МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ"

Transcript

1 УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ МЕНТОР: КАНДИДАТ: Проф. др Драгољуб Кечкић Милинко Миловић Београд 200.

2 ПРЕДГОВОР Овај мастер рад је посвећен појмовима доње и горње граничне вредности низа и низа скупова на скупу реалних бројева. У првом делу рада сам обрадио горњи и доњи лимес низа и низа скупова. Други део рада обрађује основне појмове Лебегове мере, Лебеговог интеграла и мерљиве функције. У трећем делу рада наводимо неједнакости о Лебеговој мери. Четврти део рада се састоји од левел скупова и епи лимеса. Аутор дугује велику захвалност ментору рада проф. др. Кечкићу и члановима комисије за одбрану: проф. др. Ивану Аранђеловићу и мр.ђорђу Кртинићу Београд Милинко Миловић

3 САДРЖАЈ ПредговорKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK Садржај KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 2. Горњи доњи лимес KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 3 2. Лебегова мера и лебегов интеграл на скупу реалних бројева KKKKKK 7 3. Једна неједнакост о лебеговој мери KKKKKKKKKKKKKKK 2 4. Левел скупови и епи лимеси KKKKKKKKKKKKKKKKK 25 2

4 I ГОРЊИ И ДОЊИ ЛИМЕС У овом делу уводимо дефиниције доње и горње границе низа и скупа и неке теореме. Дефиниција : Нека је A и A..Реалан број g зовемо доња граница скупа A ако важи ( x)( x A) ( g x). 2. Реалан број G зовемо горња граница скупа A ако важи ( x)( x A) ( x G). Теорема :. Може постојати највише једна доња граница скупа која му припада. 2. Може постојати највише једна горња граница скупа која му припада. Доказ:. Нека су g и g 2 доње границе скупа A и нека g ( )( ) ( ) x x A g x g g 2 A и g2 A. Како је и ( )( ) ( ) x x A g x g g 2 2 па је g = g Слично као под. Дефиниција 2:.Доњу границу g скупа A која му припада зовемо минимум скупа A и пишемо mi A = g. 2.Горњу границу G скупа A која му припада зовемо максимум скупа A и пишемо max A = G. Tеорема 2:. Ако скуп A има доњу границу, онда постоји максимум скупа S свих доњих граница. горњих граница. 2. Ако скуп A има горњу границу, онда постоји минимум скупа T свих Доказ: Ову теорему доказујемо на основу представљања реалних бројева помоћу децималних записа. 3

5 . Ако постоји доња граница скупа A онда постоји и g који је доња граница. Разликујемо два случаја:.. g = mi A. Тада је g = max S. Заиста, ако је g произвољна доња граница од A, онда је Дакле ( x)( x A) ( g x) g g. ( g )( g S ) g g, што значи да је g једна горња граница од S. Како је при томе g S, то значи да је g = max S.. 2. ( x)( x A) ( g x). Формираћемо низ g2, g3, K, g, K на следећи начин:. Нека је природан број или нула који задовољава релацију: ( x)( x A)( g x) ( x)( x A)( x g ) + < + +. Ставимо g2 = g +. Ако је g2 = mi A, поступак се обуставља и доказ је даље као под, само за g 2. Ако није g2 = mi A, идемо на следећи корак. 2. Нека је 2 елемент скупа { 0,,2,,9} K који задовољава релацију ( x)( x A)( g 0, x) ( x)( x A)( x g 0, 0,) + < Узмимо g3 = g2 + 0, 2. Ако је g3 = mi A, поступак се обуставља и доказ је даље као под, само за g 3. Ако није g3 = mi A, идемо на следећи корак. Нека је елемент скупа { 0,,2,,9} K који задовољава релацију ( x)( x A)( g + 0,0 0 x) ( x)( x A)( x < g + 0, ,0 0) K K K. Ставимо g = g + 0,0K 0. Ако је g = mi A, поступак се обуставља и доказ је даље + као под, само за g +. Ако није g+ = mi A, идемо на следећи корак итд. Нека је g децималан број који за сваки природан број ( 2) има првих 2 децимала истих као и g. Тада је g = max S. Пре свега, из самог начина формирања низа g, g2, g3, K, g, K следи да је g доња граница скупа A. 4

6 Претпоставимо сада да је g произвољан реалан број за који важи g > g. Како су g и g децимални бројеви, то из релације g > g следи да постоји природан број j такав да g и g имају ( j ) ву исту децималу, док је z > z, j j при чему је z j j децимала од g а z j j децимала од g. С обзиром да из претходног поступка следи ( x)( x A) ( x g j + 2 0, 0 0) < + K, јер g j + 2 и g имају истих првих j децимала, имамо ( x)( x A) ( x < g ). Сваки број g ( g g ) 2. Доказује се слично као под. > није доња граница скупа A, па је према томе g = max S. На основу претходног тврђења можемо увести нове појмове: Дефиниција 3:. Ако за скуп A важи да је ( )( ) ( x)( x A)( x < ) онда кажемо да скуп A нема доње границе и пишемо if A =. 2. Ако скуп A има доњу границу, онда највећу доњу границу скупа A зовемо инфимум од A и пишемо { ( )( )( )} if A = max g x x A g x. 3. Ако за скуп A важи да је ( )( ) ( x)( x A)( x) онда кажемо да скуп A нема горње границе и пишемо sup A =. 4. Ако скуп A има горњу границу, онда најмању горњу границу скупа A зовемо супремум од A и пишемо { ( )( )( )} sup A = mi G x x A x G. Дефиниција 4: Нека је T скуп свих тачака нагомилавања низа { } x и A { a } =. реалних бројева 5

7 . Ако је if A =, онда пишемо lim if a =, и читамо лимес инфериор од a је минус бесконачност 2. Ако је sup A =, онда пишемо limsup a =, и читамо лимес супериор од a је плус бесконачно. 3. Ако је скуп A ограничен, онда је и lim if lim sup a a У употреби су још и ознаке : lim lim = if T = supt. (чита се доњи лимес ) уместо lim if и (чита се горњи лимес ) уместо limsup. Пример :. Нека је a = ( ). Тада је { 0} lim if 2. Нека је a = ( ). Тада је { } 3. Нека је a = ( ) ( ). Тада је {,} 4. Нека је a ( ) a не постоји. 5. Нека је a ( ) T = и lim if a = limsup a = 0. T = и limif a = limsup a =. T = limif a = и limsup a = =. Тада је T = θ и sup A =, па је limsup a = док =. Тада је T = θ и if A =, па је limif a =, док limsup a не постоји. Дефиниција 5: Нека је { } a низ реалних бројева.. Ако постоји реалан број a такав да важи lim if a = lim sup a = a, онда кажемо да је низ { } a lim a = a, конвергентан и пишемо и за a кажемо да је гранична вредност (limes) низа { a }, односно да низ{ a } конвергира ка вредности a. 6

8 2.Ако не постоји limif lim a =. a, а limsup a =, онда пишемо 3. Ако не постоји limsup a, а limif a =, онда пишемо lim a = 4. У случајевима 2. и 3. кажемо да је низ { } a 5.Ако постоји lim if при томе lim if a онда кажемо да је низ { } a Пример 2:. Низ 2. Низ { } 3. Низ { } одређено дивергентан. a и limsup a, било да су реални бројеви или да су, или, и lim sup a, неодређено дивергентан. је конвергентан и 4. Низ { } lim = 0. је конвергентан и lim =. 5. Низ {( ) } 6. Низ Теорема 3: Нека је { } a постоји 0 тако да је је одређено дивергентан и lim =. је одређено дивергентан и lim ( ) је неодређено дивергентан. ( ) ( ) + ( ) =. + је неодређено дивергентан. 2 2 ( ) низ са позитивним члановима такав да за свако ε > 0 a < a + ε 0 + тада је низ конвергентан. Доказ: Из услова тореме, за изабрано 0 имамо ε >, одговарајуће ( ) 0 ε и фиксирано 0 lim a = lim a a + ε. () + Означимо lim a = A и lim a = a. Како је a > 0 за, то је 0 a A. 7

9 Из релације (), како је за све > 0 следи A < a + ε, A lim a + ε = a + ε. (2) Неједнакост (2) важи за све ε > 0. Значи, A a, одакле добијамо A = a, те је низ { a } конвергентан. Теорема 4: Нека су { } a 0. Тада је lim a Доказ: За сваки 0 и { } b lim b и lim a limb. је if { a } if { b } ограничени низови такви да је a b за свако и како је { } { } lim a = lim if a = sup if a,, то је lim a lim b. На исти начин се доказује да је за свако 0 sup{ a } sup { b } и због { } { } ( ) lim a = lim sup a lim sup b = lim b,. Напомена. Уочене неједнакости важе и за произвољне низове у проширеном скупу реалних бројева = U ( ) Теорема 5: Нека су { } a важи неједнакост,. и { } b ограничени низови ненегативних бројева. Тада ( ) ( ) lim a lim b lim a b lim a lim b lim a b lim a lim b. () Доказ:. Докажимо да је Како је lim a limb lim( a b ) = { } и limb = lim if { b } lima lim if a и за сваки и за сваки је { } { } if a a, if b b, 8

10 одакле следи па је и то је тј. if { } if { } a b a b за свако, { a } { b } { a b }( ) if if if, ({ a } { b }) { a } { b } { ab }( ) lim = lim if lim if lim if, lima limb lim( a b ). 2. Докажимо да је ( ) lim a b lim a lim b. d = sup b,. Тада је Уведимо ознаку { } { } lim b = lim d = if d. За сваки и за сваки je b d, пa je ab ad за свако, одакле следи и тј. 3. Докажимо да је { a b } { a d } = d { a }( ) if if if { } { } ( ) { }( ) lim if a b lim d if a = lim d lim if a, ( ) lim a b lim a lim b. lim a lim b lim( a b ). c = if a,. Тада је lim a = lim c. За сваки Уведимо ознаку { } и за сваки је a c, па је и ab cb за свако. Следи да је као и { a b } { c b } = c { b }( ) sup sup sup { } { } ( ) { }( ) lim sup a b lim c sup b = lim c lim sup b, 9

11 што да је 4. Докажимо да је па је и Стога је, тј. ( ) lim a b lim a lim b. ( ) lim a b lim a lim b. За сваки и сваки је a sup { a }( ), b sup{ b } онда следи { } sup{ }( ) a b sup a b, { a b } { a } { b }( ) sup sup sup. { } { } { } ( ) { } { }( ) lim sup a b lim sup a sup b = lim sup a lim sup b, ( ) lim a b lim a lim b. Напомена. Неједнакост () је тачна и у проширеном скупу реалних бројева (, ) = U уколико су производи ab, ab и ab дефинисани, тј. ако нису облика 0. Напомена 2. Из доказане неједнакости непосредно следи да је за конвергентан низ { } a ненегативних бројева и произвољан низ { } b ( a b ) = a b и ( ) lim lim lim Напомена 3. За произвољан низ { } a у : lim a b = lim a lim b. позитивних бројева важе следеће једнакости lim = a lim a и lim = a lim a. неједнакости Ако је lim a > 0 и lim a < тврђење следи непосредно из доказане и = lim a lim a lim lim a = a a a = lim a lim lim a lim a =. a a a 0

12 Ако је lim 0 a = постоји подниз { a } a низа { } који конвергира 0. Тада a и lim a =. Ако је lim a =, низ { } a неграничен низ има a тачку нагомилавања 0 и lim 0 a =. Горња и доња гранична вредност низа скупова Појмови горње и доње граничне вредности (лимеса) низа могу се пренети и на низове скупова. Нека је { A } низ скупова. Лимес супериор се дефинише као скуп свих елемената који се налазе у бесконачно много чланова, а лимес инфериор као скуп свих елемената који се налазе у свим, сем у највише коначно много чланова тог низа скупова. Уколико су та два скупа једнака, за низ скупова { A } важи lim A = lim A = lim A. Теорема 6: За произвољан низ скупова { A } важи: кажемо да је конвергентан и =UI и lim A A = = =IU. lim A A = = Доказ: Из x lim A следи да за сваки природан број постоји такав да је x A, одкле добијамо да x U A за свако, па је према томе = x IU A. = = Тиме смо показали да је lim A A Претпоставимо сада да је = = IU. = = x IU A.

13 Дакле, добијамо да је x U A за свако, па за сваки природан број постоји = такав да је x x A, одакле следи lim A. На тај начин смо добили: lima IU A. = = Из x lim A следи да постоји природан број такав да је за свако x A, одакле добијамо да x I A, па је према томе = x UI A. = = Тиме смо показали да је Претпоставимо сада да lim A A = = UI. = = x UI A. Дакле, добијамо да постоји такав да је одакле следи x A. На тај начин смо добили x I A, па за свако важи x A, = UI. lim A A = = Теорема 7: За произвољан низ скупова { A } Доказ: Из x I A lima lima U A. = = важи: I A следи да x припада свим члановима низа па према томе x lim A =. Ако је x lim A онда се x налази у бесконачно много чланова низа, па према томе x lim A. Из x lim A следи да се x налази у бар једном члану низа, па x U A. = 2

14 Низ скупова { A } важи A A ( A A ) + + је рстући (опадајући) ако за сваки природан број. Низ скупова је монотон ако је растући или опадајући. Теорема 8: Сваки монотон низ скупова је конвергентан..ако је { A } растући низ, тада је =U. lim A A = 2. Ако је { A } опадајући низ, тада је =I. lim A A = Доказ: Према теореми 7. увек важи lim A инклузије. односно Нека је { } lim A. Остaje нам да докажемо обрнуте A растући низ скупова. Из x A следи да x I A, па је UI x A = lim A = = = U A lim A. Из теореме 7. добијамо обрнуте инклузије па према томе важи па је Нека је { } lim A = lim A =U A. = = A опадајући низ скупова.из x A следи да x U A одакле је IU x A = lim A I = = = A lim A Из теореме 7. добијамо обрнуте инклузије па према томе важи lim A = lim A =I A. = = 3

15 Теорема 9: Ако су { A } и { B } Тада је A lim A Доказ: Из x lim A Из x B. два низа скупова таква да је за свако lim B и lim A lim B. да се x налази у бесконачно много чланова низа { } A следи x B бесконачно много чланова низа { } Из низа { } lim A A., за сваки природан број, па се према томе x налази у lim B. B, одакле следи x lim B. Према томе важи: x lim A следи да се x налази у свим, сем у највише коначно много, чланова B, одакле следи x lim B. Према томе важи lim A lim B. Теорема 0: Ако су { A } и { B } c c. ( lima ) lim ( A ) = ; c c 2. ( lima ) lim( A ) = ; два низа скупова тада је: I I ; 3. lim ( A B ) = ( lima ) ( limb ) U U ; 4. lim ( A B ) = ( lima ) ( limb ) U U ; 5. ( lima ) ( limb ) lim( A B ) I I ; 6. lim ( A B ) ( lima ) ( limb ) ; 7. A lim A lim ( A A ). 8. A lim A lim ( A A ) Доказ:. Коришћењем Де Морганових правила добијамо c c c c ( lima ) = A = A = A = lim ( A ) IU U I UI. = = = = = = c 4

16 2. Коришћењем Де Морганових правила добијамо c c c c ( lima ) = A = A = A = lim ( A ) 3. Из x ( A B ) много, чланова низа ( A B ) UI I I IU. = = = = = = lim I следи да се x налази у свим, сем у највише коначно I. Према томе постоји природан број m такав да за свако c m, Значи x се налази у свим, сем у највише коначно много чланова низа { A } налази у свим, сем у коначно много, чланова низа { B } ( A B ) је ( lim ) ( lim ) x A I B. 4. Из x ( A B ). Према томе x A и x B. и да се x lim U следи да се x налази у бесконачно много чланова низа U. Према томе за сваки природан број m постоји природан број m такав да x A или x B. Одакле следи да се x налази у бесконачно многo чланова низа { A } или да се x налази у бесконачно много чланова низа { B } ( lim ) ( lim ) x A U B.. Према томе: У теореми 0. за тачке 5, 6, 7 и 8. могу се конструисати контра примери из којих се се види да не важе обрнуте инклузије, одакле следи да у општем случају не важе одговарајуће једнакости. На пример, ако је { a} A = и { a } {, b, = 2 =, { } онда је:, = 2 +, A b { } { b, = 2 + A A = { a, b}, = 2, одакле следи lim A = { a, b}, A lim A = { b} и lim ( A A ) = { a, b} не важи једнакост., па према томе у 5.8. Нека је A произвољан скуп реалних бројева. Са χ A означавамо карактеристичну функцију скупа A дефинисану са: χ A ( x) c 0, x A =, x A. 5

17 Теорема : Нека је { A } произвољан низ скупова. Тада је Доказ: Ако је χ ( x) ( x) χ lim lim χ A =. A lim = онда функције A χ A узимају бесконачно много пута вредност у тачки x, одакле следи да се x налази у бесконачно много чланова низа { } A то јест x lima, па је према томе χ =. lim Ако је ( x) limχ = 0 онда функције A у тачки, одакле следи x lim A па је према томе χ = 0. lim A χ A узимају коначно много пута вредност A 6

18 II ЛЕБЕГОВА МЕРА И ЛЕБЕГОВ ИНТЕГРАЛ НА СКУПУ РЕАЛНИХ БРОЈЕВА Уовом делу рада дефинишемо: σ прстен, адитивну функцију, Лебегову меру, спољну меру на скупу реалних бројева, мерљиве функције и Лебегов интеграл. Наводимо и неке значајне теореме без доказа које користимо у даљем раду. Колекција подскупова непразног скупа X, зове се σ прстен ако: а) Из A, B следи AI B б) Из A, =, 2, K следи U A. = Функција f : (, ) ( ) = ( ) + ( ) је адитивна ако из A, B и AI B = следи f AU B f A f B, а σ адитивна ако из A R, =,2, K следи f A = f A U ( ). = = Лебегова мера. Нека је σ прстен и λ : ( 0, ) Ако за сваки растући низ скупова A, =, 2K важи ( A ) = λ ( U A ) lim λ σ адитивна функција. онда је λ Лебегова мера на σ прстену. Спољна мера на скупу реалних бројева. Коначне уније отворених интервала зову се елементарни скупови и они чине прстен елементарних скупова. Мера интервала се дефинише као његова дужина. Како се сваки елементарни скуп A може представити као унија дисјунктних интервала, тј. A =U I = тада се његова мера дефинише са λ ( A) = λ ( I ). = 7

19 За било који скуп B подскуп скупа реалних бројева, његова спољна мера дефинише се релацијом где је ( ) if ( ) m B = A, A, пребројив прекривач скупа B елементарним скуповима а инфимум се узима преко свих таквих покривача. За скупове A и B подскупове скупа реалних бројева, нека је (, ) = ( ) d A B m A B где је са A B означена симетрична разлика скупова A и B. Тада пресликавање d са партитивним скупом реалних бројева образује псеудо метрички простор, тј. испуњене су све метричке аксиоме осим што из d ( A, B ) = 0 не следи A = B. А подскуп скупа реалних бројева за који постоји низ { } таквих да је A = lim A, A мерљивих скупова где се конвергенција узима у смислу метрике d, назива се коначно мерљив, а скуп који је пребројива унија коначно мерљивих скупова зове се мерљив скуп. Колекција мерљивих скупова означава се са M. функција. Колекција M мерљивих скупова је σ прстен а m на M је σ адитивна Рестрикција спољне мере на колекцију M зове се Лебегова мера и обиљежава са λ. Скуп A, за који је λ ( A) = 0, зове се скуп мере нула. За неку особину везану за реалне бројеве, која не важи само у тачкама скупа A, где је λ ( A) = 0 каже се да важи скоро свуда на скупу реалних бројева. Мерљиве функције. Нека је са означен скуп реалних бројева. Функција f :, је мерљива ако и само ако су скупови { x f ( x) > c} мерљиви за свако c. Теорема : Нека је f низ мерљивих функција. За x N дефинишимо: ( ) = sup ( ), ( ) = if ( ), ( ) = lim ( ), и h ( x) f ( x) g x f x g x f x h x f x 2 2 = lim. 8

20 Тада су функције g, g2, h и h 2 такође мерљиве. Теорема 2: Ако су f и g мерљиве а F : ( ) ( ) ( ), ( ) h x = F f x g x мерљива функција. функције. Специјално f g, f g, f g, 2 + и f g (ако је g ( x) 0, непрекидна функција онда је x ) су мерљиве Лебегов интеграл. Карактеристична функција скупа E се дефинише са где су χ E ( x ) = 0, c x E, x E. Коначна линеарна комбинација карактеристичних функција ( ) = α χe ( x) s x = E дисјунктни скупови, назива се проста функција. Примећујемо да је s ( x ) мерљива ако и само ако су сви E мерљиви. Нека је s ( x ) проста ненегативна мерљива функција дефинисана са ( ) = α χ ( x). s x = E Интеграл функције s ( x ) дефинише са U s dλ = λ ( E ). = = Ако је f ( x ) мерљива на и ненегативна, њен интеграл је f dλ = sup 0 s f s dλ где се супремум узима преко свих мерљивих простих функција које задовољавају неједнакост 0 s( x) f ( x) за свако x. Ако f :, њен позитивни део се дефинише са f ( x) + = ( ) ( ) f ( x) f x, f x 0, 0, < 0 а њен негативни део са f ( x) = f ( x) ( ) ( ) 0, > 0. f x, f x 0 9

21 Ако је f мерљива и ако је интеграл тада је интеграл функције дефинсан са f+ dλ или интеграл f dλ коначан, f dλ = f dλ + f dλ +. Ако су оба интеграла коначна, функција f је интеграбилна. Регуларност Лебегове мере. Нека је A Лебег мерљив скуп. а) За свакокε > 0 постоји отворен скуп V A λ > λ ε ; коначне мере то се своди на ( A) ( V ) такав да је λ ( V \ A) < ε, а ако је A б) Ако је A коначне мере онда за свако ε > 0 постоји компактан скуп K A такав да λ = λ λ < ε. је ( A \ K ) ( A) ( K ) Теорема Лузина. Нека је : (, ) постоји мерљив скуп A ( a, b) такав да је λ ( a b) Теорема Јегорова. Нека је f :[, ] тачка, и нека је 0 f a b мерљива функција, и нека је ε > 0. Тада (, \ A) < ε, и f је непрекидна на A. a b низ функција који конвергира ка f тачка по ε >. Тада постоји мерљив скуп A [ a, b] такав да је λ ([ a, b] \ A) такав да f конвергира ка f равномерно на скупу A. < ε и 20

22 III ЈЕДНА НЕЈЕДНАКОСТ О ЛЕБЕРГОВОЈ МЕРИ У овом делу рада наводимо неке познате теореме о и неједнакостима Лебегове мере као и њихове доказе који су објавили Иван Д.Аранђеловић и Дојчин С.Петковић. Нека је λ ознака за Лебегову меру на скупу реалних бројева. Теорема : Ако је { A } низ Лебег мерљивих скупова у, тада je:. λ ( lima ) limλ ( A ), док за неједнакост; 2. ако је λ ( U i= Ai ) < за бар једну вредност, онда важи λ ( lima ) limλ ( A ). Доказ:. Нека је B = I A, =, 2, K тада је B растући низ скупова који конвергира ка скупу λ i= B = lima. Пошто је Лебегова мера непрекидна одоздо, добијамо да је ( B) lim λ ( B ) =. Како је мера растућа функција и B Ai за i, па је λ ( B ) λ ( A ) за i односно λ ( A ) if λ ( B )( i ), одакле се кад добија тражена неједнакост. i 2. Нека је C = U A, =,2, K, тада је C опадајући низ скупова који конвергира скупу i= C = lima. Пошто је Лебегова мера непрекидна одозго на коначним скуповима добијамо да је λ ( C) lim λ ( C ) λ ( A ) λ ( C ) i за i тражена неједнакост. =. Како је мера растућа функција и Ai C односно λ ( C ) λ ( A ) за i па је sup i за i, одакле се кад a добија У општем случају имамо следећу неједнакост, која је доказана ураду [2]: Теорема 2: Нека је А мерљив скуп позитивне мере и { x } ограничен низ реалних бројева. Тада је λ Доказ: Нека је K A λ ( ) ( A) λ ( x A) ( lim( x K )) λ lim( x A) lim +. () компактан скуп. Из lim ( x K ) lim( x A) ( ) + +, па имамо Како је λ ( ) λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) + + следи λ К = lim λ x + K λ lim x + K λ lim x + A (2) A = sup { K К компактан подскуп од А}, то из (2) следи (). i 2

23 теореме. Познати пољски математичар Хуго Штајнхаузен је доказао наредне две Теорема 3: Нека је А Лебег мерљив скуп позитивне мере. Тада у А постоје бар две различите тачке чије је међусобно растојање рационалан број. Доказ. Нека је ( q ) произвољан ограничен низ рационалних бројева, такав да су им чланови различити. Из следи да скуп lim ( A q ) ( ) ( ) λ ( A q ) 0 < λ Α lim + + није празан. Тако постоје, 2 p + q = p2 + q2, што повлачи p p2 = qi q j. p p A и i, j такви да је Tеорема 4: Нека је A Лебег мерљив скуп позитивне мере. Тада његов скуп = = садржи неку околину нуле. разлика A A { x x a a, a, a A} 2 2 Доказ: Претпоставимо да тврдња није тачна. Тада постоји компактан скуп позитивне мере K Aтакав да разлика K K не садржи околину нуле. Одатле постоји конвергентан низ { } следи да је скуп lim ( K x ) { } x такав да је lim 0 ( ) ( K ) λ ( K x ) 0 < λ lim x = и { x } I ( K K ) =. Из непразан што повлачи да постоји t R такав да x + t K за бесконачно много вредности. Из lim x = 0 следи да t K, јер је K затворен. Тако постоје бесконачни низови { a j } x = a t K K, што је контрадикција. j j K и { x } { x } такви да је У овом делу рада дајемо даље примене ове неједнакости. Прва од њих је следећи доказ непрекидности мерљивих решења Кошијеве функцијоналне једначине. Први доказ ове тврдње даo је М. Фреше [4], али он се ослања на аксиому избора. Доказе независне од аксиоме избора дали су С. Банах [2] и В. Сјерпински [9]. j 22

24 Теорема 5: (М. Фреше [4]) Нека је f : мерљива функција таква да је ( ) ( ) f ( x + y) = f x + f y, за ма које x, y. Тада је f непрекидна функција. Доказ: Претпоставимо да f није непрекидна. Тада постојеε > 0, x и конвергентан низ { x } такав да је lim и ( ) ( ) x = x f x f x > ε. Тада, према теореми Лузина, постоји компактан скуп позитивне мере K такав да је f непрекидна на K. Низ { x } је ограничен, јер је конвергентан. Тада, према Теореми 2, имамо што повлачи да је ( ( K x )) λ ( K ) λ lim > 0, ( lim( K x )) λ Тако, постоји t и подниз { x } { x } j такав да је { j } следи t + x K, јер је K затворен. Тако је ( f ( x j t) f ( x t) ) lim + + = 0, јер је f непрекидна на K. Отуда што је контрадикција. ( f ( x t) f ( x )) ( ) ( ) j t f x f x j ( ) lim + + = lim = 0, t + x K. Из x j x 23

25 Теорема 6. (Ј. Карамата[7]) Нека је f : ( ) ( ) lim f s + t f s = 0, s + за све t. Тада је t [ a,b] ( ) ( ) lim sup f s + t f s = 0 s +, за произвољне a, b такве да је a < b. мерљива функција таква да је Доказ: Користећи теорему Јегорова, следи да за све a, b ( a < b ) постоји мерљив скуп A [ a, b] позитивне мере такав да је t A ( ) ( ) lim sup f t + s f s = 0. s + Узимамо сада да конвергенција није равномерна на [ a, b ]. Тада постоји ε > 0,{ x } [ a, b],{ y } Према Tеореми 2. имамо, такви да је lim y = и ( ) ( ) f x + y f y > ε. lim ( ( A x )) λ ( A) λ lim > > 0, што повлачи да постоји t и подниз { x } { x } j такав да је { j } Сада t + x A. Тада је ( j j ) ( j ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j f x + y f y f x + t + y t f y t + f y t f y. јер { t + x j } A и lim ( y ) j t Из следи што је контрадикција. ( ) ( ) ( ) j j j lim f x + t + y t f y t = 0, =. ( f ( y t) f ( y ) j j ) lim = 0, ( f ( x y ) ( ) j f y j j ) lim + = 0, 24

26 IV ЛЕВЕЛ СКУПОВИ И ЕПИ ЛИМЕСИ У овом делу рада дефинишемо епи конвергенцију, PK-конвергенцију и левел низове и доказујемо две теореме на основу радова: Rogera J-B-Wetsa, Geralda Beera, R.T.Rocafellara. Дефиниција : Нека је дата реална функција f : X на метричком простору X. Функцију f зовемо полунепрекидна одоздо под условом да је њен епиграф {(, α ), α, α ( )} epi f = x x X f x затворен подскуп од X. Аналогно f је полунепрекидна одозго под условом да за свако реално α левел низ у тачки α функције f, је затворен скуп од X. { α} (, α ) ( ) lev f x X f x Дефиниција 2: За низ { f } полунепрекидних функција одоздо на метричком простору ( X, d ) кажемо да епи конвергира ка функцији f и пишемо f = e lim f, за свако x X. За свако x X, важе следећа два услова: Ако { x } конвергира ка x, онда је f ( x) lim if f ( x ) ; () =. (2) Постоји низ { x } који конвергира ка x, такав да је f ( x) lim f ( x ) Дефиниција 3: За неке затворене или могуће празне подскупове A, A, A2, K од X конвергенција { A } по Paileve-Kuratowsi се дедефнише ако је испуњен услов где је LiA { x X A = LiA = LsA = да постоји низ { } много } a који конвергира ка x тако да је a A за коначно LsA = { x X да постоје < 2 < 3 <Kи x }. a A такви да низ { a } конвергира ка Када је A = LiA = LsA, онда пишемо A = PK lim A. 25

27 Значи да је низ { } f епи конвергентан ка f ако и само ако epi f = PK lim epi f. Уколико није назначено подразумевамо да је X метрички простор са метриком d. Кад радимо са метриком, морамо водити рачуна о производу X, и уводимо следећу { } метрику ( x ) ( x ) d ( x x ) ρ α α α α,, 2, 2 = max, 2, 2. Лимес инфериор и лимес супериор можемо дефинисати и на следећи начин. Нека је { S, =, 2, } супериор су скупови и K низ скупова. Његов лимес инфериор и лимес { } lim if S = x = lim x x S, =, 2, K { lim sup S x lim x x S,, 2, = = = K.за неке { } } Дакле, lim if S је скуп граничних вредности сваког могућег низа { x, =, 2, Kгде је x S } и lim sup S је скуп свих тачака нагомилавања таквих низова. Очигледно увек важи lim if S lim sup S. Нека је { f, =,2, } K низ функција дефинисаних на Епи лимес инфериор и лимес супериор су функције ( lie f ) и ( lse f ) са вредностима у. чији епи графици одговарају лимес супериору и лимес инфериору низа скупова { epi f, =,2, } {(, α ) ( ) α} epi g = x g x. Из дефиниције и наведене инклузије следи да је li f e ls f. e Низ { f, =,2, K } има епи лимес који означавамо са lme f ако важи једнакост K где је e e e lm f = li f = ls f. У том случају кажемо да да низ епи конвергира ка lme f и пишемо f e ( lme f ). 26

28 Значи да је функција f епи граница низа { f, =,2, } ls f f li f. e e K ако важи Користећи дефиниције није тешко уочити да ће друга неједнакост бити задовољена зa x, ако: ( ) e за било који подниз функција { f,, 2, } {,,2, } x = K који конвергира ка x важи ( ) ( ) lim if f x f x, а прва неједнакост важи, за свако ( ) 2 e постоји низ { x, =,2, } дат формулом ( ) ( ) x ако: lim sup f x f x. За сваки опадајући низ { S, =,2, } = K и било који низ K који конвергира ка x такав да је K подскупова постоји lim S који је lim S =I cls. = Слично, ако је { f } растући низ функција тј. f + f, онда постоји епи граница која је дефинисана са ( ) = lim ( ) lm f x cl f x где је cl g доње полунепрекидно ограничење од g или еквивалетно cl g је функција таква да је epi cl g = cl epi g. Следећа теорема нам даје карактеризацију левел скупова ограничених функција у односу на левел скупове функција f. Дефиниција 4: За α, α левел скуп функције g је скуп дефинисан са {(, ) ( ) } levα g = x α g x α. Генерално ако је f = lim f, то не значи да lev f = lim lev f. α α 27

29 Узмимо опадајућу фамилију функција ( ) 2,,2, f x = x = K која епи конвергира ка 0 0 { } lim lev f = 0 или lev0 f =. f. Како је lev f { } α = 0, за свако и следи да је Чак је могуће за f да епи конвергира ка f, за неко α, lim lev f можда и не постоји, што значи да lim if lev f α Теорема : Нека је { f =, =, 2, } и је стриктно садржан у lim suplev f. K низ функција. Тада за свако α важи ( levα f ) levα ( li f ) lim lim sup e () α α ( e ) lim lim if α α ( α ) lev ls f lev f. (2) α α α Доказ: Нека је T = lim suplev f и T = lim. Како су левел скупови (било које α α T α α α функције) опадајући кад α α, следи да су и T α опадајући кад α α и важи T = lim T = I T. α α α α α > α Скупови T α су затворени, што следи из дефиниције лимес супериор. Следи да је x T ако и само ако је x T α за свако α > α. Инклузија () је тривијално задовољена ако је { 0} T =. Претпоставимо да T није празан скуп. Ако је x T α, из дефиниције лимес супериора за низове скупова следи да мора да постоји подниз функција { f, =, 2, K } и низ {,,2, } x lev f α или еквивалетно да за свако =, 2, K важи epi li f ( x ), α = epi f. Како је ( ) lim sup па је x lev ( li f ). α e e = epif, следи да је ( x, ) lim ( x, ) ( ) α α epi lie f x = K који конвергира ка x за свако =, 2, K 28

30 Одакле, ако је x T α за свако α > α следи што имплицира да је ( e ) x lev li f. α ( e ) x lev li f, пошто је за сваку функцију g α Нека је lev g = I lev g. α α > α α S = lim if lev f и S = lim S = I S. α α α α Инклузија (2) је тривијална ако је lev ( ). празан. α ls f e α α α > α = Разматрајмо случај кад тај скуп није Ако је x lev ( lse f α ) следи да постоји низ уређених парова ( x, ) ка ( x, α ) такав да важи ( x, ) α epi f, epi ls f пошто је по дефиницији ( ) lim if e = epi f. α који конвергира Како је α = lim α, за било које α > α, постоји одговарајући да је α α за свако. Из импликације x lev f за свако следи да је x S α. То важи за свако α > α па је x S. α Теорема 2: Нека је X сепарабилан метрички простор и нека су функције f, f, f2, K проширене функције полунепрекидне одоздо на X. () Ако је f e lim f =, онда за свако α постоји низ { } α = ; који конвергира ка α такав да је lev( f, ) PK lim lev( f, a ) α реалних бројева (2) Ако за свако α постоји низ реалних бројева { α } који конвергирају ка α такав да је lev( f, ) PK lim lev( f, a ) α =, онда је f e lim f =. Доказ: (). Фиксирајмо неко α. Познато је да за било који низ који конвергира каα, важи Ls lev( f, α ) lev ( f, α ). 29

31 Претпоставимо да је x Ls lev( f, α ) (, ) x lev f α за, 2, + За свако { }, тј. постоје индекси 2 3 = K такви да низ { x } је x Доказали смо да x lev( f, α ) x. < < <K и = x. Онда из { x } x, по епи конвергенцији имамо ( ) ( ) ( ) f x lim if f x lim if f x lim if α = α.. Доказ инклузије (, α ) (, α ) скалара { α }. Како је epi f такав да за свако свако i (, 2,, m) lev f Li lev f захтева сепарабилност и добар избор низа Li epi f, за сваки позитиван број m, онда постоји позитиван број N m N постоји низ тачака m K имамо ( m) d ( ω, ) i xi < и m α ( m) i α <. m ( ) {( ω, ), 2,, } m i α i i = K m из epi f па за Без губитка општости можемо претпоставити да је низ { N m} строго растући низ. Сада можемо дефинисати низ скалара { } α : узмимо α = α + за < N и за Nm < N m + и одаберимо α = α +, m =, 2, K. Докажимо да је ово добар избор. m За доказ инклузије (, α ) (, α ) lev f Li lev f узимамо олакшавајућу околност па радимо са Fell топологијом. Узмимо да је lev ( f, ) Изаберимо тачку (, α ) колекцији тачака низа { x i } За фиксирано x lev f V и 0 ε 2 < и d ( x, x) α V, V отворен подскуп скупа X. ε > такву да [ ] Sε x V. Како x припада, можемо изабрати тако да важи ε <. 2 N онда постоји највећи m такав да је Nm Из неједнакости ( m) d ( ω, x ) <, m ( m) имамо да је ω lev ( f, α ). α ( m) α < и m f +. ( m) ( m) ( ) < + = m ω α α α 30

32 Такође важи ( m) па је ω V. То значи да да за свако ( m) ( m) ε ε d ( ω, x) d ( ω, x ) + d ( x, x) < + + < ε, m 2 2 N важи V lev( f, α ). Доказали смо да је (, α ) (, α ) lev f Li lev f тако да је (, α ) lim (, α ) lev f = PK lev f. (2) Из услова (, α ) (, α ) и свако α и за неки низ { } конвергира ка α, следи да је lev f Li lev f epi f Li epi f. Да би доказали да је Ls epi f α који epi f, претпоставимо супротно да ( x β ) Ls epi f такав да ( x, β ) epi f. Онда је f ( x), Можемо наћи растући низ 2 3 β <. < < <K и ( x, β ) epi f такав да низ {( x, β )} α низ конвергира ка ( x, β ). Изаберимо скалар α између β и f ( x ) и нека је { } скалара који конвенгирају ка α, за који важи (, α ) lim (, α ) lev f = PK lev f. Тада за довољно велико важи β < α. За свако такво имамо x lev ( f, α ). Из услова Ls lev( f, α ) lev ( f, α ) следи да је x lev( f, α ) је f ( x) > α.. Што је контрадикција да 3

33 ЛИТЕРАТУРА.Др. Аљанчић С. Увод у реалну и функционалну анализу, Грађевинска књига, Београд Др.Иван Д.Аранђеловић, AN INQUALITY FOR LEBESGUE MEASURE, Унив.Београд.Публ. Електротехнички Факакултет Сер.Мат.5 (2004), Др Иван Д.Аранђеловић и Др Дојчин С. Петковић, AN INQUALITY FOR LEBESGUE MEASURE AND ITS APLIKACACATIONS, Факта универ.(ниш) Сер. Мат. Информ. Вол. 22,Но. (2007), пп Др Милан Тасковић и др Драгољуб Аранђеловић, Теорија функција и функционална анализа, НИРО, Књижевне новине, Београд Др Милош Лабан, Збирка решених задатака из математике, Научна књига Београд Др Милош Лабан, Основи математичке анализе, Научна књига, Београд, Мр Мила Мршевић и мр Ђорђе Дугошија, Збирка решених задатака из математичке анализе, Грађевинска књига, Београд, Др Милан Р. Тасковић, Нелинеарна функционална анализа, Завод за уџбенике и наставна средства Београд, Др Светозар Курепа, Математичка анализа 2, Техничка књига Загреб, Roger J-B.Wets, A formula for the level sets of epi limits ad some applicatios, septembar 982, WP Gerald Beer, R.T.Rocafellar, ad Roger J-B.Wets,Proceedigs of the Amerca mathematical society, Volume6, Number3, November

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису. ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Зорана Томић ГРАНИЧНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА Мастер рад Нови Сад, 2012. Предговор... 3 1. Увод... 4 Појам функције...

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

Анализа Петријевих мрежа

Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

ГЕОМЕТРИJСКА СВОJСТВА АНАЛИТИЧКИХ ФУНКЦИJА

ГЕОМЕТРИJСКА СВОJСТВА АНАЛИТИЧКИХ ФУНКЦИJА УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД ГЕОМЕТРИJСКА СВОJСТВА АНАЛИТИЧКИХ ФУНКЦИJА Аутор Бобан Карапетровић Ментор проф. Миодраг Матељевић Jул, 04. Садржаj Увод Ознаке Schwarz-ова лема на

Διαβάστε περισσότερα

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z.

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z. Дефиниција функције више променљивих Околина тачке R График и линије нивоа функције : Дефиниција Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

МРЕЖЕ ПАРТИЦИЈА И КОНГРУЕНЦИЈА АЛГЕБРИ Мастер рад

МРЕЖЕ ПАРТИЦИЈА И КОНГРУЕНЦИЈА АЛГЕБРИ Мастер рад Универзитет у Београду Математички факултет МРЕЖЕ ПАРТИЦИЈА И КОНГРУЕНЦИЈА АЛГЕБРИ Мастер рад студент: Данка Николић ментор: доцент др Небојша Икодиновић Београд, 2016. Садржај Предговор... 1 1. Уводни

Διαβάστε περισσότερα

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10 Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 2010/11 г.

Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 2010/11 г. Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 00/ г Универзитет у Бањој Луци Електротехнички факултет Др Момир Ћелић Др Зоран Митровић Иван-Вања Бороја Садржај Квалификациони испит одржан 9 јуна

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате

Διαβάστε περισσότερα

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВАЉЕВО, 006 1 1. УВОД 1.1. ПОЈАМ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У једној земљи Далеког истока живео је некад један краљ, који је сваке ноћи узимао нову жену и следећег

Διαβάστε περισσότερα

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични

Διαβάστε περισσότερα

Испитвање тока функције

Испитвање тока функције Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Испитвање тока функције Испитивање тока функције y f подразумева да се аналитичким путем дође до сазнања о понашању функције, као и њеним значајним тачкама у координантном

Διαβάστε περισσότερα

ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ

ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Дара Бошковић ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ мастер рад Нови Сад, Садржај Предговор

Διαβάστε περισσότερα

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x) ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Мастер рад. Гребнерове базе. Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: 1033/2008. Ментор: Доцент др Зоран Петровић. Математички факултет Београд 2010.

Мастер рад. Гребнерове базе. Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: 1033/2008. Ментор: Доцент др Зоран Петровић. Математички факултет Београд 2010. Мастер рад Гребнерове базе Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: /8 Ментор: Доцент др Зоран Петровић Математички факултет Београд. Резиме Рад пред вама је мастер рад судента Математичког факултета у Београду,

Διαβάστε περισσότερα

Конструкциjе Адамарових матрица

Конструкциjе Адамарових матрица Математички факултет Универзитета у Београду Конструкциjе Адамарових матрица Мастер pад Сенад Ибраимоски Чланови комисиjе: проф. др. Миодраг Живковић - ментор проф. др. Предраг Jаничић проф. др. Филип

Διαβάστε περισσότερα

Изометријске трансформације еуклидскее равни и простора и њихове групе

Изометријске трансформације еуклидскее равни и простора и њихове групе УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАКСИМОВИЋ ТАЊА Изометријске трансформације еуклидскее равни и простора и њихове групе МАСТЕР РАД Ментор: др. Александар Липковски Београд 2015. Садржај Увод

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА 4. Закон великих бројева 4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА Аксиоматска дефиниција вероватноће не одређује начин на који ће вероватноће случајних догађаја бити одређене у неком реалном експерименту. Зато треба наћи

Διαβάστε περισσότερα

Решења задатака са првог колоквиjума из Математике 1Б II група задатака

Решења задатака са првог колоквиjума из Математике 1Б II група задатака Решења задатака са првог колоквиjума из Математике Б II група задатака Пре самих решења, само да напоменем да су решења детаљно исписана у нади да ће помоћи студентима у даљоj припреми испита, као и да

Διαβάστε περισσότερα

Данка Вујанац. Бојење графова. мастер рад

Данка Вујанац. Бојење графова. мастер рад Данка Вујанац Бојење графова мастер рад Нови Сад, 2015 Садржај Предговор... 2 Увод... 3 Глава 1. Основни појмови графа... 5 Глава 2. Бојење чворова... 11 Глава 3. Бојење грана... 22 Глава 4. Бојење планарних

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван 2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

ОБЛАСТ АТРАКЦИЈЕ РАЗНИХ ПОСТУПАКА

ОБЛАСТ АТРАКЦИЈЕ РАЗНИХ ПОСТУПАКА УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Оља Скакавац ОБЛАСТ АТРАКЦИЈЕ РАЗНИХ ПОСТУПАКА мастер рад Нови Сад, 014. Садржај Предговор 4 1. Уводни део 5

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

6.5 Површина круга и његових делова

6.5 Површина круга и његових делова 7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност

Διαβάστε περισσότερα

ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике

ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике XII БЕОГРАДСКА ГИМНАЗИЈА ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике Ученица Исидора Ивановић Професорка Марина Радовановић Београд јун 2016. Садржај Резиме 1 Увод 1 Пермутације 2 Варијације 3 Вероватноће

Διαβάστε περισσότερα

Основе теорије вероватноће

Основе теорије вероватноће . Прилог А Основе теорије вероватноће Основни појмови теорије вероватноће су експеримент и исходи резултати. Најпознатији пример којим се уводе појмови и концепти теорије вероватноће је бацање новчића

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА И ПОСЛЕДИЦЕ Мастер рад Кандидат: Рајка Милетић Ментор: проф др Неда Бокан Београд, 00 САДРЖАЈ Увод 3 I ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА 4 I Доказ Чевијеве теореме

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. Владица Андрејић ( ) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017.

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. Владица Андрејић ( ) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017. АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА Владица Андрејић (27-04-2017) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017. Глава 1 Вектори у геометрији 1.1 Увођење вектора Појам вектора у еуклидској геометрији можемо

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла

Διαβάστε περισσότερα

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5 05.03.011 - III РАЗРЕД 1. Нацртај 4 праве a, b, c и d, ако знаш да је права а нормална на праву b, права c нормалана на b, а d паралелнa са а. Затим попуни табелу стављајући знак (ако су праве нормалне)

Διαβάστε περισσότερα

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља Универзитет у Машински факултет Београду Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља -семинарски рад- ментор: Александар Томић Милош Живановић 65/

Διαβάστε περισσότερα

ДОЊА И ГОРЊА ГРАНИЦА ОПТЕРЕЋЕЊА ПРАВОУГАОНИХ И КРУЖНИХ ПЛОЧА

ДОЊА И ГОРЊА ГРАНИЦА ОПТЕРЕЋЕЊА ПРАВОУГАОНИХ И КРУЖНИХ ПЛОЧА ДОЊА И ГОРЊА ГРАНИЦА ОПТЕРЕЋЕЊА ПРАВОУГАОНИХ И КРУЖНИХ ПЛОЧА Саша Ковачевић 1 УДК: 64.04 DOI:10.14415/zbornikGFS6.06 Резиме: Тема рада се односи на одређивање граничног оптерећења правоугаоних и кружних

Διαβάστε περισσότερα

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом). СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ

МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Соња Вученов МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ -мастер рад- Нови Сад, 2012.

Διαβάστε περισσότερα

Неколико различитих начина решавања једног геометријског задатка

Неколико различитих начина решавања једног геометријског задатка MAT-KOL (Banja Luka) XV()(00), 5-66 Неколико различитих начина решавања једног геометријског задатка Слађана Бабић Природно-математички факултет, 78000 Бања Лука Младена Стојановића, Б&Х e-mal: sladjanaac7@yahoocom

Διαβάστε περισσότερα

ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5. школска 2016/2017. ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА

ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5. школска 2016/2017. ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5 ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА школска 2016/2017. Предмет: ЗАВРШНИ РАД Предмет се вреднује са 6 ЕСПБ. НАСТАВНИЦИ И САРАДНИЦИ: РБ Име и презиме Email адреса звање 1. Јасмина Кнежевић

Διαβάστε περισσότερα

Монте Карло Интеграциjа

Монте Карло Интеграциjа Монте Карло Интеграциjа 4.час 22. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 22. март 2016. 1 / 22 Монте Карло методе Oве нумеричке методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 014/15. бр. XLIX-5 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред 1. а) 70 - седамсто три; б) двесто осамдесет два 8.. а) 4, 54, 54, 45, 504, 54. б)

Διαβάστε περισσότερα

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ Сабирање, одузимање, множење. Сад је ред на дељење. Ево једног задатка с дељењем: израчунајте колико је. Наравно да постоји застрашујући начин да то урадите: Нацртајте

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 1 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1 6. Четвороугао 6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова А Сл. 1 А На приложеним сликама сигурно уочаваш геометријске фигуре које су ти познате (троугао,

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЗАДАЦИ, ЊИХОВА КЛАСИФИКАЦИЈА И НЕКЕ МЕТОДЕ ЊИХОВОГ РЕШАВАЊА

МАТЕМАТИЧКИ ЗАДАЦИ, ЊИХОВА КЛАСИФИКАЦИЈА И НЕКЕ МЕТОДЕ ЊИХОВОГ РЕШАВАЊА ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ ДРЖАВНИ СЕМИНАР О НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ И РАЧУНАРСТВА У ОСНОВНИМ И СРЕДЊИМ ШКОЛАМА Број: 250 Компетенцијa: K1 Приоритети: 1 ТЕМА: МАТЕМАТИЧКИ ЗАДАЦИ, ЊИХОВА КЛАСИФИКАЦИЈА И НЕКЕ

Διαβάστε περισσότερα

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике

Διαβάστε περισσότερα

Теорија одлучивања. Циљеви предавања

Теорија одлучивања. Циљеви предавања Теорија одлучивања Бајесово одлучивање 1 Циљеви предавања Увод у Бајесово одлучивање. Максимална а постериори класификација. Наивна Бајесова класификација. Бајесове мреже за класификацију. 2 1 Примене

Διαβάστε περισσότερα

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ: Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла 50. 1) Нацртај правоугли троугао и конструиши његову уписану кружницу. ) Конструиши једнакокраки троугао чија је основица = 6 m и крак = 9 m, а затим конструиши уписану и описану кружницу. Да ли се уочава

Διαβάστε περισσότερα

Енергетски трансформатори рачунске вежбе

Енергетски трансформатори рачунске вежбе 16. Трофазни трансформатор снаге S n = 400 kva има временску константу загревања T = 4 h, средњи пораст температуре после једночасовног рада са номиналним оптерећењем Â " =14 и максимални степен искоришћења

Διαβάστε περισσότερα

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА Стандардна девијација показује расподелу резултата мерења око средње вредности, али не указује на облик расподеле. У табели 1 су дате вредности за 50 поновљених одређивања

Διαβάστε περισσότερα

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим.

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. IV разред 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = 2016. Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. 2. Производ два броја је 2016. Ако се један од њих повећа за 7, производ ће бити 2457.

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

СТАБИЛНОСТ МАТРИЦЕ КОВАРИЈАНСЕ И ПРОБЛЕМ ОПТИМИЗАЦИЈЕ ПОРТФОЛИЈА

СТАБИЛНОСТ МАТРИЦЕ КОВАРИЈАНСЕ И ПРОБЛЕМ ОПТИМИЗАЦИЈЕ ПОРТФОЛИЈА УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Светлана Миловановић СТАБИЛНОСТ МАТРИЦЕ КОВАРИЈАНСЕ И ПРОБЛЕМ ОПТИМИЗАЦИЈЕ ПОРТФОЛИЈА - мастер рад - Ментор:

Διαβάστε περισσότερα

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити.

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити. IV разред 1. Колико ће година проћи од 1. јануара 2015. године пре него што се први пут догоди да производ цифара у ознаци године буде већи од збира ових цифара? 2. Свако слово замени цифром (различита

Διαβάστε περισσότερα

Вежба 4. Графика. Наредба има облик plot(x,y) Аргументи x и y су вектори, који морају имати исти број елемената.

Вежба 4. Графика. Наредба има облик plot(x,y) Аргументи x и y су вектори, који морају имати исти број елемената. Вежба Графика У МATLAB-у постоји много команди за цртање графика. Изглед графика може се подешавати произвољним избором боје, дебљине и врсте линија, уношењем мреже, наслова, коментара и слично. У овој

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Теорије плоча и љуски. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.

Писмени испит из Теорије плоча и љуски. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. = 0.2 dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2.

Διαβάστε περισσότερα

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом

Διαβάστε περισσότερα

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао ЗАДАЦИ ЗА САМОСТАЛНИ РАД Задаци за самостлни рад намењени су првенствено ученицима који се припремају за полагање завршног испита из математике на крају обавезног основног образовања. Задаци су одабрани

Διαβάστε περισσότερα

C кплп (Кпндензатпр у кплу прпстпперипдичне струје)

C кплп (Кпндензатпр у кплу прпстпперипдичне струје) C кплп (Кпндензатпр у кплу прпстпперипдичне струје) i u За кплп са слике на крајевима кпндензатпра ппзнате капацитивнпсти C претппставићемп да делује ппзнат прпстпперипдичан наппн: u=u m sin(ωt + ϴ). Услед

Διαβάστε περισσότερα

Тест за 7. разред. Шифра ученика

Тест за 7. разред. Шифра ученика Министарство просвете Републике Србије Српско хемијско друштво Окружно/градско/међуокружно такмичење из хемије 28. март 2009. године Тест за 7. разред Шифра ученика Пажљиво прочитај текстове задатака.

Διαβάστε περισσότερα

Закони термодинамике

Закони термодинамике Закони термодинамике Први закон термодинамике Први закон термодинамике каже да додавање енергије систему може бити утрошено на: Вршење рада Повећање унутрашње енергије Први закон термодинамике је заправо

Διαβάστε περισσότερα

ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У ОСНОВНОЈ И СРЕДЊОЈ ШКОЛИ

ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У ОСНОВНОЈ И СРЕДЊОЈ ШКОЛИ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Бојана Јанковић ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У ОСНОВНОЈ И СРЕДЊОЈ ШКОЛИ Мастер рад Нови Сад, 2012. године САДРЖАЈ Предговор...

Διαβάστε περισσότερα

1. Функција интензитета отказа и век трајања система

1. Функција интензитета отказа и век трајања система f(t). Функција интензитета отказа и век трајања система На почетку коришћења неког система јављају се откази који као узрок имају почетне слабости или пропуштене дефекте у току производње и то су рани

Διαβάστε περισσότερα

ሄ 㬄 㐄㠄䘄 င 㴄㐄䀄㔄堄㠄嬄 㼄䀄㸄堄㔄㨄䈄㠄 㴄 ጄᔄḄᰄᔄ ࠄင ᴄ ሄᔄᜄ ᔄ ᄄᔄḄጄငᐄ ᰄင ᔄᰄင ᨄ ငᨄ ᔄ ᄄᔄḄጄငᐄ 㘀

ሄ 㬄 㐄㠄䘄 င 㴄㐄䀄㔄堄㠄嬄 㼄䀄㸄堄㔄㨄䈄㠄 㴄 ጄᔄḄᰄᔄ ࠄင ᴄ ሄᔄᜄ ᔄ ᄄᔄḄጄငᐄ ᰄင ᔄᰄင ᨄ ငᨄ ᔄ ᄄᔄḄጄငᐄ 㘀 ሄ 㬄 㐄㠄䘄 င 㴄㐄䀄㔄堄㠄嬄 㼄䀄㸄堄㔄㨄䈄㠄 㴄 ጄᔄḄᰄᔄ ࠄင 䀄 㴄㠄 ᴄ ሄᔄᜄ ᔄ ᄄᔄḄጄငᐄ ᰄင ᔄᰄင ᨄ ငᨄ ᔄ ᄄᔄḄጄငᐄ 㘀 Владица Андрејић ПРОЈЕКТИВНА ГЕОМЕТРИЈА РАВНИ Верзија: (12-09-2016) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

Метод таблоа у настави математичке логике у средњој школи

Метод таблоа у настави математичке логике у средњој школи Универзитет у Београду Математички факултет Метод таблоа у настави математичке логике у средњој школи - Мастер рад - Студент: Весна Петровић Ментор: др Зоран Петровић Београд, март 2011.године САДРЖАЈ

Διαβάστε περισσότερα