Η Ι ΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η Ι ΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΜΣ «ιδκτική κι Μεθοδολογί των Μθηµτικών» ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΙΑρχωβίτης ιπλωµτική Εργσί Η Ι ΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ Γιάννης Π Πλτάρος ΑΜ 5 f ( ) φ ( ) φ( χ) χ φ(χ) ε Pl twoj Ðrisamšou, AqrwpÒj sti zùo d pou ptero, kaˆ eùdokimoàtoj, t laj lektruòa e s»egke aùtõ e j t¾ scol¾ ka fhsi, oátòj sti Ð Pl twoj qrwpoj Óqe tù ÓrJ prosetšqh tõ platuèuco ( ιογένης Λέρτιος, «Βίοι Φιλοσόφων» Βιβλίο 6 πρ4 στ 5-9 νφερόµενος σε ντιπράδειγµ του ιογένη του Κυνικού) ΑΘΗΝΑ 4

2 Αφιερώνετι στην οικογένειά µου που µε στήριξε στην εν Αθήνις διετή πρεπιδηµί µου, κθώς κι σε κάθε ένν Έλλην συνάδελφο Μθηµτικό προσωπικά ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ: Αισθάνοµι την νάγκη ν ευχριστήσω την τριµελή εξετστική επιτροπή, η οποί ποτελείτο πό τους κκ Ιωάννη Αρχωβίτη, Ευστάθιο Γιννκούλι κι Νικόλο Κλµίδ, οι πρτηρήσεις υποδείξεις κι διορθώσεις των οποίων, συνέβλν ποφσιστικά στην ευπρόσωπη προυσίση, επιστηµονική ξιοπιστί κι ρτιότητ της προύσης εργσίς Γι την συγγρφή της προύσς εργσίς χρησιµοποιήθηκε ο επεξεργστής κειµένου Word µε το προσρτηµένο λογισµικό Math Type 5 γι την γρφή των πολυπληθών µθηµτικών τύπων Χρησιµοποιήθηκε κυρίως η γρµµτοσειρά Times New Roma µε δεσπόζον µέγεθος χρκτήρων κι διάστιχο,5 Γι τις γρφικές πρστάσεις χρησιµοποιήσµε το Graph V 7,το Graphmatica Vc, το Advaced Grapher V8,ενώ στ δύσκολ προστρέξµε στο MathCAD professioal κι στο Mathematica 4 Τ τρί πρώτ είνι ελευθέρς δινοµής µέσω διδικτύου Η Εκτύπωση έγινε πρώτ σε χρτί Α 4 (Χ97mm) των 8 gr της Fuji Xero στ προεπιλεγµέν περιθώρι µε cm επί πλέον ριστερό περιθώριο βιβλιοδεσίς, µε τον εκτυπωτή Deskjet 93C της Hewlett Packard κι νπρήχθη φωτοτυπικώς Η συγκέντρωση του υλικού της εργσίς έγινε κυρίως τους µήνες Απρίλιο, Μάϊο κι Ιούνιο 3, η θεµτική κι χειρόγρφη επεξεργσί του β µθηµτικού µέρους τους µήνες Ιούλιο, Αύγουστο, Σεπτέµβριο, ενώ το γενικό µέρος της εργσίος γράφηκε κτ ευθείν στον υπολογιστή το διάστηµ Οκτωβρίου Νοεµβρίου εκεµβρίου 3, ενώ οι µήνες Ινοάριος 4 έως Ιούνιος 4 κτηνλώθησν στις διορθώσεις, στην µορφοποίηση κι σε συγύρισµ Οι τελικές διορθώσεις κι πρτηρήσεις πό τους επιβλέποντες κθηγητές έγινν Από Μάρτιο-Ιούλιο 4 Γι την συγκέντρωση του υλικού χρησιµοποιήσµε κτά βάσιν την βιβλιοθήκη του Μθηµτικού τµήµτος του Πν Αθηνών την βιβλιοθήκη του ΜΙΘΕ κι το διδίκτυο, λλά κι δευτερευόντως την βιβλιοθήκης του Πδγωγικού τµήµτος του Πν Αθηνών, την βιβλιοθήκη της Φιλοσοφικής σχολής του Πν Αθηνών, του Πιδγωγικού Ινστιτούτου, της Ελληνικής Μθηµτικής Ετιρείς κά Επίσης νλώθηκν πολλά πογεύµτ περιήγησης σε όλ τ ειδικά βιβλιοπωλεί περί την οδό Σόλωνος των Αθηνών, ξεφυλλίζοντς όλ τ σχετικά µε τον Απειροστικό Λογισµό κι περί το θέµ κυκλοφορούντ βιβλί, ρκετά των οποίων έγινν κτήµ της προσωπική µς βιβλιοθήκης Γι κάθε νγνώστη συνάδελφο που θέλει ν υποβάλλει οποιδήποτε κλοδεχούµενη πρτήρηση ή σχόλιο περί την εργσί, τ στοιχεί µς είνι : Γιάννης Πν Πλτάρος, Κπετάν Κρόµπ 37, 4 ΜΕΣΣΗΝΗ, τηλ ή 64 ή ηλ/τχ ή Ιστοσελίδ :

3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ - ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ II-VI ΠΡΟΛΟΓΟΣ VII-X ΜΕΡΟΣ Α Η ΛΕΞΙΚΟΓΡΑΦΙΑ ΤΟΥ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Η νζήτηση στ διάφορ λεξικά Η νζήτηση στον πγκόσµιο ιστό 3 Η ερµηνεί των λεξικών 4 4 Μι κινούργι υπόθεση γι το ρήµ «ντιπρδείκνυµι» 4 5 Αρχίες χρήσεις του ντιπρδείγµτος 6 ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 8 3 ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 Ο Μθηµτικός ορισµός του ντιπρδείγµτος 3 Τ είδη του ντιπρδείγµτος 4 33 Λεκτικές διτυπώσεις, υποκρύπτουσες ντιπράδειγµ 7 34 Η θέση του ντιπρδείγµτος στην ποδεικτική διδικσί 4 Η ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗ ΤΟΥ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 4 Η κλάση των πρδειγµάτων κι των ντιπρδειγµάτων 4 Η κτσκευή πρδειγµάτων κι ντιπρδειγµάτων 3 43 Η Κονστρουκτιβική πιδγωγική ντίληψη κι το ντιπράδειγµ 36 5 ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΛΑΘΗ, ΠΑΡΑ ΟΞΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 5 Η Ιστορική εξέλιξη των Μθηµτικών κι ο Βιογενετικός Νόµος 39 5 Μεγάλ λάθη, µεγάλων µθηµτικών! 4 5 Η πλάνη του Πυθγόρ 43 5 Οι «δύντοι ριθµοί» του Euler κά 44 6 ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 Η νκάλυψη της ρρητότητς του 5 6 Το µέρος είνι πάντ µικρότερο του όλου; Το πράδοξο του Γλλιλίου 5 63 Ο Cator νκλύπτει την άλλη διάστση του πείρου: Το ισοπληθικό µε το κι το! Το Í είνι ισοπληθικό µε το σύνολο À των λγεβρικών! To (,) έχει περισσότερ στοιχεί πό το Í! Το ευθύγρµµο τµήµ είνι ισοπληθικό σε σηµεί µε ηµιευθεί ή µε ευθεί58 II

4 67 Έν τετράγωνο έχει ίσο ριθµό σηµείων µε έν ευθύγρµµο τµήµ! 6 68 Υπάρχει σύνολο µε τον µέγιστο πληθικό ριθµό; 6 69 Το σύνολο Β { συνρτηση f µεf : (,) {,} } έχει περισσότερ στοιχεί πό το σύνολο Α (,) 63 6 Το πράδοξο του Cator 64 7 ΟΙ «ΠΑΘΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ» 65 7 Συνάρτηση που ορίζετι στο [,] κι έχει άπειρ κρόττ, κοντά σε κάθε σηµείο ενός υπερριθµησίµου υποσυνόλου του [,] 66 7 H συνάρτηση του Cator («η κλίµξ του διβόλου») 7 73 Μι κλειστή επίπεδη κµπύλη που περικλείει πεπερσµένο εµβδόν κι έχει άπειρη περίµετρο!(η «νιφάδ» του Koch) Μι συνάρτηση πντού συνεχής κι πουθενά πργωγίσιµη! 79 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΕΡΟΣ Β Ιδιότητες πργµτικών ριθµών 87 Τοπολογικές ιδιότητες του R 9 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός Συγκλίνουσς κολουθίς, σύγκλιση στο κι -, ποκλίνουσες κολουθίες 94 3Φργµένες κολουθίες Πράξεις µετξύ κολουθιών κι σύγκλιση 4Υπκολουθίες κι Σύγκλιση 5Κτσκευή Πρδειγµάτων κολουθιών Α Μηδενικές 6 Β Συγκλίνουσες σε Ñ ή Ñ 6 Γ Φργµένες 8 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Σύγκλιση κι πόκλιση Σειρών 3 III

5 Κτσκευή πρδειγµάτων Α Αποκλίνουσες Σειρές 44 Β Συγκλίνουσες Σειρές 44 Γ Αθροιζόµενες Σειρές 46 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 3 Ίσες Συνρτήσεις 5 3Πεδίο Ορισµού Συνάρτησης 53 33Γρφική Πράστση Συνάρτησης κι Η/Υ 54 34Φργµένες Συνρτήσεις 55 35Άρτιες, Περιττές κι Περιοδικές Συνρτήσεις 58 36Κτσκευή Πρδειγµάτων Α Σχέσεις που δεν είνι συνρτήσεις 6 Β Κτσκευή Συνρτήσεων 6 Γ Κτσκευή Φργµένων Συνρτήσεων 64 Κτσκευή άρτιων, Περιττών κι Περιοδικών Συνρτήσεων 64 4 ΟΡΙΑ 4 Ύπρξη κι µη ύπρξη ορίου 68 4Κτσκευή Πρδειγµάτων Α Όριο πεπερσµένο στο Ñ 8 Β Όριο άπειρο στο Ñ 83 Γ Πεπερσµένο όριο στο Η - 84 Άπειρο όριο στο ± 84 Ε Μη ύπρξη ορίου 85 ΣΤ Γενικές περιπτώσεις οικογένεις Συνρτήσεων 85 5ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ 5 Συνέχει, Ασυνέχει, Συνεχής επέκτση 87 5 Κτσκευή πρδειγµάτων συνέχεις Συνρτήσεων Α Συνεχείς συνρτήσεις στο πεδίο ορισµού τους Β Συνεχείς κλδικές συνρτήσεις Γ Ασυνεχείς σε πεπερσµένο πλήθος σηµείων IV

6 Συνεχής επέκτση 6 ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΙΑΣΤΗΜΑ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ 6 Θεώρηµ Bolzao 6 Θεώρηµ ενδιµέσων τιµών 5 63 Συνέχει σε κλειστό ιάστηµ, συνέχει κι µονοτονί 8 64 Κτσκευή Πρδειγµάτων στο Θεώρηµ Bolzao 3 7 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 7 Ορισµός, συνθήκη Lipschitz κι οµοιόµορφη συνεχεί 6 7 Κτσκευή πρδειγµάτων στις οµοιόµορφ συνεχείς συνρτήσεις 3 8 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 Ορισµός της πργώγου 3 9 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE & ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 9 Θεώρηµ Rolle 5 9 Θεώρηµ Μέσης Τιµής 54 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισµός, Μελέτη µονοτόνου 58 Κτσκευή πρδειγµάτων µονοτόνων συνρτήσεων Α Μονότονες Συνρτήσεις 63 Β Μη µονότονες 64 Γ Μονοτονί κι ρίζες 64 Μονοτονί γενικών µορφών γνωστών Συνρτήσεων 65 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ορισµός, κρόττ κι συνεχεί, κρόττ κι συνέχει 67 Θεώρηµ Fermat 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ-ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ Ορισµοί, κοίλες, κυρτές, σηµεί κµπής 8 Ασύµπτωτες συνάρτησης 9 V

7 3 Κνόνς του L Hospital 94 4 Κτσκευή πρδειγµάτων κοίλων κι κυρτών συνρτήσεων 33 5 Κτσκευή συνρτήσεων µε σηµεί κµπής 34 3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ RIEMANN 3 Η Ολοκλήρωση κτά Riema 35 3 Το Ολοκλήρωµ Riema-Stieltjes 3 33 Ολοκληρωσιµότητ κι πράξεις συνρτήσεων 3 34 Ολοκληρωσιµότητ κι συνέχει 3 4 ΜΗΚΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ-ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΦΡΑΓΜΕΝΗΣ ΚΥΜΑΝΣΗΣ 4 Μήκος συνάρτησης φργµένη κύµνση 35 4 Απόλυτη συνέχει 3 5 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 5 Γενικά 3 5 Αόριστη ολοκλήρωση 33 6 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 38 7 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΚΛΙΣΗ 7 ορισµός-σύγκλιση κι πργωγισιµότητ 33 7 σύγκλιση κι ολοκληρωσιµότητ συνέχει πντού κι πουθενά πργωγισιµότητ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 355 ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΝΤΟΜΟΓΡΑΦΙΩΝ 38 ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΠΕΞΗΓΗΣΗΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ 38 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 38 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΝΟΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΩΝ 386 VI

8 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η προύσ εργσί ποτελείτι πό δύο µέρη Στο πρώτο µέρος γίνετι µι λεξικολογική, ιστορική, εννοιολογική, λογική, επιστηµολογική κι πιδγωγική προσέγγιση στο ντιπράδειγµ σε σχέση µε τον Απειροστικό Λογισµό Επίσης γίνετι µι προσέγγιση σε ιστορικά πρδείγµτ του Απειροστικού Λογισµού κθώς κι σε λάθη που έκνν µεγάλοι µθηµτικοί πάνω στην διίσθηση του πείρου Ανδεικνύετι έτσι η δυσκολί κτνόησης της έννοις του πείρου κθ ευτής, λλά κι ως πηγής επιστηµολογικών κι διδκτικών εµποδίων Φίνετι έτσι η νάγκη εισγωγής του ντιπρδείγµτος στην διδσκλί του Απειροστικού Λογισµού, ως πράγοντ άρσης κι θερπείς πρνοήσεων ή κι βελτίωσης λνθσµένων νοητικών νπρστάσεων των δύσκολων εννοιών που πργµτεύοντι το άπειρο κι το πειροστό Στο δεύτερο µέρος προυσιάζουµε διδκτικά πρδείγµτ κι ντιπρδείγµτ, κάνοντς µι κάλυψη σε όλ τ κεφάλι του Απειροστικού Λογισµού µε συνρτήσεις µις πργµτικής µετβλητής Έµφση δίδετι στ βσικά κεφάλι, όπως των κολουθιών όπου µελετάτι εκτετµέν η θεµελιώδης έννοι της σύγκλισης µέσω της πλέον πλής έννοις συνάρτησης όπου µπορεί ν υπάρχει σύγκλιση, όπως είνι η κολουθί πργµτικών ριθµών Γενικά, η έννοι του ορίου ως η πλέον βσική έννοι του Απειροστικού Λογισµού, µελετάτι προσεκτικά κι πλήρως Ειδικότερ: Ελήφθη µέριµν έτσι ώστε όλες οι εφρµογές που προυσιάζοντι ν έχουν πληρότητ προυσίσης κι ν κτγράφοντι λεπτοµερώς όλ τ βήµτ µις πόδειξης, ώστε ν µπορεί ν χρησιµοποιηθεί κι ως βοήθηµ πό ένν τελειόφοιτο Λυκείου µέχρι κι τον πτυχιούχο Μθηµτικό Ακόµ, στη έκτση των εννοιών που κλύπτει η προύσ εργσί, κρίθηκε σκόπιµο, εκτός πό τ θεµελιώδη εισγωγικά κεφάλι του, ορίου συνάρτησης, συνέχεις συνάρτησης, πργώγισης, µελέτης συνάρτησης κι ολοκλήρωσης, τ οποί κλύπτοντι πό το νλυτικό πρόγρµµ του Λυκείου, ν εισχθούν κι τ κεφάλι των Ακολουθιών κι των Σειρών Αυτά δεν διδάσκοντι πλέον στο Λύκειο, λλά µπορούν ν εισχθούν στο µέλλον όπως άλλωστε υπήρχν κι πλιότερ Επίσης, κρίθηκε νγκίο, ν υπάρχει κι η ύλη που κλύπτετι συνήθως στο πρώτο έτος των σχολών των Θετικών Επιστηµών κι των Πολυτεχνείων Έτσι κλύψµε το ολοκλήρωµ Riema, την οµοιόµορφη VII

9 συνέχει, την οµοιόµορφη σύγκλιση κολουθιών κι τ γενικευµέν ολοκληρώµτ Όλ πλέον τ κεφάλι, δεν κλύφθηκν σε βσικό επίπεδο, λλά σε προχωρηµένο γι λόγους πληρότητς Στην εργσί µς, υπάρχουν κάποι πρωτότυπ σηµεί που είνι τ εξής: Στο πρώτο µέρος: Εκφράζουµε την εικσί, ότι ο όρος «ντιπράδειγµ» δεν είνι µετάφρση του Αγγλικού όρου «coutereample» λλά προέρχετι πό το ρχιοελληνικό ρήµ ντιπρδείκνυµι το οποίο συνντάτι στ γρπτά του Γρηγορίου Νύσσης Η εικσί µς εδράζετι στην σηµσί του ρήµτος σε συγκεκριµένη χρήση του όπου πρτίθετι ντιπράδειγµ σε ορισµό του «ληθούς άρτου» κι π όπου ευθέως εξάγετι η ντίστοιχη σηµσί γι το ουσιστικό «ντιπράδειγµ» (Α 4 υτόθι) Πρθέτουµε δύο ρχίες χρήσεις του ντιπρδείγµτος Έν στον «Γοργί» του Πλάτωνος, (υπάρχει σε ξενόγλωσση βιβλιογρφί κι συγκεκριµέν στο διδίκτυο) κι το άλλο στους «Βίους Φιλοσόφων» του ιογένους Λερτίου (υπάρχει σε βιβλιογρφί, λλά όχι µε την σηµσί του ντιπρδείγµτος)(α5 υτόθι) 3 ιερευνούµε την συχνότητ εµφάνισης του διεπιστηµονικού όρου «ντιπράδειγµ» στην γλώσσ µς σε σχέση µε τον ντίστοιχο γγλικό όρο, µε προσφυγή στις διδικτυκές µηχνές νζήτησης (Α & Α υτόθι) 4 ιερευνούµε τις λεκτικές µθηµτικές διτυπώσεις που υποκρύπτουν ντιπράδειγµ(α33 υτόθι) 5 Πρθέσµε συγκεντρωτικά τις ιδιότητες κάποιων «πσπρτού» πρδειγµάτων κι ντιπρδειγµάτων του Απειροστικού Λογισµού που είνι η κολουθί ν (-) ν, η ντίστοιχη σειρά ( ) κθώς κι η συνάρτηση του Dirichlet (κι πρλλγές της ) Έκπληξη προκλεί πώς τόσο λίγ πρδείγµτ έχουν τόσο ενδιφέρουσες ιδιότητες που είνι διδκτικά πάρ πολύ χρήσιµες στην κτάδειξη λεπτών σηµείων της θεωρίς που χρήζουν δισφήσεως 6 Επεξετείνµε έν υπόδειγµ γι τ πρδείγµτ κι ντιπρδείγµτ του Ι Αρχωβίτη που βρήκµε στ Πρκτικά του 9 ου Συνεδρίου της ΕΜΕ στο άρθρο του «Έννοιες κι Ιδέες πό την Ιστορί των Μθηµτικών ρωγοί στην σύγχρονη διδκτική τους» σελ 69-7 Ουσιστικά κτστήσµε λίγο πιο λεπτοµερές το υπόδειγµ (µοντέλο) που περιγράφει το πεδίο κτνόησης µις VIII

10 έννοις κι τον ρόλο των κλάσεων πρδειγµάτων κι των ντιπρδειγµτων στην κτνόησή της Η επέκτση στην οποί προέβηµεν έγκειτι στην θεώρηση υποκλάσεων ντιπροσωπευτικών πρδειγµάτων κι ντιπρδειγµάτων ως προς µί ιδιότητ που θέτει εκ των προτέρων κάποιος κι η οποί είνι µεν υποκειµενική, λλά όχι κι υθίρετη, φού τίθετι ως πάντηση σε διδκτικά ή επιστηµολογικά εµπόδι που συνντούν οι µθητές Επίσης, στο λεπτοµερέστερο υτό υπόδειγµ, νκλύπτουµε µι πρκτική εφρµογή του στον έλεγχο της διδκτικής πληρότητς ενός βιβλίου σύµφων µε εκ των προτέρων γνωστά κι κοινοποιούµεν κριτήρι Γινόµστε σφείς µε έν συγκεκριµένο πράδειγµ: Στην προκήρυξη συγγρφής ενός βιβλίου Απειροστικού Λογισµού, γι το κεφάλιο «Σύγκλιση κολουθίς» τίθετι ο όρος «πληρότητ των προυσιζοµένων πρδειγµάτων σύγκλισης στο ως προς την κτεύθυνση σύγκλισης» Λέγοντς «κτεύθυνση σύγκλισης» συµφωνούµε ν ορίζουµε τις δυντές κλάσεις πρδειγµάτων σύγκλισης στο που κθορίζοντι πό το πλήθος των όρων τους που είνι δεξιά του, ριστερά του ή ίσοι µε κι φίνοντι στον πρκάτω πίνκ: Κλάση Πλήθος όρων < Πλήθος όρων Πλήθος όρων> Εκπλήρωση σθενέστερης συνθήκης πό την ν - <ε, ν ν ( ε) (Π ) πεπ/νο πεπ/νο πεπ/νο εν τις εξετάζει ο Απειροστικός Λογισµός (Π ) πεπ/νο πεπ/νο < ν < ε, ν ν ( ε) (Π 3 ) πεπ/νο πεπ/νο ν < ε, ν ν ( ε) (Π 4 ) πεπ/νο πεπ/νο < ν < ε, ν ν ( ε) (Π 5 ) πεπ/νο ν < ε, ν ν ( ε) (Π 6 ) πεπ/νο < < ε, ν ν ( ε) (Π 7 ) πεπ/νο ν < ε, ν ν ( ε) (Π 8 ) < ε, ν ν ( ε) ν ν Η κάθε κλάση κολουθιών πό την (Π ) έως κι (Π 8 ), έχει άπειρους κι υπερριθµήσιµους µάλιστ ντιπροσώπους Όµως, φθάνει κι µόνο έν πράδειγµ πό την κλάση (Π 8 ) γι ν δικιολογήσει πλήρως τον ορισµό Έν τέτοιο πράδειγµ θ µπορούσµε συµφωνήσουµε ν το λέµε πλήρες εξ ιτίς υτής του της ιδιότητς IX

11 Επίσης πρέπει ν σχολισθεί το εξής: Αν σε έν διδκτικό βιβλίο κολουθιών υπάρχουν πρδείγµτ πό τις κλάσεις (Π )-(Π 7 ) ενώ δεν υπάρχει κνέν πράδειγµ πό την κλάση (Π 8 ) τότε η τελική συνθήκη του ορισµού σύγκλισης, θ µπορούσε ν έχει µι µορφή διάζευξης των σθενεστέρων συνθηκών (Π ) έως (Π 7 ) η οποί είνι κι υτή µι σθενέστερη συνθήκη Συνεπώς, ν δεν πρτίθετι έστω κι έν πράδειγµ της κλάσεως (Π 8 ), ο γνωστός ορισµός της σύγκλισης δεν δικιολογείτι πλήρως Από την προσωπική του ντίληψη, κάθε νγνώστης που σχολείτι µε τ µθηµτικά κτλβίνει την σπνιότητ πράθεσης πρδείγµτος κολουθίς σν την 5, ν ν 3κ ν ( a ν ) ν : ν 5, ν ν 3κ η οποί συγκλίνει στο 5 κι µόνη της 5, ν ν 3κ ν δικιολογεί πλήρως τον ορισµό Η πράθεση οσουδήποτε πλήθους πρδειγµάτων πό όλες τις άλλες κλάσεις δεν δικιολογούν πλήρως την πίτηση εκπλήρωσης της ισχυρότερης συνθήκης < ε, ν ν ( ε), άρ κι τον ίδιο τον ορισµό ν Εποµένως πό τ πρπάνω, κθίσττι σφές το πιδγωγικό περιεχόµενο του τεθέντος κριτηρίου, το οποίο προσλµβάνει κι ντικειµενικό πλέον χρκτήρ Ανλόγως τίθεντι κι κριτήρι ντιπρδειγµάτων µη σύγκλισης γι τ οποί έν κριτήριο τξινόµησης θ µπορούσε ν είνι λχ ο ριθµός των ορικών ριθµών της κολουθίς Έτσι δηµιουργούντι οι κλάσεις : (i)οι κολουθίες που έχουν δύο τουλάχιστον ορικούς πργµτικούς ριθµούς (ii) Οι κολουθίες που συγκλίνουν στο (iii)οι κολουθίες που συγκλίνουν στο - (iu) Οι κολουθίες που έχουν ως ορικό «ριθµό» το είτε το - κι τουλάχιστον έν κόµη πργµτικό ριθµό Κάποιος θ µπορούσε ν θεωρήσει ν το θεωρεί διδκτικά νγκίο κι υποκλάσεις νάλογ µε το ν οι µη συγκλίνουσες κολουθίες έχουν άπειρους ή πεπερσµένους ορικούς ριθµούς Το βέβιο πό τ πρπάνω είνι, ότι γι την πλήρη προυσίση της έννοις της σύγκλισης σε έν εγχειρίδιο, θ πρέπει ν υπάρχουν ντιπρόσωποι πό όλες τις κλάσεις πρδειγµάτων κι ντιπρδειγµάτων(α4 υτόθι) 7 Στο τέλος κάθε κεφλίου στο Β µέρος, υπάρχουν κι σύντοµες οδηγίες γι την κτσκευή βσικών πρδειγµάτων επί του κεφλίου, κάτι που δεν γνωρίζουµε ν υπάρχει στην ελληνική τουλάχιστον βιβλιογρφί X

12 8 Κάποι σχόλι κι ντιπρδείγµτ επί των δυντοτήτων προγρµµάτων των Η/Υ κι στον ικνοποιητικό ή µη βθµό σχεδίσης γρφηµάτων είνι επίσης δικά µς(b33, B46, B5 ) Ευάριθµ επίσης ερωτήµτ τύπου ύπρξης ή ισχυρισµού που κτρρίπτετι µε ντιπράδειγµ σε κάθε κεφάλιο είνι δικά µς χωρίς βεβίως τ πρτιθέµεν ντιπρδείγµτ ν διεκδικούν µθηµτική πρωτοτυπί Τέλος, ο ίδιος ο τίτλος της εργσίς µς διεκδικεί πρωτοτυπί στην Ελληνική βιβλιογρφί κθώς κι η επιλογή ξιόλογων πρδειγµάτων που διευκρινίζουν θέµτ θεωρίς ή επέχουν θέση ποδείξεως σε επίσης λεπτά σηµεί των εννοιών του Απειροστικού Θέλουµε ν πιστεύουµε ότι η προύσ εργσί θ είνι χρήσιµη γι όλους τους νγνώστες φοιτητές ή σχολούµενους µε τ µθηµτικά γενικώς ΙΠΠ XI

13 Η λεξικογρφί του ντιπρδείγµτος Η νζήτηση στ διάφορ λεξικά Εντύπωση προκλεί η σπνιότητ κτγρφής του όρου «ντιπράδειγµ» στ Ελληνικά λλά κι στ ξενόγλωσσ λεξικά Αυτό µπορεί ν ποδοθεί στο γεγονός ότι ο όρος ποτελεί νεολογισµό, είνι δηλδή κτσκευσµένη στ νεώτερ χρόνι λέξη, δεν υπάρχει στ ρχί Ελληνικά κι µάλιστ είνι µετφρσµένος όρος πό τον ντίστοιχο Αγγλικό (coutereample) Αυτό τουλάχιστον νφέρει το γνωστό έγκυρο λεξικό Μπµπινιώτη, ν κι νκλύψµε µι χρήση του ρήµτος «ντιπρδείκνυµι» στον Γρηγόριο Νύσσης µε σηµσί ντίστοιχη του ουσιστικού που φέρετι ως νεολογισµός Όµως, η σπνιότητ κτγρφής του όρου «ντιπράδειγµ» κθίσττι δυσεξήγητη ν νλογισθούµε ότι πντάτι ήδη στην Ελληνική βιβλιογρφί τουλάχιστον πό την δεκετί του 6, είνι διεπιστηµονικός όρος κι όχι υστηρά µθηµτικός, ενώ η κθηµερινή του χρήση πό νθρώπους µε τουλάχιστον µέση εκπίδευση συµπίπτει σχεδόν κι µε το υστηρά ορισµένο νόηµ του όρου Ο πρκάτω πίνκς προυσιάζει γνωστά λεξικά στ οποί ντρέξµε κι στ οποί νφέρετι ή µη ο όρος «ντιπράδειγµ» Τυτότητ λεξικού Περιέχει τον όρο Μεγάλη Ελληνική Εγκυκλοπίδει 4 τ ΟΧΙ Εγκυκλοπίδει ΟΜΗ Πάπυρος Larouse Britaica 6 τ Αντίστροφο λεξικό Νές Ελληνικής ΓΙ Κουρµουλή Στυρο-λεξικό (36 λέξεις) Νέο Ελληνικό Λεξικό- Κριρά ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ Σε µι πρόχειρη νζήτηση στην βιβλιοθήκη του Μθηµτικού Τµήµτος του Πν Αθηνών βρήκµε το σύγγρµµ του Χρήστου Β Γκλάβ «Εισγωγή στην συνολοθεωρί» που νφέρετι στο ντιπράδειγµ κι στον µθηµτικό ορισµό του, (σελ 86) το οποίο έχει εκδοθεί το 967

14 Λεξικό Νές Ελληνικής Γλώσσης- Στµτάκου Λεξικό Κοινής Νεοελληνικής -Τριντφυλλίδη Επίτοµο Εγκυκλοπιδικό λεξικό Ελευθερουδάκη Λεξικό Πρωίς τ Λεξικό Πιδεί Εκδόσεις Στφυλίδη Μέγ Αγγλοελληνικό λεξικό Εκδόσεις Οδυσσές 4τ Υπερλεξικό Ελληνικής Γλώσσς Πγουλάτου 6 τ Επίτοµο Αγγλοελληνικό λεξικό Στυρόπουλου Επίτοµο Ελληνογγλικόν λεξικόν Κυρικοπούλου Ελληνογγλικό Λεξικό Γιωργκά,επί γρµµής (O-lie) Ελληνικό Λεξικό Τεγόπουλου Φυτράκη Ecyclopedia of Statistical scieces ( τόµοι) Ecyclopaedia of mathematics (6 τόµοι) Αγγλο-Eλληνικόν Λεξικόν Μθηµτικών όρων Π Ππγιννκόπουλου Επίτοµο Λεξικό Μθηµτικών -Πττάκη Αγγλοελληνικό & Ελληνογγλικό ηλεκτρονικό λεξικό MAGENTA Μετφρστικό λογισµικό SYSTRAN Λεξικό Νεοελληνικής Γλώσσς Μπµπινιώτη Αγγλοελληνικό λεξικό Μθηµτικών όρων εκδόσεις ΤΡΟΧΑΛΙΑ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ OXI ΟΧΙ ΟΧΙ ΝΑΙ NAI ΝΑΙ ΝΑΙ Η νζήτηση στον Πγκόσµιο Ιστό Ενδιφέρον προυσιάζει κι η ποιοτική κτνοµή της χρήσης της λέξης σε τοµείς της ζωής µς Μι περιήγηση στις γνωστές µηχνές νζήτησης Google, Alta Vista, Yahoo οι οποίες υποστηρίζουν τ Ελληνικά, επί 65 διφορετικών ιστοσελίδων που περιέχουν την λέξη «ντιπράδειγµ» έδωσν, ότι τ /3 νφέροντι σε Μθηµτικά κι το /3 περίπου σε άλλους τοµείς Τ ποτελέσµτ φίνοντι στον πρκάτω πίνκ:

15 Τοµείς Συχνότητ ηµιουργήθηκε το ερώτηµ ν εµφάνισης κι κτά πόσον ο όρος Μθηµτικά 45 «ντιπράδειγµ» πντάτι Πληροφορική 5 συχνότερ στην Ελληνική Οικονοµί γλώσσ π ότι στην Αγγλική Γρµµτική ή όχι Μι ενδεικτική προσεγγιστική έρευν θ ήτν Οικολογί ν δούµε ν οι λόγοι των Λογική συχνοτήτων εµφάνισης της Χηµεί λέξης «Αντιπράδειγµ» προς Κοινωνιολογί την λέξη «πράδειγµ» στις Τεχνολογί Θρησκεί Πολιτική δύο γλώσσες είνι ίσοι Με προσφυγή στις υπηρεσίες των µηχνών νζήτησης, κι Συζητήσεις ειδικά στην Google,(στις Κινηµτογράφος ηµοσιογρφί //3) βρήκµε ότι ο λόγος των ιστοσελίδων που Συνδικλισµός περιέχουν τουλάχιστον µί ΑΘΡΟΙΣΜΑ 65 φορά την λέξη eample σε όλες τις πτώσεις ενικού κι πληθυντικού ριθµού είνι ενώ γι τον όρο coutereample 95 Έχοµε έτσι τον λόγο :33 Στην Ελληνική οι ντίστοιχες πόλυτες συχνότητες στην ίδι µηχνή είνι 3 κι 5 που δίνουν λόγο : εδοµένου όµως του µικρού πολύτου µεγέθους του «ντιπρδείγµτος» (5) δεν µπορούµε ν δικινδυνεύσουµε κάποιο σφές συµπέρσµ Ενισχύοντι ίσως οι υποψίες ότι στην Ελλάδ ο όρος «ντιπράδειγµ» δεν χρησιµοποιείτι όσο κι στην Αγγλόφωνη κοινότητ Αν µάλιστ σκεφθούµε κι τον πρεµφερή όρο «o-eample» µε ή χωρίς συνδετικό που σηµίνει «ντιπράδειγµ σε ορισµό» (δηλ «πράδειγµ που δεν εκπληροί ορισµό» το «µη- πράδειγµ» όπως κτά λέξη ποδίδετι) Ν γίνει σφές ότι δεν µετράµε τις συχνότητες εµφάνισης των όρων στην γρπτή γλώσσ γενικώς, φού οι µηχνές εµφνίζουν σελίδες που περιέχουν τουλάχιστον µί λέξη κλειδί νά σελίδ Σε κάθε περίπτωση όµως, έχοµε µι προσέγγιση της πργµτικότητς 3

16 ενισχύετι η υποψί υτή ν κι ο όρος έχει πολύ µικρή συχνότητ εµφάνισης (85 σε όλες τις πτώσεις ενικού κι πληθυντικού, µε ή χωρίς συνδετικό) 3 Η ερµηνεί των λεξικών Πρθέτουµε τις ερµηνείες των ελχίστων λεξικών που περιέχουν τον όρο «ντιπράδειγµ» κι «Coutereample» Ελληνογγλικό &Αγγλοελληνικό Ηλεκτρονικό λεξικό Mageta : Coutereample: Πράδειγµ κτρρίπτον θεωρί Αντιπράδειγµ: εν δίδετι ερµηνεί Ηλεκτρονικό µετφρστικό πρόγρµµ SYSTRAN: Coutereample: Πράδειγµ εξίρεση στον κνόν Αντιπράδειγµ: εν δίδετι ερµηνεί Dictioary of Mathematics (GEisereich-RSube) : Πρτίθεντι οι όροι σε Αγγλικά, Γλλικά, Γερµνικά, ντιστοίχως κι ως εξής: Coutereample, cotre-eemple, Gegebeispiel Μετφρστική µηχνή Alta-Vista : Ισπνικά -cotraejemplo, Ιτλικά- cotro-esempio, Ρωσσικά контрпример Νεοελληνικό λεξικό Μπµπινιώτη:Πράδειγµ που ντρέπει την ισχύ υπόθεσης, άποψης κτλ η οποί (υπόθεση) βσίζετι σε άλλ πρδείγµτ «Στο άρθρο της προυσιάζει ντιπρδείγµτ στην υπόθεση που είχε διτυπώσει ο συνάδελφός της» ΕΤΥΜΟΛΟΓΙΑ: Μετφρσµένο δάνειο της Αγγλικής couter-eample Ν επισηµάνουµε, ότι ουσιστικά τ µόν Ελληνικά λεξικά που περιέχουν τον όρο ντιπράδειγµ είνι της Mageta κι του κ Μπµπινιώτη, κοινό χρκτηριστικό των οποίων είνι η σύγχρονη λεξικογρφί 4 Μι κινούργι υπόθεση γι το ρήµ «ντιπρδείκνυµι» Τ ρχί Ελληνικά λεξικά περιέχουν το λήµµ «ντιπρδείκνυµι» πό το οποίο θ µπορούσε ν πρχθεί το ουσιστικό «ντιπράδειγµ» 4

17 Όµως, το µονδικό Ελληνικό λεξικό που νφέρετι κι σωστά στον όρο είνι του κ Μπµπινιώτη το οποίο όµως ποφίνετι ότι πρόκειτι γι νεολογισµό- µετάφρση του couter-eample όπου η κτά λέξη πόδοσή του είνι «ενάντιοπράδειγµ» Τ τρί πιο έγκυρ λεξικά που έχοµε νφέρουν: Hery G Liddell-Robert Scott: Πρβάλω, συγκρίνω ντιπρτίθηµι, (τινά τινί) (:Με κάποιον/ σε κάτι) Μέγ Λεξικόν ελληνικής Γλώσσης ηµητράκου, 9τ: ντιπρβάλλω προβάλω προς σύγκρισιν ντιπρθέτω Λεξικόν Αρχίς Ελληνικής Στµτάκου : Πρβάλλω συγκρίνω «Τον Ιωάννην ντιπρξείξι τω διδσκάλω» Γρ Νύσσης,99C Μι εκτενέστερη κι εκτετµένη νζήτηση στον «Θησυρό της Ελληνικής Γλώσσης» όπου το λογισµικό νζήτησης ερευνά το σύνολο της ρχίς Γρµµτείς, βρήκµε ότι το θέµ «ντιπρδ*» εµφνίζετι µόνο στον Γρηγόριο Νύσσης Εκεί εµφνίζοντι τρί µόνο ποτελέσµτ στην νζήτηση, σε έν των οποίων γίνετι χρήση ενός κθρού ντιπρδείγµτος PERI KATASKEUHS ANQRWPOU(76 στίχοι 46-53) OŒo e tij tõ lhqá de eie rto, fam tõ toioàto kur wj pilšgei tù ØpokeimšJ tõ Ôoma E dš tij tõ põ l qou techqšta tù kat fúsi tiparade eie, ú scáma m tõ aùtõ, kaˆ tõ mšgeqoj so, kaˆ ¹ toà crèmatoj ÐmoiÒthj, éste di tî ple stw tõ aùtõ eai tù prwtotúpj doke, pile pei d aùtù tõ kaˆ trof¾ dúasqai eai par toàto où kur wj, ll' k katacr»sewj táj pwum aj toà rtou tetuchkšai tõ l qo lšgwme (Απόδοση δική µς): Είνι το ίδιο µε το σν ν ήθελε κάποιος ν υποδείξει το ληθινό κρβέλι κι ν λέµε ότι πρέπει ν το επιλέγουµε κυρίως 5

18 πό το εάν ονοµάζετι έτσι Αν όµως ντιπρβάλλει κάποιος έν τεχνητό, ως προς την φυσική του υπόστση, πό πέτρ, µε ίσο µέγεθος, ίδιο σχήµ κι όµοιο χρώµ, ώστε σύµφων µε τ περισσότερ χρκτηριστικά του γνωρίσµτ ν θεωρείτι ότι είνι ίδιο µε το πρωτότυπο κι ν υπολείπετι µόνο το χρκτηριστικό του ν είνι βρώσιµο, πρ όλ υτά όχι κτά κνόν λλά κτχρηστικά, την πέτρ την λέµε κρβέλι Το νόηµ συνοπτικά: Ο Γρηγόριος Νύσσης λέει, ότι ότν λέµε «άρτος» λέµε υτόν που υπόκειτι στο όνοµ κτά όλ τ χρκτηριστικά του, λλιώς θ έπιρνε κάποιος έν κρβέλι πό πέτρ µε ίδιο σχήµ ίδιο χρώµ κι ίσο µέγεθος το οποίο βεβίως δεν τρώγετι κι θ το έλεγε «άρτο» Κι νι µεν λέµε άρτο, τον λίθο, λλά κτχρηστικά Είνι φνερό, ότι η χρήση του ρήµτος ντιπρδείκνυµι στο νωτέρω εδάφιο, γίνετι µε την έννοι «ντιπράδειγµ σε ορισµό» (Αληθής άρτος) εν ποκλείετι βεβίως ο όρος ντιπράδειγµ ν είνι όντως µετάφρση νεολογισµός εκ της Αγγλικής, λλά νοµίζοµε ότι υτό το εύρηµ θ πρέπει ν προβληµτίσει στο εάν κι κτά πόσον ο νώνυµος γλωσσοπλάστης περιορίσθηκε στην µετάφρση του Αγγλικού όρου, δηµιούργησε λέξη χωρίς ν γνωρίζει την ύπρξη ντιστοίχου ρήµτος ή (όπως βσίµως υποπτευόµεθ) πέδωσε ένν όρο έχοντς υπ όψιν του κι το ρχίο ρήµ κι την σηµσί του 5 Αρχίες χρήσεις του Αντιπρδείγµτος Το ντιπράδειγµ είνι µι έννοι που χρησιµοποιήθηκε στην Λογική κι κτ επέκτσιν ως συσττικό της φρέτρς επιχειρηµάτων σε συζητήσεις κι ντιπρθέσεις φιλοσοφικού ή άλλου περιεχοµένου Κτγράψµε δύο χρήσεις του που προκύπτουν πό ρχίες γρπτές πηγές Η πρώτη φορά τον διάλογο του Πλάτωνος «Γοργίς» όπου ο Κλλικλείς συνδιλεγόµενος µε τον Σωκράτη, διφωνεί γι τον ορισµό του «βελτίου» κι του «κρείσσονος ισχυρού» Ο Κλλικλείς φρονεί ότι οι έννοιες υτές συµπίπτουν Τότε ο Σωκράτης του επισηµίνει ότι σύµφων µε υτά που ισχυρίζετι ο Κλλικλείς θεωρεί του δούλους κλύτερους πό υτόν, φού 6

19 ν µζευτούν πολλοί θ είνι ισχυρότεροι, άρ κλύτεροι! Είνι σε έν σηµείο του διλόγου, στο οποίο έχει κορυφωθεί η διφωνί περί της δικρίσεως βελτίωνος κι µείνωνος κι ο Σωκράτης χρησιµοποιεί την λεγόµενη «Σωκρτική ειρωνεί» κάνοντς µάλιστ τον Κλλικλεί ν χάσει την ψυχριµί του Πρόκειτι δηλ γι «ντιπράδειγµ σε ορισµό» λίν ενδιφέρον που φίνετι στο πρκάτω πόσπσµ : (Στέφνος, σελ 49 - πρ b στ7 έως e στ4) KAL OØtosˆ ¾r où paúsetai fluarî e pš moi, ð Sèkratej, oùk a scúv thlikoàtoj í ÑÒmata qhreúw, kaˆ tij»mati m rtv, rmaio toàto poioúmeoj; m g r o ei llo ti lšgei tõ kre ttouj eai À tõ belt ouj; où p lai soi lšgw Óti taùtò fhmi eai tõ bšltio kaˆ tõ kre tto; À o ei me lšgei, surfetõj sullegí doúlw kaˆ patodapî qrèpw mhdeõj w pl¾ swj tù sèmati scur sasqai, kaˆ oátoi fîsi, aùt taàta eai Òmima; SW Ee, ð sofètate Kall kleij oûtw lšgeij; KAL P u m oâ SW 'All' gë mš, ð daimòie, kaˆ aùtõj p lai top zw toioàtò t se lšgei tõ kre tto, kaˆ erwtî glicòmeoj safîj e dšai Óti lšgeij où g r d»pou sú ge toýj dúo belt ouj ¹gÍ toà Òj, oùd toýj soýj doúlouj belt ouj soà, Óti scuròtero e si À sú ll p li rcáj e p t pote lšgeij toýj belt ouj, peid¾ où toýj scurotšrouj; kaˆ ð qaum sie prvòterò me prod daske, a m¾ pofoit»sw par soà KAL E rweúv, ð Sèkratej SW M tõ ZÁqo, ð Kall kleij, ú sý crèmeoj poll ud¾ e rweúou pròj me ll' qi e pš, t aj lšgeij toýj belt ouj eai; 7

20 Περισσότερο κθρό είνι το δεύτερο ντιπράδειγµ σε ορισµό που µς διηγείτι ο ιογένης ο Λέρτιος στους «Βίους Φιλοσόφων» Αποδίδετι στον ιογένη τον Κυνικό, ο οποίος θέλησε ν γελοιοποιήσει τον λνθσµένο ορισµό του Πλάτων περί νθρώπου, όπου σύµφων µε τον Λέρτιο, ο Πλάτων είχε ισχυρισθεί ότι ο άνθρωπος είνι όν άπτερον δίπουν Τότε, ο Κυνικός ξεπουπούλισε ένν κόκορ κι τον εισήγγε στην σχολή του Πλάτωνος λέγοντς, «Ιδού ο άνθρωπος του Πλάτωνος!» Κι πό τότε έκνε διόρθωση του ορισµού ο Πλάτων εισάγοντς στον ορισµό την επί πλέον προϋπόθεση ν είνι κι πλτυώνυξ! Πέρν του γλφυρού της ιστορίς, βλέποµε την χρησιµότητ του ντιπρδείγµτος στην κτάδειξη των λνθσµένων ορισµών, κι στην βελτίωση των υποθέσεων στην επιστηµονική έρευν Μπορούµε επί πλέον ν πούµε ότι κι το συγκεκριµένο πράδειγµ του ιογένους του Κυνικού είνι κι εξόχως πιδγωγικό, λόγω του ότι είνι εντυπωσικό,ενώ η έµπρκτη κτσκευή του (µη λεκτική) ήτν πρσττική κι άρ κτλυτική γι την διόρθωση του ορισµού εκ µέρους του Πλάτωνος! Πρθέτουµε το πρωτότυπο πόσπσµ το οποίο είνι πλήρως κτνοητό: Pl twoj Ðrisamšou, AqrwpÒj sti zùo d pou ptero, kaˆ eùdokimoàtoj, t laj lektruòa e s»egke aùtõ e j t¾ scol¾ ka fhsi, oátòj sti Ð Pl twoj qrwpoj Óqe tù ÓrJ prosetšqh tõ platuèuco ( ιογένης Λέρτιος, «Βίοι Φιλοσόφων» Βιβλίο 6 πρ4 στ 5-9) Επιστηµολογί κι ντιπράδειγµ Η θέση του ντιπρδείγµτος στην επιστηµολογί κτέχει κύρι θέση κι ειδικά πίζει θεµελιώδη ρόλο στην διψευσιοκρτί 8

21 Η διψευσιοκρτί είνι µι σχολή µε κύριους εκπροσώπους τους Poppert κι Lakatos, η οποί νπτύχθηκε κυρίως ως ντίθεση στην τελή (µη µθηµτική ) επγωγή που χρησιµοποιούν όλες οι επιστήµες πλην των µθηµτικών γι ν ερµηνεύσουν, περιγράψουν κι προβλέψουν διάφορ φινόµεν Σύµφων µε τους διψευσιοκράτες, όσες πρτηρήσεις κι ν έχουµε στην διάθεσή µς, είνι δύντον ν βγάλουµε έγκυρους κθολικούς νόµους κι θεωρίες, πράγµ που κάνουν οι Επγωγιστές Από την άλλη πλευρά, είνι δυντόν µόνο µε ενικές πρτηρησικές ποφάνσεις, ν διψεύσουµε γενικούς νόµους εκτελώντς λογικές πράξεις Πρδείγµτος χάριν: Έχοντς δεδοµένη την πόφνση «Έν κοράκι που δεν ήτν µύρο πρτηρήθηκε στην θέση χ την ώρ t», έπετι λογικά ότι η πόφνση «όλ τ κοράκι είνι µύρ» είνι ψευδής ηλ το επιχείρηµ : Προκείµενη: Έν κοράκι το οποίο δεν ήτν µύρο, πρτηρήθηκε στην θέση χ κτά την χρονική στιγµή t Συµπέρσµ: εν είνι όλ τ κοράκι µύρ συνιστά ένν λογικώς έγκυρο πργωγικό συλλογισµό Το πρτηρηθέν µη µύρο κοράκι συνιστά ντιπράδειγµ στον ισχυρισµό της πρότσης «Όλ τ κοράκι είνι µύρ» Άλλο πράδειγµ: Αν µε κάποιο τρόπο πρτηρούσµε ότι δύο σώµτ µζών Kgr κι Kgr ντιστοίχως εκτελούν ελεύθερη πτώση σε χρόνους που δεν είνι νάλογοι των µζών κι εντός των ορίων σφλµάτων των µετρήσεων, τότε έχουµε βρει έν ντιπράδειγµ στον νόµο της πτώσης των σωµάτων κτ Αριστοτέλη Ο Αριστοτέλης έλεγε ότι τ σώµτ εκτελούν εντός του έρ ελεύθερη πτώση σε χρόνους νλόγους των βρών τους, ενώ έν σώµ βουλιάζει σε διφορετικά υγρά σε χρόνους ντιστρόφως νλόγους των ειδικών βρών τους 3 3 Σήµερ φίνετι εξιρετικά περίεργη η µη διάψευση ενός τέτοιου χοντροκοµµένου νόµου γι την ελεύθερη πτώση, δεδοµένου ότι στην ρχιότητ κι χρονόµετρ υπήρχν κι ζυγοί ικνοποιητικής κριβείς ώστε τουλάχιστον ν µετρούν το µη δεκπλάσιον του χρόνου πτώσης Πρέπει ν δεχθούµε ότι εδώ βρήκε εφρµογή η πέχθει που ένοιωθν οι ρχίοι προς 9

22 Ιστορικό είνι κι έν άλλο ντιπράδειγµ που έχει χρησιµοποιήσει ο Leibitz µζί µε χρήση της εις άτοπον πγωγής ενάντι στους διτυπωθέντες νόµους της κίνησης πό τον Descartes Συγκεκριµέν είπε: Νόµος : Αν δύο σώµτ Α, Β µε ίσες µάζες κι ντίθετες τχύτητες, συγκρουσθούν κεντρικά, τότε ντλλάσσουν τχύτητες, κινούµεν ντίρροπ Νόµος : Αν δύο σώµτ Α, Β µε διφορετικές µάζες κι ντίρροπες τχύτητες συγκρουσθούν κεντρικά, τότε το σώµ µεγλύτερης µάζς συνεχίζει την κίνησή του µε την ίδι τχύτητ, ενώ το σώµ µε την µικρότερη µάζ λµβάνει την τχύτητ του µεγλυτέρου Ο Leibiz επιχειρηµτολόγησε ως εξής: Μπορούµε ν υποθέσουµε ότι η διφορά των µζών γίνετι οσοδήποτε µικρή Τότε γι µι πειροελάχιστη διφορά στην µάζ, θ ισχύει κι ο νόµος κι ο νόµος ηλδή, η ιτί της πειροελάχιστης διφοράς µάζς, προκλεί την µεγλύτερη δυντή διφορά στο ποτέλεσµ Αλλά, ως γνωστόν, η φύση δεν κάνει άλµτ Σήµερ θ λέγµε ότι ν ισχύει ο νόµος κι µετκινηθεί έν ηλεκτρόνιο πό το σώµ Α στο σώµ Β, θ προκληθεί η µέγιστη δυντή διφορά στο ποτέλεσµ 4 To κυριότερο χτύπηµ του Popper ενντίον του θεµελικού χρκτήρ της γνώσης δίνετι στο πρόβληµ της επγωγής Εκεί επικεντρώνει ο Popper την κύρι ντίθεσή του στον θετικισµό, επιστρέφοντς στ πλιά σχετικά επιχειρήµτ του David Hume ενντίον του επγωγικού συµπερσµού Γι πράδειγµ, επειδή όλοι οι κύκνοι που πρτηρήθηκν ως κάποι χρονική στιγµή είνι λευκοί, δεν σηµίνει ότι υπάρχουν οι λογικές βάσεις γι ν ποκλεισθεί ότι σε µι επόµενη πρτήρηση µπορεί ν βρεθεί ένς µύρος κύκνος (κάτι που έχει στην πργµτικότητ συµβεί µε την νκάλυψη µύρων πάσ µορφή πρκτικής ενσχόλησης όπως είνι οι µετρήσεις, φού πίστευν ότι η προσέγγιση της γνώσης γίνετι µόνο µε τον νου Τον νόµο της πτώσης του Αριστοτέλη διέψευσε εφυιέσττ ο Γλιλίος, ο οποίος έριξε δύο πόρτες ιδίου σχήµτος φορές πό γκρεµό Η µί ήτν σιδερένι κι η άλλη ξύλινη (ελφρύτερη) Την µι φορά έβλε την ξύλινη κάτω κι την σιδερένι πάνω κι την άλλη ενλλάξ Κι τις δύο φορές οι πόρτες έφθσν µζί κάτω Αν ίσχυε ο νόµος του Αριστοτέλη, θ έπρεπε ν πρτηρηθεί την πρώτη φορά τυτόχρονη άφιξη, φού η σιδερένι θ ωθούσε την ξύλινη, λλά την δεύτερη θ έπρεπε ν πρτηρηθεί πόκλιση, κθώς η σιδερένι θ πεσπάτο πό την ξύλινη, πράγµ που δεν πρετηρήθη! 4 Το επιχείρηµ του Leibitz φίνετι ν προέρχετι κτ ευθείν πό τον πειροστικό λογισµό κι την λογική των πειροστών ποσοτήτων µε τις οποίες κτετρίβετο

23 κύκνων στην Αυστρλί) Σύµφων µε τον Hume η επγωγική λογική οδηγεί σε µι τέλειωτη νδροµή µε την έννοι ότι, επειδή δεν ξέρουµε ν µι κόµη πρτήρηση θ επληθεύσει ή θ διψεύσει την υπόθεσή µς, γι υτό χρειάζετι ν την κάνουµε, βρισκόµενοι όµως πάλι στην ίδι κτάστση, οπότε ξνκάνουµε την πρτήρηση κοκ Με άλλ λόγι, ενώ το γενικό νφέρετι σε µι πειρί περιπτώσεων, οι εµπειρικές πρτηρήσεις του ειδικού περιορίζοντι ν ελέγξουν µόνο έν πεπερσµένο πλήθος πό υτές, οπότε ποτέ δεν είµστε σίγουροι ν η επόµενη περίπτωση δεν θ πρβιάσει τον γενικό κνόν Γι ν βγει πό το διέξοδο υτό της επγωγικής λογικής, ο Popper διµορφώνει ένν άλλο τρόπο συµπερσµού, στον οποίον ντικθιστά την ρχή της επλήθευσης µε την ρχή της διάψευσης Η επιστηµολογική µέθοδος του Popper, βσίζετι σε εικσίες κι νσκευές Είνι επίσης γνωστή όπως προείπµε ως διψευσιοκρτί ή µέθοδος δοκιµής κι λάθους Σύµφων µε υτήν, η επιστήµη δεν ξεκινά πό τις πρτηρήσεις, γι ν προχωρήσει µετά σε επγωγικές συνγωγές, όπως ισχυρίζοντι οι επγωγιστές Αντιθέτως, ρχικά τίθεντι κάποιες εικσίες, δηλδή, υποθετικά συµπεράσµτ, τ οποί στη συνέχει οι επιστήµονες υποβάλλουν σε εµπειρικές δοκιµσίες προσπθώντς ν τ νσκευάσουν κρτώντς πένντί τους µι κριτική στάση κι πειρµτιζόµενοι µε ενλλκτικές υποθέσεις Στην θέση λοιπόν της επγωγικής λογικής (τη συνγωγή πό το ειδικό στο γενικό), ο Popper βάζει την πργωγική λογική (τη συνγωγή πό το γενικό στο ειδικό) µέσω της διάψευσης (νσκευής) µις υπόθεσης (εικσίς) Μι επιστηµονική θεωρί, που επιβιώνει µετά πό έν σηµντικό πλήθος κριτικών ελέγχων κι πειρµτικών δοκιµσιών, µπορεί ν γίνει µόνο προσωρινά ποδεκτή, ποτέ σε οριστική βάση, µέχρις ότου συµβεί ν πορριφθεί σε κάποι ενδεχόµενη µελλοντική δοκιµσί Με άλλ λόγι, κµιά θεωρί δεν είνι γι τον Popper επληθεύσιµη, πλώς µπορεί ν έχει υψηλό βθµό εµπειρικής ενίσχυσης (corroboratio), κάτι που σηµίνει ότι όλες οι επιστηµονικές θεωρίες είνι κτά κνόν διψεύσιµες Επιπλέον, πολλές φορές, υπάρχουν επιστηµονικές θεωρίες, που µολονότι ήδη έχουν διψευσθεί, συνεχίζουν ν γίνοντι ποδεκτές Σν έν τέτοιο πράδειγµ ο Popper συνήθιζε ν φέρνει τη Νευτώνει µηχνική Η θεωρί του Νεύτων βρισκότν σε µι εντυπωσική συµφωνί µε την πρτήρηση κι το πείρµ πό τον

24 κιρό που πρώτο-εµφνίσθηκε (το 687) ως το 9 Στην περίοδο όµως 9- βρέθηκε ν µην είνι κριβής πό την άποψη της σχετικιστικής µηχνικής, χωρίς όµως ν έχει πό τότε εγκτλειφθεί 3Λογική κι ντιπράδειγµ 3 Ο Μθηµτικός ορισµός του ντιπρδείγµτος Ένς βσικός νόµος της λογικής, είνι ο νόµος της ποκλίσεως µέσου ή τρίτου του Αριστοτέλη Σύµφων µε υτόν, γι κάθε λογική πρότση Ρ, ή θ είνι ληθής η Ρ, ή θ είνι ληθής η ντίθετής της, η Ρ ηλ η Ρ είνι ληθής εάν κι µόνον εάν η Ρ είνι ψευδής κι επίσης, η Ρ είνι ληθής εάν κι µόνον εάν η Ρ είνι ψευδής Ο πρπάνω νόµος ισχύει στ πλίσι της Αριστοτέλεις λογικής ή όπως λλιώς λέµε στ πλίσι της δίτιµης λογικής ηλ κάθε πρότση Ρ µπορεί ν λάβει δύο µόνο τιµές :Α (ληθής) ή Ψ (ψευδής) Τ πρπάνω λχ µς επιτρέπουν ν χρκτηρίσουµε πράλογο το ερώτηµ : «Μπορεί ο Θεός ως Πντοδύνµος ν κτσκευάσει µι πέτρ που ν µην µπορεί ν την σηκώσει;» ιότι ισοδυνάµως είνι ως ν ν ερωτάµε εάν ο Θεός µπορεί τυτοχρόνως ν είνι «Πντοδύνµος» κι «όχι Πντοδύνµος» δηλ µι πρότση Ρ ν είνι ληθής κι τυτοχρόνως ν είνι ληθής κι η Ρ, πράγµ που ποκλείει η Αριστοτέλει Λογική Υπάρχουν βεβίως κι πλειότιµες Λογικές όπου µι πρότση Ρ δεν είνι ληθής ή ψευδής λλά έχει έν βθµό ληθείς µετξύ κι Υπάρχουν επίσης Μθηµτικές σχολές όπως υτή του Ολλνδού Brouwer, η σχολή του Ενορτισµού ή Ιντουσιονισµού όπου η µέθοδος πόδειξης της εις άτοπον πγωγής δεν ισχύει, πιτούντι κι πρόσθετες προϋποθέσεις γι την συνεπγωγή, κι επίσης κάθε πόδειξη θ πρέπει ν είνι κτσκευάσιµη, σύµφων µε µι στενή έννοι κτσκευσιµότητς

25 Στις πλειότιµες λογικές κι στ κτσκευστικά Ιντουσιονιστικά Μθηµτικά δεν έχει θέση η λογική του ντιπρδείγµτος όπως θ προυσισθεί εδώ, λλά µόνο στην κοινή- γνωστή µς, Αριστοτέλει Προτσικός τύπος Είνι ληθής Είνι ψευδής ( )[ P( )] ( )[ P( )] ( )[ P( )] ( )[ P( )] Αν γι όλ τ χ, η Ρ(χ) είνι ληθής Αν γι έν τουλάχιστον χ,η Ρ(χ) είνι ληθής Αν γι όλ τ χ,η Ρ(χ) είνι ψευδής Αν γι έν τουλάχιστον χ, η Ρ(χ) είνι ψευδής Αν γι έν τουλάχιστον χ, η Ρ(χ) είνι ψευδής Αν γι όλ τ χ, η Ρ(χ) είνι ψευδής Αν γι έν τουλάχιστον χ, η Ρ(χ) είνι ληθής Αν γι όλ τ χ, η Ρ(χ) είνι ληθής Λογική Επειδή το ντιπράδειγµ σχετίζετι άµεσ µε τους ποσοδείκτες κι (: «ι κάθε» κι «υπάρχει») πρθέτουµε ένν πίνκ µε την σηµσί τους στις προτάσεις : Από τον νωτέρω πίνκ, πρτηρούµε, ότι : (( )[ P( )]) ( )[ P( )] (( )[ P( )]) ( )[ P( )] Σύµφων µε τις προηγούµενες τυτολογίες, είµστε έτοιµοι ν δώσουµε τον πρκάτω ορισµό του ντιπρδείγµτος: ΟΡΙΣΜΟΣ: Εάν θέλουµε ν ποδείξουµε ότι η πρότση «: P( )» είνι ψευδής, πρέπει κι ρκεί ν ποδείξουµε ότι η πρότση «: P( )» είνι ληθής ηλδή, πρέπει ν βρούµε έν στοιχείο νφοράς έτσι ώστε η Ρ( Το ) ν είνι ψευδής του σχετικού συνόλου θ λέγετι τότε ντιπράδειγµ στην πρότση «: P ( )» 3

26 Σύµφων µε τον πιο πάνω ορισµό η έννοι ντιπράδειγµ εννοείτι ως «ενάντιο πράδειγµ» δηλδή «πράδειγµ ενάντι σε ισχυρισµό» Ότν όµως έν πράδειγµ δεν πληροί ένν ορισµό, εκτός πό «ντιπράδειγµ» το χρκτηρίζουµε κι ως «µη πράδειγµ» Αλλά, όπως η πρότση ισχυρισµός κθορίζει πρδείγµτ δύο κλάσεων, υτή των πρδειγµάτων που τον ικνοποιούν κι υτή των πρδειγµάτων που δεν την ικνοποιούν, οµοίως κι ένς ορισµός, ορίζει δύο ντίθετες κλάσεις, υτή των πρδειγµάτων που τον ικνοποιούν κι την κλάση των πρδειγµάτων που δεν τον ικνοποιούν Έτσι, νλογικά,, λέµε κι το µη-πράδειγµ σε ορισµό (πράδειγµ µη εκπληρόν τον ορισµό) κι υτό ντιπράδειγµ Εδώ υπάρχει κι έν λεπτό σηµείο : Ο ξεπουπουλισµένος κόκορς του ιογένη του Κυνικού, ήτν πράδειγµ στον ορισµό του Πλάτωνος κι µηπράδειγµ (ντιπράδειγµ) σε άλλον (κοινής ποδοχής-υπονοούµενο) ορισµό 3 Τ είδη του ντιπρδείγµτος Η γενική τξινόµηση των ντιπρδειγµάτων σε σχέση µε την µορφή τους περιλµβάνει τρεις βσικές-γενικές κτηγορίες, λλά κι πολλές ειδικές : Ειδικό ριθµητικό ντιπράδειγµ: Είνι υτό που δεν δίνει κµί πληροφορί γι τον τρόπο κτσκευής του, λλά ούτε κι πώς µπορούµε ν κτσκευάσουµε άλλο πρόµοιο ντιπράδειγµ λχ ειδικό ντιπράδειγµ συνεχούς συνρτήσεως είνι η, ν χ ρητος f : µε f( ) που είνι πντού συνεχής, ν χ ρρητος Ηµι-γενικό ντιπράδειγµ : Είνι υτό που µς δίνει πληροφορί γι τον τρόπο κτσκευής του, µπορούµε πό υτό ν κτσκευάσουµε πολλά ειδικά (συνήθως άπειρ ) λλά δεν κλύπτει όλη την υπάρχουσ κλάση ντιπρδειγµάτων Λόχου χάριν, ηµιγενικό ντιπράδειγµ συνεχούς συνάρτησης είνι η f : a, ρητος f( ) µε β, χ β, ρρητος µε 4

27 Είνι ηµιγενικό ντιπράδειγµ, φού γι τις διάφορες τιµές των, β λµβάνουµε πειρί ντιπρδειγµάτων τ οποί όµως φυσικά, δεν κλύπτουν όλ τ ντιπρδείγµτ, φού λχ η συνάρτηση g : µε h ( ), ρητος g ( ) µε ( ht,, συνεχεις στο ) κι h ( ) t ( ) χ t ( ), ρρητος είνι έν ηµιγενικότερο ντιπράδειγµ, µις κι κλύπτει την προηγούµενη κλάση κι είνι ευρύτερη υτής λλά κι πάλι, δεν κλύπτετι η κλάση όλων των ντιπρδειγµάτων Όσο κι ν γενικεύσουµε το προηγούµενο ντιπράδειγµ εισάγοντς πεπερσµένους στο πλήθος ή πείρους κλάδους σε ισάριθµες διµερίσεις του R, ή µετβάλλοντς το πεδίο ορισµού, δεν θ µπορέσουµε ν κλύψουµε µε µι νλυτική έκφρση την κλάση των πντού συνεχών συνρτήσεων Αυτή την κλάση την κλύπτει (ότν υπάρχει) το : 3 Γενικό ντιπράδειγµ : Είνι το ντιπράδειγµ που ποκλύπτει γιτί µι πρότση είνι λάθος κι προτείνει τρόπο πργωγής ολόκληρης της κλάσης ντιπρδειγµάτων Γι ν συνεχίσουµε στο ίδιο θέµ της συνέχεις, ως γενικό ντιπράδειγµ συνεχούς συνρτήσεως σε διάστηµ, θ f( ), µπορούσµε ν πάρουµε την g: µε g( ) µε f() a f( ), συνεχή συνάρτηση στο, που µς δίνει τον γενικό τρόπο κτσκευής συνεχούς συνάρτησης σε έν µόνο σηµείο της Αυτό φίνετι κλύτερ ότν πρλείπουµε σε µι πρότση µι νγκί συνθήκη γι την ισχύ της πρότσης Τότε, όσ πρδείγµτ δεν ικνοποιούν την συνθήκη, δεν ικνοποιούν κι την πρότση Στο θεώρηµ του Bolzao η συνθήκη ν µην έχει στθερό πρόσηµο η συνάρτηση στο διάστηµ [,β] είνι νγκί Εποµένως κάθε συνάρτηση που έχει στθερό πρόσηµο σε έν διάστηµ δεν έχει κι ρίζ σε υτό το διάστηµ κι άρ δεν πληροί το θ Bolzao Έτσι έν γενικό ντιπράδειγµ στο θ Bolzao είνι κάθε συνάρτηση f: [a,b] γι την οποί ισχύει f()> [ a, β ] ή f()< [ a, β ] Βεβίως υπάρχουν κι άλλ γενικά πρδείγµτ συνρτήσεων που δεν διτηρούν στθερό πρόσηµο στο [,β] κι δεν πληρούν το θ Bolzao, διότι δεν είνι συνεχείς ή είνι µεν συνεχείς, λλά δεν έχουν ετερόσηµες τιµές στ άκρ, β, όπως κι άλλ που τ εξετάζουµε στο οικείο κεφάλιο 5

28 Πέρν όµως υτής της γενικής κτηγοριοποίησης, υπάρχουν κι ειδικές κτηγοριοποιήσεις νάλογ µε άλλ χρκτηριστικά του ντιπρδείγµτος Πρθέτουµε µερικά πρδείγµτ: Πράδειγµ Έστω η πρότση: «:» Το στοιχείο χ είνι έν ντιπράδειγµ στην πρότση, φού κι Προφνώς, γι την συγκεκριµένη πρότση, είνι κι το µονδικό ντιπράδειγµ Πράδειγµ Έστω η πρότση : «: >» Γι ν δείξουµε ότι είνι ψευδής, πρέπει κι ρκεί ν ποδείξουµε ότι η ντίθετή της, η «:» Εδώ έχοµε δύο µόνο δυντά ντιπρδείγµτ, δηλ {,} Πράδειγµ3(Euler) Έστω η πρότση : «ν :ο ριθµός ν ν 4είνιπρώτος» Ο ν 4 είνι έν ντιπράδειγµά της, φού 4 444(4)44(4)4 Το 4 είνι κι το ελάχιστο ριθµητικό ντιπράδειγµ, φού γι ν,,,3,4,,39 η πρότση είνι ληθής Πράδειγµ 4 Έστω η πρότση : «ν : ν >ν κ» είνι ληθής µόνο ν ν>κ (κ ) Συνεπώς οι τιµές ν,,,3,4,,κ, συνιστούν κ το πλήθος ριθµητικά ντιπρδείγµτ ηλ έχω µη φργµένο πλήθος ντιπρδειγµάτων Πράδειγµ 5 (Fermat) Έστω η πρότση: «ν : η κολουθί ν ν χ είνι κολουθί πρώτων ριθµών» Η πρότση είνι ληθής γι ν,,,3,4, όπου οι ντίστοιχοι όροι χ 3, χ 5, χ 7, χ 3 57, χ είνι πρώτοι, λλά όπως έδειξε ο Euler τον 8 ο ιών κτρρίπτοντς τον ισχυρισµό του Fermat, γι ν5, ο ριθµός 5 χ νλύετι σε γινόµενο ως κι άρ είνι σύνθετος Πράδειγµ 6 (Εικσί Leibitz ) Έστω η πρότση «Ο ριθµός ν κ ν όπου κ περιττός, διιρείτι µε τον κ, γι κάθε ν µε ν 3» Η πρότση είνι ληθής γι ν3, 5,7 όπως ο ίδιος ο Leibitz πέδειξε, λλά ο ίδιος γρήγορ βρήκε έν ντιπράδειγµ στην εικσί του, φού ο ριθµός 9-5, δεν διιρείτι µε το 9 (ιστορικό ντιπράδειγµ) 6

29 Πράδειγµ 7 Έστω η πρότση: «Ο ριθµός Α99ν, δεν είνι τέλειο τετράγωνο» Η νωτέρω πρότση δεν είνι ληθής, λλά το µικρότερο ριθµητικό ντιπράδειγµ που µπορεί ν ευρεθεί ποδεικνύετι 5 ότι είνι ο πίστευτ µεγάλος ριθµός, τάξεως 8 (: Όσ µόρι περιέχουν περίπου 6 τόνοι σίδερο) συγκεκριµέν ο ν Προσφύγµε γι επλήθευση (µερική) στο πρόγρµµ Mathematica 4, όπου πράγµτι λάβµε την εντυπωσική επλήθευση, δηλ: ( ) 99*( ) (Θ µπορούσµε ν το χρκτηρίσουµε ως ντιπράδειγµ, πρκτικά µεγάλης δυσκολίς) Πράδειγµ 8 (7 ος ιώνς ) «Οι ριθµοί 3, 33, 333, 3333, Είνι πρώτοι» Αντιπράδειγµ ελάχιστο : Χ Πράδειγµ 9 (Εικσί Euler) «Η εξίσωση χ 4 ψ 4 z 4 ω 4 δεν έχει κέριες λύσεις» Ο Noam Elkis το 988 έδωσε το ντιπράδειγµ : (όποιος µφιβάλλει ς κάνει την επλήθευση µε το χέρι!) Πράδειγµ «εν υπάρχει περιττός τέλειος ριθµός» Σε υτή την πρότση δεν έχει νκλυφθεί ντιπράδειγµ, λλά ούτε γνωρίζουµε ν υπάρχει τέτοιο ντιπράδειγµ 33 Λεκτικές διτυπώσεις υποκρύπτουσες ντιπράδειγµ Το ντιπράδειγµ στην µθηµτική βιβλιογρφί δεν εµφνίζετι πάντ µε το όνοµά του Μάλιστ υτό ποτελεί τον κνόν, κθώς όπως είδµε ως λέξη κθ ευτή δεν είνι διδεδοµένη όσο θ έπρεπε, ενώ ως έννοι φυσικά ενυπάρχει ρχιόθεν κι κλύπτετι πίσω πό περιφρστικές ονοµσίες όπως «ειδικό πράδειγµ», «ντίθετο πράδειγµ», «µη πράδειγµ», ή (το συνηθέστερο) πλώς «πράδειγµ», φού πράγµτι το «ντιπράδειγµ» είνι µεν έν πράδειγµ όπως κι όλ τ άλλ, λλά λµβάνει το πρόσφυµ της πρόθεσης «ντί» ότν υπάρχει πρότση προς την οποί ενντιώνετι ηλ το ντιπράδειγµ δεν είνι έν είδος πρδείγµτος, λλά 5 Μπάµπης Τουµάσης «Σύγχρονη ιδκτική των Μθηµτικών» σελ 3 Ο συγγρφές πρπέµπει στον Somisky IS (975) The Method of mathematical iductio Moscow : Mir Publishers 7

30 χρκτηρίζετι έτσι πό την χρήση του σε κάποι συγκεκριµένη ποδεικτική διδικσί διάψευσης ενός ισχυρισµού προτάσεως, σύµφων κι µε τον τεθέντ ορισµό Πρέπει ν νφέρουµε, ότι τ ντιπρδείγµτ (µε έν µκροσκοπικό- εκ πρώτης όψεως γρήγορο κριτήριο ) πρτίθεντι συνήθως στ «σχόλι» ή στις «πρτηρήσεις» των διδκτικών εγχειριδίων ή συγγρµµάτων έπειτ πό τ θεωρήµτ κι τους ορισµούς Όσο περισσότερο διδκτικό είνι έν σύγγρµµ τόσο περισσότερο έχει φωτίσει τ διδκτικά κι επιστηµολογικά εµπόδι που εκ των πργµάτων προυσιάζοντι κι πιτούν διευκρίνιση, µε σχόλι κι πρτηρήσεις Τ συνήθη λάθη των σπουδστών είνι ο κλύτερος οδηγός Τ µθηµτικώς πιθνά ενδεχόµεν λάθη, συνήθως είνι άπειρ κι υπερριθµήσιµ στο πλήθος Αν οι σπουδστές προτιµούν ν κάνουν πεπερσµέν, µικρού πλήθους κι επνλµβνόµεν λάθη,υτό υποδηλοί κάτι εξιρετικά σηµντικό που κρούει τον κώδων του διδάσκοντος ως προς την ποιότητ του µθήµτος που γίνετι στην τάξη του Αυτό είνι έν τεράστιο ζήτηµ πιδγωγικής υφής που θ το θίξουµε πρκάτω Σε ό,τι φορά όµως το διδκτικό βιβλίο, χρειάζοντι τ κτάλληλ πρδείγµτ κι ντιπρδείγµτ που θ διευκρινίζουν ολόκληρο το εύρος ενός ορισµού ή όλες τις περιπτώσεις εφρµογής ενός θεωρήµτος κι θ προλµβάνουν τις συνήθεις πρνοήσεις τις οποίες γνωρίζουµε εκ προσωπικής ή συλλογικής πείρς, κτγεγρµµένης ή µη Έµφση θ πρέπει ν δίνετι στ «εφπτόµεν ντιπρδείγµτ» δηλ σε υτά που δεν εκπληρούν έν θεώρηµ ή ένν ορισµό «πάρ µί συνθήκη», ενώ εκπληρούν ενδεχοµένως όλες τις υπόλοιπες Αλλά ς δούµε πώς κι που υποκρύπτοντι ή πώς εισάγοντι σκήσεις που πιτούν ντιπράδειγµ, όπως κι τις ντίστοιχες λεκτικές εκφράσεις που συνήθως τ εισάγουν: i «ίνετι η πρότση P() κι A Σε περίπτωση που η Ρ() είνι ληθής ν ποδειχθεί, άλλως ν δοθεί κτάλληλο ντιπράδειγµ» Το πρπάνω υπόδειγµ είνι έν κλσικό υπόδειγµ άσκησης ή προβλήµτος µε νοικτή διτύπωση κι κλειστή πάντηση Μπορεί ν δοθεί 8

31 κι µε νοικτότερη διτύπωση όπως : «Ν εξετσθεί η ισχύς της πρότσης Ρ(), A» Συνηθέσττ το Α είνι πειροσύνολο Τέτοιες διτυπώσεις πουσιάζουν εντελώς πό τ εν χρήσει διδκτικά εγχειρίδι της ΜΕ ενώ συνντώντι στ Πνεπιστηµικά µθηµτικά της ηµεδπής κι της λλοδπής Η έλλειψη σκήσεων τέτοις µορφής δεν έχει ν κάνει µε το ντιπράδειγµ κθ ευτό, λλά µε την πουσί προβληµάτων νοικτής διτύπωσης είτε νοικτής πάντησης, τ οποί υπάρχουν στην ΜΕ των περισσότέρων σχολείων της λλοδπής στην ΕΕ Η ενρµόνιση της Χώρς µς σε υτό το θέµ µε τ ισχύοντ έχει ρχίσει τ τελευτί χρόνι µέσω διλόγου, που οριοθετεί, άλλοτε προφνείς όρους ( όπως τι είνι άσκηση, ποί η διφορά της πό το πρόβληµ, τι σηµίνει πργµτικό πρόβληµ τι νοικτό πρόβληµ τι κλειστό κτλ) κι άλλοτε µε την νοµοθετική νγκιότητ εισγωγής πργµτικών προβληµάτων στην διδσκλί µις έννοις ή στους εισγωγικούς διγωνισµούς (που ευρύττ επισήµως κι νεπισήµως ποκλούντι κι «εξετάσεις» χωρίς ν είνι 6 ) Σε κάθε περίπτωση γίνοντι συζητήσεις κι διευκρινίζοντι κάποιες ορολογίες ώστε ν εννοούµε όλοι το ίδιο ότν νφερόµεθ επί των ιδίων κι ν µην υπάρχει σύγχυση επί των ορισµών Υπάρχουν βεβίως ρκετά ν γίνουν Σε σχέση όµως µε το ντιπράδειγµ κι την διδκτική του χρήση θ µπορούσε ν υπάρχει νφορά του στ διδκτικά εγχειρίδι ή στις οδηγίες προς τους διδάσκοντες τ Μθηµτικά Μέχρι στιγµής πουσιάζουν τέτοιες νφορές, λλά ς ελπίσουµε ότι στο µέλλον θ ενρµονισθούµε τουλάχιστον µε τ κοινώς ισχύοντ στην υπόλοιπη ΕΕ ή των χωρών του ΟΟΣΑ ii «Υπάρχει A που ικνοποιεί την Ρ()» Εδώ το χ, είνι ντιπράδειγµ στην υπονοούµενη ντίθετη πρότση, την «A P ( )» Κµιά φορά τίθετι κι µε ερωτηµτική διτύπωση(νοικτή 6 Ως «εξετάσεις» χρκτηρίζοντι οι δοκιµσίες στις οποίες πάντες οι λµβάνοντες την βάση της βθµολογίς λµβάνουν επιτυχή χρκτηρισµό, ενώ ως «διγωνισµοί» οι δοκιµσίες στις οποίες επιτυγχάνει προκθορισµένος ριθµός νεξρτήτως βθµολογικής βάσεως είτε υπάρχει κάποι βάση ως νγκί προϋπόθεση, κι τυτοχρόνως νώττος- εκ των προτέρων- ριθµός επιτυχόντων, µικρότερος του ριθµού των διγωνιζοµένων Με υτούς τους ορισµούς οι Πνελλδικές «εξετάσεις» είνι «διγωνισµοί» εν ποκλούντι µε το ορθό όνοµά τους, όχι λόγω άγνοις των κοινών ορισµών, λλά µάλλον γι πολιτικούς λόγους 9

32 διτύπωση) κι έχει διδκτικό ενδιφέρον ότν η ικνοποίηση της Ρ() δεν είνι διισθητικά προφνής Γι πράδειγµ, λέµε ότι «Υπάρχει συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής στο, ενώ δεν πργωγίζετι πουθενά στο» Εδώ η ύπρξη είνι ενάντι στην νθρώπινη συνήθη (λλά κι µθηµτική ) διίσθηση που λέει ότι δεν είνι δυντόν ν υπάρχει µι τέτοι συνάρτηση Ο Weierstrass έδωσε έν τέτοιο ιστορικό ντιπράδειγµ κτπλήσσοντς την µθηµτική κοινότητ (βλ Α76 & Β73) Αν πούµε όµως «Υπάρχει συνεχής συνάρτηση, η f() /R» υτό ποτελεί έν λογικό ντιπράδειγµ στην πρότση «εν υπάρχουν συνεχείς συνρτήσεις» είνι όµως µι τετριµµένη µθηµτικά κι µι νόητη διδκτικά περίπτωση, φού πάντες οι άνθρωποι εγγενώς φέρουν την έννοι της συνέχεις γι υτό κι τ πρώτ πρδείγµτ ιστορικά κι διδκτικά ήτν κι είνι µόνο συνεχείς ή κτά τµήµτ συνεχείς συνρτήσεις Σε υτό το πλίσιο, δύσκολη ήτν κι η ντίληψη συνάρτησης πντού συνεχούς, όπως είνι η συνάρτηση του Dirichlet, η οποί είνι έν µθηµτικό λλά συγχρόνως κι έν πολύ χρήσιµο διδκτικά ντιπράδειγµ στην (υπονοούµενη) πρότση «εν υπάρχει πντού συνεχής συνάρτηση στο R iii Ν ποδειχθεί ότι η συνθήκη Ρ() είνι νγκί γι την ισχύ του συµπεράσµτος του θεωρήµτος Θ() Σε έν τέτοιο υπόδειγµ διτύπωσης υποκρύπτετι ντιπράδειγµ, φού κλούµεθ ν νκλύψουµε έν που ικνοποιεί την «P κι ( ) Θ ( )» Γι πράδειγµ : «είξτε, ότι γι την ισχύ της Μθηµτικής Επγωγής ο έλεγχος της Ρ(ν) γι ν, είνι πρίτητος» Μπορούµε ν θεωρήσουµε την Ρ(ν): «νν» Τότε, ν ισχύει γι νκ, έχω κκ κκ κκ που είνι η Ρ(κ) ηλ Ρ(κ) Ρ(κ) κι τότε κάθε ριθµός είνι ίσος µε τον επόµενό του κι άρ όλοι οι φυσικοί είνι ίσοι! Σε υτό το άτοπο κτλήξµε διότι δεν ελέγξµε την πρότση γι ν που δίνει το άτοπο

33 Στον Απειροστικό Λογισµό έχουν διδκτικό ενδιφέρον τέτοι προβλήµτ, όπου κάποι χρκτηριστικά, νφέρουµε σε όλ τ κεφάλι του Απειροστικού λογισµού στο Β µέρος iv Ν ποδειχθεί ότι η πρότση «A P ( )»είνι ψευδής Εδώ, ευθέως κλούµεθ ν νκλύψουµε ντιπράδειγµ, φού έχοµε έν πρόβληµ κλειστής διτύπωσης, κι νοικτής πάντησης, υπό την έννοι, ότι το ντιπράδειγµ που κλούµεθ ν πρθέσουµε, συνήθως δεν είνι µονδικό Γι πράδειγµ ότν έχω την διτύπωση: Ν ποδειχθεί ότι η πρότση «Κάθε συνεχής συνάρτηση είνι πργωγίσιµη» είνι ψευδής έχει ως σύνηθες κι τετριµµένο πλέον ειδικό ντιπράδειγµ την f() /R, λλά µπορεί ν ντιπρτεθεί κι το ηµιγενικό f() - /R 34 Η θέση του ντιπρδείγµτος στην µθηµτική ποδεικτική διδικσί Στ µθηµτικά βσικές µέθοδοι πόδειξης είνι η ευθεί πόδειξη κι η ντιθετοντιστροφή, µε κάποιες πρλλγές πάνω στις δύο υτές µεθόδους Έτσι έχουµε την : Ευθεί πόδειξη: Αρχίζουµε πό µι πρότση Ρ, κι µέσω µις λυσίδς συλλογισµών της µορφής «εάν τότε» κτλήγουµε στην πρότση Q Τότε λέµε ότι P Q Απόδειξη µε χρήση της ντιθετοντιστροφής : Εκµετλλευόµστε το ότι η πρότση P Q ισοδυνµεί µε Q P ηλ (λεκτικά) ντί ν δείξουµε ότι P συνεπάγετι Q, ποδεικνύουµε ισοδυνάµως ότι η άρνηση της Q συνεπάγετι την άρνηση της P Το έτυµον της ονοµσίς της (ντίθετη ντιστροφή) περιγράφει πλήρως κι την ουσί της φού όποιος δικιολογήσει µι φορά την ονοµσί της, δεν ξεχνά ποτέ κι την σηµσί της Απγωγή εις άτοπον : Θέλοντς ν δείξουµε ότι Ρ Q, υποθέτουµε ότι η Ρ δεν συνεπάγετι την Q κι κτλήγουµε µε λογικές διδικσίες σε κάτι που δεν στέκει (άτοπο: το µη έχον τόπο) Σε άτοπο κτλήξµε διότι δεχθήκµε

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις ακολουθίες

Σηµειώσεις στις ακολουθίες Σηµειώσεις στις κολουθίες Η έννοι της κολουθίς Ας ρίξουµε µι µτιά στην επόµενη πράθεση ριθµών: 7,, 5, 9,, 7,, Όπως κτλβίνει κνείς, υπάρχουν άπειροι ριθµοί που διδέχοντι ο ένς τον άλλο, µε κάποι λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α.

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. 1. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: επνεπίσκεψη. Η εξής πρτήρηση γι τις (μονομερείς) διμελείς σχέσεις, εξυπηρετεί την τξινόμησή τους: τ ζεύγη μις οποιδήποτε τέτοις σχέσης εμπίπτουν σε τρείς κτηγορίες:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ημιτελείς προτάσεις Α1 έως Α5 κι δίπλ το γράμμ που

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 4 IOYNIOY 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ 1 3.1 σκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 144 146 Ο Σ 1. Έν κουτί έχει τρεις µπάλες, µι άσπρη, µι µύρη κι µι κόκκινη. άνουµε το εξής πείρµ : πίρνουµε πό το κουτί µι µπάλ, κτγράφουµε το χρώµ της κι την ξνάζουµε στο

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρινού Γιώργος. Δεκέμβριος 2007. ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Βασίλειος Χατζής

Σταυρινού Γιώργος. Δεκέμβριος 2007. ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Βασίλειος Χατζής ΤΕΙ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΗ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΣΥΛΛΟΓΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ, ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων ικριτά Μηµτικά κι Μηµτική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ σ ί 4η Θεωρί Γρφηµάτων Α π ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµ. ίετι το ένρο του πρκάτω σχήµτος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντς σν ρίζ του ένρου

Διαβάστε περισσότερα

Newsletter. Δεκέμβριος 2011. Christmas Party! στο Yogastudio Maroussi Παρασκευή 23 Δεκεµβρίου, 20.00

Newsletter. Δεκέμβριος 2011. Christmas Party! στο Yogastudio Maroussi Παρασκευή 23 Δεκεµβρίου, 20.00 Newsletter Δεκέμβριος 2011 Christmas Party! στο Yogastudio Maroussi Πρσκευή 23 Δεκεµβρίου, 20.00 Ελάτε ν γιορτάσουµε σε µί κεφάτη Χριστουγεννιάτικη τµόσφιρ µε πολύ µουσική, χορό, χορτοφγικό µπουφέ κι εκπλήξεις!

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ. ρ. Στυλιανός Γ. Λόζιος

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ. ρ. Στυλιανός Γ. Λόζιος ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ρ. Στυλινός Γ. Λόζιος Επ. Κθηγητής του Τµήµτος Γεωλογίς του Εθνικού & Κποδιστρικού Πνεπιστηµίου Αθηνών Το εφρµοσµέν

Διαβάστε περισσότερα

Η Υγεία σας - και - η Κατάστασή σας

Η Υγεία σας - και - η Κατάστασή σας Η Υγεί σς - κι - η Κτάστσή σς Kidney Disease and Quality of Life (KDQOL-SF ) Αυτή η έρευν σς ρωτά γι τις πόψεις σς γι την υγεί σς. Αυτές οι πληροφορίες θ µς βοηθήσουν ν δούµε πώς ισθάνεσθε κι πόσο κλά

Διαβάστε περισσότερα

H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου

H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου H Ευκλείδει Γεωµετρί είνι κι εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου (EΥΚΛΕΙ ΗΣ Γ, Τ. 73,010) ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μθηµτικών dimitrmp@sch.gr Περίληψη Η µελέτη των κωνικών τοµών η οποί γίνετι,

Διαβάστε περισσότερα

magazine Η ERGO στην Παταγωνία Ταξιδεύοντας με τους επιτυχημένους Ελληνική έκδοση του ασφαλιστικού ομίλου ERGO

magazine Η ERGO στην Παταγωνία Ταξιδεύοντας με τους επιτυχημένους Ελληνική έκδοση του ασφαλιστικού ομίλου ERGO Τεύχος 3 Χειμώνς 2013 magazine Ελληνική έκδοση του σφλιστικού ομίλου ERGO Training Εμπειρίες φροντίδς γι το διοικητικό προσωπικό Web Portal Oι διδικτυκές σχέσεις της ERGO νβθμίστηκν Πρόσωπ Ανδρές Σούλης

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ ΤΑΛΑΣΛΙΔΗΣ ΗΛΙΑΣ ΜΠΟΥΓΑΪΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΙΝΟΠΟΥΛΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι ΤΕΥΧΟΣ A Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Α Κ Ε Σ Σ Η Μ Ε Ι Ω Σ Ε Ι Σ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ Σηµείωση. Γράφουµε νν ντί του ν κι µόνον ν.. Προλεγόµεν. Σε ότι κολουθεί, ο νγνώστης θ έρθει σε επφή µε έννοιες πό την Μθηµτική Λογική, την Θεωρί Συνόλων, κι την Άλγεβρ. Σύµφων µε την Πλτωνική ντίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ. Μιλτιάδης Γ. Ζώης Α.Μ.: 200113

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ. Μιλτιάδης Γ. Ζώης Α.Μ.: 200113 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙΩΝ Μιλτιάδης Γ. Ζώης Α.Μ.: 00113 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΝΕΤΡΙΝΩΝ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΑΝΙΧΝΕΥΤΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ MINOS

Διαβάστε περισσότερα

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος.

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος. 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 1. ΙΑΛΥΜΑΤΑ (ΠΕΡΙΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ - ΙΑΛΥΤΟΤΗΤΑ) Όπως νφέρµε διάλυµ είνι έν οµογενές µίγµ που ποτελείτι πό δύο ή περισσότερες χηµικές ουσίες. Περιεκτικότητ διλύµτος είνι η ποσότητ της διλυµένης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΓΟΡΑ ΕΛΑΙΟΛΑ ΟΥ ΣΤΗΝ Ν. ΚΟΡΕΑ

Η ΑΓΟΡΑ ΕΛΑΙΟΛΑ ΟΥ ΣΤΗΝ Ν. ΚΟΡΕΑ Η ΑΓΟΡΑ ΕΛΑΙΟΛΑ ΟΥ ΣΤΗΝ Ν. ΚΟΡΕΑ Γρφείο Οικονοµικών & Εµπορικών Υποθέσεων Πρεσβείς της Ελλάδος στη Σεούλ Rm 25, Jang Kyo Bldg,, Jang Kyo-dong, Chung-ku Seoul, Korea 00-77 Tel. +82-2-754-822 Fax +82-2-754-823

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ ΤΜΗΜΤΡΧΗΣ : Δ. ΓΡΟΥΖΗΣ ΤΗΛ. 210-3332990 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ : Ι.ΖΡΦΕΤ ΤΗΛ.210-3332864 ΝΡΤΗΤΕ ΣΤΟ ΔΙΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΤΙ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΝΠΤΥΞΗΣ, ΝΤΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΣ, ΠΛΤΕΙ ΣΥΝΤΓΜΤΟΣ, ΘΗΝ 2013 ΦΟΡΕΣ : ΠΟΚΕΝΤΡΩΜΕΝΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02 Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ 1 Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ. Από το πρακτικό της αριθμ.15-11 ης Συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής Δήμου Λεβαδέων Αριθμός απόφασης : 142.

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ. Από το πρακτικό της αριθμ.15-11 ης Συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής Δήμου Λεβαδέων Αριθμός απόφασης : 142. ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ Λιβδειά 24 04-2015 Αριθ Πρωτ: 10259 ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το πρκτικό της ριθμ15-11 ης Συνεδρίσης της Οικονομικής Επιτροπής Δήμου Λεβδέων Αριθμός πόφσης : 142 Περίληψη Εκθεση ποτελεσμάτων εκτέλεσης προϋπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Τα οικονομικά της Υγείας: μια >υσάρεστη επιστήμη ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τις πολιτικές Υγείας;

Τα οικονομικά της Υγείας: μια >υσάρεστη επιστήμη ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τις πολιτικές Υγείας; Τ οικονομικά της Υγείς: μι υάρετη επιτήμη ή έν χρήιμο εργλείο γι τις πολιτικές Υγείς; Ιωάννης Κυριόπουλος Κθηγητής Οικονομικών της Υγείς, Διευθυντής του Τομέ Οικονομικών της Υγείς, Εθνική Σχολή Δημόις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Λουτράκι 24 / 9 / 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αριθμ. Πρωτ. 22978 ΝΟΜΟΣ ΚΟΡΙΝΘΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΛΟΥΤΡΑΚΙΟΥ-ΑΓΙΩΝ ΘΕΟΔΩΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓ/ΣΜΟΥ, ΠΛΗΡ/ΚΗΣ & ΚΟΙΝ/ΚΗΣ ΠΟΛ/ΚΗΣ Δ/ΝΣΗ : ΙΑΣΟΝΟΣ 1 203 00 ΛΟΥΤΡΑΚΙ ΤΗΛ.: 27440

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν Μ Ν Α Δ Ε Σ Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν Κ Ε Ν Τ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005 ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005 ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ 70 ΑΣΚΑΛΩΝ EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείµενο» Κυρική 10-4-2005 Α.

Διαβάστε περισσότερα

Είναι ένα πιστοποιητικό που επιτρέπει τη μεταφορά επικίνδυνων εμπορευμάτων ακόμα και εάν η μονάδα μεταφοράς δεν είναι κατάλληλη.

Είναι ένα πιστοποιητικό που επιτρέπει τη μεταφορά επικίνδυνων εμπορευμάτων ακόμα και εάν η μονάδα μεταφοράς δεν είναι κατάλληλη. ΚΕΦΑΑΙΟ 1: ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟ ΠΑΙΙΟ - ΤΑΞΙΝΟΜΗΗ ΕΠΙΚΙΝΔΥΝΩΝ ΕΜΠΟΡΕΥΜΑΤΩΝ 1 Ποιος έχει την υποχρέωση ν πρδώσει στον οδηό τις ρπτές οδηίες σχετικές με τη μετφερόμενη επικίνδυνη ύλη; Ο πρλήπτης. Η τροχί. Ο ποστολές.

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονες επεμβατικές και μη επεμβατικές τεχνικές laser και άλλων πηγών ενέργειας για την αποκατάσταση ουλών και της φυσικής γήρανσης του δέρματος

Σύγχρονες επεμβατικές και μη επεμβατικές τεχνικές laser και άλλων πηγών ενέργειας για την αποκατάσταση ουλών και της φυσικής γήρανσης του δέρματος 224 ΟΜΙΛΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΕΡΜΑΤΟΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΗ Τόμος 6, (4):224-234, 2009 Ελληνική Ετιρεί Δερμτοχειρουργικής 43 η Ετήσι Συνάντηση της Ελληνικής Ετιρείς Δερμτοχειρουργικής Laser κι άλλες πηγές ενέργεις στη Δερμτολογί

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΡΥΜΑ ΝΕΟΛΑΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΣΧΟΛΕΣ ΓΟΝΕΩΝ ΝΟΜΟΥ ΚΟΡΙΝΘΙΑΣ

ΙΔΡΥΜΑ ΝΕΟΛΑΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΣΧΟΛΕΣ ΓΟΝΕΩΝ ΝΟΜΟΥ ΚΟΡΙΝΘΙΑΣ Σε συνέχει της επικοινωνίς μς πρκλώ όπως προωθήσετε τ κόλουθ στο Σύλλογο Γονέων κι Κηδεμόνων κθώς κι στο Σύλλογο Διδσκόντων του σχολείου σς. Οι Σχολές Γονέων Νομού Κορινθίς προσκλούν το Σύλλογο Γονέων

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Π Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Π Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02 Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Π Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ 1 Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν

Διαβάστε περισσότερα

Οι ΤΠΕ ως παιδαγωγική εμπειρία μέσα από τα βιώματα των παιδιών: Εμπειρίες και προκλήσεις για το ψηφιακό χάσμα

Οι ΤΠΕ ως παιδαγωγική εμπειρία μέσα από τα βιώματα των παιδιών: Εμπειρίες και προκλήσεις για το ψηφιακό χάσμα Οι ΤΠΕ ως πιδγωγική εμπειρί μέσ πό τ βιώμτ των πιδιών: Εμπειρίες κι προκλήσεις γι το ψηφικό χάσμ Στύρου Χριστίν Ευρωπϊκό Πνεπιστήμιο Κύπρου & Βρυωνίδης Μάριος Ευρωπϊκό Πνεπιστήμιο Κύπρου Περίληψη H προύσ

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν Μ Ν Α Δ Ε Σ Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν Κ Ε Ν Τ

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαίτερη ευχαρίστηση». Όμως εδώ τίθεται το εξής ερώτημα: «Ποιός είναι αυθεντία Istvan Urban Εμφυτευματολόγος Συνεδρία I, ΙΙI

ιδιαίτερη ευχαρίστηση». Όμως εδώ τίθεται το εξής ερώτημα: «Ποιός είναι αυθεντία Istvan Urban Εμφυτευματολόγος Συνεδρία I, ΙΙI 12 Κλινικά Θέμτ - Αισθητική Οδοντιτρική De n t a l Tr i b u n e Greek Edition Η λειτουργική ισθητική ζώνη του στόμτος: Ο κθοριστικός πράγοντς γι τη σχεδίση ενός ισθητικά άρτιου χμόγελου J. J. Massad, DDS

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή Μελέτη. «ιερεύνηση πρακτικών εφαρµογών µετάδοσης θερµότητας από ενεργειακή σκοπιά» Εισηγητής: Κτενιαδάκης Μιχ. Επιµέλεια: Στρατάκη Ανθούλα

Πτυχιακή Μελέτη. «ιερεύνηση πρακτικών εφαρµογών µετάδοσης θερµότητας από ενεργειακή σκοπιά» Εισηγητής: Κτενιαδάκης Μιχ. Επιµέλεια: Στρατάκη Ανθούλα P TS TS P Τεχνολογικό Εκπιδευτικό Ίδρυµ Κρήτης Πρόγρµµ Σπουδών Επιλογής ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Πτυχική Μελέτη «ιερεύνηση πρκτικών εφρµογών µετάδοσης θερµότητς πό ενεργεική σκοπιά» Εισηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ :. ΠΕΤΤ ΤΗΛ.210-3332937 ΝΡΤΗΤΕ ΣΤΟ ΔΙΔΙΚΤΥΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΝΥΤΙΛΙΣ ΚΙ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ ΠΛΤΕΙ ΣΥΝΤΓΜΤΟΣ, ΘΗΝ 2015 ΦΟΡΕΣ : ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΝΥΤΙΛΙΣ ΚΙ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ ΤΟΜΕΣ :

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ :.ΜΡΙΝΟΥ ΤΗΛ.210-3332926 ΝΡΤΗΤΕ ΣΤΟ ΔΙΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΤΙ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΠΛΤΕΙ ΣΥΝΤΓΜΤΟΣ, ΘΗΝ 2015 ΦΟΡΕΣ : ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΤΟΜΕΣ : ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΚ ΠΡΟΓΡΜΜΤ ΥΠΟΤΟΜΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ συγκέντρωση Μόλυνση ονομάζετι η είσοδος ενός πθογόνου μικροίου στον οργνισμό. Χρονικά, προηγείτι η είσοδος του μικροίου κι κολουθεί η ενεργοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ, ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΩΝ ΨΥΧΑΝΘΩΝ ΣΕ ΠΟΟΛΙΒΑΔΑ ΞΗΡΟΘΕΡΜΙΚΩΝ ΠΕΡΙΟΧΩΝ. Διδακτορική Διατριβή. Θεοδώρας Μέρου.

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ, ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΩΝ ΨΥΧΑΝΘΩΝ ΣΕ ΠΟΟΛΙΒΑΔΑ ΞΗΡΟΘΕΡΜΙΚΩΝ ΠΕΡΙΟΧΩΝ. Διδακτορική Διατριβή. Θεοδώρας Μέρου. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΛΙΒΑΔΙΚΗΣ ΟΙΚΟΛΟΓΙΑΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΠΑΠΑΝΑΣΤΑΣΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Παραγωγικότητα πέντε ξηρικών τεχνητών λειμώνων και της αυτοφυούς βλάστησης στο Λιθοχώρι Ευρυτανίας *

Παραγωγικότητα πέντε ξηρικών τεχνητών λειμώνων και της αυτοφυούς βλάστησης στο Λιθοχώρι Ευρυτανίας * Πργωγικότητ πέντε ξηρικών τεχνητών λειμώνων κι της υτοφυούς λάστησης στο Λιθοχώρι Ευρυτνίς Πργωγικότητ πέντε ξηρικών τεχνητών λειμώνων κι της υτοφυούς λάστησης στο Λιθοχώρι Ευρυτνίς * Ρ. Θνόπουλος Διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΔΡΥΣΗΣ ΤΟΥ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ

ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΔΡΥΣΗΣ ΤΟΥ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΔΡΥΣΗΣ ΤΟΥ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ Επωνυμί: Εργστήριο Έρευνς Μάρκετινγκ κι ιφήµισης Σχολή: ιοίκησης κι Οικονοµίς Κθηγητές ΤΕΙ Αθήνς που υποβάλλουν την πρότση: Επώνυμο Όνομ βθμίδ Σχολή 1 Τομάρς

Διαβάστε περισσότερα

Σύστηµα Ουράς. Πειθαρχία ουράς ή Πειθαρχία εξυπηρέτησης

Σύστηµα Ουράς. Πειθαρχία ουράς ή Πειθαρχία εξυπηρέτησης ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΑΣ Ουρές ή Γρές Ανονής: Φινόενο που δηιουργείτι ότν η τρέχουσ ζήτηση γι ί εξυπηρέτηση είνι εγύτερη πό την τρέχουσ ικνότητ εξυπηρέτησης του συστήτος Αντικειενικός σκοπός του προβήτος της ουράς:

Διαβάστε περισσότερα

Αδιαφανές. Αδιαφανοποιη τής

Αδιαφανές. Αδιαφανοποιη τής A Αδιφνές Opaque Το γυλί, κι κάθε υλικό, που δεν είνι διπερτό πό το φως. Η διφάνει επιτυγχάνετι με την προσθήκη διφνοποιητών. Το γυλί που επιτρέπει τη δίοδο του φωτός ορίζετι ως ημιδιφνές ή διυγές ή διφώτιστο,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛ. ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ - ΕΚΤΥΠΩΣΗ - ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ «ΛΥΧΝΙΑ», Αδραβίδας 7, 13671 Χαμόμυλο Αχαρνών τηλ.: 210 34 10 436, fax: 210 34 25 967

ΗΛ. ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ - ΕΚΤΥΠΩΣΗ - ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ «ΛΥΧΝΙΑ», Αδραβίδας 7, 13671 Χαμόμυλο Αχαρνών τηλ.: 210 34 10 436, fax: 210 34 25 967 ΒΙΟΛΟΓΙΑ είς δ ι ςπ ή κ ι Γε Υ Ο Ι ΚΕ Υ Λ Γ είς Πιδ τς Γ ής Γεικ ς ί γ ς ιολο θτή. όσ τ β Β µ ς τ τ οµ ριλ ύλς οσιτό στ λήρ κ ίο πε ς λ β ι έ στ πρ π Το β εξετ ε τρόπο ού στ ς τ ί µ κοπ. θεωρ γρµµέ ου

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Χ Ρ Η Σ Η Γ Λ Ω Σ Σ Α Σ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Χ Ρ Η Σ Η Γ Λ Ω Σ Σ Α Σ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Χ Ρ Η Σ Η Γ Λ Ω Σ Σ Α Σ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ 1 Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν Κ Ε Ν Τ Ρ Ο Ε Λ Λ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ ΤΜΗΜ: ΚΤΡΤΙΣΗ ΠΡΟΓΡΜΜΤΟΣ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ :.ΜΡΙΝΟΥ ΤΗΛ.210-3332926 ΝΡΤΗΤΕ ΣΤΟ ΔΙΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΤΙ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΝΥΤΙΛΙΣ ΚΙ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ ΠΛΤΕΙ ΣΥΝΤΓΜΤΟΣ, ΘΗΝ ΠΡΟΓΡΜΜ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΓΝΩΣΕΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Δ

ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΓΝΩΣΕΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Δ 1 2 3 4 5 6 7 8 Ποιες θεωρούντι ορνωμένες ορές στην Ελλά; Η ορά ξιών του Χρημτιστηρίου Αθηνών Η ορά πρώων του Χρημτιστηρίου Αθηνών Η Ηλεκτρονική Δευτεροενής Αορά Τίτλων Όλ τ πρπάνω Τ προϊόντ της χρημτοράς

Διαβάστε περισσότερα

Στεκόμαστε δίπλα σας! ΜΗΤΕΡΑ - ΛΗΤΩ. Νέα ανακαινισμένη αίθουσα τοκετών στο ΛΗΤΩ Άνοιγμα και στον Ιατρικό Τουρισμό. ειδικό ένθετο

Στεκόμαστε δίπλα σας! ΜΗΤΕΡΑ - ΛΗΤΩ. Νέα ανακαινισμένη αίθουσα τοκετών στο ΛΗΤΩ Άνοιγμα και στον Ιατρικό Τουρισμό. ειδικό ένθετο ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΤΩΝ ΤΩΝ ΜΗΤΕΡΑ - ΛΗΤΩ - ΛΗΤΩ ΤΟΥ ΤΟΥ ΟΜΙΛΟΥ ΥΓΕΙΑ ΥΓΕΙΑ ΤΕΥΧΟΣ 19-18 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ - IOYΛΙΟΣ 2011 2011 ΜΗΤΕΡΑ - ΛΗΤΩ Στεκόμστε δίπλ σς! child Νέ νκινισμένη ίθουσ τοκετών στο ΛΗΤΩ Άνοιγμ κι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΗΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ ΣΤΟ ΝΑΥΠΛΙΟ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΗΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ ΣΤΟ ΝΑΥΠΛΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΩΝ ΜΗΧΑΝΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΡΧΙΤΕΤΟΝΙΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΥΠΟΛΟΓΙΕΣ ΑΙ ΑΤΑΣΕΥΑΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΝΕΟΛΑΣΙΗΣ ΑΡΧΙΤΕΤΟΝΙΗΣ ΣΤΟ ΝΑΥΠΛΙΟ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΗ

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02 Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 Μ Ν Α Δ Ε Σ Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν Κ Ε Ν Τ Ρ Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 30 Αµφιάλη 43890-43

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΦΩΤΟΣ (Ερωτήσεις δικαιολόγησης στη Γεωµετρική Οπτική)

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΦΩΤΟΣ (Ερωτήσεις δικαιολόγησης στη Γεωµετρική Οπτική) ΙΣΤΡΙΕΣ ΦΩΤΣ (Ερωτήσεις δικιολόγησης στη εωµετρική πτική). Η πργκωνισµένη νάκλση στο προσκήνιο Τις περισσότερες ορές που ντιµετωπίζουµε έν έµ το οποίο σχετίζετι µε έν πρίσµ δινούς υλικού, έχουµε συνηίσει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ. Από το υπ' αριθμ. 16/21-07-2014 Πρακτικό της Οικονομικής Επιτροπής Ιονίων Νήσων

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ. Από το υπ' αριθμ. 16/21-07-2014 Πρακτικό της Οικονομικής Επιτροπής Ιονίων Νήσων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το υπ' ριθμ. 6/2-07-204 Πρκτικό της Οικονομικής Επιτροπής Ιονίων Νήσων Αριθμ. πόφσης 454-6/2-07-204 ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Έγκριση κι διάθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΑΔΑ: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ρόδος, 19/04/2013 ΝΟΜΟΣ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΔΗΜΟΣ ΡΟΔΟΥ Αριθμ. Πρωτοκ: 2/41214 ΔΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΑΔΑ: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ρόδος, 19/04/2013 ΝΟΜΟΣ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΔΗΜΟΣ ΡΟΔΟΥ Αριθμ. Πρωτοκ: 2/41214 ΔΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ 1 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΑΔΑ: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ρόδος, 19/04/2013 ΝΟΜΟΣ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΔΗΜΟΣ ΡΟΔΟΥ Αριθμ. Πρωτοκ: 2/41214 ΔΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ ΠΡΟΣ: ΠΙΝΑΚΑ ΑΠΟΔΕΚΤΩΝ Τηλ:22410-35445 e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΕΡΕΥΝΩΝ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ

ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΕΡΕΥΝΩΝ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Δ Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ Π. Δ. 432/1 ΤΗΛ: 2610/996660 FAX: 2610/996677 E-mail: rescom@upatras.gr http://research.upatras.gr Πάτρ,.14.10. 2014 Αριθμ. Πρωτολλου:

Διαβάστε περισσότερα

Της από 19/12/ 2014 Τακτικής Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου του ήµου Ρόδου. Αριθ. Πρακτικού: 24/19-12-2014 Αριθ. Απόφασης: 788/2014

Της από 19/12/ 2014 Τακτικής Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου του ήµου Ρόδου. Αριθ. Πρακτικού: 24/19-12-2014 Αριθ. Απόφασης: 788/2014 ΝΡΤΗΤ Τ Ι ΙΚΤΥ Π Π Μ Π Ρ Κ Τ Ι Κ Υ Της πό 9// Τκτικής υνεδρίσης του ηµοτικού υµβουλίου του ήµου Ρόδου ριθ Πρκτικού: /9-- ριθ πόφσης: 788/ τη Ρόδο σήµερ 9 η εκεµβρίου ηµέρ Πρσκευή κι ώρ 8 στην ίθουσ υνεδριάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Χριστόπουλος, Ε. Πατσιατζή ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

Δ. Χριστόπουλος, Ε. Πατσιατζή ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Δ. Χριστόπουλος, Ε. Πτσιτζή ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μάθημ: Νέ Ελληνική Λογοτεχνί Τάξη: Α Ημερήσιου Γενικού Λυκείου Ενότητ: «Τ φύλ στη λογοτεχνί» ΑΔΙΔΑΚΤΟ ΚΕΙΜΕΝΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ ΤΜΗΜ : ΚΤΡΤΙΗ ΕΤΗ. ΠΡΟΓΡΜ. ΔΗΜ. ΕΠΕΝΔ. ΤΜΗΜΤΡΧΗ : Δ. ΓΡΟΥΖΗ ΤΗΛ. 210-3332990 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕ : Ι.ΖΡΦΕΤ ΤΗΛ.210-3332864 ΝΡΤΗΤΕ ΤΟ ΔΙΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΤΙ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΝΠΤΥΞΗ, ΝΤΓΩΝΙΤΙΚΟΤΗΤ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΜΕΤΦΟΡΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΕΣΜΙΚΕΣ ΚΑΚΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΓΟΝΑΤΟΣ

ΣΥΝΔΕΣΜΙΚΕΣ ΚΑΚΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΓΟΝΑΤΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΙΚΕΣ ΚΑΚΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΓΟΝΑΤΟΣ Ιωάννης Κλϊτζόγλου, Ιωάννης Τσιφουντούδης 9 1. Εισγωγή Οι κκώσεις των συνδέσμων του γόντος είνι συχνές, ιδιίτερ σε άτομ που σχολούντι επγγελμτικά ή ερσιτεχνικά με θλητικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΞΕΠΑΠΑΔΕΑΣ ΓΙΑΝΝΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν Α κι Β είνι δύο σύνο ν ποδείξετε ότι Α Β c BB Α c B Εφρμόζοντς την επιμεριστική ιδιότητ της ένωσης

Διαβάστε περισσότερα

Η Ρετόντα της Κρήτης, ένα γιαπί τεσσάρων αιώνων

Η Ρετόντα της Κρήτης, ένα γιαπί τεσσάρων αιώνων Η Ρετόντ της Κρήτης, έν γιπί τεσσάρων ιώνων Το 1900 έρχετι στην Κρήτη ένς ξεχωριστός άνθρωπος, προικισμένος με ευφυΐ κι γνώσεις: ο Giuseppe Gerola. Έρχετι ν κτγράψει τ ενετσιάνικ μνημεί. Σημειωτέον ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ ΤΜΗΜΤΡΧΗ : Δ. ΓΡΟΥΖΗ ΤΗΛ. 210-3332990 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕ : Φ. ΝΙΚΟΛΟΥ ΤΗΛ.210-3332896/f.nikolaou@mnec.gr ΝΡΤΗΤΕ ΤΟ ΔΙΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΤΙ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΝΠΤΥΞΗ, ΝΤΓΩΝΙΤΙΚΟΤΗΤ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΜΕΤΦΟΡΩΝ ΚΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΠΛΤΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΔΡΥΣΗΣ ΤΟΥ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ

ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΔΡΥΣΗΣ ΤΟΥ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΔΡΥΣΗΣ ΤΟΥ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ Επωνυμί: Εργστήριο Διχείρισης της Πληροφορίς Σχολή: Διοίκησης κι Οικονομίς Κθηγητές ΤΕΙ Αθήνς που υποβάλλουν την πρότση: Επώνυμο Όνομ βθμίδ Σχολή 1 Δενδρινός

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕ11 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΩΝ Η/Υ ΔΕ24 ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΤΕ4 ΤΕΧΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΕ24 ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΠΕ5 ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΠΕ11 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΩΝ Η/Υ ΔΕ24 ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΤΕ4 ΤΕΧΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΕ24 ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΠΕ5 ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Σελ.- 2 - της 22/2014 πόφσης Δημοτικού Συμβουλίου του Δήμου Σύρου-Ερμούπολης Α ΕΠΙΤΡΟΠΕΣ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ 2014 1.Γι συστήμτ μηχνοργάνωσης νλώσιμ είδη πληροφορικής, ηλεκτρονικό / ηλεκτρολογικό & τηλεπικοινωνικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΡΟ ΙΑΓΡΑΦΕΣ ΕΓΓΥΗΣΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ Ποιότητα και όροι προσφερόµενης εγγύησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΤΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΡΟ ΙΑΓΡΑΦΕΣ ΕΓΓΥΗΣΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ Ποιότητα και όροι προσφερόµενης εγγύησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΤΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΤΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΗΜΟΣ ΧΕΡΣΟΝΗΣΟΥ ΗΜΟΣ: Χερσονήσου ΤΙΤΛΟΣ: Ίδρυση Κέντρου Τουριστικής Πληροφόρησης κι Προβολής ήµου Χερσονήσου ΕΙ ΙΚΗ ΣΥΓΓΡΑΦΗ ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΩΝ ΑΡΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΑ ΥΟΡΚΗ (Δυνατότητα επέκτασης, ή συνδυασμού με άλλους προορισμούς)

ΝΕΑ ΥΟΡΚΗ (Δυνατότητα επέκτασης, ή συνδυασμού με άλλους προορισμούς) Ανχωρήσει ς Ημέρες Δίκλι νο/ Τξ. σφάλει Φιλοδωρήμτ Αχθοφορι κά ΝΕΑ ΥΟΡΚΗ (Δυντότητ επέκτσης, ή συνδυσμού με άλλους προορισμούς) Διτροφή Τρίκλι νο/ 3) Είσοδος & ξενάγηση στο μουσείο Metropolitan + + Περιήγηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΕΣ ΔΙΑΙΤΗΤΙΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ 2010-2011

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΕΣ ΔΙΑΙΤΗΤΙΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ 2010-2011 ΕΡΡΙΚΟΣ ΝΤΥΝΝ ΕΡΓΤΟΤΕΧΝΙΚ ΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΜΕ ΣΧΕΣΗ ΙΔΙΩΤΙΚΟΥ ΔΙΚΙΟΥ ΣΤΟ ΝΥΣΤΘΜΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΡΓΖΟΜΕΝΩΝ ΣΤΟΝ ΕΟΜΜΕΧ ΕΡΓΟΣΤΣΙΟ Γ. ΜΡΙΝΣ ΤΗΣ Σ NEXANS ΕΛΛΣ.Β.Ε. ΕΝΡΞΗ /ΚΙ ΔΙΡΚΕΙ 01/09/2009 09/12/2009 3,5% ΣΤΟΥΣ ΒΣΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα