Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για σύστηµα µεταβλητής µάζας

Transcript

1 Ο δεύτερος νόος του Νεύτωνα για σύστηα εταβλητής άζας Όταν εξετάζουε ένα υλικό σύστηα εταβλητής άζας, δηλαδή ένα σύστη α που ανταλλάσσει άζα ε το περιβάλλον του, τότε πρέπει να είαστε πολύ προσεκτικοί όταν εφαρόζουε για το σύστηα αυτό τον δεύτερο νόο του Νεύτωνα, διότι η άζα που αποβάλλεται ή εισρέει στο σύστηα εξασκεί σ αυτό πρόσθετη δύναη που πρέπει να λαβάνεται υπ όψη στην διαόρφω ση της κινητικής του κατάστασης. Για να κατανοηθεί τι ακριβώς συβαίνει σε ια τέτοια περίπτωση, ας θεωρήσουε ένα σωά Σ που κάποια χρονική στιγή t έχει άζα Μ η δε ταχύτητά του ως προς ένα αδρανειακό σύστηα είναι v, στο οποίο ε κατάλληλο ηχανισό εισρέει εταξύ των χρονικών στιγών t και t+ ια άζα dm από το περιβάλλον του, ε αποτέλεσα η ταχύτητά του να εταβάλλεται κατά d v. Εάν F " είναι η ολική εξωτερική δύναη επί του σώατος τη χρονική στιγή t και f η δύναη που δέχεται κατά τον χρόνο από την εισρέουσα άζα dm, τότε συφωνα ε τον νόο εταβολής της ορής θα ισχύει η σχέση: ( F " + f ) =M( v + d v ) - M v =Md v (1) Εξάλλου εάν v ' είναι η ταχύτητα της άζας dm τη χρονική στιγή t, αυτή στο τέλος του χρόνου θα έχει ταχύτητα v + d v και η δύναη που κυριαρ χεί επί της άζας αυτής στην διάρκεια του χρόνου είναι η δύναη - f από το σώα, δηλαδή η αντίδραση της f, οπότε σύφωνα ε τον νόο εταβολής της ορής για την άζα αυτή θα ισχύει η σχέση: - f = dm( v + d v ) - dm v ' - f = dm v +dmd v - dm v '

2 Όως η διανυσατική ποσότητα dmd v πορεί να παραλειφθεί ως διαφορικό δεύτερης τάξεως, οπότε η προηγούενη σχέση γράφεται: - f = dm v - dm v ' f = - dm v +dm v ' (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουε: F " - dm( v - v ') =Md v F " =Md v + dm( v - v ') F " =M d v + ( v - v ') dm M d v = F " - ( v - v ') dm Επειδή η διανυσατική διαφορά v '- v αποτελεί την σχετική ταχύτητα v " της άζας dm ως πρός το σώα Σ και το διαφορικό πηλίκο dm/ είναι ίσο ε τον ρυθό εταβολής dm/ της άζας Μ του σώατος Σ, η σχέση (3) γράφεται: (3) M d v = F " + v dm #$ (4) H σχέση (4) είναι ια διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση του σώατος όταν σ αυτό εισρέει άζα, οπότε ο ρυθός εταβολής dμ/ της άζας του είναι θετικός. Η ίδια σχέση ισχύει και για σώα από το οποίο εκφεύγει άζα, αλλά τότε ο ρυθός εταβολής της άζας του θα είναι αρνητικός. Από την ορφή της σχέσεως (4) πορούε να ισχύριστούε ότι, όταν ένα σώα ανταλλάσσει άζα ε το περιβάλλον του εφανίζεται πάνω σ αυτό ια πρόσθετη δύναη v " (dm/) που οφείλεται στην εκβαλλόενη ή στην εισρέουσα άζα και η οποία είναι ανάλογη προς την σχετική ταχύτητα v " της άζας αυτής ως προς το σώα. Έτσι ο δεύτερος νόος του Νευτωνα ισχύει και για σώα εταβλητής άζας αρκεί να προστίθεται στις εξωτερικές δυνάεις του σώατος και η δύναη v " (dm/). Παρατήρηση: H σχέση (3) πορεί να πάρει ια πιο ενδιαφέρουσα ορφή. η οποία θα ας επιτρέψει να βγάλουε χρήσια συπεράσατα. Πράγατι η σχέση αυτή γρά φεται: M d v + v dm = F " + v ' dm d P = F " + v ' dm d(m v ) = F " + v ' dm όπου d P / ο ρυθός εταβολής της ορής του σώατος εταβλητής άζας κατά ια τυχαία χρονική στιγή, θεωρούενος στο σύστηα αναφοράς από το οποίο εξετάζεται το σώα. Εάν η ταχύτητα v ' της εκβαλλόενης ή εισρέ ουσας άζας ως προς το σύστηα αυτό είναι ηδενική ( v '= ), τότε για το συστηα αυτό ο δεύτερος νόος του Νεύτωνα παραένει αναλλοίωτος και για σώα που (5)

3 δέχεται ή αποβάλλει άζα, δηλαδή στην περίπτωση αυτή πο ρούε να γράφουε τη σχέση: d P = F " ή d(m v ) = F " ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Mικρό σώα άζας Μ κινείται εκτός πεδίου βαρύ τητας ε ταχύτητα v. Κάποια στιγή που θεωρείται ως αρχή έτρη σης του χρόνου εισέρχεται σε αστρικό νέφος ε αποτέλεσα να αποτίθεται επί του σώατος αστρική σκόνη ε σταθερό ρυθό =Μ/τ, όπου τ θετική και σταθερή ποσότητα. Να εκφράσετε σε συνάρτηση ε τον χρόνο την ετατόπιση του σώατος εντός του νέφους. Να θεωρή σετε ασήαντη την αντίστα ση που προβάλλει το νέφος στο σώα. ΛΥΣΗ: Aπό την στιγή που το σώα εισερχεται στο αστρικό νέφος εισρέει σ αυτό άζα, οπότε η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνησή του έχει την ορφή: m d v = F " + v dm #$ m d v = v dm " όπου m η άζα του την στιγή t που το εξετάζουε, v " η σχετική ταχύτητα της αστρικής σκόνης που αποτίθεται στο σώα ως προς αυτό και dm/ ο ρυθ ός ε τον οποίο αυξάνει η άζα του σώατος, ενώ η συνισταενη F " των εξω τερικών δύναεων που δέχεται το σώα είναι ηδενική. Η διανυσατική σχέση (1) ετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιών, η οποία ε θετική φορά την κατεύθυνση κίνησης του σώατος έχει την ορφή: (1) m = ( - v) m = -v (2) διότι η σκόνη αποτίθεται στο σώα εκ της ηρείας. Η σχέση (2) ετασχηατίζε ται ως εξής: ( m ) = -v v = - η οποία ε ολοκλήρωση δίνει: ( ) m = - d m m ln v = -ln( m ) + C (3) H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη v()=v, οπότε

4 από την (3) παίρνουε: ln v = -lnm + C ln( v m ) = C ε αποτέλεσα αυτή να γράφεται: ln v = -ln( m ) + ln( v m ) ln v( m ) [ ] = ln v m ( ) v( m ) = v m v = v m m (4) H σχέση (4) πορεί να γραφεί: = v m m = v m m = - v m d( m ) m όπου x η ετατόπιση του σώατος εντός του αστρικού νέφους την χρονική στιγή t. Oλοκληρώνοντας την παραπάνω σχέση παίρνουε: x = - v m ln m + C' (5) H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη x()=, οπότε από την (5) παίρνουε: = - v m ln m + C' C'= v m ln m ε αποτέλεσα η (5) να γράφεται: x = - v m ln( m ) + v m ln m x = v m m ln $ # & " m % " m x = v ln % " $ ' x = v # m - m t / ln % $ ' & # - t& Παρατήρηση: H σχέση (4) πορεί να προκύψει συντοότερα αν εφαρόσουε για το σώα την αρχή διατήρησης της ορής αφού αυτό αποτελεί ηχανικά ονωένο σύστηα. Έτσι η ορή m v του σώατος την στιγή της εισόδου του στο νέφος είναι ίση ε την ορή του (m -t)v την στιγή t, δηλαδή ισχύει: v m = v( m ) v = v m m P.M. fysikos

5 Ένας πύραυλος όταν πυροδοτηθεί κινείται κατα κόρυφα προς τα πάνω στο βαρυτικό πεδίο της Γης, που θεωρείται οογενές εντάσεως g. Την χρονική στιγή t= ο πύραυλος βρίσκεται πάνω στην βάση εκτόξευσής του και η συνολική του άζα είναι 2m, ενώ η άζα του καυσίου είναι m. Εάν τα καυσαέρια του πυραύλου εκτοξεύονται προς τα κάτω ε σταθερό ρυθό =2m /τ και ε σταθερή σχετική ταχύτητα v " ως προς τον πύραυλο, της οποίας το έτρο είναι 3gτ/4, όπου τ θετική και σταθερή ποσότητα, να εκφράσετε την ταχύ τητα του πυραύλου σε συνάρτηση ε τον χρόνο. ΛYΣH: O πύραυλος απογειώνεται την χρονική στιγή t 1 που το βάρος του m 1 g γίνεται αντίθετο της προωθητικής του δύναης - v ". Την στιγή αυτή θα ισχύει η σχέση: " ( 2m 1 )g = v " 2m - 2m t % 1 $ ' g = 2m # & 3g t 1 = 3 4 t 1 = 4 (1) Tα καύσια του πυραύλου εξαντλούνται την χρονική στιγή t 2 για την οποία ισχύει: m = t 2 = 2m t 2 t 2 = 2 (2) H κίνηση του πυραύλου από την στιγή t 1 έως την στιγή t 2 περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση: m d v = m g + dm v " d v = g - όπου m η άζα του πυραύλου και v η ταχύτητά του ως προς το ακίνητο έδαφος την χρονική στιγή t που τον εξετάζουε (t 1 t t 2 ). Η διανυσατική σχέση (3) ετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιών, η οποία ε θετική φορά την κατεθυνση κίνησης του πυραύλου έχει την ορφή: v " m (3) = -g - (-v " ) m = -g + v " m = -g + v " m = -g - v " d(2m ) 2m (4) Ολοκληρώνοντας την σχέση (2) παίρνουε: v = - gt - v " ln(2m ) + C (5)

6 Η σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη, ότι για t=t 1 είναι v=, οπότε η (5) δίνει: = -gt 1 - v " ln( 2m 1 ) + C C = gt 1 + v " ln( 2m 1 ) (6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουε: v = - g( t - t 1 ) + 3g 4 ln " 2m % 1 $ ' ε # 2m & 4 " t " 2 (6) Η έγιστη τιή της ταχύτητας του πυραύλου αντιστοιχεί την στιγή t=t 2 =τ/2 που εξαντλούνται τα καυσιά του σύφωνα ε την (6) είναι: " v max = - g 2 - % $ ' + 3g # 4& 4 ln " 2m - m / 2 % $ ' # 2m - m & v max = - g 4 + 3g 4 ln " 3 % $ ' = g ( # 2& 4 3ln " 3 % + * $ ' - 1- (7) ) # 2&, Από την στιγή t 2 =τ/2 η κινηση του πυραύλου γίνεται οαλά επιβραδυνόενη ε αρχική ταχύτητα v max και ρυθό επιβράδυνσης g εχρι την στιγή t α που η ταχύτητά του ηδενίζεται και στην συνέχεια η κίνησή του γίνεται οαλά επιταχυνόενη ε επιτάχυνση g. Αυτό σηαίνει ότι για t t2 η ταχύτητα του πυραύλου θα εταβάλλεται ε τον χρόνο ακολουθώντας την σχέση: " v = v max - g t - % $ ' (8) # 2& Mε βάση την όλη περιγραφή της κίνησης του πυραύλου προκύπτει ότι η συνάρτηση που περιγράφει την ταχύτητα του ε τον χρόνο t έχει την ορφή: *,, t ", 4, v = - g( t - t 1 ) + 3g" 4 ln # 2m & 1 + % (, ", $ 2m ' 4 t " 2 (9), # v max - g% t - " &, (, t ) " - $ 2' 2 H γραφική παράσταση της (9) αποδίδεται στο παρακάτω σχήα.

7 P.M. fysikos Το σύστηα προσγείωσης ενός αεροπλάνου άζας M, δεν ανταποκρίνεται σωστά και για τον λόγο αυτόν χρησιοποιεί ται ένα επίγειο σύστηα προσγείωσης, αποτελούενο από ια αλυσί δα ε δύο παράλληλα σκέλη, που το καθένα έχει ήκος και είναι ξαπλωένα κατά ήκος του διαδρόου προσγείωσης, όπως φαίνεται στο σχήα (2). Την στιγή που το αεροπλάνο γατζώνεται στην αλυσί δα έχει ταχύτητα v και οι ηχανές του είναι σβηστές. Εάν η τριβή εταξύ των ελαστικών του αεροπλάνου και του διαδρόου προσγείω σης καθώς και εταξύ διαδρόου και αλυσίδας είναι αελητέα να βρείτε: i) την ταχύτητα του αεροπλάνου σε συνάρτηση ε την απόσταση x που διάνυσε από την στιγή που γατζώθηκε και ii) την απόσταση x σε συνάρτηση ε το χρόνο. Δίνεται η άζα της αλυσίδας ανά ονάδα ήκους, οι δε άκρες της Α και Β είναι στερεω ένες επί του διαδρόου. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουε το σύστηα αεροπλάνο-κινούενη αλυσίδα κατά ια στιγή t που το αερoπλάνο έχει διανύσει στον διάδροο προσγείωσης απόστα ση x. Tην στιγή αυτή κάθε σκέλος της παρασυρόενης από το αεροπλάνο αλυσίδας έχει ήκος x/2 και εποένως η άζα της είναι x. Eπειδή στο σύστηα αυτό εισρέει άζα, της οποίας η ταχύτητα στο σύστηα αναφοράς του εδάφους είναι ηδενική, ενώ κάτα την διεύθυνση κίνησης του δεν δέχεται εξωτερικές δυνάεις, πορουε να γράψουε την σχέση: [ ] = (M + x)v = ct d (M + x)v (M + x)v = Mv v = Mv M + x = v 1 + x / M Από την (1) παρατηρούε ότι η ταχύτητα v του αερόπλάνου ειώνεται ε την απόσταση x. ii) Η σχέση (1) γράφεται: (1)

8 = Mv M + x (M + x) = Mv (2) Ολοκληρώνοντας την (2) παίρνουε τη σχέση: Mx + x 2 /2 = Mv t + C (3) Η σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη x()=, οπότε από την (3) προκύπτει C= ε αποτέλεσα αυτή τελικώς να πάρει την ορφή: Mx + x 2 /2 = Mv t x 2 + 2Mx - 2Mv t = (4) H (4) αποτελεί εξίσωση δεύτερου βαθού ως προς x και έχει δύο ετερόσηες ρίζες από τις οποίες δεκτή είναι η θετική ρίζα: x = - M m + M2 + 2Mv t m x = M ( m 1 + 2v t / M - 1 ) x = - M m + M m 1 + 2v t / M P.M. fysikos Το ένα άκρο οογενούς αλυσίδας ήκους και άζας m, στερεώνεται σε σταθερό σηείο Γ και η αλυσίδα κρατείται τεντωένη και κατακόρυφη πάνω από το σηείο Γ. Κάποια στιγή που λαβάνεται ως αρχή έτρησης του χρόνου η αλυσίδα αφήνεται ελεύθερη. i) Nα δείξετε ότι η επιτάχυνση του κινούενου τήατος της αλυσί δας είναι ίση ε την επιτάχυνση g της βαρύτητας, το δε έτρο της ταχύτητάς του v ικανοποιεί τη σχέση: v 2 = 2gx

9 όπου x η ετατόπιση του ελεύθερου άκρου της αλυσίδας. ii) Να βρείτε σε συνάρτηση ε το x την επιτάχυνση του κέντρου ά ζας της αλυσίδας και το έτρο της δύναης που δέχεται η αλυσίδα από το σηείο στηρίξεώς της Γ. iii) Να βρείτε την απώλεια ηχανικής ενέργειας της αλυσίδας από τη στιγή που αφήνεται ελεύθερη έχρις ότου ακινητοποιηθεί. ΛΥΣΗ: i) Eξετάζουε την αλυσίδα κατά ια τυχαία στιγή t που το ελεύθερο άκρο της Α έχει ετατοπιστεί κατακόρυφα κατά x, oπότε το ήκος του ακίνητου τήατός της ΓΒ θα είναι x/2. Eπειδή από το κινούενο τήα ΑΒ εκρέει άζα, θα ισχύει για το τήα αυτό η σχέση: [ ] = ( - x / 2)g - dm d ( - x / 2)v v - x 2 - v 2 = g - x $ # & - " 2% 2 v - x $ # & " 2% - v 2 = g # - x " 2 $ & - v % 2 = g (1) Η σχέση (1) δηλώνει ότι η επιτάχυνση του κινού ενου τήατος ΑΒ της αλυσίδας είναι ίση ε την επιτάχυνση g της βαρύτητας. Εξάλλου κάθε στιγή ισχύει η σχέση: = = (1) v g = v g = v (2) Ολοκληρώνοντας την (2) παίρνουε τη σχέση: gx = v 2 / 2 + C (3) Όως την χρονική στιγή t= είναι x= και v=, οπότε η σταθερά ολοκλή ρωσης C είναι ηδενική και η σχέση (3) γράφεται: v 2 = 2gx (4) ii) Εξάλλου στο ακίνητο τήα ΒΓ της αλυσίδας εισρέει άζα, οπότε για το τήα αυτό την χρο νική στιγή t πορούε να γράφουε την σχέση: = gx 2 - T(x) + dm v

10 = gx - T(x) v = gx v2 - T(x) (2) T(x) = gx 2 + gx = 3gx 2 (5) όπου Τ(x) το έτρο της ζητούενης δύναης που δέχεται η αλυσίδα από το σηείο στηρίξεώς της Γ. Εάν v C είναι η ταχύτητα του κέντρου άζας της αλυσίδας κατά την χρονική στιγή t, θα ισχύει η σχέση: v C = - x $ # & v + x " 2% 2 v = 1 - x $ C # & v " 2% C = d ' 1 - x $ * )# & v, C (" 2% + = - x 2 - v 2 C = 1 - x $ # & - v2 " 2% (1),(2) 2 C = g 1 - x $ # & - 2gx " 2% 2 = g 1-3x $ # & " 2% a C = g 1-3x $ # & " 2% όπου a C η ζητούενη επιτάχυνση του κέντρου άζας της αλυσίδας. iii) H αρχική ηχανική ενέργεια Ε αρχ της αλυσίδας είναι: E "# = g(/ 2) = g 2 / 2 H τελική ηχανική ενέργεια Ε τελ της αλυσίδας είναι: E "# = -g(/ 2) = -g 2 / 2 Η απώλεια ΔΕ ηχανικής ενέργειας της αλυσίδας οφείλεται στην πλαστική κρούση των κρίκων που εισρέουν από το κινούενο στο ακίνητο τήα της και είναι ίση ε την διαφορά Ε αρχ -Ε τελ, δηλαδή ισχύει: E = E "#$ - E %&' = g 2 = mg P.M. fysikos Σφαιρίδιο άζας 2m είναι στερεωένο στο ένα άκρο οογενούς αλυσίδας άζας m και ήκους. H αλυσίδα πορεί να γλυστράει χωρίς τριβή στον λαιό ιας ικρής ακίνητης τροχαλί ας, όπως φαίνεται στο σχήα και αρχικά κρατείται ακίνητη ε ολόκ ληρο το ήκος της στο αριστερό έρος της τροχαλίας, ενώ το σφαιρί διο βρίσκεται στο δεξί έρος της τροχαλίας και στο ύψος αυτής.

11 Κάποια στιγή που λαβάνεται ως αρχή έτρησης του χρόνου η αλυσίδα αφήνεται ελεύθερη. Nα βρεθούν: i) η ταχύτητα της αλυσίδας την στιγή που εγκαταλείπει την τροχα λία και ii) ο χρόνος κίνησης της αλυσίδας έχρις ότου εγκαταλείψει την τροχαλία. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Eξετάζουε το σύστηα αλύσίδα σφαιρίδιο κατά ια τυχαία χρονι κή στιγή t που το ήκος του δεξιά της τροχαλίας τήατος της αλύσιδας είναι x. Επειδή στο τήα αυτό εισρέει άζα εκ της ηρείας πορουε να γρά ψου ε την σχέση: [ ] = (2m + x)g d (2m + x)v 2m + x + v = (2m + x)g ( 2 + x) + v2 = (2 + x)g (1) όπου v η ταχύτητα του σφαιρίδιου την χρονική στιγή t, / o ρυθός εταβολής του έτρου της v και η γραική πυκνότητα της αλυσίδας ίση ε m/. Έξάλλου από το τήα της αλυσίδας που βρίσκεται αριστερά της τροχαλίας εκρέει άζα, οπότε την χρονική στιγή t για το τήα αυτό πο ρούε να γράψουε την σχέση: [ ] = - ( - x)g d ( - x)v - x - v = -( - x)g ( - x) - v2 = -( - x)g (2) Προσθέτοντας κατά έλη τις εξισώσεις (1) και (2) παιρνουε την σχέση:

12 3 Όως ισχύει: = ( + 2x)g (3) = = v οπότε η (3) γράφεται: 3 g( + 2x) v = ( + 2x)g v = 3 d(v 2 ) = 2g( + 2x) 3 (4) Ολοκληρώνοντας την (4) παίρνουε την σχέση: v 2 = 2g ( x + x2 ) + C (5) 3 Επειδή για t= είναι v=, η σταθερά ολοκλήρωσης C είναι ηδενική, οπότε η (5) παίρνει την ορφή: v 2 = 2g ( x + x2 ) (6) 3 Την στιγή που η αλυσίδα εγκαταλείπει την τροχαλία ισχύει x=, οπότε η αντίστοιχη ταχύτητα v * της αλυσίδας θα έχει έτρο: v * = 2g ( + 2 ) = 2 g 3 3 ii) H σχέση (6) γράφεται: = 2g x + x2 3( ) = 2g x + x 2 3 = x + x 2 2g 3 t * t * = 3 2g (7) x + x 2 όπου t * ο ζητούενος χρόνος εχρις ότου η αλυσίδα εγκαταλείψει την τρο χαλία. Για τον υπολογισό του ολοκληρώατος που εφανίζεται στο δεύτερο έλος της σχέσεως (7) παρατηρούε ότι: = x + x 2 (x + /2) 2 - (/2) = d(x + /2) 2 (x + /2) 2 - (/2) 2

13 = ln x + /2 + (x + /2) 2 - (/2) 2 x + x 2 ( ) = ln x + /2 + x 2 + x x + x 2 ( ) = ln( ) (8) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (7) και (8) παίρνουε: t * = 3 2g ln ( ) P.M. fysikos