Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Transcript

1 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

2 11.1 Εισαγωγή κυκλώματα συνεχούς ρεύματος Νόμοι Θεωρήματα Μεθοδολογίες ανάλυσης κυκλώματα εναλλασσομένου ρεύματος Παραγωγή, μεταφορά και διανομή Μπορεί να μετασχηματίζεται Οι στρεφόμενες μηχανές είναι πιο αποδοτικές Μετατρέπεται πιο εύκολα σε συνεχές

3 Τριγωνομετρικοί αριθμοί y φ 0 x 1 Εάν γνωρίζουμε το ημίτονο μιας γωνίας μπορούμε να βρούμε το συνημίτονό της και αντίστροφα.

4 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών που διαφέρουν κατά 90 0 : Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών που διαφέρουν κατά : sin(φ+90) sinφ φ+90 φ cos(φ-90) cos(φ+90) 0 φ-90 cosφ sin(φ-90) Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος και διαφοράς γωνιών :

5 Τριγωνομετρικοί αριθμοί διπλάσιου τόξου: sin(φ+90) sinφ φ+90 φ cos(φ-90) cos(φ+90) 0 φ-90 cosφ Σχέσεις αποτετραγωνισμού: sin(φ-90)

6 Μια ημιτονοειδής τάση στη γενική περίπτωση δίνεται από τη σχέση: Η ίδια τάση μπορεί να εκφραστεί και με ημίτονο: Τη χρονική στιγμή μηδέν η τιμή της τάσης είναι: Η ποσότητα ω είναι η γωνιακή συχνότητα της τάσης και μετράται σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο (rad/sec):

7 Όταν έχουμε ένα γραμμικό κύκλωμα που τροφοδοτείται από πηγή ημιτονοειδούς τάσης ή ρεύματος τότε όλα τα ρεύματα και οι τάσεις του κυκλώματος είναι ημιτονοειδή της ίδιας συχνότητας. Οι ημιτονοειδείς συναρτήσεις είναι περιοδικές: Η παράγωγος μιας ημιτονοειδούς συνάρτησης είναι επίσης ημιτονοειδής συνάρτηση: Η πράξη της παραγώγισης σε μια ημιτονοειδή συνάρτηση δημιουργεί μια ίδια συνάρτηση που προηγείται της αρχικής κατά 90 μοίρες. Το αντίθετο γίνεται με την ολοκλήρωση:

8 Η παραγώγιση μιας ημιτονοειδούς τάσης πολλαπλασιάζει το μέτρο της με τη γωνιακή συχνότητα και προσθέτει 90 μοίρες στη φάση της: Η ολοκλήρωση μιας ημιτονοειδούς τάσης διαιρεί το μέτρο της με τη γωνιακή συχνότητα και αφαιρεί 90 μοίρες από φάση της: Εάν εφαρμόσουμε μια ημιτονοειδή τάση στα άκρα ενός πηνίου το ρεύμα που το διαρρέει δίνεται από τη σχέση:

9 Αν εφαρμόσουμε μια ημιτονοειδή τάση στα άκρα ενός πυκνωτή, το ρεύμα που τον διαρρέει δίνεται από τη σχέση: Το ρεύμα του πηνίου καθυστερεί της τάσης στα άκρα του κατά 90 μοίρες. Το ρεύμα του πυκνωτή προηγείται κατά 90 μοίρες από την τάση που εφαρμόζεται στα άκρα του.

10 C=50 μf L=0,1 H 11 Η ημιτονοειδής διέγερση Παράδειγμα 11-1: Έχουμε ένα πηνίο τιμής L=0,1 H συνδεδεμένο παράλληλα σε έναν πυκνωτή τιμής C=50 μf, που τροφοδοτούνται με την τάση του δικτύου. Να σχεδιαστούν τα ρεύματα που διαρρέουν τον πυκνωτή και το πηνίο. Η τάση του δικτύου έχει ενεργό τιμή 220 V και συχνότητα 50 Hz. Το πλάτος της τάσης είναι: V s + - i s (t) i C (t) i L (t) Η γωνιακή συχνότητα της τάσης είναι: Η συνάρτηση της τάσης είναι:

11 C=50 μf L=0,1 H 11 Η ημιτονοειδής διέγερση Το ρεύμα του πηνίου είναι: i s (t) i C (t) i L (t) V s + - Το ρεύμα του πυκνωτή είναι: Το ρεύμα που διαρρέει την πηγή ισούται με το άθροισμα των δύο ρευμάτων:

12 C=50 μf L=0,1 H 11 Η ημιτονοειδής διέγερση i s (t) i C (t) i L (t) V s + -

13 Έστω ότι έχουμε μία αντίσταση συνδεδεμένη σε σειρά με ένα πηνίο, τα οποία τροφοδοτούνται από μία πηγή τάσης και θέλουμε να υπολογίσουμε το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα. V s + - i(t) R + V R - + V L - L Θα ξεκινήσουμε από το νόμο τάσεων του Kirchhoff: Το ζητούμενο ρεύμα θα είναι ημιτονοειδές, αλλά θα έχει διαφορά φάσης με την τάση της πηγής, λόγω της ύπαρξης της παραγώγου στην εξίσωση. Έστω ότι θα έχει τη μορφή:

14 Αντικαθιστούμε την παραπάνω τιμή του ρεύματος στην εξίσωση και παίρνουμε: Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις των τριγωνομετρικών αριθμών αθροίσματος γωνιών έχουμε: Αντικαθιστούμε τις εκφράσεις αυτές στην εξίσωση και έχουμε: Για να ικανοποιείται η παραπάνω εξίσωση για κάθε χρονική στιγμή:

15 Αναδιατάσσουμε τις εξισώσεις ώστε να λύσουμε με ορίζουσες ως προς sinφ και cosφ: Γράφουμε τις εξισώσεις σε μορφή πινάκων: Και βρίσκουμε:

16 Υπολογίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας φ διαιρώντας την δεύτερη εξίσωση με την πρώτη: Για να υπολογίσουμε το πλάτος του ρεύματος υψώνουμε στο τετράγωνο και αθροίζουμε, χρησιμοποιώντας τη σχέση: Το ζητούμενο ρεύμα τελικά είναι:

17 11.3 Το στρεφόμενο διάνυσμα Η ανάλυση των κυκλωμάτων εναλλασσομένου ρεύματος απλοποιείται με το μετασχηματισμό από το "πεδίο του χρόνου" στο "πεδίο της συχνότητας". Έστω οποιοδήποτε γραμμικό κύκλωμα που εφαρμόζουμε μια διέγερση: V s + - i(t) R + V R - + V L - L Θα πάρουμε μια απόκριση: Αν μεταθέσουμε τη διέγερση 90 0 πίσω στο χρόνο: Θα πάρουμε την προηγούμενη απόκριση, αλλά 90 0 πίσω στο χρόνο:

18 11.3 Το στρεφόμενο διάνυσμα Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας εάν πολλαπλασιάσουμε την διέγερση με μία σταθερά, πολλαπλασιάζεται και η απόκριση με την ίδια σταθερά. Ως σταθερά επιλέγουμε τη φανταστική μονάδα, εφαρμόζοντας στο κύκλωμα μία φανταστική διέγερση: για να πάρουμε τη φανταστική απόκριση: Εάν τώρα εφαρμόσουμε το άθροισμα της πραγματικής και της φανταστικής διέγερσης: θα πάρουμε σαν απόκριση το άθροισμα της πραγματικής και της φανταστικής απόκρισης:

19 11.3 Το στρεφόμενο διάνυσμα Το κλειδί στην απλοποίηση του προβλήματος είναι ο τύπος του Euler, ο οποίος αντικαθιστά τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις με εκθετικές, που είναι πολύ απλούστερες στο μαθηματικό χειρισμό: Η μιγαδική διέγερση γράφεται απλούστερα: Όπως και η μιγαδική απόκριση: Προσέξτε ότι παρόλο που αναφερθήκαμε σε συγκεκριμένο κύκλωμα και σε συγκεκριμένη απόκριση, τα παραπάνω είναι απαράλλαχτα για οποιοδήποτε γραμμικό κύκλωμα και για οποιαδήποτε απόκριση, είτε ρεύμα είτε τάση.

20 11.3 Το στρεφόμενο διάνυσμα Επανερχόμαστε στο συγκεκριμένο κύκλωμα και γράφουμε το νόμο τάσεων του Kirchhoff: i(t) R + V R - + V s + - V L L Στη θέση της τάσης και του ρεύματος όμως βάζουμε τη μιγαδική τάση και το μιγαδικό ρεύμα αντίστοιχα: -

21 11.3 Το στρεφόμενο διάνυσμα Η λύση με τον τρόπο αυτό είναι πολύ απλούστερη, αρκεί να είμαστε εξοικειωμένοι με τους μιγαδικούς αριθμούς. Απαλλαχτήκαμε από το χειρισμό ημιτόνων και συνημιτόνων.

22 11.3 Το στρεφόμενο διάνυσμα Μετασχηματισμός Πεδίο του χρόνου Πεδίο της συχνότητας Αντίστροφος Μετασχηματισμός Επίλυση κυκλώματος

23 11.3 Το στρεφόμενο διάνυσμα Μπορεί να γίνει ακόμα μία απλοποίηση: ή Υπάρχει παντού απαράλλαχτο ΠΡΟΣΟΧΗ: Στρεφόμενο διάνυσμα ακίνητο διάνυσμα