m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1"

Transcript

1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους µεταφοράς συγκεκριµένων ποσοτήτων ενός προϊόντος από έναν αριθµό τόπων παραγωγής σε έναν αριθµό τόπων κατανάλωσης. Όπως θα καταστεί σαφές, τα Π.Μ. είναι δυνατόν να επιλυθούν εφαρµόζοντας τη µέθοδο Siplex που παρουσιάστηκε στο Κεφάλαιο 6 για την επίλυση επίλυση προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού. Όµως η ειδική δοµή των Π.Μ. διευκολύνει την εφαρµογή απλούστερων µεθόδων για την επίλυσή τους, χωρίς να αλλοιώνεται η βασική θεωρία της µεθόδου Siplex. Έστω ότι υπάρχουν κέντρα παραγωγής R, R 2,, R και κέντρα κατανάλωσης D, D 2,, D. Έστω a i οι διαθέσιµες ποσότητες σε κάθε κέντρο παραγωγής (i =, 2,, ) και b j οι απαιτούµενες ποσότητες σε κάθε κέντρο κατανάλωσης (j =, 2,, ). Έστω c ij το κόστος µεταφοράς µιας µονάδας του προϊόντος από το κέντρο i στο κέντρο j. Στόχος είναι να µεταφερθούν ποσότητες x ij από το κέντρο i στο κέντρο j ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος και ταυτοχρόνως να ικανοποιούνται οι περιορισµοί προσφοράς και ζήτησης. Η µαθηµατική διατύπωση του προβλήµατος έχει ως εξής: i f = j= i= i= j= c ij x ij (συνολικό κόστος) (8.) κάτω από x ij = a i για i =, 2,.., (περιορισµοί προσφοράς) (8.2) x ij = b j για j =, 2,.., (περιορισµοί ζήτησης) (8.3) x ij 0 (8.4) Είναι προφανές ότι το παραπάνω είναι ένα πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού µε µεταβλητές και + περιορισµούς µε τη µορφή ισοτήτων. Επιπλέον γίνεται η παραδοχή ισοζυγίου προσφοράς και ζήτησης i= a i = j= b j (8.5)

2 η οποία σε κάθε περίπτωση µπορεί να εξασφαλιστεί ότι ισχύει µε την προσθήκη εικονικού κέντρου παραγωγής ή εικονικού κέντρου κατανάλωσης µε µηδενικά µοναδιαία κόστη µεταφοράς. (ισχύει i= a i = i= ( j= x ij ) = j= ( i= x ij ) = Η πλήρης ανάπτυξη του γενικού Π.Μ. διατυπώνεται στην ακόλουθη µορφή: j= b j ) x + x x = a x 2 + x x 2 = a 2... x + x 2 + x = a x + x = b x 2 + x x 2 = b 2 x c x +c 2 x 2 x + x x = b.. +c +c 2 +c 2 + c + + c = f x x 2 x 2 x. x Παρατηρούνται τα εξής ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά: ) όλες οι µεταβλητές απόφασης x ij έχουν συντελεστή µονάδα στον πίνακα 2) οι συντελεστές των x ij στους περιορισµούς εµφανίζονται σε τριγωνική διάταξη 3) κάθε µεταβλητή x ij εµφανίζεται µόνο µια φορά στις πρώτες εξισώσεις και µόνο µια φορά στις επόµενες εξισώσεις Οι ιδιότητες αυτές επιτρέπουν την εφαρµογή πολλών ειδικών τεχνικών στα Π.Μ., όπως η αντιστοιχία µε τη θεωρία γραφηµάτων που θα συζητηθεί σε επόµενες ενότητες. Εναλλακτικά η διατύπωση του προβλήµατος µε µορφή πινάκων έχει ως εξής: T i f(x) = c x x I + (όπου Ι το σύνολο των ακεραίων) (8.6) x κάτω από Α x = b A(+, ) b I + (8.7) x 0 (8.8) Για κάθε Π.Μ. µπορεί να διαµορφωθεί ο πίνακας επίλυσης του προβλήµατος µε τις γραµµές να αντιστοιχούν στα κέντρα παραγωγής και τις στήλες στα κέντρα κατανάλωσης.

3 3 Παραγωγή Παραγωγή 2 Κατανάλωση Κατανάλωση 2 Κατανάλωση 3 Κατανάλωση c c 2 c 3 c x x 2 x 3 x c 2 c 22 c 23 c 2 x 2 x 22 x 23 x 2 a a 2 Παραγωγή 3. Παραγωγή c 3 c 32 c 33 c 3 x 3 x 32 x 33 x 3 c c 2 c 3 c x x 2 x 3 x a 3 a b b b 3 b 8.2 ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Η στρατηγική επίλυσης των Π.Μ. ακολουθεί τα εξής βήµατα (αντιστοιχα της µεθόδου Siplex): ) Προσδιορισµός µιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης. 2) Έλεγχος εάν η βασική εφικτή λύση είναι βέλτιστη. Εάν είναι, η επαναληπτική διαδικασία τερµατίζεται. Εάν όχι, ακολουθεί το επόµενο βήµα. 3) Επιλογή µιας από τις υπάρχουσες µη βασικές µεταβλητές για να εισέλθει στη βάση. 4) Επιλογή µιας από τις υπάρχουσες βασικές µεταβλητές για να εξέλθει από τη βάση. 5) Προσδιορισµός µιας νέας βασικής εφικτής λύσης και επιστροφή στο βήµα 2) Προσδιορισµός µιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης Το σύστηµα των περιορισµών του Π.Μ. (8.2) και (8.3) έχει + εξισώσεις. Όµως, επειδή ισχύει η (8.5) ο αριθµός των ανεξάρτητων εξισώσεων των περιορισµών (και άρα των βασικών µεταβλητών) είναι +-. Παρουσιάζονται τρεις από τις µεθόδους προσδιορισµού µιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης µε ακριβώς +- βασικές (µη µηδενικές) µεταβλητές. (i) Μέθοδος της βορειοδυτικής γωνίας Ο κανόνας αυτός συνίσταται στην τοποθέτηση της µέγιστης δυνατής ποσότητας στη µεταβλητή x χωρίς να παραβιάζεται ο περιορισµός παραγωγής (πρώτη γραµµή) ή ζήτησης (πρώτη στήλη). Η γραµµή (ή στήλη) που εξαντλήθηκε διαγράφεται, καθώς οι υπόλοιπες µεταβλητές σε αυτή θεωρούνται µη βασικές (µηδενικές). Εάν εξαντλείται ταυτόχρονα και η

4 γραµµή και η στήλη (a = b ), αυθαίρετα διαγράφεται µια από τις δύο. Η πάνω αριστερά µεταβλητή του νέου πίνακα εξετάζεται στη συνέχεια και τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα σε αυτή. Και πάλι η γραµµή (ή στήλη) που εξαντλήθηκε διαγράφεται. Η διαδικασία συνεχίζεται µέχρι να διαγραφούν όλες οι γραµµές και στήλες. Στο τελευταίο βήµα θα έχουν µείνει µόνο µια γραµµή και µια στήλη που θα διαγραφούν ταυτόχρονα. Παράδειγµα 8.α Ύδρευση νησιών Οι ανάγκες σε νερό των νησιών, 2 και 3 είναι 0, 50 και 65 µονάδες όγκου αντίστοιχα και µπορούν να ικανοποιηθούν από µε τρεις διαφορετικούς τρόπους (πηγές), 2, και 3 µε δυναµικότητα 25, 75 και 25 αντίστοιχα. Το κόστος µεταφοράς νερού από κάθε πηγή σε κάθε νησί φαίνονται στον πίνακα. Ζητείται να καθοριστεί η ποσότητα νερού που θα µεταφερθεί από κάθε πηγή σε κάθε νησί ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος. Ελέγχεται ότι υπάρχει ισοζύγιο = 225 = Η βασική λύση θα έχει +- = 3+3- = 5 µη µηδενικές µεταβλητές. ΑΠO Πηγή Πηγή 2 Πηγή 3 Ζήτησης ΠΡΟΣ Νησί Νησί 2 Νησί Εφαρµόζοντας τη µεθόδο της βορειοδυτικής γωνίας τοποθετούνται κατά σειρά οι εξής ποσότητες: x = 0, x 2 = 5, x 22 = 35, x 23 = 40, και x 33 = 25. Συνολικό κόστος µεταφοράς = 0 x x x x x 70 = 24,400

5 (ii) Μέθοδος του ελαχίστου µοναδιαίου κόστους Ο προηγούµενος κανόνας της Β γωνίας δε λαµβάνει καθόλου υπόψη τα µοναδιαία κόστη και για τον λόγο αυτόν η βασική εφικτή λύση που προκύπτει µπορεί να είναι πολύ διαφορετική από τη βέλτιστη µε αποτέλεσµα να απαιτούνται πολλές επαναλήψεις για τον υπολογισµό της βελτιστης λύσης. Ο κανόνας του ελαχίστου µοναδιαίου κόστους συνήθως υπολογίζει µια καλύτερη (µικρότερου κόστους) λύση από τον κανόνα της Β γωνίας. Εντοπίζεται το ελάχιστο από όλα τα µοναδιαία κόστη c pq = i c ij i, j και τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα στη µεταβλητή x pq, δηλαδή το µικρότερο από τον περιορισµό παραγωγής (p γραµµή) και ζήτησης (q στήλη). Η γραµµή (ή στήλη) που εξαντλήθηκε διαγράφεται, καθώς οι υπόλοιπες µεταβλητές σε αυτή θεωρούνται µη βασικές (µηδενικές). Εάν εξαντλείται ταυτόχρονα και η γραµµή και η στήλη (a p = b q ), αυθαίρετα διαγράφεται µια από τις δύο. Στη συνέχεια, εξετάζονται τα µοναδιαία κόστη που απέµειναν, εντοπίζεται το ελάχιστο και τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα στην αντίστοιχη µεταβλητή, χωρίς να παραβιάζεται ο περιορισµός παραγωγής ή ζήτησης. Η διαδικασία συνεχίζεται µέχρι να διαγραφούν όλες οι γραµµές και στήλες και να αποδοθούν τιµές σε +- βασικές µεταβλητές. Παράδειγµα 8.β Ύδρευση νησιών (συνέχεια) Το ελάχιστο από όλα τα µοναδιαία κόστη είναι το c 22 = 50 και τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα στη µεταβλητή x 22 = 50 λόγω του περιορισµού ζήτησης στη στήλη 2. ιαγράφεται η στήλη 2 και εξετάζονται τα µοναδιαία κόστη που απέµειναν. Το ελάχιστο είναι το c = 00 και τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα στην αντίστοιχη µεταβλητή x = 0 λόγω του περιορισµού ζήτησης στη στήλη. ιαγράφεται η στήλη και από τα µοναδιαία κόστη που απέµειναν c 23 = 40, οπότε τίθεται x 23 = 25 λόγω του περιορισµού προσφοράς στη γραµµή 2. ιαγράφεται η γραµµή 2, παρατηρείται c 3 = 50, οπότε τίθεται x 3 = 5 λόγω του περιορισµού προσφοράς στη γραµµή. Τέλος, τίθεται x 33 = 25. Εποµένως µε τη µεθόδο του ελαχίστου µοναδιαίου κόστους τοποθετούνται κατά σειρά οι εξής ποσότητες: x 22 = 50, x = 0, x 23 = 25, x 3 = 5, και x 33 = 25. Συνολικό κόστος µεταφοράς = 0 x x x x x 70 = 23,500 µικρότερο από το κόστος που υπολογίστηκε µε τη µέθοδο της Β γωνίας. 5

6 ΑΠO Πηγή Πηγή 2 Πηγή 3 Ζήτησης ΠΡΟΣ Νησί Νησί 2 Νησί (iii) Μέθοδος Vogel Ο κανόνας αυτός συνήθως αποφέρει µια αρχική βασική λύση που είναι πολύ κοντά, και σε πολλές περιπτώσεις ίση, µε τη βέλτιστη λύση. Εκτός από το ελάχιστο µοναδιαίο κόστος λαµβάνει υπόψη και τη µέγιστη οριακή βελτίωση που µπορεί να επιτευχθεί εάν τοποθετηθεί ποσότητα σε µια γραµµή ή στήλη έναντι κάποιας άλλης γραµµής ή στήλης. Τα βήµατα της µεθόδου είναι: (α) Υπολογίζεται η διαφορά µεταξύ των δύο µικρότερων τιµών κόστους σε κάθε γραµµή και στήλη και εντοπίζεται η µεγαλύτερη. Εάν δύο διαφορές είναι ίσες, επιλέγεται µία αυθαίρετα. (β) Σε αυτή τη γραµµή ή στήλη τοποθετείται στη θέση µε το µικρότερο κόστος η µέγιστη δυνατή ποσότητα µε βάση τον περιορισµό παραγωγής (γραµµή) και ζήτησης (στήλη). Η γραµµή (ή στήλη) που εξαντλήθηκε διαγράφεται, καθώς οι υπόλοιπες µεταβλητές σε αυτή θεωρούνται µη βασικές (µηδενικές). Εάν εξαντλείται ταυτόχρονα και η γραµµή και η στήλη, αυθαίρετα διαγράφεται µια από τις δύο. (γ) Ελέγχεται εάν έχουν διαγραφεί όλες οι γραµµές και οι στήλες. Εάν ναι, η διαδικασία τερµατίζεται. Εάν όχι, συνεχίζεται στο επόµενο βήµα (δ). (δ) Υπολογίζεται η διαφορά µεταξύ των δύο µικρότερων τιµών κόστους σε κάθε γραµµή και στήλη από αυτές που έχουν αποµείνει και εντοπίζεται η µεγαλύτερη. Εάν δύο διαφορές είναι ίσες, επιλέγεται µία αυθαίρετα. Επιστροφή στο βήµα (β).

7 7 Παράδειγµα 8.γ Ύδρευση νησιών (συνέχεια) (α) Οι διαφορές µεταξύ των δύο µικρότερων τιµών κόστους σε κάθε γραµµή είναι 20, 70, 20 και σε κάθε στήλη 20, 60, 0. Μεγαλύτερη είναι η 70 στη γραµµή 2. (β) Στη γραµµή 2 τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα στη µεταβλητή µε το µικρότερο κόστος x 22 = 50 λόγω του περιορισµού ζήτησης στη στήλη 2. ιαγράφεται η στήλη 2. (γ) εν έχουν διαγραφεί όλες οι γραµµές και οι στήλες και η διαδικασία συνεχίζεται. (δ) Οι διαφορές µεταξύ των δύο µικρότερων τιµών κόστους σε κάθε γραµµή από αυτές που έχουν αποµείνει είναι 50, 20, 40 και στήλη 20, 0. Η µεγαλύτερη είναι η 50 στη γραµµή. (β) Στη γραµµή τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα στη µεταβλητή µε το µικρότερο κόστος x = 0 λόγω του περιορισµού ζήτησης στη στήλη. ιαγράφεται η στήλη. (γ) εν έχουν διαγραφεί όλες οι γραµµές και οι στήλες και η διαδικασία συνεχίζεται. (δ) Για να συµπληρωθεί το ισοζύγιο στις γραµµές τοποθετούνται οι ποσότητες x 3 = 5, x 22 = 25 και x 33 = 25. ΑΠO Πηγή Πηγή 2 Πηγή 3 Ζήτησης ΠΡΟΣ Νησί Νησί 2 Νησί Εποµένως µε τη µεθόδο Vogel τοποθετούνται κατά σειρά οι εξής ποσότητες: x 22 = 50, x = 0, x 23 = 25, x 3 = 5, και x 33 = 25. Η λύση είναι ίδια µε τη µέθοδο ελαχίστου µοναδιαίου κόστους και το συνολικό κόστος µεταφοράς είναι 23,500.

8 Έλεγχος Βελτιστότητας (Μέθοδος MODI) Μετά τον εντοπισµό µιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης απαιτείται να ελεγχθεί εάν η λύση αυτή είναι βέλτιστη. Αυτό είναι δυνατόν χρησιµοποιώντας το ίδιο κριτήριο βελτιστότητας, όπως στη µέθοδο Siplex. ηλαδή, η λύση µπορεί να βελτιωθεί εάν κάποια µη βασική µεταβλητή έχει αρνητικό συντελεστή κόστους στην αντικειµενική συνάρτηση και, εποµένως, εάν εισέλθει στη βάση αντικαθιστώντας µια από τις βασικές µεταβλητές, θα προκύψει µια λύση µε µικρότερο κόστος. Κατ αναλογία της µεθόδου των πολλαπλασιαστών Lagrage, εισάγοντας πολλαπλασιαστές u i, i =, 2,, για κάθε έναν από τους περιορισµούς (8.2) και v j, j =, 2,, για κάθε έναν από τους περιορισµούς (8.3) και αφαιρώντας το άθροισµα κάθε οµάδας περιορισµών από την αντικειµενική συνάρτηση (8.) προκύπτει: f = f - i= j= i= c ij x ij u i a i - i= j= j= v j b j = c ij x ij - i= j= i= j= Η εξίσωση αυτή µπορεί να γραφεί i= j= i= j= (c ij - u i - v j ) x ij = f - i= c ij x ij - i= u i x ij - i= j= u i a i - j= u i j= x ij - v j x i = j= i= j= v j i= x ij (c ij - u i - v j ) x ij v j b j (8.9) c' ij x ij = f f 0 (8.0) όπου c' ij = c ij - u i - v j (8.) και f 0 = i= u i a i + j= v j b j (8.2) Αποδείχτηκε λοιπόν ότι εάν u i, i =, 2,, και v j, j =, 2,, πραγµατικοί αριθµοί, τότε κάθε βέλτιστη λύση του Π.Μ. µε πίνακα κόστους [c ij ] είναι βέλτιστη λύση του Π.Μ. µε πίνακα κόστους [c ij - u i - v j ] και αντίστροφα. Συνεπώς, η πρόσθεση ή αφαίρεση ενός αριθµού από κάθε στοιχείο µιας γραµµής ή µιας στήλης του πίνακα κόστους ενός Π.Μ. δε µεταβάλλει τις

9 βέλτιστες λύσεις του. Προφανώς η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης µεταβάλλεται. Επειδή οι νέοι συντελεστές κόστους c' ij που αντιστοιχούν στις βασικές µεταβλητές πρέπει να είναι ίσοι µε µηδέν, οι πολλαπλασιαστές u i και v j επιλέγονται ώστε: c' ij = c ij - u i - v j = 0 για κάθε βασική µεταβλητή x ij (8.3) Ο συνολικός αριθµός των πολλαπλασιαστών είναι +, ίσος µε τον αριθµό των περιορισµών. Όµως, όπως εξηγήθηκε προηγουµένως, οι ανεξάρτητοι περιορισµοί είναι +- και ο ένας που αποµένει µπορεί να θεωρηθεί ότι δε χρειάζεται. Ο επί πλέον περιορισµός πρακτικά δεν υφίσταται και συνεπώς ο πολλαπλασιαστής του είναι µηδέν. Η επιλογή του επί πλέον περιορισµού δεν επηρεάζει τη λύση και οποιοσδήποτε από τους πολλαπλασιαστές u i ή v j µπορεί να τεθεί ίσος µε µηδέν και οι υπόλοιποι +- να υπολογιστούν από το σύστηµα εξισώσεων (8.3). Ο αριθµός των εξισώσεων αυτών είναι +-, ίσος µε τον αριθµό των βασικών µεταβλητών. Αφού υπολογιστούν οι τιµές των πολλαπλασιαστών u i και v j από το σύστηµα εξισώσεων (8.3) στη συνέχεια υπολογίζονται από την εξίσωση (8.) οι νέοι συντελεστές κόστους c' ij που αντιστοιχούν στις µη βασικές µεταβλητές. Η διαθέσιµη βασική λύση είναι βέλτιστη εάν οι νέοι συντελεστές κόστους c' ij είναι µη αρνητικοί c' ij 0 για όλες τις µη βασικές µεταβλητές. Εάν ένας ή περισσότεροι συντελεστές είναι αρνητικοί η αντίστοιχη µεταβλητή µπορεί να εισέλθει στη βάση και να βελτιώσει την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης. Επιλέγεται να εισέλθει η µεταβλητή µε τον πλέον αρνητικό συντελεστή. Παράδειγµα 8.2 Ύδρευση νησιών Έλεγχος βελτιστότητας Εξετάζεται εάν η αρχική βασική λύση που προέκυψε µε τη µέθοδο της Β γωνίας είναι βέλτιστη. Οι βασικές µεταβλητές εµφανίζονται στα µη κενά κελιά του πίνακα. Για να αποτελούν βάση ο αριθµός τους πρέπει να είναι +-, εδώ 3+3- = 5 µη µηδενικές µεταβλητές, δηλαδή πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη: # µη κενών = # γραµµών + # στηλών. Γράφονται οι εξισώσεις (8.3) και θέτοντας u = 0, υπολογίζονται οι πολλαπλασιαστές: u + v = 00 v = 00 u + v 2 = 20 v 2 = 20 u 2 + v 2 = 50 u 2 = = -70 u 2 + v 3 = 40 v 3 = 40 (-70) = 20 u 3 + v 3 = 70 u 3 = = -40 9

10 Για τις µη βασικές µεταβλητές, που αντιστοιχούν στα κενά κελιά του πίνακα, υπολογίζονται οι νέοι συντελεστές κόστους (ή δείκτες βελτίωσης) από την εξίσωση (8.): c' 2 = c 2 - u 2 - v = 20 (-70) - 00 = 90 c' 3 = c 3 - u 3 - v =30 (-40) - 00 = 70 c' 32 = c 32 - u 3 - v 2 = 0 (-40) - 20 = 30 c' 3 = c 3 - u - v 3 = = -60 < 0 Ο δείκτης βελτίωσης c' 3 είναι αρνητικός, άρα η λύση δεν είναι βέλτιστη. Μπορεί να βελτιωθεί εάν η µη βασική µεταβλητή x 3 εισέλθει στη βάση, αντικαθιστώντας µια από τις υπάρχουσες βασικές µεταβλητές. Για κάθε µονάδα ποσότητας που θα τοποθετείται στη x 3 η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης µειώνεται κατά 60 µονάδες κόστους. Όµως, η ποσότητα της x 3 δεν µπορεί να είναι αυθαίρετα µεγάλη, διότι πρέπει να ικανοποιείται ο περιορισµός παραγωγής ( η γραµµή) και ζήτησης (3 η στήλη) Επιλογή της Μεταβλητής που θα Εξέλθει από τη Βάση Όπως και στη µέθοδο Siplex, η τιµή της µη βασικής µεταβλητής x pq που εισέρχεται στη βάση δεν µπορεί να είναι αυθαίρετα µεγάλη, διότι πρέπει να ικανοποιείται ο περιορισµός παραγωγής (p γραµµή) και ζήτησης (q στήλη). Η συνθήκη αυτή επιτρέπει να επιλεγεί η βασική µεταβλητή που θα εξέλθει από τη βάση, αλλά και η τιµή που θα έχει η νέα βασική µεταβλητή x pq. Τα ειδικά χαρακτηριστικά του Π.Μ. επιτρέπουν το ζήτηµα αυτό να αντιµετωπιστεί µε γεωµετρικό τρόπο, όπως εξηγείται στο Παράδειγµα 8.3. Παράδειγµα 8.3 Ύδρευση νησιών Βελτίωση βασικής λύσης Αποδείχτηκε στο Παράδειγµα 8.2 ότι εάν η µη βασική µεταβλητή x 3, η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης θα µειωθεί. Εάν όµως εισαχθεί ποσότητα θ > 0 στο κενό κελί (,3), πρέπει να µειωθεί κατά θ η τιµή σε κάποιο από τα µη κενά κελιά (,) ή (,2) ώστε να µη παραβιάζεται ο περιορισµός παραγωγής 25 µονάδων στην η γραµµή. Παρόµοια, πρέπει να µειωθεί κατά θ η τιµή σε κάποιο από τα µη κενά κελιά (2,3) ή (3,3) ώστε να µη παραβιάζεται ο περιορισµός ζήτησης 65 µονάδων στην 3 η στήλη. Αποδεικνύεται ότι εάν η παρούσα βασική λύση δεν είναι εκφυλισµένη (δηλαδή εάν έχει ακριβώς +- βασικές µεταβλητές) µπορεί να οριστεί µε µοναδικό τρόπο ένας κλειστός βρόγχος µε αρχή και τέλος την υπό εξέταση µη βασική µεταβλητή που εισέρχεται στη βάση. Ο βρόγχος ορίζεται µε οριζόντια ή κατακόρυφα ευθύγραµµα τµήµατα τα οποία συνδέουν κελιά µε βασικές µεταβλητές (κορυφές του βρόγχου). Ο αριθµός των κορυφών του βρόγχου είναι άρτιος και εναλλάξ αντιστοιχούν σε πρόσθεση ή αφαίρεση ποσότητας θ > 0, ώστε να ικανοποιούνται οι περιορισµοί. Η βασική µεταβλητή που εξέρχεται

11 από τη βάση (και γίνεται µη βασική, δηλαδή ίση µε µηδέν) αντιστοιχεί στην κορυφή που έχει τη µικρότερη τιµή από όλες τις κορυφές που αντιστοιχούν σε αφαίρεση ποσότητας (αλλοιώς, η κορυφή αυτή θα καταστεί αρνητική). Στο παράδειγµα, για την υπό εξέταση µη βασική µεταβλητή x 3, που εισέρχεται στη βάση, ο βρόγχος ορίζεται από τα κελιά (,2), (2,2), (2,3) και (,3). Στα (,3) και (2,2) προστίθεται ποσότητα, ενώ από τα (,2) και (2,3) αφαιρείται ποσότητα θ > 0. Από τις κορυφές που αντιστοιχούν σε αφαίρεση ποσότητας µικρότερη τιµή έχει η (,2) (i {5, 40}). Εποµένως, η x 2 εξέρχεται από τη βάση (µηδενίζεται), θ = 5, και διαµορφώνεται ο νέος πίνακας µε νέες τιµές στις κορυφές του βρόγχου. ΠΡΟΣ Νησί Νησί 2 Νησί 3 ΑΠO Πηγή 0 5-θ θ 25 Πηγή θ 40-θ 75 Πηγή Ζήτησης ΠΡΟΣ Νησί Νησί 2 Νησί 3 ΑΠO Πηγή Πηγή Πηγή Ζήτησης

12 Έλεγχος βελτιστότητας Για τα µη κενά κελιά του πίνακα γράφονται οι εξισώσεις (8.3) και θέτοντας u = 0, υπολογίζονται οι πολλαπλασιαστές: u + v = 00 v = 00 u + v 3 = 50 v 3 = 50 u 2 + v 2 = 50 v 2 = 50 (-0) = 60 u 2 + v 3 = 40 u 2 = = -0 u 3 + v 3 = 70 u 3 = = 20 Για τις µη βασικές µεταβλητές, που αντιστοιχούν στα κενά κελιά του πίνακα, υπολογίζονται οι νέοι συντελεστές κόστους (ή δείκτες βελτίωσης) από την εξίσωση (8.): c' 2 = c 2 - u 2 - v = 20 (-0) - 00 = 30 c' 3 = c 3 - u 3 - v = = 0 c' 2 = c 2 - u - v 2 = = 60 c' 32 = c 32 - u 3 - v 2 = = 30 Όλοι οι δείκτες βελτίωσης είναι µη αρνητικοί, άρα η λύση είναι βέλτιστη. Παρατηρείται ότι η µέθοδοι ελάχιστου µοναδιαίου κόστους και Vogel προσδιόρισαν τη βέλτιστη λύση σαν αρχική βασική εφικτή λύση. Παράδειγµα 8.4 Ύδρευση νησιών - Πολλαπλές λύσεις Οι ανάγκες σε νερό των νησιών, 2, 3 και 4 είναι 000, 200, 3000 και 700 µονάδες όγκου αντίστοιχα και µπορούν να ικανοποιηθούν από µε τρεις διαφορετικούς τρόπους (πηγές), 2, και 3 µε δυναµικότητα 200, 2300 και 2500 αντίστοιχα. Το κόστος µεταφοράς νερού από κάθε πηγή σε κάθε νησί φαίνονται στον πίνακα. Ζητείται να καθοριστεί η ποσότητα νερού που θα µεταφερθεί από κάθε πηγή σε κάθε νησί ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος. Ελέγχεται ότι υπάρχει ισοζύγιο = 6900 = Η βασική λύση θα έχει +- = 3+4- = 6 µη µηδενικές µεταβλητές. (α) Προσδιορισµός µιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης µε τη µέθοδο της Β γωνίας

13 ΠΡΟΣ Νησί Νησί 2 Νησί 3 Νησί 4 ΑΠO Πηγή Πηγή Πηγή Ζήτησης Εφαρµόζοντας τη µεθόδο της βορειοδυτικής γωνίας τοποθετούνται κατά σειρά οι εξής ποσότητες: x = 000, x 2 = 00, x 22 = 00, x 23 = 2200, x 33 = 800 και x 33 = 700. Συνολικό κόστος = 000 x x x x x x 8 = 45,000 (β) Έλεγχος βελτιστότητας µε τη µέθοδο MODI Οι βασικές µεταβλητές εµφανίζονται στα µη κενά κελιά του πίνακα και αποτελούν βάση γιατί ο αριθµός τους είναι 3+4- = 6. Γράφονται οι εξισώσεις (8.3) και θέτοντας u = 0, υπολογίζονται οι πολλαπλασιαστές: u + v = 5 v = 5 u + v 2 = 3 v 2 = 3 u 2 + v 2 = 5 u 2 = 5-3 = 2 u 2 + v 3 = 7 v 3 = 7-2 = 5 u 3 + v 3 = 9 u 3 = 9 5 = 4 u 3 + v 4 = 8 v 4 = 8-4 = 4 Για τις µη βασικές µεταβλητές, που αντιστοιχούν στα κενά κελιά του πίνακα, υπολογίζονται οι νέοι συντελεστές κόστους (ή δείκτες βελτίωσης) από την εξίσωση (8.): c' 3 = c 3 u v 3 = = 3 c' 4 = c 4 u v 4 = = 2 c' 2 = c 2 u 2 v = = -3 < 0 c' 24 = c 24 u 2 v 4 = = 0 c' 3 = c 3 - u 3 - v = = -3 < 0 c' 32 = c 32 - u 3 - v 2 = = 0 3

14 Οι δείκτες βελτίωσης c' 2 και c' 3 είναι αρνητικοί, άρα η λύση δεν είναι βέλτιστη. Μπορεί να βελτιωθεί εάν µια εκ των µη βασικών µεταβλητών x 2 ή x 3 εισέλθει στη βάση, αντικαθιστώντας µια από τις υπάρχουσες βασικές µεταβλητές. Για κάθε µονάδα ποσότητας που θα τοποθετείται στη νέα βασική µεταβλητή (x 2 ή x 3 ) η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης µειώνεται κατά 3 µονάδες κόστους. Η επιλογή µεταξύ δύο ή περισσοτέρων µη βασικών µεταβλητών µε τον ίδιο δείκτη βελτίωσης απαιτεί τον προσδιορισµό και των τιµών που θα έχει κάθε µεταβλητή όταν εισαχθεί στη βάση. Θα επιλεγεί εκείνη µε τη µεγαλύτερη τιµή προκειµένου να επιτευχθεί η µεγαλύτερη δυνατή µείωση της τιµής της αντικειµενικής συνάρτησης που ισούται µε το γινόµενο του δείκτη βελτίωσης επί την τιµή της µεταβλητής που εισέρχεται στη βάση. Η διαδικασία αυτή απαιτεί πολλούς υπολογισµούς και στην πράξη επιλέγεται αυθαίρετα µια από τις µη βασικές µεταβλητές µε τον ίδιο δείκτη βελτίωσης για να εισαχθεί στη βάση, έστω η x 2. (γ) Επιλογή της µεταβλητής που θα εξέλθει από τη βάση Για τη µη βασική µεταβλητή x 2, που εισέρχεται στη βάση, ο βρόγχος ορίζεται από τα κελιά (2,), (2,2), (,2) και (,). Στα (2,) και (,2) προστίθεται ποσότητα, ενώ από τα (2,2) και (,) αφαιρείται ποσότητα θ > 0. Από τις κορυφές που αντιστοιχούν σε αφαίρεση ποσότητας µικρότερη τιµή έχει η (2,2) (i {000, 00}). Εποµένως, η x 22 εξέρχεται από τη βάση (µηδενίζεται), θ = 00, και διαµορφώνεται ο νέος πίνακας µε νέες τιµές στις κορυφές του βρόγχου. Συνολικό κόστος = 900 x x x x x x 8 = 44,700 ΠΡΟΣ Νησί Νησί 2 Νησί 3 Νησί 4 ΑΠO Πηγή Πηγή Πηγή Ζήτησης

15 (δ) Έλεγχος βελτιστότητας µε τη µέθοδο MODI Οι βασικές µεταβλητές εµφανίζονται στα µη κενά κελιά του πίνακα και αποτελούν βάση γιατί ο αριθµός τους είναι 3+4- = 6. Γράφονται οι εξισώσεις (8.3) και θέτοντας u = 0, υπολογίζονται οι πολλαπλασιαστές: u + v = 5 v = 5 u + v 2 = 3 v 2 = 3 u 2 + v = 4 u 2 = 4-5 = - u 2 + v 3 = 7 v 3 = 7 (-) = 8 u 3 + v 3 = 9 u 3 = 9 8 = u 3 + v 4 = 8 v 4 = 8 - = 7 Για τις µη βασικές µεταβλητές, που αντιστοιχούν στα κενά κελιά του πίνακα, υπολογίζονται οι νέοι συντελεστές κόστους (ή δείκτες βελτίωσης) από την εξίσωση (8.): c' 3 = c 3 u v 3 = = 0 c' 4 = c 4 u v 4 = = - < 0 c' 22 = c 22 u 2 v 2 = 5 - (-) - 3 = 3 c' 24 = c 24 u 2 v 4 = 6 - (-) - 7 = 0 c' 3 = c 3 - u 3 - v = = 0 c' 32 = c 32 - u 3 - v 2 = = 3 Ο δείκτης βελτίωσης c' 4 είναι αρνητικός, άρα η λύση δεν είναι βέλτιστη. Μπορεί να βελτιωθεί εάν η µη βασική µεταβλητή x 4 εισέλθει στη βάση, αντικαθιστώντας µια από τις υπάρχουσες βασικές µεταβλητές. (ε) Επιλογή της µεταβλητής που θα εξέλθει από τη βάση Για τη µη βασική µεταβλητή x 4, που εισέρχεται στη βάση, ο βρόγχος ορίζεται από τα κελιά (,4), (,), (2,), (2,3), (3,3) και (3,4). Στα (,4), (2,) και (3,3) προστίθεται ποσότητα, ενώ από τα (,), (2,3) και (3,4) αφαιρείται ποσότητα θ > 0. Από τις κορυφές που αντιστοιχούν σε αφαίρεση ποσότητας µικρότερη τιµή έχει η (,) (i {900, 2200, 700}). Εποµένως, η x εξέρχεται από τη βάση (µηδενίζεται), θ = 900, και διαµορφώνεται ο νέος πίνακας µε νέες τιµές στις κορυφές του βρόγχου. Συνολικό κόστος = 000 x x x x x x 8 = 43,800 5

16 ΠΡΟΣ Νησί Νησί 2 Νησί 3 Νησί 4 ΑΠO Πηγή Πηγή Πηγή Ζήτησης (στ) Έλεγχος βελτιστότητας µε τη µέθοδο MODI Οι βασικές µεταβλητές εµφανίζονται στα µη κενά κελιά του πίνακα και αποτελούν βάση γιατί ο αριθµός τους είναι 3+4- = 6. Γράφονται οι εξισώσεις (8.3) και θέτοντας u = 0, υπολογίζονται οι πολλαπλασιαστές: u + v 2 = 3 v 2 = 3 u + v 4 = 6 v 4 = 6 u 2 + v = 4 v = 4-0 = 4 u 2 + v 3 = 7 u 2 = 7 7 = 0 u 3 + v 3 = 9 v 3 = 9 2 = 7 u 3 + v 4 = 8 u 3 = 8-6 = 2 Για τις µη βασικές µεταβλητές, που αντιστοιχούν στα κενά κελιά του πίνακα, υπολογίζονται οι νέοι συντελεστές κόστους (ή δείκτες βελτίωσης) από την εξίσωση (8.): c' = c u v = = c' 3 = c 3 u v 3 = = c' 22 = c 22 u 2 v 2 = = 2 c' 24 = c 24 u 2 v 4 = = 0 c' 3 = c 3 - u 3 - v = = 0 c' 32 = c 32 - u 3 - v 2 = = 2 εν υπάρχει αρνητικός δείκτης βελτίωσης, άρα η λύση είναι βέλτιστη. Επειδή οι δείκτες βελτίωσης των µεταβλητών x 24 και x 3 είναι µηδέν, εάν οποιαδήποτε από τις µεταβλητές αυτές εισέλθει στη βάση, αντικαθιστώντας µια από τις υπάρχουσες βασικές µεταβλητές, η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης δε θα αλλάξει. Το πρόβληµα έχει πολλαπλές λύσεις µε το ίδιο βέλτιστο κόστος 43,800. Π.χ. εάν η x 24 εισέλθει στη βάση, ο βρόγχος ορίζεται από τα κελιά

17 (2,4), (2,3), (3,3), και (3,4). Στα (2,4) και (3,3) προστίθεται ποσότητα, ενώ από τα (2,3) και (3,4) αφαιρείται ποσότητα θ > 0. Από τις κορυφές που αντιστοιχούν σε αφαίρεση ποσότητας µικρότερη τιµή έχει η (3,4) (i {800, 300}). Εποµένως, η x 34 εξέρχεται από τη βάση (µηδενίζεται), θ = 800, και διαµορφώνεται ο νέος πίνακας µε νέες τιµές στις κορυφές του βρόγχου. Συνολικό κόστος = 000 x x x x x x 6 = 43,800 7 ΠΡΟΣ Νησί Νησί 2 Νησί 3 Νησί 4 ΑΠO Πηγή Πηγή Πηγή Ζήτησης ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΩΡΙΣ ΙΣΟΖΥΓΙΟ Σε προβλήµατα που δεν υπάρχει ισοζύγιο προσφοράς και ζήτησης εισάγεται εικονικό κέντρο παραγωγής ή κατανάλωσης ανάλογα εάν είναι µεγαλύτερη η ζήτηση ή η προσφορά αντίστοιχα. Τα µοναδιαία κόστη µεταφοράς για το εικονικό κέντρο θεωρούνται µηδενικά. Η τεχνική αυτή παρουσιάζεται στα Παραδείγµατα 8.5 και 8.6. Παράδειγµα 8.4 Ύδρευση νησιών Πλεόνασµα προσφοράς Οι ανάγκες σε νερό των νησιών, 2, 3 και 4 είναι 000, 200, 3000 και 700 µονάδες όγκου αντίστοιχα και µπορούν να ικανοποιηθούν από µε τρεις διαφορετικούς τρόπους (πηγές), 2, και 3 µε δυναµικότητα 3000, 2300 και 2500 αντίστοιχα. Το κόστος µεταφοράς νερού από κάθε πηγή σε κάθε νησί φαίνονται στον πίνακα. Ζητείται να καθοριστεί η ποσότητα νερού που θα µεταφερθεί από κάθε πηγή σε κάθε νησί ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος. Το Παράδειγµα 8.4 είναι ίδιο µε το Παράδειγµα 8.3, εκτός από τη δυναµικότητα της πηγής που αντί για 200 είναι ίση µε ηλαδή η συνολική παραγωγή είναι ίση µε 7800, ενώ η συνολική κατανάλωση παραµένει ίση µε Για την επίλυση του προβλήµατος εισάγεται εικονικό κέντρο κατανάλωσης (Νησί 5) µε ανάγκη σε νερό = 900 µονάδες,

18 ώστε να υπάρχει ισοζύγιο προσφοράς και ζήτησης. Ο πίνακας επίλυσης µε τη βασική εφικτή λύση που βρίσκεται µε τη µέθοδο της Β γωνίας φαίνεται παρακάτω. ΑΠO Πηγή Πηγή 2 Πηγή 3 ΠΡΟΣ Νησί Νησί 2 Νησί 3 Νησί 4 Εικονικό Νησί Ζήτησης Με εφαρµογή της διαδικασίας επίλυσης προκύπτει η βέλτιστη λύση που φαίνεται στον παρακάτω πίνακα µε συνολικό κόστος µεταφοράς Η λύση αυτή δεν είναι µοναδική, υπάρχουν πολλαπλές βέλτιστες λύσεις µε το ίδιο κόστος. ΑΠO Πηγή Πηγή 2 Πηγή 3 ΠΡΟΣ Νησί Νησί 2 Νησί 3 Νησί 4 Εικονικό Νησί Ζήτησης

19 Παράδειγµα 8.5 Ύδρευση νησιών Πλεόνασµα ζήτησης Οι ανάγκες σε νερό των νησιών, 2, 3 και 4 είναι 200, 400, 3200 και 900 µονάδες όγκου αντίστοιχα και µπορούν να ικανοποιηθούν από µε τρεις διαφορετικούς τρόπους (πηγές), 2, και 3 µε δυναµικότητα 200, 2300 και 2500 αντίστοιχα. Το κόστος µεταφοράς νερού από κάθε πηγή σε κάθε νησί φαίνονται στον πίνακα. Ζητείται να καθοριστεί η ποσότητα νερού που θα µεταφερθεί από κάθε πηγή σε κάθε νησί ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος. Το Παράδειγµα 8.5 είναι ίδιο µε το Παράδειγµα 8.3, εκτός από το γεγονός ότι οι ανάγκες σε νερό των νησιών είναι αυξηµένες κατά 200 µονάδες για κάθε νησί. ηλαδή η συνολική παραγωγή παραµένει ίση µε 6900, ενώ η συνολική κατανάλωση έχει αυξηθεί σε Για την επίλυση του προβλήµατος εισάγεται εικονικό κέντρο παραγωγής (Πηγή 4) µε δυναµικότητα = 800 µονάδες, ώστε να υπάρχει ισοζύγιο προσφοράς και ζήτησης. Ο πίνακας επίλυσης µε τη βασική εφικτή λύση που βρίσκεται µε τη µέθοδο της Β γωνίας φαίνεται παρακάτω. 9 ΠΡΟΣ Νησί Νησί 2 Νησί 3 Νησί 4 ΑΠO Πηγή Πηγή Πηγή Εικονική Πηγή Ζήτησης Με εφαρµογή της διαδικασίας επίλυσης προκύπτει η βέλτιστη λύση που φαίνεται στον παρακάτω πίνακα µε συνολικό κόστος µεταφοράς Η λύση αυτή δεν είναι µοναδική, υπάρχουν πολλαπλές βέλτιστες λύσεις µε το ίδιο κόστος.

20 ΠΡΟΣ Νησί Νησί 2 Νησί 3 Νησί 4 ΑΠO Πηγή Πηγή Πηγή Εικονική Πηγή Ζήτησης ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΒΡΟΓΧΟΥ Όπως αναλύεται στην Ενότητα 8.5 οι θέσεις των βασικών µεταβλητών στον πίνακα του Π.Μ. δε δηµιουργούν κανένα βρόγχο. Αν προστεθεί µια νέα θέση, που αντιστοιχεί σε µια µη βασική µεταβλητή, δηµιουργείται ένας µοναδικός βρόγχος. Σε µια από τις κορυφές του βρόγχου αυτού είναι η βασική µεταβλητή που θα εξέλθει από τη βάση. Για Π.Μ. µικρού µεγέθους, όπως αυτά που επιλύθηκαν στις προηγούµενες ενότητες, ο προσδιορισµός του µοναδικού βρόγχου για τη µη βασική µεταβλητή x pq είναι εύκολος και γίνεται µε απλή εξέταση των θέσεων των βασικών µεταβλητών ώστε να αποτελούν κορυφές του βρόγχου. Όµως, για έναν πίνακα µεταφοράς µεγάλων διαστάσεων απαιτείται αλγόριθµος για τον προσδιορισµό του µοναδικού βρόγχου. Ένας από τους διαθέσιµους αλγόριθµους είναι ο παρακάτω: Βήµα : Εντοπίζονται οι γραµµές που έχουν µια µόνο θέση που δεν έχει διαγραφεί και διαγράφεται η θέση αυτή. Βήµα 2: Επαναλαµβάνεται η ίδια διαδικασία για τις στήλες Βήµα 3: Εάν κάθε γραµµή και κάθε στήλη περιέχει δύο ή καµµιά θέσεις που δεν έχουν διαγραφεί, η διαδικασία τερµατίζεται και οι αποµένουσες θέσεις σχηµατίζουν τον µοναδικό βρόγχο. ιαφορετικά επαναλαµβάνεται το Βήµα κ.λπ. Παράδειγµα Αλγόριθµος προδιορισµού του βρόγχου Στον ο πίνακα του Παραδείγµατος 8.4 οι θέσεις των βασικών µεταβλητών φαίνονται µε γεµάτα κυκλάκια και η θέση της µη βασικής µεταβλήτης που θα εισέλθει στη βάση µε άδειο κυκλάκι.

21 2 Ο Βήµα : εν υπάρχει γραµµή που να έχει µια µόνο θέση που δεν έχει διαγραφεί. Βήµα 2: Η στήλη 2 έχει µια µόνο θέση την (,2) που διαγράφεται. Χ Ο Βήµα 3: Κάθε γραµµή και κάθε στήλη περιέχει δύο ή καµµιά θέσεις που δεν έχουν διαγραφεί, η διαδικασία τερµατίζεται και οι αποµένουσες θέσεις σχηµατίζουν τον µοναδικό βρόγχο. Παράδειγµα Αλγόριθµος προδιορισµού του βρόγχου (συνέχεια) Στον πίνακα Π.Μ. µε = 4 και =5 οι θέσεις των +- = 8 βασικών µεταβλητών φαίνονται µε γεµάτα κυκλάκια και η θέση της µη βασικής µεταβλήτης που θα εισέλθει στη βάση µε άδειο κυκλάκι. Ο Βήµα : Η γραµµή 4 έχει µια µόνο θέση τη (4,5) που διαγράφεται. Ο Χ

22 Βήµα 2: Η στήλη 3 έχει µια µόνο θέση τη (2,3) που διαγράφεται. Η στήλη 4 έχει µια µόνο θέση τη (3,4) που διαγράφεται. Ο Χ Χ Χ Βήµα 3: Κάθε γραµµή και κάθε στήλη περιέχει δύο ή καµµιά θέσεις που δεν έχουν διαγραφεί, η διαδικασία τερµατίζεται και οι αποµένουσες θέσεις σχηµατίζουν τον µοναδικό βρόγχο. 8.5 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΩΣ ΙΜΕΛΕΣ ΓΡΑΦΗΜΑ 8.5. Εισαγωγή Το πρόβληµα µεταφοράς µπορεί να απεικονιστεί ως διµελές γράφηµα (δίκτυο). Οι πηγές συµβολίζονται µε S στα δεξιά και οι προορισµοί µε D στα δεξιά. Τα επίπεδα κατανάλωσης και παραγωγής φαίνονται σε αγκύλες [επίπεδο], και τα κόστη µεταφοράς σε παρενθέσεις (κόστος). Οι µη πραγµατοποιήσιµες συνδέσεις δεν περιλαµβάνονται στο γράφηµα. Εάν για οποιοδήποτε λόγο η σύνδεση από ένα κέντρο παραγωγής σε ένα κέντρο κατανάλωσης δεν µπορεί να πραγµατοποιηθεί, το µοναδιαίο κόστος της συγκεκριµένης σύνδεσης θεωρείται πολύ µεγάλο και ίσο µε Μ στον πίνακα επίλυσης. Παράδειγµα 8.7 Το Π.Μ. ως διµελές γράφηµα Στο παρακάτω διάγραµµα φαίνεται ένα πρόβληµα µεταφοράς σε µορφή δικτύου. (α) Να διατυπωθεί ο πίνακας επίλυσης του προβλήµατος µεταφοράς µε τις γραµµές να αντιστοιχούν στις πηγές και τις στήλες να αντιστοιχούν στους προορισµούς. (β) Να εφαρµοστεί η µέθοδος Vogel για να βρεθεί µια αρχική λύση, να εξεταστεί εάν είναι βέλτιστη λύση και να υπολογιστεί το κόστος της.

23 23 (0) D [-400] [500] [400] S S2 (5) (2) (20) (5) (8) D2 D3 [-200] [-300] ΠΡΟΣ Ζήτηση Ζήτηση 2 Ζήτηση 3 ΑΠO Προσφορά Προσφορά Ζήτησης (α) Οι διαφορές µεταξύ των δύο µικρότερων τιµών κόστους σε κάθε γραµµή είναι 5, 3 και σε κάθε στήλη 2, 5, 3. Μεγαλύτερη είναι η 5 στη γραµµή. (β) Στη γραµµή τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα στη µεταβλητή µε το µικρότερο κόστος x = 400 λόγω του περιορισµού ζήτησης στη στήλη. ιαγράφεται η στήλη. (γ) εν έχουν διαγραφεί όλες οι γραµµές και οι στήλες και η διαδικασία συνεχίζεται. (δ) Οι διαφορές µεταξύ των δύο µικρότερων τιµών κόστους σε κάθε γραµµή από αυτές που έχουν αποµείνει είναι 5, 3 και στήλη 5, 3. Η µεγαλύτερη είναι η 5 στη γραµµή ή στη στήλη 2. (β) Αυθαίρετα, στη γραµµή τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα στη µεταβλητή µε το µικρότερο κόστος x 3 = 00 λόγω του περιορισµού προσφοράς στη γραµµή. ιαγράφεται η γραµµή. (γ) εν έχουν διαγραφεί όλες οι γραµµές και οι στήλες και η διαδικασία συνεχίζεται. (δ) Για να συµπληρωθεί το ισοζύγιο στις στήλες τοποθετούνται οι ποσότητες x 32 = 200 και x 33 = 200.

24 ΠΡΟΣ Ζήτηση Ζήτηση 2 Ζήτηση 3 ΑΠO Προσφορά Προσφορά Ζήτησης (β) Έλεγχος βελτιστότητας µε τη µέθοδο MODI Οι βασικές µεταβλητές εµφανίζονται στα µη κενά κελιά του πίνακα και αποτελούν βάση γιατί ο αριθµός τους είναι 2+3- = 4. Γράφονται οι εξισώσεις (8.3) και θέτοντας u = 0, υπολογίζονται οι πολλαπλασιαστές: u + v = 0 v = 0 u + v 3 = 5 v 3 = 5 u 2 + v 2 = 5 u 2 = 5-5 = 0 u 2 + v 3 = 8 v 3 = 8-0 = 8 Για τις µη βασικές µεταβλητές, που αντιστοιχούν στα κενά κελιά του πίνακα, υπολογίζονται οι νέοι συντελεστές κόστους (ή δείκτες βελτίωσης) από την εξίσωση (8.): c' 2 = c 2 u v 2 = = 5 c' 2 = c 2 u 2 v = = 2 Οι δείκτες βελτίωσης είναι θετικοί, άρα η λύση είναι βέλτιστη και µοναδική. Συνολικό κόστος = 400 x x x x 8 = 2,00. Παράδειγµα 8.8 Το Π.Μ. ως διµελές γράφηµα (συνέχεια) Εάν η σύνδεση S D είναι αδύνατη, πως αλλάζει η λύση του Παραδείγµατος 8.6; Εάν η σύνδεση S D είναι αδύνατη, το µοναδιαίο κόστος της τίθεται ίσο µε Μ, όπου Μ ένας πολύ µεγάλος αριθµός συγκριτικά µε τα άλλα µοναδιαία κόστη.

25 ΠΡΟΣ Ζήτηση Ζήτηση 2 Ζήτηση 3 ΑΠO Προσφορά Μ Προσφορά Ζήτησης (α) Οι διαφορές µεταξύ των δύο µικρότερων τιµών κόστους σε κάθε γραµµή είναι 5, 3 και σε κάθε στήλη Μ-2, 5, 3. Μεγαλύτερη είναι η Μ-2 στη στήλη. (β) Στη στήλη τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα στη µεταβλητή µε το µικρότερο κόστος x 2 = 400 λόγω του περιορισµού ζήτησης ή προσφοράς στη στήλη ή γραµµή 2. Αυθαίρετα, διαγράφεται η στήλη. (γ) εν έχουν διαγραφεί όλες οι γραµµές και οι στήλες και η διαδικασία συνεχίζεται. (δ) Οι διαφορές µεταξύ των δύο µικρότερων τιµών κόστους σε κάθε γραµµή από αυτές που έχουν αποµείνει είναι 5, 3 και στήλη 5, 3. Η µεγαλύτερη είναι η 5 στη γραµµή ή στη στήλη 2. (β) Αυθαίρετα στη γραµµή τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα στη µεταβλητή µε το µικρότερο κόστος x 3 = 300 λόγω του περιορισµού ζήτησης στη στήλη 3. ιαγράφεται η στήλη 3. (γ) εν έχουν διαγραφεί όλες οι γραµµές και οι στήλες και η διαδικασία συνεχίζεται. (δ) Για να συµπληρωθεί το ισοζύγιο τοποθετείται η ποσότητα x 2 = ΠΡΟΣ Ζήτηση Ζήτηση 2 Ζήτηση 3 ΑΠO Προσφορά Μ Προσφορά Ζήτησης

26 (β) Έλεγχος βελτιστότητας µε τη µέθοδο MODI Οι βασικές µεταβλητές εµφανίζονται στα µη κενά κελιά του πίνακα και δεν αποτελούν βάση γιατί ο αριθµός τους είναι = 4. Η λύση αυτή ονοµάζεται εκφυλισµένη. Αυθαίρετα επιλέγουµε ένα από τα µη κενά κελιά και θεωρούµε ότι περιέχει βασική µεταβλητή µε τιµή ίση µε µηδέν, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη. Έστω ότι η x = 0 είναι βασική µεταβλητή. Γράφονται οι εξισώσεις (8.3) και θέτοντας u = 0, υπολογίζονται οι πολλαπλασιαστές: u + v = Μ v = Μ u + v 2 = 20 v 2 = 20 u + v 3 = 5 v 3 = 5 u 2 + v = 2 u 2 = 2 - Μ Για τις µη βασικές µεταβλητές, που αντιστοιχούν στα κενά κελιά του πίνακα, υπολογίζονται οι νέοι συντελεστές κόστους (ή δείκτες βελτίωσης) από την εξίσωση (8.): c' 22 = c 22 u 2 v 2 = 5 (2-Μ) - 20 = Μ - 7 c' 23 = c 23 u 2 v 3 = 8 (2-Μ) - 5 = Μ - 9 Οι δείκτες βελτίωσης είναι θετικοί, άρα η λύση είναι βέλτιστη και µοναδική. Συνολικό κόστος = 400 x x x 5 = 3,300. Παράδειγµα 8.9 Ύδρευση νησιών - Εκφυλισµένη λύση Οι ανάγκες σε νερό των νησιών, 2 και 3 είναι 75, 75 και 25 µονάδες όγκου αντίστοιχα και µπορούν να ικανοποιηθούν από µε τρεις διαφορετικούς τρόπους (πηγές), 2, και 3 µε δυναµικότητα 25, 35 και 65 αντίστοιχα. Το κόστος µεταφοράς νερού από κάθε πηγή σε κάθε νησί φαίνονται στον πίνακα. Ζητείται να καθοριστεί η ποσότητα νερού που θα µεταφερθεί από κάθε πηγή σε κάθε νησί ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος. (Το παράδειγµα είναι ίδιο µε το Παράδειγµα 8., αλλά έχει αυξηθεί η ανάγκη του Νησιού κατά 5 µονάδες και αντίστοιχα µειωθεί η ανάγκη του Νησιού 2). Ελέγχεται ότι υπάρχει ισοζύγιο = 225 = Η βασική λύση θα έχει +- = 3+3- = 5 µη µηδενικές µεταβλητές.

27 27 ΠΡΟΣ Νησί Νησί 2 Νησί 3 ΑΠO Πηγή Πηγή Πηγή Ζήτησης Εφαρµόζοντας τη µεθόδο της βορειοδυτικής γωνίας τοποθετούνται κατά σειρά οι εξής ποσότητες: x = 25 (διαγράφεται η γραµµή και η στήλη ), x 22 = 35, x 23 = 40, και x 33 = 25. Οι βασικές µεταβλητές εµφανίζονται στα µη κενά κελιά του πίνακα και δεν αποτελούν βάση γιατί ο αριθµός τους είναι = 5. Η λύση αυτή ονοµάζεται εκφυλισµένη. Αυθαίρετα επιλέγουµε ένα από τα µη κενά κελιά και θεωρούµε ότι περιέχει βασική µεταβλητή µε τιµή ίση µε µηδέν, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη (όµως, όπως θα συζητηθεί στην Ενότητα 8.4.3, το γράφηµα των βασικών µεταβλητών δεν πρέπει να περιέχει βρόγχο, π.χ. δεν µπορεί να θεωρηθεί ως βασική µεταβλητή η x 32 επειδή δηµιουργεί βρόγχο µε τις x 33, x 23, και x 22 ). Έστω ότι η x 2 = 0 είναι βασική µεταβλητή. Γράφονται οι εξισώσεις (8.3) και θέτοντας u = 0, υπολογίζονται οι πολλαπλασιαστές και οι δείκτες βελτίωσης ακριβώς όπως στο Παράδειγµα 8.2. Ο δείκτης βελτίωσης c' 3 είναι αρνητικός, άρα η λύση δεν είναι βέλτιστη. Μπορεί να βελτιωθεί εάν η µη βασική µεταβλητή x 3 εισέλθει στη βάση, αντικαθιστώντας µια από τις υπάρχουσες βασικές µεταβλητές. Ο βρόγχος ορίζεται από τα κελιά (,3), (,2), (2,2), και (2,3). Στα (,3) και (2,2) προστίθεται ποσότητα, ενώ από τα (,2) και (2,3) αφαιρείται ποσότητα θ > 0. Από τις κορυφές που αντιστοιχούν σε αφαίρεση ποσότητας µικρότερη τιµή έχει η (,2) (i {0, 40}). Εποµένως, η x 2 εξέρχεται από τη βάση (µηδενίζεται), θ = 0, και διαµορφώνεται ο νέος πίνακας µε νέες τιµές στις κορυφές του βρόγχου. Προφανώς, επειδή οι µη µηδενικές βασικές µεταβλητές δεν άλλαξαν, η τιµη της αντικειµενικής συνάρτησης παραµένει ίδια. Απλά άλλαξε η µηδενική βασική µεταβλητή x 2 µε τη x 3.

28 ΠΡΟΣ Νησί Νησί 2 Νησί 3 ΑΠO Πηγή Πηγή Πηγή Ζήτησης Γράφονται οι εξισώσεις (8.3) και θέτοντας u = 0, υπολογίζονται οι πολλαπλασιαστές: u + v = 00 v = 00 u + v 3 = 50 v 3 = 50 u 2 + v 2 = 50 v 2 = 50 (-0) = 60 u 2 + v 3 = 40 u 2 = = -0 u 3 + v 3 = 70 u 3 = = 20 Για τις µη βασικές µεταβλητές, που αντιστοιχούν στα κενά κελιά του πίνακα, υπολογίζονται οι νέοι συντελεστές κόστους (ή δείκτες βελτίωσης) από την εξίσωση (8.): c' 2 = c 2 - u v 2 = = 60 c' 2 = c 2 - u 2 - v = 20 (-0) - 00 = 30 c' 3 = c 3 - u 3 - v = = 0 c' 32 = c 32 - u 3 - v 2 = = 30 Οι δείκτες βελτίωσης είναι θετικοί, άρα η λύση είναι βέλτιστη και µοναδική. Συνολικό κόστος = 25 x x x x 70 = 24, Ορισµοί και Θεωρήµατα από τη Θεωρία Γραφηµάτων. Γράφηµα. Είναι ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι ένα σύνολο κορυφών (ή κόµβων) και E ένα σύνολο ακµών (ή πλευρών ή συνδέσεων). Κάθε ακµή είναι ένα ζεύγος κορυφών (v, v 2 ). Ο αριθµός των κορυφών είναι η τάξη και ο αριθµός των κορυφών το µέγεθος του γραφήµατος. 2. Ανεξάρτητο σύνολο. Είναι ένα σύνολο κορυφών που δε συνδέονται µεταξύ τους µε ακµή. 3. ιµελές γράφηµα. Υπάρχει διαµέριση κορυφών σε δύο ανεξάρτητα σύνολα G = (Χ, Υ, E), όπου X και Y ανεξάρτητα σύνολα. Υπάρχουν ακµές µόνο µεταξύ

29 κάποιας κορυφής στο Χ και κάποιας κορυφής στο Υ. Στο Π.Μ. κάθε µεταβλητή x ij αντιστοιχεί σε µια ακµή (i, j) S x D, όπου S και D τα σύνολα των πηγών και προορισµών αντίστοιχα, και υποδηλώνει µεταφορά από το i στο j. εν υπάρχει ακµή µεταξύ δύο κορυφών -πηγών ή δύο κορυφών-προορισµών. Εποµένως το Π.Μ. είναι διµελές γράφηµα G = (S, D, E) τάξης + (V = S D). Εάν υπάρχουν όλες οι. ακµές το διµελές γράφηµα είναι πλήρες. 4. Βαθµός κορυφής deg(v i ). Ο αριθµός των ακµών που εφάπτονται στην κορυφή. 29 ' 2' 2 3' S D 5. ιαδροµή. Είναι µια ακολουθία «διαδοχικών» ακµών, δηλαδή ακµών που η κατάληξη πρώτης είναι η αρχή της δεύτερης. Στο γράφηµα του Π.Μ. που φαίνεται στο σχήµα Ε = {(, ), (,2 ), (,), (2,2 ), (, ), (,)} και η {(, ), (,), (,)} ή - -- είναι µια διαδροµή (δεν λαµβάνεται υπόψη η κατεύθυνση στις ακµές). 6. Μονοπάτι. Είναι µια διαδροµή χωρίς επανάληψη κορυφών και ακµών. Π.χ. η - -- είναι µονοπάτι, ενώ η δεν είναι. 7. Κύκλος. Είναι ένα µονοπάτι που τα άκρα του ταυτίζονται και δηµιουργείται ένας βρόγχος. Π.χ. η είναι κύκλος. 8. Υπογράφηµα G = (V, E ) του G = (V, E). Είναι ένα γράφηµα που προκύπτει από το G εάν παραληφθούν κάποιες κορυφές και ακµές. Ισχύει V V και E E. 9. ένδρο. Είναι ένα γράφηµα G που δεν περιέχει κανένα κύκλο.

30 0. Συνεκτικό δένδρο (ή επικαλύπτον ή ζευγνύον). Είναι ένα δένδρο που έχει όλες τις κορυφές και κάθε κορυφή συνδέεται µε κάποια ακµή. ηλαδή, από οποιαδήποτε κορυφή u µπορεί να φτάσει κανείς σε οποιαδήποτε άλλη κορυφή v χωρίς επανάληψη κορυφών και ακµών, ή για κάθε ζευγάρι κορυφών u, v V, υπάρχει u v µονοπάτι.. άσος. Είναι µη συνεκτικό γράφηµα που αποτελείται από συνεκτικά δένδρα. Οι βασικές λύσεις του Π.Μ. συνδέονται µε το γράφηµα του Π.Μ µέσω του Θεωρήµατος. Θεώρηµα : Έστω B S x D µια βασική λύση ενός Π.Μ. Τότε το υπογράφηµα του γραφήµατος του Π.Μ. που προκύπτει εάν συµπεριληφθούν µόνο οι ακµές (i, j) Β αποτελεί ένα συνεκτικό δένδρο. Απόδειξη: Εάν x Β είναι µια βασική λύση του Π.Μ., η x Β πρέπει να είναι µοναδική λύση του παρακάτω συστήµατος: (i) (ii) i j j D:( i, j) B i j i D:( i, j) B x = a i για i =, 2,.., περιορισµός (8.2) x = b j για j =, 2,.., περιορισµός (8.3) (iii) x ij = 0 για κάθε (i, j) Β (δηλαδή οι περιορισµοί (8.2) και (8.3) περιέχουν µόνο τις βασικές µη µηδενικές µεταβλητές). Έστω ότι για κάποιο i S δεν υπάρχει j ώστε η x ij να είναι βασική µεταβλητή ή ισοδύναµα { j D: (i, j) B} =, τότε η ισότητα για αυτό το i γράφεται 0 = a i 0, άτοπο. Εποµένως όλες οι κορυφές i S συνδέονται µε τουλάχιστον µια ακµή (i, j) B (στον πίνακα του Π.Μ. υπάρχει τουλάχιστον µια µη κενή θέση σε κάθε γραµµή). Παρόµοια, όλες οι κορυφές j D συνδέονται µε τουλάχιστον µια ακµή (i, j) B (στον πίνακα του Π.Μ. υπάρχει τουλάχιστον µια µη κενή θέση σε κάθε στήλη). Εποµένως, κάθε κορυφή στο S D συνδέεται µε τουλάχιστον µια ακµή, όπως απαιτείται για ένα συνεκτικό δένδρο. Έστω τώρα ότι υπάρχει ένας κύκλος i - j -i 2 -j 2 - -i k -j k -i στο γράφηµα µε κορυφές στο S D και ακµές που αντιστοιχούν σε θέσεις βασικών µεταβλητών, όπου {i, i 2,, i k } S και {j,

31 j 2,, j k } D. Προφανώς, ο κύκλος αυτός πρέπει να έχει άρτιο αριθµό ακµών. Συνεπώς, εάν επιλεγεί θ > 0, και τεθεί x' ij = x B ij + θ, x' ji2 = x B ji2 θ, x' i2j2 = x B i2j2 + θ,, x' ikjk = x B ikjk + θ και x' jki = x B jki θ, τότε η x είναι επίσης λύση του συστήµατος (i)-(iii). Αυτό είναι άτοπο γιατί έγινε η υπόθεση ότι η x Β είναι µοναδική λύση. Άρα, δεν υπάρχει κύκλος και το υπογράφηµα της βασικής λύσης αποτελεί ένα συνεκτικό δένδρο. Θεώρηµα 2: Έστω G = (V, E) ένα γράφηµα που είναι δένδρο και έστω E. Τότε υπάρχει µια κορυφή v V µε ακριβώς µια ακµή συνδεµένη µε αυτή. Απόδειξη: Έστω i V µια κορυφή. Εάν η i έχει µόνο µια ακµή συνδεµένη µε αυτή, ισχύει το θεώρηµα. Αλλοιώς, έστω ότι (i, i 2 ) είναι µια ακµή συνδεµένη µε την κορυφή i 2 V {i }. Εάν αυτή είναι η µόνη ακµή συνδεµένη µε την i 2, ισχύει το θεώρηµα. Αλλοιώς, έστω ότι η i 2 είναι συνδεµένη µε την κορυφή i 3 V {i 2 }. Εάν i 3 = i υπάρχει κύκλος, εποµένως επειδή το γράφηµα είναι δένδρο ισχύει i 3 i. Εάν η i 3 είναι η µόνη ακµή συνδεµένη µε την i 2, ισχύει το θεώρηµα. Αλλοιώς, έστω ότι η i 3 είναι συνδεµένη µε την κορυφή i 4 V {i 3 }, η οποία δεν µπορεί να είναι κάποια από τις προηγούµενες κορυφές, γιατί δηµιουργείται κύκλος. Η διαδικασία σε κάποια κορυφή πρέπει να τερµατιστεί, άρα θα προκύψει µια κορυφή µε ακριβώς µια ακµή συνδεµένη µε αυτή. Πόρισµα : Ένα δένδρο έχει πάντοτε µια κορυφή µε βαθµό. Θεώρηµα 3: Έστω G = (V, E) ένα γράφηµα που είναι δένδρο. Τότε το υπογράφηµα που προκύπτει εάν παραληφθεί µια ακµή G = (V, E-{(i,j)}) όπου (i,j) E, είναι δένδρο. Απόδειξη: Εάν το υπογράφηµα G έχει έναν κύκλο, τότε προφανώς και το G έχει τον ίδιο κύκλο, οπότε δε θα ήταν δένδρο. Άρα και το G είναι δένδρο. Πόρισµα 2: Συνδυάζοντας τα Θεωρήµατα, 2 και 3, προκύπτει ότι ο πίνακας µιας βασικής λύσης ενός Π.Μ. έχει πάντοτε µια γραµµή ή µια στήλη µε µόνο µια µη κενή θέση. Εάν διαγραφεί αυτή η γραµµή ή στήλη ο προκύπτων πίνακας θα έχει πάλι µια γραµµή ή µια στήλη µε µόνο µια µη κενή θέση κοκ µέχρι να διαγραφούν όλες οι γραµµές και στήλες. Με βάση το Πόρισµα 2 µπορεί να ελέγχεται εάν µια εφικτή λύση είναι βασική ως εξής: Βήµα : διαγράφονται όλες οι γραµµές του πίνακα µεταφοράς µε µόνο µια µη κενή θέση 3

32 Βήµα 2: διαγράφονται όλες οι στήλες του πίνακα µεταφοράς µε µόνο µια µη κενή θέση Βήµα 3: επιστροφή στο Βήµα, µέχρι να µην υπάρχουν γραµµές και στήλες µε µόνο µια µη κενή θέση. Εάν έχουν διαγραφεί όλες οι γραµµές και όλες οι στήλες η λύση είναι βασική. Θεώρηµα 4: Έστω G = (V, E) ένα γράφηµα που είναι συνεκτικό δένδρο. Τότε ο αριθµός των ακµών είναι ίσος µε τον αριθµό των κορυφών µείον ένα ή E = V -. Απόδειξη: Έστω i V µια κορυφή µε βαθµό. Θεωρείστε το συνεκτικό δένδρο που προκύπτει από το G εάν παραληφθεί η κορυφή i και η ακµή που συνδέεται µε αυτή. Το υπογράφηµα αυτό έχει επίσης µια κορυφή i 2 V {i } µε βαθµό. Εάν παραληφθεί η κορυφή i 2 και η ακµή που συνδέεται µε αυτή, προκύπτει πάλι ένα συνεκτικό δένδρο. Η διαδικασία µπορεί να συνεχιστεί έως ότου αποµείνουν µόνο δύο κορυφές. Στο σηµείο αυτό θα έχουν αφαιρεθεί V - 2 κορυφές και V -2 ακµές. Επειδή το αποµένον υπογράφηµα µε τις δύο κορυφές είναι συνεκτικό δένδρο, περιέχει µια ακµή, άρα E = V -. Πόρισµα 3: Συνδυάζοντας τα Θεωρήµατα και 4, προκύπτει ότι µια βασική λύση ενός Π.Μ. (α) έχει ακριβώς +- βασικές µεταβλητές (β) έχει τουλάχιστον µια µη κενή θέση σε κάθε γραµµή και σε κάθε στήλη του πίνακα µεταφοράς (γ) το υπογράφηµα που ορίζουν οι ακµές (i, j) Β αποτελεί ένα συνεκτικό δένδρο. Παράδειγµα 8.0 Πίνακες Π.Μ. ως διµελή γραφήµατα Στους επόµενους πίνακες Π.Μ. µε = 4 και =5 φαίνονται οι θέσεις και οι τιµές των µεταβλητών τριών εφικτών λύσεων. Να εξεταστεί µέσω διµελών γραφηµάτων εάν οι λύσεις αυτές είναι βασικές. Ο αριθµός των βασικών µεταβλητών είναι +- = ' 2' 3' 4' '

33 33 (α) Η λύση έχει 9 > 8 µεταβλητές µε θετική τιµή, συνεπώς δεν είναι βασική. Το γράφηµα που αντιστοιχεί στη µη βασική εφικτή λύση περιέχει τον κύκλο ' 2' 3' 4' ' (β) Η λύση έχει 8 µεταβλητές µε θετική τιµή και έχει τουλάχιστον µια µη κενή θέση σε κάθε γραµµή και σε κάθε στήλη του πίνακα. Το γράφηµα είναι συνεκτικό δένδρο γιατί από οποιαδήποτε κορυφή u µπορεί να φτάσει κανείς σε οποιαδήποτε άλλη κορυφή v χωρίς επανάληψη κορυφών και ακµών. Συνεπώς η λύση είναι εφικτή και βασική ' 2' 3' 4' ' (γ) Η λύση έχει 7 < 8 µεταβλητές µε θετική τιµή, συνεπώς είναι εκφυλισµένη εάν τεθεί µια επιπλέον βασική µεταβλητή ίση µε 0. Η λύση έχει τουλάχιστον µια µη κενή θέση σε κάθε γραµµή και σε κάθε στήλη του πίνακα. Το γράφηµα που αντιστοιχεί στην εφικτή λύση δεν είναι συνεκτικό, γιατί από την κορυφή δεν µπορεί να φτάσει κανείς στην κορυφή 2. Το γράφηµα αποτελείται από τα συνεκτικά δένδρα που ορίζονται από τα σύνολα κορυφών Χ = {,, 2, 3 } και Υ = {3, 2, 4, 4, 5 } και συνεπώς είναι δάσος.

34 Εάν προστεθεί η επιπλέον βασική µεταβλητή x 25 = 0 που αντιστοιχεί στην ακµή -5 το γράφηµα γίνεται συνεκτικό και η λύση είναι εφικτή, εκφυλισµένη και βασική (γράφηµα αριστερά). Εάν προστεθεί η επιπλέον βασική µεταβλητή x 35 = 0 που αντιστοιχεί στην ακµή 3-5 το γράφηµα παραµένει µη συνεκτικό (γράφηµα δεξιά). Είναι προφανές ότι η επιπλέον βασική µεταβλητή x pq = 0 πρέπει να έχει p X και q Y. ' ' 2' 2' 2 3' 2 3' 3 4' 3 4' 4 5' 4 5' 8.6 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Το πρόβληµα ανάθεσης είναι µια ειδική περίπτωση του Π.Μ. στο οποίο ισχύουν τα εξής: Ένα σύνολο ατόµων R i (i =, 2,, ) καλούνται να εκτελέσουν ένα σύνολο εργασιών D j (j =, 2,, ). Κάθε άτοµο µπορεί να αναλάβει µόνο µια εργασία και κάθε εργασία εκτελείται από µόνο ένα άτοµο. Κάθε εργασία εκτελείται ή δεν εκτελείται (δεν νοείται µερική εκτέλεση της εργασίας). Έστω c ij τo κόστος εκτέλεσης της εργασίας j από το άτοµο i. Στόχος είναι να ανατεθούν στα άτοµα i οι εργασίες j ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος. Είναι σαφές ότι η βέλτιστη λύση είναι εκείνη που ελαχιστοποιεί το κόστος από όλους τους συνδυασµούς άτοµο-έργο. Είναι εύκολο να αποδειχθεί µε µαθηµατική επαγωγή ότι ο αριθµός των συνδυασµών είναι! και εποµένως είναι αδύνατον για µεγάλo να επιλυθεί το πρόβληµα µε εξαντλητικό έλεγχο όλων συνδυασµών. Απαιτείται λοιπόν λύση µε αλγοριθµική µέθοδο.

35 Η µαθηµατική διατύπωση του προβλήµατος έχει ως εξής: i f = i= j= c ij x ij (συνολικό κόστος) (8.) όπου x ij = 0 εάν στο άτοµο i ανατίθεται η εργασία j και = διαφορετικά (δίτιµες µεταβλητές) κάτω από j= i= x ij = για i =, 2,.., (8.2) x ij = για j =, 2,.., (8.3) x ij {0, } (8.4) Είναι προφανές ότι το παραπάνω είναι µια ειδική περίπτωση του Π.Μ. όπου a i =, i, b j = j και x ij {0, } και µπορεί να επιλυθεί µε τις ίδιες µεθόδους. Παράδειγµα 8. Ανάθεση έργων Πρόκειται να ανατεθούν τρία έργα, 2 και 3 σε τρεις εταιρείες, 2, και 3. Κάθε εταιρεία µπορεί να αναλάβει οποιοδήποτε έργο, αλλά λόγω διαφορετικής εµπειρίας θα είναι πιο ικανή να εκτελέσει κάποιο από αυτά. Οι χρόνοι εκτέλεσης σε µήνες από κάθε εταιρεία του κάθε έργου είναι γνωστοί και φαίνονται στον πίνακα. Ζητείται να καθοριστεί σε ποια εταιρεία θα ανατεθεί κάθε έργο ώστε να ελαχιστοποιείται ο συνολικός χρόνος εκτέλεσης των έργων. Στα προβλήµα ανάθεσης υπάρχει εξ ορισµού ισοζύγιο. Η βασική λύση θα έχει +- = 3+3- = 5 µη µηδενικές µεταβλητές. ΠΡΟΣ Έργο Έργο 2 Έργο 3 ΑΠO Εταιρεία Εταιρεία Εταιρεία Ανάθεσης 3 Εφαρµόζοντας τη µεθόδο της βορειοδυτικής γωνίας τοποθετούνται κατά σειρά οι εξής ποσότητες: x =, x 22 =, και x 33 =. Οι θετικές βασικές µεταβλητές είναι 3 < 5, άρα η λύση είναι εκφυλισµένη και πρέπει να προστεθούν δύο 35

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου . Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου Σ αυτή την παράγραφο θα εξεταστεί μια παραλλαγή του προβλήματος της συντομότερης διαδρομής, το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου. Σ αυτό το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων Μοντέλα Διανομής και Δικτύων 10-03-2017 2 Πρόβλημα μεταφοράς (1) Τα προβλήματα μεταφοράς ανακύπτουν συχνά σε περιπτώσεις σχεδιασμού διανομής αγαθών και υπηρεσιών από τα σημεία προσφοράς προς τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Η αρχική τους εφαρµογή, όπως δηλώνει και η ονοµασία τους, αφορούσε τον καθορισµό του βέλτιστου τρόπου µεταφοράς αγαθών από διαφορετικά σηµεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης (π.χ.,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI)

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Ηµέθοδος MODIεπιτρέπει τον υπολογισµό των οριακών µεταβολών στο συνολικό κόστος µεταφοράς για κάθε µη επιλεγείσα διαδροµή µε αλγεβρικό τρόπο, χωρίς τη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) Η διαµόρφωση και το µοντέλο του προβλήµατος ανάθεσης (π.χ. εργασιών σε µηχανές ή δραστηριοτήτων σε άτοµα) περιγράφεται στις

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks) Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα Πρόβληµα Μεταφοράς Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 2. Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs) Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη.

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. 4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. Η μετατροπή μιας εντολής επανάληψης σε μία άλλη ή στις άλλες δύο εντολές επανάληψης, αποτελεί ένα θέμα που αρκετές φορές έχει εξεταστεί σε πανελλαδικό

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x+ y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα. Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 2 6 20 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 0 με τις ακόλουθες ιδιότητες 9 7 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Από το βιβλίο: Κώστογλου, Β. (2015). Επιχειρησιακή Έρευνα. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Τζιόλα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Από το βιβλίο: Κώστογλου, Β. (2015). Επιχειρησιακή Έρευνα. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Τζιόλα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ 1 Εισαγωγικά Απόθεμα εννοείται κάθε είδους αγαθό, το οποίο μπορεί να αποθηκευτεί με στόχο την τρέχουσα ή μελλοντική χρησιμοποίησή του. Αποθέματα συναντώνται σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Θεωρία Γραφηµάτων Α π α ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµα. Στο παρακάτω γράφηµα µε βάρη, να βρεθεί το µήκος του µικρότερου µονοπατιού

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου Η μέθοδος Simplex Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 1 / 17 Η μέθοδος Simplex Simplex Είναι μια καθορισμένη σειρά επαναλαμβανόμενων υπολογισμών μέσω των οποίων ξεκινώντας από ένα αρχικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/26/2007. Νίκος Τσάντας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, Ακαδημαϊκό έτος Δικτυωτή Ανάλυση

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/26/2007. Νίκος Τσάντας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, Ακαδημαϊκό έτος Δικτυωτή Ανάλυση ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ // Επιχειρησιακή Έρευνα ικτυωτή Ανάλυση Νίκος Τσάντας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, Ακαδημαϊκό έτος - Δικτυωτή Ανάλυση Δίκτυο είναι ένα διάγραμμα το οποίο το οποίο αναπαριστά τη

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας

ιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας Εφοδιαστική Αλυσίδα (ΕΡΓ.)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Σε οποιοδήποτε αριθμητικό σύστημα, με βάση τον αριθμό Β, ένας ακέραιος αριθμός με πλήθος ψηφίων ν, εκφράζεται ως ακολούθως: α ν-1 α ν-2 α 1 α 0 = α ν-1 Β ν-1 + α ν-2 Β ν-2 + + α 1

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

5 Ο προσδιορισμός του εισοδήματος: Εξαγωγές και εισαγωγές

5 Ο προσδιορισμός του εισοδήματος: Εξαγωγές και εισαγωγές 5 Ο προσδιορισμός του εισοδήματος: Εξαγωγές και εισαγωγές Σκοπός Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάσαμε τον προσδιορισμό του εισοδήματος μίας οικονομίας χωρίς διεθνές εμπόριο, δηλαδή χωρίς να λάβουμε υπ όψιν

Διαβάστε περισσότερα

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016 Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ. Μερικές έννοιες Η συνάρτηση παραγωγής (, ), όπου είναι το συνολικό προϊόν και και οι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex:

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex: http://usrs.uo.gr/~acg 1 UΜετάβαση από τον ΓΠ στη Θεωρία ικτύων UΤο πρόβλημα Μεταφοράς (Transportation probl) UΗ «Μακεδονική Εταιρεία Αναψυκτικών Α.Ε.» Παράγει ένα αναψυκτικό ευρείας κατανάλωσης Το προϊόν

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις». Α 1 Έστω η παρακάτω σχέση Q(k) πάνω στο σύνολο {1, 2} όπου k τυχαίος

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # : Επιχειρησιακή έρευνα Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα Μεταφοράς. Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης

Πρόβλημα Μεταφοράς. Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Πρόβλημα Μεταφοράς Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι

Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι Η µέθοδος Vogel Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι η µέθοδος Vogel Η προσεγγιστική µέθοδος Vogelείναι µια πιο πολύπλοκη µέθοδος σε σχέση µε τις προηγούµενες, αλλά

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

2ο ΓΕΛ ΑΓ.ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΑΕΠΠ ΘΕΟΔΟΣΙΟΥ ΔΙΟΝ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ

2ο ΓΕΛ ΑΓ.ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΑΕΠΠ ΘΕΟΔΟΣΙΟΥ ΔΙΟΝ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΣΤΑΘΕΡΕΣ είναι τα μεγέθη που δεν μεταβάλλονται κατά την εκτέλεση ενός αλγόριθμου. Εκτός από τις αριθμητικές σταθερές (7, 4, 3.5, 100 κλπ), τις λογικές σταθερές (αληθής και ψευδής)

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα