ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΦΙΛΤΡΑ. E T Τ E in. coupler

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΦΙΛΤΡΑ Άσκηση (α) Θερείστε την διάταξη του σχήµατος (συµβολόµετρο Mh- Zhndr-ΜΖΙ). είξτε ότι η διάταξη δρα σα φίλτρο όταν µία είσοδος είναι ενεργή. Βρείτε την συνάρτηση µεταφοράς του φίτρου τόσο στη θύρα, όσο και στη θύρα. Τ oulr 3 oulr 4 (β) Βρείτε την ελεύθερη φασµατική περιοχή, το εύρος ζώνης ηµίσειας ισχύος και τη λεπτότητα του φίλτρου. (γ) Θερείστε µια αλυσίδα m φίλτρν MZI, το n-οστό στοιχείο της οποίας εισάγει χρονική διαφορά τ. Να βρεθεί η λεπτότητά της. n (δ) Με βάση το (γ) και δεδοµένου ότι η λεπτότητα ενός Fbr-Pro φίλτρου είναι π F, να βρεθεί ο ελάχιστος αριθµός στοιχείν MZI, για τον οποίο η αλυσίδα έχει καλύτερη λεπτότητα από ένα Fbr-Pro. Επιπλέον, σχεδιάστε τον αριθµό στοιχείν n σαν συνάρτηση της ανακλαστικότητας.

2 Λύση (α) Έστ ότι το σήµα στην είσοδο είναι της µορφής: Τότε στις αντίστοιχες θύρες θα εµφανιστούν τα σήµατα: π. Το σήµα στη θύρα υφίσταται µια χρονική καθυστέρηση πριν φτάσει στον δεύτερο συζεύκτη Το σήµα στη θύρα παραµένει αµετάβλητο Άρα στις εισόδους του δεύτερου συζεύκτη εµφανίζονται τα σήµατα: 3 4 π.

3 Συνολικά εµφανίζονται τα πεδία: ( ) ( ) ( ) + + π και ( ) ( ) + + π π ( ) ( ) + π Για τις συναρτήσεις µεταφοράς θα πρέπει να υπολογιστούν τα ακόλουθα: () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π + + f os 4 s os f () ( ) ( ) π f os 4 f

4 Προφανώς ισχύει ότι () f () f + ενεργό στοιχείο χρίς απώλειες., αφού η διάταξη είναι ένα µη Προσδιορισµός της παραµέτρου (µεγιστοποίηση της µεταφορά ενέργειας από την είσοδο σε κάποια έξοδο) (f ) mx ( ) ( ) 0 50% os. Χρειάζεται λοιπόν ένας 3 db συζεύκτης για την µεγιστοποίηση της ισχύος σε κάποια έξοδο του συµβολοµέτρου. Άρα: (f ) s ( π f ) (f ) os ( π f ). HfL f.äô HfL f.äô Συνάρτηση µεταφοράς Θύρας Συνάρτηση µεταφοράς Θύρας

5 (β) Ελεύθερη φασµατική περιοχή-fs: (f ) mx os ( π f ) mx π f mx k π f mx k, k 0,,... Άρα FS fmx. Εύρος ζώνης ηµίσειας ισχύος: (f ) os π f π f π 4 f 4 Άρα FWHM f. Λεπτότητα φίλτρου: Με βάση τα παραπάν υπολογίζεται η λεπτότητα του φίλτρου FS F. FWHM

6 (γ) Η συνάρτηση µεταφοράς της αλυσίδας m (f ) os π f n 0 n Τα µέγιστα της συνάρτησης µεταφοράς της αλυσίδας θα βρίσκονται εκεί, όπου όλες οι επιµέρους συναρτήσεις µεταφοράς είναι µέγιστες. Άρα η ελεύθερη φασµατική περιοχή θα είναι (ορίζοντάς την σαν FS mx FS, καθώς το απόσταση µεταξύ τν µεγίστν) { } n n-οστό στοιχείο MZI θα παρουσιάζει ελεύθερη φασµατική περιοχή m FS n n ο Στοιχείο MZI : Καθυστέρηση HfL f.äô ο Στοιχείο MZI : Καθυστέρηση HfL f.äô 3ο Στοιχείο MZI : Καθυστέρηση 4 HfL f.äô Συνάρτηση Μεταφοράς της Αλυσίδας MZI HfL f.äô

7 Προσεγγιστικά (όλες οι επιµέρους συναρτήσεις µεταφοράς είναι κανονικοποιηµένες στη µονάδα), µπορούµε να πάρουµε την χειρότερη περίπτση, για την οποία ισχύει FWHM m { FWHM } n (δηλαδή µπορούµε να είµαστε σίγουροι ότι η συνολική συνάρτηση µεταφοράς θα παρουσιάζει εύρος ηµίσειας ισχύος ίσο ή µικρότερο µε αυτό της πρώτης βαθµίδας). Υπενθυµίζεται ότι n- FWHM n. Άρα στην χειρότερη περίπτση FS m + F. FWHM (δ) Για να έχει η αλυσίδα MZI καλύτερη λεπτότητα από ένα Fbr-Pro θα πρέπει: π m > log m+ > π

8 m Για µεγάλες τιµές ανακλαστικότητας του Fbr-Pro φίλτρου, ο αριθµός MZI στοιχείν που χρειάζονται για ίδια λεπτότητα αυξάνει εκθετικά.

9 Άσκηση (α) Βρείτε την συνάρτηση µεταφοράς του Fbr-Pro φίλτρου. Συγκεκριµένα υπολογίστε τη συνάρτηση µεταφοράς τόσο ς προς το διαδιδόµενο πεδίο, όσο και ς προς το ανακλώµενο πεδίο. Υποθέστε ότι οι καθρέφτες του φίλτρου έχουν ανακλαστικότητα, ενώ ανάµεσα στους καθρέπτες το υλικό µήµους l έχει δείκτη διάθλασης n. (β) Υπολογίστε την ελεύθερη φασµατική περιοχή, το εύρος ζώνης ηµίσειας ισχύος και την λεπτότητα του φίλτρου για µεγάλη τιµή της ανακλαστικότητας. Που οφείλεται η µεγάλη λεπτότητα του φίλτρου (σε σχέση µε το MZI και το PM φίλτρο); (γ) Θερείστε δύο διαδοχικά Fbr-Pro φίλτρα, το ένα µε µήκος l και το άλλο µε µήκος l. Ποιά είναι η συνάρτηση µεταφοράς της διάταξης; Αν l /l k/m (k και m πρώτοι µεταξύ τους) βρείτε την ελεύθερη φασµατική περιοχή της διάταξης, σαν συνάρτηση της ελεύθερης φασµατικής περιοχής καθενός από τα επιµέρους φίλτρα..

10 Λύση (α) Έστ ότι το προσπίπτον πεδίο στο πρώτο κάτοπτρο είναι: Τότε στην έξοδο θα παρουσιαστούν τα πεδία: Απευθείας πεδίο: ( ) l k Πρώτο ανακλώµενο: l k εύτερο ανακλώµενο: ( ) l k l k 3 κ.ο.κ.

11 Ε Ε Ε n Ε Ε Ε 3 Ε 3 l Γενικά µπορούµε να γράψουµε N kl N ( ) Το συνολικό πεδίο στην έξοδο είναι: N N kl N 0 kl ( ) N kl ( ) kl.

12 Η συνάρτηση µεταφοράς προκύπτει ότι είναι: kl ( ) ( ) kl os( k l) ( ) ( ) + ( os( k l) ) (k) ( ) ( ) + 4 os ( k l) + ή () f + π n l s f Η συνάρτηση µεταφοράς για το ανακλώµενο πεδίο είναι: (f ) () f + π n l s f π n l s f

13 Οι δύο συναρτήσεις φαίνονται στο παρακάτ σχήµα για (ορίστηκε f o ): n l HfL 0. HfL fêfo Συνάρτηση µεταφοράς της διέλευσης fêfo Συνάρτηση µεταφοράς της ανάκλασης (β) Ελεύθερη φασµατική περιοχή: (f ) mx π n l f mx π n l s f 0 k π fmx k, k 0,,... n l Άρα FS fmx. n l

14 Εύρος ζώνης ηµίσειας ισχύος: () f + π n l s f π n l s f π n l s f Αν τότε το δεύτερο µέλος είναι µικρό και το ηµίτονο µπορεί να αντικατασταθεί µε το όρισµά του: π n l f f π n l. Άρα FWHM f. n l π FS π Τελικά προκύπτει η λεπτότητα F. FWHM

15 Η µεγάλη τιµή που εν γένει παρουσιάζει το F-P φίλτρο οφείλεται στην συµβολή άπειρν συνιστσών του κύµατος εισόδου. Αντίθετα, στα φίλτρα MZI και PM συµβάλλουν µόνο δύο συνιστώσες. (γ) Η συνάρτηση µεταφοράς θα είναι το γινόµενο τν δύο επιµέρους συναρτήσεν µεταφοράς. Άρα: o + () f + π n l s π n l s f f. Η παραπάν συνάρτηση µεταφοράς φαίνεται στο παρακάτ σχήµα για και l 3 l. Επιπλέον ορίστηκε η συχνότητα f o. n l HfL 0. HfL 0. HfL fêfo fêfo fêfo Συνάρτηση µεταφοράς του πρώτου φίλτρου Συνάρτηση µεταφοράς του δεύτερου φίλτρου Συνάρτηση µεταφοράς της διάταξης

16 Αν ισχύει l /l k/m, τότε Το πρώτο φίλτρο παρουσιάζει µέγιστο στα σηµεία 0,,... i, l n i f Το δεύτερο φίλτρο παρουσιάζει µέγιστο στα σηµεία 0,,..., l n m k l n f Άρα τα κοινά µέγιστα υπάρχουν για i, που ικανοποιούν τη σχεση: k m i Έτσι προκύπτει ότι η συνολική συνάρτηση µεταφοράς της διάταξης θα είναι µη µηδενική µόνο γύρ από τις συχνότητες: 0,,... q, l n k q f q Εποµένς ` FS m FS k FS

17 HfL 0. HfL 0. HfL fêfo fêfo fêfo Συνάρτηση µεταφοράς του πρώτου φίλτρου Συνάρτηση µεταφοράς του δεύτερου φίλτρου Συνάρτηση µεταφοράς της διάταξης

18 Άσκηση 3 Υποθέστε ότι γραµµικά πολµένο φς συζευγνύεται σε διπλοθλαστική ίνα µε γνία πόλσης 45 ο ς προς τους άξονες της ίνας. Η ίνα έχει σταθερές διάδοσης β x και β για τους δυο άξονες και µήκος L. Στην έξοδο της ίνας υπάρχει πολτής τοποθετηµένος επίσης στις 45 ο ς προς τους άξονες της ίνας. είξτε ότι η διάταξη λειτουργεί σαν φίλτρο και υπολογίστε τη συνάρτηση µεταφοράς του, καθώς και την ελεύθερη φασµατική περιοχή του. Λύση Έστ ότι στην είσοδο της ίνας έχουµε το γραµµικά πολµένο φς Στην είσοδο της ίνας τα πεδία x και γράφονται: x

19 Μετά τη διάδοση σε µήκος L διπλοθλαστικής ίνας τα σήµατα είναι: x ( β L) x και ( β L) µε β x, nx, Το διανυσµατικό άθροισµα τν παραπάν σηµάτν στον τελικό πολτή θα δώσει: ou x + ( β L) ( L) x β + Η συνάρτηση µεταφοράς της διάταξης είναι: ( ) os I I ou { } { } ( β β ) x L ( β ) ( β L) x L ( + ) π f L () f os ( nx n )

20 Για να υπολογιστεί η ελεύθερη φασµατική περιοχή βρίσκουµε την απόσταση µεταξύ τν µεγίστν της συνάρτησης µεταφοράς: (f ) mx os π f f mx mx L L ( n n ) π f ( n n ) x x mx L k π k, k 0,,... ( n n ) x Άρα FS fmx. L ( n n ) x Το εύρος ζώνης ηµίσειας ισχύος: π f L (f ) os ( n n ) x f FWHM f 4 L. ( n n ) L ( n n ) x Με βάση τα παραπάν υπολογίζεται η λεπτότητα του φίλτρου x FS F. FWHM