ΕΡΓΑΣΙΑ 5P (Ημερομηνία παράδοσης )

Transcript

1 BB από κέντρο ΕΡΓΑΣΑ 5 (Ημερομηνία παράδοσης / Η ΑΣΚΗΣΗ Ενας απρόσεκτος εργάτης, μάζας Μ 8k, ανεβαίνει σε μία σκάλα μήκος., η αποία ακομπά σε ένα τοίχο χρίς τριβή και στέκεται σε βρεμένο δάπεδο. Οταν ο εργάτης έφτασε στο μέσο της σκάλας, ατή γλύστρησε. Αν το κάτ μέρος της σκάλας απείχε αρχικά από τον τοίχο. και η γραμμική πκνότητα της σκάλας δίνεται από την σχέση λ (k/ - l *.5 k/, πολογίστε τον σντελεστή τριβής μεταξύ της σκάλα και το δαπέδο. (Το l μετριέται σε μέτρα από το κατώτερο τμήμα της σκάλας. Αρχικά πολογίζομε την μάζα της σκάλας και την απόσταση το BB βάση της. Έχομε: μάζας από την ( ( ( λ dl k /.5 l k / dl dl.5l dl k.5 / k 9.k και λ l dl λ dl ( k /.5 l k / l dl l dl.5 l (.5 / k (.5 / dl k k (5.5 / k (5.5 (6 (.5 / k (.5 (8. (Θερούμε ότι οι σντελεστές έχον τις κατάλληλες μονάδες ώστε όταν αντικαταστήσομε το στος παραπάν τύπος θα έχομε τελικά k και για την μάζα και το κέντρο μάζας της σκάλας. Σχεδιάζομε τις δνάμεις πο ασκούνται στην σκάλα την στιγμή πο αρχίζει η ολίσθηση, οπότε σχηματίζει γνία φ με το δάπεδο: Β Έχομε το βάρος το ανθρώπο W πο ασκείται στο μέσο της σκάλας (/ και το βάρος της σκάλας w πο ασκείται σε απόσταση το κάτ μέρος της σκάλας. Επίσης την αντίδραση το τοίχο (και κάθετη σε ατόν αφού δεν έχομε τριβή και την αντίδραση Τ το δαπέδο. Οι φορές και διεθύνσεις ατών τν δνάμεν είναι όπς φαίνονται στο σχήμα. Αφού η σκάλα ισορροπεί θα πρέπει: ΣF και Στ ή ΣFBxB και ΣFBB και Στ. N T / B W w φ Η Τ αναλύεται σε δύο σνιστώσες, την F της τριβής και την Ν της αντίδρασης το δαπέδο. Α F Ο Από τα παραπάν και παίρνοντας τα μέτρα και έχοντας π όψην την φορά τν διανσμάτν από 9

2 έχομε: Για τον άξονα Υ: -W - w N για το άξονα Χ: F και F μ Ν για την τριβή, όπο μ ο ζητούμενος σντελεστής. Εξετάζοντας τις ροπές ς προς το σημείο A έχομε: (W / oφ w BB oφ inφ ( (6 (8 Το w (.5 / k (.5 (6 k (8 ( 8.5 (6 (8 k.5 (6 k Εχομε (χρησιμοποιώντας την F (W / w o φ μ N W w in φ (W w M 5 (6.9 ( M.5( 8 tan φ Θερούμε ότι οι σντελεστές έχον τις κατάλληλες μονάδες ώστε όταν αντικαταστήσομε το και Μ στον παραπάν τύπο θα έχομε τελικά καθαρό αριθμό και ότι tan φ....7 από 9

3 και - είναι στος BFBΝ ΑΣΚΗΣΗ Όταν σ ένα ατοκίνητο πιέζονται τα φρένα η δύναμη πο ασκείται στος μπροστινούς τροχούς είναι κατά πολύ μεγαλύτερη ατής πού ασκείται στος πίσ. Υπολογίστε τις δνάμεις τριβής FB Bκαι FBB μπροστινούς και στος πίσ τροχούς στο ατοκίνητο το σχήματος όταν ατό φρενάρει με επιβράδνση α.5. Το ατοκίνητο έχει μάζα Μ kr, η απόσταση μεταξύ τν αξόνν τν τροχών είναι και το κέντρο μάζας το βρίσκεται στο μέσον της απόστασης τν αξόνν και 75 από το έδαφος. Ο σντελεστής τριβής ολίσθησης είναι μ για όλες τις ρόδες. (Θερείστε τις δνάμεις FBΝ Bκαι B Bσαν το άθροισμα τν δνάμεν πο ασκούνται στις μπροστινές και πίσ ρόδες αντίστοιχα από τα φρένα και το έδαφος. ΛΥΣΗ Στο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα ελεθέρο σώματος με όλες τις δνάμεις πο ασκούνται στο ατοκίνητο. FBB το άθροισμα τν δνάμεν τριβής στος μπροστινούς τροχούς και FBB αντίστοιχα για τος πίσ. - FB B FBB Μα kr*.5*9.8/ 5886 Ν ( FBΝ B FBΝ Bοι κάθετες δνάμεις πο ασκεί το έδαφος. FBΝ B FB B/μ FBΝ B FB B/μ Όταν το ατοκίνητο φρενάρει δεν περιστρέφεται, άρα το άθροισμα τν ροπών τν δνάμεν ς προς άξονα πο περνά από το κέντρο μάζας είναι..5* FBΝB -.5* FBΝ B-.75* FB B-.75* FBB.5 *(FB B FBB/μ.75* (FB B FBB ( Αφού το ατοκίνητο δεν επιταχύνεται στην κατακόρφη διεύθνση έχομε Μ FBΝ B FBΝ B( FB B FB B/μ ( Χρησιμοποιώντας τις ( και ( βρίσκομε μα/.5 Λύνοντας την ( FBB5/ FBB Από την ( FB B FBB 5886 N έχομε τελικά FBB Ν και FBB7.5 Ν από 9

4 BB κινηθεί / BB και Α ΑΣΚΗΣΗ Δύο σώματα, B B.5k και BB.k, είναι σνδεδεμένα με ιδανικό νήμα άνε μάζας όπς φαίνεται στο σχήμα. Η τροχαλία έχει μάζα BTB.5k και διάμετρο d. Ο σντελεστής τριβής μεταξύ το και το κεκλιμένο επιπέδο είναι μ.. Αν το σώμα προς τα κάτ κατά Η., πολογίστε την επιτάχνση τν μαζών. Πόση θα είναι η επιτάχνση αν BΤ B.5k; Λύση Α 5 T Κατ αρχήν θερούμε ότι το σώμα κινείται προς την τροχαλία και ότι, αφού το νήμα είναι ιδανικό και χρίς μάζα, η επιτάχνση τν δύο μαζών είναι ίση κατά μέτρο. Επίσης αφού η μάζα κινείται κατά Η, η μάζα θα κινηθεί κατά H και θα ανψθεί κατά h in 5 H in 5. Λύνοντας το πρόβλημα ενεργειακά, έχομε ότι η μεταβολή της δναμικής ενέργειας τν μαζών θα μετατραπεί σε κινητική τος ενέργεια, κινητική ενέργεια περιστροφής της τροχαλίας και θα δαπανηθεί στο έργο της τριβής. Η τριβή ισούται με f μ BB o 5 μ BB o 5 Ετσι έχομε: T H h ( fd H ( H h ( Τ μ o5 d ( Τ ( H h μ o5 Η (( in5 Η μ o5 Η ( Τ Από την κινηματική γνρίζομε ότι: x xbob BοB t ½ α t BοB α t ( Στην περίπτση μας x H, xbob, BοB Σνεπώς από τις ( έχομε: Η ½ και η τιμή πο πολογίσαμε. α και τελικά: α ( in 5 μ ( ( o5 (@ Τ από 9

5 αbb BB BB BB ( στην 9.8 ((..5in5 k..5k o5 ( (.5..5k 9.8 ( o Αντικαθιστώντας την νέα τιμή το BΤB τελεταία εξίσση θα έχομε: 9.8 ((..5in5 k..5k o5 ( (.5..5k 9.8 ( o Λύση Β ΤB T Εχομε για τα δύο σώματα ΣF ΤB α ΤBB BB in5 - μ BB o5 ( α BB ΤBB 5 και για την τροχαλία Στ d/ (TBB TBB ½ BTB ½ BTB α (TBB TBB ( α/ (TBB TBB Προσθέτοντας την ( και ( και αντικαθιστώντας το -(TBB TBB από την ( έχομε: (BB BB α BB α BB ΤBB ΤBB ½ BTB α (BB BB BB in5 - μ BB in5 - μ BB o5 o5 Σνέχεια Β ΑΣΚΗΣΗ Δύο σώματα με μάζες BB kr και BBkr σνδέονται στα δύο άκρα λεπτής οριζόντιας ράβδο αμελητέας μάζας και μήκος 5 όπς φαίνεται στο σχήμα. Το σύστημα περιστρέφεται με γνιακή ταχύτητα 8 rad/ γύρ από κατακόρφο άξονα. Να βρεθούν α η κινητική ενέργεια το σστήματος και β η δύναμη πο ασκείται σε κάθε μάζα και στον άξονα περιστροφής όταν ο άξονας περιστροφής περνά από το μέσο της ράβδο και όταν περνά από το κέντρο μάζας το σστήματος. 5 από 9

6 απέχει ½ όπο Λύση Η ροπή αδρανείας κάθε μάζας είναι, όπο,5. KE ( (kr kr(.5 (8 J Η ΚΕ μπορεί επίσης να πολογιστεί χρησιμοποιώντας τη γραμμική ταχύτητα κάθε μάζας,.5*8 / ΚΕ ½ BB BB ½(krkr*(/ J Αφού οι δύο μάζες κινούνται κκλικά ασκείται πάν τος μια κεντρομόλος δύναμη: FBB BB FBB BB BB kr*(8 BB kr*(8 - - *.5 6 N *.5 8 N Οι δύο δνάμεις έχον φορά προς τον άξονα περιστροφής και ασκούνται πάν στις μάζες από τον άξονα μέσ της ράβδο. Αλλά η σνολική δύναμη είναι 6-86 Ν, πρέπει να ασκείται στον άξονα από το σύστημα στήριξης το άξονα. H δύναμη ατή αλλάζει σνεχώς διεύθνση καθώς το σύστημα περιστρέφεται. Το κέντρο μάζας το σστήματος βρίσκεται σε απόσταση xbb από τη μάζα BB x x kr * kr *.5 x. kr kr Άρα η μάζα BB από το κέντρο μάζας.86. Στην περίπτση ατή η κινητική ενέργεια δίνεται από τη σχέση - ΚΕ ½ ½(BBBB BBBB ½(kr*(. kr*(.86 *(8,7J Και οι δνάμεις σε κάθε μάζα - FBB BB BBkr*(8 *. 5.8 N - FBB BB BBkr*(8 * N Στην περίπτση ατή η σνολική δύναμη είναι και άρα δεν ασκείται δύναμη στο άξονα περιστροφής. 6 από 9

7 Ενα Α ΑΣΚΗΣΗ αβαρές και μη εκτατό σχοινί είναι τλιγμένο σφειχτά γύρ από κλινδρικό δίσκο ακτίνας και μάζας. Το ελεύθερο ακρο το σχοινιού είναι στερεμένο στο σημείο Α. Αφήνομε τον κύλινδρο ελεύθερο να πέσει. Καθώς ο κύλινδρος κινείται προς τα κάτ το σχοινί ξετλίγεται. Να βρεθούν οι σναρτήσεις: x f(t, f(t, θ f(t και f(t Α Στο σημείο επαφής το σχοινιού στον κύλινδρο θα πάρχει μία δύναμη F η οποία θα αντιδρά στην ελεύθερη πτώση το κλίνδρο και θα ασκεί μία ροπή σε ατόν με αποτέλεσμα ατός να περιστρέφεται γύρ από άξονα πο περνάει από τον άξονα σμμετρίας το. Ετσι, καθώς το Κέντρο Μάζας θα κινείται προς τα κάτ και σγχρόνς ο κύλινδρος θα περιστρέφεται, θα έχομε: d x F d F ( Α d θ F d F F / F ( F Αντικαθιστώντας την F από την ( στην ( και από την σχέση / έχομε: d d F και d d d / t t t ( Ολοκληρώνοντας την ( έχομε: x t t t x t ( και από τις σχέσεις και x θ έχομε: t και θ t 7 από 9

8 TBxB και Β ΑΣΚΗΣΗ Μια πινακίδα κρέμεται από μία οριζόντια ράβδο με δύο αλσίδες. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα σε κατακόρφο επίπεδο μέσ ενός μεντεσέ με τον οποίο στηρίζεται στον τοίχο. Όπς φαίνεται στο σχήμα η ράβδος κρατιέται οριζόντια με τη βοήθεια ενός σκοινιού πο είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο της και στον τοίχο και σχηματίζει γνία 6º με τον τοίχο. Αν το βάρος της πινακίδας είναι WBB 5 Ν και της ράβδο WBBB Ν να βρεθούν η τάση στο σκοινί καθώς και η δύναμη στο μεντεσέ. H δύναμη F πο ασκεί ο μεντεσές αναλύεται σε δύο δνάμεις H και V καθώς και η τάση το σκοινιού Τ στις ΤBxB TBB. (ΤBxB T o( και TB B T in( Για την κατακόρφη διεύθνση : V TBB WBBB WBSB/ WBSB/ Για την οριζόντια διεύθνση : H Οι ροπές ς προς το μεντεσέ είναι l WS WS WB ( l l Tl και λύνοντας ς προς Τ έχομε V F Η Τ T in(. N*. 5N*.5N*. > T99. N HTBxB T o( 99.N * N V-TBB WBB B WBSB/ WBSB/ Tin ( WBB B WBSB. N 8 από 9

9 θα ΑΣΚΗΣΗ 5 Ενας κύλινδρος τπογραφικού χάρτο, διαμέτρο d., βρίσκεται σε επίπεδο δρόμο με πακτμένο το ελεύθερο άκρο το χαρτιού. Δίνομε μία ελαφριά ώθηση στον κύλινδρο ώστε να αρχίσει να κλάει με αρχική ταχύτητα το Κ.Μ., BοB / ενώ το χαρτί να αρχίσει να ξετλίγεται. Υπολογίστε την ταχύτητα το Κ.Μ. όταν η ακτίνα το κλίνδρο γίνει rbtb ομογενή... Θερούμε τον κύλινδρο Καθώς το χαρτί θα ξετλίγεται, κατεβαίνει το Κ.Μ. το. Η μεταβολή της δναμικής ενέργειας το κέντρο μάζας μετατρέπεται σε κινητική το κέντρο μάζας και σε περιστροφική το κλίνδρο. Ετσι αν d/ η αρχική ακτίνα το κλίνδρο (με BοB /, όταν η ακτίνα γίνει r θα έχομε: M r ( όπο η μάζα το κλίνδρο όταν η ακτίνα γίνει r. Αν ρ η πκνότητα το χαρτιού και το μήκος το κλίνδρο, θα είναι: Μ ρ π, ρ π r Με τα παραπάν η ( γίνεται: και βεβαίς r, ενώ ½ r r ρ π ( r ¼ ρ π r r /r ½ ρ π r ( r ¼ r ½ r ¾ r ( r r Τελικά για r rbtb έχομε: ( r r t 9.8 / ( ( / 9 από 9

10 fbb και NBB πο και και fbb και αφού και και θα και ΑΣΚΗΣΗ 6 Ομογενής κύλινδρος ακτίνας περιστρέφεται γύρ από τον άξονα το με γνιακή ταχύτητα BοB 6 στροφές/in και τοποθετείται σε γνιά όπς φαίνεται στο σχήμα. Αν ο σντελεστής τριβής μεταξύ της ρόδας και το τοίχο ή το δαπέδο είναι μ.5, πόσες στροφές θα κάνει ο κύλινδρος μέχρι να σταματήσει και πόσος χρόνος θα απαιτηθεί. Η μάζα της ρόδας είναι 5 k και η ακτίνα της είναι.5. Bο Αφού δεν έχομε κρούση, από την στιγμή πο η ρόδα θα ακομπήσει τον τοίχο θα ασκούνται πάν της το βάρος της W, η αντίδραση το δαπέδο ΝBB, η αντίδραση το τοίχο ΝBB οι τριβές fbb οφείλονται στην τριβή της περιστρεφόμενης ρόδας στο δάπεδο και στον τοίχο αντίστοιχα και έχον φορά αντίθετη της περιστροφής. Αφού το κέντρο μάζας ισορροπεί, μελετώντας τα μέτρα τν δνάμεν στος δύο άξονες Χ και Υ θα έχομε: Bο και fbb fbb μ ΝBB NBB fbb μ ΝBB W NB NB fb Από ατές τις τέσσερις εξισώσεις λύνομε ς προς fbb έχομε: fbb τελικά fb f μ μ και f ( μ μ Αφού η ρόδα περιστρέφεται, εξετάζομε τις ροπές πο ασκούνται σε ατήν ς προς τον άξονα περιστροφής της. Ροπή ασκούν μόνο οι fbb fbb οι άλλες δνάμεις περνούν από τον άξονα περιστροφής. Ετσι έχομε: d (f f ( όπο η ροπή αδράνειας της ρόδας και το αρνητικό πρόσημο μπαίνει γιατί η οι τριβές είναι αντίθετες από την περιστροφή και σνεπώς την επιβραδύνον. Αν η ροπή αδρανείας της ρόδας είναι ½ έχομε: d d dφ d (f f (f f dφ dφ (f Φ f d dφ όπο Φ θα είναι η σνολική γνία πο θα περιστραφεί η ρόδα ο μέχρι να σταματήσει ( - Λύνοντας τα ολοκληρώματα έχομε τελικά: Φ (f f ο ( από 9

11 Ο αριθμός τν στροφών πολογίζεται από την σχέση S Φ/(π και τελικά χρησιμοποιώντας την ( και ( και επειδή BοB π 6 στρ./6 π -, έχομε: ο S 8 π (f f ο ( μ 8 π ( μ μ.5 π (.5 8 π ( στροφές Από την σχέση ( έχομε d (f f T d (f f όπο Τ ο χρόνος πο θα χρειαστεί να σταματήσει. ο Σνεπώς Τ (f f ο ο ( μ ( μ μ.5 π (.5 ( Β τρόπος πολογισμού αριθμού στροφών: Η κινητική ενέργεια περιστροφής θα δαπανηθεί στο έργο τν τριβών πο θα διανύσον απόσταση μέχρι να σταματήσει η ρόδα να περιστρέφεται: ½ (fbb fbb Αλλά αν S ο αριθμός στροφών θα έχομε S / (π Από τις τελεταίες σχέσεις και την ( έχομε τελικά προηγομένς. ο S 8 π (f f πο πολογίσαμε και από 9

12 ΑΣΚΗΣΗ 7 Ενα αβαρές και μη εκτατό σχοινί είναι τλιγμένο σφιχτά γύρ από κλινδρικό δίσκο ακτίνας και μάζας.5 kr. Το ελεύθερο ακρο το σχοινιού είναι στερεμένο στο σημείο Α. Αφήνομε τον κύλινδρο ελεύθερο να κλίσει σε κεκλιμένο επίπεδο με γνία φ 5. Ο κύλινδρος κλίεται προς τα κάτ στο κεκλιμένο επίπεδο κατα μήκος. ενώ το σχοινί ξετλίγεται. Υπολογίστε τον χρόνο πο θα απαιτηθεί να διανύσει την απόσταση και την ταχύτητα το κλίνδρο στο κατώτατο σημείο. φ A Σχεδιάζομε τις δνάμεις πάν στον κύλινδρο και τις αναλύομε σε δύο διεθύνσεις παράλληλα και κάθετα στο κεκλιμένο επίπεδο. Στο σημείο επαφής το σχοινιού στον κύλινδρο θα πάρχει μία δύναμη Τ η οποία θα αντιδρά στην ελεύθερη ολίσθηση το κλίνδρο και θα ασκεί μία ροπή σε ατόν με αποτέλεσμα ατός να περιστρέφεται γύρ από άξονα πο περνάει από τον άξονα σμμετρίας το. Ετσι, καθώς το Κέντρο Μάζας θα κινείται προς τα κάτ και σγχρόνς ο κύλινδρος θα περιστρέφεται, θα έχομε: d in φ Τ d Τ in φ ( φ Winφ N T Woφ W d Τ d Τ Τ / Τ ( Αντικαθιστώντας την Τ από την ( στην ( και από την σχέση / έχομε: d d Τ και d in φ d d in / φ in t φ in φ t in φ t ( Ολοκληρώνοντας την ( έχομε: x in φ t t in φ t x in φ t ( Από την ( πολογίζομε τον χρόνο κύλισης μέχρι να φτάσει στο κατώτερο σημείο:. t,5,7 in φ 9.8 / in 5 από 9

13 και φ φ φ φ φ φ in in 9 in in in t in /.7 7,5 in /. από 9

14 BοB ΑΣΚΗΣΗ 8 Δύο ομογενείς οριζόντιοι δίσκοι Α και Β, ακτίνας BB και BB5 αντίστοιχα, μπορούν να περιστρέφονται χρίς τριβές γύρ από κάθετο άξονα ο οποίος περνάει από τα Β κέντρα τος. Ο κάτ δίσκος Α, μάζας BB.kr, περιστρέφεται με γνιακή Α ταχύτητα BοBστροφές/in ενώ ο πάν δίσκος Β, μάζας BB.5kr, κρατείται ακίνητος σε μικρή απόσταση πάν από τον Α. Αν αφήσομε τον Β να πέσει πάν στον Α και αν ο σντελεστής τριβής μεταξύ το Α και Β δίσκο είναι μ., πολογίστε τον χρόνο πο απαιτείται μέχρι και οι δύο δίσκοι να περιστρέφονται με την ίδια γνιακή ταχύτητα. Κατ αρχήν θερούμε τις ροπές αδράνειας τν δύο δίσκν γνστές και ίσες προς BB και BB ½ BB BB. ½ BB Επειδή μεταξύ τν δίσκν έχομε τριβή και αφού έχομε περιστροφική κίνηση πρέπει να πολογίσομε την ροπή πο αναπτύσσεται σε κάθε δίσκο λόγ της τριβής. Ας ποθέσομε ότι έχομε ένα στοιχειώδες τμήμα το δίσκο Β μάζας d πο απέχει r από το άξονα περιστροφής. Το τμήμα ατό θα προκαλεί μία στοιχειώδη ροπή ίση με dτ μ d r. Αν ρ είναι η επιφανειακή πκνότητα το δίσκο Β, η σνολική ροπή θα ισούται με: τ dτ μ r d μ r ρ π r dr μ ρ π r dr μ ρ π μ Ατή η ροπή θα εφαρμοστεί στον δίσκο Α και θα τον επιβραδύνει από την γνιακή ταχύτητα BοB στην τελική και στον δίσκο Β (από τον Α, σύμφνα με το δράση-αντίδραση και θα τον επιταχύνει από την γνιακή ταχύτητα ές την τελική. Σνεπώς θα έχομε: d για τον δίσκο Α (με - αφού επιβραδύνεται: - τ μ μ d BB και: ο d ο t μ μ t μ ο t ( και για τον δίσκο Β d μ μ d t ( τ από 9

15 Οι δύο δίσκοι θα περιστρέφονται με την ίδια ταχύτητα όταν BB BB μετά από χρόνο T, σνεπώς από την ( και ( έχομε: T μ T μ ο ο T μ μ T ο ή αφού BB ½ BB BB και BB ½ BB BB θα είναι: ( και τελικά ( μ T ο.5.. (..5. / in in kr kr kr kr π (μετά από απλοποιήσεις ( π 5 από 9

16 ΑΣΚΗΣΗ 9 Ράβδος μήκος. και μάζας Μ.5 k, η οποία μπορεί να περιστραφεί ελεύθερα σε άξονα στο ένα άκρο της (Ο, αναρτάται στην κατακόρφη θέση. Μία σφαίρα μάζας. k και ταχύτητας / χτπάει την ράβδο σε απόσταση α.9 από το Ο και σφηνώνεται σε ατή. α. Να πολογιστεί η γνιακή ταχύτητα της ράβδο αμέσς μετά από κρούση. β. Να οριστεί η ορμή το σστήματος μόλις πριν την κρούση και αμέσς μετά από ατή. γ. Πόση πρέπει να είναι η απόσταση α ώστε να ισχύει η σνθήκη διατήρησης της ορμής; α O α Υπολογίζομε την στροφορμή πριν και αμέσς μετά την κρούση θερώντας ότι η ροπή αδρανείας της ράβδο προς άξονα πο βρίσκεται στο άκρο της είναι: / Μ και ότι η ροπή αδρανείας με την ενσμάτση της σφαίρας γίνεται: (/ Μ α. Εχομε πριν την κρούση: BπρινB α και αμέσς μετά: Bμετά B BοB (/ Μ α BοB Επειδή η στροφορμή διατηρείται, πρέπει BπρινB BμετάB και σνεπώς: α (/ Μ α BοB α ( / M α ο ο α / M α.k /.9 /.5k..k.9 ο..9 / β Η ορμή μόλις πριν από την κρούση θα ισούται με την ορμή της σφαίρας και θα ισούται με: BπρινB, αμέσς μετά δε θα ισούται με: BμετάB BσB Μ BB και έχοντας π όψη την σχέση γνιακής ταχύτητας και ταχύτητας και την σχέση ( θα έχομε: μετα σ Μ ο α Μ ο / ο α ( α Μ/.78 k / /M α ( α Μ / Ας σημειθεί ότι σε ατή την περίπτση ασκείται δύναμης πάν στο καρφί, αλλά είναι εξτερική το σστήματος ράβδο-σφαίρας και γι ατό η ορμή μόλις πρίν είναι διαφορετική από την ορμή αμέσς μετά. γ Αν ισχύει η σνθήκη διατήρησης της ορμής θα έχομε: 6 από 9

17 α ( α Μ / / M α α ( α Μ / / M α / M α α α Μ / / α / α.67 7 από 9

18 ΑΣΚΗΣΗ Ρόπαλο μήκος., το οποίο μπορεί να περιστραφεί ελεύθερα σε άξονα στο άκρο Ο και στηρίζεται σε οριζόντιο θέση, αφήνεται να πέσει ελεύθερα. Όταν περνάει από την κατακόρφο, το ελεύθερο άκρο το κτπάει ελαστικά μικρή μπάλα μάζας. kr σε απόσταση.9 από το Ο. Αν η γραμμική πκνότητα της ράβδο ισούται με ρ x, όπο kr/, πολογίστε την ταχύτητα της μπάλας αμέσς μετά την κρούση. O Κατ' αρχήν, πολογίζομε την μάζα το ρόπαλο Μ, την απόσταση το κέντρο μάζας το από το Ο και την ροπή αδράνειας το ς προς το Ο. Ενα στοιχειώδες τμήμα d το ρόπαλο θα έχει μάζα d ρdx και ολοκληρώνοντας έχομε: M d ρ dx x dx x και ροπή αδράνειας ς προς το Ο: x x d x ρ dx x dx. Το κέντρο μάζας θα απέχει x d d x ρ dx M x M dx x M k Τώρα, κατά την κίνηση της ράβδο στην κατακόρφο, η δναμική ενέργεια της ράβδο θα μετατραπεί σε κινητική ενέργεια: M k όπο είναι η ροπή αδράνειας το ρόπαλο ς προς το άκρο της. Από ατή την σχέση προκύπτει η γνιακή ταχύτητα το ρόπαλο όταν φτάσει στην κατακόρφη θέση: M k ( 8 από 9

19 Όταν η ράβδος θα φτάσει στην κατακόρφη θέση θα σγκροστεί ελαστικά με το σώμα. Η διατήρηση της ενέργειας και της στροφορμής σε ατή την περίπτση θα μας δώσει: ' ( και ' ( όπο η γνιακή ταχύτητα της ράβδο και η ταχύτητα το σώματος αμέσς μετά την κρούση. Από την ( έχομε ' και αντικαθιστώντας στην (, αφού απλοποιήσομε το ½, έχομε: ( ( ( Από την τελεταία σχέση έχομε, απορρίπτεται γιατί δεν έχει φσική σημασία και k M Τελικά k k /.9. kr. / kr.9. / kr / από 9