Ελαστικότητα. Δ. Ευταξιόπουλος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ελαστικότητα. Δ. Ευταξιόπουλος"

Transcript

1 Ελαστικότητα Δ. Ευταξιόπουλος 7 Ιανουαρίου 014

2

3 Περιεχόμενα 1 Ανάλυση τάσεων Μαζικές δυνάμεις, επιφανειακές δυνάμεις και τάσεις Ομοιόμορφη εντατική κατάσταση Κύριες τάσεις Ακρότατες διατμητικές τάσεις Εντατική κατάσταση σε σημείο Διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας Τρισδιάστατη εντατική κατάσταση Κύριες τάσεις Ακρότατες διατμητικές τάσεις Ασκήσεις Άσκηση Άσκηση Άσκηση Ανάλυση παραμορφώσεων και μετατοπίσεων 5.1 Σχέσεις παραμορφώσεων και μετατοπίσεων Εξισώσεις συμβιβαστού Παραμορφώσεις σε σημείο Γενικευμένες μετατοπίσεις Αρχή της επαλληλίας Άσκηση Διατύπωση των προβλημάτων της ελαστικότητας Εισαγωγή Συνοριακές συνθήκες Διέπουσες εξισώσεις σε προβλήματα επίπεδης παραμόρφωσης Η Αρχή της Επαλληλίας Μοναδικότητα των λύσεων της γραμμικής ελαστικότητας Η Αρχή του Saint - Venant Άσκηση

4 4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4 Προβλήματα στο επίπεδο Κατάσταση επίπεδης έντασης Προσεγγιστικός χαρακτήρας των εξισώσεων της επίπεδης έντασης Στρέψη δοκού τυχαίας διατομής Γενική λύση του προβλήματος Λύση για άτρακτο ελλειπτικής διατομής Το ανάλογο πρόβλημα από τη ρευστομηχανική

5 Κεφάλαιο 1 Ανάλυση τάσεων 1.1 Μαζικές δυνάμεις, επιφανειακές δυνάμεις και τάσεις Όταν σ ένα σώμα εφαρμόζεται ένα σύνολο εξωτερικών δυνάμεων, αναπτύσσονται εσωτερικές δυνάμεις μέσα στο σώμα. Η συμπεριφορά του σώματος, δηλαδή οι αλλαγές στις διαστάσεις του (η παραμόρφωσή του) ή η τελική αστοχία του, είναι συνάρτηση των εσωτερικών δυνάμεων, οι οποίες με τη σειρά τους είναι συνάρτηση των εξωτερικών δυνάμεων που επιβάλλονται στο σώμα. Οι εξωτερικά επιβαλλόμενες δυνάμεις χωρίζονται σε: 1. Μαζικές δυνάμεις που συνδέονται με τη μάζα του σώματος, δηλαδή είναι κατανεμημένες σ όλο τον όγκο του σώματος. Δεν προκύπτουν από την επαφή του σώματος με άλλα σώματα. Παραδείγματα τέτοιων δυνάμεων είναι γενικά οι δυνάμεις πεδίου όπως οι δυνάμεις βαρύτητας και οι μαγνητικές δυνάμεις, αλλά και οι αδρανειακές δυνάμεις. Μετρώνται σε δύναμη ανά μονάδα όγκου και θα συμβολίζουμε τις συνιστώσες της κατανομής τους ανά μονάδα όγκου, κατά τους, και z άξονες ενός καρτεσιανού συστήματος αναφοράς, με F, F και F z αντίστοιχα.. Επιφανειακές δυνάμεις που προκύπτουν από τη φυσική επαφή μεταξύ δύο σωμάτων και παριστάνουν τη δύναμη που ασκεί μια «φανταστική» εσωτερική επιφάνεια, εμβαδού A, στο εσωτερικό ενός σώματος, σε μια γειτονική επιφάνεια (Σχήμα 1.1). Αν ένα φανταστικό επίπεδο κόβει ένα σώμα σε δύο τμήματα Ι και ΙΙ και κάνουμε το διάγραμμα ελευθέρου σώματος του Ι, δηλαδή βάλουμε σ αυτό τις δυνάμεις που ασκεί το ΙΙ στο Ι και τις εξωτερικές δυνάμεις P και q που δέχεται το Ι, παρατηρούμε ότι οι επιφανειακές δυνάμεις P και q εξισορροπούνται από τη δύναμη που ασκεί το τμήμα ΙΙ στο τμήμα Ι. Αυτή η δύναμη όμως κατανέμεται σ ολόκληρη την κοινή επιφάνεια A μεταξύ των τμημάτων Ι και ΙΙ. Κάθε στοιχειώδης επιφάνεια A 5

6 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΣΕΩΝ P I A A II F q 1 q M Σχήμα 1.1: Εξωτερικές δυνάμεις και εσωτερική διατομή ενός στερεού σώματος της A, δέχεται δύναμη F. Η μέση τιμή της δύναμης ανά μονάδα επιφάνειας είναι p ave = F A (1.1) Η τάση σ ένα σημείο A ορίζεται ως η οριακή τιμή της μέσης δύναμης ανά μονάδα επιφάνειας, καθώς η επιφάνεια A τείνει στο 0, δηλαδή p = F lim A 0 A = df da (1.) H δύναμη df δεν είναι αναγκαστικά κάθετη ή εφαπτόμενη στην επιφάνεια da πάνω στην οποία δρα. Η τάση p όπως ορίστηκε εδώ, που ασκείται πάνω σε επιφάνεια da, είναι ένα διάνυσμα που έχει τη διεύθυνση και φορά του διανύσματος της δύναμης df. Το διάνυσμα ονομάζεται διάνυσμα τάσης. p = d F da (1.3) Τις συνιστώσες του διανύσματος τάσης που ασκείται στην εξωτερική επιφάνεια ενός σώματος, συμβολίζουμε με T µ, T µ και T µ z. µ είναι το προς τα έξω μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια (Σχήμα 1.). Η τάση σε εσωτερική επιφάνεια έχει συνιστώσες p, p και p z. Περισσότερο σημαντικές στην πράξη είναι οι ορθές και οι διατμητικές συνιστώσες του διανύσματος τάσης. Με σ συμβολίζουμε την ορθή τάση, δηλαδή τη συνιστώσα της τάσης που είναι κάθετη στο επίπεδο όπου αυτή (η τάση) εφαρμόζεται. Η διατμητική συνιστώσα της τάσης συμβολίζεται με τ και κείται πάνω στην επιφάνεια όπου αυτή δρα (Σχήμα 1.3). Προφανώς ισχύει p = σ + τ (1.4) Ας δούμε τώρα μια τρισδιάστατη εντατική κατάσταση όπως παρουσιάζεται στο

7 1.. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΕΝΤΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 7 T µ µ µ T µ T Σχήμα 1.: Το διάνυσμα τάσης T µ στην εξωτερική επιφάνεια ενός δισδιάστατου σώματος df da σ p τ Σχήμα 1.3: Η ορθή και η διατμητική τάση παρακάτω ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο (Σχήμα 1.4). Τα επίπεδα ονομάζονται, σύμφωνα με τη διεύθυνση και φορά του προς τα έξω μοναδιαίου, κάθετου διανύσματος σ αυτά. Το προς τα έξω μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα, δείχνει μακριά από το εσωτερικό του σώματος. Η δεξιά έδρα του ορθογωνίου ονομάζεται θετική κατά έδρα, ενώ η αριστερή έδρα του ορθογωνίου ονομάζεται αρνητική κατά έδρα, διότι το προς τα έξω μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα σ αυτή, έχει την αρνητική διεύθυνση του άξονα. Θετικές θεωρούνται οι τάσεις που δρουν σε θετικές έδρες και έχουν φορά τη θετική φορά των αξόνων, η δρουν σε αρνητικές έδρες και έχουν φορά την αρνητική φορά των αξόνων. Ο πρώτος δείκτης στις τάσεις αναφέρεται στο επίπεδο όπου αυτές ασκούνται, ενώ ο δεύτερος δείκτης αναφέρεται στη διεύθυνση της τάσης. 1. Ομοιόμορφη εντατική κατάσταση Αν η εντατική κατάσταση σ ένα σώμα είναι ίδια σε κάθε σημείο του, δηλαδή αν οι τάσεις είναι ανεξάρτητες από τις χωρικές συντεταγμένες, και z, τότε λέμε ότι έχουμε ομοιόμορφη εντατική κατάσταση. Στην ομοιόμορφη εντατική κατάσταση, οι μαζικές δυνάμεις είναι ίσες με μηδέν.

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΣΕΩΝ z σ τ τ z τ σ z τ τ τ z τ z τ z τ z σ σ zz τ z τ τ z σ σ zz Σχήμα 1.4: Απεικόνιση τάσεων πάνω στις έδρες ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου Έστω ότι, στο επίπεδο, έχουμε την ομοιόμορφη εντατική κατάσταση του Σχήματος 1.5. Επειδή έχουμε επίπεδη εντατική κατάσταση, ισχύει ότι σ τ τ b σ α a Σχήμα 1.5: Επίπεδη εντατική κατάσταση τ z = τ z = τ z = τ z = 0 (1.5) Η σ zz μπορεί να είναι διάφορη του μηδενός, αλλά δεν την εξετάζουμε εδώ. Έστω ότι το ορθογώνιο του Σχήματος 1.5, έχει μοναδιαίο πάχος κάθετα στο χαρτί. Παίρνοντας ισορροπία ροπών ως προς την κάτω αριστερή κορυφή του ορθογωνίου έχω σ b b σ b b + σ a a σ a a τ ba + τ ab = 0 τ = τ (1.6)

9 1.. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΕΝΤΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 9 Το αποτέλεσμα (1.6) είναι αρκετά γενικό για δύο κάθετα μεταξύ τους επίπεδα, όπου ισχύει ότι τ = τ (1.7) Αναφερόμενοι στο Σχήμα 1.5, απομονώνουμε το κάτω αριστερά πρισματικό κομμάτι και θεωρούμε τις συνιστώσες p και p του διανύσματος τάσης στο επίπεδο (Σχήμα 1.6). Από στατική ισορροπία κατά έχουμε σ τ α p p σ τ Σχήμα 1.6: Οι τάσεις στις έδρες πρίσματος τριγωνικής διατομής F = 0 p A σ A cos α τ A sin α = 0 Όμοια από ισορροπία κατά παίρνουμε Αλλά η ορθή τάση στην έδρα είναι Από (1.8) - (1.10) παίρνουμε p = σ cos α + τ sin α (1.8) p = σ sin α + τ cos α (1.9) σ = p cos α + p sin α (1.10) σ = σ cos α + σ sin α + τ sin α cos α (1.11) Με όμοια διαδικασία βρίσκουμε ότι τ = (σ σ ) sin α cos α + τ (cos α sin α) (1.1) H σ βρίσκεται αν θέσουμε το α + π, στη θέση του α στην (1.11). Τότε προκύπτει τελικά ότι σ = σ sin α + σ cos α τ sin α cos α (1.13)

10 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΣΕΩΝ Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1.11) και (1.13) παρατηρούμε ότι σ + σ = σ + σ = σταθερό (1.14) δηλαδή το άθροισμα των ορθών τάσεων σε δύο κάθετα μεταξύ τους επίπεδα, παραμένει αμετάβλητο όταν αλλάζει η γωνία α. Οι (1.11) - (1.13) γράφονται και ως σ = σ + σ σ = σ + σ 1..1 Κύριες τάσεις + σ σ σ σ τ = σ σ cos α + τ sin α (1.15) cos α τ sin α (1.16) sin α + τ cos α (1.17) Για να βρούμε τα επίπεδα όπου αναπτύσσονται η μέγιστη και η ελάχιστη ορθή τάση, παραγωγίζουμε τη σχέση (1.15) ως προς α, δηλαδή dσ dα = (σ σ ) sin α + τ cos α = 0 tan α = τ σ σ (1.18) Οι δύο λύσεις α της (1.18) διαφέρουν κατά 90, δηλαδή η μέγιστη και η ελάχιστη τάση προκύπτουν σε κάθετα μεταξύ τους επίπεδα. Από τις (1.17) και (1.18) προκύπτει αμέσως ότι η διατμητική τάση στα επίπεδα αυτά είναι ίση με μηδέν. Τα επίπεδα αυτά λέγονται κύρια επίπεδα και οι ορθές τάσεις που ασκούνται πάνω σ αυτά λέγονται κύριες τάσεις. Τα ημίτονα και συνημίτονα που αντιστοιχούν στη γωνία που ορίζεται από την (1.18), είναι τ sin α = ± (1.19) 4τ + (σ σ ) σ σ cos α = ± (1.0) 4τ + (σ σ ) όπως φαίνεται από το Σχήμα 1.7. Παρατηρώντας ότι τα ημίτονα και συνημίτονα στις (1.19) και (1.0), πρέπει να είναι η και τα δύο θετικά η και τα δύο αρνητικά για να ισχύει η (1.18), αντικαθιστούμε τις (1.19) και (1.0) στις (1.15) και (1.16) και παίρνουμε σ ma = σ 1 = σ + σ + (σ σ ) + τ (1.1)

11 1.. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΕΝΤΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 11 4τ + (σ σ ) α τ σ σ Σχήμα 1.7: Ορθογώνιο τρίγωνο που για το οποίο ισχύει η σχέση (1.18) από τα θετικά cos α, sin α και σ min = σ = σ + σ (σ σ ) + τ (1.) από τα αρνητικά. 1.. Ακρότατες διατμητικές τάσεις Όπως εργαστήκαμε για την εύρεση των κυρίων τάσεων, έτσι και για τις ακρότατες διατμητικές παίρνουμε dτ dα = (σ σ ) cos α τ sin α = 0 tan α = σ σ τ (1.3) Η (1.3) δίνει δύο κάθετα μεταξύ τους επίπεδα, από τις δύο λύσεις ως προς α της (1.3) που διαφέρουν κατά 90 o, όπου αναπτύσσονται η τ ma και η τ min. Από τις (1.18) και (1.3), προκύπτει ότι τα επίπεδα των ακρότατων διατμητικών τάσεων σχηματίζουν γωνία 45 o με τα επίπεδα των κυρίων τάσεων. Από την τριγωνομετρία προκύπτει ότι α s1 = α p1 45 o (1.4) όπου α s1 είναι ο προσανατολισμός του επιπέδου της τ ma και α p1 είναι ο προσανατολισμός του επιπέδου της σ 1 (Σχήμα 1.8). Από τις (1.17) και (1.3) προκύπτει ότι (σ σ τ ma = + ) + τ = τ min (1.5) Δηλαδή οι ακρότατες διατμητικές τάσεις, είναι ίσες και αντίθετες. Η τ ma είναι η θετική.

12 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΣΕΩΝ σ τ min σ 1 σ 1 σ τ ma α s1 Σχήμα 1.8: Επίπεδα κυρίων και ακρότατων διατμητικών τάσεων Από τις (1.16) και (1.3), προκύπτει ότι στα επίπεδα των ακρότατων διατμητικών τάσεων, η ορθή τάση είναι σ aver = σ + σ (1.6) δηλαδή ίδια και στα δύο αυτά επίπεδα. 1.3 Εντατική κατάσταση σε σημείο Θα δείξουμε ότι οι παραπάνω σχέσεις μετασχηματισμού των τάσεων ισχύουν και για μη ομοιόμορφη κατανομή των τάσεων, περιλαμβανομένης και της περίπτωσης ύπαρξης μαζικών δυνάμεων. Θεωρούμε την εντατική κατάσταση στο σημείο O (Σχήμα 1.9). Πάνω ακριβώς στο σημείο O, οι τάσεις είναι σ, σ και τ. p και p είναι οι συνιστώσες του διανύσματος τάσης, που ασκείται σε επίπεδο που είναι παράλληλο στο ΑΒ και περνά από το σημείο O. F και F είναι οι συνιστώσες των μαζικών δυνάμεων στο Ο. Οι διαστάσεις του τριγωνικού στοιχείου ΑΟΒ, είναι, και s και είναι μικρές ποσότητες. Στο όριο, αν 0 και 0 με τέτοιο τρόπο ώστε = σταθερά, (δηλαδή αν η ΑΒ πλησιάζει το Ο παραμένοντας παράλληλη προς την αρχική της θέση) το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ περνά από το Ο. Από την ισορροπία δυνάμεων κατά έχουμε (p + p ) s = (σ + σ ) + (τ + τ ) (F + F ) (1.7)

13 1.4. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 13 s σ σ + B α p + p p + p F + F τ τ + F+ F O τ τ + σ σ + A Σχήμα 1.9: Εντατική κατάσταση κοντά στο σημείο O Διαιρώ την (1.7) κατά μέλη με s και παίρνω p + p = (σ + σ ) cos α + (τ + τ ) sin α (F + F ) cos α (1.8) Καθώς 0 και 0, αναγκαστικά έχουμε και ότι p 0 και F 0. Έτσι η (1.8) δίνει p = σ cos α + τ sin α (1.9) Όμοια παίρνουμε p = σ sin α + τ cos α (1.30) Οι (1.9) και (1.30) είναι ακριβώς ίδιες με τις (1.8) και (1.9). Θα δείξουμε σε επόμενο κεφάλαιο ότι τ = τ και συνεπώς οι (1.9) και (1.30) οδηγούν στις σχέσεις μετασχηματισμού (1.15) - (1.17). 1.4 Διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας Γενικά οι τάσεις μεταβάλλονται από σημείο σε σημείο μέσα σ ένα σώμα (Σχήμα 1.10). Έστω ότι η τάση στο Α είναι σ A = σ. Τότε

14 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΣΕΩΝ σ C C D σ D d σ A A d B σ B Σχήμα 1.10: Μεταβαλλόμενες τάσεις στη γειτονιά του σημείου A. σ B σ C = σ + σ d (1.31) = σ + σ d (1.3) σ D = σ B + σ B d (1.33) Από τις σχέσεις (1.31) και (1.33) παίρνουμε σ D = σ + σ d + ( ) σ d d = σ D = σ + σ d + σ d (1.34) Η δύναμη P 1 στην αριστερή πλευρά AC του στοιχείου (Σχήμα 1.11 είναι C D P 1 P A B Σχήμα 1.11: Δυνάμεις στη γειτονιά του σημείου A.

15 1.4. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 15 σ + σ + σ d P 1 = d = Η δύναμη στη δεξιά πλευρά BD είναι P 1 = σ d + 1 σ d (1.35) σ + σ d + σ + σ d + σ d P = d = Από τις (1.35) και (1.36) παίρνουμε P = σ d + σ dd + 1 σ d (1.36) P 1 P = σ dd (1.37) d + σ Θεωρώ τώρα ότι οι μέσες τάσεις στην αριστερή και στη( δεξιά πλευρά του ) στοιχείου, στο μέσο καθ ύψος του στοιχείου, είναι σ και σ αντίστοιχα. Τότε προκύπτει πάλι η (1.37). Έτσι χρησιμοποιούμε το απλοποιημένο σύστημα τάσεων, που φαίνεται στο Σχήμα 1.1, με ομοιόμορφες κατανομές σε κάθε πλευρά. Θεωρώντας ισορροπία δυνάμεων ως προς, γράφουμε ( F dd + σ + σ ) d d σ d + ( τ + τ ) d d τ d = 0 (1.38) και τελικά παίρνουμε ( σ + τ ) + F dd = 0. (1.39) Επειδή όμως dd 0, παίρνουμε σ + τ + F = 0 (1.40)

16 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΣΕΩΝ d τ σ τ τ + d σ σ + d F F τ τ + d σ σ + d τ d σ Σχήμα 1.1: Ομοιόμορφες κατανομές τάσεων στις πλευρές ορθογώνιου στοιχείου. Όμοια, από την ισορροπία κατά παίρνουμε σ + τ + F = 0 (1.41) Σε τρισδιάστατη εντατική κατάσταση οι (1.40) και (1.41) γενικεύονται στις σ + τ + τ z z + F = 0 (1.4) σ σ zz z + τ + τ z z + F = 0 (1.43) + τ z + τ z + F z = 0 (1.44) Με αναφορά το Σχήμα 1.1, παίρνουμε την εξίσωση ισορροπίας ροπών ως προς το κάτω αριστερά γωνιακό σημείο του ορθογωνίου. Έτσι έχουμε ( ) ( ) σ d dd σ d dd + ( τ + τ ) d ( τ + τ ) d dd dd + F dd d F dd d (1.45) Αγνοώντας τα γινόμενα τριών διαφορικών ως πολύ μικρές ποσότητες, παίρνω τελικά τ = τ (1.46)

17 1.5. ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΕΝΤΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 17 Μπορεί να δειχθεί και για τρισδιάστατη εντατική κατάσταση, ότι ισχύουν οι σχέσεις συμμετρίας τ = τ (1.47) τ z = τ z (1.48) τ z = τ z (1.49) Οι σχέσεις (1.4) - (1.44) και (1.47) - (1.49) αποτελούν σύστημα 3 εξισώσεων με 6 αγνώστους. Έτσι, με τα όσα έχουμε αναφέρει μέχρι τώρα, το πρόβλημα της εύρεσης της κατανομής των τάσεων μέσα σ ένα σώμα, είναι στατικά απροσδιόριστο. 1.5 Τρισδιάστατη εντατική κατάσταση Ο στόχος μας είναι να βρούμε τις τάσεις σ ένα κεκλιμένο επίπεδο, αν οι τάσεις στα επίπεδα, και z είναι γνωστές και η διεύθυνση είναι επίσης γνωστή (Σχήμα 1.13). Η διεύθυνση του επιπέδου ABC, ορίζεται από τις γωνίες που σχημα- B C σ τ z O τ τ τ σ z τ z τ z σ zz A z Σχήμα 1.13: Τάσεις στις έδρες τετράεδρου στοιχείου. τίζει η κάθετος σ αυτό (δηλαδή ο άξονας ), με τους άξονες, και z. Ορίζουμε τα συνημίτονα των γωνιών αυτών με α 11, α 1 και α 31 αντίστοιχα. σχέση Το εμβαδό του τριγώνου ΑΟC συνδέεται με το εμβαδό του τριγώνου ABC με τη Όμοια παίρνουμε και ότι A AOC = A ABC cos(, ) = Aα 1 (1.50) A AOB = Aα 31 (1.51) A BOC = Aα 11 (1.5)

18 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΣΕΩΝ όπου A είναι η επιφάνεια του τριγώνου ΑΒC και το σύμβολο (, ) αναφέρεται στη γωνία μεταξύ των αξόνων και. Έστω τώρα ότι p είναι το διάνυσμα τάσης που ασκείται στην έδρα ΑBC (Σχήμα 1.14). Οι συνιστώσες του p ως προς το σύστημα, και z, είναι p, p και p z αντίστοιχα. Από την ισορροπία δυνάμεων κατά, και z, παίρνουμε B p p C p z O p A z Σχήμα 1.14: Ανάλυση του διανύσματος τάσης p που ασκείται στην έδρα ABC. F = 0 p = σ α 11 + τ α 1 + τ z α 31 (1.53) F = 0 p = τ α 11 + σ α 1 + τ z α 31 (1.54) Fz = 0 p z = τ z α 11 + τ z α 1 + σ zz α 31 (1.55) Η σ, δηλαδή η ορθή τάση που ασκείται στην έδρα ABC, μπορεί να βρεθεί προβάλλοντας το p πάνω στον άξονα. Εναλλακτικά, μπορούμε να προβάλουμε τις συνιστώσες p, p και p z πάνω στον άξονα και να αθροίσουμε τις προβολές. Από τις (1.50) - (1.55) παίρνουμε σ = σ α 11 + σ α 1 + σ zz α 31 + τ α 11 α 1 + τ z α 1 α 31 + τ z α 31 α 11 (1.56) Η διατμητική τάση πάνω στην ABC είναι τ = p σ (1.57) όπου p = p + p + p z (1.58)

19 1.5. ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΕΝΤΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 19 Αν θέλουμε να βρούμε και τη διεύθυνση της τ, πρέπει να εισαγάγουμε ένα καινούργιο ορθογώνιο σύστημα, και z, όπου οι άξονες και z κείνται πάνω στην έδρα ΑΒC. Ορίζουμε έτσι τις διευθύνσεις, και z από τα συνημίτονα κατεύθυνσης που φαίνονται στον Πίνακα 1.1. z α 11 α 1 α 13 α 1 α α 3 z α 31 α 3 α 33 Πίνακας 1.1: Τα συνημίτονα κατεύθυνσης των αξόνων του νέου συστήματος (τονούμενου) ως προς το αρχικό σύστημα (άτονο). Στον Πίνακα 1.1, το α 11 είναι το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των αξόνων και, το α 3 είναι το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των αξόνων και z κ.ο.κ. Συνοπτικά, ο πρώτος δείκτης στο συνημίτονο κατεύθυνσης αναφέρεται στον άξονα του αρχικού συστήματος και ο δεύτερος δείκτης στον άξονα του τελικού (στραμμένου) συστήματος. Προβάλλοντας το p πάνω στις διευθύνσεις και z, παίρνουμε τις διατμητικές τάσεις τ = σ α 11 α 1 + σ α 1 α + σ zz α 31 α 3 τ (α 11 α + α 1 α 1 ) + τ z (α 1 α 3 + α 31 α ) + τ z (α 31 α 1 + α 11 α 3 ) (1.59) τ z = σ α 11 α 13 + σ α 1 α 3 + σ zz α 31 α 33 τ (α 11 α 3 + α 1 α 13 ) + τ z (α 1 α 33 + α 31 α 3 ) + τ z (α 31 α 13 + α 11 α 33 ) (1.60) Τα 9 συνημίτονα κατεύθυνσης δεν είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Θα δείξουμε

20 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΣΕΩΝ αργότερα ότι μεταξύ τους ισχύουν οι σχέσεις: α11 + α1 + α31 = 1 (1.61) α1 + α + α3 = 1 (1.6) α13 + α3 + α33 = 1 (1.63) α 11 α 1 + α 1 α + α 31 α 3 = 0 (1.64) α 1 α 13 + α α 3 + α 3 α 33 = 0 (1.65) α 11 α 13 + α 1 α 3 + α 31 α 33 = 0 (1.66) Κύριες τάσεις Αναζητώ τα επίπεδα όπου η ορθή τάση παίρνει μέγιστη τιμή, δηλαδή αναζητώ τα επίπεδα των κυρίων τάσεων για τρισδιάστατη εντατική κατάσταση. Παραγωγίζω λοιπόν την (1.56) μια φορά ως προς α 11 και μια φορά ως προς α 1. Ως προς α 31 δεν παραγωγίζουμε, διότι το α 31 εξαρτάται από τα α 11 και α 1 μέσα από τη σχέση (1.61). Τα αποτελέσματα των παραγωγίσεων τα εξισώνω με μηδέν και παίρνω α 11 σ + α 1 τ + α 31 τ z α 11 = α 11τ + α 1 σ + α 31 τ z α 1 = α 11 τ z + α 1 τ z + α 31 σ zz α 31 (1.67) Από τις (1.53) - (1.55), οι (1.67) γράφονται p α 11 = p α 1 = p z α 31 (1.68) Η σχέση (1.68) δείχνει ότι το επίπεδο όπου η ορθή τάση παρουσιάζει ακρότατο, είναι κάθετο προς το διάνυσμα τάσης. Επομένως η διατμητική τάση είναι μηδέν στο επίπεδο αυτό. Έτσι αν σ p είναι η ακρότατη τιμή της ορθής τάσης σ, ισχύουν οι σχέσεις Από τις (1.53) - (1.55) και από την (1.69) βρίσκουμε σ p = p α 11 = p α 1 = p z α 31 (1.69) α 11 (σ σ p ) + α 1 τ + α 31 τ z = 0 (1.70) α 11 τ + α 1 (σ σ p ) + α 31 τ z = 0 (1.71) α 11 τ z + α 1 τ z + α 31 (σ zz σ p ) = 0 (1.7) Μη τετριμμένη λύση των (1.70) - (1.7) ως προς α 11, α 1, α 31, (δηλαδή α 11 0, α 1 0, α 31 0), υπάρχει μόνο αν η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων

21 1.5. ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΕΝΤΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 1 είναι μηδέν, δηλαδή αν σp 3 (σ + σ + σ zz )σp+ (σ σ + σ σ zz + σ zz σ τ τz τz)σ p (σ σ σ zz + τ τ z τ z σ τz σ τz σ zz τ) = 0 (1.73) Υπάρχουν πάντα τρεις πραγματικές ρίζες της (1.73). Αυτές αντιστοιχούν στις τρεις κύριες τάσεις που συμβολίζουμε με σ 1, σ και σ 3, όπου σ 1 > σ > σ 3. Για την εύρεση των κυρίων επιπέδων, δηλαδή των επιπέδων όπου ασκούνται οι κύριες τάσεις, αντικαθιστούμε τις τιμές των σ 1, σ, σ 3 διαδοχικά στις (1.70) - (1.7). Βέβαια δύο μόνο από τις τρεις εξισώσεις (1.70) - (1.7) παραμένουν ανεξάρτητες, διότι η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων είναι μηδέν. Ως τρίτη εξίσωση χρησιμοποιούμε την α 11 + α 1 + α 31 = 0 (1.74) για κάθε τιμή της σ p. Παρατηρούμε ότι η (1.73) ορίζει τις τρεις τιμές σ 1, σ και σ 3 της σ p, ανεξάρτητα από τον προσανατολισμό του συστήματος συντεταγμένων Oz. Δηλαδή οι ποσότητες μέσα στις παρενθέσεις στη (1.73), παραμένουν αναλλοίωτες ως προς τα συστήματα συντεταγμένων και επομένως σ + σ + σ zz = σ + σ + σ zz (1.75) σ σ + σ σ zz + σ zz σ τ τ z τ z = σ σ + σ σ zz + σ zzσ τ τ z τ z (1.76) σ σ σ zz + τ τ z τ z σ τ z σ τ z σ zz τ = σ σ σ zz + τ τ zτ z σ τ z σ τ z σ zzτ (1.77) 1.5. Ακρότατες διατμητικές τάσεις Τα επίπεδα των ακρότατων διατμητικών τάσεων, μπορούν να βρεθούν αν παραγωγίσουμε την (1.57) ως προς α 11 και ως προς α 1. Τα αποτελέσματα των παραγωγίσεων τα θέτουμε ίσα με μηδέν. Προκύπτει τότε ότι η μέγιστη διατμητική τάση είναι τ ma = σ 1 σ 3 (1.78) όπου σ 1 είναι η μέγιστη κύρια τάση και σ 3 είναι η ελάχιστη κύρια τάση. Η τ ma ασκείται σε επίπεδο που διχοτομεί τα επίπεδα της μέγιστης και της ελάχιστης κύριας τάσης (Σχήμα 1.15). Στην εξαγωγή αυτού του αποτελέσματος θεωρούμε σαν αρχικό σύστημα, το κύριο σύστημα τάσεων.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΣΕΩΝ σ 45 ο 45 ο σ 3 σ 1 Σχήμα 1.15: Επίπεδα ακρότατων διατμητικών τάσεων (με πράσινο χρώμα). 1.6 Ασκήσεις Άσκηση Δείξτε ότι οι τάσεις σ = σ = σ 0 (1.79) τ = τ = τ 0 0 (1.80) δεν ορίζουν την εντατική κατάσταση σ ένα σημείο. (Υπόδειξη: Δείξτε ότι με τις δεδομένες τάσεις, δεν είναι δυνατό να προσδιοριστεί η γωνία α.) Δείξτε ότι οι παραπάνω τάσεις, ορίζουν την εντατική κατάσταση σ ένα σημείο, αν είναι δεδομένη και η γωνία α Άσκηση Λεπτή πλάκα βρίσκεται υπό ομοιόμορφη εντατική κατάσταση όπως στο Σχήμα Να βρεθούν οι κύριες τάσεις και οι κύριες διευθύνσεις Άσκηση Δίνεται η παρακάτω τρισδιάστατη εντατική κατάσταση σ = 8MP a, σ zz = 6MP a, σ = MP a, τ = τ z = τ z = 0 (1.81) Να βρεθούν οι τάσεις ως προς νέο σύστημα αξόνων,, z, όπου α 11 = 5, α 1 = 1 5, α 33 = +1 (1.8)

23 1.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 10MPa 45 o 10MPa Σχήμα 1.16: Λεπτή πλάκα υπό ομοιόμορφη διάτμηση.

24 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΣΕΩΝ

25 Κεφάλαιο Ανάλυση παραμορφώσεων και μετατοπίσεων.1 Σχέσεις παραμορφώσεων και μετατοπίσεων Ένα σώμα λέμε ότι παραμορφώνεται όταν οι σχετικές θέσεις των υλικών σημείων του αλλάζουν. Aυτή η κατάσταση είναι διαφορετική από την κίνηση στερεού σώματος, όπου η απόσταση μεταξύ δύο σημείων του παραμένει αμετάβλητη. Όταν ασκούνται δυνάμεις σ ένα σώμα, η θέση κάθε σημείου του σώματος γενικά αλλάζει. Η μετατόπισή ενός σημείου είναι, το διάνυσμα από την αρχική μέχρι την τελική θέση του σημείου. Συμβολίζουμε τις συνιστώσες της μετατόπισης κατά, και z με u, v και w αντίστοιχα. Θεωρούμε ράβδο που υπόκειται σε μονοαξονική ένταση (Σχήμα.1). Τα σημεία A και B παίρνουν τις θέσεις A και B αντίστοιχα, στην παραμορφωμένη κατάσταση. Ορίζοντας την ορθή παραμόρφωση ϵ, ως την ανηγμένη αλλαγή μήκους, έχουμε ϵ = ( ) u d d = u (.1) Οι δύο δείκτες αναφέρονται στη διεύθυνση της ίνας ΑΒ του υλικού στην απαραμόρφωτη κατάσταση. Έστω τώρα επίπεδη εντατική κατάστασή που ορίζεται από τις εξισώσεις u = u(,, z), v = v(,, z), w = 0 (.) Θεωρούμε την παραμόρφωση και μετατόπιση του στοιχειώδους ορθογωνίου ABCD που παίρνει την τελική θέση A B C D (Σχήμα.). H παραμόρφωση έχει δύο διακεκριμένους τύπους. Ο πρώτος τύπος παραμόρφωσης σχετίζεται με την αλλαγή του μήκους των πλευρών του ορθογωνίου και ο δεύτερος τύπος παραμόρφωσης 5

26 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ d A B u Απαραµορφωτη κατασταση u+ u d A B σ Παραµορφωµενη κατασταση Σχήμα.1: Ράβδος υπό μονοαξονική ένταση. συνδέεται με τη στροφή της μιας πλευράς ως προς την άλλη. Η ορθή παραμόρφωση (τροπή) σε δεδομένη διεύθυνση ορίζεται ως η ανηγμένη αλλαγή μήκους (δηλαδή η αλλαγή μήκους ανά μονάδα αρχικού μήκους), μιας γραμμής υλικού που αρχικά ήταν προσανατολισμένη στη δεδομένη διεύθυνση. Η διατμητική παραμόρφωση (τροπή) ορίζεται ως η μεταβολή της αρχικά ορθής γωνίας μεταξύ δύο αξόνων (η γωνία μετριέται σε ακτίνια). Η διατμητική παραμόρφωση είναι θετική αν η ορθή γωνία μεταξύ των θετικών ημιαξόνων, μειώνεται. Γωνίες γραφόμενες κατά την αντιωρολογιακή φορά θεωρούνται θετικές, γι αυτό και χρησιμοποιούμε το λ στο Σχήμα.. Σύμφωνα με το Σχήμα. έχουμε: ϵ = A B AB AB ϵ = A D AD AD = A B d d = A D d d (.3) (.4) γ = π β = θ λ (.5) Στη γραμμική θεωρία της ελαστικότητας που θα εξετάσουμε, θεωρούμε ότι οι παραμορφώσεις και οι χωρικές παράγωγοι των μετατοπίσεων είναι μικρές ποσότητες. Έστω u και v οι μετατοπίσεις του σημείου Α. Οι μετατοπίσεις του Β θα είναι u + u d (.6) v + v d (.7)

27 .1. ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ 7 υ d u d D C A λ β θ d B υ d d D A C B υ d u d d u O Σχήμα.: Μετατόπιση και παραμόρφωση ορθογώνιου στοιχείου. και οι μετατοπίσεις του D θα είναι u + u d (.8) v + v d (.9) Έτσι έχουμε (A B ) = [d(1 + ϵ )] = ( d + u ϵ + ϵ + 1 = 1 + u + ) ( ) v d + d = ( ) ( ) u v + = ϵ = u (.10) αγνοώντας όρους με δυνάμεις, πολύ μικρούς. Με παρόμοια διαδικασία παίρνουμε ϵ = v (.11)

28 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ Από το Σχήμα. παρατηρούμε ότι θ = v d d + u d (.1) διότι για μικρές γωνίες θ ισχύει ότι θ = tan θ. Από την (.1) προκύπτει ότι θ = v (.13) και με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι λ = u (.14) Από τις (.13), (.14) και (.10) παίρνουμε τη σχέση γ = u + v (.15) όπου οι μερικές παράγωγοι στη (.15) είναι θετικές αν οι ΑΒ και ΑD στρέφονται η μια προς την άλλη, δηλαδή όταν οι u και v αυξάνονται όταν αυξάνεται το και το αντίστοιχα. Γενικεύοντας σε τρεις διαστάσεις έχουμε τις σχέσεις ϵ = u ϵ = v ϵ zz = w z γ = u + v γ z = v z + w γ z = w + u z (.16) (.17) (.18) (.19) (.0) (.1) Από τις (.19) - (.1) παρατηρούμε ότι ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις συμμετρίας: γ = γ (.) γ z = γ z (.3) γ z = γ z (.4)

29 .. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΜΒΙΒΑΣΤΟΥ 9. Εξισώσεις συμβιβαστού Αν δοθούν οι συνιστώσες της μετατόπισης u, v και w σαν συναρτήσεις των, και z, μπορούμε να βρούμε τις έξι συνιστώσες της παραμόρφωσης από ϵ, ϵ, ϵ zz, γ, γ z και γ z από τις σχέσεις (.16) - (.1). Αν δοθούν όμως οι έξι συνιστώσες της παραμόρφωσης σαν συναρτήσεις των, και z και ζητάμε να βρούμε τις μετατοπίσεις u, v και w, έχουμε να λύσουμε ένα σύστημα έξι εξισώσεων με τρεις αγνώστους. Ένα τέτοιο σύστημα δεν έχει λύση εκτός αν οι συνιστώσες της παραμόρφωσης συνδέονται μεταξύ τους με κάποιες σχέσεις. Παραγωγίζοντας την (.16) δύο φορές ως προς, την (.17) δύο φορές ως προς και προσθέτοντας τις προκύπτουσες σχέσεις κατά μέλη, παίρνουμε ϵ + ϵ = 3 u + 3 v (.5) Από την (.19) παίρνουμε γ = ( u + v ) (.6) Από τις (.5) και (.6) προκύπτει ότι ϵ + ϵ = γ (.7) Όμοια δείχνουμε ότι ισχύουν και οι σχέσεις ϵ z = ( ϵ z = ϵ zz = z ϵ z ϵ zz + ϵ zz + ϵ z γ z + γ z ( γz γ z ( γz + γ z = γ z z = γ z z + γ ) z + γ z γ z ) ) (.8) (.9) (.30) (.31) (.3) Οι σχέσεις (.7) - (.3) είναι οι εξισώσεις συμβιβαστού των παραμορφώσεων. Οι συνιστώσες της παραμόρφωσης ϵ, ϵ, ϵ zz, γ, γ z και γ z, πρέπει να ικανοποιούν τις (.7) - (.3) έτσι ώστε να είναι ολοκληρώσιμες και να μπορούν να δώσουν τις συσνιστώσες των μετατοπίσεων u, v και w.

30 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ.3 Παραμορφώσεις σε σημείο Σε κατάσταση επίπεδης παραμόρφωσης, δηλαδή όταν u = u(, ), v = v(, ) και w = 0, αν δίνονται τα στοιχεία ϵ, ϵ και γ σ ένα σημείο του σώματος, είναι δυνατό να βρούμε τις παραμορφώσεις σ ένα στοιχείο προσανατολισμένο σ οποιαδήποτε διεύθυνση στο σημείο αυτό. Σε στοιχειώδες ορθογώνιο στοιχείο (Σχήμα.3, αν οι μετστοπίσεις του σημείου P 0 είναι u και v, τότε οι μετοπίσεις του σημείου P θα είναι u + u v + v u d + d (.33) v d + d (.34) Αναζητούμε τις παραμορφώσεις ϵ, ϵ και γ ως προς το σύστημα. Ισχύουν οι σχέσεις QR = u RP = v u d + d (.35) v d + d (.36) Προβάλλουμε τα QR και RP στη διεύθυνση και παίρνουμε P S cos ψ = QR cos α + RP sin α (.37) Αλλά cos ψ 1 (.38) διότι το ψ είναι πολύ μικρό. Έτσι από τις (.35) - (.38) παίρνουμε ϵ = P S ds = ( v ( u d d ds + v ds + u ) d ds d ds ) sin α = cos α + ϵ = ϵ cos α + ϵ sin α + γ sin α cos α (.39) διότι d = sin α (.40) ds d = cos α (.41) ds (.4)

31 .3. ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ 31 P P ds α d P 0 υ P 0 d u S P ψ Q R d P 0 α d Σχήμα.3: Μετατοπίσεις και παραμορφώσεις στη γειτονιά του σημείου P 0.

32 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ H (.39) γράφεται και ως ϵ = ϵ + ϵ Αν θέσουμε όπου α το α + π + ϵ ϵ cos α + γ στην (.43) παίρνουμε τη σχέση sin α (.43) ϵ = ϵ + ϵ ϵ ϵ cos α γ sin α (.44) Σχετικά με τη διατμητική παραμόρφωση γ, γράφουμε αρχικά tan ψ ψ = QS ds = (RP ) cos α (QR) sin α (P S)ψ ds (.45) Αλλά (P S)ψ = ϵ dsψ (.46) και είναι αμελητέο σε σχέση με τους υπόλοιπους όρους της (.45). Έτσι προκύπτει ότι ψ = ( v d ds + u ) d cos α ds ( u d ds + u ) d sin α = ds ψ = (ϵ ϵ ) sin α cos α + v cos α u sin α (.47) Η (.47) εκφράζει τη στροφή (γωνιακή μετατόπιση) του άξονα. H στροφή του άξονα βρίσκεται από την (.47), αν όπου α θέσω το α + π. Τελικά παίρνουμε Αλλά ψ α+ π = (ϵ ϵ ) cos α sin α + v sin α u cos α (.48) γ = ψ ψ α+ π = (ϵ ϵ ) cos α sin α + ( v + u ) (cos α sin α) = γ = (ϵ ϵ ) sin α + γ cos α (.49) Παρατηρούμε ότι υπάρχει ομοιότητα μεταξύ των σχέσεων (.43), (.44) και (.49) και των αντίστοιχων σχέσεων μετασχηματισμού των τάσεων (1.15) - (1.17). Έτσι αλλάζοντας το σ σε ϵ και το τ σε γ, παίρνουμε από τις εξισώσεις μετασχηματισμού των τάσεων, τις εξισώσεις μετασχηματισμού των παραμορφώσεων. Για τα επίπεδα των κυρίων παραμορφώσεων ισχύει ότι tan α = γ ϵ ϵ (.50)

33 .4. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ 33 και για τις τιμές των κυρίων παραμορφώσεων ισχύουν οι σχέσεις ϵ 1 = ϵ + ϵ ϵ = ϵ + ϵ + 1 (ϵ ϵ ) + γ (.51) 1 (ϵ ϵ ) + γ (.5) Ανάλογες σχέσεις, με αυτές του μετασχηματισμού των τάσεων σε τρεις διαστάσεις, προκύπτουν και για τις παραμορφώσεις σε τρεις διαστάσεις π.χ. ϵ = ϵ α 11 + ϵ α 1 + ϵ zz α 31 + γ α 11 α 1 + γ z α 1 α 31 + γ z α 31 α 11 (.53).4 Γενικευμένες μετατοπίσεις Αν μας δοθούν οι συνιστώσες u, v και w της μετατόπισης, σαν συναρτήσεις των συντεταγμένων, και z μέσα σ ένα σώμα, μπορούμε να βρούμε τις παραμορφώσεις και τη γεωμετρία κάθε στοιχείου απειροστών διαστάσεων, στην παραμορφωμένη κατάσταση (Σχήμα.3). Aν δοθούν όμως οι παραμορφώσεις και τις ολοκληρώσουμε για να βρούμε τις μετατοπίσεις u, v και w, θα προκύψουν σταθερές ολοκλήρωσης, Θα δείξουμε ότι οι τελευταίες, αντιστοιχούν σε μετατοπίσεις και στροφές στερεού (απαραμόρφωτου) σώματος. Το στοιχείο του Σχήματος.4 ω z0 = u d d ω z0 = υ Σχήμα.4: Στροφή στερεού σώματος. στρέφεται σαν στερεό (απαραμόρφωτο) σώμα κατά μια μικρή γωνία ω z0. Ισχύει ότι ω z0 = v = u (.54)

34 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ Κατά τη στροφή αυτή δεν αναπτύσσονται παραμορφώσεις. Αν μαζί με τη στροφή στερεού σώματος, αναπτύσσονται και παραμορφώσεις μέσα στο σώμα, ορίζουμε την ποσότητα ω z = 1 ( v u ) (.55) Η ω z εκφράζει το μέσο όρο της γωνιακής μετατόπισης (στροφής) των πλευρών d και d του ορθογωνίου και ονομάζεται στροφή Από το Σχήμα.3, βρίσκουμε ότι η μετατόπιση κατά του σημείου C θα είναι u + du όπου du = u du = u d + 1 u d + d = ( u + v ) d + 1 ( u v ) d = du = ϵ d + 1 γ d ω z d (.56) Οι δύο πρώτοι όροι στην (.56) παριστάνουν τη μεταβολή της μετατόπισης στο σημείο C σε σχέση με το σημείο Α, με αναφορά το Σχήμα., λόγω των παραμορφώσεων ϵ και γ. Η μεταβολή αυτή οφείλεται μόνο σε καθαρή παραμόρφωση. Η καθαρή αυτή παραμόρφωση παριστάνεται στο Σχήμα.5. Ο τελευταίος όρος στην 1 γ 1 γ d C D D C d A d B ε d B 1 γ Σχήμα.5: Κατάσταση καθαρής παραμόρφωσης. (.56) παριστάνει μια μετατόπιση λόγω στροφής, που αν προστεθεί στη μετατόπιση λόγω καθαρής παραμόρφωσης, το στοιχείο θα πάρει την τελική του θέση.

35 .4. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ 35 Αποδεικνύεται ότι η γωνία ω z παριστάνει τη μικρή γωνιακή μετατόπιση (στροφή) των κυρίων αξόνων παραμόρφωσης. Όμοια μπορούμε να δείξουμε ότι, η σχετική μετατόπιση κατά τον άξονα, του σημείου C ως προς το Α είναι dv = ϵ d + 1 γ d ω z d (.57) Οι σχέσεις (.56) και (.57) μπορούν να ολοκληρωθούν, αν ικανοποιούνται οι εξισώσεις συμβιβαστού των παραμορφώσεων. Το ολοκλήρωμά τους περιλαμβάνει συναρτήσεις της μορφής u = u 0 ω z0 (.58) v = v 0 + ω z0 (.59) Οι συναρτήσεις μετατοπίσεων u και v δεν παράγουν παραμορφώσεις, όπως φαίνεται από τις εξισώσεις (.16), (.17) και (.19). Μπορούν επομένως να προστίθενται σε οποιοδήποτε πεδίο μετατοπίσεων, χωρίς να αλλάζει η κατανομή των παραμορφώσεων. Εκφράζουν γενικευμένη μετατόπιση στερεού σώματος, που περιλαμβάνει μεταφορά (u 0, v 0 ) και μικρή στροφή ω z0. Αν δίνεται η μετατόπιση (u 0, v 0 ) και η στροφή ω z0 σ ένα σημείο του σώματος, τότε βρίσκουμε πλήρως, χωρίς αυθαίρετες σταθερές, τις μετατοπίσεις που αντιστοιχούν σε δεδομένες παραμορφώσεις. Η στροφή ω z0 αναφέρεται στην κίνηση ολόκληρου του σώματος, σαν στερεό σώμα, δηλαδή είναι ανεξάρτητη από τις χωρικές συντεταγμένες. Η ω z εκφράζει τη στροφή ενός στοιχείου του σώματος, απειροστών διαστάσεων και εξαρτάται από τις χωρικές συντεταγμένες. Οι (.55) - (.57) γενικεύονται σε τρεις διαστάσεις ως du = ϵ d + 1 γ d + 1 γ zdz ω z d + ω dz (.60) dv = ϵ d + 1 γ d + 1 γ zdz ω dz + ω z d (.61) dw = ϵ zz dz + 1 γ zd + 1 γ zd ω d + ω d (.6) όπου ω = ω = ω z = ( w v ) z ( u z w ) ( v u ) (.63) (.64) (.65) (.66)

36 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ είναι οι μικρές γωνίες στροφής γύρω από άξονες παράλληλους προς, και z. Ολοκληρώνοντας τις (.60) - (.6), οι αυθαίρετες συναρτήσεις ολοκλήρωσης παίρνουν τη μορφή u = u 0 ω z0 + ω 0 z (.67) v = v 0 ω 0 z + ω z0 (.68) w = w 0 ω 0 + ω 0 (.69) αλλά δεν επηρεάζουν τις παραμορφώσεις. Έτσι σε προβλήματα της ελαστικότητας συχνά αγνοούμε τις μετατοπίσεις στερεού σώματος..5 Αρχή της επαλληλίας Δύο επί μέρους καταστάσεις μικρών παραμορφώσεων μπορούν να προστεθούν και να μας δώσουν τη συνολική παραμόρφωση που θα προέκυπτε από την επάλληλη (η μια αμέσως μετά την άλλη) εφαρμογή τους. Η σειρά επιβολής των δύο επί μέρους καταστάσεων παραμόρφωσης, δεν έχει σημασία. Στο Σχήμα.6 φαίνονται δύο επί μέρους καταστάσεις εφελκυστικής παραμόρφωσης μιας ράβδου, με αντίστοιχες επιμηκύνσεις u 1 και u και ομοιόμορφες παραμορφώσεις ϵ 1 και ϵ. Αν L u ε 1 = 1 L u 1 σ 1 ε u = L u σ Σχήμα.6: Δύο επί μέρους καταστάσεις παραμόρφωσης. εφαρμοστεί πρώτα η ϵ 1 και μετά η ϵ, η τελική μετατόπιση της ράβδου θα είναι u = u 1 + ϵ (L + u 1 ) = u 1 + ϵ (L + ϵ 1 L) = u 1 + ϵ L + ϵ ϵ 1 L = u u 1 + u (.70) Το γινόμενο ϵ 1 ϵ είναι πολύ μικρό σε σχέση με τα ϵ 1 και ϵ.

37 .6. ΑΣΚΗΣΗ 37.6 Άσκηση Το παραλληλόγραμμο ABCD και το ορθογώνιο EFGH είναι χαραγμένα πάνω στην επιφάνεια επίπεδης πλάκας (Σχήμα.7). Όταν η πλάκα φορτίζεται το παραλληλόγραμμο ABCD παραμορφώνεται στο Α B C D (Σχήμα.8). Βρείτε το παραμορφωμένο σχήμα του ορθογωνίου EFGH, υπολογίζοντας τις αλλαγές μηκών των πλευρών του και τη μεταβολή της ορθής γωνίας μεταξύ των πλευρών HΕ και HG. Επίσης να βρεθεί η διατμητική παραμόρφωση γ. Υπόδειξη: Βρείτε πρώτα την ϵ από τη γεωμετρία του παραλληλογράμμου Α Β C D. 10 mm 10 mm C 5 mm F G D A.5mm E H B Σχήμα.7: Απαραμόρφωτη πλάκα. C 10.0 mm D mm rad rad B A Σχήμα.8: Παραμορφωμένη πλάκα.

38 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ

39 Κεφάλαιο 3 Διατύπωση των προβλημάτων της ελαστικότητας 3.1 Εισαγωγή Υπενθυμίζουμε τις αναγκαίες εξισώσεις που πρέπει να ικανοποιούν οι τάσεις, οι παραμορφώσεις και οι μετατοπίσεις. Οι εξισώσεις ισορροπίας είναι σ + τ + τ z z + F = 0 (,, z) (3.1) όπου το (,, z) δείχνει ότι υπάρχουν άλλες δυο εξισώσεις που προκύπτουν με κυκλική εναλλαγή των,, z. Οι εξισώσεις παραμορφώσεων - μετατοπίσεων είναι ϵ = u γ = u + v (,, z; u, v, w) (3.) και οι σχέσεις τάσεων και παραμορφώσεων για γραμμικά ελαστικά και ισότροπα υλικά είναι } σ = Gϵ + λϵ τ = Gγ (,, z) (3.3) Οι (3.1) - (3.3) είναι οι 15 διέπουσες εξισώσεις εκφρασμένες σαν συναρτήσεις των 15 μεταβλητών τάσης, παραμόρφωσης και μετατόπισης σ, σ, σ zz, τ, τ z, τ z, ϵ, ϵ, ϵ zz, γ, γ z, γ z, u, v και w. Οι διέπουσες εξισώσεις πρέπει να ικανοποιούνται σε κάθε σημείο στο εσωτερικό ενός ελαστικού σώματος και λέγονται και εξισώσεις πεδίου. Επίσης, στο σύνορο του σώματος, οι τάσεις και οι μετατοπίσεις που ικανοποιούν τις εξισώσεις πεδίου πρέπει να ικανοποιούν και τις προκαθορισμένες συνοριακές συνθήκες. 39

40 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 3. Συνοριακές συνθήκες Στο Σχήμα 3.1 φαίνεται η επιφανειακή δύναμη T µ που ασκείται στο σημείο με συντεταγμένες ( 0, 0, z 0 ), το οποίο βρίσκεται πάνω στο σύνορο ενός σώματος. Αν 0 T µ µ µ T T µ Σχήμα 3.1: Επιφανειακή δύναμη στο σύνορο ενός σώματος. σ 0, τ 0 κ. λ. π είναι οι τάσεις στο σύνορο του σώματος, τότε ισχύουν οι σχέσεις T µ = σ 0 µ + τ 0 µ + τ z0 µ z (3.4) T µ = τ 0 µ + σ 0 µ + τ z0 µ z (3.5) T µ z = τ z0 µ + τ z0 µ + σ zz0 µ z (3.6) Σε άλλη περίπτωση μπορεί να δίνονται οι μετατοπίσεις σ ένα τμήμα του συνόρου ή σ ολόκληρο το σύνορο. Τότε θα έχουμε u( 0, 0, z 0 ) = u b (3.7) v( 0, 0, z 0 ) = v b (3.8) w( 0, 0, z 0 ) = w b (3.9) όπου u b, v b και w b είναι οι προκαθορισμένες μετατοπίσεις στο σύνορο και u( 0, 0, z 0 ), v( 0, 0, z 0 ) και w( 0, 0, z 0 ) είναι οι τιμές των συναρτήσεων των μετατοπίσεων στο σώμα, υπολογισμένες όμως πάνω στο σύνορο. Εννοείται ότι και οι τάσεις σ 0, τ 0... είναι συναρτήσεις των, και z, που προκύπτουν από τις εξισώσεις πεδίου και υπολογίζονται στο σύνορο, όπου το αντικαθίσταται από το 0 κ. λ. π. Ένα πρόβλημα όπου είναι προκαθορισμένο το διάνυσμα τάσης σ ολόκληρο το σύνορο, λέγεται συνοριακό πρόβλημα πρώτου είδους της ελαστικότητας. Παράδειγμα, ο μονοαξονικός εφελκυσμός κατά ενός πρίσματος με έδρες παράλληλες προς τους άξονες, και z (Σχήμα 3.). Έστω p η εφελκυστική τάση που εφαρμόζεται στις ακραίες, κατά, έδρες του πρίσματος. Οι προκαθορισμένες συνοριακές συνθήκες ανά μονάδα επιφάνειας στις έδρες αυτές είναι T µ = ±p, T µ = T µ z = 0 (3.10)

41 3.. ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ 41 p z l p Σχήμα 3.: Μονοαξονικός εφελκυσμός πρίσματος. όπου το +p αναφέρεται στο θετικό κατά επίπεδο και το p αναφέρεται στο αρνητικό κατά επίπεδο. Επειδή στις κάθετες στον άξονα ακραίες έδρες ισχύει ότι οι (3.4) - (3.6) δίνουν στις έδρες αυτές µ = ±1, µ = µ z = 0 (3.11) σ 0 = p, τ 0 = τ z0 = 0 (3.1) Έτσι στο θετικό κατά επίπεδο, στη θέση = l, θα έχουμε σ (l,, z) = p, τ (l,, z) = τ z (l,, z) = 0 (3.13) Στις παράπλευρες έδρες του πρίσματος έχουμε T µ = T µ = T µ z = 0 (3.14) Έτσι στις κατά έδρες έχουμε µ = 0, µ = ±1, µ z = 0 (3.15) και οι (3.4) - (3.6) δίνουν σ 0 = τ 0 = τ z0 = 0 (3.16) Όμοια στις κατά z έδρες προκύπτει ότι σ zz0 = τ z0 = τ z0 = 0 (3.17) Στην περίπτωση που οι μετατοπίσεις ορίζονται σ ολόκληρο το σύνορο ενός σώματος, έχουμε το συνοριακό πρόβλημα δεύτερου είδους της ελαστικότητας. Παράδειγμα είναι ένα μεταλλικό ορθογώνιο εγκιβωτισμένο μέσα σ ένα απαραμόρφωτο κουτί. Όταν θερμανθεί το ορθογώνιο, οι έδρες του δε μπορούν να μετακινηθούν.

42 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Έτσι αν οι έδρες του ορθογωνίου είναι παράλληλες προς τους άξονες, και z, τότε οι συνοριακές συνθήκες είναι u b = v b = w b = 0 (3.18) σ όλες τις έδρες. Τέλος, στο μικτό συνοριακό πρόβλημα της ελαστικότητας, οι μετατοπίσεις ορίζονται σ ένα τμήμα του συνόρου του σώματος και το διάνυσμα τάσης ορίζεται στο υπόλοιπο τμήμα του συνόρου. 3.3 Διέπουσες εξισώσεις σε προβλήματα επίπεδης παραμόρφωσης Κατάσταση επίπεδης παραμόρφωσης έχουμε σ ένα σώμα όπου το πεδίο των μετατοπίσεων δίνεται από τις σχέσεις u = u(, ) (3.19) v = v(, ) (3.0) w = 0 (3.1) Οι μόνες μη μηδενιζόμενες συνιστώσες της μετατόπισης u και v, είναι συναρτήσεις των και μόνο. Σε πρακτικά προβλήματα, το σώμα είναι πρισματικό με το διαμήκη άξονά του κατά τη διεύθυνση z. Θέτοντας τις (3.19) - (3.1) στις (3.) παίρνουμε ϵ = u ϵ = v γ = u + v (3.) (3.3) (3.4) ενώ ϵ zz = γ z = γ z = 0 (3.5) Από το γενικευμένο νόμο Hooke (3.3) καταλήγουμε στις σχέσεις σ = Gϵ + λ(ϵ + ϵ ) (3.6) σ = Gϵ + λ(ϵ + ϵ ) (3.7) τ = Gγ (3.8)

43 3.3. ΔΙΕΠΟΥΣΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 43 ενώ τ z = τ z = 0 (3.9) σ zz = λ(ϵ + ϵ ) = ν(σ + σ ) (3.30) Η τάση σ zz δε θα εμφανιστεί σε άλλες διέπουσες εξισώσεις και δε θα θεωρηθεί ως άγνωστη ποσότητα, μιας και όπως φαίνεται από τη σχέση (3.30) εξαρτάται από τις σ και σ. Στην κατάσταση επίπεδης παραμόρφωσης ισχύει ότι ϵ zz = 0 αλλά σ zz 0. Οι εξισώσεις ισορροπίας (3.1), στην κατάσταση επίπεδης παραμόρφωσης, παίρνουν τη μορφή σ ενώ η εξίσωση ισορροπίας κατά z δίνει + τ + F = 0 (3.31) σ + τ + F = 0 (3.3) F z = 0 (3.33) Η συνιστώσα της μαζικής δύναμης κατά τη διεύθυνση z, είναι ίση με μηδέν στην επίπεδη παραμόρφωση. Επί πλέον, στην επίπεδη παραμόρφωση το σώμα πρέπει να είναι κυλινδρικό (πρισματικό), δηλαδή με αμετάβλητη διατομή κατά τη διεύθυνση z. Οι επιφανειακές δυνάμεις πρέπει να είναι ανεξάρτητες του z και να μην έχουν συνιστώσα κατά z. Τα κυλινδρικά σώματα μπορούν να είναι είτε απείρου μήκους (Σχήμα 3.3), είτε z 8 Σχήμα 3.3: Πρίσμα άπειρου μήκους σε κατάσταση επίπεδης παραμόρφωσης. πεπερασμένου μήκους σε εξαναγκασμένη επαφή στα άκρα τους, με λεία, αμετακίνητα τοιχώματα, που είναι κάθετα στον z (Σχήμα 3.4). Αν το σώμα έχει άπειρο

44 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ l z Σχήμα 3.4: Πρίσμα πεπερασμένου μήκους σε κατάσταση επίπεδης παραμόρφωσης. μήκος και φορτίζεται με δυνάμεις που ικανοποιούν τους παραπάνω περιορισμούς, όλες οι διατομές είναι επίπεδα συμμετρίας. Για το λόγο αυτό η συνιστώσα w της μετατόπισης είναι ίση με μηδέν. Αν το σώμα είναι πεπερασμένου μήκους με λεία αμετακίνητα άκρα, οι συνοριακές συνθήκες είναι w b = w(,, 0) = w(,, l) = τ z0 = τ z0 = 0 (3.34) Έτσι οι μόνες απαιτούμενες συνοριακές συνθήκες, για προβλήματα επίπεδης παραμόρφωσης, είναι αυτές που ορίζονται πάνω στην παράπλευρη επιφάνεια. Οι επιφανειακές δυνάμεις στην παράπλευρη επιφάνεια εκφράζονται ως T µ = T µ ( 0, 0 ) (3.35) T µ = T µ ( 0, 0 ) (3.36) T z µ = 0 (3.37) Επειδή µ z = 0 στην παράπλευρη επιφάνεια T µ ( 0, 0 ) = σ 0 µ + τ 0 µ (3.38) T µ ( 0, 0 ) = τ 0 µ + σ 0 µ (3.39) και η T z µ = 0 ικανοποιείται αυτόματα εξ αιτίας της (3.6). Αν δίνονται οι μετατοπίσεις στην παράπλευρη επιφάνεια έχουμε τις συνοριακές συνθήκες u( 0, 0 ) = u b (3.40) v( 0, 0 ) = v b (3.41) Έτσι έχουμε να βρούμε τους 8 αγνώστους σ, σ, τ, ϵ, ϵ, γ, u και v, από τις 8 εξισώσεις (3.) - (3.4), (3.6) - (3.8), (3.31), (3.3) και βέβαια με χρήση των συνοριακών συνθηκών (3.38) - (3.39) ή (3.40) - (3.41).

45 3.4. Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ 45 Επειδή στην επίπεδη παραμόρφωση, γενικά έχουμε ότι σ zz 0, η δύναμη που αναπτύσσεται στα ακραία επίπεδα στην περίπτωση του πρίσματος πεπερασμένου μήκους είναι P z = σ zz d d (3.4) Οι 8 διέπουσες εξισώσεις της επίπεδης παραμόρφωσης, μπορούν να μειωθούν σε εξισώσεις εκφρασμένες σαν συναρτήσεις των μετατοπίσεων u και v μόνο. Αυτές είναι οι εξισώσεις Navier και δίνονται από τις σχέσεις όπου G u + (λ + G) ( u + v ) G v + (λ + G) ( u + v ) + F = 0 (3.43) + F = 0 (3.44) = + (3.45) Οι (3.43) - (3.44) είναι χρήσιμες στα συνοριακά προβλήματα δεύτερου είδους. Εναλλακτικά οι 8 εξισώσεις μπορούν να μειωθούν σε 3 εξισώσεις, εκφρασμένες σαν συναρτήσεις των τάσεων. Αυτές είναι οι εξισώσεις Beltrami - Michell και περιλαμβάνουν τις εξισώσεις ισορροπίας (3.31), (3.3) και την εξίσωση (σ + σ ) = 1 ( F 1 ν + F ) (3.46) Οι (3.31), (3.3) και η (3.46) είναι χρήσιμες στα συνοριακά προβλήματα πρώτου είδους. 3.4 Η Αρχή της Επαλληλίας Η Αρχή της Επαλληλίας διατυπώνεται ως εξής: Οι εξαρτημένες μεταβλητές, τάση, παραμόρφωση και μετατόπιση, που προκαλούνται από την ξεχωριστή δράση κάθε μιας ομάδας εξωτερικών «φορτίων», (που μπορεί να περιέχει μαζικές δυνάμεις, επιφανειακές δυνάμεις και δεδομένες συνοριακές μετατοπίσεις) μπορούν να προστεθούν και να δώσουν τις συνολικές τιμές από την ταυτόχρονη δράση των ομάδων αυτών. Έστω σ, σ,... τ z μια κατανομή τάσεων που ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες με επιφανειακές δυνάμεις T µ, T µ και T z µ και μαζικές δυνάμεις F, F και F z. Παραπέρα έστω μια νέα κατανομή τάσεων σ, σ,..., τ z στο ίδιο σώμα με μαζικές δυνάμεις F, F και F z και επιφανειακές συνοριακές δυνάμεις T µ, T µ

46 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ και T µ z. Οι εξισώσεις ισορροπίας για τις δύο καταστάσεις είναι σ ij + F i = 0 j σ ij + F i = 0 j Οι εξισώσεις συμβιβαστού για τα δύο συστήματα δυνάμεων είναι σ ik ν σ jj,ik = ν 1 ν δ ikf j,j (F i,k + F k,i ) σ ik ν σ jj,ik = ν 1 ν δ ikf j,j (F i,k + F k,i) (3.47) (3.48) και οι συνοριακές συνθήκες είναι T µ i T µ i = σ ji µ j = σ jiµ j } (3.49) Προσθέτοντας χωριστά κατά μέλη τις (3.47), (3.48) και (3.49) παίρνουμε (σ ij + σ ij),j + (F i + F i ) = 0 (3.50) (σ ik + σ ik) ν (σ jj + σ jj),ik = ν 1 ν δ ik(f j + F j),j [(F i + F i),k + (F k + F k),i ] (3.51) T µ i + T µ i = (σ ij + σ ji)µ j (3.5) που είναι οι διέπουσες εξισώσεις και οι συνοριακές συνθήκες για τη συνολική (ταυτόχρονη) δράση των δύο συστημάτων δυνάμεων. Η επαλληλία ισχύει διότι οι διέπουσες εξισώσεις και οι συνοριακές συνθήκες είναι γραμμικές ως προς τις εξαρτημένες μεταβλητές και τις παραγώγους τους. Το τελευταίο ισχύει διότι θεωρούμε ότι οι παραμορφώσεις είναι μικρές και ότι οι σχέσεις τάσεων - παραμορφώσεων είναι γραμμικές. 3.5 Μοναδικότητα των λύσεων της γραμμικής ελαστικότητας Έστω ένα ελαστικό σώμα που υπόκειται σε συνοριακές δυνάμεις T µ, T µ και σε μαζικές δυνάμεις F, F και F z. Έστω ότι υπάρχουν δύο κατανομές T z µ τάσεων σ ij και σ ij, που ικανοποιούν τις διέπουσες εξισώσεις και τις συνοριακές και

47 3.6. Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ SAINT - VENANT 47 συνθήκες. Οι εξισώσεις αυτές προκύπτουν από τις (3.47), (3.48) και (3.49), αν θέσω στη θέση των άτονων μεταβλητών τις τονούμενες και στη θέση των τονούμενων μεταβλητών τις δις - τονούμενες. Αφαιρώντας τώρα κατά μέλη τις (3.47), (3.48) και (3.49) παίρνουμε τις εξισώσεις όπου σ ij,j = 0 (3.53) σ ik ν σ jj,ik = 0 (3.54) σ ij µ j = 0 (3.55) σ ij = σ ij σ ij (3.56) Οι (3.53) - (3.55) είναι οι διέπουσες ς εξισώσεις και οι συνοριακές συνθήκες, για το πεδίο των τάσεων σ ij που δίνεται από τη σχέση (3.56), με μηδενικές συνοριακές και μαζικές δυνάμεις να ασκούνται στο σώμα. Ένα σώμα με μηδενικές εξωτερικές δυνάμεις έχει και μηδενικές τάσεις. Επομένως δηλαδή η λύση είναι μοναδική. σ ij = 0 = σ ij σ ij = 0 = σ ij = σ ij (3.57) Εδώ αποδείχθηκε η μοναδικότητα των λύσεων για συνοριακά προβλήματα πρώτου είδους. Με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται η μοναδικότητα των λύσεων για συνοριακά προβλήματα δεύτερου είδους ή και για μικτά προβλήματα. 3.6 Η Αρχή του Saint - Venant H Αρχή του Saint - Venant διατυπώνεται ως εξής: Οι τάσεις εξ αιτίας δυο διαφορετικών αλλά στατικά ισοδύναμων φορτίσεων που εφαρμόζονται σε μια μικρή περιοχή, είναι σημαντικά διαφορετικές μόνο στη γειτονιά των εφαρμοζόμενων φορτίων. Σε αποστάσεις μεγάλες, σε σχέση με τις διαστάσεις της περιοχής όπου εφαρμόζονται τα φορτία, τα αποτελέσματα των δύο φορτίσεων είναι ίδια. Στη ράβδο του Σχήματος (3.5), η δύναμη F εφαρμόζεται με δυο διαφορετικούς τρόπους. Στην περίπτωση (α) έχουμε ομοιόμορφη κατανομή της F στα άκρα της ράβδου, ενώ στην περίπτωση (β) η F κατανέμεται ανομοιόμορφα στα άκρα αυτά. Στην περίπτωση (α), η τάση παντού στη ράβδο είναι σ = F A = p (3.58) τ = τ z = τ z = σ = σ zz = 0 (3.59) Η λύση που δίνεται από τις εξισώσεις (3.58) και (3.59) είναι μοναδική για το πρόβλημα (α), αλλά δεν είναι λύση για το πρόβλημα (β) διότι δεν ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες. Εξ αιτίας όμως της αρχής του Saint - Venant, η κατανομή των

48 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ F F (α) F F (β) Σχήμα 3.5: Ράβδος υπό στατικά ισοδύναμες εφελκυστικές φορτίσεις. τάσεων που δίνεται από τις σχέσεις (3.58) και (3.59), προσεγγίζει την πραγματική κατανομή των τάσεων της περίπτωσης (β), εκτός από τα σημεία κοντά στα άκρα της ράβδου. 3.7 Άσκηση Ράβδος ορθογωνικής διατομής, μήκους l, αποτελούμενη από υλικό πυκνότητας μάζας ρ, αναρτάται από οροφή, υπό την επίδραση του ίδιου βάρους της (Σχήμα 3.6). Υποθέστε ότι στη ράβδο ισχύουν οι σχέσεις σ = σ = τ = τ z = τ z = 0 (3.60) και ότι στην επιφάνεια επαφής μεταξύ οροφής και ράβδου, η ορθή τάση είναι ομοιόμορφη. 1. Με βάση τις παραπάνω υποθέσεις, μειώστε τον αριθμό των διεπουσών εξισώσεων του προβλήματος από 15 σε 7. Γράψτε τις 7 διέπουσες εξισώσεις με χρήση των σ zz, ϵ, ϵ, ϵ zz, u, v και w.. Ολοκληρώστε την εξίσωση ισορροπίας και δείξτε ότι σ zz = ρgz (3.61) όπου g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας. 3. Βρείτε τις παραμορφώσεις ϵ, ϵ και ϵ zz από το νόμο Hooke. 4. Αν οι μετατοπίσεις και οι στροφές είναι μηδενικές στο σημείο (0, 0, l), βρείτε τις μετατοπίσεις u και v. 5. Δείξτε ότι w = ρg E (z + ν + ν l ) (3.6)

49 3.7. ΑΣΚΗΣΗ l z Σχήμα 3.6: Ράβδος αναρτημένη από οροφή.

50 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

51 Κεφάλαιο 4 Προβλήματα στο επίπεδο 4.1 Κατάσταση επίπεδης έντασης Κατάσταση επίπεδης έντασης έχουμε όταν σ = σ (, ) (4.1) σ = σ (, ) (4.) τ = τ (, ) (4.3) τ z = τ z = σ zz = 0 (4.4) δηλαδή τα τρία μη μηδενιζόμενα στοιχεία του τανυστή τάσης είναι συναρτήσεις μόνο των και. Έτσι οι διέπουσες εξισώσεις της ελαστικότητας απλοποιούνται. Οι εξισώσεις ισορροπίας (3.1) δίνουν σ + τ + F = 0 (4.5) τ + σ + F = 0 (4.6) όπου οι μαζικές δυνάμεις F και F είναι συναρτήσεις των και μόνο, ενώ η F z πρέπει να ισούται με μηδέν. Οι σχέσεις τάσεων - παραμορφώσεων (3.3) παίρνουν τη μορφή ϵ = ϵ (, ) = 1 E (σ νσ ) (4.7) ϵ = ϵ (, ) = 1 E (σ νσ ) (4.8) γ = γ (, ) = 1 G τ (4.9) 51

Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις

Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Δρ Παντελής Λιόλιος Σχολή Μηχανικών Ορυκτών Πόρων Πολυτεχνείο Κρήτης http://minelabmredtucgr Τελευταία ενημέρωση: 28 Φεβρουαρίου 2017 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Η εντατική κατάσταση στην οποία βρίσκεται μία δοκός, που υποβάλλεται σε εγκάρσια φόρτιση, λέγεται κάμψη. Αμφιέριστη δοκός Πρόβολος Κατά την καταπόνηση σε κάμψη αναπτύσσονται καμπτικές ροπές, οι

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 31 Μαρτίου 2019 1 Δυνάμεις μάζας και επαφής Δυνάμεις μάζας ή δυνάμεις όγκου ονομάζονται οι δυνάμεις που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ 1. ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΩΝ ΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΓΗ ΔΕΧΟΜΑΣΤΕ:

Κεφάλαιο 2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ 1. ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΩΝ ΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΓΗ ΔΕΧΟΜΑΣΤΕ: Κεφάλαιο 2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ 1. ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΩΝ ΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΓΗ ΔΕΧΟΜΑΣΤΕ: 2. ΟΤΙ ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΕΧΕΙ ΑΠΟΛΥΤΑ ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Εξαιτίας της συνιστώσας F X αναπτύσσεται εντός του υλικού η ορθή τάση σ: N σ = A N 2 [ / ] Εξαιτίας της συνιστώσας F Υ αναπτύσσεται εντός του υλικού η διατμητική τάση τ: τ = mm Q 2 [ N / mm ] A

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 77 Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 4.1 Εισαγωγή Στα προηγούμενα κεφάλαια υπολογίσαμε τάσεις και παραμορφώσεις που αναπτύσσονται σε ένα σημείο (σε μια πολύ μικρή περιοχή ) ενός δομικού

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 4.9.

Πρόβλημα 4.9. Πρόβλημα 4.9. Να βρεθεί το δυναμικό V() παντού στο χώρο ενός θετικά φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων με επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Πάρτε τον άξονα κάθετα στο φύλλο και θεωρήστε ότι το φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

 = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z

 = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z Οκτώβριος 2017 Ν. Τράκας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα: κατεύθυνση (διεύθυνση και ϕορά) και μέτρο. Συμβολισμός: A ή A. Αναπαράσταση μέσω των συνιστωσών του: A = (A x, A y ) σε 2-διαστάσεις και

Διαβάστε περισσότερα

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση)

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση) Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος Η ολική παραµόρφωση στερεού σώµατος στη γειτονιά ενός σηµείου, Ο, δηλαδή η συνολική παραµόρφωση ενός µικρού τµήµατος (στοιχείου) του σώµατος γύρω από το σηµείο µπορεί να αναλυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ άλυτων ΑΣΚΗΣΕΩΝ στην Αντοχή των Υλικών

ΛΥΣΕΙΣ άλυτων ΑΣΚΗΣΕΩΝ στην Αντοχή των Υλικών ΛΥΣΕΙΣ άλυτων ΑΣΚΗΣΕΩΝ στην Αντοχή των Υλικών Ασκήσεις για λύση Η ράβδος του σχήματος είναι ομοιόμορφα μεταβαλλόμενης κυκλικής 1 διατομής εφελκύεται αξονικά με δύναμη Ρ. Αν D d είναι οι διάμετροι των ακραίων

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 13-15 Εισαγωγή στις Παραµορφώσεις και Μετακινήσεις Τρίτη, 5, και Τετάρτη, 6 και Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Παραμορφώσεις ανομοιόμορφων ράβδων

2.1 Παραμορφώσεις ανομοιόμορφων ράβδων ΑΞΟΝΙΚΗ ΦΟΡΤΙΣΗ 9 Αξονική φόρτιση. Παραμορφώσεις ανομοιόμορφων ράβδων. Ελαστική ράβδος ΑΒ μήκους, Γ B μέτρου ελαστικότητας Ε και / συντελεστή θερμικής διαστολής α, είναι πακτωμένη στα σημεία Α και Β και

Διαβάστε περισσότερα

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 6. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2 Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

7. Στρέψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών. 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών

7. Στρέψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών. 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών 7. Στρέψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών 2015 1 Εισαγωγή Σε προηγούμενα κεφάλαια μελετήσαμε πώς να υπολογίζουμε τις ροπές και τις τάσεις σε δομικά μέλη τα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Εισαγωγή Παραμορφώσεις Ισοστατικών Δοκών και Πλαισίων: Δ22-2 Οι κατασκευές, όταν υπόκεινται σε εξωτερική φόρτιση, αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 Β5. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Σχήμα 2 Παραγόμενη Μονάδες S.I. όνομα σύμβολο Εμβαδό Τετραγωνικό μέτρο m 2 Όγκος Κυβικό μέτρο m 3 Ταχύτητα Μέτρο ανά δευτερόλεπτο m/s Επιτάχυνση Μέτρο ανά δευτ/το στο τετράγωνο m/s 2 Γωνία Ακτίνιο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/ E-mail: gloudos@teiath.gr ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Κέντρο βάρους μάζας

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 24-27 Αρχή υνατών Έργων (Α Ε) Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 και Τρίτη, 9 Νοεµβρίου, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

3 + O. 1 + r r 0. 0r 3 cos 2 θ 1. r r0 M 0 R 4

3 + O. 1 + r r 0. 0r 3 cos 2 θ 1. r r0 M 0 R 4 Μηχανική Ι Εργασία #7 Χειμερινό εξάμηνο 8-9 Ν. Βλαχάκης. (α) Ποια είναι η ένταση και το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου που δημιουργεί μια ομογενής σφαίρα πυκνότητας ρ και ακτίνας σε όλο το χώρο; Σχεδιάστε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 1 .1 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Ας θεωρούμε το μαγνητικό πεδίο ενός κινούμενου σημειακού φορτίου q. Ονομάζουμε τη θέση του φορτίου σημείο πηγής

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

15/12/2016. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Εργαστηριακές Σημειώσεις Στρέψη Μεταλλικής Δοκού. Πολιτικός Μηχανικός (Πανεπιστημιακός Υπότροφος) Εισαγωγή

15/12/2016. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Εργαστηριακές Σημειώσεις Στρέψη Μεταλλικής Δοκού. Πολιτικός Μηχανικός (Πανεπιστημιακός Υπότροφος) Εισαγωγή 15/1/016 Εργαστηριακές Σημειώσεις Στρέψη Μεταλλικής Δοκού Δρ. Σωτήρης Δέμης Πολιτικός Μηχανικός (Πανεπιστημιακός Υπότροφος) Εισαγωγή Αρχή: Δομικό στοιχείο καταπονείτε σε στρέψη όταν διανύσματα ροπών είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΗ ΣΤΡΕΨΗΣ. Σχήμα 1 : Στρέψη ράβδου από ζεύγος δυνάμεων. Σχήμα 2 :

ΔΟΚΙΜΗ ΣΤΡΕΨΗΣ. Σχήμα 1 : Στρέψη ράβδου από ζεύγος δυνάμεων. Σχήμα 2 : ΔΟΚΙΜΗ ΣΤΡΕΨΗΣ 1. Σκοπός - Εισαγωγή Κύριος σκοπός της δοκιμής της στρέψης είναι να μελετηθεί η συμπεριφορά των δοκιμίων που υποβάλλονται σε στρεπτική καταπόνηση και να υπολογιστούν τα χαρακτηριστικά μεγέθη

Διαβάστε περισσότερα

Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά

Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά Πολλά φυσικά μεγέθη είναι διανυσματικά (π.χ. δύναμη, ταχύτητα, επιτάχυνση, γωνιακή ταχύτητα, ροπή, στροφορμή ) Συμβολισμός του διανύσματος: Συμβολισμός του μέτρου

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Νόμος Gauss Ο νόµος του Gauss εκφράζει τη σχέση μεταξύ της συνολικής ηλεκτρικής ροής που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια και του φορτίου

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Μηχανών. Εαρινό εξάμηνο 2017 Διδάσκουσα: Σωτηρία Δ. Χουλιαρά

Στοιχεία Μηχανών. Εαρινό εξάμηνο 2017 Διδάσκουσα: Σωτηρία Δ. Χουλιαρά Στοιχεία Μηχανών Εαρινό εξάμηνο 2017 Διδάσκουσα: Σωτηρία Δ. Χουλιαρά Συντελεστής ασφαλείας safety factor safety factor οριακόϕορτίο / τάση = ϕορτίο / τάση λειτουργ ίας Το φορτίο λειτουργίας ή σχεδίασης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ Η ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ

ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ Η ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Τομέας Β Δομοστατικού Σχεδιασμού ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ Η ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΦΗΝΑΡΟΛΑΚΗ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 016 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη μαθήματος Ι

Περίληψη μαθήματος Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΛΙΚΩΝ, ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ, ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ, ΑΠΘ Περίληψη μαθήματος Ι Τυπολόγιο μεθοδολογία στατικής Περίληψη Ι: Ισορροπία υλικού σημείου & στερεού σώματος, δικτυώματα,

Διαβάστε περισσότερα

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 3 1.1 Διανύσματα 1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΑΣΚΗΣΗ 1.1 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα î + ĵ + ˆk και î + ĵ ˆk. z k i j y x Τα δύο διανύσματα που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ έκδοση DΥΝI-DCMB_2016b Copyright

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ, Αγωγοί Διηλεκτρικά. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης Ζωγράφου 27.3.

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ, Αγωγοί Διηλεκτρικά. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης Ζωγράφου 27.3. ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) 8-9 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Αγωγοί Διηλεκτρικά Ν. Τράκας Ι. Ράπτης Ζωγράφου 7.3.9 Να επιστραφούν λυμένες μέχρι.4.9 οι ασκήσεις 3 4 5 [ΠΡΟΣΟΧΗ: Οι λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων 1 1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων xu

Διαβάστε περισσότερα

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ 1) Συμπαγής κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R δέχεται μια αρχική μεγάλη και στιγμιαία ώθηση προς τα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας θ και μετά αφήνεται ελεύθερος. Κατά την παύση της ώθησης,

Διαβάστε περισσότερα

Θέση και Προσανατολισμός

Θέση και Προσανατολισμός Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 017 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel)

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Απόκριση σε Τυχαία Φόρτιση: Βασική Ιδέα Δ10-2 Το πρόβλημα της κίνησης μονοβάθμιου συστήματος σε τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Εισαγωγή Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Δ03-2 Οι ενεργειακές μέθοδοι αποτελούν τη βάση για υπολογισμό των μετακινήσεων, καθώς η μετακίνηση εισέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΡΕΨΗ

Κεφάλαιο 6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΡΕΨΗ 119 Κεφάλαιο 6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΡΕΨΗ 6.1 Εισαγωγή Όταν ένα δομικό στοιχείο καταπονείται με ροπές των οποίων τα διανύσματα είναι παράλληλα προς τον άξονα του στοιχείου, δηλαδή προκαλούν συστροφή του στοιχείου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 4. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα του υπερβολικού παραβολειδούς. 5. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα της ελικοειδούς επιφάνειας.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 4. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα του υπερβολικού παραβολειδούς. 5. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα της ελικοειδούς επιφάνειας. ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εξεταστεί πώς αλλάζει

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

B6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ

B6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ B6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ 1.Διαφορικά.Σχετικά ή ποσοστιαία διαφορικά 3.Λογισμός Διαφορικών 4.Ομογενείς συναρτήσεις μιας μεταβλητής 5.Ελαστικότητα κλίμακας 6.Ομογενής μηδενικού βαθμού 7.Ομογενής βαθμού κ

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Υπολογισμός διατμητικών τάσεων

Ενότητα: Υπολογισμός διατμητικών τάσεων ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ Ενότητα: Υπολογισμός διατμητικών τάσεων Α. Θεοδουλίδης Υπολογισμός διατμητικών τάσεων Η ύπαρξη διατμητικών τάσεων οφείλεται στην διατμητική δύναμη Q(x): Κατανομή διατμητικών τάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Πειραματική αντοχή των υλικών Πείραμα Στρέψης

Μάθημα: Πειραματική αντοχή των υλικών Πείραμα Στρέψης Μάθημα: Πειραματική αντοχή των υλικών Πείραμα Στρέψης Κατασκευαστικός Τομέας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Σχήμα 1 Στρέψη κυκλικής διατομής

Διαβάστε περισσότερα

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/ E-mail: gloudos@teiath.gr Σύνθεση και Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό

Διαβάστε περισσότερα

ds ds ds = τ b k t (3)

ds ds ds = τ b k t (3) Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Επίλυση υπερστατικών φορέων Για την επίλυση των ισοστατικών φορέων (εύρεση αντιδράσεων και μεγεθών έντασης) αρκούν

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 3 Μαρτίου 2019 1 Τανυστής Παραμόρφωσης Συνοδεύον σύστημα ονομάζεται το σύστημα συντεταγμένων ξ i το οποίο μεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Μηχανών. Εαρινό εξάμηνο 2017 Διδάσκουσα: Σωτηρία Δ. Χουλιαρά

Στοιχεία Μηχανών. Εαρινό εξάμηνο 2017 Διδάσκουσα: Σωτηρία Δ. Χουλιαρά Στοιχεία Μηχανών Εαρινό εξάμηνο 2017 Διδάσκουσα: Σωτηρία Δ. Χουλιαρά Ύλη μαθήματος -ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΥΛΙΚΩΝ -ΑΞΟΝΕΣ -ΚΟΧΛΙΕΣ -ΙΜΑΝΤΕΣ -ΟΔΟΝΤΩΤΟΙ ΤΡΟΧΟΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: 25% πρόοδος 15% θέμα

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο.

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ας μελετήσουμε τι συμβαίνει, όταν ένα υγρό περιέχεται σε ένα ακίνητο δοχείο. Τι δυνάμεις ασκεί στο δοχείο; Τι σχέση έχουν αυτές με το βάρος του υγρού; Εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες A Α Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες A, A 0 A Η

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 015 3. Δοκοί (φορτία NQM) Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής με τα διάφορα είδη φορτίων.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ 1. Οι δυναμικές γραμμές ηλεκτροστατικού πεδίου α Είναι κλειστές β Είναι δυνατόν να τέμνονται γ Είναι πυκνότερες σε περιοχές όπου η ένταση του πεδίου είναι μεγαλύτερη δ Ξεκινούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένες συντεταγμένες

Γενικευμένες συντεταγμένες Γενικευμένες συντεταγμένες Έστω ένα σύστημα n-υλικών σημείων. Η θέση του συστήματος ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, καθορίζεται την τυχαία χρονική στιγμή t από τα διανύσματα θέσης των υλικών σημείων:

Διαβάστε περισσότερα

= (2)det (1)det ( 5)det 1 2. u

= (2)det (1)det ( 5)det 1 2. u www.maths.gr, Ενδεικτικές Λύσεις ης Εργασίας ΦΥΕ4 έτους -. Οι Λύσεις είναι για την βοήθεια των φοιτητών, σε ΘΕΜΑ ο 5 6 4 6 4 5 det 4 5 6 ()det ()det ()det 8 9 7 9 7 8 7 8 9 ()( ) ()( 6 ) ()( ) 5 4 4 det

Διαβάστε περισσότερα

1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου

1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου 1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1 Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου 1. Στον άξονα βρίσκονται δύο σημειακά φορτία q A = 1 μ και q Β = 45 μ, καθώς και ένα τρίτο σωματίδιο με άγνωστο φορτίο

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Μια ράβδος λέμε ότι καταπονείται σε στρέψη, όταν επάνω σε αυτήν επενεργούν ζεύγη ίσων και αντίθετων δυνάμεων που τα επίπεδά τους είναι κάθετα στoν κεντροβαρικό άξονά της. Τα ζεύγη των δυνάμεων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύση: Η δύναμη σε ρευματοφόρο αγωγό δίνεται από την

Λύση: Η δύναμη σε ρευματοφόρο αγωγό δίνεται από την 1) Στο παρακάτω σχήμα το τμήμα της καμπύλης ΚΛ μεταξύ x = 1 και x = 3.5 αντιστοιχεί σε ένα αγωγό που διαρρέεται από ρεύμα Ι = 1.5 Α με τη φορά που δείχνεται. Η καμπύλη είναι δευτεροβάθμια ως προς x με

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης 2/4/2018

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης 2/4/2018 ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) 7-8 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ν. Τράκας Ι. Ράπτης /4/8 Παράδοση των 3 4 5 μέχρι /4/8 [Σε χειρόγραφη μορφή στο μάθημα ή σε μορφή ενιαίου αρχείου PDF στις

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγοι ανώτερης τάξης

Παράγωγοι ανώτερης τάξης Παράγωγοι ανώτερης τάξης Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διαφορικά Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglks.gr 3 / 1 0 / 0 1 6 σε μερικές παραγώγους σε μέγιστα, ελάχιστα

Διαβάστε περισσότερα