Η Ι ΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΜΣ «ιδκτική κι Μεθοδολογί των Μθηµτικών» ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΙΑρχωβίτης ιπλωµτική Εργσί Η Ι ΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ Γιάννης Π Πλτάρος ΑΜ 5 f ( ) φ ( ) φ( χ) χ φ(χ) ε Pl twoj Ðrisamšou, AqrwpÒj sti zùo d pou ptero, kaˆ eùdokimoàtoj, t laj lektruòa e s»egke aùtõ e j t¾ scol¾ ka fhsi, oátòj sti Ð Pl twoj qrwpoj Óqe tù ÓrJ prosetšqh tõ platuèuco ( ιογένης Λέρτιος, «Βίοι Φιλοσόφων» Βιβλίο 6 πρ4 στ 5-9 νφερόµενος σε ντιπράδειγµ του ιογένη του Κυνικού) ΑΘΗΝΑ 4

2 Αφιερώνετι στην οικογένειά µου που µε στήριξε στην εν Αθήνις διετή πρεπιδηµί µου, κθώς κι σε κάθε ένν Έλλην συνάδελφο Μθηµτικό προσωπικά ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ: Αισθάνοµι την νάγκη ν ευχριστήσω την τριµελή εξετστική επιτροπή, η οποί ποτελείτο πό τους κκ Ιωάννη Αρχωβίτη, Ευστάθιο Γιννκούλι κι Νικόλο Κλµίδ, οι πρτηρήσεις υποδείξεις κι διορθώσεις των οποίων, συνέβλν ποφσιστικά στην ευπρόσωπη προυσίση, επιστηµονική ξιοπιστί κι ρτιότητ της προύσης εργσίς Γι την συγγρφή της προύσς εργσίς χρησιµοποιήθηκε ο επεξεργστής κειµένου Word µε το προσρτηµένο λογισµικό Math Type 5 γι την γρφή των πολυπληθών µθηµτικών τύπων Χρησιµοποιήθηκε κυρίως η γρµµτοσειρά Times New Roma µε δεσπόζον µέγεθος χρκτήρων κι διάστιχο,5 Γι τις γρφικές πρστάσεις χρησιµοποιήσµε το Graph V 7,το Graphmatica Vc, το Advaced Grapher V8,ενώ στ δύσκολ προστρέξµε στο MathCAD professioal κι στο Mathematica 4 Τ τρί πρώτ είνι ελευθέρς δινοµής µέσω διδικτύου Η Εκτύπωση έγινε πρώτ σε χρτί Α 4 (Χ97mm) των 8 gr της Fuji Xero στ προεπιλεγµέν περιθώρι µε cm επί πλέον ριστερό περιθώριο βιβλιοδεσίς, µε τον εκτυπωτή Deskjet 93C της Hewlett Packard κι νπρήχθη φωτοτυπικώς Η συγκέντρωση του υλικού της εργσίς έγινε κυρίως τους µήνες Απρίλιο, Μάϊο κι Ιούνιο 3, η θεµτική κι χειρόγρφη επεξεργσί του β µθηµτικού µέρους τους µήνες Ιούλιο, Αύγουστο, Σεπτέµβριο, ενώ το γενικό µέρος της εργσίος γράφηκε κτ ευθείν στον υπολογιστή το διάστηµ Οκτωβρίου Νοεµβρίου εκεµβρίου 3, ενώ οι µήνες Ινοάριος 4 έως Ιούνιος 4 κτηνλώθησν στις διορθώσεις, στην µορφοποίηση κι σε συγύρισµ Οι τελικές διορθώσεις κι πρτηρήσεις πό τους επιβλέποντες κθηγητές έγινν Από Μάρτιο-Ιούλιο 4 Γι την συγκέντρωση του υλικού χρησιµοποιήσµε κτά βάσιν την βιβλιοθήκη του Μθηµτικού τµήµτος του Πν Αθηνών την βιβλιοθήκη του ΜΙΘΕ κι το διδίκτυο, λλά κι δευτερευόντως την βιβλιοθήκης του Πδγωγικού τµήµτος του Πν Αθηνών, την βιβλιοθήκη της Φιλοσοφικής σχολής του Πν Αθηνών, του Πιδγωγικού Ινστιτούτου, της Ελληνικής Μθηµτικής Ετιρείς κά Επίσης νλώθηκν πολλά πογεύµτ περιήγησης σε όλ τ ειδικά βιβλιοπωλεί περί την οδό Σόλωνος των Αθηνών, ξεφυλλίζοντς όλ τ σχετικά µε τον Απειροστικό Λογισµό κι περί το θέµ κυκλοφορούντ βιβλί, ρκετά των οποίων έγινν κτήµ της προσωπική µς βιβλιοθήκης Γι κάθε νγνώστη συνάδελφο που θέλει ν υποβάλλει οποιδήποτε κλοδεχούµενη πρτήρηση ή σχόλιο περί την εργσί, τ στοιχεί µς είνι : Γιάννης Πν Πλτάρος, Κπετάν Κρόµπ 37, 4 ΜΕΣΣΗΝΗ, τηλ ή 64 ή ηλ/τχ Plataros@schgr ή Plataros@pathfidergr Ιστοσελίδ :

3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ - ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ II-VI ΠΡΟΛΟΓΟΣ VII-X ΜΕΡΟΣ Α Η ΛΕΞΙΚΟΓΡΑΦΙΑ ΤΟΥ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Η νζήτηση στ διάφορ λεξικά Η νζήτηση στον πγκόσµιο ιστό 3 Η ερµηνεί των λεξικών 4 4 Μι κινούργι υπόθεση γι το ρήµ «ντιπρδείκνυµι» 4 5 Αρχίες χρήσεις του ντιπρδείγµτος 6 ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 8 3 ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 Ο Μθηµτικός ορισµός του ντιπρδείγµτος 3 Τ είδη του ντιπρδείγµτος 4 33 Λεκτικές διτυπώσεις, υποκρύπτουσες ντιπράδειγµ 7 34 Η θέση του ντιπρδείγµτος στην ποδεικτική διδικσί 4 Η ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗ ΤΟΥ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 4 Η κλάση των πρδειγµάτων κι των ντιπρδειγµάτων 4 Η κτσκευή πρδειγµάτων κι ντιπρδειγµάτων 3 43 Η Κονστρουκτιβική πιδγωγική ντίληψη κι το ντιπράδειγµ 36 5 ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΛΑΘΗ, ΠΑΡΑ ΟΞΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 5 Η Ιστορική εξέλιξη των Μθηµτικών κι ο Βιογενετικός Νόµος 39 5 Μεγάλ λάθη, µεγάλων µθηµτικών! 4 5 Η πλάνη του Πυθγόρ 43 5 Οι «δύντοι ριθµοί» του Euler κά 44 6 ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 Η νκάλυψη της ρρητότητς του 5 6 Το µέρος είνι πάντ µικρότερο του όλου; Το πράδοξο του Γλλιλίου 5 63 Ο Cator νκλύπτει την άλλη διάστση του πείρου: Το ισοπληθικό µε το κι το! Το Í είνι ισοπληθικό µε το σύνολο À των λγεβρικών! To (,) έχει περισσότερ στοιχεί πό το Í! Το ευθύγρµµο τµήµ είνι ισοπληθικό σε σηµεί µε ηµιευθεί ή µε ευθεί58 II

4 67 Έν τετράγωνο έχει ίσο ριθµό σηµείων µε έν ευθύγρµµο τµήµ! 6 68 Υπάρχει σύνολο µε τον µέγιστο πληθικό ριθµό; 6 69 Το σύνολο Β { συνρτηση f µεf : (,) {,} } έχει περισσότερ στοιχεί πό το σύνολο Α (,) 63 6 Το πράδοξο του Cator 64 7 ΟΙ «ΠΑΘΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ» 65 7 Συνάρτηση που ορίζετι στο [,] κι έχει άπειρ κρόττ, κοντά σε κάθε σηµείο ενός υπερριθµησίµου υποσυνόλου του [,] 66 7 H συνάρτηση του Cator («η κλίµξ του διβόλου») 7 73 Μι κλειστή επίπεδη κµπύλη που περικλείει πεπερσµένο εµβδόν κι έχει άπειρη περίµετρο!(η «νιφάδ» του Koch) Μι συνάρτηση πντού συνεχής κι πουθενά πργωγίσιµη! 79 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΕΡΟΣ Β Ιδιότητες πργµτικών ριθµών 87 Τοπολογικές ιδιότητες του R 9 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός Συγκλίνουσς κολουθίς, σύγκλιση στο κι -, ποκλίνουσες κολουθίες 94 3Φργµένες κολουθίες Πράξεις µετξύ κολουθιών κι σύγκλιση 4Υπκολουθίες κι Σύγκλιση 5Κτσκευή Πρδειγµάτων κολουθιών Α Μηδενικές 6 Β Συγκλίνουσες σε Ñ ή Ñ 6 Γ Φργµένες 8 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Σύγκλιση κι πόκλιση Σειρών 3 III

5 Κτσκευή πρδειγµάτων Α Αποκλίνουσες Σειρές 44 Β Συγκλίνουσες Σειρές 44 Γ Αθροιζόµενες Σειρές 46 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 3 Ίσες Συνρτήσεις 5 3Πεδίο Ορισµού Συνάρτησης 53 33Γρφική Πράστση Συνάρτησης κι Η/Υ 54 34Φργµένες Συνρτήσεις 55 35Άρτιες, Περιττές κι Περιοδικές Συνρτήσεις 58 36Κτσκευή Πρδειγµάτων Α Σχέσεις που δεν είνι συνρτήσεις 6 Β Κτσκευή Συνρτήσεων 6 Γ Κτσκευή Φργµένων Συνρτήσεων 64 Κτσκευή άρτιων, Περιττών κι Περιοδικών Συνρτήσεων 64 4 ΟΡΙΑ 4 Ύπρξη κι µη ύπρξη ορίου 68 4Κτσκευή Πρδειγµάτων Α Όριο πεπερσµένο στο Ñ 8 Β Όριο άπειρο στο Ñ 83 Γ Πεπερσµένο όριο στο Η - 84 Άπειρο όριο στο ± 84 Ε Μη ύπρξη ορίου 85 ΣΤ Γενικές περιπτώσεις οικογένεις Συνρτήσεων 85 5ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ 5 Συνέχει, Ασυνέχει, Συνεχής επέκτση 87 5 Κτσκευή πρδειγµάτων συνέχεις Συνρτήσεων Α Συνεχείς συνρτήσεις στο πεδίο ορισµού τους Β Συνεχείς κλδικές συνρτήσεις Γ Ασυνεχείς σε πεπερσµένο πλήθος σηµείων IV

6 Συνεχής επέκτση 6 ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΙΑΣΤΗΜΑ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ 6 Θεώρηµ Bolzao 6 Θεώρηµ ενδιµέσων τιµών 5 63 Συνέχει σε κλειστό ιάστηµ, συνέχει κι µονοτονί 8 64 Κτσκευή Πρδειγµάτων στο Θεώρηµ Bolzao 3 7 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 7 Ορισµός, συνθήκη Lipschitz κι οµοιόµορφη συνεχεί 6 7 Κτσκευή πρδειγµάτων στις οµοιόµορφ συνεχείς συνρτήσεις 3 8 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 Ορισµός της πργώγου 3 9 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE & ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 9 Θεώρηµ Rolle 5 9 Θεώρηµ Μέσης Τιµής 54 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισµός, Μελέτη µονοτόνου 58 Κτσκευή πρδειγµάτων µονοτόνων συνρτήσεων Α Μονότονες Συνρτήσεις 63 Β Μη µονότονες 64 Γ Μονοτονί κι ρίζες 64 Μονοτονί γενικών µορφών γνωστών Συνρτήσεων 65 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ορισµός, κρόττ κι συνεχεί, κρόττ κι συνέχει 67 Θεώρηµ Fermat 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ-ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ Ορισµοί, κοίλες, κυρτές, σηµεί κµπής 8 Ασύµπτωτες συνάρτησης 9 V

7 3 Κνόνς του L Hospital 94 4 Κτσκευή πρδειγµάτων κοίλων κι κυρτών συνρτήσεων 33 5 Κτσκευή συνρτήσεων µε σηµεί κµπής 34 3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ RIEMANN 3 Η Ολοκλήρωση κτά Riema 35 3 Το Ολοκλήρωµ Riema-Stieltjes 3 33 Ολοκληρωσιµότητ κι πράξεις συνρτήσεων 3 34 Ολοκληρωσιµότητ κι συνέχει 3 4 ΜΗΚΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ-ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΦΡΑΓΜΕΝΗΣ ΚΥΜΑΝΣΗΣ 4 Μήκος συνάρτησης φργµένη κύµνση 35 4 Απόλυτη συνέχει 3 5 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 5 Γενικά 3 5 Αόριστη ολοκλήρωση 33 6 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 38 7 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΚΛΙΣΗ 7 ορισµός-σύγκλιση κι πργωγισιµότητ 33 7 σύγκλιση κι ολοκληρωσιµότητ συνέχει πντού κι πουθενά πργωγισιµότητ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 355 ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΝΤΟΜΟΓΡΑΦΙΩΝ 38 ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΠΕΞΗΓΗΣΗΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ 38 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 38 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΝΟΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΩΝ 386 VI

8 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η προύσ εργσί ποτελείτι πό δύο µέρη Στο πρώτο µέρος γίνετι µι λεξικολογική, ιστορική, εννοιολογική, λογική, επιστηµολογική κι πιδγωγική προσέγγιση στο ντιπράδειγµ σε σχέση µε τον Απειροστικό Λογισµό Επίσης γίνετι µι προσέγγιση σε ιστορικά πρδείγµτ του Απειροστικού Λογισµού κθώς κι σε λάθη που έκνν µεγάλοι µθηµτικοί πάνω στην διίσθηση του πείρου Ανδεικνύετι έτσι η δυσκολί κτνόησης της έννοις του πείρου κθ ευτής, λλά κι ως πηγής επιστηµολογικών κι διδκτικών εµποδίων Φίνετι έτσι η νάγκη εισγωγής του ντιπρδείγµτος στην διδσκλί του Απειροστικού Λογισµού, ως πράγοντ άρσης κι θερπείς πρνοήσεων ή κι βελτίωσης λνθσµένων νοητικών νπρστάσεων των δύσκολων εννοιών που πργµτεύοντι το άπειρο κι το πειροστό Στο δεύτερο µέρος προυσιάζουµε διδκτικά πρδείγµτ κι ντιπρδείγµτ, κάνοντς µι κάλυψη σε όλ τ κεφάλι του Απειροστικού Λογισµού µε συνρτήσεις µις πργµτικής µετβλητής Έµφση δίδετι στ βσικά κεφάλι, όπως των κολουθιών όπου µελετάτι εκτετµέν η θεµελιώδης έννοι της σύγκλισης µέσω της πλέον πλής έννοις συνάρτησης όπου µπορεί ν υπάρχει σύγκλιση, όπως είνι η κολουθί πργµτικών ριθµών Γενικά, η έννοι του ορίου ως η πλέον βσική έννοι του Απειροστικού Λογισµού, µελετάτι προσεκτικά κι πλήρως Ειδικότερ: Ελήφθη µέριµν έτσι ώστε όλες οι εφρµογές που προυσιάζοντι ν έχουν πληρότητ προυσίσης κι ν κτγράφοντι λεπτοµερώς όλ τ βήµτ µις πόδειξης, ώστε ν µπορεί ν χρησιµοποιηθεί κι ως βοήθηµ πό ένν τελειόφοιτο Λυκείου µέχρι κι τον πτυχιούχο Μθηµτικό Ακόµ, στη έκτση των εννοιών που κλύπτει η προύσ εργσί, κρίθηκε σκόπιµο, εκτός πό τ θεµελιώδη εισγωγικά κεφάλι του, ορίου συνάρτησης, συνέχεις συνάρτησης, πργώγισης, µελέτης συνάρτησης κι ολοκλήρωσης, τ οποί κλύπτοντι πό το νλυτικό πρόγρµµ του Λυκείου, ν εισχθούν κι τ κεφάλι των Ακολουθιών κι των Σειρών Αυτά δεν διδάσκοντι πλέον στο Λύκειο, λλά µπορούν ν εισχθούν στο µέλλον όπως άλλωστε υπήρχν κι πλιότερ Επίσης, κρίθηκε νγκίο, ν υπάρχει κι η ύλη που κλύπτετι συνήθως στο πρώτο έτος των σχολών των Θετικών Επιστηµών κι των Πολυτεχνείων Έτσι κλύψµε το ολοκλήρωµ Riema, την οµοιόµορφη VII

9 συνέχει, την οµοιόµορφη σύγκλιση κολουθιών κι τ γενικευµέν ολοκληρώµτ Όλ πλέον τ κεφάλι, δεν κλύφθηκν σε βσικό επίπεδο, λλά σε προχωρηµένο γι λόγους πληρότητς Στην εργσί µς, υπάρχουν κάποι πρωτότυπ σηµεί που είνι τ εξής: Στο πρώτο µέρος: Εκφράζουµε την εικσί, ότι ο όρος «ντιπράδειγµ» δεν είνι µετάφρση του Αγγλικού όρου «coutereample» λλά προέρχετι πό το ρχιοελληνικό ρήµ ντιπρδείκνυµι το οποίο συνντάτι στ γρπτά του Γρηγορίου Νύσσης Η εικσί µς εδράζετι στην σηµσί του ρήµτος σε συγκεκριµένη χρήση του όπου πρτίθετι ντιπράδειγµ σε ορισµό του «ληθούς άρτου» κι π όπου ευθέως εξάγετι η ντίστοιχη σηµσί γι το ουσιστικό «ντιπράδειγµ» (Α 4 υτόθι) Πρθέτουµε δύο ρχίες χρήσεις του ντιπρδείγµτος Έν στον «Γοργί» του Πλάτωνος, (υπάρχει σε ξενόγλωσση βιβλιογρφί κι συγκεκριµέν στο διδίκτυο) κι το άλλο στους «Βίους Φιλοσόφων» του ιογένους Λερτίου (υπάρχει σε βιβλιογρφί, λλά όχι µε την σηµσί του ντιπρδείγµτος)(α5 υτόθι) 3 ιερευνούµε την συχνότητ εµφάνισης του διεπιστηµονικού όρου «ντιπράδειγµ» στην γλώσσ µς σε σχέση µε τον ντίστοιχο γγλικό όρο, µε προσφυγή στις διδικτυκές µηχνές νζήτησης (Α & Α υτόθι) 4 ιερευνούµε τις λεκτικές µθηµτικές διτυπώσεις που υποκρύπτουν ντιπράδειγµ(α33 υτόθι) 5 Πρθέσµε συγκεντρωτικά τις ιδιότητες κάποιων «πσπρτού» πρδειγµάτων κι ντιπρδειγµάτων του Απειροστικού Λογισµού που είνι η κολουθί ν (-) ν, η ντίστοιχη σειρά ( ) κθώς κι η συνάρτηση του Dirichlet (κι πρλλγές της ) Έκπληξη προκλεί πώς τόσο λίγ πρδείγµτ έχουν τόσο ενδιφέρουσες ιδιότητες που είνι διδκτικά πάρ πολύ χρήσιµες στην κτάδειξη λεπτών σηµείων της θεωρίς που χρήζουν δισφήσεως 6 Επεξετείνµε έν υπόδειγµ γι τ πρδείγµτ κι ντιπρδείγµτ του Ι Αρχωβίτη που βρήκµε στ Πρκτικά του 9 ου Συνεδρίου της ΕΜΕ στο άρθρο του «Έννοιες κι Ιδέες πό την Ιστορί των Μθηµτικών ρωγοί στην σύγχρονη διδκτική τους» σελ 69-7 Ουσιστικά κτστήσµε λίγο πιο λεπτοµερές το υπόδειγµ (µοντέλο) που περιγράφει το πεδίο κτνόησης µις VIII

10 έννοις κι τον ρόλο των κλάσεων πρδειγµάτων κι των ντιπρδειγµτων στην κτνόησή της Η επέκτση στην οποί προέβηµεν έγκειτι στην θεώρηση υποκλάσεων ντιπροσωπευτικών πρδειγµάτων κι ντιπρδειγµάτων ως προς µί ιδιότητ που θέτει εκ των προτέρων κάποιος κι η οποί είνι µεν υποκειµενική, λλά όχι κι υθίρετη, φού τίθετι ως πάντηση σε διδκτικά ή επιστηµολογικά εµπόδι που συνντούν οι µθητές Επίσης, στο λεπτοµερέστερο υτό υπόδειγµ, νκλύπτουµε µι πρκτική εφρµογή του στον έλεγχο της διδκτικής πληρότητς ενός βιβλίου σύµφων µε εκ των προτέρων γνωστά κι κοινοποιούµεν κριτήρι Γινόµστε σφείς µε έν συγκεκριµένο πράδειγµ: Στην προκήρυξη συγγρφής ενός βιβλίου Απειροστικού Λογισµού, γι το κεφάλιο «Σύγκλιση κολουθίς» τίθετι ο όρος «πληρότητ των προυσιζοµένων πρδειγµάτων σύγκλισης στο ως προς την κτεύθυνση σύγκλισης» Λέγοντς «κτεύθυνση σύγκλισης» συµφωνούµε ν ορίζουµε τις δυντές κλάσεις πρδειγµάτων σύγκλισης στο που κθορίζοντι πό το πλήθος των όρων τους που είνι δεξιά του, ριστερά του ή ίσοι µε κι φίνοντι στον πρκάτω πίνκ: Κλάση Πλήθος όρων < Πλήθος όρων Πλήθος όρων> Εκπλήρωση σθενέστερης συνθήκης πό την ν - <ε, ν ν ( ε) (Π ) πεπ/νο πεπ/νο πεπ/νο εν τις εξετάζει ο Απειροστικός Λογισµός (Π ) πεπ/νο πεπ/νο < ν < ε, ν ν ( ε) (Π 3 ) πεπ/νο πεπ/νο ν < ε, ν ν ( ε) (Π 4 ) πεπ/νο πεπ/νο < ν < ε, ν ν ( ε) (Π 5 ) πεπ/νο ν < ε, ν ν ( ε) (Π 6 ) πεπ/νο < < ε, ν ν ( ε) (Π 7 ) πεπ/νο ν < ε, ν ν ( ε) (Π 8 ) < ε, ν ν ( ε) ν ν Η κάθε κλάση κολουθιών πό την (Π ) έως κι (Π 8 ), έχει άπειρους κι υπερριθµήσιµους µάλιστ ντιπροσώπους Όµως, φθάνει κι µόνο έν πράδειγµ πό την κλάση (Π 8 ) γι ν δικιολογήσει πλήρως τον ορισµό Έν τέτοιο πράδειγµ θ µπορούσµε συµφωνήσουµε ν το λέµε πλήρες εξ ιτίς υτής του της ιδιότητς IX

11 Επίσης πρέπει ν σχολισθεί το εξής: Αν σε έν διδκτικό βιβλίο κολουθιών υπάρχουν πρδείγµτ πό τις κλάσεις (Π )-(Π 7 ) ενώ δεν υπάρχει κνέν πράδειγµ πό την κλάση (Π 8 ) τότε η τελική συνθήκη του ορισµού σύγκλισης, θ µπορούσε ν έχει µι µορφή διάζευξης των σθενεστέρων συνθηκών (Π ) έως (Π 7 ) η οποί είνι κι υτή µι σθενέστερη συνθήκη Συνεπώς, ν δεν πρτίθετι έστω κι έν πράδειγµ της κλάσεως (Π 8 ), ο γνωστός ορισµός της σύγκλισης δεν δικιολογείτι πλήρως Από την προσωπική του ντίληψη, κάθε νγνώστης που σχολείτι µε τ µθηµτικά κτλβίνει την σπνιότητ πράθεσης πρδείγµτος κολουθίς σν την 5, ν ν 3κ ν ( a ν ) ν : ν 5, ν ν 3κ η οποί συγκλίνει στο 5 κι µόνη της 5, ν ν 3κ ν δικιολογεί πλήρως τον ορισµό Η πράθεση οσουδήποτε πλήθους πρδειγµάτων πό όλες τις άλλες κλάσεις δεν δικιολογούν πλήρως την πίτηση εκπλήρωσης της ισχυρότερης συνθήκης < ε, ν ν ( ε), άρ κι τον ίδιο τον ορισµό ν Εποµένως πό τ πρπάνω, κθίσττι σφές το πιδγωγικό περιεχόµενο του τεθέντος κριτηρίου, το οποίο προσλµβάνει κι ντικειµενικό πλέον χρκτήρ Ανλόγως τίθεντι κι κριτήρι ντιπρδειγµάτων µη σύγκλισης γι τ οποί έν κριτήριο τξινόµησης θ µπορούσε ν είνι λχ ο ριθµός των ορικών ριθµών της κολουθίς Έτσι δηµιουργούντι οι κλάσεις : (i)οι κολουθίες που έχουν δύο τουλάχιστον ορικούς πργµτικούς ριθµούς (ii) Οι κολουθίες που συγκλίνουν στο (iii)οι κολουθίες που συγκλίνουν στο - (iu) Οι κολουθίες που έχουν ως ορικό «ριθµό» το είτε το - κι τουλάχιστον έν κόµη πργµτικό ριθµό Κάποιος θ µπορούσε ν θεωρήσει ν το θεωρεί διδκτικά νγκίο κι υποκλάσεις νάλογ µε το ν οι µη συγκλίνουσες κολουθίες έχουν άπειρους ή πεπερσµένους ορικούς ριθµούς Το βέβιο πό τ πρπάνω είνι, ότι γι την πλήρη προυσίση της έννοις της σύγκλισης σε έν εγχειρίδιο, θ πρέπει ν υπάρχουν ντιπρόσωποι πό όλες τις κλάσεις πρδειγµάτων κι ντιπρδειγµάτων(α4 υτόθι) 7 Στο τέλος κάθε κεφλίου στο Β µέρος, υπάρχουν κι σύντοµες οδηγίες γι την κτσκευή βσικών πρδειγµάτων επί του κεφλίου, κάτι που δεν γνωρίζουµε ν υπάρχει στην ελληνική τουλάχιστον βιβλιογρφί X

12 8 Κάποι σχόλι κι ντιπρδείγµτ επί των δυντοτήτων προγρµµάτων των Η/Υ κι στον ικνοποιητικό ή µη βθµό σχεδίσης γρφηµάτων είνι επίσης δικά µς(b33, B46, B5 ) Ευάριθµ επίσης ερωτήµτ τύπου ύπρξης ή ισχυρισµού που κτρρίπτετι µε ντιπράδειγµ σε κάθε κεφάλιο είνι δικά µς χωρίς βεβίως τ πρτιθέµεν ντιπρδείγµτ ν διεκδικούν µθηµτική πρωτοτυπί Τέλος, ο ίδιος ο τίτλος της εργσίς µς διεκδικεί πρωτοτυπί στην Ελληνική βιβλιογρφί κθώς κι η επιλογή ξιόλογων πρδειγµάτων που διευκρινίζουν θέµτ θεωρίς ή επέχουν θέση ποδείξεως σε επίσης λεπτά σηµεί των εννοιών του Απειροστικού Θέλουµε ν πιστεύουµε ότι η προύσ εργσί θ είνι χρήσιµη γι όλους τους νγνώστες φοιτητές ή σχολούµενους µε τ µθηµτικά γενικώς ΙΠΠ XI

13 Η λεξικογρφί του ντιπρδείγµτος Η νζήτηση στ διάφορ λεξικά Εντύπωση προκλεί η σπνιότητ κτγρφής του όρου «ντιπράδειγµ» στ Ελληνικά λλά κι στ ξενόγλωσσ λεξικά Αυτό µπορεί ν ποδοθεί στο γεγονός ότι ο όρος ποτελεί νεολογισµό, είνι δηλδή κτσκευσµένη στ νεώτερ χρόνι λέξη, δεν υπάρχει στ ρχί Ελληνικά κι µάλιστ είνι µετφρσµένος όρος πό τον ντίστοιχο Αγγλικό (coutereample) Αυτό τουλάχιστον νφέρει το γνωστό έγκυρο λεξικό Μπµπινιώτη, ν κι νκλύψµε µι χρήση του ρήµτος «ντιπρδείκνυµι» στον Γρηγόριο Νύσσης µε σηµσί ντίστοιχη του ουσιστικού που φέρετι ως νεολογισµός Όµως, η σπνιότητ κτγρφής του όρου «ντιπράδειγµ» κθίσττι δυσεξήγητη ν νλογισθούµε ότι πντάτι ήδη στην Ελληνική βιβλιογρφί τουλάχιστον πό την δεκετί του 6, είνι διεπιστηµονικός όρος κι όχι υστηρά µθηµτικός, ενώ η κθηµερινή του χρήση πό νθρώπους µε τουλάχιστον µέση εκπίδευση συµπίπτει σχεδόν κι µε το υστηρά ορισµένο νόηµ του όρου Ο πρκάτω πίνκς προυσιάζει γνωστά λεξικά στ οποί ντρέξµε κι στ οποί νφέρετι ή µη ο όρος «ντιπράδειγµ» Τυτότητ λεξικού Περιέχει τον όρο Μεγάλη Ελληνική Εγκυκλοπίδει 4 τ ΟΧΙ Εγκυκλοπίδει ΟΜΗ Πάπυρος Larouse Britaica 6 τ Αντίστροφο λεξικό Νές Ελληνικής ΓΙ Κουρµουλή Στυρο-λεξικό (36 λέξεις) Νέο Ελληνικό Λεξικό- Κριρά ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ Σε µι πρόχειρη νζήτηση στην βιβλιοθήκη του Μθηµτικού Τµήµτος του Πν Αθηνών βρήκµε το σύγγρµµ του Χρήστου Β Γκλάβ «Εισγωγή στην συνολοθεωρί» που νφέρετι στο ντιπράδειγµ κι στον µθηµτικό ορισµό του, (σελ 86) το οποίο έχει εκδοθεί το 967

14 Λεξικό Νές Ελληνικής Γλώσσης- Στµτάκου Λεξικό Κοινής Νεοελληνικής -Τριντφυλλίδη Επίτοµο Εγκυκλοπιδικό λεξικό Ελευθερουδάκη Λεξικό Πρωίς τ Λεξικό Πιδεί Εκδόσεις Στφυλίδη Μέγ Αγγλοελληνικό λεξικό Εκδόσεις Οδυσσές 4τ Υπερλεξικό Ελληνικής Γλώσσς Πγουλάτου 6 τ Επίτοµο Αγγλοελληνικό λεξικό Στυρόπουλου Επίτοµο Ελληνογγλικόν λεξικόν Κυρικοπούλου Ελληνογγλικό Λεξικό Γιωργκά,επί γρµµής (O-lie) Ελληνικό Λεξικό Τεγόπουλου Φυτράκη Ecyclopedia of Statistical scieces ( τόµοι) Ecyclopaedia of mathematics (6 τόµοι) Αγγλο-Eλληνικόν Λεξικόν Μθηµτικών όρων Π Ππγιννκόπουλου Επίτοµο Λεξικό Μθηµτικών -Πττάκη Αγγλοελληνικό & Ελληνογγλικό ηλεκτρονικό λεξικό MAGENTA Μετφρστικό λογισµικό SYSTRAN Λεξικό Νεοελληνικής Γλώσσς Μπµπινιώτη Αγγλοελληνικό λεξικό Μθηµτικών όρων εκδόσεις ΤΡΟΧΑΛΙΑ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ OXI ΟΧΙ ΟΧΙ ΝΑΙ NAI ΝΑΙ ΝΑΙ Η νζήτηση στον Πγκόσµιο Ιστό Ενδιφέρον προυσιάζει κι η ποιοτική κτνοµή της χρήσης της λέξης σε τοµείς της ζωής µς Μι περιήγηση στις γνωστές µηχνές νζήτησης Google, Alta Vista, Yahoo οι οποίες υποστηρίζουν τ Ελληνικά, επί 65 διφορετικών ιστοσελίδων που περιέχουν την λέξη «ντιπράδειγµ» έδωσν, ότι τ /3 νφέροντι σε Μθηµτικά κι το /3 περίπου σε άλλους τοµείς Τ ποτελέσµτ φίνοντι στον πρκάτω πίνκ:

15 Τοµείς Συχνότητ ηµιουργήθηκε το ερώτηµ ν εµφάνισης κι κτά πόσον ο όρος Μθηµτικά 45 «ντιπράδειγµ» πντάτι Πληροφορική 5 συχνότερ στην Ελληνική Οικονοµί γλώσσ π ότι στην Αγγλική Γρµµτική ή όχι Μι ενδεικτική προσεγγιστική έρευν θ ήτν Οικολογί ν δούµε ν οι λόγοι των Λογική συχνοτήτων εµφάνισης της Χηµεί λέξης «Αντιπράδειγµ» προς Κοινωνιολογί την λέξη «πράδειγµ» στις Τεχνολογί Θρησκεί Πολιτική δύο γλώσσες είνι ίσοι Με προσφυγή στις υπηρεσίες των µηχνών νζήτησης, κι Συζητήσεις ειδικά στην Google,(στις Κινηµτογράφος ηµοσιογρφί //3) βρήκµε ότι ο λόγος των ιστοσελίδων που Συνδικλισµός περιέχουν τουλάχιστον µί ΑΘΡΟΙΣΜΑ 65 φορά την λέξη eample σε όλες τις πτώσεις ενικού κι πληθυντικού ριθµού είνι ενώ γι τον όρο coutereample 95 Έχοµε έτσι τον λόγο :33 Στην Ελληνική οι ντίστοιχες πόλυτες συχνότητες στην ίδι µηχνή είνι 3 κι 5 που δίνουν λόγο : εδοµένου όµως του µικρού πολύτου µεγέθους του «ντιπρδείγµτος» (5) δεν µπορούµε ν δικινδυνεύσουµε κάποιο σφές συµπέρσµ Ενισχύοντι ίσως οι υποψίες ότι στην Ελλάδ ο όρος «ντιπράδειγµ» δεν χρησιµοποιείτι όσο κι στην Αγγλόφωνη κοινότητ Αν µάλιστ σκεφθούµε κι τον πρεµφερή όρο «o-eample» µε ή χωρίς συνδετικό που σηµίνει «ντιπράδειγµ σε ορισµό» (δηλ «πράδειγµ που δεν εκπληροί ορισµό» το «µη- πράδειγµ» όπως κτά λέξη ποδίδετι) Ν γίνει σφές ότι δεν µετράµε τις συχνότητες εµφάνισης των όρων στην γρπτή γλώσσ γενικώς, φού οι µηχνές εµφνίζουν σελίδες που περιέχουν τουλάχιστον µί λέξη κλειδί νά σελίδ Σε κάθε περίπτωση όµως, έχοµε µι προσέγγιση της πργµτικότητς 3

16 ενισχύετι η υποψί υτή ν κι ο όρος έχει πολύ µικρή συχνότητ εµφάνισης (85 σε όλες τις πτώσεις ενικού κι πληθυντικού, µε ή χωρίς συνδετικό) 3 Η ερµηνεί των λεξικών Πρθέτουµε τις ερµηνείες των ελχίστων λεξικών που περιέχουν τον όρο «ντιπράδειγµ» κι «Coutereample» Ελληνογγλικό &Αγγλοελληνικό Ηλεκτρονικό λεξικό Mageta : Coutereample: Πράδειγµ κτρρίπτον θεωρί Αντιπράδειγµ: εν δίδετι ερµηνεί Ηλεκτρονικό µετφρστικό πρόγρµµ SYSTRAN: Coutereample: Πράδειγµ εξίρεση στον κνόν Αντιπράδειγµ: εν δίδετι ερµηνεί Dictioary of Mathematics (GEisereich-RSube) : Πρτίθεντι οι όροι σε Αγγλικά, Γλλικά, Γερµνικά, ντιστοίχως κι ως εξής: Coutereample, cotre-eemple, Gegebeispiel Μετφρστική µηχνή Alta-Vista : Ισπνικά -cotraejemplo, Ιτλικά- cotro-esempio, Ρωσσικά контрпример Νεοελληνικό λεξικό Μπµπινιώτη:Πράδειγµ που ντρέπει την ισχύ υπόθεσης, άποψης κτλ η οποί (υπόθεση) βσίζετι σε άλλ πρδείγµτ «Στο άρθρο της προυσιάζει ντιπρδείγµτ στην υπόθεση που είχε διτυπώσει ο συνάδελφός της» ΕΤΥΜΟΛΟΓΙΑ: Μετφρσµένο δάνειο της Αγγλικής couter-eample Ν επισηµάνουµε, ότι ουσιστικά τ µόν Ελληνικά λεξικά που περιέχουν τον όρο ντιπράδειγµ είνι της Mageta κι του κ Μπµπινιώτη, κοινό χρκτηριστικό των οποίων είνι η σύγχρονη λεξικογρφί 4 Μι κινούργι υπόθεση γι το ρήµ «ντιπρδείκνυµι» Τ ρχί Ελληνικά λεξικά περιέχουν το λήµµ «ντιπρδείκνυµι» πό το οποίο θ µπορούσε ν πρχθεί το ουσιστικό «ντιπράδειγµ» 4

17 Όµως, το µονδικό Ελληνικό λεξικό που νφέρετι κι σωστά στον όρο είνι του κ Μπµπινιώτη το οποίο όµως ποφίνετι ότι πρόκειτι γι νεολογισµό- µετάφρση του couter-eample όπου η κτά λέξη πόδοσή του είνι «ενάντιοπράδειγµ» Τ τρί πιο έγκυρ λεξικά που έχοµε νφέρουν: Hery G Liddell-Robert Scott: Πρβάλω, συγκρίνω ντιπρτίθηµι, (τινά τινί) (:Με κάποιον/ σε κάτι) Μέγ Λεξικόν ελληνικής Γλώσσης ηµητράκου, 9τ: ντιπρβάλλω προβάλω προς σύγκρισιν ντιπρθέτω Λεξικόν Αρχίς Ελληνικής Στµτάκου : Πρβάλλω συγκρίνω «Τον Ιωάννην ντιπρξείξι τω διδσκάλω» Γρ Νύσσης,99C Μι εκτενέστερη κι εκτετµένη νζήτηση στον «Θησυρό της Ελληνικής Γλώσσης» όπου το λογισµικό νζήτησης ερευνά το σύνολο της ρχίς Γρµµτείς, βρήκµε ότι το θέµ «ντιπρδ*» εµφνίζετι µόνο στον Γρηγόριο Νύσσης Εκεί εµφνίζοντι τρί µόνο ποτελέσµτ στην νζήτηση, σε έν των οποίων γίνετι χρήση ενός κθρού ντιπρδείγµτος PERI KATASKEUHS ANQRWPOU(76 στίχοι 46-53) OŒo e tij tõ lhqá de eie rto, fam tõ toioàto kur wj pilšgei tù ØpokeimšJ tõ Ôoma E dš tij tõ põ l qou techqšta tù kat fúsi tiparade eie, ú scáma m tõ aùtõ, kaˆ tõ mšgeqoj so, kaˆ ¹ toà crèmatoj ÐmoiÒthj, éste di tî ple stw tõ aùtõ eai tù prwtotúpj doke, pile pei d aùtù tõ kaˆ trof¾ dúasqai eai par toàto où kur wj, ll' k katacr»sewj táj pwum aj toà rtou tetuchkšai tõ l qo lšgwme (Απόδοση δική µς): Είνι το ίδιο µε το σν ν ήθελε κάποιος ν υποδείξει το ληθινό κρβέλι κι ν λέµε ότι πρέπει ν το επιλέγουµε κυρίως 5

18 πό το εάν ονοµάζετι έτσι Αν όµως ντιπρβάλλει κάποιος έν τεχνητό, ως προς την φυσική του υπόστση, πό πέτρ, µε ίσο µέγεθος, ίδιο σχήµ κι όµοιο χρώµ, ώστε σύµφων µε τ περισσότερ χρκτηριστικά του γνωρίσµτ ν θεωρείτι ότι είνι ίδιο µε το πρωτότυπο κι ν υπολείπετι µόνο το χρκτηριστικό του ν είνι βρώσιµο, πρ όλ υτά όχι κτά κνόν λλά κτχρηστικά, την πέτρ την λέµε κρβέλι Το νόηµ συνοπτικά: Ο Γρηγόριος Νύσσης λέει, ότι ότν λέµε «άρτος» λέµε υτόν που υπόκειτι στο όνοµ κτά όλ τ χρκτηριστικά του, λλιώς θ έπιρνε κάποιος έν κρβέλι πό πέτρ µε ίδιο σχήµ ίδιο χρώµ κι ίσο µέγεθος το οποίο βεβίως δεν τρώγετι κι θ το έλεγε «άρτο» Κι νι µεν λέµε άρτο, τον λίθο, λλά κτχρηστικά Είνι φνερό, ότι η χρήση του ρήµτος ντιπρδείκνυµι στο νωτέρω εδάφιο, γίνετι µε την έννοι «ντιπράδειγµ σε ορισµό» (Αληθής άρτος) εν ποκλείετι βεβίως ο όρος ντιπράδειγµ ν είνι όντως µετάφρση νεολογισµός εκ της Αγγλικής, λλά νοµίζοµε ότι υτό το εύρηµ θ πρέπει ν προβληµτίσει στο εάν κι κτά πόσον ο νώνυµος γλωσσοπλάστης περιορίσθηκε στην µετάφρση του Αγγλικού όρου, δηµιούργησε λέξη χωρίς ν γνωρίζει την ύπρξη ντιστοίχου ρήµτος ή (όπως βσίµως υποπτευόµεθ) πέδωσε ένν όρο έχοντς υπ όψιν του κι το ρχίο ρήµ κι την σηµσί του 5 Αρχίες χρήσεις του Αντιπρδείγµτος Το ντιπράδειγµ είνι µι έννοι που χρησιµοποιήθηκε στην Λογική κι κτ επέκτσιν ως συσττικό της φρέτρς επιχειρηµάτων σε συζητήσεις κι ντιπρθέσεις φιλοσοφικού ή άλλου περιεχοµένου Κτγράψµε δύο χρήσεις του που προκύπτουν πό ρχίες γρπτές πηγές Η πρώτη φορά τον διάλογο του Πλάτωνος «Γοργίς» όπου ο Κλλικλείς συνδιλεγόµενος µε τον Σωκράτη, διφωνεί γι τον ορισµό του «βελτίου» κι του «κρείσσονος ισχυρού» Ο Κλλικλείς φρονεί ότι οι έννοιες υτές συµπίπτουν Τότε ο Σωκράτης του επισηµίνει ότι σύµφων µε υτά που ισχυρίζετι ο Κλλικλείς θεωρεί του δούλους κλύτερους πό υτόν, φού 6

19 ν µζευτούν πολλοί θ είνι ισχυρότεροι, άρ κλύτεροι! Είνι σε έν σηµείο του διλόγου, στο οποίο έχει κορυφωθεί η διφωνί περί της δικρίσεως βελτίωνος κι µείνωνος κι ο Σωκράτης χρησιµοποιεί την λεγόµενη «Σωκρτική ειρωνεί» κάνοντς µάλιστ τον Κλλικλεί ν χάσει την ψυχριµί του Πρόκειτι δηλ γι «ντιπράδειγµ σε ορισµό» λίν ενδιφέρον που φίνετι στο πρκάτω πόσπσµ : (Στέφνος, σελ 49 - πρ b στ7 έως e στ4) KAL OØtosˆ ¾r où paúsetai fluarî e pš moi, ð Sèkratej, oùk a scúv thlikoàtoj í ÑÒmata qhreúw, kaˆ tij»mati m rtv, rmaio toàto poioúmeoj; m g r o ei llo ti lšgei tõ kre ttouj eai À tõ belt ouj; où p lai soi lšgw Óti taùtò fhmi eai tõ bšltio kaˆ tõ kre tto; À o ei me lšgei, surfetõj sullegí doúlw kaˆ patodapî qrèpw mhdeõj w pl¾ swj tù sèmati scur sasqai, kaˆ oátoi fîsi, aùt taàta eai Òmima; SW Ee, ð sofètate Kall kleij oûtw lšgeij; KAL P u m oâ SW 'All' gë mš, ð daimòie, kaˆ aùtõj p lai top zw toioàtò t se lšgei tõ kre tto, kaˆ erwtî glicòmeoj safîj e dšai Óti lšgeij où g r d»pou sú ge toýj dúo belt ouj ¹gÍ toà Òj, oùd toýj soýj doúlouj belt ouj soà, Óti scuròtero e si À sú ll p li rcáj e p t pote lšgeij toýj belt ouj, peid¾ où toýj scurotšrouj; kaˆ ð qaum sie prvòterò me prod daske, a m¾ pofoit»sw par soà KAL E rweúv, ð Sèkratej SW M tõ ZÁqo, ð Kall kleij, ú sý crèmeoj poll ud¾ e rweúou pròj me ll' qi e pš, t aj lšgeij toýj belt ouj eai; 7

20 Περισσότερο κθρό είνι το δεύτερο ντιπράδειγµ σε ορισµό που µς διηγείτι ο ιογένης ο Λέρτιος στους «Βίους Φιλοσόφων» Αποδίδετι στον ιογένη τον Κυνικό, ο οποίος θέλησε ν γελοιοποιήσει τον λνθσµένο ορισµό του Πλάτων περί νθρώπου, όπου σύµφων µε τον Λέρτιο, ο Πλάτων είχε ισχυρισθεί ότι ο άνθρωπος είνι όν άπτερον δίπουν Τότε, ο Κυνικός ξεπουπούλισε ένν κόκορ κι τον εισήγγε στην σχολή του Πλάτωνος λέγοντς, «Ιδού ο άνθρωπος του Πλάτωνος!» Κι πό τότε έκνε διόρθωση του ορισµού ο Πλάτων εισάγοντς στον ορισµό την επί πλέον προϋπόθεση ν είνι κι πλτυώνυξ! Πέρν του γλφυρού της ιστορίς, βλέποµε την χρησιµότητ του ντιπρδείγµτος στην κτάδειξη των λνθσµένων ορισµών, κι στην βελτίωση των υποθέσεων στην επιστηµονική έρευν Μπορούµε επί πλέον ν πούµε ότι κι το συγκεκριµένο πράδειγµ του ιογένους του Κυνικού είνι κι εξόχως πιδγωγικό, λόγω του ότι είνι εντυπωσικό,ενώ η έµπρκτη κτσκευή του (µη λεκτική) ήτν πρσττική κι άρ κτλυτική γι την διόρθωση του ορισµού εκ µέρους του Πλάτωνος! Πρθέτουµε το πρωτότυπο πόσπσµ το οποίο είνι πλήρως κτνοητό: Pl twoj Ðrisamšou, AqrwpÒj sti zùo d pou ptero, kaˆ eùdokimoàtoj, t laj lektruòa e s»egke aùtõ e j t¾ scol¾ ka fhsi, oátòj sti Ð Pl twoj qrwpoj Óqe tù ÓrJ prosetšqh tõ platuèuco ( ιογένης Λέρτιος, «Βίοι Φιλοσόφων» Βιβλίο 6 πρ4 στ 5-9) Επιστηµολογί κι ντιπράδειγµ Η θέση του ντιπρδείγµτος στην επιστηµολογί κτέχει κύρι θέση κι ειδικά πίζει θεµελιώδη ρόλο στην διψευσιοκρτί 8

21 Η διψευσιοκρτί είνι µι σχολή µε κύριους εκπροσώπους τους Poppert κι Lakatos, η οποί νπτύχθηκε κυρίως ως ντίθεση στην τελή (µη µθηµτική ) επγωγή που χρησιµοποιούν όλες οι επιστήµες πλην των µθηµτικών γι ν ερµηνεύσουν, περιγράψουν κι προβλέψουν διάφορ φινόµεν Σύµφων µε τους διψευσιοκράτες, όσες πρτηρήσεις κι ν έχουµε στην διάθεσή µς, είνι δύντον ν βγάλουµε έγκυρους κθολικούς νόµους κι θεωρίες, πράγµ που κάνουν οι Επγωγιστές Από την άλλη πλευρά, είνι δυντόν µόνο µε ενικές πρτηρησικές ποφάνσεις, ν διψεύσουµε γενικούς νόµους εκτελώντς λογικές πράξεις Πρδείγµτος χάριν: Έχοντς δεδοµένη την πόφνση «Έν κοράκι που δεν ήτν µύρο πρτηρήθηκε στην θέση χ την ώρ t», έπετι λογικά ότι η πόφνση «όλ τ κοράκι είνι µύρ» είνι ψευδής ηλ το επιχείρηµ : Προκείµενη: Έν κοράκι το οποίο δεν ήτν µύρο, πρτηρήθηκε στην θέση χ κτά την χρονική στιγµή t Συµπέρσµ: εν είνι όλ τ κοράκι µύρ συνιστά ένν λογικώς έγκυρο πργωγικό συλλογισµό Το πρτηρηθέν µη µύρο κοράκι συνιστά ντιπράδειγµ στον ισχυρισµό της πρότσης «Όλ τ κοράκι είνι µύρ» Άλλο πράδειγµ: Αν µε κάποιο τρόπο πρτηρούσµε ότι δύο σώµτ µζών Kgr κι Kgr ντιστοίχως εκτελούν ελεύθερη πτώση σε χρόνους που δεν είνι νάλογοι των µζών κι εντός των ορίων σφλµάτων των µετρήσεων, τότε έχουµε βρει έν ντιπράδειγµ στον νόµο της πτώσης των σωµάτων κτ Αριστοτέλη Ο Αριστοτέλης έλεγε ότι τ σώµτ εκτελούν εντός του έρ ελεύθερη πτώση σε χρόνους νλόγους των βρών τους, ενώ έν σώµ βουλιάζει σε διφορετικά υγρά σε χρόνους ντιστρόφως νλόγους των ειδικών βρών τους 3 3 Σήµερ φίνετι εξιρετικά περίεργη η µη διάψευση ενός τέτοιου χοντροκοµµένου νόµου γι την ελεύθερη πτώση, δεδοµένου ότι στην ρχιότητ κι χρονόµετρ υπήρχν κι ζυγοί ικνοποιητικής κριβείς ώστε τουλάχιστον ν µετρούν το µη δεκπλάσιον του χρόνου πτώσης Πρέπει ν δεχθούµε ότι εδώ βρήκε εφρµογή η πέχθει που ένοιωθν οι ρχίοι προς 9

22 Ιστορικό είνι κι έν άλλο ντιπράδειγµ που έχει χρησιµοποιήσει ο Leibitz µζί µε χρήση της εις άτοπον πγωγής ενάντι στους διτυπωθέντες νόµους της κίνησης πό τον Descartes Συγκεκριµέν είπε: Νόµος : Αν δύο σώµτ Α, Β µε ίσες µάζες κι ντίθετες τχύτητες, συγκρουσθούν κεντρικά, τότε ντλλάσσουν τχύτητες, κινούµεν ντίρροπ Νόµος : Αν δύο σώµτ Α, Β µε διφορετικές µάζες κι ντίρροπες τχύτητες συγκρουσθούν κεντρικά, τότε το σώµ µεγλύτερης µάζς συνεχίζει την κίνησή του µε την ίδι τχύτητ, ενώ το σώµ µε την µικρότερη µάζ λµβάνει την τχύτητ του µεγλυτέρου Ο Leibiz επιχειρηµτολόγησε ως εξής: Μπορούµε ν υποθέσουµε ότι η διφορά των µζών γίνετι οσοδήποτε µικρή Τότε γι µι πειροελάχιστη διφορά στην µάζ, θ ισχύει κι ο νόµος κι ο νόµος ηλδή, η ιτί της πειροελάχιστης διφοράς µάζς, προκλεί την µεγλύτερη δυντή διφορά στο ποτέλεσµ Αλλά, ως γνωστόν, η φύση δεν κάνει άλµτ Σήµερ θ λέγµε ότι ν ισχύει ο νόµος κι µετκινηθεί έν ηλεκτρόνιο πό το σώµ Α στο σώµ Β, θ προκληθεί η µέγιστη δυντή διφορά στο ποτέλεσµ 4 To κυριότερο χτύπηµ του Popper ενντίον του θεµελικού χρκτήρ της γνώσης δίνετι στο πρόβληµ της επγωγής Εκεί επικεντρώνει ο Popper την κύρι ντίθεσή του στον θετικισµό, επιστρέφοντς στ πλιά σχετικά επιχειρήµτ του David Hume ενντίον του επγωγικού συµπερσµού Γι πράδειγµ, επειδή όλοι οι κύκνοι που πρτηρήθηκν ως κάποι χρονική στιγµή είνι λευκοί, δεν σηµίνει ότι υπάρχουν οι λογικές βάσεις γι ν ποκλεισθεί ότι σε µι επόµενη πρτήρηση µπορεί ν βρεθεί ένς µύρος κύκνος (κάτι που έχει στην πργµτικότητ συµβεί µε την νκάλυψη µύρων πάσ µορφή πρκτικής ενσχόλησης όπως είνι οι µετρήσεις, φού πίστευν ότι η προσέγγιση της γνώσης γίνετι µόνο µε τον νου Τον νόµο της πτώσης του Αριστοτέλη διέψευσε εφυιέσττ ο Γλιλίος, ο οποίος έριξε δύο πόρτες ιδίου σχήµτος φορές πό γκρεµό Η µί ήτν σιδερένι κι η άλλη ξύλινη (ελφρύτερη) Την µι φορά έβλε την ξύλινη κάτω κι την σιδερένι πάνω κι την άλλη ενλλάξ Κι τις δύο φορές οι πόρτες έφθσν µζί κάτω Αν ίσχυε ο νόµος του Αριστοτέλη, θ έπρεπε ν πρτηρηθεί την πρώτη φορά τυτόχρονη άφιξη, φού η σιδερένι θ ωθούσε την ξύλινη, λλά την δεύτερη θ έπρεπε ν πρτηρηθεί πόκλιση, κθώς η σιδερένι θ πεσπάτο πό την ξύλινη, πράγµ που δεν πρετηρήθη! 4 Το επιχείρηµ του Leibitz φίνετι ν προέρχετι κτ ευθείν πό τον πειροστικό λογισµό κι την λογική των πειροστών ποσοτήτων µε τις οποίες κτετρίβετο

23 κύκνων στην Αυστρλί) Σύµφων µε τον Hume η επγωγική λογική οδηγεί σε µι τέλειωτη νδροµή µε την έννοι ότι, επειδή δεν ξέρουµε ν µι κόµη πρτήρηση θ επληθεύσει ή θ διψεύσει την υπόθεσή µς, γι υτό χρειάζετι ν την κάνουµε, βρισκόµενοι όµως πάλι στην ίδι κτάστση, οπότε ξνκάνουµε την πρτήρηση κοκ Με άλλ λόγι, ενώ το γενικό νφέρετι σε µι πειρί περιπτώσεων, οι εµπειρικές πρτηρήσεις του ειδικού περιορίζοντι ν ελέγξουν µόνο έν πεπερσµένο πλήθος πό υτές, οπότε ποτέ δεν είµστε σίγουροι ν η επόµενη περίπτωση δεν θ πρβιάσει τον γενικό κνόν Γι ν βγει πό το διέξοδο υτό της επγωγικής λογικής, ο Popper διµορφώνει ένν άλλο τρόπο συµπερσµού, στον οποίον ντικθιστά την ρχή της επλήθευσης µε την ρχή της διάψευσης Η επιστηµολογική µέθοδος του Popper, βσίζετι σε εικσίες κι νσκευές Είνι επίσης γνωστή όπως προείπµε ως διψευσιοκρτί ή µέθοδος δοκιµής κι λάθους Σύµφων µε υτήν, η επιστήµη δεν ξεκινά πό τις πρτηρήσεις, γι ν προχωρήσει µετά σε επγωγικές συνγωγές, όπως ισχυρίζοντι οι επγωγιστές Αντιθέτως, ρχικά τίθεντι κάποιες εικσίες, δηλδή, υποθετικά συµπεράσµτ, τ οποί στη συνέχει οι επιστήµονες υποβάλλουν σε εµπειρικές δοκιµσίες προσπθώντς ν τ νσκευάσουν κρτώντς πένντί τους µι κριτική στάση κι πειρµτιζόµενοι µε ενλλκτικές υποθέσεις Στην θέση λοιπόν της επγωγικής λογικής (τη συνγωγή πό το ειδικό στο γενικό), ο Popper βάζει την πργωγική λογική (τη συνγωγή πό το γενικό στο ειδικό) µέσω της διάψευσης (νσκευής) µις υπόθεσης (εικσίς) Μι επιστηµονική θεωρί, που επιβιώνει µετά πό έν σηµντικό πλήθος κριτικών ελέγχων κι πειρµτικών δοκιµσιών, µπορεί ν γίνει µόνο προσωρινά ποδεκτή, ποτέ σε οριστική βάση, µέχρις ότου συµβεί ν πορριφθεί σε κάποι ενδεχόµενη µελλοντική δοκιµσί Με άλλ λόγι, κµιά θεωρί δεν είνι γι τον Popper επληθεύσιµη, πλώς µπορεί ν έχει υψηλό βθµό εµπειρικής ενίσχυσης (corroboratio), κάτι που σηµίνει ότι όλες οι επιστηµονικές θεωρίες είνι κτά κνόν διψεύσιµες Επιπλέον, πολλές φορές, υπάρχουν επιστηµονικές θεωρίες, που µολονότι ήδη έχουν διψευσθεί, συνεχίζουν ν γίνοντι ποδεκτές Σν έν τέτοιο πράδειγµ ο Popper συνήθιζε ν φέρνει τη Νευτώνει µηχνική Η θεωρί του Νεύτων βρισκότν σε µι εντυπωσική συµφωνί µε την πρτήρηση κι το πείρµ πό τον

24 κιρό που πρώτο-εµφνίσθηκε (το 687) ως το 9 Στην περίοδο όµως 9- βρέθηκε ν µην είνι κριβής πό την άποψη της σχετικιστικής µηχνικής, χωρίς όµως ν έχει πό τότε εγκτλειφθεί 3Λογική κι ντιπράδειγµ 3 Ο Μθηµτικός ορισµός του ντιπρδείγµτος Ένς βσικός νόµος της λογικής, είνι ο νόµος της ποκλίσεως µέσου ή τρίτου του Αριστοτέλη Σύµφων µε υτόν, γι κάθε λογική πρότση Ρ, ή θ είνι ληθής η Ρ, ή θ είνι ληθής η ντίθετής της, η Ρ ηλ η Ρ είνι ληθής εάν κι µόνον εάν η Ρ είνι ψευδής κι επίσης, η Ρ είνι ληθής εάν κι µόνον εάν η Ρ είνι ψευδής Ο πρπάνω νόµος ισχύει στ πλίσι της Αριστοτέλεις λογικής ή όπως λλιώς λέµε στ πλίσι της δίτιµης λογικής ηλ κάθε πρότση Ρ µπορεί ν λάβει δύο µόνο τιµές :Α (ληθής) ή Ψ (ψευδής) Τ πρπάνω λχ µς επιτρέπουν ν χρκτηρίσουµε πράλογο το ερώτηµ : «Μπορεί ο Θεός ως Πντοδύνµος ν κτσκευάσει µι πέτρ που ν µην µπορεί ν την σηκώσει;» ιότι ισοδυνάµως είνι ως ν ν ερωτάµε εάν ο Θεός µπορεί τυτοχρόνως ν είνι «Πντοδύνµος» κι «όχι Πντοδύνµος» δηλ µι πρότση Ρ ν είνι ληθής κι τυτοχρόνως ν είνι ληθής κι η Ρ, πράγµ που ποκλείει η Αριστοτέλει Λογική Υπάρχουν βεβίως κι πλειότιµες Λογικές όπου µι πρότση Ρ δεν είνι ληθής ή ψευδής λλά έχει έν βθµό ληθείς µετξύ κι Υπάρχουν επίσης Μθηµτικές σχολές όπως υτή του Ολλνδού Brouwer, η σχολή του Ενορτισµού ή Ιντουσιονισµού όπου η µέθοδος πόδειξης της εις άτοπον πγωγής δεν ισχύει, πιτούντι κι πρόσθετες προϋποθέσεις γι την συνεπγωγή, κι επίσης κάθε πόδειξη θ πρέπει ν είνι κτσκευάσιµη, σύµφων µε µι στενή έννοι κτσκευσιµότητς

25 Στις πλειότιµες λογικές κι στ κτσκευστικά Ιντουσιονιστικά Μθηµτικά δεν έχει θέση η λογική του ντιπρδείγµτος όπως θ προυσισθεί εδώ, λλά µόνο στην κοινή- γνωστή µς, Αριστοτέλει Προτσικός τύπος Είνι ληθής Είνι ψευδής ( )[ P( )] ( )[ P( )] ( )[ P( )] ( )[ P( )] Αν γι όλ τ χ, η Ρ(χ) είνι ληθής Αν γι έν τουλάχιστον χ,η Ρ(χ) είνι ληθής Αν γι όλ τ χ,η Ρ(χ) είνι ψευδής Αν γι έν τουλάχιστον χ, η Ρ(χ) είνι ψευδής Αν γι έν τουλάχιστον χ, η Ρ(χ) είνι ψευδής Αν γι όλ τ χ, η Ρ(χ) είνι ψευδής Αν γι έν τουλάχιστον χ, η Ρ(χ) είνι ληθής Αν γι όλ τ χ, η Ρ(χ) είνι ληθής Λογική Επειδή το ντιπράδειγµ σχετίζετι άµεσ µε τους ποσοδείκτες κι (: «ι κάθε» κι «υπάρχει») πρθέτουµε ένν πίνκ µε την σηµσί τους στις προτάσεις : Από τον νωτέρω πίνκ, πρτηρούµε, ότι : (( )[ P( )]) ( )[ P( )] (( )[ P( )]) ( )[ P( )] Σύµφων µε τις προηγούµενες τυτολογίες, είµστε έτοιµοι ν δώσουµε τον πρκάτω ορισµό του ντιπρδείγµτος: ΟΡΙΣΜΟΣ: Εάν θέλουµε ν ποδείξουµε ότι η πρότση «: P( )» είνι ψευδής, πρέπει κι ρκεί ν ποδείξουµε ότι η πρότση «: P( )» είνι ληθής ηλδή, πρέπει ν βρούµε έν στοιχείο νφοράς έτσι ώστε η Ρ( Το ) ν είνι ψευδής του σχετικού συνόλου θ λέγετι τότε ντιπράδειγµ στην πρότση «: P ( )» 3

26 Σύµφων µε τον πιο πάνω ορισµό η έννοι ντιπράδειγµ εννοείτι ως «ενάντιο πράδειγµ» δηλδή «πράδειγµ ενάντι σε ισχυρισµό» Ότν όµως έν πράδειγµ δεν πληροί ένν ορισµό, εκτός πό «ντιπράδειγµ» το χρκτηρίζουµε κι ως «µη πράδειγµ» Αλλά, όπως η πρότση ισχυρισµός κθορίζει πρδείγµτ δύο κλάσεων, υτή των πρδειγµάτων που τον ικνοποιούν κι υτή των πρδειγµάτων που δεν την ικνοποιούν, οµοίως κι ένς ορισµός, ορίζει δύο ντίθετες κλάσεις, υτή των πρδειγµάτων που τον ικνοποιούν κι την κλάση των πρδειγµάτων που δεν τον ικνοποιούν Έτσι, νλογικά,, λέµε κι το µη-πράδειγµ σε ορισµό (πράδειγµ µη εκπληρόν τον ορισµό) κι υτό ντιπράδειγµ Εδώ υπάρχει κι έν λεπτό σηµείο : Ο ξεπουπουλισµένος κόκορς του ιογένη του Κυνικού, ήτν πράδειγµ στον ορισµό του Πλάτωνος κι µηπράδειγµ (ντιπράδειγµ) σε άλλον (κοινής ποδοχής-υπονοούµενο) ορισµό 3 Τ είδη του ντιπρδείγµτος Η γενική τξινόµηση των ντιπρδειγµάτων σε σχέση µε την µορφή τους περιλµβάνει τρεις βσικές-γενικές κτηγορίες, λλά κι πολλές ειδικές : Ειδικό ριθµητικό ντιπράδειγµ: Είνι υτό που δεν δίνει κµί πληροφορί γι τον τρόπο κτσκευής του, λλά ούτε κι πώς µπορούµε ν κτσκευάσουµε άλλο πρόµοιο ντιπράδειγµ λχ ειδικό ντιπράδειγµ συνεχούς συνρτήσεως είνι η, ν χ ρητος f : µε f( ) που είνι πντού συνεχής, ν χ ρρητος Ηµι-γενικό ντιπράδειγµ : Είνι υτό που µς δίνει πληροφορί γι τον τρόπο κτσκευής του, µπορούµε πό υτό ν κτσκευάσουµε πολλά ειδικά (συνήθως άπειρ ) λλά δεν κλύπτει όλη την υπάρχουσ κλάση ντιπρδειγµάτων Λόχου χάριν, ηµιγενικό ντιπράδειγµ συνεχούς συνάρτησης είνι η f : a, ρητος f( ) µε β, χ β, ρρητος µε 4

27 Είνι ηµιγενικό ντιπράδειγµ, φού γι τις διάφορες τιµές των, β λµβάνουµε πειρί ντιπρδειγµάτων τ οποί όµως φυσικά, δεν κλύπτουν όλ τ ντιπρδείγµτ, φού λχ η συνάρτηση g : µε h ( ), ρητος g ( ) µε ( ht,, συνεχεις στο ) κι h ( ) t ( ) χ t ( ), ρρητος είνι έν ηµιγενικότερο ντιπράδειγµ, µις κι κλύπτει την προηγούµενη κλάση κι είνι ευρύτερη υτής λλά κι πάλι, δεν κλύπτετι η κλάση όλων των ντιπρδειγµάτων Όσο κι ν γενικεύσουµε το προηγούµενο ντιπράδειγµ εισάγοντς πεπερσµένους στο πλήθος ή πείρους κλάδους σε ισάριθµες διµερίσεις του R, ή µετβάλλοντς το πεδίο ορισµού, δεν θ µπορέσουµε ν κλύψουµε µε µι νλυτική έκφρση την κλάση των πντού συνεχών συνρτήσεων Αυτή την κλάση την κλύπτει (ότν υπάρχει) το : 3 Γενικό ντιπράδειγµ : Είνι το ντιπράδειγµ που ποκλύπτει γιτί µι πρότση είνι λάθος κι προτείνει τρόπο πργωγής ολόκληρης της κλάσης ντιπρδειγµάτων Γι ν συνεχίσουµε στο ίδιο θέµ της συνέχεις, ως γενικό ντιπράδειγµ συνεχούς συνρτήσεως σε διάστηµ, θ f( ), µπορούσµε ν πάρουµε την g: µε g( ) µε f() a f( ), συνεχή συνάρτηση στο, που µς δίνει τον γενικό τρόπο κτσκευής συνεχούς συνάρτησης σε έν µόνο σηµείο της Αυτό φίνετι κλύτερ ότν πρλείπουµε σε µι πρότση µι νγκί συνθήκη γι την ισχύ της πρότσης Τότε, όσ πρδείγµτ δεν ικνοποιούν την συνθήκη, δεν ικνοποιούν κι την πρότση Στο θεώρηµ του Bolzao η συνθήκη ν µην έχει στθερό πρόσηµο η συνάρτηση στο διάστηµ [,β] είνι νγκί Εποµένως κάθε συνάρτηση που έχει στθερό πρόσηµο σε έν διάστηµ δεν έχει κι ρίζ σε υτό το διάστηµ κι άρ δεν πληροί το θ Bolzao Έτσι έν γενικό ντιπράδειγµ στο θ Bolzao είνι κάθε συνάρτηση f: [a,b] γι την οποί ισχύει f()> [ a, β ] ή f()< [ a, β ] Βεβίως υπάρχουν κι άλλ γενικά πρδείγµτ συνρτήσεων που δεν διτηρούν στθερό πρόσηµο στο [,β] κι δεν πληρούν το θ Bolzao, διότι δεν είνι συνεχείς ή είνι µεν συνεχείς, λλά δεν έχουν ετερόσηµες τιµές στ άκρ, β, όπως κι άλλ που τ εξετάζουµε στο οικείο κεφάλιο 5

28 Πέρν όµως υτής της γενικής κτηγοριοποίησης, υπάρχουν κι ειδικές κτηγοριοποιήσεις νάλογ µε άλλ χρκτηριστικά του ντιπρδείγµτος Πρθέτουµε µερικά πρδείγµτ: Πράδειγµ Έστω η πρότση: «:» Το στοιχείο χ είνι έν ντιπράδειγµ στην πρότση, φού κι Προφνώς, γι την συγκεκριµένη πρότση, είνι κι το µονδικό ντιπράδειγµ Πράδειγµ Έστω η πρότση : «: >» Γι ν δείξουµε ότι είνι ψευδής, πρέπει κι ρκεί ν ποδείξουµε ότι η ντίθετή της, η «:» Εδώ έχοµε δύο µόνο δυντά ντιπρδείγµτ, δηλ {,} Πράδειγµ3(Euler) Έστω η πρότση : «ν :ο ριθµός ν ν 4είνιπρώτος» Ο ν 4 είνι έν ντιπράδειγµά της, φού 4 444(4)44(4)4 Το 4 είνι κι το ελάχιστο ριθµητικό ντιπράδειγµ, φού γι ν,,,3,4,,39 η πρότση είνι ληθής Πράδειγµ 4 Έστω η πρότση : «ν : ν >ν κ» είνι ληθής µόνο ν ν>κ (κ ) Συνεπώς οι τιµές ν,,,3,4,,κ, συνιστούν κ το πλήθος ριθµητικά ντιπρδείγµτ ηλ έχω µη φργµένο πλήθος ντιπρδειγµάτων Πράδειγµ 5 (Fermat) Έστω η πρότση: «ν : η κολουθί ν ν χ είνι κολουθί πρώτων ριθµών» Η πρότση είνι ληθής γι ν,,,3,4, όπου οι ντίστοιχοι όροι χ 3, χ 5, χ 7, χ 3 57, χ είνι πρώτοι, λλά όπως έδειξε ο Euler τον 8 ο ιών κτρρίπτοντς τον ισχυρισµό του Fermat, γι ν5, ο ριθµός 5 χ νλύετι σε γινόµενο ως κι άρ είνι σύνθετος Πράδειγµ 6 (Εικσί Leibitz ) Έστω η πρότση «Ο ριθµός ν κ ν όπου κ περιττός, διιρείτι µε τον κ, γι κάθε ν µε ν 3» Η πρότση είνι ληθής γι ν3, 5,7 όπως ο ίδιος ο Leibitz πέδειξε, λλά ο ίδιος γρήγορ βρήκε έν ντιπράδειγµ στην εικσί του, φού ο ριθµός 9-5, δεν διιρείτι µε το 9 (ιστορικό ντιπράδειγµ) 6

29 Πράδειγµ 7 Έστω η πρότση: «Ο ριθµός Α99ν, δεν είνι τέλειο τετράγωνο» Η νωτέρω πρότση δεν είνι ληθής, λλά το µικρότερο ριθµητικό ντιπράδειγµ που µπορεί ν ευρεθεί ποδεικνύετι 5 ότι είνι ο πίστευτ µεγάλος ριθµός, τάξεως 8 (: Όσ µόρι περιέχουν περίπου 6 τόνοι σίδερο) συγκεκριµέν ο ν Προσφύγµε γι επλήθευση (µερική) στο πρόγρµµ Mathematica 4, όπου πράγµτι λάβµε την εντυπωσική επλήθευση, δηλ: ( ) 99*( ) (Θ µπορούσµε ν το χρκτηρίσουµε ως ντιπράδειγµ, πρκτικά µεγάλης δυσκολίς) Πράδειγµ 8 (7 ος ιώνς ) «Οι ριθµοί 3, 33, 333, 3333, Είνι πρώτοι» Αντιπράδειγµ ελάχιστο : Χ Πράδειγµ 9 (Εικσί Euler) «Η εξίσωση χ 4 ψ 4 z 4 ω 4 δεν έχει κέριες λύσεις» Ο Noam Elkis το 988 έδωσε το ντιπράδειγµ : (όποιος µφιβάλλει ς κάνει την επλήθευση µε το χέρι!) Πράδειγµ «εν υπάρχει περιττός τέλειος ριθµός» Σε υτή την πρότση δεν έχει νκλυφθεί ντιπράδειγµ, λλά ούτε γνωρίζουµε ν υπάρχει τέτοιο ντιπράδειγµ 33 Λεκτικές διτυπώσεις υποκρύπτουσες ντιπράδειγµ Το ντιπράδειγµ στην µθηµτική βιβλιογρφί δεν εµφνίζετι πάντ µε το όνοµά του Μάλιστ υτό ποτελεί τον κνόν, κθώς όπως είδµε ως λέξη κθ ευτή δεν είνι διδεδοµένη όσο θ έπρεπε, ενώ ως έννοι φυσικά ενυπάρχει ρχιόθεν κι κλύπτετι πίσω πό περιφρστικές ονοµσίες όπως «ειδικό πράδειγµ», «ντίθετο πράδειγµ», «µη πράδειγµ», ή (το συνηθέστερο) πλώς «πράδειγµ», φού πράγµτι το «ντιπράδειγµ» είνι µεν έν πράδειγµ όπως κι όλ τ άλλ, λλά λµβάνει το πρόσφυµ της πρόθεσης «ντί» ότν υπάρχει πρότση προς την οποί ενντιώνετι ηλ το ντιπράδειγµ δεν είνι έν είδος πρδείγµτος, λλά 5 Μπάµπης Τουµάσης «Σύγχρονη ιδκτική των Μθηµτικών» σελ 3 Ο συγγρφές πρπέµπει στον Somisky IS (975) The Method of mathematical iductio Moscow : Mir Publishers 7

30 χρκτηρίζετι έτσι πό την χρήση του σε κάποι συγκεκριµένη ποδεικτική διδικσί διάψευσης ενός ισχυρισµού προτάσεως, σύµφων κι µε τον τεθέντ ορισµό Πρέπει ν νφέρουµε, ότι τ ντιπρδείγµτ (µε έν µκροσκοπικό- εκ πρώτης όψεως γρήγορο κριτήριο ) πρτίθεντι συνήθως στ «σχόλι» ή στις «πρτηρήσεις» των διδκτικών εγχειριδίων ή συγγρµµάτων έπειτ πό τ θεωρήµτ κι τους ορισµούς Όσο περισσότερο διδκτικό είνι έν σύγγρµµ τόσο περισσότερο έχει φωτίσει τ διδκτικά κι επιστηµολογικά εµπόδι που εκ των πργµάτων προυσιάζοντι κι πιτούν διευκρίνιση, µε σχόλι κι πρτηρήσεις Τ συνήθη λάθη των σπουδστών είνι ο κλύτερος οδηγός Τ µθηµτικώς πιθνά ενδεχόµεν λάθη, συνήθως είνι άπειρ κι υπερριθµήσιµ στο πλήθος Αν οι σπουδστές προτιµούν ν κάνουν πεπερσµέν, µικρού πλήθους κι επνλµβνόµεν λάθη,υτό υποδηλοί κάτι εξιρετικά σηµντικό που κρούει τον κώδων του διδάσκοντος ως προς την ποιότητ του µθήµτος που γίνετι στην τάξη του Αυτό είνι έν τεράστιο ζήτηµ πιδγωγικής υφής που θ το θίξουµε πρκάτω Σε ό,τι φορά όµως το διδκτικό βιβλίο, χρειάζοντι τ κτάλληλ πρδείγµτ κι ντιπρδείγµτ που θ διευκρινίζουν ολόκληρο το εύρος ενός ορισµού ή όλες τις περιπτώσεις εφρµογής ενός θεωρήµτος κι θ προλµβάνουν τις συνήθεις πρνοήσεις τις οποίες γνωρίζουµε εκ προσωπικής ή συλλογικής πείρς, κτγεγρµµένης ή µη Έµφση θ πρέπει ν δίνετι στ «εφπτόµεν ντιπρδείγµτ» δηλ σε υτά που δεν εκπληρούν έν θεώρηµ ή ένν ορισµό «πάρ µί συνθήκη», ενώ εκπληρούν ενδεχοµένως όλες τις υπόλοιπες Αλλά ς δούµε πώς κι που υποκρύπτοντι ή πώς εισάγοντι σκήσεις που πιτούν ντιπράδειγµ, όπως κι τις ντίστοιχες λεκτικές εκφράσεις που συνήθως τ εισάγουν: i «ίνετι η πρότση P() κι A Σε περίπτωση που η Ρ() είνι ληθής ν ποδειχθεί, άλλως ν δοθεί κτάλληλο ντιπράδειγµ» Το πρπάνω υπόδειγµ είνι έν κλσικό υπόδειγµ άσκησης ή προβλήµτος µε νοικτή διτύπωση κι κλειστή πάντηση Μπορεί ν δοθεί 8

31 κι µε νοικτότερη διτύπωση όπως : «Ν εξετσθεί η ισχύς της πρότσης Ρ(), A» Συνηθέσττ το Α είνι πειροσύνολο Τέτοιες διτυπώσεις πουσιάζουν εντελώς πό τ εν χρήσει διδκτικά εγχειρίδι της ΜΕ ενώ συνντώντι στ Πνεπιστηµικά µθηµτικά της ηµεδπής κι της λλοδπής Η έλλειψη σκήσεων τέτοις µορφής δεν έχει ν κάνει µε το ντιπράδειγµ κθ ευτό, λλά µε την πουσί προβληµάτων νοικτής διτύπωσης είτε νοικτής πάντησης, τ οποί υπάρχουν στην ΜΕ των περισσότέρων σχολείων της λλοδπής στην ΕΕ Η ενρµόνιση της Χώρς µς σε υτό το θέµ µε τ ισχύοντ έχει ρχίσει τ τελευτί χρόνι µέσω διλόγου, που οριοθετεί, άλλοτε προφνείς όρους ( όπως τι είνι άσκηση, ποί η διφορά της πό το πρόβληµ, τι σηµίνει πργµτικό πρόβληµ τι νοικτό πρόβληµ τι κλειστό κτλ) κι άλλοτε µε την νοµοθετική νγκιότητ εισγωγής πργµτικών προβληµάτων στην διδσκλί µις έννοις ή στους εισγωγικούς διγωνισµούς (που ευρύττ επισήµως κι νεπισήµως ποκλούντι κι «εξετάσεις» χωρίς ν είνι 6 ) Σε κάθε περίπτωση γίνοντι συζητήσεις κι διευκρινίζοντι κάποιες ορολογίες ώστε ν εννοούµε όλοι το ίδιο ότν νφερόµεθ επί των ιδίων κι ν µην υπάρχει σύγχυση επί των ορισµών Υπάρχουν βεβίως ρκετά ν γίνουν Σε σχέση όµως µε το ντιπράδειγµ κι την διδκτική του χρήση θ µπορούσε ν υπάρχει νφορά του στ διδκτικά εγχειρίδι ή στις οδηγίες προς τους διδάσκοντες τ Μθηµτικά Μέχρι στιγµής πουσιάζουν τέτοιες νφορές, λλά ς ελπίσουµε ότι στο µέλλον θ ενρµονισθούµε τουλάχιστον µε τ κοινώς ισχύοντ στην υπόλοιπη ΕΕ ή των χωρών του ΟΟΣΑ ii «Υπάρχει A που ικνοποιεί την Ρ()» Εδώ το χ, είνι ντιπράδειγµ στην υπονοούµενη ντίθετη πρότση, την «A P ( )» Κµιά φορά τίθετι κι µε ερωτηµτική διτύπωση(νοικτή 6 Ως «εξετάσεις» χρκτηρίζοντι οι δοκιµσίες στις οποίες πάντες οι λµβάνοντες την βάση της βθµολογίς λµβάνουν επιτυχή χρκτηρισµό, ενώ ως «διγωνισµοί» οι δοκιµσίες στις οποίες επιτυγχάνει προκθορισµένος ριθµός νεξρτήτως βθµολογικής βάσεως είτε υπάρχει κάποι βάση ως νγκί προϋπόθεση, κι τυτοχρόνως νώττος- εκ των προτέρων- ριθµός επιτυχόντων, µικρότερος του ριθµού των διγωνιζοµένων Με υτούς τους ορισµούς οι Πνελλδικές «εξετάσεις» είνι «διγωνισµοί» εν ποκλούντι µε το ορθό όνοµά τους, όχι λόγω άγνοις των κοινών ορισµών, λλά µάλλον γι πολιτικούς λόγους 9

32 διτύπωση) κι έχει διδκτικό ενδιφέρον ότν η ικνοποίηση της Ρ() δεν είνι διισθητικά προφνής Γι πράδειγµ, λέµε ότι «Υπάρχει συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής στο, ενώ δεν πργωγίζετι πουθενά στο» Εδώ η ύπρξη είνι ενάντι στην νθρώπινη συνήθη (λλά κι µθηµτική ) διίσθηση που λέει ότι δεν είνι δυντόν ν υπάρχει µι τέτοι συνάρτηση Ο Weierstrass έδωσε έν τέτοιο ιστορικό ντιπράδειγµ κτπλήσσοντς την µθηµτική κοινότητ (βλ Α76 & Β73) Αν πούµε όµως «Υπάρχει συνεχής συνάρτηση, η f() /R» υτό ποτελεί έν λογικό ντιπράδειγµ στην πρότση «εν υπάρχουν συνεχείς συνρτήσεις» είνι όµως µι τετριµµένη µθηµτικά κι µι νόητη διδκτικά περίπτωση, φού πάντες οι άνθρωποι εγγενώς φέρουν την έννοι της συνέχεις γι υτό κι τ πρώτ πρδείγµτ ιστορικά κι διδκτικά ήτν κι είνι µόνο συνεχείς ή κτά τµήµτ συνεχείς συνρτήσεις Σε υτό το πλίσιο, δύσκολη ήτν κι η ντίληψη συνάρτησης πντού συνεχούς, όπως είνι η συνάρτηση του Dirichlet, η οποί είνι έν µθηµτικό λλά συγχρόνως κι έν πολύ χρήσιµο διδκτικά ντιπράδειγµ στην (υπονοούµενη) πρότση «εν υπάρχει πντού συνεχής συνάρτηση στο R iii Ν ποδειχθεί ότι η συνθήκη Ρ() είνι νγκί γι την ισχύ του συµπεράσµτος του θεωρήµτος Θ() Σε έν τέτοιο υπόδειγµ διτύπωσης υποκρύπτετι ντιπράδειγµ, φού κλούµεθ ν νκλύψουµε έν που ικνοποιεί την «P κι ( ) Θ ( )» Γι πράδειγµ : «είξτε, ότι γι την ισχύ της Μθηµτικής Επγωγής ο έλεγχος της Ρ(ν) γι ν, είνι πρίτητος» Μπορούµε ν θεωρήσουµε την Ρ(ν): «νν» Τότε, ν ισχύει γι νκ, έχω κκ κκ κκ που είνι η Ρ(κ) ηλ Ρ(κ) Ρ(κ) κι τότε κάθε ριθµός είνι ίσος µε τον επόµενό του κι άρ όλοι οι φυσικοί είνι ίσοι! Σε υτό το άτοπο κτλήξµε διότι δεν ελέγξµε την πρότση γι ν που δίνει το άτοπο

33 Στον Απειροστικό Λογισµό έχουν διδκτικό ενδιφέρον τέτοι προβλήµτ, όπου κάποι χρκτηριστικά, νφέρουµε σε όλ τ κεφάλι του Απειροστικού λογισµού στο Β µέρος iv Ν ποδειχθεί ότι η πρότση «A P ( )»είνι ψευδής Εδώ, ευθέως κλούµεθ ν νκλύψουµε ντιπράδειγµ, φού έχοµε έν πρόβληµ κλειστής διτύπωσης, κι νοικτής πάντησης, υπό την έννοι, ότι το ντιπράδειγµ που κλούµεθ ν πρθέσουµε, συνήθως δεν είνι µονδικό Γι πράδειγµ ότν έχω την διτύπωση: Ν ποδειχθεί ότι η πρότση «Κάθε συνεχής συνάρτηση είνι πργωγίσιµη» είνι ψευδής έχει ως σύνηθες κι τετριµµένο πλέον ειδικό ντιπράδειγµ την f() /R, λλά µπορεί ν ντιπρτεθεί κι το ηµιγενικό f() - /R 34 Η θέση του ντιπρδείγµτος στην µθηµτική ποδεικτική διδικσί Στ µθηµτικά βσικές µέθοδοι πόδειξης είνι η ευθεί πόδειξη κι η ντιθετοντιστροφή, µε κάποιες πρλλγές πάνω στις δύο υτές µεθόδους Έτσι έχουµε την : Ευθεί πόδειξη: Αρχίζουµε πό µι πρότση Ρ, κι µέσω µις λυσίδς συλλογισµών της µορφής «εάν τότε» κτλήγουµε στην πρότση Q Τότε λέµε ότι P Q Απόδειξη µε χρήση της ντιθετοντιστροφής : Εκµετλλευόµστε το ότι η πρότση P Q ισοδυνµεί µε Q P ηλ (λεκτικά) ντί ν δείξουµε ότι P συνεπάγετι Q, ποδεικνύουµε ισοδυνάµως ότι η άρνηση της Q συνεπάγετι την άρνηση της P Το έτυµον της ονοµσίς της (ντίθετη ντιστροφή) περιγράφει πλήρως κι την ουσί της φού όποιος δικιολογήσει µι φορά την ονοµσί της, δεν ξεχνά ποτέ κι την σηµσί της Απγωγή εις άτοπον : Θέλοντς ν δείξουµε ότι Ρ Q, υποθέτουµε ότι η Ρ δεν συνεπάγετι την Q κι κτλήγουµε µε λογικές διδικσίες σε κάτι που δεν στέκει (άτοπο: το µη έχον τόπο) Σε άτοπο κτλήξµε διότι δεχθήκµε