ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΥΨΗΛΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟΔΟΧΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ B. ΜΑΥΡΟΥΔΗΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Θεσσαλονίκη Απρίλιος 2012

2

3 ΕΛΕΓΧΟΙ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΥΨΗΛΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟΔΟΧΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ B. ΜΑΥΡΟΥΔΗΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Υποβληθηκε στο Τμήμα Μαθηματικών του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης Τομέας Στατιστικής & Επιχειρησιακής Έρευνας Εξεταστική Επιτροπή Αν. Καθηγητής Φαρμάκης Ν., Επιβλέπων Καθηγητής Αντωνίου Ι., Μέλος τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής Καθηγητής Μωυσιάδης Π., Μέλος τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής Καθηγητής Κούτρας Μ., Εξεταστής Καθηγητής Ιωαννίδης Δ., Εξεταστής Καθηγητής Χατζηπαντελής Θ., Εξεταστής Αν. Καθηγήτρια Κολυβά-Μαχαίρα Φ., Εξεταστής

4 Copyright ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ B. ΜΑΥΡΟΥΔΗΣ Α.Π.Θ. «Έλεγχοι διεργασιών υψηλής απόδοσης και εφαρμογές στη δειγματοληψία αποδοχής» All Rights Reserved «Η έγκριση της παρούσης Διδακτορικής Διατριβής από το τμήμα Μαθηματικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέως» (Ν. 5343/1932, άρθρο 202, παρ. 2)

5 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Με την ολοκλήρωση της παρούσας διατριβής αισθάνομαι αδήριτη την ανάγκη να ευχαριστήσω από τα βάθη της καρδιάς μου όσους με στήριξαν με κάθε τρόπο στην επίπονη προσπάθεια συγγραφής της. Πρωτίστως, ευχαριστώ τον επιβλέποντα Αναπληρωτή Καθηγητή Φαρμάκη Νικόλαο, ο οποίος από την πρώτη στιγμή πίστεψε στις δυνάμεις μου, με εμπιστεύτηκε και με καθοδήγησε με διακριτικότητα και υπομονή στη δύσβατη ατραπό της επιστημονικής έρευνας παρεμβαίνοντας αποφασιστικά όπου ήταν απαραίτητο. Στα ερευνητικά αδιέξοδα που αναπόφευκτα παρουσιάστηκαν, αναλάμβανε ρόλο έμπειρου μέντορα και μέσα από διαδικασίες γόνιμου διαλόγου και αναζήτησης των γενεσιουργών, συχνά αφανών αιτιών των εκάστοτε προβλημάτων, συνέβαλε καταλυτικά στην άρση τους. Για όλους τους παραπάνω λόγους, ενδεικτικούς μόνο της εξαιρετικής συνεργασίας μας, του οφείλω ευγνωμοσύνη. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον Καθηγητή Αντωνίου Γιάννη ο οποίος έδωσε καίριες λύσεις σε κρίσιμα ανακύπτοντα ζητήματα που άπτονται των ερευνητικών του ενδιαφερόντων καθώς και τον Καθηγητή Μωυσιάδη Πολυχρόνη για το ιδιαίτερα ευχάριστο και εποικοδομητικό περιβάλλον συνεργασίας μας τόσο σε ερευνητικό όσο και σε διδακτικό επίπεδο κατά τη διάρκεια της απόσπασης μου στο τμήμα Μαθηματικών από τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Νιώθω επίσης την ανάγκη να ευχαριστήσω τον Καθηγητή Κούτρα Μάρκο και τον λέκτορα Μπερσίμη Σωτήριο οι οποίοι σε κρίσιμες στιγμές βοήθησαν με τις εύστοχες παρατηρήσεις και επισημάνσεις τους στην άρση πολλών επιστημονικών σκοπέλων. Ιδιαίτερες ευχαριστίες απευθύνω στην υπεύθυνη της βιβλιοθήκης κ. Νούλα Πετρίδου για την πολύτιμη βοήθεια της. Φίλοι και συνάδελφοι προσέφεραν με τον δικό τους μοναδικό τρόπο μεγάλη ψυχική και ηθική στήριξη αλλά και επιστημονική βοήθεια χωρίς τις οποίες η αποπεράτωση του παρόντος πονήματος θα ήταν ανέφικτη. Ευχαριστώ λοιπόν τους φίλους Θεμελή Ευριπίδη, Δάσιο Δημήτρη και κυρίως τον Αποστολόπουλο Γιάννη που ήταν παρών στις περισσότερες επιτυχίες αλλά και απογοητεύσεις και δε σταμάτησε στιγμή να με στηρίζει αλλά και να συνεισφέρει επιστημονικά. Νιώθω επίσης την ανάγκη να απευθύνω ιδιαίτερες ευχαριστίες και στον φίλο και συνάδελφο Σκουρκέα Αναστάσιο, με τον οποίο μοιράστηκα μια σχεδόν παράλληλη επιστημονική πορεία κατά τη διάρκεια της οποίας αποτέλεσε για μένα κίνητρο και δρομοδείκτη. Ευχαριστώ, τέλος, όλους τους συναδέλφους μου στο σχολείο όπου υπηρετώ για την κατανόηση και ψυχική τους στήριξη και κυρίως τον Καπετάνιο Αχιλλέα. Τέλος, απευθύνω ένα λιτό αλλά βαρύ από αναγνώριση και αγάπη «ευχαριστώ» στους γονείς μου, Ματένια και Βασίλη και στην αδερφή μου Χρύσα, οι οποίοι αποτέλεσαν την αφορμή για την πρώτη μου επαφή και είσοδο στο χώρο των μαθηματικών και στη συνέχεια ως αφανείς ήρωες με στήριξαν ψυχικά, ηθικά και οικονομικά στη πορεία μου μέσα στους λαβυρίνθους του. Για αυτό λοιπόν, το παρόν πόνημα το αφιερώνω σε αυτούς και φυσικά στην Έλσα, που ήταν πάντα δίπλα μου, με στήριζε στωικά στις ατέλειωτες ώρες των επιστημονικών αναζητήσεων ενώ στην πιο κρίσιμη στιγμή με ώθησε να ξεπεράσω κάθε αμφιβολία και δισταγμό και να συνεχίσω απρόσκοπτα προς την ολοκλήρωσή του.

6

7 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα διατριβή γίνεται μελέτη της συμπεριφοράς διεργασιών ποιοτικών χαρακτηριστικών υψηλής ποιότητας και η ανάπτυξη καινοτόμων διαγραμμάτων ποιοτικού τους ελέγχου. Προτείνονται επίσης, νέα πλαίσια εφαρμογής τους στη δειγματοληψία αποδοχής δομημένα τόσο σε στατιστικά όσο και σε οικονομικά κριτήρια. Αναλυτικότερα, στο πρώτο, εισαγωγικό κεφάλαιο περιγράφεται η δομή και ο ρόλος των διαγραμμάτων ελέγχου στο στατιστικό έλεγχο ποιότητας, ενώ στο δεύτερο παρουσιάζονται συνοπτικά τα σημαντικότερα εξ αυτών. Ακολούθως, στο τρίτο κεφάλαιο θεμελιώνεται θεωρητικά ένα καινοτόμο μονόπλευρο γεωμετρικό διάγραμμα που βασίζεται στη χρήση του στατιστικού EWMA και έπειτα ελέγχεται η επάρκεια και η ανωτερότητά του μέσω συγκρίσεων με πλήθος παραδοσιακών διαγραμμάτων. Στο επόμενο κεφάλαιο παρουσιάζεται μια εφαρμογή του μονόπλευρου γεωμετρικού EWMA διαγράμματος ελέγχου στη δειγματοληψία αποδοχής, όπου χρησιμοποιείται ως κριτήριο εναλλαγής μεταξύ των δύο φάσεων ενός σχεδίου συνεχούς δειγματοληψίας (για παράδειγμα του CSP-1). Το προκύπτον σχέδιο συνεχούς δειγματοληψίας χαρακτηρίζεται από σαφώς βελτιωμένα χαρακτηριστικά και απόδοση σε σχέση με το παραδοσιακό. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζεται ένα πρωτοποριακό σχέδιο συνεχούς δειγματοληψίας βελτιστοποιημένο με οικονομικά κριτήρια και γενικευμένο σε όλο το φάσμα των πιθανών παραμέτρων κόστους που αυτό μπορεί να εμπερικλείει. Στο τελευταίο κεφάλαιο μελετάται η σύγχρονη τάση των μη παραμετρικών διαγραμμάτων ελέγχου και πραγματοποιείται η πρωτοποριακή προσαρμογή ενός μοντέρνου μοντέλου αλλαγής σημείου σε διεργασίες ποιοτικών χαρακτηριστικών υψηλής απόδοσης.

8

9 ABSTRACT The aim of the present thesis is the examination of the behaviour of high yield attribute processes and the development of innovative, extra-sensitive control charts monitoring their quality level. As an extended practical implementation, new ways of using the proposed control charts in the context of the acceptance sampling are introduced, adopting either a statistical or an economic approach. Analytically, in the first introductory chapter the structure and the role of the control charts in the area of the statistical quality control is described while in the second chapter a brief presentation of the most used, traditional control charts is attempted. In the following third chapter a pioneering one-sided control chart based on the EWMA statistic is theoretically established and practically tested through simulated comparisons with various traditional control charts. In the following chapter the exploitation of the aforementioned control chart as an alternation rule in a continuous sampling plan (i.e. in a CSP-1) is described. The resulted continuous sampling plan incorporates significant improvement features rendering it preferable regarding the simple sampling schemes. The research in the field of the acceptance sampling is continued in the next chapter where a new continuous sampling plan, optimized through economic criteria, is presented. The innovative characteristic of the new sampling plan is its generalization on the whole possible cost spectrum. In the last chapter, following the modern trend of developing non-parametric control charts, a modified changepoint model is adapted on the demands and the special features of the high yield attribute processes and comparisons with the conventional control charts are conducted to reveal its superiority.

10

11 Περιεχόμενα 1 Θεωρία Διαγραμμάτων Ελέγχου Εισαγωγή Η μεταβλητότητα στην ποιότητα Εισαγωγή στα διαγράμματα ελέγχου Τύποι διαγραμμάτων ελέγχου Διάκριση των δυο φάσεων των διεργασιών Σχεδιασμός διαγράμματος ελέγχου Προσδιορισμός των ορίων ελέγχου Μέτρο αποτελεσματικότητας των διαγραμμάτων ελέγχου (ARL) Προσδιορισμός του μεγέθους του δείγματος και της συχνότητας δειγματοληψίας Ανάλυση μοτίβων με τα διαγράμματα ελέγχου Συμπεράσματα-Ανακεφαλαίωση Διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών Εισαγωγή Διαγράμματα ελέγχου ποσοστού ελαττωματικών προϊόντων (p-charts) Όρια ελέγχου των p-charts Σχεδιασμός των p-charts Χαρακτηριστική συνάρτηση λειτουργίας των p-charts Διαγράμματα ελέγχου ελαττωμάτων ανά μονάδα προϊόντων Διαγράμματα ελέγχου πλήθους ελαττωμάτων ανά μονάδα προϊόντων σε σταθερό δείγμα (c-charts) Διαγράμματα ελέγχου μέσου αριθμού ελαττωμάτων ανά μονάδα προϊόντων σε σταθερό δείγμα (u-charts) Διαγράμματα ελέγχου ελαττωμάτων ανά μονάδα προϊόντων σε μη σταθερό δείγμα Χαρακτηριστική συνάρτηση λειτουργίας των διαγραμμάτων ελέγχου ελαττωμάτων Γεωμετρικά Διαγράμματα Ελέγχου xi xi

12 xii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πιθανοθεωρητικά όρια ελέγχου Πιθανότητα α και επίπεδο βεβαιότητας s Όρια ελέγχου της μορφής L-σ Αθροιστικά διαγράμματα ελέγχου (CUSUM charts) Διωνυμικό και Bernoulli CUSUM διάγραμμα ελέγχου Γεωμετρικό CUSUM διάγραμμα ελέγχου Διαγράμματα ελέγχου εκθετικά σταθμισμένου κινούμενου μέσου (ΕWMA charts) Σχεδιασμός των διαγραμμάτων ελέγχου τύπου EWMA Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα των διαγραμμάτων ελέγχου τύπου EWMA Τροποποιήσεις και επεκτάσεις των διαγραμμάτων ελέγχου τύπου EWMA Συμπεράσματα-Ανακεφαλαίωση Μονόπλευρα Γεωμετρικά Διαγράμματα Ελέγχου EWMA Εισαγωγή Μετασχηματισμός των γεωμετρικών απαριθμήσεων Θεωρητική προσέγγιση των μονόπλευρων γεωμετρικών διαγραμμάτων ελέγχου τύπου EWMA Κάτω Γεωμετρικό EWMA διάγραμμα ελέγχου Άνω Γεωμετρικό EWMA διάγραμμα ελέγχου Σύγκριση των λόγων σήματος προς θόρυβο των γεωμετρικών EWMA διαγραμμάτων ελέγχου Βέλτιστος σχεδιασμός των μονόπλευρων γεωμετρικών EWMA διαγραμμάτων ελέγχου Αποτίμηση απόδοσης και συγκρίσεις Υπολογιστική προσέγγιση μονόπλευρων γεωμετρικών EWMA διαγραμμάτων ελέγχου Σύγκριση αναλυτικής και υπολογιστικής μεθόδου Σύγκριση μονόπλευρων και δίπλευρων διαγραμμάτων με την υπολογιστική μέθοδο Συμπεράσματα-Ανακεφαλαίωση Στοιχεία δειγματοληψίας αποδοχής και εφαρμογές σε διαγράμματα ελέγχου Εισαγωγή Στοιχεία θεωρίας δειγματοληψίας αποδοχής Η έννοια της δειγματοληψίας αποδοχής Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα της δειγματοληψίας αποδοχής Η δειγματοληψία αποδοχής και το θεώρημα του Mood Η δειγματοληψία αποδοχής και o κανόνας kp του Deming Τύποι σχεδίων δειγματοληψίας αποδοχής Θεωρητική θεμελίωση των σχεδίων συνεχούς δειγματοληψίας Υποθέσεις και παραδοχές Βασικά μέτρα απόδοσης των σχεδίων συνεχούς δειγματοληψίας Θεωρητική μελέτη του CSP

13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xiii 4.5 Σχέδια συνεχούς δειγματοληψίας για διεργασίες μικρού μήκους Αλγόριθμος λειτουργίας του MSRCSP Μοντελοποίηση του MSRCSP-1 με τη θεωρία ανανέωσης Αξιολόγηση των μέτρων απόδοσης του MSRCSP Εφαρμογή των διαγραμμάτων ελέγχου ως εργαλείων στη δειγματοληψία αποδοχής Κανόνες εναλλαγής των φάσεων δειγματοληψίας Μέτρα απόδοσης του CSP-EWMA Αξιολόγηση της απόδοσης του CSP-EWMA Βέλτιστος σχεδιασμός του CSP-EWMA Συμπεράσματα-Ανακεφαλαίωση Μέθοδοι οικονομικής αποτίμησης σχεδίων συνεχούς δειγματοληψίας Εισαγωγή Το οικονομικό μοντέλο του Cassady Συγκριτικό παράδειγμα εφαρμογής του μοντέλου του Cassady Το οικονομικό μοντέλο του γραμμικά μεταβαλλόμενου κόστους επιθεώρησης Το οικονομικό μοντέλο του γραμμικά μεταβαλλόμενου κόστους αποδοχής Θεωρητική θεμελίωση του μοντέλου Ανάλυση ευαισθησίας Γενικευμένο οικονομικό μοντέλο Ορισμός παραμέτρων κόστους Το κόστος στην κοινωνία Προσαρμοσμένο κόστος στην κοινωνία Κόστος δυσφήμισης Συνολικό αναμενόμενο κόστος Ανάλυση ευαισθησίας Μαθηματικός προγραμματισμός ελαχιστοποίησης του συνολικού αναμενόμενου κόστους Παραδείγματα ελαχιστοποίησης του συνολικού αναμενόμενου κόστους Συμπεράσματα-Ανακεφαλαίωση Μοντέλα αλλαγής σημείου σε διεργασίες υψηλής απόδοσης Εισαγωγή Επισκόπηση των μη παραμετρικών τεχνικών Μη παραμετρικά διαγράμματα ελέγχου Μοντέλα αλλαγής σημείου Μοντέλο αλλαγής σημείου ποσοτικών μεταβλητών Μοντέλο αλλαγής σημείου ποιοτικών μεταβλητών Το MWHY-RL1 διάγραμμα ελέγχου Το MWHY-RL2 διάγραμμα ελέγχου Συγκριτική αξιολόγηση απόδοσης των MWHY διαγραμμάτων ελέγχου Σύγκριση των RL1 και RL2 MWHY διαγραμμάτων ελέγχου

14 xiv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σύγκριση του MWHY-RL1 με το γεωμετρικό CUSUM Σύγκριση του MWHY-RL1 με το μονόπλευρο γεωμετρικό EWMA διάγραμμα ελέγχου Συμπεράσματα-Ανακεφαλαίωση Παραρτήματα 161 A Συνάρτηση διασποράς σε μικρού μήκους διεργασίες 161 A.1 Ορισμός της συνάρτησης διασποράς A.2 Προσαρμογή καμπύλης στη συνάρτηση διασποράς A.3 Η συνάρτηση διασποράς ως εργαλείο για τον χαρακτηρισμό διεργασιών ως εντός στατιστικού ελέγχου A.4 Ελάχιστο μήκος κατάτμησης Β Χαρακτηριστικά μεγέθη της αποκομμένης μεταβλητής Y T 167 Γ Μαρκοβιανή μοντελοποίηση εύρεσης ARL για μονόπλευρα EWMA διαγράμματα 169 Βιβλιογραφία 171

15 Κεφάλαιο 1 Θεωρία Διαγραμμάτων Ελέγχου 1.1 Εισαγωγή Στο επίπεδο της σύγχρονης στατιστικής ορολογίας, η εξασφάλιση της ποιότητας είναι τις περισσότερες φορές συνώνυμη με την ελαχιστοποίηση της μεταβλητότητας των υπό μελέτη ποιοτικών χαρακτηριστικών του εκάστοτε προϊόντος. Ο κλάδος της στατιστικής που μελετά τα χαρακτηριστικά των ποιοτικών διεργασιών και διερευνά τις δυνατές μεθόδους σταθεροποίησης του επιπέδου ποιότητας ή βελτίωσής του, είναι γνωστός ως Στατιστικός Έλεγχος Ποιότητας (Statistical Process Control ή συντομογραφικά SPC). Στο επιστημονικό πεδίο του στατιστικού ελέγχου ποιότητας ανήκει μια αξιόλογη συλλογή ισχυρών εργαλείων επίλυσης προβλημάτων με σημαντικότερους εκπροσώπους τους εξής: i. το ιστόγραμμα και εναλλακτικά το φυλλογράφημα ii. το φύλλο ελέγχου (check sheet) iii. το διάγραμμα Pareto iv. το διάγραμμα αιτίας και αποτελέσματος (cause and effect diagram) v. το διάγραμμα συγκέντρωσης ελαττωματικών (defect concentration diagram) vi. το διάγραμμα διασποράς (scatter plot) vii. το διάγραμμα ελέγχου (control chart) Η συλλογή αυτή εργαλείων, ευρέως γνωστή ως «magnificent seven», αποτελεί το τεχνικό κομμάτι του στατιστικού ελέγχου ποιότητας. Τα επιθυμητά αποτελέσματα ωστόσο επιτυγχάνονται μόνο όταν αυτό συνδυαστεί με κατάλληλες τεχνικές διαχείρισης (management) σε ένα πλαίσιο ενιαίας στρατηγικής ποιοτικού ελέγχου σε όλα τα επίπεδα της επιχείρισης που θέτει αντικειμενικούς στόχους βελτίωσης της ποιότητας των προϊόντων της. 1

16 2 Κεφάλαιο 1 Θεωρία Διαγραμμάτων Ελέγχου Στο πλαίσιο αυτής της διατριβής θα ασχοληθούμε με το αποτελεσματικότερο από τα προαναφερόμενα εργαλεία, τα διαγράμματα ελέγχου, που έχουν τύχει και της μεγαλύτερης και διαρκούς μέχρι σήμερα προσοχής της παγκόσμιας στατιστικής κοινότητας. Στο παρόν κεφάλαιο που είναι εισαγωγικό, παρουσιάζονται τα βασικά στοιχεία των διαγραμμάτων ελέγχου. Συγκεκριμένα, στην παράγραφο 1.2 αναλύονται η έννοια και οι αιτίες της μεταβλητότητας στην ποιότητα την οποία τα διαγράμματα ελέγχου καλούνται να καταγράφουν, να αναλύουν και να εντοπίζουν έγκαιρα. Η διάκριση των διαγραμμάτων ελέγχου ανάλογα με το είδος των διεργασιών που καλούνται να επιβλέψουν γίνεται στην παράγραφο 1.3. Στην παράγραφο 1.4 αναφέρονται οι βασικές παράμετροι που καθορίζουν τη συμπεριφορά και την απόδοση ενός διαγράμματος ελέγχου. Τέλος, στην παράγραφο 1.5 γίνεται αναφορά στην επιπρόσθετη δυνατότητα των διαγραμμάτων ελέγχου να ανιχνεύουν συστηματικά μοτίβα στη δομή των υπό έλεγχο διεργασιών. 1.2 Η μεταβλητότητα στην ποιότητα Είναι δεδομένο ότι σε κάθε παραγωγική διεργασία, όσο άψογα σχεδιασμένη και προσεκτικά υλοποιημένη και να είναι, πάντα παρατηρείται μεταβλητότητα, εγγενής και συνήθως φυσικής προέλευσης. Η φυσική αυτή μεταβλητότητα, γνωστή επίσης και ως «θόρυβος περιβάλλοντος» (background noise) ή «σταθερό σύστημα τυχαίων αιτιών» (stable system of chance causes ή common causes) είναι το αποτέλεσμα της συσσωρευτικής δράσης πλήθους μικρών, συχνά μη ανιχνεύσιμων, μη διακεκριμένων και απαραίτητα αναπόφευκτων αιτιών. Στο σχήμα 1.1 παρατίθενται κάποιες από τις συνηθέστερες αιτίες φυσικής μεταβλητότητας που επηρεάζουν με τυχαίο τρόπο τα χαρακτηριστικά των παραγωγικών διεργασιών. Βασικό χαρακτηριστικό της φυσικής μεταβλητότητας είναι ότι δεν ακολουθεί κάποιο αναγνωρίσιμο μοτίβο αλλά συμπεριφέρεται τυχαία με τρόπο ωστόσο που μπορεί να ερμηνευτεί στατιστικά με την προσαρμογή σε κάποια από τις γνωστές κατανομές πιθανοτήτων. Με βάση τα παραπάνω προκύπτει ο ακόλουθος ορισμός: Ορισμός. Κατάσταση στατιστικού ελέγχου (ή απλώς, εντός ελέγχου από εδώ και πέρα) μιας παραγωγικής διεργασίας που υπόκειται σε ποιοτικό έλεγχο, είναι εκείνη στη διαμόρφωση της οποίας συμμετέχει μόνο η φυσική μεταβλητότητα, που είναι εγγενής, προβλέψιμη για μεγάλους αριθμούς και μη διακεκριμένη. Όταν σε μια διεργασία επεμβαίνουν και εξωγενείς παράγοντες και προκαλούν μεταβλητότητα σημαντικά μεγαλύτερη σε σχέση με τον «θόρυβο περιβάλλοντος» τότε συχνά η ποιότητα της διεργασίας εξωθείται σε μη αποδεκτά επίπεδα. Οι παράγοντες αυτοί καλούνται μη τυχαίοι (special casues ή assignable causes) και σε αυτήν την περίπτωση:

17 1.2 Η μεταβλητότητα στην ποιότητα 3 Σχήμα 1.1 Κοινές αιτίες φυσικής μεταβλητότητας. Ορισμός. Κατάσταση εκτός στατιστικού ελέγχου (ή απλώς εκτός ελέγχου από εδώ και πέρα) μιας παραγωγικής διεργασίας, είναι εκείνη στη διαμόρφωση της οποίας συμβάλλουν μη τυχαίοι παράγοντες σε βαθμό που αλλοιώνουν την προβλέψιμη συμπεριφορά της διεργασίας. Στο σχήμα 1.2 απεικονίζονται παραστατικά οι επιδράσεις τόσο των τυχαίων όσο και των μη τυχαίων αιτιών μεταβλητότητας στα επίπεδα ποιότητας μιας διεργασίας. Η διεργασία θεωρείται εντός ελέγχου όταν η μέση τιμή κάποιου στατιστικού μέτρου κείται μεταξύ συγκεκριμένων ορίων προδιαγραφών: του κάτω ορίου ή LSL (lower specification limit) και και του άνω ορίου ή USL (upper specification limit), ενώ ο αντικειμενικός στόχος της διεργασίας είναι να διατηρείται η μέση τιμή µ 0 και η διακύμανση σ 0 του στατιστικού εντός των προδιαγραφών. Μέχρι τον χρόνο t 1 τόσο η μέση τιμή όσο και η διακύμανση του υπό έλεγχο στατιστικού είναι εντός ελέγχου. Στον χρόνο t 2 εμφανίζεται μια μη τυχαία αιτία μεταβλητότητας που καθιστά τη μέση τιμή του στατιστικού ίση με µ 1 > µ 0. Στον χρόνο t 3 η μέση τιμή επανέρχεται στην αρχική της τιμή µ 0 αλλά κάνει την εμφάνισή της μια νέα μη τυχαία αιτία μεταβλητότητας που αυξάνει τη διακύμανση του υπό έλεγχο στατιστικού στην τιμή σ 1 > σ 0. Και στις δυο περιπτώσεις παρέμβασης των μη τυχαίων αιτιών μεταβλητότητας η διεργασία τίθεται εκτός των ορίων προδιαγραφών LSL και USL αντιστοίχως και θεωρείται ότι βρίσκεται σε κατάσταση εκτός ελέγχου. Πρέπει να σημειωθεί σε αυτό το σημείο ότι καμία διεργασία δεν μπορεί να βρίσκεται σε εντός ελέγχου κατάσταση αδιάκοπα. Ακόμα και υπό την επίδραση μόνο τυχαίων αιτιών μεταβλητότητας

18 4 Κεφάλαιο 1 Θεωρία Διαγραμμάτων Ελέγχου Σχήμα 1.2 Η επίδραση τυχαίων και μη τυχαίων αιτιών μεταβλητότητας. υπάρχει μια σχετικά μικρή πιθανότητα μεταξύ τους αλληλεπίδρασης που υπό κατάλληλες συνθήκες οδηγεί τη διεργασία σε εκτός ελέγχου κατάσταση. Για παράδειγμα στον χρόνο t 1 (σχήμα 1.2), παρά το γεγονός ότι δεν υφίστανται μη τυχαίες αιτίες μεταβλητότητας, μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι υπάρχει μια μικρή πιθανότητα η διεργασία να βρεθεί εκτός των ορίων LSL και USL δηλαδή εκτός ελέγχου. Είναι προφανές ότι προτεραιότητα κάθε διαδικασίας ποιοτικού ελέγχου είναι ο έγκαιρος εντοπισμός της στιγμής ή του σημείου εμφάνισης της μη φυσικής μεταβλητότητας, έτσι ώστε να είναι δυνατή η μελέτη της και στη συνέχεια η ανάληψη κατάλληλης διορθωτικής δράσης ώστε να περιοριστούν στο ελάχιστο τα παραγόμενα ελαττωματικά προϊόντα. Το βέλτιστο για τον σκοπό αυτό και παράλληλα το πλέον αποδοτικό εργαλείο του στατιστικού ελέγχου ποιότητας είναι τα διαγράμματα ελέγχου (control charts). 1.3 Εισαγωγή στα διαγράμματα ελέγχου Εμπνευστής του στατιστικού ελέγχου ποιότητας αλλά και των διαγραμμάτων ελέγχου θεωρείται ο Dr. Walter A. Shewhart. Σύμφωνα λοιπόν με τον Shewhart (1931) το διάγραμμα ελέγχου εξυπηρετεί τρεις σαφώς διακεκριμένους αλλά και άρρηκτα συνδεδεμένους και αλληλοεξαρτώμενους στόχους: i. τον προσδιορισμό του στόχου μιας διεργασίας (δηλαδή την οριοθέτηση του εντός ελέγχου διαστήματος), ii. την αξιοποίησή του ως εργαλείου για την επίτευξη αυτού του στόχου και τέλος

19 1.3 Εισαγωγή στα διαγράμματα ελέγχου 5 Σχήμα 1.3 Βασική αρχή λειτουργίας του διαγράμματος ελέγχου βασισμένου στα παραδοσιακά 3-σ όρια ελέγχου. iii. τη χρήση του ως κριτηρίου για τη διαπίστωση επίτευξης του στόχου. Συνεπώς, το διάγραμμα ελέγχου διαδραματίζει καταλυτικό ρόλο τόσο στην προτυποποίηση, όσο και στην επιθεώρηση των παραγωγικών διεργασιών αποτελώντας την πλατφόρμα ενοποίησης των τριών αυτών φάσεων σε μια ανεξάρτητη ολότητα. Παρά το γεγονός ότι έχουν αναπτυχθεί πολλά και συνεχώς επινοούνται νέα διαγράμματα ελέγχου που ενσωματώνουν διαφορετικές τεχνικές ανίχνευσης της μη φυσικής μεταβλητότητας, στην κατασκευή όλων ακολουθούνται τα εξής βήματα: i. παρατήρηση και συλλογή των μετρήσεων των ποιοτικών χαρακτηριστικών του υπό εξέταση προϊόντος ii. υπολογισμός της μέσης τιμής ενός κατάλληλου για την εκάστοτε διεργασία στατιστικού iii. υπολογισμός της τυπικής απόκλισης του στατιστικού αυτού iv. υπολογισμός του άνω (upper control limit ή UCL) και του κάτω (lower control limit ή LCL) ορίου ελέγχου του διαγράμματος, που προσδιορίζουν το εντός ελέγχου διάστημα v. γραφική αναπαράσταση ενός προκαθορισμένου στατιστικού που περιγράφει τα ποιοτικά χαρακτηριστικά

20 6 Κεφάλαιο 1 Θεωρία Διαγραμμάτων Ελέγχου Σχήμα 1.4 Τυπικό διάγραμμα ελέγχου. vi. αν υπάρχουν σημεία στο γράφημα που κείτονται εκτός των ορίων ελέγχου, γίνεται διερεύνηση της αιτίας και εφόσον αυτή είναι μη τυχαία, προσπάθεια απαλοιφής της. Διαφορετικά επαναπροσδιορίζονται τα όρια ελέγχου και η κεντρική γραμμή ώστε να συμπεριλάβουν και αυτά τα σημεία (σχήμα 1.3) vii. γραφική αναπαράσταση του στατιστικού όπως αυτό διαμορφώνεται μετά την πρόσκτηση κάθε νέας παρατήρησης. Μετά την ολοκλήρωση των παραπάνω βημάτων η γραφική απεικόνιση του στατιστικού μέτρου ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού X (που έχει υπολογιστεί από τα δεδομένα ενός δείγματος) προς τον αύξοντα αριθμό του παρατηρούμενου δείγματος ή τον χρόνο λήψης του, θα έχει μορφή παρεμφερή με αυτήν του σχήματος 1.4. Η μέση τιμή του στατιστικού του υπό έλεγχο ποιοτικού χαρακτηριστικού X όσο αυτό βρίσκεται σε κατάσταση εντός ελέγχου, αναπαρίσταται γραφικά από την κεντρική γραμμή (center line). Τα άνω (UCL) και κάτω (LCL) όρια ελέγχου είναι έτσι επιλεγμένα ώστε αν η διεργασία βρίσκεται σε εντός ελέγχου κατάσταση, σχεδόν όλα τα σημεία του διαγράμματος να κείτονται εντός τους. Η εμφάνιση ενός σημείου εκτός των ορίων ελέγχου είναι ένδειξη ότι η διεργασία έχει βρεθεί σε εκτός ελέγχου κατάσταση και χρήζει περαιτέρω μελέτης και ανάληψης διορθωτικής δράσης. Ένα τέτοιο διάγραμμα ελέγχου όπου απεικονίζεται σαφώς η κεντρική γραμμή της διεργασίας και τα όρια ελέγχου σε συγκεκριμένη απόσταση (συνήθως τριών τυπικών αποκλίσεων) ονομάζεται Shewhart διάγραμμα ελέγχου. Είναι προφανές ότι ο τρόπος λειτουργίας των διαγραμμάτων ελέγχου προσομοιάζει τη φιλοσοφία όπου στηρίζονται οι έλεγχοι υποθέσεων. Η βασική τους διαφορά είναι ότι οι έλεγχοι υποθέσεων εξετάζουν την ικανοποίηση κάποιων υποθέσεων ενώ τα διαγράμματα ελέγχου μελετούν την απόκλιση από τη θεωρούμενη εντός ελέγχου κατάσταση. Επίσης οι έλεγχοι υποθέσεων μπορούν να ανιχνεύσουν μόνο παρατεινόμενες και εδραιωμένες αλλαγές στη μέση τιμή ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού, κάτι που δεν είναι ο κανόνας στις συνήθεις παραγωγικές διεργασίες. Αντιθέτως, είναι συχνό το φαινόμενο εμφάνισης μιας σποραδικής ή και μοναδικής αύξησης της μέσης τιμής εκτός των ορίων ελέγχου, που μπορεί να ανιχνευθεί και να αντιμετωπιστεί μόνο με τη χρήση κατάλληλων διαγραμμάτων ελέγχου.

21 1.3 Εισαγωγή στα διαγράμματα ελέγχου 7 Ωστόσο, οι έλεγχοι υποθέσεων μπορούν να χρησιμοποιηθούν εναλλακτικά στην ανάλυση της απόδοσης των διαγραμμάτων ελέγχου. Πιο συγκεκριμένα μπορεί κανείς να θεωρήσει την πιθανότητα να κριθεί η διεργασία εκτός ελέγχου ενώ αυτή είναι εντός ελέγχου, ισοδύναμη με την έννοια του σφάλματος τύπου Ι και την πιθανότητα να κριθεί η διεργασία εντός ελέγχου ενώ αυτή είναι εκτός ελέγχου, ισοδύναμη με το σφάλμα τύπου ΙΙ. Υπό αυτή τη θεώρηση, η χαρακτηριστική καμπύλη ενός διαγράμματος ελέγχου (όπως ορίζεται στην παράγραφο 2.2.3) μπορεί, μεταξύ των άλλων, να απεικονίσει και τα σφάλματα τύπου Ι και ΙΙ, τα οποία θεωρούνται ενδεικτικά της ικανότητας ενός διαγράμματος ελέγχου να ανιχνεύει διαφορετικών μεγεθών μεταβολές στη μέση τιμή του ποιοτικού χαρακτηριστικού της διεργασίας Τύποι διαγραμμάτων ελέγχου Τα διαγράμματα ελέγχου μπορούν να κατηγοριοποιηθούν σε δύο μεγάλες κλάσεις: i. στα διαγράμματα ελέγχου ποσοτικών μεταβλητών (variable control charts), όπου το υπό εξέταση ποιοτικό χαρακτηριστικό (που θα παρίσταται από τη τυχαία μεταβλητή Χ) μπορεί να μετρηθεί και να εκφραστεί ποσοτικά ως ένας αριθμός ή σε κάποια συνεχή κλίμακα μέτρησης. Στην περίπτωση αυτή τα διαγράμματα ελέγχου καλούνται συνήθως να παραστήσουν γραφικά τα μέτρα κεντρικής τάσης (όπως είναι το διάγραμμα x τύπου Shewhart) και τα μέτρα διασποράς (όπως συμβαίνει στην περίπτωση του διαγράμματος R). ii. στα διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών (attribute control charts), όπου το υπό εξέταση ποιοτικό χαρακτηριστικό μπορεί να πάρει δύο δυνατές τιμές: ελαττωματικό και μη ελαττωματικό, χαρακτηρισμός που στη γενικευμένη περίπτωση άπτεται στην παρουσία ή όχι κάποιας συγκεκριμένης ιδιότητας (attribute). Σημαντικότεροι εκπρόσωποι των διαγραμμάτων τύπου Shewhart αυτής της κατηγορίας είναι τα διαγράμματα τύπου p (p-charts) και τα διαγράμματα τύπου c και u (c-charts και u-charts αντίστοιχα). Κάθε κατηγορία διαγραμμάτων ελέγχου έχει ειδικά χαρακτηριστικά και πλεονεκτήματα που την καθιστούν κατάλληλη για εφαρμογή σε συγκεκριμένο κάθε φορά είδος διεργασίας. Ακολουθεί μια απόπειρα απαρίθμησης των γενικών προτερημάτων των δύο κατηγοριών που μπορεί να συμπληρώνεται καταλλήλως μετά την επινόηση κάθε νέου διαγράμματος ελέγχου: i. Για τα διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών. Το βασικό πλεονέκτημα που προσφέρουν τα διαγράμματα αυτής της κατηγορίας και εκπορεύεται από την απλότητα της λειτουργίας τους, είναι η δυνατότητα ταυτόχρονης επιθεώρησης πολλών ποιοτικών χαρακτηριστικών. Αρκεί το προϊόν να κριθεί ελαττωματικό ως προς ένα μόνο χαρακτηριστικό για να χαρακτηριστεί απορριπτέο ως ελαττωματικό. Το προτέρημα αυτό των διαγραμμάτων ποιοτικών μεταβλητών είναι το αντίστοιχο μειονέκτημα των διαγραμμάτων ποσοτικών μεταβλητών, όπου απαιτείται η ξεχωριστή καταμέτρηση κάθε χαρακτηριστικού και η εφαρμογή διαγράμματος ελέγχου για κάθε ένα

22 8 Κεφάλαιο 1 Θεωρία Διαγραμμάτων Ελέγχου Σχήμα 1.5 Διαδικασία ποιοτικής βελτίωσης μιας διεργασίας με τη βοήθεια του διαγράμματος ελέγχου. από αυτά. Παράλληλα, τα διαγράμματα ποιοτικών μεταβλητών επιτρέπουν τον εύκολο έλεγχο των ποιοτικών χαρακτηριστικών (go-not go) επιτρέποντας τη δραματική μείωση του κόστους επιθεώρησης και του απαιτούμενου χρόνου και φόρτου εργασίας. ii. Για τα διαγράμματα ελέγχου ποσοτικών μεταβλητών. Τα διαγράμματα αυτής της κατηγορίας προσφέρουν λόγω της ποσοτικής τους φύσης μια περισσότερο ενδελεχή και λεπτομερειακή επισκόπηση της διεργασίας και κατά συνέπεια των πιθανών αιτιών των μεταβάσεων σε εκτός ελέγχου κατάσταση. Επίσης, λόγω της καλύτερης εποπτείας της διεργασίας που προσφέρουν, δίνουν τη δυνατότητα στον έμπειρο και καταρτισμένο χρήστη, έγκαιρων προειδοποιήσεων για την τάση εμφάνισης εκτός ελέγχου παρατηρήσεων και υπό προϋποθέσεις περισσότερο έγκαιρου εντοπισμού τους. Ασφαλώς, δε συνιστώνται σε διεργασίες όπου η φύση των υπό έλεγχο χαρακτηριστικών είναι γνησίως ποιοτική. Εν κατακλείδει και με σκοπό την ανάδειξη της ανωτερότητας των διαγραμμάτων ελέγχου έναντι των υπολοίπων εργαλείων του στατιστικού ελέγχου ποιότητας, παρατίθενται τα βασικά χαρακτηριστικά και πλεονεκτήματα τους που τα καθιστούν ιδιαίτερα δημοφιλή και τα θέτουν στο επίκεντρο των σχετικών ερευνητικών δραστηριοτήτων: i. Τα διαγράμματα ελέγχου είναι ένα καλά μελετημένο εργαλείο βελτίωσης της παραγωγικότητας. Ένα σωστά σχεδιασμένο διάγραμμα ελέγχου μπορεί να αποδειχθεί ικανό να μειώσει το πλήθος των άχρηστων προϊόντων και τον περαιτέρω φόρτο εργασίας που αυτά συνεπάγονται, δημιουργώντας πρόσφορο έδαφος για μείωση του συνολικού κόστους παραγωγής (σχήμα 1.5). ii. Τα διαγράμματα ελέγχου είναι αποτελεσματικά στη πρόληψη εμφάνισης μη ανεκτού πλήθους ελαττωματικών προϊόντων. Βοηθώντας στη διατήρηση της διεργασίας σε κατάσταση

23 1.3 Εισαγωγή στα διαγράμματα ελέγχου 9 εντός ελέγχου ουσιαστικά πραγματώνουν τη φιλοσοφία «κάνε το σωστά την πρώτη φορά» όπως είναι ευρύτερα γνωστή στους κύκλους των ειδικών του ελέγχου ποιότητας. iii. Τα διαγράμματα ελέγχου μπορούν να προλάβουν μη απαραίτητες ρυθμίσεις της παραγωγικής διεργασίας. Τα κατάλληλα σχεδιασμένα διαγράμματα ελέγχου μπορούν να εντοπίσουν και να διακρίνουν τα σημεία (ή τους χρόνους) εμφάνισης μη φυσικής μεταβλητότητας καλύτερα από τον πλέον εξειδικευμένο μηχανικό, γλιτώνοντας την εκάστοτε επιχείριση από μεγάλο κόστος σχετιζόμενο με την εφαρμογή μη αναγκαίων ρυθμίσεων της διεργασίας. iv. Τα διαγράμματα ελέγχου μπορούν να παρέχουν διαγνωστικές πληροφορίες για την κατάσταση μιας παραγωγικής διεργασίας. Η γραφική εποπτεία που προσφέρουν τα διαγράμματα ελέγχου μπορεί να βοηθήσει τον έμπειρο μηχανικό να εντοπίσει φαινόμενα εμφάνισης συγκεκριμένων μοτίβων μεταβλητότητας (που δεν είναι ανιχνεύσιμα με στατιστικές μεθόδους) και να τα εξαλείψει έγκαιρα. v. Τα διαγράμματα ελέγχου παρέχουν πληροφορίες χρήσιμες για τη βελτίωση της ικανότητας μιας διεργασίας (process capability). Στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής και ακολουθώντας τη γενικότερη ερευνητική τάση που παρατηρείται τις τελευταίες δεκαετίες στο χώρο του στατιστικού ελέγχου ποιότητας, θα ασχοληθούμε μόνο με τα διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών ή με τα διαγράμματα ποσοτικών μεταβλητών που ανάγονται με διάφορες τεχνικές σε διαγράμματα ποιοτικών μεταβλητών. Οι διεργασίες που είναι δομημένες έτσι ώστε το εκάστοτε ποιοτικό χαρακτηριστικό να μετράται με κάποια ποιοτική μεταβλητή, είναι πιο εύκολα διαχειρίσιμες, με μικρότερο λειτουργικό κόστος ενώ η εφαρμογή σε αυτές των κατάλληλων διαγραμμάτων ελέγχου είναι απλούστερη και περισσότερο κατανοητή από το μη επιστημονικά καταρτισμένο εργατικό δυναμικό Διάκριση των δυο φάσεων των διεργασιών Σε αυτό το σημείο χρήζει αναφοράς η διάκριση κάθε διεργασίας σε δύο διαφορετικές και διακριτές φάσεις, γνωστές και ως φάσεις Ι και ΙΙ αντίστοιχα. Σε ρεαλιστικές συνθήκες ελέγχου ποιότητας δεν είναι γνωστά τα χαρακτηριστικά της εντός ελέγχου κατάστασης, δηλαδή η αρχική κεντρική γραμμή (CL) δεν είναι πάντα δεδομένη και κατά συνέπεια ούτε τα όρια ελέγχου τα οποία πρέπει να εκτιμηθούν μελετώντας τη δομή της διεργασίας. Η αρχική φάση προκαταρκτικών ελέγχων και δοκιμών όπου μελετάται η διεργασία ώστε να εκτιμηθούν βέλτιστα τα όρια ελέγχου και η κεντρική γραμμή ή δεδομένων αυτών να ελεγχθεί αν η διεργασία είναι εντός ελέγχου, καλείται φάση Ι. Κατά τη διάρκεια της φάσης Ι, γίνεται μια αρχική εκτίμηση της κεντρικής γραμμής βασισμένη σε εμπειρικά δεδομένα (ή αποτελέσματα προγενέστερων μελετών της δομής της διεργασίας) και με τη βοήθεια αυτών υπολογίζονται τα δοκιμαστικά όρια ελέγχου (trial control limits). Αν όλα τα σημεία που προκύπτουν από τη γραφική αναπαράσταση των δεδομένων που συλλέγονται στη φάση αυτή είναι μεταξύ των ορίων

24 10 Κεφάλαιο 1 Θεωρία Διαγραμμάτων Ελέγχου ελέγχου και δεν είναι ορατό κάποιο συστηματικό μοτίβο εμφάνισης τους, μπορούμε να εικάσουμε ότι η διεργασία είναι εντός ελέγχου. Αν αντιθέτως κάποια σημεία βρίσκονται εκτός των ορίων ελέγχου, πρέπει να γίνει επανεξέταση της κεντρικής γραμμής αλλά και των ορίων ελέγχου. Ωστόσο, συνηθίζεται η προσαρμογή προς το ορθό των τελευταίων. Αυτό γίνεται διερευνώντας αν τα σημεία που βρίσκονται εκτός ελέγχου είναι αποτέλεσμα αιτιών μη τυχαίας μεταβλητότητας. Αν βρεθούν αιτίες μη τυχαίας μεταβλητότητας γίνεται προσπάθεια εξάλειψής τους, ενώ αν αποκλειστεί αυτό το ενδεχόμενο τότε υπάρχουν δυο περιπτώσεις: αν είναι πολλά και τυχαία απαντώμενα τα σημεία αυτά, τότε τα όρια ελέγχου διευρύνονται ώστε να τα συμπεριλάβουν. Αν τα σημεία είναι λίγα και μεμονωμένα απλά δε λαμβάνονται υπόψη καθώς μπορούν να θεωρηθούν αναμενόμενα στο πλαίσιο της τυχαιότητας. Βεβαίως μια τέτοια αντιμετώπιση των εκτός ορίων ελέγχου σημείων, πρέπει να γίνεται συγκρατημένα και με ιδιαίτερη προσοχή γιατί πιθανή απόρριψη τους μπορεί να οδηγήσει σε σοβαρή αλλοίωση της προσφερόμενης από το διάγραμμα πληροφορίας. Σε κάθε περίπτωση η διαδικασία σχεδιασμού του διαγράμματος επαναλαμβάνεται και επανελέγχονται όλα τα προκύπτοντα εκτός ορίων σημεία. Στη φάση ΙΙ η διεργασία θεωρείται εντός ελέγχου και στόχος πλέον του διαγράμματος ελέγχου δεν είναι η προσαρμογή του στη διεργασία αλλά η επιθεώρησή της. Οι αναμενόμενες μεταβολές στη διεργασία θα είναι μικρές έως ανεπαίσθητες και η πρόκληση για τον κλάδο του στατιστικού ελέγχου ποιότητας είναι ακριβώς η ανάπτυξη διαγραμμάτων ελέγχου που θα ανιχνεύουν έγκαιρα και ορθά τις μη τυχαίες μεταβολές της διεργασίας. 1.4 Σχεδιασμός διαγράμματος ελέγχου Κάθε διάγραμμα ελέγχου πρέπει να είναι κατάλληλα σχεδιασμένο και προσαρμοσμένο στα ειδικά χαρακτηριστικά της εκάστοτε υπό έλεγχο διεργασίας. Ο σχεδιασμός (design) ενός διαγράμματος ελέγχου πρωταρχικά περιλαμβάνει τη βέλτιστη επιλογή του μεγέθους του δείγματος όπου μελετάται το ποιοτικό χαρακτηριστικό, τη συχνότητα δειγματοληψίας και τα όρια ελέγχου. Ωστόσο, ο σχεδιασμός μπορεί να γίνει ώστε να επιτυγχάνεται η βελτιστοποίηση είτε με όρους στατιστικούς είτε με όρους οικονομικούς. Στο πλαίσιο του στατιστικού σχεδιασμού για παράδειγμα, η διεύρυνση των ορίων ελέγχου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μείωση του σφάλματος τύπου Ι σε περιπτώσεις όπου οι εσφαλμένοι συναγερμοί είναι ιδιαίτερα ανεπιθύμητοι. Κατά αναλογία, οι παράμετροι σχεδιασμού του διαγράμματος ελέγχου μπορούν να επιλεγούν με οικονομικά κριτήρια, με τρόπο ώστε να ελαχιστοποιούνται οι διάφορες παράμετροι κόστους (π.χ. δειγματοληψίας, αποδοχής ελαττωματικών προϊόντων, διερεύνησης εσφαλμένων συναγερμών). Είναι προφανής η θέσπιση ενός μέτρου αποτελεσματικότητας των διαγραμμάτων ελέγχου που θα επιτρέπει τόσο τη μεταξύ τους σύγκριση όσο και την βελτιστοποίησή τους με όρους είτε στατιστικούς είτε οικονομικούς. Για τον σκοπό αυτό αναπτύχθηκε ένα μέτρο της αποτελεσματικότητάς τους, που χρησιμοποιείται κατά κόρον, το μέσο μήκος ροής, (Average Run Length ή συντομογραφικά ARL). Στις επόμενες παραγράφους εξηγείται ο τρόπος κατασκευής των ορίων ελέγχου, αναλύεται συνοπτικά και θεμελιώνεται θεωρητικά η έννοια του

25 1.4 Σχεδιασμός διαγράμματος ελέγχου 11 ARL, και τέλος, επιχειρείται μια προσέγγιση του βέλτιστου σχεδιασμού ενός διαγράμματος ελέγχου με την κατάλληλη επιλογή των ορίων ελέγχου και του μεγέθους του λαμβανόμενου δείγματος Προσδιορισμός των ορίων ελέγχου Όπως έχει ήδη αναφερθεί, μεταβάλλοντας κατάλληλα τα όρια ελέγχου μπορούμε να μεταβάλλουμε κατά το δοκούν τα σφάλματα τύπου Ι και ΙΙ προσαρμόζοντας το διάγραμμα ελέγχου στις ανάγκες της εκάστοτε παραγωγικής διεργασίας. Είναι προφανής λοιπόν η ανάγκη για ακριβή προσδιορισμό των ορίων ελέγχου. Πρέπει ωστόσο να σημειωθεί ότι υπάρχουν δύο διαφορετικά είδη ορίων ελέγχου: τα όρια ελέγχου της μορφής L-σ και τα πιθανοθεωρητικά όρια ελέγχου. Όρια της μορφής L-σ. Αν Z είναι το υπό μελέτη δειγματικό στατιστικό με τη βοήθεια του οποίου μετράται κάποιο ποιοτικό χαρακτηριστικό X, και µ Z και σ Z η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση αντίστοιχα του Z, τότε τα όρια ελέγχου της μορφής L-σ και η κεντρική γραμμή του διαγράμματος ελέγχου θα δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: UCL = µ Z + Lσ Z CL = µ Z (1.1) LCL = µ Z Lσ Z όπου L είναι η «απόσταση» των ορίων ελέγχου του διαγράμματος από την κεντρική γραμμή, σε μονάδες τυπικών αποκλίσεων του στατιστικού Z. Στα συνήθη διαγράμματα ελέγχου όπως προτάθηκαν από τον εμπνευστή τους Shewhart (1931), ο συντελεστής L παίρνει συνήθως την τιμή 3, προσδίδοντας τη χαρακτηριστική ονομασία 3-σ σε αυτού του είδους τα όρια ελέγχου. Στο σχήμα 1.3 απεικονίζεται ο τρόπος λειτουργίας ενός διαγράμματος ελέγχου με όρια ελέγχου της μορφής 3-σ και κανονική κατανομή του παρατηρούμενου στατιστικού Z που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση του ποιοτικού χαρακτηριστικού X. Πιθανοθεωρητικά όρια. Αν είναι χρήσιμο τα όρια ελέγχου να συσχετιστούν με τα σφάλματα τύπου Ι και ΙΙ, τότε χρησιμοποιούνται τα πιθανοθεωρητικά όρια. Επίσης, χρησιμοποιούνται όταν η κατανομή του μελετώμενου στατιστικού Z δεν ακολουθεί την κανονική, αλλά κάποια άλλη κατανομή (π.χ. τη διωνυμική όπως συμβαίνει στα p-charts που εξετάζονται στην παράγραφο 2.2 ή την Poisson) οπότε τα όρια ελέγχου της μορφής L-σ δεν είναι αντιπροσωπευτικά. Μία σχέση (περίπου) ισοδυναμίας των πιθανοθεωρητικών ορίων ελέγχου με τα αντίστοιχα της μορφής 3-σ είναι εύκολα προσδιορίσιμη. Αν οι τιμές του Z είναι κανονικά κατανεμημένες γύρω από την κεντρική γραμμή µ Z, τότε η πιθανότητα του σφάλματος τύπου Ι που αντιστοιχεί στα 3-σ όρια

26 12 Κεφάλαιο 1 Θεωρία Διαγραμμάτων Ελέγχου ελέγχου είναι α = Παραθέτοντας ένα ακόμα παράδειγμα, αν στο πλαίσιο μιας διεργασίας είναι δεδομένη μόνο η πιθανότητα α του σφάλματος τύπου Ι (π.χ. ίση με προς τη μια κατεύθυνση), τότε μπορεί να προσδιοριστεί ο αντίστοιχος συντελεστής της τυπικής απόκλισης των ορίων τύπου 3-σ, που στην περίπτωση μας θα είναι L = Σημειώνεται ότι η χρήση των πιθανοθεωρητικών ορίων ελέγχου είναι από τις πλέον διαδεδομένες. Στην πράξη όμως προτιμάται η χρήση των 3-σ ορίων ελέγχου που δεν προϋποθέτουν την ακριβή γνώση της κατανομής του στατιστικού Z ενώ μπορούν να θεωρηθούν σχεδόν ισοδύναμα με τα πιθανοθεωρητικά όρια ελέγχου στην περίπτωση που η κατανομή της Z είναι κανονική. Όταν η κατανομή δεν είναι κανονική ή εν γένει, όταν είναι έντονα κυρτή, τα 3-σ όρια ελέγχου θα είναι μικρότερα από τα αντίστοιχα πιθανοθεωρητικά όρια ελέγχου. Στην περίπτωση αυτή η χρήση των 3-σ ορίων ελέγχου ενέχει τον κίνδυνο αναζήτησης μη φυσικής μεταβλητότητας ενώ αυτή δεν υφίσταται και κατά συνέπεια αύξησης της πιθανότητας του σφάλματος τύπου Ι. Για τον ακριβή προσδιορισμό των πιθανοθεωρητικών ορίων ελέγχου είναι απαραίτητη η γνώση της πιθανότητας α του σφάλματος τύπου Ι, δηλαδή της πιθανότητα εσφαλμένου συναγερμού. Τότε, τα όρια ελέγχου θα ορίζονται με τη βοήθεια του (1 α/2) προς τα πάνω εκατοστημορίου για το UCL και του α/2 προς τα κάτω εκατοστημορίου για το LCL ή πιο φορμαλιστικά με τη λύση των εξισώσεων: Prob(Z LCL) = F (LCL) = α/2 (1.2) Prob(Z UCL) = F (UCL) = 1 α/2 όπου F (.) είναι η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της μεταβλητής Z. Έχουν αναπτυχθεί πολλά διαγράμματα ελέγχου όπου εκτός των συμβατικών ορίων ελέγχου (πιθανοθεωρητικών ή μη), εμπλέκουν τη χρήση και επιπλέον «προειδοποιητικών» ορίων ελέγχου (warning limits). Η χρήση αυτών έχει επικρατήσει στη συνήθη πρακτική διεργασιών όπου η εκτός ελέγχου κατάσταση είναι σφόδρα ανεπιθύμητη. Τα προειδοποιητικά όρια διευκολύνουν την αφύπνιση του μηχανισμού αναζήτησης μη φυσικής μεταβλητότητας καθώς επιτρέπουν τον εντοπισμό συγκεκριμένων μη τυχαίων μοτίβων εμφάνισης των παρατηρήσεων του υπό μελέτη στατιστικού που δεν σημάνουν άμεσα συναγερμό του διαγράμματος ελέγχου αλλά μπορεί να είναι ένδειξη μετάβασης σε εκτός ελέγχου κατάσταση. Περισσότερα σχετικά με τα μη τυχαία μοτίβα και τους κανόνες ανίχνευσής τους αναφέρονται στην παράγραφο Μέτρο αποτελεσματικότητας των διαγραμμάτων ελέγχου (ARL) Σε κάθε Shewhart διάγραμμα ελέγχου ορίζεται το ARL ως εξής: Ορισμός. Ως μέσο μήκος ροής (ARL) ορίζεται το μέσο πλήθος διαδοχικών δειγμάτων που πρέπει να ελεγχθούν μέχρι η διεργασία να κριθεί εκτός ελέγχου.

27 1.4 Σχεδιασμός διαγράμματος ελέγχου 13 Το ARL μπορεί να υπολογιστεί σχετικά εύκολα για τα περισσότερα διαγράμματα ελέγχου και για αυτό θεωρείται βασικό μέτρο της αποτελεσματικότητάς τους. Διακρίνουμε δυο κατηγορίες ARL: i. το εντός ελέγχου μέσο μήκος ροής ARL 0, δηλαδή το μέσο μήκος ροής για να κριθεί μια διεργασία εκτός ελέγχου ενώ στην πραγματικότητα είναι εντός ελέγχου, και ii. το εκτός ελέγχου μέσο μήκος ροής ARL 1, δηλαδή το μέσο μήκος ροής που μεσολαβεί από τη στιγμή που η διεργασία τίθεται εκτός ελέγχου μέχρι τη στιγμή που αυτή κρίνεται εκτός ελέγχου από το διάγραμμα ελέγχου. Αν συμβολίσουμε με α το σφάλμα τύπου Ι (την πιθανότητα να θεωρήσουμε ένα σημείο εκτός ελέγχου ενώ αυτό είναι εντός ελέγχου) και με β το σφάλμα τύπου ΙΙ (την πιθανότητα ένα σημείο να θεωρείται εντός ελέγχου, ενώ στην πραγματικότητα είναι εκτός ελέγχου), τότε προφανώς ισχύει: και ARL 0 = 1 α ARL 1 = 1 1 β Για να καταστεί περισσότερο σαφής η έννοια του μέσου μήκους ροής, παρατίθεται ενδεικτικά ένα παράδειγμα για την περίπτωση ενός ποσοτικού διαγράμματος ελέγχου. Αρχικά, ας υποθέσουμε ότι μας ενδιαφέρει το ποιοτικό χαρακτηριστικό X, όπου η μεταβλητή X ακολουθεί κανονική κατανομή Ν(µ 0, σ 0 ). Στο πλαίσιο του στατιστικού ελέγχου ποιότητας συλλέγονται δείγματα και σε κάθε δείγμα υπολογίζεται η τιμή του στατιστικού X. Αν τα όρια ελέγχου του διαγράμματος ελέγχου είναι τοποθετημένα σε απόσταση 3-σ από την κεντρική γραμμή µ 0, τότε η πιθανότητα ένα σημείο να βρεθεί εκτός αυτών ενώ η διαδικασία είναι εντός ελέγχου, είναι p = , και συνεπώς η τιμή του ARL 0 θα είναι: ARL 0 = 1 p = 1 a = Επειδή σε μεγάλο πλήθος σεναρίων στατιστικού ελέγχου ποιότητας τα δεδομένα θεωρούνται κατά προσέγγιση κανονικά, ενώ τα όρια ελέγχου είναι τις περισσότερες φορές της μορφής 3-σ, η τιμή ARL 0 = 370 είναι από τις πιο συχνά απαντώμενες Προσδιορισμός του μεγέθους του δείγματος και της συχνότητας δειγματοληψίας Σε γενικές γραμμές είναι ακόμη και διαισθητικά αντιληπτό ότι για τον εντοπισμό ολοένα και μικρότερων αποκλίσεων από τη μέση τιμή µ Z απαιτείται μεγαλύτερο δείγμα. Συνεπώς κατά τον προσδιορισμό του μεγέθους του δείγματος πρέπει να λαμβάνεται υπόψη το πιθανό μέγεθος της προς ανίχνευση απόκλισης.

28 14 Κεφάλαιο 1 Θεωρία Διαγραμμάτων Ελέγχου Όσο αφορά στον προσδιορισμό της συχνότητας δειγματοληψίας, αυτός ανάγεται σε πρόβλημα κατανομής του δειγματοληπτικού φόρτου που μπορεί να γίνει είτε με τη λήψη μικρών δειγμάτων σε σύντομα διαστήματα είτε μεγάλων δειγμάτων σε μεγαλύτερα διαστήματα. Η σύγχρονη βιομηχανική πρακτική, υπό την καταλυτική δράση της αυτοματοποίησης, χρησιμοποιεί συνήθως μικρά και περισσότερο συχνά δείγματα. Μάλιστα, είναι ολοένα και πιο συχνές οι «ιδανικά» σχεδιασμένες διεργασίες όπου το μέγεθος του δείγματος είναι 1, δηλαδή κάθε παραγόμενο προϊόν ελέγχεται ποιοτικά και μάλιστα άμεσα (real-time on-line process control). Χρήση του ARL Οι μέθοδοι προσδιορισμού του μεγέθους του δείγματος δεν μπορεί να βασίζονται μόνο σε διαισθητικά κριτήρια. Εναλλακτικά λοιπόν, το ARL διαδραματίζει σοβαρό ρόλο προς την κατεύθυνση αυτή καθώς, όταν για παράδειγμα είναι γνωστό το ARL 0, το μέγεθος του δείγματος n πρέπει να επιλεγεί τόσο μεγάλο όσο τουλάχιστον το ARL 0. Όμως, ακόμη και σε αυτήν την περίπτωση, η χρήση του ARL πρέπει να γίνεται με ιδιαίτερη προσοχή καθώς η συνάρτηση κατανομής του μήκους ροής μπορεί να χαρακτηρίζεται από μεγάλη λοξότητα και τυπική απόκλιση. Τα δυο αυτά χαρακτηριστικά του μήκους ροής καθιστούν τη μέση τιμή του (δηλαδή το ARL) συχνά μη αντιπροσωπευτική της κατανομής του. Χρήση της μεθοδολογίας των έλλογων υποομάδων Τέλος, όσον αφορά στον προσδιορισμό του μεγέθους δείγματος κατά την εφαρμογή του εκάστοτε διαγράμματος ελέγχου, καταλυτική είναι η χρήση των έλλογων υποομάδων. Η ορολογία των έλλογων υποομάδων (rational groups) εισήχθηκε για πρώτη φορά από τον Shewhart (1931) με σκοπό την κατάλληλη επιλογή των δειγμάτων ώστε να επιτυγχάνεται η πρόσληψη της μέγιστης δυνατής πληροφορίας από τη μελέτη του εκάστοτε διαγράμματος ελέγχου. Έκτοτε αποτέλεσε δρομοδείκτη για το σχεδιασμό πλήθους διαγραμμάτων ελέγχου. Η διαμόρφωση των έλλογων υποομάδων μπορεί να γίνει με δυο διαφορετικούς τρόπους. Ο πλέον συνήθης είναι η δημιουργία δειγμάτων αποτελούμενων από προϊόντα παραγόμενα την ίδια χρονική στιγμή ή σε όσο το δυνατό πλησιέστερους χρόνους (π.χ. διαδοχικά προϊόντα). Με τον τρόπο αυτό σε περίπτωση παρουσίας μη φυσικής μεταβλητότητας, μεγιστοποιείται η πιθανότητα ύπαρξης μεταβλητότητας μεταξύ των δειγμάτων και παράλληλα ελαχιστοποιείται η πιθανότητα μεταβλητότητας εντός των δειγμάτων, καθιστώντας το διάγραμμα ελέγχου ιδιαίτερα ευαίσθητο. Η εναλλακτική προσέγγιση είναι ο σχηματισμός δειγμάτων που εμπερικλείουν, με τρόπο κατά το δυνατόν αντιπροσωπευτικό, προϊόντα από όλο το μήκος της ροής παραγωγής και προτείνεται σε περιπτώσεις όπου το διάγραμμα ελέγχου χρησιμοποιείται για να αποφανθούμε για την αποδοχή ή όχι ολόκληρης της γραμμής παραγωγής. Επίσης, η προσέγγιση αυτή προσφέρει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα σε σχέση με την πρώτη σε περιπτώσεις όπου το επίπεδο ποιότητας στιγμιαία διέρχεται από εκτός ελέγχου κατάσταση και έπειτα επανέρχεται σε εντός ελέγχου κατάσταση. Σε κάθε περίπτωση πρέπει να λαμβάνεται υπόψη η δομή και η προέλευση της υπό μελέτης διεργασίας ώστε να επιλέγεται ορθά ο τρόπος σχηματισμού των λαμβανόμενων δειγμάτων και να αποφεύγονται φαινόμενα μη ανίχνευσης σοβαρών αυξομειώσεων στην ποιότητα λόγω εμφάνισης τους στα μεσο-

29 1.5 Ανάλυση μοτίβων με τα διαγράμματα ελέγχου 15 Σχήμα 1.6 Χαρακτηριστικό παράδειγμα διαγράμματος ελέγχου με έντονη την παρουσία ροών. διαστήματα των δειγμάτων ή λανθασμένης θεώρησης κάποιων σημείων ως εκτός ελέγχου λόγω μη αντιπροσωπευτικής λήψης των δειγμάτων. 1.5 Ανάλυση μοτίβων με τα διαγράμματα ελέγχου Δεν είναι σπάνιο το φαινόμενο μια διεργασία να βρίσκεται στην πραγματικότητα εκτός ελέγχου και τα συνήθη διαγράμματα ελέγχου να αδυνατούν να το διαπιστώσουν. Χαρακτηριστικό είναι το παράδειγμα στο σχήμα 1.6) όπου το παρατηρούμενο στατιστικό είναι το X. Στο παράδειγμα αυτό, είναι φανερό ότι 19 από τα 25 σημεία που έχουν παρασταθεί γραφικά, βρίσκονται κάτω από την κεντρική γραμμή. Επίσης παρατηρεί κανείς ότι μετά το 4ο σημείο ακολουθούν 5 σημεία συνεχούς αύξησης του X. Παρά το γεγονός ότι το προκείμενο διάγραμμα ελέγχου δε σημάνει συναγερμό, η παρουσία μη φυσικής μεταβλητότητας που δημιουργεί συγκεκριμένα μοτίβα (patterns) εμφάνισης των σημείων είναι αισθητή. Η σειρά διαδοχικών σημείων ίδιου τύπου καλείται ροή. Έχει επικρατήσει μάλιστα η εμφάνιση διαδοχικών σημείων με αυξανόμενο μέγεθος του υπό εξέταση στατιστικού να ονομάζεται ροή προς τα πάνω (run up) και αντιστοίχως η σειρά διαδοχικών σημείων με μειούμενο μέγεθος του στατιστικού να καλείται ροή προς τα κάτω (run down). Κατά αναλογία, ροή μπορεί να χαρακτηριστεί και η σειρά διαδοχικών σημείων που βρίσκονται πάνω ή κάτω από την κεντρική γραμμή. Όσο αφορά στα διαγράμματα ελέγχου τύπου Shewhart, έχει επικρατήσει η εμφάνιση μιας τέτοιου είδους ροής (συγκεκριμένου μήκους) να είναι αρκετή για τη σήμανση συναγερμού και τη θεώρηση της διεργασίας ως εκτός ελέγχου. Η μελέτη της τυχαιότητας των ροών μπορεί να γίνει με κάποιο από τα γνωστά τεστ ροών όπως το πλέον σύνηθες των Wald-Wolfowitz. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα του σχήματος 1.6 το p-value του προαναφερόμενου τεστ ροών είναι και συνεπώς δεν μπορούμε να απορρίψουμε την υπόθεση της τυχαιότητας. Εκτός όμως από τις ροές που μπορεί να αποτελέσουν ένδειξη για τη μετάβαση της διεργασίας σε κατάσταση εκτός ελέγχου, στο ίδιο συμπέρασμα μπορούν να οδηγήσουν και άλλα μοτίβα χαρακτη-

30 16 Κεφάλαιο 1 Θεωρία Διαγραμμάτων Ελέγχου Σχήμα 1.7 Χαρακτηριστικό παράδειγμα διαγράμματος ελέγχου με κυκλικό μοτίβο. ριστικά μη τυχαιότητας και της επίδρασης συστηματικής αιτίας μεταβλητότητας. Χαρακτηριστικό είναι το παράδειγμα στο σχήμα 1.7 όπου τα σημεία ακολουθούν ένα συστηματικό κυκλικό μοτίβο εμφάνισης και παρά το γεγονός ότι κανένα σημείο δεν κείται εκτός των ορίων ελέγχου, είναι πιθανό η διεργασία να είναι στην πραγματικότητα εκτός ελέγχου. Και οι δυο περιπτώσεις μη τυχαίων μοτίβων που αναφέρθηκαν εμπίπτουν στο επιστημονικό πεδίο της ανάλυσης και αναγνώρισης μοτίβων που όμως είναι εκτός των στόχων της παρούσας διατριβής. Ωστόσο κρίνεται σημαντικό να αναφερθούν μερικοί γενικοί κανόνες ανίχνευσης μοτίβων που μπορούν να εφαρμόζονται εύκολα στις περισσότερες περιπτώσεις διαγραμμάτων τύπου Shewhart. Σύμφωνα λοιπόν με τον Montgomery (2008), η ύπαρξη ροής με μήκος μεγαλύτερο ή ίσο με 8, έχει πολυ μικρή πιθανότητα εμφάνισης σε ένα τυχαίο δείγμα προϊόντων και κατά συνέπεια μπορεί να θεωρηθεί ένδειξη μετάβασης σε κατάσταση εκτός ελέγχου. Στο ευρέως γνωστό και πολλάκις πρακτικά εφαρμοσμένο Western Elecric Handbook (Electric 1956), προτείνεται ο χαρακτηρισμός της διεργασίας εκτός ελέγχου αν, εκτός από την εμφάνιση σημείων εκτός ελέγχου, παρατηρούνται: i. δυο στα τρία διαδοχικά σημεία να βρίσκονται εκτός των 2-σ προειδοποιητικών ορίων (θεωρείται δεδομένο ότι έχουν υιοθετηθεί τα 3-σ όρια ελέγχου) ii. τέσσερα στα πέντε διαδοχικά σημεία να βρίσκονται σε απόσταση από την κεντρική γραμμή μεγαλύτερη ή ίση από μια τυπική απόκλιση (1-σ προειδοποιητικά όρια) iii. οχτώ διαδοχικά σημεία να εμφανίζονται από την ίδια πλευρά της κεντρικής γραμμής. Έκτοτε έχουν αναπτυχθεί πολλές παραλλαγές των παραπάνω πρακτικών κανόνων χαρακτηρισμού μιας διεργασίας ως εκτός ελέγχου με περισσότερο ή λιγότερο αυστηρούς κανόνες ανάλογα με τις ειδικές απαιτήσεις του παραγωγού και φυσικά με τις ιδιαιτερότητες της εκάστοτε γραμμής παραγωγής.

31 1.6 Συμπεράσματα-Ανακεφαλαίωση Συμπεράσματα-Ανακεφαλαίωση Στο εισαγωγικό αυτό κεφάλαιο παρουσιάζονται οι βασικές αρχές που διέπουν τη λειτουργία των διαγραμμάτων ελέγχου οποιασδήποτε μορφής και τύπου. Εξηγείται ο τρόπος κατηγοριοποίησής τους σε διαγράμματα ποιοτικών και ποσοτικών μεταβλητών, εισάγεται η έννοια του διαγράμματος τύπου Shewhart και επιχειρείται η προσέγγιση του τρόπου εφαρμογής του στις διάφορες φάσεις μιας διεργασίας (φάση Ι και ΙΙ). Στη συνέχεια αναλύονται οι βασικές σχεδιαστικές παράμετροι που καθορίζουν τη συμπεριφορά, την αποτελεσματικότητα και την προσαρμοστικότητα του διαγράμματος στις εκάστοτε συνθήκες: τα όρια ελέγχου, το μέτρο αποτελεσματικότητας ARL και το μέγεθος του λαμβανόμενου δείγματος. Στο τέλος του κεφαλαίου αναφέρονται ειδικές περιπτώσεις όπου η μη φυσική μεταβλητότητα εμφανίζεται με τη μορφή συστηματικών μοτίβων μη ανιχνεύσιμων από τα συνήθη διαγράμματα και προτείνονται μερικοί απλοί, πρακτικοί τρόποι αντιμετώπισής τους. Η θεωρητική θεώρηση των διαγραμμάτων ελέγχου όπως συντελείται στο κεφάλαιο αυτό και η παρουσίαση των βασικών εννοιών που σχετίζονται με τη λειτουργία τους και την αποτελεσματικότητά τους κρίνεται απαραίτητη για την απρόσκοπτη ροή της υπόλοιπης διατριβής.

32 18 Κεφάλαιο 1 Θεωρία Διαγραμμάτων Ελέγχου

33 Κεφάλαιο 2 Διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών 2.1 Εισαγωγή Η παρούσα διατριβή είναι επικεντρωμένη στα διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών. Ο βασικός λόγος αυτής της εξειδικευμένης μελέτης είναι ότι σε ολοένα και περισσότερες διεργασίες ο στατιστικός έλεγχος ποιότητας μπορεί να βασιστεί στη μελέτη κάποιας ποιοτικής μεταβλητής, παρόλο που περιέχει σαφώς λιγότερη πληροφορία για την υπό έλεγχο διεργασία σε σχέση με μια αντίστοιχη ποσοτική. Η τάση αυτή γιγαντώνεται στη σύγχρονη βιομηχανία καθώς οι ποιοτικές μεταβλητές είναι πιο εύκολα διαχειρίσιμες, περισσότερο κατανοητές από το τεχνικό προσωπικό χαμηλού επιπέδου και κυρίως είναι προσαρμόσιμες σε σχεδόν οποιαδήποτε ποιοτική διεργασία. Χαρακτηριστικό παράδειγμα εφαρμογής των διαγραμμάτων ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών είναι η βιομηχανία κατασκευής ημιαγωγών, όπου είναι μείζονος σημασίας να μετρηθούν οι ελαττωματικοί ημιαγωγοί σε ένα δείγμα και να προταθούν μέθοδοι σχεδόν απόλυτης απαλοιφής τους (zero defects). Στις επόμενες παραγράφους αναλύονται τα βασικά διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών: στην παράγραφο 2.2 παρουσιάζονται τα διαγράμματα ελέγχου για παρακολούθηση του ποσοστού ελαττωματικών προϊόντων γνωστά ως p-charts. Τα αντίστοιχα διαγράμματα για τη μελέτη του πλήθους των ελαττωματικών προϊόντων (c και u-charts) παρουσιάζονται στην παράγραφο 2.3. Στην παράγραφο 2.4 επιχειρείται η εισαγωγή στον τρόπο λειτουργίας των γεωμετρικών διαγραμμάτων ελέγχου, ενώ τα μοντέρνα διαγράμματα CUSUM και EWMA παρουσιάζονται στις παραγράφους 2.5 και 2.6 αντίστοιχα. 2.2 Διαγράμματα ελέγχου ποσοστού ελαττωματικών προϊόντων (p-charts) Τα διαγράμματα αυτά παρακολουθούν και εκτιμούν το ποσοστό των ελαττωματικών προϊόντων ˆp σε διαδοχικά δείγματα μεγέθους n και είναι γνωστά και ως διαγράμματα τύπου p (από τούδε και στο 19

34 20 Κεφάλαιο 2 Διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών εξής θα καλούνται p-charts). Βασικές υποθέσεις που διέπουν τη θεωρητική θεμελίωση των διαγραμμάτων αυτών είναι ότι στην υπό έλεγχο διεργασία η πιθανότητα ενός προϊόντος να είναι ελαττωματικό είναι p και ότι η παραγωγή κάθε προϊόντος είναι ανεξάρτητη από των υπολοίπων. Υπό αυτές τις προϋποθέσεις, κάθε παραγόμενο προϊόν είναι η πραγματοποίηση μιας τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί κατανομή Bernoulli με παράμετρο p. Κατά συνέπεια το πλήθος X των ελαττωματικών προϊόντων σε κάθε δείγμα μεγέθους n θα ακολουθεί διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n, p και με σ.π.π.: Prob(X = x) = ( ) n p x (1 p) n x, x x = 0, 1, 2,..., n Προφανώς, η μέση τιμή και η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής X θα είναι E(X) = np και V ar(x) = np(1 p) αντιστοίχως. Ωστόσο, το ενδιαφέρον μας έγκειται στο εκτιμώμενο δειγματικό ποσοστό ελαττωματικών προϊόντων ˆp = X/n. Η κατανομή του ˆp προκύπτει εύκολα από την κατανομή της X: θα είναι και αυτή διωνυμική και θα έχει αθροιστική συνάρτηση κατανομής: Prob(ˆp ϵ) = Prob( x [nϵ] n ϵ) = Prob(x nϵ) = p x (1 p) n x όπου [nϵ] ο μεγαλύτερος ακέραιος που είναι μικρότερος ή ίσος από το γινόμενο nϵ. H μέση τιμή και η διακύμανση του ˆp θα είναι αντιστοίχως: x= Όρια ελέγχου των p-charts µˆp = p και σ 2ˆp = p(1 p) n (2.1) Όρια ελέγχου της μορφής 3-σ. Ακολουθώντας το γενικό θεωρητικό πλαίσιο κάθε διαγράμματος τύπου Shewhart και με τη βοήθεια των τύπων (1.1) και (2.1) προκύπτει ότι τα 3-σ όρια ελέγχου ενός p-chart, θα είναι: p(1 p) UCL = p + 3 n CL = p (2.2) p(1 p) LCL = p 3 n Σε ρεαλιστικές συνθήκες εφαρμογής του διαγράμματος, η πιθανότητα p δεν είναι γνωστή εξ αρχής, οπότε και πρέπει να εκτιμηθεί από τα δεδομένα. Σε αυτή την περίπτωση συλλέγονται m δείγματα μεγέθους n έκαστο κατά την περίοδο που εικάζεται ότι η διεργασία βρίσκεται σε κατάσταση

35 2.2 Διαγράμματα ελέγχου ποσοστού ελαττωματικών προϊόντων (p-charts) 21 εντός ελέγχου ή γίνεται προσπάθεια να τεθεί εντός ελέγχου (φάση Ι). Τότε, η πιθανότητα p μπορεί να εκτιμηθεί από την πιθανότητα ˆp: m i=1 ˆp = X i mn όπου X i είναι το πλήθος των ελαττωματικών προϊόντων στο i-οστό δείγμα. Σε αυτήν την περίπτωση, τα δοκιμαστικά όρια ελέγχου του διαγράμματος προφανώς γράφονται: UCL = ˆp + 3 CL = ˆp LCL = ˆp 3 ˆp(1 ˆp) n ˆp(1 ˆp) Κάθε σημείο που σχεδιάζεται εκτός των δοκιμαστικών ορίων ελέγχου, εξετάζεται εξονυχιστικά για το ενδεχόμενο προέλευσής του από μη φυσική αιτία μεταβλητότητας και όταν αυτή εντοπιστεί γίνεται προσπάθεια εξάλειψής της και ταυτόχρονη αναπροσαρμογή των ορίων ελέγχου. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται έως ότου η διεργασία κριθεί εντός ελέγχου και οριστικοποιηθούν τα όρια ελέγχου. Πιθανοθεωρητικά όρια ελέγχου. Ο υπολογισμός των πιθανοθεωρητικών ορίων ελέγχου είναι εύκολος με δεδομένη τη διωνυμική κατανομή της μεταβλητής X και τη βοήθεια των εξισώσεων (1.2). Για παράδειγμα, για πιθανότητα εσφαλμένου συναγερμού α = % (που αντιστοιχεί στο όριο ελέγχου των 3-σ για την κανονική κατανομή), δεδομένο το μέγεθος n του δείγματος και γνωστή πιθανότητα p ενός προϊόντος να είναι ελαττωματικό, το άνω όριο ελέγχου UCL προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης: 1 α/2 = /2 = k x=0 n ( ) n p x (1 p) n x x όπου k είναι το μέγιστο πλήθος ελαττωματικών προϊόντων το οποίο καλείται να ανιχνεύσει το διάγραμμα ελέγχου σε διάστημα εμπιστοσύνης 1 α/2 = %. Από το προκύπτον k, έπεται ότι UCL = k/n. Για μεγάλες τιμές του γινομένου np (βλέπε και σχήμα 2.1) η διωνυμική κατανομή μπορεί να προσεγγιστεί από την κανονική λαμβάνοντας όμως πάντα υπόψη τα προβλήματα προσέγγισης που δημιουργεί η διακριτότητα της πρώτης. Τα προβλήματα αυτά όπως επίσης και οι περιπτώσεις μη ικανοποιητικής προσέγγισης της διωνυμικής κατανομής από την κανονική, αντιμετωπίζονται συχνά με κατάλληλους μετασχηματισμούς. Ονομαστικά αναφέρονται οι πιο γνωστοί εξ αυτών που είναι το

36 22 Κεφάλαιο 2 Διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών διωνυμικό διάγραμμα Q, το p-chart του αντίστροφου ημιτόνου και η μέθοδος επέκτασης Cornish- Fisher. Ο μετασχηματισμός Q είναι ο πιο αποτελεσματικός καθώς βασίζεται στον απευθείας μετασχηματισμό της διωνυμικής κατανομής σε κανονική. Ωστόσο, συνοδεύεται πάντα (όπως και όλοι οι προαναφερόμενοι και μη) μετασχηματισμοί από το πρόβλημα της αδυναμίας φυσικής ερμηνείας της προκύπτουσας μετασχηματισμένης μεταβλητής. Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται εν μέρει με τη χρήση των γεωμετρικών διαγραμμάτων ελέγχου (βλέπε παράγραφο 2.4). Ένα άλλο μειονέκτημα που ανακύπτει με τη χρήση των πιθανοθεωρητικών ορίων ελέγχου είναι η ενδεχόμενη μη συμμετρικότητά τους που μπορεί να αποδειχθεί παραπλανητική για τους μη εξοικειωμένους χρήστες τους Σχεδιασμός των p-charts Όπως έχει ήδη αναφερθεί στην παράγραφο 1.4, ο σχεδιασμός ενός διαγράμματος ελέγχου συνεπάγεται την κατάλληλη επιλογή του μεγέθους του δείγματος, της συχνότητας δειγματοληψίας και των ορίων ελέγχου. Η συχνότητα δειγματοληψίας εξαρτάται άμεσα από το ρυθμό παραγωγής. Σε κάθε περίπτωση, η 100% επιθεώρηση όλων των προϊόντων είναι η πλέον προτεινόμενη. Ωστόσο, μπορεί να γίνει και χρήση της φιλοσοφίας των έλλογων υποομάδων. Για παράδειγμα, στην περίπτωση που υπάρχει η υποψία ότι τέσσερις διαφορετικές παρτίδες προϊόντων έχουν διαφορετικό επίπεδο ποιότητας, είναι σαφές ότι η συχνότητα δειγματοληψίας θα καθοριστεί έτσι ώστε κάθε λαμβανόμενο δείγμα να αντιστοιχεί σε μια από τις τέσσερις παρτίδες, επιχειρώντας τη μεγιστοποίηση της πιθανότητας ύπαρξης μεταβλητότητας μεταξύ των δειγμάτων (στρωματοποιημένη δειγματοληψία, βλέπε Φαρμάκης (2009)). Όσον αφορά στο μέγεθος n του δείγματος, αυτό εξαρτάται άμεσα και από το εύρος των ορίων ελέγχου, για αυτό και ο σχεδιασμός τους πρέπει να γίνεται παράλληλα και συνεκτιμώντας τις επιπτώσεις από τη διαφοροποίηση των τιμών τους. Ιδιαίτερο πρόβλημα προκύπτει με τον προσδιορισμό του n όταν το ποσοστό p των ελαττωματικών προϊόντων είναι μικρό. Στην περίπτωση αυτή θα πρέπει να επιλέξουμε το n ικανοποιητικά μεγάλο ώστε να διασφαλίσουμε μια σχετικά υψηλή πιθανότητα εμφάνισης τουλάχιστον ενός ελαττωματικού προϊόντος στο δείγμα. Διαφορετικά τα όρια ελέγχου διαμορφώνονται με τρόπο ώστε πολύ λίγα και ενίοτε μόλις ένα ελαττωματικό προϊόν να αρκούν για να κριθεί η διεργασία εκτός ελέγχου, καθιστώντας το διάγραμμα ελέγχου μη λειτουργικό λόγω μη ανεκτού ποσοστού εσφαλμένων συναγερμών. Για παράδειγμα, αν σε μια διεργασία έχουμε πιθανότητα ελαττωματικών προϊόντων p = 0.01 και μέγεθος δείγματος n = 5, τότε με την εφαρμογή των εξισώσεων (2.2) προκύπτει ότι UCL= Αν σε κάποιο από τα λαμβανόμενα δείγματα βρεθεί μόνο ένα ελαττωματικό προϊόν, τότε το εκτιμώμενο ποσοστό ελαττωματικών προϊόντων είναι ˆp = 1/5 = 0.2 > UCL, οδηγώντας τη διεργασία σε εκτός ελέγχου κατάσταση. Προφανώς, ο χαρακτηρισμός μιας τέτοιας διεργασίας ως εκτός ελέγχου με βάση μόνο ένα ελαττωματικό προϊόν είναι, αν μη τι άλλο, αναξιόπιστος. Περιπτώσεις όπως αυτή που μόλις περιγράφηκε μπορούν να αντιμετωπιστούν εύκολα με τη χρήση ενός κάτω φράγματος δ στην πιθανότητα εύρεσης τουλάχιστον ενός ελαττωματικού προϊόντος. Αν λοιπόν στην προηγούμενη περίπτωση θεωρήσουμε ότι η τιμή αυ-

37 2.2 Διαγράμματα ελέγχου ποσοστού ελαττωματικών προϊόντων (p-charts) 23 τής της πιθανότητας είναι τουλάχιστον δ = 0.99, τότε ο προσδιορισμός του n γίνεται έτσι ώστε P (X 1) Επειδή το p είναι πολύ μικρό, η διωνυμική κατανομή του μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά από την Poisson κατανομή με παράμετρο λ = np. Τότε, εύκολα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τους πίνακες αθροιστικής κατανομής Poisson, ότι για να ικανοποιείται το κάτω φράγμα δ, πρέπει λ 4.6 και με δεδομένο ότι p = 0.01, προκύπτει ότι n 460. Ο Duncan (1986) πρότεινε έναν εναλλακτικό τρόπο προσδιορισμού του κατάλληλου n για κάθε διεργασία που ελέγχεται από ένα p-chart. Ο τρόπος αυτός βασίζεται στην υπόθεση ότι η πιθανότητα γ ανίχνευσης κάποιας (συγκεκριμένου μεγέθους) εκτός ελέγχου απόκλισης, είναι γνωστή (συνήθως 50%). Πιο συγκεκριμένα, ας θεωρήσουμε μια διεργασία όπου η μέση τιμή του ποσοστού ελαττωματικών εντός ελέγχου προϊόντων είναι p = 0.07, στόχος είναι η ανίχνευση αποκλίσεων μεγέθους δ = 0.05, στο επίπεδο p 1 = 0.12 και η προαναφερόμενη πιθανότητα είναι της τάξης του 50%. Επειδή το p 1 είναι μικρό, είναι εφικτή και προτιμητέα η προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής του p από την κανονική κατανομή. Η κατάλληλη τιμή του n θα είναι εκείνη για την οποία το διαμορφούμενο άνω όριο ελέγχου θα συμπίπτει με την τιμή του p 1, δηλαδή εκείνη για την οποία ικανοποιείται η σχέση: p(1 p) p 1 = UCL p + δ = p + Lσ p δ = L (2.3) n Όταν συμβαίνει αυτό, και με δεδομένη την κανονική κατανομή του p, υπάρχει 50% πιθανότητα το σημείο που αντιστοιχεί σε απόκλιση μεγέθους δ να βρεθεί πάνω από το όριο ελέγχου και να σημάνει συναγερμό. Από την παραπάνω εξίσωση εύκολα προκύπτει το κατάλληλο n ως συνάρτηση του δ για τις προεπιλεγμένες τιμές του παραδείγματος και για 3-σ όρια ελέγχου: n = ( ) 2 L p(1 p) = 234 δ Πρέπει να σημειωθεί ότι ακολουθήθηκαν οι οδηγίες του Duncan (1986) για την προσέγγιση της διωνυμικής από την κανονική κατανομή μόνο σε περίπτωση που pn 5, κάτι που μπορούμε να ελέγξουμε αναδρομικά στην περίπτωσή μας αφού pn 16. Ο ίδιος ο Duncan (1986) επισημαίνει ότι όταν η παραπάνω συνθήκη δεν ικανοποιείται (αλλά αντιθέτως ισχύει pn < 5) τότε είναι καταλληλότερη η προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής από την Poisson με παράμετρο λ = pn (όπως φαίνεται και από το εποπτικό γράφημα των δυνατών προσεγγίσεων στο σχήμα 2.1). Στην περίπτωση που η πιθανότητα γ είναι διαφορετική από 50%, π.χ. 90%, η διαδικασία είναι παρόμοια και αντιμετωπίζεται λύνοντας την εξίσωση Prob(p 1 > UCL) = Για τις ίδιες τιμές των p, p 1 (και άρα δ) και με δεδομένη την κανονική προσέγγιση της κατανομής του p έχουμε:

38 24 Κεφάλαιο 2 Διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών Σχήμα 2.1 Προσεγγιστικές ισοδυναμίες κατανομών πιθανοτήτων (Β: διωνυμική, Ν: κανονική και P: Poisson). ( Prob(p > UCL) = 0.90 Prob ) ( Z > UCL p δ σ p Z > UCL E(p ) σ p Prob = 0.90 p(1 p) δ = ( )σ p = ( ) n = 477 n ) = 0.90 όπου είναι η τιμή την οποία υπερβαίνει μια μεταβλητή που ακολουθεί την τυπική κανονική κατανομή με πιθανότητα 90%, Z η τυποποιημένη μεταβλητή Z = p E(p ), ενώ προφανώς ισχύει ότι σ p σ p = σ p. O Duncan (1986) καταλήγει ότι εκτός από περιπτώσεις όπου το κόστος των λανθασμένων συναγερμών είναι πολύ υψηλό (τουλάχιστον 500 φορές μεγαλύτερο από το κόστος επιθεώρησης κάθε προϊόντος), τα όρια ελέγχου πρέπει να είναι σχεδιασμένα έτσι ώστε η διεργασία να θεωρείται εκτός ελέγχου μετά την ανίχνευση δυο ή περισσοτέρων ελαττωματικών προϊόντων. Το δε μέγεθος του δείγματος, όπως φαίνεται και από τη σχέση (2.3), είναι συνάρτηση του μεγέθους της απόκλισης και μετά από πολλές πρακτικές δοκιμές ο Duncan (1986) ισχυρίζεται ότι για απόκλιση από p = 0.01 σε p = 0.06, βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται για 30 < n < 70. Συμπληρωματικά των παραπάνω τεχνικών ο Montgomery (2008) προτείνει τον προσδιορισμό του n έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η θετικότητα του κάτω ορίου ελέγχου του διαγράμματος: LCL = p L p(1 p) n > 0 n > 1 p p L2 (2.4)

39 2.2 Διαγράμματα ελέγχου ποσοστού ελαττωματικών προϊόντων (p-charts) 25 Για παράδειγμα, για την προαναφερόμενη τιμή του p = 0.05, προκύπτει από τη σχέση (2.4) ότι n > 171. Πρέπει τέλος να σημειωθεί ότι όλες οι παραπάνω προτάσεις για το σχεδιασμό του p-chart έγιναν με την προϋπόθεση ότι η κατανομή του ποσοστού των μη ελαττωματικών προϊόντων p είναι διωνυμική και τα διαδοχικά παραγόμενα προϊόντα ανεξάρτητα μεταξύ τους. Οποιαδήποτε παραβίαση αυτών των υποθέσεων (που μπορεί εύκολα να συμβεί σε ρεαλιστικές συνθήκες παραγωγής) υποβιβάζει σοβαρά την αξιοπιστία του εφαρμοζόμενου διαγράμματος ελέγχου Χαρακτηριστική συνάρτηση λειτουργίας των p-charts Για την αξιολόγηση ενός διαγράμματος ελέγχου συχνά χρησιμοποιείται, εκτός του ARL, η χαρακτηριστική συνάρτηση λειτουργίας (operating-characteristic function ή συντομογραφικά OC) που στην περίπτωση των p-charts αποτελεί τη γραφική απεικόνιση της πιθανότητας εσφαλμένης αποδοχής της υπόθεσης εντός ελέγχου κατάστασης (δηλαδή του σφάλματος τύπου ΙΙ που θα συμβολίζεται με β), προς το ποσοστό των ελαττωματικών προϊόντων. Η γραφική παράσταση της χαρακτηριστικής συνάρτησης λειτουργίας ουσιαστικά απεικονίζει το μέτρο της ευαισθησίας του διαγράμματος ελέγχου, δηλαδή την ικανότητά του να εντοπίζει μεταβολές του επιπέδου ποιότητας από την επιθυμητή τιμή p στην τιμή p. Η πιθανότητα του σφάλματος τύπου ΙΙ μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: β = Prob{p < UCL p} Prob{p LCL p} Υπενθυμίζεται ότι p = X/n, όπου X το πλήθος των ελαττωματικών προϊόντων σε ένα δείγμα μεγέθους n. Συνεπώς, η παραπάνω εξίσωση γράφεται: β = Prob{X < nucl p} Prob{X nlcl p} όπου η μεταβλητή X ακολουθεί τη γνωστή διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n και p. Για λόγους εποπτείας, παρατίθεται συγκεκριμένο παράδειγμα κατασκευής της χαρακτηριστικής καμπύλης ενός p-chart με παραμέτρους n = 100, LCL = 0.02 και UCL = 0.2. Για αυτές τις τιμές των ορίων ελέγχου, η πιθανότητα β γράφεται: β = Prob{X < p} Prob{X p} = Prob{X < 20 p} Prob{X 2 p} Ο πίνακας 2.1 περιέχει τις τιμές των πιθανοτήτων β των σφαλμάτων τύπου ΙΙ για διάφορες ενδεικτικές τιμές του επιπέδου ποιότητας p. Απεικονίζοντας γραφικά τις πιθανότητες β για όλες τις δυνατές τιμές του p (στην περίπτωσή μας η πιθανότητα β καθίσταται αμελητέα για p > 0.7) προκύπτει το γράφημα του σχήματος 2.2 που είναι ενδεικτικό μιας τυπικής χαρακτηριστικής καμπύλης λειτουργίας. Παρατηρώντας το, είναι εύκολο να εντοπίσει κανείς τις τιμές του επιπέδου ποιότητας p

40 26 Κεφάλαιο 2 Διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών Πίνακας 2.1 Πιθανότητες σφάλματος τύπου ΙΙ (β) για το p-chart (n = 100, LCL = 0.02 και UCL = 0.2). p β = Prob{X < 20 p} Prob{X 2 p} για τις οποίες η πιθανότητα β μειώνεται και άρα το διάγραμμα καθίσταται περισσότερο αποδοτικό. Μάλιστα το ίδιο γράφημα μπορεί να βοηθήσει στον άμεσο υπολογισμό του ARL. Για το συγκεκριμένο παράδειγμα είναι προφανές (είτε από το σχήμα 2.2 είτε από τον πίνακα 2.1) ότι το εντός ελέγχου ARL 0 για p = 0.1 είναι: ARL 0 = 1 α = 1 1 β 360 Αυτό σημαίνει ότι όταν η διεργασία είναι εντός ελέγχου, είναι πιθανή η εσφαλμένη ανίχνευση εκτός ελέγχου παρατήρησης μετά από 360 προϊόντα. Υπενθυμίζεται ότι τιμές για το ARL 0 κοντά στο 370 θεωρούνται τυπικές των διαγραμμάτων Shewhart με όρια ελέγχου της μορφής 3-σ. Για τον υπολογισμό του ARL 1 όταν, για παράδειγμα, p = 0.15, έχουμε: ARL 1 = 1 α 15 Ερμηνεύοντας το ARL 1, μπορούμε να πούμε ότι όταν η διεργασία βρίσκεται εκτός ελέγχου σε επίπεδο ποιότητας p = 0.15, απαιτείται ο έλεγχος τουλάχιστον 15 προϊόντων μέχρι η διεργασία να κριθεί εκτός ελέγχου. Επίσης, μέσω της χαρακτηριστικής καμπύλης είναι εύκολο να συσχετίσει κανείς και εποπτικά το ARL με το μέγεθος n του δείγματος. Εν γένει, αύξηση του n οδηγεί σε μεγαλύτερες τιμές της πιθανότητας α = 1 β και κατά συνέπεια σε μικρότερο ARL 1, δηλαδή σε πιο ευαίσθητο διάγραμμα ελέγχου.

41 2.3 Διαγράμματα ελέγχου ελαττωμάτων ανά μονάδα προϊόντων 27 Σχήμα 2.2 Χαρακτηριστική καμπύλη λειτουργίας p-chart με n = 100, LCL = 0.02 και UCL = Διαγράμματα ελέγχου ελαττωμάτων ανά μονάδα προϊόντων Διαγράμματα ελέγχου πλήθους ελαττωμάτων ανά μονάδα προϊόντων σε σταθερό δείγμα (c-charts) Σε πολλές περιπτώσεις διεργασιών ο χαρακτηρισμός ενός προϊόντος ως ελαττωματικού ή μη, εξαρτάται από το πλήθος των ελαττωμάτων (defects ή nonconformities) που ενσωματώνει. Ειδικά στο χώρο κατασκευής υπολογιστών, μια πλακέτα ολοκληρωμένου κυκλώματος μπορεί να κρίνεται ελαττωματική μετά τον εντοπισμό τεσσάρων ή και περισσότερων ελαττωμάτων που την καθιστούν μη λειτουργική. Είναι προφανές ότι σε περιπτώσεις όπως η προαναφερόμενη, η μελέτη του πλήθους των ελαττωμάτων μπορεί να αποδειχθεί πιο χρήσιμη και να παρέχει περισσότερη πληροφορία από τη μελέτη του συνολικού ποσοστού ελαττωματικών προϊόντων. Τα διαγράμματα που απεικονίζουν το συνολικό πλήθος των ελαττωμάτων σε μια μονάδα προϊόντων (που μπορεί ανάλογα με τη δομή της διεργασίας να περιέχει συνηθέστερα ένα και σπανιότερα περισσότερα προϊόντα) είναι γνωστά και ως c-charts. Θεωρώντας δεδομένο ότι το πλήθος των ελαττωμάτων μπορεί να είναι άπειρο και ότι η πιθανότητα εμφάνισης ενός ελαττώματος σε συγκεκριμένο σημείο της διεργασίας είναι μικρή και σταθερή, τα c-charts μπορούν να μοντελοποιηθούν με την κατανομή Poisson. Συνεπώς, σε μια μονάδα προϊόντων με x ελαττώματα, σύμφωνα με την κατανομή Poisson, θα ισχύει:

42 28 Κεφάλαιο 2 Διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών Prob(X = x) = e c c x, x = 0, 1, 2,... x! όπου c > 0 είναι η παράμετρος της κατανομής Poisson που ταυτίζεται με τη μέση τιμή και τη διασπορά της και πρακτικά εκφράζει το μέσο αριθμό ελαττωμάτων σε μια μονάδα προϊόντων. Το τυπικό c-chart λοιπόν ορίζεται ως εξής: UCL = c + 3 c CL = c LCL = c 3 c Προφανώς, η θετικότητα του LCL είναι απαιτητή. Στην περίπτωση που LCL < 0 γίνεται η παραδοχή ότι LCL = 0. Όταν δεν είναι γνωστή η παράμετρος c, αυτή μπορεί να εκτιμηθεί στο πλαίσιο της εφαρμογής της φάσης τύπου Ι. Έχει αποδειχθεί ότι η Poisson κατανομή παρουσιάζει ικανοποιητική ανθεκτικότητα σε σχετικά μικρές αποκλίσεις από τις υποθέσεις της και κατά συνέπεια είναι η πλέον κατάλληλη για τη μοντελοποίηση των περισσότερων c-charts. Ωστόσο, υπάρχουν διεργασίες με ιδιάζοντα χαρακτηριστικά όπου η κατανομή Poisson κρίνεται ανεπαρκής και αναποτελεσματική. Χαρακτηριστικό είναι το παράδειγμα διεργασιών όπου τα ελαττώματα εμφανίζονται κατά συστάδες (clusters). Σε αυτές τις διεργασίες διακρίνονται δυο συνδυαζόμενες κατανομές: η κατανομή που περιγράφει το χρόνο και τον αριθμό των εμφανιζόμενων συστάδων ελαττωμάτων και η δευτερεύουσα κατανομή που περιγράφει το πλήθος των ελαττωμάτων σε κάθε συστάδα. Πλήθος περιπτώσεων συνδυασμού διαφορετικών κατανομών μελετάται από τον Jackson (1972) Διαγράμματα ελέγχου μέσου αριθμού ελαττωμάτων ανά μονάδα προϊόντων σε σταθερό δείγμα (u-charts) Στα c-charts κάθε δείγμα προς επιθεώρηση ταυτίζεται ουσιαστικά με κάθε μονάδα προϊόντων. Υπάρχουν, ωστόσο, και διεργασίες όπου για διάφορους λόγους η ταύτιση αυτή δεν είναι πρακτικά εφαρμόσιμη αλλά αντιθέτως υπάρχει η ανάγκη συλλογής πολλών μονάδων σε κάθε δείγμα ώστε να είναι αυξημένη η πιθανότητα εμφάνισης ελαττωμάτων. Στην περίπτωση αυτή όπου το εκάστοτε λαμβανόμενο δείγμα περιέχει n μονάδες προϊόντων, ορίζεται η εξής νέα μεταβλητή του μέσου πλήθους ελαττωμάτων ανά επιθεωρούμενη μονάδα: u = X n όπου X είναι η μεταβλητή του πλήθους των ελαττωμάτων ανά μονάδα προϊόντων και ακολουθεί την κατανομή Poisson. Το διάγραμμα ελέγχου που απεικονίζει τις τιμές της μεταβλητής u καλείται u-chart και ορίζεται ως εξής:

43 2.3 Διαγράμματα ελέγχου ελαττωμάτων ανά μονάδα προϊόντων 29 u UCL = u + 3 n CL = u (2.5) u LCL = u 3 n Επειδή σε ρεαλιστικές συνθήκες είναι δύσκολο να είναι γνωστή η τιμή της μεταβλητής u, συνηθίζεται να χρησιμοποιείται ένας εκτιμητής û του u που προέρχεται από κατάλληλες εκτιμήσεις στο πλαίσιο της φάσης τύπου Ι Διαγράμματα ελέγχου ελαττωμάτων ανά μονάδα προϊόντων σε μη σταθερό δείγμα Βασική προϋπόθεση των διαγραμμάτων ελέγχου που αναπτύχθηκαν στις δύο προηγούμενες παραγράφους είναι η σταθερότητα του μεγέθους n του δείγματος. Ωστόσο, δεν είναι σπάνιες οι περιπτώσεις που λόγω τεχνικών περιορισμών δεν είναι εφικτή η ικανοποίηση αυτής της υπόθεσης. Όταν λοιπόν το n είναι κυμαινόμενο, τότε προφανώς κυμαίνεται και το c οδηγώντας στην περίπτωση του c-chart σε μεταβλητή κεντρική γραμμή και όρια ελέγχου καθιστώντας το διάγραμμα πρακτικά ανεφάρμοστο. Το u-chart είναι λιγότερο δύσχρηστο καθώς η κεντρική γραμμή παραμένει σταθερή και μεταβάλλονται μόνο τα όρια ελέγχου. Σύμφωνα με τον Montgomery (2008) το πρόβλημα των μεταβλητών ορίων ελέγχου των u-charts, μπορεί να αντιμετωπιστεί ικανοποιητικά και μάλιστα με δύο διαφορετικές προσεγγίσεις: i. τη χρήση ορίων ελέγχου όπως στη σχέση (2.5) χρησιμοποιώντας το μέσο μέγεθος των εισερχόμενων δειγμάτων n = m i=1 n i/m αντί για n, όπου m είναι το πλήθος των λαμβανόμενων δειγμάτων, ii. τη χρήση των λεγόμενων τυποποιημένων διαγραμμάτων ελέγχου, δηλαδή διαγραμμάτων απεικόνισης των τυποποιημένων τιμών Z i = (u i ū)/ της μεταβλητής u, όπου ū είναι η εκτιμώμενη μέση τιμή των u i. Λόγω της εξομαλυντικής δράσης της διαδικασίας τυποποίησης, η μορφή αυτή των u-charts χρησιμοποιείται και στις περιπτώσεις όπου απαιτείται εκτός από την έγκαιρη ανίχνευση αποκλίσεων, αναγνώριση μη τυχαίων προτύπων οφειλόμενων σε συστηματικές αιτίες Χαρακτηριστική συνάρτηση λειτουργίας των διαγραμμάτων ελέγχου ελαττωμάτων Ο προσδιορισμός της χαρακτηριστικής συνάρτησης λειτουργίας των u και c-charts, και η απεικόνιση της αντίστοιχης γραφικής τους παράστασης απαιτούν απλώς τον υπολογισμό της πιθανότητας ū n i

44 30 Κεφάλαιο 2 Διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών Πίνακας 2.2 Πιθανότητες σφάλματος τύπου ΙΙ (β) για το c-chart (LCL = 5 και UCL = 25). p β = Prob{X < 25 c} Prob{X 5 c} του σφάλματος τύπου ΙΙ. Αυτή είναι: i. Για το c-chart: β = Prob{X < UCL c} Prob{X LCL c}, όπου X η τυχαία μεταβλητή που δηλώνει το πλήθος των ελαττωμάτων και ακολουθεί Poisson κατανομή με παράμετρο c. Στον πίνακα 2.2 παρατίθενται οι πιθανότητες β για ενδεικτικές τιμές της παραμέτρου c του διαγράμματος ελέγχου και για LCL = 5 και UCL = 25, ενώ στο σχήμα 2.3 απεικονίζεται η καμπύλη της χαρακτηριστικής συνάρτησης για τις ίδιες τιμές των ορίων ελέγχου. ii. Για το u-chart: β = Prob{u < UCL u} Prob{u LCL u} = Prob{x < nucl u} Prob{x nlcl u} = Prob{nLCL < x nucl u} = [nucl] x= nlcl e nu (nu) x, x! όπου nlcl, εκφράζει τον μεγαλύτερο ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος του nlcl. Στο σχήμα 2.4 απεικονίζεται η καμπύλη της χαρακτηριστικής συνάρτησης για LCL=2, UCL=20 και n = 100.

45 2.3 Διαγράμματα ελέγχου ελαττωμάτων ανά μονάδα προϊόντων 31 Σχήμα 2.3 Χαρακτηριστική καμπύλη λειτουργίας c-chart με LCL = 5 και UCL = 25. Σχήμα 2.4 Χαρακτηριστική καμπύλη λειτουργίας u-chart με LCL = 2 και UCL = 20.

46 32 Κεφάλαιο 2 Διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών 2.4 Γεωμετρικά Διαγράμματα Ελέγχου Η αυτοματοποίηση που έχει κυριαρχήσει σε κάθε τομέα της βιομηχανικής παραγωγής έχει ελαχιστοποιήσει το πλήθος των παραγόμενων ελαττωματικών προϊόντων δημιουργώντας την ανάγκη ανάπτυξης διαγραμμάτων ελέγχου μεγάλης ευαισθησίας ειδικά προσαρμοσμένων σε αυτές. Τα διαγράμματα αυτά είναι ευρέως γνωστά ως διαγράμματα ελέγχου διεργασιών υψηλής ποιότητας ή απόδοσης (control charts for high yield processes). Ως διεργασίες υψηλής ποιότητας αναφέρονται συνήθως αυτές όπου το ποσοστό p των ελαττωματικών προϊόντων είναι της τάξης του εκατομμυριοστού (parts per million ή συντομότερα ppm) ή του δισεκατομμυριοστού (parts per billion, ppb). Τα παραδοσιακά διαγράμματα ελέγχου που βασίζονται στην επιθεώρηση του ποσοστού των ελαττωματικών προϊόντων μέσα σε ένα δείγμα (p-charts) ή στην καταμέτρηση του πλήθους των ελαττωματικών προϊόντων σε αυτό (np-charts) αποδεικνύονται ανεπαρκή για την επιθεώρηση τέτοιων διεργασιών, καθώς χαρακτηρίζονται από υψηλό ποσοστό εσφαλμένων σημάτων (false alarms). Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται εν μέρει από τη διεθνή βιβλιογραφία και πρακτική με διαγράμματα ελέγχου βασισμένα σε γεωμετρικές απαριθμήσεις (geometric counts), δηλαδή στο πλήθος των προϊόντων μεταξύ δύο ελαττωματικών οι οποίες είναι γνωστό ότι ακολουθούν γεωμετρική κατανομή. Τα διαγράμματα ελέγχου που παρακολουθούν και καταγράφουν τις γεωμετρικές απαριθμήσεις είναι επίσης γνωστά (βλέπε Goh (1987)) και ως συσσωρευτικά διαγράμματα μέτρησης των μη ελαττωματικών προϊόντων (cumulative count of conforming control charts). O Calvin (1983) ήταν ο πρώτος που εξερεύνησε τα πλεονεκτήματα των γεωμετρικών απαριθμήσεων στα διαγράμματα ελέγχου και ακολούθησε ο Goh (1987). Στη συνέχεια ο Quesenberry (1995) ανέπτυξε πλήθος διαγραμμάτων ελέγχου χρησιμοποιώντας το στατιστικό Q, που καθορίζεται από την αντίστροφη συνάρτηση κατανομής της τυπικής κανονικής κατανομής και το p. Λίγο αργότερα οι McCool and Joyner-Motley (1998) ανέπτυξαν διαγράμματα τύπου Shewhart και EWMA αξιοποιώντας τις ιδιότητες των μετασχηματισμών X 1/3.6 και lnx. Οι προαναφερθέντες μετασχηματισμοί έχουν ως στόχο την προσέγγιση της κανονικής κατανομής, ώστε να είναι θεωρητικά θεμελιωμένη η χρήση προηγμένων μεθόδων ανίχνευσης όπως το CUSUM και το EWMA. Ωστόσο η εφαρμογή τέτοιου είδους μετασχηματισμών δημιουργεί συχνά προβλήματα φυσικής τους ερμηνείας λόγω της αυξημένης πολυπλοκότητάς τους. Λίγο αργότερα ο Bourke (2001) εξερεύνησε τη χρήση του CUSUM σε γεωμετρικές απαριθμήσεις χαρακτηρίζοντας τα προκύπτοντα διαγράμματα ελέγχου ως run-length διαγράμματα ελέγχου (RL control charts). Μάλιστα κατασκεύασε και μελέτησε διαγράμματα ελέγχου τόσο του RL1 (όπου RL1 είναι η πιο πρόσφατη ροή μη ελαττωματικών προϊόντων) όσο και του RL2 (το άθροισμα των δυο πιο πρόσφατων ροών μη ελαττωματικών προϊόντων που όπως θα δούμε και αργότερα ακολουθεί τη αρνητική διωνυμική κατανομή). Ο ίδιος σε μια μετέπειτα εργασία του (Bourke (2001)) γενικεύει τη χρήση ροών μη ελαττωματικών προϊόντων σε CUSUM διαγράμματα ελέγχου και υιοθετεί την ορολογία «γεωμετρικά διαγράμματα» ελέγχου (geomeric control charts). Αυτός ο χαρακτηρισμός θα χρησιμοποιείται και σε όλη την έκταση της παρούσας διατριβής για τα διαγράμματα ελέγχου ροών μη ελαττωματικών προϊόντων. Πλήθος άλλων ερευνητών μελέτησαν επίσης τα γεωμετρικά διαγράμ-

47 2.4 Γεωμετρικά Διαγράμματα Ελέγχου 33 ματα ελέγχου και μεταξύ αυτών ξεχωρίσουν οι εργασίες των Xie and Goh (1992), Ermer (1995), Glushkovsky (1994), McCool and Joyner-Motley (1998), Wu and Spedding (1999). Στην παράγραφο αυτή θα επιχειρηθεί μια βιβλιογραφική επισκόπηση της γέννησης και της μέχρι πρόσφατα εξέλιξης των απλών γεωμετρικών διαγραμμάτων ελέγχου, δηλαδή αυτών όπου δεν εμπλέκονται επιπρόσθετα στατιστικά όπως είναι το EWMA και το CUSUM. Στόχος είναι η ανάδειξη των χαρακτηριστικών τους που τα καθιστούν ιδανικά στατιστικά εργαλεία για την εφαρμογή τους σε διεργασίες υψηλής ποιότητας Πιθανοθεωρητικά όρια ελέγχου Η ανεπάρκεια των παραδοσιακών διαγραμμάτων ελέγχου για την παρακολούθηση διεργασιών υψηλής απόδοσης έγκειται στο γεγονός ότι σε αυτές το πλήθος των ελαττωματικών προϊόντων είναι τόσο μικρό που καθιστούν τα όρια ελέγχου πρακτικώς περιττά αφού οδηγούν σε μη ανεκτό αριθμό εσφαλμένων συναγερμών (false alarms) και φυσικά σε αδυναμία ανίχνευσης πιθανών βελτιώσεων της ποιότητας. Τα γεωμετρικά διαγράμματα ελέγχου βασίζονται στην ιδέα ότι ο αριθμός των μη ελαττωματικών προϊόντων μεταξύ δυο ελαττωματικών μεταβάλλεται όταν το ποσοστό p των ελαττωματικών διαφοροποιείται υπό την επίδραση κάποιας συστηματικής αιτίας. Σε σχεδόν ZD (zero defective) διεργασίες, οι μεταβολές του ποσοστού των ελαττωματικών προϊόντων είναι πολύ μικρές κατά απόλυτα μεγέθη και κατά συνέπεια σχεδόν αδύνατη η ανίχνευση τους. Ωστόσο, οι γεωμετρικές απαριθμήσεις, δηλαδή το πλήθος των μη ελαττωματικών προϊόντων μεταξύ δυο ελαττωματικών, είναι μέγεθος σαφώς μεγαλύτερο κατά απόλυτη τιμή και κατά συνέπεια πιο εύκολα διαχειρίσιμο και ανιχνεύσιμο από κατάλληλο διάγραμμα ελέγχου. Ο τρόπος λειτουργίας των γεωμετρικών διαγραμμάτων ελέγχου είναι παρόμοιος με των απλών Shewhart διαγραμμάτων με μοναδική διαφορά ότι μετρούμενο μέγεθος είναι το πλήθος των μη ελαττωματικών προϊόντων μετά το τελευταίο ελαττωματικό. Αυτή είναι η τιμή που παριστάνεται γραφικά στο διάγραμμα ελέγχου κάθε φορά που εντοπίζεται ένα νέο ελαττωματικό προϊόν. Παρακάτω παρουσιάζεται μια θεωρητική προσέγγιση των πιθανοθεωρητικών ορίων ελέγχου για τα γεωμετρικά διαγράμματα. Έστω X η τυχαία μεταβλητή που δηλώνει το πλήθος των μη ελαττωματικών προϊόντων μεταξύ δύο ελαττωματικών δηλαδή το μήκος της τελευταίας ροής μη ελαττωματικών προϊόντων. Θεωρούμε επίσης ότι η διεργασία είναι εντός ελέγχου, δηλαδή το μέσο μακροπρόθεσμο ποσοστό ελαττωματικών προϊόντων ή αλλιώς η πιθανότητα ένα προϊόν να είναι ελαττωματικό είναι p. Προφανώς η μεταβλητή X ακολουθεί τη γεωμετρική κατανομή με παράμετρο p, δηλαδή: ενώ επίσης ισχύει: Prob(X = k) = (1 p) k p, k = 0, 1, 2,...

48 34 Κεφάλαιο 2 Διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών Prob(X < k) = 1 (1 p) k, k = 0, 1, 2,... (2.6) Όταν η διεργασία είναι εντός ελέγχου, χωρίς την παρουσία συστηματικών αιτιών, τότε οι τιμές της X κυμαίνονται γύρω από την κεντρική γραμμή (center line), γνωστή και ως τιμή στόχος (target value), η οποία προφανώς ταυτίζεται με τη μέση τιμή της γεωμετρικής κατανομής: CL = 1/p. Υποθέτουμε επίσης ότι όταν η διεργασία είναι εντός ελέγχου, η μεταβλητή X παίρνει σπάνια τιμές εκτός των ορίων ελέγχου και μάλιστα με πιθανότητα α. Όπως έχει αναφερθεί, η πιθανότητα α είναι ουσιαστικά η πιθανότητα εσφαλμένου συναγερμού (false alarm probability) και αποτελεί το σφάλμα τύπου Ι της διεργασίας. Τα όρια ελέγχου της διεργασίας μπορούν να υπολογιστούν εύκολα θεωρώντας ότι πρέπει να ικανοποιούν τις εξισώσεις: και Prob(X < LCL εντός ελέγχου διεργασία ) α/2 Prob(X > UCL εντός ελέγχου διεργασία ) α/2 Με τη βοήθεια των παραπάνω εξισώσεων και της σχέσης (2.6) προκύπτει: και UCL = ln(α/2) ln(1 p) ln(1 α/2) LCL = ln(1 p) Η γεωμετρική κατανομή της X χαρακτηρίζεται από μεγάλη λοξότητα και κατά συνέπεια τα όρια ελέγχου θα παρουσιάζουν έντονη ασυμμετρία. Για να αντιμετωπιστεί το πρόβλημα αυτό ο Bourke (1991) προτείνει τον λογαριθμικό μετασχηματισμό της μεταβλητής X και των ορίων ελέγχου της ή την αναγωγή των τιμών της X στο διάστημα (0, 1). Στη δεύτερη περίπτωση υπολογίζεται και αναπαρίσταται γραφικά όχι η τιμή της X, αλλά η τιμή της πιθανότητας α που για μήκος ροής k είναι ίση με: α = Prob(X k) = 1 (1 p) k+1, k = 0, 1,... Το διάγραμμα που προκύπτει από την γραφική αναπαράσταση της πιθανότητας α είναι γνωστό και ως a-chart (βλέπε Bourke (1991)) και θεωρείται ιδιαίτερα πρακτικό γιατί όταν η διεργασία είναι εντός ελέγχου οι τιμές της πιθανότητας α κατανέμονται σχεδόν ομοιόμορφα στο διάστημα (0, 1) καθιστώντας τα σημεία του διαγράμματος που δεν προσαρμόζονται στην ομοιόμορφη κατανομή εύκολα αναγνωρίσιμα. Προφανώς, στην περίπτωση αυτού του διαγράμματος, κατώτατο όριο ελέγχου της τάξης του 1% αντιστοιχεί σε περιορισμό των αποδεκτών τιμών του α σε τιμές μεγαλύτερες από 0.01.

49 2.4 Γεωμετρικά Διαγράμματα Ελέγχου Πιθανότητα α και επίπεδο βεβαιότητας s Ακολουθώντας την ίδια πρακτική με όλα τα παραδοσιακά διαγράμματα ελέγχου, τα γεωμετρικά διαγράμματα προϋποθέτουν σταθεροποιημένη (steady state) τιμή του ποσοστού p των ελαττωματικών προϊόντων και μια προαποφασισμένη τιμή για την ανεκτή πιθανότητα εσφαλμένης σήμανσης α. Ωστόσο, σε διεργασίες υψηλής ποιότητας το p παίρνει εξαιρετικά μικρές τιμές και είναι ιδιαίτερα ευαίσθητο σε μικρές διακυμάνσεις της μέσης τιμής της διεργασίας. Στις περιπτώσεις αυτές είναι χρήσιμο η τιμή του α να μην είναι αυστηρά καθορισμένη εξαρχής, αλλά να μπορεί να πάρει διάφορες τιμές διαδραματίζοντας το ρόλο μιας παραμέτρου διαστήματος εμπιστοσύνης. Ο ρόλος αυτός της παραμέτρου α μελετήθηκε στο πλαίσιο ενός διαγράμματος των p, α, από τους Xie and Goh (1992) με σκοπό να βοηθήσει στον ταχύτερο χαρακτηρισμό μιας διεργασίας ως εντός ή εκτός ελέγχου. Πολλές φορές για λόγους απλότητας και καλύτερης φυσικής ερμηνείας, είναι πιο εύκολο να μελετά και να χρησιμοποιεί κανείς την πιθανότητα 1 α αντί της α. Η ποσότητα 1 α = (1 p) k+1 εκφράζει την πιθανότητα να μην έχει εντοπιστεί κανένα ελαττωματικό προϊόν όταν έχουν ελεγχθεί k από αυτά ή από διαφορετική οπτική γωνία, την πιθανότητα μετά τον εντοπισμό ενός ελαττωματικού προϊόντος, η διαδικασία να είναι εκτός ελέγχου. Οι Xie and Goh (1992) ονόμασαν την πιθανότητα αυτή επίπεδο βεβαιότητας (certainty level) s και προφανώς ισχύει: s = 1 α = (1 p) k+1, k = 0, 1,... (2.7) Εύκολα τώρα μπορεί να προκύψει ότι ο αριθμός των μη ελαττωματικών προϊόντων k που πρέπει να προηγούνται ενός ελαττωματικού ώστε η διεργασία να μην τεθεί εκτός ελέγχου είναι: k = lns ln(1 p) 1 Ο πίνακας 2.3 είναι ενδεικτικός της σχέσης των p και s: παραθέτει τη βεβαιότητα s ότι το ποσοστό των ελαττωματικών προϊόντων είναι μεγαλύτερο από p, όταν το παρατηρούμενο πλήθος των μη ελαττωματικών (ουσιαστικά της τιμής της μεταβλητής X) είναι μικρότερο από το αναγραφόμενο. Η χρησιμότητα της πιθανότητας s μπορεί να επεκταθεί και στην κατασκευή γραφημάτων γνωστών και ως γραφήματα αποφάσεων (decision graphs) που λειτουργούν ως νομογράμματα και έχουν στόχο τη διευκόλυνση εντοπισμού του (χρονικού) σημείου όπου η διεργασία τίθεται εκτός ελέγχου. Ένα χαρακτηριστικό γράφημα αποφάσεων είναι αυτό που φαίνεται στο σχήμα 2.5 το οποίο μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει, με δεδομένη την παράμετρο k, ως εξής: i. για δεδομένο επίπεδο ποιότητας p εύκολα υπολογίζεται το επίπεδο βεβαιότητας s. ii. για δεδομένο επίπεδο βεβαιότητας s μπορεί να υπολογιστεί το αντίστοιχο επίπεδο ποιότητας p και να βρεθεί αν αυτό είναι μεγαλύτερο από το μέγιστο ανεκτό επίπεδο p της διεργασίας.

50 36 Κεφάλαιο 2 Διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών Πίνακας 2.3 Σχέση της εισερχόμενης ποιότητας p και του επιπέδου βεβαιότητας s. Αν το πλήθος των μη ελαττωματικών προϊόντων είναι μικρότερο από τις τιμές του πίνακα, το ποσοστό των ελαττωματικών προϊόντων είναι μεγαλύτερο από p με βεβαιότητα s. s p iii. για δεδομένα p και s μπορεί να υπολογιστεί ο ελάχιστος αριθμός k μη ελαττωματικών προϊόντων που πρέπει να επιθεωρηθούν πριν βρεθεί ένα ελαττωματικό ώστε να θεωρείται η διεργασία εντός ελέγχου. Προχωρώντας ένα βήμα παραπάνω οι Xie et al. (2002) χρησιμοποίησαν την εκθετική κατανομή για να προσεγγίσουν την κατανομή της πιθανότητας s (δηλαδή της εξίσωσης (2.7)), σε περιπτώσεις διεργασιών πολύ υψηλής ποιότητας όπου p << 0.1: s = e kp, p << 0.1 Η παραπάνω εκθετική σχέση είναι ιδιαίτερα χρηστική γιατί μπορεί να αποκαλύψει τη γραμμική σχέση μεταξύ των lnp και lns. Πράγματι, λογαριθμίζοντας την προηγούμενη εξίσωση παίρνουμε: lnk + lnp = ln( lns) Η χρησιμότητα της ανάλυσης της σχέσης μεταξύ του p και της s δεν εξαντλείται απλά στον χαρακτηρισμό της διεργασίας ως εκτός ελέγχου, αλλά βοηθάει να προχωρήσουμε ένα βήμα παραπέρα: να εκτιμήσουμε το πραγματικό p για κατάλληλα επιλεγμένο s. Πρέπει, τέλος, να σημειωθεί ότι όλες οι τεχνικές που αναφέρθηκαν για τον έλεγχο μιας διεργασίας με τη βοήθεια των γεωμετρικών διαγραμμάτων ελέγχου μπορούν χωρίς περιορισμό της γενικότητας να εφαρμοστούν και σε περιπτώσεις όπου δεν υφίσταται η 100% επιθεώρηση των προϊόντων.

51 2.4 Γεωμετρικά Διαγράμματα Ελέγχου 37 Σχήμα 2.5 Γράφημα αποφάσεων για τον προσδιορισμό του ελάχιστου πλήθους k ελαττωματικών προϊόντων που χαρακτηρίζει τη διεργασία ως εκτός ελέγχου Όρια ελέγχου της μορφής L-σ Όταν δεν είναι γνωστή η πιθανότητα εσφαλμένου συναγερμού και δεν μπορεί εύκολα να εκτιμηθεί, μπορούν να χρησιμοποιηθούν τα παραδοσιακά 3-σ όρια ελέγχου. Οι Kaminsky et al. (1992) απέδειξαν ότι τα γεωμετρικά διαγράμματα με όρια ελέγχου τοποθετημένα σε απόσταση τριών τυπικών αποκλίσεων από τη μέση τιμή της γεωμετρικής κατανομής, είναι λειτουργικά. Έστω ότι σε μια διεργασία έχουν ανιχνευθεί n ροές δηλαδή n ελαττωματικά προϊόντα και κατά συνέπεια n γεωμετρικά κατανεμημένες παρατηρήσεις της μεταβλητής X. Το άθροισμα των παρατηρήσεων αυτών X = X 1 + X X n, ακολουθεί την αρνητική διωνυμική κατανομή, και άρα και η μεταβλητή Z = X n, η οποία θα έχει σ.π.π.: ( ) n + z 1 Prob(Z = z) = p n (1 p) z, z = 0, 1, 2,... n 1 και με μέση τιμή και διακύμανση αντίστοιχα: E(Z) = n(1 p)/p και V ar(z) = n(1 p)/p 2 Τα 3-σ όρια ελέγχου θα έχουν τη μορφή E(Z)±L V ar(z), όπου L είναι η σταθερή παράμετρος που δηλώνει σε πόσες τυπικές αποκλίσεις μακριά από τη μέση τιμή είναι τοποθετημένα τα όρια ελέγχου. Όπως είναι γνωστό, είθισται L = 3. Συνεπώς:

52 38 Κεφάλαιο 2 Διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών UCL = LCL = n(1 p) p n(1 p) p + L L n(1 p) p 2 n(1 p) p 2 Ο λόγος σχεδιασμού των ορίων ελέγχου σε απόσταση L-σ είναι προφανής για την περίπτωση επιθεώρησης κανονικών δεδομένων. Στην προκειμένη περίπτωση της αρνητικής διωνυμικής κατανομής, είναι γνωστό ότι αυτή μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά από την κανονική όταν το γινόμενο np είναι μεγάλο. Ωστόσο, στις διεργασίες υψηλής ποιότητας που μελετώνται στην παρούσα διατριβή, η τιμή του p είναι πολύ μικρή και συνεπώς για να θεωρείται αξιόπιστη η προαναφερθείσα προσέγγιση, θα πρέπει η τιμή του n να είναι πολύ μεγάλη. Η σχεδίαση των ορίων ελέγχου σε απόσταση L-σ, δημιουργεί επίσης σοβαρό πρόβλημα ως προς τον ορισμό του κάτω ορίου το οποίο σπάνια είναι θετικό, καθώς για να συμβαίνει αυτό θα πρέπει: n(1 p) p > L n(1 p) p 2 n(1 p) > L 2 p < 1 L 2 /n Αυτό σημαίνει ότι για συνήθεις τιμές των L και n, π.χ. για L = 3 και n = 5, θα πρέπει p < 0.8, κάτι που προφανώς είναι αδύνατο. Η λύση στο πρόβλημα αυτό είναι η χρήση των ορίων πιθανοτήτων, όπως αυτά περιγράφονται και αναλύονται από πλήθος ερευνητών όπως ο Duncan (1986) και οι Wetherill and Brown (1991). Χρησιμοποιώντας λοιπόν τα ακριβή όρια πιθανοτήτων, για να είναι το κατώτερο όριο ελέγχου θετικό, θα πρέπει: Prob(Z = 0) = p n < α/2 που είναι εύκολο στην πράξη. Αν για παράδειγμα n = 5 και α = , το LCL είναι αρνητικό όταν το p είναι μεγαλύτερο από Αθροιστικά διαγράμματα ελέγχου (CUSUM charts) Τα παραδοσιακά διαγράμματα ελέγχου τύπου Shewhart που παρουσιάστηκαν συνοπτικά στις προηγούμενες παραγράφους του παρόντος κεφαλαίου, είναι ιδιαίτερα αποτελεσματικά για την ανίχνευση μεγάλων αποκλίσεων όπως αυτές που συνήθως συναντώνται στη φάση Ι. Όταν όμως το ζητούμενο είναι η έγκαιρη ανίχνευση μικρών αποκλίσεων από τη μέση τιμή της διεργασίας (που συνήθως απαιτείται στη φάση ΙΙ), τότε, στην πλειονότητα των περιπτώσεων, αποδεικνύονται τουλάχιστον ανεπαρκή για πλήθος λόγων:

53 2.5 Αθροιστικά διαγράμματα ελέγχου (CUSUM charts) 39 i. τα όρια ελέγχου τους είναι βασισμένα στην κανονική κατανομή, και συνεπώς όταν η πραγματική υποκείμενη κατανομή που περιγράφει τη συμπεριφορά της διεργασίας είναι οποιαδήποτε άλλη με μεγαλύτερη λοξότητα (όπως για παράδειγμα η γεωμετρική που μελετήθηκε στην παράγραφο 2.2), θα υπάρχει μεγαλύτερη συχνότητα εσφαλμένων συναγερμών. ii. όπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή, τα διαγράμματα τύπου Shewhart παρουσιάζουν εγγενή αδυναμία να εντοπίσουν πολύ μικρές αποκλίσεις από τη μέση τιμή της διεργασίας, ειδικά όταν το μέγεθος του λαμβανόμενου δείγματος n είναι μικρό. iii. όταν, αντιθέτως, με σκοπό την ανίχνευση μικρότερων αποκλίσεων, επιλεγεί μεγάλο μέγεθος δείγματος n, τότε υπάρχει το μειονέκτημα ότι η κρίση για το αν η διεργασία βρίσκεται σε εκτός ελέγχου κατάσταση, λαμβάνεται στο τέλος κάθε δείγματος μεγέθους n. Αυτό σημαίνει πρακτικά ότι υπάρχει πιθανότητα σοβαρής υστέρησης στην ανίχνευση της εκτός ελέγχου κατάστασης που συνεπάγεται αισθητή μείωση στην αποτελεσματικότητα του διαγράμματος. Για την αποτελεσματική διαχείριση, λοιπόν, διεργασιών όπου απαιτείται η ανίχνευση πολύ μικρών αποκλίσεων, πριν ακόμη από την ανάπτυξη και τη χρήση των γεωμετρικών διαγραμμάτων ελέγχου, προτάθηκαν τα αθροιστικά διαγράμματα (Cumulative Sum charts ή συντομογραφικά CUSUΜ). Βασικό χαρακτηριστικό τους είναι ότι απεικονίζουν γραφικά ένα στατιστικό (το CUSUM) που υπολογίζεται από όλες τις προηγούμενες παρατηρήσεις και όχι μόνο από την τελευταία, εμπερικλείοντας περισσότερη πληροφορία και συνεπώς παρέχοντας αυξημένη ευαισθησία. Εμπνευστής τους είναι ο Page (1954) και αρχικά εφαρμόστηκαν σε ποσοτικά δεδομένα (κυρίως κανονικής κατανομής). Ωστόσο, η αλγοριθμική διαδικασία εφαρμογής του CUSUM εύκολα μπορεί να γενικευτεί για εφαρμογή σε οποιοδήποτε, σχεδόν, διάγραμμα ελέγχου. Στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής θα περιοριστούμε στην εφαρμογή του CUSUM σε διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών (attributes) ενώ στην παρούσα παράγραφο θα περιγραφεί συνοπτικά ο τρόπος λειτουργίας τους με εφαρμογή (χωρίς περιορισμό της γενικότητας) στα πιο διαδεδομένα διαγράμματα ποιοτικών μεταβλητών, στα p-charts. Στο πλαίσιο μιας σύντομης βιβλιογραφικής επισκόπησης, αναφέρεται ότι πρώτος ο Kemp (1962) παρουσίασε το διωνυμικό CUSUM (binomial CUSUM) διάγραμμα ελέγχου που εξετάζει το ποσοστό p ελαττωματικών προϊόντων με τη χρήση ενός CUSUM στατιστικού. Ο Gan (1993) μελέτησε περαιτέρω το διωνυμικό CUSUM και πρότεινε μεθόδους βέλτιστου σχεδιασμού του. Ακολούθησαν οι Reynolds and Stoumbos (1999) που ισχυρίστηκαν ότι η βέλτιστη μορφή διωνυμικού CUSUM επιτυγχάνεται, σε κάθε περίπτωση, όταν n = 1, δηλαδή όταν το διάγραμμα μεταπίπτει στην απλούστερη μορφή του, γνωστή και ως Bernoulli διάγραμμα CUSUM. Οι Chang and Gan (2001) επιβεβαίωσαν αυτό το αποτέλεσμα με αναλυτικές συγκρίσεις των Bernoulli, διωνυμικού και γεωμετρικού CUSUM διαγράμματος ελέγχου. Το γεωμετρικό CUSUM διάγραμμα ελέγχου χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Bourke (1991) και αναφέρεται στη χρήση των γεωμετρικών απαριθμήσεων (o Bourke προτιμάει τον όρο run-lengths) όπως αυτές ορίστηκαν στην παράγραφο 2.4. Αργότερα, ο Bourke (2001) προχώρησε σε συγκρίσεις του διωνυμικού και του γεωμετρικού CUSUM που βασίζονται στην τε-

54 40 Κεφάλαιο 2 Διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών λευταία ροή μη ελαττωματικών προϊόντων (RL 1 ) ή στο άθροισμα των δύο τελευταίων (RL 2 ), για να καταλήξει στην ανωτερότητα του δεύτερου. Τα παραπάνω CUSUM διαγράμματα χρησιμοποιούνται πλέον ως βάση αναφοράς για την αξιολόγηση νέων διαγραμμάτων ελέγχου. Στις επόμενες δυο υποπαραγράφους παρουσιάζεται ο τρόπος λειτουργίας του διωνυμικού, του Bernoulli και του γεωμετρικού CUSUM διαγράμματος ελέγχου Διωνυμικό και Bernoulli CUSUM διάγραμμα ελέγχου Το CUSUM διάγραμμα στην απλούστερη μορφή του, όπως προτάθηκε από τον Page (1954) για την ανίχνευση αυξήσεων στο ποσοστό p των ελαττωματικών προϊόντων, παράγεται από τη γραφική απεικόνιση του ακόλουθου CUSUM στατιστικού: S i = max(0, S i 1 + x i k), i = 1, 2,... όπου i είναι ο αριθμός του λαμβανόμενου δείγματος, k μια κατάλληλα επιλεγμένη σταθερά (σταθερά αναφοράς), x i το πλήθος των ελαττωματικών προϊόντων στο i-οστό δείγμα συγκεκριμένου μεγέθους, S 0 = u, με 0 u H και το H να είναι το (άνω) όριο ελέγχου του διαγράμματος. Το διάγραμμα θα σημάνει μετάβαση σε εκτός ελέγχου κατάσταση όταν S i > H. Οι παράμετροι σχεδιασμού του διαγράμματος είναι προφανώς η σταθερά k και το όριο ελέγχου H. Ο Gan (1993) έκανε χρήση του ακολουθιακού ελέγχου λόγου πιθανοφανειών (sequential probability ratio test ή αλλιώς SPRT) που επινοήθηκε από τον Moustakides (1986) και κατέληξε στον ακόλουθο τύπο για τον προσδιορισμό της βέλτιστης τιμής του k (ως προς την ταχύτητα ανίχνευσης της απόκλισης): k SPRT = nln [(1 p 0 )/(1 p 1 )] ln [(1 p 0 )/(1 p 1 )] ln(p 0 /p 1 ) όπου p 0 είναι η εντός ελέγχου τιμή στόχος του ποσοστού ελαττωματικών προϊόντων της διεργασίας και p 1 είναι η εκτός ελέγχου τιμή του p που πρέπει να ανιχνευθεί. Όσον αφορά στο όριο ελέγχου H του διαγράμματος, υπολογίζεται με τη μέθοδο «trial and error» με σκοπό την εξασφάλιση του εντός ελέγχου ARL 0. Για n 1 το προαναφερθέν διάγραμμα καλείται διωνυμικό διάγραμμα CUSUM ενώ διαφορετικά Bernoulli. Για την ανίχνευση μειώσεων στο ποσοστό p των ελαττωματικών προϊόντων η διαδικασία είναι παρόμοια με μόνη διαφορά τη γραφική απεικόνιση του εξής CUSUM στατιστικού: S i = max(0, S i 1 + k x i ), i = 1, 2,... Προφανώς, το διάγραμμα θα σημάνει τη μετάβαση σε εκτός ελέγχου κατάσταση και πάλι όταν S i > H. Η μελέτη της απόδοσης των παραπάνω διαγραμμάτων βασίζεται, κατά αναλογία με τα διαγράμματα τύπου Shewhart, στο ARL. Οι Reynolds and Stoumbos (1999) επικαλέστηκαν τρεις διαφορετικούς τρόπους για τον υπολογισμό του ARL:

55 2.5 Αθροιστικά διαγράμματα ελέγχου (CUSUM charts) 41 i. τη μαρκοβιανή μοντελοποίηση του CUSUM στατιστικού όπως προτείνουν οι Brook and Evans (1972) με βασικό μειονέκτημα τον, συγκριτικά με τις άλλες μεθόδους, μεγάλο υπολογιστικό φόρτο, που εκπορεύεται από τη δυσκολία αντιστροφής του πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης, ειδικά στην περίπτωση που αυτός είναι μεγάλων διαστάσεων (που συμβαίνει όταν η τιμή του p 0 είναι μικρή). ii. την ευθεία επίλυση των γραμμικών εξισώσεων που προκύπτουν από τη μαρκοβιανή μοντελοποίηση του CUSUM, όπως προτείνει και ο ίδιος ο Page (1954). Ωστόσο, και αυτή η μεθοδολογία επιφέρει μεγάλο υπολογιστικό φόρτο που καθιστά απαγορευτική την πρακτική εφαρμογή της. iii. ειδικές προσεγγιστικές μεθόδους που αναπτύχθηκαν από τον Wald (1973), και επιδέχονται διορθώσεις βασισμένες στη θεωρία διάχυσης. Η τεχνική αυτή καλείται από τους Reynolds and Stoumbos (1999) προσέγγιση διορθωμένης διάχυσης (corrected diffusion approximation) και παρά το γεγονός ότι οδηγεί σε εύκολους υπολογισμούς, δε θεωρείται ακριβής για όλο το εύρος τιμών των παραμέτρων του διαγράμματος. Η ραγδαία αύξηση της υπολογιστικής ισχύος τα τελευταία χρόνια επέτρεψε και καθιέρωσε στη συνήθη πρακτική του στατιστικού ελέγχου ποιότητας, την εφαρμογή της πρώτης μεθόδου η οποία με την κατάλληλη μοντελοποίηση των καταστάσεων της διεργασίας μπορεί να εφαρμοστεί σε σχεδόν οποιοδήποτε διάγραμμα ελέγχου. Η διαδικασία μαρκοβιανής μοντελοποίησης και εξαγωγής του ARL για τα CUSUM διαγράμματα ελέγχου μελετήθηκε εκτενώς από τους Brook and Evans (1972) Γεωμετρικό CUSUM διάγραμμα ελέγχου Το γεωμετρικό CUSUM διάγραμμα που πρότειναν οι Bourke (1991) και Chang and Gan (2001) ελέγχει τις γεωμετρικές απαριθμήσεις X, δηλαδή το πλήθος των ανεξάρτητων, μη ελαττωματικών προϊόντων μεταξύ δυο ελαττωματικών. Αύξηση του ποσοστού p ελαττωματικών προϊόντων οδηγεί σε μείωση του μήκους των ροών μη ελαττωματικών και ελέγχεται με τη βοήθεια του εξής CUSUM στατιστικού: G i = max(0, G i 1 + k x i ), i = 1, 2,... (2.8) όπου συνήθως θεωρείται ότι G 0 = 0. H σταθερά αναφοράς k θα δίνεται από τη σχέση: k = ln(p 1 /p 0 ) ln [(1 p 0 )/(1 p 1 )] όπου p 0 είναι η τιμή στόχος του επιπέδου της ποιότητας και p 1 είναι το ποσοστό των ελαττωματικών προϊόντων πέρα από το οποίο η διεργασία πρέπει να κριθεί εκτός ελέγχου. Όσο αυξάνεται η τιμή του p προς το p 1, το στατιστικό G i αυξάνει και θα σημάνει εκτός ελέγχου κατάσταση όταν υπερβεί μια κρίσιμη τιμή h, που παίζει το ρόλο του ορίου ελέγχου. (2.9)

56 42 Κεφάλαιο 2 Διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών Για την παρακολούθηση της μείωσης του p και άρα αύξησης του μήκους των ροών χρησιμοποιείται το στατιστικό: G + i = max(0, G i 1 + x i k), i = 1, 2,... (2.10) που θα σημάνει όταν G + i > H. Συχνά, για λόγους απλότητας, η σταθερά αναφοράς k και τα όρια ελέγχου H (ή h) τυποποιούνται στις ποσότητες k s και H s (ή h s ) ως εξής: k s = k = kp σ Xi 1 p H s = H σ Xi = Hp 1 p και h s = h σ Xi = hp 1 p Για την περιγραφή της απόδοσης του γεωμετρικού CUSUM διαγράμματος ελέγχου συνήθως δε χρησιμοποιείται το ARL αλλά το μέσο πλήθος επιθεωρούμενων προϊόντων μέχρι τη στιγμή που θα σημάνει εκτός ελέγχου κατάσταση (average number of items inspected until shift ή συντομογραφικά ANIS). Με δεδομένο το εντός ελέγχου ΑΝΙS 0, και της σταθεράς αναφοράς k (που δίνεται από τη σχέση (2.9)), η βελτιστοποίηση του διαγράμματος έγκειται στον προσδιορισμό του H για το οποίο ικανοποιείται το ΑΝΙS 0 και συγχρόνως ελαχιστοποιείται το εκτός ελέγχου ANIS 1. O Bourke (1991) χρησιμοποίησε τη μέθοδο της μαρκοβιανής μοντελοποίησης του CUSUM στατιστικού όπως προτείνουν στο πρωτοποριακό τους άρθρο οι Brook and Evans (1972) για να εξάγει το ARL (τόσο εντός όσο και εκτός ελέγχου) και από αυτό έπειτα υπολόγισε το ANIS (εντός ή εκτός ελέγχου), από τη σχέση: ARL = p ANIS (βλέπε και παράγραφο 3.3.4). Παρακάτω αναπτύσσεται η τεχνική αυτή για την περίπτωση της επιδείνωσης (αύξησης) του επιπέδου p της ποιότητας. Υπολογισμός του ΑΝΙS Το στατιστικό CUSUM στην περίπτωση αύξησης του p δίνεται από τη σχέση (2.8). Έστω t ο δείκτης για τον οποίο ισχύει G t > h, ενώ για κάθε i < t ισχύει G i < h. Με σκοπό να πετύχουμε ακριβή προσδιορισμό του ARL το οποίο παίρνει ρητές τιμές, γράφουμε τόσο τη σταθερά αναφοράς k όσο και το όριο ελέγχου h ως ρητούς, δηλαδή: k = a/b και h = c/b, όπου a, b και c είναι θετικοί ακέραιοι. Τότε, το σύνολο των εντός ελέγχου καταστάσεων της διεργασίας μπορεί να γραφεί {G i = i/b, i = 0, 1, 2,..., c} και παρατηρώντας τη μορφή τους (βλέπε σχέση (2.8)) είναι προφανές ότι αποτελούν παροδικές καταστάσεις μαρκοβιανής αλυσίδας απορρόφησης. Η διεργασία τίθεται εκτός ελέγχου όταν G t > c/b και προφανώς η κατάσταση G t θεωρείται κατάσταση απορρόφησης. Για φορμαλιστικούς λόγους συμβολίζουμε με 1, 2,..., c + 1 τις παροδικές καταστάσεις {G i = i/b, i = 0, 1, 2,..., c} της μαρκοβιανής αλυσίδας και υπό αυτή τη θεώρηση, η κατάσταση απορρόφησης G t θα είναι η (c + 2)-οστή κατάσταση. Ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης της μαρκοβιανής αλυσίδας θα είναι:

57 2.5 Αθροιστικά διαγράμματα ελέγχου (CUSUM charts) 43 [ R P Õ T 1 ] = p 1,1 p 1,2... p 1,c+1 p 1,c+2 p 2,1 p 2,2... p 2,c+1 p 2,c p c+1,1 p c+1,2... p c+1,c+1 p c+1,c όπου p i,j δηλώνει την πιθανότητα μετάβασης της διεργασίας από την κατάσταση i στην κατάσταση j σε ακριβώς ένα βήμα και υπολογίζεται εύκολα για την περίπτωση του γεωμετρικού CUSUM. Συγκεκριμένα για το p i,1, i = 1, 2,..., c + 1, έχουμε: p i,1 = Prob ( G t = 0 G t 1 = (i 1)/b ) { Prob(X (α i + 1)/b, αν 0 (α i + 1)/b = 0, διαφορετικά Για τις πιθανότητες p i,j, με i = 1, 2,..., c + 1 και j = 2, 3,..., c + 1, έχουμε: p i,j = Prob ( G t = (j 1)/b G t 1 = (i 1)/b ) { Prob(X (α i + j)/b, αν 0 (α i + j)/b = 0, διαφορετικά Το διάνυσμα των ARL μπορεί να εξαχθεί από τον πίνακα R των πιθανοτήτων μετάβασης παροδικών καταστάσεων χρησιμοποιώντας ένα ευρέως γνωστό θεώρημα της θεωρίας των μαρκοβιανών αλυσίδων (βλέπε για παράδειγμα Brook and Evans (1972), Bourke (1991) και Βασιλείου (2000)) κατάλληλα προσαρμοσμένου στην ορολογία και στις μεταβλητές του γεωμετρικού CUSUM διαγράμματος ελέγχου: Θεώρημα. Αν N i είναι το μήκος ροής μη ελαττωματικών προϊόντων όταν η διεργασία ξεκινάει από την i-οστή κατάσταση (δηλαδή όταν G 0 = (i 1)/b) και µ i = E(N i ), τότε το διάνυσμα µ = (µ 1, µ 2,..., µ c+1 ) T είναι το διάνυσμα των ARL δεδομένου ότι η διεργασία ξεκινάει από την i-οστή κατάσταση και ισχύει: µ = (I R) 1 1 όπου 1 είναι το διάνυσμα στήλη των μονάδων και I ο μοναδιαίος πίνακας. Εκτός από την περίπτωση χρήσης αρχικής τιμής στο στατιστικό CUSUM (headstart), το ARL της διεργασίας εκφράζεται από το πρώτο στοιχείο του διανύσματος µ, δηλαδή ARL = µ 1. Τότε, το ANIS u για την ανίχνευση των προς τα πάνω αποκλίσεων του X θα υπολογίζεται ως εξής:

58 44 Κεφάλαιο 2 Διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών ANIS u = ARL E(X i ) = µ 1 /p Η διαδικασία υπολογισμού του ANIS d των προς τα κάτω αποκλίσεων του X είναι παρόμοια, με μόνη διαφορά τη χρήση του στατιστικού CUSUM που δίνεται από τη σχέση (2.10) και τον αντίστοιχο ορισμό του συνόλου των καταστάσεων της μαρκοβιανής αλυσίδας. 2.6 Διαγράμματα ελέγχου εκθετικά σταθμισμένου κινούμενου μέσου (ΕWMA charts) Ο εκθετικά σταθμισμένος κινούμενος μέσος (Exponentially Weighted Moving Average), ευρέως γνωστός ως EWMA, επινοήθηκε από τον Roberts (1959) και άρχισε να χρησιμοποιείται από τη δεκαετία του 1960, σε διαδικασίες πρόβλεψης της συμπεριφοράς χρονικών σειρών (Box et al. (1974), Muth (1960)). Έκτοτε δεν έτυχε της προσιδιάζουσας προσοχής παρά μόνο τη δεκαετία του 1980 οπότε άρχισε να μελετάται εκτενώς στο πλαίσιο των διαγραμμάτων ελέγχου και να αποκαλύπτονται οι ενδιαφέρουσες ιδιότητές του ως προς την ανίχνευση μικρών αποκλίσεων από τη μέση τιμή μιας διεργασίας (Crowder (1987), Hunter (1986), Lucas and Saccucci (1990), Montgomery et al. (1987), Robinson et al. (1978) και Waldmann (1986)). Λόγω της δομής του, που προσφέρει συγκεκριμένου μήκους μνήμη των παρελθοντικών παρατηρήσεων, το EWMA προσφέρεται ιδιαιτέρως και για τη μελέτη περιπτώσεων συσχετιζόμενων παρατηρήσεων, που αποτελεί ένα νέο πεδίο έρευνας (βλέπε Kramer and Schmid (1997), Alwan and Roberts (1988)). Το στατιστικό EWMA ορίζεται ως εξής: Z i = λx i + (1 λ)z i 1 όπου X i περιγράφει ένα ποιοτικό χαρακτηριστικό της διεργασίας, π.χ. το πλήθος των ελαττωματικών προϊόντων σε κάθε λαμβανόμενο δείγμα και το 0 < λ 1 είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τον σχεδιασμό του διαγράμματος ελέγχου. Η αρχική τιμή του EWMA (για i = 1) είναι Z 0 = µ 0, όπου µ 0 είναι η μέση τιμή της διεργασίας. Όταν η τελευταία δεν είναι γνωστή, τότε η μέση τιμή της διεργασίας μπορεί να προσεγγιστεί από τη μέση τιμή των δεδομένων της διεργασίας που χρησιμοποιούνται για την προκαταρκτική της μελέτη στη φάση Ι, ώστε Z 0 = x. Το Z i μπορεί εναλλακτικά να γραφεί ως ένας κινούμενος μέσος της τρέχουσας και των παρελθόντων παρατηρήσεων: Z i = λx i + (1 λ) [λx i 1 + (1 λ)z i 2 ] = λx i + λ(1 λ)x i 1 + (1 λ) 2 Z i 2 Συνεχίζοντας αναδρομικά την αντικατάσταση του Z i j, για j = 2, 3,..., i 1, παίρνουμε:

59 2.6 Διαγράμματα ελέγχου εκθετικά σταθμισμένου κινούμενου μέσου (ΕWMA charts) 45 i 1 Z i = λ (1 λ) j X i j + (1 λ) i Z 0 j=0 Η μέση τιμή και η διακύμανση του στατιστικού EWMA Z i υπολογίζονται εύκολα: i 1 E(Z i ) = E(X i ) λ(1 λ) j + (1 λ) i µ 0 = E(X i )(1 (1 λ) i ) + (1 λ) i µ 0 (2.11) j=0 i 1 V ar(z i ) = V ar(x i ) λ 2 (1 λ) 2j = σx 2 λ i 2 λ (1 (1 λ)2i ) (2.12) j=0 όπου σ 2 X i είναι η διακύμανση των ανεξάρτητων και ομοιόμορφα κατανεμημένων (i.i.d.) παρατηρήσεων X i. Σημειώνεται ότι προφανώς τα βάρη λ(1 λ) j του στατιστικού Z i ελαττώνονται γεωμετρικά όσο αυξάνεται το μελετούμενο δείγμα των παρατηρήσεων και για αυτό τον λόγο το EWMA είναι επίσης γνωστό και ως γεωμετρικά κινούμενος μέσος. Ωστόσο, είναι αντιληπτό ότι για αρκετά μεγάλες τιμές του πλήθους των δειγμάτων i το άθροισμα των βαρών τείνει στη μονάδα: lim λ i 1 [ ] 1 (1 λ) (1 λ) j i = lim λ i > i > 1 (1 λ) j=0 ( = lim ) 1 (1 λ) i = 1 i > Η παρατήρηση αυτή βοηθάει στην απλούστευση των εξισώσεων (2.11) και (2.12) οι οποίες, θεωρώντας ότι η ποσότητα 1 (1 λ) i προσεγγίζεται από τη μονάδα, γράφονται ως εξής: και E(Z i ) = E(X i ) (2.13) V ar(z i ) = σx 2 λ i (2.14) 2 λ Τα διαγράμματα ελέγχου που παριστάνουν γραφικά το στατιστικό Z i ως προς τον αύξοντα αριθμό του δείγματος i (ή του χρόνου) λέγονται διαγράμματα ελέγχου τύπου EWMA. Η κεντρική γραμμή των διαγραμμάτων αυτών είναι το Z 0 = µ 0 ενώ τα όρια ελέγχου είναι: και UCL = E(Z i ) + L λ V ar(z i ) = µ 0 + Lσ Xi 2 λ [1 (1 λ)2i ] LCL = E(Z i ) L λ V ar(z i ) = µ 0 Lσ Xi 2 λ [1 (1 λ)2i ]

60 46 Κεφάλαιο 2 Διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών Αν για λόγους απλότητας δεχτούμε την προσέγγιση της ποσότητας 1 (1 λ) i από τη μονάδα, τότε με τη βοήθεια των εξισώσεων (2.13) και (2.14) τα όρια έλεγχου του διαγράμματος έλεγχου μπορούν να γραφούν: λ UCL = µ 0 + Lσ Xi 2 λ λ LCL = µ 0 Lσ Xi 2 λ Στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής θα χρησιμοποιούνται οι προσεγγιστικοί τύποι των ορίων ελέγχου, καθώς όπως επεσήμαναν και οι Yeh et al. (2008) η απόκλιση των τιμών τους σε σχέση με τους ακριβείς τύπους μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα όταν το πλήθος των εισερχόμενων προς έλεγχο δειγμάτων είναι ικανοποιητικά μεγάλο Σχεδιασμός των διαγραμμάτων ελέγχου τύπου EWMA Οι παράμετροι σχεδιασμού των EWMA διαγραμμάτων ελέγχου είναι η σταθερά L και η παράμετρος εξομάλυνσης λ. Η πρώτη καθορίζει την απόσταση των ορίων ελέγχου του διαγράμματος από την τιμή στόχο της διεργασίας σε μονάδες τυπικής απόκλισης του στατιστικού EWMA. Όσο αφορά στον ρόλο της παραμέτρου λ, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι αυτός περιορίζεται στον προσδιορισμό του βάρους των παρελθόντων (ιστορικών, όπως έχει επικρατήσει να καλούνται) παρατηρήσεων. Όταν η τιμή του λ είναι κοντά στη μονάδα, το EWMA διάγραμμα μετατρέπεται στο απλό, παραδοσιακό διάγραμμα τύπου Shewhart που η «μνήμη» του είναι ανύπαρκτη και περιορίζεται μόνο στην τελευταία παρατήρηση. Όταν το λ τείνει στο μηδέν, η μνήμη του διαγράμματος είναι μεγάλη και καλύπτει όλες τις ιστορικές παρατηρήσεις καθιστώντας το διάγραμμα ισοδύναμο με το CUSUM διάγραμμα ελέγχου. Θέτοντας κατάλληλες τιμές στις παραμέτρους L και λ είναι εφικτή η επίτευξη των επιθυμητών κάθε φορά επιπέδων εντός ελέγχου ARL 0. Η βελτιστοποίηση του σχεδιασμού ενός EWMA διαγράμματος ελέγχου έγκειται ακριβώς στον προσδιορισμό του κατάλληλου συνδυασμού L και λ ώστε να επιτυγχάνεται η επιθυμητή τιμή για το εντός ελέγχου ARL 0 με την ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση του εκτός ελέγχου ARL 1 που αντιστοιχεί σε δεδομένο μέγεθος απόκλισης από την τιμή στόχο της διεργασίας. Οι ιδιότητες του ARL του EWMA διαγράμματος μελετήθηκαν θεωρητικά εκτενώς αρχικά από τους Lucas and Saccucci (1990) και Crowder (1987). Ο Montgomery (2008) εκφράζοντας την αποδεδειγμένη εμπειρικά άποψη και των προηγούμενων, τόνισε ότι στο πλαίσιο των ιδιαιτεροτήτων κάθε γραμμής παραγωγής, μικρότερες τιμές της παραμέτρου λ είναι καταλληλότερες για την ανίχνευση μικρότερων αποκλίσεων από τη θεωρούμενη τιμή στόχο. Τόνισε επίσης, ότι οι συνήθεις τιμές για την παράμετρο λ κυμαίνονται στο διάστημα [0.05, 0.25] με πιο δημοφιλείς τις τιμές λ = 0.05, λ = 0.10 και λ = Όσο αφορά την παράμετρο L, ο Montgomery (2008) επισημαίνει ότι τιμές κοντά

61 2.6 Διαγράμματα ελέγχου εκθετικά σταθμισμένου κινούμενου μέσου (ΕWMA charts) 47 στο 3, δίνουν ικανοποιητικά αποτελέσματα, ειδικά για μεγάλες τιμές του λ. Για μικρές τιμές του λ, (λ 0.1) ο Montgomery (2008), προτείνει στενότερα όρια ελέγχου με L μεταξύ 2.6 και 2.8. Στον σχεδιασμό ενός EWMA διαγράμματος ελέγχου πρέπει να λαμβάνεται υπόψη και το φαινόμενο αδράνειας (inertia effect) το οποίο μπορεί να παρουσιαστεί ιδιαίτερα έντονο ειδικά όταν το στατιστικό EWMA κείται μονοπλεύρως της κεντρικής γραμμής και η υφιστάμενη απόκλιση είναι προς την αντίθετη κατεύθυνση. Προφανώς, όταν παρουσιάζονται τέτοια φαινόμενα αδράνειας η συμπεριφορά και η απόδοση των EWMA διαγραμμάτων πλήττεται σοβαρά. Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται μερικώς με τη χρήση μονόπλευρων διαγραμμάτων ελέγχου όπως αυτά που παρουσιάζονται και μελετώνται εκτενώς στο κεφάλαιο Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα των διαγραμμάτων ελέγχου τύπου EWMA Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι τα διαγράμματα τύπου EWMA, όπως άλλωστε και τα CUSUM, εμφανίζουν βέλτιστη απόδοση στην ανίχνευση μικρών αποκλίσεων από την κεντρική γραμμή ενώ στην ανίχνευση μεγάλων αποκλίσεων αποδεικνύονται υποδεέστερα των παραδοσιακών διαγραμμάτων τύπου Shewhart. Όταν η προς μελέτη διεργασία παρουσιάζει απροσδιόριστης κλίμακας αποκλίσεις, προτείνεται από τον Montgomery (2008) η συνδυασμένη χρήση EWMA και Shewhart διαγραμμάτων, ακόμη και στο ίδιο γράφημα, προσφέροντας σφαιρικότερη εποπτεία της συμπεριφοράς της διεργασίας και την ανίχνευση τόσο μικρών όσο και μεγαλύτερων αποκλίσεων από την κεντρική γραμμή. Ένα επιπρόσθετο βασικό πλεονέκτημα των διαγραμμάτων EWMA είναι η αυξημένη ανοχή τους σε παρατηρήσεις που αποκλίνουν από την κανονική κατανομή καθώς το στατιστικό EWMA είναι ένας σταθμισμένος μέσος της τωρινής αλλά και όλων των παρελθόντων παρατηρήσεων και παραμένει σχεδόν ανεπηρέαστος από πιθανές παραβιάσεις της υπόθεσης κανονικότητας. Η θεωρητική μελέτη των Montgomery (2008) και Borror et al. (1999) για την αποτελεσματικότητα των EWMA διαγραμμάτων σε μη κανονικές παρατηρήσεις ανέδειξε τα πλεονεκτήματά τους έναντι των παραδοσιακών τύπου Shewhart. Πιο συγκεκριμένα τα διαγράμματα τύπου Shewhart παρουσιάζουν δραματικά μεγάλη αύξηση της συχνότητας εσφαλμένων συναγερμών ακόμη και όταν εφαρμόζονται σε διεργασίες που αποκλίνουν ελαφρώς της κανονικής κατανομής ενώ τα διαγράμματα EWMA εμφανίζονται αξιόπιστα ακόμα και σε κατανομές σημαντικά διαφοροποιημένες από την κανονική. Το γεγονός αυτό οδήγησε πολλούς ερευνητές και μεταξύ αυτών και τον Montgomery (2008) να χαρακτηρίσουν καταχρηστικά τα EWMA διαγράμματα ελέγχου «μη παραμετρικά» (distribution-free ή nonparametric) Τροποποιήσεις και επεκτάσεις των διαγραμμάτων ελέγχου τύπου EWMA Το στατιστικό EWMA άνοιξε το δρόμο για τη γέννηση και την ανάπτυξη πλήθους μοντέρνων τροποποιήσεων και επεκτάσεών του. Οι πιο σημαντικές σύμφωνα τον Montgomery (2008) είναι οι

62 48 Κεφάλαιο 2 Διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών ακόλουθες: i. Χαρακτηριστικό γρήγορης αρχικής αντίδρασης (Fast Initial Response Feature ή συντομογραφικά FIR). Πρόκειται για μια τεχνική η οποία εφαρμόστηκε για πρώτη φορά στα διαγράμματα CUSUM και αφορά στην ανάθεση μιας αρχικής τιμής (headstart) στο επίμαχο κάθε φορά στατιστικό (στην περίπτωσή μας στο EWMA) διάφορης της μηδενικής, με σκοπό την μείωση της σύμφυτης αδράνειας του στατιστικού ειδικά στα πρώτα στάδια εφαρμογής του. Ως άμεσο αποτέλεσμα παρατηρείται η αύξηση της ευαισθησίας του διαγράμματος ελέγχου για την ανίχνευση των αυξομειώσεων του επιπέδου ποιότητας που εμφανίζονται κοντά στην έναρξη της διεργασίας. Υπάρχουν δυο βασικές διακριτές προσεγγίσεις στον τρόπο εφαρμογής της γρήγορης αρχικής αντίδρασης. Η πρώτη προτείνεται από τους Rhoads et al. (1996) οι οποίοι ανέπτυξαν δυο μονόπλευρα διαγράμματα ελέγχου τύπου EWMA σε κάθε ένα από τα οποία το στατιστικό EWMA ξεκινά από την τιμή που βρίσκεται στο μέσο μεταξύ του ορίου ελέγχου και της κεντρικής γραμμής. Ο Steiner (1999) πρότεινε εναλλακτικά την εφαρμογή εκθετικά μειούμενων ορίων ελέγχου που είναι ιδιαίτερα αυστηρά ειδικά για τα πρώτα σημεία του διαγράμματος και είναι τοποθετημένα σε απόσταση: ±Lσ { (1 ) } (1 f) 1+α(t 1) λ 2 λ (1 (1 λ)2t ) από την κεντρική γραμμή. Προφανώς, οι παράμετροι α και f καθορίζουν την ένταση του χαρακτηριστικού γρήγορης αρχικής αντίδρασης. Ο Steiner (1999) προτείνει η επιλογή του α να γίνεται με τρόπο ώστε η επίδραση του FIR να εξασθενεί μετά από 20 παρατηρήσεις. Αποδεικνύει με τον τρόπο αυτό ότι για f = 0.5 (που δημιουργεί ένα προβάδισμα (headstart) της τάξεως του 50%) πρέπει α = 0.3. Η διαδικασία του Steiner είναι πιο εύκολο να εφαρμοστεί πρακτικά. ii. Στατιστικό EWMA για έλεγχο μεταβλητότητας Πρώτοι οι MacGregor and Harris (1993) μελέτησαν το ενδεχόμενο εφαρμογής του στατιστικού EWMA για τον έλεγχο της τυπικής απόκλισης μιας διεργασίας. Πιο συγκεκριμένα, ανέπτυξαν το εκθετικά σταθμισμένο μέσο τετραγωνικό σφάλμα (exponentially weighted mean square error ή συντομογραφικά EWMS) το οποίο έχει τη μορφή: S 2 i = λ(x i µ) 2 + (1 λ)s 2 i 1 Με δεδομένο ότι η ποσότητα S 2 i /σ 2 ακολουθεί κατά προσέγγιση την κατανομή χ 2 οι MacGregor and Harris (1993) πρότειναν ένα διάγραμμα γραφικής αναπαράστασης της ποσότητας S 2 i με κεντρική γραμμή την ποσότητα σ 0 και με κατάλληλα κατασκευασμένα όρια ελέγχου:

63 2.6 Διαγράμματα ελέγχου εκθετικά σταθμισμένου κινούμενου μέσου (ΕWMA charts) 49 και UCL = σ 0 LCL = σ 0 χ 2 ν,α/2 ν χ 2 ν,1 (α/2) ν Αποδεικνύεται ότι το στατιστικό EWMS είναι ευαίσθητο όχι μόνο σε μεταβολές της τυπικής απόκλισης της διεργασίας αλλά και της μέσης τιμής. iii. Στατιστικό EWMA για την κατανομή Poisson Οι Borror et al. (1998) περιγράφουν τον τρόπο με τον οποίο το στατιστικό EWMA μπορεί να χρησιμοποιηθεί για δεδομένα x i που ακολουθούν την Poisson κατανομή. Ισχυρίζονται ότι ο επαναληπτικός τύπος του στατιστικού EWMA στην περίπτωση αυτή θα είναι: z i = λx i + (1 λ)z i 1 Τα όρια ελέγχου και η κεντρική γραμμή του διαγράμματος ελέγχου για δεδομένα που ακολουθούν την Poisson κατανομή θα είναι: UCL = µ 0 + A U λµ0 2 λ (1 (1 λ)2i ) CL = µ 0 LCL = µ 0 A L λµ0 2 λ (1 (1 λ)2i ) όπου A U και A L είναι κατάλληλα επιλεγμένες σταθερές που διαμορφώνουν το εύρος των ορίων ελέγχου. iv. Χρήση του στατιστικού EWMA ως προγνωστικού εργαλείου Όπως έχει αναφερθεί εισαγωγικά, το EWMA μπορεί να λειτουργήσει και προγνωστικά για να εκτιμήσει τη μέση τιμή μιας διεργασίας την επόμενη χρονική στιγμή. Το γεγονός αυτό το καθιστά ιδιαίτερα πολύτιμο, καθώς ουσιαστικά επιτρέπει την πρόβλεψη των μη ανεκτών μεταβολών στη μέση τιμή μιας διεργασίας και κατά συνέπεια την έγκαιρη ανάληψη διορθωτικών ενεργειών το εύρος των οποίων μπορεί να είναι ανάλογο της απόκλισης του στατιστικού EWMA από την κεντρική γραμμή. Για να γίνει αντιληπτή η προγνωστική ικανότητα του EWMA σημειώνεται ότι αυτό μπορεί να γραφεί και ως εξής:

64 50 Κεφάλαιο 2 Διαγράμματα ελέγχου ποιοτικών μεταβλητών z i = λx i + (1 λ)z i 1 = z i 1 + λ(x i z i 1 ) Προφανώς, ο όρος z i 1 μπορεί να θεωρηθεί πρόβλεψη της μέσης τιμής της διεργασίας για την περίοδο i ενώ ο όρος x i z i 1 δεν είναι τίποτα άλλο από το σφάλμα e i της εκτίμησης στο χρόνο i: z i = z i 1 + λe i Στην παραπάνω σχέση μπορεί να προστεθεί ένας ακόμα όρος και να γραφεί ως εξής: z i = z i 1 + λ 1 e i + λ 2 όπου λ 1 και λ 2 είναι οι στάθμες του σφάλματος στο χρόνο i και του αθροίσματος των σφαλμάτων μέχρι και το χρόνο i αντίστοιχα. Δηλαδή, το z i, που είναι η πρόβλεψη για τη μέση τιμή της διεργασίας στο χρόνο i + 1, ισούται με το άθροισμα της τωρινής εκτίμησης για τη μέση τιμή (z i 1 ), αυξημένο κατά ένα όρο αναλογικό του σφάλματος και κατά ένα όρο που προκύπτει από το άθροισμα των σφαλμάτων. i j=1 e j 2.7 Συμπεράσματα-Ανακεφαλαίωση Στο κεφάλαιο αυτό επιχειρείται η βιβλιογραφική επισκόπηση και η συνοπτική παρουσίαση των σημαντικότερων εκπροσώπων των διαγραμμάτων ελέγχου για ποιοτικές μεταβλητές: των p-charts, των u και c-charts, των γεωμετρικών διαγραμμάτων, των Bernoulli, διωνυμικών και γεωμετρικών CUSUM διαγραμμάτων και τέλος των EWMA διαγραμμάτων. Η γνώση του τρόπου και της φιλοσοφίας λειτουργίας των παραπάνω διαγραμμάτων είναι απαραίτητη για την θεμελίωση, ανάπτυξη και μελέτη των νέων πρωτότυπων διαγραμμάτων που προτείνονται στα επόμενα κεφάλαια.

65 Κεφάλαιο 3 Μονόπλευρα Γεωμετρικά Διαγράμματα Ελέγχου EWMA 3.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο 2 έγινε, μεταξύ άλλων, μια σύντομη εισαγωγή στα γεωμετρικά διαγράμματα ελέγχου που έχουν αναπτυχθεί για την παρακολούθηση μεταβλητών που προσεγγίζονται από τη γεωμετρική κατανομή. Έχει αποδειχτεί ότι τα διαγράμματα αυτά παρουσιάζουν μεγαλύτερη ευαισθησία στην ανίχνευση μικρών αποκλίσεων από την κεντρική γραμμή στόχο της διεργασίας σε σχέση με τα παραδοσιακά τύπου Shewhart και προτιμώνται κυρίως σε διεργασίες υψηλής απόδοσης. Στο παρόν κεφάλαιο, επιδεικνύοντας σαφή πλέον προσανατολισμό στη μελέτη διεργασιών υψηλής απόδοσης, παρουσιάζεται από τον υποφαινόμενο η καινοτόμα εφαρμογή του στατιστικού EWMA σε μονόπλευρα γεωμετρικά διαγράμματα ελέγχου. Αναφορικά με τη δομή του κεφαλαίου, στην παράγραφο 3.2 προτείνεται ένας πρωτότυπος τρόπος μετασχηματισμού των γεωμετρικών απαριθμήσεων που διευκολύνει τη μαρκοβιανή μοντελοποίηση μιας διεργασίας υψηλής απόδοσης. Στην παράγραφο 3.3 παρουσιάζεται το νέο μονόπλευρο γεωμετρικό EWMA διάγραμμα ελέγχου που βασίζεται στον προαναφερόμενο μετασχηματισμό, περιγράφεται αλγοριθμικά και μελετάται θεωρητικά. Στην ακόλουθη παράγραφο 3.4 η αποτελεσματικότητα του προτεινόμενου διαγράμματος ελέγχου επιβεβαιώνεται με μεθόδους προσομοίωσης και κατάλληλες συγκρίσεις με προϋπάρχοντα παραδοσιακά διαγράμματα ελέγχου που θεωρούνται επίσης κατάλληλα για διεργασίες υψηλής απόδοσης. 3.2 Μετασχηματισμός των γεωμετρικών απαριθμήσεων Τα γεωμετρικά διαγράμματα ελέγχου επιτρέπουν ουσιαστικά τη μετάβαση του ελέγχου ποιότητας από την κλάση των ποιοτικών μεταβλητών στην κλάση των ποσοτικών με τη θεώρηση των γεωμετρικών απαριθμήσεων (βλέπε παράγραφο 2.4) που ακολουθούν γεωμετρική κατανομή. Η διακριτή 51

66 52 Κεφάλαιο 3 Μονόπλευρα Γεωμετρικά Διαγράμματα Ελέγχου EWMA φύση ωστόσο της γεωμετρικής κατανομής, θέτει σοβαρά προβλήματα και περιορισμούς στη μελέτη των προτεινόμενων διαγραμμάτων ελέγχου, οπότε και αποφασίστηκε η προσέγγιση της γεωμετρικής κατανομής από το συνεχές ανάλογό της που είναι η εκθετική κατανομή (ακολουθώντας τη φιλοσοφία του Nelson (1994) που κατέφυγε στο μετασχηματισμό των γεωμετρικών απαριθμήσεων στη μορφή X 1/3.6 ). Πιο συγκεκριμένα, έστω X t, t = 1, 2,... η μεταβλητή γεωμετρικών απαριθμήσεων που εκφράζει, σε μια διεργασία ποιοτικών χαρακτηριστικών, το πλήθος των μη ελαττωματικών προϊόντων μεταξύ του t-οστού και (t 1)-οστού ελαττωματικού. Αν η εισερχόμενη ποιότητα (που στην περίπτωση μας ταυτίζεται με την πιθανότητα ένα προϊόν να είναι ελαττωματικό) είναι p, τότε προφανώς η κατανομή της μεταβλητής X t είναι γεωμετρική με σ.π.π.: Prob(X t = x t ) = (1 p) xt 1 p, x t = 1, 2,... Η προσέγγιση της γεωμετρικής κατανομής από την εκθετική γίνεται, χωρίς περιορισμό της γενικότητας, θεωρώντας ότι η μεταβλητή X t ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο k = ln(1 p) και με σ.π.π.: Prob(X t = x t ) = ke kxt, για x t 0. Προφανώς, για τη μέση τιμή και τη διακύμανση της μεταβλητής X t ισχύει αντιστοίχως ότι E(X t ) = µ = 1/k και V ar(x t ) = σx 2 t = 1/k 2. Υπενθυμίζεται ότι μια διεργασία θεωρείται εντός ελέγχου όταν οι διακυμάνσεις της μεταβλητής X t συμβαίνουν με τυχαίο τρόπο γύρω από την τιμή στόχο (που συνήθως είναι η μέση τιμή E(X t ) = µ 0 ), χωρίς την επίδραση εξωτερικών παραγόντων (βλέπε παράγραφο 1.2). Στην περίπτωση σημαντικών αποκλίσεων των τιμών της X t από τη μέση τιμή µ 0, λόγω της ύπαρξης εξωγενών μη τυχαίων αιτιών, η διεργασία θεωρείται εκτός έλεγχου. 3.3 Θεωρητική προσέγγιση των μονόπλευρων γεωμετρικών διαγραμμάτων ελέγχου τύπου EWMA Στην παράγραφο αυτή μελετάται θεωρητικά το προτεινόμενο διάγραμμα ελέγχου με τη βοήθεια κατάλληλης μαρκοβιανής μοντελοποίησης (βλέπε και Eleftheriou and Farmakis (to appear)). Η τεχνική προτάθηκε από τους Shu et al. (2007), οι οποίοι ανέπτυξαν ένα μονόπλευρο EWMA διάγραμμα ελέγχου για την ανίχνευση θετικών αποκλίσεων της μέσης τιμής κανονικά κατανεμημένων παρατηρήσεων. Στην παράγραφο αυτή το έργο των Shu et al. (2007) επεκτείνεται ώστε να γίνει εφαρμόσιμο και στην περίπτωση των γεωμετρικά κατανεμημένων δεδομένων που παρουσιάζουν είτε θετικές (επιδείνωση της ποιότητας, δηλαδή αύξηση του p) είτε αρνητικές αποκλίσεις (βελτίωση της ποιότητας, δηλαδή μείωση του p). Όπως αποδεικνύουμε και στη συνέχεια του κεφαλαίου, το γεγονός ότι τα προτεινόμενα διαγράμματα ελέγχου πραγματοποιούν μονόπλευρο έλεγχο τα καθιστά ιδιαίτερα ευαίσθητα σε σχέση με τα παραδοσιακά διαγράμματα.

67 3.3 Θεωρητική προσέγγιση των μονόπλευρων γεωμετρικών διαγραμμάτων ελέγχου τύπου EWMA Κάτω Γεωμετρικό EWMA διάγραμμα ελέγχου Αρχικά θα ασχοληθούμε με τις αποκλίσεις που οδηγούν σε επιδείνωση της ποιότητας του τελικού προϊόντος, καθώς αυτές βρίσκονται στο στόχαστρο της σύγχρονης επιστημονικής έρευνας. Ο έλεγχος αυτού του είδους των αποκλίσεων γίνεται με την εφαρμογή του κάτω γεωμετρικού EWMA διαγράμματος ελέγχου (lower geometric EWMA control chart). Το διάγραμμα αυτό κατασκευάστηκε με σκοπό την ανίχνευση θετικών μόνο αποκλίσεων της εισερχόμενης ποιότητας p (p > p 0 ) οι οποίες συνεπάγονται αρνητικές (μικρότερες από τη μέση τιμή µ 0 ) αποκλίσεις της μεταβλητής X t. Οι υπόλοιπες αποκλίσεις απλώς αποκόπτονται και εξισώνονται με τη μέση τιμή µ 0 της μεταβλητής X t. Η συσσώρευση μόνο των αρνητικών αποκλίσεων της μεταβλητής X t επιτυγχάνεται με τη θεώρηση της νέας μεταβλητής: X t = min{µ 0, X t } = µ 0 max{0, µ 0 X t } (3.1) Η μέση τιμή της X t υπολογίζεται εύκολα ως εξής: E(X t ) = µ 0 = µ 0 µ0 ενώ η ποσότητα E(Xt 2 ) προκύπτει άμεσα: 0 (µ 0 X t )f(µ 0 X t )d(µ 0 X t ) = e 1 µ 0 (3.2) e E(X 2 t ) = E ( µ max 2 {0, µ 0 X t } 2µ 0 max{0, µ 0 X t } ) = 2(1 2e 1 )µ 2 0 (3.3) Με τη βοήθεια των σχέσεων (3.2) και (3.3) προκύπτει και η διακύμανση: V ar(xt ) = σ 2 = E(X 2 Xt t ) E 2 (Xt ) = e2 2e 1 µ 2 e 2 0 Τώρα ο ορισμός του παραδοσιακού στατιστικού EWMA, κατάλληλα προσαρμοσμένου στο προτεινόμενο διάγραμμα ελέγχου, γίνεται εύκολα ακολουθώντας τις γενικές γραμμές ορισμού του EWMA όπως αυτές αναφέρονται στην παράγραφο 2.6. Πιο συγκεκριμένα, για t = 1, 2,... το στατιστικό EWMA ορίζεται ως ακολούθως: A t = λxt + (1 λ)a t 1 όπου 0 < λ < 1 είναι η προκαθορισμένη παράμετρος εξομάλυνσης και A 0 = µ 0. Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι το στατιστικό EWMA μπορεί επίσης να γραφεί και ως εξής: t 1 A t = λ(1 λ) j X t j + (1 λ)t µ 0 (3.4) j=0

68 54 Κεφάλαιο 3 Μονόπλευρα Γεωμετρικά Διαγράμματα Ελέγχου EWMA Για να προσδιοριστούν τα όρια ελέγχου του διαγράμματος ελέγχου απαιτείται η γνώση της μέσης τιμής και της διακύμανσης του στατιστικού EWMA, τα οποία προκύπτουν ευθέως από τη μορφή του στατιστικού όπως αυτή δίνεται στη σχέση (3.4) (βλέπε και Montgomery (2008)): και t 1 E(A t ) = E(Xt ) λ(1 λ) j + (1 λ) t µ 0 = E(Xt )(1 (1 λ) t ) + (1 λ) t µ 0 j=0 t 1 V ar(a t ) = V ar(xt ) λ 2 (1 λ) 2j = σ 2 Xt j=0 λ 2 λ (1 (1 λ)2t ) Το κάτω όριο ελέγχου του μελετώμενου διαγράμματος ελέγχου, πέρα από το οποίο θα παράγεται σήμα για μετάβαση σε εκτός ελέγχου κατάσταση, θα είναι: LCL = E(A t ) L V ar(a t ) = E(X t )(1 (1 λ) t ) + (1 λ) t µ 0 Lσ X t λ 2 λ (1 (1 λ)2t ) Όπως αναφέρθηκε στην παράγραφο 2.6, η ποσότητα [1 (1 λ) 2t ] τείνει στη μονάδα για μεγάλες τιμές του πλήθους t των παρατηρήσεων. Η προσέγγιση αυτή θα υιοθετηθεί και το κάτω όριο ελέγχου θα τείνει σε μια σταθερή τιμή (steady state): LCL = E(X t ) Lσ X t λ 2 λ Παράλληλα, για να καταστεί το διάγραμμα πρακτικότερο και να μορφοποιηθεί κομψότερα, μπορούμε, χωρίς περιορισμό της γενικότητας, να χρησιμοποιήσουμε την τυποποιημένη μορφή Z t = X t E(X t ) σ X t της μεταβλητής X t, όπως πρότειναν οι Shu et al. (2007). Σε αυτήν την περίπτωση το επιθεωρούμενο στατιστικό EWMA γράφεται: Q t = λz t + (1 λ)q t 1 (3.5) όπου Q 0 = 0. Το σήμα εκτός ελέγχου κατάστασης παράγεται κάθε φορά που η τιμή της ποσότητας γίνεται μικρότερη από το αναλόγως μετασχηματισμένο όριο ελέγχου: Q t λ LCL = L 2 λ (3.6)

69 3.3 Θεωρητική προσέγγιση των μονόπλευρων γεωμετρικών διαγραμμάτων ελέγχου τύπου EWMA Άνω Γεωμετρικό EWMA διάγραμμα ελέγχου Όταν συμβαίνει μία μη τυχαία μείωση του ποσοστού των ελαττωματικών προϊόντων στην τιμή p < p 0 τότε, όπως είναι αναμενόμενο, οι τιμές της μεταβλητής X t αυξάνονται. Ακολουθώντας την ίδια λογική πάνω στην οποία στηρίχτηκε η ανάπτυξη του κάτω γεωμετρικού EWMA διαγράμματος ελέγχου, απομονώνουμε τις θετικές αποκλίσεις των X t από τη μέση τιμή της διεργασίας µ 0 θεωρώντας την ακόλουθη μεταβλητή: Η μέση τιμή της νέας μεταβλητής είναι: E(X + t ) = µ 0 + X + t = max{µ 0, X t } = µ 0 + max{0, X t µ 0 } (3.7) ενώ για την ποσότητα E(X t +2 ) προκύπτει: 0 (X t µ 0 )f(x t µ 0 )d(x t µ 0 ) = e + 1 e µ 0 (3.8) E(X +2 t ) = E(µ max 2 {0, X t µ 0 } + 2µ 0 max{0, X t µ 0 }) = (1 + 4e 1 )µ 2 0 (3.9) Με τη βοήθεια των εξισώσεων (3.8) και (3.9) η διακύμανση της X + t υπολογίζεται ως εξής: V ar(x + t ) = σ 2 X + t = E(X +2 t ) E 2 (X + t ) = 2e 1 e 2 µ 2 0 Και πάλι για λόγους απλότητας, η μεταβλητή X + t τυποποιείται και προκύπτει η Z + t = X+ t +E(X+ t ) σ X + t. Το στατιστικό EWMA σε αυτήν την περίπτωση παίρνει τη μορφή: Q + t = λz + t + (1 λ)q + t 1 όπου Q + 0 = 0. Το διάγραμμα ελέγχου παράγει σήμα όταν το Q + t γίνει μεγαλύτερο από το άνω όριο ελέγχου το οποίο (θεωρώντας και πάλι ότι η ποσότητα [1 (1 λ) 2t ] τείνει στη μονάδα) παίρνει την ακόλουθη μορφή: λ UCL = L 2 λ (3.10) Σύγκριση των λόγων σήματος προς θόρυβο των γεωμετρικών EWMA διαγραμμάτων ελέγχου Σε αυτό το σημείο είναι χρήσιμη μία πρώτη απόπειρα σύγκρισης του γεωμετρικού EWMA και του παραδοσιακού δίπλευρου διαγράμματος χρησιμοποιώντας ως μέτρο σύγκρισης το λόγο σήματος προς θόρυβο (signal-tο-noise ή συντομογραφικά SN). Το πηλίκο αυτό είναι ουσιαστικά το αντίστροφο

70 56 Κεφάλαιο 3 Μονόπλευρα Γεωμετρικά Διαγράμματα Ελέγχου EWMA του συντελεστή μεταβλητότητας (coefficient of variation) που μελετήθηκε εκτενώς, μεταξύ άλλων και από τον Farmakis (2003) και βρίσκει μεγάλη εφαρμογή στη θεωρία σημάτων. Ας θεωρήσουμε για λόγους απλότητας και χωρίς περιορισμό της γενικότητας ότι η κεντρική γραμμή στόχος είναι CL = µ 0 = 7 και ότι η υπό έλεγχο μεταβλητή X t του δίπλευρου διαγράμματος ακολουθεί την εκθετική κατανομή X t Exp(1/µ 0 ). Για αυτήν ο λόγος SN θα είναι: SN(X t ) = E(X t) V ar(xt ) = µ 0 µ 0 = 1 Ο λόγος SN για την αποκομμένη μεταβλητή X + t του μονόπλευρου διαγράμματος ελέγχου θα είναι: SN(X + t ) = E(X+ t ) E(X + t µ = µ 0 ) σ X + t = (e + 1)(µ µ 0) µ 2e 1 Στο γράφημα 3.1 επιχειρείται μια γραφική προσέγγιση της σύγκρισης των λόγων SN για τις μεταβλητές X t και X t +. Είναι εύκολα παρατηρήσιμο ότι η μεταβλητή X t + παρουσιάζει μεγαλύτερες τιμές του λόγου SN σε σχέση με την X t για τιμές του µ μεγαλύτερες από µ = µ 0 (e + 1)/(e + 1 2e 1) 2.3µ 0, δηλαδή για μέτριες και σχετικά μεγάλες αποκλίσεις. Ο αυξημένος (και άρα βελτιωμένος) λόγος SN της X t + έναντι της X t σε ένα μεγάλο εύρος τιμών της µ είναι ενδεικτικός της μεγαλύτερης ευαισθησίας του μονόπλευρου διαγράμματος ελέγχου. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε εύκολα αν επιχειρήσουμε τη γραφική απεικόνιση των λόγων SN για το δίπλευρο και το κάτω γεωμετρικό διάγραμμα ελέγχου. Η αυξημένη ευαισθησία του προτεινόμενου μονόπλευρου διαγράμματος ελέγχου ως προς την ανίχνευση ενός μεγάλου εύρους αποκλίσεων από την κεντρική γραμμή της διεργασίας το καθιστά κατάλληλο για εφαρμογή τόσο στη φάση ΙΙ αλλά όσο και στη φάση Ι στο πλαίσιο μιας διερευνητικής διαδικασίας Βέλτιστος σχεδιασμός των μονόπλευρων γεωμετρικών EWMA διαγραμμάτων ελέγχου Το σύνηθες μέτρο απόδοσης των διαγραμμάτων ελέγχου, το ARL, δεν κρίνεται επαρκές στην περίπτωση των μελετώμενων διαγραμμάτων ελέγχου διότι αδυνατεί να περιγράψει επαρκώς το σημείο στο οποίο παρατηρείται η μετάβαση της διεργασίας σε εκτός ελέγχου κατάσταση. Για αυτό το λόγο χρησιμοποιείται ως εναλλακτικό μέτρο απόδοσης, το ANIS (average number of items until shift) που χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Bourke (1991) (ως ANI) στο πρωτοπόρο run-length, όπως το ονόμαζε ο ίδιος, διάγραμμα ελέγχου (βλέπε παράγραφο 2.4). Μπορούμε να διακρίνουμε δύο τύπους ANIS: i. το ANIS 0 που περιγράφει το μέσο πλήθος προϊόντων που παράγονται ενώ η διεργασία βρίσκεται σε κατάσταση εντός ελέγχου, μέχρι τη στιγμή που αυτή κρίνεται εκτός ελέγχου, χωρίς παρέμβαση εξωγενών μη τυχαίων παραγόντων,

71 3.3 Θεωρητική προσέγγιση των μονόπλευρων γεωμετρικών διαγραμμάτων ελέγχου τύπου EWMA 57 Σχήμα 3.1 Λόγος σήματος προς θόρυβο (SN) για τις μεταβλητές X t and X + t. ii. το ANIS 1 που εκφράζει το μέσο πλήθος των προϊόντων που μεσολαβούν από τη στιγμή που η διεργασία τίθεται εκτός ελέγχου μέχρι τη στιγμή που παράγεται το αντίστοιχο σήμα, (δηλαδή μέχρι τη στιγμή που γίνεται αντιληπτό ότι η κατάσταση είναι εκτός ελέγχου). Με δεδομένο ότι κάθε μία από τις αποκομμένες μεταβλητές Xt και X t + έχει γνωστή μέση τιμή που δίνεται από τις σχέσεις (3.2) και (3.8) αντίστοιχα, εύκολα αποδεικνύεται ότι και οι δύο προαναφερόμενες εκδοχές του ANIS θα δίνονται, για τη μεταβλητή Xt από τη σχέση: ANIS = E{πλήθος ροών X t } E{μήκος ροών X t } = ARL E(X t ) (3.11) και για τη μεταβλητή X + t από τη σχέση: ANIS = E{πλήθος ροών X + t } E{μήκος ροών X + t } = ARL E(X + t ) (3.12) Μία από τις καινοτομίες που εισάγουμε στην ανάπτυξη των υπό μελέτη διαγραμμάτων είναι η χρήση αναλυτικών μεθόδων υπολογισμού του ARL (και έπειτα του ANIS), βασισμένων στην ιδέα μαρκοβιανής μοντελοποίησης που ανέπτυξαν οι Brook and Evans (1972) και περιγράφηκε στην παράγραφο Η μέθοδος αυτή υπολογισμού του ARL, προσαρμοσμένη στις ειδικές ανάγκες των μονόπλευρων γεωμετρικών EWMA διαγραμμάτων, παρουσιάζεται αναλυτικά στο παράρτημα Γ. Έπειτα, ο υπολογισμός του ANIS μέσω των σχέσεων (3.11) και (3.12), είναι εφικτός. Πριν αναλυθεί ο αλγόριθμος βελτιστοποίησης των παραμέτρων των διαγραμμάτων, σημειώνεται ότι η απόπειρα βέλτιστου σχεδιασμού που επιχειρείται στην παρούσα παράγραφο, βασίζεται στην υπόθεση ότι εφαρμόζεται ένα σενάριο μηδενικών αρχικών καταστάσεων (zero-state). Όσο αφορά στο ANIS 1, αυτό σημαίνει ότι η διεργασία θεωρείται ότι βρίσκεται σε κατάσταση εκτός ελέγχου

72 58 Κεφάλαιο 3 Μονόπλευρα Γεωμετρικά Διαγράμματα Ελέγχου EWMA αμέσως μετά την έναρξή της. Το zero-state ANIS 0 από την άλλη μεριά, εκτιμά το χρόνο ανίχνευσης εκτός ελέγχου απόκλισης (χωρίς την παρουσία μη φυσικής μεταβλητότητας) με δεδομένο ότι κατά την έναρξή της η διεργασία βρίσκεται ακριβώς στην κεντρική γραμμή στόχο. Η εναλλακτική θεώρηση, γνωστή και ως σενάριο σταθεροποιημένων αρχικών καταστάσεων (steady-state), βασίζεται στην υπόθεση ότι τόσο κατά τον υπολογισμό του ANIS 0 όσο και του ANIS 1 έχουν παρέλθει αρκετά προϊόντα ώστε η συμπεριφορά της διεργασίας (που αντικατοπτρίζεται από το μελετώμενο στατιστικό, στην περίπτωσή μας το EWMA) να αρχίσει να σταθεροποιείται. Η διαδικασία βελτιστοποίησης των μονόπλευρων γεωμετρικών EWMA διαγραμμάτων ελέγχου έγκειται στην κατάλληλη επιλογή των παραμέτρων λ και L για τις οποίες το ANIS 1 ελαχιστοποιείται για δεδομένο ANIS 0 και ολοκληρώνεται σε δύο βήματα: i. Αρχικά καθορίζονται η επιθυμητή τιμή του ANIS 0, η παράμετρος εξομάλυνσης λ και το μέγεθος της απόκλισης που θέλουμε να ανιχνεύσουμε. ii. Έπειτα, προσδιορίζεται με τη μέθοδο «δοκιμής και σφάλματος» (trial and error) η παράμετρος L για την οποία ελαχιστοποιείται το ANIS 1 για τη δεδομένη απόκλιση και ταυτόχρονα ικανοποιείται το προκαθορισμένο ANIS 0. Η μέθοδος αυτή βελτιστοποίησης εφαρμόζεται στην περίπτωση και των δύο μονόπλευρων διαγραμμάτων ελέγχου (άνω και κάτω) χρησιμοποιώντας τις προσεγγίσεις των τιμών των αντιστοίχων ANIS που προκύπτουν από τη μαρκοβιανή μοντελοποίηση των διαγραμμάτων, όπως αυτή περιγράφεται στο παράρτημα Γ. Βέλτιστος σχεδιασμός του κάτω γεωμετρικού EWMA διαγράμματος ελέγχου Στους πίνακες 3.1 και 3.2 καταγράφεται η βέλτιστη παράμετρος L του ορίου ελέγχου του κάτω EWMA διαγράμματος ελέγχου για τρεις αρχικά εντός ελέγχου τιμές της εισερχόμενης ποιότητας p 0 (0.0001, , ) και για διάφορες θετικές αποκλίσεις που μεταβάλλουν το επίπεδο της ποιότητας σε p 1 > p 0. Η παράμετρος εξομάλυνσης παίρνει δυο τιμές: λ = 0.3 (πίνακας 3.1) και λ = 0.8 (πίνακας 3.2). Μετά από εκτενή πειραματισμό βρέθηκε ότι οι προαναφερθείσες τιμές των παραμέτρων είναι ανάμεσα σε εκείνες που προσφέρουν τα υψηλότερα επίπεδα ευαισθησίας ανίχνευσης. Το ANIS 0 κυμαίνεται από έως με βήμα καλύπτοντας ένα αρκετά αντιπροσωπευτικό εύρος των ANIS 0 που συνήθως παρατηρούνται σε διεργασίες υψηλής ποιότητας. Είναι εύκολα αντιληπτό ότι οι βέλτιστες τιμές του L αυξάνονται όσο αυξάνει το αρχικά εντός ελέγχου ποσοστό p 0 ελαττωματικών προϊόντων και για τις δύο μελετώμενες τιμές του λ. Χαρακτηριστικά αναφέρεται ότι όταν ANIS 0 = και λ = 0.3, το βέλτιστο L για την ανίχνευση μιας μεταβολής από p 0 = σε p 1 = (100% αύξηση στο επίπεδο ποιότητας), είναι το L = 0.689, ενώ για αύξηση από p 0 = σε p 1 = (επίσης 100% αύξηση στο επίπεδο ποιότητας), είναι L = Η ίδια συμπεριφορά του L ως προς την ελαχιστοποίηση του ANIS 1 παρατηρείται και για λ = 0.8. Τέλος, πρέπει να σημειωθεί ότι για δεδομένο εντός ελέγχου p 0 η βέλτιστη τιμή του L είναι ίδια ανεξαρτήτως του μεγέθους της απόκλισης.

73 3.3 Θεωρητική προσέγγιση των μονόπλευρων γεωμετρικών διαγραμμάτων ελέγχου τύπου EWMA 59 Η σύγκριση των πινάκων 3.1 και 3.2 ως προς τις τιμές του λ επιβεβαιώνει αυτό που έχει επισημανθεί από πολλούς ερευνητές όπως οι Shu et al. (2007): μικρότερες τιμές του λ είναι κατάλληλες για την ανίχνευση μικρότερων αποκλίσεων από τη μέση τιμή στόχο της διεργασίας. Πράγματι, για τη σχετικά μεγάλη απόκλιση από την τιμή p 0 = στην τιμή p 1 = (που αντιστοιχεί σε 100% αύξηση του επιπέδου ποιότητας p) το διάγραμμα θα σημάνει μετά τη παρέλευση προϊόντων όταν λ = 0.3 και μετά από προϊόντα όταν λ = 0.8. Όταν όμως λαμβάνει χώρα μια μικρότερη απόκλιση, π.χ. από p 0 = σε p 1 = (η οποία αντιστοιχεί σε 33% αύξηση του επιπέδου ποιότητας p), η αποτελεσματικότητα του διαγράμματος με λ = 0.3 διατηρείται και είναι εμφανής: θα σημάνει μετά την παρέλευση προϊόντων ενώ το αντίστοιχο διάγραμμα ελέγχου με λ = 0.8 θα σημάνει μετά από προϊόντα. Και για τις δύο συγκρίσεις που προηγήθηκαν έχει υποτεθεί ότι ANIS 0 = Εκτενείς πειραματισμοί και προσομοιώσεις οδηγούν στο συμπέρασμα ότι η βέλτιστη παράμετρος L εξαρτάται εν γένει από το ARL 0. Σύμφωνα με τους Yeh et al. (2008) το ARL 0 μπορεί να εκφραστεί ως το γινόμενο ARL 0 = ANIS 0 p 0, όπου τόσο το p 0 όσο και το ANIS 0 μπορούν να προσεγγιστούν εμπειρικά ή είναι γνωστά από τη διαδικασία του αρχικού σχεδιασμού του διαγράμματος ελέγχου (φάση Ι). Η προαναφερόμενη έκφραση του ARL 0 διευκολύνει την κατασκευή ενός γραφήματος ισοϋψών καμπυλών της παραμέτρου λ, δηλαδή ενός νομογράμματος ιδιαιτέρως χρήσιμου για τον ταχύτατο σχεδιασμό ή έλεγχο ενός διαγράμματος ελέγχου. Το γράφημα 3.2 απεικονίζει τις ισοϋψείς καμπύλες του λ σε σχέση με το p 0, ANIS 0 και το L σε λογαριθμική κλίμακα. Συνεπώς, για δεδομένες τιμές των p 0, ANIS 0, η προσέγγιση της βέλτιστης τιμής της παραμέτρου L είναι τετριμμένη.

74 60 Κεφάλαιο 3 Μονόπλευρα Γεωμετρικά Διαγράμματα Ελέγχου EWMA Σχήμα 3.2 Νομόγραμμα για τη γραφική προσέγγιση του βέλτιστου L για δεδομένες τιμές των ANIS 0, p 0 και λ για το κάτω γεωμετρικό EWMA διάγραμμα ελέγχου.

75 3.3 Θεωρητική προσέγγιση των μονόπλευρων γεωμετρικών διαγραμμάτων ελέγχου τύπου EWMA 61 Πίνακας 3.1 Βέλτιστο L και το αντίστοιχο ANIS1 για το κάτω γεωμετρικό EWMA διάγραμμα ελέγχου (λ = 0.3). Zero-state ANIS p0 p L ANIS1 L ANIS1 L ANIS1 L ANIS1 L ANIS1 L ANIS

76 62 Κεφάλαιο 3 Μονόπλευρα Γεωμετρικά Διαγράμματα Ελέγχου EWMA Πίνακας 3.2 Βέλτιστο L και το αντίστοιχο ANIS1 για το κάτω γεωμετρικό EWMA διάγραμμα ελέγχου (λ = 0.8). Zero-state ANIS p0 p L ANIS1 L ANIS1 L ANIS1 L ANIS1 L ANIS1 L ANIS

77 3.3 Θεωρητική προσέγγιση των μονόπλευρων γεωμετρικών διαγραμμάτων ελέγχου τύπου EWMA 63 Βέλτιστος σχεδιασμός του άνω γεωμετρικού EWMA διαγράμματος ελέγχου Στους πίνακες 3.3 και 3.4 απεικονίζεται η βέλτιστη συμπεριφορά του άνω γεωμετρικού EWMA διαγράμματος ελέγχου ως προς την παράμετρο L. Όπως και στην περίπτωση του κάτω γεωμετρικού διαγράμματος ελέγχου, εξετάστηκαν τα σενάρια τριών διαφορετικών εντός ελέγχου τιμών του p 0 : p 0 = , και Ο πίνακας 3.3 περιγράφει τη βέλτιστη συμπεριφορά της παραμέτρου L όταν λ = 0.3 και ο πίνακας 3.4 όταν λ = 0.8. Σε όλες τις περιπτώσεις, το ANIS 0 παίρνει τιμές από μέχρι και με βήμα Μια προσεκτική ματιά στους δύο πίνακες αποκαλύπτει μια παρόμοια συμπεριφορά του διαγράμματος ελέγχου και για τις δύο μελετώμενες τιμές του λ. Πιο συγκεκριμένα, το βέλτιστο L αυξάνεται ελαφρώς όσο αυξάνεται το εντός ελέγχου αρχικό ποσοστό ελαττωματικών προϊόντων p 0. Για παράδειγμα, για λ = 0.3 και όταν το ANIS 0 = 70000, η βέλτιστη τιμή του L για την ανίχνευση μιας μεταβολής από p 0 = σε p 1 = (10% μείωση του επιπέδου ποιότητας) είναι L = Από την άλλη μεριά, η βέλτιστη τιμή του L για την ανίχνευση μιας μεταβολής από p 0 = σε p 1 = (επίσης 10% μείωση στο επίπεδο ποιότητας) είναι L = Παρόμοια συμπεριφορά παρατηρείται και για λ = 0.8. Πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι για δεδομένες τιμές του εντός ελέγχου p 0, η βέλτιστη τιμή του L παραμένει η ίδια για όλο το εύρος των εξεταζόμενων αποκλίσεων. Η σύγκριση των πινάκων 3.3 και 3.4 επιβεβαιώνει επίσης ότι μικρότερες τιμές της παραμέτρου λ είναι κατάλληλες για την ανίχνευση μικρότερων αποκλίσεων. Για παράδειγμα, στην περίπτωση της σχετικά μεγάλης απόκλισης από p 0 = σε p 1 = (10% μείωση), παράγεται σήμα μετά από προϊόντα για λ = 0.3 και μετά από προϊόντα για λ = 0.8. Η ευαισθησία του διαγράμματος με λ = 0.3 είναι προφανής και γενικεύεται και στην περίπτωση μικρότερων αποκλίσεων. Για παράδειγμα, αν υπάρχει απόκλιση από την p 0 = σε p 1 = (3.3% μείωση), το διάγραμμα με L = 0.3 παράγει σήμα μετά από προϊόντα ενώ το διάγραμμα με L = 0.8 θα σημάνει μετά από Και για τις δυο συγκρίσεις, η τιμή του ANIS 0 θεωρείται ίση με Τέλος, σημειώνεται ότι δεν υπάρχουν καταγεγραμμένες τιμές του βέλτιστου L και του ANIS 1 στον πίνακα 3.3 για ANIS 0 = λόγω των πρακτικά αμελητέων τιμών του υπολογιζόμενου L. Στο γράφημα 3.3 απεικονίζεται ένα νομόγραμμα για διάφορες τιμές των λ, ARL 0 και L για το μελετώμενο άνω γεωμετρικό διάγραμμα ελέγχου που απλοποιεί τη διαδικασία επιλογής των βέλτιστων κάθε φορά παραμέτρων του διαγράμματος. Η κατασκευή του στηρίζεται στον υπολογισμό του ANIS με αναλυτικές μεθόδους (βλέπε παράρτημα Γ) που καθιστούν τη διαδικασία υπολογιστικά τετριμμένη.

78 64 Κεφάλαιο 3 Μονόπλευρα Γεωμετρικά Διαγράμματα Ελέγχου EWMA Πίνακας 3.3 Βέλτιστο L και το αντίστοιχο ANIS1 για το άνω γεωμετρικό EWMA διάγραμμα ελέγχου (λ = 0.3). Zero-state ANIS p0 p L ANIS1 L ANIS1 L ANIS1 L ANIS1 L ANIS1 L ANIS

79 3.3 Θεωρητική προσέγγιση των μονόπλευρων γεωμετρικών διαγραμμάτων ελέγχου τύπου EWMA 65 Πίνακας 3.4 Βέλτιστο L και το αντίστοιχο ANIS1 για το άνω γεωμετρικό EWMA διάγραμμα ελέγχου (λ = 0.8). Zero-state ANIS p0 p L ANIS1 L ANIS1 L ANIS1 L ANIS1 L ANIS1 L ANIS

80 66 Κεφάλαιο 3 Μονόπλευρα Γεωμετρικά Διαγράμματα Ελέγχου EWMA Σχήμα 3.3 Νομόγραμμα για τη γραφική προσέγγιση του βέλτιστου L για δεδομένες τιμές των ANIS 0, p 0 και λ για το άνω γεωμετρικό EWMA διάγραμμα ελέγχου Αποτίμηση απόδοσης και συγκρίσεις Για την αποτίμηση της απόδοσης των μονόπλευρων γεωμετρικών EWMA διαγραμμάτων ελέγχου επιλέχθηκε η σύγκρισή τους (σε επίπεδο ANIS 1 ) με το παραδοσιακό και μέχρι πρόσφατα επικρατέστερο στις διεργασίες υψηλής ποιότητας, γεωμετρικό CUSUM που περιγράφηκε στην παράγραφο Τα αποτελέσματα της σύγκρισης αυτής συνοψίζονται στους πίνακες 3.5 και 3.6. Στον πίνακα 3.5 είναι καταγεγραμμένες οι ελάχιστες τιμές του ANIS 1 που επιτυγχάνονται για το άνω γεωμετρικό CUSUM (με αρχική τιμή του στατιστικού CUSUM: u = G + 0 = 0) και για το ανάλογό του κάτω γεωμετρικό EWMA διάγραμμα ελέγχου. Το εντός ελέγχου p 0 θεωρείται ίσο με ενώ τα δύο διαγράμματα ελέγχου έχουν σχεδιαστεί να είναι βέλτιστα για αποκλίσεις στην τιμή p 1 = Σημειώνεται ότι οι παράμετροι των σχεδίων έχουν επιλεγεί έτσι ώστε το προκύπτον εντός ελέγχου ANIS 0 να είναι κατά το δυνατόν πλησιέστερα στο Εύκολα παρατηρεί κανείς ότι το κάτω γεωμετρικό EWMA διάγραμμα ελέγχου είναι πιο ευαίσθητο στην ανίχνευση αποκλίσεων σε σχέση με το παραδοσιακό γεωμετρικό CUSUM σε όλο το εύρος των εξεταζόμενων αποκλίσεων μεγέθους p 1 p 0. Σε παρόμοια συμπεράσματα οδηγούμαστε και από τη σύγκριση των δύο διαγραμμάτων ελέγχου

81 3.3 Θεωρητική προσέγγιση των μονόπλευρων γεωμετρικών διαγραμμάτων ελέγχου τύπου EWMA 67 Πίνακας 3.5 Οι τιμές των ANIS 1 του κάτω γεωμετρικού EWMA και του άνω γεωμετρικού CUSUM διαγράμματος ελέγχου. Η εντός ελέγχου τιμή του p 0 είναι Και τα δύο διαγράμματα ελέγχου έχουν σχεδιαστεί για να είναι βέλτιστα για την ανίχνευση απόκλισης σε p 1 = Κάτω Γεωμετρικό EWMA Άνω Γεωμετρικό CUSUM Εισερχόμενη L = 0.51 k = 5493 ποιότητα λ = 0.21 H = 4662 p u = στην περίπτωση της ελάττωσης της εισερχόμενης ποιότητας p. Τα αποτελέσματα των συγκρίσεων συνοψίζονται στον πίνακα 3.6 όπου γίνεται η υπόθεση ότι p 0 = και ότι οι παράμετροι του γεωμετρικού CUSUM (με αρχική τιμή του στατιστικού CUSUM: v = G 0 = 0) έχουν επιλεγεί ώστε αυτό να είναι βέλτιστο για την ανίχνευση μεταβολών που οδηγούν σε επίπεδο ποιότητας p = H διαδικασία βελτιστοποίησης του άνω γεωμετρικού EWMA διαγράμματος ελέγχου είναι προβληματική καθώς δεν μπορεί να προσδιοριστεί κατώτατο όριο ελέγχου για το ελαχιστοποιημένο εκτός ελέγχου ANIS 1 καθώς το L μειώνεται. Για το λόγο αυτό η παράμετρος L έχει επιλεγεί να παίρνει την ικανοποιητικά μικρή τιμή 0.01 και για αυτήν την τιμή το βέλτιστο λ (που προκύπτει από την ελαχιστοποίηση του ANIS 1 ) έχει υπολογιστεί σε Όλες οι παράμετροι των δυο διαγραμμάτων ελέγχου είναι τέτοιες ώστε το εντός ελέγχου ANIS 0 να είναι όσο το δυνατόν πλησιέστερα στην τιμή

82 68 Κεφάλαιο 3 Μονόπλευρα Γεωμετρικά Διαγράμματα Ελέγχου EWMA Πίνακας 3.6 Οι τιμές των ANIS 1 του άνω γεωμετρικού EWMA και του κάτω γεωμετρικού CUSUM διαγράμματος ελέγχου. Η εντός ελέγχου τιμή του p 0 είναι Και τα δύο διαγράμματα ελέγχου έχουν σχεδιαστεί για να είναι βέλτιστα για την ανίχνευση απόκλισης σε p 1 = Άνω Γεωμετρικό EWMA Κάτω Γεωμετρικό CUSUM Εισερχόμενη L = 0.01 k = ποιότητα λ = 0.44 h = 125 p v =

83 3.4 Υπολογιστική προσέγγιση μονόπλευρων γεωμετρικών EWMA διαγραμμάτων ελέγχου Υπολογιστική προσέγγιση μονόπλευρων γεωμετρικών EWMA διαγραμμάτων ελέγχου Η ολοκληρωμένη μελέτη των μονόπλευρων γεωμετρικών EWMA διαγραμμάτων ελέγχου απαιτεί επιπλέον της θεωρητικής προσέγγισης που έλαβε χώρα στην παράγραφο 3.3: i. την επαλήθευση της αποτελεσματικότητας και της ακρίβειας της τεχνικής της μαρκοβιανής μοντελοποίησης μέσω της σύγκρισης των παραγόμενων αποτελεσμάτων με τα αντίστοιχα που προκύπτουν από προσομοίωση, δηλαδή με υπολογιστικές μεθόδους (βλέπε παράγραφο 3.4.1), ii. την άμεση σύγκριση των μονόπλευρων διαγραμμάτων ελέγχου με τα παραδοσιακά δίπλευρα EWMA διαγράμματα ελέγχου και την εξαγωγή συμπερασμάτων για την ανωτερότητα των πρώτων με τη χρήση υπολογιστικών μεθόδων (βλέπε παράγραφο 3.4.2) Σύγκριση αναλυτικής και υπολογιστικής μεθόδου Είναι γεγονός ότι η ακρίβεια της μεθόδου της μαρκοβιανής μοντελοποίησης διαγραμμάτων ελέγχου έχει κατά καιρούς αμφισβητηθεί και συνεπώς το αίτημα αξιολόγησής της προβάλλει απαιτητικό. Για το σκοπό αυτό και χωρίς περιορισμό της γενικότητας, θεωρούμε το κάτω γεωμετρικό EWMA διάγραμμα ελέγχου και επιχειρούμε την εξαγωγή του αντίστοιχου ANIS (εντός αλλά και εκτός ελέγχου) τόσο με υπολογιστικές μεθόδους προσομοίωσης (Monte-Carlo) όσο και με την αναλυτική μέθοδο της μαρκοβιανής μοντελοποίησης όπως αυτή περιγράφεται στο παράρτημα Γ. Τα συμπεράσματα από τη σύγκριση αυτή γενικεύονται εύκολα και στην περίπτωση χρήσης του άνω γεωμετρικού EWMA διαγράμματος ελέγχου. Τα αποτελέσματα της σύγκρισης συνοψίζονται στον πίνακα 3.7. Κεντρική γραμμή (τιμή στόχος) θεωρείται το p 0 = και εξετάζονται αποκλίσεις στις τιμές p 1 = , και Για την προσομοίωση εκτελέστηκαν επαναλήψεις της διαδικασίας εντοπισμού του σημείου σήμανσης εκτός ελέγχου κατάστασης σε αντίστοιχου πλήθους δείγματα γεωμετρικά κατανεμημένων παρατηρήσεων μεγάλου μεγέθους ( παρατηρήσεις). Έπειτα, ο υπολογισμός του μέσου σημείου σήμανσης είναι απλός. Τα αποτελέσματα της χρονοβόρας προσομοίωσης είναι καταγεγραμμένα στην πρώτη στήλη του πίνακα 3.7. Το μεγάλο πλήθος των επαναλήψεων εξασφαλίζει ότι οι υπολογισμένες μέσω προσομοίωσης τιμές του ANIS είναι πολύ κοντά στις πραγματικές. Στη δεύτερη και τρίτη στήλη του πίνακα παρουσιάζονται οι τιμές του ANIS που υπολογίζονται με την τεχνική της μαρκοβιανής μοντελοποίησης χρησιμοποιώντας διακριτοποίηση της μαρκοβιανής αλυσίδας σε m = 50 (δεύτερη στήλη) και σε m = 150 (τρίτη στήλη) καταστάσεις. Τονίζεται ότι τα αποτελέσματα θεωρούνται περισσότερο ακριβή όταν χρησιμοποιούνται μεγάλες τιμές του m. Ωστόσο, για τιμές του m > 150 η διαχείριση των m m πινάκων μετάβασης που προκύπτουν είναι υπολογιστικά απαγορευτική. Οι Shu et al. (2007) που χρησιμοποίησαν με παρόμοιο τρόπο την τεχνική

84 70 Κεφάλαιο 3 Μονόπλευρα Γεωμετρικά Διαγράμματα Ελέγχου EWMA Πίνακας 3.7 Σύγκριση τιμών ANIS που προκύπτουν με τη μέθοδο της προσομοίωσης και της αναλυτικής μεθόδου της μαρκοβιανής μοντελοποίησης (για µ = 50 και µ = 150 καταστάσεις). ANIS μαρκοβιανής μοντελοποίησης p ANIS προσομοίωσης m = 50 m = της μαρκοβιανής μοντελοποίησης σε κανονικά δεδομένα, θεωρούν ότι ο διαχωρισμός της μαρκοβιανής αλυσίδας σε 150 καταστάσεις οδηγεί τις περισσότερες φορές σε ικανοποιητικά αποτελέσματα. Μελετώντας τον πίνακα 3.7 παρατηρούμε ότι: i. Η διαφορά στις τιμές του ANIS που προκύπτει με τη χρήση m = 50 και m = 150 καταστάσεων είναι μικρή και εμφανίζεται με τη μορφή μικρής υπερτίμησης των τιμών του ANIS για m = 50. Ωστόσο, η διαφορά αυτή μπορεί να θεωρηθεί ανεκτή καθώς το κέρδος σε υπολογιστικό χρόνο και φόρτο που προκύπτει με τη χρήση μικρότερων τιμών του m είναι σημαντικό. Πρέπει να σημειωθεί ότι λόγω της μεγάλης λοξότητας που παρουσιάζει η γεωμετρική κατανομή, τιμές του m < 50 πρέπει να αποφεύγονται καθώς ενδέχεται να οδηγήσουν σε αναξιόπιστα συμπεράσματα. ii. Θεωρώντας τα αποτελέσματα της προσομοίωσης πολύ κοντά στα πραγματικά, η σύγκριση των δύο μεθόδων, της υπολογιστικής και της αναλυτικής με m = 150 είναι ενδεικτική της επάρκειας της τεχνικής της μαρκοβιανής μοντελοποίησης. Οι διαφορές στις δύο μεθόδους είναι πολύ μικρές και η μεγαλύτερη είναι της τάξης του 0.1%. Συμπερασματικά λοιπόν, με τη μέθοδο της μαρκοβιανής μοντελοποίησης καθίσταται εφικτός ο ταχύτατος υπολογισμός του εκάστοτε ANIS χωρίς το ρίσκο και τον υπολογιστικό φόρτο της τεχνικής της προσομοίωσης Σύγκριση μονόπλευρων και δίπλευρων διαγραμμάτων με την υπολογιστική μέθοδο Με δεδομένο ότι η αποτελεσματικότητα της μεθόδου της μαρκοβιανής μοντελοποίησης ελέγχεται, έχει ενδιαφέρον η σύγκριση των μονόπλευρων γεωμετρικών EWMA διαγραμμάτων ελέγχου με τα αντίστοιχα δίπλευρα, αποκλειστικά με μεθόδους προσομοίωσης. Οι Yeh et al. (2008) παρουσίασαν μια συγκριτική μελέτη στο πλαίσιο της οποίας κατέδειξαν την ανωτερότητα των δίπλευρων γεωμετρικών EWMA έναντι των δίπλευρων διωνυμικών και Bernoulli EWMA διαγραμμάτων ελέγχου,

85 3.4 Υπολογιστική προσέγγιση μονόπλευρων γεωμετρικών EWMA διαγραμμάτων ελέγχου 71 χρησιμοποιώντας προσομοιώσεις. Επεκτείνοντας τις προσπάθειες τους, παρακάτω θα καταδείξουμε την ανωτερότητα των μονόπλευρων γεωμετρικών EWMA διαγραμμάτων ελέγχου έναντι των αντίστοιχων δίπλευρων γεωμετρικών EWMA και άρα επαγωγικά έναντι των δίπλευρων διωνυμικών και Bernoulli EWMA διαγραμμάτων (βλέπε και Eleftheriou and Farmakis (2011b)). Για το σκοπό αυτό και για κάθε τιμή αρχικής ποιότητας p 0 και απόκλισης σε επίπεδο p 1 προσομοιώθηκαν γραμμές παραγωγής (πίνακας 3.8). Τα δύο συγκρινόμενα διαγράμματα εφαρμόστηκαν σε αυτές και για κάθε λ (εκ των μελετώμενων λ = 0.1 και λ = 0.5) εξετάστηκε με τη μέθοδο «δοκιμής και σφάλματος» (δηλαδή με έλεγχο κάθε δυνατής τιμής του L) ποιες είναι κατά μέσο όρο οι τιμές του L που ικανοποιούν το εκάστοτε δεδομένο ANIS 0. Από αυτές επιλέχθηκε ως βέλτιστη εκείνη που αντιστοιχεί στο ελάχιστο ANIS 1. Ενδεικτικά στοιχεία των βέλτιστων παραμέτρων των δύο σχεδίων φιλοξενούνται στον πίνακα 3.8.

86 72 Κεφάλαιο 3 Μονόπλευρα Γεωμετρικά Διαγράμματα Ελέγχου EWMA Πίνακας 3.8 Βέλτιστο L και το αντίστοιχο ANIS1 για το κάτω γεωμετρικό EWMA (EWMAl) και το δίπλευρο γεωμετρικό EWMA (EWMAt) διάγραμμα ελέγχου. Zero-state ANIS0 λ = 0.1 λ = p0 p EWMAl EWMAt EWMAl EWMAt EWMAl EWMAt EWMAl EWMAt L=0.214 L=0.250 L=0.072 L=0.151 L=1.010 L=0.753 L=0.740 L= p0 p L=0.555 L=0.559 L=0.403 L=0.401 L=1.384 L=1.000 L=1.201 L= p0 p L=0.806 L=0.765 L=0.657 L=0.609 L=1.601 L=1.103 L=1.429 L=

87 3.5 Συμπεράσματα-Ανακεφαλαίωση 73 Πιο συγκεκριμένα, στον πίνακα 3.8 παρουσιάζονται τα εκτός ελέγχου ANIS 1 όταν το εντός ελέγχου ANIS 0 παίρνει τιμές και Οι αρχικά εντός ελέγχου τιμές του p είναι p 0 = , και και ένα πλήθος προς τα πάνω αποκλίσεων λαμβάνονται υπόψη. Η παράμετρος εξομάλυνσης λ έχει επιλεγεί να παίρνει τιμές λ = 0.1 και λ = 0.5, που χρησιμοποιούνται κατά κόρον στη σχετική βιβλιογραφία. Για κάθε ένα από τα δυο διαγράμματα ελέγχου και για κάθε τιμή της παραμέτρου λ καταγράφεται η παράμετρος L που ικανοποιώντας το ANIS 0 ελαχιστοποιεί το εκτός ελέγχου ANIS 1 για αποκλίσεις σε επίπεδο p = Σημειώνεται ότι η τιμή του L που προκύπτει με την παραπάνω διαδικασία παραμένει βέλτιστη (με αμελητέες διακυμάνσεις) σε όλο το εύρος των μελετώμενων αποκλίσεων. Μία προσεκτική ματιά στον πίνακα 3.8 αποκαλύπτει παρόμοια συμπεριφορά βελτιστοποίησης τόσο για το μονόπλευρο όσο και για το δίπλευρο διάγραμμα ελέγχου. Η βέλτιστη τιμή του L παρουσιάζει μικρή αύξηση όσο αυξάνει η αρχικά εντός ελέγχου εισερχόμενη ποιότητα p 0. Για παράδειγμα, στην περίπτωση που η παράμετρος εξομάλυνσης παίρνει τιμή λ = 0.1 και το εντός ελέγχου ANIS 0 = 70000, η βέλτιστη τιμή του L για την ανίχνευση απόκλισης από την τιμή p 0 = στην τιμή p 1 = (100% αύξηση στο επίπεδο της εισερχόμενης ποιότητας p) είναι για το κάτω γεωμετρικό EWMA διάγραμμα ελέγχου και για το δίπλευρο γεωμετρικό διάγραμμα ελέγχου. Από την άλλη μεριά, η βέλτιστη τιμή του L για την ανίχνευση αποκλίσεων από την τιμή p 0 = στην τιμή p 1 = (επίσης 100% αύξηση στο επίπεδο της εισερχόμενης ποιότητας) είναι και αντίστοιχα για λ = 0.1. Τέλος, σημειώνεται ότι ο πίνακας 3.8, επιτρέπει και διευκολύνει την άμεση σύγκριση της ανιχνευτικής ευαισθησίας των δύο διαγραμμάτων ελέγχου με δεδομένη τη διατήρηση της βέλτιστης τιμή της παραμέτρου L. Για κάθε μελετώμενη απόκλιση της εισερχόμενης ποιότητας p το κάτω γεωμετρικό EWMA διάγραμμα ελέγχου εμφανίζεται περισσότερο ευαίσθητο, καθώς οι τιμές του εκτός ελέγχου ANIS 1 είναι μακράν μικρότερες από τις αντίστοιχες του δίπλευρου γεωμετρικού EWMA διαγράμματος ελέγχου. 3.5 Συμπεράσματα-Ανακεφαλαίωση Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η καινοτόμα ιδέα ενός μονόπλευρου γεωμετρικού διαγράμματος ελέγχου βασισμένου στο στατιστικό EWMA. Το νέο διάγραμμα θεμελιώνεται θεωρητικά και προτείνεται μια αναλυτική μέθοδος εξαγωγής του ANIS που το χαρακτηρίζει, με τη βοήθεια κατάλληλης τεχνικής μαρκοβιανής μοντελοποίησης. Τα συμπεράσματα της αποτελεσματικότητάς του επιβεβαιώνονται και με μεθόδους προσομοίωσης, ενώ η ανωτερότητά του έναντι των υφιστάμενων διαγραμμάτων επιδεικνύεται μέσα από πλήθος συγκρίσεων.

88 74 Κεφάλαιο 3 Μονόπλευρα Γεωμετρικά Διαγράμματα Ελέγχου EWMA

89 Κεφάλαιο 4 Στοιχεία δειγματοληψίας αποδοχής και εφαρμογές σε διαγράμματα ελέγχου 4.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό επιχειρείται η καινοτόμα εφαρμογή της θεωρίας των μονόπλευρων διαγραμμάτων ελέγχου που μελετήθηκαν στο κεφάλαιο 3, στο επίπεδο της δειγματοληψίας αποδοχής. Στόχος είναι η ανάπτυξη ενός πρωτοποριακού και ιδιαίτερα αποτελεσματικού, ευρύτερου σχήματος ελέγχου ποιότητας που θα ενσωματώνει χαρακτηριστικά και στοιχεία τόσο από τη θεωρία των διαγραμμάτων ελέγχου, όσο και από τη θεωρία δειγματοληψίας αποδοχής. Στην προκαταρκτική παράγραφο 4.2 παρουσιάζονται συνοπτικά οι θεμελιώδεις αρχές, οι στόχοι και οι φυσικοί περιορισμοί της δειγματοληψίας αποδοχής. Στην παράγραφο 4.3 απαριθμούνται οι βασικοί τύποι των σχεδίων δειγματοληψίας αποδοχής. Στην παράγραφο 4.4, μελετώνται τα βασικότερα σύγχρονα εργαλεία της δειγματοληψίας αποδοχής, τα σχέδια συνεχούς δειγματοληψίας, και αναλύεται ο τρόπος εφαρμογής τους αλλά και αξιολόγησής τους με τη βοήθεια κατάλληλων μέτρων απόδοσης. Στη συνέχεια, στην παράγραφο 4.5, παρουσιάζεται ένα νέο σχέδιο συνεχούς δειγματοληψίας προορισμένου για εφαρμογή στην ειδική κατηγορία των διεργασιών μικρού μήκους, όπως μελετήθηκαν μεταξύ άλλων και από τους Φαρμάκης and Ελευθερίου (2006). Τέλος, στην παράγραφο 4.6 παρουσιάζεται διεξοδικά η καινοτόμα εφαρμογή των μονόπλευρων διαγραμμάτων ελέγχου στα σχέδια συνεχούς δειγματοληψίας. 4.2 Στοιχεία θεωρίας δειγματοληψίας αποδοχής Η έννοια της δειγματοληψίας αποδοχής Ο κλάδος του επιστημονικού πεδίου του στατιστικού ελέγχου ποιότητας, γνωστός και ως «δειγματοληψία αποδοχής» (acceptance sampling) αναφέρεται στην παρατήρηση μέρους ενός πληθυσμού με σκοπό τη μελέτη κάποιων χαρακτηριστικών του και τη διαμόρφωση γνώμης για την απόρριψη ή 75

90 76 Κεφάλαιο 4 Στοιχεία δειγματοληψίας αποδοχής και εφαρμογές σε διαγράμματα ελέγχου την αποδοχή του. Ακριβής ορισμός της δειγματοληψίας αποδοχής παρατίθεται στο ANSI/ISO/ASQC (1993): Ορισμός. Δειγματοληψία αποδοχής είναι η διαδικασία κατά τη διάρκεια της οποίας λαμβάνεται η απόφαση για την αποδοχή ή απόρριψη ενός επιθεωρούμενου προϊόντος ή υπηρεσίας με βάση ένα ή περισσότερα δείγματα. Τα επιθεωρούμενα προϊόντα επιλέγονται προς επιθεώρηση με μεθόδους δειγματοληψίας. Ο τρόπος υλοποίησης της δειγματοληψίας αποδοχής ονομάζεται σχέδιο δειγματοληψίας αποδοχής και καθορίζει το μέγεθος του εξεταζόμενου δείγματος, τον τρόπο επιλογής του και τα κριτήρια αποδοχής ή απόρριψης της εξεταζόμενης παρτίδας προϊόντων ή και ολόκληρης της διεργασίας. Κατά τις δεκαετίες του 1930 και του 1940, η δειγματοληψία αποδοχής αποτελούσε ένα από τα πλέον σημαντικά και προηγμένα εργαλεία της διαφύλαξης ελέγχου ποιότητας (quality assurance) και χρησιμοποιούνταν κυρίως στην επιθεώρηση των εισερχόμενων ή λαμβανόμενων προϊόντων. Στις επόμενες δεκαετίες, η ανάπτυξη του στατιστικού ελέγχου ποιότητας και του κλάδου του πειραματικού σχεδιασμού (experimental design) οδήγησε αναπόφευκτα στον παραμερισμό της δειγματοληψίας αποδοχής ή στη μετακύλισή της σε ύστερα στάδια της παραγωγικής διαδικασίας. Πιο συγκεκριμένα, άρχισε πλέον να χρησιμοποιείται στο τελικό στάδιο των παραγωγικών διεργασιών λειτουργώντας περισσότερο ως δικλείδα ασφαλείας διαφύλαξης της ποιότητας πριν το τελευταίο βήμα απελευθέρωσης των προϊόντων προς κατανάλωση. Σύμφωνα με τον Montgomery (2008) είναι εύκολα διακριτές τρεις βασικές διαστάσεις της δειγματοληψίας αποδοχής: i. Σκοπός κάθε σχεδίου δειγματοληψίας στο πλαίσιο του οποίου υλοποιείται η δειγματοληψία αποδοχής, είναι να κρίνει ως απορριπτέα ή μη μια παρτίδα προϊόντων ή μια ολόκληρη διεργασία και όχι να εκτιμήσει το επίπεδο ποιότητάς της. Τα σχέδια δειγματοληψίας αποδοχής δεν είναι σχεδιασμένα για εκτίμηση επιπέδου ποιότητας και η χρήση τους για αυτό το σκοπό μπορεί να οδηγήσει τουλάχιστον σε εσφαλμένα συμπεράσματα. ii. Τα σχέδια δειγματοληψίας αποδοχής δεν παρέχουν καμία μορφή ευθέως ελέγχου ποιότητας, κάτι που γίνεται από τις διαδικασίες ελέγχου ποιότητας. Απλώς διαμορφώνουν τα κριτήρια αποδοχής ή απόρριψης παρτίδων ή και ολόκληρων διεργασιών. Είναι χαρακτηριστικό ότι ακόμα και σε ένα σύνολο ακριβώς όμοιων ποιοτικά παρτίδων προϊόντων, κάποιες θα απορριφθούν και κάποιες θα γίνουν αποδεκτές από το εμπλεκόμενο σχέδιο δειγματοληψίας. iii. Ο πιο αποτελεσματικός τρόπος αξιοποίησης της δειγματοληψίας αποδοχής είναι η χρήση της όχι για την επιθεώρηση της ποιότητας μέσα στο προϊόν, αλλά ως εργαλείου διασφάλισης της τελικής ποιότητας της διεργασίας.

91 4.2 Στοιχεία θεωρίας δειγματοληψίας αποδοχής 77 Εκτός από τη δειγματοληψία αποδοχής, υπάρχουν δύο ακόμη προσεγγίσεις για το χαρακτηρισμό μιας παρτίδας προϊόντων ως απορριπτέας ή όχι: η αποδοχή χωρίς επιθεώρηση και η 100% επιθεώρηση. Η πρώτη εφαρμόζεται σε περιπτώσεις όπου είναι δεδομένο ότι η διεργασία είναι εξαιρετικά υψηλής απόδοσης και δε συντρέχει λόγος επιθεώρησης ή δε διαμορφώνονται οικονομικές απαιτήσεις εύρεσης των ελαττωματικών προϊόντων. Η δεύτερη προτιμάται όταν η ποιότητα των υπό έλεγχο προϊόντων είναι μείζονος σημασίας και πιθανή αποδοχή ελαττωματικών μπορεί να οδηγήσει σε μη αποδεκτό κόστος. Συνοψίζοντας, οι καταστάσεις όπου η δειγματοληψία αποδοχής μπορεί να φανεί πιο χρήσιμη από την 100% επιθεώρηση ή την αποδοχή χωρίς επιθεώρηση, είναι: i. Όταν ο έλεγχος των προϊόντων είναι καταστρεπτικός. ii. Όταν το κόστος της 100% επιθεώρησης είναι εξαιρετικά υψηλό και άρα πρακτικά μη ανεκτό. iii. Όταν η 100% επιθεώρηση είναι τεχνικά ή χρονικά ανέφικτη. iv. Όταν το προς επιθεώρηση πλήθος προϊόντων είναι πολύ μεγάλο και παράλληλα υπάρχει στατιστικά σημαντική συχνότητα εμφάνισης σφαλμάτων επιθεώρησης. Ο συνδυασμός των παραπάνω συνθηκών μπορεί να έχει ως αποτέλεσμα της εφαρμογής της 100% επιθεώρησης, την εμφάνιση σημαντικού ποσοστού ελαττωματικών προϊόντων. v. Όταν υπάρχουν εν δυνάμει σοβαρά προβλήματα αξιοπιστίας των υπό έλεγχο προϊόντων. Σε αυτή την περίπτωση ακόμη και όταν η διεργασία είναι ιδιαίτερα ικανοποιητική, η δειγματοληπτική επιθεώρηση κρίνεται απαραίτητη καθώς το ρίσκο δραματικής επιδείνωσης της ποιότητας δεν μπορεί να γίνει ανεκτό. Η παρουσίαση της έννοιας της δειγματοληψίας αποδοχής μπορεί να θεωρηθεί πιο ολοκληρωμένη μετά την απαρίθμηση, στην επόμενη παράγραφο, των πλεονεκτημάτων και μειονεκτημάτων της Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα της δειγματοληψίας αποδοχής Ο Montgomery (2008) ως απόσταγμα της προσωπικής του εμπειρίας, διακρίνει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα της δειγματοληψίας σε σύγκριση με την 100% επιθεώρηση μιας παρτίδας προϊόντων: i. Συνήθως και εκτός ακραίων περιπτώσεων, η δειγματοληψία εμπεριέχει μικρότερο κόστος λόγω της μειωμένης επιθεώρησης. ii. Υπάρχει μειωμένη επαφή με τα προϊόντα και άρα μικρότερο κόστος καταστροφής τους που αυτή θα μπορούσε δυνητικά να προκαλέσει. iii. Είναι εφαρμόσιμη όταν ο έλεγχος είναι καταστρεπτικός. iv. Απαιτεί την απασχόληση λιγότερου εξειδικευμένου προσωπικού.

92 78 Κεφάλαιο 4 Στοιχεία δειγματοληψίας αποδοχής και εφαρμογές σε διαγράμματα ελέγχου v. Συχνά μπορεί να οδηγήσει στη σημαντική μείωση του σφάλματος επιθεώρησης, που σε αρκετές διεργασίες δεν είναι καθόλου αμελητέο. vi. Η απόρριψη ολόκληρων παρτίδων ή και διεργασιών συχνά μπορεί να αποτελέσει κίνητρο για την περαιτέρω προσπάθεια βελτίωσης της διεργασίας. Τα παραπάνω πλεονεκτήματα της δειγματοληψίας που πρεσβεύει ο Montgomery (2008), είναι σημαντικά αλλά κατά καιρούς έχουν αμφισβητηθεί και δεχτεί κριτική πολλές φορές ακόμη και δριμεία. Πιο συγκεκριμένα, το πρώτο πλεονέκτημα στην προαναφερθείσα λίστα που αφορά το κόστος, δεν υφίσταται a priori σε όλες τις διεργασίες. Όπως μελετάται στην παράγραφο 5.5, το τελικό κόστος εφαρμογής της δειγματοληψίας αποδοχής δεν καθορίζεται μόνο από το κόστος επιθεώρησης αλλά είναι συνάρτηση και άλλων παραμέτρων κόστους, όπως το κόστος αποδοχής ελαττωματικών προϊόντων και το κόστος αντικατάστασης αυτών. Οι παράγοντες που υπεισέρχονται στη διαμόρφωση αυτών των παραμέτρων κόστους δεν είναι πάντα σταθερές και προβλέψιμες ενώ μπορούν να εκτοξεύσουν αιφνιδίως, για παράδειγμα, το κόστος αποδοχής ελαττωματικών προϊόντων, καθιστώντας οποιοδήποτε κέρδος προκύπτει από τη μείωση του κόστους επιθεώρησης πρακτικά περιττό. Στο πλαίσιο της κριτικής επί της δειγματοληψίας αποδοχής, ο Montgomery (2008) διακρίνει τα ακόλουθα μειονεκτήματα της δειγματοληψίας: i. Υπάρχει πάντα η πιθανότητα απόρριψης αποδεκτών παρτίδων και αποδοχής ελαττωματικών. ii. Η δειγματοληψία παρέχει λιγότερη πληροφορία και άρα εποπτεία, όσο αφορά στη διεργασία αλλά και στο υπό έλεγχο προϊόν. iii. Η δειγματοληψία αποδοχής απαιτεί σχεδιασμό και τεκμηρίωση της επιλεγμένης διαδικασίας δειγματοληψίας (δηλαδή του σχεδίου δειγματοληψίας), ενώ η 100% επιθεώρηση δεν υπόκειται σε τέτοιους περιορισμούς. Επιπλέον των παραπάνω μειονεκτημάτων, δύο μελέτες, αυτή του Mood (1943) και του Deming (1986) έθεσαν τη βάση ακόμη σοβαρότερων αμφισβητήσεων της αναγκαιότητας της δειγματοληψίας αποδοχής συμβάλλοντας σημαντικά στην μετατόπισή της στο παρασκήνιο της ερευνητικής δραστηριότητας. Στις επόμενες δύο παραγράφους σκιαγραφείται ο τρόπος που οι παραπάνω μελέτες παραγκώνισαν αδίκως τη δειγματοληψία αποδοχής και περιγράφεται ο λόγος για τον οποίο αυτή θεωρείται από το συγγραφέα τελικώς αναίτια Η δειγματοληψία αποδοχής και το θεώρημα του Mood Κατά τη διάρκεια της αποκορύφωσης της ερευνητικής δραστηριότητας στο πεδίο του ελέγχου ποιότητας, η οποία μεταξύ των άλλων επιταχύνονταν από τη στρατιωτική παραγωγική δραστηριότητα του Β παγκόσμιου πολέμου, ο Mood (1943) δημοσίευσε μια μελέτη για τις διαστάσεις και

93 4.2 Στοιχεία θεωρίας δειγματοληψίας αποδοχής 79 τη σημασία της δειγματοληψίας αποδοχής. Η εργασία του περιλαμβάνει και ένα θεώρημα που σε κάποιους επιστημονικούς κύκλους έγινε αποδεκτό ως «ο θάνατος της δειγματοληψίας αποδοχής». Ωστόσο, ο χαρακτηρισμός αυτός μόνο υπερβολικός μπορεί να χαρακτηριστεί αφού στην πραγματικότητα ο Mood (1943) μέσα από την εργασία του καταφέρνει να προσδώσει μια άνευ προηγουμένου εποπτεία της θεωρίας αλλά και του τρόπου εφαρμογής της δειγματοληψίας αποδοχής, θέτοντας το ακριβές θεωρητικό της υπόβαθρο και καταγράφοντας τις αναγκαίες για την μαθηματική της ερμηνεία και θεμελίωση, παραδοχές. Το θεώρημα αυτό, διατυπώνεται ως εξής: Θεώρημα. Αν η μεταβλητή X ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή, δηλαδή αν: ( ) N Prob(X) = p X (1 p) N X X τότε οι μεταβλητές x και X x είναι ανεξάρτητα κατανεμημένες. Στην παραπάνω διατύπωση του θεωρήματος του Mood (1943), η μεταβλητή X εκφράζει το πλήθος των ελαττωματικών προϊόντων σε μια παρτίδα που περιέχει N προϊόντα. Η ποσότητα x εκφράζει το πλήθος των ελαττωματικών προϊόντων που συναντώνται σε ένα δείγμα μεγέθους n της αρχικής παρτίδας. Η σημαντικότητα του θεωρήματος έγκειται στην απόδειξη ότι το πλήθος x ελαττωματικών προϊόντων που βρίσκονται σε ένα δείγμα της αρχικής παρτίδας είναι ανεξάρτητο και κατά συνέπεια δεν παρέχει καμία πληροφορία για το πλήθος των ελαττωματικών προϊόντων X x στην αρχική παρτίδα μετά την απομάκρυνση του δείγματος από αυτήν, γεγονός που ερμηνεύτηκε από κάποιους ως κατάργηση της ανάγκης δειγματοληψίας. Προφανώς, το θεώρημα του Mood (1943) ισχύει αλλά κάτω από συγκεκριμένες και πολύ δεσμευτικές παραδοχές που σε ρεαλιστικές συνθήκες σπάνια συναντώνται. Πιο συγκεκριμένα, και όπως σχολιάζει ο Stephens (2001), το θεώρημα ισχύει με δεδομένο ότι η μεταβλητή X ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή, που σημαίνει ότι το πλήθος των ελαττωματικών προϊόντων σε κάθε παρτίδα είναι μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί συγκεκριμένο στατιστικό μοτίβο, δηλαδή η διεργασία βρίσκεται σε μια κατάσταση γνωστή και ως κατάσταση στατιστικού ελέγχου (state of statistical control) με δεδομένη και σταθερή την παράμετρο p της κατανομής της. Συνεπώς, όταν η παράμετρος p δεν είναι γνωστή, το θεώρημα του Mood (1943) δεν ισχύει. Σε αυτήν την περίπτωση, όπως παρατήρησε ο Milligan (1991), η συλλεγόμενη με τη μέθοδο της δειγματοληψίας πληροφορία για το p σε κάθε δείγμα, βοηθάει στην εκτίμηση του πλήθους των ελαττωματικών προϊόντων στην αρχική παρτίδα. Γίνεται λοιπόν κατανοητό ότι όταν το p δεν είναι γνωστό, η δειγματοληψία αποδοχής βοηθά στην εξαγωγή στατιστικών συμπερασμάτων για το επίπεδο ποιότητας της διεργασίας και όπως υποστήριξε ο Rigdon (1995) σε αυτήν την περίπτωση, το θεώρημα του Mood (1943) αδυνατεί να καταρρίψει την επάρκεια και την αποτελεσματικότητα της δειγματοληψίας αποδοχής. Όμως, ακόμη και στην περίπτωση που το p θεωρείται γνωστό, η δειγματοληψία έχει λόγο ύπαρξης καθώς αποτελεί ιδανικό εργαλείο διασφάλισης και επιβεβαίωσης του επιπέδου p που υποτίθεται ότι είναι γνωστό αλλά στην

94 80 Κεφάλαιο 4 Στοιχεία δειγματοληψίας αποδοχής και εφαρμογές σε διαγράμματα ελέγχου πράξη μπορεί να αποκλίνει από τη θεωρητική τιμή. Άλλωστε ο ίδιος ο Mood (1943) σχολιάζει ότι «...μετά την εξέταση κάθε δείγματος από την αρχική παρτίδα προϊόντων προκύπτει κάποια πληροφορία για την κατανομή του πληθυσμού η οποία αυξάνεται καθώς περισσότερα δείγματα εξετάζονται. Κάθε παραμέληση αυτής της πληροφορίας θα μπορούσε να χαρακτηριστεί επιεικώς αλόγιστη» Η δειγματοληψία αποδοχής και o κανόνας kp του Deming Η δεύτερη μελέτη που επηρέασε σημαντικά την εξέλιξη της δειγματοληψίας αποδοχής είναι αυτή του Deming (1986), στην οποία παρουσιάζεται ένας κανόνας επιλογής του τρόπου δειγματοληψίας γνωστός και ως κανόνας kp του Deming. Σύμφωνα με αυτόν, η βέλτιστη στρατηγική μπορεί να είναι κάθε φορά μια εκ των 100% επιθεώρησης και μη επιθεώρηση. Στην προσπάθεια θεμελίωσης αυτού του κανόνα, ο Deming (1986) ορίζει: i. το p, που είναι η εισερχόμενη ποιότητα της διεργασίας και ουσιαστικά εκφράζει το ποσοστό ελαττωματικών προϊόντων. Επίσης ορίζει το συμπληρωματικό του p που είναι το q = 1 p, ii. το k 1, που είναι το κόστος επιθεώρησης ενός προϊόντος, και iii. το k 2, που είναι το κόστος αποδοχής ενός ελαττωματικού προϊόντος μέσω της φάσης της δειγματοληψίας. Ουσιαστικά πρόκειται για το κόστος παράδοσης ενός ελαττωματικού προϊόντος στον καταναλωτή. Έπειτα ο Deming (1986) με δεδομένο ότι η διεργασία βρίσκεται σε κατάσταση στατιστικού ελέγχου, (δηλαδή σε κάθε παρτίδα και άρα σε ολόκληρη τη διεργασία τα ελαττωματικά προϊόντα είναι διωνυμικά κατανεμημένα με μέση τιμή p), καταλήγει σε δύο δυνατά σενάρια για τα οποία το συνολικό κόστος του σχεδίου ελαχιστοποιείται: Περίπτωση 1. Αν ο λόγος k 1 /k 2 > p, τότε προτείνεται η απευθείας αποδοχή της παρτίδας προϊόντων ή ολόκληρης της διεργασίας αν η ροή είναι συνεχής, χωρίς καμίας μορφής επιθεώρηση. Περίπτωση 2. Αν ο λόγος k 1 /k 2 < p, τότε προτείνεται η εφαρμογή 100% επιθεώρησης. Προφανώς ο κανόνας του kp του Deming αποκλείει ως περιττή και οικονομικά ασύμφορη τη χρήση σχεδίων δειγματοληψίας αποδοχής. Ωστόσο, όπως και στην περίπτωση του θεωρήματος του Mood (1943), ο κανόνας αυτός ισχύει όταν συγκεκριμένες αυστηρές παραδοχές ικανοποιούνται χωρίς παρέκκλιση. Πιο συγκεκριμένα, πρέπει να είναι γνωστή η εισερχόμενη ποιότητα p κάτι που στην πλειονότητα των περιπτώσεων δε συμβαίνει ή δεν μπορεί να συμβαίνει με ακρίβεια. Επίσης, ο κανόνας ισχύει όταν οι παράμετροι κόστους k 1 και k 2 είναι γνωστές. Και παρά το γεγονός ότι οι παράμετροι αυτές μπορούν να εκτιμηθούν, υπάρχουν περιπτώσεις (βλέπε παράγραφο 5.5) όπου το κόστος k 2 είναι διαφορετικά ορισμένο και ο προσδιορισμός του είναι από δύσκολος έως ανέφικτος.

95 4.3 Τύποι σχεδίων δειγματοληψίας αποδοχής 81 Συνοψίζοντας τα συμπεράσματα της προηγηθείσης επιχειρηματολογίας μπορούμε να ισχυριστούμε ότι: i. Αν η υπό εξέταση διεργασία βρίσκεται σε κατάσταση στατιστικού ελέγχου με δεδομένο και σταθερό επίπεδο εισερχόμενης ποιότητας p, και με δεδομένο και σταθερό κόστος επιθεώρησης και αποδοχής ελαττωματικών προϊόντων, τότε ο κανόνας του kp του Deming μπορεί να εφαρμοστεί και να αποφασιστεί είτε 100% επιθεώρηση είτε αποδοχή της παρτίδας (ή της διεργασίας αν η ροή είναι συνεχής) χωρίς κανένα έλεγχο. ii. Αν οποιαδήποτε από τις προϋποθέσεις που περιγράφονται στο i. παραβιάζεται, τότε η εμπλοκή διαδικασιών δειγματοληψίας αποδοχής είναι πιθανόν να αποβεί οικονομικά περισσότερο συμφέρουσα επιλογή. Παρά το γεγονός ότι τόσο του θεώρημα του Mood (1943) όσο και ο kp κανόνας του Deming (1986) θεμελιώνονται θεωρητικά, στην πράξη οι προϋποθέσεις για την ισχύ τους πολύ δύσκολα ικανοποιούνται. Υπό αυτό το πρίσμα, εξακολουθούν να συντρέχουν σοβαροί λόγοι συνύπαρξης της δειγματοληψίας αποδοχής με εργαλεία όπως ο στατιστικός έλεγχος ποιότητας και ο πειραματικός σχεδιασμός στη βάση ενός ολοκληρωμένου και αλληλοσυμπληρούμενου σχήματος. Παράλληλα όμως, διαφαίνεται και η ανάγκη εξέλιξης των παραδοσιακών σχεδίων δειγματοληψίας και η προσαρμογή τους στα νέα δεδομένα των σύγχρονων αυτοματοποιημένων παραγωγικών διεργασιών υψηλής απόδοσης. Στην επόμενη παράγραφο παρουσιάζονται οι βασικοί τύποι των σχεδίων δειγματοληψίας και δίνεται έμφαση στα σχέδια συνεχούς δειγματοληψίας, μια καινοτόμα τροποποίηση των οποίων προτείνεται στην τελευταία παράγραφο του κεφαλαίου. 4.3 Τύποι σχεδίων δειγματοληψίας αποδοχής Η δειγματοληψία αποδοχής ανάλογα με τα χαρακτηριστικά της εκάστοτε παραγωγικής διεργασίας μπορεί να υλοποιηθεί με διάφορους τύπους σχεδίων δειγματοληψίας. Ωστόσο, όλοι οι τύποι ταξινομούνται σε δύο μεγάλες και γενικές κατηγορίες κατά αναλογία με το διαχωρισμό των διαγραμμάτων ελέγχου που αναφέρεται στην παράγραφο 1.3.1: στα σχέδια δειγματοληψίας ποσοτικών μεταβλητών (variables sampling plans) και στα σχέδια δειγματοληψίας ιδιοτήτων ή χαρακτηριστικών ή αλλιώς ποιοτικών μεταβλητών (attributes sampling plans). Ακολουθώντας την ίδια λογική που αναπτύχθηκε κατά τη μελέτη των διαγραμμάτων ελέγχου, στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής το ενδιαφέρον μας επικεντρώνεται στη δεύτερη κατηγορία σχεδίων δειγματοληψίας για δύο βασικούς λόγους: διότι είναι απλούστερα στην εφαρμογή καθώς ελέγχουν την παρουσία ή την απουσία συγκεκριμένης ιδιότητας (go, not-go) και γιατί είναι ευκολότερα προσαρμόσιμα σε διαφορετικού είδους και μορφής διεργασίες χωρίς να υπόκεινται σε περιορισμούς όπως είναι η υπόθεση κανονικότητας ή γνώσης της υποκείμενης κατανομής της εμπλεκόμενης μεταβλητής.

96 82 Κεφάλαιο 4 Στοιχεία δειγματοληψίας αποδοχής και εφαρμογές σε διαγράμματα ελέγχου Τα σχέδια δειγματοληψίας ποιοτικών μεταβλητών διακρίνονται με τη σειρά τους σε δύο επίσης μεγάλες κατηγορίες: σε αυτά που εφαρμόζονται όταν η γραμμή παραγωγής είναι χωρισμένη σε παρτίδες (lots) προϊόντων και σε αυτά που εφαρμόζονται σε συνεχείς ροές παραγωγής (continuous sampling plans). Α. Σχέδια δειγματοληψίας για παρτίδες προϊόντων Τα σχέδια δειγματοληψίας που εφαρμόζονται σε παρτίδες προϊόντων ταξινομούνται στις ακόλουθες κατηγορίες: i. Απλά σχέδια δειγματοληψίας (single-sampling plans). Πρόκειται για διαδικασίες χαρακτηρισμού μιας παρτίδας ως αποδεκτής ή απορριπτέας, με κριτήρια που βασίζονται στην πληροφορία που περιέχει (όσο αφορά στο πλήθος των ελαττωματικών προϊόντων) ένα δείγμα n προϊόντων τυχαία επιλεγμένων από κάθε παρτίδα. Κριτήριο χαρακτηρισμού της παρτίδας είναι η κρίσιμη παράμετρος c, γνωστή και ως αριθμός αποδοχής. Ένα τέτοιο σχέδιο λειτουργεί ως εξής: αρχικά επιλέγονται με τυχαίο τρόπο n προϊόντα από μια παρτίδα. Αν το πλήθος των ελαττωματικών προϊόντων εντός αυτού του δείγματος είναι μικρότερο ή ίσο του c, η εξεταζόμενη παρτίδα γίνεται αποδεκτή, διαφορετικά απορρίπτεται. ii. Διπλά σχέδια δειγματοληψίας (double-sampling plans). Πρόκειται για τη φυσική εξέλιξη των απλών σχεδίων δειγματοληψίας. Οι παράμετροι των σχεδίων αυτών είναι περισσότερες: το μέγεθος n 1 του πρώτου δείγματος, το πλήθος αποδοχής c 1 του πρώτου δείγματος, το μέγεθος n 2 του δεύτερου δείγματος και το πλήθος αποδοχής c 2 και των δύο δειγμάτων. Η απόφαση μετά την εξέταση κάθε δείγματος μεγέθους n 1 μπορεί να είναι: αποδοχή της παρτίδας αν το πλήθος των ελαττωματικών προϊόντων d 1 είναι μικρότερο ή ίσο από την κρίσιμη τιμή c 1, απόρριψή της αν d 1 > c 2 ή λήψη επιπλέον δείγματος μεγέθους n 2 αν c 1 < d 1 c 2. Έπειτα, μετράται το πλήθος d 2 των ελαττωματικών προϊόντων στο νέο δείγμα και αν d 1 +d 2 c 2 η παρτίδα γίνεται αποδεκτή, διαφορετικά απορρίπτεται. Η αλγοριθμική διαδικασία λειτουργίας ενός διπλού σχεδίου φαίνεται εποπτικά και στο σχήμα 4.1. Αποδεικνύεται ότι επιλέγοντας κατάλληλα τις παραμέτρους των διπλών σχεδίων δειγματοληψίας απαιτείται η επιθεώρηση λιγότερων προϊόντων σε σχέση με τα απλά σχέδια, οδηγώντας σε μικρότερο συνολικό κόστος επιθεώρησης. Ωστόσο, η αξιοποίησή τους πρέπει να γίνεται με προσοχή, καθώς άστοχη επιλογή των παραμέτρων μπορεί να οδηγήσει στην επιθεώρηση περισσότερων προϊόντων σε σχέση με ένα αντίστοιχο απλό σχέδιο, ενώ η εμπλοκή και δεύτερου δείγματος μπορεί να δημιουργήσει προβλήματα αποθήκευσης. iii. Πολλαπλά σχέδια δειγματοληψίας (multiple-sampling plans). Στα πολλαπλά σχέδια δειγματοληψίας η λήψη της τελικής απόφασης αποδοχής ή όχι μιας παρτίδας, μπορεί να βασίζεται στη μελέτη περισσότερων των δύο δειγμάτων. Τα δείγματα αυτά συνήθως είναι μικρότερα σε σχέση με τα αντίστοιχα που απαιτούνται για τη λειτουργία των απλών

97 4.3 Τύποι σχεδίων δειγματοληψίας αποδοχής 83 Σχήμα 4.1 Διάγραμμα ροής για το διπλό σχέδιο δειγματοληψίας αποδοχής με παραμέτρους n1 = 50, c1 = 1, n2 = 100, c2 = 3. ή των διπλών σχεδίων δειγματοληψίας και συνεπώς το κόστος των σχεδίων αυτών μπορεί, με την κατάλληλη επιλογή των παραμέτρων, να ελεγχθεί και να κρατηθεί σε επίπεδα χαμηλότερα από των απλών ή διπλών σχεδίων. Το μειονέκτημά τους είναι ότι η εφαρμογή τους είναι αρκετά πολύπλοκη. iv. Σειριακά σχέδια δειγματοληψίας (sequential-sampling plans). Πρόκειται για την εξέλιξη των πολλαπλών σχεδίων δειγματοληψίας στο πλαίσιο των οποίων επιλέγονται ένα-ένα τα προϊόντα και μετά την επιλογή καθενός, εξετάζεται το δείγμα που προκύπτει. Το αποτέλεσμα της μελέτης αυτής μπορεί να είναι είτε η αποδοχή της παρτίδας, είτε η απόρριψη της είτε η επιλογή ενός επιπλέον προϊόντος και ο επανέλεγχος του προκύπτοντος δείγματος. Τα σχέδια αυτά αποτελούν μια κλάση σχεδίων που έχει μελετηθεί ιδιαίτερα, με πρωτεργάτη τον Wald (1973) ο οποίος εισήγαγε το βασικότερο εργαλείο για τη μελέτη τους, τον ακολουθιακό έλεγχο του λόγου πιθανοφανειών (sequential probability ratio test ή συντομογραφικά SPRT). Β. Σχέδια συνεχούς δειγματοληψίας Βασικό μειονέκτημα όλων των παραπάνω σχεδίων δειγματοληψίας είναι η απαίτηση για οργάνωση των παραγόμενων προϊόντων σε παρτίδες. Ωστόσο, πολλές σύγχρονες παραγωγικές διεργασίες (κυρίως πολύπλοκες διεργασίες συναρμολόγησης) δεν καταλήγουν στο φυσικό σχηματισμό παρτίδων προϊόντων αλλά μιας συνεχούς ροής. Το φαινόμενο αυτό είναι ιδιαίτερα συχνό στο χώρο της βιομηχανίας κατασκευής ηλεκτρονικών ειδών. Στην περίπτωση αυτή, ο σχηματισμός παρτίδων μπορεί να διεκπεραιωθεί και πάλι, με δυο τρόπους: με τη συγκέντρωση προϊόντων σε συγκεκριμένα σημεία της