Συμβολή & Περίθλαση Ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων

Transcript

1 Συμβολή & Περίθλαση Ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων Συμβολή και συμφωνία. Όπως είδαμε στην αρχή του κεφαλαίου δυο κύματα μπορούν να συμβάλλουν, με βάση την αρχή της υπέρθεσης, επιφέροντας μια χωρική διαμόρφωση στο συνιστάμενο πλάτος τους. Αυτό ισχύει και για τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα που σε μια ρεαλιστική εξέταση θεωρούμε την διανυσματική υπέρθεση των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων στο χώρο αλληλεπικάλυψής τους. Αυτή οδηγεί σε ανακατανομή της έντασης του φωτός και στην εμφάνιση μεγίστων κι ελαχίστων έντασης της ακτινοβολίας σε καθορισμένες θέσεις του χώρου που ονομάζονται κροσσοί συμβολής. Η συμβολή οφείλεται στην κυματική φύση του φωτός και δεν μπορεί να περιγραφεί από τις απλουστευμένες αρχές της Γεωμετρικής οπτικής που εξετάσαμε. Η εμφάνιση των φαινομένων της συμβολής εξαρτάται από μερικά βασικά χαρακτηριστικά των συμβαλλόντων ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων τα οποία είναι: Να έχουν ίδια συχνότητα (ή ισοδύναμα ίδιο μήκος κύματος). Να έχουν την ίδια πόλωση. Να είναι χωρικά και χρονικά σύμφωνα. Δηλαδή η διαφορά της χρονικής και χωρικής φάσης τους να είναι σταθερή. Οι παραπάνω συνθήκες δεν ικανοποιούνται από δυο διαφορετικές πηγές φωτός εξαιτίας της φύσης της παραγωγής του. Αντίθετα, ένας εύκολος τρόπος για να επιτευχθούν είναι ο διαχωρισμός της δέσμης φωτός σε δυο όμοιες δέσμες που με κατάλληλες οπτικές διατάξεις μπορούν να οδηγηθούν σε χωρική και χρονική αλληλεπικάλυψη. Ένα τέτοιο παράδειγμα θα εξετάσουμε παρακάτω. Συμβολή από δυο πηγές Πείραμα Young. Ένα από τα πρώτα πειράματα που έγινε για την ανάδειξη της κυματικής φύσης του φωτός ήταν από τον Άγγλο επιστήμονα T. Young το Η αρχή της διάταξης φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Μονοχρωματικό φως, που μπορεί να προέλθει από λευκό φως με κατάλληλα χρωματικά φίλτρα, προσπίπτει σε διάφραγμα με μια πολύ λεπτή σχισμή. Στη συνέχεια το φως από τη σχισμή προσπίπτει σε δεύτερο διάφραγμα που φέρει δυο λεπτές σχισμές προσανατολισμένες παράλληλα αυτής του πρώτου διαφράγματος. Σχήμα 3.17 Τα φωτεινά κύματα που προκύπτουν από τις σχισμές έχουν κυλινδρική μορφή (λόγω της γεωμετρίας των σχισμών) σε ενώ αρχικά ήταν επίπεδα κύματα. Επίσης, για λόγους που θα 40

2 εξηγήσουμε παρακάτω, το μήκος κύματος του φωτός πρέπει να είναι μεγαλύτερο του πάχους της σχισμής. Συνεπώς, για ορατή ακτινοβολία, οι σχισμές πρέπει να έχουν πάχος μικρότερο από 1 μm. Με την παραπάνω διάταξη επιτυγχάνεται η παραγωγή φωτεινής ακτινοβολίας από δυο σύμφωνες πηγές που δεν είναι άλλες από τις δυο σχισμές του δεύτερου διαφράγματος. Με αυτόν τον τρόπο, στον χώρο μετά από το δεύτερο διάφραγμα πληρούνται οι συνθήκες για τη συμβολή των δυο κυμάτων. Έτσι αν τοποθετήσουμε ένα πέτασμα σε κάποια απόσταση από το δεύτερο διάφραγμα θα παρατηρήσουμε τη διαμόρφωση της έντασης του φωτός με βάση τις συνθήκες ενισχυτικής ή αποσβεστικής συμβολής στο εκάστοτε σημείο, όπως αυτές απεικονίζονται στο σχήμα Μπορούμε να υπολογίσουμε τη θέση των μεγίστων και των ελαχίστων της συμβολής, δηλαδή την θέση των φωτεινών ή σκοτεινών κροσσών συμβολής, με βάση τη γεωμετρία του διπλανού σχήματος. Εύκολα προκύπτει ότι η διαφορά δρόμου σε οποιοδήποτε σημείο πάνω στο πέτασμα δίνεται από τη σχέση. Όταν η διαφορά δρόμου είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος λ του φωτός τότε έχουμε σχηματισμό φωτεινού κροσσού, δηλαδή όταν (3.42) Όταν η διαφορά δρόμου είναι ημιακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος λ του φωτός τότε έχουμε σχηματισμό σκοτεινού κροσσού, δηλαδή όταν Έτσι οι θέσεις των κροσσών συμβολής προκύπτουν επιλύοντας την σχέση 3.42 ως (3.43) (3.44) που ισχύει για, και που είναι ωστόσο μια ρεαλιστική γεωμετρία ( ). Στο σημείο αυτό να θυμίσουμε πως με βάση τη σχέση 3.24 για τη μέση ισχύ της συμβολής η ένταση του φωτός σε κάθε σημείο θα περιγράφεται από τη σχέση όπου η διαφορά φάσης προκύπτει από τη διαφορά δρόμου ως. (3.45) Συμβολή από λεπτά υμένια. Μια πολύ ενδιαφέρουσα περίπτωση συμβολής είναι αυτή των λεπτών υμενίων. Πρόκειται για το φαινόμενο της όρασης πολλών χρωμάτων όταν λευκό φως προσκρούει για παράδειγμα σε μια σαπουνόφουσκα ή σε ένα λεπτό στρώμα λαδιού που επιπλέει πάνω σε νερό. Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζεται η γεωμετρία της συμβολής από μια τέτοια διάταξη. Θα μπορούσε κανείς να υπολογίσει τη διαφορά οπτικού δρόμου και να βρει τις συνθήκες ενισχυτικής ή αποσβεστικής 41

3 Σημειώσεις Γενικής Φυσικής - ΒΕΤ Μ. Μπενής / 2016 Κυματική συμβολής. Ωστόσο, ένας παράγοντας που πρέπει επί πλέον να ληφθεί υπόψη είναι ότι κατά την ανάκλαση το ανακλώμενο κύμα είναι ανάλογο του προσπίπτοντος και δίνεται για κάθετη πρόσπτωση από την σχέση (κάθετη πρόσπτωση) (3.46) όπου και οι δείκτες διάθλασης των δυο μέσων εκατέρωθεν της διαχωριστικής επιφάνειας. Έτσι για το ανακλώμενο πεδίο δεν υπόκειται σε αλλαγή φάσης ενώ εάν το ανακλώμενο πεδίο υπόκειται σε αλλαγή φάσης κατά π, δηλαδή μισού κύκλου. Η μετατόπιση αυτή της φάσης προβλέπεται από τις εξισώσεις του Maxwell. Με βάση τα παραπάνω, για κάθετη πρόσπτωση και για μετατόπιση φάσης μισού κύκλου και για τις δυο ανακλώμενες ακτίνες η συνθήκη για ενισχυτική συμβολή είναι (3.47) Ενώ για αποσβεστική (3.48) Στις παραπάνω σχέσεις το μήκος κύματος είναι το μήκος κύματος εντός του υμενίου. Γενικά επειδή η ταχύτητα του φωτός μεταβάλλεται σε μέσο με δείκτη διάθλασης, ενώ η συχνότητά του παραμένει αμετάβλητη, το μήκος κύματος μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση (3.49) όπου το μήκος κύματος στο κενό. Οι παραπάνω ιδιότητες των λεπτών υμενίων βρίσκουν τεράστιες εφαρμογές στην κατασκευή φωτογραφικών φακών και φωτοβολταϊκών κυττάρων όπου με κατάλληλη επιλογή του δείκτη διάθλασης και του πάχους του υμενίων ελαχιστοποιείται το ανακλώμενο φως αυξάνοντας το διερχόμενο. Με την ίδια λογική μπορεί κανείς να σχεδιάσει μια ανακλαστική επιφάνεια ή και συνδυασμό τους έτσι ώστε το ανακλώμενο φως να μεγιστοποιηθεί για μεγάλο εύρος του οπτικού φάσματος. Τέτοιου είδους ανακλαστικά επιστρώματα συναντώνται στη φύση και συγκεκριμένα στα ψάρια δίνοντάς του ιδιαίτερα στιλπνή εμφάνιση. Παράδειγμα 3.17 Ένα υλικό επίστρωσης που χρησιμοποιείται συχνά είναι το φθορίδιο του μαγνησίου, MgF2, με. Πόσο πάχος πρέπει να έχει η μη ανακλαστική επίστρωση (κάθετη πρόσπτωση) για φως στα 550 nm εάν εναποτεθεί σε γυαλί με ; Το μήκος κύματος στον αέρα είναι. Στο υμένιο θα είναι. Η μετατόπιση φάσης είναι μισού κύκλου (μηδέν από την πρώτη ανάκλαση και π από την δεύτερη). Επομένως για αποσβεστική ανάκλαση το πάχος του υμενίου πρέπει να είναι δηλαδή ίσο με. Για το πάχος πρέπει να είναι 100 nm,. Περίθλαση. Ως περίθλαση μπορούμε να περιγράψουμε την απόκλιση μιας φωτεινής δέσμης από την ευθύγραμμη διάδοση όταν συναντήσει κάποιο εμπόδιο ή άνοιγμα. Η απόκλιση αυτή δεν έχει καμία σχέση με την απόκλιση λόγω διάθλασης και δεν ερμηνεύεται από την Γεωμετρική οπτική. Συνοδεύεται από χωρική ανακατανομή της έντασης στον χώρο της περίθλασης εμφανίζοντας 42

4 κροσσούς συμβολής. Ουσιαστικά δεν υπάρχει καμία θεμελιώδης διαφορά μεταξύ της συμβολής και της περίθλασης. Η αυστηρή θεωρητική περιγραφή της περίθλασης βασίζεται στην αρχή Huygens που λέει ότι κάθε σημείο του μετώπου ενός κύματος μπορεί να θεωρηθεί ως πηγή δευτερευόντων κυμάτων που διαδίδονται προς όλες τις διευθύνσεις με ταχύτητα ίση προς την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Έτσι σε κάθε σημείο στο πέτασμα παρατήρησης η περίθλαση προκύπτει από τη συμβολή όλων των δευτερευόντων κυμάτων που αφικνούνται από το άνοιγμα ή το εμπόδιο. Με βάση αυτή τη θεώρηση η περίθλαση διακρίνεται σε Περίθλαση Fresnel: Η φωτεινή πηγή και το σημείο παρατήρησης βρίσκονται πολύ κοντά στο αντικείμενο που προκαλεί την περίθλαση. Περίθλαση Fraunhofer: Η φωτεινή πηγή και το σημείο παρατήρησης βρίσκονται πολύ μακριά από το αντικείμενο που προκαλεί την περίθλαση. Μια ποιοτική απεικόνιση των παραπάνω φαίνεται στο σχήμα 3.18 Σχήμα 3.18 Περίθλαση από σχισμή. Στην περίπτωση αυτή θα θεωρήσουμε την περίθλαση Fraunhofer από μια λεπτή ορθογώνια σχισμή πλάτους α και μήκους πολύ μεγαλύτερου του α. Θεωρούμε ότι μονοχρωματικό φως (π.χ. από πηγή laser) προσπίπτει κάθετα στη σχισμή και σε οθόνη που απέχει απόσταση L πολύ μεγαλύτερη από την διάσταση της σχισμής καταγράφεται ο σχηματισμός της περίθλασης. Αυτός αποτελείται από εναλλασσόμενες φωτεινές και σκοτεινές περιοχές, όπως παρουσιάζεται στο σχήμα 3.19, τους κροσσούς της περίθλασης. Σχήμα 3.19 Ποιοτικά ο σχηματισμός περίθλασης αποτελείται από ένα έντονο κύριο μέγιστο και πολλά ασθενή δευτερεύοντα μέγιστα μεταξύ των οποίων εμφανίζονται σημεία μηδενικής έντασης. Η κατανομή της ένταση της ακτινοβολίας στις διάφορες θέσεις αποδεικνύεται ότι δίνεται από τη σχέση 43

5 (3.50) Κάθε σημείο παρατήρησης πάνω στην οθόνη περιγράφεται μονοσήμαντα από τη γωνία τη σχέση με βάση (3.51) όπου η προσέγγιση ισχύει για μικρές γωνίες (. Έτσι η μέγιστη ένταση καταγράφεται στο κέντρο ( του σχηματισμού της περίθλασης. Ενώ οι θέσεις των ελαχίστων περίθλασης προσδιορίζονται από την απαίτηση μηδενισμού του όρου στη σχέση 3.50 η οποία δίνει (3.52) Ο δείκτης ονομάζεται τάξη της περίθλασης. Τα δευτερεύοντα μέγιστα μπορούν να προσδιοριστούν από την προσεγγιστική σχέση που γίνεται ακριβέστερη όσο αυξάνει η τάξη της περίθλασης. (3.53) Διερευνώντας την σχέση 3.52, επειδή ισχύει προκύπτει ότι για δεδομένο λόγο ο μέγιστος αριθμός των κροσσών περίθλασης είναι καθορισμένος από τη συνθήκη (3.54) Επομένως όταν τότε είναι αδύνατος ο σχηματισμός περίθλασης όπως τον περιγράψαμε. Μετά τη σχισμή η κατανομή της έντασης του φωτός έχει ένα μόνο μέγιστο για ενώ μειώνεται ομαλά καθώς το αυξάνεται ως την τιμή π/2. Η εικόνα αυτή παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα Σχήμα 3.20 Στο σημείο αυτό γίνεται κατανοητό γιατί στην εξέταση της συμβολή από δυο πηγές επιλέξαμε για το μήκος του κύματος να είναι μεγαλύτερο του πάχους της σχισμής αποφεύγοντας έτσι τα φαινόμενα της περίθλασης. Επίσης γίνεται ξεκάθαρο ότι για να παρατηρηθούν κροσσοί περίθλασης αναγκαία προϋπόθεση είναι το μήκος κύματος της ακτινοβολίας να είναι μικρότερο από το μέγεθος του ανοίγματος. Τέλος να τονίσουμε πως, με βάση τη σχέση 3.54, όσο μικρότερο το άνοιγμα τόσο λιγότεροι οι κροσσοί περίθλασης, όπως πολύ παραστατικά παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα (α w). 44

6 Σημειώσεις Γενικής Φυσικής - ΒΕΤ Μ. Μπενής / 2016 Κυματική Παράδειγμα 3.18 Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις 3.50 και 3.53 μπορούμε να εκτιμήσουμε την ένταση των δευτερευόντων μεγίστων ως προς την ένταση του κύριου μέγιστου. Πράγματι προκύπτει η έκφραση Υπολογίζοντας τις τιμές για τις διαφορετικές τάξεις προκύπτει ο εξής πίνακας Επομένως το κύριο μέγιστο συγκεντρώνει το μεγαλύτερο μέρος της ενέργειας (> 90%) ενώ η υπόλοιπη μοιράζεται σε όλα τα δευτερεύοντα μέγιστα. Περίθλαση από κυκλικό άνοιγμα. Στην περίπτωση αυτή η σχισμή έχει αντικατασταθεί από ένα κυκλικό άνοιγμα διαμέτρου. Η εικόνα της περίθλασης παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα 3.21 Σχήμα 3.21 Ποιοτικά ο σχηματισμός περίθλασης αποτελείται, όπως και στη λεπτή σχισμή, από ένα έντονο κύριο μέγιστο και μερικά ασθενή δευτερεύοντα μέγιστα μεταξύ των οποίων εμφανίζονται σημεία μηδενικής έντασης. Η κατανομή της ένταση της ακτινοβολίας στις διάφορες θέσεις αποδεικνύεται ότι δίνεται από τη σχέση (3.55) όπου την σχέση είναι η συνάρτηση Bessel πρώτου είδους πρώτης τάξης που ποιοτικά είναι παρόμοια με. Oι θέσεις των ελαχίστων περίθλασης προσδιορίζονται από την προσεγγιστική (3.56) Το κύριο μέγιστο που περικλείεται από το πρώτο ελάχιστο ονομάζεται δίσκος του Airy και εμπεριέχει το 84% της συνολικής έντασης. Το υπόλοιπο 14% κατανέμεται στα δευτερεύοντα μέγιστα που είναι αμυδρότερα αυτών της λεπτής σχισμής. 45

7 Σημειώσεις Γενικής Φυσικής - ΒΕΤ Μ. Μπενής / 2016 Κυματική Στο σημείο αυτό μπορούμε να επανεξετάσουμε την εικόνα σχηματισμού ειδώλων από φακούς και κάτοπτρα. Στη Γεωμετρική Οπτική είδαμε ότι ένας φακός εστιακής απόστασης εστιάζει μια παράλληλη δέσμη σε ένα σημείο που απέχει απόσταση από το φακό. Στην εικόνα αυτή δεν είχαμε λάβει υπόψη τα φαινόμενα περίθλασης. Πράγματι ο φακός μπορεί να ειδωθεί ως το άνοιγμα διαμέτρου, ή το άνοιγμα αυτό συνήθως υπάρχει πριν το φακό (διάφραγμα), και τότε η εστία θα είναι ένας δίσκος του Airy κι όχι ένα σημείο. Μάλιστα το γωνιακό εύρος του ειδώλου στην εστία θα καθορίζεται από τη σχέση 3.56 για, που είναι και το φυσικό όριο εστίασης μιας δέσμης. (3.57) Αυτό όμως έχει ως συνέπεια να τίθεται το ερώτημα του πως θα οριστεί η διακριτική ικανότητα ενός φακού ή γενικά ενός οπτικού οργάνου εστίασης. Πράγματι για δυο γειτονικά σημειακά αντικείμενα θα υπάρχει μια ελάχιστη απόσταση για την οποία τα δυο είδωλά τους θα αλληλεπικαλύπτονται αρκετά ώστε να μην ξεχωρίζουν ως διαφορετικά. Η περίπτωση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα 3.22 Σχήμα 3.22 Ένα ευρέως χρησιμοποιούμενο κριτήριο διακριτικής ικανότητας δυο σημειακών αντικειμένων προτάθηκε από τον λόρδο Rayleigh και είναι γνωστό ως κριτήριο Rayleigh. Αυτό καθορίζει ως μόλις διακριτά δυο σημειακά αντικείμενα εάν το μέγιστο του δίσκου του Airy του ενός ταυτίζεται με το πρώτο ελάχιστο του άλλου. Είναι η περίπτωση (b) στο σχήμα Στο (α) υπάρχει σαφής διαχωρισμός ενώ στο (c) αν και τα μέγιστα δεν ταυτίζονται εντούτοις η συνολική εικόνα περίθλασης δεν επιτρέπει τον οπτικό διαχωρισμό τους. Το κριτήριο Rayleigh συνδυαζόμενο με τη σχέση 3.57 δείχνει ότι η διακριτική ικανότητα μπορεί να βελτιωθεί με δυο τρόπους: α) είτε χρησιμοποιώντας μικρότερα μήκη κύματος όπως στα μικροσκόπια υπεριώδους, β) είτε μεγαλώνοντας το άνοιγμα όπως στα τηλεσκόπια της αστρονομίας αλλά και στα δορυφορικά «πιάτα» της τηλεόρασης. Παράδειγμα 3.19 Διακριτική ικανότητα φωτογραφικού φακού. Φωτογραφικός φακός με και μέγιστο άνοιγμα σχηματίζει το είδωλο ενός αντικειμένου που βρίσκεται σε απόσταση 9 m από το 46

8 Σημειώσεις Γενικής Φυσικής - ΒΕΤ Μ. Μπενής / 2016 Κυματική φακό. α) Αν η διακριτική ικανότητα περιορίζεται μόνο από την περίθλαση πόση είναι η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δυο σημείων που είναι μόλις διακριτά, και πόση είναι η αντίστοιχη απόσταση μεταξύ των ειδώλων τους. β) Πως μεταβάλλεται η κατάσταση αν αλλάξει το διάφραγμα του φακού σε ; Υποθέστε ότι. Στις φωτογραφικές μηχανές η ένταση του φωτός που φθάνει στο φιλμ (ή την CCD κάμερα) καθορίζεται από τον αριθμό ο οποίος ορίζεται ως ο λόγος της εστιακής απόστασης προς το άνοιγμα του διαφράγματος. Για παράδειγμα ένας φακός με και έχει αριθμό ίσο με δυο, ή ότι έχει «άνοιγμα» ή «διάφραγμα». Η φωτεινή ένταση είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου του αριθμού. Η απαραίτητη φωτεινή ένταση για προεπιλεγμένο αριθμού καθορίζεται τότε από την ταχύτητα του κλείστρου. α) Η διάμετρος του ανοίγματος είναι:. Η γωνιακή απόσταση των δυο μόλις διακριτών σημείων είναι. Εάν είναι η απόσταση των σημείων του αντικειμένου και αυτών του ειδώλου, τότε κι άρα η γωνιακή απόσταση των σημείων του αντικειμένου είναι ίση προς τη γωνιακή απόσταση των σημείων του ειδώλου, δηλαδή ίση προς. Άρα και β) Η διάμετρος του ανοίγματος είναι:. (8 φορές μικρότερη). Η γωνιακή απόσταση των δυο μόλις διακριτών σημείων είναι (8 φορές μεγαλύτερη). Άρα και Πολλαπλές σχισμές Φράγμα περίθλασης. Θεωρούμε την περίπτωση που μονοχρωματικό φως προσπίπτει κάθετα σε μια γεωμετρική διάταξη πετάσματος με συστοιχία μεγάλου αριθμού ίδιων λεπτών σχισμών πλάτους α που ισαπέχουν απόσταση μεταξύ τους, όπως στο διπλανό σχήμα. Αυτό ονομάζεται φράγμα περίθλασης. Η απόσταση ονομάζεται σταθερά του φράγματος. Η εικόνα περίθλασης από ένα τέτοιο φράγμα περίθλασης προκύπτει από την συμβολή των εικόνων περίθλασης της κάθε σχισμής. Οι θέσεις των μεγίστων δίνονται από τη σχέση (3.58) Στο σχήμα 3.23 παρουσιάζεται η αλλαγή της εικόνας περίθλασης καθώς αυξάνεται ο αριθμός των σχισμών (αν και είναι μικρός για να συνιστούν φράγμα). 47

9 Σημειώσεις Γενικής Φυσικής - ΒΕΤ Μ. Μπενής / 2016 Κυματική Σχήμα 3.23 Τα φράγματα, που διακρίνονται σε διέλευσης και σε ανακλαστικά (βλ. σχήμα 3.24α και 3.24β, αντίστοιχα). Ένα παράδειγμα ανακλαστικού φράγματος από την καθημερινότητα είναι η ανάλυση του φωτός στα χρώματά του όταν προσπέσει στη επιφάνεια ενός CD μουσικής. Τα φράγματα χρησιμοποιούνται ευρέως στην φασματοσκοπία εξαιτίας της ανάλυσης που υφίσταται το φως στις συχνότητές του (χρώματα), λόγω της περίθλασης που περιγράφεται από τη σχέση Σε αυτή την περίπτωση η όλη διάταξη καταγραφής του φάσματος ονομάζεται φασματογράφος φράγματος. (α) (β) Σχήμα 3.24 Στον φασματογράφο φράγματος ιδιαίτερο ρόλο παίζει η χρωματική διακριτική ικανότητα που ορίζεται ως (3.59) όπου είναι η μικρότερη δυνατή διαφορά μηκών κύματος που μπορεί να παρατηρηθεί ευκρινώς στη γειτονιά του μήκους κύματος λ. Αποδεικνύεται ότι η χρωματική διακριτική ικανότητα εξαρτάται από τον αριθμό των σχισμών (ή χαραγών για ανακλαστικό φράγμα) του φράγματος που φωτίζονται από την προσπίπτουσα δέσμη φωτός ως (3.60) Επομένως η διακριτική ικανότητα του φράγματος εξαρτάται από την τάξη της περίθλασης αλλά είναι ανεξάρτητη από το μήκος κύματος. Έτσι στη μηδενική τάξη η διακριτική ικανότητα είναι μηδέν 48

10 Σημειώσεις Γενικής Φυσικής - ΒΕΤ Μ. Μπενής / 2016 Κυματική κι άρα όλα τα χρώματα μαζεύονται στο ίδιο σημείο ενώ όσο μεγαλώνει η τάξη περίθλασης τόσο καλύτερη γίνεται η διακριτική ικανότητα, όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα Σχήμα 3.25 Περίθλαση ακτίνων Χ. Είδαμε πως για να παρατηρηθεί περίθλαση θα πρέπει να ισχύει η συνθήκη. Δεδομένου ότι το ορατό φως έχει ένα μέσο μήκος κύματος, χρειάζονται δομές φραγμάτων περίθλασης με σταθερές φράγματος της τάξης των μικρομέτρων. Στη φύση οι δομές που παρατηρούνται στα στερεά υλικά (π.χ. κρυστάλλους) έχουν δομές με χαρακτηριστικές αποστάσεις της τάξης των μερικών Å. Επομένως το ορατό φως δεν είναι κατάλληλο για περίθλαση στα υλικά αυτά. Αντίθετα η κατάλληλη ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία θα πρέπει να έχει μήκος κύματος της τάξης του Å κι αυτή είναι οι ακτίνες X. Οι ακτίνες Χ παράγονται κατά την επιτάχυνση ή επιβράδυσνη ταχέως κινούμενων φορτισμένων σωματίων (συνεχές φάσμα) αλλά και κατά τις αποδιεγέρσεις διεγερμένων ατομικών καταστάσεων (γραμμικό φάσμα). Στο σχήμα 3.26 παρουσιάζεται η σκέδαση των ακτίνων Χ λόγω ανάκλασης από κρυσταλλικό πλέγμα. Σχήμα 3.26 Από αυτό μπορούμε να βρούμε τις συνθήκες ενισχυτικής συμβολής της σκέδασης των ακτίνων Χ από το πλέγμα. Πράγματι από τα γειτονικά άτομα μιας σειράς η ενισχυτική συμβολή απαιτεί, δηλαδή η γωνία πρόσπτωσης να είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης. Προσοχή, η γωνία στην περίπτωση αυτή μετράται από την επιφάνεια του κρυστάλλου κι όχι την κάθετη σε αυτόν. Η συμβολή από γειτονικές σειρές είναι ενισχυτική όταν η διαφορά δρόμου είναι είναι ίση με ακέραιο αριθμό μηκών κύματος. Αυτή είναι γνωστή ως συνθήκη Bragg και το φαινόμενο ως ανάκλαση Bragg. Άρα (3.61) 49

11 Οποτεδήποτε πληρούται η παραπάνω συνθήκη εμφανίζονται μέγιστα συμβολής κατά την ανάκλαση Bragg. Οι συνθήκες αυτές για παράδειγμα πληρούνται από διαφορετικά επίπεδα σε ένα κρύσταλλο ανάλογα με την κρυσταλλική δομή του όπως παραστατικά φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το μόνο που χρειάζεται είναι η κατάλληλη στροφή του κρυστάλλου ή της γωνίας πρόσπτωσης της δέσμης των ακτίνων Χ έτσι ώστε να πληρούται η συνθήκη. Η περίθλαση των ακτίνων Χ είναι ένα εξαιρετικά σημαντικό εργαλείο στην διερεύνηση της κρυσταλλικής δομής των υλικών. Καθιστά δυνατή την ακριβή μέτρηση των διαφόρων κρυσταλλικών αποστάσεων κι άρα της πλεγματικής δομής τους. Ωστόσο η εφαρμογή τους επεκτείνεται και πέρα από τα κρυσταλλικά δομημένα υλικά όπως για παράδειγμα στα υγρά αλλά και σε οργανικά μόρια. Η αποκρυπτογράφηση της δομής του DNA βασίστηκε δεδομένα σκέδασης ακτίνων Χ. Παράδειγμα Σχήμα Δέσμη ακτίνων Χ μήκους κύματος προσπίπτει σε κρύσταλλο πυριτίου. Καθώς αυξάνεται η γωνία πρόσπτωσης, εκκινώντας από το μηδέν, βρίσκεται το πρώτο μέγιστο συμβολής στη γωνία. α) Ποια η απόσταση δυο γειτονικών επιπέδων; β) Υπάρχουν άλλα μέγιστα σε μεγαλύτερες γωνίες; α) Συνθήκη Bragg: β). Για το παίρνει τιμές μεγαλύτερες του 1 κι άρα δεν υπάρχουν άλλα μέγιστα. 50

12 Προβλήματα 1. Ένας δίσκος CD διαβάζεται από ένα λέιζερ ημιαγωγών μήκους κύματος 790 nm που διαπερνά ένα πλαστικό επίστρωμα με δείκτη διάθλασης 1.8. Όταν η δέσμη συναντά ένα εντύπωμα, μέρος της δέσμης ανακλάται από το εντύπωμα και μέρος από την ομαλή επίπεδη περιοχή μεταξύ των εντυπωμάτων, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αυτές οι δυο δέσμες συμβάλλουν μεταξύ τους. Πόσο πρέπει να είναι το ελάχιστο βάθος του εντυπώματος ώστε το μέρος της ανακλώμενης δέσμης από το εντύπωμα να αναιρεί το μέρος που ανακλάται από την ομαλή, επίπεδη περιοχή; (Αυτή η αναίρεση είναι που επιτρέπει στον αναπαραγωγέα να αναγνωρίζει την αρχή και το τέλος του εντυπώματος). 2. Η ρέγκα και τα ψάρια της ίδιας οικογένειας έχουν μια λαμπρή αργυρή εμφάνιση που τα καμουφλάρει ενώ κολυμπούν στη θάλασσα υπό το φως του ήλιου. Η αργυρή χροιά οφείλεται στα πετάλια που φέρουν στη δερματική τους επιφάνεια. Κάθε πετάλιο (είδος λεπιού) είναι κατασκευασμένο από διαδοχικές στρώσεις κρυσταλλικής γουανίνης (n=1.80) και κυτοπλάσματος (n=1.33 ίδιο με του νερού) με μια στρώση γουανίνης στο εξωτερικό στρώμα. Σε ένα τυπικό πετάλιο, οι στρώσεις της γουανίνης έχουν πάχος 74 nm ενώ του κυτοπλάσματος 100 nm. α) Για φως που προσπίπτει κάθετα στο πετάλιο σε ποια μήκη του ορατού φωτός στο κενό θα είναι οι ανακλάσεις R 1, R 2, R 3, R 4, και R 5, που φαίνονται στο σχήμα, περίπου σε ίση φάση; Εάν προσπίπτει λευκό φως ποιο χρώμα ανακλάται ισχυρότερα; Η επιφάνεια της ρέγκας έχει πάρα πολλά πετάλια επικαλυπτόμενα με στρώσεις διαφορετικών παχών, οπότε ανακλώνται όλα τα ορατά μήκη κύματος. β) Εξηγείστε γιατί μια τέτοια στοιβάδα στρωμάτων είναι πιο ανακλαστική από μια μόνο στρώση γουανίνης με κυτόπλασμα από κάτω. γ) Το χρώμα που ανακλάται πιο ισχυρά από ένα πετάλιο εξαρτάται από την γωνία παρατήρησης. Εξηγείστε γιατί συμβαίνει αυτό. 3. Μια δέσμη λέιζερ μήκους κύματος λ=638.2 nm φωτίζει κάθετα την ανακλαστική επιφάνεια ενός CD. Τα αυλάκια στο CD στα οποία κωδικοποιείται η πληροφορία απέχουν 1.60 μm. Σε ποιες γωνίες ανάκλασης (μετρούμενες από την κάθετο) θα συμβούν τα μέγιστα έντασης; 4. Αν μπορείτε να διαβάσετε την κάτω γραμμή του πίνακα οπτικού ελέγχου ενός γιατρού, το μάτι σας έχει διακριτική ικανότητα ενός λεπτού της μοίρας (1/60 της μοίρας). Αν αυτή η διακριτική ικανότητα περιορίζεται μόνο από την περίθλαση, σε πόση ενεργό διάμετρο του οπτικού συστήματος του ματιού σας αντιστοιχεί αυτό; Χρησιμοποιείστε το κριτήριο Rayleigh και υποθέστε ότι λ=550 nm. 5. Ένα μεταλλικό φύλλο έχει μια λεπτή σχισμή. Όταν φως μήκους κύματος λ=500 nm φωτίσει τη σχισμή η κεντρική φωτεινή περιοχή που σχηματίζεται πάνω σε πέτασμα σε απόσταση 8 m έχει εύρος 10 cm. Όταν η θερμοκρασία του μεταλλικού φύλλου αυξηθεί κατά 80 ο C το εύρος της κεντρικής φωτεινής περιοχής αλλάζει κατά cm. α) Μεγαλώνει ή στενεύει και γιατί; β) Πόσο μεταβλήθηκε η διάσταση της σχισμής; 6. Μια λεπτή σχισμή που φωτίζεται με φως συχνότητας f παράγει την πρώτη σκοτεινή ζώνη στις 38.2 ο στον αέρα. Όταν ολόκληρη η διάταξη βυθίζεται σε ένα άγνωστο διαφανές υγρό, οι πρώτες σκοτεινές ζώνες της σχισμής σχηματίζονται στις 19.1 ο. Βρείτε τον δείκτη διάθλασης του υγρού. 51

13 7. Ακτίνες Χ μήκους κύματος nm σκεδάζονται από ένα κυβικό πλέγμα ενός μονοκρυστάλλου NaCl στο οποίο η χαρακτηριστική απόσταση δυο γειτονικών παράλληλων επιπέδων είναι. α) Αν μελετάται η περίθλαση από επίπεδα παράλληλα προς μια έδρα του κύβου για ποιες γωνίες θ της προσπίπτουσας δέσμης, ως προς τα κρυσταλλικά επίπεδα, θα παρατηρηθούν μέγιστα περίθλασης; β) Απαντήστε στο ίδιο ερώτημα για την παραγόμενη περίθλαση από την οικογένεια των παράλληλων επιπέδων του σχήματος 3.27, για τα οποία η χαρακτηριστική απόσταση δυο γειτονικών παράλληλων επιπέδων είναι. 8. Μια αστροναύτισσα, επιβάτιδα του διαστημικού λεωφορείου, μπορεί μόλις οριακά να διακρίνει δυο σημειακές πηγές στην επιφάνεια της Γης που απέχουν 75 m μεταξύ τους. Υποθέστε ότι η διακριτική ικανότητα είναι περιορισμένη από την περίθλαση και χρησιμοποιείστε το κριτήριο Rayleigh.Σε ποιο ύψος από την επιφάνεια της Γης γίνεται η πτήση; Θωρήστε το μάτι της αστροναύτισσας ως κυκλικό άνοιγμα διαμέτρου 4 mm και θεωρήστε το μήκος κύματος του φωτός λ=500 nm. 52