H ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "H ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ"

Transcript

1 H ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ.

2 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ. Μία από τις χρησιµότερες εφαρµοές της χρήσης ενός οικονοµετρικού συστήµατος είναι η δυνατότητα διενέρειας προλέψεων. Οι προλέψεις ανάλοα µε το χρονικό τους ορίζοντα µπορούν να χαρακτηριστούν είτε ως ραχυχρόνιες είτε ως µακροχρόνιες. Οι ραχυχρόνιες προλέψεις έχουν συνήθως ορίζοντα µιάς ή το πολύ τριών περιόδων, ενώ οι µακροχρόνιες προλέψεις έχουν κατά κανόνα µεαλύτερο χρονικό ορίζοντα. Οι ραχυχρόνιες προλέψεις ασίζονται στην ανοιµένη µορφή των εξισώσεων ενός συστήµατος. Η ανηµένη µορφή ενός συστήµατος διαρθρωτικών εξισώσεων: B Γ u (ΖΖΖ.) προκύπτει ως εξής: B B B Γ B u B B I (ΖΖΖ.) B Γ B u ή v (ΖΖΖ.3) όπου B Γ, v B u (ΖΖΖ.4) Αναλυτικότερα εφόσον έχουµε εκτιµήσεις των παραµέτρων ( ij ) GK µπορούµε να λάουµε προλέψεις ια την εξέλιξη των ενδοενών µεταλητών ια κάθε εξίσωση του συστήµατος χωριστά ως εξής: ( T j ) ˆ T j ˆ (ΖΖΖ.5) E Η εφαρµοή της παραπάνω σχέσης προϋποθέτει φυσικά ότι νωρίζουµε εκ των προτέρων την εξέλιξη των τιµών των εξωενών µεταλητών.

3 Παράδειµα. Με άση την ανοιµένη µορφή ενός συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο ανεξάρτητες (εξωενείς) µεταλητές οι ραχυχρόνιες προλέψεις ια τις δύο ενδοενείς µεταλητές και, µπορούν να ληφθούν ως εξής: (ΖΖΖ.6) Άρα έχοντας στην διάθεση µας τις παραµέτρους της ανηµένης µορφής του συστήµατος των εξισώσεων καθώς και τιµές των εξωενών µεταλητών την περίοδο προλέψεων µπορούµε να λάουµε και τις ανάλοες προλέψεις. ˆ ˆ f f f f f f (ΖΖΖ.7) Θα πρέπει επίσης να τονίσουµε ότι εάν µεταξύ των εξωενών µεταλητών ενός συστήµατος υπάρχουν και ενδοενείς µε χρονική υστέρηση, τότε οι ραχυχρόνιες προλέψεις θα προέλθουν πάλι από την ανοιµένη µορφή του συστήµατος, η οποία όµως τώρα θα ραφτεί ως εξής: v (ΖΖΖ.8) [ ] (ΖΖΖ.9) (ΖΖΖ.) Συνδυάζοντας τις (ΖΖΖ.8), (ΖΖΖ.9) και (ΖΖΖ.) η ανοιµένη µορφή του συστήµατος των εξισώσεων µπορεί να ραφτεί ως εξής: [ ] v v (ΖΖΖ.) όπου οι µήτρες της ανοιµένης µορφής ορίζονται ως εξής: όπου πλέον οι τιµές της µεταλητών την περίοδο Τ. ( T j ) T j T E (ΖΖΖ.) θα είναι οι ανάλοες προλέψεις των ενδοενών 3

4 ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ. Οι µακροχρόνιες προλέψεις σε σχέση µε κάποια περίοδο άσης έστω Τ, θα είναι οι εξής. T, T, K, T n όπου h είναι ο αριθµός των περιόδων που θα κάνουµε προλέψεις, σε σχέση πάντοτε µε την περίοδο Τ. Οι µακροχρόνιες προλέψεις θα προκύψουν πάλι από την ανοιµένη µορφή του συστήµατος των εξισώσεων. (ΖΖΖ.3) Επειδή όµως στην παραπάνω σχέση υπάρχουν έντονα δυναµικά χαρακτηριστικά στα οποία αναµένουµε να εκδηλωθούν κατά την διάρκεια των προλέψεων, αυτά τα χαρακτηριστικά θα πρέπει να ληφθούν υπόψη. Λύνουµε δυναµικά το σύστηµα των εξισώσεων ως εξής: Αντικαθιστούµε διαδοχικά την στην (ΖΖΖ.3) ως εξής: ( ) L ( L) ( L) ( L L L ) L L (ZZZ.4) 4

5 M d d d d d d k k άρα οι υναµικές προλέψεις θα είναι: d d d d d L d L s s s ( L ) s 5

6 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΠΟΙΗΣΕΩΣ. Εισαωή Είδαµε στα προηούµενα κεφάλαια ότι η ανοιµένη µορφή του υποδείµατος είναι κατάλληλη ια την ανάλυση των επιδράσεων που έχουν οι µεταολές στις εξωενείς µεταλητές πάνω στις ενδοενείς µεταλητές. ηλαδή, η ανοιµένη µορφή είναι κατάλληλη ια την πρόλεψη των τιµών των ενδοενών µεταλητών. Αν, εποµένως το ενδιαφέρον µας περιορίζεται µόνο στις προλέψεις, τότε δεν είναι απαραίτητο να νωρίζουµε τις διαρθρωτικές παραµέτρους του υποδείµατος. Με άλλα λόια, η νώση ή η εκτίµηση των παραµέτρων της ανοιµένης µορφής είναι αρκετή ια την πρόλεψη των τιµών των ενδοενών µεταλητών. Αν όµως το ενδιαφέρον µας δεν περιορίζεται µόνο στις προλέψεις αλλά περιλαµάνει και έλεχο υποθέσεων σχετικά µε τη συµπεριφορά των οικονοµικών µεταλητών, η εκτίµηση των διαρθρωτικών παραµέτρων είναι απαραίτητη. Η εκτίµηση των διαρθρωτικών παραµέτρων χρειάζεται, ακόµη και ια την περίπτωση που µας ενδιαφέρουν µόνο οι προλέψεις, αν ανάµεσα στην περίοδο εκτιµήσεως ή παρατηρήσεως (observaion period) και στην περίοδο που αναφέρονται οι προλέψεις (predicion period) µεσολαούν διαρθρωτικές αλλαές. Κι αυτό ιατί, ενώ οι διαρθρωτικές σχέσεις είναι αυτόνοµες, δηλαδή µεταολές στην εξειδίκευση της µίας, π.χ. µεταολή σε µία παράµετρο, δεν επηρεάζουν τις υπόλοιπες, αντίθετα, όλες οι σχέσεις της ανοιµένης µορφής µπορούν να επηρεασθούν από µία διαρθρωτική µεταολή. Αυτό σηµαίνει ότι ια να ρούµε τις νέες παραµέτρους ανοιµένης µορφής, θα πρέπει να ξέρουµε τις διαρθρωτικές παραµέτρους. Εποµένως, και στη µία και στην άλλη περίπτωση είναι απαραίτητη η νώση των διαρθρωτικών παραµέτρων. Είδαµε στο προηούµενο κεφάλαιο ότι µπορούµε πάντοτε να εκτιµήσουµε τις παραµέτρους ανοιµένης µορφής. Το ερώτηµα είναι, αν από τις παραµέτρους ανοιµένης µορφής µπορούµε να συνάουµε τις διαρθρωτικές παραµέτρους. Κατά πόσο αυτό είναι δυνατό, αποτελεί το πρόληµα της ταυτοποιήσεως που θα εξετάσουµε σ αυτό το κεφάλαιο. λ. Chris (966) σελ

7 Συνθήκες Ταυτοποιήσεως. Από την εξέταση των προηούµενων υποδειµάτων µε δύο εξισώσεις, παρατηρούµε ότι µία διαρθρωτική εξίσωση ταυτοποιείται όταν δεν περιλαµάνει µία µεταλητή η οποία όµως περιλαµάνεται στην άλλη διαρθρωτική εξίσωση. Η εξίσωση δεν ταυτοποιείται όταν περιλαµάνει όλες τις µεταλητές που εµφανίζονται στο υπόδειµα, δηλαδή και στις δύο εξισώσεις. Η απουσία µιάς µεταλητής από µία εξίσωση, που όµως περιλαµάνεται στο υπόδειµα, ισοδυναµεί µε ένα περιορισµό, δηλαδή τον περιορισµό ότι ο αντίστοιχος συντελεστής είναι µηδέν. Αυτό όµως σηµαίνει λιότερες διαρθρωτικές παραµέτρους που πρέπει να ρεθούν από τις παραµέτρους την ανοιµένης µορφής. Είναι φανερό, λοιπόν, ότι η ταυτοποίηση µιάς διαρθρωτικής εξισώσεως η ενικά ενός υποδείµατος, εξαρτάται από την ύπαρξη a priori περιορισµών, ώστε να είναι δυνατό να ρούµε τις διαρθρωτικές παραµέτρους από τις παραµέτρους της ανοιµένης µορφής. Εκτός από τους παραπάνω, «µηδενικούς» περιορισµούς (zero resricions), υπάρχουν και άλλα είδη a priori περιορισµών ή πληροφοριών, όπως, π.χ. ο περιορισµός ότι το άθροισµα δύο ή περισσοτέρων διαρθρωτικών παραµέτρων πρέπει να είναι ίσο µε την µονάδα ή ότι ο λόος δύο διαρθρωτικών παραµέτρων είναι νωστός. Οι πιο συνηθισµένοι όµως περιορισµοί είναι οι µηδενικοί. Με άση τους περιορισµούς αυτούς υπάρχουν δύο κανόνες σύµφωνα µε τους οποίους διαπιστώνεται αν µία διαρθρωτική εξίσωση ταυτοποιείται ή όχι. Οι κανόνες αυτοί είναι νωστοί ως συνθήκη της τάξεως (order condiion) και ως συνθήκη του αθµού (rank condiion). α) Η συνθήκη της τάξεως. Η συνθήκη αυτή ασίζεται στον αριθµό των µεταλητών που δεν περιλαµάνονται στη συκεκριµένη εξίσωση αλλά όµως περιλαµάνονται στις υπόλοιπες εξισώσεις και µπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Μία διαρθρωτική εξίσωση είναι ταυτοποιήσιµη, αν ο αριθµός των µεταλητών που δεν περιλαµάνονται στη συκεκριµένη εξίσωση, περιλαµάνονται όµως στις άλλες εξισώσεις του υποδείµατος µειωµένο κατά ένα. Η παραπάνω συνθήκη µπορεί να διατυπωθεί ως M H G I (ΖΖΖ.) όπου G Ο αριθµός των εξισώσεων του υποδείµατος. M Ο συνολικός αριθµός των µεταλητών του υποδείµατος (ενδοενείς συν προκαθωρισµένες). H Ο αριθµός των µεταλητών (ενδοενείς και προκαθωρισµένες) που περιλαµάνονται στη συκεκριµένη εξίσωση. λ. Kmena (97) σελ ια ταυτοποίηση µέσω περιορισµών στη µήτρα των διακυµάνσεων συνδιακυµάνσεων των διαταρακτικών όρων. 7

8 Η παραπάνω σχέση (5.9) θα µπορούσε επίσης να διατυπωθεί ως K G (ΖΖΖ.) όπου K Ο αριθµός των προκαθωρισµένων µεταλητών που δεν περιλαµάνονται στη συκεκριµένη εξίσωση. G Ο αριθµός των ενδοενών (αλληλεξαρτώµενων) µεταλητών που περιλαµάνονται στη συκεκριµένη εξίσωση. Η συνθήκη της τάξεως είναι ανακαία αλλά δεν είναι ικανή. ηλαδή, ια να ταυτοποιείται µία διαρθρωτική εξίσωση πρέπει πρώτα να ικανοποιείται η συνθήκη της τάξεως, αλλά η ικανοποίηση της δεν εξασφαλίζει την ταυτοποίηση της εξισώσεως. ) Η συνθήκη του αθµού. Η ανακαία και ικανή συνθήκη ια την ταυτοποίηση µιάς διαρθρωτικής εξίσωσης είναι η συνθήκη του αθµού η οποία µπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Μία διαρθρωτική εξίσωση ταυτοποιείται, αν και µόνο αν, από τις ορίζουσες που προκύπτουν από την µήτρα των συντελεστών των µεταλητών που δεν περιλαµάνονται στη συκεκριµένη εξίσωση, περιλαµάνονται όµως στις άλλες εξισώσεις του υποδείµατος, υπάρχει µία τουλάχιστον που δεν είναι µηδέν και οι διαστάσεις της είναι ( G ) ( G ). Η παραπάνω συνθήκη ονοµάζεται συνθήκη του αθµού ιατί αναφέρεται στο αθµό της µήτρας των συντελεστών των µεταλητών που δεν περιλαµάνονται στη συκεκριµένη εξίσωση. Όπως ξέρουµε, ο αθµός µιάς µήτρας είναι η τάξη (διαστάσεις) της µεαλύτερης ορίζουσας που προκύπτει από τη µήτρα και που δεν είναι µηδέν. Κατά συνέπεια, η συνθήκη του αθµού µπορεί να διατυπωθεί ως ( ) G r (ΖΖΖ.3) όπου Η µήτρα των συντελεστών όλων των µεταλητών που δεν περιλαµάνονται στη συκεκριµένη εξίσωση. Η σχέση (5.) θα µπορούσε επίσης να διατυπωθεί ως ( ) G G r (ΖΖΖ4) όπου G G G και 8

9 G Ο αριθµός των ενδοενών µεταλητών που δεν περιλαµάνονται στη συκεκριµένη εξίσωση. Κατά την εφαρµοή των παραπάνω δύο κανόνων ταυτοποιήσεως, ο σταθερός όρος δεν λαµάνεται υπόψη. Αν όµως θέλουµε να συµπεριληφθεί, τότε ο αριθµός των προκαθωρισµένων µεταλητών καθώς και ο συνολικός, αυξάνεται κατά ένα. Για τις ταυτότητες οι εξισώσεις ορισµού δεν υπάρχει πρόληµα ταυτοποιήσεως ιατί οι παράµετροι τους είναι νωστές. Λαµάνονται όµως υπόψη ια τον καθορισµό του αριθµού των εξισώσεων και του αριθµού των µεταλητών. Με άση τη συνθήκη της τάξεως και τη συνθήκη του αθµού, µία διαρθρωτική εξίσωση:. Ταυτοποιείται ακριώς ή είναι ακριώς ταυτοποιηµένη αν K G και r ( ) G (ΖΖΖ.5) ηλαδή, η εξίσωση είναι ακριώς ταυτοποιηµένη όταν η συνθήκη του αθµού ικανοποιείται και ο αριθµός των προκαθορισµένων µεταλητών που δεν περιλαµάνονται στην εξίσωση είναι ίσος µε τον αριθµό των ενδοενών µεταλητών που περιλαµάνονται στην εξίσωση µειωµένο κατά ένα.. Υπερταυτοποιείται ή είναι υπερταυτοποιηµένη αν K > G ή r ( ) G (ΖΖΖ.6) ηλαδή, η εξίσωση είναι υπερταυτοποιηµένη όταν η συνθήκη του αθµού ικανοποιείται και ο αριθµός των προκαθορισµένων µεταλητών που δεν περιλαµάνονται στην εξίσωση είναι µεαλύτερες από τον αριθµό των ενδοενών µεταλητών που περιλαµάνονται στην εξίσωση µειωµένο κατά ένα. 3. εν ταυτοποιείται ή υποταυτοποιείται αν K < G ή r ( ) < G (ΖΖΖ.7) ηλαδή, η εξίσωση υποταυτοποιείται όταν δεν ικανοποιείται ή η συνθήκη της τάξεως ή η συνθήκη του αθµού. Σηµειώνουµε ότι είναι δυνατό να ικανοποιείται η συνθήκη της τάξεως και να µη ικανοποιείται η συνθήκη του αθµού. Αν όµως η συνθήκη του αθµού ικανοποιείται, τότε οπωσδήποτε ικανοποιείται και η συνθήκη της τάξεως 3. 3 Για µία λεπτοµερέστερη εξέταση του προλήµατος της ταυτοποιήσεως καθώς και απόδειξη των συνθηκών ταυτοποιήσεως, λ. Fisher (966), Chris (966), κεφ. VIII, Johnson (97) σελ

10 Παραδείµατα.. Έστω, το υπόδειµα που αποτελείται από τις εξισώσεις Ζήτηση: Q a ap u Προσφορά: Q P W u Και που στην τυπική του µορφή ράφεται: Ζήτηση: Q ap a u Προσφορά: Q P W u Ας εξετάσουµε πρώτα τη συνάρτηση ζητήσεως. Εφόσον και οι δύο ενδοενείς µεταλητές περιλαµάνονται, έπεται ότι G Υπάρχει µία µόνο προκαθορισµένη µεταλητή που δεν περιλαµάνεται, δηλαδή η µεταλητή W, οπότε K Εποµένως, εφόσον η συνθήκη της τάξεως, σχέση (ΖΖΖ.), ικανοποιείται, δηλαδή K G η συνάρτηση ζητήσεως είναι ταυτοποιήσιµη. Ας δούµε όµως αν ικανοποιείται και η συνθήκη του αθµού. Για τη συνάρτηση της ζητήσεως, εφόσον η µήτρα περιέχει ένα µόνο συντελεστή, δηλαδή [ ] ο αθµός της είναι ίσος µε τη µονάδα. Η συνθήκη του αθµού, σχέση (ΖΖΖ.3), ικανοποιείται, ιατί [ r ( ) ] ( G ) Εποµένως, η συνάρτηση της ζητήσεως ταυτοποιείται ακριώς, ιατί και η συνθήκη του αθµού ικανοποιείται και K G. Ας εξετάσουµε τώρα τη συνάρτηση προσφοράς. Εφόσον και οι δύο ενδοενείς µεταλητές περιλαµάνονται, G

11 Επειδή όµως δεν υπάρχει καµία προκαθωρισµένη µεταλητή που να µη περιλαµάνεται, K < G και η συνάρτηση προσφοράς δεν ταυτοποιείται.. Έστω, το ακόλουθο υπόδειµα (στην τυπική του µορφή). η εξίσωση: Y Y 3Y3 Y4 X X u η εξίσωση: Y Y Y3 Y4 X X u 3η εξίσωση: Y 3Y Y3 Y4 3 X X u3 4η εξίσωση: Y Y Y Y X X 3 4 Οι τρεις πρώτες εξισώσεις είναι εξισώσεις συµπεριφοράς, ενώ η τελευταία είναι ταυτότητα. Το υπόδειµα περιλαµάνει τέσσερις ενδοενείς µεταλητές ( Y, Y, Y3, Y4 ) και δύο προκαθορισµένες ( X, X ), χωρίς το σταθερό όρο. Ας εφαρµόσουµε τις συνθήκες ταυτοποιήσεως σε κάθε εξίσωση συµπεριφοράς. i). Η πρώτη εξίσωση: Υπάρχουν δύο προκαθορισµένες µεταλητές που δεν περιλαµάνονται, οπότε K υπάρχουν τρεις ενδοενείς µεταλητές που περιλαµάνονται, οπότε G 3 Εποµένως, η συνθήκη της τάξεως ικανοποιείται ακριώς. Αν ικανοποιείται και η συνθήκη του αθµού, τότε η πρώτη εξίσωση θα είναι ακριώς ταυτοποιηµένη. Οι µεταλητές που δεν περιλαµάνονται είναι τρεις: Y, X και 4 X. Εποµένως, η µήτρα είναι Εφόσον ο αριθµός των ενδοενών µεταλητών του υποδείµατος είναι G 4, έπεται ότι η συνθήκη του αθµού θα ικανοποιείται αν ο αθµός της µήτρας είναι ίσος µε G 3, σχέση (ΖΖΖ.3). Επειδή οι διαστάσεις της µήτρας είναι 3 3, ο αθµός της θα είναι 3 αν η ορίζουσα της είναι διαφορετική από το µηδέν. Η ορίζουσα όµως της µήτρας είναι µηδέν ιατί τα στοιχεία της δεύτερης ραµµής είναι όλα µηδέν. Εποµένως, η συνθήκη του αθµού δεν ικανοποιείται και η πρώτη εξίσωση δεν ταυτοποιείται.

12 ii). Η δεύτερη εξίσωση: Η συνθήκη της τάξεως ικανοποιείται, ιατί K > G Ας εξετάσουµε τη συνθήκη του αθµού. Εφόσον οι µεταλητές που δεν περιλαµάνονται είναι οι Y, Y, Y3 και X, η µήτρα είναι 3 Για να ικανοποιείται η συνθήκη του αθµού θα πρέπει ο αθµός της µήτρας να είναι G 3, δηλαδή θα πρέπει να υπάρχει µία τουλάχιστον ορίζουσα διαστάσεων 3 3 που να είναι διαφορετική από το µηδέν. Εφόσον η µήτρα έχει διαστάσεις 3 4, έπεται ότι υπάρχουν 4 ορίζουσες διαστάσεων 3 3. Ας εξετάσουµε την ορίζουσα που προκύπτει από την όταν απαλείψουµε την πρώτη στήλη, δηλαδή λ 3 3 Αναπτύσσουµε την παραπάνω ορίζουσα σύµφωνα µε τα στοιχεία της τελευταίας στήλης, οπότε ( ) Εποµένως, η τιµή της ορίζουσας θα είναι διαφορετική από το µηδέν αν 3 3. Σε αυτή την περίπτωση δηλαδή αν 3 3, η συνθήκη του αθµού ικανοποιείται και η δεύτερη εξίσωση υπερταυτοποιείται εφόσον K > G. iii). Η τρίτη εξίσωση περιλαµάνει δύο ενδοενείς µεταλητές ( Y,Y 3 ) και καµιά προκαθορισµένη. Εποµένως, η συνθήκη της τάξεως ικανοποιείται, ιατί K G Ας δούµε αν ικανοποιείται η συνθήκη του αθµού. Η σχετική µήτρα είναι:

13 Έστω, η ορίζουσα που προκύπτει από τη όταν απαλείψουµε την τελευταία στήλη, δηλαδή η ορίζουσα. Αναπτύσσουµε τη σύµφωνα µε τα στοιχεία της πρώτης ραµµής, οπότε Εποµένως αν, η συνθήκη του αθµού ικανοποιείται και η εξίσωση υπερταυτοποιείται ιατί K > G. 3

14 Η Έµµεση Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραώνων (Indirec Leas Squares Mehod). Πρόκειται ια µία µέθοδο υπολοισµού των παραµέτρων ενός συστήµατος εξισώσεων, που εφαρµόζεται σε επίπεδο κάθε εξίσωσης χωριστά. Έχει εφαρµοή σε εξισώσεις ενός συστήµατος οι οποίες είναι ταυτοποιηµένες (jus idenificaion). Όταν το σύστηµα είναι υπερταυτοποιηµένο (overidenified) η υποταυτοποιηµένο (underidenified), η µέθοδος αυτή δεν µπορεί να εφαρµοσθεί. Αυτό συµαίνει διότι στην πρώτη περίπτωση έχουµε πολλές εναλλακτικές εκτιµήσεις των παραµέτρων του συστήµατος, ενώ στην δεύτερη περίπτωση είναι αδύνατος ο υπολοισµός των παραµέτρων. Η µέθοδος ασίζεται στην εκτίµηση των διαρθρωτικών παραµέτρων ενός συστήµατος από εκτιµήσεις των παραµέτρων της ανοιµένης µορφής του συστήµατος. Σε ενικές ραµµές η εφαρµοή της µεθόδου είναι η εξής: Έστω ένα σύστηµα εξισώσεων στην διαρθρωτική και την ανοιµένη του µορφή: ( ιαρθρωτική Μορφή) YB XΓ U () (Ανοιµένη Μορφή) YB XΓ U YBB XΓB UB επειδή BB I Y v () όπου ΓB (3) και V UB (4) Με άση την µέθοδο των εµµέσων ελαχίστων τετραώνων οι εκτιµήσεις των διαρθρωτικών παραµέτρων Β θα προκύψουν από την σχέση (3). ΓB (5) ή B ΓB B (6) ή B Γ (7) 4

15 Έχοντας εκτιµήσεις ια την µήτρα των ανηµένων συντελεστών [ ˆ ij ] ˆ µπορούµε µετά από µία σειρά από περιορισµούς στην (7) να λάουµε εκτιµήσεις των διαρθρωτικών παραµέτρων Γ, λύνοντας ταυτοχρόνως το σύστηµα των εξισώσεων. ˆ B ˆ (8) Γ ˆ ˆ Bˆ (9) Για να κατανοηθεί η µέθοδος των εµµέσων ελαχίστων τετραώνων έστω ότι έχουµε να εκτιµήσουµε τις διαρθρωτικές παραµέτρους ενός συστήµατος εξισώσεων µε εξωενείς µεταλητές. u ( ) u ( ) Το σύστηµα των εξισώσεων () () είναι στην διαρθρωτική του µορφή και οι δύο εξισώσεις του είναι ακριώς τακτοποιηµένες. Στην ανοιµένη του µορφή το σύστηµα των εξισώσεων ράφεται ως εξής: u () a u u (3) u Θέτοντας u u v u u v (4) µπορούµε να ράψουµε το σύστηµα των εξισώσεων στην ανοιµένη του µορφή ως εξής: v v (5) 5

16 ή v v (6) Εφαρµόζοντας την µέθοδο των ελαχίστων τετραώνων στην (5) ια κάθε µία εξίσωση χωριστά: Min T ( ) Min,, Min T T ( ) Min,, T v v (7) (8) µπορούµε να λάουµε συνεπείς ή και αµερόληπτες εκτιµήσεις των παραµέτρων,, και της ανοιµένης µορφής του συστήµατος. Έστω,, και ότι είναι αυτές οι εκτιµήσεις. Τότε οι εκτιµήσεις των διαρθρωτικών παραµέτρων,, και θα προέλθουν από τις σχέσεις. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (9) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Οι εκτιµήσεις ˆ ˆ, ˆ, και ˆ είναι οι Εµµέσως Ελαχίστων Τετραώνων εκτιµήσεις των διαρθρωτικών παραµέτρων του συστήµατος των εξισώσεων () (). Εφόσον οι ελαχίστων τετραώνων εκτιµήσεις των παραµέτρων της ανοιµένης µορφής είναι συνεπείς ή ηµερόληπτες, οι εκτιµήσεις των παραµέτρων της διαρθρωτικής µορφής του συστήµατος είναι συνεπείς & αµερόληπτες αντιστοίχως. Η αµεροληψία η συνέπεια των παραµέτρων της ανοιµένης µορφής ενός συστήµατος εξισώσεων αποδεικνύεται ως εξής: 6

17 Έστω η j εξίσωση της ανηµένης µορφής του συστήµατος: v () j j j Παράδειµα: Να ίνει η µαθηµατική και στοχαστική εξειδίκευση ενός οικονοµετρικού υποδείµατος δύο εξισώσεων µε ενδοενείς µεταλητές την Κατανάλωση C και το Εισόδηµα. Ως εξωενής µεταλητή να χρησιµοποιηθούν οι Επενδύσεις. Να παρουσιασθούν οι Εµµέσων Ελαχίστων Τετραώνων Εκτιµήσεις των Παραµέτρων του Συστήµατος. Η οικονοµική µαθηµατική εξειδίκευση ενός τέτοιου συστήµατος έχει παρουσιασθεί στο Παράδειµα 3. Το σύστηµα λοιπόν των εξισώσεων µας είναι: C a u () C I () C :Κατανάλωση : Εισόδηµα I : Επενδύσεις u : ιαταρακτικοί όροι µε τις εξής στοχαστικές υποθέσεις: V ( ) E (3) u ( ) σ u ( ιακύµανση) (4) u Το σύστηµα των εξισώσεων ()&() έχει µία στοχαστική εξίσωση την (), και µία ταυτότητα την (). Οι υπό εκτίµηση παράµετροι είναι τα a και. εν µπορούµε να εφαρµόσουµε Ελάχιστα Τετράωνα στην () διότι Cov ( u ) E( E )( u Eu ), (5) E( E ) u διότι από την (3) Eu επειδή ( ) ( ) E u E Eu E E u E u (6) 7

18 Γνωρίζουµε επίσης ότι στην ανοιµένη της µορφή η () µπορεί να ραφτεί ως εξής: a I u (7) άρα (, u ) Eu Cov a E I u u a Eu E ( I u ) Eu Eu και E ( ) Επειδή Cov u I u ( ) u (8), Άρα η εφαρµοή της µεθόδου των ελαχίστων τετραώνων στην (), ια να λάουµε εκτιµήσεις των παραµέτρων a και δεν θα µας οδηήσει ούτε σε αµερόληπτες αλλά ούτε και σε συνεπείς εκτιµήσεις. Το ότι οι εκτιµήσεις ελαχίστων τετραώνων της () δεν είναι αµερόληπτες αλλά ούτε καν συνεπείς, αποδεικνύεται ως εξής: C ( a a) ( ) u u C (9) Επειδή Eu u η παραπάνω σχέση ράφεται ως εξής: C C u () όπου C C C (), Γνωρίζουµε ότι ο Ελαχίστων Τετραώνων Εκτιµητής του, θα είναι, ˆ C OLS () Αντικαθιστώντας την () στην () λαµάνουµε 8

19 ˆ OLS u ( u ) u (3) ( ˆ u u Cov ) ( u ) E ή E OLS (4) Από την (8) νωρίζουµε όµως ότι Cov ( u ) u άρα ( ) E ˆ OLS Άρα ο Ελαχίστων Τετραώνων Εκτιµητής δεν είναι αµερόληπτος. Όσον αφορά την µη συνέπεια του Ελαχίστων Τετραώνων Εκτιµητή, αυτή αποδεικνύεται ως εξής: p lim u ( ˆ u p lim OLS ) p lim T (5) p lim T Γνωρίζουµε επίσης ότι το p lim u είναι η συνδιακύµανση (στον πληθυσµό) T µεταξύ της και της u και επίσης ότι p lim είναι η διακυµανση του. T Επειδή όµως p lim u (6) T Προκύπτει ότι lim ( ) (7) p ˆOLS Η εφαρµοή της Μεθόδου των Εµµέσων Ελαχίστων Τετραώνων στην () και () ίνεται ως εξής: Αντικαθιστούµε την () στην () και λαµάνουµε ( C I ) u C a 9

20

21 Ο ελαχίστων τετραώνων εκτιµητής των παραµέτρων ˆ j ( ) j Ο εκτιµητής αυτός είναι συνεπής διότι: j θα είναι: p lim ˆ j j p limt ( ) p lim v j j T διότι p lim v j T Στην περίπτωση κατά την οποία µία από τις εξισώσεις του συστήµατος είναι υπερταυτοποιηµένη (overidenified), η εφαρµοή της έµµεσου Μεθόδου των Ελαχίστων Τετραώνων καθίσταται προληµατική, δεδοµένου ότι θα έχουµε µία σειρά από διαφορετικές εκτιµήσεις των παραµέτρων της εξίσωσης. Έστω ότι έχουµε ένα σύστηµα δύο εξισώσεων. 3 u 3 4 u Η πρώτη εξίσωση είναι ακριώς ταυτoποιηµένη ενώ η δεύτερη είναι υπερταυτοποιηµένη. Γράφουµε το σύστηµα των εξισώσεων στην ανοιµένη του µορφή ως εξής: u u u u Γράφοντας τις παραµέτρους ij της ανοιµένης µορφής: η ανοιµένη µορφή του συστήµατος είναι: v v

22 Εάν εφαρµόσουµε ελάχιστα τετράωνα των παραπάνω εξισώσεων και λάουµε εκτιµήσεις των παραµέτρων ˆ, ˆ, 3 και 4, η εκτίµηση της παραµέτρου ˆ θα µπορούσε να προκύψει από τις εναλλακτικές ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ή 3 ˆ 3 ˆ ˆ 4 ˆ 4

23 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΣΕ ΥΟ ΣΤΑ ΙΑ (THE TWO- STAGE LEAST SQUARES METHODS). Πρόκειται αναµφίολα ια µία από τις πλέον χρησιµοποιηθείσες µεθόδους εκτίµησης των παραµέτρων ενός συστήµατος εξισώσεων. Η εφαρµοή της είναι σχετικά εύκολη. Θα µπορούσε να θεωρηθεί ως µία επέκταση της µεθόδου των Εµµέσων Ελαχίστων Τετραώνων. Σε ενικές ραµµές κάθε εξίσωση του συστήµατος των εξισώσεων εκτιµάται ανεξάρτητα από τις άλλες εξισώσεις. Στην εκτίµηση όµως της κάθε εξίσωσης λαµάνονται υπόψη όλες οι εξωενείς µεταλητές του συστήµατος ακόµη και αν µερικές από αυτές δεν εµφανίζονται σε κάποια από τις εξισώσεις. Η µέθοδος εφαρµόζεται σε δύο στάδια και ασίζεται στην φιλοσοφία της µεθόδου εκτίµησης των οηθητικών µεταλητών (Insrumenal Variables). Για να παρουσιάσουµε την µέθοδο εκτίµησης θα ασισθούµε σ ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε 4 εξωενείς µεταλητές. u () u () Το σύστηµα () () έχει δύο ενδοενείς µεταλητές ( ) µεταλητές (,, και ). Κάθε µεταλητή έχει (,, K,τ ) 3. 4, και 4 εξωενείς παρατηρήσεις. Για λόους εύκολων αλερικών χειρισµών και χωρίς να επηρεάσουµε τα αποτελέσµατα µας, υποθέτουµε ότι: ή, (3) ii καθώς και ότι (4) 3 4 Οι παραπάνω υποθέσεις είναι οι νωστοί normalizaion υποθέσεις που συνήθως υιοθετούµε, χωρίς να επηρεάζονται τα αποτελέσµατα µας. Με άση τις υποθέσεις (3) και (4) το σύστηµα των εξισώσεων µας () () ράφεται ως εξής: εύτερη εξίσωση. Αντικαθιστούµε την () στην () u u 3

24 a I u I a I u ( ) a I u a I u (4) Μπορούµε επίσης να ράψουµε τις (3) και (4) ως εξής: C π I v π (5) π I v π (6) όπου πλέον π π a, π a, π (7) (8) Υπολοίζουµε την οηθητική µεταλητή στην (6). Εάν ˆ ~, εφαρµόζοντας ελάχιστα τετράωνα ˆ π είναι οι ελαχίστων τετραώνων εκτιµήσεις των π και π και π, τότε η οηθητική µεταλητή θα προκύψει ως εξής: ~ ˆ π ˆ π I ε ή ~ v (9) Στάδιο ΙΙ. Αντικαθιστώντας την (9) στην () και εφαρµόζουµε την µέθοδο των Απλών Ελαχίστων Τετραώνων. C a ~ () ( v ) u C a ~ v u () C ή a ~ ε () ε v u (3) Παράδειµα 6. Να ίνει η οικονοµική, η µαθηµατική και η στατιστική εξειδίκευση ενός οικονοµετρικού συστήµατος µε δύο ενδοενείς µεταλητές (Κατανάλωση &Εισόδηµα) και µία εξωενή µεταλητή (Επενδύσεις). Να εφαρµόσετε την µέθοδο 4

25 των Ελαχίστων Τετραώνων σε δύο στάδια ια να εκτιµήσετε τις παραµέτρους του συστήµατος. Απάντηση: Σε προηούµενα παραδείµατα έχουµε παρουσιάσει την διαδικασία της οικονοµικής, µαθηµατικής και στατιστικής εξειδίκευσης ενός αναλόου οικονοµετρικού υποδείµατος, και έχουµε καταλήξει ότι ένα απλό Κευσιανό παράδειµα πλήρει τις προϋποθέσεις του παραδείµατος 6. C a u () C I () Το σύστηµα των εξισώσεων () και () είναι ένα σύστηµα δύο εξισώσεων, µε δύο ενδοενείς ( C, ) και µία εξωενή ( I ) µεταλητή. Με άση την µέθοδο SLS, οι εκτιµήσεις των παραµέτρων α και λαµάνονται σε δύο στάδια. Πρώτη Εξίσωση: Αντικαθιστούµε την () στην (). ( C I ) u C a a C I u C C a I u ( ) C a I u C a I u (πρώτη ανηµένη εξίσωση) (3) Εφαρµόζουµε ελάχιστα τετράωνα στην () και λαµάνουµε εκτιµήσεις µε άση την µέθοδο των Ελαχίστων Τετραώνων σε δύο στάδια. Οι εκτιµήσεις αυτές θα προκύψουν ως εξής: Για απλοποϊηση των υπολοισµών, ράφουµε τις µεταλητές της () σε αποκλίσεις από τους µέσους των µεταλητών. C ( ) ε ε C a a ~ ~ (4) C ( ) ε ~ διότι, ( ) ε C ~ a a a a E ε (5) C ~ ε (6) 5

26 όπου C C C ~ ~ (7) ~, Η Ελαχίστων Τετραώνων της παραµέτρου, της σχέσης (6) είναι η εξής: ˆ C SLS (8) Έχοντας την εκτίµηση (8), µπορούµε να εκτιµήσουµε την εκτίµηση παραµέτρου α, ως εξής aˆ SLS C ˆ SLS ~ ή στην πλέον νωστή του µορφή: 4 4 u (5) 33 u (6) Θα παρατηρήσατε ότι και οι δύο εξισώσεις του συστήµατος είναι υπερταυτοποιηµένες. Μεταξύ των εξωενών µεταλητών,, 3 και και των διαταρατκικών όρων u και u δεν υπάρχει συσχέτιση. Υπάρχει όµως συσχέτιση µεταξύ των ενδοενών µεταλητών και των διαταρακτικών όρων. Με άση την µέθοδο των ελαχίστων τετραώνων σε δύο στάδια ο υπολοισµός των παραµέτρων,,,, 4 και 3 ίνεται σε δύο στάδια ως εξής: Στάδιο Ι. ηµιουρούµε τις (οηθητικές) µεταλητές ~ και ~ µε άση την εξέλιξη όλων των εξωενών µεταλητών,, 3 και 4. Έχουµε δηλαδή δύο οηθητικές (insrumens) µεταλητές. δ δ δ 33 δ 4 4 w δ (7) δ δ δ 33 δ 4 4 w δ (8) w, v w σ w µε ( ) ( ) E w E w σ w 6

27 Εάν ˆ δ, ˆ δ, ˆ δ ˆ ˆ ˆ, ˆ δ ˆ ˆ 3, δ 4, δ, δ, δ, δ 3 και ˆ δ 4 είναι οι ελαχίστων τετραώνων εκτιµήσεις των παραµέτρων του συστήµατος (7) και (8), τότε Είναι οι οηθητικές µεταλητές. Με άση τα παραπάνω ισχύει ότι: ~ ~ ~ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ δ (9) w δ δ δ δ ~ ~ ~ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ δ () w δ δ δ δ Στάδια ΙΙ. Στο δεύτερο στάδιο αντικαθιστούµε τις σχέσεις (9) και () στις (5) και (6) λαµάνοντας. ˆ 4 4 u wˆ () ˆ 3 3 u wˆ () Στις δύο παραπάνω εξισώσεις εφαρµόζουµε την µέθοδο των Ελαχίστων Τετραώνων και λαµάνουµε εκτιµήσεις ια τις παραµέτρους,, 4,, και 3. Οι εκτιµήσεις αυτές είναι οι ε δύο Στάδια Εκτιµήσεων Ελαχίστων Τετραώνων. Η εφαρµοή και οι ιδιότητες των SLS εκτιµήσεων της µεθόδου των Ελαχίστων Τετραώνων σε δύο στάδια οδηεί σε συνεπείς εκτιµήσεις. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: Στις σχέσεις () και () ισχύει ότι: E ( ) ( ) u ( u ) ( u ) E u (3) ~ ) ~ ) (4) Επιπλέον επειδή ~ και ~ είναι ραµµικές σχέσεις των εξωενών µεταλητών,, 3 και 4 και E ( j u j ) θα ισχύει ότι: ( ~ u ) E[ ( δ δ δ δ δ ) u ] E (5) ( u ) δ E( u ) δ E( u ) δ E( u ) E( u ) E 3 δ 4 4 δ 7

28 (6) διότι ( u ), E( u ), E( u ) E( u ) και E ( ) E, 3 3 u 4 4 Επίσης ισχύει και το ίδιο ια τις σχέσεις. Ενώ E ( ), ια την σχέση ( ) w E ~ επειδή w ( ) E j w j ια j,, (7) 8

29 Η Υλοποίηση της Μεθόδου των Ελαχίστων Τετραώνων σε δύο Στάδια SLS. Η διαδικασία υλοποίησης της µεθόδου SLS και ια τα δύο ήµατα ια την πρώτη εξίσωση είναι η εξής: Βήµα. Υπολοίζουµε την οηθητική µεταλητή ~ εφαρµόζοντας την απλή µέθοδο των Ελαχίστων Τετραώνων την µε τις 4 εξωενείς µεταλητές,, 3 και 4. δ δ δ δ 33 δ 4 4 w η χρησιµοποιώντας τον συµολισµό µητρών ια,, K, T παρατηρήσεις δ 3 4 w δ 3 4 w δ M M M M M M M δ 3 { T 3 4 { { w δ 4 X w δ (8) δ (9) X w Ο ελαχίστων τετραώνων εκτιµήσεις της (9) είναι οι εξής: ( X X ) X ˆ δ () Οι εκτιµήσεις ˆ δ µπορούν τώρα να χρησιµοποιηθούν ια να εκτιµήσουµε την οηθητική µεταλητή ~ ως εξής: ~ Xδˆ () Μπορούµε επίσης να ράψουµε την παραπάνω σχέση και ως ~ w () ˆ ή wˆ ~ (3) 9

30 Βήµα. Σε δεύτερο στάδιο προσπαθούµε να εκτιµήσουµε την πρώτη εξίσωση αντικαθιστώντας την ~ w ως εξής: ˆ ( w ) u w ˆ (4) Η (4) µπορεί να εκτιµηθεί µε δύο τρόπους. Τρόπος Α. Επειδή η είναι νωστή ενώ η wˆ δεν µας είναι νωστή, µπορούµε να την υπολοίσουµε ως εξής ˆ ˆ δ ˆ δ ˆ δ ˆ δ ˆ δ (5) w Επειδή έχουµε τις τιµές ια την µεταλητή δεν έχουµε τιµές ια την µεταλητή w. Αυτό µπορεί να ίνει υπολοίζοντας τις τιµές αυτές µε άση την σχέση η οποία µας επιτρέπει να έχουµε τις τιµές της µεταλητής V. ) Εναλλακτικά µπορούµε να υπολοίσουµε τις τιµές ως εξής: Αντικαθιστώντας τις τιµές της ελάχιστα τετράωνα ια να λάουµε εκτιµήσεις, και 4. Τρόπος Β. wˆ στην (4) µπορούµε να εφαρµόσουµε SLS των παραµέτρων Μπορούµε να λάουµε SLS εκτιµήσεις ια τις παρατηρήσεις, και 4 αντικαθιστώντας στην (4) τις θεωρητικές τιµές της (8) και εφαρµόζοντας την µέθοδο των Ελαχίστων Τετραώνων. Ο SLS εκτιµητής των παραµέτρων θα είναι ˆ ~ ˆ ~ ˆ 4 ~ 4 ~ 4 ~ ~ 4 (6) 3

31 Η ΜΈΘΟ ΟΣ SLS ΜΕ ΠΕΡΙΣΣΌΤΕΡΕΣ ΤΗΣ ΜΙΑΣ ΕΡΜΗΝΕΥΤΙΚΉΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΉΣ. Στην «πραµατικότητα» τις εφαρµοσµένης οικονοµικής έρευνας µέσω της αξιοποίησης ενός υναµικού Συστήµατος εξισώσεων, στο δεξιό µέρος κάθε εξίσωσης τις περισσότερες φορές έχουµε πλέον της µίας ερµηνευτικές µεταλητές. Η εφαρµοή της µεθόδου SLS στην περίπτωση αυτή ίνεται ως εξής: Έστω ότι έχουµε k ενδοενείς και M εξωενείς µεταλητές σε µία από τις εξισώσεις του συστήµατος, δηλαδή ισχύει ότι: [,, K, ] (6) και [,, 3, K, ] k (7) M Υποθέτουµε επίσης ότι ια την κάθε ενδοενή µεταλητή που υπάρχει στην ανάλοη εξίσωση, υποθέτουµε ότι έχει συντελεστή - (Normalizaion Κανόνας). Με άση τις παραπάνω υποθέσεις µπορούµε να ράψουµε την πρώτη διαρθρωτική εξίσωση του συστήµατος ως εξής: υ (8) Αναλόως οι οηθητικές εξισώσεις ια τις ερµηνευτικές µεταλητές, K θα είναι οι εξής:, 3 k X ˆ w ( ) w ˆ δ (9) ( ) 3 w3 ˆ δ (3) M 3 X ˆ ˆ 3 w3 k ˆ k wk ( ) k wˆ k Xδ (3) όπου φυσικά k ( X X ) k ˆ δ (3) ~ Xδˆ (33) k k 3

32 ~ w~ (34) k k k Υποθέτοντας ότι όλες οι ερµηνευτικές µεταλητές της πρώτης εξίσωσης, µπορούµε να ράψουµε: ( X X ) ~ X X ( X X ) wˆ k εµφανίζονται στο δεξιό µέρος (35) (36) ~ w~ (37) ~ wˆ (38) όπου w w w M w w w w 3 3 M 3 L L w k w k M w k (39) Με άση το παραπάνω στο στάδιο Ι, λαµάνουµε εκτιµήσεις των οηθητικών µεταλητών παλινδροµώντας κάθε µεταλητή µε όλες τις ερµηνευτικές µεταλητές οι οποίες παρουσιάζονται στο σύστηµα των εξισώσεων, δηλαδή οι µεταλητές X [, 3, K,,, M ], M M, M, K, Στο εύτερο Στάδιο αντικαθιστούµε τις οηθητικές µεταλητές στην πρώτη εξίσωση: ( ˆ w) u (4) ˆ ˆ ˆ u w (4) 3

33 33 Αντικαθιστώντας την (38) στην παραπάνω εξίσωση, λαµάνουµε: ( ) ˆ ˆ w u w (4) Ο ελαχίστων τετραώνων εκτιµήσεις της παραπάνω σχέσης είναι η εξής: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ w w w w w (43) Φυσικά ια να υπάρχει λύση στο παραπάνω σύστηµα των εξισώσεων, θα πρέπει να υπάρχει η αντίστροφη µήτρα κάτι που συνδέεται άµεσα µε τις συνθήκες ταυτοποίησης των εξισώσεων του συστήµατος.

34 34

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΩΝ (ΑΛΛΗΛΟΕΞΑΡΤΗΜΕΝΩΝ) ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΩΝ (ΑΛΛΗΛΟΕΞΑΡΤΗΜΕΝΩΝ) ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΩΝ (ΑΛΛΗΛΟΕΞΑΡΤΗΜΕΝΩΝ) ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μέχρι τώρα η μελέτη μας επικεντρώθηκε σε οικονομικά υποδείγματα μιας εξισώσεως, όπου έχουμε πάντα μια εξαρτημένη

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος.

ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος. :\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος. ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗ-ΕΚΤΙΜΗΣΗ-ΑΝΑΛΥΣΗ- ΠΡΟΒΛΕΨΗ- ΣΕΝΑΡΙΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Παραβιάσεις των κλασσικών υποθέσεων. ο εκτιμητής LS είναι: Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι:

Παραβιάσεις των κλασσικών υποθέσεων. ο εκτιμητής LS είναι: Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: Παραιάσεις των κλασσικών υποθέσεων Στο γραμμικό υπόδειγμα y = x+ u, =,,, ο εκτιμητής LS είναι: ˆ x y = = x = Οι ασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: ˆ ( ) Var =, αμεροληψία, ˆ σ = x = Επιπλέον αν δεν έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

Υποδείγματα με Πολυωνυμικά Κατανεμημένες Χρονικές Επιδράσεις.

Υποδείγματα με Πολυωνυμικά Κατανεμημένες Χρονικές Επιδράσεις. C:\Documens nd Seings\kpig\Deskop\-------- ------G---- ----S 6.doc Υποδείγματα με Πολυωνυμικά Κατανεμημένες Χρονικές Επιδράσεις. Στα υποδείγματα με πολυωνυμικά κατανεμημένες διαχρονικές επιδράσεις υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Γενική μορφή. β β β β. i=1,2,,n ο αριθμός των παρατηρήσεων k ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών 2 1,2

Γενική μορφή. β β β β. i=1,2,,n ο αριθμός των παρατηρήσεων k ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών 2 1,2 Γενική μορφή Y = + + +... + + u,, k k, =,,,n ο αριθμός των παρατηρήσεων k ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταλητών Y = + Y,,... k, u Y,,... k, u Y=, =, =, u= Y, n, n... n k, n k un u = Y ή = ΔY Δ Το αντιπροσωπεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΙΣ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΙΣ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΙΣ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μέχρι τώρα τα προβλήματα που δημιουργούνται από την παραβίαση των υποθέσεων που πρέπει να ισχύουν ώστε οι OLS εκτιμητές να είναι BLUE

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Συναρτήσεις Πλοήγησης (Navigation Functions - NF)

Εισαγωγή στις Συναρτήσεις Πλοήγησης (Navigation Functions - NF) Εισαωή στις Συναρτήσεις Πλοήησης (Navigation Functions - NF) Οι συναρτήσεις πλοήησης είναι μια μεθοδολοία που εισήααν οι Rimon και Koditschek ια τον προραμματισμό κίνησης (motion planning) ενός ρομπότ,

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύγχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύγχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεχος Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε 6 Niol Tpouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Βιβλιοραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο : Ενότητες.-.3 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100 Ποσοτικές Μέθοδοι Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR 50100 Απλή Παλινδρόμηση Η διερεύνηση του τρόπου συμπεριφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι.

ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι. ΙΚΑΙΟΣ ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ . ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ. Έχετε στην διάθεση σας ( Πίνακας ) στιχεία από

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

4 Ο προσδιορισμός του εισοδήματος: Οι κρατικές δαπάνες και οι φόροι

4 Ο προσδιορισμός του εισοδήματος: Οι κρατικές δαπάνες και οι φόροι 4 Ο προσδιορισμός του εισοδήματος: Οι κρατικές δαπάνες και οι φόροι Σκοπός Το κεφάλαιο αυτό επεκτείνει την ανάλυση του προσδιορισμού του εισοδήματος προσθέτοντας δύο σημαντικές μεταλητές, δηλ. τις κρατικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ. Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα µεγέους από την κατανοµή µε σππ 3 p (,, >, > 0 α είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m είναι επαρκής για την παράµετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕ του α Το στήριγµα

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ. . (Υποδείγματα με Διαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις 1 )

Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ. . (Υποδείγματα με Διαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις 1 ) Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ.. (Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις ) Περιεχόμενα. Γενικά. Οικονομετρικά Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις. Η Αντίδραση της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης

Διαβάστε περισσότερα

Y Y ... y nx1. nx1

Y Y ... y nx1. nx1 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΙΚΑΚΩΝ Η χρησιμοποίηση και ο συμβολισμός πινάκων απλοποιεί σημαντικά τα αποτελέσματα της γραμμικής παλινδρόμησης, ιδίως στην περίπτωση της πολλαπλής παλινδρόμησης Γενικά,

Διαβάστε περισσότερα

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το ΜΑΘΗΜΑ 9ο ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ (Έννοιες, Ορισµοί) Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το πρόβληµα της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Προσθήκη άσχετης μεταβλητής και παράλειψη σχετικής. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Προσθήκη άσχετης μεταβλητής και παράλειψη σχετικής. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Εξειδίκευση του υποδείγματος Προσθήκη άσχετης μεταβλητής και παράλειψη σχετικής Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα θέματα της Προόδου της ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ (8 Μαΐου 2010)

Απαντήσεις στα θέματα της Προόδου της ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ (8 Μαΐου 2010) στα θέματα της Προόδου της ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ (8 Μαΐου ) Εκδοχή (α) Ι. Να απαντήσετε σύντομα και περιεκτικά στις παρακάτω ερωτήσεις. (Σωστό-Λάθος) α) (Σ/Λ) Μια βάση του χώρου στηλών ενός μητρώου Α R mxn

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

τοπικοί συντελεστές αντίστασης στο σηµείο εισόδου, στην καµπύλη και στο ακροφύσιο είναι αντίστοιχα Κ in =1,0, K c =0,7 και K j =0,5.

τοπικοί συντελεστές αντίστασης στο σηµείο εισόδου, στην καµπύλη και στο ακροφύσιο είναι αντίστοιχα Κ in =1,0, K c =0,7 και K j =0,5. Υ ΡΑΥΛΙΚΗ Ι Εφαρµοή Ισοζυίου Υδραυλικής Ενέρειας - Εξίσωση ernoulli Άσκηση. Σε ένα συντριβάνι, νερό αντλείται από τη δεξαµενή µε ρυθµό Q5,0 lt/ και εκτοξεύεται κατακόρυφα, όπως στο σκαρίφηµα. Όλα τα τµήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΕΛΙΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΜΥ 499

ΕΥΕΛΙΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΜΥ 499 ΕΥΕΛΙΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΜΥ 499 ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ρ Ανδρέας Σταύρου ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Τα Θέµατα Γραµµές

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ 1 3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σχετική θέση ευθείας και κωνικής τοµής Έστω η ευθεία ε : y = λx + β και µία κωνική τοµή C µε εξίσωση την φ(x, y) =. Το πλήθος των κοινών σηµείων της ε και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες

Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τις µεθόδους επίλυσης υποδειγµάτων

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 9 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 9 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΚΑΙ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ Υπεύθυνος: Επικ. Καθηητής Δρ. Α. ΦΑΤΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

των θετικών µαθηµάτων Ηµερήσιου και Εσπερινού Γυµνασίου για το σχ.

των θετικών µαθηµάτων Ηµερήσιου και Εσπερινού Γυµνασίου για το σχ. Παραγοντοποίηση του τριωνύµου αx + βx + γ (α ) ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η παραγοντοποίηση ενός πολυωνύµου είναι µία από τις πιο βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδηµαϊκό Έτος 01-013 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή 2013 [Πρόλογος] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 2012-2013 Μ.Επ. ΟΕ0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης Μαρί-Νοέλ Ντυκέν, Επ. Καθηγητρία

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 (για άριστα διαβασµένους) ΟΜΑ Α Α Να απαντήσετε στις επόµενες ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής A1. Σε γραµµική ΚΠ της µορφής Y =

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) Η διαµόρφωση και το µοντέλο του προβλήµατος ανάθεσης (π.χ. εργασιών σε µηχανές ή δραστηριοτήτων σε άτοµα) περιγράφεται στις

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Κεφάλαιο 8 1) Τι είναι ετεροσκεδαστικότητα και τι είδους προβλήµατα παρουσιάζονται; ( 2, 4, σελίδες 370-372). 2) Γράψτε τον τύπο της διακύµανσης της κλίσης όταν

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

1. Στατιστική Στοιχεία

1. Στατιστική Στοιχεία Στην παρούσα ενότητα γίνεται µια ανάλυση-σύγκριση των στοιχείων που προέκυψαν από την ανά τµήµα ανάλυση, ώστε να εξαχθεί µια σφαιρική εικόνα, σε σχέση µε τις οµοιότητες και διαφορές που διαπιστώνονται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες

Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες Κανονικές Γραµµατικές Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες Ταξινόµηση Γραµµατικών εξιά Παραγωγικές Γραµµατικές εξιά Παραγωγικές Γραµµατικές και NFA Αριστερά Παραγωγικές Γραµµατικές Κανονικές Γραµµατικές Γραµµατικές

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ 4 ΘΕΜΑ 1ο Α. ς υποθέσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Οδηγία 5 Ανάλυση συµπαγών πλακών

Τεχνική Οδηγία 5 Ανάλυση συµπαγών πλακών CSI Hellas, εκέµβριος 2003 Τεχνική Οδηία 5 Ανάλυση συµπαών πλακών Η τεχνική οδηία 5 παρέχει βασικές πληροφορίες ια την πλακών. ανάλυση Γενικά. Το Adaptor αναλύει µόνο συµπαείς ορθοωνικές πλάκες, συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα