[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á."

Άιμον Αλιβιζάτος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ

2 76

3 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó ýåé ç ó Ýóç, QQ f ( QQ (Á. Èåþñçìá: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò åßíáé ôüôå êáé ìüíïí ôüôå éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ, Üí éó ýåé ç åîþò ãåíéêþ ðáñüóôáóç I + Β + Β Β (Á. üðïõ ïé Β ν ( ν,, åßíáé óõíáñôþóåéò ôùí áíáëëïßùôùí ôïõ ôáíõóôþ Βν Βν ( ΙΑ, ΙΙ Α, ΙΙΙ Α (Á.4 Áðüäåéîç: Ïé óõììåôñéêïß ôáíõóôýò êáé Ý ïõí ðñáãìáôéêýò éäéï-ôéìýò êáé éäéïêáôåõèýíóåéò. Êáô áñ Þí èá áðïäåßîïõìå üôé ïé êýñéïé Üîïíåò ôùí ôáíõóôþí êáé ôáõôßæïíôáé. Óôï óýóôçìá O(x,x,x ôùí êõñßùí áîüíùí ôïõ ôá äéáíýóìáôá âüóçò r r r óõìâïëßæïíôáé ìå e,e, e êáé ï äßíåôáé áðü ôïí ðßíáêá ôùí éäéï-ôéìþí ôïõ,, äçë.,, κ. ο. κ. [ ] ÅðéëÝãïõìå ôï êáíïíéêü ïñèïãþíéï ìçôñþï, [ Q (], [ Q ( ] + + Õðåíèõìßæïõìå üôé êáôü ôïí ìåôáó çìáôéóìü x i Qi k xk C. Truesdell and W. Noll. Non-Linear Field Theories of Mechanics. Vol. III/, Sect., Springer, 965.

4 78 ðïõ áíôéóôïé åß óå óôñïöþ Þ êáôïðôñéóìü, ôá óôïé åßá ôïõ ìçôñþïõ [ Q ] äßíïíôáé áðü ôá åóùôåñéêü ãéíüìåíá ôùí áíôßóôïé ùí äéáíõóìüôùí âüóçò r r e e Q i k i k ( Áñá ï ìåôáó çìáôéóìüò ðïõ áíôéóôïé åß óôï ðáñáðüíù ìçôñþï [ Q ] ìå ôç óåéñü ôïõ óå ìßá óôñïöþ ðåñß ôïí Üîïíá Ox êáôü ãùíßá r óçìáßíåé üôé ôï äéüíõóìá e åßíáé êïéíü éäéï-üíõóìá ôùí ôáíõóôþí êáé ÁíáëõôéêÜ ìðïñåß êáíåßò íá äåßîåé üôé éó ýåé ç ó Ýóç,, áíôéóôïé åß o 8. Áõôü ( Q. ( ( Q Q Þ (Á Éó ýïõí ôþñá ïé ðáñáêüôù éóüôçôåò: ( ( Åî. (5 f ( Q Q f ( Åî. ( ( ( ( ( f( Q Q Q Q Åî. ( : f ( Áñá ïé ( Q êáé åßíáé ðïëëáðëáóéáóôéêü áíôéìåôáèåôïß, ( ( ( ( Q Q Q Q ÅðåéäÞ ôï e åßíáé éäéï-üíõóìá ôïõ Qe + e Ý ïõìå üôé ( ( Q e Q e e ( Q ãéá ôçí éäéï-ôéìþ +, ÄçëáäÞ ôï äéüíõóìá e åßíáé åðßóçò éäéï-üíõóìá ôïõ Ïëá üìùò ôá éäéï-áíýóìáôá ôïõ ðïëëáðëüóéá ôïõ e, ïðüôå e e ( Q ãéá ôçí éäéï-ôéìþ +. ( Q ãéá ôçí éäéï-ôéìþ + ðñýðåé íá åßíáé

5 79 äçëáäþ ôï e åßíáé éäéï-üíõóìá ôïõ ãéá ôçí éäéï-ôéìþ. Ç ðáñáðüíù äéáäéêáóßá ìðïñåß íá åðáíáëçöèåß êáé ãéá ôá äéáíýóìáôá e êáé e. Áñá ïé ôáíõóôýò êáé Ý ïõí ôïõò ßäéïõò êýñéïõò Üîïíåò (åßíáé ïìïáîïíéêïß êáé óå óýóôçìá êïéíþí êõñßùí áîüíùí ïé ôáíõóôýò áõôïß ðáñßóôáíôáé áðü ôïõò ðßíáêåò ôùí éäéï-ôéìþí ôïõò [ ] [ ], Áðü ôç ó Ýóç (Á. Ýðåôáé ôï ðáñêüôò óýóôçìá åîéóþóåùí ìåôáîý ôùí éäéïôéìþí ôòí äýï ôáíõóôþí or (.6 Ç ïñßæïõóá ôïõ óõóôþìáôïò åßíáé ( ( ( D Ïôáí ïé éäéïôéìýò ôïõ ôáíõóôþ åßíáé äéüöïñåó ìåôáîý ôïõò, ôüôå ( ( ( D ãåãïíüò ðïõ óçìáßíåé üôé ïé óõíôåëåóôýò ν åßíáé ìïíïóþìáíôá ðñïóäéïñéóôýïé. Ðáñáôçñïýìå ôþñá üôé [ ] [ ] Ι Þ I [ ] [ ] Α Þ

6 8, Þ [ ] T T T T ïðüôå áðü ôç ó Ýóç f( Β ( + Β ( + Β ( ðáßñíïõìå ôç ó Ýóç QQ f ( QQ Β Q Q + Β ÅðåéäÞ Q Q I êáé ìå ôï óõìâïëéóìü Q Q + Β QQ QQ QQ, QQ ðáßñíïõìå f( Β ( + Β ( + Β ( Áñá ïé óõíôåëåóôýò Β ν äåí áëëüæïõí üôáí ï ôáíõóôþò áíôéêáôáóôáèåß áðü ôïí óõæõãþ ôïõ. Áñá ïé óõíôåëåóôýò Β ν åßíáé óõíáñôþóåéò ôùí áíáëïéþôùí ôïõ ôáíõóôþ Β Β(,, Β Β(,, Β Β(,, ÁñÜ áðïäåßîáìå ôï åõèý. Áíôéóôñüöùò åéíáé ðñïöáíýò üôé ç ðïëõïíõìéêþ ðáñüóôáóç (Á. ïñßæåé ìéá éóüôñïðç óõíüñôçóç. ï.å.ä. Ðáñáôçñïýìå üôé óå ôõ üí Êáñôåóéáíü óýóôçìá ïé ðáñüóôáóç ìéáò éóüôñïðçò óõíáñôþóåùò áíüò ôáíõóôïý ðáßñíáé ôçí åîþò ìïñöþ: ij ( ΙΑ, ΙΙ Α, ΙΙΙ Α δij + ( ΙΑ, ΙΙ Α, ΙΙΙ Α ij + ( ΙΑ, ΙΙ Α, ΙΙΙ Α ikkj (.8

7 8 ÐáñÜäåéãìá: Èåùñïýìå ôç óõíüñôçóç I f( (Á.7 üðïõ êáé åßíáé óõììåôñéêïß ôáíõóôýò. Èá äåßîïõìå üôé êüôù áðü ïñéóìýíåò óõíèþêåò ç óõíüñôçóç áõôþ åßíáé ìéá éóïôñïðç ôáíõóôéêþ óõíüñôçóç. ÅðåéäÞ ï ôáíõóôþò åßíáé óõììáôñéêüò ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå ôçí ðáñáðüíù åîßóùóç óôï Êáñôåóéáíü óýóôçìá ôùí êõñßùí áîüíùí. Óôï óýóôçìá áõôü ïñßæïõìå ôç óõíüñôçóç ôçò ôåôñáãùíéêþò ñßæáò Ýíüò óõììåôñéêïý ôáíõóôþ ùò åêåßíï ôïí ôáíõóôþ, ï ïðïßïò Ý åé óôï óýóôçìá áõôü ôéò åîþò éäéïôéìýò Áñá ãéá íá Ý åé ï ôáíõóôþò ðñáãìáôéêýò éäéïôéìýò ðñýðåé íá äå èïýìå üôé,, ( ν ν Äå üìåèá üôé ç óõíüñôóç ôçò ôåôñáãùíéêþò ñßæáò (Á.7 Ý åé íüçìá óôá ðëáßóéá ôùí óõíáñôþóåùí ðïõ ðåñéý ïíôáé óôï ðáñáðüíù èåþñçìá, åî. (Á., ïðüôå óõìöþíùò ðñïò ôçí åî. (Á.6 Ý ïõìå ôç ó Ýóç Áðü ôï íüìï ôïõ Krammer ðáßñíïõìå: D (.8. D (.8.

8 8 D (.8. Ïé ðáñáðüíù ó Ýóåéò áðïäåéêíýïèí üôé ç æçôïõìåíç óõíüñôçóç I f( ìðïñåß íá êáôáóêåõáóèåß. ÐñÜãìáôé óå ôõ áßï Êáñôåóéáíü óýóôçìá Ý ïõìå âüóåé ôïõ ùò áíù èåùñþìáôïò ôçí åîþò áíáðáñüóôáóç ôçò åí ëüãù óõíáñôþóåùò + + δ kj ik ij ij ij D üðïõ ( ( ( D

9 8 ÐáñÜñôçìá IÉ: Ôï Èåþñçìá Áðïêëßóåùò Èåùñïýìå Ýíá ùñßï V ôïõ R ðïõ ðåñéâüëëåôáé áðü ôï óýíïñï V. Óôï ôõ üí óçìåßï ôïõ óõíüñïõ ïñßæïõìå ôçí óôïé åéþäç åðéöüíåéá d S ìå ìïíáäéáßï åîùôåñéêü äéüíõóìá n i. Åóôù óôï ùñßï áõôü ìßá äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç qi q i(xk ( i,k,,, ðïõ åßíáé óõíå Þò êáé Ý åé óõíå åßò ðñþôåò ðáñáãþãïõò. Ôüôå éó ýåé qk x V k dv qknkds V äçëáäþ ôï ïëïêëþñùìá ôçò áðïêëßóåùò åíüò äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ ðüíù óôï ùñßï V éóïýôáé ìå ôçí óõíïëéêþ «ñïþ» ôïõ ðåäßïõ ìýóù ôïõ óõíüñïõ V. Ôï èåþñçìá áõôü ðáñïõóéüóôçêå õðü äéáöïñåôéêýò ìïñöýò áðü ôïýò Lagrange (76, Gauss (8, Ostrogradsky (8 êáé Green (88. ÊáìéÜ öïñü áðïêáëåßôáé Ü ñùìá êáé Èåþñçìá Áðüêëéóçò (Áããë. Divergence Theorem, ðñâë. Ã. Ðáíôåëßäç, ÁíÜëõóç, Ôì. ÉÉ, Åêä. ÆÞôç,.

10 84

Σχετικά έγγραφα

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...