ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

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1 ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò åîßóùóçò Þ åíüò óõóôþìáôïò äéáöïñéêþí åîéóþóåùí. Ç ëýóç üìùò áõôþ åßíáé äõíáôüí íá õðïëïãéóôåß èåùñçôéêü ìüíïí óå ïñéóìýíåò ðåñéðôþóåéò, åíþ óôá ðåñéóóüôåñá ôùí ðñïâëçìüôùí ç ëýóç ãßíåôáé ìüíïí ðñïóåããéóôéêü, äçëáäþ ìå áñéèìçôéêýò ìåèüäïõò, ïé ïðïßåò ðïëëýò öïñýò åîáêïëïõèïýí íá ñçóéìïðïéïýíôáé êáé üôáí áêüìá åßíáé ãíùóôþ ç èåùñçôéêþ ëýóç. 1 Ïé äéáöïñéêýò åîéóþóåéò åßíáé äõíáôüí íá ùñéóôïýí óôéò ðáñáêüôù äýï âáóéêýò êáôçãïñßåò: ôéò óõíþèåéò äéáöïñéêýò åîéóþóåéò ÓÄÅ) ordinary dierential equa- 1 Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá [1,, 4, 3]. 83

2 84 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ Êáè. Á. ÌðñÜôóïò tions Þ ODE's), üôáí ç Üãíùóôç óõíüñôçóç åîáñôüôáé áðü ìßá ìåôáâëçôþ, êáé ôéò äéáöïñéêýò åîéóþóåéò ìå ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ÌÄÅ) partial differential equations Þ PDE's), üôáí åîáñôüôáé áðü ðåñéóóüôåñåò ôçò ìéáò ìåôáâëçôýò. Óýìöùíá ìå ôçí ðáñáðüíù êáôçãïñéïðïßçóç ç äéáöïñéêþ åîßóùóç: y t) = yt) + t + 1 åßíáé ìéá óõíþèçò äéáöïñéêþ åîßóùóç, åðåéäþ ç Üãíùóôç óõíüñôçóç yt) åîáñôüôáé áðü ìéá ìåôáâëçôþ, ôçí t, êáé åéäéêüôåñá 1çò ôüîçò ëüãù ôçò ôçò y t). y t) y t) + yt) = e t sin t åßíáé üìïéá ìéá óõíþèçò äéáöïñéêþ åîßóùóç, åðåéäþ ç Üãíùóôç óõíüñôçóç yt) åîáñôüôáé áðü ìéá ìåôáâëçôþ ôçí t, çò ôüîçò ëüãù ôçò ôçò y t) t Þ ðéï áðëü óõìâïëéêü ux; x + q ux; t) ux; t) = 0 i u t + u xx + q u u = 0 åßíáé ìéá äéáöïñéêþ åîßóùóç ìå ìåñéêýò ðáñáãþãïõò, åðåéäþ ç Üãíùóôç óõíüñôçóç ux; t) åîáñôüôáé áðü äýï ìåôáâëçôýò ôéò x; t, 1çò ôüîçò ùò t êáé çò ôüîçò ùò ðñïò x ëüãù ôùí áíôßóôïé ùí ôüîåùí ôùí ìåñéêþí ðáñáãþãùí ôçò. ux; y; y; t + ux; y; x ux; y; y x; y) u tt + u t = u xx + u yy x; y)

3 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò - ïñéóìïß 85 åßíáé üìïéá ìéá äéáöïñéêþ åîßóùóç ìå ìåñéêýò ðáñáãþãïõò, åðåéäþ ç Üãíùóôç óõíüñôçóç ux; y; t) åîáñôüôáé áðü ôñåéò ìåôáâëçôýò ôéò x; y; t êáé çò ôüîçò ùò ðñïò êáèåìéü áðü ôéò ìåôáâëçôýò ôçò ëüãù ôùí áíôßóôïé- ùí ôüîåùí ôùí ìåñéêþí ðáñáãþãùí ôçò ê.ëð. Áðü ôï óýíïëï ôùí ÓÄÅ èá åîåôáóôåß óôï ìüèçìá áõôü ìüíïí ç ðñïóåããéóôéêþ ëýóç ôùí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí 1çò ôüîçò, äçëáäþ äéáöïñéêþí åîéóþóåùí ðïõ ç Üãíùóôç óõíüñôçóç åìöáíßæåôáé ìå ôçí 1çò ôüîçò ðáñüãùãü ôçò êáé áðü áõôýò ôéò ðñïóåããéóôéêýò ëýóåéò åêåßíåò ðïõ âáóßæïíôáé óôïí ôýðï ôïõ Taylor. Êñßíåôáé óêüðéìï óôéò äýï ðáñáãñüöïõò ðïõ áêïëïõèïýí íá äïèïýí åí óõíôïìßá ïé áðáñáßôçôïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá áðü ôçí ÁíÜëõóç, ðïõ åîáóöáëßæïõí ôçí ýðáñîç êáé ôï ìïíïóþìáíôï ôçò ëýóçò ôùí ðáñáðüíù äéáöïñéêþí åîéóþóåùí 1çò ôüîçò Ïñéóìïß Ïé êõñéüôåñïé åßíáé ïé åîþò: Ïñéóìüò Ç ãåíéêþ ìïñöþ ìéáò äéáöïñéêþò åîßóùóçò 1çò ôüîçò åßíáé F t; y; y ) = 0; ) üôáí ç Üãíùóôç óõíüñôçóç y = yt) ïñßæåôáé óå Ýíá äéüóôçìá ôçò ìïñöþò a; b) R êáé õðüñ åé ç y t) ãéá êüèå t a; b). Ôüôå ç ëýóç yt), åöüóïí åßíáé äõíáôüí íá ðñïóäéïñéóôåß, èá ïñßæåé ôç ëýóç ôçò 8:1:1 1). Ïñéóìüò Ìéá äéáöïñéêþ åîßóùóç 1çò ôüîçò ôçò ìïñöþò 8:1:1 1) èá ëýãåôáé üôé ãñüöåôáé óå ëõìýíç explicit) ìïñöþ, üôáí y = ft; y): ) Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç èåùñçôéêþ ìåëýôç ôùí óõíþèùí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá [4, 3].

4 86 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Óå êüèå Üëëç ðåñßðôùóç ç 8:1:1 1) èá ëýãåôáé üôé ïñßæåôáé ìå ðåðëåãìýíç implicit) ìïñöþ. ÐáñÜäåéãìá Óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü ïé ðáñáêüôù äéáöïñéêýò åîéóþóåéò 1çò ôüîçò y = y + t + 1; áíôßóôïé á y = yt + t e t ; üðïõ y = yt), åßíáé ãñáììýíåò óå ëõìýíç ìïñöþ ìå ft; y) = y + t + 1; áíôßóôïé á ft; y) = yt + t e t ; åíþ ç y + sin y + y ) = t ìå ðåðëåãìýíç, åðåéäþ ç y + sin y + y ) äåí åßíáé äõíáôüí íá ëõèåß ùò ðñïò y. Ïñéóìüò Ìéá ëõìýíç äéáöïñéêþ åîßóùóç 1çò ôüîçò èá ëýãåôáé üôé ïñßæåé Ýíá ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò initial value problem Þ IVP), üôáí ç ëýóç ôçò åðáëçèåýåé ìéá áñ éêþ ôéìþ, äçëáäþ y t) = ft; yt)); üôáí t [a; b] R; êáé y 0 = y a) áñ éêþ ôéìþ: ) ÐáñÜäåéãìá Óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü ïé ðáñáêüôù äéáöïñéêýò åîéóþóåéò y = sin t + e t ; t [0; 1] ìå y 0 = y0) = ) y = ty + y ; t [1; 1:5] ìå y 0 = y1) = 0: ) ïñßæïõí Ýíá ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò 1çò ôüîçò.

5 ÐáñáôçñÞóåéò ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò - ïñéóìïß 87 Ôï y 0 óõìâïëßæåé áñ éêþ ôéìþ êáé äåí óçìáßíåé ðüíôïôå üôé y 0 = y0). Ãéá ðáñüäåéãìá, óôçí 8:1:1 4) åßíáé y 0 = y0) = 0, åíþ óôçí 8:1:1 5) åßíáé y 0 = y1) = 0: Ôï ðåäßï ïñéóìïý óôïí Ïñéóìü åßíáé êëåéóôü, äçëáäþ ôçò ìïñöþò [a; b], åíþ óôïí Ïñéóìü áíïéêôü. Áõôü óõìâáßíåé, åðåéäþ óôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò áíáæçôåßôáé ç ëýóç, åéäéêüôåñá ç ìåñéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò ìå óõãêåêñéìýíç áñ éêþ ôéìþ ôçí y 0 = ya). ÅðïìÝíùò ôï ðåäßï ïñéóìïý óôçí ðåñßðôùóç áõôþ èåùñåßôáé üôé åßíáé õðïóýíïëï áõôïý ôïõ Ïñéóìïý Ïñéóìüò Ìéá óõíüñôçóç ft; yt)) ìå ðåäßï ïñéóìïý, Ýóôù D üðïõ D R, ëýãåôáé üôé éêáíïðïéåß ìßá óõíèþêç ôïõ Lipschitz ùò ðñïò ôç ìåôáâëçôþ y, üôáí õðüñ åé ìßá óôáèåñü L ôýôïéá, þóôå ãéá êüèå t; y 1 ) ; t; y ) D. f t; y 1 ) f t; y ) L y 1 y ) Ôüôå ç óôáèåñü L èá ëýãåôáé êáé óôáèåñü ôïõ Lipschitz ãéá ôçí f. ÐáñÜäåéãìá óôù ç óõíüñôçóç ft; y) = t y ìå ðåäßï ïñéóìïý D = {t; y) 1 t ; 3 y 4} : Ôüôå ãéá êüèå t; y 1 ) ; t; y ) D Ý ïõìå f t; y 1 ) f t; y ) = t y 1 t y = t y 1 y y 1 y ; ïðüôå ç óôáèåñü ôïõ Lipschitz L ãéá ôç óõíüñôçóç f èá åßíáé L =, åðåéäþ åýêïëá áðïäåéêíýåôáé üôé f; 1) f; 0) = 0 = 1 0 = :

6 88 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ïñéóìüò íá óýíïëï D ìå D R ëýãåôáé óõíåêôéêü convex), üôáí ãéá êüèå t; y 1 ), t; y ) D ôï óçìåßï áíþêåé óôï D ãéá êüèå ë [0; 1]. 1 ë)t 1 + ët ; 1 ë)y 1 + ëy ) Ç ãåùìåôñéêþ åñìçíåßá ôïõ ïñéóìïý åßíáé üôé óå Ýíá óõíåêôéêü óýíïëï, ôï åõèýãñáììï ôìþìá ðïõ åíþíåé äýï ïðïéáäþðïôå óçìåßá ôïõ óõíüëïõ, áíþêåé óôï óýíïëï. Èåþñçìá óôù ç óõíüñôçóç ft; y) ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï óõíåêôéêü óýíïëï D ìå D R. Ôüôå, áí õðüñ åé óôáèåñü L ìå L > 0 êáé éó y) L ãéá êüèå t; y) D; ç óõíüñôçóç f èá éêáíïðïéåß ìßá óõíèþêç ôïõ Lipschitz ùò ðñïò ôç ìåôáâëçôþ y ìå óôáèåñü ôïõ Lipschitz L Èåìåëéþäåò èåþñçìá Ôï ðáñáêüôù èåþñçìá, ðïõ áðåäåß èç áðü ôïí Henrici, 3 èåùñåßôáé èåìåëéþäåò, åðåéäþ äßíåé ôéò óõíèþêåò ðïõ ðñýðåé íá ðëçñïß ìéá óõíüñôçóç ft; yt)), Ýôóé þóôå ìßá 1çò ôüîçò ëõìýíç äéáöïñéêþ åîßóùóç íá Ý åé ìßá êáé ìïíáäéêþ ëýóç. Èåþñçìá Henrici ãéá ÓÄÅ). óõíå Þò óõíüñôçóç óôï D, üðïõ D = {t; y) a t b; y R} : óôù üôé ç ft; yt)) åßíáé ìéá Ôüôå, áí ç f éêáíïðïéåß ìßá óõíèþêç ôïõ Lipschitz ùò ðñïò ôç ìåôáâëçôþ y, ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò y = ft; y) ; t [a; b ] ìå y 0 = y t 0 ) ; üôáí t 0 ; y 0 ) D ) Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç ãéá êüèå t [a; b]. 3 ÂëÝðå [?] óåëßäá 38.

7 ÐáñáôÞñçóç ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò - óõìâïëéóìïß 89 Óôï åîþò óôéò áóêþóåéò ôïõ ìáèþìáôïò èá åßíáé t 0 = a, ïðüôå ç áñ éêþ ôéìþ y 0 èá éóïýôáé ìå y 0 = y t 0 ) = ya). ÐáñÜäåéãìá óôù ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò y = 1 + t sinty) üðïõ 0 t êáé y0) = 0: ) Ôüôå èåùñþíôáò ôï t óôáèåñü, áðü ôï Èåþñçìá ôçò ÌÝóçò ÔéìÞò ãéá ôç óõíüñôçóç ft; y) = 1 + t sinty), ðñïêýðôåé üôé ãéá êüèå y 1 < y õðüñ åé î y 1 ; y ), Ýôóé þóôå t cos ît) = f t; y ) f t; y 1 ) y y 1 : ñá f t; y ) f t; y 1 ) = y y 1 t cos ît) 4 y y 1 ; äçëáäþ ç óõíüñôçóç f éêáíïðïéåß ìßá óõíèþêç ôïõ Lipschitz ùò ðñïò ôç ìåôáâëçôþ y ìå óôáèåñü ôïõ Lipschitz L = 4 êáé, åðåéäþ ðñïöáíþò ç f åßíáé óõíå Þò ãéá êüèå t [a; b] êáé y R, óýìöùíá ìå ôï Èåþñçìá èá õðüñ åé áêñéâþò ìßá ëýóç ãéá ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò 8:1: ) Óõìâïëéóìïß óôù üôé ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò y = ft; y) ; t [a; b ] ìå y 0 = y a) ) åðáëçèåýåé ôéò õðïèýóåéò ôïõ ÈåùñÞìáôïò , ïðüôå õðüñ åé áêñéâþò ìéá ëýóç y = yt) ãéá êüèå t [a; b ]. Ôüôå, åöüóïí õðüñ åé ç èåùñçôéêþ ëýóç ôïõ ðñïâëþìáôïò, ç óõíüñôçóç yt) ðñïóäéïñßæåôáé åöáñìüæïíôáò ìéá êáôüëëçëç ìýèïäï. Óôéò ðåñéðôþóåéò üðïõ ç èåùñçôéêþ ëýóç åßíáé Üãíùóôç, ìå ôïí üñïðñïóýããéóç ôçò ëýóçò åííïåßôáé ï õðïëïãéóìüò ìå êüðïéï ðñïóåããéóôéêü ôýðï, ðïõ ïñßæåôáé êüèå öïñü áðü ôçí áíôßóôïé ç áñéèìçôéêþ ìýèïäï, ôùí ôéìþí ôçò

8 90 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ Êáè. Á. ÌðñÜôóïò a b t 0 t 1 t i t i 1 t N 1 t N y 0 y 1 y i y i 1 y N 1 y N Ó Þìá : ç äéáìýñéóç ôïõ äéáóôþìáôïò [a; b ] áðü ôá óçìåßá t 0 = a; t 1 ; : : : ; t N = b, ðïõ éóáðý ïõí êáôü äéüóôçìá ðëüôïõò ` êáé ïé áíôßóôïé åò ðñïóåããéóôéêýò ôéìýò y 0 ; y 1 ; : : : ; y N ìå y N yb). ëýóçò áñ éêü óôá åóùôåñéêü óçìåßá ôïõ [a; b ] êáé ôåëéêü ôçò ôéìþò óôï óçìåßï b, äçëáäþ ôçò yb). Ôüôå ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò ðñïóåããéóôéêþò ëýóçò ôï äéüóôçìá [a; b ] õðïäéáéñåßôáé óå N ôï ðëþèïò ßóá õðïäéáóôþìáôá ðëüôïõò ` = b a áðü ôá N N + 1 óçìåßá 4 a = t0 < t1 < : : : < tn 1 < tn = b; ðïõ ïñßæïõí ôç äéáìýñéóç ôïõ [a; b ] Ó ). Ôüôå ðñïöáíþò åßíáé t i = a + i `. ÅðåéäÞ ç yt) óõìâïëßæåé ôç èåùñçôéêþ ëýóç ôïõ ðñïâëþìáôïò áñ éêþò ôéìþò 8:1:3 1), ç ôéìþ ôçò óôï óçìåßï t i èá åßíáé ðñïöáíþò ç y t i ). Óôçí ðñáãìáôéêüôçôá üìùò ç ñþóç ìéáò ðñïóåããéóôéêþò ìåèüäïõ äåí èá äþóåé ôç èåùñçôéêü áíáìåíüìåíç ôéìþ y t i ), áëëü êüðïéá Üëëç ôéìþ, Ýóôù y i, ðïõ äåí èá éóïýôáé ìå ôçí ôéìþ y t i ). 4 Óôçí ðåñßðôùóç üðïõ ç ìåôáâëçôþ t óõìâïëßæåé ôïí ñüíï, ôï ` èá ëýãåôáé âþìá ôïõ ñüíïõ time step). Åßíáé Þäç ãíùóôýò óôïí áíáãíþóôç áíüëïãåò äéáìåñßóåéò ôçò ìåôáâëçôþò x ôïõ äéáóôþìáôïò space step) áðü ôçí ðñïóýããéóç ôùí ðáñáãþãùí ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí) êáé ôïõò óýíèåôïõò êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ÌÜèçìá ÁñéèìçôéêÞ ÏëïêëÞñùóç - Óýíèåôïé êáíüíåò).

9 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò - óõìâïëéóìïß 91 Ç ôéìþ y i ôüôå åßíáé äéáöïñåôéêþ ôçò èåùñçôéêþò y t i ) ëüãù ôçò ðñïóåããéóôéêþò ìåèüäïõ, êáé ðåñéý åé åðéðëýïí êáé ôá óöüëìáôá óôñïããõëïðïßçóçò round-o errors), ðïõ äçìéïõñãïýíôáé áðü ôïí õðïëïãéóôþ. Ôüôå ðñïöáíþò ôï óöüëìá õðïëïãéóìïý ôçò ôéìþò y t i ) áðü ôçí y i éóïýôáé ìå e = y t i ) y i : ) Ôï óöüëìá áõôü èá ëýãåôáé óôï åîþò áðüëõôï óöüëìá Þ áðëü óöüëìá Äéáäéêáóßá õðïëïãéóìïý áñéèìçôéêþò ëýóçò Ìå ãíùóôþ ôçí áñ éêþ ôéìþ y 0 = ya); ç áñéèìçôéêþ ëýóç ôçò 8:1:3 1) õðïëïãßæåôáé åöáñìüæïíôáò ôç ìýèïäï ëýóçò äéáäï éêü óå êáèýíá áðü ôá óçìåßá t i ôçò ðáñáðüíù äéáìýñéóçò. Ç åöáñìïãþ áõôþ, ðïõ ïñßæåé êüèå öïñü êáé ôï áíôßóôïé ï âþìá ëýóçò, èá äþóåé ôçí áíôßóôïé ç ðñïóýããéóç y i. Óôç óõíý åéá, ìå ãíùóôþ ôçí ðñïóýããéóç y i, õðïëïãßæåôáé áðü ôï åðüìåíï óçìåßï t i+1 ç ðñïóýããéóç y i+1 üìïéá Ó ) êáé ôåëéêü ç ôéìþ y N ìå y N yb) = y t N ) : ÅðïìÝíùò óõìâïëéêü Ý ïõìå t 0 ; y 0 ) 1ï âþìá t 1 ; y 1 ) ï âþìá t ; y ). ) tn 1 ; y N 1. N-óôï âþìá t N ; y N ) : ) 5 Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç áíüëõóç ôùí äéáöüñùí óöáëìüôùí ðïõ ðñïêýðôïõí óôéò ðåñéðôþóåéò áõôýò, ðáñáðýìðåôáé óôï ÌÜèçìá ÁñéèìçôéêÞ ëýóç åîéóþóåùí.

10 9 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ ÐáñáôÞñçóç ÓõíÞèùò ç áñ éêþ ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ y 0 éóïýôáé ìå ôçí áíôßóôïé ç èåùñçôéêþ y a). Áí áõôü äåí éó ýåé Þ óôéò ðåñéðôþóåéò ðïõ ç èåùñçôéêþ ëýóç åßíáé Üãíùóôç, ôüôå õðüñ åé Ýíá áñ éêü óöüëìá óôç ëýóç, ðïõ áõîüíåé ìå ôç äéáäéêáóßá åöáñìïãþò ôçò áñéèìçôéêþò ìåèüäïõ. óêçóç Íá åîåôáóôåß áí éó ýåé ôï Èåþñçìá óôá ðáñáêüôù ðñïâëþìáôá áñ éêþí ôéìþí: i) y = y cos t; 0 t 1, y0) = 1, ii) y = yt + t e t ; 1 t, y1) = 0, iii) y = 4t3 y ; 0 t 1, y0) = t4 8. ÌÝèïäïé ðïõ âáóßæïíôáé óôç óåéñü Taylor 8..1 ÌÝèïäïò ôïõ Euler Áí êáé ç ìýèïäïò áõôþ äåí Ý åé óþìåñá ìåãüëåò ðñáêôéêýò åöáñìïãýò, åîáêïëïõèåß íá ðáñïõóéüæåé åíäéáöýñïí óôçí áñéèìçôéêþ ëýóç ôùí óõíþèùí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí, åðåéäþ áðïôåëåß ôç âáóéêþ Þ üðùò äéáöïñåôéêü óõíþèùò ëýãåôáé ãåííþôñéá ìýèïäï predictor method) ðïëëþí Üëëùí áêñéâýóôåñùí ìåèüäùí. óôù üôé ç óõíüñôçóç y = yt) åßíáé ç ëýóç ôïõ ðñïâëþìáôïò áñ éêþò ôéìþò 8:1: 1), äçëáäþ ôïõ y = ft; y); üôáí t [a; b ] ìå y 0 = ya) ) êáé üôé ç y Ý åé ðáñáãþãïõò ôïõëü éóôïí ìý ñé êáé çò ôüîçò óõíå åßò óõíáñôþóåéò óôï äéüóôçìá [a; b ], åíþ ôï [a; b ] Ý åé õðïäéáéñåèåß óå N ôï ðëþèïò ßóá õðïäéáóôþìáôá áðü ôá N + 1 óçìåßá Ó ) a = t 0 < t 1 < : : : < t N = b; )

11 ÌÝèïäïé ðïõ âáóßæïíôáé óôç óåéñü Taylor 93 üðïõ ` åßíáé ôï ðëüôïò êüèå õðïäéáóôþìáôïò. Åßíáé Þäç ãíùóôü üôé, áí f [a; b ] åßíáé ìéá óõíüñôçóç ðïõ Ý åé ðáñáãþãïõò ìý ñé êáé - ôüîç óôï [a; b], ôüôå, áí [a; b], éó ýåé ï ðáñáêüôù ôýðïò ôïõ Taylor: ft) f) + f ) 1! t ) + f )! t ) + : : : + f ) ) t ) :! Áí óôïí ðáñáðüíù ôýðï ôï t áíôéêáôáóôáèåß áðü ôï t + ` ìå ` > 0 êáé ôï î áðü ôï t, ôüôå ft + `) ft) + ` 1! f t) + `! f t) + : : : + `! f ) t): óôù ôþñá üôé ft) = yt). Ôüôå ç ðáñáðüíù ó Ýóç ãñüöåôáé ãéá êüèå = 1; ; : : : : yt + `) yt) + ` 1! y t) + `! y t) + : : : + `! y) t) ) Áí = 1, ôüôå ç 8:: 1) ëüãù ôçò 8::1 1) ãñüöåôáé yt + `) yt) + ` ft;y) {}}{ y t) = yt) + ` ft; y); äçëáäþ yt + `) yt) + `ft; y): ) Ç áñéèìçôéêþ ëýóç ôçò 8::1 1), äçëáäþ ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò yb) ìå ôçí y t N ), ðñïêýðôåé, üôáí ç 8::1 4) åöáñìïóôåß óôçí 8::1 1) óå êáèýíá áðü ôá óçìåßá t 0 ; t 1 ; : : : ; t N 1 Ó ). Ôüôå, åðåéäþ óýìöùíá ìå ôïõò óõìâïëéóìïýò ôçò ÐáñáãñÜöïõ åßíáé y t i ) = y i êáé y t i+1 ) = y i+1, Ý ïõìå ôåëéêü ôçí ðáñáêüôù áñéèìçôéêþ ìýèïäï: y i+1 = y i + `f t i ; y i ) ãéá êüèå i = 0; 1; : : : ; N 1: )

12 94 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ a b t 0 t 1 t i t i 1 t N 1 t N y 0 y 1 y i y i 1 y N 1 y N Ó Þìá : ç åöáñìïãþ ôçò ìåèüäïõ ôïõ Euler y i+1 = y i + `f t i ; y i ) äéáäï éêü ãéá i = 0; 1; : : : ; N 1 èá äþóåé ôéò ðñïóåããéóôéêýò ôéìýò y 1 ; y ; : : : ; y N ìå y N yb). Ç ìýèïäïò áõôþ åßíáé ãíùóôþ ùò ìýèïäïò ôïõ Euler Euler's method), 6 åíþ ï ôýðïò ôçò ùò ç ãåííþôñéá ó Ýóç predictor formula) ôïõ Euler, åðåéäþ, üðùò Þäç Ý åé ãñáöåß óôçí áñ Þ ôçò ðáñáãñüöïõ áõôþò, ñçóéìïðïéåßôáé óôç äçìéïõñãßá Üëëùí áñéèìçôéêþí ìåèüäùí. Ç äéáäéêáóßá ôçò ìåèüäïõ ôïõ Euler ðåñéãñüöåôáé óôïí Áëãüñéèìï ÐáñáôÞñçóç Ç 8::1 5) ãéá i = 0 ãñüöåôáé: y 1 = y 0 + `f t 0 ; y 0 ) ; üðïõ óýìöùíá ìå ôçí 8::1 1) åßíáé t 0 = a êáé y 0 = ya) áñ éêþ ôéìþ): ) 6 ÂëÝðå âéâëéïãñáößá [1,, 4, 6] êáé: https : ==en:wikipedia:org=wiki=euler method

13 ÌÝèïäïé ðïõ âáóßæïíôáé óôç óåéñü Taylor 95 Áëãüñéèìïò ìåèüäïõ ôïõ Euler) ÄåäïìÝíá a; b; N êáé ç áñ éêþ óõíèþêç y 0 óôù ` = b a)=n; t = a; y = y 0 Ãéá i = 0; 1; : : : ; N 1 y := y + `f t; y) t := t + ` y := y ôýëïò i t 0 t 1 t t 3 t 4 t 5 y 0 y 1 y y 3 y 4 y 5 Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá : ç äéáìýñéóç ôïõ äéáóôþìáôïò [0; 0:5], üôáí ` = 0:1. Ç åöáñìïãþ ôçò ìåèüäïõ ôïõ Euler óôïí ôýðï 8::1 8) äéáäï éêü ãéá i = 0; 1; ; 3; 4 óýìöùíá êáé ìå ôç äéáäéêáóßá ôçò ÐáñáãñÜöïõ ôýðïò 8:1:4 1) - èá äþóåé ôéò ðñïóåããéóôéêýò ôéìýò y 1 ; y ; : : : ; y 5 ìå y 5 y0:5). Ç áñ éêþ ôéìþ y 0 õðïëïãßæåôáé áðü ôç èåùñçôéêþ ëýóç ùò åîþò: y 0 = y0) = [ t + e t] t=0 = 1.

14 96 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ ÐáñÜäåéãìá Áí y = yt), íá ëõèåß ìå ôç ìýèïäï ôïõ Euler ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò y = y + t + 1 ìå t [0; 0:5]; üôáí ` = 0:1; ) êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ôùí áðïôåëåóìüôùí ìå ôç èåùñçôéêþ ëýóç yt) = t + e t : Óôç óõíý åéá íá ëõèåß ôï ðñüâëçìá, üôáí ` = 0:01 êáé íá óõãêñéèïýí ôá áðïôåëýóìáôá ôùí ðñïóåããéóôéêþí ëýóåùí. Ëýóç. ÅðåéäÞ ` = 0:1, ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò [0; 0:5] ðñýðåé íá õðïäéáéñåèåß óå 0:5 0 0:1 = 5 õðïäéáóôþìáôá. ñá N = 5 Ó ). Óõãêñßíïíôáò ôçí 8::1 7) ìå ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò y = ft; y) óôç ó Ýóç 8::1 1) ðñïêýðôåé üôé ãéá ôï óõãêåêñéìýíï ðáñüäåéãìá ç óõíüñôçóç ft; y) åßíáé ft; y) = y + t + 1; üôáí t [0; 0:5]: ñá óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 8::1 5) ç ìýèïäïò ôïõ Euler ãñüöåôáé y i+1 = y i + ` f t i ; y i ) = y i + 0:1 y i + t i + 1) ) üðïõ, åðåéäþ åßíáé t [0; 0:5], ðñýðåé óýìöùíá ìå ôçí ÐáñáôÞñçóç êáé ôçí 8::1 6) íá åßíáé t 0 = a = 0, åíþ åßíáé b = 0:5. Ç èåùñçôéêþ ëýóç ôïõ ðñïâëþìáôïò, óýìöùíá êáé ìå ôçí ÐáñáôÞñçóç , åßíáé äõíáôüí óôçí ðåñßðôùóç áõôþ íá èåùñçèåß ùò ç áñ éêþ ôéìþ y 0 ôçò ëýóçò, äçëáäþ y 0 = y0) = [ t + e t] t=0 = 1: Åöáñìüæïíôáò ôçí 8::1 8) äéáäï éêü ãéá i = 0; 1; : : : ; 4 Ý ïõìå:

15 ÌÝèïäïé ðïõ âáóßæïíôáé óôç óåéñü Taylor 97 1ï âþìá t 0 = 0; y 0 = 1) t 1 = 0:1; y 1 ) ãéá i = 0; y 0+1 = y 1 = y 0 + 0:1 y 0 + t 0 + 1) = 1 + 0: ) = 1; åíþ ç áíôßóôïé ç èåùñçôéêþ ëýóç åßíáé y t 1 ) = y0:1) = [ t + e t] = 1: t=0:1 ï âþìá t 1 = 0:1; y 1 = 1) t = 0:; y ) i = 1; y 1+1 = y = y 1 + 0:1 y 1 + t 1 + 1) = 1 + 0: :1 + 1) = 1:01; åíþ y t ) = y0:) = [ t + e t] = 1: t=0: 3ï âþìá t = 0:; y = 1:01) t 3 = 0:3; y 3 ) i = ; y +1 = y 3 = y + 0:1 y + t + 1) = 1:01 + 0:1 1:01 + 0: + 1) = 1:09; åíþ y t 3 ) = y0:3) = [ t + e t] = 1: t=0:3 4ï âþìá t 3 = 0:3; y 3 = 1:09) t 4 = 0:4; y 4 ) i = 3; y 3+1 = y 4 = y 3 + 0:1 y 3 + t 3 + 1) = 1:09 + 0:1 1:09 + 0:3 + 1) = 1:0561; åíþ y t 4 ) = y0:4) = [ t + e t] = 1: t=0:4

16 98 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá : ôá áðïôåëýóìáôá ôçò ìåèüäïõ ôïõ Euler, üôáí ` = 0:1. t i y i y t i ) e i = y i y t i ) ï âþìá t = 0:4; y 4 = 1:0561) t 5 = 0:5; y 5 ) i = 4; y 4+1 = y 5 = y 4 + 0:1 y 4 + t 4 + 1) = 1: :1 1: :4 + 1) = ; åíþ y t 5 ) = y0:) = [ t + e t] = 1: : t=0:5 Ôá áðïôåëýóìáôá äßíïíôáé óôïí Ðßíáêá êáé ç ãñáöéêþ ôùí ðáñüóôáóç óôï Ó y e i i 1 a) i 1 b) Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá , üôáí ` = 0:1. a) Ôá ìðëå óçìåßá ïñßæïõí ôéò èåùñçôéêýò ôéìýò y t i ); i = 0; 1; : : : ; 4 êáé ôá êüêêéíá ôéò áñéèìçôéêýò y i. b) Ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôùí áíôßóôïé ùí óöáëìüôùí e i.

17 ÌÝèïäïé ðïõ âáóßæïíôáé óôç óåéñü Taylor 99 Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá : ôá áðïôåëýóìáôá ôçò ìåèüäïõ ôïõ Euler, üôáí ` = 0:01. t i y i y t i ) e i = y i y t i ) ¼ðùò ðñïêýðôåé áðü ôá áðïôåëýóìáôá áõôü, õðüñ åé ìéá áýîçóç ôïõ óöüëìáôïò e i, êáèþò ï ñüíïò ðëçóéüæåé ðñïò ôç ñïíéêþ óôéãìþ t = 0:5. Ç ðáñáðüíù ëýóç õðïëïãßóôçêå åðßóçò ìå âþìá ñüíïõ ` = 0:01, ïðüôå ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò [0; 0:5] õðïäéáéñåßôáé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ óå 0:5 0 0:01 = 50 õðïäéáóôþìáôá. ñá N = 50, åíþ åßíáé äõíáôüí íá ãßíåé õðïäéáßñåóç áíüëïãç ôïõ Ó èýôïíôáò óôç óõíôåôáãìýíç 0:5 ôá t 50 êáé y 50 áíôß ôùí t 5 êáé y 5. Ôá áðïôåëýóìáôá äßíïíôáé óôïí Ðßíáêá êáé ç ãñáöéêþ ôùí ðáñüóôáóç óôï Ó ìåóá ôüôå ðñïêýðôåé üôé åíþ ôá áðïôåëýóìáôá óå óýãêñéóç ìå ôá áíôßóôïé á ôïõ Ðßíáêá åßíáé áêñéâýóôåñá, üìùò êáé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ åîáêïëïõèåß íá õðüñ åé ìéá áýîçóç ôïõ óöüëìáôïò ìå ôçí ðüñïäï ôïõ ñüíïõ. Ç óýãêñéóç ôùí óöáëìüôùí ðïõ ðñïêýðôïõí áðü ôçí åöáñìïãþ ôçò ìåèüäïõ, üôáí ` = 0:1 êáé ` = 0:01, äßíåôáé óôï Ó óêçóç Áí y = yt), íá õðïëïãéóôåß ìå ôç ìýèïäï ôïõ Euler ç ëýóç ôùí ðáñáêüôù ðñïâëçìüôùí áñ éêþò ôéìþò: i) y = sin t + e t ; 0 t 0:5, üôáí ` = 0:1, yt) = e t cos t êáé y 0 = y0).

18 300 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ y e i i 1 a) i 1 b) Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá , üôáí ` = 0:01. a) Ôá ìðëå óçìåßá ïñßæïõí ôéò èåùñçôéêýò ôéìýò y t i ); i = 0; 1; : : : ; 50 êáé ôá êüêêéíá ôéò áñéèìçôéêýò y i. b) Ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôùí áíôßóôïé ùí óöáëìüôùí e i. ii) y = 1 + y ; 1 t 1:, üôáí ` = 0:1; 0:05, t yt) = t + t ln t êáé y 0 = y1). Óôç óõíý åéá íá ãßíåé ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò ëýóçò êáé ôùí áíôßóôïé ùí óöáëìüôùí. ÁðáíôÞóåéò i) Åßíáé ft; y) = sin t + e t, ïðüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 8::1 5) ç ìýèïäïò ôïõ Euler ãñüöåôáé y i+1 = y i + 0:1 sin t i + e t i ) 1) ÅðåéäÞ t [0; 0:5], ðñýðåé t 0 = a = 0 êáé b = 0:5. Ç áñ éêþ ôéìþ y 0 ðñïêýðôåé áðü ôç èåùñçôéêþ ëýóç ùò åîþò: y 0 = y0) = [ e t cos t ] t=0 = 0:

19 ÌÝèïäïé ðïõ âáóßæïíôáé óôç óåéñü Taylor 301 e i i 1 Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá Ç êáöý êáìðýëç äåß íåé ôá óöüëìáôá e i, üôáí ` = 0:1 êáé ç ðïñôïêáëß, üôáí ` = 0:01. Åöáñìüæïíôáò ôçí 1) äéáäï éêü ãéá i = 0; 1; : : : ; 4 ìå ` = 0:1 Ý ïõìå: ãéá i = 0; y 0+1 = y 1 = y 0 + 0:1 sin t i + e t ) i = 0 + 0:10 + 1) = 0:1; åíþ y t 1 ) = y0:1) = [ e t cos t ] = 0: t=0:1 i = 1; y = : : : = 0:00 467; åíþ y t ) = y0:) = [ e t cos t ] = 0:01 03 t=0:.. y 5 = : : : = ; åíþ y t 5) = y0:5) = [ e t cos t ] = 0: t=0:5 ii) Åßíáé ft; y) = 1 + y, ïðüôå üìïéá óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 8::1 5) ç ìýèïäïò ôïõ t Euler ãñüöåôáé ) y i+1 = y i + 0:1 1 + yi t i )

20 30 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ ÅðåéäÞ t [1; 1:], ðñýðåé t 0 = a = 1 êáé b = 1:. Ç áñ éêþ ôéìþ y 0 ðñïêýðôåé áðü ôç èåùñçôéêþ ëýóç ùò åîþò: y 0 = y1) = [t + t ln t] t=1 = : ÂÞìá äéáìýñéóçò ` = 0:1 Åöáñìüæïíôáò ôçí ) äéáäï éêü ãéá i = 0; 1 Ý ïõìå: ãéá i = 0; y 0+1 = y 1 = y 0 + 0:1 1 + y ) 0 t 0 = + 0:1 1 + ) = :3; åíþ 1 y t 1 ) = y1:1) = [t + t ln t] t=1:1 = : ) i = 1; y 1+1 = y = y 1 + 0:1 1 + y1 t 1 = :3 + 0:1 1 + :3 ) = ; åíþ 1:1 y t ) = y1:) = [t + t ln t] t=1: = : ÂÞìá äéáìýñéóçò ` = 0:05 ¼ìïéá åöáñìüæïíôáò ôçí ) äéáäï éêü ãéá i = 0; 1; ; 3 Ý ïõìå: ) ãéá i = 0; y 0+1 = y 1 = y 0 + 0:1 1 + y0 t 0 = + 0: ) = :15; åíþ 1. y t 1 ) = y1:05) = [t + t ln t] t=1:05 = : i = 3; y 3+1 = y 4 = : : : = ; åíþ. y t ) = y1:) = [t + t ln t] t=1: = :

21 ÌÝèïäïé ðïõ âáóßæïíôáé óôç óåéñü Taylor 303 a b t 0 t 1 t i t i 1 t N 1 t N y 0 y 1 y i y i 1 y N 1 y N Ó Þìá : ç äéáìýñéóç ôïõ äéáóôþìáôïò [a; b ] áðü ôá óçìåßá t 0 = a; t 1 ; : : : ; t N = b, ðïõ éóáðý ïõí êáôü äéüóôçìá ðëüôïõò ` êáé ïé áíôßóôïé åò ðñïóåããéóôéêýò ôéìýò y 0 ; y 1 ; : : : ; y N ìå y N yb) âëýðå üìïéï Ó ôçò ÐáñáãñÜöïõ 8.1.3). 8.. ÌÝèïäïò ôïõ Taylor -ôüîçò ïíôáò õðüøç ôç ìýèïäï ôïõ Euler ðïõ ðñïýêõøå áðü ôïí 7 ôýðï 8:: 1) ôïõ Taylor ãéá = 1, åßíáé ðñïöáíýò üôé ìßá ìåãáëýôåñçò áêñßâåéáò ìýèïäïò åßíáé äõíáôü íá ðñïêýøåé áõîüíïíôáò ôçí ôéìþ ôïõ. óôù ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò y = ft; y); üôáí t [a; b ] ìå y 0 = ya); ) üðïõ ç y Ý åé ðáñáãþãïõò óôï [a; b ] ìý ñé êáé ôüîç óõíå åßò óõíáñôþóåéò êáé üôé ôï [a; b ] Ý åé õðïäéáéñåèåß óå N ôï ðëþèïò ßóá õðïäéáóôþìáôá áðü ôá N + 1 óçìåßá ðëüôïõò ` Ó ). 7 ãéá êüèå = 1; ; : : : : a = t 0 < t 1 < : : : < t N = b ) yt + `) yt) + ` 1! y t) + `! y t) + : : : + `! y) t)

22 304 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ Ôüôå áðü ôïí ôýðï 8:: 1) ôïõ Taylor ðñïêýðôåé üôé y t + `) y t) + `y t) + ` + : : : + `! y t)! y) t) : ) ÅðåéäÞ ç óõíüñôçóç yt) åðáëçèåýåé ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò 8:: 1), Ý ïõìå y t) = ft; yt)) y t) = f t; yt)) ) y ) t) = f 1) t; yt)): Ôüôå ç 8:: 1) óýìöùíá ìå ôçí 8:: 4) ãñüöåôáé äçëáäþ ft;y) {}}{ y t + `) y t) + ` y ` t) +! f t;y) {}}{ y t) + : : : + `! f 1) t;y) {}}{ y ) t) ; y t + `) y t) + ` ft; y) + ` + : : : + `! f t; y)! f 1) t; y): ) Áðü ôçí 8:: 5) ðñïêýðôåé ôüôå ç ðáñáêüôù áñéèìçôéêþ ìýèïäïò y i+1 = y i + `f t i ; y i ) + ` + : : : + `! f t i ; y i )! f 1)t i;y i ) ) ãéá êüèå i = 0; 1; : : : ; N 1 ðïõ åßíáé ãíùóôþ ùò ç ìýèïäïò ôïõ Taylor ôüîçò. 8 8 ÂëÝðå âéâëéïãñáößá [1,, 4, 3] êáé: Numerical methods for ordinary differential equations#generalizations

23 ÌÝèïäïé ðïõ âáóßæïíôáé óôç óåéñü Taylor 305 Áëãüñéèìïò ìåèüäïõ ôïõ Taylor ôüîçò ) ÄåäïìÝíá a; b; N êáé ç áñ éêþ óõíèþêç y 0 óôù ` = b a)=n; t = t 0 ; y = y 0 Õðïëüãéóå T = T `; t; y) Ãéá i = 0; 1; : : : ; N 1 y := y + ` T t := t + ` y := y ôýëïò i Ç äéáäéêáóßá ôçò ìåèüäïõ ðåñéãñüöåôáé óôïí Áëãüñéèìï , ðïõ ãéá åõêïëßá Ý åé ñçóéìïðïéçèåß ï ôåëåóôþò T, ìå ôéìþ óôçí i - åðáíüëçøç T i = f t i ; y i ) + `! f t i ; y i ) ` + 3! f `n 1 t i ; y i ) + : : : + f n 1) t i ; y i ) ; ) n! üôáí i = 0; 1; : : : ; N 1. Ôï âáóéêü ìåéïíýêôçìá ôçò ìåèüäïõ ôïõ Taylor ôüîçò åßíáé üôé ãéá íá åßíáé ç ìýèïäïò áêñéâþò, áðáéôåßôáé ç ôüîç íá åßíáé áñêåôü ìåãüëç, ðïõ áðáéôåß óýìöùíá ìå ôçí 8:: 6) ôïí õðïëïãéóìü ôùí ðáñáãþãùí ôçò ft; y) ìý ñé êáé ôüîç 1, êüôé ðïõ üìùò äåí åßíáé ðüíôïôå åýêïëï, åðåéäþ ï ôýðïò ôçò f ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò óôéò äéüöïñåò åöáñìïãýò åßíáé ðïëýðëïêïò. ÐáñáôÞñçóç Óýìöùíá ìå ôçí 8:: 6) ç ôüîç ôçò ìåèüäïõ ôïõ Taylor ïñßæåé êáé ôïí âáèìü ôïõ áíáðôýãìáôïò óå äõíüìåéò ôïõ ` óôï ï ìýëïò. ÅðïìÝíùò ç ìýèïäïò Taylor ôüîçò = èá äßíåôáé áðü ôïí ôýðï y i+1 = y i + `f t i ; y i ) + `! f t i ; y i ) ; )

24 306 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ åíþ ç ìýèïäïò Taylor ôüîçò = 3 áðü ôïí ôýðï y i+1 = y i + `f t i ; y i ) + ` ÐáñÜäåéãìá ! f t i ; y i ) + + `! f t i ; y i ) : ) Ìå ôç ìýèïäï ôïõ Taylor ôüîçò = íá ëõèåß ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò y t) = yt) + t + 1; üôáí t [0; 0:5] êáé ` = 0:1: ) Óôç óõíý åéá íá ãßíåé óýãêñéóç ôùí áðïôåëåóìüôùí ìå ôç èåùñçôéêþ ëýóç yt) = t + e t : êáé ôçí áíôßóôïé ç ëýóç ôçò ìåèüäïõ ôïõ Euler âëýðå ÐáñÜäåéãìá ). Ëýóç. ÅðåéäÞ ç ôüîç ôçò ìåèüäïõ åßíáé = ), óýìöùíá ìå ôçí 8:: 8) ç ìýèïäïò ôïõ Taylor óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ãñüöåôáé y i+1 = y i + ` f t i ; y i ) + `! f t i ; y i ) ; ) üðïõ ç ft; y) ðñïêýðôåé áðü ôçí 8:: 10) êáé éóïýôáé ìå ft; y) = y + t + 1; ) åíþ ç f t; y) õðïëïãßæåôáé åðßóçò áðü ôçí 8:: 10), äçëáäþ ôçí ft; y) = y, åöáñìüæïíôáò ôç äéáäéêáóßá 8:: 4) ùò åîþò: f t; y) = y = y ) 8:: 10) {}}{ = y + t + 1) 8:: 10) = y {}}{ + 1 = y + t + 1) + 1 = y t: ) ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÐáñÜäåéãìá , åðåéäþ åßíáé ` = 0:1, ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò [0; 0:5] õðïäéáéñåßôáé óå 5 N = 5) õðïäéáóôþìáôá Ó ).

25 ÌÝèïäïé ðïõ âáóßæïíôáé óôç óåéñü Taylor t 0 t 1 t t 3 t 4 t 5 y 0 y 1 y y 3 y 4 y 5 Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá : ç äéáìýñéóç ôïõ äéáóôþìáôïò [0; 0:5], üôáí ` = 0:1. Ç åöáñìïãþ ôçò ìåèüäïõ ôïõ Taylor ôüîçò =, ðïõ äßíåôáé áðü ôïí ôýðï 8:: 14), äéáäï éêü ãéá i = 0; 1; ; 3; 4 èá äþóåé óýìöùíá êáé ìå ôç äéáäéêáóßá ôçò ÐáñáãñÜöïõ ôýðïò 8:1:4 1) - ôéò ðñïóåããéóôéêýò ôéìýò y 1 ; y ; : : : ; y 5 ìå y 5 y0:5). Ôï ó Þìá åßíáé ßäéï ìå ôï Ó ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò Ç áñ éêþ ôéìþ y 0 õðïëïãßæåôáé åðßóçò áðü ôç èåùñçôéêþ ëýóç ùò åîþò: y 0 = y0) = [ t + e t] t=0 = 1.

26 308 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ Åßíáé t [0; 0:5], ïðüôå a = t 0 = 0 êáé b = 0:5, åíþ ç áñ éêþ ôéìþ y 0 ôçò ëýóçò èá ðñïêýøåé óýìöùíá êáé ìå ôçí ÐáñáôÞñçóç áðü ôç èåùñçôéêþ ëýóç ùò åîþò: y 0 = y0) = [ t + e t] t=0 = 1: ñá áíôéêáèéóôþíôáò ôéò 8:: 1) êáé 8:: 13) óôçí 8:: 11) Ý ïõìå y i+1 = y i + ` f t i ; y i ) + `! f t i ; y i ) = y i + 0:1 y i + t i + 1) + 0:1 y i t i ) : ) Åöáñìüæïíôáò ôçí 8:: 14) äéáäï éêü ãéá i = 0; 1; : : : ; 4 ðñïêýðôåé: 1ï âþìá t 0 = 0; y 0 = 1) t 1 = 0:1; y 1 ) ãéá i = 0; y 0+1 = y 1 = y 0 + 0:1 y 0 + t 0 + 1) + 0:1 y 0 t 0 ) = 1 + 0: ) + 0:1 1 0) = 1:005; åíþ ç èåùñçôéêþ ëýóç åßíáé y t 1 ) = y0:1) = [ t + e t] = 1: t=0:1 ï âþìá t 0 = 0:1; y 0 = 1:005) t = 0:; y ) i = 1; y 1+1 = y = y 1 + 0:1 y 1 + t 1 + 1) + 0:1 y 1 t 1 ) = 1: :1 1: :1 + 1) + 0:1 = 1:019 05; åíþ åßíáé y t ) = y0:) = [ t + e t] = 1: t=0: 1:005 0:1)...

27 ÌÝèïäïé ðïõ âáóßæïíôáé óôç óåéñü Taylor 309 Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá : ôá áðïôåëýóìáôá ôçò ìåèüäïõ ôïõ Taylor, üôáí ` = 0:1. t i y i y t i ) e i = y i y t i ) ï âþìá t 4 = 0:4; y 4 = 1:070 80) t 5 = 0:5; y 5 ) i = 4; y 4+1 = y 5 = : : : = ; åíþ åßíáé y t 5 ) = y0:5) = [ t + e t] = 1: : t=0:5 Ôá áðïôåëýóìáôá ôçò ðáñáðüíù äéáäéêáóßáò äßíïíôáé óôïí Ðßíáêá êáé ç ãñáöéêþ ôùí ðáñüóôáóç óôï Ó ¼ðùò ðñïêýðôåé áðü ôá áðïôåëýóìáôá, õðüñ åé ìßá ìéêñþ áýîçóç ôïõ óöüëìáôïò e i, êáèþò ï ñüíïò ðëçóéüæåé ðñïò ôç ñïíéêþ óôéãìþ t = 0:5. Óôï Ó ãßíåôáé ç óýãêñéóç ôùí ðáñáðüíù áðïôåëåóìüôùí ìå ôá áíôßóôïé á ôçò ìåèüäïõ ôïõ Euler. ìåóá ðñïêýðôåé ôüôå üôé ç ìýèïäïò ôïõ Taylor üðùò Ý åé Þäç ãñáöåß ðáñáðüíù, áí êáé Ý åé åðßóçò ìéá áýîçóç ôïõ óöüëìáôïò ìå ôçí ðüñïäï ôïõ ñüíïõ, äßíåé ôåëéêü ðåñéóóüôåñï áêñéâþ áðïôåëýóìáôá óå óýãêñéóç ìå áõôü ôçò ìåèüäïõ ôïõ Euler. óêçóç Áí y = yt), íá õðïëïãéóôåß ìå ôç ìýèïäï ôïõ Taylor ôüîçò =, áíôßóôïé á = 3 ç ëýóç ôùí ðáñáêüôù ðñïâëçìüôùí áñ éêþò ôéìþò

28 310 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ y i 1 e i a) i 1 b) Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá , üôáí ` = 0:1. a) Ôá ìðëå óçìåßá ïñßæïõí ôéò èåùñçôéêýò ôéìýò y t i ); i = 0; 1; : : : ; 4 êáé ôá êüêêéíá ôéò áñéèìçôéêýò y i. b) Ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôùí áíôßóôïé ùí óöáëìüôùí e i. i) y = sin t + e t ; 0 t 0:5, üôáí ` = 0:1, yt) = e t cos t êáé y 0 = y0). ii) y = 1 + y ; 1 t 1:, üôáí ` = 0:1; 0:05, t yt) = t + t ln t êáé y 0 = y1). Íá ãßíåé óýãêñéóç ìå ôá áíôßóôïé á áðïôåëýóìáôá ôçò ìåèüäïõ ôïõ Euler óôçí óêçóç ôçò ÐáñáãñÜöïõ ÁðáíôÞóåéò i) ÌÝèïäïò ôïõ Taylor ôüîçò = : Åßíáé ft; y) = sin t + e t êáé f t; y) = cos t e t ; ïðüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 8:: 8) ç ìýèïäïò ãñüöåôáé y i+1 = y i + ` f t i ; y i ) + ` f t i ; y i ) = y i + ` sin t i + e t i ) + ` cos ti e t i ) : 1) ÅðåéäÞ t [0; 0:5], ðñýðåé t 0 = a = 0 êáé b = 0:5. Ç áñ éêþ ôéìþ y 0 ðñïêýðôåé áðü ôç èåùñçôéêþ ëýóç ùò åîþò: y 0 = y0) = [ e t cos t ] t=0 = 0:

29 ÌÝèïäïé ðïõ âáóßæïíôáé óôç óåéñü Taylor e i i 1 Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá , üôáí ` = 0:1. Ç êáöý êáìðýëç äåß íåé ôá óöüëìáôá e i ìå ôç ìýèïäï ôïõ Euler êáé ç ðïñôïêáëß ìå ôïõ Taylor. Åöáñìüæïíôáò ôçí 1) äéáäï éêü ãéá i = 0; 1; : : : ; 4 ìå ` = 0:1 Ý ïõìå: ãéá i = 0; y 0+1 = y 1 = y 0 + 0:1 sin t i + e t i ) + 0:1 cos ti e t i ) = 0 + 0:10 + 1) + 0:1 1 1) = 0:1; åíþ y t 1 ) = y0:1) = [ e t cos t ] = 0: t=0:1 i = 1; y = : : : = 0:00 918; åíþ y t ) = y0:) = [ e t cos t ] = 0:01 03 t=0:.. y 5 = : : : = ; åíþ y t 5 ) = y0:5) = [ e t cos t ] = 0: t=0:5 ÌÝèïäïò ôïõ Taylor ôüîçò = 3: Åßíáé ft; y) = sin t + e t ; f t; y) = cos t e t êáé f t; y) = sin t + e t ;

30 31 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ ïðüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 8:: 9) ç ìýèïäïò ãñüöåôáé ` y i+1 = y i + ` f t i ; y i ) + f `3 t i ; y i ) + 6 f t i ; y i ) = y i + ` sin t i + e t ) ` i + cos ti e t ) i `3 + sin ti + e t ) i ; ) 6 üðïõ åðßóçò åßíáé t 0 = a = 0 êáé y 0 = y0) = 0. Åöáñìüæïíôáò ôçí ) äéáäï éêü ãéá i = 0; 1; : : : ; 4 ìå ` = 0:1 Ý ïõìå: ãéá i = 0; y 0+1 = y 1 = y 0 + 0:1 sin t i + e t ) i + 0:1 cos ti e t ) i + 0:13 sin ti + e t ) i 6 = 0 + 0:10 + 1) + 0:1 1 1) + 0: ) = 0: ; åíþ 6 y t 1) = y0:1) = [ e t cos t ] = 0: t=0:1 i = 1; y = : : : = 0:01 19; åíþ y t ) = y0:) = [ e t cos t ] = 0:01 03 t=0:.. y 5 = : : : = ; åíþ y t 5) = y0:5) = [ e t cos t ] = 0: t=0:5 ii) Åßíáé ft; y) = 1 + y t ; 3) f t; y) = 1 + y ) y ) y t y 1 = = t t t óýìöùíá ìå ôçí3) 1 + y ) t t y = = 1 t t ; 4) ïðüôå áðü ôïí ôýðï 8:: 8) ðñïêýðôåé üôé ç ìýèïäïò ãñüöåôáé y i+1 = y i + ` f t i; y i) + ` = y i + ` 1 + yi t i f t i; y i) ) ` + 1 t i : 5)

31 ÌÝèïäïé ðïõ âáóßæïíôáé óôç óåéñü Taylor 313 ÅðåéäÞ t [1; 1:], ðñýðåé t 0 = a = 1 êáé b = 1:. Ç áñ éêþ ôéìþ y 0 ðñïêýðôåé áðü ôç èåùñçôéêþ ëýóç ùò åîþò: y 0 = y1) = [t + t ln t] t=1 = : ÂÞìá äéáìýñéóçò ` = 0:1 Åöáñìüæïíôáò ôçí 5) äéáäï éêü ãéá i = 0; 1 ìå ` = 0:1 Ý ïõìå: ãéá i = 0; y 0+1 = y 1 = y 0 + 0:1 1 + y ) 0 + 0:1 = + 0: t 0 ) + 0:1 y t 1 ) = y1:1) = [t + t ln t] t=1:1 = : t 0 1 = :305; åíþ 1 i = 1; y 1+1 = y = y 1 + 0:1 1 + y ) 1 + 0:1 t 1 = : :1 1 + :305 1:1 1 t 1 ) + 0:1 y t ) = y1:) = [t + t ln t] t=1: = : = ; åíþ 1:1 ÂÞìá äéáìýñéóçò ` = 0:05 ¼ìïéá åöáñìüæïíôáò ôçí 5) äéáäï éêü ãéá i = 0; 1; ; 3 Ý ïõìå: ) ãéá i = 0; y 0+1 = y 1 = y 0 + 0: y0 + 0:05. = + 0: t 0 ) + 0:05 y t 1 ) = y1:05) = [t + t ln t] t=1:05 = : i = 3; y 3+1 = y 4 = : : : = ; åíþ. y t 4 ) = y1:) = [t + t ln t] t=1: = : t 0 1 = :15 50; åíþ 1 ÌÝèïäïò ôïõ Taylor ôüîçò = 3: Áðü ôéò 3) êáé 6) ðñïêýðôåé üôé åßíáé ft; y) = 1 + y t ; f t; y) = : : : = 1 t ; êáé f t; y) = 1 t ; 6)

32 314 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ ïðüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 8:: 9) ç ìýèïäïò ãñüöåôáé ` y i+1 = y i + ` f t i; y i) + f `3 t i; y i) + 6 f t i; y i) = y i + ` 1 + y ) i ` 1 `3 1 + : 7) t i t i 6 t 3 i ÂÞìá äéáìýñéóçò ` = 0:1 Åöáñìüæïíôáò ôçí 7) äéáäï éêü ãéá i = 0; 1 ìå ` = 0:1 Ý ïõìå: ãéá i = 0; y 0+1 = y 1 = y 0 + 0:1 1 + y 0 = + 0: t 0 ) + 0:1 ) + 0:1 y t 1) = y1:1) = [t + t ln t] t=1:1 = : :13 1 t 0 6 t : = :304 91; åíþ 1 i = 1; y 1+1 = y = y 1 + 0:1 1 + y ) 1 + 0:1 t 1 = : :1 1 + :305 1:1 1 0:13 1 t 1 6 ) + 0:1 y t ) = y1:) = [t + t ln t] t=1: = : t 1 1 1:1 0: = ; åíþ 1:1 ÂÞìá äéáìýñéóçò ` = 0:05 ¼ìïéá åöáñìüæïíôáò ôçí 5) äéáäï éêü ãéá i = 0; 1; ; 3 Ý ïõìå: ãéá i = 0; y 0+1 = y 1 = y 0 + 0: y 0. = + 0: t 0 ) + 0:05 ) + 0:05 y t 1) = y1:05) = [t + t ln t] t=1:05 = : i = 3; y 3+1 = y 4 = : : : = ; åíþ. y t 4 ) = y1:) = [t + t ln t] t=1: = : :053 1 t 0 6 t : = :151 40; åíþ 1

33 ÌÝèïäïé ôùí Runge-Kutta ÌÝèïäïé ôùí Runge-Kutta ÅéóáãùãÞ Óôçí ðáñüãñáöï áõôþ ãßíåôáé ìéá ðñïóýããéóç ôçò ëýóçò ôïõ ðñïâëþìáôïò áñ éêþò ôéìþò 1çò ôüîçò y = ft; y) ; t [a; b ] ìå y 0 = y a) äéáöïñåôéêþò åêåßíçò ðïõ äüèçêå óôçí ÐáñÜãñáöï 8.. Åéäéêüôåñá óýìöùíá ìå ôçí ÐáñÜãñáöï 8., áí õðïôåèåß üôé ôï äéüóôçìá [a; b ] Ý åé õðïäéáéñåèåß óå N ôï ðëþèïò ßóá õðïäéáóôþìáôá ðëüôïõò `, ôüôå ç ìýèïäïò: i) ôïõ Euler, ðïõ äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç y i+1 = y i + `f t i ; y i ) ; ii) ôïõ Taylor ôüîçò áðü ôç ó Ýóç y i+1 = y i + `f i + ` êáé! f i + : : : + `! f 1) i ; üôáí i = 0; 1; : : : ; N 1, õðïëïãßæåé ôçí ðñïóåããéóôéêþ ëýóç y i+1 áðü ôçí y i ðñïóèýôïíôáò ôïí üñï áíôßóôïé á ôïí ` ` f t i ; y i ) ãéá ôçí i) ìýèïäï; f i + `! f i + : : : + ` 1 ) f 1) i! ãéá ôç ii): Êáé ïé äýï ìýèïäïé áíþêïõí óôçí êáôçãïñßá ôùí ìïíïâçìáôéêþí ìåèüäùí Þ ôùí ìåèüäùí ôïõ áðëïý âþìáôïò, äçëáäþ ôùí ìåèüäùí ïé ïðïßåò ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò ðñïóýããéóçò y i+1 ñçóéìïðïéïýí ìüíï ôçí áìýóùò ðñïçãïýìåíç ôéìþ y i. Êýñéá áñáêôçñéóôéêü ôùí ìåèüäùí áõôþí åßíáé: ç äõóêïëßá ôïõ õðïëïãéóìïý ôùí ðáñáãþãùí óôç ii), êáé ç ìéêñþ áêñßâåéá ôùí áðïôåëåóìüôùí. 9 9 Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá [1,, 4, 3].

34 316 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ 8.3. Ïñéóìïß óôù ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò 1çò ôüîçò 10 y = ft; y) ; t [a; b ] ìå y 0 = y a) : ) Óýìöùíá ìå ôçí ÐáñÜãñáöï 8. êáé ôçí ðáñáðüíù åéóáãùãþ üëåò ïé ìýèïäïé ðïõ åîåôüóôçêáí ôåëéêü ãñüöïíôáé óôç ìïñöþ ) y i+1 = y i + `F t i ; f 1) i ; ` ; ) üôáí i = 0; 1; : : : ; N 1, üðïõ F åßíáé ìßá ãíùóôþ óõíüñôçóç, ðïõ åîáñôüôáé áðü ôç äéáìýñéóç ôïõ äéáóôþìáôïò [a; b ] Ó ), ôç ìýèïäï ôïõ Euler, áíôßóôïé á ôïõ Taylor êáé ôçí ôüîç ôçò. Ï Runge 11 êáé áñãüôåñá ï Kutta 1 áðýäåéîáí üôé åßíáé äõíáôþ ç ëýóç ôïõ ðñïâëþìáôïò áñ éêþò ôéìþò 8:3: 1) ìå áñéèìçôéêýò ìåèüäïõò ôçò ìïñöþò 8:3: ), ùñßò íá áðáéôåßôáé ï õðïëïãéóìüò ôùí ðáñáãþãùí ôçò óõíüñôçóçò áëëü ìå ôçí ßäéá áêñßâåéá ôçò ëýóçò. Ïé ìýèïäïé áõôýò, ðïõ åßíáé ãíùóôýò ùò ìýèïäïé ôùí Runge-Kutta RK), 13 ãñüöïíôáé óôç ãåíéêþ ôïõò ìïñöþ ùò åîþò: y i+1 = y i + `ö t i ; y i ; `) ãéá êüèå i = 0; 1; : : : ; N 1; ) 10 Õðåíèõìßæåôáé áðü ôçí ÐáñÜãñáöï 8. ï ðáñáêüôù ïñéóìüò: Ïñéóìüò Ìéá ëõìýíç äéáöïñéêþ åîßóùóç 1çò ôüîçò èá ëýãåôáé üôé ïñßæåé Ýíá ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò initial value problem Þ IVP), üôáí ç ëýóç ôçò åðáëçèåýåé ìéá áñ éêþ ôéìþ, äçëáäþ y t) = ft; yt)); üôáí t [a; b] R êáé áñ éêþ ôéìþ y 0 = y a) : 11 ÂëÝðå Runge, C. 1895). Math. Ann. 46, 167. êáé 1 Kutta, M. W. Z. 1901). Fur Math.u.Phys. 46, ÂëÝðå âéâëéïãñáößá [1,, 4, 3] êáé: https : ==en:wikipedia:org=wiki=runge Kutta methods

35 ÌÝèïäïé ôùí Runge-Kutta 317 a b t 0 t 1 t i t i 1 t N 1 t N y 0 y 1 y i y i 1 y N 1 y N Ó Þìá : ç äéáìýñéóç ôïõ äéáóôþìáôïò [a; b ] áðü ôá óçìåßá a = t 0 < t 1 < : : : < t N 1 < t N = b, üôáí ` ôï âþìá ôçò äéáìýñéóçò, y 0 ç áñ éêþ ôéìþ êáé ïé ðñïóåããéóôéêýò ôéìýò y 1 ; y ; : : : ; y N ìå y N yb) ðïõ ðñïêýðôïõí áðü ôçí 8:3: ). üôáí ãéá ôçí -ôüîç ôçò ìåèüäïõ, ç óõíüñôçóç ö äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç öt; y; `) = c 1 k 1 + c k + : : : + c k ; ) üðïõ k 1 = ft; y); k = f t + `a ; y + ` b 1 k 1 ) a = b 1 ; k 3 = f t + `a 3 ; y + ` b 31 k 1 + b 3 k )) ; a 3 = b 31 + b 3 ;.. k = f a = t + `a ; y + ` 1 b m : m=1 1 m=1 b m k m ) ;

36 318 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ ÐáñáôÞñçóç Åßíáé ðñïöáíýò üôé üëåò ïé ìýèïäïé 8:3: 3): åêöñüæïíôáé ìå ôçí áíáëõôéêþ explicit) ìïñöþ 8:3: 4). Óýìöùíá ìå ôïõò ôýðïõò 8:3: 5) ãéá íá õðïëïãéóôåß ç ëýóç ôïõ ðñïâëþìáôïò áñ éêþò ôéìþò 8:3: 1) ìå åöáñìïãþ ìéáò ìåèüäïõ - ôüîçò, áðáéôåßôáé ï õðïëïãéóìüò ôï ðëþèïò óõíáñôþóåùí. Äßíïíôáé óôç óõíý åéá ïé ðáñáêüôù äýï ñþóéìïé ãéá ôá åðüìåíá ïñéóìïß: Ïñéóìüò óôù yt) ç èåùñçôéêþ ëýóç ôïõ ðñïâëþìáôïò áñ éêþò ôéìþò 8:3: 1). Ôüôå ç ìýèïäïò ôùí Runge-Kutta, ðïõ ïñßæåôáé áðü ôç ó Ýóç 8:3: 3), ëýãåôáé üôé åßíáé -ôüîçò, üôáí åßíáé ï ìåãáëýôåñïò áêýñáéïò ãéá ôïí ïðïßï éó ýåé yt + `) yt) `öt; yt); `) = O ` +1) : ) Õðåíèõìßæåôáé üôé ìå ôï O ` +1) óõìâïëßæåôáé ôï Üèñïéóìá áðü ôïõ üñïõ ` +1 êáé ìåôü, äçëáäþ ôïõ a 1` +1 + a ` + + : : : : Ïñéóìüò Ç ìýèïäïò Runge-Kutta 8:3: 3) ëýãåôáé üôé åßíáé óõìâáôþ consistent) ìå ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò 8:3: 1), üôáí öt; y; 0) = ft; y): ) ÐáñáôÞñçóç Ïé óõíôåëåóôýò c i êáé k i ; i = 1; : : : ; óôçí 8:3: 4) õðïëïãßæïíôáé áíáðôýóóïíôáò üëïõò ôïõò üñïõò êáôü Taylor ùò ðñïò t êáé óôç óõíý åéá åöáñìüæïíôáò ôéò óõíèþêåò ôùí Ïñéóìþí êáé Ôüôå, óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü , üëïé ïé óõíôåëåóôýò ôùí äõíüìåùí `i; i = 1; : : : ; ðñýðåé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ íá åßíáé 0. Äßíïíôáé óôç óõíý åéá ïé ðáñáêüôù äýï ðåñéóóüôåñï ñçóéìïðïéïýìåíåò óôéò åöáñìïãýò ìýèïäïé ôùí Runge-Kutta:

37 8.3.3 ÌÝèïäïò 3çò ôüîçò ÌÝèïäïé ôùí Runge-Kutta - RK3 319 óôù üôé ç ôüîç ôçò ìåèüäïõ RK åßíáé = 3. Ôüôå óýìöùíá ìå ôç ó Ýóç 8:3: 4) åßíáé y i+1 = y i + ` c 1 k 1 + c k + c 3 k 3 ) = y i + `ö t i ; y i ; `) ; ) üðïõ ôá k 1 ; k êáé k 3 õðïëïãßæïíôáé áðü ôçí 8:3: 5) ùò åîþò: k 1 = f t; y) ; k = f t + `a ; y + `b 1 k 1 ) ìå a = b 1 ; ïðüôå k = f t + `a ; y + ` a k 1 ) : k 3 = f t + `a 3 ; y + ` b 31 k 1 + b 3 k )) ìå a 3 = b 31 + b 3 ; ïðüôå b 31 = a 3 b 3 : ñá k 3 = f t + `a 3 ; y + ` a 3 b 3 ) k 1 + ` b 3 k ) : Áíôéêáèéóôþíôáò ôéò ðáñáðüíù ôéìýò ôùí k 1 ; k êáé k 3 óôçí 8:3:3 1) ðñïêýðôåé ôåëéêü üôé ôï y i+1 åîáñôüôáé áðü ôéò ðáñáìýôñïõò c 1 ; c ; c 3 ; a ; a 3 êáé b 3 : ) ÅðåéäÞ óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü êáé ôçí ÐáñáôÞñçóç ç ìýèïäïò RK åßíáé ôüîçò = 3, ïé ðáñüìåôñïé ôçò ó Ýóçò 8:3:3 ) ðñýðåé óôçí 8:3:3 1) íá åêëåãïýí, Ýôóé þóôå íá éó ýåé yt + `) yt) `öt; yt); `) = O `4) : ) Ðáñáëåßðïíôáò óôï óçìåßï áõôü ôïõò åíäéüìåóïõò õðïëïãéóìïýò, ðáñáðýìðïíôáò ôïí áíáãíþóôç ðñïò ôïýôï óôç âéâëéïãñáößá, ôåëéêü áðü ôçí 8:3:3 3)

38 30 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ ðñïêýðôåé Ýíá óýóôçìá 4 åîéóþóåùí ìå 6 áãíþóôïõò ôéò ðáñáìýôñïõò óôçí 8:3:3 ), ðïõ áíáëõôéêü ãñüöåôáé ùò åîþò: c 1 + c + c 3 = 1 c a + c 3 a 3 = 1 c a + c 3a 3 = 1 3 c 3 a b 3 = 1 6 : ) ÅðåéäÞ óôï óýóôçìá áõôü ï áñéèìüò ôùí áãíþóôùí åßíáé ìåãáëýôåñïò áðü ôïí áñéèìü ôùí åîéóþóåùí, èá õðüñ ïõí Üðåéñåò ëýóåéò. 14 ÅðïìÝíùò õðüñ åé Ýíá Üðåéñï ðëþèïò ìåèüäùí Runge-Kutta 3çò ôüîçò ôùí ïðïßùí ï ôýðïò óýìöùíá ìå ôçí 8:3:3 1) èá åêöñüæåôáé ìå áíáëõôéêþ ìïñöþ. Áðü ôï óýíïëï ôùí ìåèüäùí áõôþí åîåôüæåôáé ìüíïí ç ðáñáêüôù ðåñéóóüôåñï ñçóéìïðïéïýìåíç óôéò åöáñìïãýò ìýèïäïò: y i+1 = y i + ` 6 k 1 + 4k + k 3 ) ) k 1 = f t i ; y i ) k = f t i + ` ; y i + ` ) k 1 k 3 = f t i + `; y i `k 1 + `k ) : Ç ìýèïäïò áõôþ åßíáé ãíùóôþ ùò ï êáíüíáò 3çò ôüîçò ôïõ Kutta RK3). ÐáñÜäåéãìá Áí y = yt), íá ëõèåß ìå ôç ìýèïäï RK3 ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò y = y + t + 1; üôáí t [0; 0:5] êáé ` = 0:1: ) Óôç óõíý åéá íá ãßíåé óýãêñéóç ôùí áðïôåëåóìüôùí ìå ôç èåùñçôéêþ ëýóç yt) = e t + t t + 3: 14 ÂëÝðå ÌáèÞìáôá Áíþôåñùí Ìáèçìáôéêþí êáé ÌÜèçìá ÃñáììéêÞ ëãåâñá - ÃñáììéêÜ óõóôþìáôá.

39 ÌÝèïäïé ôùí Runge-Kutta - RK t 0 t 1 t t 3 t 4 t 5 y 0 y 1 y y 3 y 4 y 5 Ó Þìá : ç äéáìýñéóç ôïõ äéáóôþìáôïò [0; 0:5], üôáí ` = 0:1. Ç åöáñìïãþ ôçò ìåèüäïõ RK3, ðïõ äßíåôáé áðü ôéò ó Ýóåéò 8:3:3 7), äéáäï éêü ãéá i = 0; 1; ; 3; 4 èá äþóåé ôéò ðñïóåããéóôéêýò ôéìýò y 1 ; y ; : : : ; y 5 ìå y 5 y0:5). Ç áñ éêþ ôéìþ y 0 õðïëïãßæåôáé áðü ôç èåùñçôéêþ ëýóç ùò åîþò: y 0 = y t 0 ) = y0) = [ e t + t t + 3 ] t=0 = 5. Ëýóç. Óõãêñßíïíôáò ôï ï ìýëïò ôçò 8:3:3 6) ìå ôï áíôßóôïé ï ôçò 8:3: 1) ðñïêýðôåé üôé ft; y) = y + t + 1: ÅðåéäÞ åßíáé ãíùóôþ ç èåùñçôéêþ ëýóç yt), ç áñ éêþ ôéìþ y 0, ðïõ áíôéóôïé åß óôçí ôéìþ t = 0, õðïëïãßæåôáé áðü ôçí yt) ùò åîþò: y 0 = y0) = [ e t + t t + 3 ] t=0 = + 3 = 5: ÅðïìÝíùò ç ìýèïäïò RK3, ðïõ äßíåôáé áðü ôïõò ôýðïõò8:3:3 5), ãñüöåôáé

40 3 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ùò åîþò: k 1 = f t i ; y i ) = y i + t i + 1; k = f t i + ` ; y i + ` ) k 1 = y i + ` ) k 1 + t i + ` ) + 1; k 3 = f t i + `; y i `k 1 + `k ) = y i ` k 1 + ` k ) + t i + `) + 1; ïðüôå y i+1 = y i + ` 6 k 1 + 4k + k 3 ) : ) Ôüôå ãéá i = 0; 1; ; 3; 4 Ó ) óýìöùíá ìå ôéò ó Ýóåéò 8:3:3 7) Ý ïõìå: 1ï âþìá t 0 = 0; y 0 = 5) t 1 = 0:1; y 1 ) ãéá i = 0 k 1 = f t 0 ; y 0 ) = y 0 + t = = 4; k = f t 0 + ` ; y 0 + ` ) k 1 = y 0 + ` ) k 1 + t 0 + ` ) + 1 [ = 5 + 0:1 ] 4) :1 ) + 1 = 3:7975;

41 ÌÝèïäïé ôùí Runge-Kutta - RK3 33 k 3 = f t 0 + `; y 0 `k 1 + `k ) = y 0 ` k 1 + ` k ) + t 0 + `) + 1 = [5 0:1 4) 0:1 3:7975] :1) + 1 = 3:6305; ïðüôå y 1 = y 0 + ` 6 k 1 + 4k + k 3 ) = 5 + 0:1 6 [ :7975) 3:6305 ] = 4: ; üôáí ç áíôßóôïé ç èåùñçôéêþ ôéìþ åßíáé y t 1 ) = y0:1) = [ e t + t t + 3 ] = 4: : t=0:1 ï âþìá t 1 = 0:1; y 1 = 4: ) t = 0:; y ) ãéá i = 1 k 1 = f t 1 ; y 1 ) = y 1 + t = 4: :1 + 1 = 3: ; k = f t 1 + ` ; y 1 + ` ) k 1 = y 1 + ` ) k 1 + t 1 + ` ) + 1 [ = 4: :1 = 3: ; ] 3: ) + 0:1 + 0:1 ) + 1

42 34 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá : áðïôåëýóìáôá ìåèüäïõ RK3. t i y i y t i ) e i = y i y t i ) E E E E E-04 k 3 = f t 1 + `; y 1 `k 1 + `k ) = y 1 ` k 1 + ` k ) + t 1 + `) + 1 = [4: :1 3: ) + 0:1 3: )] + 0:1 + 0:1) + 1 = 3:57 89; ïðüôå y = y 1 + ` 6 k 1 + 4k + k 3 ) = 4: :1 6 = 4:77 431; [ 3: : ) 3:57 89 ] üôáí ç áíôßóôïé ç èåùñçôéêþ ôéìþ åßíáé y t ) = y0:) = [ e t + t t + 3 ] = 4:77 46: t=0: Óõíå ßæïíôáò ìå üìïéï ôñüðï Ý ïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ôïõ Ðßíáêá , åíþ óôï Ó ôï äéüãñáììá ôùí áíôßóôïé ùí óöáëìüôùí e i.

43 ÌÝèïäïé ôùí Runge-Kutta - RK3 35 e i i 1 Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá Ç êáìðýëç äåß íåé ôá óöüëìáôá e i. óêçóç Áí y = yt), íá õðïëïãéóôåß ìå ôç ìýèïäï RK3 ç ëýóç ôùí ðáñáêüôù ðñïâëçìüôùí áñ éêþò ôéìþò: i) y = sin t + e t ; 0 t 0:5, üôáí ` = 0:1, yt) = e t cos t êáé y 0 = y0). ii) y = 1 + y ; 1 t 1:, üôáí ` = 0:1; 0:05, t yt) = t + t ln t êáé y 0 = y1). Óôç óõíý åéá íá ãßíåé ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò ëýóçò êáé ôùí áíôßóôïé ùí óöáëìüôùí. ÁðáíôÞóåéò i) Åßíáé ft; y) = sin t + e t : ÅðåéäÞ åßíáé ãíùóôþ ç èåùñçôéêþ ëýóç yt), ç áñ éêþ ôéìþ y 0, ðïõ áíôéóôïé åß óôçí ôéìþ t = 0, õðïëïãßæåôáé áðü ôçí yt) ùò åîþò: y 0 = y0) = [ e t cos t ] t=0 = 0:

44 36 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ ÅðïìÝíùò ç ìýèïäïò RK3, ðïõ äßíåôáé áðü ôïõò ôýðïõò 8:3:3 5), ñçóéìïðïéþíôáò ãéá åõêïëßá ôïí óõìâïëéóìü e t = expt) ãñüöåôáé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ùò åîþò: ïðüôå k 1 = f t i ; y i ) = sin t i + exp t i ) ; k = f t i + ` ; yi + ` ) k1 = sin t i + ` ) [ + exp t i + ` )] ; k 3 = f t i + `; y i `k 1 + `k ) = sin t i + `) + exp [ t i + `)] ; y i+1 = y i + ` 6 k 1 + 4k + k 3 ) : 1) Ôüôå ãéá i = 0; 1; ; 3; 4 óýìöùíá ìå ôéò ó Ýóåéò 1) Ý ïõìå: 1ï âþìá t 0 = 0; y 0 = 0) t 1 = 0:1; y 1 ) ãéá i = 0 k 1 = f t 0 ; y 0 ) = sin t 0 + exp t 0 ) = sin 0 + exp 0) = = 1; k = f t 0 + ` ; y 0 + ` ) k 1 = sin t 0 + ` ) [ + exp t 0 + ` )] = sin 0 + 0:1 ) [ + exp 0 + 0:1 )] = 1:001 09; k 3 = f t 0 + `; y 0 `k 1 + `k ) = sin t 0 + `) + exp [ t 0 + `)] = sin 0 + 0:1) + exp [ 0 + 0:1)] = 1: ;

45 ÌÝèïäïé ôùí Runge-Kutta - RK3 37 ïðüôå y 1 = y 0 + ` 6 k 1 + 4k + k 3 ) = 0 + 0:1 6 [ : : ] = 0: ; üôáí ç áíôßóôïé ç èåùñçôéêþ ôéìþ åßíáé y t 1 ) = y0:1) = [ sin t + e t] = 0: : t=0:1 ÐáñáôÞñçóç Äéåõêñéíßæåôáé üôé, üôáí ç áêñßâåéá ôùí áðïôåëåóìüôùí áõîçèåß, ôüôå y 1 y0:1) üðùò áõôü öáßíåôáé óôï áíôßóôïé ï óöüëìá ôïõ Ðßíáêá 1. ï âþìá t 1 = 0:1; y 1 = 0: ) t = 0:; y ) ãéá i = 1 k 1 = f t 1 ; y 1 ) = sin t 1 + exp t 1 ) = sin 0:1 + exp 0:1) = 1: ; k = f t 1 + ` ; y 1 + ` ) k 1 = sin t 1 + ` ) [ + exp t 1 + ` )] = sin 0:1 + 0:1 ) [ + exp 0:1 + 0; 1 )] = 1: ; k 3 = f t 1 + `; y 1 `k 1 + `k ) = sin t 1 + `) + exp [ t 1 + `)] = sin 0:1 + 0:1) + exp [ 0:1 + 0:1)] = 1: ;

46 38 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ Ðßíáêáò 1: óêçóç i): áðïôåëýóìáôá ìåèüäïõ RK3. t i y i y t i ) e i = y i y t i ) 0:0 0:0 0:0 0:0 0:1 0: : :348E 08 0: 0: : :699E 08 0:3 0: : :106E 07 0:4 0: : :14E 07 0: : :179E 07 ïðüôå y = y 1 + ` k1 + 4k + k3) 6 = 0: :1 6 = 0:01 03; [1: : : ] üôáí ç áíôßóôïé ç èåùñçôéêþ ôéìþ åßíáé y t ) = y0:) = [ sin t + e t] = 0:01 03 t=0: ìå áíüëïãç äéåõêñßíçóç áõôþò ôçò ÐáñáôÞñçóçò ôïõ 1ïõ âþìáôïò. Óõíå ßæïíôáò ìå üìïéï ôñüðï Ý ïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ôïõ Ðßíáêá 1. ii) Åßíáé ft; y) = 1 + y t : ÅðåéäÞ üìïéá åßíáé ãíùóôþ ç èåùñçôéêþ ëýóç yt), ç áñ éêþ ôéìþ y 0, ðïõ áíôéóôïé åß óôçí ôéìþ t = 1, õðïëïãßæåôáé áðü ôçí yt) ùò åîþò: y 0 = y1) = [t + t ln t] t=1 = : ÅðïìÝíùò ç ìýèïäïò RK3, ðïõ äßíåôáé áðü ôïõò ôýðïõò 8:3:3 5), ãñüöåôáé óôçí

47 ÌÝèïäïé ôùí Runge-Kutta - RK3 39 ðåñßðôùóç áõôþ ùò åîþò: k 1 = f t i; y i) = 1 + yi t i ; k = f t i + ` ; y i + ` ) y i + ` k 1 = 1 + k1 t i + ` ïðüôå k 3 = f t i + `; y i `k 1 + `k ) = 1 + yi `k1 + `k t i + ` y i+1 = y i + ` 6 k 1 + 4k + k 3 ) : ) ; ÂÞìá äéáìýñéóçò ` = 0:1 Ôüôå ãéá i = 0; 1 óýìöùíá ìå ôéò ó Ýóåéò ) Ý ïõìå: 1ï âþìá t 0 = 1; y 0 = ) t 1 = 1:1; y 1 ) ãéá i = 0 k 1 = f t 0 ; y 0 ) = 1 + y0 t 0 = = 3; k = f = 1 + t 0 + ` ; y 0 + ` ) y 0 + ` k 1 = 1 + k 1 t 0 + ` + 0: :1 = 3: ; k 3 = f t 0 + `; y 0 `k 1 + `k ) = 1 + y0 `k 1 + `k t 0 + ` ; ïðüôå = 1 + 0: :1 3: :1 y 1 = y 0 + ` 6 k 1 + 4k + k 3 ) ; = 3: ; = + ` : : ) = : üôáí ç áíôßóôïé ç èåùñçôéêþ ôéìþ åßíáé y t 1 ) = y1:1) = [t + t ln t] t=1:1 = : :

48 330 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ ï âþìá t 1 = 1:1; y 1 = : ) t = 1:; y 1 ) ãéá i = 1 k 1 = f t 1 ; y 1 ) = 1 + y 1 : = 1 + = 3: ; t 1 1:1 k = f = 1 + t 1 + ` ; y 1 + ` ) y 1 + ` k 1 = 1 + k 1 t 1 + ` : :1 3: ) 1:1 + 0:1 = 3:138 78; k 3 = f t 1 + `; y 1 `k 1 + `k ) = 1 + y 1 `k 1 + `k t 1 + ` = 1 + = 3: ; : :1 3: :1 3: :1 + 0:1 ; ïðüôå y = y 1 + ` k1 + 4k + k3) ; 6 = : ` 3: : : ) 6 = üôáí ç áíôßóôïé ç èåùñçôéêþ ôéìþ åßíáé y t ) = y1:) = [t + t ln t] t=1:1 = : : ÂÞìá äéáìýñéóçò ` = 0:05 Ôüôå ãéá i = 0; 1; ; 3 óýìöùíá ìå ôéò ó Ýóåéò ) Ý ïõìå:

49 ÌÝèïäïé ôùí Runge-Kutta - RK ï âþìá t 0 = 1; y 0 = ) t 1 = 1:05; y 1 ) ãéá i = 0 k 1 = f t 0 ; y 0 ) = 1 + y 0 t 0 = = 3; k = f = 1 + t 0 + ` ; y0 + ` ) y 0 + ` k1 = 1 + k1 t 0 + ` + 0: :05 = 3:04 390; k 3 = f t 0 + `; y 0 `k 1 + `k ) = 1 + y 0 `k 1 + `k t 0 + ` = 1 + 0: :1 3: :05 = 3:049 94; ; ïðüôå y 1 = y 0 + ` 6 k 1 + 4k + k 3 ) ; = + ` : :049 94) = : üôáí ç áíôßóôïé ç èåùñçôéêþ ôéìþ åßíáé y t 1 ) = y1:05) = [t + t ln t] t=1:05 = :151 30:..

50 33 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ 4ï âþìá t 3 = 1:15; y 3 = :460 75) t 4 = 1:; y 4 ) ãéá i = 3 ïðüôå k 1 = f t 3 ; y 3 ) = 1 + y 3 : = 1 + = 3: ; t 3 1:15 k = f = 1 + t 3 + ` ; y3 + ` ) y 3 + ` k1 = 1 + k 1 t 3 + ` : :05 3: ) 1:15 + 0:05 = 3: ; k 3 = f t 3 + `; y 3 `k 1 + `k ) = 1 + y 3 `k 1 + `k t 3 + ` = 1 + : :05 3: :05 3: :15 + 0:05 y 4 = y 3 + ` k1 + 4k + k3) ; 6 ; = 3:183 01; = : ` 3: : :183 01) = üôáí ç áíôßóôïé ç èåùñçôéêþ ôéìþ åßíáé y t ) = y1:) = [t + t ln t] t=1: = : : ÐáñáôÞñçóç Áðü ôá áðïôåëýóìáôá ôçò óêçóçò ii) ðñïêýðôåé üôé õðüñ åé ìéá áýîçóç ôçò áêñßâåéáò, üôáí ôï âþìá ôçò äéáìýñéóçò ìéêñáßíåé. ¼ìùò óå ðåñéðôþóåéò ðïëýðëïêùí öõóéêþí ðñïâëçìüôùí êáé ãéá ìåãüëá ñïíéêü äéáóôþìáôá, ðïëëýò öïñýò ðáñáôçñåßôáé ç åëüôôùóç ôïõ âþìáôïò íá ìç óõíïäåýåôáé êáé áðü áíüëïãç åëüôôùóç ôïõ óöüëìáôïò. Áõôü ïöåßëåôáé óôï üôé áðáéôïýíôáé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ðåñéóóüôåñá âþìáôá ãéá ôç ëýóç ôïõ ðñïâëþìáôïò, äçëáäþ ðåñéóóüôåñåò ðñüîåéò, ðïõ Ý ïõí ùò óõíýðåéá ôçí áýîçóç ôùí ëáèþí óôñïããõëïðïßçóçò round-o errors). Ãéá ðáñüäåéãìá, üôáí ` = 0:05, ãéá ôç ëýóç ôçò óêçóçò ii) áðáéôþèçêáí 4 âþìáôá, åíþ áí ` = 10 4, áðáéôïýíôáé :000.

51 8.3.4 ÌÝèïäïò 4çò ôüîçò ÌÝèïäïé ôùí Runge-Kutta - RK4 333 Áí ç ôüîç ôçò ìåèüäïõ RK åßíáé = 4, ôüôå óýìöùíá ìå ôç ó Ýóç 8:3: 4) ðñýðåé y i+1 = y i + ` c 1 k 1 + c k + c 3 k 3 + c 4 k 4 ) = y i + `ö t i ; y i ; `) ; ) üðïõ ôá c i ; k i ; i = 1; ; 3; 4 õðïëïãßæïíôáé áðü ôçí 8:3: 5) ùò åîþò: k 1 = f t; y) ; k = f t + `a ; y + `b 1 k 1 ) ìå a = b 1 ; ïðüôå k = f t + `a ; y + ` a k 1 ) : k 3 = f t + `a 3 ; y + ` b 31 k 1 + b 3 k )) ìå a 3 = b 31 + b 3 ; ïðüôå b 31 = a 3 b 3 : ñá k 3 = f t + `a 3 ; y + ` a 3 b 3 ) k 1 + ` b 3 k ) : k 4 = f t + `a 4 ; y + ` b 41 k 1 + b 4 k + b 43 k 3 )) ìå a 4 = b 41 + b 4 + b 43 ; ïðüôå b 41 = a 4 b 4 b 43 : ñá k 4 = f t + `a 4 ; y + ` a 4 b 4 b 43 ) k 1 + ` b 4 k + +` b 43 k 3 ) : Áíôéêáèéóôþíôáò ôéò ðáñáðüíù ôéìýò ôùí k i ; i = 1; ; 3; 4 óôçí 8:3:4 1) ðñïêýðôåé ôåëéêü üôé ôï y i+1 åîáñôüôáé áðü ôéò ðáñáìýôñïõò c 1 ; c ; c 3 ; c 4 ; a ; a 3 ; a 4 ; b 3 ; b 4 êáé b 43 : )

52 334 ÁñéèìçôéêÞ ëýóç ÓÄÅ ÅðåéäÞ óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü êáé ôçí ÐáñáôÞñçóç ç ìýèïäïò RK åßíáé ôüîçò = 4, ïé ðáñüìåôñïé ôçò ó Ýóçò 8:3:4 ) ðñýðåé óôçí 8:3:4 1) íá åêëåãïýí, Ýôóé þóôå íá éó ýåé yt + `) yt) `öt; yt); `) = O `5) : ) ¼ìïéá, üðùò êáé óôçí ðåñßðôùóç ôçò ìåèüäïõ RK3 óôçí ÐáñÜãñáöï 8.3.3, ðáñáëåßðïíôáò ôïõò åíäéüìåóïõò õðïëïãéóìïýò ðáñáðýìðïíôáò ôïí áíáãíþóôç ðñïò ôïýôï óôç âéâëéïãñáößá, ôåëéêü ðñïêýðôåé Ýíá óýóôçìá 8 åîéóþóåùí ìå 10 áãíþóôïõò ôéò ðáñáìýôñïõò óôçí 8:3:4 ), ïðüôå èá õðüñ åé êáé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ Ýíá Üðåéñï ðëþèïò ìåèüäùí Runge-Kutta 4çò ôüîçò, ôùí ïðïßùí ï ôýðïò óýìöùíá ìå ôçí 8:3:4 1) èá åêöñüæåôáé ìå áíáëõôéêþ ìïñöþ. Áðü ôï óýíïëï áõôü èá åîåôáóôåß ìüíïí ç ðáñáêüôù ðåñéóóüôåñï ñçóéìïðïéïýìåíç ìýèïäïò y i+1 = y i + ` 6 k 1 + k + k 3 + k 4 ) ) k 1 = f t i ; y i ) k = f t i + ` ; y i + ` ) k 1 k 3 = f t i + ` ; y i + ` ) k k 4 = f t i + `; y i + `k 3 ) ðïõ åßíáé ãíùóôþ êáé ùò ìýèïäïò RK4. 15 ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá áí y = yt), íá ëõèåß ìå ôç ìýèïäï RK4 ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò y = y + t + 1; üôáí t [0; 0:5]; êáé ` = 0:1: ) 15 ÂëÝðå âéâëéïãñáößá [1,, 4, 3] êáé: https : ==en:wikipedia:org=w=index:php?title = Runge Kutta methods&redirect = no# T he Runge:E:80:93Kutta method Åðßóçò mathworld:wolfram:com=runge KuttaMethod:html