ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΖΕΥΓΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΖΕΥΓΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Μια χορδή μήκους που τείνεται με τάση Τ φέρει σφαιρίδιο μάζας που απέχει απόσταση α από το αριστερό τοίχμα. Υποθέτοντας μικρές ταλαντώσεις της μάζας από τη θέση ισορροπίας της να υπολογιστεί η φυσική συχνότητα της εγκάρσιας ταλάντσης της μάζας. Λύση Τ φ θ y Τ α είναι: Αναλύοντας τις τάσεις που ασκούνται στη μάζα από τα δύο τμήματα της χορδής και εφαρμόζοντας το ο νόμο του Newton κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, η εξίσση κίνησης της μάζας α T cosφ T cosθ y ( F Λόγ όμς ισορροπίας της μάζας κατά την οριζόντια διεύθυνση κάθε οριζόντια συνιστώσα της τάσης T sin φ, T sin θ είναι ίση με την τάση Τ που είχε αρχικά τεντώσει τη χορδή. Δηλαδή: sin φ T sin θ T T T /sin φ και T T /sin θ ( T Αντικαθιστώντας τις ( στην ( προκύπτει: cosφ cosθ T T y ( sin φ sin θ Αλλά από το σχήμα εύκολα προκύπτει ότι: cot φ cosφ y και sin φ α cot θ cosθ sin θ y α (4 Άρα τελικά η ( λόγ τν (4 δίνει: y y α α T y T 0 y Ty 0 y y 0 α α α( α α( α ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Συνεπώς η μάζα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση με συχνότητα: ΘΕΜΑ T α( α Θερείστε μια ελαστική χορδή που τείνεται με τάση Τ και φέρει τρία σφαιρίδια μάζας, που απέχουν μεταξύ τους, αλλά και από τα τοιχώματα απόσταση α. Να υπολογιστούν οι συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης και οι αντίστοιχοι λόγοι τν πλατών μετατόπισης τν μαζών. Λύση θ T α α α α θ T T T T θ T y 4 y y θ 4 Σύμφνα με τον ο νόμο του Newton η εξίσση κίνησης κάθε μάζας κατά την κατακόρυφη διεύθυνση είναι: T sin θ T sin θ y T sin θ T sin θ y sin θ T4 sin θ4 y ( T Λόγ όμς ισορροπίας τν μαζών κατά την οριζόντια διεύθυνση κάθε οριζόντια συνιστώσα της τάσης i cos θi είναι ίση με την τάση Τ που είχε αρχικά τεντώσει τη χορδή. Δηλαδή: T cosθ T cosθ T, T cosθ T cosθ T και Οπότε προκύπτει: T cosθ T4 cosθ 4 T T T / cosθ, T T / cosθ, T T / cosθ και T4 / cos θ4 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Αντικαθιστώντας τις παραπάν στις ( προκύπτει: T tan θ T tan θ y T tan θ T tan θ ( T tan θ y Ttan θ 4 y Αλλά από το σχήμα εύκολα προκύπτει ότι: tan θ y, α y y α y y tan θ, tan θ και tan θ 4 α y α Άρα οι σχέσεις ( γίνονται: T T y (yy y y ( y y α α T T y (y y y y y (y y y 0 ( α α T T y (yy y y (y y α α Σύμφνα με τη μέθοδο τν κανονικών τρόπν ταλάντσης, θερώντας λύσεις της μορφής : y (t Acos(t φ, y(t cos(t φ, y(t cos(t 0 0 φ και αντικαθιστώντας στο σύστημα ( προκύπτει: ( A B 0 α T α B 0 α T B (A B 0 A B 0 (4 α α α α ( 0 B α α T α 0 Ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς αυτού συστήματος παρέχει τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ α α 0 α α α 0 0 α α 0 α α α α α 0 α α α α α α (, α α και ( α Οι αντίστοιχοι λόγοι πλατών προκύπτουν με αντικατάσταση τν, και στις σχέσεις (4: Για ( είναι: α και Για είναι: 0 α και Για ( είναι: α και ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Δύο συζευγμένοι αρμονικοί ταλανττές κινούμενοι κατά μήκος οριζόντιου άξονα, τν οποίν οι μετατοπίσεις περιγράφονται από τις συναρτήσεις (t και y(t, υπακούουν στις εξισώσεις: d d y ο (y, ο ( y ο dt dt : σταθερά Χρησιμοποιώντας την έννοια του κανονικού τρόπου ταλάντσης, να υπολογίσετε τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης του συστήματος τν δύο ταλανττών και τους αντίστοιχους λόγους τν πλατών ταλάντσης τν (t και y(t. Λύση Οι κανονικοί τρόποι ταλάντσης έχουν την μορφή: (t A cos(t φ, y(t cos(t φ ( Αντικαθιστώντας τις ( στις δοθείσες διαφορικές εξισώσεις προκύπτουν δύο γραμμικές και ομογενείς εξισώσεις για τα πλάτη Α και Β: ο ο ( ( ο 0 ο ο ( ( 0 ( ο Για να υπάρχει λύση εκτός από την τετριμένη (Α=Β=0, πρέπει η ορίζουσα τν συντελεστών του ομογενούς συστήματος ( να μηδενίζεται. Δηλαδή: ο ο ο ο 0 ( ο ( ο 4 4 ο ο ο 6 ο ο ο 5 4 ο 0 Η δευτεροβάθμια αυτή εξίσση ς προς έχει ρίζες: 4 4 9ο 8 ο 40ο 9 4, ο 0,65ο και,85ο 4 4 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Επίσης από τις εξισώσεις ( ο λόγος τν πλατών για = ο λόγος πλατών είναι Β/Α=,5. ΘΕΜΑ 4 είναι Β/Α=0,85, ενώ για Θερείστε ένα σύστημα δύο ίσν μαζών και δύο ελατηρίν που κινούνται χρίς τριβές πάν σε ένα οριζόντιο τραπέζι, όπς δείχνει το σχήμα. Ο λόγος τν σταθερών τν ελατηρίν είναι / /. Υπολογίστε το λόγο τν συχνοτήτν τν κανονικών τρόπν ταλάντσης του συστήματος. Λύση ( - ( - Έστ και (< οι οριζόντιες μετατοπίσεις τν δύο μαζών από τις θέσεις ισορροπίας τους. Οι δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε μάζα από τα ελατήρια φαίνονται στο σχήμα και σύμφνα με το ο νόμο του Newton, οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης τν δύο μαζών είναι: d ( dt d ( dt ( Θερώντας τη γενική μορφή ενός κανονικού τρόπου ταλάντσης με συχνότητα είναι: (t Acos(t φ και (t cos(t φ ( Αντικαθιστώντας τις ( στις εξισώσεις ( προκύπτει το ακόλουθο γραμμικό σύστημα εξισώσεν για τα πλάτη Α και Β: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ B A ( A (B A A 0 B ( A (B Για να υπάρχει μη τετριμένη λύση του παραπάν συστήματος πρέπει να μηδενίζεται η ορίζουσα τν συντελεστών: 0 ( ( (, 4 Άρα ο λόγος τν συχνοτήτν τν κανονικών τρόπν ταλάντσης είναι:

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 5 Τρεις ίσες μάζες, συνδεδεμένες με τέσσερα όμοια ελατήρια σταθεράς κινούνται πάν σε οριζόντιο τραπέζι χρίς τριβές, όπς δείχνει το σχήμα. Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης που ικανοποιούν οι τρεις απομακρύνσεις,, τν μαζών από τις θέσεις ισορροπίας τους και προσδιορίστε τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης του συστήματος. Λύση ( - ( - ( - ( - Σε μια τυχαία θέση του συστήματος αν τη θέση ισορροπίας τους με, το δεύτερο κατά - < <,, το τρίτο κατά, είναι οι μετατοπίσεις τν μαζών από, τότε το πρώτο ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά -, ενώ το τέταρτο ελατήριο έχει συμπιεστεί κατά. Επομένς οι δυνάμεις που ασκούνται στις τρεις μάζες από τα ελατήρια είναι αυτές που φαίνονται στο σχήμα και ο ος νόμος του Newton για την κίνηση της κάθε μάζας στον άξονα δίνει: ( ( ( ( ( 0 ( ( ( 0 0 Σύμφνα με τη μέθοδο τν κανονικών τρόπν ταλάντσης, θερώντας λύσεις της μορφής : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ (t Acos(t φ, (t cos(t φ, (t Ccos(t φ και αντικαθιστώντας στο σύστημα ( προκύπτει: A (A B 0 ( B 0 B ( A B C 0 A ( B C 0 ( C ( B C 0 B ( C 0 Ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς αυτού συστήματος δίνει τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης: ( [( ] ( 0 ( [( ] 0 4 ( ( 4 0, ( και ( ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 6 Δύο ίσες μάζες κρέμονται μέσ αβαρών ελατηρίν σταθεράς, όπς δείχνει το σχήμα. Θερώντας μόνο κατακόρυφες κινήσεις και αμελώντας τις τριβές να γραφούν οι εξισώσεις που διέπουν την κίνηση του συστήματος αυτού και να βρεθούν οι συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης. Λύση ( Έστ ότι κάποια χρονική στιγμή οι μετατοπίσεις τν δύο μαζών από τις θέσεις ισορροπίας τους είναι και αντίστοιχα με. Τότε στη μάζα ( ασκείται η δύναμη y y y > y (y y προς τα πάν επειδή το κάτ ελατήριο είναι επιμηκυνμένο, ενώ στη μάζα ( ασκείται η δύναμη προς τα πάν λόγ της επιμήκυνσης του πάν ελατηρίου και η y δύναμη (y y προς τα κάτ λόγ του κάτ ελατηρίου. Σημειώνεται ότι οι δυνάμεις βαρύτητας αγνοούνται γιατί δεν συγκαταλέγονται στις (y δυνάμεις στις οποίες οφείλονται οι ταλαντώσεις, -y ( αλλά απλώς καθορίζουν τις θέσεις ισορροπίας (y -y τν δύο μαζών. Θ.Ι. y y y Επομένς οι εξισώσεις κίνησης τν δύο μαζών σύμφνα με το ο νόμο του Newton είναι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ y (y y y (y y ( 0 y (y y y y ( y y 0 ( Σύμφνα με τη μέθοδο τν κανονικών τρόπν ταλάντσης, θερώντας λύσεις της μορφής y (t Acos(t φ, y(t cos(t φ και αντικαθιστώντας στο σύστημα τν εξισώσεν ( και ( προκύπτει: (A B 0 ( B 0 ( A B 0 A ( B 0 ( Ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς συστήματος ( δίνει τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης: 0 ( ( Οι λύσεις της τελευταίας δευτεροβάθμιας εξίσσης είναι:, 9 4 ( 5 ( 5 και ( 5 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 7 Τρία ίδια ελατήρια σταθεράς το καθένα, είναι κρεμασμένα κατακόρυφα από την οροφή, συνδεδεμένα σε σειρά μέσ τριών σμάτν μάζας, και αντίστοιχα, όπς δείχνει το σχήμα. Υπολογίστε τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης του συστήματος. Λύσ y (y -y y Έστ ότι κάποια τυχαία χρονική στιγμή οι απομακρύνσεις τν μαζών από τις θέσεις ισορροπίας τους είναι,, αντίστοιχα με. Στη θέση αυτή τα τρία ελατήρια είναι επιμηκυνσμένα και οι δυνάμεις που ασκούνται από αυτά στις τρεις μάζες φαίνονται στο σχήμα. y y y y < y < y (y -y y Συνεπώς σύμφνα με το ο νόμο του Newton, οι εξισώσεις κίνησης τν τριών μαζών είναι: Θ.Ι. (y -y (y -y y ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ y y (y y y (y y 0 ( y (y y (y y y ( y y y 0 ( y (y y y ( y y 0 ( Σύμφνα με τη μέθοδο τν κανονικών τρόπν ταλάντσης, θερώντας λύσεις της μορφής : y (t Acos(t φ, y(t cos(t φ, y(t Ccos(t φ και αντικαθιστώντας στο σύστημα τν εξισώσεν (, ( και ( προκύπτει: (A B 0 ( B 0 ( A B C 0 A ( B C 0 (4 C ( B C 0 B ( C 0 Ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς συστήματος (4 δίνει τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης: ( 0 ( ( [( ] ( 0 ( [4( ] 0 4 ( (4 8 0 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ (, και ( ΘΕΜΑ 8 Δύο ελατήρια σταθεράς και αμελητέας μάζας είναι περασμένα σε κυκλικό ακλόνητο στεφάνι και συνδέονται με δύο δακτυλιοειδή σώματα μάζας το καθένα, που είναι κι αυτά περασμένα στο στεφάνι και μπορούν να ολισθαίνουν κατά μήκος του. Οι τριβές θερούνται αμελητέες. α Να γραφούν οι εξισώσεις κίνησης τν δύο σμάτν και να βρεθούν οι συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης του συστήματος. β Τη χρονική στιγμή t = 0 οι μάζες μετατοπίζονται από τη θέση ισορροπίας κατά (0 και (0 αντίστοιχα και αφήνονται ελεύθερες. Να υπολογιστεί συναρτήσει του χρόνου η θέση και η ταχύτητα της κάθε μάζας. γ Εξετάστε αν υπάρχει χρονική στιγμή για την οποία κάποια από τις δύο μάζες περνάει από τη θέση αρχικής ισορροπίας της 0 ή 0. Λύση ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ( - ( - ( - ( - α Έστ ότι κάποια χρονική στιγμή οι απομακρύνσεις τν μαζών από τις θέσεις ισορροπίας τους είναι και αντίστοιχα. Οι απομακρύνσεις αυτές θερούνται μικρές (προσέγγιση μικρών γνιών. Επειδή το πάν ελατήριο είναι επιμηκυνμένο κατά συσπειρμένο κατά, ενώ το κάτ ελατήριο είναι οι δυνάμεις που ασκούνται από αυτά σε κάθε μάζα έχουν μέτρο ( και φορές όπς φαίνονται στο σχήμα. Επομένς σύμφνα με το ο νόμο του Newton, η εξίσση κίνησης κάθε μάζας είναι: ( ( ( ( ( ( Θερώντας λύσεις της μορφής : (t Acos(t φ, (t cos(t φ και αντικαθιστώντας στις εξισώσεις ( και ( προκύπτει: A B ( B 0 ( A B A ( B 0 Ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς συστήματος ( παρέχει τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

17 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ( ( 0 0 και 4 Οι λόγοι τν πλατών τν ταλαντώσεν τν δύο μαζών προκύπτουν με αντικατάσταση τν τιμών τν, σε μια από τις σχέσεις (. Δηλαδή: Για 0 είναι: A B ος τρόπος: (t Acosφ, (t Acos φ Για 4 είναι: A B ος τρόπος: (t Acos( t φ, (t Acos( t φ Άρα στη γενικότερη περίπτση που έχουν διεγερθεί ταυτόχρονα και οι δύο τρόποι ταλάντσης, οι σχέσεις που περιγράφουν την κίνηση τν μαζών του συστήματος θα δίνονται από την υπέρθεση τν σχέσεν που περιγράφουν την κίνηση σε κάθε κανονικό τρόπο, δηλαδή: (t Acosφ Acos( t φ (4 (t Acosφ Acos( t φ (5 β Η ταχύτητα κάθε μάζας παραγγίζοντας ς προς το χρόνο τις (4 και (5 είναι: (t A sin( t φ (6 (t A sin( t φ (7 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

18 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ (0 Από τις δοθείσες αρχικές συνθήκες είναι: Αντικατάσταση αυτών στις (4, (5, (6 και (7 δίνει:, (0 και (0 (0 0. (4 (0 cosφ cosφ (8 (5 (0 cosφ cosφ (9 (6,(7 (0 (0 0 A sin φ 0 sin φ 0 φ 0 (0 Συνεπώς η (8 και (9 λόγ της (0 δίνουν: cosφ cosφ και cosφ Άρα η θέση και η ταχύτητα της κάθε μάζας είναι: (t cost, (t cos t ( και (t sin t, (t sin t ( γ Για να περνάει κάποια από τις δύο μάζες από τη θέση ισορροπίας θα πρέπει: ( (t 0 cost 0 cos t ( ή (t 0 cost 0 cost Αλλά οι σχέσεις που προέκυψαν είναι αδύνατες, οπότε οι μάζες δεν περνούν από τη θέση ισορροπίας. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

19 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 9 Σώμα μάζας βρίσκεται μεταξύ δύο ακλόνητν τοιχμάτν με τα οποία είναι συνδεδεμένο με δύο ελατήρια σταθεράς το καθένα και μπορεί να κινείται σε οριζόντιο επίπεδο χρίς τριβές. Από το σώμα κρέμεται, με αβαρές μη εκτατό νήμα μήκους L, μάζα. α Να γραφούν οι εξισώσεις κίνησης για μικρές απομακρύνσεις από την κατάσταση ισορροπίας. β Να υπολογιστούν οι συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης στην περίπτση που / / L ο,. γ Να προσδιοριστούν οι κανονικές μεταβλητές. Λύση ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

20 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ T θ Τ Τ L θ T y T Θ.Ι. α Σε μια τυχαία θέση οι απομακρύνσεις τν μαζών από τη θέση ισορροπίας τους είναι και αντίστοιχα και οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτές φαίνονται στο σχήμα. Συνεπώς εφαρμόζοντας τον ο νόμο του Newton για κάθε μάζα ξεχριστά προκύπτει: Για τη μάζα του εκκρεμούς: F α F F y 0 T α T y α Tsin θ T cosθ Αντικαθιστώντας την ( στην ( προκύπτει: T cosθ ( ( ( tan θ tan θ Αλλά επειδή το σύστημα εκτελεί μικρές ταλαντώσεις ισχύει η προσέγγιση μικρών γνιών και από το σχήμα είναι: Οπότε η ( λόγ της (4 δίνει: Για τη μάζα : tan θ sin θ (4 L ( ( 0 (5 L L ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

21 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ F α T F F α Tsin θ ελ ελ ( Tsin θ tan θ (4 ( L 0 L L (6 Συνεπώς οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος είναι οι σχέσεις (5 και (6. β Για / / L και οι εξισώσεις κίνησης (5 και (6 γίνονται: 4 0 (7 L L 0 (8 L L Θερώντας λύσεις της μορφής : (t Acos(t φ, (t cos(t φ και αντικαθιστώντας στις εξισώσεις (7, (8 με την απαίτηση να ισχύουν για κάθε t προκύπτει: B 4 L L 4 0 L L L 0 L A L L B 0 B 0 (9 Ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς συστήματος (9 παρέχει τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

22 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ L L L L 0 4 L L L 0 4 (5 0 και 5 L L (5 7 L 7 L γ Αντικαθιστώντας τις τιμές τν, σε μια από τις σχέσεις (9 προκύπτουν οι λόγοι τν πλατών: Για είναι: 7 7 Οπότε (t A cos( t φ, (t A cos( t φ ος τρόπος Για είναι: 7 7 Οπότε (t A cos( t φ, (t A cos( t φ ος τρόπος Άρα στη γενικότερη περίπτση που έχουν διεγερθεί ταυτόχρονα και οι δύο τρόποι ταλάντσης, οι σχέσεις που περιγράφουν την κίνηση τν μαζών του συστήματος θα δίνονται από την υπέρθεση τν σχέσεν που περιγράφουν την κίνηση σε κάθε κανονικό τρόπο, δηλαδή: (t A cos( t φ A cos( t φ (0 7 7 (t A cos( t φ A cos( t φ ( Επειδή το σύστημα του σχήματος δεν παρουσιάζει συμμετρία ώστε με προσθαφαίρεση να προκύψουν οι κανονικές συντεταγμένες, θερούνται ς κανονικές συντεταγμένες οι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

23 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ξ (t A cos( t φ και ξ (t A cos( t φ Οπότε οι σχέσεις (0 και ( δίνουν: ξ ξ και ( 7ξ ( 7 ( ξ Άρα λύνοντας το σύστημα τν εξισώσεν ( προκύπτουν οι κανονικές συντεταγμένες συναρτήσει τν ς:, ξ ( 7 7 και ξ ( 7 7 ΘΕΜΑ 0 Εκκρεμές μήκους και μάζας εκτελεί μικρές ταλαντώσεις γύρ από τη θέση ισορροπίας έχοντας συνδεθεί μέσ ελατηρίου σταθεράς με σώμα μάζας, που μπορεί να κινείται ελεύθερα και χρίς τριβές σε οριζόντιο επίπεδο. α Να γραφούν οι εξισώσεις κίνησης για μικρές ταλαντώσεις από τη θέση ισορροπίας. β Να υπολογιστούν οι ιδιοσυχνότητες και οι κανονικές μεταβλητές του συστήματος, αν και /. Λύση ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

24 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ θ ( - Τ Τ y ( - T α Έστ ότι κάποια χρονική στιγμή η μετατόπιση της μάζας της είναι, ενώ η απομάκρυνση της μάζας από την θέση ισορροπίας του εκκρεμούς από την κατακόρυφη θέση είναι (. Αν η αρχική απόσταση μεταξύ τν μαζών ισούται με το φυσικό μήκος του ελατηρίου, τότε στη τυχαία θέση το ελατήριο ασκεί δύναμη ( στις δύο μάζες με φορά που φαίνεται στο σχήμα. Επίσης στη μάζα ασκείται και η συνιστώσα της τάσης του νήματος T Tsin θ. Επομένς εφαρμόζοντας το ο νόμο του Newton σε κάθε μάζα χριστά προκύπτει: Για τη μάζα : F α F F y α 0 T ( y T T cosθ α ( T cosθ Tsin θ ( ( Έτσι η ( λόγ της ( γίνεται: ( ( tan θ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

25 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Αλλά επειδή η μάζα και από το σχήμα είναι: εκτελεί μικρές ταλαντώσεις ισχύει η προσέγγιση μικρών γνιών tan θ Οπότε τελικά η ( λόγ της (4 γράφεται: sin θ (4 ( 0 (5 Για τη μάζα : F α ( 0 (6 Οι σχέσεις (5, (6 αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης του συστήματος. β Για και / οι εξισώσεις κίνησης (5 και (6 γίνονται: 0 (7 0 (8 Θερώντας λύσεις της μορφής (t=acos(t+φ, (t=βcos(t+φ και αντικαθιστώντας στις εξισώσεις (7 και (8 προκύπτει: 0 0 A B 0 B 0 (9 Ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς συστήματος (9 παρέχει τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

26 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ( 0 και ( 5 5 Αντικαθιστώντας τις τιμές τν, σε μια από τις σχέσεις (9 προκύπτει ο λόγος τν πλατών: Για είναι: 5 5 Οπότε (t A cos( t φ, (t A cos( t φ ος τρόπος Για είναι: 5 5 Οπότε (t A cos( t φ, (t A cos( t φ ος τρόπος Άρα γενικά είναι: (t A cos( t φ A cos( t φ (0 5 5 (t A cos( t φ A cos( t φ Θερώντας ς κανονικές συντεταγμένες τις: ξ (t A cos( t φ και ξ (t A cos( t φ οι σχέσεις (0 και ( δίνουν: ξ ξ και ( 5ξ ( 5 ξ ( Άρα λύοντας το σύστημα τν εξισώσεν ( προκύπτουν οι κανονικές συντεταγμένες συναρτήσει τν, ς: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

27 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ξ ( 5 5 και ξ ( 5 5 ΘΕΜΑ Όταν το εκκρεμές του συστήματος του σχήματος βρίσκεται στην κατακόρυφη θέση, τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος. Να υπολογιστούν οι συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης του συστήματος. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

28 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ( - ( - T θ Τ Λύση Έστ ότι σε μια τυχαία χρονική στιγμή οι μετατοπίσεις τν δύο μαζών από τις θέσεις ισορροπίας τους είναι και. Τότε και τα δύο ελατήρια είναι συσπειρμένα και οι δυνάμεις που ασκούν στις μάζες φαίνονται στο σχήμα. Επιπλέον στη μάζα του εκκρεμούς ασκείται και η συνιστώσα της τάσης του νήματος. Η εξίσση κίνησης της μάζας του εκκρεμούς προσδιορίζεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, όπς έγινε στο Θέμα 0, και είναι η εξίσση (5. Δηλαδή: αντίστοιχα, με 0 ( Ενώ για την άλλη μάζα ο ος νόμος του Newton τώρα δίνει: F α ( 0 ( Θερώντας λύσεις της μορφής (t Acos(t φ, Bcos(t φ και αντικαθιστώντας στις εξισώσεις ( και ( προκύπτει: A B 0 0 A B 0 B 0 Ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς συστήματος ( δίνει τις ζητούμενες συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης: ( ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

29 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ , 4 ΘΕΜΑ Όχημα μάζας Μ είναι συνδεδεμένο με ελατήριο σταθεράς σε ακλόνητο κατακόρυφο τοίχο και μπορεί να κινείται χρίς τριβές σε οριζόντιο λείο επίπεδο. Από την οροφή του οχήματος είναι αναρτημένο εκκρεμές που αποτελείται από νήμα μήκους και αμελητέας

30 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ μάζας, στην άκρη του οποίου υπάρχει σημειακή μάζα και όλο το σύστημα βρίσκεται σε πεδίο βαρύτητας. Θερείστε ότι το σύστημα διαταράσσεται οριζόντια, έτσι ώστε το εκκρεμές να εκτελεί ταλαντώσεις μικρού πλάτους. α Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης τν μαζών Μ και. β Υποθέστε ότι το σύστημα εκτελεί κανονικό τρόπο ταλάντσης και βρείτε τη σχέση υπολογισμού τν συχνοτήτν τν κανονικών τρόπν ταλάντσης. γ Υποθέστε ότι / / M ο και =M και υπολογίστε τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης και τα αντίστοιχα πηλίκα τν πλατών ταλάντσης τν μαζών Μ και. Λύση Τ θ Τ Τ y Τ Τ M α Έστ ότι κάποια χρονική στιγμή οι απομακρύνσεις του κέντρου του οχήματος και της μάζας του εκκρεμούς από τις θέσεις ισορροπίας τους είναι και αντίστοιχα. Χρίς βλάβη της γενικότητας θερείται ότι το εκκρεμές είναι αναρτημένο στο μέσο του οχήματος. Οι δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημα οχήματος εκκρεμούς φαίνονται στο σχήμα. Συνεπώς εφαρμόζοντας το ο νόμο του Newton για κάθε μάζα ξεχριστά προκύπτει: Για τη μάζα του εκκρεμούς: F α F F y α 0 T T y α Tsin θ T cosθ T cosθ ( ( Έτσι η ( λόγ της ( δίνει: tan θ tan θ ( ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

31 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Επειδή όμς το εκκρεμές εκτελεί ταλαντώσεις μικρού πλάτους, η γνία θ είναι μικρή και ισχύει: Άρα η ( λόγ της (4 δίνει: Για τη μάζα Μ του οχήματος: tan θ sin θ (4 ( 0 (5 F Mα ( (4 Tsin θ M M tan θ ( 0 (6 M M M M Οι σχέσεις (5 και (6 αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης του συστήματος. β Θερώντας λύσεις της μορφής : (t Acos(t φ, ( t Bcos(t φ και αντικαθιστώντας στις εξισώσεις (5 και (6 προκύπτει το σύστημα για τα πλάτη: M M A M B 0 M M B 0 M (7 ` 0 A B 0 Ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς συστήματος (7 δίνει τη σχέση υπολογισμού τν συχνοτήτν τν κανονικών τρόπν ταλάντσης: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

32 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ M M M 0 M M M 0 4 M M 0 M Οι λύσεις της παραπάν δευτεροβάθμιας εξίσσης είναι: 4 ( M 0, ( M ( M 4M (8 M γ Για / / M M και M η (8 γίνεται:, M (M M 4M M 5M M ( 5 Δηλαδή: ( 5 και ( 5 Αντικαθιστώντας τις τιμές τν, στη δεύτερη τν σχέσεν (7 προκύπτουν οι λόγοι τν πλατών ταλάντσης: Για ( 5 είναι: 5 Για ( 5 είναι: 5 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

33 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Δύο ιδανικά εκκρεμή μάζας και μήκους το καθένα, κρέμονται από δύο διαφορετικά σημεία της οροφής μικρού οχήματος μάζας Μ, το οποίο μπορεί να κινείται ελεύθερα, χρίς τριβές, πάν σε οριζόντιο επίπεδο. Το σύστημα βρίσκεται μέσα σε κατακόρυφο πεδίο βαρύτητας. Τα δύο εκκρεμή εκτρέπονται κατά μικρές γνίες από την κατακόρυφο, έτσι ώστε να κάνουν μικρές ταλαντώσεις, μένοντας στο κατακόρυφο επίπεδο που περνάει από τα σημεία ανάρτησης. α Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης για κάθε ένα από τα τρία σώματα (,, M. β Υποθέστε ότι το σύστημα εκτελεί κίνηση σε κανονικό τρόπο ταλάντσης και διατυπώστε τη συνθήκη υπολογισμού τν συχνοτήτν τν κανονικών τρόπν ταλάντσης. γ Επιλύσετε τη χαρακτηριστική εξίσση για την περίπτση =M και προσδιορίστε τις συχνότητες και το λόγο τν πλατών τν κανονικών τρόπν ταλάντσης. Λύση Θ.Ι. Τ Τ M C Τ C θ Τ Τ N M θ Τ α Έστ ότι σε μια τυχαία χρονική στιγμή οι απομακρύνσεις τν δύο μαζών από τις αρχικές θέσεις ισορροπίας τους είναι και αντίστοιχα, ενώ η μετατόπιση του κέντρου του οχήματος από τη θέση ισορροπίας είναι. Σε κάθε εκκρεμές ασκείται η τάση του νήματος και το βάρος του, ενώ στο όχημα ασκούνται οι τάσεις του νήματος από τα δύο εκκρεμή, το βάρος του και η κάθετη αντίδραση, όπς φαίνεται στο σχήμα. Επομένς εφαρμόζοντας το ο νόμο του Newton για κάθε μάζα ξεχριστά προκύπτει: Για το πρώτο εκκρεμές: F α F F y α 0 T T y α T T cosθ sin θ T cosθ ( ( ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

34 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Οπότε η ( λόγ της ( δίνει: tan θ tan ( θ Αλλά επειδή εκτελούνται μικρές ταλαντώσεις οι γνίες είναι μικρές και από το σχήμα εύκολα φαίνεται ότι: tan θ sin θ (4 tan θ sin θ (5 Δηλαδή η ( λόγ της (4 γράφεται: ( ( 0 (6 Για το δεύτερο εκκρεμές: Αντίστοιχα με τα προηγούμενα προκύπτει: (5 tan θ ( ( 0 (7 Για το όχημα: F Mα T ( T Mα T sin θ T sin θ M ( tan θ tan θ M (4,(5 ( M ( M 0 (8 Οι σχέσεις (6, (7, και (8 αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης του συστήματος. β Θερώντας λύσεις της μορφής : (t Acos(t φ, ( t Bcos(t φ, (t cos(t φ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

35 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ και αντικαθιστώντας στις εξισώσεις (6, (7, (8 προκύπτει: (A 0 0 ( 0 B 0 (9 (A B 0 A B M M M M 0 Ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς συστήματος (9 δίνει τη συνθήκη υπολογισμού τν συχνοτήτν τν κανονικών τρόπν ταλάντσης: 0 M 0 M M 0 0 M M M 0 M M 4 M 0 (0 γ Για =M η (0 γίνεται: 4 0 και Με αντικατάσταση τν τιμών τν, στις σχέσεις (9 προκύπτει ο λόγος τν πλατών. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

36 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Για είναι: Γ=0 και ος τρόπος Δηλαδή αντιστοιχεί στην περίπτση που το όχημα είναι ακίνητο και τα δύο εκκρεμή έχουν αντίθετες αποκλίσεις για όλους τους χρόνους (δηλ. θ= θ. Για είναι: και ος τρόπος Δηλαδή αντιστοιχεί στην περίπτση που τα εκκρεμή είναι ανά πάσα στιγμή παράλληλα (δηλ., ενώ το όχημα ταλαντώνεται σε φάση ς προς τα εκκρεμή. θ θ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

37 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 4 Δύο εκκρεμή ίδιου μήκους νήματος και ίσν μαζών κρέμονται από μια οροφή. Οι δύο μάζες είναι συνδεδεμένες με ελατήριο σταθεράς και φυσικού μήκους όσο και η απόσταση τν σημείν ανάρτησής τους. Κατά μήκος της ευθείας που ορίζουν οι δύο μάζες και εξτερικά ς προς αυτές, οι μάζες συνδέονται με ακλόνητα σημεία μέσ ελατηρίν σταθεράς, τα οποία έχουν το φυσικό τους μήκος όταν τα εκκρεμή είναι κατακόρυφα. Απομακρύνουμε λίγο τις δύο μάζες από την κατάσταση ισορροπίας, μετατοπίζοντάς τις οριζόντια, έτσι ώστε να παραμείνουν στο αρχικό κατακόρυφο επίπεδό τους. α Να γραφούν οι εξισώσεις κίνησης τν δύο μαζών. β Να υπολογιστούν οι συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης, καθώς και ο λόγος τν πλατών ταλάντσης για καθένα από τους δύο τρόπους. Λύση θ θ Τ Τ y Τ Τ y ( - ( - Τ Τ α Έστ ότι κάποια χρονική στιγμή οι μάζες τν εκκρεμών έχουν μετατοπιστεί από τις θέσεις ισορροπίας τους κατά και ( > αντίστοιχα. Επειδή > το μεσαίο ελατήριο έχει επιμηκυνθεί και ασκεί στις δύο μάζες δυνάμεις ( - που κατευθύνονται προς αυτό, ενώ το αριστερό ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά και ασκεί στην αριστερή μάζα δύναμη προς τα αριστερά και το δεξιό ελατήριο έχει συσπειρθεί κατά και ασκεί ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

38 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ στη δεξιά μάζα δύναμη, προς τα αριστερά. Επιπλέον στις δύο μάζες ασκούνται οι οριζόντιες συνιστώσες τν τάσεν τν νημάτν. Άρα σύμφνα με το ο νόμο του Newton οι εξισώσεις κίνησης τν δύο μαζών είναι: Για το αριστερό εκκρεμές: F α F F y α 0 T T y T T ( cosθ sin θ T ( cosθ ( ( Οπότε η ( λόγ της ( δίνει: tan θ ( ( Επειδή όμς εκτελούνται μικρές ταλαντώσεις η γνία tan θ sin θ, οπότε η ( γράφεται: ( θ είναι μικρή και ισχύει Για το δεξιό εκκρεμές: 0 (4 F α F F y α 0 T T y Έτσι η (5 λόγ της (6 δίνει: ( T sin θ ( T cosθ T cosθ (5 (6 tan θ ( (7 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

39 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Λόγ όμς τν μικρών ταλαντώσεν η γνία είναι tan θ sin θ, και η (7 γράφεται: θ ( είναι μικρή και ισχύει 0 (8 Οι σχέσεις (4 και (8 αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης τν μαζών του συστήματος. β Θερώντας λύσεις της μορφής : (t Acos(t φ, ( t Bcos(t φ και αντικαθιστώντας στις σχέσεις (4 και (8 προκύπτει: A B 0 B A B 0 0 (9 A B 0 Ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς συστήματος (9 δίνει τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης: 0 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

40 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ και Αντικαθιστώντας τις τιμές τν πλατών ταλάντσης:, σε μια από τις σχέσεις (9 προκύπτουν οι λόγοι τν Για είναι: ος τρόπος Για είναι: ος τρόπος ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

41 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 5 Κιβώτιο μάζας Μ βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο, χρίς τριβές και είναι συνδεδεμένο σε ακλόνητο κατακόρυφο τοίχο με ελατήριο σταθεράς. Στο εστερικό του κιβτίου βρίσκεται σώμα μάζας συνδεδεμένο με τις απέναντι πλευρές του κιβτίου μέσ ελατηρίν με σταθερές και, όπς στο σχήμα. α Υποθέτοντας μικρή οριζόντια διαταραχή του συστήματος από την κατάσταση ισορροπίας, να γράψετε τις εξισώσεις κίνησης για κάθε σώμα. β Να υπολογίσετε τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης για την περίπτση που M=/ και. γ Να υπολογίστε το λόγο τν πλατών ταλάντσης τν δύο σμάτν για καθένα από τους κανονικούς τρόπους ταλάντσης. Λύση M ( - ( - ( - ( - α Θερείται ότι αρχικά στη θέση ισορροπίας του συστήματος, το σώμα μάζας βρίσκεται στο κέντρο του κιβτίου. Έστ ότι κάποια μεταγενέστερη χρονική στιγμή το κέντρο του κιβτίου και η μάζα έχουν μετατοπιστεί κατά και αντίστοιχα από τη θέση ισορροπίας τους. Τότε το ελατήριο σταθεράς είναι επιμηκυνμένο κατά και ασκεί δύναμη στο κιβώτιο, ενώ το ελατήριο σταθεράς είναι επιμηκυνμένο κατά - και ασκεί δύναμη ( - στο σώμα μάζας και στην αριστερή πλευρά του κιβτίου, όπς φαίνεται στο σχήμα. Επίσης το ελατήριο σταθεράς είναι συσπειρμένο κατά -, και ασκεί δύναμη ( - στη μάζα και στη δεξιά πλευρά του ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

42 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ κιβτίου, όπς φαίνεται στο σχήμα. Συνεπώς εφαρμόζοντας το ο νόμο του Newton για κάθε σώμα ξεχριστά προκύπτει: Για το κιβώτιο: M ( ( ( ( 0 ( M Για το σώμα μάζας : ( ( ( ( 0 ( β Για M=/ και οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος (, ( γίνονται: 0 ( 0 (4 Θερώντας λύσεις τις μορφής (t Acos(t φ, (t Bcos(t φ και αντικαθιστώντας στις εξισώσεις ( και (4 προκύπτει: 0 0 (5 0 ( B 0 Ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς συστήματος (5 δίνει τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης: 0 ( 0 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

43 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Οι λύσεις της δευτεροβάθμιας αυτής εξίσσης ς προς είναι: και γ Αντικαθιστώντας τις τιμές τν, σε μια από τις σχέσεις (5 προκύπτει ο λόγος τν πλατών ταλάντσης: Για είναι: ος τρόπος Για είναι: ος τρόπος ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

44 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 6 Σώμα μάζας ολισθαίνει χρίς τριβές στο εστερικό κυκλικής τροχιάς ακτίνας R. Στο σώμα είναι προσαρτημένο εκκρεμές μήκους, που φέρει στο άκρο του μάζα επίσης. Αν το σύστημα τν δύο σμάτν αφεθεί να εκτελέσει μικρές ταλαντώσεις από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας του να υπολογιστούν οι συχνότητες και οι λόγοι τν πλατών τν κανονικών τρόπν ταλάντσης. Λύση Ο R / 4 θ R sinθ θ Τ Τ Τ Τ Τ y Έστ ότι κάποια τυχαία χρονική στιγμή, οι απομακρύνσεις τν δύο μαζών από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας τους είναι και αντίστοιχα, όπς φαίνεται στο σχήμα. Οι δυνάμεις που ασκούνται στις δύο μάζες φαίνονται στο σχήμα κι επομένς εφαρμόζοντας το ο νόμο του Newton για κάθε μάζα ξεχριστά προκύπτει: Για τη μάζα του εκκρεμούς: F α T Tsin θ ( F 0 T Tcosθ T / cos θ ( y y ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

45 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Οπότε η ( λόγ της ( δίνει: tan θ tαn ( θ Αλλά λόγ τν μικρών ταλαντώσεν η γνία θ είναι μικρή και ισχύει : tan θ sin θ (4 Άρα η ( λόγ της (4 για R / 4 δίνει: 4 ( ( 0 ( 0 (5 R Για το σώμα μάζας : F α T sin θ Tsin θ sin θ ( (4 tαn θ sin θ ( sin θ (6 ( Αλλά από το σχήμα εύκολα προκύπτει ότι: τελικά γράφεται: sin θ / R και επειδή R / 4, η ( ( 0 (7 R R R R Θερώντας λύσεις της μορφής (t Acos(t φ, (t Bcos(t φ και αντικαθιστώντας στις εξισώσεις κίνησης (7 και (5 προκύπτει: 7 R 4 R 0 7 R 4 0 R (8 4 R 4 R 0 4 R 4 R B 0 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

46 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς συστήματος (8 δίνει τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης: 7 R 4 R 4 R 4 R 0 7 R 4 R 6 9R 0 4 ( 0 και R 9 R ( 7 6 R 6 7 R Τελικά αντικαθιστώντας τις τιμές τν τν πλατών ταλάντσης:, σε μια από τις σχέσεις (8 προκύπτει ο λόγος Για ( 7 είναι: 6 R 7 8 ος τρόπος Για ( 7 είναι: 6 R 7 8 ος τρόπος ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

47 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 7 Εκκρεμές μήκους R και μάζας είναι δεμένο στην περιφέρεια ομογενούς δακτυλίου ακτίνας R και μάζας. Ο δακτύλιος είναι ελεύθερος να περιστρέφεται χρίς τριβές ς προς ένα περιφερειακό σημείο ανάρτησης, όπς φαίνεται στο σχήμα. Αν το σύστημα τν δύο σμάτν αφεθεί να εκτελέσει μικρές ταλαντώσεις γύρ από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας του, να υπολογιστούν οι ιδιοσυχνότητες ταλάντσης. Δίνεται η ροπή αδράνειας του δακτυλίου ς προς το σημείο στήριξης:. Λύση R Α φ R O Εξετάζοντας αρχικά την ταλάντση μόνο του δακτυλίου σε μια τυχαία θέση, καθώς έχει περιστραφεί κατά γνία φ από τη θέση ισορροπίας του, με εφαρμογή του θεμελιώδη νόμου της περιστροφικής κίνησης προκύπτει: R τ φ R R sin φ R sin φ 0 φ Αλλά για μικρές ταλαντώσεις η γνία φ είναι μικρή και ισχύει: Άρα η εξίσση κίνησης ενός δακτυλίου είναι: sin φ φ φ 0 ( R φ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

48 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ φ Παρατηρείται ότι η εξίσση ( ισοδυναμεί με εξίσση απλού εκκρεμούς μήκους. Άρα το ισοδύναμο σύστημα του δακτυλίου εκκρεμούς είναι το διπλό εκκρεμές του απέναντι σχήματος. Έστ ότι μια τυχαία χρονική στιγμή οι απομακρύνσεις τν μαζών του συστήματος από τη θέση ισορροπίας τους είναι και αντίστοιχα. Οι δυνάμεις που ασκούνται στις μάζες είναι οι τάσεις από τα νήματα και τα βάρη τους, όπς φαίνονται στο σχήμα. R Εφαρμόζοντας το ο νόμο του Newton για κάθε μάζα ξεχριστά προκύπτει: Για την κάτ μάζα: R Τ θ Τ Τ R F α F F y α 0 T T y Οπότε η ( λόγ της ( δίνει: α T T sin θ cosθ T cosθ ( ( tan θ tan θ (4 Αλλά λόγ τν μικρών ταλαντώσεν είναι: tan θ sin θ (5 R Άρα η (4 λόγ της (5 γράφεται: Για την πάν μάζα: ( ( 0 (6 R R F α F F y α 0 T T y T T T y α T T cos φ T sin φ T cos φ T sin θ cosθ / cos φ ( (7 (6 Οπότε η (7 λόγ τν (8 και ( γίνεται: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

49 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ tan φ tan θ tan φ tan θ (9 Επίσης λόγ μικρών ταλαντώσεν είναι: Άρα η (9 λόγ τν (0 και (5 γράφεται: tan φ sin φ (0 R ( 0 ( R R R R Οι σχέσεις (6 και ( αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης του συστήματος. Θερώντας λύσεις της μορφής (t Acos(t φ, ( t Bcos(t φ και αντικαθιστώντας στις εξισώσεις κίνησης (6, ( προκύπτει: R R R 0 R ( 0 R 0 R R ( B 0 Ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς συστήματος ( δίνει τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης: R R R R 0 R R R 0 4 ( 0 και R R ( 5 R 5 R ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

50 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 8 Δύο ομοιόμορφες λεπτές ράβδοι μάζας η κάθε μία και μήκους και αντίστοιχα κρέμονται από την οροφή και ενώνονται μεταξύ τους με ένα ελατήριο σταθεράς όπς φαίνεται στο σχήμα. Το σύστημα μετατοπίζεται λίγο από τη θέση ισορροπίας του και αφήνεται ελεύθερο. Να υπολογιστούν οι συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης του συστήματος. (Δίνεται ροπή αδράνειας ράβδου μάζας και μήκους ς προς το άκρο της: I /. Λύση A B θ θ ( - ( - Έστ ότι μια τυχαία χρονική στιγμή οι απομακρύνσεις τν δύο ραβδών από τις θέσεις ισορροπίας τους είναι θ και θ αντίστοιχα (με θ< θ, οι οποίες αντιστοιχούν σε απομακρύνσεις, τν σημείν τους σύνδεσης με το ελατήριο από τη θέση ισορροπίας του (με <. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

51 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Έτσι το ελατήριο είναι επιμηκυνμένο κατά (- και ασκεί δυνάμεις (- στα σημεία σύνδεσής του με τις ράβδους, όπς φαίνεται στο σχήμα. Επίσης σε κάθε ράβδο ασκείται στο μέσο της το βάρος της. Συνεπώς εφαρμόζοντας το θεμελιώδη νόμο της περιστροφικής κίνησης σε κάθε ράβδο ς προς το σημείο ανάρτησής της προκύπτει: Για την αριστερή ράβδο: τ π sin θ ( sin θ ( θ 4 sin θ ( cosθ θ ( Αλλά λόγ τν μικρών ταλαντώσεν του συστήματος οι γνίες θ, θ είναι μικρές και ισχύουν: sin θ θ, cosθ, θ και θ, οπότε η ( γράφεται: 4 θ θ ( θ θ θ θ (θ θ 4 4 θ θ θ 0 ( Για τη δεξιά ράβδο: τ sin θ π sin θ ( θ sin θ ( cosθ θ ( Αλλά επειδή οι γνίες θ, θ είναι μικρές ισχύουν: Οπότε η ( γίνεται: sin θ θ, cosθ, θ, θ θ θ ( θ θ θ θ (θ θ θ θ θ 0 (4 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

52 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ θ Θερώντας λύσεις της μορφής (t Acos(t φ, θ (t Bcos(t φ και αντικαθιστώντας στις εξισώσεις ( και (4 προκύπτει: A B B 0 (5 Ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς συστήματος (5 δίνει τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης: Οι λύσεις της τελευταίας εξίσσης είναι: , ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

53 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 9 Κύλινδρος μάζας Μ και ακτίνας R (ροπή αδράνειας περί τον άξονα συμμετρίας του I MR /, είναι στερεμένος σε οριζόντιο άξονα περί τον οποίο μπορεί να περιστρέφεται χρίς τριβές. Δύο ελατήρια με σταθερές και είναι στερεμένα σε δύο σημεία Α και Β της περιφέρειας του κυλίνδρου, όπς στο σχήμα. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεμένο σε ακλόνητο τοίχο, ενώ από το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου κρέμεται σώμα μάζας. α Να γραφούν οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος για μικρές απομακρύνσεις από την κατάσταση ισορροπίας. β Να υπολογιστούν οι συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης του συστήματος αν και M=4. Λύση ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

54 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ A F = Μ O φ R B F = ( - F = ( - α Έστ ότι κάποια χρονική στιγμή οι επιμηκύνσεις τν δύο ελατηρίν από τη θέση ισορροπίας τους, όπου έχουν τα φυσικά τους μήκη, είναι και αντίστοιχα (<. Στη θέση αυτή το ελατήριο σταθεράς είναι επιμηκυνμένο κατά, ενώ το ελατήριο σταθεράς είναι επιμηκυνμένο κατά - και οι δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημα φαίνονται στο σχήμα. Συνεπώς μελετώντας την κίνηση του κάθε σώματος του συστήματος κυλίνδρου μάζας ξεχριστά προκύπτει: Για την περιστροφική κίνηση του κυλίνδρου ο θεμελιώδης νόμος της περιστροφικής κίνησης δίνει: MR το ο F R F R MR ( ( Αλλά επειδή τα ελατήρια δεν γλιστρούν στον κύλινδρο, δηλαδή τα σημεία Α και Β είναι στιγμιαία ακίνητα ισχύει η σχέση: φr R / R ( Οπότε η ( λόγ της ( γίνεται: M ( ( 0 ( ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

55 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Για τη μεταφορική κίνηση του σώματος ο ος νόμος του Newton δίνει: F α ( (4 β Για = = και M=4 οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος γίνονται: 4 0 (5 4 (6 Για την εύρεση τν συχνοτήτν τν κανονικών τρόπν ταλάντσης του συστήματος ενδιαφέρει το ομογενές κομμάτι του συστήματος τν εξισώσεν (5 και (6. Δηλαδή: 4 0 (7 4 0 (8 Συνεπώς θερώντας λύσεις της μορφής : (t Acos(t φ, ( t Bcos(t φ και αντικαθιστώντας στις εξισώσεις κίνησης (7 και (8 με την απαίτηση να ισχύουν για κάθε t προκύπτει: (4 4 B 0 0 ( B 0 Ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς συστήματος δίνει τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης. Δηλαδή: (4 4 ( - 0 4( ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

56 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Οι λύσεις της τελευταίας εξίσσης είναι: 8, 64 8 (8 4 (4 4 και (4 4 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ