Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις

Transcript

1 Νίκος Ζανταρίδης ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας Λυμένες Ασκήσεις Προτεινόμενες Ασκήσεις

2 Αύγουστος 04 Πρόλογος Στο μικρό αρόν όνημα καταβλήθηκε ροσάθεια μιας σύντομης αρουσίασης της βασικής ύλης της Τριγωνομετρίας με στόχο τη βοήθεια των μαθητών των Λυκείων και όχι μόνο. Αφού ο μαθητής μελετήσει καλά την ύλη των σχολικών εγχειριδίων τότε μορεί να ασχοληθεί με τη θεματολογία του αρόντος φυλλαδίου και να εεκτείνει τη συλλογιστική του καθώς και την εμειρία στη λύση σύνθετων λέον ασκήσεων. Στα ροτεινόμενα θέματα σκόιμα έχουν ροστεθεί μερικά ου ήδη έχουν μελετηθεί σε ροηγούμενες σελίδες του ονήματος αυτού, με στόχο την εανάληψη και την καλύτερη εμέδωση της γενικότερης ιδέας ου εριέχουν. Έχοντας την ελίδα αλλά και την εοίθηση ότι το μικρό αυτό όνημα θα συνεισφέρει έστω και τα ελάχιστα στο δύσκολο δρόμο της μελέτης της Τριγωνομετρίας, εύχομαι στους μαθητές και γενικότερα στους αναγνώστες καλό διάβασμα. Τέλος ευχαριστώ το φίλο μου Κώστα Δόρτσιο για την ειμέλεια των κειμένων. Νίκος Ζανταρίδης Έδεσσα Αύγουστος 04

3 . ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ. Έστω Μ (, y), με (, y) ( 0,0), σημείο του ειέδου. Αν το διάνυσμα OM uuuur σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα ' και είναι ( OM) = ρ( > 0), τότε ισχύουν:. Για κάθε φ R ισχύει:. Για κάθε φ R ισχύει: ηµφ και συνφ + = ηµ φ συν φ.4 Αν, y R και ισχύει + y = ρ,( ρ > 0), τότε υάρχει φ [0, ) ώστε: = ρσυνφ και y= ρηµφ.5 Για κάθε φ R { κ / κ } + Ζ ισχύουν: συν φ εφ φ =, ηµ φ = + εφ φ + εφ φ.6 Για κάθε α, β R ισχύουν: συν( α β) = συνασυνβ + ηµαηµβ συν( α+ β) = συνασυνβ ηµαηµβ ηµ ( α β) = ηµασυνβ ηµβσυνα ηµ ( α+ β) = ηµασυνβ + ηµβσυνα εφ( α β) α + β κ + εφα+ εφβ α κ + + =, όου εφαεφβ β κ + ( κ, κ, κ Ζ),

4 εφ( α β) σφ( α β) σφ( α β) α β κ + εφα εφβ α κ + =, όου + εφαεφβ β κ + ( κ, κ, κ Ζ) α+ β κ σφασφβ α κ + =, όου σφβ + σφα β κ ( κ, κ, κ Ζ) α β κ σφασφβ + α κ =, όου σφβ σφα β κ ( κ, κ, κ Ζ).7 Τύοι του διλασίου τόξου και τριλασίου τόξου. ηµ ( α) = ηµασυνα συν( α) = συν α ηµ α = συν α = ηµ α α κ + εφα εφ( α) =, α λ ± εφ α 4 ( κ, λ Ζ) α κ σφ α σφ( α) =, α λ + σφα 4 ( κ, λ Ζ) ηµ ( α) = ηµα 4ηµ α συν( α) = 4συν α συνα α κ + 6 εφα εφ α εφ( α) =, α λ ± εφ α 6 ( κ, λ Ζ)

5 α κ σφ α εφα σφ( α) =, α λ ± σφ α ( κ, λ Ζ).8 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις = κ + θ ηµ = ηµθ ή ( κ, λ Ζ) = λ + θ = κ + θ συν= συνθ ή Ζ = λ θ κ θ, ( κ ) εφ= εφθ = + Ζ κ θ, ( κ ) σφ= σφθ = + Ζ ηµ = 0 = κ, ( κ Ζ) συν= 0 = κ +, ( κ Ζ) εφ= 0 = κ, ( κ Ζ) σφ= 0 = κ +, ( κ Ζ) ηµ = = κ +, ( κ Ζ) συν κ, = = ( κ Ζ) εφ= = κ +, ( κ Ζ) σφ= = κ +, ( κ Ζ) ηµ = = κ, ( κ Ζ) συν= = κ +, ( κ Ζ) εφ= = κ, ( κ Ζ) σφ= = κ, ( κ Ζ ) ( κ, λ ) 4

6 .9 Τριγωνομετρικοί αριθμοί χαρακτηριστικών γωνιών (σε rad) ηµ 0= 0 συν0= εφ0= 0 ηµ = συν = εφ = σφ = ηµ = συν = εφ = σφ = ηµ = συν = εφ = σφ = ηµ = συν = 0 σφ = 0.0 Αν α, β, γ R { κ / κ } 5 6 ηµ = συν = συν = ηµ = 4 5 εφ = σφ = 5 σφ = εφ = + + Ζ, τότε ισχύει: υάρχει λ Ζ + + = α+ β+ γ = λ ( εφα εφβ εφγ εφαεφβεφγ ) ώστε :. Αν α, β, γ R { κ / κ } + Ζ, τότε ισχύει: υάρχει λ Ζ + + = ώστε : α+ β + γ = λ + ( εφαεφβ εφβεφγ εφγεφα ). Αν α, β R και θ τυχαία γωνία τότε ισχύει: 5

7 αηµθ+ βσυνθ α + β. ΟΔΗΓΙΕΣ Αν δίνεται ότι ισχύει + y = ρ, ( ρ > 0 ), τότε υάρχει θ [ 0,) ώστε να ισχύει: = ρσυνθ και y= ρηµθ Αν δίνεται ότι, τότε υάρχει θ, = ) θ (ομοίως υάρχει φ [ 0, ], ώστε συνφ, ώστε = ηµθ Αν δίνεται ότι α, ( α > 0), τότε υάρχει, ισχύει: = αηµθ (ομοίως υάρχει φ [ 0, ], ώστε = ασυνφ) Αν εμφανίζεται η αράσταση, τότε είναι: οότε υάρχει θ 0, 0<, ώστε: συνθ συνθ = =.,, ώστε να Αν εμφανίζεται η αράσταση, τότε θέτουμε ηµθ θ =, 0,. (ή αντίστοιχα: συνθ, θ [ 0, ] = ) Αν εμφανίζεται η αράσταση α, ( α > 0 ), τότε ρέει να είναι: οότε θέτουμε α 0 α 0< α = ασυνθ, θ,. Αν εμφανίζεται η αράσταση α, ( α > 0), τότε θέτουμε αηµθ θ =,,. (ή αντίστοιχα: ασυνθ, θ [ 0, ] = ) Αν εμφανίζεται η αράσταση α +, ( α > 0), τότε θέτουμε αεφθ θ =,, Αν δίνεται ότι ισχύει y yz z + + =, τότε θέτουμε = σφα, = σφβ, = σφγ, με α, β, γ ( 0, ) και έχουμε: y z σφασφβ + σφβσφγ + σφγσφα = 6

8 οότε υάρχει κ Ζ ώστε α+ β+ γ = κ και εειδή 0 α β γ έχουμε ότι κ = ήκ = δηλαδή: α+ β+ γ = ήα+ β+ γ =. α β γ 0, Ειδικότερα, αν, y, z> 0, τότε,, δηλαδή τα α, β, γ είναι γωνίες τριγώνου. Αν δίνεται ότι ισχύει + y+ z= yz, τότε θέτουμε: και έχουμε: και εειδή: = εφα, y= εφβ, z= εφγ, α, β, γ, + y+ z= yz εφα+ εφβ + εφγ = εφαεφβεφγ υάρχεικ Ζώστε : α+ β + γ = κ α β γ κ ήκ ήκ α+ β+ γ = ή0ή < + + < θα και είναι α+ β+ γ =, < + + <, θα είναι = = 0 =, δηλαδή: Αν είναι, y, z> 0 τότε α, β, γ τα,, 0, α β γ θα είναι γωνίες τριγώνου.. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Να δειχθεί ότι για κάθε α, β R ισχύει: ( α+ β)( αβ) + α + β ( )( ) Λύση Εειδή α, β R, υάρχουν θ, φ,, ώστε: Έχουμε: α = εφθ, β = εφφ ( εφθ + εφφ)( εφθεφφ) φ εφ θ εφ ( + )( + ) και θα είναι α + β + γ =, δηλαδή ηµθ ηµφ ηµθ ηµφ + συνθ συνφ συνθ συνφ = = ηµ θ ηµ φ + συν θ + συν φ = 7

9 ηµθσυνφ+ ηµφσυνθ συνθσυνφ ηµθηµφ συνθσυνφ συνθσυνφ = = συν θ+ ηµ θ συν φ+ ηµ φ συν θ συν φ = ηµ ( θ+ φ) συν( θ+ φ) = ηµ [ ( θ+ φ) ]. Έτσι έχουμε: ( α+ β)( α αβ) + α + β ( )( ) = ηµ [ ( θ+ φ) ] ( α+ β)( αβ) + α + β ( )( ). Αν (,) να δειχθεί ότι: ( ) ( ) Εειδή (,), υάρχει Έχουμε:. Αν, 0 Είναι: n n n * + + <, n N, n θ 0, Λύση: ώστε cos( θ) n n ( + ) + ( ) = n ( συν( θ) ) συν( θ) n n ( συν θ) ( ηµ θ) n ( ) ( ) ( ) =. = + + = = + = n n n n n = συν θ + ηµ θ < συν θ+ ηµ θ = ( αφού 0< συνθ < και 0< ηµθ < ) = + = = n n n ( συν θ ηµ θ) y> και y + = να δειχθεί ότι: 7 + y + + y Λύση ( ) ( ) + y = + y= n 8

10 και, y > 0, οότε υάρχει θ Έχουμε: 0, τέτοιο ώστε: = συνθ, y= ηµθ. + y + + = y = = 4 4 συν θ ηµ θ συν 4 θ ηµ 4 θ ηµ θ συν θ = συν θ + ηµ θ + = = ( συν θ+ ηµ θ) = συν θ ηµ θ = ( συν θ + ηµ θ) συν θ ηµ θ + 4 = ηµ ( θ ) 6 ηµ ( θ = ) 4 + ηµ ( θ) = 4 + συν θ ηµ θ.4 Να δειχθεί ότι για κάθε α R με α ισχύει Είναι: οότε υάρχει: θ Είναι: 0, α + α Λύση α 0< α ώστε: = = α συνθ α α + α συνθ 9

11 η οοία ισχύει. + συν θ συνθ ηµθ + συνθ συνθ ηµθ + συνθ ηµθ + συνθ ηµθ συν + ηµ συνθ ηµ θ +.5 Αν α, β [,] να δειχθεί ότι: ( ( )( )) + + α β β α αβ α β Λύση Εειδή α, β [,], υάρχουν φ, θ, Έχουμε: ηµ ( φ θ) συν( φ θ) ηµ ( φ θ) συν συν( φ θ) ηµ, ώστε α = ηµφ, β = ηµθ. ( ( )( )) ( ( )( )) + + α β β α αβ α β ηµφ ηµ θ + ηµθ ηµ φ + ηµφηµθ ηµ φ ηµ θ ( ηµφηµθ συνφσυνθ) ηµφσυνθ + ηµθσυνφ+ + + ηµ ( φ+ θ) συν( φ+ θ) + + ηµ φ θ +, τοοοοισχ ί ύει..6 Να δειχθεί ότι για κάθε, y, ω R ισχύει: 0

12 y y ω ω y + y + ω + ω + Λύση Εειδή, y, ω R, υάρχουν θ, θ, θ, =, y=, = Είναι: Όμοια: Θέτουμε: Είναι: y εφθ εφθ ω εφθ εφθ εφθ, έτσι ώστε: = =... = ηµ ( θ θ y εφ θ εφ θ Εομένως θα είναι: y + + y y ω + y + ω ω + ω + = ηµ ( θ θ = ηµ ( θ θ α = θ θ, β = θ θ, γ = θ θ α+ β + γ = 0 α = ( β + γ) ηµ ( θ θ ηµα ηµ [ ( β γ) ] = = = + = ηµ ( β γ) ηµ ( β γ) = + = + = = ηµβσυνγ + ηµγσυνβ = = ηµβ συνγ + ηµγ συνβ ηµβ + ηµγ = = ηµβ + ηµγ = ( ) ( ) = ηµ θ θ + ηµ θ θ = y ω ω = + + y + ω + ω + Άρα ισχύει: y y ω ω y + y + ω + ω +

13 .7 Να λυθεί η εξίσωση: = 0 ( )( ) ( ) Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση 4 f = = ( ) ( )( ) ( ) Αν τότε f( ) > Αν τότε f( ) < 0 Έτσι για κάθε (, ] [, + ) είναι f( ). Εομένως οι λύσεις της () θα αναζητηθούν στο διάστημα (,). Για κάθε (,), υάρχει θ ( 0, ) ώστε = συνθ. Έτσι θα έχουμε: 4 8συνθ συν θ 8συν θ 8συν θ+ = Άρα: ( ) ( )( ) συνθ συν( θ) συν( θ) 8 4 = ηµθ = ηµθ συνθ συν( θ) συν( θ) ηµθ 4ηµ ( θ) συν( θ) συν( 4θ) ηµθ ηµ ( 4θ) συν( 4θ) ηµθ ηµ ( 8θ) ηµθ = = = 8θ = κ + θ ή 8θ = λ + θ ( λ + ) κ, λ Ζ κ θ = 7 ή Ζ θ = 9 κ, λ και µε θ ( 0, ) 4 6 = συν, = συν, = συν, 4 = συν = συν, 6 = συν, 7 = συν 9 9 είναι οι λύσεις της ().

14 4. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 4. Να δειχθεί ότι για κάθε α, β R ισχύει: ( α+ β)( αβ) + α + β 4. Αν (,) να δειχθεί ότι: 4. Αν, 0 y> και y ( )( ) ( ) ( ) n n n + + <, n N + = να δειχθεί ότι: 7 + y + + y 4.4 Να δειχθεί ότι για κάθε R με ισχύει 4.5 Αν, y [,] να δειχθεί ότι: + ( ( )( )) y y y y Να δειχθεί ότι για κάθε α, β, γ R ισχύει: α β β γ γ α + + α + β + β + γ + γ + α 4.7 Να λυθεί η εξίσωση: 4 ( )( ) = Αν α R και α τότε να δείξετε ότι: 4.9 Να λυθεί η εξίσωση: α + α ( )( ) = 4.0 Να λυθεί η εξίσωση: *

15 ( ( ) ( ) ) + + = + 4. Να λυθεί το σύστημα: 4 y 5 ω + = + = + y ω y+ yω+ ω= 4. Να δειχθεί ότι για κάθε, y R ισχύει: 4. Αν, y [,] και ισχύει: ( y )( y ) ( + ) ( + y ) 4 4 ( )( ) y + y = y y τότε να εκφραστεί το y συναρτήσει του. 4.4 Να λυθεί η εξίσωση: ( ) 8 6= Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της αράστασης: (, ) = ( )( ),, [,] f y y y y 4.6 Αν y, τότε να δειχθεί ότι: y + y 4.7 Να λυθεί η εξίσωση: + = Να λυθεί το σύστημα: = y y = y 4

16 Βιβλιογραφία. Διαγωνισμοί Βιετνάμ.(Διαδικτυακός χώρος). Περιοδικό «Ευκλείδης» της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. 5