Σκαρπέντζου Γεωργίου (ΑΕΜ: 225)

Transcript

1 ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΙΚΑΝΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΓΚΑΙΟΥ ΑΠΟΘΗΚΕΥΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ΣΕ ΓΡΑΜΜΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΥΟ ΣΤΑΘΜΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΕ ΜΗΧΑΝΕΣ ΣΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΥΝ ΕΣΗ ΩΣΤΕ ΜΙΑ Ε ΟΜΕΝΗ ΕΠΙΘΥΜΗΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΗΣ ΝΑ ΕΠΙΤΥΓΧΑΝΕΤΑΙ ιπλωµατική εργασία του Σκαρπέντζου Γεωργίου (ΑΕΜ: 225) Επιβλέποντες καθηγητές: ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΥΣΟΛΕΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2010

2 Η παρούσα διπλωµατική εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του ιατµηµατικού Προγράµµατος Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική και ιοίκηση» των τµηµάτων Οικονοµικού και Πληροφορικής του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης. Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 2

3 Ευχαριστίες Αισθάνοµαι την ανάγκη να εκφράσω τις ευχαριστίες µου σε όλους, όσους µε παρότρυναν, συµβούλεψαν και βοήθησαν στη δηµιουργία της παρούσης διπλωµατικής εργασίας. Καταρχάς θα ήθελα να ευχαριστήσω θερµά τον επιβλέποντα Καθηγητή κ. Παπαδόπουλο Χρυσολέοντα τόσο για την γνωστική βοήθεια, όσο και για την καθοδήγηση την οποία προσέφερε, σε όλη την διάρκεια της εκπόνησης αυτής της διπλωµατικής εργασίας. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω πολύ τον Λέκτορα κ. ιαµαντίδη Αλέξανδρο για τις συµβουλές, την υποστήριξη και τις υποδείξεις του, που συνέβαλαν σηµαντικά στη ολοκλήρωση της εργασίας αυτής. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα, Επίκουρο Καθηγητή κ. Βασιλειάδη Νικόλαο για τις σηµαντικές παρατηρήσεις του, οι οποίες βοήθησαν στην βελτίωση αυτής της εργασίας. Ευχαριστώ πολύ την οικογένεια µου για την αµέριστη, ειλικρινή και σηµαντικότατη συµπαράσταση που µου έδειξε, τόσο κατά τη διάρκεια σπουδών όσο και κατά την εκπόνηση της διπλωµατικής εργασίας. Τέλος, θέλω να ευχαριστήσω τον Γιώργο και την Μαριάνθη για την κατανόηση και τη διακριτικότητα που επέδειξαν, τις απαιτητικές εκείνες στιγµές που η εκπόνηση της διπλωµατικής µου εργασίας, µε είχε συνεπάρει ολοκληρωτικά σε δαιδαλώδη µονοπάτια. Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 4 Κίνητρο, Συνεισφορά και Περίγραµµα Εργασίας... 6 Κατάλογος Τύπων... 9 Κατάλογος Σχηµάτων ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Εισαγωγή Επιχειρησιακή Έρευνα Βιοµηχανικά συστήµατα Γραµµές Παραγωγής Κατηγορίες γραµµών µε κριτήριο τη διάταξη τους Σειριακές γραµµές παραγωγής Μη σειριακές γραµµές παραγωγής Γραµµές παραγωγής και τύποι προϊόντων ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΓΡΑΜΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Εισαγωγή Σταθµοί εργασίας Μηχανές Σταθµών Εργασίας Αξιοπιστία µηχανών Χρόνοι επεξεργασίας µηχανών Αποθηκευτικοί Χώροι Απόδοση Γραµµής Παραγωγής ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή Μέθοδοι εκτίµησης και βελτιστοποίησης γραµµών παραγωγής Εκτιµητικές µέθοδοι Μαρκοβιανή ανάλυση Μέθοδος αποσύνθεσης Η µέθοδος της συνάθροισης Γενετικές µέθοδοι ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟ ΟΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Εισαγωγή Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 4

5 4.2. Προσεγγίσεις µελέτης παραµέτρου αποθήκευσης Αποθηκευτικός χώρος, απόδοση γραµµής και επιστηµονικές προσεγγίσεις ΜΕΛΕΤΗ ΓΡΑΜΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕ ΜΗΧΑΝΕΣ ΣΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΥΝ ΕΣΗ Εισαγωγή Περιγραφή µελετώµενου συστήµατος Αποδοτικότητα σειριακής γραµµής παραγωγής δύο σταθµών εργασίας Επίλυση Προβλήµατος Ανάλυση της Απόδοσης του Συστήµατος Γραφική Μελέτη της Απόδοσης του Συστήµατος Γραφική Επίλυση του προβλήµατος Ακραίες Οριακές Καταστάσεις Γραφικής Επίλυσης Αλγεβρική Επίλυση του Συστήµατος Μελέτη του παραδείγµατος Ισορροπηµένης Γραµµής Παραγωγής ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΕΡΕΥΝΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 5

6 Κίνητρο, Συνεισφορά και Περίγραµµα Εργασίας Σε ένα ολοένα και περισσότερο ανταγωνιστικό περιβάλλον όπου η διαδικασία της παραγωγής πρέπει να συνδυάζει αρµονικά και µε τρόπο βιώσιµο για την επιχείρηση την ανάγκη για µαζική παραγωγή προϊόντων ποιοτικού επιπέδου και την εξοικονόµηση όσων το δυνατόν περισσότερων πόρων, η ανάλυση των βιοµηχανικών συστηµάτων παραγωγής παίζει αναµφισβήτητα πολύ σηµαντικό ρόλο. Η σωστή ανάλυση των βιοµηχανικών συστηµάτων είναι απαραίτητη, για την επίτευξη του αντικειµενικού στόχου κάθε επιχείρησης, που είναι η µεγιστοποίηση του κέρδους και η ελαχιστοποίηση του κόστους. Το σηµαντικότερο στοιχείο στην µελέτη των βιοµηχανικών συστηµάτων είναι ο ορθός υπολογισµός της απόδοσης του συστήµατος. Η απόδοση προσεγγίζεται στοχαστικά και µεταβάλλεται, υπό συγκεκριµένες συνθήκες, εξαρτηµένα για οποιαδήποτε µεταβολή των τιµών των παραµέτρων όταν αυτές πραγµατοποιούνται εντός συγκεκριµένων διαστηµάτων. Η απόδοση εξαρτάται από το µέγεθος του αποθηκευτικού χώρου και τις µηχανές επεξεργασίας που περιέχει ενώ οι δυνατότητες παραγωγής κάθε συστήµατος δεν είναι οι ίδιες. Όλα αυτά συντελούν στην αναγκαιότητα χρήσης µιας ποικιλίας προσεγγίσεων ανάλογα µε τη µορφή και τις συνθήκες του θέµατος που µελετάται. Η πολυπλοκότητα των διαδικασιών που διέπουν τα βιοµηχανικά συστήµατα, καθώς και οι διαφοροποιήσεις που εµφανίζονται στη σχεδίαση, ανάπτυξη και την λειτουργία τους κάνουν απαγορευτική την γενικευµένη αντιµετώπιση. Ως εκ τούτου, ήταν αναµενόµενη η παρατηρηθείσα αρχικά εφαρµογή τεχνικών οι οποίες βασίζονταν κυρίως στην κοινή πρακτική, στη διαίσθηση και στην εµπειρία των άµεσα εµπλεκοµένων. Η αντιµετώπιση δηλαδή των διαδικασιών αρχικά πραγµατοποιήθηκε µε αµιγώς εµπειρικά στοιχεία. Με το πέρασµα του χρόνου οι διαδικασίες αυτές απασχόλησαν ιδιαίτερα την επιστηµονική κοινότητα, γεγονός που είχε ως άµεση συνέπεια τη δηµιουργία θεωριών, τεχνικών και αλγορίθµων και γενικότερα µιας πιο συστηµατικής και γενικευµένης αντιµετώπισης που συνέβαλε στην βελτιστοποίηση των διαδικασιών κατά τη λειτουργία των βιοµηχανικών συστηµάτων. Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 6

7 Η εργασία αυτή ασχολείται µε την εύρεση του ελάχιστου, ικανού και αναγκαίου αποθηκευτικού χώρου σε σειριακές γραµµές παραγωγής µε σταθµούς επεξεργασίας που περιλαµβάνουν µηχανές σε παράλληλη σύνδεση. Πιο συγκεκριµένα η εργασία αυτή αποτελείται από έξι κεφάλαια: Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεται µια εισαγωγή στην επιχειρησιακή έρευνα και στα βιοµηχανικά συστήµατα παραγωγής, περιγράφονται επίσης οι κατηγορίες των γραµµών παραγωγής που συναντώνται στη διεθνή βιβλιογραφία. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι παράµετροι των γραµµών παραγωγής, τα µέτρα απόδοσης των γραµµών παραγωγής, ενώ αναλύεται επίσης και η κατηγοριοποίηση των παραµέτρων. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι µέθοδοι ανάλυσης των βιοµηχανικών συστηµάτων που χρησιµοποιούνται στη σχεδίαση, στην ανάλυση και στη βελτιστοποίησή τους. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι διαφορετικές προσεγγίσεις µελέτης από τη επιστηµονική κοινότητα της παραµέτρου του αποθηκευτικού χώρου σε σχέση µε την απόδοση της γραµµής παραγωγής. Στο πέµπτο κεφάλαιο πραγµατοποιείται η επίλυση του προβλήµατος εύρεσης του κατάλληλου αποθηκευτικού χώρου σε γραµµή παραγωγής µε δύο σταθµούς εργασίας που περιέχουν µονάδες επεξεργασίας σε παράλληλη σύνδεση. Στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα συµπεράσµατα της διπλωµατικής εργασίας και αναφέρονται τοµείς περαιτέρω έρευνας. Η συνεισφορά της παρούσας διπλωµατικής εργασίας είναι η εύρεση, τόσο γραφικά όσο και αλγεβρικά, της ελάχιστης, ικανής και αναγκαίας χωρητικότητας αποθηκευτικού χώρου ώστε µια επιθυµητή απόδοση να επιτυγχάνεται σε σειριακές γραµµές παραγωγής δύο σταθµών επεξεργασίας µε αξιόπιστες µηχανές σε παράλληλη σύνδεση. Η διαδικασία επίλυσης του προβλήµατος που αναφέρθηκε πραγµατοποιήθηκε µε χρήση του προγράµµατος ηλεκτρονικών υπολογιστών Wolfram Mathematica 7.0. Ο κώδικας που χρησιµοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτηµα και µπορεί να αποδώσει την επίλυση του προαναφερθέντος προβλήµατος Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 7

8 για οιαδήποτε σειριακή γραµµή παραγωγής που ικανοποιεί τις υποθέσεις της παρούσας διπλωµατικής εργασίας. Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 8

9 Κατάλογος Τύπων Τύπος 1 Συνολικός αριθµός καταστάσεων συστήµατος που µελετάται µε χρήση µαρκοβιανής αλυσίδας 33 Τύπος 2 Συνολικός αριθµός καταστάσεων συστήµατος για κ=2 που µελετάται µε χρήση µαρκοβιανής αλυσίδας 34 Τύπος 3 Μέσος ρυθµός εξυπηρέτησης i σταθµού εργασίας 54 Τύπος 4 Σχέση µέσων ρυθµών εξυπηρέτησης των σταθµών W 1 και W 2 54 Τύπος 5 Απόδοση γραµµής παραγωγής µε σταθµούς εργασίας µε παράλληλα συνδεδεµένες µηχανές 55 Τύπος 6 Τύπος συνάρτησης R(s) για µ 1 = 0.95, f 1 = 2 και f 2 = 3 57 Τύπος 7 Τύπος συνάρτησης R(s) για µ 1 = 0.97, f 1 = 4 και f 2 = 3 58 Τύπος 8 Τύπος συνάρτησης R(s) για µ 1 = 1.01, f 1 = 4 και f 2 = 2 59 Τύπος 9 Τύπος συνάρτησης R(s) για µ 1 = 1.05, f 1 = 5 και f 2 = 5 59 Τύπος 10 Τύπος συνάρτησης R(s) για µ 1 = 1.1, f 1 = 15 και f 2 = Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 9

10 Κατάλογος Σχηµάτων Σχήµα 1.1 ιαδικασία επίλυσης προβληµάτων Επιχειρησιακής Έρευνας 15 Σχήµα 1.2 Σειριακή Γραµµή Παραγωγής 18 Σχήµα 1.3 Γραµµή Συναρµολόγησης 19 Σχήµα 1.4 Γραµµή Αποσυναρµολόγησης 20 Σχήµα 1.5 Γραµµή Συγχώνευσης 3 µηχανών 2 αποθηκευτικών χώρων 21 Σχήµα 1.6 Γραµµή Συγχώνευσης 3 µηχανών 1 αποθηκευτικού χώρου 21 Σχήµα 1.7 Γραµµή ιάσπασης 22 Σχήµα 1.8 Γραµµή παραγωγής µε βρόγχο επαναπεξεργασίας 23 Σχήµα 2.1 Γραµµή παραγωγής µε σταθµούς εργασίας που αποτελούνται από παράλληλες µηχανές εξυπηρέτησης 26 Σχήµα 3.1 Το οµικό Στοιχείο της Μεθόδου της Αποσύνθεσης ( ΣΜΑ) 34 Σχήµα 3.2 Σειριακή γραµµή παραγωγής µε τέσσερις µηχανές και τρεις αποθηκευτικούς χώρους 35 Σχήµα 3.3 Η µέθοδος αποσύνθεσης για τη γραµµή παραγωγής του σχ Σχήµα 3.4 Γραµµή Παραγωγής µε 3 µηχανές και 2 αποθηκευτικούς χώρους 39 Σχήµα 3.5 Πρώτη περίπτωση συνάθροισης της γραµµής του σχ Σχήµα 3.6 εύτερη περίπτωση συνάθροισης της γραµµής του σχ Σχήµα 3.7 Αλληλεξάρτηση εκτιµητικών και γενετικών µεθόδων 41 Σχήµα 5.1 Σειριακή γραµµή παραγωγής µε σταθµούς εργασίας που αποτελούνται από παράλληλα συνδεδεµένες µηχανές. 51 Σχήµα 5.2 Γραµµή παραγωγής δύο σταθµών εργασίας µε µηχανές σε παράλληλη σύνδεση 53 Σχήµα 5.3 Μέσος ρυθµός εξυπηρέτησης σταθµού εργασίας 53 Σχήµα 5.4 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για µ1 = 0.95, f1 = 2 και f2 = 3 58 Σχήµα 5.5 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για µ1 = 0.97, f1 = 4 και f2 = 3 58 Σχήµα 5.6 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για µ 1 = 1.01, f 1 = 4 και f 2 = 2 59 Σχήµα 5.7 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για µ 1 = 1.05, f 1 = 5 και f 2 = 5 60 Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 10

11 Σχήµα 5.8 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για µ 1 = 1.1, f 1 = 15 και f 2 = Σχήµα 5.9 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για µ 1 = 0.95, f 1 = 3 και f 2 = 2 61 Σχήµα 5.10 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για µ 1 = 0.95, f 1 = 3 και f 2 = 2 και της y=y 0 (y 0 =0.88) 62 Σχήµα 5.11 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για µ 1 = 1.01, f 1 = 3 και f 2 = 3 και της y=y 0 (y 0 =0.94) 64 Σχήµα 5.12 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για µ 1 = 0.98, f 1 = 4 και f 2 = 6 και της y=y 0 (y 0 =0.77) 65 Σχήµα 5.13 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για µ 1 = 1.09, f 1 = 3 και f 2 = 4 και της y=y 0 (y 0 =0.94) 66 Σχήµα 5.14 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για ισορροπηµένη γραµµή παραγωγής 70 Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 11

12 1. ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 1.1. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό πραγµατοποιείται µια γενική εισαγωγή στην επιχειρησιακή έρευνα και στα βιοµηχανικά συστήµατα παραγωγής. Παρουσιάζεται µια αναφορά τον τοµέα της επιχειρησιακής έρευνας καθώς επίσης και της ορολογίας και των κατηγοριών των βιοµηχανικών συστηµάτων, των οποίων υποκατηγορία µελετάται από αυτήν την διπλωµατική εργασία. Πιο συγκεκριµένα στην ενότητα 1.2 γίνεται µια εκτενής αναφορά στον τοµέα της επιχειρησιακής έρευνας, στην ενότητα 1.3 πραγµατοποιείται µια ανάλυση των βιοµηχανικών συστηµάτων και στην ενότητα 1.4 αναλύονται στοιχεία κατηγοριοποίησης των γραµµών παραγωγής Επιχειρησιακή Έρευνα Η Επιχειρησιακή Έρευνα αποτελεί όλο και περισσότερο αναπόσπαστο κοµµάτι των επιχειρήσεων. Με τον όρο Επιχειρησιακή Έρευνα αναφερόµαστε στην χρήση µαθηµατικών µοντέλων για την επίλυση σύνθετων προβληµάτων που απαντώνται στα συστήµατα που αποτελούνται από ανθρώπους και µηχανές µε στόχο την εύρεση λύσεων που ικανοποιούν τους υπάρχοντες περιορισµούς και εξυπηρετούν όσο το δυνατόν καλύτερα τους σκοπούς της επιχείρησης. Ο ορισµός της Επιχειρησιακής Έρευνας σύµφωνα µε την Εταιρεία Επιχειρησιακής Έρευνας (UK) είναι η εφαρµογή της σύγχρονης επιστήµης πάνω σε πολύπλοκα προβλήµατα που ανακύπτουν στη διεύθυνση και διοίκηση µεγάλων συστηµάτων, αποτελούµενων από ανθρώπους, µηχανές, υλικά και κεφάλαια στις επιχειρήσεις. Η χαρακτηριστική της µεθοδολογία συνίσταται στην ανάπτυξη επιστηµονικού µοντέλου του υπό µελέτη συστήµατος που περιλαµβάνει µετρήσεις τυχαίων παραγόντων και µε το οποίο προβλέπει και συγκρίνει τα αποτελέσµατα εναλλακτικών αποφάσεων, στρατηγικών και ελέγχων. Ο σκοπός της είναι να βοηθήσει Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 12

13 τη διοίκηση να καθορίσει την πολιτική και τις ενέργειές της επιστηµονικά. (Ν.Α. Παναγιώτου, ΕΜΠ) Ο όρος Επιχειρησιακή Έρευνα (Operations Research) εµφανίστηκε για πρώτη φορά στη Μ. Βρετανία λίγο πριν τον δεύτερο παγκόσµιο πόλεµο και η αρχική εφαρµογή της ήταν στρατιωτικού ενδιαφέροντος. Αποτέλεσε µια διεπιστηµονική προσέγγιση µε σκοπό τη βελτιστοποίηση σχεδιασµού επιχειρήσεων, οργάνωσης πτήσεων και νηοποµπών, καθώς και συντονισµού µηχανών radar. Στην οργάνωση πτήσεων για παράδειγµα µε συγκριτικό έλεγχο των διαθέσιµων τύπων αεροπλάνων, των υπαρχουσών δυνατοτήτων επιθεώρησης και συντήρησης, τη δυνατότητα πτήσης των πιλότων και την αυτονοµία καυσίµων των αεροπλάνων αύξησαν τις συνολικές ώρες πτήσης των αεροπλάνων και βελτίωσαν τις δυνατότητες επιτυχίας των επιθέσεων. Με την αυξηµένη χρήση τεχνολογίας και την πολυπλοκότητα των διαδικασιών η επιχειρησιακή έρευνα κρίθηκε αναγκαία και για τις εταιρίες και της βιοµηχανίες καθώς το βέλτιστο δυνατό αποτελούσε τώρα αποτέλεσµα µιας πιο σύνθετης απόφασης, για τον λόγο αυτό ήταν αναγκαία η εύρεση του αντικειµενικά ορθού και βέλτιστου. Η πρώτη συστηµατική µέθοδος επιχειρησιακής έρευνας ήταν η µέθοδος γραµµικού προγραµµατισµού Simplex που αναπτύχθηκε το 1947 από τον Αµερικανό Μαθηµατικό Dantzig. Η δυσκολία της πρακτικής εφαρµογής της Επιχειρησιακής Έρευνας έγκειται στο γεγονός πως τα πραγµατικά προβλήµατα είναι συχνά ασαφή. Λόγος για τον οποίο είναι απαραίτητη η ενδελεχής παρατήρηση της διαδικασίας µε όλες τις, εµπλεκόµενες σε αυτήν, παραµέτρους. Είναι η ολοκληρωµένη κατανόηση της διαδικασίας που θα οδηγήσει στην θεωρητική αποδόµησή της και ως εκ τούτου στη µαθηµατική της διατύπωση. Ως µαθηµατική διατύπωση εννοείται η ρητή καταγραφή της αντικειµενικής συνάρτησης, των µεταβλητών και των περιορισµών των παραµέτρων του συστήµατος. Θα πρέπει η λειτουργιά κάθε διαδικασίας να συνδυάζει µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο όλα τα επιµέρους στοιχεία της για την επίτευξη ενός στόχου. Πολλές φορές ωστόσο οι παράµετροι είναι αλληλοεξαρτώµενοι και οι γενικότεροι στόχοι αλληλοσυγκρούονται. Η επιχειρησιακή έρευνα περιλαµβάνει ένα ευρύ και πολυδιάστατο φάσµα των προβληµάτων που µελετά, θα µπορούσε να χαρακτηριστεί σαν ένα µωσαϊκό ποικίλων Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 13

14 προσεγγίσεων, γνώσεων και επιστηµονικών θεωριών. Μεταξύ των ανεπτυγµένων και αναλυτικά µελετηµένων θεωριών, ενδεικτικά αναφέρονται η Θεωρία Ουρών εξυπηρέτησης και αναµονής (Queuing Theory), ο προγραµµατισµός έργων (Project Management), ο προγραµµατισµός παραγωγής (Production Programming), ο προγραµµατισµός αντικατάστασης και επισκευής εργαλείων (Repair - Replacement problem), η µελέτη προβληµάτων µεταφοράς (Transportation Problem), η διαχείριση αποθεµάτων (Inventory Control) και η θεωρία παιγνίων (Game Theory). Η διαδικασία επίλυσης ενός προβλήµατος σχετιζόµενου µε την επιχειρησιακή έρευνα έχει κάποια βασικά στάδια που πρέπει να ακολουθούν έτσι ώστε η βέλτιστη λύση που θα προκύψει να έχει πρακτική εφαρµογή καθώς επίσης και ταιριάζει επαρκώς στις πραγµατικές συνθήκες του προβλήµατος µας. Αρχικά πρέπει να αναγνωριστεί ολοκληρωµένα το πρόβληµα συµπεριλαµβανοµένων των λόγων δηµιουργίας του και πιθανής συσχέτισης του µε άλλα προβλήµατα. Να βρεθούν δηλαδή τα συµπτώµατα µη ικανοποιητικής λειτουργίας, να καθοριστούν όλα τα στοιχεία του προβλήµατος και να κατανοηθεί η δοµή της διαδικασίας. Εν συνεχεία πρέπει να µελετηθεί από ποιες παραµέτρους επηρεάζεται η διαδικασία και η τελική κατάσταση, όπως επίσης και πως πιθανές µεταβολές των παραµέτρων αυτών µπορούν να δηµιουργήσουν ένα νέο διαφορετικό αποτέλεσµα. Άµεσα συνδεόµενη µε τις παραµέτρους είναι η µελέτη των περιορισµών τους. Η εύρεση δηλαδή των οριακών σηµείων, από τα οποία φράζεται η δυνατότητα µεταβολής των παραµέτρων. εδοµένης της σηµαντικότητας της ορθότητας των παρατηρήσεων, είναι τώρα εφικτό να διατυπωθεί το µαθηµατικό µοντέλο του προβλήµατος. Είναι πιθανή η εύρεση διαφορετικών µοντέλων για την περιγραφή της διαδικασίας και του εντοπισµού της βέλτιστης λύσης. Ανάλογα µε την ευκολία ή µη της µαθηµατικής µελέτης των µοντέλων, πραγµατοποιείται η επιλογή του τελικού µοντέλου. Με χρήση γνωστών µαθηµατικών ή µεθόδων της επιχειρησιακής έρευνας πραγµατοποιείται η εύρεση της βέλτιστης λύση. Επιτυγχάνεται δηλαδή η εύρεση της καλύτερης, εκ των δυνατών, λύσεων που προκύπτουν µε µεταβολές, εντός των περιορισµών, των παραµέτρων. Σχηµατικά τα όσα αναφέρθηκαν παρουσιάζονται στο γράφηµα του Α.Ν. Παναγιώτου που ακολουθεί. Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 14

15 Σχήμα 1.1 Διαδικασία επίλυσης προβλημάτων Επιχειρησιακής Έρευνας πηγή: Ν.Α. Παναγιώτου 1.3. Βιοµηχανικά συστήµατα Ένα σηµαντικό κοµµάτι, το οποίο µελετάει η Επιχειρησιακή Έρευνα είναι τα Βιοµηχανικά συστήµατα. Τα βιοµηχανικά συστήµατα είναι ένα σύνολο σταθµών εργασίας που βρίσκονται σειριακά ή µη και λειτουργούν µε σκοπό την µαζική παραγωγή ενός προϊόντος. Υποκατηγορία των βιοµηχανικών συστηµάτων είναι και οι γραµµές παραγωγής (production lines) που µελετώνται από την εργασία αυτή. Η άλλη σηµαντική υποκατηγορία είναι τα job shops. Η διαφορά είναι πως στις µεν γραµµές παραγωγής πραγµατοποιείται µια διαδοχική επίσκεψη του προϊόντος στις µηχανές επεξεργασίας, ενώ στα δε job shops η σειρά επίσκεψης του προϊόντος στις µηχανές επεξεργασίας µπορεί να γίνει µε διαφορετική σειρά για κάθε προϊόν. Η µελέτη των γραµµών παραγωγής αναφερόµενη στη βιβλιογραφία ως Προγραµµατισµός Παραγωγής είναι ένα θέµα που ερευνάται συχνά. Τα βιοµηχανικά συστήµατα είναι ένα συνονθύλευµα διαφορετικών παραµέτρων και στοιχείων προς µελέτη. Μηχανές που επεξεργάζονται στοχαστικά, αποθηκευτικοί χώροι συγκεκριµένης ή µη χωρητικότητας και υπολογισµός απόδοσης του βιοµηχανικού συστήµατος είναι τα βασικά στοιχεία που συνυπάρχουν και µελετώνται αλληλοεξαρτώµενα µε σκοπό την εύρεση του, κατά περίπτωση, βέλτιστου. Άλλοτε µε σκοπό, µέσω κατάλληλου χειρισµού των διαφόρων παραµέτρων του βιοµηχανικού συστήµατος, την µεγιστοποίηση της απόδοσής της και άλλοτε µε σκοπό, για µια δεδοµένη επιθυµητή απόδοση από την γραµµή παραγωγής, την ελαχιστοποίηση µιας ή παραπάνω εκ των παραµέτρων της. Η µελέτη των βιοµηχανικών συστηµάτων είναι δύσκολη και παρουσιάζει µια πληθώρα πρακτικών Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 15

16 εφαρµογών. Με κατάλληλο χειρισµό των δυνατοτήτων του βιοµηχανικού συστήµατος, όσο και των υλικών αλλά και των ανθρωπίνων πόρων είναι δυνατό να πραγµατοποιηθεί η βελτιστοποίηση της διαδικασίας που έχει ως αποτέλεσµα όφελος οικονοµικό, πόρων ή απασχόλησης εργατικού δυναµικού. Το σηµαντικότερο κοµµάτι µελέτης των βιοµηχανικών συστηµάτων είναι ο ορθός υπολογισµός της απόδοσης του συνολικού συστήµατος κάτω από τις διάφορες τιµές των παραµέτρων του. Το πλήθος των υποσυστηµάτων µπορεί να διαφοροποιείται όπως και οι χρόνοι λειτουργίας και παύσης τους. Η απόδοση προσεγγίζεται στοχαστικά και µπορεί να διαφέρει για τα επιµέρους στοιχεία, γεγονός που δυσκολεύει ακόµα περισσότερο την προσέγγιση αυτή. Η απόδοση εξαρτάται από το µέγεθος του αποθηκευτικού χώρου και οι δυνατότητες κάθε συστήµατος δεν είναι οι ίδιες. Όλα αυτά συντελούν στην αναγκαιότητα διαφοροποιηµένου, κατά περίπτωση, τρόπου προσέγγισης για την επίτευξη µιας γενικευµένης µεθοδολογίας Γραµµές Παραγωγής Είναι δεδοµένη η ποικιλία που παρουσιάζεται κατά την πρακτική εφαρµογή των γραµµών παραγωγής στα συστήµατα των βιοµηχανιών προς παραγωγή, συναρµολόγηση, επεξεργασία προϊόντων. Αντίστοιχα πολυδιάστατη είναι και η κατηγοριοποίηση των γραµµών παραγωγής από τις, ερευνητικού και θεωρητικού ενδιαφέροντος, προσεγγίσεις. Οι γραµµές παραγωγής, όπως αντιµετωπίζονται, από την επιστηµονική κοινότητα παρουσιάζουν διάφορες υποκατηγορίες ανάλογα µε τη διάταξη των µηχανών, τον τύπο των παραγόµενων προϊόντων, την αξιοπιστία ή µη των µηχανών και την συγχρονισµένη ή µη κίνηση των προϊόντων Κατηγορίες γραµµών µε κριτήριο τη διάταξη τους Οι γραµµές παραγωγής µε κριτήριο τη διάταξη τους κατηγοριοποιούνται σε σειριακές γραµµές παραγωγής (serial production lines), µη σειριακές γραµµές παραγωγής (non serial production lines) και γραµµές παραγωγής µε σταθµούς Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 16

17 εργασίας που περιέχουν πολλές µηχανές ίδιου τύπου επεξεργασίας σε παράλληλη σύνδεση Σειριακές γραµµές παραγωγής Η σειριακή γραµµή παραγωγής (serial production line) είναι µια σειρά διαδοχικών σταθµών εργασίας εγκατεστηµένων σε µια παραγωγική µονάδα στην οποία τα υλικά τίθενται σε µια διαδικασία επεξεργασίας για την παραγωγή ενός τελικού προϊόντος που είναι κατάλληλο για κατανάλωση ή περαιτέρω επεξεργασία. Κάθε κοµµάτι εισέρχεται στη γραµµή παραγωγής στον σταθµό εργασίας 1, κατόπιν περνάει από όλους τους σταθµούς εργασίας για να εξέλθει ολοκληρωµένο από την τελευταία µηχανή. Η σειριακή γραµµή παραγωγής (serial production line) δοµείται από σταθµούς εργασίας και ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους. Όπως φαίνεται στο Γράφηµα 1 ο πρώτος σταθµός εργασίας (m 1 ) τοποθετεί τα κοµµάτια, κατόπιν της επεξεργασίας τους, στον πρώτο αποθηκευτικό χώρο (b 1 ). Από τα κοµµάτια του πρώτου αποθηκευτικού χώρου (b 1 ) παίρνει, εφόσον είναι σε κατάσταση επεξεργασίας και ελεύθερος, για να επεξεργαστεί ο δεύτερος σταθµός εργασίας. Οµοίως συνεχίζεται η διαδικασία από τους υπόλοιπους σταθµούς εργασίας και τους υπόλοιπους αποθηκευτικούς χώρους. Η εισροή στη γραµµή εργασίας πραγµατοποιείται είτε από µέρη που παράγει άλλη παρόµοια µονάδα, είτε από αποθηκευτικό χώρο. Σε κάθε περίπτωση η εισροή (input) στην πρώτη µηχανή θεωρείται ακατάπαυστη. Αντίστοιχα τα εξαγόµενα του τελευταίου σταθµού εργασίας (m M ) αποτελούν την ολοκληρωµένη, για τη συγκεκριµένη γραµµή παραγωγής, µορφή του τελικού προϊόντος ή αντίστοιχα του µέρους του. Η εκροή του συστήµατος (output), θεωρείται ότι µεταβιβάζεται σε αποθηκευτικό χώρο απεριόριστης χωρητικότητας. Αυτές οι υποθέσεις πραγµατοποιούνται ώστε να είναι δυνατό η γραµµή να µελετηθεί ανεξάρτητα από το «περιβάλλον» της. Οι µηχανές βρίσκονται τοποθετηµένες γραµµικά όπως φαίνεται από σχήµα 1.2. Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 17

18 Σχήμα 1.2 Σειριακή Γραμμή Παραγωγής Μη σειριακές γραµµές παραγωγής Οι µη σειριακές γραµµές παραγωγής διακρίνονται και αυτές εκ νέου σε κατηγορίες. Οι κατηγορίες στις οποίες διακρίνονται είναι: Γραµµές Συναρµολόγησης (Assembly Lines) Οι γραµµές συναρµολόγησης εµφανίζονται σε συστήµατα που η παραγωγή του τελικού προϊόντος γίνεται από ένωση µερών, τα οποία δηµιουργούνται σε διαφορετικές µηχανές σε αρχικά στάδια της γραµµής. Οι γραµµές αυτές εµφανίζονται κυρίως για τη παραγωγή προϊόντων, αυξηµένων απαιτήσεων, όπως αυτοκίνητα, ελικόπτερα κλπ. όπου τα µέρη του προϊόντος πρέπει να παραχθούν χωριστά και σε επόµενο στάδιο να συναρµολογηθούν. Στη γραµµή συναρµολόγησης του σχήµατος 1.3 η µηχανή Μ 1 τοποθετεί το αποτέλεσµα της επεξεργασίας της στον αποθηκευτικό χώρο Β 1,5, αντίστοιχα η µηχανή Μ 2 τοποθετεί στον Β 2,5. Εν συνεχεία η µηχανή Μ 5 παίρνει από τους αποθηκευτικούς χώρους Β 1,5 και Β 2,5 και συναρµολογεί τα δύο µέρη τα οποία τοποθετεί ως ένα νέο στον αποθηκευτικό χώρο Β 5,7. Αντίστοιχα µε τις µηχανές Μ 1, Μ 2 επεξεργάζονται οι µηχανές Μ 3 και Μ 4 και αντίστοιχα µε τη µηχανή Μ 5 συναρµολογούν οι µηχανές Μ 6 και Μ 7. Οιαδήποτε από τις µηχανές συναρµολόγησης για να είναι δυνατόν να συναρµολογήσει πρέπει να µπορεί να πάρει µέρη από όλους τους αντίστοιχους προηγούµενους αποθηκευτικούς χώρους. Για παράδειγµα η µηχανή Μ 5 µπορεί να ξεκινήσει νέα συναρµολόγηση µόνο εάν υπάρχουν µέρη τόσο στον αποθηκευτικό χώρο Β 1,5 όσο και στον Β 2,5. ιαφορετικά, όταν ένας τουλάχιστον από τους Β 1,5 και Β 2,5 είναι άδειος τότε η µηχανή Μ 5 λιµοκτονεί και αναστέλλεται η συναρµολόγηση έως ότου να υπάρχουν µέρη και στους δύο αποθηκευτικούς χώρους. Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 18

19 Σχήμα 1.3 Γραμμή Συναρμολόγησης Γραµµές Αποσυναρµολόγησης (Disassembly Lines) Παρόµοιας µορφής είναι και οι γραµµές αποσυναρµολόγησης. Μια τέτοια γραµµή παρουσιάζεται στο ακόλουθο γράφηµα. Η µηχανή Μ 2 του σχήµατος 1.4 παίρνει από τον αποθηκευτικό χώρο Β 1 ένα µέρος, το οποίο αποσυναρµολογεί σε δύο κοµµάτια κάθε ένα από τα οποία διοχετεύεται αντίστοιχα στους χώρους Β 2,3 και Β 2,4. Η µηχανή Μ 2 µπλοκάρει όταν ένας τουλάχιστον από τους δύο αυτούς αποθηκευτικούς χώρου είναι γεµάτος. Οιαδήποτε µηχανή για να ξεκινήσει την αποσυναρµολόγηση ενός νέου κοµµατιού θα πρέπει νωρίτερα να έχει εναποθέσει επιτυχώς τα µέρη της προηγούµενης αποσυναρµολόγησης σε όλους τους αντίστοιχους αποθηκευτικούς χώρους. Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 19

20 Σχήμα 1.4 Γραμμή Αποσυναρμολόγησης Γραµµές Συγχώνευσης (Merge Lines) Οι γραµµές συγχώνευσης παρουσιάζουν οµοιότητες, όσον αφορά τη διάταξη, µε τις γραµµές συναρµολόγησης, αλλά η λειτουργικότητα τους ωστόσο εµφανίζει ουσιαστικές διαφοροποιήσεις. Το σύστηµα αυτό χρησιµοποιήθηκε από τον Helber το Όπως παρατηρείται στο σχήµα 1.5 η µηχανή Μ 1 επεξεργάζεται και τοποθετεί το παραγόµενο, στον αποθηκευτικό χώρο Β 1,3, οµοίως η Μ 2 επεξεργάζεται και τοποθετεί στον χώρο Β 2,3. Η µηχανή Μ 3 για να επεξεργαστεί παίρνει είτε από τον αποθηκευτικό χώρο Β 1,3, είτε από τον Β 2,3. Έχει δηλαδή έναν βασικό αποθηκευτικό χώρο από τον οποίο τροφοδοτείται (εδώ ο Β 1,3 ) και στην περίπτωση που αυτός είναι άδειος τότε τροφοδοτείται από τον εφεδρικό αποθηκευτικό χώρο (εδώ ο Β 2,3 ). Οι δύο αποθηκευτικοί χώροι, αντίθετα µε τις γραµµές συναρµολόγησης) έχουν του ίδιου τύπου µέρη και η µηχανή που τους ακολουθεί χρειάζεται για να επεξεργαστεί ένα µόνο κοµµάτι από έναν εκ των δύο αποθηκευτικών χώρων, λιµοκτονεί λοιπόν µόνο στην περίπτωση που και οι δύο αποθηκευτικοί χώροι είναι άδειοι. Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 20

21 Σχήμα 1.5 Γραμμή Συγχώνευσης 3 μηχανών 2 αποθηκευτικών χώρων Ένα νέο, εµφανώς πιο αποτελεσµατικό, σύστηµα που παρουσιάζει τις εργασίες συγχώνευσης εξετάστηκε από τους Helber και Merthens (1999) και Diamantidis, Papadopoulos and Vidalis (2004). Το στοιχείο που κάνει πιο αποτελεσµατική την προσέγγιση αυτή είναι ότι προσδιορίζεται µε µεγαλύτερη ακρίβεια η απόδοση των γραµµών αυτών. Σχήμα 1.6 Γραμμή Συγχώνευσης 3 μηχανών 1 αποθηκευτικού χώρου Η δεύτερη προσέγγιση διαφοροποιείται σηµαντικά από την πρώτη. Η πρώτη βασική διαφορά είναι ότι στο σχήµα 1.6 πριν τη µηχανή Μ 3 υπάρχει µόνο ένας αποθηκευτικός χώρος, ο Β (1,2),3 στο οποίο εναποθέτουν τα παραγόµενα προϊόντα οι µηχανές Μ 1 και Μ 2. Αντίθετα στο σχήµα 1.5 είναι εµφανής η ύπαρξη δύο ξεχωριστών αποθηκευτικών χώρων. Οι µηχανές Μ 1 και Μ 2 λειτουργούν παράλληλα παράγοντας ταυτόχρονα ίδιο τύπου προϊόντα και δεν υπάρχει βασική και εφεδρική µηχανή όπως συνέβαινε στο σύστηµα του σχήµατος 1.5. Έτσι η µηχανή Μ 3 επεξεργάζεται τα Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 21

22 προϊόντα του αποθηκευτικού χώρου που προηγείται ανεξαρτήτως της προέλευσης τους. Η µηχανή Μ 1 έχει προτεραιότητα σε σχέση µε τη µηχανή Μ 2 µόνο όταν ο αποθηκευτικός χώρος Β (1,2),3 γεµίσει. Τότε η µηχανή Μ 1 έχει προτεραιότητα στην τοποθέτηση µέρους στον αποθηκευτικό χώρο Β (1,2),3. Γραµµές ιάσπασης (Split Lines) Οι γραµµές διάσπαση εµφανίζονται κυρίως σε περιπτώσεις όπου οι γραµµές παραγωγής περιέχουν έλεγχο ποιότητας. Η διάσπαση πραγµατοποιείται όταν κάποιο προϊόν αφού ελεγχθεί για την ποιότητα του, ανάλογα µε τα τεθέντα επίπεδα ποιότητας είτε κρίνεται καλό και ακολουθεί την προβλεπόµενη διαδικασία, είτε κρίνεται ελαττωµατικό και ακολουθεί την αντίστοιχη διαδικασία που είναι επανεπεξεργασία ή απόρριψη. Για τη γραµµή διάσπασης του ακόλουθου σχήµατος (σχήµα 1.7) η µηχανή στην οποία πραγµατοποιείται η διάσπαση είναι η µηχανή Μ 2. Κατόπιν της επεξεργασίας από την µηχανή αυτή το ηµι-κατεργασµένο προϊόν δύναται να πάει είτε στον αποθηκευτικό χώρο Β 2,3 είτε στον αποθηκευτικό χώρο Β 2,4 ανάλογα µε το αν το προϊόν ικανοποιεί τα πρότυπα ποιότητας ή όχι. Μπορεί να θεωρηθεί για την γραµµή διάσπασης αυτήν πως τα καλά προϊόντα πάνε στον Β 2,3 και τα ελαττωµατικά στον Β 2,4. Γίνεται εύκολα αντιληπτό πως όταν ένα προϊόν τοποθετηθεί σε µια χρονική στιγµή από την µηχανή Μ 2 σε έναν από τους δύο αποθηκευτικούς χώρους Β 2,3 ή Β 2,4 στον άλλο αποθηκευτικό χώρο δεν θα τοποθετηθεί προϊόν την ίδια χρονική στιγµή. Σχήμα 1.7 Γραμμή Διάσπασης Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 22

23 Οι γραµµές διάσπασης και οι γραµµές αποσυναρµολόγησης εµφανίζουν όσον αφορά την τοπολογία τους οµοιότητες αλλά έχουν µια βασική διαφοροποίηση. Στις γραµµές αποσυναρµολόγησης µετά από κάποια µηχανή το προϊόν διαχωρίζεται σε δύο µέρη και κάθε ένα ακολουθεί µια συγκεκριµένη διαδικασία. Από τη µηχανή εκείνη και µετά δηλαδή, κάθε µηχανή επεξεργάζεται το αντίστοιχο µέρος. Αντίθετα στης γραµµές διάσπασης το προϊόν δεν διαχωρίζεται, αλλά ανάλογα µε κάποια κριτήρια και για µία τιµή πιθανότητας είτε ακολουθεί µια διαδροµή, είτε µια άλλη. Μετά από τη µηχανή αυτή δηλαδή, οι επόµενες µηχανές έχουν µια πιθανότητα να παραλάβουν προϊόν προς επεξεργασία, στοιχείο που συνεπάγεται πως θα έχουν και διαφορετικές ανάγκες αποθηκευτικού χώρου και αξιοπιστίας µηχανών. Στο σχήµα 1.8 που ακολουθεί φαίνεται µια γραµµή παραγωγής µε βρόγχο επανεπεξεργασίας, η οποία περιέχει σύστηµα διάσπασης (split system) και σύστηµα συγχώνευσης (merge system). Ένα µέρος των ηµι-επεξεργασµένων προϊόντων µε συγκεκριµένη πιθανότητα µετά τη µηχανή Μ 4 πάει σε αρχικά στάδια της γραµµής για να επεξεργαστεί ξανά. Στο παράδειγµα γραµµής που ακολουθεί παρατηρείται πως η µηχανή Μ 4 αποτελεί µηχανή διάσπασης και η µηχανή Μ 2 αποτελεί µηχανή συγχώνευσης καθώς µπορεί να επιλέξει από τα προϊόντα που προέρχονται από τη µηχανή Μ 1 καθώς και από αυτά που προέρχονται από τη διάσπαση της µηχανής Μ 4. Σχήμα 1.8 Γραμμή παραγωγής με βρόγχο επαναπεξεργασίας Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 23

24 Γραµµές παραγωγής και τύποι προϊόντων Οι γραµµές παραγωγής ανάλογα µε τη φύση των προϊόντων που παράγουν διακρίνονται σε διακριτού και σε συνεχούς τύπου. Μια γραµµή παραγωγής είναι διακριτού τύπου όταν τα προϊόντα που επεξεργάζεται και παράγει είναι διακριτού τύπου, όπως καρέκλες, αυτοκίνητα, οθόνες κλπ. Μια γραµµή παραγωγής είναι συνεχούς τύπου όταν τα προϊόντα που επεξεργάζεται και παράγει είναι συνεχούς τύπου, όπως τα υγρά προϊόντα. Οι γραµµές παραγωγής είναι δυνατό να διαχωριστούν επίσης µε κριτήριο την ύπαρξη ή όχι παράλληλης σύνδεσης µεταξύ των µηχανών. Κατηγοριοποίηση µπορεί να γίνει επίσης ανάλογα µε το αν οι µηχανές που περιλαµβάνουν οι γραµµές παραγωγής χαλάνε ή όχι και µε το αν οι µηχανές έχουν ίδιο ή διαφορετικό ρυθµό επεξεργασίας καθώς επίσης και. Οι κατηγοριοποιήσεις αυτές εξαρτώνται από το είδος των µηχανών και θα αναλυθούν στη συνέχεια. Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 24

25 2. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΓΡΑΜΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2.1. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό πραγµατοποιείται µια ανάλυση των παραµέτρων των γραµµών παραγωγής. Παρουσιάζεται µια αναφορά στα στοιχεία που περιέχονται στις γραµµές παραγωγής, όπως τους σταθµούς επεξεργασίας (workstations) που υπάρχουν σε κάθε γραµµή παραγωγής και τους αποθηκευτικούς χώρους (buffers) που είναι αναγκαίοι σε µερικές γραµµές παραγωγής. Πιο συγκεκριµένα στην ενότητα 2.2 πραγµατοποιείται µια ανάλυση στην παράµετρο των σταθµών εργασίας, στην ενότητα 2.3 γίνεται µια εκτενής αναφορά στις µηχανές των σταθµών εργασίας, στην ενότητα 2.4 πραγµατοποιείται µια ανάλυση των αποθηκευτικών χώρων και τέλος στην ενότητα 2.5 αναλύονται τα στοιχεία υπολογισµού της απόδοσης των γραµµών παραγωγής 2.2. Σταθµοί εργασίας Οι σταθµοί εργασίας (workstations) σε µια γραµµή παραγωγής επεξεργάζονται το προϊόν και το φέρνουν στην τελική του µορφή. Οι σταθµοί εργασίας είναι δυνατόν να αποτελούνται είτε από µία µόνο µηχανή επεξεργασίας, είτε από ένα σύστηµα, περισσοτέρων της µιας, µηχανών οι οποίες είναι τοποθετηµένες παράλληλα. Η σύνδεση µονών µηχανών σε µια σειριακή γραµµή παραγωγής φαίνεται στο σχήµα 1.2, ενώ το παράδειγµα γραµµής µε µονάδες σε παράλληλη σύνδεση και ταυτόχρονη και ανεξάρτητη λειτουργία των µηχανών φαίνεται στο σχήµα 2.1 της σελίδας 26. Κάθε σταθµός εργασίας µπορεί να περιέχει πανοµοιότυπες ή όχι µηχανές. Πανοµοιότυπες αναφέρονται οι µηχανές που θεωρούνται να έχουν τους ίδιου µέσους χρόνους επεξεργασίας και στην περίπτωση που χαλάνε, οι πανοµοιότυπες µηχανές χαλάνε µε τον ίδιο ρυθµό. Οι µηχανές κάθε σταθµού εργασίας, πραγµατοποιούν την ίδιας µορφής επεξεργασία, σε παροµοίως ηµι-επεξεργασµένα κοµµάτια και εξάγουν µε τη σειρά τους αντίστοιχα παροµοίως ηµι-επεξεργασµένα κοµµάτια, λειτουργώντας ανεξάρτητα η µία από την άλλη. Στο ακόλουθο γράφηµα που απεικονίζεται µια σειριακή γραµµή Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 25

26 παραγωγής µε σταθµούς εργασίας που περιέχουν µηχανές σε παράλληλη σύνδεση ο δεύτερος σταθµός εργασίας, για παράδειγµα, έχει µηχανές σε παράλληλη σύνδεση και κάθε µία από τις µηχανές αυτές (µ 2 ) παραλαµβάνει προϊόντα τυχαία από τον αποθηκευτικό χώρο Β 1 και όλες οι µηχανές του, µε τη σειρά τους τοποθετούν τα επεξεργασµένα προϊόντα στον αποθηκευτικό χώρο Β 2. Τα προϊόντα που βρίσκονται στον αποθηκευτικό χώρο Β 2 είναι όλα ίδια και ακολουθούν ίδια πορεία επεξεργασίας έως ότου πάρουν την τελική τους µορφή. Σχήμα 2.1 Γραμμή παραγωγής με σταθμούς εργασίας που αποτελούνται από παράλληλες μηχανές εξυπηρέτησης 2.3. Μηχανές Σταθµών Εργασίας Οι µηχανές του σταθµού εργασίας (machines) είπαµε πως µπορούν να είναι τοποθετηµένες είτε σειριακά είτε µη σειριακά και κάθε µία από αυτές είναι κατασκευασµένη και τοποθετηµένη σε συγκεκριµένο σηµείο της γραµµής έτσι ώστε να πραγµατοποιεί µια συγκεκριµένη λειτουργία. Με την τοποθέτηση σε συγκεκριµένο σηµείο, υποδηλώνεται η ανάγκη πραγµατοποίησης µιας εργασίας µετά από µία που πρέπει να προηγηθεί, αλλά πριν από µια άλλη, µε σκοπό το καλύτερο αποτέλεσµα. Οι µηχανές των γραµµών παραγωγής µπορεί να είναι αξιόπιστες ή όχι καθώς επίσης είναι δυνατό να έχουν τον ίδιο ρυθµό επεξεργασίας. Μια µηχανή m i δύναται να επεξεργαστεί ένα νέο κοµµάτι µια χρονική στιγµή t 0 εφόσον α) είναι σε κατάσταση λειτουργίας τη χρονική στιγµή t 0 β) υπάρχει κατά τη χρονική στιγµή t 0 κοµµάτι στον αποθηκευτικό χώρο b i-1 και γ) έχει τελειώσει την επεξεργασία του προγενέστερου κοµµατιού και το έχει εναποθέσει επιτυχώς στον b i αποθηκευτικό χώρο. Στην περίπτωση που ο αποθηκευτικός χώρος b i είναι γεµάτος Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 26

27 εκείνη τη χρονική στιγµή, η µηχανή m i αποτυγχάνει να περάσει το κοµµάτι στο επόµενο στάδιο της διαδικασίας και δεν δύναται να ξεκινήσει την επεξεργασία νέου. Στις µηχανές των γραµµών παραγωγής εµφανίζονται τα φαινόµενα του µπλοκαρίσµατος (blockage) και της λιµοκτονίας (starvation). Μια µηχανή m i λιµοκτονεί τη χρονική στιγµή t 0 όταν α) η µηχανή m i είναι σε λειτουργία τη χρονική στιγµή t 0, β) ο αποθηκευτικός b i-1 είναι άδειος τη χρονική στιγµή t 0 και γ) η µηχανή m i-1 αποτύχει να τοποθετήσει κοµµάτι στον αποθηκευτικό χώρο b i-1 τη χρονική στιγµή t 0. Μια µηχανή m i µπλοκάρει τη χρονική στιγµή t 0 όταν α) η µηχανή m i είναι σε λειτουργία τη χρονική στιγµή t 0, β) ο αποθηκευτικός b i είναι γεµάτος τη χρονική στιγµή t 0 και γ) η µηχανή m i+1 αποτύχει να πάρει κοµµάτι από τον αποθηκευτικό χώρο b i τη χρονική στιγµή t Αξιοπιστία µηχανών Οι µηχανές στις γραµµές παραγωγής δύναται όπως αναφέρθηκε είτε να είναι αξιόπιστες δηλαδή να µην τίθενται λόγω βλάβης εκτός λειτουργίας, είτε να µην είναι αξιόπιστες οπότε κατά την περιγραφή του συστήµατος είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη πως παρουσιάζουν δύο καταστάσεις, αυτές της λειτουργίας και της παύσης (Up και Down). Όταν πρόκειται για αξιόπιστες µηχανές, η αποδοτικότητά τους εκφράζεται από τον αριθµό που αντιστοιχεί στον µέσο ρυθµό εξυπηρέτησης της µηχανής. Όταν πρόκειται για µη αξιόπιστες µηχανές τότε ο ρυθµός λειτουργίας και ο ρυθµός παύσης κάθε µηχανής προσεγγίζονται στοχαστικά. Ο ρυθµός βλαβών µπορεί να είναι σταθερή ή να ακολουθεί µια συγκεκριµένη κατανοµή όπως για παράδειγµα εκθετική, γεωµετρική ή Erlang. Επίσης ο ρυθµός µε τον οποίο οι βλάβες παρουσιάζονται µπορεί να εξαρτάται είτε από τον χρόνο (time dependent), είτε από την χρονική περίοδο συνεχούς λειτουργίας της µηχανής (operation dependent), δηλαδή οι βλάβες σε αυτή την περίπτωση εµφανίζονται ανεξαρτήτως του χρόνου και µόνο όταν οι µηχανές βρίσκονται σε λειτουργία Ανάλογα µε το είδος των µηχανών, διαχωρίζονται και οι σειριακές γραµµές παραγωγής σε αξιόπιστες και σε µη αξιόπιστες. Στις µη αξιόπιστες γραµµές ο σταθµός εργασίας αποτελείται από µηχανή ή µηχανές που λειτουργεί Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 27

28 µε συνεχή χρόνο επεξεργασίας αλλά υπόκειται σε περιστασιακές παύσεις λειτουργίας, λόγω βλάβης, σηµαντικών χρονικών περιόδων. Οι αξιόπιστες γραµµές, αποτελούνται από σταθµούς µε µηχανή ή µηχανές που δεν χαλάνε. Αρκετές φορές τέτοιες γραµµές έχουν και ανθρώπινη συµµετοχή καθώς αναφερόµαστε σε χειριστές-ανθρώπους. Αυτές οι γραµµές λοιπόν δεν χαλάνε, έχουν ωστόσο µια σηµαντική µεταβλητότητα στους χρόνους επεξεργασίας Χρόνοι επεξεργασίας µηχανών Οι µηχανές σε µια γραµµή παραγωγής είναι δυνατόν να έχουν τους ίδιους ή διαφορετικούς ρυθµούς, επεξεργασίας και βλάβης. Η διαφορετικότητα ή όχι των µηχανών κατηγοριοποιεί και τις γραµµές παραγωγής σε ισορροπηµένες και σε µη ισορροπηµένες. Ως ισορροπηµένες αναφέρονται οι γραµµές στις οποίες η κατανοµή πιθανότητας των χρόνων λειτουργίας και βλάβης είναι ίδια σε όλους τους σταθµούς εργασίας. Από την άλλη, στις µη ισορροπηµένες γραµµές οι µέσες τιµές, οι διακυµάνσεις και οι χρόνοι επεξεργασίας µπορεί να διαφέρουν από σταθµό σε σταθµό. Στην πρώτη περίπτωση µε τις µη αξιόπιστες µηχανές είναι δυνατό ένας σταθµός εργασίας κατόπιν σφάλµατος να σταµατήσει να παράγει, µε την ύπαρξη ωστόσο αποθηκευτικού χώρου µετά από τον σταθµό εργασίας αυτόν η παραγωγική διαδικασία είναι δυνατόν να συνεχιστεί. Στην δεύτερη περίπτωση των γραµµών παραγωγής µε αξιόπιστες µηχανές ο αποθηκευτικός χώρος είναι απαραίτητος να καλύψει διαφορές αποδόσεων σε δύο διαδοχικούς σταθµούς εργασίας καθώς επίσης και πιθανές αυξοµειώσεις των χρόνων επεξεργασίας των σταθµών. Γίνεται εύκολα αντιληπτό πως σε µια γραµµή παραγωγής µε µηχανές που επεξεργάζονται µε σταθερούς και ίσους χρόνους η παραγωγή είναι σταθερή και πραγµατοποιείται µε τον ίδιο ρυθµό που έχουν και οι µηχανές, χωρίς την ανάγκη ύπαρξης αποθηκευτικού χώρου µεταξύ των µηχανών. Σε ισορροπηµένες γραµµές µε µικρές τιµές µεταβλητότητας, ίση κατανοµή του αποθηκευτικού χώρου µεταξύ των µηχανών, αποδίδει µεγιστοποίηση παραγωγής. Μεγάλες τιµές µεταβλητότητας σηµαίνουν πως η µεγιστοποίηση της απόδοσης της γραµµής παραγωγής επιτυγχάνεται µε τοποθέτηση επιπλέον αποθηκευτικού χώρου προς το κέντρο της γραµµής (bowl phenomenon). Αντίθετα σε ασύµµετρες γραµµές παραγωγής η διαδικασία δεν είναι Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 28

29 τόσο εύκολα περιγράψιµη Αποθηκευτικοί Χώροι Οι αποθηκευτικοί χώροι (buffers) που βρίσκονται µεταξύ διαδοχικών σταθµών εργασίας είναι απαραίτητοι για την οµαλή λειτουργία της σειριακής γραµµής παραγωγής. Έχουν ως αποτέλεσµα την ύπαρξη κοµµατιών προς επεξεργασία ακόµα και στην περίπτωση που µια µηχανή παύσει να λειτουργεί ή δύο διαδοχικοί σταθµοί εργασίας επεξεργάζονται µε διαφορετικούς ρυθµούς. Σε µη αξιόπιστες γραµµές είναι αναγκαία η µεγαλύτερου ρυθµού επεξεργασία και αποθήκευση κοµµατιών ώστε να καλυφτεί πιθανή απενεργοποίηση λόγο βλάβης κάποιου από τους σταθµούς εργασίας. Εύκολα κατανοητό γίνεται το γεγονός πως για αξιόπιστες γραµµές παραγωγής, µικρότερες ποσότητες αποθηκευτικού χώρου είναι επαρκείς να καλύψουν τις όποιες διαφοροποιήσεις παρουσιάζονται στις ταχύτητες επεξεργασίας. Οι αποθηκευτικοί χώροι µπορεί να γίνουν πολύ ακριβοί, τόσο άµεσα λόγο του κόστους τους, όσο και άµεσα εξαιτίας του αυξηµένου φόρτου εργασίας και των χρόνων επεξεργασίας. Η δυσκολία του προβλήµατος κατανοµής του αποθηκευτικού χώρου σε µια γραµµή παραγωγής έγκειται σε δύο κυρίως στοιχεία, στο γεγονός ότι αποτελεί ένα συνδυαστικό πρόβληµα βελτιστοποίησης καθώς επίσης και στην µη ύπαρξη αναλυτικών µεθόδων καθορισµού της απόδοσης ρεαλιστικών γραµµών παραγωγής. Όπως αναφέρθηκε στη περίπτωση αξιόπιστων µηχανών είναι δυνατό ένας σταθµός εργασίας m i κατόπιν σφάλµατος να σταµατήσει να παράγει, ωστόσο µε την ύπαρξη του αποθηκευτικού χώρου b i ο σταθµός εργασίας m i+1 θα συνεχίσει την επεξεργασία και έτσι η παραγωγική διαδικασία θα συνεχιστεί. Η χωρητικότητα του αποθηκευτικού χώρου b i είναι κάποιος πεπερασµένος φυσικός αριθµός. Για τον υπολογισµό της χωρητικότητας του b i άλλοτε συνυπολογίζονται και οι θέσεις επεξεργασίας του m i σταθµού εργασίας και άλλοτε όχι. Στην πρώτη περίπτωση ο αποθηκευτικός χώρος δεν µπορεί να πάρει την τιµή µηδέν αλλά ως ελάχιστη τιµή έχει το πλήθος των µηχανών του m i σταθµού εργασίας. Στην περίπτωση που οι αποθηκευτικοί χώροι είναι πολύ µεγάλοι, η απογραφή των εργασιών σε εξέλιξη και το κόστος κεφαλαίου που επισύρουν θα υπερισχύουν του οφέλους της αυξηµένης παραγωγικότητας. Εάν, αντίθετα, οι αποθηκευτικοί χώροι είναι πολύ µικρής Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 29

30 χωρητικότητας τότε η γραµµή θα λειτουργεί σε επίπεδο πολύ χαµηλότερο των πραγµατικών της δυνατοτήτων Απόδοση Γραµµής Παραγωγής Η απόδοση των γραµµών παραγωγής πραγµατοποιείται στη διεθνή βιβλιογραφία µε διάφορους τρόπους. Τα µέτρα αυτά είναι: Ρυθµός παραγωγής ή Απόδοση (Production Rate) Ρυθµός παραγωγής είναι ο αριθµός των προϊόντων που παράγονται από τη γραµµή παραγωγής ανά µονάδα χρόνου. Ο ρυθµός παραγωγής µιας σειριακής γραµµής παραγωγής είναι εύκολα αντιληπτό πως δεν µπορεί να είναι µεγαλύτερος από τον ελάχιστο εκ των ρυθµών εξυπηρέτησης των σταθµών εργασίας που περιλαµβάνει. Αριθµός των ηµιακατέργαστων προϊόντων (Work In Progress) Εργασία σε εξέλιξη(wip) είναι ο συνολικός αριθµός των προϊόντων που βρίσκονται στη γραµµή παραγωγής. Μέσος χρόνος παραµονής στο σύστηµα (Flow Time) Μέσος χρόνος παραµονής στο σύστηµα είναι ο µέσος χρόνος που χρειάζεται ένα προϊόν από τη στιγµή που θα εισέλθει στη γραµµή παραγωγής µέχρι την στιγµή που θα εξέλθει από το σύστηµα. Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 30

31 3. ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3.1. Εισαγωγή Για την καλύτερη δυνατή επιλογή των παραµέτρων ενός βιοµηχανικού συστήµατος, όπως έχει ήδη αναφερθεί το πιο σηµαντικό στοιχείο είναι ο υπολογισµός της απόδοσης των γραµµών παραγωγής. Ο σωστός υπολογισµός της απόδοσης είναι ένα αναγκαίο πρώτο εργαλείο για την επιτυχή σύγκριση της µεταβολής που πραγµατοποιείται στην παραγωγή λόγο οποιασδήποτε µεταβολής των παραµέτρων του συστήµατος. Αν δεν έχει επιτευχθεί ο υπολογισµός της απόδοσης, είναι προφανές πως δεν είναι δυνατόν να φανεί εάν µια µεταβολή των παραµέτρων λειτούργησε θετικά ή αρνητικά και ως συνεπαγωγή το σύστηµα που επιφέρει βελτιστοποίηση της απόδοσης παραµένει άγνωστο. Η εκτίµηση και βελτιστοποίηση των γραµµών παραγωγής είναι κρίσιµη γεγονός που συνεπάγεται την ύπαρξη ποικιλίας προσεγγιστικών µεθόδων που έχουν αναφερθεί. Στο κεφάλαιο αυτό θα πραγµατοποιηθεί µια αναφορά των µεθόδων ανάλυσης µε τις οποίες προσεγγίζονται και εκτιµώνται οι γραµµές παραγωγής και γενικότερα τα βιοµηχανικά συστήµατα στη διεθνή βιβλιογραφία. Πιο συγκεκριµένα στην ενότητα 3.2 παρουσιάζονται οι µέθοδοι εκτίµησης και βελτιστοποίησης γραµµών παραγωγής. Στην ενότητα 3.3 αναλύονται οι εκτιµητικές µέθοδοι όπως η µέθοδος της Μαρκοβιανής και η µέθοδος της αποσύνθεσης. Στην παράγραφο 3.4 παρουσιάζονται οι γενετικές 3.2. Μέθοδοι εκτίµησης και βελτιστοποίησης γραµµών παραγωγής Η λειτουργία ενός βιοµηχανικού συστήµατος, µε τρόπο τέτοιον, ώστε να επιτυγχάνεται η βελτιστοποίηση είναι µια αυτονόητη αναγκαιότητα. Η εξοικονόµηση πόρων, χρόνου και ανθρώπινου δυναµικού, αλλά όχι εις βάρος της ποιότητας, οδηγεί σε οικονοµικά οφέλη. Με χρήση των πόρων που έχουν εξοικονοµηθεί σε κάποιον άλλο τοµέα, τα οικονοµικά ανταλλάγµατα γίνονται ακόµα µεγαλύτερα. Αντίστοιχη της µεγάλης σηµασίας της πρακτικής εφαρµογής του Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 31

32 θέµατος είναι και η επιστηµονική προσέγγισή του. Έχει αναπτυχθεί µια ποικιλία αναλυτικών µεθόδων για την ανάλυση των βιοµηχανικών συστηµάτων οι οποίες χωρίζονται σε δύο βασικές κατηγορίες: Εκτιµητικές µέθοδοι Γενετικές µέθοδοι ή µέθοδοι βελτιστοποίησης 3.3. Εκτιµητικές µέθοδοι Η πρώτη κατηγορία των µεθόδων ανάλυσης των βιοµηχανικών συστηµάτων είναι οι εκτιµητικές µέθοδοι που επικεντρώνονται στην εκτίµηση των µέτρων απόδοσης των συστηµάτων αυτών, όπως για παράδειγµα τον ρυθµό παραγωγής και τον µέσο χρόνο παραµονής στο σύστηµα, µε χρήση προσοµοίωσης ή αναλυτικών µεθόδων. Η προσοµοίωση είναι η κύρια µέθοδος προσδιορισµού της απόδοσης και είναι δύναται να εφαρµοστεί ακόµα και σε πολύπλοκες γραµµές παραγωγής που αναλυτικές µέθοδοι είτε δεν υπάρχουν είτε δίνουν µέτρια αποτελέσµατα. Η προσοµοίωση είναι µεν εφαρµόσιµη στην πλειονότητα των συστηµάτων που µελετώνται αλλά υστερεί σηµαντικά ως προς τον χρόνο ολοκλήρωσης που παρουσιάζει. Στην περίπτωση που ένα σύστηµα µπορεί να µελετηθεί µε µεγάλη ακρίβεια από µία αναλυτική µέθοδο, ο τρόπος αυτός σαφώς υπερτερεί έναντι της προσοµοίωσης. Τα αποτελέσµατα της προσοµοίωσης συγκλίνουν στις πραγµατικές τιµές όσο µεγαλώνει ο χρόνος για τον οποίο το σύστηµα προσοµοιώνεται. Μεγαλύτεροι χρόνοι προσοµοίωσης συνεπάγονται καλύτερα αποτελέσµατα, καθώς επίσης και οποιαδήποτε µεταβολή του συστήµατος χρήζει εκ νέου µελέτης προσοµοίωσης. Αυτά τα δύο στοιχεία κάνουν εµφανές το χρονοβόρο της διαδικασίας της προσοµοίωσης. Από την άλλη, οι δύο βασικές αναλυτικές µέθοδοι είναι η Μαρκοβιανή ανάλυση (Hillier and Boling, 1967 και Heavey, Papadopoulos and Browne, 1993) και η µέθοδος της αποσύνθεσης (decomposition method) (Gershwin 1987 και Dallery,David and Xie 1988). Μέθοδοι εφαρµόσιµες κυρίως σε σειριακές Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 32

33 γραµµές παραγωγής για τις οποίες υπάρχει προσπάθεια επέκτασης σε µη σειριακές γραµµές (Di Mascolo 1991, Gershwin 1991 και Helber 1999) Μαρκοβιανή ανάλυση Η Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι µια στοχαστική διαδικασία κατά την οποία η µετάβαση από τη µία κατάσταση στην επόµενη εξαρτάται µόνο από την τελευταία κατάσταση και όχι από τις υπόλοιπες προηγούµενες. Η κατάσταση του συστήµατος που αναµένεται για την επόµενη µελλοντική στιγµή (χρονική στιγµή t+1) εξαρτάται µόνο από την παρούσα κατάσταση (χρονική στιγµή t) και όχι από τις καταστάσεις του συστήµατος για τις προγενέστερες, της t, χρονικές στιγµές (t-1,t-2,t-3,...). Η Μαρκοβιανή ανάλυση είναι µεν ακριβής για τον προσδιορισµό της απόδοσης των βιοµηχανικών συστηµάτων, γίνεται ωστόσο απαγορευτική η χρήση της για µεγάλα συστήµατα. Η επίλυση του µαθηµατικού µοντέλου αυτής της µεθόδου για µια γραµµή παραγωγής µε πολλές µηχανές και πολλούς αποθηκευτικούς χώρους είναι πρακτικά αδύνατη. Ο υπολογισµός του αριθµού των πιθανών καταστάσεων σε µια σειριακή γραµµή παραγωγής µε k µηχανές και k-1 ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους για παράδειγµα, µπορεί να βρεθεί πολλαπλασιάζοντας τον αριθµό των πιθανών καταστάσεων της κάθε µηχανής, έστω πως κάθε µηχανή µπορεί να βρεθεί σε δυο πιθανές καταστάσεις χαλασµένη ή σε λειτουργία, επί τον αριθµό των δυνατών τιµών που µπορεί να πάρει η χωρητικότητα κάθε ενός από τους αποθηκευτικούς χώρους. Έστω πως κάθε αποθηκευτικός χώρος µπορεί να βρεθεί σε C i +1 καταστάσεις n i =0,,C i,όπου C i είναι η χωρητικότητα του i-οστού αποθηκευτικού χώρου και n i η τρέχουσα ποσότητα προϊόντος που περιέχεται. Σε µια τέτοια περίπτωση ο συνολικός αριθµός καταστάσεων δίνεται από τον τύπο: Τύπος 1 Συνολικός αριθμός καταστάσεων συστήματος που μελετάται με χρήση μαρκοβιανής αλυσίδας Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 33

34 Για την κατανόηση της αδυναµίας επίλυσης του προβλήµατος εύρεσης των πιθανών καταστάσεων, αναφέρεται πως η µελέτη για παράδειγµα µιας γραµµής παραγωγής µε είκοσι µηχανές και δεκαεννέα αποθηκευτικούς χώρους χωρητικότητας δέκα µονάδων προϊόντος ο καθένας, παρουσιάζει περισσότερες από 6.41 x πιθανές καταστάσεις. Ο λόγος που οι µαρκοβιανές αλυσίδες έχουν χρησιµοποιηθεί εκτεταµένα ως στοχαστικά µοντέλα για τη µελέτη πραγµατικών προβληµάτων είναι διότι εµφανίζουν δυνατότητα εφαρµογής σε συστήµατα είτε µε διακριτό είτε µε συνεχή τύπο χρόνου, σε συστήµατα µε δυνατές καταστάσεις διακριτού ή συνεχούς τύπου ή συνδυασµό αυτών και σε συστήµατα µε τυχαίες ή σταθερές µεταβλητές. Συνεχούς τύπου χαρακτηρίζεται η παράµετρος που µετράται µε χρήση µη αρνητικών αριθµών πραγµατικών αριθµών και διακριτού τύπου αυτή που µετράται µε χρήση φυσικών αριθµών Μέθοδος αποσύνθεσης Από την αναφορά που πραγµατοποιήθηκε στην προηγούµενη παράγραφο για τις µαρκοβιανές αλυσίδες και τη δυσκολία εφαρµογής της µεθόδου σε µεγάλες και πολύπλοκες γραµµές παραγωγής, ήταν αναγκαία η προσέγγιση του προβλήµατος µε νέες µεθόδους. Μια εξ αυτών είναι η µέθοδος της αποσύνθεσης (decomposition method) η οποία διατυπώθηκε αρχικά από τον Gershwin το 1987 και εξελίχθηκε το 1988 από τους Dallery, David and Xie. Η µέθοδος αυτή βρίσκει εφαρµογή τόσο σε σειριακές όσο και σε µη σειριακές γραµµές παραγωγής για διακριτού και συνεχούς τύπου προϊόντα. Η µέθοδος της αποσύνθεσης όπως γίνεται εµφανές και από το όνοµά της αποσυνθέτει µια γραµµή παραγωγής σαν αυτή του σχήµατος 1.2, σε µικρότερα συστήµατα τα οποία µελετώνται πολύ πιο εύκολα. Ο υπολογισµός της απόδοσης των συστηµάτων αυτών, µπορεί πραγµατοποιηθεί επιτυχώς µε χρήση Μαρκοβιανής ανάλυσης. Τα συστήµατα αυτά αποτελούνται από δυο µηχανές και ένα ενδιάµεσο αποθηκευτικό. Σχήμα 3.1 Το Δομικό Στοιχείο της Μεθόδου της Αποσύνθεσης (ΔΣΜΑ) Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 34

35 Κάθε ένα από αυτά τα υποσυστήµατα αυτά όπως το υποσύστηµα του σχήµατος 3.1 ονοµάζεται οµικό Στοιχείο της Μεθόδου της Αποσύνθεσης ( ΣΜΑ), (decomposition block). Υπολογίζοντας τις πιθανές καταστάσεις του υποσυστήµατος αυτού µε τον τύπο 1 που δόθηκε στη ενότητας για k = 2 κάνοντας την υπόθεση ότι ο ενδιάµεσος αποθηκευτικός χώρος έχει χωρητικότητα C µονάδων προϊόντος και κάθε µια από τις δυο µηχανές µπορεί να βρεθεί σε δυο καταστάσεις (χαλασµένη-εν λειτουργία), ο συνολικός αριθµός των δυνατών καταστάσεων είναι: Τύπος 2 Συνολικός αριθμός καταστάσεων συστήματος για κ=2 που μελετάται με χρήση μαρκοβιανής αλυσίδας Όπως γίνεται εύκολα αντιληπτό ο αριθµός των δυνατών καταστάσεων είναι συγκριτικά µικρός και µπορούν εύκολα να υπολογιστούν όλες οι στάσιµες πιθανότητες του συστήµατος και κατά συνέπεια τα µέτρα απόδοσής του. Συνεχίζοντας και για την καλύτερη και πληρέστερη κατανόηση της διαδικασίας θα παρουσιαστεί ένα παράδειγµα εφαρµογής της µεθόδου της αποσύνθεσης σε µια σειριακή γραµµή παραγωγής η οποία αποτελείται από τέσσερις µηχανές και τρεις ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους όπως αυτή του σχήµατος 3.2. Σκοπός της διαδικασίας είναι η εύρεση των µέτρων απόδοσης της γραµµής. Κάθε µία από τις µηχανές αυτές έχει ρυθµός επεξεργασίας µ i, i=1,2,3,4 και πιθανότητες εµφάνισης βλάβης p i i=1,2,3,4 και επιδιόρθωσης των βλαβών r i, i=1,2,3,4 αντίστοιχα. Σχήμα 3.2 Σειριακή γραμμή παραγωγής με τέσσερις μηχανές και τρεις αποθηκευτικούς χώρους Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 35

36 Η εφαρµογή της µεθόδου της αποσύνθεσης σε µια γραµµή παραγωγής την οποία ονοµάζουµε αυθεντική ή πραγµατική γραµµή (original ή real line) σαν και αυτή του σχήµατος 3.2 παριστάνεται γραφικά στο σχήµα 3.3: Σχήμα 3.3 Η μέθοδος της αποσύνθεσης για τη γραμμή παραγωγής του σχήματος 3.2 Όπως παρατηρείται κατά τη διαδικασία αποσύνθεσης, για κάθε ένα ενδιάµεσο αποθηκευτικό χώρο Β i µεταξύ δυο διαδοχικών µηχανών Μ i και M i+1, της πραγµατικής γραµµής παραγωγής L, εισάγεται ένα δοµικό στοιχείο της µεθόδου της αποσύνθεσης, L(i), i=1,2,3 σαν αυτό του σχήµατος 3.1. Οι αποθηκευτικοί χώροι που προκύπτουν στα δοµικά στοιχεία της µεθόδου της αποσύνθεσης L(i) έχουν την ίδια χωρητικότητα µε τους αντίστοιχους αποθηκευτικούς χώρους B i, i=1,2,3 της γραµµής L. Κάθε δοµικό στοιχείο της µεθόδου της αποσύνθεσης L(i) (i=1,2,3) αποτελείται από Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 36

37 δυο εικονικές µηχανές, όπου η M u (i) (i=1,2,3) ονοµάζεται upstream µηχανή, έχει ρυθµό επεξεργασίας µ u (i) (i=1,2,3), πιθανότητα εµφάνισης βλάβης p u (i) (i=1,2,3) και πιθανότητα επιδιόρθωσης βλάβης r u (i) (i=1,2,3) και αναπαριστά το κοµµάτι της γραµµής παραγωγής L που βρίσκεται πριν από τον αποθηκευτικό χώρο B i και η M d (i) (i=1,2,3) ονοµάζεται downstream µηχανή, έχει ρυθµό επεξεργασίας µ d (i) (i=1,2,3), πιθανότητα εµφάνισης βλάβης p d (i) (i=1,2,3) και πιθανότητα επιδιόρθωσης βλάβης r d (i) (i=1,2,3) και αναπαριστά το κοµµάτι της γραµµής παραγωγής L που βρίσκεται µετά από τον αποθηκευτικό χώρο B i. Ο υπολογισµός όλων αυτών των παραµέτρων των εικονικών µηχανών πρέπει να πραγµατοποιηθεί έτσι ώστε οι παρακάτω συνθήκες να ικανοποιούνται: Ο ρυθµός της ροής των προϊόντων προς και από κάθε αποθηκευτικό χώρο των δοµικών στοιχείων της µεθόδου της αποσύνθεσης είναι ίδιος µε το ρυθµό ροής προς και από το αντίστοιχο αποθηκευτικό χώρο της πραγµατικής γραµµής. Η πιθανότητα ένας αποθηκευτικός χώρος των δοµικών στοιχείων της µεθόδου της αποσύνθεσης να είναι γεµάτος ή άδειος είναι ίδια µε την πιθανότητα για τον αντίστοιχο αποθηκευτικό χώρο της πραγµατικής γραµµής. Η πιθανότητα επαναφοράς της ροής των προϊόντων από και προς κάθε αποθηκευτικό χώρο των δοµικών στοιχείων της µεθόδου της αποσύνθεσης, ύστερα από µια χρονική περίοδο κατά την οποία υπήρχε διακοπή της ροής, είναι ίση µε την πιθανότητα του ίδιου γεγονότος για τον αντίστοιχο αποθηκευτικό χώρο της πραγµατικής γραµµής. Ο µέσος αριθµός προϊόντων σε κάθε αποθηκευτικό χώρο των δοµικών στοιχείων της µεθόδου της αποσύνθεσης, είναι ίσος µε τον µέσο αριθµό προϊόντων στον αντίστοιχο αποθηκευτικό χώρο της πραγµατικής γραµµής. Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 37

38 Ο υπολογισµός όλων των παραµέτρων των εικονικών µηχανών M u (i) και M d (i) πραγµατοποιείται µε τη χρήση αντίστοιχων, για κάθε παράµετρο, εξισώσεων: Ο υπολογισµός των πιθανοτήτων επιδιόρθωσης r u (i), r d (i) όλων των εικονικών µηχανών M u (i) και M d (i) (i=1,2,3) πραγµατοποιείται µε χρήση εξισώσεων επαναφοράς της ροής (Resumption of flow equations). Ο υπολογισµός των πιθανοτήτων εµφάνισης βλαβών p u (i), p d (i) όλων των εικονικών µηχανών M u (i) και M d (i) (i=1,2,3) πραγµατοποιείται µε χρήση εξισώσεων διακοπής της ροής (Interruption of flow equations). Ο υπολογισµός του ρυθµού εξυπηρέτησης µ u (i), µ d (i) όλων των εικονικών µηχανών M u (i) και M d (i) (i=1,2,3) πραγµατοποιείται µε χρήση εξισώσεων ροής (Flow rate idle time equations). Για το κριτήριο τερµατισµού του αλγορίθµου που επιλύει ταυτόχρονα τις παραπάνω εξισώσεις γίνεται χρήση των εξισώσεων διατήρησης της ροής (Conservation of flow equations), οι οποίες εκφράζουν την αρχή της διατήρησης της ροής των προϊόντων µεταξύ των αποθηκευτικών χώρων, λόγω της µη ύπαρξης γεγονότων καταστροφής ή δηµιουργίας νέου υλικού. Ένας αλγόριθµος που επιλύει τις εξισώσεις αυτές ταυτόχρονα, παρουσιάστηκε από τους Dallery, David and Xie το 1988 για τη περίπτωση σειριακών γραµµών παραγωγής. Ο αλγόριθµος αυτός αποτελεί την αρχή για αλγόριθµους που χρησιµοποιούνται κατά την εφαρµογή της µεθόδου της αποσύνθεσης σε µη σειριακές γραµµές παραγωγής. Έως σήµερα δεν έχει αποδειχθεί η σύγκλιση της µεθόδου της αποσύνθεσης, η εκτεταµένη εφαρµογή, ωστόσο, της µεθόδου της αποσύνθεσης σε γραµµές παραγωγής διαφόρων συνθηκών και παραµέτρων έχει δείξει ότι η µέθοδος συγκλίνει σχεδόν πάντα και πως ο υπολογισµός της απόδοσης που πραγµατοποιεί έχει µικρές τιµές απόκλισης. Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 38

39 Η µέθοδος της συνάθροισης Μια άλλη µέθοδος που αρχικά χρησιµοποιήθηκε από τον de Koster το 1989 για τον υπολογισµό των µέτρων απόδοσης µιας γραµµής παραγωγής είναι η µέθοδος τη συνάθροισης (aggregation method). Με τη µέθοδο της συνάθροισης πραγµατοποιείται η διαδοχική συνάθροιση του συνόλου των µηχανών της γραµµής παραγωγής έως ότου το τελικό σύστηµα που θα προκύπτει να αποτελείται από δυο µηχανές και ένα ενδιάµεσο αποθηκευτικό χώρο (σχήµα 3.1). Η διαδικασία αυτή της συνάθροισης µπορεί να πραγµατοποιηθεί, ανάλογα µε τη σειρά µε την οποία οι µηχανές θα συνενωθούν, µε πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Ενώ και για κάθε τελικό σύστηµα που προκύπτει από τους διαφορετικούς τρόπους συνάθροισης, οι αποδόσεις δεν είναι πάντα ίσες. Για παράδειγµα έστω ότι έχουµε την γραµµή παραγωγής του σχήµατος 3.4 µε τρεις µηχανές και δυο ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους: Σχήμα 3.4 Γραμμή Παραγωγής με 3 μηχανές και 2 αποθηκευτικούς χώρους υπάρχουν δυο διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους µπορεί να εφαρµοστεί η µέθοδος της συνάθροισης. Ο πρώτος τρόπος είναι να γίνει η συνάθροιση των δυο πρώτων µηχανών Μ 1 και Μ 2 σε µια νέα µηχανή που τη συµβολίζουµε µε Μ agg(1,2). Μετά τη συνάθροιση αυτή η αρχική γραµµή παραγωγής µετασχηµατίζεται σε µια γραµµή παραγωγής µε δυο µηχανές και ένα ενδιάµεσο αποθηκευτικό χώρο όπως αυτή του σχήµατος 3.5. Σχήμα 3.5 Πρώτη περίπτωση συνάθροισης της γραμμής του σχήματος 3.4 Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 39

40 Ο δεύτερος τρόπος µε τον οποίο µπορεί να γίνει η συνάθροιση των µηχανών είναι να συναθροίσουµε την δεύτερη και τρίτη µηχανή Μ 2 και Μ 3 αντίστοιχα σε µια νέα µηχανή Μ agg(2,3), µε αποτέλεσµα η αρχική γραµµή παραγωγής να µετασχηµατίζεται και πάλι σε µια γραµµή παραγωγής µε δυο µηχανές και ένα ενδιάµεσο αποθηκευτικό χώρο όπως αυτή του σχήµατος 3.6. Σχήμα 3.6 Δεύτερη περίπτωση συνάθροισης της γραμμής του σχήματος 3.4 Κατά την µελέτη των δύο αυτών συστηµάτων που προκύπτουν εκ του αρχικού µε εφαρµογή της µεθόδου της συνάθροισης, οι αποδόσεις των συστηµάτων αυτών δεν είναι πάντα ίσες. Γεγονός που σηµαίνει πως η απόδοση του συστήµατος εξαρτάται από τη σειρά που θα ακολουθηθεί κατά τη διαδικασία της συνάθροισης. Γίνεται εύκολα αντιληπτό πως η ποικιλία των εναλλακτικών τιµών απόδοσης που θα αποδίδεται από κάθε τελικό σύστηµα µεγαλώνει όσο η γραµµή παραγωγής περιπλέκεται µε ύπαρξη πολλών µηχανών και αποθηκευτικών χώρων. Για προσπεραστεί το πρόβληµα αυτό των διαφορετικών τιµών αποδόσεων ανάλογα µε τη σειρά εφαρµογής της συνάθροισης οι Lim et al το1990 παρουσίασαν µια τροποποίηση της κλασσικής µεθόδου συνάθροισης κατά την οποία η διαδικασία ξεκινά αρχικά από την πρώτη µηχανή και καταλήγει στην τελευταία. Στη συνέχεια η διαδικασία επαναλαµβάνεται µε αντίστροφη φορά, ξεκινώντας δηλαδή από την τελευταία µηχανή και καταλήγοντας στην πρώτη. Η διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται έως ότου οι εκτιµήσεις για την απόδοση της γραµµής που προκύπτουν τόσο κατά την κανονική φορά όσο και κατά την αντίστροφη φορά γίνουν ίσες. Η τελική απόδοση του συστήµατος είναι η κοινή απόδοση που υπολογίστηκε και ικανοποιεί και το κριτήριο τερµατισµού της διαδικασίας. Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 40

41 3.4. Γενετικές µέθοδοι Η δεύτερη κατηγορία των µεθόδων ανάλυσης των βιοµηχανικών συστηµάτων είναι γενετικές µέθοδοι ή µέθοδοι βελτιστοποίησης που επικεντρώνονται εύρεση των κατάλληλων τιµών διαφόρων παραµέτρων του συστήµατος οι οποίες βελτιστοποιούν κάποιο από τα µέτρα απόδοσης. Όπως αναφέρεται στο βιβλίο Papadopoulos et al. (1993) οι δυο αυτές κατηγορίες µεθόδων δεν είναι ασύνδετες µεταξύ τους. Υπάρχει µια σχέση αλληλεξάρτησης µεταξύ των δυο αυτών µεθόδων η οποία φαίνεται στο σχήµα 9. Σχήμα 3.7 Αλληλεξάρτηση εκτιμητικών και γενετικών μεθόδων Οι γενετικές µέθοδοι αποτελούνται από τις παρακάτω µεθόδους: Μέθοδος της απαρίθµησης Ευρετικές µέθοδοι Μέθοδος της προσοµοιωτικής ανόπτυσης Γενετικοί αλγόριθµοι Tabu-search Hooke-Jeeves Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 41

42 4. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟ ΟΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 4.1. Εισαγωγή Έχει ήδη αναφερθεί η µεγάλη σηµασία της ύπαρξης των αποθηκευτικών χώρων (buffers) µεταξύ διαδοχικών σταθµών εργασίας σε µια γραµµή παραγωγής. Η αναγκαιότητά τους, κυρίως σε µη ισορροπηµένες γραµµές παραγωγής και η άµεση συνάρτηση της κατανοµής τους µε την απόδοση του συστήµατος αποτελούν τον κύριο λόγο που η µελέτη της παραµέτρου αυτής συγκεντρώνει το µεγαλύτερο ενδιαφέρον της επιστηµονικής κοινότητας. Πιο συγκεκριµένα στην ενότητα 4.2 θα παρουσιαστούν οι προσεγγίσεις που έχουν πραγµατοποιηθεί όσον αφορά τη µελέτη της παραµέτρου του αποθηκευτικού χώρου. Και στην ενότητα 4.3 πραγµατοποιείται µια ενδεικτική αναφορά στις επιστηµονικές µελέτες για την κατανοµή του αποθηκευτικού χώρου 4.2. Προσεγγίσεις µελέτης παραµέτρου αποθήκευσης Το πρόβληµα της παραµέτρου του αποθηκευτικού χώρου µεταξύ διαδοχικών σταθµών εργασίας στις σειριακές γραµµές παραγωγής παρουσιάζει δύο διαφορετικές προσεγγίσεις τόσο όσον αφορά την πρακτική εφαρµογή στη παραγωγική διαδικασία όσο και την επιστηµονική βιβλιογραφία. Η πρώτη προσέγγιση αναζητά την βέλτιστη κατανοµή ενός ήδη δεδοµένου συνόλου αποθηκευτικού χώρου µε σκοπό την µεγιστοποίηση της απόδοσης της παραγωγής. Έτσι για την γραµµή παραγωγής του σχήµατος 1.2 ο συνολικός αποθηκευτικός χώρος είναι σταθερός και µελετάται πώς ο χειρισµός της κατανοµής του στους επιµέρους αποθηκευτικούς χώρους b i δύναται να οδηγήσει σε βελτιστοποίηση της απόδοσης. Η δεύτερη διατύπωση του προβλήµατος αναζητά για µια επιθυµητή απόδοση της γραµµής παραγωγής, τον ικανό και αναγκαίο συνολικό αποθηκευτικό χώρο ώστε η απόδοση αυτή να επιτυγχάνεται. Η πρακτική εφαρµογή αυτής της διατύπωσης του προβλήµατος είναι είτε σε αρχικό στάδιο που ο χώρος της διαδικασίας πρόκειται να Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 42

43 κατασκευαστεί και έτσι είναι δυνατό να δεσµευτεί µόνο ο απαραίτητος χώρος για τους αποθηκευτικούς χώρους, είτε σε ήδη κατασκευασθείσα γραµµής παραγωγής είναι δυνατόν ο πλεονάζων αποθηκευτικός χώρος που κρατείτο στην γραµµή παραγωγής µετά τα αποτελέσµατα της µελέτης να διατεθεί για µια άλλη διαδικασία Αποθηκευτικός χώρος, απόδοση γραµµής και επιστηµονικές προσεγγίσεις Η µελέτη της παραµέτρου του αποθηκευτικού χώρου µιας γραµµής παραγωγής και η µαθηµατική διατύπωση και µοντελοποίηση του συστήµατος έχει απασχολήσει σηµαντικά στο παρελθόν την επιστηµονική κοινότητα. Άµεσο επακόλουθο του µεγάλου αυτού ενδιαφέροντος είναι η ύπαρξη µεγάλης ποικιλίας µαθηµατικών διατυπώσεων των διαφόρων συστηµάτων και διαφορετικών προσεγγίσεων του θέµατος. Αναµενόµενη, λόγο της πολυπλοκότητας, ποικιλία παρουσιάζει και η ανάλογη αντιµετώπισή των διαφόρων προσεγγίσεων µε σκοπό την βελτιστοποίηση, µε όποια µορφή και αν αυτή επιτυγχάνεται. Στο σηµείο αυτό, για την καλύτερη κατανόησης των ιδιαιτεροτήτων του θέµατος θα πραγµατοποιηθεί µια µικρή και ενδεικτική αναφορά σε παλαιότερες µελέτες. Αρχίζοντας αυτή την αναδροµή, δεν θα µπορούσε να µην γίνει αναφορά στο άρθρο του 1983 των Altiok Τ. και Stidham S., The Allocation of Interstage Buffer Capacities in Production Lines. Στόχος των συγγραφέων ήταν η εύρεση της κατανοµής των ενδιάµεσων αποθηκευτικών χώρων, σε γραµµή παραγωγής τύπου ροής (flow-type), ώστε το συνολικό κέρδος να µεγιστοποιείται. Αυτό επιτεύχθηκε µε χρήση ως εργαλείου της δυνατότητας µία γραµµής παραγωγής, τύπου ροής (flowtype) µε µη αξιόπιστες µηχανές να µοντελοποιηθεί σαν µια σειρά πολλαπλών ουρών. Οι σταθµοί που µοντελοποιήθηκαν σαν, µονής µηχανής, συστήµατα ουρών, έχουν κατανοµή χρόνου ολοκλήρωσης τύπου Coxian δύο σταδίων (two-stage Coxian). Μετά από τη µετάβαση της διαδικασίας αυτής, σε µια τύπου φάσεων (phase-type) διαδικασία το νέο σύστηµα οδήγησε, σε µια µελέτη τύπου αλυσίδας Markov. Η επίλυση των εξισώσεων για την αλυσίδα αυτή, πραγµατοποιήθηκε από διαδοχικές προσεγγίσεις εύρεσης της κατανοµής πιθανότητας µε σταθερό τον αριθµό των αντικειµένων σε κάθε σταθµό και της χωρητικότητας των αποθηκευτικών χώρων. Η Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 43

44 εύρεση τέλος των βέλτιστων αποθηκευτικών χώρων της γραµµής παραγωγής έγινε µε µια διαδικασία αναζήτησης. Περνώντας τώρα στο πρόβληµα της κατανοµής του αποθηκευτικού χώρου σε οµοιογενείς, ασυµπτωτικά αξιόπιστες σειριακές γραµµές παραγωγής το 1990 οι Lim J.-T., Meerkov S. και Top F. στο άρθρο τους Homogeneous, asymptotically reliable serial production lines: Theory and a Case Study εφαρµόζουν µία µέθοδο αξιολόγησης των επιδόσεων τέτοιων γραµµών παραγωγής. Τα αποτελέσµατα της µεθόδου οδηγούν στο συµπέρασµα πως οι οµοιογενείς, ασυµπτωτικά αξιόπιστες γραµµές παραγωγής είναι ευκολότερες στην ανάλυση και επαρκώς αντιπροσωπευτικές των πραγµατικών συστηµάτων κατασκευής. Βασιζόµενοι σε αυτή τη µέθοδο το 2004 οι Diamantidis A. και Papadopoulos C. µε το άρθρο τους A dynamic programming algorithm for the buffer allocation problem in homogeneous asymptotically reliable serial production lines εµπλουτίζουν την µελέτη των συστηµάτων αυτών. Παρουσίασαν έναν αλγόριθµο δυναµικού προγραµµατισµού που επιλύει το πρόβληµα κατανοµής του συνολικού αποθηκευτικού χώρου στις οµοιογενείς, ασυµπτωτικά αξιόπιστες γραµµές παραγωγής. Ο αλγόριθµος αποδίδει την βέλτιστη λύση, σε σχετικά µικρό χρόνο, για τις περισσότερες περιπτώσεις και µπορεί να εφαρµοστεί σε µεγάλες γραµµές παραγωγής. Το πρόβληµα κατανοµής του αποθηκευτικού χώρου σε συστήµατα Συναρµολόγησης/Αποσυναρµολόγησης αποτελεί επίσης τοµέας µελέτης. Το 1997 οι Jeong K.-C., Kim Y.-D. δηµοσιεύουν το άρθρο Algorithms for determining capacities of individual buffers in Assembly/Disassembly Systems στο οποίο ασχολούνται µε τέτοια συστήµατα Συναρµολόγησης/ Αποσυναρµολόγησης (Assembly/Disassembly systems) µε πεπερασµένη χωρητικότητα αποθηκευτικού χώρου. Το πρόβληµα αφορά τον καθορισµό της χωρητικότητας κάθε αποθηκευτικού χώρου µεµονωµένα για ένα δεδοµένο συνολικό αποθηκευτικό χώρο, µε στόχο τη µεγιστοποίηση της απόδοσης. Η διαδικασία που παρουσιάζεται είναι αρχικά ένας αλγόριθµος µε τον οποίο είναι δυνατή η εύρεση µιας αρχικής λύσης και εν συνεχεία ακολουθείται µια διαδικασία βελτιστοποίησης αυτής της αρχική λύσης. Κεντρικό σηµείο του άρθρου αυτού είναι η ανάπτυξη, από τους συγγραφείς, ενός νέου αλγορίθµου για την εύρεση της αρχικής λύσης, ραφιναρισµένης διαδικασίας. Κατά τον αλγόριθµο αυτό, οι χωρητικότητες των µεµονωµένων αποθηκευτικών χώρων Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 44

45 καθορίζονται µε βάση την αποδοτικότητα των χρόνων λειτουργίας και παύσης των µηχανών. Τα αποτελέσµατα που παρουσιάζονται δείχνουν ότι ο προτεινόµενος αλγόριθµος παρέχει επιβεβαιωµένες λύσεις σε πολύ µικρότερο χρονικό διάστηµα. ύο χρόνια αργότερα το 1999, οι Harris J.και Powell S. στο άρθρο An algorithm for optimal buffer placement in reliable serial lines εξετάζουν το πρόβληµα της βέλτιστης κατανοµή γνωστής χωρητικότητας αποθηκευτικού χώρου (buffer allocation) σε µη ισορροπηµένη γραµµή παραγωγής µε αξιόπιστες µηχανές. Ο αλγόριθµος που παρουσιάζεται είναι προσαρµογή των αλγόριθµων έρευνας Simplex των Spendley - Hext και Nelder Mead και χρησιµοποιεί προσοµοίωση για να εκτιµήσει το αποτέλεσµα για κάθε κατανοµή που εξετάζεται. Σηµαντικό χαρακτηριστικό του αλγορίθµου αυτού είναι πως το µέγεθος της προσοµοίωσης προσαρµόζεται ανάλογα µε την ακρίβεια του αποτελέσµατος που επιθυµείται. Η πραγµατοποίηση του αλγορίθµου διαρκεί λιγότερο όταν δεν είναι απαραίτητη η ακριβής εκτίµηση. Την ίδια χρονιά ο Mark S. Hillier στο άρθρο του Characterizing the optimal allocation of storage space in production line systems with variable processing times µελετάει την βέλτιστη κατανοµή του αποθηκευτικού χώρου σε µη ισορροπηµένες γραµµές παραγωγής µε µεταβλητούς χρόνους επεξεργασίας. Είναι γνωστό πως για δεδοµένο συνολικό αποθηκευτικό χώρο, ο ρυθµός παραγωγής µπορεί συχνά να βελτιωθεί µε την µεταβολή του αποθηκευτικού χώρου έτσι ώστε να υπάρχει περισσότερος χώρος αποθήκευσης στους εσωτερικούς σταθµούς και λιγότερος στους εξωτερικούς (bowl phenomenon). Σε αυτό το άρθρο ο συγγραφέας χρησιµοποιεί ένα µοντέλο του κόστους για να αποδείξει ότι η βέλτιστη κατανοµή είναι πιο περίπλοκη από τη υπόθεση των Frederick S. Hillier, Kut C. So και Ronald W. Boling το 1993 στο άρθρο «Toward characterizing the optimal allocation of storage space in production line systems with variable processing times». Οι Frederich Hillier et al δόµησαν την έρευνα τους πάνω στο ίδιο φαινόµενο (bowl phenomenon) από την διάσταση τώρα της κατανοµής εργασίας, ότι δηλαδή, υπό ορισµένες προϋποθέσεις περιλαµβανοµένης της ισότιµης κατανοµής του αποθηκευτικού χώρου µεταξύ αντίστοιχων ζευγαριών σταθµών, οι εσωτερικοί σταθµοί παράγουν λιγότερο από τους σταθµούς που βρίσκονται προς τα άκρα της Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 45

46 γραµµής παραγωγής. Συµπερασµατικά κατέληξαν πως στο ερώτηµα εάν, δεδοµένης της ίσης κατανοµής εργασιών στους αντίστοιχους σταθµούς, η βέλτιστη κατανοµή του χώρου αποθήκευσης µεταξύ των αντίστοιχων ζευγών των σταθµών ακολουθεί ανάλογη διάρθρωση «ανεστραµµένου φαινοµένου µπολ» σύµφωνα µε το οποίο οι αποθηκευτικοί χώροι της γραµµής που βρίσκονται κεντρικά είναι µεγαλύτεροι από αυτούς που βρίσκονται στο τέλος, αυτό επιβεβαιώνεται αρκετές φορές, χωρίς ωστόσο να αποτελεί γενίκευση. Κατέληξαν επιπλέον στο στοιχείο πως, σε περίπτωση δυνατότητας διαχείρισης και µεταβολής της κατανοµής του αποθηκευτικού χώρου θα πρέπει να δοθεί προτεραιότητα στους αποθηκευτικούς χώρους που βρίσκονται στο κέντρο της γραµµής παραγωγής και πως όταν η συνολική χωρητικότητα του αποθηκευτικού χώρου είναι επίσης µια µεταβλητή απόφασης, η συνολική βέλτιστη λύση συνήθως ακολουθεί ένα «φαινόµενο ανεστραµµένου µπολ». Συµπέρασµα το οποίο ο Mark S.Hillier στο προαναφερθέν άρθρο αποδέχεται εν µέρει. Υποστηρίζει πως, για ισορροπηµένες γραµµές, ισχύει ότι εάν ο συνολικός αριθµός των αποθηκευτικών χώρων είναι επίσης µια µεταβλητή απόφαση, τότε για ένα λογικό µοντέλο κόστους η βέλτιστη κατανοµή θα έχει έναν επιπλέον αποθηκευτικό χώρο σε κάθε εσωτερικό σταθµό. ηλαδή πως σε αυτή την περίπτωση το πρότυπο «ανεστραµµένο µπολ» είναι συνήθως η βέλτιστη λύση. Ωστόσο, στην περίπτωση που ο φόρτος εργασίας είναι ασύµµετρος, η κατανοµή του αποθηκευτικού χώρου αποκλίνει από το µοντέλο τύπου µπολ µε µείωση του χώρου αποθήκευσης, για χώρους που δεν είναι δίπλα στο µηχανή συµφόρησης (bottleneck machine). Η µελέτη της επίδρασης της µηχανής συµφόρησης (bottleneck machine) στην απόδοση της γραµµής απασχόλησε και τους Chiang S.-Y., Kuo C.-T. και Meerkov S. το 2000 στο άρθρο DT-Bottlenecks in Serial Production Lines: Theory and Application. Αναπτύχθηκε µια µέθοδος για την αναγνώριση του χρόνου που χάνεται εξαιτίας κάποιας µηχανής στην οποία εµφανίζεται το φαινόµενο λαιµού του µπουκαλιού (DT-BN) σε σειριακές γραµµές παραγωγής µε αναξιόπιστες µηχανές και πεπερασµένο αποθηκευτικό χώρο. Η µηχανή συµφόρησης σε µια γραµµή παραγωγής είναι η µηχανή που παρεµποδίζει, περισσότερο από οποιαδήποτε άλλη, την επίδοση του συστήµατος. Η προσέγγιση βασίστηκε στις πιθανότητες µπλοκαρίσµατος και λιµοκτονίας των σταθµών εργασίας. Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 46

47 To 2001 στο άρθρο Cash-flow-oriented buffer allocation in stochastic flow lines του Steven Helber το πρόβληµα της κατανοµής του αποθηκευτικού χώρου αντιµετωπίζεται ως ένα πρόβληµα επένδυσης. Αναπτύχθηκε ένα µοντέλο και περιγράφηκαν οι τεχνικές λύσης που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για τον προσδιορισµό της κατανοµής του αποθηκευτικού χώρου που µεγιστοποιεί την καθαρή παρούσα αξία της επένδυσης (Net Present Value) συµπεριλαµβανοµένων των µηχανών και χώρων αποθήκευσης. Την ίδια χρονική περίοδο οι Man-Soo Han και Dong-Jo Park µε το άρθρο Optimal buffer allocation of serial production lines with quality inspection machines παρουσιάζουν µια προσεγγιστική µέθοδο, µε χρήση επέκτασης σειρών Taylor και την τεχνική παραγωγής συναρτήσεων πιθανότητας, για την ανάλυση της µέσης αποδοτικότητας µιας σειριακής γραµµής παραγωγής µε αναξιόπιστες µηχανές, πεπερασµένους αποθηκευτικούς χώρους και µηχανές επιθεώρησης ποιότητας. Οι συγγραφείς προσεγγίζουν το πρόβληµα της κατανοµής του αποθηκευτικού χώρου έτσι ώστε να επιτευχθεί µια επιθυµητή απόδοση από τη γραµµή παραγωγής. Η βέλτιστη κατανοµή της χωρητικότητας του αποθηκευτικού χώρου στη γραµµή παραγωγής γίνεται αντικείµενο έρευνας και το 2003 από τους Shi L. και Men S. Στο άρθρο Optimal buffer allocation in production lines παρουσιάζεται ένα νέος υβριδικός αλγόριθµος που συνδυάζει τις µεθόδους Taboo Search και Nested Partitions µε σκοπό την εύρεση της κατάλληλης χωρητικότητας των αποθηκευτικών χώρων στη γραµµή παραγωγής. Τα αριθµητικά αποτελέσµατα δείχνουν πως ο νέος αυτός αλγόριθµος είναι πολύ αποτελεσµατικός για προβλήµατα κατανοµής του αποθηκευτικού χώρου σε µεγάλες γραµµές παραγωγής καθώς πραγµατοποιείται ταχύτερη σύγκλιση. Για την ίδια προσέγγιση του προβλήµατος οι J. Macgregor και F.R.B. Cruz στο άρθρο The buffer allocation problem for general finite buffer queueing networks που δηµοσιεύτηκε το 2005 ανέπτυξαν έναν προσεγγιστικό τύπο για την πρόβλεψη της βέλτιστης κατανοµής αποθηκευτικού χώρου. Η διαδικασία εµπεριέχει εκφράσεις για M/M/1/K συστήµατα ουρών. Τα συστήµατα µε εκφράσεις είτε της µορφής M/M/1/K είτε της µορφής M/G/1/K χρησιµοποιούνται για πρόβληµα κατανοµής αποθηκευτικού χώρου σε σειριακές και διασπασµένες τοπολογίες Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 47

48 δικτύων ουρών µε πεπερασµένο αποθηκευτικό χώρο. Εκτεταµένα υπολογιστικά αποτελέσµατα, κατά τους συγγραφείς, καταδεικνύουν την αποτελεσµατικότητα της προσέγγισης αυτής. Οι Enginarlar E., Li J., Meerkov S. και Zhang R. το 2003 στο Buffer capacity for accommodating machine downtime in serial production lines διερευνούν το µικρότερο επίπεδο του αποθηκευτικού χώρου (LB), αναγκαίο να εξασφαλιστεί η επιθυµητή απόδοση της γραµµής παραγωγής σε σειριακή γραµµή παραγωγής µε µη αξιόπιστες µηχανές. Η αξιοπιστία των µηχανών θεωρείται να ακολουθεί είτε το εκθετικό, είτε το Erlang, είτε το µοντέλο Rayleigh. Το µικρότερο επίπεδο αποθηκευτικού χώρου µετράται σε µονάδες του µέσου όρου του χρόνου διακοπής λειτουργίας (T down ) και αναλύεται η εξάρτηση του ελάχιστου αποθηκευτικού χώρου αναφορικά µε το µοντέλο που η αξιοπιστία των µηχανών ακολουθεί, τον αριθµό των µηχανών Μ, τον µέσο χρόνο λειτουργίας (Τ up ) και την απόδοση Αποδεικνύεται ότι µοντέλα αξιοπιστίας µε µεγαλύτερο συντελεστή διακύµανσης απαιτούν µεγαλύτερο ελάχιστο αποθηκευτικό χώρο και αναφέρεται ένας εµπειρικός κανόνας που συνδέει τον ελάχιστο αποθηκευτικό χώρο του εκθετικού µοντέλου µε εκείνους των άλλων µοντέλων αξιοπιστίας. Αποδεικνύεται, επίσης, ότι ο ελάχιστος αποθηκευτικός χώρος είναι µια αύξουσα συνάρτηση του Μ, αλλά µε έναν φθίνοντα, εκθετικά, ρυθµό, που συγκλίνει ασυµπτωτικά σε µια µέγιστη τιµή για Μ=10. Οι συγγραφείς έδειξαν πως ο ελάχιστος αποθηκευτικός χώρος δεν εξαρτάται ρητά από τον T up και είναι φθίνουσα συνάρτηση της e. Με βάση αυτά τα αποτελέσµατα, έµπειρο-τεχνικοί µέθοδοι παρέχονται για την επιλογή του αποθηκευτικού χώρου που εγγυάται µια επαρκώς υψηλή απόδοση. Εξελίσσοντας την προαναφερθείσα µελέτη τους οι Enginarlar E., Li J. και Meerkov S. δηµοσιεύουν, την ίδια χρονιά, το άρθρο How lean can lean buffers be στο οποίο παρέχεται µία ποσοτική προσέγγιση της µικρότερης, πιο λεπτής, χωρητικότητας αποθηκευτικού χώρου ικανής και αναγκαίας για την επίτευξη µιας επιθυµητής απόδοσης σε σειριακές γραµµές παραγωγής µε πανοµοιότυπες, εκθετικά περιγραφόµενες, µηχανές. Παρουσιάζεται η µικρότερη κανονικοποιηµένη χωρητικότητα αποθηκευτικού χώρου (LLB) που διασφαλίζει την επιθυµητή αποτελεσµατικότητα της γραµµής σε γραµµές δύο και τριών µηχανών, καθώς επίσης Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 48

49 πραγµατοποιείται και µία προσέγγιση για την ελάχιστη χωρητικότητα αποθηκευτικού χώρου σε γραµµές µε περισσότερες, των τριών, µηχανές. Μια αισθητά διαφορετική προσέγγιση, όσον αφορά τον ρυθµό εξυπηρέτησης των σταθµών εργασίας παρουσιάζεται το 2004 από τους Filliger R. και Hongler M.- O. στο άρθρο τους Cooperative Flow dynamics in production lines with buffer level dependent production rates. Στο άρθρο αυτό µελετάται µε µοντέλο ροής ρευστού, η γραµµή παραγωγής µε αποθηκευτικούς χώρους, στην οποία ο ρυθµός παραγωγής του κάθε επιµέρους µηχανισµού εξαρτάται από το περιεχόµενο των παρακείµενων αποθηκευτικών του χώρων. Μια τέτοια αναφορά συστηµάτων δικτύων αναµονής, συνηθίζεται κυρίως σε περιπτώσεις παραγωγής βασισµένες στον ανθρώπινο παράγοντα. Καθώς, οι χειριστές προσαρµόζουν τον ρυθµό εργασίας τους µε βάση τις παρατηρήσεις και τα ερεθίσµατα του περιβάλλοντός τους. Επιπλέον οι συγγραφείς παρατήρησαν αναλογία µεταξύ της ροής της διαδικασίας τέτοιων γραµµών παραγωγής και της κυκλοφορίας αυτοκινήτων στο οδικό δίκτυο, µια αναλογία που διερευνούν σε βάθος. Η παρουσία του ανθρώπου στην διαδικασία παραγωγής σε συνδυασµό µε τις µεταβολές του περιβάλλοντος του, περιπλέκει έντονα την µοντελοποίηση της ροής τέτοιων γραµµών παραγωγής. Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 49

50 5. ΜΕΛΕΤΗ ΓΡΑΜΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕ ΜΗΧΑΝΕΣ ΣΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΥΝ ΕΣΗ 5.1. Εισαγωγή Όπως έχει ήδη αναφερθεί σε αυτή την εργασία θα µελετηθεί ο ελάχιστος αποθηκευτικός χώρος που απαιτείται σε µια γραµµής παραγωγής µε σταθµούς εργασίας που αποτελούνται από µηχανές σε παράλληλη σύνδεση. Σε αυτό το σηµείο είναι απαραίτητο για την ορθότερη κατανόηση της φύσης του προβλήµατος καθώς και της λύσης που αποδίδεται σε αυτή την εργασία να αναλυθούν όλοι οι παράµετροι που εµπλέκονται στη γραµµής παραγωγής που θα µελετήσουµε. Πιο συγκεκριµένα στην ενότητα 5.2 περιγράφεται το σύστηµα που µελετάει η εργασία αυτή. Στην ενότητα 5.3 πραγµατοποιείται µια προσέγγιση της απόδοσης του συστήµατος αυτού. Στην παράγραφο 5.4 επιλύεται γραφικά, αλλά και αλγεβρικά το πρόβληµα κατάλληλης επιλογής αποθηκευτικού χώρου σε µια σειριακή γραµµή παραγωγής µε δύο σταθµούς επεξεργασίας και στην ενότητα 5.5 µελετάται η εφαρµογή των µεθόδων επίλυσης σε ισορροπηµένη γραµµή Περιγραφή µελετώµενου συστήµατος Η γραµµή παραγωγής στη οποία επικεντρώνεται η εργασία αυτή είναι σειριακή γραµµή παραγωγής που περιέχει Ν σταθµούς εργασίας. Κάθε ένας εκ των σταθµών εργασίας της γραµµής αποτελείται από F i (i=1,2,,ν) µονάδες οι οποίες λειτουργούν παράλληλα συνδεδεµένες. Η παράλληλη σύνδεση των µηχανών σε κάθε σταθµό εργασίας σηµαίνει πως οι µηχανές δουλεύουν ανεξάρτητα η µία από την άλλη. Τόσο όσον αφορά τις φάσεις λειτουργίας - παύσης για µη αξιόπιστες µηχανές όσο και την µεταβλητότητα των χρόνων επεξεργασίας για τις αξιόπιστες µηχανές. ύσκολα θα µπορούσαµε να κάνουµε την ίδια υπόθεση στην περίπτωση που εµπλέκεται ο ανθρώπινος παράγοντας, καθώς στην περίπτωση που άνθρωποι χειρίζονται κάποιο µηχάνηµα ή πραγµατοποιούν κάποια επεξεργασία τότε είναι εύκολα κατανοητό πως είναι δυνατόν να επηρεαστούν από το περιβάλλον τους. Θα περιµέναµε λοιπόν µεταξύ ατόµων που πραγµατοποιούν την ίδια λειτουργία και µοιράζονται παραµέτρους (π.χ. κοινό αποθηκευτικό χώρο πριν από το πόστο τους) Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 50

51 κάποιου είδους εξάρτησης, ενσυνείδητης ή µη, επεξεργασίας. του τρόπου και των χρόνων Μεταξύ δύο σταθµών εργασίας είναι απαραίτητη η ύπαρξη αποθηκευτικού χώρου, η σηµαντικότητα του οποίου έχει ήδη αναφερθεί τόσο σε αξιόπιστες γραµµές παραγωγής όσο και σε µη αξιόπιστες. Σε γραµµή παραγωγής Ν σταθµών εργασίας βρίσκονται τοποθετηµένοι Ν-1 αποθηκευτικοί χώροι πεπερασµένης χωρητικότητας S i (i=1,2,,n-1). Έχει υποτεθεί πως η είσοδος στη γραµµή µερών προς επεξεργασία (εισροή) πραγµατοποιείται αδιάκοπα καθώς επίσης και πως µετά την ολοκλήρωση της επεξεργασίας το ολοκληρωµένο κοµµάτι εξάγεται από τη γραµµή (εκροή) και ακολουθεί χωρίς καθυστέρηση την προγραµµατισµένη διαδικασία χωρίς να είναι δυνατόν να καθυστερήσει το επόµενο παραγόµενο κοµµάτι της γραµµής. Κάθε κοµµάτι δηλαδή εισέρχεται στο πρώτο σταθµό εργασίας, επεξεργάζεται εκεί και ακολούθως περνάει από όλους τους σταθµούς εργασίας για επεξεργασία, έως ότου να φτάσει στο Ν σταθµό εργασίας όπου επεξεργάζεται και στη συνέχεια εξέρχεται της γραµµής. Η διαδικασία επεξεργασίας πραγµατοποιείται όπως δείχνει το ακόλουθο γράφηµα: Σχήμα 5.1 Σειριακή γραμμή παραγωγής με σταθμούς εργασίας που αποτελούνται από παράλληλα συνδεδεμένες μηχανές. Τα στοιχεία του συστήµατος που περιγράφεται είναι τα εξής: R : συµβολίζεται η απόδοση της περιγραφόµενης γραµµής παραγωγής Ν : συµβολίζεται το πλήθος των σταθµών εργασίας Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 51

52 W i F i : συµβολίζεται ο i σταθµός εργασίας (i = 1,2,,N) : συµβολίζεται το πλήθος των παράλληλων µονάδων που βρίσκονται στον i σταθµό εργασίας (i = 1,2,,N) µ ij : συµβολίζεται ο µέσος ρυθµός εξυπηρέτησης της j µονάδας στον i σταθµό εργασίας (j = 1,2,, F i και i = 1,2,,N) S i : συµβολίζεται το µέγεθος του αποθηκευτικού χώρου που βρίσκεται µετά από τον i σταθµό εργασίας (i = 1,2,,N-1) Οι µηχανές της γραµµής παραγωγής που µελετάµε θεωρούνται αξιόπιστες. Αυτό σηµαίνει πως οι µηχανές δεν υπόκεινται σε βλάβες και πως παράγουν µε ένα συγκεκριµένο ρυθµό, που συµβολίστηκε µε µ ij για κάθε µηχανή j του i σταθµού εργασίας. Μια ακόµα σηµαντική υπόθεση που ισχύει για τη γραµµή παραγωγής που µελετάµε είναι πως οι µηχανές κάθε ενός από τους σταθµούς εργασίας θεωρούνται πανοµοιότυπες και ως εκ τούτου ο ρυθµός εξυπηρέτησης σε κάθε µηχανή, του ίδιου σταθµού εργασίας, είναι ο ίδιος. Άρα ο κάθε σταθµός εργασίας έχει έναν µέσο ρυθµό εξυπηρέτησης που προκύπτει ως εξής: Το περιγραφόµενο σύστηµα Ν σταθµών εργασίας µε πανοµοιότυπες µηχανές σε κάθε σταθµό εργασίας έχει τον περιορισµό γνωστό στη βιβλιογραφία ως φόρτος εργασίας (workload) του συστήµατος Αποδοτικότητα σειριακής γραµµής παραγωγής δύο σταθµών εργασίας Στην εργασία αυτή θα µελετήσουµε τον ελάχιστο αποθηκευτικό χώρο που είναι ικανός και αναγκαίος σε µια γραµµή παραγωγής µε δύο σταθµούς εργασίας που περιέχουν µηχανές σε παράλληλη σύνδεση, ώστε µια επιθυµητή απόδοση της γραµµής να επιτυγχάνεται. Οι µηχανές των σταθµών εργασίας W 1 και W 2 θεωρούνται αξιόπιστες, ως εκ τούτου δεν υπόκεινται σε χρόνους παύσης λόγο µη λειτουργίας. Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 52

53 Σχήμα 5.2 Γραμμή παραγωγής δύο σταθμών εργασίας με μηχανές σε παράλληλη σύνδεση Στο γράφηµα 4 παρατηρούµε την τοπολογία της γραµµής παραγωγής που µελετάµε. Το προς επεξεργασία αντικείµενο εισέρχεται στη γραµµή, επεξεργάζεται αρχικά από µηχανή του πρώτου σταθµού εργασίας W 1, κατόπιν µεταβιβάζεται στον δεύτερο σταθµό εργασίας W 2 από όπου αφού επεξεργαστεί από µία εκ των µηχανών του, εξέρχεται της γραµµής. Ενδιάµεσα των δύο σταθµών εργασίας βρίσκεται o αποθηκευτικός χώρος s που βοηθάει στην οµαλοποίηση όποιας δυσλειτουργίας της διαδικασίας µπορεί να πραγµατοποιηθεί λόγο του διαφορετικού ρυθµού εξυπηρέτησης των δύο σταθµών. Οι δύο σταθµοί εργασίας W 1, W 2 έχουν ένα µέσο ρυθµό εξυπηρέτησης µ 1 και µ 2 αντίστοιχα. Στην περίπτωση που µ 1 = µ 2 = 1 η γραµµή παραγωγής λέµε πως είναι ισορροπηµένη, αντίθετα όταν ισχύει µ 1 µ 2 η γραµµή παραγωγής χαρακτηρίζεται ασύµµετρη. Σχήμα 5.3 Μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης σταθμού εργασίας Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 53

54 Έχει υποτεθεί όπως είπαµε πως κάθε σταθµός εργασίας αποτελείται από πανοµοιότυπες µηχανές για τους οποίους σταθµούς ισχύει: για τον µεν πρώτο σταθµό εργασίας W 1 πως και για τον δεύτερο σταθµό εργασίας W 2 πως. Μπορούµε σε αυτό το σηµείο για διευκόλυνση της διαδικασίας που θα ακολουθήσουµε να θεωρήσουµε τον κάθε σταθµός εργασίας σαν µία µονάδα ενιαία, όπως δείχνει το γράφηµα 5, µε µέσο ρυθµό εξυπηρέτησης. Και για τους δύο σταθµούς εργασίας της γραµµής παραγωγής µας προκύπτει πως για τα µ 1, µ 2 ισχύει: Τύπος 3 Μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης i σταθμού εργασίας Αναφέρθηκε στη προηγούµενη ενότητα πως το σύστηµα Ν σταθµών έχει τον περιορισµό, το αντίστοιχο σύστηµα λοιπόν µε δύο σταθµούς παραγωγής έχει τον περιορισµό µε µ 1 και µ 2 > 0. Ο περιορισµός αυτός είναι αποτέλεσµα του γεγονότος πως σε µια γραµµή παραγωγής δύο σταθµών εργασίας το άθροισµα των µέσων χρόνων εξυπηρέτησης ισούται µε το πλήθος των σταθµών, που είναι η συνολική χωρητικότητα εξυπηρέτησης. Με επίλυση του προαναφερθέντος περιορισµού βρίσκουµε πως: Τύπος 4 Σχέση μέσων ρυθμών εξυπηρέτησης των σταθμών W 1 και W 2 Οι Magazine και Stecke το 1996 στο άρθρο τους Throughput for production lines with serial work stations and parallel service facilities υπολόγισαν πως η απόδοση του συστήµατος σε τέτοιες γραµµές παραγωγής υπολογίζεται από τον τύπο: Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 54

55 Τύπος 5 Απόδοση γραμμής παραγωγής με σταθμούς εργασίας με παράλληλα συνδεδεμένες μηχανές Ο τύπος (τύπος 3) υπολογίζει για τις διάφορες παραµέτρους, µ 1 (µέσος ρυθµός εξυπηρέτησης 1 ου σταθµού), f 1 (πλήθος παράλληλων µονάδων στον 1o σταθµό εργασίας), f 2 (πλήθος παράλληλων µονάδων στον 2o σταθµό εργασίας) και s (µέγεθος αποθηκευτικού χώρου) της γραµµής παραγωγής, την αναµενόµενη απόδοση R της γραµµής παραγωγής. Η υπαρκτή εξάρτηση της αναµενόµενης απόδοσης της γραµµής από τον µέσο ρυθµό εξυπηρέτησης µ 2 του σταθµού εργασίας W 2 δεν προκύπτει από τον τύπο 3 καθώς έχει γίνει αντικατάσταση του µ 2 σύµφωνα µε τον τύπο 2. Κατόπιν επεξεργασίας του τύπου αυτού, µε κατάλληλες µαθηµατικές µεθόδους, θα προσεγγίσουµε την επίλυση του προβλήµατος που µελετάµε. Η εύρεση τρόπου υπολογισµού της απόδοσης της γραµµής παραγωγής είναι στοιχείο πολύ σηµαντικό και δύσκολα επιτεύξιµο. Το κριτήριο της απόδοσης αποτελεί κεντρικό σηµείο µελέτης τέτοιων γραµµών παραγωγής και είναι αναγκαίο για οποιαδήποτε περαιτέρω µελέτη Επίλυση Προβλήµατος Η επίλυση του προβλήµατος που µελετάει αυτή η εργασία και είναι η εύρεση του ελάχιστου ικανού και αναγκαίου αποθηκευτικού χώρου σε γραµµές παραγωγής δύο σταθµών εργασίας µε µηχανές σε παράλληλη σύνδεση ώστε µια δεδοµένη επιθυµητή απόδοση της γραµµής να επιτυγχάνεται, θα πραγµατοποιηθεί τόσο γραφικά όσο και αλγεβρικά. Σηµαντικό εργαλείο για την διαδικασία επίλυσης που ακολουθήθηκε αποτελεί ο τύπος 3 των Magazine και Stecke. Η πραγµατοποίηση όλων των απαιτούµενων, επίπονων αλγεβρικών πράξεων καθώς οι αναγκαίες για την γραφική επίλυση του προβλήµατος, γραφικές παραστάσεις έγιναν µε χρήση του προγράµµατος ηλεκτρονικού υπολογιστή Wolfram Mathematica 7.0. Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 55

56 H Mathematica είναι ένα υπολογιστικό σύστηµα που χρησιµεύει για την πραγµατοποίηση αναλυτικών και αριθµητικών υπολογισµών καθώς και την δηµιουργία γραφικών µε χρήση Ηλεκτρονικού Υπολογιστή. Είναι ένα σηµαντικό εργαλείο για τη πραγµατοποίηση πολύπλοκων µαθηµατικών υπολογισµών. Η Mathematica είναι ένα ολοκληρωµένο µαθηµατικό πακέτο µε πάρα πολλές δυνατότητες σε σχεδόν όλους τους τοµείς των µαθηµατικών, στοιχείο που το κάνει χρήσιµο σε πάρα πολλά πεδία των θετικών επιστηµών. Η πρώτη εµφάνισή του λογισµικού αυτού έγινε στα τέλη της δεκαετίας του 80 και ήταν ένας πυρήνας (εκτέλεσης εντολών) ο οποίος µπορούσε να προσαρµοστεί σε κάθε λειτουργικό σύστηµα (π.χ.unix, MacOs, Windows κ.α.). Έκτοτε, αναπτύσσεται από την εταιρία Wolfram Research αλλά ο κοινός αυτός πυρήνας (Kernel) υπάρχει, βελτιωµένος και εµπλουτισµένος, ακόµη και σήµερα Ανάλυση της Απόδοσης του Συστήµατος Για τη µελέτη του ελάχιστου ικανού και αναγκαίου αποθηκευτικού χώρου στη γραµµή παραγωγής που περιγράφηκε θα πραγµατοποιηθεί σε πρώτο στάδιο εύρεση της απόδοσης σε συνάρτηση µε τον αποθηκευτικό χώρο. Όπως αναφέρθηκε ο τύπος 5 υπολογίζει για τις διάφορες παραµέτρους: µ 1 (µέσος ρυθµός εξυπηρέτησης 1 ου σταθµού), f 1 (πλήθος παράλληλων µονάδων στον 1o σταθµό εργασίας), f 2 (πλήθος παράλληλων µονάδων στον 2o σταθµό εργασίας) και s (µέγεθος αποθηκευτικού χώρου) της γραµµής παραγωγής, την αναµενόµενη απόδοση R της γραµµής παραγωγής. Η απόδοση R της γραµµής παραγωγής, όπως εύκολα παρατηρείται, εξαρτάται από τέσσερες µεταβαλλόµενες ποσότητες. Το R είναι δηλαδή στην πραγµατικότητα µια συνάρτηση πολλών, για την ακρίβεια τεσσάρων, µεταβλητών. Ισχύει δηλαδή πως R = R ( µ 1, f 1, f 2, s ). Για γνωστές, σταθερές κατά περίπτωση τιµές του πλήθους παράλληλων µονάδων στους δύο σταθµούς εργασίας (f 1, f 2 ) και του ρυθµού εξυπηρέτησης του πρώτου σταθµού (µ 1 ) το R αποτελεί τώρα συνάρτηση µόνο του αποθηκευτικού χώρου της γραµµής (s). Επιστρέφει δηλαδή για τις διάφορες τιµές του αποθηκευτικού χώρου s, την απόδοση R της γραµµής. Ισχύει δηλαδή πως R = R(s) µε (µ 1, f 1, f 2 σταθερά). Οι τιµές που µπορεί να πάρει ο αποθηκευτικός χώρος s είναι οποιαδήποτε τιµή των φυσικών Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 56

57 αριθµών. Να τονιστεί εδώ πως η γραµµή παραγωγής θεωρείται διακριτού τύπου προϊόντων, στοιχείο που σηµαίνει πως µια ποσότητα αποθηκευτικού χώρου που είναι δεκαδικός αριθµός δεν θα είχα καµία πρακτική εφαρµογή και το δεκαδικό µέρος του αποθηκευτικού αυτού χώρου θα δεσµευόταν άσκοπα Γραφική Μελέτη της Απόδοσης του Συστήµατος Για την κατανόηση της γενικής µορφής των συναρτήσεων R(s) για διάφορες τιµές των µ 1, f 1 και f 2 θα αποδώσουµε γραφικά ενδεικτικά κάποιες συναρτήσεις για τυχαίες σταθερές τιµές των µ 1, f 1 και f 2 για να παρατηρήσουµε εάν υπάρχει κάποια οµοιότητα των γραφικών τους παραστάσεων. Το γεγονός πως οι τιµές των µ 1, f 1 και f 2 είναι σταθερές έχει πραγµατική εφαρµογή καθώς για συγκεκριµένη γραµµή παραγωγής οι παράµετροι αυτοί είναι δεδοµένοι. Οι γραφικές συναρτήσεις των συναρτήσεων που θα παρασταθούν εν συνεχεία αν και στην πραγµατικότητα είναι µεµονωµένα σηµεία, καθώς η ανεξάρτητη µεταβλητή είναι διακριτή, θα παρασταθούν συνεχείς για καλύτερη εποπτικότητα και ευκολότερη εξαγωγή συµπερασµάτων. Περίπτωση 1 η, για µ 1 = 0.95, f 1 = 2 και f 2 = 3 η συνάρτηση R(s) έχει τον τύπο: Τύπος 6 Τύπος συνάρτησης R(s) για μ 1 = 0.95, f 1 = 2 και f 2 = 3 και η γραφική της παράσταση είναι η: Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 57

58 Απόδοση Γραµµής Παραγωγής Χωρητικότητα Buffer Σχήμα 5.4 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για μ1 = 0.95, f1 = 2 και f2 = 3 Περίπτωση 2 η, για µ 1 = 0.97, f 1 = 4 και f 2 = 3 η συνάρτηση R(s) έχει τον τύπο: Τύπος 7 Τύπος συνάρτησης R(s) για μ 1 = 0.97, f 1 = 4 και f 2 = 3 και η αντίστοιχη γραφική παράσταση είναι η: Απόδοση Γραµµής Παραγωγής Χωρητικότητα Buffer Σχήμα 5.5 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για μ1 = 0.97, f1 = 4 και f2 = 3 Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 58

59 Περίπτωση 3 η, για µ 1 = 1.01, f 1 = 4 και f 2 = 2 η συνάρτηση R(s) έχει τον τύπο: Τύπος 8 Τύπος συνάρτησης R(s) για μ 1 = 1.01, f 1 = 4 και f 2 = 2 και η αντίστοιχη γραφική της παράσταση είναι η: Απόδοση Γραµµής Παραγωγής Χωρητικότητα Buffer Σχήμα 5.6 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για μ 1 = 1.01, f 1 = 4 και f 2 = 2 Περίπτωση 4 η, για µ 1 = 1.05, f 1 = 5 και f 2 = 5 η συνάρτηση R(s) έχει τον τύπο: Τύπος 9 Τύπος συνάρτησης R(s) για μ 1 = 1.05, f 1 = 5 και f 2 = 5 µε γραφική παράσταση την: Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 59

60 Απόδοση Γραµµής Παραγωγής Χωρητικότητα Buffer Σχήμα 5.7 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για μ 1 = 1.05, f 1 = 5 και f 2 = 5 Περίπτωση 5 η, για µ 1 = 1.1, f 1 = 15 και f 2 = 13 η συνάρτηση R(s) έχει τον τύπο: Τύπος 10 Τύπος συνάρτησης R(s) για μ 1 = 1.1, f 1 = 15 και f 2 = 13 µε αντίστοιχη γραφική παράσταση την: Απόδοση Γραµµής Παραγωγής Χωρητικότητα Buffer Σχήμα 5.8 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για μ 1 = 1.1, f 1 = 15 και f 2 = 13 Παρουσιάστηκαν ενδεικτικά κάποια παραδείγµατα τα οποία επιλέχθηκαν το κατά το δυνατότερο, αντιπροσωπευτικά όσον αφορά τον σταθµό εργασίας µε το Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 60

61 µεγαλύτερο ρυθµό εξυπηρέτησης και τις περισσότερες µονάδες σε παράλληλη σύνδεση καθώς και το πλήθος των µηχανών στους δύο σταθµούς εργασίας. Όπως αναµενόταν, οι γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης R(s) για διάφορες τιµές των µ 1, f 1, f 2 παρατηρούµε πως έχουν παρόµοια µορφή. Είναι συναρτήσεις γνησίως αύξουσες µε φθίνων ωστόσο ρυθµό αύξησης, έχουν τα κοίλα προς τα κάτω (κοίλες συναρτήσεις) και προσεγγίζουν ασυµπτωτικά µια µέγιστη τιµή απόδοσης της γραµµής παραγωγής. Η µέγιστη τιµή της R(s) εξαρτάται κατά περίπτωση από τα µεγέθη µ 1, f 1, f 2. Επίσης παρατηρείται πως για µεγάλες τιµές αποθηκευτικού χώρου µεταβολή της τιµής s επιφέρει µικρή µεταβολή στην τιµή R(s), ενώ για µικρές τιµές αποθηκευτικού χώρου s η ίδια µεταβολή επιφέρει µεγαλύτερη µεταβολή της απόδοσης R(s) Γραφική Επίλυση του προβλήµατος Συνεχίζοντας τώρα µε τη γραφική επίλυση του θέµατος που µελετάει αυτή η εργασία πραγµατοποιείται στο ακόλουθη γράφηµα η γραφική παράσταση της R(s) για µ 1 =0.95, f 1 =3, f 2 =2. Στην γραφική παράσταση αυτή παρατηρούνται εκ νέου τα στοιχεία ασύµπτωτου και κυρτότητας που αναφέρθηκαν. Αν και ο αποθηκευτικός χώρος s στην πραγµατικότητα είναι φυσικός αριθµός, για προαναφερθέντες λόγους η R(s) έχει απεικονιστεί συνεχής. Απόδοση Γραµµής Παραγωγής Χωρητικότητα Buffer Σχήμα 5.9 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για μ 1 = 0.95, f 1 = 3 και f 2 = 2 Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 61

62 Κάθε έντονα τονισµένο σηµείο της γραφικής παράστασης έχει ως συντεταγµένες του, x του οριζόντιου άξονα, τον αποθηκευτικό χώρο και y του κατακόρυφου άξονα, την αποδοτικότητα της γραµµής. Άρα όλα εκείνα τα σηµεία της γραφικής παράστασης των οποίων η τεταγµένη (y) είναι µεγαλύτερη από την επιθυµητή απόδοση της γραµµής ικανοποιούν το κριτήριο της απόδοσης. Για να ολοκληρωθεί η βέλτιστη επιλογή του αποθηκευτικού χώρου αρκεί να επιλέξουµε από τις τεταγµένες των σηµείων αυτών, την µικρότερη. Συγκεντρωτικά τώρα θα λέγαµε πως, η γραφική επίλυση του προβλήµατος να βρεθεί η αναγκαία ποσότητα αποθηκευτικού χώρου ώστε να επιτευχθεί µια δεδοµένη απόδοση της παραγωγής επιτυγχάνεται µε την ταυτόχρονη απεικόνιση στο ίδιο σύστηµα αξόνων της συνάρτησης R(s) και της συνάρτησης y = y o όπου y o η τιµή της επιθυµητής απόδοσης της γραµµής παραγωγής. Έστω λοιπόν πως για τη σειριακή γραµµή παραγωγής του προηγούµενου παραδείγµατος, η επιθυµητή απόδοση για την οποία πρέπει να βρεθεί ο ικανός και αναγκαίος αποθηκευτικός χώρος είναι R = Η γραφική επίλυση πραγµατοποιείται µε ταυτόχρονη απεικόνιση των συναρτήσεων R(s) και y = Άρα, στο σύστηµα αξόνων που ήδη απεικονίστηκε η γραφική παράσταση της συνάρτησης R(s) για τα στοιχεία µ 1 =0.95, f 1 =3, f 2 =2 (Γράφηµα 11) απεικονίζεται τώρα και η ευθεία y = 0.88 όπου 0.88 η τιµή, όπως είπαµε, της επιθυµητής απόδοσης της γραµµής παραγωγής.(γράφηµα 12) Σχήμα 5.10 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για μ 1 = 0.95, f 1 = 3 και f 2 = 2 και της y=y 0 (y 0 =0.88) Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 62

63 Η ελάχιστη, µη αρνητική, ακέραια τετµηµένη των σηµείων της R(s) που βρίσκονται πάνω από την ευθεία y=y o δίνει την αναγκαία χωρητικότητα buffer ώστε να επιτευχθεί η ζητούµενη απόδοση της γραµµής παραγωγής. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα εύκολα παρατηρείται πως η βέλτιστη λύση αποδίδεται από το σηµείο που έχει τονιστεί. Η τετµηµένη του σηµείου (x) αντιστοιχεί στην τιµή του αποθηκευτικού χώρου ώστε να επιτευχθεί απόδοση παραγωγής τουλάχιστον 0.88 και η τεταγµένη του σηµείου (y) στη απόδοση που τελικά επιτυγχάνεται ( 0.89). Η ακριβής ζητούµενη απόδοση της γραµµής δεν επιτυγχάνεται πάντα, καθώς ο αποθηκευτικός χώρος είναι διακριτός και έτσι συγκεκριµένες µόνο αποδόσεις µπορούν να επιτευχθούν για δεδοµένες σταθερές τιµές των µ 1, f 1, f 2. Στην γραµµή παραγωγής που µελετήθηκε ο αποθηκευτικός χώρος που πρέπει να δεσµευτεί ώστε η γραµµή να ικανοποιεί την επιθυµητή απόδοση (0.88) είναι s = 5. Σε αυτό το σηµείο θα παρουσιάσουµε ένα δεύτερο παράδειγµα γραφικής επίλυσης του προβλήµατος εύρεσης του ελάχιστου αποθηκευτικού χώρου ώστε µια απόδοση της γραµµής παραγωγής να επιτυγχάνεται. Θεωρείται η γραµµή παραγωγής µε παραµέτρους: ρυθµός εξυπηρέτησης πρώτου σταθµού εργασίας µ 1 =1.02, πλήθος µονάδων σε παράλληλη σύνδεση στον πρώτο σταθµό εργασίας f 1 = 3 και πλήθος µονάδων σε παράλληλη σύνδεση στον δεύτερο σταθµό εργασίας f 2 = 3. Από τα στοιχεία αυτά προκύπτει µια νέα συνάρτηση R(s). Έστω ότι η απόδοση της γραµµής αυτής, που θέλουµε να πραγµατοποιείται είναι R = Με χρήση κατόπιν µικρών µεταβολών του κώδικα του Wolfram Mathematica 7.0, που παρατίθεται στο παράρτηµα προκύπτει το επόµενο αποτέλεσµα. (Σχήµα 5.11) Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 63

64 Σχήμα 5.11 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για μ 1 = 1.01, f 1 = 3 και f 2 = 3 και της y=y 0 (y 0 =0.94) Από το γράφηµα αυτό των δύο γραφικών παραστάσεων, µε την µεθοδολογία που αναπτύχθηκε και ακολουθήθηκε οµοιοτρόπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, προκύπτει πως η αναγκαία χωρητικότητα αποθηκευτικού χώρου ώστε η συγκεκριµένη γραµµή παραγωγής να επιτυγχάνει απόδοση τουλάχιστον 0.94 είναι η τετµηµένη του τονισµένου µε κόκκινο σηµείου. Από τα δεδοµένα αυτά προκύπτει πως η αναγκαία χωρητικότητα του αποθηκευτικού χώρου είναι s = 13 µε αντίστοιχη απόδοση της γραµµής παραγωγής λίγο πάνω από Με την χρήση του συγκεκριµένου κώδικα για Mathematica που παρατίθεται στο παράρτηµα αυτής της εργασίας και µε καθορισµό των τιµών των παραµέτρων µ 1, f 1, και f 2 το πρόγραµµα αποδίδει το αντίστοιχο, για τις τιµές αυτές, γράφηµα που απεικονίζει της γραφικές παραστάσεις της R(s) και ης ευθείας y = y 0, η παρατήρηση των οποίων θα µας οδηγήσει στη βέλτιστη λύση. ίνεται λοιπόν από αυτή την εργασία το εργαλείο εύρεσης της βέλτιστης επιλογής χωρητικότητας αποθηκευτικού χώρου έτσι ώστε σειριακή γραµµή παραγωγής µε σταθµούς εργασίας που περιέχουν µονάδες σε παράλληλη σύνδεση να επιτυγχάνει µια δεδοµένη απόδοση Ακραίες Οριακές Καταστάσεις Γραφικής Επίλυσης Κατά τη γραφική διαδικασία επεξεργασίας και επίλυσης του προβλήµατος εύρεσης της κατάλληλης χωρητικότητας αποθηκευτικού χώρου είναι δυνατό να παρουσιαστούν δύο ειδών, ακραίες ως προς την γραφική τους απεικόνιση Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 64

65 καταστάσεις. Οι γραµµές παραγωγής στις οποίες παρουσιάζονται αυτές οι καταστάσεις είναι οι γραµµές για τις οποίες, είτε η ζητούµενη απόδοση είναι αρκετά µικρή συγκριτικά µε τις δυνατότητες της γραµµής και επιτυγχάνεται ακόµα και για µηδενικής χωρητικότητας αποθηκευτικό χώρο, είτε σε άλλες περιπτώσεις η ζητούµενη απόδοση δεν επιτυγχάνεται για καµία χωρητικότητα του αποθηκευτικού χώρου, καθώς όπως είναι γνωστό κάθε γραµµή παραγωγής έχει µια µέγιστη τιµή απόδοσης πάνω από την οποία δεν µπορεί να αποδώσει. εδοµένης της γραµµής παραγωγής µε ρυθµό απόδοσης πρώτου σταθµού εργασίας 0.98 (µ 1 = 0.98), πλήθος τεσσάρων µονάδων στον πρώτο σταθµό (f 1 = 4) και έξι στον δεύτερο (f 2 = 6), θεωρούµε τη απαιτούµενη απόδοση 0.77 (R=0.77). Επεξεργαζόµενοι τον κώδικα γραφικής επίλυσης της Mathematica παίρνουµε το ακόλουθο αποτέλεσµα. Σχήμα 5.12 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για μ 1 = 0.98, f 1 = 4 και f 2 = 6 και της y=y 0 (y 0 =0.77) Όπως εύκολα παρατηρείται, η καµπύλη της απόδοσης παρουσιάζει ελάχιστο το 0.83 για µηδενικό αποθηκευτικό χώρο. Άρα η απαίτηση από τη γραµµή, απόδοσης µικρότερης η ίσης του 0.88 (άρα και για 0.77) δεν χρήζει τοποθέτησης αποθηκευτικού χώρου µεταξύ των σταθµών. Μελετώντας την δεύτερη περίπτωση που αναφέρθηκε θεωρούµε την γραµµή παραγωγής µε ρυθµό απόδοσης πρώτου σταθµού εργασίας 1.09 (µ 1 = 1.09), πλήθος Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 65

66 τριών µονάδων στον πρώτο σταθµό (f 1 = 3) και τεσσάρων στον δεύτερο (f 2 = 4). Για απαιτούµενη απόδοση 0.94 (R=0.94) η γραφική επίλυση µε Mathematica µας δίνει το ακόλουθο γράφηµα. Σχήμα 5.13 Γραφική παράσταση συνάρτησης R(s) για μ 1 = 1.09, f 1 = 3 και f 2 = 4 και της y=y 0 (y 0 =0.94) Από το γράφηµα αυτό, προκύπτει πως η επιθυµητή απόδοση δεν είναι επιτεύξιµη για καµία χωρητικότητα του αποθηκευτικού χώρου. Η µέγιστη απόδοση που µπορεί η γραµµή παραγωγής µε αυτές τις παραµέτρους να επιτύχει είναι οριακά το Αλγεβρική Επίλυση του Συστήµατος Το θέµα που µελετάει η εργασία αυτή έχει ήδη προσεγγιστεί και επιλυθεί επιτυχώς γραφικά για διάφορες τιµές των παραµέτρων του συστήµατος. Στο σηµείο αυτό απαραίτητη είναι η αλγεβρική προσέγγιση της επίλυσής του ίδιου προβλήµατος. Όπως έχει ήδη αναφερθεί εκτενώς η απόδοση R για δεδοµένες τις παραµέτρους µ 1 (µέσος ρυθµός εξυπηρέτησης 1 ου σταθµού), f 1 (πλήθος παράλληλων µονάδων στον 1o σταθµό εργασίας), f 2 (πλήθος παράλληλων µονάδων στον 2o σταθµό εργασίας) αποτελεί συνάρτηση του s ( ). Κρίνεται σκόπιµο σε αυτό το σηµείο, για την καλύτερη αντίληψη της διαδικασίας που θα ακολουθηθεί να τονιστεί πως ο τύπος 3 αποτελεί συνάρτηση του s R=R(s) (s ) µόνο όταν τα στοιχεία µ 1, f 1, f 2 είναι σταθερά και έχουν αντικατασταθεί στον τύπο. Σκαρπέντζος Γεώργιος Σελίδα 66