Δυο κύματα διαδίδονται αντίθετα.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Δυο κύματα διαδίδονται αντίθετα."

Transcript

1 Υλικό Φυσικής Χημείας Κύματα Δυο κύματα διαδίδονται αντίθετα. Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται δύο κύματα με αντίθετες διευθύνσεις και σε μια στιγμή την οποία θεωρούμε ότι t 0 =0, η εικόνα του μέσου, είναι αυτή του παρακάτω σχήματος. Το πλάτος των κυμάτων είναι Α=0,5m, το μήκος κύματος λ=m, ενώ το κύμα που διαδίδεται προς τα αριστερά φτάνει στο σημείο Ο τη στιγμή t 1 =0,5s. Θεωρώντας ότι το σημείο Ο βρίσκεται στη θέση =0, ενώ (ΟΒ)=1m: i) Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων. ii) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης των διαφόρων σημείων του μέσου στην περιοχή 0 m, μετά από την συμβολή των δύο αυτών κυμάτων. iii) Να παραστήσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων την απομάκρυνση των διαφόρων σημείων της παραπάνω περιοχής τις χρονικές στιγμές t =s και t 3 =,5s. iv) Να βρεθεί η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων Β και Γ στις θέσεις 1,m και 1,5m για t s. Απάντηση: Η ταχύτητα διάδοσης και των δύο κυμάτων (ίδιες και για τα δύο κύματα, αφού διαδίδονται στο ίδιο μέσον) είναι d 1m m / s, όπου d η απόσταση που διαδίδεται το κύμα προς τα αριστερά σε χρονικό διά- t 0,5s m στημα t 1. Αλλά T 1s. Με βάση αυτά τα δεδομένα έχουμε: T m/ s y (m) i) Για το κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά η εξίσωση θα είναι: y 1 = 0,5 ημπ t (S.Ι.) Έστω τώρα ένα σημείο Σ, δεξιά του σημείου Β, στη θέση. Το σημείο αυτό εξαιτίας του κύματος που διαδίδεται προς τα αριστερά, ταλαντώνεται κατά χρονικό διάστημα t 1 = 1 περισσότερο, από ότι το σημείο Β στο οποίο έχει φτάσει το κύμα για t=0. Αλλά το σημείο Β ταλαντώνεται με εξίσωση y B =0,5 ημπt, οπότε για το Σ έχουμε: 1 1 y = 0,5 ημπ t 0,5 t (S.Ι.) ii) Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, η απομάκρυνση ενός σημείου μετά την συμβολή των δύο παρα- 1

2 Υλικό Φυσικής Χημείας Κύματα πάνω κυμάτων θα είναι: t t 1 t t 1 y=y 1 +y = 0,5 συνπ ή 1 1 y=1 συνπ t με t s μονάδες στο S.Ι. (1) iii) Θέτοντας στη σχέση (1) t=s παίρνουμε: y=1 συνπ 1 ή 1 y= 1 (S.Ι.) Το στιγμιότυπο είναι η καμπύλη με το μπλε χρώμα. Αντικαθιστώντας τώρα στην εξίσωση (1) t=,5s παίρνουμε: y=1 συνπ,5 1 5 ή 1 y= 1 ή 1 y= 1 (S.Ι.) Το αντίστοιχο στιγμιότυπο είναι η κόκκινη καμπύλη. iv) Για το σημείο Β έχουμε: 1 1 y=1 συνπ t = 1 συνπ 1, 0,5 t =1 συν0.7 t Ενώ για το σημείο Γ παίρνουμε: 1 1 y=1 συνπ t = 1 συνπ 1,5 0,5 t =1 συν t Αλλά συν0,7π<0 όπως και συνπ<0, συνεπώς τα δύο σημεία έχουν την ίδια φάση. Σχόλιο: Ποια είναι η φάση του σημείου Β; Η παραπάνω εξίσωση της απομάκρυνσής του γράφεται: y=1 συν0.7 t = -1 συν0.7 t 1 0,7 t οπότε η φάση του σημείου Β είναι φ Β = t Επιμέλεια Διονύσης Μάργαρης

3 Υλικό Φυσικής Χηµείας Κύµατα υο κύµατα προς την ίδια κατεύθυνση. Κατά µήκος ενός γραµµικού ελαστικού µέσου και από αριστερά προς τα δεξιά διαδίδονται δύο αρµονικά κύµατα µε το ίδιο πλάτος Α=0,m και την ίδια συχνότητα f=ηz. Η ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων είναι ίση µε υ=m/s. Σε ένα σηµείο Ο, το οποίο θεωρούµε ως αρχή µέτρησης των αποστάσεων (=0), το πρώτο κύµα φτάνει κατά τη χρονική στιγµή t=0 και το δεύτερο κύµα κατά τη χρονική στιγµή t 1 =1s. Θεωρείστε ότι εξαιτίας κάθε κύµατος το σηµείο Ο αρχίζει να κινείται προς την θετική φορά. i) Να γραφεί η εξίσωση της αποµάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας των σηµείων του µέσου, του θετικού ηµιάξονα, µετά από τη συµβολή των δύο κυµάτων. ii) Να σχεδιάστε τη µορφή του µέσου, για >0, τη χρονική στιγµή t =s iii) Ποιο το αντίστοιχο διάγραµµα αν το δεύτερο κύµα έφτανε στο σηµείο Ο τη χρονική στιγµή t 1 =0,5s; Απάντηση: Από την θεµελιώδη εξίσωση της κυµατικής έχουµε υ=λf λ=υ/f= 1m i) Η εξίσωση του πρώτου κύµατος που φτάνει τη στιγµή t=0 στη θέση =0, θα είναι: t T λ y 1 = Α ηµ π = 0, ηµ π( t ) µε t 0 και t (S.Ι.) (1) Η εξίσωση της αποµάκρυνσης του σηµείου Ο εξαιτίας του δεύτερου κύµατος θα είναι y=α ηµω(t-1) ή y= A ηµπ(t-), συνεπώς η εξίσωση του δεύτερου κύµατος θα είναι της µορφής: t T λ y = Α ηµ π = 0, ηµ π( t ) µε t 1s και t- µονάδες στο (S.I.) () Όταν τα δύο κύµατα φτάνουν στο ίδιο σηµείο, συµβάλουν και από την αρχή της επαλληλίας έχουµε: t t+ + t + t y= y1+ y = 0, συν π ηµ π ( ) y= 0, συν π ηµ π t 1 ή ( ) y= 0, ηµ π t 1 µε t 1s και t- µονάδες στο (S.I.) 1 (3) ii) Έτσι τη χρονική στιγµή t =s, θα έχουµε συµβολή στην περιοχή 0 m και η παραπάνω εξίσωση δίνει: ( ) y= 0, ηµ π t 1 = 0, ηµ π( 1) = 0, ηµ ( 6π π ) ή y= 0, ηµ π Εξάλλου στην περιοχή m m έχει φτάσει το πρώτο κύµα, αλλά όχι το δεύτερο και η αποµάκρυνση των διαφόρων σηµείων είναι: y 1 = ( ) 0, ηµ π t = 0, ηµ ( 8π π ) = 0, ηµ ( π ) Με βάση αυτά η µορφή του µέσου, είναι αυτή που φαίνεται στο παρακάτω διάγραµµα. 1

4 Υλικό Φυσικής Χηµείας Κύµατα iii) Αν το δεύτερο κύµα έφτανε στη θέση =0 τη στιγµή t 1 =0,5s, τότε αντίστοιχα η εξίσωση του δεύτερου κύµατος θα ήταν: t 1 T λ y = Α ηµ π = 0, ηµ π( t 0,5) µε t 0,5s και t-0,5 µονάδες στο (S.I.) () Όταν τα δύο κύµατα φτάνουν στο ίδιο σηµείο, συµβάλουν και από την αρχή της επαλληλίας έχουµε: t t+ + 0,5 t + t 0,5 y= y1+ y = 0, συν π ηµ π 1 1 y= 0, συν π ηµ π t ή y=0 µε t 0,5s και t-0,5 µονάδες στο (S.I.) Οπότε µε αντικατάσταση όπου t=s, θα πάρουµε από την παραπάνω εξίσωση για την περιοχή 0 3,5m θα έχουµε y=0, ενώ για την περιοχή 3,5m m θα έχει διαδοθεί το πρώτο κύµα και από τη σχέση () έχουµε: y 1 = ( ) Και το αντίστοιχο στιγµιότυπα είναι; 0, ηµ π t 0,5 = 0, ηµ (7π π ) = 0, ηµπ( π ) y (m) 0, 0,0 3,5 Σχόλια: 1) Η εξίσωση (3) y 0, ηµ π( t 1) = είναι εξίσωση ενός τρέχοντος κύµατος. Η συµβολή δηλαδή δύο κυµάτων που διαδίδονται προς την ίδια κατεύθυνση, είναι ένα νέο τρέχον κύµα. είτε το αυτό σε αντιδιαστολή µε την περίπτωση που τα δύο κύµατα διαδίδονται µε αντίθετες κατευθύνσεις, οπότε προκύπτει στάσιµο κύµα. ) Θα µπορούσε να δοθεί και µια δεύτερη «πρακτική» λύση στην παρουσίαση των στιγµιοτύπων. Ας την δούµε: Με βάση την αρχή της επαλληλίας, το κάθε κύµα διαδίδεται ανεξάρτητα του άλλου και επειδή οι πηγές αρχίζουν να ταλαντώνονται προς την θετική κατεύθυνση, κάθε σηµείο στο οποίο φτάνει το κύµα, αρχίζει επίσης να ταλαντώνονται προς τα πάνω και έτσι δηµιουργείται «όρος». Το πρώτο τη στιγµή t έχει διαδοθεί µέχρι τη θέση =υt=m, ενώ το µήκος κύµατος είναι m. Αντίστοιχα το δεύτερο κύµα έχει διαδο-

5 Υλικό Φυσικής Χηµείας Κύµατα θεί µέχρι τη θέση =υ(t-1s)=m. Έτσι σχεδιάζουµε τα δύο ανεξάρτητα κύµατα και µε πρόσθεση των αντίστοιχων αποµακρύνσεων παίρνουµε το τελικό αποτέλεσµα, όπως φαίνεται στο σχήµα: y1 0, 0,0 y 0, 0,0 (m) (m) y 0, 0, 0,0 (m) όπου µε µπλε χρώµα έχει σχεδιαστεί το τµήµα, στο οποίο έχει συµβεί συµβολή. Η αντίστοιχη κατάσταση για το iii) ερώτηµα είναι: y1 0, 0,0 (m) y 0, 0,0 3,5 (m) y 0, 0,0 3,5 (m) dmargaris@sch.gr 3

6 Υλικό Φυσικής-Χηµείας Κύµατα Ένα στάσιµο κύµα µε δεσµό στην αρχική θέση. Κατά µήκος ενός ελαστικού µέσου διαδίδονται αντίθετα δύο κύµατα µε το ίδιο πλάτος Α=0,m και το ίδιο µήκος κύµατος λ=m και τη στιγµή t=0 τα δυο κύµατα φτάνουν ταυτόχρονα σε ένα σηµείο Ο, το οποίο θεωρούµε αρχή του άξονα (=0). Η µορφή του µέσου τη στιγµή αυτή, εµφανίζεται στο παραπάνω σχήµα. Τα κύµατα διαδίδονται µε ταχύτητα υ=m/s. i) Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυµάτων. ii) Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιµου κύµατος που προκύπτει από την συµβολή των δύο παραπάνω κυ- µάτων. iii) Να σχεδιάστε στιγµιότυπα του στάσιµου κύµατος τις χρονικές στιγµές t 1 =s και t =3s και για την περιοχή που έχει σχηµατισθεί το στάσιµο κύµα, στο ίδιο διάγραµµα. iv) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της δύναµης που ασκείται σε µια σηµειακή µάζα Σ, µάζας m=1mg, η οποία βρίσκεται στη θέση 1 =3m, σε συνάρτηση µε το χρόνο. Απάντηση: i) Με βάση το σχήµα λ=m, ενώ υ=λf f=υ/λ=0,5ηz και Τ=s. Για το κύµα προς τα δεξιά, το σηµείο Ο στη θέση =0 ξεκινά την ταλάντωσή του από τη θέση ισορροπίας κινούµενο προς τα πάνω (θετική κατεύθυνση), συνεπώς: y 1 t t = A ηµ π y1 = 0, ηµ π µονάδες στο S.Ι. και t (m) t λ Εξάλλου το Ο, εξαιτίας του κύµατος προς τα αριστερά ξεκινά την ταλάντωσή του προς τα κάτω (αρνητική κατεύθυνση), συνεπώς η εξίσωση ταλάντωσής του θα είναι της µορφής y = A ηµ ( ωt+ π ), οπότε η εξίσωση του κύµατος προς τα αριστερά έχει εξίσωση: y t 1 t 1 = A ηµ π + + y1 = 0, ηµ π + + µονάδες στο S.Ι. και - t (m) t λ ii) Με βάση την αρχή της επαλληλίας µετά την συµβολή των δύο κυµάτων, κάθε σηµείο ταλαντώνεται µε αποµάκρυνση: y= y 1 + y t t 1 = 0, ηµ π + 0, ηµ π + + t t y= 0, συν π 1 t t ηµ π 1 1

7 Υλικό Φυσικής-Χηµείας Κύµατα = 1 1 0, t y π ηµ π συν µονάδες στο S.Ι. µε t 0 και -t t iii) Τη στιγµή t 1 =s στάσιµο κύµα έχει δηµιουργηθεί στην περιοχή -t t ή -m m, οπότε µε αντικατάσταση στην εξίσωση του κύµατος παίρνουµε: + + = + + = 1 0, 1 1 0, π π ηµ π συν π ηµ π συν y = + = 0, 1 0, y π ηµ π συν Και η αντίστοιχη γραφική παράσταση είναι η κόκκινη καµπύλη. Αντίστοιχα τη στιγµή t =3s, στάσιµο κύµα υπάρχει στην περιοχή -t t ή -6m 6m, οπότε µε αντικατάσταση στην εξίσωση του κύµατος παίρνουµε: + + = + + = 3 1 0, , π π ηµ π συν π ηµ π συν y = + = 0, 1 0, y π ηµ π συν Με γραφική παράσταση την µπλε καµπύλη. iv) Το κύµα που κινείται προς τα αριστερά χρειάζεται χρόνο t= s s m m d 1,5 / 3 = = υ για να διαδοθεί από το σηµείο Σ στο Ο, συνεπώς το σηµείο Σ, ξεκίνησε την ταλάντωσή του τη χρονική στιγµή t 3 =-1,5s. Εξάλλου το κύµα προς τα δεξιά θα φτάσει στο Σ τη στιγµή t =1,5s. Συνεπώς στο χρονικό διάστηµα -1,5s t 1,5s το σηµείο ταλαντώνεται µε εξίσωση αποµάκρυνσης: + = + + = + + = 5 0, 1 3 0, 1 0, t t t y π ηµ π ηµ π ηµ, οπότε η επιτάχυνση του Σ, δίνεται από την εξίσωση + = + = 5 0, 5 t t A a π ηµ π π ηµ ω ) ( 5 t t a π συν π π ηµ = + Και η δύναµη F=mα= ) ( 10 6 πt συν

8 Υλικό Φυσικής-Χηµείας Κύµατα Από τη στιγµή της συµβολής, δηλαδή t 1,5s, η αντίστοιχη αποµάκρυνση θα είναι: 1 t t 1 y= 0,συν π + ηµ π + = 0, συν π + ηµ π + t 1 y= 0, ηµ π + Οπότε η αντίστοιχη επιτάχυνση θα έχει τη µορφή: t 1 t 1 a= Aω ηµ π + = 0, π ηµ π + t 1 π a= ηµ π + a ηµ πt+ = συν ( πt) (S.Ι) 6 Και η δύναµη F=mα= 10 συν ( πt) (S.Ι.) Με βάση αυτά η γραφική παράσταση είναι όπως στο παρακάτω σχήµα Σχόλια: Η εξίσωση του στάσιµου κύµατος 1 t 1 y= 0,συν π + ηµ π + µπορεί να γραφεί: π π π π y= 0, συν + ηµ πt+ = 0, ηµ συν ( πt) ή π y = 0, ηµ συν ( πt+ π ) Βλέπουµε δηλαδή ότι το πλάτος ταλάντωσης είναι ηµιτονοειδής συνάρτηση του και όχι συνηµιτονοειδής, όπως η εξίσωση του βιβλίου. Το αποτέλεσµα βέβαια είναι στην θέση =0, να δηµιουργείται δεσµός και όχι κοιλία και κατά συνέπεια να έχουµε σε άλλες θέσεις τους δεσµούς και τις κοιλίες. Αλλά πότε ισχύει η εξίσωση του βιβλίου µας; Όταν τα δυο κύµατα τη στιγµή t=0 φτάνουν στη θέση =0 και το σηµείο αυτό εξαιτίας και των δύο κυµάτων αρχίζει να ταλαντώνεται προς τη θετική κατεύθυνση. 3

9 Υλικό Φυσικής-Χηµείας Κύµατα Αν δοθεί λοιπόν, ότι τα δύο κύµατα φτάνουν ταυτόχρονα στη θέση =0, τη στιγµή t=0, αλλά εξαιτίας του ενός το σηµείο Ο, ξεκινά να ταλαντώνεται προς την θετική κατεύθυνση, αλλά εξαιτίας του άλλου προς την αρνητική, η κατάσταση, είναι αυτή που µελετήσαµε στην παραπάνω άσκηση.

10 Ένα στιγµιότυπο κύµατος. Ένα κύµα διαδίδεται προς τα δεξιά (θετική κατεύθυνση) κατά µήκος ενός γραµµικού ελαστικού µέσου και στο παρακάτω σχήµα δίνεται ένα τµήµα του στιγµιότυπου κάποια στιγµή, που θεωρούµε t=0, σε µια περιοχή του µέσου, µεταξύ των σηµείων Β και Ε. ίνεται ότι τη στιγµή αυτή τα σηµεία και Ε έχουν µηδενική ταχύτητα ταλάντωσης. Το σηµείο Ο στη θέση =0, θα φτάσει για πρώτη φορά σε αποµάκρυνση 0,5cm τη χρονική στιγ- µή t 1 =0,3s. i) Να σηµειώστε πάνω στο σχήµα τις ταχύτητες των σηµείων Β, Ο και Γ τη στιγµή που ε- λήφθη το παραπάνω στιγµιότυπο. ii) Να υπολογίσετε το πλάτος του κύµατος, το µήκος κύµατος και την ταχύτητα διάδοσης του κύµατος. iii) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σηµείου, για t=0. iv) Να εξετάσετε αν το κύµα αυτό µπορεί να περιγραφεί από µια εξίσωση της µορφής: v) Να σχεδιάστε ένα στιγµιότυπο του κύµατος αυτού, για την ίδια περιοχή, τη χρονική στιγµή t =0,1s. Απάντηση: i) Κάθε υλικό σηµείο του µέσου ταλαντώνεται, επειδή «εξαναγκάζεται» σε ταλάντωση εξαιτίας των υλικών σηµείων προς τα αριστερά του. Έτσι τείνει να κινηθεί προς την κατεύθυνση εκείνη που θα το φέρει κατακόρυφα σε µια θέση, όπου βρίσκονται τα σηµεία στα αριστερά του. Άρα οι ταχύτητες των σηµείων είναι όπως στο παρακάτω σχήµα ii) Με βάση το σχήµα το πλάτος του κύµατος είναι ίσο µε 0,5cm, ενώ η οριζόντια απόσταση των σηµείων Ο και Ε είναι ίση µε λ+λ/, άρα: 5λ/=5cm ή λ=cm.

11 Εξάλλου τη στιγµή t=0 το σηµείο Ο κινείται προς τα κάτω, συνεπώς θα χρειαστεί να περάσει χρονικό διάστηµα t= ¾ Τ για να φτάσει σε µέγιστη θετική αποµάκρυνση. Έ- τσι έχουµε: Τ= t1 0,s 3 = Συνεπώς η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος θα είναι: λ 10 m υ = = = 0,1m / s T 0,s iii) Για την επιτάχυνση του σηµείου έχουµε: όπου ω=π/τ= 5π rad/s και τότε: iv) Εξίσωση που δίνεται: α= - ω y α= - ω y = - 5 π (-0, ) m/s 1,5 m/s. y= A ηµ π ( t T ) λ περιγράφει ένα κύµα, αν το σηµείο που βρίσκεται στη θέση =0, για t=0 περνά από τη θέση ισορροπίας του κινούµενο προς την θετική κατεύθυνση, πράγµα που δεν συµβαίνει στην περίπτωσή µας, αφού το σηµείο Ο, έχει ταχύτητα προς τα κάτω. Η εξίσωση αυτή λοιπόν δεν περιγράφει το παραπάνω κύµα. v) Η χρονική στιγµή t αντιστοιχεί σε ¼ Τ, οπότε το αντίστοιχο στιγµιότυπο είναι αυτό στο παρακάτω σχήµα. dmargaris@sch.gr

12 Υλικό Φυσικής-Χηµείας Κύµατα Εξισώσεις κυµάτων και συµβολή τους. Κατά µήκος ενός γραµµικού ελαστικού µέσου και από αριστερά προς τα δεξιά (προς την θετική κατεύθυνση), διαδίδεται ένα εγκάρσιο αρµονικό κύµα, το οποίο φτάνει τη στιγµή t 0 =0, στο σηµείο Ο, στη θέση =0. Το σηµείο Ο αρχίζει την ταλάντωσή του από την θέση ισορροπίας του, κινούµενο προς την θετική κατεύθυνση και φτάνει στην ακραία θέση της ταλάντωσής του τη στιγµή t 1 =0,5s, ενώ στο µεταξύ το κύµα έχει διαδοθεί κατά 0,5m, δεξιότερα του Ο. Η απόσταση των δύο ακραίων θέσεων ταλάντωσης του Ο είναι 0,m. i) Να υπολογιστούν η περίοδος, το πλάτος και το µήκος του κύµατος. ii) Να βρεθεί η εξίσωση του κύµατος. iii) Να σχεδιάστε ένα στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή t =3s, για τα σηµεία του θετικού ηµιάξονα. Κατά µήκος του ίδιου ελαστικού µέσου, διαδίδεται ταυτόχρονα ένα δεύτερο κύµα, από δεξιά προς τα αριστερά, µε την ίδια συχνότητα και πλάτος, το οποίο τη στιγµή t 0 =0 φτάνει σε ένα σηµείο Κ, στη θέση Κ =3,5m, το οποίο επίσης αρχίζει να ταλαντώνεται προς την θετική κατεύθυνση. iv) Να βρεθεί η εξίσωση του κύµατος αυτού. v) Τα δύο κύµατα συµβάλλουν και έτσι προκύπτει ένα στάσιµο κύµα. Να βρείτε τις θέσεις των δεσµών στην περιοχή 0 3,5m vi) Να σχεδιάστε ένα στιγµιότυπο του στάσιµου κύµατος στην παραπάνω περιοχή τη χρονική στιγµή t 3 =9s. Απάντηση: i) Το σηµείο Ο ξεκινά από την θέση ισορροπίας και για να φτάσει στην ακραία θέση περνά χρόνος Τ/ συνεπώς Τ=s, στον ίδιο χρόνο το κύµα διαδίδεται κατά λ/=0,5m ή λ=1m, ενώ αφού οι δύο ακραίες θέσεις απέχουν 0,m, σηµαίνει ότι Α=0,m ή Α=0,m. ii) Το σηµείο στη θέση =0 ξεκινά την ταλάντωσή του από τη θέση ισορροπίας του κινούµενο προς την θετική κατεύθυνση συνεπώς ισχύει η εξίσωση y=aηµπ t T λ, άρα: t y1 = 0,ηµ π t 0 και ½ t µονάδες στο S.Ι. (1) 3 iii) Θέτοντας στην (1) t=3s παίρνουµε y1 = 0,ηµ π =0,ηµπ. Μέχρι ποιο σηµείο θα χαράξουµε την γραφική παράσταση; Το κύµα διαδίδεται µε ταχύτητα υ=λ f=λ/τ= 0,5m/s, συνεπώς σε χρονικό διάστηµα t 3 έχει διαδοθεί µέχρι τη θέση =υt=1,5m και το στιγµιότυπο έχει τη µορφή του παρακάτω σχήµατος. 1

13 Υλικό Φυσικής-Χηµείας Κύµατα iv) Το σηµείο Κ ταλαντώνεται σύµφωνα µε την εξίσωση y=αηµ π t =0,ηµπt. Ένα τυχαίο σηµείο Σ, στη θέση, θα καθυ- T d 3,5 στερήσει να ταλαντωθεί κατά χρονικό διάστηµα t = = s, οπότε η εξίσωση ταλάντωσής του υ 0, είναι: 3,5 t y =0,ηµπ(t-t ) = 0, ηµπ t 0, = 0,ηµ π + 3,5, t 0 και 7 t () v) Με βάση την αρχή της επαλληλίας, για τη συµβολή των δύο κυµάτων έχουµε: t y=y 1 +y = 0,ηµ π t + 0,ηµ π + 3,5 ή πt π πt π + 7π πt π + πt+ π 7π y= 0, συν ηµ =0,συν(π-3,5π) ηµ(πt-3,5π) Ή y= - 0, ηµπ συνπt (3) εσµοί είναι τα σηµεία όπου Α= 0, ηµπ =0 ή π=kπ ή = ½ k, ενώ και 3,5m. Έτσι οι θέσεις των δεσµών είναι: =0, 0,5m, 1m, 1,5m, m,,5m, 3m, 3,5m. vi) Το χρονικό διάστηµα για να φτάσει το πρώτο κύµα t 7 στο σηµείο Κ, στη θέση =3,5m είναι d = = = s, συνεπώς τη στιγµή t 3 =9s έχει σχηµατισθεί στάσιµο κύµα σε όλη την περιοχή: υ υ 0 3,5m Αντικαθιστώντας t=9s στην (3) παίρνουµε: y=-0, ηµπ συνπt= - 0, ηµπ συν9π= 0, ηµ0π, οπότε το ζητούµενο στιγµιότυπο, είναι αυτό του παρακάτω διαγράµµατος. dmargaris@sch.gr

14 Υλικό Φυσικής-Χηµείας Κύµατα Κάποια ερωτήµατα πάνω σε µια κυµατοµορφή. Ένα εγκάρσιο αρµονικό κύµα, πλάτους 0,m, διαδίδεται κατά µήκος ενός ελαστικού γραµµικού µέσου, από αριστερά προς τα δεξιά και σε µια στιγµή t 0, η µορφή µιας περιοχής του µέσου, είναι αυτή του σχήµατος. i) Να σηµειωθούν πάνω στο σχήµα οι ταχύτητες των σηµείων Α και Ε. ii) Αν το σηµείο Β έχει διπλάσια κατά µέτρο επιτάχυνση, από το σηµείο Α, να βρεθεί η αποµάκρυνση d. iii) Να βρεθεί ο λόγος υ A των ταχυτήτων ταλάντωσης των σηµείων Α και τη στιγµή t 0. υ iv) Να βρεθεί η διαφορά φάσης µεταξύ των σηµείων: α) και Ε β) Β και γ) Γ και. v) Αν κάποια στιγµή η φάση της αποµάκρυνσης του σηµείου Ε είναι των σηµείων και Γ; 13π ποια είναι η αντίστοιχες φάσεις vi) Να σχεδιάστε τη µορφή της ίδιας περιοχής του µέσου διάδοσης, τη χρονική στιγµή t 1 =t 0 +Τ/, όπου Τ η περίοδος του κύµατος. Απάντηση: i) Κάθε υλικό σηµείο του µέσου εξαναγκάζεται σε ταλάντωση από το υλικό σηµείο που βρίσκεται στα αριστερά του. Συνεπώς το σηµείο Α κινείται προς την ακραία θετική αποµάκρυνσή του (θεωρώντας τα θετικά προς τα πάνω), ενώ το σηµείο Ε προς τα κάτω, όπως στο παρακάτω σχήµα. Α d υa B Γ d t 0 E υe ii) Αφού έχουµε αρµονικό κύµα, κάθε σηµείο εκτελεί αρµονική ταλάντωση, για την οποία ισχύει: α=-ω y α Α =-ω d και α Β =-ω Α a a d a = d = A A a A A = 0, m A A = 1 iii) Το σηµείο έχει θετική ταχύτητα υ =υ ma =ω Α, ενώ και το σηµείο Α έχει θετική ταχύτητα µέτρου: * A 3 υ A = ω A y = ω A = ωa, οπότε: B 1

15 Υλικό Φυσικής-Χηµείας Κύµατα υ A υ 3 ωa = ωa = 3 iv) ύο σηµεία που απέχουν οριζόντια κατά ένα µήκος κύµατος εµφανίζουν διαφορά φάσης π, οπότε η διαφορά φάσης, αν η απόστασή του είναι είναι: ϕ = π (1) λ Συνεπώς λ ϕ Ε = π = π = π, λ λ 3λ 3π ϕ B = π = π = λ λ Για να βρούµε τη διαφορά φάσης µεταξύ των σηµείων Γ και, ας πάρουµε τα περιστρεφόµενα διανύσµατα για τα πλάτη ταλάντωσης των δύο σηµείων, ό- που τη στιγµή t 0 είναι όπως στο σχήµα. Για τη γωνία θ έχουµε d 1 π ηµϑ = = ϑ=, οπότε A 6 Γ ϕ = π ϑ = 5π 6 v) Για τις φάσεις των δύο σηµείων έχουµε: 13π 17π π ϕ = ϕ E + π = + π = = π + rad και 5π 17π 5π 61π π ϕ = ϕ + = + = = 5π + rad Γ vi) Προφανώς σε χρόνο Τ/ το σηµείο Β θα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του ενώ τα σηµεία και Ε σε θέσεις πλάτους µε αντίθετες αποµακρύνσεις, οπότε λαµβάνοντας υπόψη και τις φορές των ταχυτήτων του i) ερωτήµατος σχεδιάζουµε τη νέα µορφή όπως στο παρακάτω σχήµα. Σχόλια: * Η εξίσωση αυτή έχει αποδειχθεί κατά την µελέτη των ταλαντώσεων και εδώ χρησιµοποιήθηκε χωρίς α- πόδειξη. Προφανώς στις εξετάσεις δεν θεωρείται γνωστή.

16 Υλικό Φυσικής-Χηµείας Κύµατα Οι απαντήσεις σε όλα τα ερωτήµατα δόθηκαν χωρίς χρήση της εξίσωσης του κύµατος. Θα µπορούσε δηλαδή κάποιος να απαντήσει χωρίς να έχει διδαχτεί καν την εξίσωση του κύµατος. Με τη χρήση της εξίσωσης κάποιες απαντήσεις προφανώς θα ήταν ευκολότερες. 3

17 Μη σύγχρονες πηγές. Ο 1 r Σ r 1 ύο πηγές κυµάτων Ο 1 και Ο, µπορούν να ταλαντώνονται σε κατακόρυφη διεύθυνση µε συχνότητα 1Ηz και πλάτος 0,1m και να δηµιουργούν κύµατα στην επιφάνεια ενός υγρού, τα οποία διαδίδονται µε ταχύτητα m/s. Οι πηγές ξεκινούν την ταλάντωσή τους από τη θέση ισορροπίας κινούµενες προς τη θετική κατεύθυνση, η πρώτη για t 0 =0 και η δεύτερη τη χρονική στιγµή t 1 =0,75s. 1) Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυµάτων που δηµιουργούνται. ) Ένα σηµείο Σ απέχει αποστάσεις r 1 =m και r =,5m από τις δύο πηγές. Να βρεθεί η εξίσωση της αποµάκρυνσης του σηµείου Σ µετά από την συµβολή των δύο κυµάτων. 3) Πόση είναι η ενέργεια ταλάντωσης µιας στοιχειώδους µάζας m=1mg που βρίσκεται στο σηµείο Σ; Απάντηση: Ο 1) Από την θεµελειώδη εξίσωση της κυµατικής έχουµε: υ=λf λ= m. Η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής Ο 1 είναι: y 1 = 0,1 ηµπft = 0,1 ηµπt οπότε η εξίσωση του πρώτου κύµατος θα είναι: y 1 = 0,1 ηµπ(t- r 1 ) λ y 1 = 0,1 ηµπ(t- r 1 ) (1) Η δεύτερη πηγή ξεκινά επίσης από την θέση ισορροπίας κινούµενη προς τη θετική κατεύθυνση οπότε η εξίσωση ταλάντωσής της είναι: y = 0,1 ηµπft όπου t =t-t 1 y = 0,1 ηµπ(t-0,75) και η εξίσωση του δεύτερου κύµατος είναι: y = 0,1 ηµπ(t- r -0,75) λ

18 r 3 y = 0,1 ηµπ(t- ) () Από την αρχή της επαλληλίας για το σηµείο Σ παίρνουµε: r r 3 r1 r 3 t 1 t+ + t + t y=y 1 +y = 0,1 συνπ ηµ π ή r r1 3 r 3 y= 0, συνπ ( 1+ r + ) ηµ π(t- ) 8 8 και µε αντικατάσταση των r 1,r παίρνουµε: 0,5 3 8,5 3 y= 0, συνπ ( + ) ηµ π(t- ) ή y= 0, συνπ ηµπ(t- ) = 0, συνπ ηµ(πt-5π) ) Η ενέργεια ταλάντωσης της µάζας είναι: y= 0, ηµ(πt-5π+π) y= 0, ηµ(πt-π) Ε= ½ DΑ = ½ mω Α Ε= ½ 10-6 π 0, Jd J. dmargaris@sch.gr

19 Μια πηγή και δύο κύµατα. Στη θέση Ρ =6m ενός γραµµικού ελαστικού µέσου υπάρχει µια πηγή κύµατος Ρ, η οποία για t=0, αρχίζει να ταλαντώνεται σύµφωνα µε την εξίσωση y=1 ηµ(πt) (µονάδες στο S.Ι.). Η µορφή του µέσου µετά από λίγο, τη στιγµή t 1, είναι αυτή του παρακάτω σχήµατος. i) Πόσο είναι το πλάτος του κύµατος και πόσο το µήκος του κύµατος, µε βάση την παραπάνω εικόνα;; ii) Να βρεθεί η στιγµή t 1 στην οποία ελήφθη η παραπάνω εικόνα. iii) Να βρεθούν οι εξισώσεις των κυµάτων, y 1 =f(t,) και y =f(t,), για τα δύο κύµατα που κινούνται προς τα δεξιά και προς τ αριστερά αντίστοιχα. iv) Να σχεδιάστε τη µορφή του µέσου τη χρονική στιγµή t =1,5s. Απάντηση: i) Το πλάτος της ταλάντωσης της πηγής είναι 1m που αντιστοιχεί σε γραµµές στο σχήµα µας, ενώ το λ/ αντιστοιχεί σε 6 γραµµές. Άρα λ/=3m ή λ= 6m. Τη στιγµή που φαίνεται στο σχήµα δεξιά και αριστερά της πηγής, έχει διαδοθεί το κύµα σε απόσταση ίση µε µισό µήκος κύµατος, πράγµα που σηµαίνει ότι η πηγή έχει εκτελέσει µισή ταλάντωση. Αλλά από την εξίσωση y= ηµ(πt) έχουµε: ω=π Τ=1s Συνεπώς η εικόνα ελήφθη τη στιγµή t 1 =0,5s. ii) Το κύµα για να φτάσει σε ένα σηµείο Β δεξιά του Ε στη θέση, θα χρειαστεί χρονικό διάστηµα: όπου υ=λ/τ=6m/s. 6 t = υ Άρα η εξίσωση ταλάντωσής του θα είναι: 6 y=1 ηµ(π(t-t ) =1 ηµπ(t- ) 6 y 1 = 1 ηµπ(t- ) 6 +1 (S.Ι.) µε t 0 και 6m (1) ή

20 Η παραπάνω εξίσωση είναι η εξίσωση του κύµατος που διαδίδεται προς τα δεξιά. iii) Έστω τώρα ένα σηµείο Γ στη θέση, αριστερά του Ρ. Το κύµα για να φτάσει στο Γ, θα χρειαστεί χρονικό διάστηµα: t 3 = 6 υ Άρα η εξίσωση ταλάντωσής του θα είναι: 6 y =1 ηµ(π(t-t 3 ) =1 ηµπ(t- ) 6 y = 1 ηµπ(t+ ) 6 1 (S.Ι.) µε t 0 και 6m () Η εξίσωση () είναι η εξίσωση του κύµατος που διαδίδεται προς τα αριστερά. iv) Θέτοντας στην (1) t =1,5s παίρνουµε: y 1 = 1 ηµπ(1,5- ) 6 +1 = 1 ηµ(5π-π/3) =1 ηµ(π/3) Εξάλλου στο παραπάνω χρονικό διάστηµα το κύµα έχει διαδοθεί κατά =υ t =9m, φτάνοντας στη θέση =15m. Συνεπώς το πεδίο ορισµού της παραπάνω σχέσης είναι: 6m 15m Αντίστοιχα αντικαθιστώντας t =1,5s στην εξίσωση () θα πάρουµε: y = 1 ηµπ(t+ ) 6 1 = 1 ηµπ(1,5+ ) 6 1 =1 ηµ(π+π/3)= - 1 ηµ(π/3) Αλλά και αυτό το κύµα διαδόθηκε κατά 15m, οπότε το πεδίο ορισµού της παραπάνω σχέσης είναι: -3m 6m Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται η µορφή του µέσου, όπου µε κόκκινο είναι το µέρος που το κύµα διαδίδεται προς τα δεξιά και µε µπλε το κύµα προς τα αριστερά. ή Παρατηρείστε ότι η κατάσταση δεξιά και αριστερά της πηγής είναι απολύτως όµοια. dmargaris@sch.gr

21 y Ν ΠΕΡΙ ΤΗΣ ΙΑΦΟΡΑΣ ΦΑΣΗΣ ΣΤΟ ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ O X=0 Ν Μ1 Ν+κ Μ M1 1 M ΠΡΟΤΑΣΗ. Να αποδειχτεί ότι κατά τη δηµιουργία στασίµου κύµατος δύο οποιαδήποτε σηµεία του µέσου που ταλαντώνονται, έχουν διαφορά φάσης φ=0 ή φ=π rad. Έστω δύο τυχαία σηµεία Μ 1 και Μ µιας χορδής Ο στην οποία έχει σχηµατιστεί στάσιµο κύµα της µορφής y=ασυν π ηµ πt λ Τ. Εάν Ν είναι ένας τυχαίος δεσµός πάνω στη χορδή Ο και λ Ν =(Ν+1) (1) µε Ν=0,1, είναι η απόσταση του δεσµού Ν από τη θέση Ο(=0), 1 =η απόσταση του σηµείου Μ 1 από το δεσµό Ν, =η απόσταση του σηµείου Μ από το δεσµό Ν, τότε υποθέτοντας ότι µεταξύ των σηµείων Μ 1 και Μ παρεµβάλλονται κ δεσµοί (µε κ=0,1,,3 ) η απόσταση γράφεται =κ λ + () όπου = η απόσταση του Μ από το δεσµό Ν+κ (τελευταίο δεσµό) µεταξύ των Μ 1 και Μ. Εάν η απόσταση του σηµείου Μ 1 από τη θέση Ο(=0) είναι M1, η εξίσωση της Α.Α.Τ. του π Μ 1 σηµείου Μ 1 είναι: y 1 =A συν ηµ πt λ Τ y π( 1 1=A συν ) Ν + ηµ πt ( 1) λ Τ y 1 =A συν π λ 1 πt ( N+1 ) +π λ λ ηµ Τ y 1=A συν(νπ+ π +π 1 ) ηµ πt 1 λ Τ 1 y 1 =-A ηµ(νπ+π ) ηµ πt λ Τ y 1 1=A ηµ(νπ+π ) ηµ( πt + π) (3) λ Τ 1 µε π < π (διότι 1 < λ ) και Ν=0,1, λ Εάν η απόσταση του σηµείου Μ από τη θέση Ο(=0) είναι M, αντίστοιχα η εξίσωση της π Μ Α.Α.Τ. του σηµείου Μ είναι: y =A συν ηµ πt λ Τ y π( + ) Ν =A συν λ (1) π y = Ασυνπ ( N+1 ) λ +κ λ πt + () ηµ λ Τ y =A συν(νπ+ π +κπ +π ) ηµ πt λ Τ y =-A ηµ(νπ+κπ+π ) ηµ πt λ Τ y =A ηµ(νπ+κπ+π ) ηµ( πt +π) () λ Τ µε π < π (διότι < λ ) και Ν=0,1, λ ηµ πt Τ

22 Αν µεταξύ των σηµείων Μ 1 και Μ παρεµβάλλεται άρτιος αριθµός δεσµών κ=µ (µε µ=0,1, ) από την (): y =A ηµ(νπ+µπ+π ) ηµ( πt λ Τ +π) y =A ηµ(νπ+π ) ηµ( πt λ Τ +π) (α). Από (3) και (α) φ Μ1 Μ =0. Άρα δύο τυχαία σηµεία της χορδής που ταλαντώνονται και µεταξύ τους παρεµβάλλεται άρτιος αριθµός δεσµών (µ) ΠΑΝΤΑ ΕΧΟΥΝ ΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ φ=0. Αν µεταξύ των σηµείων Μ 1 και Μ παρεµβάλλεται περιττός αριθµός δεσµών κ=µ+1 (µε µ=0,1, ) από την (): y =A ηµ(νπ+µπ+π+π ) ηµ( πt λ Τ +π) y =A ηµ(νπ+π+π ) ηµ( πt λ Τ +π) y =-A ηµ(νπ+π ) ηµ( πt λ Τ +π) y =A ηµ(νπ+π ) ηµ( πt λ Τ +π) (β) Από (3) και (β) φ Μ1 Μ =π rad. Άρα δύο τυχαία σηµεία της χορδής που ταλαντώνονται και µεταξύ τους παρεµβάλλεται περιττός αριθµός δεσµών (µ+1) ΠΑΝΤΑ ΕΧΟΥΝ ΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ φ=π rad. ΠΟΡΙΣΜΑ Ως συνέπεια της παραπάνω γενίκευσης έχουµε ότι: Αν µεταξύ των Μ 1 και Μ δεν παρεµβάλλεται κανένας δεσµός (άρα βρίσκονται µεταξύ δύο διαδοχικών δεσµών) τότε κ=0 που ισχύει µόνον όταν κ=µ και µ=0, άρα θα έχουν διαφορά φάσης φ Μ1 Μ =0. Αν µεταξύ των Μ 1 και Μ παρεµβάλλεται ένας (1) δεσµός (άρα βρίσκονται εκατέρωθεν του ιδίου δεσµού και σε αποστάσεις µικρότερες από λ από αυτόν) τότε κ=1 που ισχύει µόνον όταν κ=µ+1 και µ=0, άρα θα έχουν διαφορά φάσης φ Μ1 Μ =π rad. ΣΧΟΛΙΟ Η παραπάνω απόδειξη στηρίζεται στη γεωµετρία του σχήµατος του προβλήµατος που διερευνούµε και στους διαδοχικούς τριγωνοµετρικούς µετασχηµατισµούς της εξίσωσης του στασίµου κύµατος. Αφιερώνεται δε στη µνήµη του αειµνήστου δασκάλου µου Β.Κάρκαλου. Ath fron

23 Υλικό Φυσικής-Χηµείας Κύµατα Πληροφορίες από την ταλάντωση ενός σηµείου. Ο y Σ (m) 0, 0,0 Σ Σ 6 t(s) Στο άκρο Ο ενός γραµµικού ελαστικού µέσου όπου παίρνουµε =0, υπάρχει µια πηγή εγκάρσιου αρµονικού κύµατος, η οποία αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγµή t 0 =0. Το κύµα διαδίδεται προς τα δεξιά και το γράφηµα της αποµάκρυνσης ενός σηµείου Σ, το οποίο απέχει κατά m από την πηγή, είναι αυτό του παραπάνω σχή- µατος. Αντλώντας πληροφορίες από το διάγραµµα αυτό, να απαντήσετε στις ακόλουθες ερωτήσεις: i) Να βρεθούν η περίοδος, το πλάτος και το µήκος του κύµατος. ii) Πόσες συνολικά ταλαντώσεις εκτέλεσε η πηγή του κύµατος; iii) Να γράψετε την εξίσωση του κύµατος. iv) Να σχεδιάστε στιγµιότυπα του κύµατος τις χρονικές στιγµές: α) t 1 =1,5s, β) t =3s και γ) t 3 =7,5s. Πάνω στα στιγµιότυπα αυτά να σηµειωθεί η θέση του σηµείου Σ. Απάντηση: i) Από το σχήµα βλέπουµε ότι η περίοδος της ταλάντωσης του σηµείου Σ είναι s, ενώ το πλάτος του είναι 0,m, οπότε και για το κύµα Τ=s και Α=0,m. Εξάλλου το κύµα χρειάστηκε χρονικό διάστηµα s για να διαδοθεί από το Ο στο Σ, οπότε: 0 m υ = Σ = = 1m / s λ =υ T = 1 m= m t s ii) Στο γράφηµα που µας δίνεται, βλέπουµε ότι το σηµείο Σ εκτελεί συνολικά δύο ταλαντώσεις, συνεπώς και η πηγή εκτέλεσε και αυτή µόνο δύο ταλαντώσεις. iii) Το σηµείο Σ ξεκίνησε την ταλάντωσή του κινούµενο προς την αρνητική κατεύθυνση, συνεπώς το ίδιο είχε κάνει και η πηγή του κύµατος, όταν ξεκινούσε την ταλάντωσή της. Έτσι η εξίσωση της αποµάκρυνσης της πηγής ήταν y=α ηµ(ωt+π), οπότε η εξίσωση του κύµατος είναι της µορφής: π t 1 y = A ηµ t + π = 0, ηµ π + (S.I.) T υ iv) α) Αντικαθιστώντας στην εξίσωση του κύµατος t 1 =1,5s παίρνουµε: t 1 1,5 1 y= 0, ηµ π + = 0, ηµ π + = 0, ηµ (, 5π π) ( ) y= 0, συν π µε υ t 1 ή 1,5m 1

24 Υλικό Φυσικής-Χηµείας Κύµατα Με βάση αυτά το στιγµιότυπο είναι όπως στο παρακάτω σχήµα. β) Αντικαθιστώντας στην εξίσωση του κύµατος t =3s παίρνουµε: t y= 0, ηµ π + = 0, ηµ π + = 0, ηµ ( π π ) Οπότε παίρνουµε την εικόνα: ( ) y= 0, ηµ π µε υ t ή 3m γ) Αντικαθιστώντας στην εξίσωση του κύµατος t 3 =7,5s παίρνουµε: t 1 7,5 1 y= 0, ηµ π + = 0, ηµ π + = 0, ηµ ( 8, 5 π π) ( ) y= 0, συν π µε υ t -m υ t ή 3,5m 7,5m Αφού η πηγή έχει σταµατήσει, κύµα θα υπάρχει σε µια περιοχή ίση µε δυο µήκη κύµατος, συνεπώς αφού το κύµα έχει φτάσει στη θέση =7,5m, σε ταλάντωση θα βρίσκονται αυτή τη στιγµή, τα ση- µεία µε 3,5m 7,5m. Οπότε παίρνουµε την εικόνα: dmargaris@sch.gr

25

26

27

28

29

30

31 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ, ΘΕΜΑ 1 ο i) Eρωτήσεις πολλαπλής επιλογής. (Κσκλώστε πάνω στην κόλλα σας το γράμμα της υράσης ποσ σσμπληρώνει σωστά καθεμιά από τις παρακάτω ημιτελείς προτάσεις 1 ) 1. Σε κηα ρνξδή, πνπ νη ζέζεηο ηζνξξνπίαο ησλ κνξίσλ ηεο βξίζθνληαη πάλσ ζηνλ άμνλα, έρεη ζρεκαηηζηεί ζηάζηκν θύκα. Τν πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο ελόο ζεκείνπ ηεο ρνξδήο: α) είλαη ζπλάξηεζε ηεο ζέζεο, β) είλαη ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ t, γ) είλαη ζπλάξηεζε θαη ηεο ζέζεο θαη ηνπ ρξόλνπ t, δ) δελ εμαξηάηαη από ηε ζέζε, νύηε θη από ην ρξόλν t.. Σε έλα ερεηηθό ζηάζηκν θύκα ε απόζηαζε κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ κεδεληζκώλ ηεο έληαζεο ηνπ ήρνπ είλαη 17 m. Aλ ε ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ ήρνπ είλαη 30 m/sec, ηόηε ε ζπρλόηεηα ηαιάλησζεο ησλ κνξίσλ ηνπ αέξα είλαη: α) 10 Ηz, β) 5 Hz, γ) 50 Hz, δ) 100 Hz 3. Σε έλα ζηάζηκν θύκα, ηα ζεκεία πνπ βξίζθνληαη κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ δεζκώλ: α) παξνπζηάδνπλ δηαθνξά θάζεο π, β) έρνπλ ίδην πιάηνο ηαιάλησζεο, γ) έρνπλ ίδηα κέγηζηε ηαρύηεηα, δ) εθηεινύλ απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε ίδηα ζπρλόηεηα θαη ίδηα θάζε.. Σε γξακκηθό νκνγελέο ειαζηηθό κέζν δεκηνπξγείηαη έλα ζηάζηκν εγθάξζην t θύκα, πνπ πεξηγξάθεηαη από ηελ εμίζσζε: ψ Ασυνπ ημπ λ T T Σην ζρήκα δίλνληαη δύν t 1 + ζηηγκηόηππα (1) θαη () ηνπ 1 θύκαηνο ηηο ρξνληθέο Α Γ t 1 ζηηγκέο t 1 θαη t 1 + Τ/. Γ α) Σην ζηηγκηόηππν (1) ε Β δπλακηθή ελέξγεηα όισλ ησλ κνξίσλ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ είλαη κέγηζηε. β) ζην ζηηγκηόηππν () ε θηλεηηθή ελέξγεηα όισλ ησλ κνξίσλ είλαη κέγηζηε, γ) ηα πιηθά ζεκεία Α θαη Β έρνπλ ηελ ίδηα θάζε ηαιάλησζεο, δ) ηα πιηθά ζεκεία Γ θαη Γ ηε ρξνληθή ζηηγκή t 1 έρνπλ ηαρύηεηεο θαη υ Δ π Α Τ, αληίζηνηρα. υ Γ π Α Τ

32 ii) Eρωτήσεις τοσ τύποσ: Σωστό Λάθος 5. Καηά κήθνο κηαο ρνξδήο έρεη δεκηνπξγεζεί έλα ζηάζηκν θύκα. Η εμίζσζε ηαιάλησζεο ελόο ζεκείνπ Μ ηεο ρνξδήο γηα ην νπνίν είλαη Μ = 0,3 m είλαη: M ψ 0,0συνπ ημπt (S.I) 0,6 Να ραξαθηεξίζεηε ηηο επόκελεο πξνηάζεηο κε Σ (Σσζηό) ή Λ (Λάζνο): α) Τν πιάηνο ηαιάλησζεο ησλ θπκάησλ πνπ ζπκβάιινπλ είλαη 0,0 m. β) Τν κήθνο θύκαηνο ησλ θπκάησλ πνπ ζπκβάιινπλ είλαη 0,3 m. γ) Η θπθιηθή ζπρλόηεηα ησλ θπκάησλ πνπ ζπκβάιινπλ είλαη π rad/sec. δ) Τν πιάηνο ηαιάλησζεο ηνπ ζεκείνπ Μ είλαη 0,0 m. ε) Τν ζεκείν Μ απνηειεί ηελ πξώηε κεηά ηελ αξρή αμόλσλ θνηιία ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. 6. Σην δηπιαλό ζρήκα απεηθνλίδνληαη δύν ς ζηηγκηόηππα ελόο ηκήκαηνο κηαο ρνξδήο ζηελ A νπνία έρεη δεκηνπξγεζεί ζηάζηκν θύκα, πνπ A B πξνήιζε από ηε ζπκβνιή δύν αληίζεηα 0 θηλνπκέλσλ αξκνληθώλ θπκάησλ πιάηνπο Α A θαη πεξηόδνπ Τ. Να ζεκεηώζεηε (Σ) ζηηο ζσζηέο θαη (Λ) ζηηο ιαλζαζκέλεο πξνηάζεηο: α) Τα ζεκεία Α θαη Β ηαιαληώλνληαη κε δηαθνξά θάζεο κεδέλ. β) Όια ηα ζεκεία ηεο ρνξδήο, εθηόο ησλ δεζκώλ, εθηεινύλ α.α.η κε ηελ ίδηα ζπρλόηεηα. γ) Τα ζεκεία Α θαη Β απνθηνύλ ηαπηόρξνλα ηε κέγηζηε επηηάρπλζε ηαιάλησζήο ηνπο. δ) Τν ζεκείν Α έρεη κεγαιύηεξε κέγηζηε ηαρύηεηα ηαιάλησζεο από όηη ην ζεκείν Β. ε) Από ην ζεκείν Α κεηαθέξεηαη ελέξγεηα ζην ζεκείν Β. to: Τάσος Τζανόπουλος Οι απαντήσεις:

33 Οι απαντήσεις: 1.α,.α, 3.δ,.δ, 5. Σ, Λ, Σ, Σ, Σ, 6. Σ, Σ, Σ, Σ, Λ

34

35

36 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΑΠΟ ΑΝΑΚΛΑΣΗ Ένα στάσιµο κύµα µπορεί να δηµιουργηθεί από τη συµβολή ενός κύµατος (προσπίπτον) και του κύµατος που προκύπτει από την ανάκλαση (ανακλώµενο) του αρχικού κύµατος πάνω σε ακλόνητο σηµείο. Έστω αρµονικό κύµα το οποίο διαδίδεται κατά µήκος ενός σχοινιού, που έχει το ένα του άκρο ακλόνητο και το άλλο ελεύθερο. Όταν η διαταραχή φθάνει στο ακλόνητο άκρο, το σχοινί ασκεί στο ακλόνητο σηµείο δύναµη µε φορά προς τα πάνω. Σύµφωνα όµως µε τον 3ο Νόµο του Newton το ακλόνητο σηµείο ασκεί στο σχοινί αντίθετη δύναµη, δηλαδή κατακόρυφη µε φορά προς τα κάτω, υπό την επίδραση της οποίας δηµιουργείται διαταραχή αντίθετη της αρχικής, η οποία διαδίδεται από το ακλόνητο άκρο προς το ελεύθερο. Αυτό σηµαίνει ότι η ανάκλαση του κύµατος σε ακλόνητο σηµείο, προκαλεί µεταβολή της φάσης του κύµατος κατά π rad. Το αποτέλεσµα της συµβολής του προσπίπτοντος και του ανακλώµενου κύµατος δεν είναι πάντοτε η δηµιουργία στάσιµου κύµατος. Για να δηµιουργηθεί στάσιµο, πρέπει η συχνότητα ταλάντωσης του ελεύθερου άκρου να είναι ίση µε µία από τις φυσικές ιδιοσυχνότητες ταλάντωσης του σχοινιού. Τότε το σχοινί βρίσκεται σε συντονισµό µε το διεγέρτη και το πλάτος ταλάντωσης στις κοιλίες είναι πολύ µεγαλύτερο από το πλάτος στο ελεύθερο άκρο, του οποίου η συµπεριφορά πλησιάζει πολύ περισσότερο σε δεσµό παρά σε κοιλία. Οι φυσικές ιδιοσυχνότητες του σχοινιού υπολογίζονται ως εξής: Θεωρούµε χορδή µήκους l στερεωµένη στα δύο της άκρα. Για να σχηµατισθεί στάσιµο λ στη χορδή πρέπει: l= κ, κ = 1,,3,... Τότε όµως: λ= l υ = l f = κ υ f = κ F κ f κ l l µ όπου F η τάση της χορδής και µ η µάζα ανά µονάδα µήκους. «Οι θέσεις των δεσµών ως προς το άκρο του σχοινιού (χ=0) που είναι συζευγµένο µε τον ενεργειακό ποµπό, διαφοροποιούνται καθώς η συχνότητα µεταβάλλεται. Εάν l= k λ, k = 1,,3,... όπου l το µήκος του σχοινιού και λ το µήκος κύµατος των κυµάτων που συµβάλλουν, τότε θα σχηµατίζεται δεσµός στο θέση χ=0. Καθώς η συχνότητα αυξάνεται, το µήκος κύµατος µειώνεται, προκαλώντας τη µετατόπιση του λ δεσµού µακριά από τη θέση χ=0. Για συχνότητα τέτοια ώστε l= (k+ 1), k = 1,,3,... στη θέση χ=0 σχηµατίζεται κοιλία.» ( Απόσπασµα από τον οδηγό µελέτης για την Κυµατική, των Κ. Ευταξία, Π. Σκούντζου, Πανεπιστήµιο Αθήνας 1985 ) Εφαρµογή Το ένα άκρο Η οµογενούς χορδής µήκους l συνδέεται µε διεγέρτη, ο οποίος εκτελεί αρµονική ταλάντωση πλάτους A και συχνότητας f. Το άλλο άκρο Β είναι ακλόνητα στερεωµένο. Ο διεγέρτης προκαλεί εγκάρσιες ταλαντώσεις µε αποτέλεσµα να διαδίδεται πάνω στη χορδή αρµονικό κύµα προς τα δεξιά, το οποίο ανακλάται στο άκρο Β. Πάνω στη χορδή σχηµατίζεται σταθερό σύστηµα στάσιµων κυµάτων. Αν το µήκος κύµατος

37 του προσπίπτοντος και του ανακλώµενου κύµατος είναι λ, να βρεθεί η εξίσωση του στάσιµου και να καθοριστούν οι θέσεις των δεσµών και των κοιλιών πάνω στη χορδή. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Θεωρούµε ως αρχή µέτρησης των αποστάσεων ( = 0) το άκρο Η, θετική φορά προς τα δεξιά και ως αρχή µέτρησης του χρόνου ( t= 0) τη στιγµή που αρχίζει να ταλαντώνεται εγκάρσια ο διεγέρτης. Η πηγή του προσπίπτοντος κύµατος εκτελεί ΑΑΤ της µορφής: y= Aηµω t. Θεωρούµε τυχαίο σηµείο Μ σε απόσταση από το άκρο Η της χορδής. Εξαιτίας του προσπίπτοντος κύµατος το σηµείο Μ εκτελεί ταλάντωση της µορφής: t y = 1 Aηµω ( t ) Aηµ π ( ) υ = T λ. Όταν το κύµα φθάνει στο άκρο Β της χορδής ανακλάται και παρουσιάζει µεταβολή της φάσης του κατά π. Συγκεκριµένα η εξίσωση ταλάντωσης του Β εξαιτίας του l προσπίπτοντος κύµατος είναι: y1( B) = Aηµω ( t ). Επειδή το Β είναι ακλόνητο, πρέπει η υ συνολική αποµάκρυνση εξαιτίας προσπίπτοντος και ανακλώµενου κύµατος να είναι συνεχώς µηδέν. Άρα: l y( B) = y1( B) + y( B) = 0 y( B) = y1( B) = Aηµω ( t ) υ Το σηµείο Μ εξαιτίας του ανακλώµενου κύµατος αρχίζει να ταλαντώνεται µετά από l χρόνο t= από τη στιγµή που το προσπίπτον κύµα έφθασε στο Β. Η εξίσωση υ ταλάντωσης του Μ εξαιτίας του ανακλώµενου κύµατος είναι: l l l t l y = Aηµω ( t ) = Aηµω ( t + ) y = Aηµ π ( + ) υ υ υ υ T λ λ Η εξίσωση της συνισταµένης κίνησης του Μ υπολογίζεται από τη σχέση: t t l y= y1+ y = A ηµ π ( ) ηµ π ( + T λ T λ λ Με βάση την τριγωνοµετρική ταυτότητα: α β α+ β ηµα ηµβ = ηµ συν η πιο πάνω σχέση µετασχηµατίζεται στη µορφή: l t l y= Aηµ π ( ) συν π ( ) λ T λ Η σχέση αυτή για ορισµένο, περιγράφει µια ΑΑΤ µε περίοδο ίδια µε την περίοδο των κυµάτων που συµβάλλουν και πλάτος: l A' = Aηµ π ( ) όπου: 0 A' A λ Η ταλάντωση των σηµείων της χορδής µε πλάτος που εξαρτάται από τη θέση του σηµείου πάνω στη χορδή, αντιστοιχεί σε στάσιµο κύµα.

38 Οι θέσεις των σηµείων της χορδής τα οποία παραµένουν ακίνητα, δεσµοί του στάσιµου, υπολογίζονται ως εξής: l δ l δ A' = 0 ηµ π ( ) = 0= ηµκπ π ( ) = κπ λ λ l δ λ λ π ( ) = κπ l δ = κ δ = l κ, κ = 0,1,,... λ Ο πρώτος δεσµός σχηµατίζεται στη θέση: κ = 0 δ (1) = l, δηλαδή ο πρώτος δεσµός σχηµατίζεται στο ακλόνητο σηµείο Β. Οι θέσεις των σηµείων της χορδής τα οποία ταλαντώνονται µε µέγιστο πλάτος, κοιλίες του στάσιµου, υπολογίζονται ως εξής: ( l K ) π ( l K ) π A' = A ηµ π =± 1 = ηµ (κ + 1) π = (κ + 1) λ λ λ λ l K = (κ + 1) K = l (κ + 1), κ = 0,1,,... Η πρώτη κοιλία σχηµατίζεται στη θέση: κ = 0 K (1) λ από το ακλόνητο άκρο Β. λ = l, δηλαδή απέχει απόσταση Σχόλιο Το ακλόνητο άκρο Β είναι δεσµός, ενώ το ελεύθερο άκρο Η είναι σχεδόν δεσµός. Ανάµεσα στα Η, Β υπάρχουν σηµεία που είναι σχεδόν δεσµοί αφού το πλάτος ταλάντωσης είναι πολύ µικρό. Τα σηµεία αυτά δεν είναι δυνατό να είναι πραγµατικοί δεσµοί, γιατί κατά µήκος της χορδής πρέπει να µεταφέρεται ενέργεια από την πηγή παραγωγής των κυµάτων. Παραθέτω το παρακάτω απόσπασµα από τους Halliday-Resnick, σελίδα 90 Φυσική Μέρος Α: «Όταν υπάρχει απόσβεση η συχνότητα συντονισµού είναι σχεδόν, αλλά όχι απόλυτα ίση µε µια φυσική συχνότητα του σχοινιού. Το ένα άκρο είναι δεσµός, το άλλο σχεδόν δεσµός. Ανάµεσα σ αυτά υπάρχουν σηµεία που είναι σχεδόν δεσµοί, σηµεία στα οποία το πλάτος είναι πολύ µικρό. Τα σηµεία αυτά δεν µπορούν να είναι πραγµατικοί δεσµοί, γιατί κατά µήκος του σχοινιού και ανάµεσά τους πρέπει να ρέει ενέργεια από το διεγέρτη. Η κατάσταση είναι ανάλογη µε τη συνθήκη συντονισµού ενός αρµονικού ταλαντωτή µε αποσβέσεις. Και εκεί, η συχνότητα συντονισµού είναι σχεδόν η ίδια µε τη φυσική συχνότητα του συστήµατος και το πλάτος µεγάλο όχι όµως άπειρο. Αν δεν υπήρχαν απώλειες, η συχνότητα συντονισµού θα ήταν ακριβώς ίση µε τη φυσική συχνότητα. Τότε το πλάτος θα αυξανόταν µέχρι το άπειρο καθώς η ενέργεια προσφέρεται περιοδικά σ αυτό.» Θοδωρής Παπασγουρίδης.

39 Υλικό Φυσικής-Χηµείας Κύµατα Στάσιµα κύµατα και ταχύτητες σηµείων. Κατά µήκος δυο γραµµικών ελαστικών µέσων διαδίδονται αντίθετα δύο όµοια κύµατα, τα οποία συµβάλουν δηµιουργώντας στάσιµα κύµατα. Στα σχήµατα αριστερά δίνονται οι µορφές των µέσων µια στιγµή που θεωρούµε t=0. i) Στο (α) ελαστικό µέσον θα δηµιουργηθεί στάσιµο κύµα και στις θέσεις 0,5m, 1,5m,,5m, θα δηµιουργηθούν δεσµοί. ii) Στο (β) ελαστικό µέσον στα σηµεία χ=0, 1m, m θα δηµιουργηθούν δεσµοί. iii) Στα δεξιά σχήµατα έχουµε σχεδιάσει την ταχύτητα ταλάντωσης δύο σηµείων Μ και Ν των δύο ελαστικών µέσων τα οποία βρίσκονται στις θέσεις =1m. Ποια καµπύλη αντιστοιχεί σε κάθε σηµείο; Να χαρακτηρίστε ως σωστές ή λανθασµένες τις δύο πρώτες προτάσεις και να κάνετε την αντιστοίχιση για την iii) δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. Απάντηση: i) Στο ελαστικό µέσο (α), τα δύο κύµατα συµβάλουν στη θέση =0, σε φάση. Το σηµείο O εξαιτίας και των δύο κυµάτων, θα ξεκινήσει την ταλάντωσή του από τη θέση ισορροπίας, κινούµενο προς τα πάνω (θετική κατεύθυνση). Συνεπώς στο σηµείο αυτό θα έχουµε ενίσχυση και το πλάτος ταλάντωσης θα είναι A, ή µε άλλα λόγια στο σηµείο αυτό θα δηµιουργηθεί κοιλία. Αλλά τότε ο πρώτος δεσµός, προς τα δεξιά, θα δηµιουργηθεί σε απόσταση λ/=0,5m, όπου λ=m το µήκος των δύο τρεχόντων κυµάτων, τα οποία συµβάλουν. Ο επόµενος δεσµός θα απέχει κατά λ/=1m από τον προηγούµενο, συνεπώς δεσµούς θα έχουµε στις θέσεις 0,5m, 1,5m,,5m. (προφανώς θα δηµιουργηθούν και άλλοι δεσµοί και στα αριστερά του Ο). Η πρόταση λοιπόν είναι σωστή. ii) Στο ελαστικό µέσον (β) τα δύο κύµατα συµβάλουν σε αντίθεση φάσης. Εξαιτίας του κύµατος προς τα δεξιά το σηµείο Ο, τείνει να κινηθεί προς τα πάνω, αλλά εξαιτίας του (β) προς τα κάτω. Συνεπώς το 1

40 Υλικό Φυσικής-Χηµείας Κύµατα σηµείο Ο θα παραµείνει ακίνητο, µε αποτέλεσµα στο σηµείο αυτό να δηµιουργηθεί δεσµός. Αλλά α- φού η απόσταση µεταξύ δύο δεσµών είναι ίση µε λ/=1m, προφανώς θα σχηµατισθούν δεσµοί στις θέσεις =0, 1m, m, Και αυτή η πρόταση είναι σωστή. iii) Στα σηµεία Μ και Ν το κύµα προς τα αριστερά, φτάνει κάποια στιγµή, πριν φτάσει στο Ο, οπότε τα σηµεία αυτά αρχίζουν την ταλάντωσή τους, κάποια στιγµή πριν τη στιγµή t=0. Εξάλλου το σηµείο Μ θα ξεκινήσει την ταλάντωσή του κινούµενο µε µέγιστη ταχύτητα µε κατεύθυνση προς τα πάνω, ενώ το Ν προς τα κάτω (αρνητική κατεύθυνση). Εξάλλου µετά τη συµβολή στο σηµείο Μ θα δηµιουργηθεί κοιλία, ενώ στο Ν δεσµός. Με βάση αυτά οι αντιστοιχίες είναι: (α) (3) και (β) (1).

41 Στάσιµο κύµα από ανάκλαση. Στιγµιότυπο. Μια οριζόντια τεντωµένη χορδή ΟΚ µήκους L=6m έχει σταθερό το άκρος της Κ. Το άκρο Ο τίθεται σε κατακόρυφη ταλάντωση της µορφής y=0,1 ηµπt (S.Ι.), οπότε δη- µιουργείται ένα κύµα κατά µήκος της χορδής, το οποίο χρειάζεται χρόνο 3s για να φτάσει και να ανακλασθεί στο άκρο Κ. Η διάδοση του κύµατος πραγµατοποιείται χωρίς αποσβέσεις. Ένα σηµείο Μ απέχει =,5m από το άκρο Ο. i) Να βρεθεί η ταχύτητα ταλάντωσης του σηµείου Μ τις χρονικές στιγµές: α) t 1 = s, β) t =,75s και γ) t 3 =,75 s. ii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της αποµάκρυνσης των διαφόρων σηµείων της χορδής σε συνάρτηση µε την απόσταση από το άκρο Ο, τη χρονική στιγµή t 3 = 5s. Απάντηση: L 6m i) Η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος είναι υ= = = m/ s ενώ η περίοδος τα- t 3s λάντωσης της πηγής είναι Τ=π/ω=1s. Αλλά υ=λ/τ λ=υ/τ=m. Έτσι η εξίσωση του κύµατος που διαδίδεται προς τα δεξιά είναι: Ενώ το κύµα προς τα αριστερά έχει εξίσωση y 1 = 0,1 ηµπ( t ) (µονάδες στο S.Ι.) (1) L y = 0,1 ηµπ( t + λ ες της προηγούµενη ανάρτηση: ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΑΠΟ ΑΝΑΚΛΑΣΗ. Και η εξίσωση του στάσιµου κύµατος είναι: λ y= 0, ηµ(6π-π) συν(πt 6π) () ) Έτσι για το σηµείο Μ: y= 0, ηµ(6π-,5π) συν(πt 6π) y=-0, συν(πt-6π) = -0,ηµ(πt-6π+π/) ή y= 0,ηµ(πt-5,5π) (3) Το κύµα προς τα δεξιά για να φτάσει στο σηµείο Μ απαιτείται χρόνος t = υ =,5 s=,5s Ενώ το κύµα προς τα αριστερά θα φτάσει την χρονική στιγµή t = d L = υ υ = 3, 75s

42 Έτσι για t 1 =s δεν έχει φτάσει ακόµη το κύµα στο Μ το οποίο δεν έχει αρχίσει την ταλάντωσή του και υ=0. Τη χρονική στιγµή t =,75s έχει φτάσει το κύµα που διαδίδεται προς τα δεξιά ενώ η αποµάκρυνση της ταλάντωσης θα υπακούει στην εξίσωση (1): y 1 = 0,1 ηµπ( t ) =0,1 ηµ(πt-π) = 0,1 ηµ(πt-,5π) Οπότε η ταχύτητα ταλάντωσης θα είναι: υ 1 =Αω συν(πt-,5π) = 0,1 πσυν(5,5π-,5π)= -0, π m/s. Τη στιγµή t =,75s µε ισχύει η εξίσωση (3) και για την ταχύτητα ταλάντωσης έχουµε: υ =Α ω συν(πt-5,5) = 0, π συν(9,5π-5,5π) = 0, π m/s. ii) Για t =5s το κύµα από ανάκλαση δεν έχει φτάσει ακόµη στο άκρο Ο, αφού για να φτάσει το κύµα στο άκρο Κ πέρασε χρόνος t =L/υ=3s και στα επόεµενα s διένυσε προς τα αριστερά απόσταση d=υ t=m φτάνοντας στη θέση =m. Με άλλα λόγια τη στιγµή t=5s στην περιοχή από 0-m υπάρχει µόνο το κύµα που διαδίδεται προς τα δεξιά και η συνάρτηση που περιγράφει το στιγµιότυπο προκύπτει από την σχέση (1): y 1 = 0,1 ηµπ( t ) =0,1 ηµ(10π-π) = -0,1 ηµπ Ενώ από m-6m έχει δηµιουργηθεί στάσιµο και η αντίστοιχη συνάρτηση είναι: y= 0, ηµ(6π-π) συν(πt 6π) y= 0, ηµ(-π) συν(10π 6π) = 0,ηµπ Οπότε το διάγραµµα φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. dmargaris@sch.gr

43 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΑΠΟ ΑΝΑΚΛΑΣΗ Ένα στάσιµο κύµα µπορεί να δηµιουργηθεί από τη συµβολή ενός κύµατος (προσπίπτον) και του κύµατος που προκύπτει από την ανάκλαση (ανακλώµενο) του αρχικού κύµατος πάνω σε ακλόνητο σηµείο. Έστω αρµονικό κύµα το οποίο διαδίδεται κατά µήκος ενός σχοινιού, που έχει το ένα του άκρο ακλόνητο και το άλλο ελεύθερο. Όταν η διαταραχή φθάνει στο ακλόνητο άκρο, το σχοινί ασκεί στο ακλόνητο σηµείο δύναµη µε φορά προς τα πάνω. Σύµφωνα όµως µε τον 3ο Νόµο του Newton το ακλόνητο σηµείο ασκεί στο σχοινί αντίθετη δύναµη, δηλαδή κατακόρυφη µε φορά προς τα κάτω, υπό την επίδραση της οποίας δηµιουργείται διαταραχή αντίθετη της αρχικής, η οποία διαδίδεται από το ακλόνητο άκρο προς το ελεύθερο. Αυτό σηµαίνει ότι η ανάκλαση του κύµατος σε ακλόνητο σηµείο, προκαλεί µεταβολή της φάσης του κύµατος κατά π rad. Το αποτέλεσµα της συµβολής του προσπίπτοντος και του ανακλώµενου κύµατος δεν είναι πάντοτε η δηµιουργία στάσιµου κύµατος. Για να δηµιουργηθεί στάσιµο, πρέπει η συχνότητα ταλάντωσης του ελεύθερου άκρου να είναι ίση µε µία από τις φυσικές ιδιοσυχνότητες ταλάντωσης του σχοινιού. Τότε το σχοινί βρίσκεται σε συντονισµό µε το διεγέρτη και το πλάτος ταλάντωσης στις κοιλίες είναι πολύ µεγαλύτερο από το πλάτος στο ελεύθερο άκρο, του οποίου η συµπεριφορά πλησιάζει πολύ περισσότερο σε δεσµό παρά σε κοιλία. Οι φυσικές ιδιοσυχνότητες του σχοινιού υπολογίζονται ως εξής: Θεωρούµε χορδή µήκους l στερεωµένη στα δύο της άκρα. Για να σχηµατισθεί στάσιµο λ στη χορδή πρέπει: l= κ, κ = 1,,3,... Τότε όµως: λ= l υ = l f = κ υ f = κ F κ f κ l l µ όπου F η τάση της χορδής και µ η µάζα ανά µονάδα µήκους. «Οι θέσεις των δεσµών ως προς το άκρο του σχοινιού (χ=0) που είναι συζευγµένο µε τον ενεργειακό ποµπό, διαφοροποιούνται καθώς η συχνότητα µεταβάλλεται. Εάν l= k λ, k = 1,,3,... όπου l το µήκος του σχοινιού και λ το µήκος κύµατος των κυµάτων που συµβάλλουν, τότε θα σχηµατίζεται δεσµός στο θέση χ=0. Καθώς η συχνότητα αυξάνεται, το µήκος κύµατος µειώνεται, προκαλώντας τη µετατόπιση του λ δεσµού µακριά από τη θέση χ=0. Για συχνότητα τέτοια ώστε l= (k+ 1), k = 1,,3,... στη θέση χ=0 σχηµατίζεται κοιλία.» ( Απόσπασµα από τον οδηγό µελέτης για την Κυµατική, των Κ. Ευταξία, Π. Σκούντζου, Πανεπιστήµιο Αθήνας 1985 ) Εφαρµογή Το ένα άκρο Η οµογενούς χορδής µήκους l συνδέεται µε διεγέρτη, ο οποίος εκτελεί αρµονική ταλάντωση πλάτους A και συχνότητας f. Το άλλο άκρο Β είναι ακλόνητα στερεωµένο. Ο διεγέρτης προκαλεί εγκάρσιες ταλαντώσεις µε αποτέλεσµα να διαδίδεται πάνω στη χορδή αρµονικό κύµα προς τα δεξιά, το οποίο ανακλάται στο άκρο Β. Πάνω στη χορδή σχηµατίζεται σταθερό σύστηµα στάσιµων κυµάτων. Αν το µήκος κύµατος

44 του προσπίπτοντος και του ανακλώµενου κύµατος είναι λ, να βρεθεί η εξίσωση του στάσιµου και να καθοριστούν οι θέσεις των δεσµών και των κοιλιών πάνω στη χορδή. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Θεωρούµε ως αρχή µέτρησης των αποστάσεων ( = 0) το άκρο Η, θετική φορά προς τα δεξιά και ως αρχή µέτρησης του χρόνου ( t= 0) τη στιγµή που αρχίζει να ταλαντώνεται εγκάρσια ο διεγέρτης. Η πηγή του προσπίπτοντος κύµατος εκτελεί ΑΑΤ της µορφής: y= Aηµωt. Θεωρούµε τυχαίο σηµείο Μ σε απόσταση από το άκρο Η της χορδής. Εξαιτίας του προσπίπτοντος κύµατος το σηµείο Μ εκτελεί ταλάντωση της µορφής: t y = 1 Aηµω ( t ) Aηµ π ( ) υ = T λ. Όταν το κύµα φθάνει στο άκρο Β της χορδής ανακλάται και παρουσιάζει µεταβολή της φάσης του κατά π. Συγκεκριµένα η εξίσωση ταλάντωσης του Β εξαιτίας του l προσπίπτοντος κύµατος είναι: y1( B) = Aηµω ( t ). Επειδή το Β είναι ακλόνητο, πρέπει η υ συνολική αποµάκρυνση εξαιτίας προσπίπτοντος και ανακλώµενου κύµατος να είναι συνεχώς µηδέν. Άρα: l y( B) = y1( B) + y( B) = 0 y( B) = y1( B) = Aηµω ( t ) υ Το σηµείο Μ εξαιτίας του ανακλώµενου κύµατος αρχίζει να ταλαντώνεται µετά από l χρόνο t= από τη στιγµή που το προσπίπτον κύµα έφθασε στο Β. Η εξίσωση υ ταλάντωσης του Μ εξαιτίας του ανακλώµενου κύµατος είναι: l l l t l y = Aηµω ( t ) = Aηµω ( t + ) y = Aηµ π ( + ) υ υ υ υ T λ λ Η εξίσωση της συνισταµένης κίνησης του Μ υπολογίζεται από τη σχέση: t t l y= y1+ y = A ηµ π ( ) ηµ π ( + T λ T λ λ Με βάση την τριγωνοµετρική ταυτότητα: α β α+ β ηµα ηµβ = ηµ συν η πιο πάνω σχέση µετασχηµατίζεται στη µορφή: l t l y= Aηµ π ( ) συν π ( ) λ T λ Η σχέση αυτή για ορισµένο, περιγράφει µια ΑΑΤ µε περίοδο ίδια µε την περίοδο των κυµάτων που συµβάλλουν και πλάτος: l A' = Aηµ π ( ) όπου: 0 A' A λ Η ταλάντωση των σηµείων της χορδής µε πλάτος που εξαρτάται από τη θέση του σηµείου πάνω στη χορδή, αντιστοιχεί σε στάσιµο κύµα.

45 Οι θέσεις των σηµείων της χορδής τα οποία παραµένουν ακίνητα, δεσµοί του στάσιµου, υπολογίζονται ως εξής: l δ l δ A' = 0 ηµ π ( ) = 0= ηµκπ π ( ) = κπ λ λ l δ λ λ π ( ) = κπ l δ = κ δ = l κ, κ = 0,1,,... λ Ο πρώτος δεσµός σχηµατίζεται στη θέση: κ = 0 δ (1) = l, δηλαδή ο πρώτος δεσµός σχηµατίζεται στο ακλόνητο σηµείο Β. Οι θέσεις των σηµείων της χορδής τα οποία ταλαντώνονται µε µέγιστο πλάτος, κοιλίες του στάσιµου, υπολογίζονται ως εξής: ( l K ) π ( l K ) π A' = A ηµ π =± 1 = ηµ (κ + 1) π = (κ + 1) λ λ λ λ l K = (κ + 1) K = l (κ + 1), κ = 0,1,,... λ Η πρώτη κοιλία σχηµατίζεται στη θέση: κ = 0 K (1) = l, δηλαδή απέχει απόσταση λ από το ακλόνητο άκρο Β. Σχόλιο Το ακλόνητο άκρο Β είναι δεσµός, ενώ το ελεύθερο άκρο Η είναι σχεδόν δεσµός. Ανάµεσα στα Η, Β υπάρχουν σηµεία που είναι σχεδόν δεσµοί αφού το πλάτος ταλάντωσης είναι πολύ µικρό. Τα σηµεία αυτά δεν είναι δυνατό να είναι πραγµατικοί δεσµοί, γιατί κατά µήκος της χορδής πρέπει να µεταφέρεται ενέργεια από την πηγή παραγωγής των κυµάτων. Παραθέτω το παρακάτω απόσπασµα από τους Halliday-Resnick, σελίδα 90 Φυσική Μέρος Α: «Όταν υπάρχει απόσβεση η συχνότητα συντονισµού είναι σχεδόν, αλλά όχι απόλυτα ίση µε µια φυσική συχνότητα του σχοινιού. Το ένα άκρο είναι δεσµός, το άλλο σχεδόν δεσµός. Ανάµεσα σ αυτά υπάρχουν σηµεία που είναι σχεδόν δεσµοί, σηµεία στα οποία το πλάτος είναι πολύ µικρό. Τα σηµεία αυτά δεν µπορούν να είναι πραγµατικοί δεσµοί, γιατί κατά µήκος του σχοινιού και ανάµεσά τους πρέπει να ρέει ενέργεια από το διεγέρτη. Η κατάσταση είναι ανάλογη µε τη συνθήκη συντονισµού ενός αρµονικού ταλαντωτή µε αποσβέσεις. Και εκεί, η συχνότητα συντονισµού είναι σχεδόν η ίδια µε τη φυσική συχνότητα του συστήµατος και το πλάτος µεγάλο όχι όµως άπειρο. Αν δεν υπήρχαν απώλειες, η συχνότητα συντονισµού θα ήταν ακριβώς ίση µε τη φυσική συχνότητα. Τότε το πλάτος θα αυξανόταν µέχρι το άπειρο καθώς η ενέργεια προσφέρεται περιοδικά σ αυτό.» Θοδωρής Παπασγουρίδης.

46 ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ Πώς βρίσκουµε τη διαφορά φάσης δύο σηµείων της χορδής, πάνω στην οποία έχει δηµιουργηθεί στάσιµο κύµα. Γενικά δύο σηµεία του µέσου έχουν διαφορά φάσης φ= 0 ή φ = π. 1) Αν δύο σηµεία βρίσκονται µεταξύ δύο διαδοχικών δεσµών, έχουν την ίδια φάση ( φ=0) ενώ αν βρίσκονται εκατέρωθεν ενός δεσµού, τότε έχουν διαφορά φάσης π ( φ = π). ) Γενικότερα για δύο τυχαία σηµεία της χορδής, µπορούµε να βρούµε τη διαφορά φάσης ως εξής:. Ελέγχουµε το πρόσηµο του γινοµένου y 1 y. Παράδειγµα: Κατα µήκος µιας χορδής δηµιουργείται στάσιµο κύµα που περιγράφεται από την εξίσωση: π y= συν ηµ0πt (, y σε cm και t σε s ). 5 Να βρείτε τη διαφορά φάσης των σηµείων Α και Β που απέχουν από το άκρο της χορδής ( = 0) αποστάσεις: A = 3 cm και B = cm. Λύση: y A y B = = = = > 0 αφού και και ετσι τα σηµεία εχουν συνεχώς οµόσηµες αποµακρύνσεις δηλαδή φ = 0

47 ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ - ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ Γνωρίζουµε ότι το στάσιµο κύµα είναι το αποτέλεσµα της συµβολής δύο κυµάτων της ίδιας συχνότητας και του ίδιου πλάτους, τα οποία διαδίδονται στο ίδιο µέσο µε αντίθετες κατευθύνσεις (δηλαδή στην ίδια διεύθυνση αλλά µε αντίθετη φορά). Προφανώς στάσιµο κύµα µπορεί να δηµιουργηθεί στην ευθεία που ορίζεται από δύο σύγχρονες πηγές, στο διάστηµα µεταξύ των πηγών. Ας αντιµετωπίσουµε λοιπόν το παρακάτω πρόβληµα µε βάση όσα γνωρίζουµε για το στάσιµο κύµα. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ύο εγκάρσια κύµατα µε ίδιο µήκος κύµατος λ= cm, ίδια συχνότητα και ίδιο πλάτος, διαδίδονται κατά µήκος του άξονα χ χ µε αντίθετη φορά και συµβάλλουν. Τα κύµατα ξεκίνησαν ταυτόχρονα από δύο πηγές Π1, Π ίδιας φάσης, οι οποίες απέχουν µεταξύ τους d = 16cm. Θεωρούµε ως αρχή µέτρησης των αποστάσεων το σηµείο Ο, µέσο της απόστασης των δύο πηγών και ως αρχή µέτρησης του χρόνου ( t= 0) τη στιγµή που τα κύµατα συναντώνται στο σηµείο Ο ( y= 0, v> 0). Ποιος ο αριθµός των δεσµών και των κοιλιών του στάσιµου κύµατος που προκύπτει από τη συµβολή, στο ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τις δύο πηγές; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Οι θέσεις των κοιλιών ως προς την αρχή µέτρησης των αποστάσεων, δηλαδή το λ σηµείο Ο, δίνονται από τη σχέση: K = k = k όπου k Z. Πρέπει όµως: k 8 k k =, 3,, 1,0,1,,3, K ηλαδή δηµιουργούνται 9 κοιλίες στις θέσεις: 8 cm, 6 cm, cm, cm,0, cm, cm,6 cm,8cm. λ Οι θέσεις των δεσµών αντίστοιχα δίνονται από τη σχέση: δ = (k+ 1) = κ + 1 όπου k Z. Πρέπει όµως: 8 δ 8 8 κ κ 7,5 κ 3,5 κ =, 3,, 1,0,1,,3 ηλαδή δηµιουργούνται 8 δεσµοί στις θέσεις: 7 cm, 5 cm, 3 cm, 1 cm,1 cm,3 cm,5 cm,7cm Ας αντιµετωπίσουµε τώρα το ίδιο πρόβληµα µε βάση όσα γνωρίζουµε για τη συµβολή κυµάτων από σύγχρονες πηγές.

48 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ύο εγκάρσια αρµονικά κύµατα µε µήκος κύµατος λ= cm, παράγονται από δύο πηγές Π1, Π που βρίσκονται σε φάση και απέχουν µεταξύ τους d = 16cm. Πόσα σηµεία του ευθύγραµµου τµήµατος Π1, Π µένουν συνεχώς ακίνητα και πόσα εκτελούν ταλάντωση µέγιστου πλάτους; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ένα σηµείο Μ του ευθύγραµµου τµήµατος Π1, Π που εκτελεί ταλάντωση µέγιστου πλάτους. Για το σηµείο αυτό ισχύει ότι: r1 r = kλ= κ όπου k Z. Επίσης: r1 + r = d. Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε: Όµως: 1 d λ r1 = d+ kλ r1 = + k r1 = 8+ k όπου k Z. 0 r d 0 8+ k 16 8 k 8 k k =, 3,, 1,0,1,,3, Άρα υπάρχουν 9 σηµεία που εκτελούν ταλάντωση µέγιστου πλάτους σε αποστάσεις από την πηγή Π 1: r1 = 0, cm, cm,6 cm,8 cm,10 cm,1 cm,1 cm,16cm Έστω ένα σηµείο Η του ευθύγραµµου τµήµατος Π1, Π που παραµένει συνεχώς λ ακίνητο. Για το σηµείο αυτό ισχύει ότι: r1 r = (k+ 1) = (κ + 1) όπου k Z. Επίσης: r1 + r = d. Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε: Όµως: r = d+ (k+ 1) r = 8+ k+ 1 r = 9+ k όπου k Z r d 0 9+ k 16 9 k 7,5 k 3,5 k =, 3,, 1,0,1,,3 Άρα υπάρχουν 8 σηµεία που παραµένουν συνεχώς ακίνητα σε αποστάσεις από την πηγή Π 1: r1 = 1 cm,3 cm,5 cm,7 cm,9 cm,11 cm,13 cm,15cm ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Είτε δουλέψουµε µε βάση το στάσιµο, είτε µε βάση τη συµβολή κυµάτων καταλήγουµε στο ίδιο αποτέλεσµα. Μπαίνω στον πειρασµό να ρωτήσω: Αν στις πανελλαδικές ένας µαθητής αντιµετωπίσει το πρόβληµα που ζητάει αριθµό και θέσεις των δεσµών και των κοιλιών του στάσιµου, ως πρόβληµα συµβολής και προσδιορίσει αριθµό και θέσεις των υπερβολών ακυρωτικής και ενισχυτικής συµβολής στο διάστηµα µεταξύ των

49 πηγών, κινδυνεύει να µη βαθµολογηθεί αφού δεν ακολούθησε την προτεινόµενη λύση από την ΚΕΓΕ, µε το ίδιο σκεπτικό που δεν συνίσταται να χρησιµοποιεί περιστρεφόµενα διανύσµατα στις ταλαντώσεις; Θοδωρής Παπασγουρίδης

50 Στάσιµο κύµα πάνω σε νήµα. Ένα τεντωµένο οριζόντιο νήµα ΟΓ έχει δεµένο σε σταθερό σηµείο το άκρο Γ. Για t=0 το άκρο Ο τίθεται σε κατακόρυφη ΑΑΤ, µε εξίσωση y=αηµπt, οπότε κατά µήκος του νήµατος διαδίδεται ένα εγκάρσιο κύµα µε λ=m. Η γραφική παράσταση του πλάτους ταλάντωσης ενός σηµείου Μ του νήµατος δίνεται στο παραπάνω διάγραµµα, ενώ το άκρο Ο συνεχίζει να ταλαντώνεται και µετά από τη στιγµή t=s. i) Πόσο απέχει το Μ από το άκρο Ο και πόσο είναι το µήκος του νήµατος; ii) Ένα σηµείο Ν είναι δεξιότερα του Μ σε απόσταση (ΜΝ)=0,5m. Να κάνετε τη γραφική παράσταση του πλάτους ταλάντωσης του σηµείου Ν σε συνάρτηση µε το χρόνο. iii) Να γίνει το διάγραµµα της αποµάκρυνσης του άκρου Ο σε συνάρτηση µε το χρόνο. Απάντηση: i) Αφού ω=π, f=1ηz και η ταχύτητα του κύµατος είναι υ=λ f=m/s. Με βάση το διάγραµµα το κύµα για να φτάσει στο σηµείο Μ χρειάζεται χρόνο t 1 =s, συνεπώς το σηµείο βρίσκεται σε απόσταση d=υt= m=m από το άκρο Ο. Το σηµείο Μ ταλαντώνεται µέχρι την χρονική στιγµή t =s µε πλάτος Α, γιατί µετά το πλάτος ταλάντωσης µηδενίζεται. Γιατί; Το άκρο Ο ταλαντώνεται και µετά τη στιγµή t=s, άρα προφανώς το κύµα από αριστερά προς τα δεξιά συνεχίζει να διαδίδεται. Απλά το κύµα ανακλάστηκε στο άκρο Γ και µετά από την συµβολή προέκυψε στάσιµο κύµα, όπου στο Μ έχουµε δεσµό. Συνεπώς το κύµα για να πάει από το Μ στο Γ και να επιστρέψει θα χρειαστεί χρόνο t=s-s=s, διανύοντας απόσταση s=υ t = m. Άρα η απόσταση (ΜΓ)=m και το µήκος του νήµατος είναι m+m=6m. ii) Το σηµείο Ν απέχει κατά 0,5m=λ/ από έναν δεσµό, συνεπώς αντιστοιχεί σε

51 κοιλία του στάσιµου κύµατος. Το κύµα προς τα δεξιά για να φτάσει στο Ν θα χρειαστεί χρόνο t 3 =/υ=,5/=,5s, ενώ συµβολή θα έχουµε στο Ν µετά από χρονικό διάστηµα t 3 =d/υ= 1,5/=1,5s. ηλαδή δηµιουργείται κοιλία στο Ν την χρονική στιγµή t =t 3 + t 3 =,5+1,5=3,75s. Συνεπώς η γραφική παράσταση του πλάτους ταλάντωσης του Ν είναι η του παρακάτω σχήµατος. iii) Το κύµα µετά από ανάκλαση φτάνει στο άκρο Ο τη χρονική στιγµή t 5 =s/υ=l/υ= 6/=6s. Μετά από την συµβολή το άκρο Ο παραµένει ακίνητο. Γιατί; Στο άκρο Γ δη- µιουργείτε δεσµός. Η απόσταση µεταξύ δύο δεσµών είναι ίση µε λ/=1m, συνεπώς οι αποστάσεις των δεσµών από το άκρο Γ είναι: 0m, 1m, m, 3m, m, 5m, 6m. ηλαδή και στο άκρο Ο έχουµε δεσµό. Έτσι η εξίσωση της αποµάκρυνσης του σηµείου Ο σε συνάρτηση µε το χρόνο είναι: y= 0,1 ηµπt µέχρι t 5 =6s γιατί µετά το σηµείο παραµένει ακίνητο (δεσµός). dmargaris@sch.gr

52 MHXANIKA KYMATA - ΕΝΑΣ ΚΥΜΑΤΙΚΟΣ ΠΑΛΜΟΣ 1 ΕΝΑΣ ΚΥΜΑΤΙΚΟΣ ΠΑΛΜΟΣ... Το άκρο Ο ενός γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του ημιάξονα Ο αρχίζει, τη στιγμή t = 0, να ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση ψ = 0,ημπt (S.I). Η ταλάντωση του υλικού σημείου Ο διαδίδεται στο μέσο με ταχύτητα υ = 5 m/sec. Τη στιγμή t 1 =,5 sec διακόπτεται η ταλάντωσή του. α) Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο της παραχθείσας διαταραχής τη στιγμή t = 3 sec. β) Να γίνει το διάγραμμα των φάσεων των υλικών σημείων του μέσου στο οποίο διαδίδεται η διαταραχή (παλμός) σε συνάρτηση με την απόσταση από το άκρο Ο τη στιγμή t = 3 sec. γ) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση ψ t, της απομάκρυνσης με το χρόνο, ενός υλικού σημείου που βρίσκεται σε απόσταση = 10 m από την αρχή Ο. δ) Να γίνει το διάγραμμα Φ t, φάσης χρόνου, του παραπάνω σημείου. Τάσος Τζανόπουλος tasos_tzanopoulos@yahoo.com ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ επιλογή θεμάτων

53 MHXANIKA KYMATA - ΕΝΑΣ ΚΥΜΑΤΙΚΟΣ ΠΑΛΜΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Από την εξίσωση ταλάντωσης ψ = 0,ημπt (S.I) του σημείου Ο προκύπτει ότι η περίοδος Τ ισούται με 1 sec. Το μήκος κύματος θα είναι λ = υτ = (5 m/s)(1 s) = 5 m. Έτσι μέχρι τη στιγμή t 1 =,5 sec, που διακόπτεται η ταλάντωση, το Ο έχει εκτελέσει t 1 /Τ =,5/1 =,5 ταλαντώσεις και έχει δημιουργηθεί μια κυματική διαταραχή που περιλαμβάνει,5 κύματα τα οποία εκτείνονται από την αρχή αξόνων μέχρι τη θέση υt 1 = (5 m/s)(,5 s) = 1,5 m. Η εξίσωση αυτής της κυματικής διαταραχής είναι: t 0, 0, t ( S. I) με 0 m 1,5m T 5 Μισό sec αργότερα (τη στιγμή t = 3 sec) τα,5 αυτά κύματα έχουν μετατοπιστεί κατά (5 m/s)(0,5 s) =,5 m δεξιότερα, δηλαδή η αρχή τους βρίσκεται στη θέση ma = 1,5 +,5 = 15 m και το τέλος τους στη θέση min =,5 m. Άρα τo στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t = 3 sec θα είναι όπως στο σχήμα: ψ(m) 0,,5-0, 15 t = 3 s sec (m) β) Για τις φάσεις των σημείων του μέσου τη στιγμή t = 3 sec ισχύει η σχέση: t 3 ( SI. ) με,5 m 15 m T 5 Παρακάτω η σχέση αυτή παριστάνεται γραφικά σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων Φ t. Φ(rad) 5π 0 0,5 15 (m) (Όλα τα μόρια του ελαστικού μέσου μεταξύ των θέσεων 0 ως,5 m έχουν κάνει,5 ταλαντώσεις κι έτσι μπορούμε να πούμε ότι η φάση τους έχει παγώσει στην τιμή των,5 5rad ). tasos_tzanopoulos@yahoo.com ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ επιλογή θεμάτων

54 MHXANIKA KYMATA - ΕΝΑΣ ΚΥΜΑΤΙΚΟΣ ΠΑΛΜΟΣ 3 γ) Το σημείο αυτό τίθεται σε ταλάντωση τη χρονική στιγμή 10 m s 5 m/ s η οποία είναι όμοια με αυτή του σημείου Ο (πλάτος 0, m, γωνιακή συχνότητα ω = π rad/s, αρχική φάση μηδέν) που διαρκεί όσο διαρκεί και η ταλάντωση του Ο, δηλαδή,5 s. Στο χρονικό αυτό διάστημα εκτελεί, όπως και η πηγή Ο,5 ταλαντώσεις κι ύστερα, τη στιγμή t = +,5 =,5 s, ακινητοποιείται. Άρα το διάγραμμα ψ t του σημείου αυτού έχει ως εξής: ψ(m) 0, 0,0-0,,5 = 10 m t(sec) δ) Η φάση του παραπάνω σημείου είναι μηδέν μέχρι τη στιγμή 10 m t s 5 m/ s που αρχίζει να ταλαντώνεται. Από κει και μετά μέχρι τη στιγμή +,5 =,5 s εκτελεί,5 ταλαντώσεις και η φάση του, 10 t t m ( t ) ( SI. ) T 1 s 5m αυξάνεται γραμμικά με το χρόνο μέχρι την τιμή 5π. Στη συνέχεια σταματάει η ταλάντωσή του και η φάση παγώνει στην τιμή 5π. Έτσι το ζητούμενο διάγραμμα είναι το παρακάτω: Φ(rad) 5π 0 0,5 t(sec) Τάσος Τζανόπουλος tasos_tzanopoulos@yahoo.com ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ επιλογή θεμάτων

55 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ - προβλήματα ΠΩΣ ΤΟ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΕΝΟΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΑΣ ΑΠΟΚΑΛΥΠΤΕΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΓΙΑ ΕΝΑ ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ. Τα δύο άκρα Κ, Λ μιας τεντωμένης οριζόντιας χορδής, που είναι τοποθετημένη κατά μήκος του άξονα, ξεκινούν ταυτόχρονα να εκτελούν α.α.τ., κάθετα στη διεύθυνση της χορδής, με ίδιο πλάτος Α, ίδια συχνότητα και μηδενική αρχική φάση. Έτσι, κατά μήκος της χορδής διαδίδονται, προς αντίθετες κατευθύνσεις, δύο εγκάρσια κύματα με ταχύτητα υ = 10 m/s. Κάποια στιγμή t 1 τα δύο κύματα y Κ Ο Σ Σχήμα 1 y t= t 1 έχουν φτάσει ως τα σημεία Ο και Δ της χορδής, έχοντας διανύσει δύο ίσες αποστάσεις ΚΟ και ΛΔ. Τη στιγμή αυτή τα σημεία Ο και Δ ξεκινούν να εκτελούν α.α.τ. με ίδιο πλάτος Α, ίδια συχνότητα και μηδενική αρχική φάση. Τα δύο κύματα τελικά συμβάλλουν και σε όλο το μήκος της χορδής ΚΛ εμφανίζεται στάσιμο κύμα. Δ Λ ψ (Σ) (m) 0,1 0-0,1 t 1 t 1 +0,5 Σχήμα t 1 + 0,75 t(sec) Στο σχήμα παριστάνεται γραφικά η απομάκρυνση ενός σημείου Σ της χορδής σε συνάρτηση με το χρόνο. Το Ο το θεωρούμε αρχή των τετμημένων του άξονα και, όπως φαίνεται στο σχήμα 1, το σημείο Σ βρίσκεται ανάμεσα στα Ο, Δ και πιο κοντά στο Ο. Να βρεθούν: Α. Τα μήκη κύματος των κυμάτων από τα οποία δημιουργείται το στάσιμο κύμα. Β. Η απόσταση ΣΟ του Σ από το Ο και το μήκος L του τμήματος ΟΔ της χορδής. Γ. Σε πόσο χρόνο, μετά τη στιγμή t 1, θα αλλάξει το πλάτος ταλάντωσης των σημείων Ο και Δ της χορδής, και πόσο τοις %. Δ. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος που έχει αναπτυχθεί πάνω στο τμήμα ΟΔ της χορδής, αν ως αρχή μέτρησης του χρόνου (t = 0) θεωρηθεί η χρονική στιγμή που αλλάζει το πλάτος ταλάντωσης των σημείων Ο και Δ. Τάσος Τζανόπουλος tasos_tzanopoulos@yahoo.com ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ επιλογή θεμάτων

56 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ - προβλήματα ΛΥΣΗ Γ.1. Από τη γραφική παράσταση ταλάντωσης του Σ προκύπτει ότι Τ = 0, sec. Άρα λ T (10 m / s)(0, s) m Γ.. Είναι: (χρόνος μετάβασης του κύματος απότο O στο Σ) (10 m / s)(0,5 s),5m Από το διάγραμμα ψ t της κίνησης του Σ προκύπτει ότι στο σημείο αυτό φτάνει, τη χρονική στιγμή t = t 1 +0,5 sec, πρώτα (αφού το Σ είναι πιο κοντά στο Ο) το κύμα που δημιουργεί η ταλάντωση του Κ, κάνει δύο πλήρεις ταλαντώσεις και τη στιγμή t 3 = t 1 +0,75 sec σταματάει. Αυτό σημαίνει ότι τη στιγμή t 3 φτάνει στο Σ και το κύμα που δημιουργεί η ταλάντωση του Λ και η συμβολή των δύο κυμάτων στο σημείο αυτό προκαλεί απόσβεση της ταλάντωσής του. Είναι φανερό, ότι ο χρόνος που χρειάστηκε το κύμα, που δημιούργησε η ταλάντωση του Λ, να πάει από το Δ στο Σ είναι 0,75 sec και το μήκος της διαδρομής, που διάνυσε, ισούται με t (10 m/ sec) (0,75sec) 7,5m Άρα το μήκος του τμήματος ΟΔ της χορδής είναι OΔ= OΣ+ΣΔ=,5m+7,5m = 10m Γ.3. Τα δύο κύματα τη στιγμή t 1 έχουν φτάσει ως τις θέσεις Ο και Δ του ευθυγράμμου τμήματος ΟΔ. Τη στιγμή αυτή κανένα σημείο του ΟΔ (εκτός από τα Ο, Δ) δεν έχει διεγερθεί ακόμη σε ταλάντωση, ενώ λίγο αργότερα, μετά από χρόνο t / 10 m:10 m / s 1, s τα δύο κύματα έχουν διανύσει και συμβάλλει σε όλο το μήκος του τμήματος ΟΔ. Αυτή τη στιγμή, t 1 +1sec, τα δύο υλικά σημεία Ο,Δ της χορδής αρχίζουν, ταυτόχρονα, να εκτελούν σύνθετη ταλάντωση και, επομένως, αυτή τη στιγμή αλλάζει το πλάτος ταλάντωσης του καθενός. Τώρα, πόσο αλλάζει το πλάτος του καθενός; Για τις αποστάσεις του Σ από τα σημεία Ο και Δ της χορδής ισχύουν: λ λ,5m 5 m 5 και 7,5m 15 m 15 Και δεδομένου ότι το Σ είναι δεσμός, τα άκρα του ΟΔ πρέπει να καταστούν κοιλίες (αφού απέχουν από ένα δεσμό περιττό πολλαπλάσιο του λ/). Έτσι σε χρόνο t = 1 sec μετά τη στιγμή t 1, το πλάτος με το οποίο τα σημεία Ο,Δ ταλαντώνονταν μέχρι εκείνη τη στιγμή, διπλασιάζεται, δηλαδή αυξάνεται κατά 100%. (Κάποιες παρατηρήσεις για περισσότερη εμβάθυνση: 1. Επειδή στο χρονικό διάστημα t 1 ώς t 1 +1 sec, κάθε άκρο του ευθυγράμμου τμήματος ΟΔ θα έχει εκτελέσει t/t = 1/0, = 5 πλήρεις ταλαντώσεις, θα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας κινούμενο προς τα θετικά. Εκείνη τη στιγμή στην ταχύτητα ταλάντωσης κάθε άκρου θα προστεθεί και μια παρόμοια ταχύτητα, που θα του επιβάλλει το κύμα που καταφτάνει προερχόμενο από το άλλο άκρο. Έτσι, τη στιγμή t 1 +1 sec διπλασιάζεται η ταχύτητα tasos_tzanopoulos@yahoo.com ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ επιλογή θεμάτων

57 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ - προβλήματα ταλάντωσης κάθε άκρου, γι αυτό (σύμφωνα με τη σχέση υ μεγ = ωα) θα διπλασιαστεί και το πλάτος της ταλάντωσής του.. Επειδή στα στάσιμα κύματα όλα τα μόρια της χορδής διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας, τη στιγμή t 1 +1 sec η χορδή θα είναι εντελώς ευθύγραμμη και η κινητική ενέργεια ταλάντωσης των υλικών σημείων της, εκτός των δεσμών, μέγιστη. 3. Δεδομένου ότι η απόσταση κάθε δεσμού από τις γειτονικές κοιλίες είναι λ/ = 0,5 m και ότι στα άκρα Ο, Δ του τμήματος ΟΔ της χορδής έχουμε κοιλίες, εύκολα προκύπτει ότι κατά μήκος του ΟΔ εμφανίζονται 11 κοιλίες και 10 δεσμοί και ότι το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος στο τμήμα ΟΔ, τη στιγμή t = t 1 +1 sec, είναι το παρακάτω. Τα κατακόρυφα βέλη δείχνουν τις ταχύτητες των κοιλιών τη στιγμή αυτή). Κ Δ Κ Δ Κ Δ Κ Δ Κ Δ Κ Δ Κ Δ Κ Δ Κ Δ Κ Δ Κ Γ.. Από το διάγραμμα ψ t της κίνησης του Σ στο χρονικό διάστημα πριν τη συμβολή των κυμάτων, προκύπτει ότι κάθε κύμα έχει πλάτος Α = 0,1 m. Αφού το σημείο Ο θεωρείται αρχή μέτρησης των αποστάσεων, είναι κοιλία και, τη θεωρούμενη ως χρονική στιγμή t = 0, διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τα θετικά (δείτε παρατήρηση 1) η εξίσωση του στάσιμου κύματος π πt θα είναι: ψ 0,1συν ημ 0, ή ψ=0,συνπημ10πt (τα μεγέθη στο S.I) Τάσος Τζανόπουλος tasos_tzanopoulos@yahoo.com ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ επιλογή θεμάτων

58 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ - προβλήματα ΠΩΣ ΤΟ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΕΝΟΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΑΣ ΑΠΟΚΑΛΥΠΤΕΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΓΙΑ ΕΝΑ ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ. Τα δύο άκρα Κ, Λ μιας τεντωμένης οριζόντιας χορδής, που είναι τοποθετημένη κατά μήκος του άξονα, ξεκινούν ταυτόχρονα να εκτελούν α.α.τ., κάθετα στη διεύθυνση της χορδής, με ίδιο πλάτος Α, ίδια συχνότητα και μηδενική αρχική φάση. Έτσι, κατά μήκος της χορδής διαδίδονται, προς αντίθετες κατευθύνσεις, δύο εγκάρσια κύματα με ταχύτητα υ = 10 m/s. Κάποια στιγμή t 1 τα δύο κύματα y Κ Ο Σ Σχήμα 1 y t= t 1 έχουν φτάσει ως τα σημεία Ο και Δ της χορδής, έχοντας διανύσει δύο ίσες αποστάσεις ΚΟ και ΛΔ. Τη στιγμή αυτή τα σημεία Ο και Δ ξεκινούν να εκτελούν α.α.τ. με ίδιο πλάτος Α, ίδια συχνότητα και μηδενική αρχική φάση. Τα δύο κύματα τελικά συμβάλλουν και σε όλο το μήκος της χορδής ΚΛ εμφανίζεται στάσιμο κύμα. Δ Λ ψ (Σ) (m) 0,1 0-0,1 t 1 t 1 +0,5 Σχήμα t 1 + 0,75 t(sec) Στο σχήμα παριστάνεται γραφικά η απομάκρυνση ενός σημείου Σ της χορδής σε συνάρτηση με το χρόνο. Το Ο το θεωρούμε αρχή των τετμημένων του άξονα και, όπως φαίνεται στο σχήμα 1, το σημείο Σ βρίσκεται ανάμεσα στα Ο, Δ και πιο κοντά στο Ο. Να βρεθούν: Α. Τα μήκη κύματος των κυμάτων από τα οποία δημιουργείται το στάσιμο κύμα. Β. Η απόσταση ΣΟ του Σ από το Ο και το μήκος L του τμήματος ΟΔ της χορδής. Γ. Σε πόσο χρόνο, μετά τη στιγμή t 1, θα αλλάξει το πλάτος ταλάντωσης των σημείων Ο και Δ της χορδής, και πόσο τοις %. Δ. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος που έχει αναπτυχθεί πάνω στο τμήμα ΟΔ της χορδής, αν ως αρχή μέτρησης του χρόνου (t = 0) θεωρηθεί η χρονική στιγμή που αλλάζει το πλάτος ταλάντωσης των σημείων Ο και Δ. Τάσος Τζανόπουλος tasos_tzanopoulos@yahoo.com ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ επιλογή θεμάτων

59 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ - προβλήματα ΛΥΣΗ Γ.1. Από τη γραφική παράσταση ταλάντωσης του Σ προκύπτει ότι Τ = 0, sec. Άρα λ T (10 m / s)(0, s) m Γ.. Είναι: (χρόνος μετάβασης του κύματος απότο O στο Σ) (10 m / s)(0,5 s),5m Από το διάγραμμα ψ t της κίνησης του Σ προκύπτει ότι στο σημείο αυτό φτάνει, τη χρονική στιγμή t = t 1 +0,5 sec, πρώτα (αφού το Σ είναι πιο κοντά στο Ο) το κύμα που δημιουργεί η ταλάντωση του Κ, κάνει δύο πλήρεις ταλαντώσεις και τη στιγμή t 3 = t 1 +0,75 sec σταματάει. Αυτό σημαίνει ότι τη στιγμή t 3 φτάνει στο Σ και το κύμα που δημιουργεί η ταλάντωση του Λ και η συμβολή των δύο κυμάτων στο σημείο αυτό προκαλεί απόσβεση της ταλάντωσής του. Είναι φανερό, ότι ο χρόνος που χρειάστηκε το κύμα, που δημιούργησε η ταλάντωση του Λ, να πάει από το Δ στο Σ είναι 0,75 sec και το μήκος της διαδρομής, που διάνυσε, ισούται με t (10 m/ sec) (0,75sec) 7,5m Άρα το μήκος του τμήματος ΟΔ της χορδής είναι OΔ= OΣ+ΣΔ=,5m+7,5m = 10m Γ.3. Τα δύο κύματα τη στιγμή t 1 έχουν φτάσει ως τις θέσεις Ο και Δ του ευθυγράμμου τμήματος ΟΔ. Τη στιγμή αυτή κανένα σημείο του ΟΔ (εκτός από τα Ο, Δ) δεν έχει διεγερθεί ακόμη σε ταλάντωση, ενώ λίγο αργότερα, μετά από χρόνο t / 10 m:10 m / s 1, s τα δύο κύματα έχουν διανύσει και συμβάλλει σε όλο το μήκος του τμήματος ΟΔ. Αυτή τη στιγμή, t 1 +1sec, τα δύο υλικά σημεία Ο,Δ της χορδής αρχίζουν, ταυτόχρονα, να εκτελούν σύνθετη ταλάντωση και, επομένως, αυτή τη στιγμή αλλάζει το πλάτος ταλάντωσης του καθενός. Τώρα, πόσο αλλάζει το πλάτος του καθενός; Για τις αποστάσεις του Σ από τα σημεία Ο και Δ της χορδής ισχύουν: λ λ,5m 5 m 5 και 7,5m 15 m 15 Και δεδομένου ότι το Σ είναι δεσμός, τα άκρα του ΟΔ πρέπει να καταστούν κοιλίες (αφού απέχουν από ένα δεσμό περιττό πολλαπλάσιο του λ/). Έτσι σε χρόνο t = 1 sec μετά τη στιγμή t 1, το πλάτος με το οποίο τα σημεία Ο,Δ ταλαντώνονταν μέχρι εκείνη τη στιγμή, διπλασιάζεται, δηλαδή αυξάνεται κατά 100%. (Κάποιες παρατηρήσεις για περισσότερη εμβάθυνση: 1. Επειδή στο χρονικό διάστημα t 1 ώς t 1 +1 sec, κάθε άκρο του ευθυγράμμου τμήματος ΟΔ θα έχει εκτελέσει t/t = 1/0, = 5 πλήρεις ταλαντώσεις, θα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας κινούμενο προς τα θετικά. Εκείνη τη στιγμή στην ταχύτητα ταλάντωσης κάθε άκρου θα προστεθεί και μια παρόμοια ταχύτητα, που θα του επιβάλλει το κύμα που καταφτάνει προερχόμενο από το άλλο άκρο. Έτσι, τη στιγμή t 1 +1 sec διπλασιάζεται η ταχύτητα tasos_tzanopoulos@yahoo.com ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ επιλογή θεμάτων

60 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ - προβλήματα ταλάντωσης κάθε άκρου, γι αυτό (σύμφωνα με τη σχέση υ μεγ = ωα) θα διπλασιαστεί και το πλάτος της ταλάντωσής του.. Επειδή στα στάσιμα κύματα όλα τα μόρια της χορδής διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας, τη στιγμή t 1 +1 sec η χορδή θα είναι εντελώς ευθύγραμμη και η κινητική ενέργεια ταλάντωσης των υλικών σημείων της, εκτός των δεσμών, μέγιστη. 3. Δεδομένου ότι η απόσταση κάθε δεσμού από τις γειτονικές κοιλίες είναι λ/ = 0,5 m και ότι στα άκρα Ο, Δ του τμήματος ΟΔ της χορδής έχουμε κοιλίες, εύκολα προκύπτει ότι κατά μήκος του ΟΔ εμφανίζονται 11 κοιλίες και 10 δεσμοί και ότι το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος στο τμήμα ΟΔ, τη στιγμή t = t 1 +1 sec, είναι το παρακάτω. Τα κατακόρυφα βέλη δείχνουν τις ταχύτητες των κοιλιών τη στιγμή αυτή). Κ Δ Κ Δ Κ Δ Κ Δ Κ Δ Κ Δ Κ Δ Κ Δ Κ Δ Κ Δ Κ Γ.. Από το διάγραμμα ψ t της κίνησης του Σ στο χρονικό διάστημα πριν τη συμβολή των κυμάτων, προκύπτει ότι κάθε κύμα έχει πλάτος Α = 0,1 m. Αφού το σημείο Ο θεωρείται αρχή μέτρησης των αποστάσεων, είναι κοιλία και, τη θεωρούμενη ως χρονική στιγμή t = 0, διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τα θετικά (δείτε παρατήρηση 1) η εξίσωση του στάσιμου κύματος π πt θα είναι: ψ 0,1συν ημ 0, ή ψ=0,συνπημ10πt (τα μεγέθη στο S.I) Τάσος Τζανόπουλος tasos_tzanopoulos@yahoo.com ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ επιλογή θεμάτων

61 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ. Ασκήσεις Προβλήματα 1 0 L 0 L Α ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΕ ΓΕΦΥΡΑ ΚΑΙ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΗ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗ Εξαιτίας μιας σεισμικής δόνησης κατά μήκος μιας οριζόντιας, ευθύγραμμης και ελαστικής γέφυρας μήκους L, που είναι στερεωμένη στα δύο της άκρα, διαδίδονται δύο αντίθετα εγκάρσια αρμονικά κύματα με ίδιο πλάτος και ίδια συχνότητα, με αποτέλεσμα τη δημιουργία ενός στάσιμου κύματος όπου τα υλικά σημεία της γέφυρας εκτελούν ταλάντωση σε κατακόρυφη διεύθυνση. Στο κέντρο της γέφυρας (που το θεωρούμε στη θέση = 0) εμφανίζεται κοιλία του στασίμου κύματος, του οποίου η εξίσωση είναι: L L A 6 t ( S. I ), για Το διάγραμμα παριστάνει το πλάτος Α της ταλάντωσης των σημείων της γέφυρας σε σχέση με τη συντεταγμένη θέσης τους. Α. Πόσο είναι το μήκος L της γέφυρας; Β. Να προσδιορίσετε τις θέσεις δύο σημείων Σ 1 και Σ της γέφυρας, εκατέρωθεν του κέντρου της, που έχουν το μέγιστο πλάτος επιτάχυνσης. Γ. Πόσο πρέπει να είναι το πλάτος των κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα ώστε η επιτάχυνση των σημείων Σ 1 και Σ να έχει μέγιστο μέτρο ίσο με την επιτάχυνση βαρύτητας g; Δ. Θεωρείστε ότι σε όλο το μήκος της γέφυρας βρίσκονται σταματημένα αυτοκίνητα. Δείξτε ότι, αν το πλάτος των κυμάτων είναι αυτό που βρήκατε πιο πριν, η κάθετη αντίδραση του δαπέδου στους τροχούς των αυτοκινήτων που βρίσκονται στις θέσεις Σ 1 και Σ θα μηδενίζεται στιγμιαία ανά χρονικά διαστήματα ίσα με την περίοδο των κυμάτων. Αγνοήστε την οποιαδήποτε συμμετοχή του συστήματος ανάρτησης των αυτοκινήτων στην ταλάντωσή τους. Ε. Tα υλικά σημεία της γέφυρας μπορούν να ταλαντώνονται, χωρίς αυτή να κοπεί, με πλάτος ταλάντωσης μικρότερο από 30 cm. Αν για κάποιο λόγο το πλάτος των αντίθετα κινουμένων κατά μήκος της γέφυρας αρμονικών κυμάτων γίνει 15 cm και η συχνότητά τους διπλασιαστεί, σε πόσα σημεία θα κοπεί ή γέφυρα; Δίνεται g = 9,9 m/s Τάσος Τζανόπουλος tasos_tzanopoulos@yahoo.com ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ επιλογή θεμάτων

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Δ.

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Δ. 2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Δ. 2.2.41. Μια χορδή σε ταλάντωση ή δυο στάσιμα κύματα. Μια χορδή μήκους 5m είναι στερεωμένη στα άκρα της Κ και Λ.. Όταν θέσουμε σε ταλάντωση το μέσον της Μ, απαιτείται

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Τρέχοντα Κύµατα. Οµάδα.

2.1 Τρέχοντα Κύµατα. Οµάδα. 2.1 Τρέχοντα Κύµατα. Οµάδα. 2.1.41. Κάποια ερωτήµατα πάνω σε µια κυµατοµορφή. Ένα εγκάρσιο αρµονικό κύµα, πλάτους 0,2m, διαδίδεται κατά µήκος ενός ελαστικού γραµµικού µέσου, από αριστερά προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Δ.

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Δ. 2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Δ. 2.2.41. Μια χορδή σε ταλάντωση ή δυο στάσιμα κύματα. Μια χορδή μήκους 5m είναι στερεωμένη στα άκρα της Κ και Λ.. Όταν θέσουμε σε ταλάντωση το μέσον της Μ, απαιτείται

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα.

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. 2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. 2.2.1. Συμβολή και μέγιστο πλάτος Σε δύο σημεία μιας ευθείας ε βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Ο 1 και Ο 2 οι οποίες παράγουν κύματα με πλάτος Α=2cm και μήκος κύματος

Διαβάστε περισσότερα

Στάσιµο σε χορδή µε ακλόνητα άκρα

Στάσιµο σε χορδή µε ακλόνητα άκρα Στάσιµο σε χορδή µε ακλόνητα άκρα Τεντωµένη ελαστική χορδή έχει µήκος L και τα δύο άκρα της Ζ και Η είναι στερεωµένα σε ακλόνητα σηµεία, ενώ η χορδή διατηρείται οριζόντια. Διεγέρτης θέτει το µέσο (Ο) της

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Δ.

2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Δ. 2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Δ. 2.1.41. Κάποια ερωτήματα πάνω σε μια κυματομορφή. Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα, πλάτους 0,2m, διαδίδεται κατά μήκος ενός ελαστικού γραμμικού μέσου, από αριστερά προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ.

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2.21. σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Δύο σύγχρονες πηγές Ο 1 και Ο 2 παράγουν αρμονικά κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=2m/s κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Πανελληνίων Φυσικής Κατ ο Κεφάλαιο (µέχρι και Στάσιµα)

Θέµατα Πανελληνίων Φυσικής Κατ ο Κεφάλαιο (µέχρι και Στάσιµα) Θέµατα Πανελληνίων Φυσικής Κατ. 0 00 0 Α. Η ταχύτητα διάδοσης ενός αρµονικού κύµατος εξαρτάται από α. τη συχνότητα του κύµατος β. τις ιδιότητες του µέσου διάδοσης γ. το πλάτος του κύµατος δ. την ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Τρέχοντα κύματα. Ερωτήσεις με δικαιολόγηση.

Τρέχοντα κύματα. Ερωτήσεις με δικαιολόγηση. Τρέχοντα κύματα. Ερωτήσεις με δικαιολόγηση. Η φάση ενός σημείου κατά τη διάδοση κύματος Κατά μήκος ενός ελαστικού μέσου διαδίδεται ένα κύμα προς τα δεξιά του θετικού ημιάξονα, με μήκος κύματος λ=2m. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Τρέχοντα Κύματα.

2.1. Τρέχοντα Κύματα. 2.1. Τρέχοντα Κύματα. 2.1.1. Στιγμιότυπο κύματος Στη θέση x=0 ενός γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου υπάρχει πηγή κύματος η οποία αρχίζει να ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y= 0,2ημπt (μονάδες στο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Δ.

2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Δ. 2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Δ. 2.1.41. Κάποια ερωτήματα πάνω σε μια κυματομορφή. Α d B Γ d Δ t 0 E Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα, πλάτους 0,2m, διαδίδεται κατά μήκος ενός ελαστικού γραμμικού μέσου, από αριστερά

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Γ Θετ. και Τεχν/κης Κατ/σης ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ

Φυσική Γ Θετ. και Τεχν/κης Κατ/σης ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Στάσιμο κύμα ονομάζεται το αποτέλεσμα της συμβολής δύο κυμάτων της ίδιας συχνότητας και του ίδιου πλάτους που διαδίδονται στο ίδιο μέσο με αντίθετες κατευθύνσεις. Συνήθως προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. 1 ο ΘΕΜΑ. Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. 1 ο ΘΕΜΑ.  Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ο ΘΕΜΑ Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. Το µήκος κύµατος δύο κυµάτων που συµβάλλουν και δηµιουργούν στάσιµο κύµα είναι λ. Η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών δεσµών του στάσιµου κύµατος θα

Διαβάστε περισσότερα

α. 0cm. β. 10cm. γ. 20cm. δ. 40cm.

α. 0cm. β. 10cm. γ. 20cm. δ. 40cm. ΘΕΜΑ A Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Δύο όμοιες πηγές κυμάτων Α και Β στην επιφάνεια μιας ήρεμης λίμνης βρίσκονται σε φάση και παράγουν υδάτινα αρμονικά κύματα. Η καθεμιά παράγει κύμα (πρακτικά) αμείωτου

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις - Β έκδοση Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις - Β έκδοση Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις - Β έκδοση Θέµα Α Α.. Σε ένα γραµµικό ελαστικό µέσο διαδίδονται ταυτόχρονα δύο κύµατα µε ίδιο πλάτος, ίδια συχνότητα και

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Συµβολή και στάσιµα κύµατα. Οµάδα Γ.

2.2. Συµβολή και στάσιµα κύµατα. Οµάδα Γ. 2.2. Συµβολή και στάσιµα κύµατα. Οµάδα Γ. 2.2.21. σε γραµµικό ελαστικό µέσο. ύο σύγχρονες πηγές Ο 1 και Ο 2 παράγουν αρµονικά κύµατα που διαδίδονται µε ταχύτητα υ=2m/s κατά µήκος ενός γραµµικού ελαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Η συχνότητα ταλάντωσης µιας πηγής, που παράγει εγκάρσιο αρµονικό κύµα σε ένα ελαστικό µέσο, διπλασιάζεται χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Ε.

2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Ε. 2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Ε. 2.1.61. Δύο κύματα χωρίς εξισώσεις. Κατά μήκος ενός ελαστικού μέσου διαδίδονται αντίθετα δύο κύματα, του ίδιου πλάτους και τη στιγμή t 0 έχουμε την εικόνα του σχήματος. (

Διαβάστε περισσότερα

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.com

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.com Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων - εκέµβρης 2014 Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός http://www.perifysikhs.com 1. Θέµα Α - Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1.1. ύο σύγχρονες κυµατικές πηγές Α και

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις Σάββατο 17 εκέµβρη 2016 Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις Σάββατο 17 εκέµβρη 2016 Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις Σάββατο 17 εκέµβρη 2016 Θέµα Α Α.1 Η συχνότητα ταλάντωσης µιας πηγής, που παράγει εγκάρσιο αρµονικό κύµα σε ένα ελαστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 3 Ο 1. Το σημείο Ο ομογενούς ελαστικής χορδής, τη χρονική στιγμή t = 0, αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y = 0,05ημ8πt (SI) κάθετα στη διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

ΘΕΜΑ Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Α 1. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μηχανικό ονομάζεται το κύμα στο οποίο: α. Μεταφέρεται ύλη στον χώρο κατά την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. β. Μεταφέρεται ορμή και ενέργεια στον χώρο κατά την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. ψ =0,5 ημ 2π 8t 10 x, u=8 πσυν 2π 8t 5

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. ψ =0,5 ημ 2π 8t 10 x, u=8 πσυν 2π 8t 5 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 1. Σ ένα σημείο Ο ενός ελαστικού μέσου υπάρχει μια πηγή κυμάτων, η οποία τη χρονική στιγμή t =0 αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y=0,5 ημω t (y σε m, t σε sec). Στη

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Σύνολο Σελίδων: επτά (7) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Β Εκδοση

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Σύνολο Σελίδων: επτά (7) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Β Εκδοση ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Σύνολο Σελίδων: επτά (7) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Β Εκδοση Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ frontistirioproios.wordpress.com τηλ. 69709 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γνωστικό αντικείμενο: Αρμονικό τρέχον κύμα-συμβολή -Στάσιμο Διάρκεια h ΘΕΜΑ Α Α ) To διπλανό σχήμα παριστάνει το στιγμιότυπο

Διαβάστε περισσότερα

3. Εγκάρσιο γραμμικό κύμα που διαδίδεται σε ένα ομογενές ελαστικό μέσον και κατά την

3. Εγκάρσιο γραμμικό κύμα που διαδίδεται σε ένα ομογενές ελαστικό μέσον και κατά την ΚΥΜΑΤΑ 1. Μια πηγή Ο που βρίσκεται στην αρχή του άξονα, αρχίζει να εκτελεί τη χρονική στιγμή 0, απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση 6 10 ημ S. I.. Το παραγόμενο γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

διαδίδονται δύο αρμονικά εγκάρσια κύματα πλάτους Α 1 , αντίστοιχα. Αν ισχύει ότι Α 2 1 = α 8 max,1 ii. max,2 ) β. λ 2 (υ 1 /υ 2 > 0, v B > 0, v Γ

διαδίδονται δύο αρμονικά εγκάρσια κύματα πλάτους Α 1 , αντίστοιχα. Αν ισχύει ότι Α 2 1 = α 8 max,1 ii. max,2 ) β. λ 2 (υ 1 /υ 2 > 0, v B > 0, v Γ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Κύματα Γενικά θέματα Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1 Αρμονικό κύμα πλάτους Α διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου με θετική φορά Τη χρονική στιγμή t=0 το υλικό σημείο με x=0 ταλαντώνεται με μέγιστη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 03-01-11 ΘΕΡΙΝΑ ΣΕΙΡΑ Β ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Θ έ μ α τ α γ ι α Ε π α ν ά λ η ψ η Φ υ σ ι κ ή Κ α τ ε ύ θ υ ν σ η ς Γ Λ υ κ ε ί ο υ

Θ έ μ α τ α γ ι α Ε π α ν ά λ η ψ η Φ υ σ ι κ ή Κ α τ ε ύ θ υ ν σ η ς Γ Λ υ κ ε ί ο υ Θ έ μ α τ α γ ι α Ε π α ν ά λ η ψ η Φ υ σ ι κ ή Κ α τ ε ύ θ υ ν σ η ς Γ Λ υ κ ε ί ο υ Αφού επαναληφθεί το τυπολόγιο, να γίνει επανάληψη στα εξής: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ερωτήσεις: (Από σελ. 7 και μετά)

Διαβάστε περισσότερα

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων 5ο Σετ Ασκήσεων - εκέµβρης Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός.

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων 5ο Σετ Ασκήσεων - εκέµβρης Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων - εκέµβρης 2012 Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός http://www.perifysikhs.com Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Α.1. ύο σύγχρονες κυµατικές πηγές Α και Β ταλαντώνονται

Διαβάστε περισσότερα

2 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

2 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ δυαδικό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 3 ώρες ΒΑΘΜΟΣ:.. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 3// ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Ατρείδης Γιώργος Θ Ε Μ Α

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό πρόβλημα στη συμβολή κυμάτων.

Επαναληπτικό πρόβλημα στη συμβολή κυμάτων. Επαναληπτικό πρόβλημα στη συμβολή κυμάτων. ύο σύγχρονες πηγές Π 1 και Π 2 που απέχουν απόσταση d=8m, παράγουν στην επιφάνεια ενός υγρού αρµονικά κύµατα που έχουν ταχύτητα διάδοσης υ=2m/s. Η εξίσωση της

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σε στάσιµα κύµατα

Ασκήσεις σε στάσιµα κύµατα Ασκήσεις σε στάσιµα κύµατα. Κατά µήκος γραµµικού οµογενούς ελαστικού µέσου διαδίδονται δύο εγκάρσια αρµονικά κύµατα τα οποία περιγράφονται από τις εξισώσεις: y = 0, ηµ π (0t-x) και y = 0, ηµπ(0t+x) (S.I.).

Διαβάστε περισσότερα

NTÙÍÉÏÓ ÃÊÏÕÔÓÉÁÓ - ÖÕÓÉÊÏÓ www.geocities.com/gutsi1 -- www.gutsias.gr

NTÙÍÉÏÓ ÃÊÏÕÔÓÉÁÓ - ÖÕÓÉÊÏÓ www.geocities.com/gutsi1 -- www.gutsias.gr Έστω µάζα m. Στη µάζα κάποια στιγµή ασκούνται δυο δυνάµεις. ( Βλ. σχήµα:) Ποιά η διεύθυνση και ποιά η φορά κίνησης της µάζας; F 1 F γ m F 2 ιατυπώστε αρχή επαλληλίας. M την της Ποιό φαινόµενο ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Σύνολο Σελίδων: έξι (6) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Κυριακή 3 εκέµβρη 2017 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Γ Θετ. και Τεχν/κης Κατ/σης ΚΥΜΑΤΑ ( )

Φυσική Γ Θετ. και Τεχν/κης Κατ/σης ΚΥΜΑΤΑ ( ) ΚΥΜΑΤΑ ( 2.1-2.2) Για τη δημιουργία ενός κύματος χρειάζονται η πηγή της διαταραχής ή πηγή του κύματος, δηλαδή η αιτία που θα προκαλέσει τη διαταραχή και ένα υλικό (μέσο) στο οποίο κάθε μόριο αλληλεπιδρά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. 1 ο ΘΕΜΑ. Φυσική Γ' Θετικής και Τεχνολογικής Κατ/σης. Θέματα Εξετάσεων. Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. 1 ο ΘΕΜΑ. Φυσική Γ' Θετικής και Τεχνολογικής Κατ/σης. Θέματα Εξετάσεων. Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ο ΘΕΜΑ Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. Το μήκος κύματος δύο κυμάτων που συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα είναι λ. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών του στάσιμου κύματος θα

Διαβάστε περισσότερα

β) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του (Σ) σε συνάρτηση με το χρόνο, αφού συμβάλλουν σε αυτό τα κύματα.

β) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του (Σ) σε συνάρτηση με το χρόνο, αφού συμβάλλουν σε αυτό τα κύματα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ - ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ - ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ 11. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος, κάθετα στην ελαστική επιφάνεια ενός υγρού, παράγοντας

Διαβάστε περισσότερα

d = 5 λ / 4 λ = 4 d / 5 λ = 4 0,5 / 5 λ = 0,4 m. H βασική κυματική εξίσωση : υ = λ f υ = 0,4 850 υ = 340 m / s.

d = 5 λ / 4 λ = 4 d / 5 λ = 4 0,5 / 5 λ = 0,4 m. H βασική κυματική εξίσωση : υ = λ f υ = 0,4 850 υ = 340 m / s. 1) Ένα κύμα συχνότητας f = 500 Hz διαδίδεται με ταχύτητα υ = 360 m / s. α. Πόσο απέχουν δύο σημεία κατά μήκος μιας ακτίνας διάδοσης του κύματος, τα οποία παρουσιάζουν διαφορά φάσης Δφ = π / 3 ; β. Αν το

Διαβάστε περισσότερα

1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα

1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ 1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα δύο αρμονικά κύματα που έχουν εξισώσεις y 1 = 0,1ημπ(5t,5x) (S.I.) και y = 0,1ημπ(5t

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σημείο Ο αρχίζει τη χρονική στιγμή να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση,

1. Το σημείο Ο αρχίζει τη χρονική στιγμή να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ - ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 1. Το σημείο Ο αρχίζει τη χρονική στιγμή να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, που περιγράφεται από την εξίσωση. Το κύμα που δημιουργεί,

Διαβάστε περισσότερα

α. φ Α < φ Β, u A < 0 και u Β < 0. β. φ Α > φ Β, u A > 0 και u Β > 0. γ. φ Α < φ Β, u A > 0 και u Β < 0. δ. φ Α > φ Β, u A < 0 και u Β > 0.

α. φ Α < φ Β, u A < 0 και u Β < 0. β. φ Α > φ Β, u A > 0 και u Β > 0. γ. φ Α < φ Β, u A > 0 και u Β < 0. δ. φ Α > φ Β, u A < 0 και u Β > 0. ΙΙΑΓΓΩΝΙΙΣΜΑ ΦΦΥΥΣΙΙΚΚΗΣ ΚΚΑΤΤΕΕΥΥΘΥΥΝΣΗΣ ΓΓ ΛΛΥΥΚΚΕΕΙΙΟΥΥ ΚΚυυρρι ιιαακκήή 1133 ΙΙααννοουυααρρί ίίοουυ 001133 Θέμα 1 ο (Μονάδες 5) 1. Στο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος

Διαβάστε περισσότερα

Κύµατα. 9 ο Γ.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ. π 0 3 x(m) ιον. Μάργαρης

Κύµατα. 9 ο Γ.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ. π 0 3 x(m) ιον. Μάργαρης 9 ο Γ.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ ιον. Μάργαρης Κύµατα 1) ίνονται 4 στιγµιότυπα κύµατος τη χρονική στιγµή t 1. Να σχεδιάστε στους ίδιους άξονες τα στιγµιότυπα τη χρονική στιγµή t 1 + t. 2) Το κύµα του σχήµατος διαδίδεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΣΗΜΟ Σε δύο σημεία Π Σε δύο σημεία Π Δύο πηγές Π 1

ΟΡΟΣΗΜΟ Σε δύο σημεία Π Σε δύο σημεία Π Δύο πηγές Π 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Συμβολή κυμάτων Στα παρακάτω προβλήματα να θεωρείτε ότι το πλάτος των κυμάτων που συμβάλλουν δεν αλλάζει 5 Σε δύο σημεία Π 1 της ήρεμης επιφάνειας ενός υγρού δημιουργούνται δύο σύγχρονες πηγές,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΟΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ. υ=, υ=λ.f, υ= tτ

ΔΙΑΔΟΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ. υ=, υ=λ.f, υ= tτ 1 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΥΜΑΤΩΝ ΔΙΑΔΟΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Μήκος κύματος Ταχύτητα διάδοσης Συχνότητα Εξίσωση αρμονικού κύματος Φάση αρμονικού κύματος Ταχύτητα ταλάντωσης, Επιτάχυνση Κινητική Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

Κύματα Εξισώσεις Μεθοδολογία

Κύματα Εξισώσεις Μεθοδολογία Κύματα Εξισώσεις Μεθοδολογία Η εξίσωση του κύματος που εκφράζει την απομάκρυνση y ενός σημείου του μέσου, έστω Μ, που απέχει απόσταση χ από την πηγή τη χρονική στιγμή, είναι: y A ( ) με Η ταχύτητα με την

Διαβάστε περισσότερα

1. [Απ.: [Απ.: 3. [Απ.: [Απ.:

1. [Απ.: [Απ.: 3. [Απ.: [Απ.: 1. Η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος, το οποίο διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, που έχει τη διεύθυνση του άξονα x'x, είναι: γ=0,04ημπ(200t - 8x) (τα x και y είναι σε m και το t σε s).

Διαβάστε περισσότερα

Χρόνος ταλάντωσης των σηµείων που βρίσκονται σε υπερβολές ακυρωτικής συµβολής

Χρόνος ταλάντωσης των σηµείων που βρίσκονται σε υπερβολές ακυρωτικής συµβολής Χρόνος ταλάντωσης των σηµείων που βρίσκονται σε υπερβολές ακυρωτικής συµβολής Δύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π δηµιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια αρµονικά κύµατα. Η εξίσωση ταλάντωσης κάθε πηγής είναι

Διαβάστε περισσότερα

3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2) ΘΕΜΑΤΑ

3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2) ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A Στις προτάσεις Α1α-Α4β να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Γ.

2.1. Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Γ. 2.1. Τρέχοντα. Ομάδα Γ. 2.1.21. και προς τις δύο κατευθύνσεις. Στη θέση x 1 =8m ενός οριζόντιου γραμμικού ελαστικού μέσου υπάρχει πηγή κύματος η οποία αρχίζει να ταλαντώνεται σε κατακόρυφη διεύθυνση με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Στις ερωτήσεις 1 5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Στο διάγραµµα του σχήµατος παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 05 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3 ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) U β A

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 05 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3 ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) U β A Σελίδα 1 από 5 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 05 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3 ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α και

Διαβάστε περισσότερα

φ(rad) t (s) α. 4 m β. 5 m α. 2 m β. 1 m

φ(rad) t (s) α. 4 m β. 5 m α. 2 m β. 1 m ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Τετάρτη 4 Φεβρουαρίου 05 ΘΕΜΑ Β Γ Α B φ(rad) 6π 0 0,3 0,5 0,7 t (s) Στα σηµεία Α και Β του παραπάνου σχήµατος βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές Π και Π, που εκπέµπουν στην επιφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης - χρόνου, για τα σημεία Α, Β

γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης - χρόνου, για τα σημεία Α, Β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΚΥΜΑΤΑ 1. Κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής μεγάλου μήκους που το ένα άκρο της είναι ακλόνητα στερεωμένο, διαδίδονται δύο κύματα, των οποίων οι εξισώσεις είναι αντίστοιχα: και, όπου και είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 03-01-11 ΘΕΡΙΝΑ ΣΕΙΡΑ Α ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Συμβολή Δύο Κυμάτων στην Επιφάνεια Υγρού

Συμβολή Δύο Κυμάτων στην Επιφάνεια Υγρού Φυσική Γ Θετ. και Τεχν/κης Κατ/σης 017-18 ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ-ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΓΡΟΥ (.-.4, μαθήματα) Αρχή επαλληλίας ή υπέρθεσης: όταν σε ένα ελαστικό μέσο διαδίδονται δύο ή περισσότερα κύματα η απομάκρυνση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στα κύματα. α) Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων που δημιουργούνται.

Ασκήσεις στα κύματα. α) Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων που δημιουργούνται. 1. Ασκήσεις στα κύματα 1. Κατά μήκος ενός ελαστικού μέσου διαδίδονται τρία διαφορετικά κύματα, τα δύο πρώτα προς τα δεξιά και το τρίτο προς τ αριστερά. Στο παρακάτω σχήμα δίνονται τα στιγμιότυπά τους για

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ(μέχρι ΗΜ) Διάρκεια 90 min

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ(μέχρι ΗΜ) Διάρκεια 90 min ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ(μέχρι ΗΜ) Διάρκεια 90 min Θέμα 1 Ερωτήσεις πολαλπλής επιλογής Σε κάθε ερώτηση υπάρχει μόνο μια σωστή απάντηση 1. Η περίοδος (Τ) του κύµατος είναι ίση µε (ποια πρόταση είναι

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Σύνολο Σελίδων: επτά (7) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Σάββατο 17 εκέµβρη 2016 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. Ονοματεπώνυμο: Τμήμα: Γ ΘΕΜΑΤΑ:

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. Ονοματεπώνυμο: Τμήμα: Γ ΘΕΜΑΤΑ: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Καθηγητής/τρια: Χρόνος: 3 ΩΡΕΣ Ονοματεπώνυμο: Τμήμα: Γ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ: 1. Στα εγκάρσια κύματα, το μήκος κύματος λ είναι ίσο με την απόσταση: α) μεταξύ δύο

Διαβάστε περισσότερα

Β3. ΣΣωσσττήή ααππάάννττηησσηη εεί ίίννααι ιι ηη ββ.. Το πλάτος του (Σ) µετά τη συµβολή των κυµάτων ισούται µε: r 1 - r u t 1 - u t Α Σ = Α συνπ = Α σ

Β3. ΣΣωσσττήή ααππάάννττηησσηη εεί ίίννααι ιι ηη ββ.. Το πλάτος του (Σ) µετά τη συµβολή των κυµάτων ισούται µε: r 1 - r u t 1 - u t Α Σ = Α συνπ = Α σ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥΓ ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή 13 Νοεµβρίου 016 Θέµα Α Α1. δ Α. γ Α3. γ Α4. δ Α5. α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ Θέµα Β Β1. Σωστή είναι η απάντηση (β). Εφόσον παρατηρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις στη δηµιουργία του στάσιµου*

Παρατηρήσεις στη δηµιουργία του στάσιµου* Παρατηρήσεις στη δηµιουργία του στάσιµου* Κατά µήκος γραµµικού ελαστικού µέσου το οποίο ταυτίζεται µε τον άξονα χ χ, διαδίδονται κατά αντίθετη φορά, δύο εγκάρσια αρµονικά κύµατα, ίδιου πλάτους και ίδιας

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 4 Νοέµβρη 2018 Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 4 Νοέµβρη 2018 Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 4 Νοέµβρη 2018 Θέµα Α Α.1. Κατά µήκος µιας ελαστικής χορδής διαδίδεται ένα εγκάρσιο αρµονικό κύµα, χωρίς ενεργειακές

Διαβάστε περισσότερα

Κύµα µε αρχική φάση. αυτή είναι και η µόνη περίπτωση που περιγράφει το σχολικό βιβλίο και συνεπώς η πλειοψηφία των περιπτώσεων που µελετάµε. max.

Κύµα µε αρχική φάση. αυτή είναι και η µόνη περίπτωση που περιγράφει το σχολικό βιβλίο και συνεπώς η πλειοψηφία των περιπτώσεων που µελετάµε. max. Για την µελέτη ενός κύµατος Κύµα µε αρχική φάση 1) Χρειαζόµαστε ένα σηµείο αναφοράς δηλ. µία αρχή που συνήθως επιλέγεται το x = 0. Στο x = 0 συνήθως βρίσκεται και η πηγή του κύµατος χωρίς αυτό να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Σύνολο Σελίδων: έξι (6) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Σύνολο Σελίδων: έξι (6) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Σύνολο Σελίδων: έξι (6) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4 να γράψετε στο τετράδιο

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Η ταχύτητα µε την οποία διαδίδεται µια διαταραχή σε ένα οµογενές ελαστικό µέσο : (γ) είναι σταθερή και εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση Λύση ΑΣΚΗΣΗ 1 α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση, προκύπτει: και Με αντικατάσταση στη θεµελιώδη εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

1. Η συχνότητα αρμονικού κύματος είναι f = 0,5 Hz ενώ η ταχύτητα διάδοσης του υ = 2 m / s.

1. Η συχνότητα αρμονικού κύματος είναι f = 0,5 Hz ενώ η ταχύτητα διάδοσης του υ = 2 m / s. 1. Η συχνότητα αρμονικού κύματος είναι f = 0,5 Hz ενώ η ταχύτητα διάδοσης του υ = 2 m / s. Να βρεθεί το μήκος κύματος. 2. Σε ένα σημείο του Ειρηνικού ωκεανού σχηματίζονται κύματα με μήκος κύματος 1 m και

Διαβάστε περισσότερα

ιδακτική Ενότητα: Μηχανικά Κύµατα - Επαλληλία Ασκήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως

ιδακτική Ενότητα: Μηχανικά Κύµατα - Επαλληλία Ασκήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Τίτλος Κεφαλαίου: Κύµατα ιδακτική Ενότητα: Μηχανικά Κύµατα - Επαλληλία Ασκήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Θέµα 3ο: (Εσπερινό Μάιος 0) Το άκρο Ο γραµµικού οµογενούς ελαστικού µέσου,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ :.

ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ :. ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ :. ΘΕΜΑ Α Α.1 Σε μια ελαστική χορδή ΟΓ, μήκους L δημιουργείται στάσιμο κύμα με 7 δεσμούς ως αποτέλεσμα της συμβολής δυο αρμονικών κυμάτων. Το

Διαβάστε περισσότερα

t T Η απόσταση των δύο σπειρών τη χρονική στιγμή t είναι ίση με:

t T Η απόσταση των δύο σπειρών τη χρονική στιγμή t είναι ίση με: 1. Οι θέσεις των δύο σπειρών καθορίζονται από τις αντίστοιχες συντεταγμένες τους ΧΜ και ΧΝ, οι οποίες δίνονται από τις σχέσεις: X x y x A t x X t 3 A 6 X t 3 A X x y x A t x X 10 t A 6 3 3 X 10 t A 3 3

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ 08/01/2017 ΘΕΜΑ Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ 08/01/2017 ΘΕΜΑ Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ 08/01/2017 ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλού τύπου 1-7, να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και στο απαντητικό σας φύλλο να μεταφέρετε τον αριθμό και το γράμμα της

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό διαγώνισμα στα κύματα

Επαναληπτικό διαγώνισμα στα κύματα 1 Επαναληπτικό διαγώνισμα στα κύματα 1 ο Θέμα: Σε κάθε μία από τις ερωτήσεις των περιπτώσεων Α, Β, Γ, Δ, σημειώστε χωρίς αιτιολόγηση, με (Σ) ή (Λ) το σωστό ή λανθασμένο αυτών. Περίπτωση Α. Α-1. Η ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΞΗΡΟΔΗΜΑΣ ΠΕΤΡΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΩΝ

ΞΗΡΟΔΗΜΑΣ ΠΕΤΡΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΩΝ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΩΝ 1) Μια πηγή κυμάτων Ο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση: y=8 ημπt,(το t σε sec, το y σε cm). H ταχύτητα διάδοσης του παραγόμενου κύματος κατά μήκος του άξονα Οχ είναι υ=20 cm/sec.

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΚΥΜΑΤΑ 1. Κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου διαδίδεται κύμα με ταχύτητα 10m/sec, συχνότητα f=50hz και πλάτος A=4cm. Να γραφεί η εξίσωση του κύματος εάν αυτό διαδίδεται προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα

Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα Θέµα 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

Μια χορδή βιολιού µε τα δύο άκρα της στερεωµένα, ταλαντώνεται µε συχνότητα 12 Ηz. Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται δύο στιγµιότυπα του στάσιµου κύµατος.

Μια χορδή βιολιού µε τα δύο άκρα της στερεωµένα, ταλαντώνεται µε συχνότητα 12 Ηz. Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται δύο στιγµιότυπα του στάσιµου κύµατος. ΘΕΜΑ A ΤΕΣΤ 15. 1. Δύο σύγχρονες πηγές Ο 1 και Ο προκαλούν, πάνω σε μία επιφάνεια υγρού, αρμονικά κύματα με ίσα πλάτη Α. Σ ένα σημείο Μ, πάνω στην επιφάνεια του υγρού, παρατηρείται ενισχυτική συμβολή.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές, ΘΕΜΑ Β ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια ενός υγρού με το ίδιο πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ A. α. Α. β. 2Α. γ.. A 2. δ. 0.

ΘΕΜΑ A. α. Α. β. 2Α. γ.. A 2. δ. 0. ΘΕΜΑ A ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Στις παρακάτω ερωτήσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση ή στο σωστό συμπλήρωμά της. 1. [Ημ. Λύκειο 2002]

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα στη Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

ιαγώνισµα στη Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ιαγώνισµα στη Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Ηµεροµηνία: / / 2011 Θ 1 Θ 2 Θ 3 Θ 4 Βαθµός Ονοµατεπώνυµο:. Τµήµα: Γ ΘΕΜΑ 1 ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-10

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Τρίτη 27 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Τρίτη 27 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 8//06 ΕΩΣ 05/0/07 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη 7 Δεκεμβρίου 06 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/12/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/12/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/12/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ο.Π. Γ Λυκείου

Φυσική Ο.Π. Γ Λυκείου Φυσική Ο.Π. Γ Λυκείου ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις (Α-Α) και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Α) Δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Κύματα που παράγονται από δύο σύγχρονες. 2.7 Κύματα που παράγονται από δύο σύγχρονες. 2.8 Κύματα παράγονται από δύο σύγχρονες

2.6 Κύματα που παράγονται από δύο σύγχρονες. 2.7 Κύματα που παράγονται από δύο σύγχρονες. 2.8 Κύματα παράγονται από δύο σύγχρονες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Συμβολή κυμάτων 2.1 Το φαινόμενο της συμβολής των κυμάτων, ισχύει: α. μόνο στα μηχανικά κύματα, β. σε όλα τα είδη των κυμάτων, γ. μόνο στα ηλεκτρομαγνητικά. 2.2 Δύο σημεία Π, Π της ήρεμης επιφάνειας

Διαβάστε περισσότερα

1. Πηγή αρμονικών κυμάτων συχνότητας 5 Hz εξαναγκάζει το άκρο Ο ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, το

1. Πηγή αρμονικών κυμάτων συχνότητας 5 Hz εξαναγκάζει το άκρο Ο ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, το Η φάση του αρμονικού κύματος 1. Πηγή αρμονικών κυμάτων συχνότητας 5 Hz εξαναγκάζει το άκρο Ο ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο ημιάξονα O, να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Τρίτη 5 Ιανουαρίου 016 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις από 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας

Διαβάστε περισσότερα

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων. Επιµέλεια: ρ. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, Φυσικός.

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων. Επιµέλεια: ρ. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, Φυσικός. Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων - εκέµβρης 2017 Επιµέλεια: ρ. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, Φυσικός http://www.perifysikhs.com 1. Θέµα Α - Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1.1. ύο σύγχρονες κυµατικές πηγές Α και Β

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ : ΚΥΜΑΤΑ (ΤΡΕΧΟΝΤΑ) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:.

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ : ΚΥΜΑΤΑ (ΤΡΕΧΟΝΤΑ) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ : ΚΥΜΑΤΑ (ΤΡΕΧΟΝΤΑ) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:.. Αν η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος είναι y = 0ημ(6πt - πx) στο S.I., τότε η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι ίση με: α. 0m/s β. 6m/s γ. m/s δ. 3m/s..

Διαβάστε περισσότερα

Το στάσιμο κύμα είναι ειδική περίπτωση συμβολής

Το στάσιμο κύμα είναι ειδική περίπτωση συμβολής Το στάσιμο κύμα είναι ειδική περίπτωση συμβολής Θεωρούμε μια οριζόντια ελαστική χορδή μεγάλου μήκους, Έστω Σ Σ 2 ένα τμήμα της χορδής μήκους d=36cm. Την στιγμή t=0 ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα πλάτους Α=5cm

Διαβάστε περισσότερα

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων. Επιµέλεια: ρ. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, Φυσικός.

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων. Επιµέλεια: ρ. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, Φυσικός. Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων - εκέµβρης 2018 Επιµέλεια: ρ. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, Φυσικός http://www.perifysikhs.com 1. Θέµα Α - Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1.1. ύο σύγχρονες κυµατικές πηγές Α και Β

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΘΕΜΑ 1 Ο

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΘΕΜΑ 1 Ο ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ 1 ο κεφάλαιο: «ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ» 2 ο κεφάλαιο: «ΚΥΜΑΤΑ» 1.1 Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο γραµµικές αρµονικές ταλαντώσεις γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και µε την ίδια διεύθυνση, που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σημείο Ο ομογενούς ελαστικής χορδής, τη χρονική στιγμή t= αρχίζει να εκτελεί Α.Α.Τ. με εξίσωση y=,5ημπt ( SI), κάθετα στη διεύθυνση της χορδής. Το κύμα που παράγεται διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Κύματα και φάσεις. Όταν αναφερόμαστε σε μια απλή αρμονική ταλάντωση, που η απομάκρυνση δίνεται από την εξίσωση x=aημ(ωt+φ 0

Κύματα και φάσεις. Όταν αναφερόμαστε σε μια απλή αρμονική ταλάντωση, που η απομάκρυνση δίνεται από την εξίσωση x=aημ(ωt+φ 0 Κύματα και φάσεις. Όταν αναφερόμαστε σε μια απλή αρμονική ταλάντωση, που η απομάκρυνση δίνεται από την εξίσωση x=aημ(ωt+φ 0 ), ονομάζουμε φάση την ποσότητα φ=ωt+φ 0 όπου το φ 0 ονομάζεται αρχική φάση και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014 ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων. Επιµέλεια: ρ. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, Φυσικός.

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων. Επιµέλεια: ρ. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, Φυσικός. Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων - Οκτώβρης 2015 Επιµέλεια: ρ. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, Φυσικός http://www.perifysikhs.com 1. Θέµα Α - Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1.1. ύο σύγχρονες κυµατικές πηγές Α και Β

Διαβάστε περισσότερα

δ) µειώνεται το µήκος κύµατός της (Μονάδες 5)

δ) µειώνεται το µήκος κύµατός της (Μονάδες 5) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 011-01 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1 η (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 30/1/11 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό κάθε µίας από τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Στις προτάσεις Α-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία τη

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 19/01/2014

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 19/01/2014 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 19/01/2014 ΘΕΜΑ 1ο Α. Όταν αυξάνεται το πλάτος ενός μηχανικού κύματος που διαδίδεται σε ομογενές ελαστικό μέσο: α) αυξάνεται η ταχύτητά του. β) αυξάνεται η ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

0,6 m. Οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t 0 με θετική

0,6 m. Οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t 0 με θετική ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ Άσκηση. ΘΕΜΑ Γ Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές, ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος A 0, m, κάθετα στην ελαστική

Διαβάστε περισσότερα