3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων

Transcript

1 3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων - ο λογισµός της επιχείρησης εκτείνετι σε δύο χρονικές περιόδους. - έχει την δυντότητ ν δηµιουργήσει ποθέµτ την πρώτη περίοδο τ οποί θ πουλήσει την δεύτερη. - Η πόφση πργωγής γίνετι στην ρχή της πρώτης περιόδου πριν γίνει γνωστό το επίπεδο της τιµής του προϊόντος. - Αν χ κι χ είνι το επίπεδο πργωγής των δύο περιόδων κι y το πόθεµ που µετφέρετι την δεύτερη περίοδο, p η τιµή του προϊόντος, c(xi) η συνάρτηση κόστους κι m(y) η συνάρτηση κόστους ποθήκευσης, τ προσδοκώµεν κέρδη της δεύτερης περιόδου είνι π x, y) = [ x + y] p c( x ) m( ) όπου ( y c ( x ) > 0, c (x ) > 0, m (y) > 0, m (y) > 0 το συνολικό κέρδος είνι π ( x i, y) = [ x y] p c( x) + ρ([ x + y] p c( x ) m( y)) οι συνθήκες πρώτης τάξης γι τ xi δίνουν * p = c ( x ) * p = c ( x ) p = p + m ( y ) ρ η τιµή της δεύτερης περιόδου πρέπει ν είνι µεγλύτερη πό υτή της πρώτης περιόδου γι ν υπάρξουν ποθέµτ. Στην περίπτωση υτή είνι δυντό γι την επιχείρηση ν πράγει µε χµηλότερο κόστος την πρώτη περίοδο κι ν πουλήσει σε ψηλότερη τιµή την δεύτερη. Σχ. 6.

2 m p+m c p p y* x x x 4 Κτνάλωση κι Αποτµίευση σε Συνθήκες Αβεβιότητς Στο τµήµ υτό εξετάζετι έν υπόδειγµ διχρονικού λογισµού. Υποθέτουµε ότι οι ποφάσεις ενός τόµου φορούν δύο χρονικές περιόδους, την τρέχουσ περίοδο κι το µέλλον. Οι ποφάσεις πίρνοντι στην ρχή της πρώτης περιόδου κι είνι δεσµευτικές γι την δεύτερη περίοδο. Με άλλ λόγι το άτοµο δεν µπορεί ν προσρµόσει τις ποφάσεις του ν προκύψει νέ πληροφόρηση την δεύτερη περίοδο. Το άτοµο έχει την δυντότητ ποτµίευσης, δηλδή την ικνότητ ν µετφέρει γορστική δύνµη πό την πρώτη στην δεύτερη περίοδο. Το διθέσιµο εισόδηµ της δεύτερης περιόδου δπνάτι στο κέριο. Εξετάζουµε διδοχικά τις περιπτώσεις όπου εµφνίζετι βεβιότητ στο επίπεδο εισοδήµτος της δεύτερης περιόδου κι στο προεξοφλητικό συντελεστή (επιτόκιο) κι την επίπτωση στην πόφση ποτµίευσης. Στην συνέχει εξετάζουµε το πρόβληµ της επιλογής ρίστου χρτοφυλκίου που ποτελεί τον άριστο τρόπο ποτµίευσης (µετφοράς εισοδήµτος διχρονικά). 4. Αβεβιότητ Εισοδήµτος κι Αποτµίευση

3 Η πόφση του τόµου συνίσττι στο πόσο πό το εισόδηµ της πρώτης περιόδου θ κτνλώσει άµεσ κι πόσο θ κτνλώσει την δεύτερη περίοδο. Τ µεγέθη της πρώτης περιόδου θεωρούντι γνωστά µε βεβιότητ, συµπεριλµβνοµένου του επιτοκίου. Αντίθετ το εισόδηµ της δεύτερης περιόδου υπόκειτι σε βεβιότητ. Το άτοµο ντλεί χρησιµότητ πό την κτνάλωση των δύο περιόδων, συνάρτηση χρησιµότητς είνι περιόδου τότε το εισόδηµ της δεύτερης περιόδου είνι c, c. Οπότε η U( c, c). Αν το y είνι το εισόδηµ της πρώτης ( y c)( + i) + y όποτε, ν το ρ = +I, η κτνάλωση της δεύτερης περιόδου είνι c = ρ( y c ) + y Έστω ότι το εισόδηµ της δεύτερης περιόδου είνι µηδέν µε πιθνότητ p κι y µ πιθνότητ -p. Τότε το c γίνετι c = c ( 0) = ρ( y c ) c ( y ) = ρ( y c ) + y prob = p prob = - p Η συνάρτηση προσδοκώµενης χρησιµότητς είνι U( c, c ) = u( c ) + [ pu( c ( 0)) + ( p) u( c ( y ))] η συνθήκη πρώτης τάξης είνι u ( c ) ρpu ( c ( 0)) ρ ( p) u ( c ( y )) = 0 ενώ η συνθήκη δεύτερης τάξης γίνετι = u ( c ) + ρ pu ( c ( 0)) + ρ ( p) u ( c ( y )) < 0

4 ν υποθέσουµε ότι η συµπεριφορά του τόµου χρκτηρίζετι πό ποστροφή στον κίνδυνο τότε η συνθήκη δεύτερης τάξης ικνοποιείτι φού u < 0. Πίρνοντς τη διφορική της συνθήκης πρώτης τάξης ως προς την πιθνότητ βλέπουµε ότι µί ύξηση της p µειώνει την κτνάλωση της πρώτης περιόδου, δηλδή υξάνει την ποτµίευση. Αντίθετ µί ύξηση είτε του εισοδήµτος της πρώτης περιόδου είτε του θετικού σκέλους του εισοδήµτος της δεύτερης περιόδου θ µειώσει το επίπεδο ποτµίευσης.

5 4. Αβεβιότητ Επιτοκίου Έστω ότι η βεβιότητ φορά το επιτόκιο. Απλοποιώντς το υπόδειγµ του προηγούµενου τµήµτος υποθέτουµε ότι την δεύτερη περίοδο το άτοµο έχει µηδενικό εισόδηµ, δηλδή ότι y = 0 µε βεβιότητ. Κτά συνέπει η επιβίωση του εξρτάτι πό την ποτµίευση, η πόδοση της οποίς είνι βέβι. Η συνάρτηση της προσδοκώµενης χρησιµότητς στην περίπτωση υτή είνι U( c, c ) = u( c ) + E[ u( c )] όπου η χρησιµότητ κάθε περιόδου έχει τώρ την µορφή ci uc ( i ) = 0 < < i =, Το άτοµο χρκτηρίζετι πό ποστροφή στον κίνδυνο. Γιτί? Η συνθήκη πρώτης τάξης είνι u ( c ) E[ ρu ( ρu ( ρ ( y c ))] = 0 ενώ η συνθήκη δεύτερης τάξης είνι u ( c ) + E[ ρ u ( ρ( y c ))] < 0 Θ ποδείξουµε ότι κάτω πό τις υποθέσεις που υιοθετήσµε το επίπεδο ποτµίευσης είνι χµηλότερο ότν υπάρχει βεβιότητ συγκριτικά µε την περίπτωση της βεβιότητς. Έστω ότι η λύση της συνθήκης πρώτης τάξης δίνει την λύση c *. Υποθέτουµε ότι επικρτεί βέβιο επιτόκιο ίσο µε τη µθηµτική ελπίδ του επιτοκίου στην περίπτωση της βεβιότητς. Τότε η συνθήκη πρώτης τάξης γίνετι u ( c ) E[ ] u ( E[ ]( y c )) = ή ρ ρ 0 u ( c ) E[ ρ] ( y c ) = 0 Έστω ότι η λύση της εξίσωσης υτής είνι c.

6 Οπότε έχουµε ότι γι την περίπτωση της βεβιότητς u ( c ) E[ ρ ]( y c ) 0 * * = κι γι την περίπτωση της βεβιότητς u ( c ) E[ ρ] ( y c ) Αν c = c * τότε πρέπει = 0 { E ρ } E[ ρ ] = [ ] Τούτο όµως δεν ισχύει. Η νισότητ του Jensen λέει ότι γι µί κυρτή συνάρτηση ν( x ) δηλδή, ( ν < 0), ισχύει ότι E( ν(x)) < ν {E(x)). Στην περίπτωση µς έχουµε ότι ν( x) = x { E ρ } όπου 0 < <. Οπότε ισχύει ότι E[ ρ ] < [ ]. Κτά συνέπει τ δύο ριστοποιητικά σηµεί δεν µπορούν ν είνι ίσ. Τούτο σηµίνει γι ν ικνοποιηθούν κι οι δύο συνθήκες πρώτης τάξης ότι το πρέπει ν είνι µικρότερο του c. Τ ποτελέσµτ υτά εξρτώντι βέβι πό την συγκεκριµένη µορφή της συνάρτησης χρησιµότητς που χρησιµοποιήθηκε. c *