ΓΕΝΕΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Λέκτορας, Τοµέας Ρευστών, Τµήµα Μηχανολόγων Ε.Μ.Π.

Transcript

1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΓΕΝΕΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Λέκτορας, Τοµέας Ρευστών, Τµήµα Μχανολόγων Ε.Μ.Π. ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΡ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΠΟΙΗΣΗ ΟΜΗΜΕΝΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ (ή ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ) ΠΡ.1 Γενικά Στ δεκαετία τoυ 1970, αριθµτική γέvεσ συστµάτωv καµπυλόγραµµωv συvτεταγµέvωv (cuvlnea coodnates) πρoσαρµoσµέvωv στα όρια τoυ χωρίoυ υπoλoγισµoύ έδωσε πoλύ σµαvτική ώθσ στ χρήσ τωv πεπερασµέvωv διαφoρώv ή πεπερασµένων όγκων γιά τv αριθµτική επίλυσ φυσικώv πρoβλµάτωv πoυ µπoρoύσαv vα µovτελoπoιθoύv µε τ βoήθεια µερικώv διαφoρικώv εισώσεωv. Η ώθσ αυτή ήταv πoλύ έvτov ειδικά στις περιπτώσεις όπoυ τo πρόβλµα απαιτoύσε τ λύσ τωv εισώσεωv αυτώv σε διδιάστατες ή τριδιάστατες περιoχές, τωv oπoίωv τα όρια παρoυσίααv ακαvόvιστ µoρφή. Στ συνέχεια, θα αναφέρεται αποκλειστικά ο όρος «πεπερασµένες διαφορές», ο οποίος θα θεωρήσουµε ότι στ γενικόττά του περικλείει και τν τεχνική των πεπερασµένων όγκων. Τα πλέγµατα στα οποία εδώ αναφερόµαστε θα ονοµάονται οµµένα Πλέγµατα (Stuctued Gds o Stuctued Meshes), ώστε να τονίεται ύπαρ δοµής (stuctue) σε αυτά. Η δοµή αυτή ουσιαστικά εκφράεται από τν υιοθέτσ ενός συστήµατος καµπυλόγραµµωv συvτεταγµέvωv (ΣΚΣ), το οποίο διευκολύνει τν «κίνσ» («µέτρσ») πάνω στο, µε οποιοδήποτε τρόπο δµιουργµένο πλέγµα. Η Υπoλoγιστική Ρευστoµχαvική, ή Μετάδoσ Θερµόττας και o Ηλεκτρoµαγvτισµός είvαι τρείς τoµείς πoυ µπoρoύµε πρόχειρα vα αvαφέρoυµε ότι ωφελήθκαv άµεσα από τv ευρεία χρήσ καµπυλόγραµµωv συvτεταγµέvωv σε συvδυασµό µε µεθoδoλoγίες πεπερασµέvωv διαφoρώv. Γενικά, οµική Ανάλυσ Κατασκευών σχετίστκε περισσότερο µε τα µ-δοµµένα πλέγµατα και τ µεθοδολογία των πεπερασµένων στοιχείων. Παραδείγµατα δοµµένων πλεγµάτων σε πραγµατικές περιπτώσεις από τν επιστήµ τς Υπολογιστικής Μχανικής παρουσιάονται στο Σχήµα ΠΡ.1. Στ συνέχεια, θα χρσιµοποιούµε τις συντεταγµένες (,) ή (,,) ή τανυστικά (=1, ή και 3) για το καρτεσιανό επίπεδο ή χώρο όπου δµιουργείται το διδιάστατο ή τριδιάστατο πλέγµα. Το δε ΣΚΣ µε το οποίο παραµετροποιούµε το

2 ΠΡ- πλέγµα θα συµβολίεται µε (,) ή (,,) ή τανυστικά, (=1, ή και 3). ίπλα στν έννοια του ΚΣΣ, υπάρχει πάντα έννοια του µετασχµατισµού (tansfomaton) ή τς απεικόνισς (mappn). Οι τελευταίες δύο ισοδύναµες έννοιες δλώνουν ότι υπάρχει µια αντιστοίχσ ένα-προς-ένα ανάµεσα σε κάθε κόµβο του πλέγµατος το χώρο (θα λέγεται και φυσικός χώρος ή χωρίο) και ενός πολύ απλού πλέγµατος µε τετραγωvικές (γιά δύo διαστάσεις) ή κυβικές (γιά τρείς διαστάσεις) κυψέλες µε µovαδιαία πλευρά στο χώρο (θα λέγεται µετασχµατισµένος ή υπολογιστικός χώρος ή χωρίο). Ο µετασχµατισµός αυτός απεικονίεται στο Σχήµα ΠΡ.. Avτίστoιχo σχήµα θα µπoρoύσε εύκoλα vα δoθεί γιά έvα τριδιάστατo χωρίo πoυ µετασχµατίεται από τo καρτεσιαvό (,,) στo µετασχµατισµέvo χωρίo (,,). Πρέπει δε vα γίvει σαφές ότι o µετασχµατισµός αυτός µπoρεί vα λειτoυργήσει άσχετα από τov τρόπo µε τov oπoίo κατασκευάστκε τo πλέγµα στo φυσικό χωρίo. Οι τρόπoι γέvεσς δοµµένων απoτελoύv τo αvτικείµεvo επόµενων κεφαλαίων. Η χρήσ ΣΚΣ, όπoυ τα όρια τoυ χωρίoυ ρoής ταυτίovται µε πλεγµατικές γραµµές, διευκoλύvει τ χρήσ τς µεθoδoλoγίας πεπερασµέvωv διαφoρώv (και προφανώς και των πεπερασµένων όγκων), κυρίως λόγω τς αρκετά εύκoλς εφαρµoγής τωv oριακώv συvθκώv, χωρίς τv αvάγκ εvσωµάτωσς σχµάτωv αριθµτικής παρεµβoλής. Ακόµα και γιά τ µελέτ τς µή-µόvιµς ρoής σε χωρίo µε κιvoύµεvα τoιχώµατα, µπoρoύµε vα χρσιµoπoιήσoυµε κσσ και vα µετασχµατίσoυµε τo πρόβλµα σε κάπoιo αvτίστoιχo πρόβλµα πoυ θα λυθεί στo µετασχµατισµέvo χωρίo πoυ απoτελείται από τετραγωvικές (γιά δύo διαστάσεις) ή κυβικές (γιά τρείς διαστάσεις) κυψέλες µε µovαδιαία πλευρά. Η εφαρµογή σχµάτωv πεπερασµένων διαφορών σε συνδυσµό µε καµπυλόγραµµες συvτεταγµέvες απαιτεί τα παρακάτω δύο βήµατα: Μετασχµατισµό κάθε µερικής παραγώγoυ µιάς φυσικής ποσόττας, γραµµένς ως πρoς τις καρτεσιαvές συvτεταγµέvες, σε εκφράσεις πoυ περιλαµβάvoυv παραγώγoυς τς ίδιας ποσόττας ως πρoς τις καµπυλόγραµµες συvτεταγµέvες καθώς και παραγώγoυς τωv καρτεσιαvώv ως πρoς τις καµπυλόγραµµες συvτεταγµέvες (ή το ανάποδο, που όπως θα δούµε δεν έχει καµµία διαφορά). Οι τελευταίες παράγωγοι θα φέρovται µε τo γεvικό όvoµα «µετρικές» (metcs) και ουσιαστικά περικλείουν όλ τν πλροφορία για το ΣΚΣ που χρσιµοποιήσαµε. ιακριτοποίσ των παραγώγων τς φυσικής ποσόττας ως πρoς τις καµπυλόγραµµες συvτεταγµέvες. Η διακριτοποίσ γίνεται εύκoλα µε τ βoήθεια τωv σχµάτωv πεπερασµέvωv διαφoρώv πάvω στo oµoιόµoρφo πλέγµα τoυ µετασχµατισµέvoυ χωρίoυ, όπoυ oι απoστάσεις µεταύ διαδoχικώv κόµβωv είvαι µovαδιαίες. Με τov τρόπo αυτό, όλoι oι υπoλoγισµoί αvάγovται σε έvα απλoυστευµέvo και βoλικό υπoλoγιστικό πλέγµα. Γεvικά δµιoυργία αριθµτικώv (υπoλoγιστικώv) πλεγµάτωv είvαι διαδικασία µε τv oπoία διατάσσεται, µέσα στo πρoς επίλυσ χωρίo, έvας συγκεκριµέvoς αριθµός "παρατρτώv τωv φυσικώv φαιvoµέvωv". Οι διακριτoπoιµέvες εισώσεις απoτελoύv τo µέσo επικoιvωvίας µεταύ τωv "παρατρτώv" αυτώv, δλαδή τωv κόµβωv τoυ υπoλoγιστικoύ πλέγµατoς. Ο αριθµός τωv "παρατρτώv" ή κόµβωv πρέπει vα είvαι αρκετά υψλός ώστε συλλoγή τωv πλρoφoριώv από τo πεπερασµέvo σύvoλό τoυς vα εασφαλίει τv πρόβλεψ τωv φυσικώv φαιvoµέvωv µε ικαvoπoιτική ακρίβεια. Όµως, από τν άλλ πλευρά, πλέγµατα υπερβολικά µεγάλων διαστάσεων

3 ΠΡ-3 επιβαρύνουν σµαντικά το χρόνο υπολογισµού, όταν στα πλέγµατα αυτά λύνονται προβλήµατα µε τις παραπάνω τεχνικές. Επίσς, ας λφθεί υπόψ ότι τελική ακρίβεια µε τv oπoία πρoβλέπovται τα φυσικά φαιvόµεvα εαρτάται και από τις παραδoχές τoυ µovτέλoυ πoυ εκφράoυv oι διαφoρικές εισώσεις πoυ επιλύovται. ΠΡ. Θεµελιώδεις Σχέσεις σε έvα ΣΚΣ Ας θεωρήσoυµε ότι για τo υπoλoγιστικό χωρίo πoυ παρoυσιάει τo Σχήµα ΠΡ. κατασκευάστκε (µε oπoιoδήπoτε τρόπo) έvα πλέγµα καµπυλόγραµµωv συvτεταγµέvωv. Με τo γεωµετρικό µετασχµατισµό πoυ αvαφέραµε στv πρoγoύµεv παράγραφo, o κόµβoς Μ του πλέγµατος στο φυσικό χωρίο απεικovίεται στov κόµβo Μ' τoυ µετασχµατισµέvoυ χωρίoυ. Ας φαvταστoύµε στ συvέχεια ότι, αvτί εvός διδιάστατoυ, έχoυµε έvα τριδιάστατo χωρίo ρoής, δλαδή από τov κόµβo Μ διέρχovται καµπύλες πλεγµατικές γραµµές από τρείς oικoγέvειες τέτoιωv γραµµώv : µιά γραµµή =µεταβλτό, µιά γραµµή =µεταβλτό και µιά τρίτ γραµµή =µεταβλτό (θα αναφερόµαστε, για λόγους γενικόττας σε τριδιάστατα χωρία, αφού οι αντίστοιχες σχέσεις για τα διδιάστατα απορρέουν άµεσα). Για τίς τρείς αυτές γραµµές του πλέγµατος µπoρoύµε vα oρίσoυµε τα εφαπτoµεvικά τoυς διαvύσµατα στov κόµβo Μ, τα oπoία αvτίστoιχα δίvovται από τις σχέσεις 1 = = = 3 (ΠΡ.1) Αυτά είvαι γραµµικά αvεάρττα διαvύσµατα, δεv είvαι αvαγκαστικά µovαδιαία και απoτελoύv τ λεγόµεv συvαλλoίωτ (covaant) βάσ διαvυσµάτωv γιά τo σµείo Μ. Στ σχέσ (ΠΡ.1), µε συµβoλίσαµε τo διάvυσµα θέσς τoυ σµείoυ Μ. Από τo ίδιo σµείo Μ διέρχovται πρoφαvώς τρείς επιφάvειες, επιφάvεια =σταθερό, επιφάvεια =σταθερό και επιφάvεια =σταθερό. Τα κάθετα σ'αυτές τις τρείς επιφάvειες στo σµείo Μ, µή- µovαδιαία διαvύσµατα δίvovται αvτίστoιχα από τις σχέσεις : 1 = = 3 = (ΠΡ.) πoυ είvαι γραµµικά αvεάρττα διαvύσµατα και απoτελoύv (contavaant) διαvυσµατική βάσ γιά τo σµείo Μ. τ λεγόµεv αvταλλoίωτ Για τv παρακάτω αvάλυσ o αvαγvώστς καλείται vα συvθίσει στov ταvυστικό συµβoλισµό τωv δύo βάσεωv ως = και =

4 ΠΡ-4 όπoυ =1,,3 και τα ( 1,, 3 ) συµβoλίoυv τις καµπυλόγραµµες συvτεταγµέvες (,,) αvτίστoιχα. Στις παρακάτω σχέσεις o καvόvας είvαι ότι επαvαλαµβαvόµεvoς δείκτς (,j κλπ) στo ίδιo µέλoς µιάς σχέσς παριστά άθρoισ γιά τις τιµές 1 και για τo διδιάστατo πρόβλµα ή για τις τιµές 1, και 3 γιά τo τριδιάστατo. Οταv δεv επιθυµείται άθρoισ θα δλώvεται ρτά. Γιά τv καλύτερ επoπτεία σχετικά µε τις δύo διαvυσµατικές βάσεις παραθέτoυµε τo Σχήµα ΠΡ.3 όπoυ παριστάvovται συµβoλικά oι δύo βάσεις στo σµείo Μ εvός διδιάστατoυ χωρίoυ. H συvαλλoίωτ και αvταλλoίωτ διαvυσµατική βάσ είvαι αvτίστρoφα συστήµατα διαvυσµάτωv γιά τα oπoία ισχύει : (ΠΡ.3) j δ j = όπoυ δ j είvαι τo γvωστό σύµβoλo τoυ Konece πoυ παίρvει τv τιµή τς µovάδας αv =j, εvώ σε κάθε άλλ περίπτωσ παίρvει µδεvική τιµή. Αv συµβoλίσoυµε µε [ ] και ( ) τo εωτερικό και τo µεικτό γιvόµεvo δύo και τριώv αvτίστoιχα διαvυσµάτωv αvτίστoιχα ισχύoυv oι παρακάτω σχέσεις µετατρoπής-υπoλoγισµoύ τωv βάσεωv ( ) ( = ) 1 (ΠΡ.4) j [ ] = j (ΠΡ.5) ( ) Τέλoς, για έvα τριδιάστατo πρόβλµα παραθέτoυµε τις εκφράσεις γιά τις καρτεσιαvές συvιστώσες τωv βάσεωv αυτώv, όπως αυτές πρoκύπτoυv από τv αvάπτυ τωv σχέσεωv (ΠΡ.1) και (ΠΡ.). Αυτές είvαι 1 = ( = (,, )=,,,, ) = (,, 3 1 ) = (,, )=,, (ΠΡ.6)

5 ΠΡ-5 = (,, ) 3 = (,, ) ΠΡ.3 Αvάλυσ Τυχαίoυ ιαvύσµατoς στις ύo Βάσεις Εστω Α έvα oπoιoδήπoτε διάvυσµα στ θέσ Μ τoυ τριδιάστατoυ χωρίoυ στο οποίο δµιουργείται το δοµµένο πλέγµα. H αvάλυσή τoυς στις δύo πρoγoύµεvα oρισθείσες διαvυσµατικές βάσεις µπoρεί vα γίvει µε τoυς εής δύo τρόπoυς : Κάvovτας χρήσ τς συvαλλoίωτς διαvυσµατικής βάσς (=1,,3) oπότε θα έχoυµε 1 3 A = A = A 1+ A + A 3 (ΠΡ.7) Οι συvιστώσες A τoυ διαvύσµατoς A ovoµάovται αvταλλoίωτες συvιστώσες τoυ στo σµείo Μ. Κάvovτας χρήσ τς αvταλλoίωτς διαvυσµατικής βάσς (=1,,3) oπότε θα έχoυµε 1 3 A = A = A1 + A + A3 (ΠΡ.8) Με τ vέα αvάλυσ (ΠΡ.8) oρίovται τώρα oι συvαλλoίωτες συvιστώσες τo σµείo Μ. A τoυ διαvύσµατoς A γιά Είvαι αρκετά απλό, κάvovτας χρήσ τς ταυτόττας (ΠΡ.3) vα δείoυµε ότι : A = A A = A ( = 1,,3) ( = 1,,3) (ΠΡ.9) Εκµεταλλευόµεvoι τ σχέσ (ΠΡ.9) µπoρoύµε vα υπoλoγίσoυµε τις αvταλλoίωτες και συvαλλoίωτες συvιστώσες τoυ διαvύσµατoς A. Ετσι, γιά παράδειγµα, υπoλoγίoυµε τ δεύτερ αvταλλoίωτ συvιστώσα Α τoυ διαvύσµατoς A από τ σχέσ A = A = ( A,A,A ) (,, )= A + A + A

6 ΠΡ-6 όπoυ (Α,A,A ) είvαι oι καρτεσιαvές συvιστώσες τoυ A. ΠΡ.4 Ο Μετρικός Ταvυστής Ο συvαλλoίωτoς µετρικός ταvυστής j oρίεται από τ σχέσ j = (ΠΡ.10) j εvώ o αvταλλoίωτoς µετρικός ταvυστής j από τ σχέσ j j = (ΠΡ.11) Η πoσόττα j είvαι αvάλoγ τoυ συvµιτόvoυ τς γωvίας πoυ σχµατίεται µεταύ µιάς γραµµής κατά µήκoς τς oπoίας καµπυλόγραµµ συvτεταγµέv µεταβάλλεται (εvώ oι άλλες δύo παραµέvoυv σταθερές) και µιάς γραµµής κατά µήκoς τς oπoίας µεταβάλλεται καµπυλόγραµµ συvτεταγµέv j. Ετσι, oι µή-διαγώvιoι όρoι τoυ συµµετρικoύ ταvυστή j µδεvίovται γιά oρθoγώvιo πλέγµα. λαδή γιά έvα oρθoγώvιo τριδιάστατo πλέγµα ισχύoυv: 1 = 1 = 0 31 = 13 = 0 (ΠΡ.1) 3 = 3 = 0 Η πoσόττα, χωρίς άθρoισ στo, είvαι αvάλoγ τoυ µήκoυς τόoυ κατά µήκoς µιάς γραµµής στv oπoία µεταβάλλεται καµπυλόγραµµ συvτεταγµέv. Ετσι τo µήκoς τόoυ κατά µήκoς µιάς oπoιασδήπoτε καµπύλς γραµµής, πoυ µπoρεί και vα µv είvαι πλεγµατική γραµµή, δίvεται από τ σχέσ j ds = d d (ΠΡ.13), j j Απoδεικvύεται ότι j δ j = (ΠΡ.14) Επίσς, συµβολίoυµε µε και G τις Iακωβιαvές oρίoυσες τoυ µετασχµατισµoύ oι oπoίες δίvovται από τις σχέσεις

7 ΠΡ-7 = και G = (ΠΡ.15) Ορίovτας επιπλέov ότι = det ( ) (ΠΡ.16) j απoδεικvύovται oι παρακάτω σχέσεις ( 1 3 ) = det( j ) 1 ( 3 ) = det( j ), =, G = 1 (ΠΡ.17) και πρoφαvώς µπoρoύµε vα γράψoυµε ότι G = 1 (ΠΡ.18) Η oρίoυσα ή έχει µια πoλύ καταvoτή φυσική σµασία, αφoύ απoτελεί τo µέτρo τoυ εµβαδoύ µιάς κυψέλς γιά έvα διδιάστατo πλέγµα ή τoυ όγκoυ τς κυψέλς για έvα τριδιάστατo πλέγµα. Θα δώσoυµε τέλoς µια σειρά από χρήσιµες σχέσεις πoυ αφoρoύv στo µετρικό ταvυστή, χωρίς ωστόσo vα δίvoυµε ιδιαίτερ βαρύττα στo µαθµατικό τρόπo θεµελίωσής τoυς γιά vα µήv κoυράσoυµε τόv αvαγvώστ. Ετσι, τo στoιχειώδες διάvυσµα µετατόπισς πεδίoυ oρίεται ως d σε κάθε σµείo τoυ d = d (ΠΡ.19) Εvώ τo διαφoρικό τς συvαλλoίωτς διαvυσµατικής βάσς είvαι j d = Γ j d (ΠΡ.0) Η πoσόττα Γj παριστά τo σύµβoλo του Chstoffel πoυ oρίεται συvαρτήσει τωv παραγώγωv τoυ µετρικoύ ταvυστή

8 ΠΡ-8 Γ j 1 l jl l j = + - j l (ΠΡ.1) και για τo oπoίo ισχύει πρoφαvής, λόγω τoυ τρόπoυ πoυ oρίστκε, ιδιόττα Γj = Γ j (ΠΡ.) ιαφoρίovτας τ σχέσ (ΠΡ.0) ως πρoς τo j λαµβάvoυµε - j Γ j = 0 (ΠΡ.3) και σχέσ αυτή ισχύει γιά τo 1 =, τo = και τo 3 =. Οι όρoι τoυ αριστερoύ µέλoυς τς σχέσς (ΠΡ.3) απoτελoύv τις συvιστώσες εvός συµµετρικoύ, δεύτερς τάς συvαλλoίωτoυ ταvυστή o oπoίoς ovoµάεται δεύτερ θεµελιώδς µoρφή τς απεικόvισς =f ( j ). Η πρoβoλή τoυ ταvυστή αυτoύ πoυ πρoκύπτει µε εσωτερικό πoλλαπλασιασµό µε τo j απoτελεί τo τασικό πεδίo τoυ µετασχµατισµoύ f και απoτελείται από έvα σύστµα µερικώv διαφoρικώv εισώσεωv δεύτερς τάς j - j j Γ j = 0 (ΠΡ.4) Ας συγκρατήσoυµε τ διαφoρική είσωσ (ΠΡ.4), όπως αυτή διατυπώvεται για τις καρτεσιαvές συvτεταγµέvες ( 1 =), ( =) και ( 3 =) αφoύ απoτελεί τo πιό διαδεδoµέvo "υπoλoγιστικό εργαλείo" γιά τ γέvεσ αριθµτικώv πλεγµάτωv, µέσω ελλειπτικών διαφορικών εισώσεων. ΠΡ.5 Εκφράσεις ιαφορικών Τελεστών στο ΣΚΣ Αφού τα δοµµένα πλέγµατα και άρα τα ΣΚΣ στα οποία αναφερόµαστε πρόκειται να χρσιµοποιθούν για τν ανάλυσ και επίλυσ σε αυτά µερικών διαφορικών εισώσεων, χρειάεται να δοθούν εκφράσεις για τους πιο βασικούς διαφορικούς τελεστές. Έτσι, αν Φ ένα βαθµωτό πεδίο και A ένα διανυσµατικό πεδίο, κλίσ (ad) του βαθµωτού, απόκλισ (dv) του διανυσµατικού και ο τελεστής Laplace γράφονται: Φ Φ Φ = = (ΠΡ.5)

9 ΠΡ-9 A = 1 ( A ) (ΠΡ.6) Φ = Φ = 1 j Φ j (ΠΡ.7) ΠΡ.6 Τυπολόγιο Μετασχµατισµών των Μετρικών ίνονται, στ µορφή τυπολόγιου, οι εκφράσεις που συσχετίουν τις µετρικές τς απεικόνισς (, ) (, ) µε αυτές τς απεικόνισς (, ) (, ). Είναι = = - = - = (ΠΡ.8) όπου Ιακωβιανή γράφεται = (ΠΡ.9) Για τριδιάστατα χωρία και πλέγµατα, οι εκφράσεις που συσχετίουν τις µετρικές τς απεικόνισς (,, ) (,, ) µε αυτές τς απεικόνισς (,, ) (,, ) είναι = = = = = = (ΠΡ.30) = = = Η (ΠΡ.30) επιτρέπει να διατυπωθούν ανάλογες σχέσεις για το µετασχµατισµό των µετρικών δεύτερς τάς j και j. Έτσι προκύπτουν οι σχέσεις 11 1 = = = = (ΠΡ.31) = = 31 13

10 ΠΡ-10 Σχήµα ΠΡ.1 : ιδιάστατα δοµµένα πλέγµατα σε αποκλίνοντα αγωγό και γύρω από αεροτοµή, καθώς και τριδιάστατο πλέγµα (φαίνονται µόνο ορισµένες επιφάνειες) σε µια πτερύγωσ στροβιλοµχανής.

11 ΠΡ-11 Μ Μ Σχήµα ΠΡ. Απεικόνισ του πλέγµατος του φυσικού χωρίου στο µετασχµατισµένο χωρίο. 1 1 γραµµ =σταθερο γραµµ =σταθερο Σχήµα ΠΡ.3: Η ανταλλοίωτ και συναλλοίωτ διανυσµατική βάσ στο διδιάστατο πεδίο.