Αν p ω (Γ) όπου Γ είναι η τροχιά της φ (, x 0 ), τότε υπάρχει ακολουθία t n τέτοια ώστε lim n φ (t n, x 0 ) = p. Αν q είναι ένα σημείο της τροχιάς φ (, p), τότε υπάρχει τ R : q = φ (τ, p). Λόγω της συνέχειας της φ θα έχουμε φ (t n + τ, x 0 ) = φ (τ, φ (t n, x 0 )) φ (τ, p) = q, καθώς n. Ανάλογες προτάσεις ισχύουν για το α-οριακό σημείο μιας τροχιάς Γ. Ά- μεσο πόρισμα του παραπάνω θεωρήματος είναι το εξής. Πόρισμα Το ω (Γ) είναι αναλλοίωτο σύνολο της ροής φ. Οι απλούστερες λύσεις είναι τα σημεία ισορροπίας, δηλαδή τροχιές που αποτελούνται από ένα σημείο x 0 με φ (t, x 0 ) = x 0 για κάθε t R. Προφανώς για τις τροχιές αυτές είναι ω (Γ) = α (Γ) = Γ. Τέτοια σημεία λέγονται και ανώμαλα σημεία (singular points), διότι το διανυσματικό πεδίο μηδενίζεται στα σημεία αυτά, f (x 0 ) = 0. Μία άλλη κατηγορία λύσεων που οι τροχιές τους ταυτίζονται με τα οριακά τους σύνολα (ω (Γ) = α (Γ) = Γ) είναι οι περιοδικές λύσεις φ (t, x) = φ (t + T, x), x Γ, για κάποιο T > 0. Προφανώς η τροχιά μιας περιοδικής λύσης είναι μία κλειστή καμπύλη στον R n.

11 8.4. ΤΑΞΙΝ ΟΜΗΣΗ ΟΡΙΑΚ ΩΝ ΣΥΝ ΟΛΩΝ 153 Οι τροχιές ταξινομούνται βάσει των οριακών τους συνόλων σε τέσσερις ξένες μεταξύ τους κλάσεις που θα συμβολίσουμε με I, II, III, IV. Γ ω (Γ) = I ω (Γ) = αποκλίνουσα τροχιά II ω (Γ) = ασυμπτωτική τροχιά Τροχιές τύπου I τείνουν στο άπειρο στον R n όταν t + και λέγονται αποκλίνουσες τροχιές. Τροχιές τύπου II πλησιάζουν τα ω-οριακά σύνολα τους καθώς t + και λέγονται ασυμπτωτικές τροχιές. Παραδείγματα τροχιών τύπου II είναι τροχιές που πλησιάζουν ασυμπτωτικά ένα σημείο ισορροπίας, ή μία περιοδική τροχιά, δηλαδή έναν οριακό κύκλο. Γ ω (Γ) = III Γ = ω (Γ) σημείο ισορροπίας ή περιοδική τροχιά IV Γ = ω (Γ) = Γ επανερχόμενη κατά διαστήματα τροχιά Τροχιές τύπου IV έχουν την ιδιότητα ότι για κάθε x Γ, η Γ επανέρχεται οσοδήποτε κοντά στο x καθώς t + και λέγονται επανερχόμενες κατά διαστήματα τροχιές (recurrent orbits). Με Γ συμβολίζουμε το κλειστό περίβλημα (closure) του συνόλου Γ, βλ. Παράρτημα. Στον R 2 δεν υπάρχουν επανερχόμενες κατά διαστήματα τροχιές: Πρόταση Εστω Γ μία τροχιά ενός δυναμικού συστήματος στον R 2. Αν Γ και ω (Γ) έχουν ένα κοινό σημείο, τότε Γ = ω (Γ), δηλαδή η Γ είναι σημείο ισορροπίας ή περιοδική τροχιά. Απόδειξη. Η απόδειξη περιέχεται στο τρίτο Λήμμα για την απόδειξη του Θεωρήματος Poincaré-Bendixson στο [5]. Η επόμενη πρόταση παρέχει ένα ισχυρό εργαλείο για τον αποκλεισμό τροχιών τύπου III και IV. Πρόταση Εστω S R n ένα αναλλοίωτο σύνολο για τη ροή του δυναμικού συστήματος. Αν υπάρχει συνεχής συνάρτηση Z : S R που είναι γνησίως μονότονη κατά μήκος των τροχιών στο S, τότε το S δεν περιέχει σημεία ισορροπίας, περιοδικές τροχιές, ή επανερχόμενες κατά διαστήματα τροχιές. Απόδειξη. Αν υπάρχει τροχιά Γ στο S με Γ ω (Γ) =, τότε η Z δεν θα μπορούσε να είναι γνησίως μονότονη κατά μήκος της Γ.

12

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

Η τροχιά του δυναµικού συστήµατος µε αρχική συνθήκη X γράφεται

Η τροχιά του δυναµικού συστήµατος µε αρχική συνθήκη X γράφεται Απόδειξη Θεωρήµατος Poincare-Bendixson Το δυναµικό σύστηµα είναι στο επίπεδο, προσδιορίζεται από το διάνυσµατικό πεδίο ταχυτήτων v(x), και οι τροχιές ικανοποιούν την δυνα- µική: ẋ = v(x). Η τροχιά του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ. 6.1 Το Θεώρημα Hartman-Grobman

Κεφάλαιο 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ. 6.1 Το Θεώρημα Hartman-Grobman Κεφάλαιο 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι η συμπεριφορά των λύσεων ενός δυναμικού συστήματος ẋ = f (x) κοντά σε ένα σημείο ισορροπίας x 0, καθορίζεται από το γραμμικό τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης. Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών. x (0) = x 0, (4.1.

Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης. Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών. x (0) = x 0, (4.1. Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = f (x), x (0) = x 0, (4.1.1) όπου το διανυσματικό πεδίο f είναι κλάσεως C 1 σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μία ειδική κατηγορία διδιάστατων δυναμικών συστημάτων είναι τα λεγόμενα συντηρητικά συστήματα. Ο όρος προέρχεται από την μηχανική, όπου για υλικό σημείο που δέχεται δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική Κατηγορίες f.p. σε γραμμικά διαφορικά συστήματα 1 ης τάξης Έστω το γενικό

Διαβάστε περισσότερα

Στο Κεφάλαιο αυτό θα θεωρήσουμε δυναμικά συστήματα της μορφής

Στο Κεφάλαιο αυτό θα θεωρήσουμε δυναμικά συστήματα της μορφής Κεφάλαιο 9 ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα θεωρήσουμε δυναμικά συστήματα της μορφής ẋ = f (x, µ), (9.0.1) όπου το διανυσματικό πεδίο f εξαρτάται από μία παράμετρο µ και είναι αρκούντως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Όταν η s δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Παρατήρηση: Το αντίστροφο του προηγουμένου θεωρήματος δεν ισχύει. Παράδειγμα η σειρά με νιοστό όρο α = +-. Τότε lim α =0. Όμως s =α +α + +α = - + 3- +...+

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μεταπτυχιακό Μάθημα: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Καθηγητές: Α Μπούντης - Σ Πνευματικός Ακαδημαϊκό έτος 11-1 ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΩΝ LOKA-VOLERRA

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Χειµερινό Εξάµηνο 2016-2017 Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου εύτερη Εργασία 1. Βρείτε δύο διαφορετικά παραδείγµατα συστηµάτων στο

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει Θεώρημα Bolzno. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f f 0, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης Αγνοώ το πώς με βλέπει ο κόσμος αλλά στον εαυτό μου, φαίνομαι σαν να μην ήμουν τίποτα άλλο από ένα αγοράκι που παίζει στην ακρογιαλιά και κατά καιρούς

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε ότι ακολουθεί συμβολίζουμε με το σύνολο των φυσικών αριθμών και με και R τα σύνολα των ακεραίων των ρητών και των πραγματικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

dx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x.

dx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x. Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 17-18 Ν. Βλαχάκης 1. Εστω πεδίο δύναμης F = g () cos y ˆ + λ g() sin y ŷ, όπου λ = σταθερά και g() = 1 e π/ B C (σε κατάλληλες μονάδες). (α) Υπολογίστε πόση ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2

Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2 Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2 Για τυχόν παρατηρήσεις, απορίες ή λάθη που θα βρείτε, στείλτε μου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Το απλούστερο σύστημα δύο ανταγωνιστικών

Κεφάλαιο 10 ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Το απλούστερο σύστημα δύο ανταγωνιστικών Κεφάλαιο 10 ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 10.1 Το απλούστερο σύστημα δύο ανταγωνιστικών ειδών Θεωρούμε ένα σύστημα δύο ανταγωνιστικών ειδών με πληθυσμούς N 1 και N 2, συναρτήσεις του χρόνου. Το δυναμικό

Διαβάστε περισσότερα

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0 5 Όριο συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση (δηλαδή όταν το βρίσκεται πολύ κοντά στο ) ή στο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Χειµερινό Εξάµηνο 2018-2019 Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου εύτερη Εργασία, 2018-2019 1. ώστε δύο διαφορετικά παραδείγµατα συστηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι Ιανουαρίου, 9 Καλή σας επιτυχία. Πρόβλημα Α Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται υπό την επίδραση του πεδίου δύο σημειακών ελκτικών κέντρων, το ένα εκ των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

x είναι f 1 f 0 f κ λ

x είναι f 1 f 0 f κ λ 3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ

Διαβάστε περισσότερα

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α Αα) Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ 5 Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ Μονοτονία Συνάρτησης Έστω οι συναρτήσεις f, g, h, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται στα επόμενα σχήματα («Σχήμα», «Σχήμα», «Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Μπάμπης Στεργίου. Η Αρχική Συνάρτηση. Προτάσεις. Παραδείγματα. Ασκήσεις. *** Αφιερωμένο στους συναδέλφους που μοχθούν για μια καλύτερη παιδεία.

Μπάμπης Στεργίου. Η Αρχική Συνάρτηση. Προτάσεις. Παραδείγματα. Ασκήσεις. *** Αφιερωμένο στους συναδέλφους που μοχθούν για μια καλύτερη παιδεία. Μπάμπης Στεργίου Η Αρχική Συνάρτηση Προτάσεις Παραδείγματα Ασκήσεις 016 *** Αφιερωμένο στους συναδέλφους που μοχθούν για μια καλύτερη παιδεία. Σελίδα 1 από 8 Προτάσεις και ασκήσεις στην αρχική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; (5 ΕΣΠ Β ) Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα Μιχάλης Παπαδημητράκης Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα 1 Παράγωγος στο. Ας θυμηθούμε ότι μια μιγαδική συνάρτηση f ορισμένη σε ένα υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου λέμε ότι είναι

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, όπως και το πρώτο τεύχος, είναι εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη και απευθύνεται στους μαθητές της Γ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία ευστάθειας: Θεωρήματα Lyapunov και επεκτάσεις

Θεωρία ευστάθειας: Θεωρήματα Lyapunov και επεκτάσεις Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Θεωρία ευστάθειας: Θεωρήματα Lyapunov και επεκτάσεις ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Λοΐζος Ραουνάς Επιβλέπων: Ιωάννης

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov

Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov Ζαφειράκογλου Απόστολος ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 1 / 40 Μη γραμμική Δυναμική Εισαγωγή Γενικά στοιχεία. Στην Μη-Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 Βιομαθηματικά BIO-156 Παραγώγιση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 213 lika@biology.uoc.gr Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο αν και μόνο αν το όριο lim h + h h υπάρχει. Αν το όριο υπάρχει θα το ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλια στις Παραγώγους. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του. f(x h) f(x )

Σχόλια στις Παραγώγους. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του. f(x h) f(x ) Σχόλια στις Παραγώγους. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του Π.Ο της μόνον και μόνον όταν υπάρχει το lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 πραγματικός αριθμός. και είναι Η παραγωγισιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ 8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Έστω η συνάρτηση f ( x,,1. Nα αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. v v 1 και ισχύει : x vx A2. Να διατυπώσετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Bolzano.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Διαγωνισμάτος 1 Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές

Λύσεις Διαγωνισμάτος 1 Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegea.gr Λύσεις Διαγωνισμάτος Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές Άσκηση. Έστω ακολουθία (a ), για την οποία ισχύει ότι Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3...,

S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3..., ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 017-18 ΜΕΜ31-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 3Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΝΤΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΥ R ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Ανοικτα και κλειστα συνολα του R Το σύνολο R των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα