Χρόνος ταλάντωσης των σηµείων που βρίσκονται σε υπερβολές ακυρωτικής συµβολής

Transcript

1 Χρόνος ταλάντωσης των σηµείων που βρίσκονται σε υπερβολές ακυρωτικής συµβολής Δύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π δηµιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια αρµονικά κύµατα. Η εξίσωση ταλάντωσης κάθε πηγής είναι y=0,1ηµ(10πt) (SI) και η ταχύτητα διάδοσης των εγκάρσιων κυµάτων στην επιφάνεια του υγρού είναι υ=1,5 m/s. Ένα σηµείο της επιφάνειας του υγρού απέχει από την πηγή Π1 απόσταση 0,9 m και από την πηγή Π απόσταση 1,35 m. Α) Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης του σηµείου µετά τη συµβολή των κυµάτων στο σηµείο αυτό καθώς και ο ολικός χρόνος ταλάντωσης του σηµείου. Β)Ποια η αποµάκρυνση του σηµείου τις χρονικές στιγµές: α) t1=0,4 s β) t=0,8 s γ) t3=1, s ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α) Από την εξίσωση ταλάντωσης των πηγών έχουµε ότι ω=10π rad/s και f=5 Hz. Το µήκος κύµατος των κυµάτων που δηµιουργούν οι πηγές είναι: λ=υ/f=0,3 m. Επειδή: r r1 λ 1,35 0,9 0, 45 λ = = = 3 r r1 = 3, 3 περιττός ακέραιος 0,15 0,15 συµπεραίνουµε ότι το σηµείο µετά τη συµβολή παραµένει ακίνητο, δηλαδή στο πραγµατοποιείται ακυρωτική συµβολή. Ισοδύναµα: ' r r1 ' 0, 45 A = Aσυν ( π ) A = 0, συν ( π ) = 0, συν = 0 λ 0,3 Όµως το σηµείο δεν παραµένει συνεχώς ακίνητο από τη χρονική στιγµή t=0 (έναρξη ταλάντωσης των πηγών) και µετά. Συγκεκριµένα το κύµα από την πηγή Π1 φθάνει στο τη χρονική στιγµή t1=r1/υ=0,6 s. Τότε το αρχίζει να ταλαντώνεται σύµφωνα µε την εξίσωση: y=aηµ10π(t-0,6) (SI). To κύµα από την πηγή Π φθάνει στο τη χρονική στιγµή t=r/υ=0,9 s. Τότε αρχίζει η ακυρωτική συµβολή και το θα παραµείνει ακίνητο στη συνέχεια. Όµως για χρονικό διάστηµα Δt=0,9-0,6=0,3 s το εκτελούσε ΑΑΤ συχνότητας f=5 Hz.

2 Γενικότερα για όλα τα σηµεία που βρίσκονται σε υπερβολές ακυρωτικής συµβολής ο χρόνος ταλάντωσης είναι (θεωρώντας r>r1): λ (N+ 1) r r r r λ T = = = = ( + 1) = ( + 1), υ υ υ υ υ t t N t N N Z Δηλαδή όλα τα σηµεία που βρίσκονται πάνω στην 1η υπερβολή ακυρωτικής συµβολής µετά τη µεσοκάθετο του ευθύγραµµου τµήµατος Π1Π που ορίζουν οι πηγές, ταλαντώνονται για χρόνο: Δt=T/, ενώ τα σηµεία που βρίσκονται πάνω στην η υπερβολή ακυρωτικής συµβολής µετά τη µεσοκάθετο ταλαντώνονται για χρόνο: Δt=3T/ κ.λ.π Β) α) Τη χρονική στιγµή t1=0,4 s το είναι ακίνητο αφού δεν έχει φθάσει ακόµα σε αυτό το κύµα από την πλησιέστερη πηγή Π1. β) Τη χρονική στιγµή t=0,8 s ταλαντώνεται εξαιτίας του κύµατος από την πηγή Π1, αφού ακόµα δεν έχει φθάσει το κύµα από την πηγή Π. Οπότε: y = Aηµ 10 π (0,8 0, 6) = Aηµ π y = 0 δηλαδή έχει µηδενική αποµάκρυνση, αφού διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης που εκτελεί, κινούµενο κατά τη θετική φορά µε ταχύτητα: m m m υ = 10π 0,1συν 10 π (0,8 0, 6) = πσυν ( π ) υ = π s s s γ) Τη χρονική στιγµή t3=1, s το είναι ακίνητο αφού συµβάλλουν ακυρωτικά τα κύµατα από τις δύο πηγές. Συγκεκριµένα: y = Aηµ 10 π (1, 0, 6) = Aηµ 6π y = 0 1( ) 1( ) m υ = ω συν π υ = ω υ = π s µε 1( ) A 6 1( ) A 1( ) αλλά µε Άρα: y = Aηµ 10 π (1, 0, 9) = Aηµ y = 0 ( ) ( ) m υ( ) = ω Aσυν υ( ) = ω A υ( ) = π s

3 υ υ υ υ ω ω υ = 1( ) + ( ) = A A = 0. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΜΒΟΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΠΗΓΕΣ 1) Το αποτέλεσµα της συµβολής δύο κυµάτων που προέρχονται από σύγχρονες πηγές σ ένα ορισµένο σηµείο Η του µέσου, εξαρτάται από τη διαφορά φάσης των ταλαντώσεων που αναγκάζεται να εκτελέσει το σηµείο αυτό εξαιτίας των δύο κυµάτων. Η διαφορά φάσης οφείλεται στη χρονική διαφορά µε την οποία φθάνουν τα κύµατα στο συγκεκριµένο σηµείο, λόγω των διαφορετικών αποστάσεων r 1, r που διανύουν από την κάθε πηγή µέχρι το σηµείο. Συγκεκριµένα, έστω ότι το σηµείο Η εκτελεί εξαιτίας κάθε κύµατος τις ταλαντώσεις: t r1 t r y1 = Aηµ π ( ) και y = Aηµ π ( ). T λ T λ r Έστω ότι r 1 < r, οπότε η συµβολή ξεκινά τη χρονική στιγµή: t =. υ Η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων δίνεται από τη σχέση ( r1 < r ϕ1 > ϕ) : t r1 t r π π ϕ = ϕ1 ϕ = π ( ) π ( ) = ( r r1 ) ϕ = ( r r1 ) T λ T λ λ λ Αντικαθιστώντας στον τύπο που δίνει το πλάτος ταλάντωσης µετά τη συµβολή έχουµε: r r λ ϕ ϕ συν π συν π συν λ π λ 1 A' = A ( ) A' = A ( ) A' = A Αν τα κύµατα συµβάλλοντας στο σηµείο Η, βρίσκονται σε συµφωνία φάσης τότε:

4 κπ ϕ = κπ A' = Aσυν = Aσυν ( κπ ) = A, δηλαδή ενίσχυση. Αν τα κύµατα συµβάλλοντας στο σηµείο Η, βρίσκονται σε αντίθεση φάσης τότε: (κ + 1) π ϕ = (κ + 1) π A' = Aσυν = 0, δηλαδή απόσβεση. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση έχουµε ενδιάµεσο πλάτος ταλάντωσης. Εφαρµογή Σε δύο σηµεία της επιφάνειας ενός υγρού βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές κυµάτων, οι οποίες ταλαντώνονται κατακόρυφα µε εξίσωση ταλάντωσης: y= 0,1ηµ 10 πt( S. I ). Η ταχύτητα διάδοσης των εγκάρσιων κυµάτων στην επιφάνεια του υγρού είναι υ=1,5 m/s. A) Σ ένα σηµείο Η τα κύµατα συµβάλλουν µε διαφορά φάσης ϕ =,5π rad. Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης του σηµείου Η µετά τη συµβολή. B) Ένα σηµείο της επιφάνειας του υγρού απέχει από την πηγή Π1 απόσταση 0,9 m και από την πηγή Π απόσταση 1,35 m. Ποια η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων που εκτελεί το σηµείο αυτό εξαιτίας των κυµάτων που συµβάλλουν; Απάντηση Α),5 5 A' A π π = συν = Aσυν (1, 5 π ) = Aσυν = A = A A' = 0,1 m 4 Β) Από την εξίσωση ταλάντωσης των πηγών έχουµε ότι ω=10π rad/s και f=5 Hz. Το µήκος κύµατος των κυµάτων που δηµιουργούν οι πηγές είναι: λ=υ/f=0,3 m. Η διαφορά φάσης υπολογίζεται: π π ϕ = ( r r1 ) ϕ= 0,45 ϕ = rad λ 0,3

5 ) Όταν ζητάµε την εξίσωση της συνισταµένης ταλάντωσης ενός ορισµένου σηµείου Η του µέσου ή την αποµάκρυνση του σηµείου αυτού µια ορισµένη χρονική r r1 στιγµή, χρησιµοποιούµε τον όρο A' = Aσυν ( π ) χωρίς απόλυτη τιµή. λ Εφαρµογή Αν το σηµείο Η απέχει από τις δύο πηγές αποστάσεις r 1 = 1,8m και r =,175m αντίστοιχα, να γραφεί η εξίσωση ταλάντωσής του µετά τη συµβολή των δύο κυµάτων και να βρεθεί η αποµάκρυνσή του τη χρονική στιγµή t= s Απάντηση r r1 t r1 + r,175 1,8,175+ 1,8 y= Aσυν ( π ) ηµ π ( ) = 0, συν ( π ) ηµ π (5 t ) λ T λ 0,3 0,3 5π y= 0, συν ( ) ηµ π (5t 6, 65) y= 0, ( ) ηµ (10π t 13, 5 π ) 4 y= 0,1 ηµ (10π t 13,5 π )( S. I ) r,175 Η πιο πάνω σχέση ισχύει για t t = 1,45 s υ 1,5 Η αποµάκρυνση του σηµείου Η τη χρονική στιγµή t= s είναι ίση µε: y= 0,1 ηµ (10π 13, 5 π ) m= 0,1 ηµ (6, 75 π ) m y= 0,1 ηµ (6 π + ) m= 0,1 ( ηµ ) m= 0,1 m y= 0,1m 4 4 3) Αν τα κύµατα που συµβάλλουν σ ένα ορισµένο σηµείο Η δε βρίσκονται σε φάση, οπότε το αποτέλεσµα της συµβολής δεν είναι ενίσχυση, τότε για να βρούµε ποια χρονική στιγµή φθάνει σε ορισµένη θέση της συνισταµένης ταλάντωσης, π.χ: στη θετική ακρότατη, πρέπει αναγκαστικά να χρησιµοποιήσουµε τριγωνοµετρική εξίσωση. Δεν µπορούµε να προσθέσουµε στη χρονική στιγµή έναρξης της

6 συµβολής το χρόνο που χρειάζεται για να µεταβεί από τη θέση ισορροπίας στην ακρότατη, δηλαδή 4 T, αφού τη στιγµή που φθάνει και το δεύτερο κύµα, δηλαδή τη στιγµή έναρξης της συµβολής, το σηµείο δε βρίσκεται στη θέση ισορροπίας. Εφαρµογή Να βρεθεί ποια χρονική στιγµή το σηµείο Η φθάνει για 1 η φορά στη θέση µέγιστης θετικής αποµάκρυνσης y= 0,1 m Απάντηση y= 0,1 ηµ (10π t 13, 5 π ) = 0,1 ηµ (10π t 13, 5 π ) = 1= ηµ 10π t 13, 5π = kπ + 10π t= kπ + 14, 75π t= 0, k+ 1, 475, k Z Όµως: t> 1, 45s 0, k+ 1, 475> 1, 45 0, k > 0, 05 k > 0,15 k = 0,1,... Η 1 η φορά αντιστοιχεί σε: k = 0 t= 1, 475s Ισοδύναµα: y= 0,1 ηµ (10π t 13, 5 π ) = 0,1 ηµ (10π t 13, 5 π ) = 1= ηµ π 10π t 13, 5π = κπ + π = κπ 10π t= κπ + 1, 75π t= 0,κ + 1,75, κ Z Όµως: t> 1, 45s 0, k+ 1, 75> 1, 45 0, k > 0,175 k > 0,875 k = 1,, 3... Η 1 η φορά αντιστοιχεί σε: k = 1 t= 1, 475s Θοδωρής Παπασγουρίδης papasgou@gmail.com

7 y= 0,1 ηµ (10π t 13, 5 π ) = 0,1 ηµ (10π t 13, 5 π ) = 1= ηµ 3 π y= 0,1 ηµ (10π t 13, 5 π ) = 0,1 ηµ (10π t 13, 5 π ) = 1= ηµ 10π t 13, 5π = kπ + 10π t= kπ + 14, 75π t= 0, k+ 1, 475, k Z 10π t 13, 5π = kπ + 10π t= kπ + 14, 75π t= 0, k+ 1, 475, k Z