1. TRENJE. Definicija:
|
|
- Βερενίκη Αναστασιάδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Definicija: 1. TRENJE Prema standardu DIN 5281, trenje se definira kao otpor koji se javlja između površina nalijeganja dvaju tijela i suprotstavlja se međusobnom gibanju bilo klizanjem, bilo kotrljanjem ili valjanjem (trenje gibanja - kinetičko trenje), ili onemogućuje gibanje (trenje mirovanja - statičko trenje). Tri su osnovne vrste trenja: Trenje klizanja javlja se kada translacijske komponente brzina v 1 i v 2 za točke dvaju tijela (1 i 2) u kontaktu nisu jednake, odnosno postoji relativna brzina među njima. 1 v 1 2 v2 Δv Slika 1.1 Trenje klizanja Nedjeljko Perić 1
2 Trenje kotrljanja javlja se u slučajevima kada je kontakt ostvaren u jednoj točki odnosno liniji (P). Slika 1.2 Trenje kotrljanja Kod trenja kotrljanja nema izraženog statičkog trenja što se može objasniti polaganim ulaženjem i izlaženjem u i iz kontakta. Ovo je ujedno i osnovna razlika između trenja klizanja i trenja kotrljanja što značajno utječe na upravljanje slijednim sustavima. Trenje valjanja je kombinacija trenja klizanja i kotrljanja. Udio kotrljanja i klizanja unaprijed je određen kinematikom gibanja dvaju tijela koja su u kontaktu. Ovakav oblik trenja javlja se u valjnim ležajevima, među zubima zupčanika i sl. Nedjeljko Perić 2
3 1.1 Priroda nastanka sile trenja Slika 1.3 Mikroskopski pogled na dodirnu površinu dvaju tijela Kako bi se razumjela priroda nastanka trenja, potrebno je promatrati dodirnu površinu dvaju tijela na mikroskopskoj razini. Površina tijela je obično hrapava i prekrivena graničnim slojem asperitnih vlakana. Stvarni se kontakt između tijela ostvaruje preko niza asperitnih veza, a ne cijelom (geometrijskom) dodirnom površinom. Nedjeljko Perić 3
4 Pod djelovanjem tangencijalne sile, izvana narinute, dolazi do smicanja asperitnih veza što rezultira njihovim elastičnim i plastičnim deformacijama Mehanizam stvaranja sile trenja tipično se može promatrati u četiri područja odnosno režima, ovisno o iznosu relativne brzine: o statičko trenja, o granično trenje, o mješovito trenje i o tekuće trenje Slika 1.4 Četiri tipična područja na karakteristici ovisnosti sile trenja o relativnoj brzini Nedjeljko Perić 4
5 Statičko trenje Statičko trenje podrazumijeva da ne postoji relativno gibanje te stoga postoji izravan kontakt između dodirnih površina. Sa stanovišta upravljanja bitna karakteristika asperitnih veza je njihovo elastično savijanje. Ako je narinuta sila manja od čvrstoće asperitnih veza, sustav se ponaša kao da je među dodirne površine umetnuto niz opruga velike krutosti (slika 1.5). Slika 1.5 Aproksimacija dodirne površine dvaju tijela pomoću niza opruga u režimu statičkog trenja. Nedjeljko Perić 5
6 Druga bitna karakteristika statičkog trenja je polagana plastična deformacija asperitnih vlakana. Kao posljedica polagane plastične deformacije kontaktna se površina među asperitima povećava s povećanjem vremena provedenog u mirovanju. Povećanje površine asperitnih veza rezultira većom čvrstoćom samih veza. Slijedi da će sila potrebna za razaranje asperitnih veza, odnosno pokretanje tijela, biti to veća što su dodirne površine više vremena provele u mirovanju. Granično trenje U režimu graničnog trenja dolazi do relativnog gibanja, ali je zbog male brzine izgled kontakta sličan onom u slučaju statičkog trenja. Uloga maziva ne dolazi do izražaja, jer relativna brzina nije dovoljna da se izgradi potrebni film maziva koji bi razdvojio površine u kontaktu. Postojanje direktnog dodira graničnih slojeva, što u njima izaziva smično naprezanje. Smična čvrstoća graničnog sloja kao krute tvari je višestruko veća od one koja se javlja u mazivima kao fluidu, pa je i sila trenja koja se javlja u režimu graničnog trenja relativno velikog iznosa. Zbog izravnog kontakta, trošenje površina je intenzivno pa se vrijeme zadržavanja u ovom režimu nastoji svesti na najmanju moguću mjeru. Nedjeljko Perić 6
7 Mješovito trenje Porastom iznosa relativne brzine gibanja viskozna sila maziva je dovoljna da onemogući potpuno istiskivanje maziva iz područja kontakta. Povećanje količine maziva u području kontakta smanjuje površinu direktnog kontakta, a time i silu trenja. Količina maziva koja se nalazi u području kontakta ovisi o relativnoj brzini, viskoznosti maziva i geometrije kontaktnih površina. Ovo područje traje sve do trenutka kada relativna brzina naraste do iznosa potrebnog za formiranje mazivog filma čija je debljina veća od visine asperita. U tom trenutku dolazi do potpunog razdvajanja kontaktnih površina, a time i četvrtog režima, tekućeg trenja. Tekuće trenje Priroda tekućeg trenja ovisi o tome radi li se o konformnom kontaktu, gdje se javlja hidrodinamičko trenje, ili nekonformnom kontaktu s elastohidrodinamičkim trenjem. U konformnom kontaktu, a zbog relativne brzine, mazivo se utiskuje u prostor između dvaju tijela, stvarajući film maziva koji je deblji od visine asperita pa je isključen bilo kakav kontakt između tijela. Smicanje u mazivu je višestruko manje od sila smicanja u graničnom sloju materijala, te je zbog toga trenje u režimu tekućeg trenja je minimalno. Nedjeljko Perić 7
8 Kako je bilo kakav kontakt među dodirnim površinama isključen, trošenje je u ovom režimu zanemarivo. 1.2 Statičko trenje i prijelomna sila Trenje koje postoji kada se tijelo nalazi u stanju mirovanja predstavlja statičko trenje odnosno trenje mirovanja. Kako bi se tijelo pokrenulo potrebno je primijeniti odgovarajuću vanjsku silu koja će savladati statičko trenje i ta se sila najčešće naziva prekidnom silom (engl. breakaway force). Prijelaz tijela iz stanja mirovanja u stanje gibanja ne može se na zadovoljavajući način opisati funkcijom relativne brzine v. Umjesto toga, za opis ponašanja sile trenja u stanju mirovanja koristi se funkcija pomaka x (slika 1.6). Nedjeljko Perić 8
9 Slika 1.6 Ovisnost sile trenja o iznosu pomaka x U početnom dijelu karakteristike ovisnost sile trenja o pomaku x je skoro linearna te se stoga kontakt može aproksimirati nizom opruga kako je prikazano na slici 1.5. Nedjeljko Perić 9
10 Nakon određenog iznosa pomaka x dolazi do pojave plastične deformacije asperitnih vlakana; nakon prestanka djelovanja vanjske sile pojavljuje se trajni pomak (slika 1.7), tj. proces deformacije vlakana je ireverzibilan (engl. pre-sliding displacement) Slika 1.7 Ilustracija ireverzibilnosti procesa istezanja asperitnih vlakana Nedjeljko Perić 10
11 Slika 1.8 Ovisnost prekidne sile o vremenu koje je tijelo provelo u mirovanu i o vremenskoj derivaciji primjenjene sile. Iznos prekidne sile dodatno ovisi o vremenu provedenom u mirovanju (engl. dwell time) i pokazuje se da je prekidna sila to veća što je veće vrijeme koje je tijelo provelo u mirovanju (slika 1.8). Također, iznos prekidne sile ovisan je i o brzini primjene vanjske sile tj. o njenoj derivaciji (slika 1.8). Nedjeljko Perić 11
12 1.3 Modeli trenja Statički modeli trenja Pod statičkim modelima trenja obično se podrazumijevaju modeli koji daju funkcijsku ovisnost sile trenja o relativnoj brzini dvaju tijela koja su u kontaktu. Za razliku od dinamičkih modela ovi modeli nemaju uključen nikakav oblik memorije. Klasični modeli trenja Coulombovo trenje (Coulomb, 1785.) Iznos sile trenja proporcionalan je normalnoj (okomitoj) sili i neovisan je o iznosu dodirne površine (F C =μf N ), kako je to opisano sljedećim izrazom: F = F sgn( v). (1-1) c Neodređenost iznosa sile trenja za v=0 predstavlja najveći nedostatak ovog modela. Nedjeljko Perić 12
13 Viskozno trenje (Reynolds, 1866.) U 19. stoljeću s razvojem teorije hidrodinamike došlo se do opisa sile trenja prouzročene viskoznošću maziva. Ova se komponenta sile trenja obično naziva viskoznim trenjem i opisana je sljedećim izrazom: Fv = σ, 0 2 v v, (1-2) gdje je σ 2 koeficijent viskoznog trenja. S ciljem što boljeg slaganja s eksperimentalnim mjerenjima za opis viskoznog trenja ponekad se koristi i sljedeća modifikacija modela viskoznog trenja: v Fv = σ 2 v sgn( v), v 0, (1-3) gdje je δ v empirijski koeficijent čiji iznos ovisi o području primjene modela. δ Nedjeljko Perić 13
14 Statičko trenje (Morin, 1833.) Opis sile trenja kombinacijom Coulombovog i viskoznog trenja pretpostavlja da je apsolutni iznos sile trenja najmanji u mirovanju, tj. pri v=0. To je, međutim, u koliziji s eksperimentalnim podacima koji ukazuju da iznos sile trenja u mirovanju značajno premašuje iznos Coulombovog trenja F C. Ako je tijelo u mirovanju, potrebna je vanjska sila jednaka ili veća od sile statičkog trenja (trenja mirovanja, engl. stiction) F S da bi se tijelo počelo gibati. Stribeckovo trenje godine Stribeck je, umjesto diskontinuiranog prijelaza, uvodi kontinuirani prijelaz između statičkog i dinamičkog trenja. Ovaj se efekt obično u literaturi naziva Stribeckovim efektom. Najčešće se ovaj efekt opisuje funkcijom sljedećeg oblika: δ v F = FC + FS FC e v vs ( ) sgn( ) gdje je v s Stribeckova brzina a δ empirijski koeficijent., (1-4) Nedjeljko Perić 14
15 Slika 1.9 Klasični statički modeli trenja: a) Coulombovo trenje, b) Coulombovo + viskozno trenje, c) Coulombovo + viskozno trenje+statičko trenje, d) Stribeckovo+viskozno trenje Nedjeljko Perić 15
16 Karnoppov model trenja Osnovni nedostatak prethodno opisanih modela trenja, sa stajališta modeliranja i upravljanja, leži u činjenici da je potrebno detektirati slučajeve kada je relativna brzina jednaka nuli. Kako bi se izbjeglo često prekapčanje unutar spomenutog modela Karnopp je predložio korištenje zone neosjetljivosti, tj. intervala v < v. (slika 1.10 a)) Ako je relativna brzina gibanja unutar tog intervala, smatra se da nema relativnog gibanja tijela u kontaktu (engl. stick regime). Kako postojanje zone neosjetljivosti nije fizikalno, često se koriste različite modifikacije ovog modela od kojih se najčešće koristi aproksimacija sile trenja vrlo strmim pravcem na intervalu [ v, v] (slika 1.10 b)) Nedjeljko Perić 16
17 Slika 1.10 Karnoppov model a) klasični i b) modificiani Nedjeljko Perić 17
18 Slika 1.11 Blokovska shema Karnoppova modela trenja Nedjeljko Perić 18
19 1.3.2 Dinamički modeli trenja Armstrongov model S ciljem da se uzmu u obzir i određena dinamička svojstva pojave trenja, Armstrong je u svojem modelu uveo vremensku ovisnost statičkog trenja kao i Stribeckovog efekta. Predloženi model trenja sastoji se od dva podmodela: jednog za opis statičkog trenja i drugog za opis kinetičkog trenja tj. trenja klizanja. U režimu statičkog trenja sila je trenja opisana izrazom: F( x) = σ x (1-5) U režimu kinetičkog trenja sila je opisana izrazom: 1 F( vt, ) = FC + FS( γ, td) sgn( ) 2 v + Fv (1-6) 1 + ( vt ( τ l)/ vs) Pritom funkcija FS( γ, td) opisuje ovisnost iznosa statičke sile trenja o vremenu provedenom u stanju mirovanja (pogledati sliku 1.8) i dana je izrazom: td FS( γ, td) = FS, a + ( FS, FS, a) (1-7) t + γ Nedjeljko Perić 19 0 d
20 gdje je σ koeficijent čvrstoće, t d vrijeme koje je tijelo provelo u mirovanju, F Sa, iznos Stribeckovog trenja na kraju prethodnog perioda klizanja, FS, iznos Stribeckovog trenja nakon vrlo dugog perioda mirovanja tijela, τ l vremenska konstanta trenja, γ - empirijski parametar modela. Nedostak je ovog modela potreba za mehanizmom prekapčanja između njegovih dvaju podmodela. Armstongov model ima sedam parametara koji se trebaju odrediti tijekom postupka identifikacije modela trenja, te se stoga ponekad u literaturi ovaj model nalazi i pod imenom "Model sa sedam parametara" (engl. seven parameters model). Dahlov model trenja (P. Dahl, Aerospace Corporation, 1968.) Model definira dinamičku ovisnost sile trenja o pomaku x nelinearnom diferencijalnom jednadžbom prvog reda (engl. stress-strain curve): df F = σ 1 sgn( v), (1-8) dx FC gdje σ - koeficijent čvrstoće, α - koeficijent koji definira oblik krivulje Nedjeljko Perić 20 α
21 Dahlovim modelom obuhvaćeno je: o Pomaci u području statičkog trenja (engl. presliding displacement) o Histerezna karekteristika trenja (slika 1.12) o Sila trenja ovisna je o pomaku x i predznaku brzine Osnovni je nedostatak Dahlova modela nemogućnost modeliranja: o Stribeckova efekta, o Stick-Slip efekta. Nedjeljko Perić 21
22 Slika 1.12 Ovisnost sile trenja o pomaku prema Dahlovu modelu Za dobivanje modela u vremenskoj domeni, derivirajmo (1-8) po vremenu: df df dx df F = = v= σ 1 sgn( v) v dt dx dt dx FC α (1-9) Nedjeljko Perić 22
23 Za α = 1 prethodni se izraz moze zapisati u obliku: df F v = σ v v, sgn( v) = dt FC v (1-10) Uvođenjem pokrate F = σ z slijedi: dz σ v = v z dt FC (1-11) F = σ z (1-12) v + z 1 z F σ s v σ F C Slika 1.13 Blokovska shema Dahlova modela za α = 1 Nedjeljko Perić 23
24 Analiza Dahlova modela u stacionarnom stanju dz Izjednačenjem vremenske derivacije sile trenja s nulom = 0 dt slijedi: F C z = sgn( v) (1-13) σ F = σ z = F sgn( v) (1-14) C Prema tome, Dahlov model trenja u stacionarnom stanju identičan je Coulombovu modelu Nedjeljko Perić 24
25 Vlaknasti model trenja Vlaknasti model trenja temelji se na razmatranju pojava u kontaktu dvaju tijela na mikroskopskoj razini. Uslijed nepravilnosti dodirne površine dvaju tijela broj točaka u kojima se ostvaruje njihov kontakt kao i njihov raspored je slučajan. Pritom se pretpostavlja da se ovaj kontakt u svakoj od tih točaka ostvaruje preko niza elastičnih vlakana (slika 1.14). Slika 1.14 Ilustracija vlaknastog modela trenja Nedjeljko Perić 25
26 Prilikom relativnog gibanja dvaju tijela koja su u kontaktu dolazi do naprezanja tih vlakana (pretpostavimo N vlakana, N= 20-25) i pritom se generira sila čiji je iznos: N F = σ ( xi bi) (1-15) i= 1 Kad iznos naprezanja pojedine veze prijeđe njenu čvrstoću, dolazi do pucanja stare i uspostavljanja nove veze. Nova veza se javlja među vlaknima smještenima na pravcima koji su otklonjeni od pravca gibanja te ne omogućuju čvrstoću prethodne veze. Broj veza ovisi o relativnoj brzini među kontaktnim površinama. Kako je sila trenja izravno ovisna o broju veza, njezin iznos je u funkciji relativne brzine. Ovaj model dobro opisuje slučajni karakter trenja, ali je neefikasan s obzirom na veliko vrijeme računanja. Nedjeljko Perić 26
27 Model trenja zasnovan na cikličkom integriranju S ciljem skraćenja vremena računanja, a da se pritom zadrže dobra svojstva vlaknastog modela u opisu fenomena trenja, razvijen je model zasnovan na cikličkom integriranju (engl. reset integrator model). Umjesto kidanja postojećeg asperitnog vlakna nakon dostizanja kritičnog naprezanja, ovim se modelom veza vlakana zadržava, ali se pritom onemogućuje daljnji rast naprezanja vlakna. Model koristi posebnu varijablu koja određuje naprezanje u vlaknu: dz v, z zm = (1-16) dt 0, z > zm Sila trenja dana je izrazom: dz F = ( 1 + δ( z) ) σ0z+ σ1 (1-17) dt pri čemu funkcija δ ( z) određuje iznos sile trenja u području statičkog trenja (trenja mirovanja) i dana je izrazom: Nedjeljko Perić 27
28 δ, z zm δ ( z) = (1-18) 0, z > zm Uvođenjem koeficijenta prigušenja σ 1 izbjegavaju se oscilacije u području statičkog trenja koje se javljaju kod "vlaknastog modela". Slika 1.15 Blokovska shema reset integrator modela trenja Nedjeljko Perić 28
29 Reset integrator model trenja omogućuje znatno efikasniju simulaciju od vlaknastog modela ali je istovremeno diskontinuiran po varijabli z te je također potrebno provjeravati uvjet z < z. m LuGre model trenja LuGre model predstavlja proširenje Dahlova modela s ciljem opisivanja Stribeckova i stick-slip efekta. Dahlov model ima oblik: dz σ v = v z (1-19) dt FC F = σ z (1-20) LuGre model umjesto Coulombove sile F C uvodi nelinearnu Stribeckovu funkciju: ( ) s gv () = F + F F e (1-21) C S C δ v v Nedjeljko Perić 29
30 LuGre model, prema tome, glasi: dz σ v = v z dt g() v (1-22) dz F = σ 0z+ σ1 + σ2v dt (1-23) Odabirom parametara δ i v s mogu se dobiti različiti oblici Stribeckove funkcije kako bi se postiglo što bolje slaganje sa stvarnom karakteristikom trenja. Varijabla z predstavlja internu varijablu modela trenja koja se može interpretirati kao prosječno istezanje asperitnih vlakana u kontaktu dvaju tijela (slika 1.16). v z Slika 1.16 Interpretacija interne varijable z LuGre modela trenja Nedjeljko Perić 30
31 Slika 1.17 Blokovska shema LuGreova modela trenja Nedjeljko Perić 31
32 LuGre model u stacionarnom stanju Izjednačenjem vremenskih derivacija u LuGre modelu s nulom slijedi: dz σ 0 v g() v = v z = 0 z = sgn( v) dt g() v σ 0 (1-24) dz F = σ 0z+ σ1 + σ2v= g( v)sgn( v) + σ2v (1-25) dt = 0 F v Slika 1.18 Statička karakteristika LuGreova modela trenja Nedjeljko Perić 32
33 Svojstvo pasivnost LuGreova modela trenja Neka je dan sustav: x = f( x, u); (1-26) y = h( x, u). i neka je za taj sustav definirana pozitivno definitna energetska funkcija V(x) takva da vrijedi: 1. V( x) = 0, za x= 0 2. V( x) 0, za x Za dani se sustav kaže da je pasivan s obzirom na energetsku funkciju V(x) ako je zadovoljena sljedeća nejednakost: t T V( x( t)) V( x(0)) y ( t) u( t) dt (1-27) 0 U slučaju da je funkcija V(x) derivabilna, prethodni se uvjet svodi na: t T V ( x( t)) y ( t) u( t) dt (1-28) 0 Ukupna energija spremljena u sustav manja je ili jednaka energiji dobavljenoj u sustav. Nedjeljko Perić 33
34 Dokaz pasivnosti za LuGreov model 2 Neka energetska funkcija sustava ima oblik V( z) = z /2 (koja očito zadovoljava uvjete 1. i 2. s prethodnog slajda). Preslikavanje ψ : v z je pasivno s obzirom na energetsku funkciju V(z) budući da vrijedi: t t t t dv dz dz σ v V () t V (0) = Vdt = dz = z dt z v z dt dz dt = dt (1-29) g() v σ v = gv () t t 2 V () t V (0) zv z dt zvdt (1-30) 0 0 Ovo je svojstvo modela vrlo bitno kod određenih postupka projektiranja nelinearnih sustava upravljanja procesima uz uzraženu pojavu trenja. Nedjeljko Perić 34
35 1.4 Negativni efekti trenja u sustavima upravljanja Ovisno o konkretnom problemu, fenomen trenja može općenito biti koristan ili štetan. Tako se kod sustava upravljanja proklizavanjem kotača vozila (ABS) odnosno kod sustava upravljanja vučnom silom nastoji maksimizirati iznos sile trenja te je pojava trenja u ovom slučaju korisna. S druge strane, u velikom broju industrijskih primjena postojanje trenja je izuzetno štetno. Ponajprije zbog njegovog postojanja dio se energije nepovratno gubi odnosno pretvara u toplinsku energiju smanjujući često pritom vijek trajanja komponenata sustava. Sa stajališta kvalitete upravljanja sustavima posebno su bitna dva vrlo bliska efekta povezana s pojavom trenja, a to su: o "stick-slip" efekt i o "hunting" efekt. Nedjeljko Perić 35
36 1.4.1 Stick-slip efekt Pod pojmom "stick-slip" efekta obično se podrazumijeva oscilatorno gibanje tijela koje nastaje kao posljedica naglog prelaska iz područja statičkog trenja (trenja mirovanja) u područje kinetičkog trenja (trenje klizanja). Zbog činjenice da je iznos statičkog trenja najčešće značajno veći od iznosa trenja u režimu klizanja prilikom prelaska iz režima statičkog u režim kinetičkog trenja dolazi do naglog smanjenja sile trenja. Promatrajući ovu pojavu na mikrorazini, može se zaključiti da je ovo smanjenje sile trenja posljedica kidanja asperitnih veza između dvaju tijela koja su u kontaktu što se događa nakon što vanjska sila premaši iznos prekidne sile F pr. Slika 1.19 Ilustracija stick-slip efekta Nedjeljko Perić 36
37 PRIMJER 1.1: Simulacija stick-slip efekta U svrhu ilustracije "stick-slip" efekta razmotrit će se jednostavan mehanički sustav koji se sastoji od tijela mase m koje se nalazi na podlozi i na njega vezane elastične opruge (slika 1.20). Sila trenja F između tijela i podloge opisana je LuGre modelom trenja. Slika 1.20 Simulacija stick-slip efekta Pretpostavimo da se desni kraj opruge kreće brzinom xt () = v0. Na temelju II Newtonog zakona mogu se zapisati jednadžbe gibanja tijela: dx = v ; 0 dt l = x y; (1-31) Nedjeljko Perić 37
38 2 d x 0 dy ; dt m = kl F. 2 dt Parametri simulacije dani su u tablici 1. dl dt = v (1-32) Tablica 1: Parametri simulacije Parametar Vrijednost m 1 k 2 v 1 0 v S 0.1 μ 0.3 C μ S 0.6 σ σ Nedjeljko Perić 38
39 Slika 1.21 Brzina i pozicija mase tijekom simulacije Nedjeljko Perić 39
40 Slika 1.22 Sila trenja i pozicija mase m tijekom somilacije (detaljan prikaz) Slika 1.23 Sila trenja tijekom simulacije Nedjeljko Perić 40
41 1.4.2 Hunting efekt Prethodni je primjer ilustrirao efekt koji se javlja pri niskim relativnim brzinama kada se asperitne veze stignu nanovo uspostaviti što rezultira cikličnim izmjenjivanjem režima statičkog i kinetičkog trenja. Prelazak između pojedinih režima trenja ostvaren je pomoću vanjske sile tj. sile opruge. U sustavima upravljanja elektromotornim pogonima umjesto opruge ta će promjena režima trenja biti prouzročena integralnim djelovanjem regulatora, ukoliko se radi o regulaciji pozicije elektromotornog pogona. To će rezultirati nemogućnošću postizanja točnosti u ustaljenom stanju, što se obično naziva "hunting" efektom. Nedjeljko Perić 41
42 PRIMJER 1.2: Ilustacija "hunting" efekta Sustav regulacije pozicije mase na podlozi uz korištenje PID regulatora prikazan je na slici Parametri PID regulatora određeni su na temelju nominalnog modela procesa koji ne uključuje trenje. U sklopu ovog primjera provedene su dvije skupine simulacija i to: (i) bez utjecaja sile trenja i (ii) (ii) uz utjecaj sile trenja. Za modeliranje sile trenja korišten je LuGre model trenja. Svi parametri procesa jednaki su onima iz prethodnog primjera. Slika 1.24 Sustav upravljanja položajem mase na podlozi Nedjeljko Perić 42
43 Slika 1.25 Odziv pozicije mase u slučaju korištenja PID regulator Slika 1.26 Odziv upravljačkog signala u(t) u slučaju korištenja PID regulatora Nedjeljko Perić 43
44 Djelovanje sile trenja rezultira trajnim oscilacijama regulirane veličine (položaja mase) oko njene referentne vrijednosti. Ovakva se pojava obično u teoriji nelinearnih sustava naziva graničnim ciklusom (engl. limit cycle) budući da fazna trajektorija sustava završava u zatvorenoj krivulji. Slika 1.27 Fazna trajektorija sustava iz primjera 1.2 Nedjeljko Perić 44
45 1.5 Kompenzacija utjecaja trenja Posljedice djelovanja trenja u sustavima upravljanja: o Gubici energije koja se troši na savladavanje sile trenja; o Onemogućavanje postizanja visoke kvalitete upravljanja Svi postupci kompenzacije općenito se mogu klasificirati u tri skupine: Otklanjanje uzroka trenja o U ovu skupinu spadaju postupci kao što su dodavanje različitih aditiva mazivima koji se koriste (npr. u ležajevima) kojim se osigurava smanjenje trenja i korištenje različitih hardverski preinaka na elektromehaničkom sustavu kako bi se smanjio utjecaj trenja. Nemodelski postupci kompenzacije trenja. Na modelu zasnovani postupci kompenzacije trenja. Nedjeljko Perić 45
46 1.5.1 Nemodelski postupci kompenzacije trenja Ovi postupvi ne zahtjevaju ekspicitno poznavanje modela trenja. U nastavku je dan pregled najvažnijih postupaka koju spadaju u ovu skupinu Modifikacija integralnog djelovanja Integralno se djelovanje općenito uvodi s ciljem eliminacije pogreške u stacionarnom stanju ali u sustavima s prisutnim trenjem može prouzročiti efekt hunting-a i/ili rezultirati značajnim iznosima nadvišenja u prijelaznoj pojavi. Razlog tomu leži u obliku karakteristike trenja odnosno u značajnom smanjenu iznosa sile trenja pri prijelazu iz područja statičkog u područje kinetičkog trenja. Ideja je ovih postupaka da se tijekom rada sustava (on-line) mijenja ponašanje integralnog člana regulatora. Nedjeljko Perić 46
47 Postoji više različitih postupaka modifikacije integralnog djelovanja kojima se eliminira/reducira utjecaj trenja na kvalitetu upravljanja: o Uvođenje zone neosjetljovosti. Na ulazu u integralni član PID regulatora dodaje se nelinearni element zone neosjetljivosti čime se zaustavlja njegovo daljnje integriranje kada pogreška pozicioniranja padne na dovoljno mali iznos. Time se eliminira hunting efekt ali se istovremeno narušava točnost sustava. α ref Js ω 1 s α Slika Modifikacija integralnog djelovanja uvođenjem zone neosjetljivosti Nedjeljko Perić 47
48 o Korekcijski član s faznim kašnjenjem. Uvođenje korekcijskog člana s faznim kašnjenjem s velikim pojačanjem umjesto integralnog djelovanja rezultira sličnim efektom kao zona neosjetljivosti ali se pritom ne unose nelinearni efekti u sustav. α ref P Korekcijski član s kašnjenjem + α D ut () Slika Modifikacija integralnog djelovanja uvođenjem korekcijskog člana s kašnjenjem o Resetiranje integratora. Ovaj se postupak provodi u slučajevima kada je statičko trenje značajno većeg iznosa od kinetičkog te se kao posljedica integralnog djelovanja može pojaviti veliko nadvišenje u prijelaznoj pojavi. Kako bi se ono reduciralo ili eliminiralo (posebice tamo gdje ono nije dopušteno) može se koristi postupak resetiranja čime se izlaz iz integralnog člana isključuje kada se detektira izlazak iz područja statičkog trenja. Nedjeljko Perić 48
49 o Množenje izlaza iz integratora s predznakom brzine. Koristi se za eliminaciju problema vezanih za promjenu smjera brzine kada sila trenja naglo mijenja predznak (sa iznosa F C na F C ili obrnuto). Višepetljaste strukture upravljanja Ideja je ovog postupka korištenje brze podređene petlje po momentu na osovini radnog mehanizma. Zbog velike brzine djelovanja, zatvorena podređena petlja ponašat će se skoro kao idealni izvor momenta (slika 1.30). Najbitniji preduvjet za korištenje ove strukture jest mjerljivost momenta na osovini radnog mehanizma, čime se unutarnjom petljom obuhvaća točka djelovanja trenja u sustavu. Zbog brzine unutarnje petlje poremećaji koji djeluju na sustav, tj. trenje, kompenziraju se unutar podređene petlje te se njihovo djelovanje ne vidi na reguliranoj veličini, tj. poziciji radnog mehanizma. Umjesto senzora momenta u ovim se strukturama može koristiti i senzor ubrzanja. U novije vrijeme za mjerenje momenta i/ili ubrzanja sve veću primjenu imaju MEMS senzori (engl. Micro ElectroMechanical systems, MEMS). Nedjeljko Perić 49
50 Senzor momenta na osovini α ref + G () R2 s G () R1 s Js ω 1 s α Trenje Slika 1.30 Kaksadna struktura kompenzacije trenja Korištenje dither signal Jedan od najstarijih i najjednostavnijih kompenzacija utjecaja trenja jest korištenje tzv. dither signala. To je visokofrekvencijski signal koji se obično dodaje upravljačkom signalu a što ima za posljedicu onemogućavanje zadržavanja sustava u području statičkog trenja. Pritom je ovdje bitno spomenuti da postoji značajna razlika između djelovanja dither signala paralelno odnosno okomito na smjer sile trenja. Nedjeljko Perić 50
51 Slika 1.31 Tipovi dither signala Ako je djelovanje dither signala paralelno sili trenja (d 1 (t)) tada je efekt njegovog uvođenja usrednjavanje nelinearne funkcije trenja. Ako je pritom frekvencija dither signala veća od odgovarajućih lomnih frekvencija dominantnih dinamika sustava tada se na izlaznom signala neće vidjeti negativni efekti dodavanja ovog signala. S druge strane djelovanje dither signala okomito sili trenja (d 2 (t)) ima za posljedicu smanjenje koeficijenta trenja. Ovaj se tip dither signala uobičajeno generira korištenjem mehaničkih vibratora. Nedjeljko Perić 51
52 Nedjeljko Perić 52
53 1.5.2 Na modelu zasnovana kompenzacija trenja Ideja je ovih postupka da se na temeju poznatog modela trenja generira dodatak upravljačkom signalu kojim se kompenzira utjecaj trenja na kvalitetu upravljanja. Kao ulaz u model trenja može se koristiti mjerena brzina, estimirana brzina ili željena brzina. Slika 1.32 Načela shema kompenzacije trenja zanovane na modelu trenja Nedjeljko Perić 53
54 Preduvjeti za korištenje na modelu zasnovanih struktura kompenzacije trenja: o Točan model trenja, o Odgovarajuća dinamička svojstva aktuatora, tj. dovoljno velik propusni pojas. Ovaj je zahtjev bitan zbog činjenice da su pojave vezane uz trenje vrlo brze te stoga i aktuator mora biti vrlo brz ako se želi kvalitetno kompenzirati utjecaj trenja, o Čvrsta sprega između aktuatora i elemenata sustava s trenjem. Time se osigurava da sila trenja bude praktički proporcionalna upravljačkom signalu. Adaptivni postupci kompenzacije trenja o Neizravno adaptivno upravljanje. Kod ovih se postupaka on-line estimiraju parametri modela trenja na temelju kojeg se određuju parametri regulatora. o Prednost ovih postupaka je mogućnost verifikacije estimiranog modela trenja prije njegovog korištenja u upravljačkoj petlji. o Izravno adaptivno upravljanje. Na temelju mjerenih signala radi se izravna adaptacija parametara regulatora kako bi se minimizirala pogreška slijeđenja referentne vrijednosti. o Nadzor postupka adaptacije u ovom je slučaju znatno složeniji. Nedjeljko Perić 54
Upravljanje u mehatroničkim sustavima
Upravljanje u mehatroničkim sustavima Fetah Kolonić Jadranko Matuško Fakultet elektrotehnike i računarstva 27. listopada 2009 Upravljanje u mehatroničkim sustavima Upravljanje predstavlja integralni dio
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραFAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI
SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost
Διαβάστε περισσότεραDinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραPrikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραDINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)
Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραUZDUŽNA DINAMIKA VOZILA
UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραšupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova)
šupanijsko natjecanje iz zike 017/018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) U prvom vremenskom intervalu t 1 = 7 s automobil se giba jednoliko ubrzano ubrzanjem
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραMehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo
Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Operacijsko Pojačalo Kod operacijsko pojačala izlazni napon je proporcionalan diferencijalu
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότεραMehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika
1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Διαβάστε περισσότεραRad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet
Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραIzravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )
Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična
Διαβάστε περισσότεραBETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:
Διαβάστε περισσότεραPRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA
Διαβάστε περισσότεραImpuls i količina gibanja
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραNovi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραOvisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji
Ovisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji Električna shema temeljnog spoja Električna shema fizički realiziranog uzlaznog pretvarača +E L E p V 2 P 2 3 4 6 2 1 1 10
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραTranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa
Tranzistori s efektom polja Spoj zajedničkog uvoda U ovoj vježbi ispitujemo pojačanje signala uz pomoć FET-a u spoju zajedničkog uvoda. Shema pokusa Postupak Popis spojeva 1. Spojite pokusni uređaj na
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραBETONSKE KONSTRUKCIJE 2
BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Διαβάστε περισσότεραFizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva
Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Školska godina 2006/2007 Fizika 1 Auditorne vježbe 5 Dinamika: Newtonovi zakoni 12. prosinca 2008. Dunja Polić (dunja.polic@fesb.hr)
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραRad, energija i snaga
Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).
Διαβάστε περισσότεραPeriodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότερα