(µετά την µελέτη του αντιστοίχου κεφαλαίου να είστε σίγουροι ότι καταλάβατε τις ακόλουθες έννοιες.)

Transcript

1 Βσικές έννοιες της Θεωρίς ιγνίων. µετά την µελέτη του ντιστοίχου κεφλίου ν είστε σίγουροι ότι κτλάβτε τις κόλουθες έννοιες.. Τ στοιχεί ου οτελούν έν ίγνιο είνι : Το σύνολο των ικτών φορέων οφάσεων...n. Το σύνολο των δυνητικών στρτηγικών ενεργειών S. Το σύνολο υτό υοδιιρείτι σε υοσύνολ το κθέν των οοίων ερικλείει τις δυνητικές στρτηγικές κάθε ίκτη S { S ;... N}. - Τ υοσύνολ S δεν έχουν νγκστικά τον ίδιο ριθµό στοιχείων. Κάθε έν ό υτά οτελείτι ό Κ δυνητικές στρτηγικές. Έν συγκεκριµένο στοιχείο συµβολίζετι µε το s...k. - Έν διάνυσµ ου οτελείτι ό µί στρτηγική γι κάθε ίκτη συµβολίζετι ό s { s ;... N όου το δεν είνι νγκστικά το ίδιο γι όλ τ. - Το διάνυσµ s µορεί ν γρφτεί s s ; s. Το υοδιάνυσµ s { s k... s h s+... snz { εριέχει όλ τ στοιχεί του s λην του s κι κλείτι το συµλήρωµ της στρτηγικής s. Το υοδιάνυσµ s οτελείτι ό το στοιχείο s. 3 Την συνάρτηση οδόσεων U s ; s. Η συνάρτηση υτή ντιστοιχεί κάοι όδοση σε κάθε στρτηγική του ίκτη δεδοµένης της στρτηγικής ου θ ειλεγεί ό τους υολοίους ίκτες. Έτσι η όδοση κάθε οφάσεως ενέργεις ενός τόµου γίνετι συνάρτηση των οδόσεων

2 των υολοίων ικτών. Οότε η ίδι στρτηγική µορεί ν έχει διφορετική όδοση κθώς µετβάλλετι η σύνθεση του συµληρώµτος της. Τ κι 3 οτελούν την κνονική µορφή ενός ιγνίου. Στην ερίτωση όου υάρχουν δύο ίκτες το ίγνιο στην κνονική µορφή του µορεί ν ρουσιστεί µε την βοήθει ενός ίνκ οδόσεων.

3 Ορισµοί. Κλύτερη ντίδρση του δεδοµένων των οφάσεων των υολοίων ικτών είνι η ειλογή εκείνης της ενέργεις ου µεγιστοοιεί την όδοση του. U s ; s U s ; s Γι ν υάρχει Κυρίρχη ντίδρση του ρέει γι οοιοδήοτε συνδυσµό ενεργειών του συµληρώµτος κάοι ενέργει ν δίνει άντ την µεγλύτερη δυντή όδοση. U s ; s U s ; s - ; > 3 Μί στρτηγική h του ίκτη οτελεί κυριρχούµενη ντίδρση ν υάρχει κάοι άλλη δυντή στρτηγική του.χ. η f ου ν δίνει µεγλύτερες οδόσεις ότι κι ν οφσίσουν οι υόλοιοι ίκτες όοι κι ν είνι η σύνθεση του συµληρώµτος.. U s ; s U s ; s - f > h Αν η νισότητες στην κι 3 ντικτστθούν µε νισότητ ή ισότητ δηλδή ν το σύµβολο > ντικτστθεί ό το τότε οι ενέργειες οκλούντι δύνµ κυρίρχες κι δύνµ κυριρχούµενες ντίστοιχ. 5 Ισορροί κτά Nash οκλείτι έν σύνολο µοιβί κλυτέρων ντιδράσεων. Ενλλκτικά ν οι οφάσεις των µελών του συµληρώµτος οτελούν κλύτερες ντιδράσεις τότε γι ν έχουµε ισορροί κτά Nash ρέει κι η όφση του ν είνι κλύτερη ντίδρση. U s ; s > U s; s 6 Στο σηµείο ισορροίς κτά Nash δεν υάρχει κίνητρο ώστε ένς ίκτης ν λλάξει µονοµερώς την όφση του. δηλδή ν κερδίσει ερισσότερο ειλέγοντς µί άλλη στρτηγική ενώ όλοι οι άλλοι ειµένουν στην ρχική τους όφση. 3

4 Ισορροί κυριάρχων στρτηγικών οκλείτι έν σηµείο ισορροίς κτά Nash όου όλες οι στρτηγικές των εµλεκοµένων ικτών είνι κυρίρχες στρτηγικές. U s ; s > U s; s ; Α Στον ίνκ. οι κλύτερες ντιδράσεις του Α είνι οι υογρµµισµένες οδόσεις ενώ του Β υτές µε βρύ µύρο. Προσδιορίστε τις κλύτερες οδόσεις των δύο ικτών στον ίνκ. Β Βρείτε τις Κυρίρχες στρτηγικές στους ίνκες.3 κι. Γ βρείτε τ σηµεί ισορροίς στους υόλοιους ίνκες. Πίνκς. Πίνκς. a b a b I 0 ; ; 0 5 ; 3 I ; 7 ; 0 7 ; A II ; 0 0 ; 5 ; 3 A II 7 ; ; 0 ; 7 III 3 ; 5 3 ; 5 6 ; 6 III 0 ; 3 ; 7 0 ; Πίνκς.3 Πίνκς. a b a b I ; 8 9 ; 7 8 ; I 53 ; 5 37 ; 6 ; A II 8 ; 9 ; 7 ; 8 A II 60 ; 6 5 ; -8 ; 3 III 7 ; 9 0 ; 7 ; 9 III 8 ; 7 3 ; 3 ; 9

5 Πίνκς. Πίνκς. a b a b I ; 0 ; I 5 ; 0 ; 7 A II 0 ; 3 0 ; A II 3 ; 6 ; Πίνκς.3 Πίνκς a b a b I ; 8 9 ; 7 8 ; I 60 ; ; 9 53 ; 9 A II 8 ; ; 7 9 ; 8 A II 67 ; 3 ; 3 9 ; III 7 ; 9 0 ; 7 ; 9 III 5 ; 50 ; 8 ; 6 5

6 Μέρος Α : Ισχύς στην Αγορά Ισχύς στην γορά σηµίνει ότι µι ειχείρηση µορεί ν εηρεάσει την τιµή στην οοί ειλέγει ν ροσφέρει κάοι οσότητ ροϊόντος. Η κρί ερίτωση ισχύος στην γορά είνι το µονοώλιο. Στην ερίτωση υτή η ειχείρηση ντιµετωίζει την γορί κµύλη ζήτησης κι ως γνωστό µορεί ν ειτύχει υερκνονικά κέρδη νάλογ µε την ελστικότητ της ζήτησης υτής. Ισχύ στην γορά όµως µορούµε ν έχουµε κόµη κι ότν υάρχει έν µέτρο ντγωνισµού στην γορά. Έτσι ότν δύο ειχειρήσεις ντγωνίζοντι σε µι γορά υάρχει ερισσότερος ντγωνισµός ό ότν υάρχει µόνο µι ειχείρηση λλά όχι τόσος ώστε οι ειλογές των ειχειρήσεων ν µην εηρεάζουν την τιµή ροσφοράς. Βέβι ν οι ειχειρήσεις συµράξουν ώστε ν οφύγουν τον ντγωνισµό τότε συµεριφέροντι ως ν ήτν µονοωλητές. Όσο υξάνετι ο ριθµός των ειχειρήσεων ο βθµός ντγωνισµού υξάνετι τείνοντς στο όριο στις συνθήκες τέλειου ντγωνισµού. Ειλέον η σύµρξη γίνετι ιο δύσκολη όσες ερισσότερες ειχειρήσεις µετέχουν στην ργωγή.. υοώλιο Cournot Στ λίσι του τελούς ντγωνισµού η ειλογές κάθε ειχείρησης εηρεάζουν την κερδοφορί των υολοίων ειχειρήσεων ου δρστηριοοιούντι στον κλάδο. Κτά συνέει η ειλογή κάθε ειχείρησης ρέει ν γίνει µε γνώµον τις δυνητικές οφάσεις των υολοίων δηλδή οι ειχειρήσεις υεισέρχοντι σε έν ίγνιο. Στο υόδειγµ του Cournot οι ειχειρήσεις ειλέγουν το ύψος του ροϊόντος ου θ ροσφέρουν στην γορά. Ο ντγωνισµός γίνετι µέσ ό την ροσφερόµενη οσότητ. Έτσι η ειλογή του ειέδου ργωγής οτελεί µί στρτηγική κάθε ειχείρησης ενώ το εδίο της δυνητικής ργωγής οτελεί το σύνολο των δυνητικών στρτηγικών κάθε ειχείρησης. Έστω η ντίστροφη συνάρτηση ζήτησης 6

7 Q Q P Q > for 0 Q P το κόστος κάθε ειχείρησης είνι C Η συνάρτηση οδόσεων κάθε ειχείρησης είνι ίση µε την συνάρτηση κέρδους της φού έχουµε υοθέσει ότι οι ειχειρήσεις µεγιστοοιούν τ κέρδη τους. Οότε ] [ ] [ P + +. Άµεσος υολογισµός του σηµείου ισορροίς κτά Nash Η ισορροί κτά Nash δίδετι ό ] [ ma ma o o + < < λύνοντς τις συνθήκες ρώτης τάξης έχουµε ή 7

8 έχουµε 3. Λύση χρησιµοοιώντς τις κµύλες ντίδρσης. Ένς ενλλκτικός τρόος λύσης του ροβλήµτος είνι ν υολογιστούν όλες οι κλύτερες ντιδράσεις των δύο ειχειρήσεων κι ν ειλεγεί το σηµείο εκείνο όου συµίτουν οι κλύτερες ντιδράσεις. Έτσι γι κάθε ύψος ργωγής κάθε δυντή στρτηγική του η κλύτερη ντίδρση του δίνετι ό R κι ντίστοιχ γι τον R Σχεδιάστε τις δύο κµύλες κλύτερης ντίδρσης στον χώρο. H τοµή των δύο κµυλών δίνει την ισορροί κτά Nash Cournot. 3. Λύση µε την λοιφή κυριρχούµενων στρτηγικών. Ένς τρίτος τρόος ροσέγγισης του ροβλήµτος είνι µέσ ό την λοιφή των κυριρχούµενων στρτηγικών. Γνωρίζουµε ότι το µέγιστο κέρδος ου µορεί ν ειτευχθεί σε µί γορά είνι υτό της µονοωλικής ειχείρησης. Το ύψος ργωγής στην ερίτωση υτή είνι 8

9 m Θ οδείξουµε ότι όλες οι στρτηγικές ου εριγράφοντι ό m +χ κυριρχούντι ό την m. ηλδή ότι m m + > γι όλ τ κι Έτσι m ενώ m m ο.ε.δ. Στη συνέχει θ οδείξουµε ότι η στρτηγική ου ορίζετι ό το µισό της µονοωλικής ργωγής κυριρχεί όλες τις στρτηγικές ου οδηγούν σε κόµη µικρότερο είεδο ργωγής ˆ ˆ. ˆ 0 < < οότε ρέει ˆ ˆ > Το κέρδος στο µισό της µονοωλικής ργωγής είνι 3 ˆ 9

10 ενώ το κέρδος γι όλ τ µικρότερ είεδ ργωγής δίδετι ό + + ˆ 3 ˆ ο.ε.δ. Ενλµβάνοντς την διδικσί συγκλίνουµε στο σηµείο ισορροίς κτά Nash 3 g. Αριθµητική ρουσίση του 3 Κάθε σηµείο του χώρου ; ντιστοιχεί σε κάοιο ζεύγος στρτηγικών των δύο ειχειρήσεων κτά συνέει κι σε έν ζεύγος οδόσεων. Ο ίνκς δίνει τ κέρδη των δύο ειχειρήσεων ότν 0. Μερικά ό τ σηµεί του ίνκ υτού νράγοντι στο σχήµ. Με την διδοχική εξίρεση των κυριρχούµενων στρτηγικών του ίνκ δείξτε ότι θ κτλήξουµε στο σηµείο ισορροίς κτά Nash. 0

11 Σχήµ Πίν Ειχ Ειχ

12 5. ιγρµµτική ρουσίση του 3 Η συνάρτηση ίσου κέρδους της ειχείρησης υολογίζετι κρτώντς το διφορικό των κερδών ίσο µε µηδέν. Οότε [ + ] d d d d 0 κι d d λλά η κλίση της κµύλης ίσου κέρδους ισούτι µε µηδέν ότν 0 Η συνθήκη υτή είνι η ίδι µε την συνθήκης ης τάξης γι την µεγιστοοίηση των κερδών της ειχείρησης. Ανδιτάσσοντς έχουµε δηλδή σε όλ τ σηµεί της κµύλης ντίδρσης κλύτερης ντίδρσης του η κµύλη ίσου κέρδος έχει µηδενική κλίση. είξτε ότι η κµύλη ίσου κέρδους είνι κοίλη ρος τον άξον.υολογίστε την δεύτερη ράγωγο της d d ως ρος.

13 Σχήµ m Στο σχήµ ρουσιάζετι η κµύλη ντίδρσης του. η νεξάρτητη µετβλητή ου είνι το είεδο ργωγής του είνι στον κάθετο άξον ντίθετ µε την µθηµτική ορθότητ λλά σύµφων µε συνήθη ρκτική των οικονοµολόγων. Οι στρτηγικές του θεωρούντι ως εξωγενείς στον λογισµό του δηλδή γι κάθε είεδο ροσφοράς του η κµύλη ντίδρσης του δίνει την άριστη άντηση του. Αν ο ροσφέρει 0 τότε ο είνι µονοωλητής κι ροσφέρει το είεδο εκείνο του ροϊόντος ου µεγιστοοιεί τ κέρδη του m. Αν ο ροσφέρει τόσο ροϊόν ώστε ν µηδενιστούν τ κέρδη του δηλδή το είεδο ροσφοράς ου ντιστοιχεί στην ντγωνιστική ισορροί τότε ο ροσφέρει 0. Αν ροσφέρει θετική οσότητ στην ερίτωση υτή θ κάνει ρνητικά κέρδη. Ως γνωστό το µονοώλιο ροσφέρει λιγότερο ό το ντγωνιστικό είεδο ροϊόντος. Το µέγιστο δυντό κέρδος γι τον είνι το µονοωλικό κέρδος. Άρ οι κµύλες ίσου κέρδους ντιστοιχούν σε ψηλότερο είεδο κέρδους όσο λησιάζουνε τον οριζόντιο άξον. >. Γι ροσφορά του το µέγιστο κέρδος του ειτυγχάνετι στο σηµείο εφής της κθέτου στο σηµείο κι της ψηλότερης δυντής κµύλης ίσου κέρδους. Σχεδιάστε την ντίστοιχη κµύλη ντίδρσης του. 3

14 Αν στρέψουµε τους άξονες του σχήµτος ου σχεδιάστε κι το ενοθέσουµε στο ροηγούµενο σχήµ έχουµε το σχήµ. Σχήµ a m m Αό το σηµείο ισορροίς ερνούν οι κµύλες ίσου κέρδους ου ντιστοιχούν στο ριστοοιητικό είεδο κέρδους της κάθε ειχείρησης. Υάρχει δυντότητ κτά Pareto βελτίωσης;

15 Άσκηση Ι Έστω ότι υάρχουν δύο µόνο µέθοδοι ργωγής ενός νέου γθού ου θ διτεθούν µόνο σε έν ργωγό η κθεµί. Τ δικιώµτ στην ρώτη µέθοδο κοστίζουν 300 ενώ στην δεύτερη 00. Η διάρκει της ευρεσιτεχνίς είνι δύο ετών δηλδή µετά την άροδο δύο ετών κι οι δύο µέθοδοι θ διτίθεντι ελεύθερ σε όοιον ενδιφέρετι. Η ζήτηση στην γορά κάθε χρονική ερίοδο είνι P ειχείρηση ου χρησιµοοιεί την µέθοδο είνι. Τ κόστη νά χρονική ερίοδο γι την ενώ γι την δεύτερη είνι 00. Ο ντγωνισµός στην γορά γίνετι µέσ 0 + ό τον κθορισµό των οσοτήτων. Ποι θ είνι τ συνολικά κέρδη των δύο ειχειρήσεων; ο ροεξοφλητικός συντελεστής είνι ίσος µε. Άσκηση ΙΙ Εξηγείστε µε λόγι κι τη βοήθει διγράµµτος χωρίς µθηµτικά γιτί οι κµύλες ντίδρσης τέµνουν τις κµύλες ίσου κέρδους στο ελάχιστο σηµείο. Άσκηση ΙΙΙ Ερµηνεύστε τ δύο άκρ της κµύλης ντίδρσης µις ολιγοωλικής ειχείρησης. 5