ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΜΥ 3: Διακριτή Ανάλυση και Δομές Χειμερινό Εξάμηνο 26 Σειρά Ασκήσεων 5: Απαρίθμηση, Αρχή της Θυρίδας, Συνδυασμοί και Μεταθέσεις, Γραφήματα και Ιδιότητες Ηµεροµηνία Παράδοσης: Ποτέ (οι λύσεις θα αναρτηθούν στην ιστοσελίδα του µαθήµατος). Σχετικά κεφάλαια στο βιβλίο: K. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications, McGraw Hill, 7th Edition, 2: Κεφάλαιο 6 και Κεφάλαιο (υποκεφάλαια.-.5). Ανακοίνωση: Η Τελική Εξέταση θα γίνει στις 23/2/26 (Παρασκευή), από 8:3πµ- :3πµ στην αίθουσα ΧΩΔ-2. Η εξέταση καλύπτει όλη την ύλη µέχρι και την διάλεξη στις /2/26 (συµπεριλαµβανοµένης). Αυτό περιλαµβάνει επίσης τις Σειρές Ασκήσεων, 2, 3, 4, και 5, και τα Κεφάλαια, 2 (2.-2.5), 9 (9.-9.3), 3, 4, 5 (5.-5.4), 6, και (.-.5). Άσκηση : Έστω ότι σε ένα διαγώνισµα υπάρχουν ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής (multiple-choice). Για κάθε ερώτηση υπάρχουν τέσσερεις (4) πιθανές απαντήσεις. α) Με πόσους τρόπους µπορεί ένας φοιτητής να απαντήσει τις ερωτήσεις αν απαντήσει όλες τις ερωτήσεις; β) Με πόσους τρόπους µπορεί ένας φοιτητής να απαντήσει τις ερωτήσεις αν µπορεί να αφήσει ερωτήσεις αναπάντητες; γ) Με πόσους τρόπους µπορεί ένας φοιτητής να απαντήσει τις ερωτήσεις αν µπορεί να επιλέξει µία, δύο, τρεις, ή και τέσσερεις απαντήσεις στο κάθε ερώτηµα; Άσκηση 2: Τα αρχικά γράµµατα στο ελληνικό αλφάβητο ενός ανθρώπου είναι τρία: ένα για το όνοµα, ένα για το επώνυµο και ένα για το µεσαίο όνοµα. α) Πόσα διαφορετικά αρχικά υπάρχουν; β) Πόσα διαφορετικά αρχικά υπάρχουν στα οποία τα τρία γράµµατα είναι διαφορετικά µεταξύ τους; γ) Πόσα διαφορετικά αρχικά υπάρχουν τα οποία αρχίζουν µε Β; Άσκηση 3 (προαιρετική): Πόσα binary bit strings υπάρχουν µε µήκος 6 ή µικρότερο; Άσκηση 4: Δείξτε αν ισχύει ή δεν ισχύει η ακόλουθη πρόταση: ανάµεσα σε οποιουσδήποτε 9 διαφορετικούς ακέραιους αριθµούς, υπάρχουν τρεις (3) µε το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν µε το 9. Άσκηση 5: Έστω ότι κάποιος επιλέγει και βγάζει µπάλες από ένα bowl χωρίς να τις βλέπει. Στο bowl υπάρχουν 2 κόκκινες και µαύρες µπάλες. Πόσες µπάλες

2 πρέπει να επιλέξει (δηλαδή ποιος είναι ο ελάχιστος αριθµός από µπάλες που πρέπει να επιλέξει) για να είµαστε σίγουροι ότι α) επέλεξε τουλάχιστον τρεις µε το ίδιο χρώµα; β) επέλεξε τουλάχιστον τρεις µαύρου χρώµατος; Άσκηση 6: Έστω f είναι µια συνάρτηση από το σύνολο S στο σύνολο T, όπου S και T είναι πεπερασµένα σύνολα και S > T. Δείξτε ότι η f δεν µπορεί να είναι µια αµφιµονοσήµαντος συνάρτηση. Άσκηση 7: Βρείτε τον ελάχιστο αριθµό καλωδίων που χρειάζονται για να ενώσουµε υπολογιστές µε 2 εκτυπωτές για να είµαστε σίγουροι ότι οι 2 εκτυπωτές µπορούν να έχουν απ ευθείας πρόσβαση σε οποιουσδήποτε 2 διαφορετικούς υπολογιστές. Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Άσκηση 8: Δείξετε ότι αν επιλέξετε επτά οποιουσδήποτε ακεραίους από τους µικρότερους θετικούς ακεραίους αριθµούς, τότε υπάρχουν τουλάχιστον δύο ζεύγη από αυτούς που έχουν άθροισµα. Άσκηση 9: Δείξετε ότι στην California, µε πληθυσµό 34 εκατοµµύρια, υπάρχουν τουλάχιστον έξι άνθρωποι µε τα ίδια τρία αρχικά στο όνοµα τους που έχουν την ίδια µέρα γενέθλια. Άσκηση : Μια οµάδα ανθρώπων σε ένα γάµο συµπεριλαµβάνει τη νύφη και το γαµπρό. Με πόσους τρόπους ένας φωτογράφος µπορεί να ταξινοµήσει 6 ανθρώπους από αυτή την οµάδα σε µια σειρά αν α) η νύφη είναι µέσα στην εξάδα; β) και η νύφη και ο γαµπρός είναι µέσα στην εξάδα; γ) µόνο ένας από τη νύφη ή το γαµπρό είναι µέσα στην εξάδα; Άσκηση : Ποιος είναι ο συντελεστής του x 5 y 99 στο ανάπτυγµα του (3x 2y) 5 ; Άσκηση 2: Η σειρά του Pascal Triangle περιέχει τους binomial coefficients, k, είναι η: k Χρησιµοποιείστε την ταυτότητα του Pascal για να δηµιουργήσετε την σειρά που ακολουθεί την πιο πάνω σειρά στο Pascal s Triangle. Άσκηση 3: Δείξτε ότι αν n και k είναι θετικοί ακέραιοι, τότε n + n = (n +) k k / k Χρησιµοποιώντας αυτή την ταυτότητα, ορίστε επαγωγικά τους δυωνυµικούς συντελεστές (binomial coefficients). Άσκηση 4: Υπάρχει απλός γράφος µε 2 κορυφές, η κάθε µια από τις οποίες να έχει βαθµό 3; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Άσκηση 5: Καθορίστε κατά πόσο οι πιο κάτω γράφοι είναι bipartite.

3 a) b) c) Άσκηση 6: Σχεδιάστε όλους τους υπογράφους του παρακάτω γράφου. Ποιοι από αυτούς τους υπογράφους είναι επαγώµενοι; Άσκηση 7: Έστω n K ένα πλήρες µη κατευθυνόµενο απλό γράφηµα (undirected simple graph) µε n κορυφές και ακµές µεταξύ όλων των κορυφών του. Ποιος είναι ο αριθµός των διαφορετικών επαγόµενων υπογραφηµάτων (induced subgraphs) του G; Ποιος είναι ο αριθµός των διαφορετικών (όχι κατά ανάγκη επαγόµενων) υπογραφηµάτων (span subgraphs) του G ; Άσκηση 8: Σχεδιάστε τους γράφους µε τους παρακάτω πίνακες γειτνίασης. A =, A 2 = Άσκηση 9: Είναι οι απλοί γράφοι µε τους ακόλουθους πίνακες γειτνίασης ισοµορφικοί; α), β), Άσκηση 2: Αποφασίστε αν τα κατευθυνόµενα (directed) γραφήµατα G και G 2 µε τους δεδοµένους πίνακες γειτνίασης είναι ισοµορφικά (isomorhpic). Αν ναι,

4 υποδείξτε την ένα-προς-ένα και επί συνάρτηση f µε τις απαραίτητες ιδιότητες. Αν όχι, εξηγείστε γιατί. Πίν. γειτνίασης G : Πίν. γειτνίασης G 2 : Άσκηση 2: Καθορίστε κατά πόσο τα δύο πιο κάτω γραφήµατα έχουν Euler circuit ή/και Euler path. Δηµιουργήστε τα αν αυτά υπάρχουν, διαφορετικά εξηγείστε γιατί δεν υπάρχουν. (α) (β) Άσκηση 22: Η άσκηση αυτή έχει δύο µέρη. (α) Έχει το παρακάτω γράφηµα Hamilton path; Αν ναι, καθορίστε το. Αν όχι, εξηγείστε γιατί δεν υπάρχει τέτοιο path. (β) Έχει το παρακάτω γράφηµα Hamilton circuit; Αν ναι, καθορίστε το. Αν όχι, εξηγείστε γιατί δεν υπάρχει τέτοιο circuit.

5 Άσκηση 23: Ένα µη κατευθυνόµενο απλό γράφηµα (undirected simple graph) G= ( V, E) έχει 2 n (για n ³ 4 ) κορυφές τις οποίες ονοµάζουµε µε 2 n binary strings (,,,, ). Το γράφηµα έχει ακµές µεταξύ δυο κορυφών των οποίων τα strings διαφέρουν σε ακριβώς 3 θέσεις. Για παράδειγµα, αν n = 4, τότε η κορυφή έχει ακµές µε τις,,,. (α) Πόσες ακµές έχει το γράφηµα G ; (β) Αν n = 5, τότε ποιο είναι το µήκος του συντοµότερου µονοπατιού µεταξύ των ακµών και ;