קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים.

Transcript

1 קבל קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. על לוח אחד מטען Q ועל לוח שני מטען Q. הפוטנציאל על כל לוח הוא אחיד (מאחר ומדובר במוליך), ובין שני הלוחות קיים מתח (הפרש פוטנציאלים) V. המתח V פרופורציוני ל Q כך שמקדם הפרופורציה אינו תלוי באף אחד מהם ולמעשה תלוי רק בגיאומטריה של הקבל. מקדם פרופורציה זה נקרא קיבול ומסומן C: C = Q V הקיבול הוא מדד ליכולתו של הקבל לאגור מטען חשמלי. הקיבול הינו גודל חיובי, וכשאנחנו מציבים Q ו V עלינו להקפיד שאף הם יהיו בערכם החיובי (למרות שהם לא בהכרח כאלו). איך מחשבים קיבול של רכיב?. אם יש לנו הפרש פוטנציאלים, אזי יש לנו שדה. מחשבים את השדה E (ישירות/גאוס). + = V (אם אנחנו. מחשבים את המתח בין "לוחות" הקבל בעזרת > r E בוחרים את המסלול מהלוח עם Q ללוח עם Q+, אנו מבטיחים בכך ש > V). 3. מחלקים את Q ב V שנתקבל בסעיף קודם ומוצאים את C הערה: E פרופורציוני למטען Q ולפיכך גם V ומכאן שחלוקה שלו ב Q נותנת תוצאה שאינה תלויה במטען. חיבור קבלים בטור כאשר מחברים,למשל, קבלים בטור כמות המטען עליהם היא שווה Q (שימור מטען). הפרש הפוטנציאלים בין קצה אחד לשניהם שווה לסכום הפוטנציאלים על כל אחד מהם: V = V + V = Q + Q ( = Q + ) = Q C C C C C tot = C tot C i i חיבור קבלים במקביל אם נחבר קבלים אלו במקביל, המתח על כל אחד מהם יהיה שווה, אך המטען לא בהכרח: Q = V C Q = V C Q = Q + Q = V (C + C )

2 מצד שני המתח על הקיבול הכולל, הוא גם אותו מתח: C tot = Q V = C + C C tot = i C i אנרגיה האצורה בקבל בונים את לוחות הקבל בצורה כזאת שהשדה מחוץ לקבל הוא אפס, לכן האנרגיה האצורה בקבל היא האנרגיה הדרושה ליצירת קבל. נניח ואנו מתחילים מ לוחות ניטרלים ללא כל מטען על גביהם. כעת, ניקח כמות מטען q קטנה מלוח אחד ללוח שני. מעבר זה דורש עבודה מכיוון שברגע ש"תלשנו" מטען חיובי q מלוח, יצרנו מטען q המצוי בלוח זה ואשר יוצר פוטנציאל במרחב. כלומר העבודה הדרושה היא לביצוע פעולה זו היא: W = qv V = q C העבודה הכוללת הנדרשת להעביר מטען Q מלוח אחד למשנהו ניתנת על ידי אינטגרציה: ˆ W = W = ˆQ q q C = Q C עבודה זו שווה לאנרגיה החשמלית בקבל: U = Q C = CV

3 שאלה 59 באיור מתואר קבל אוויר משתנה מהסוג שבעזרתו נהוג היה לכוון תחנות במקלטי רדיו ישנים. הקבל מורכב מסדרה של לוחות חצי מעגליים בעלי שטח A, באשר כל הלוחות בעלי מספר סידורי אי זוגי מקובעים במקומם ואלו בעלי מספר סוגי יכולים לנוע (יחדיו) סביב ציר מרכזי. הניחו שיש n לוחות אשר מופרדים ביניהם על ידי מרחק, כאשר. A C = Aɛ(n ) א. הראו כי הקיבול המקסימלי של הקבל הנ"ל הוא ב. מהו הקיבול המינימלי? פתרון.C = Aɛ(n ) א. הראו כי הקיבול המקסימלי של הקבל הנ"ל הוא מדובר בחיבור כלשהו של קבלי לוחות. כל שעלינו לפענח הוא צורת החיבור על ידי הצגת המערכת באמצעות מעגל חשמלי סכמטי שיקל עלינו בחישוב הקיבול הכולל. ניתן לסובב את הלוחות הזוגיים כך ששטח החפיפה ביניהם S יהיה < S < A בהתאם לזווית הסיבוב. במבט מלמעלה המערכת נראית כך: כל שני לוחות (לוח אדום ולוח כחול) מהווים קבל לוחות (בגלל הקירוב ) A עם C i = Sɛ כאשר הוא המרחק בין לוחות עוקבים. אך כל הלוחות האי זוגיים קיבול מחוברים ולכן יש עליהם את אותו הפוטנציאל כמו בנקודה A ואילו הלוחות הזוגיים מחוברים ובעלי אותו פוטנציאל כמו בנקודה B. לפיכך, ניתן לשנות מעט את השרטוט ולקבל:

4 שני השרטוטים מתארים את אותו מעגל, אך השני מראה בבירור כי מדובר בחיבור מקבילי של n קבלים: n C = C i = i n i Sɛ = Sɛ (n ) נתבקשנו לחשב את הקיבול המקסימלי, ברור מהנוסחה שנקבל זאת עבור S, = A כאשר A הוא השטח המלא של כל לוח: C = Aɛ (n ) ב. מהו הקיבול המינימלי? הקיבול המינימלי יתקבל כאשר שטח החפיפה הוא אפס = S, כלומר הקיבול הוא אפס.C =

5 שאלה 55 ארבעה לוחות זהים נמצאים במרחק אחד מהשני. השטח של כל אחד מהלוחות שווה ל S. מהו הקיבול של המערכת בין הנקודות A ו B, אם הלוחות מחוברים כפי שמתואר ב: א. איור א. ב. איור ב. פתרון א. איור א. אנו מזהים באיור 3 קבלים זהים מאחר והלוחות זהים וגם המרחק בין כל לוחות זהה. C. = Sɛ כעת נותר לנו לפענח את לכן לכל אחד מהקבלים יש קיבול (קבל לוחות) הסידור של הקבלים, איך הם מחוברים. נשרטט את מקרה א כמעגל סכמטי, כאשר נקפיד על הפוטנציאל של כל לוח (כחול עבור A, אדום עבור B ושחור עבור שאר הלוחות אשר מחוברים בעזרת מוליך ולכן הם בעלי אותו פוטנציאל): יש לנו קבלים בחיבור מקבילי ואליהם מחובר בטור קבל נוסף, הקיבול הכולל הוא: C parallel = C + C = C = C tot C + C = 3 C C tot = 3 C = Sɛ 3 ב. איור ב.

6 גם כאן מדובר ב 3 קבלים זהים. נשרטט את מקרה ב כמעגל סכמטי: יש לנו קבלים בחיבור טורי ואליהם מחובר במקביל קבל נוסף, הקיבול הכולל הוא: C series = C + C = C C series = C C tot = C + C = 3 C = 3Sɛ

7 שאלה 5 נתון קבל לוחות כמתואר בציור. הלוחות של הקבל ריבועיים עם צלע a. הראו שעבור זווית ( ) C = a ɛ aθ קטנה θ הקיבול נתון על ידי: פתרון נבחר את ציר x להיות הישר שמתלכד עם הלוח העליון כך שראשיתו בצד שמאל של הקבל (ישר בזווית θ ביחס לאופק). אנו יודעים כי קיבול של קבל לוחות תלוי במרחק בין הלוחות, אולם מרחק זה משתנה לאורך קורדינטה x באופן הבא: (x) = + x sin θ אם "נחתוך" את הקבל לאורך ציר x לקבלים קטנים אינפינטיסימליים באורך,x נקבל שקיבולו של קבל קטן זה שנמצא במיקום x הוא: C (x) = Sɛ (x) = axɛ + x sin θ בשרטוט קל לראות שה"לוחות הקטנים" העליונים הם בעלי פוטנציאל משותף (צבע כחול) וכך גם לגבי ה"לוחות הקטנים" התחתונים (צבע אדום) ולכן החיבור הוא במקביל, כלומר עלינו לסכום את הקיבול של הקבלים הקטנים כדי לקבל את קיבול הכולל. אולם כיוון שכל קבל קטן הוא אינפינטיסימלי, הסכום הופך לאינטגרל: C = ˆ ˆa axɛ C = + x sin θ = aɛ C = ( sin θ ln + a sin θ ) [ ln ( + x sin θ) sin θ ] a = aɛ ( ) + a sin θ sin θ ln ()

8 כעת נשתמש בהנחה של זווית קטנה. לשם חישוב התוצאה תחת קירוב זה עלינו להיעזר בטור טיילור: f (x) = f (x + x) f (x = x )+ f (x)! x x+ f (x) x=x! x ( x) + x=x יש לנו שני פונקציות שתלויות בזווית θ. נחשב את הקירוב שלהם תחת טור טיילור. במקרה של פונקצית ה sin : המשתנה שלנו הוא הזווית ואנו עושים את הקירוב של זווית קטנה x = θ סביב הנקודה = x. נחשב עד סדר ראשון (איבר שני בטור): f (x) = sin (x + x) = sin ( + θ) = sin θ f (x = x ) = sin = f (x) sin (θ) x = x=x θ = cos θ x=x = x=x sin θ = + x = θ () במקרה של פונקציית ה ln : המשתנה שלנו הוא ביטוי התלוי בזווית ואנו עושים את הקירוב y = aθ סביב הנקודה = y נחשב עד סדר שני (איבר שלישי בטור): של ( f (y) = ln y = ln (y + y) = ln + aθ ) f (y = y ) = ln () = f (y) ln (y) y = y=y y = y=y y = y=y f (y) y = ln (y) y=y x = y=y y y=y = ( ln + aθ ) = ln (y) = + y + ( ) ( y) = aθ a θ ( ln + aθ ) = = aθ ( aθ ) (3) כעת נציב את ביטויים ( )ו ( 3 ) במשוואה () ונקבל את התוצאה המבוקשת: C = aɛ ( sin θ ln + a sin θ ) = aɛ ( aθ aθ ) ( = a ɛ aθ ) θ