Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1 ANAGNWRISH MOUSIKOU EIDOUS: MIA BIO-EMPNEUSMENH POLUGRAMMIKH PROSEGGISH Metaptuqiak Diatrib IWANNH K. PANAGAKH PtuqioÔqou tou Tm matoc Plhroforik c kai Thlepikoinwni n, E.K.P.A. Epiblèpwn: KwnstantÐnoc Kotrìpouloc, Anaplhrwt c Kajhght c ARISTOTELEIO PANEPISTHMIO JESSALONIKHS TMHMA PLHROFORIKHS - KATEUJUNSH YHFIAKWN MESWN AKADHMAÛKO ETOS

2

3 Mèlh trimeloôc epitrop c: An. Kajhght c KwnstantÐnoc Kotrìpouloc, Lèktorac Nikìlaoc L skarhc, kai Kajhght c Iw nnhc P tac.

4

5 iii Sthn Xènia

6

7 Abstract In this master thesis, automatic musical genre classification is addressed under a multilinear perspective. Inspired by a model of auditory cortical processing, multiscale temporal and spectro-temporal modulation features are extracted. Recently, such temporal and spectro-temporal modulation features have been successfully used in various content-based audio classification tasks, but not yet in musical genre classification. E- ach recording is represented by a N-order feature tensor generated by the auditory model. Thus, each ensemble of recordings is represented by a (N + 1)-order data tensor created by stacking the N-order feature tensors associated to the recordings, where N =2orN = 3 according to type o modulation features are used. To handle large data tensors and derive compact feature vectors suitable for classification, two new Nonnegative Tensor Factorization Algorithms (NTF) are proposed, namely the Projected Landweber -NTF and Coordinate Wise-NTF based on Least Squares Error (LSE) minimization by employing projected gradient techniques. These algorithms guarantee that the limit point of the optimization is a stationary point. Additionally, three other multilinear subspace analysis techniques are employed as multilinear feature extraction techniques, namely a classical Non-Negative Tensor Factorization, the High-Order Singular Value Decomposition (HOSVD), and the Multilinear Principal Component Analysis (MPCA). Classification is performed by a Support Vector Machine (SVM) and a Nearest Neighbour (NN) classifier. Stratified cross-validation tests on two well known datasets, namely the GTZAN dataset and the ISMIR 2004 GENRE one, demonstrate the advantages of the proposed NTF algorithms among the other multilinear subspace analysis methods. The effectiveness of the proposed approach exceeds the accuracies achieved by the state-of-the-art music genre classification algorithms and is near 83.%. v

8

9 Prìlogoc H ergasða aut apoteleð thn metaptuqiak diatrib tou Iw nnh Panag kh. Ekpon jhke sto ergast rio Teqnht c NohmosÔnhc kai An lushc Plhrofori n tou Tm matoc Plhroforik c tou AristoteleÐou PanepisthmÐou JessalonÐkhc kat to akadhma kì ètoc , upì thn epðbleyh tou Anaplhrwt Kajhght tou Tm matoc Plhroforik c tou A.P.J. k. KwnstantÐno Kotrìpoulo. Ja jela na euqarist sw jerm ton epiblèponta kajhght tou metaptuqiakoô mou Anaplhrwt Kajhght k. KwnstantÐno Kotrìpoulo gia thn sten sunergasða, tic gn seic, tic idèec, thn enj rrunsh kai tic ousiastikèc sumboulèc, pou aplìqera mou prosèfere, kaj> ìlh thn di rkeia twn metaptuqiak n mou spoud n sto Tm ma Plhroforik c tou AristoteleÐou PanepisthmÐou JessalonÐkhc. EpÐshc ja jela na ekfr sw tic euqaristðec mou kai sta upìloipa mèlh D.E.P. thc kateôjunshc Yhfiak n Mèswn, ton Kajhght k. Iw nnh P ta, ton EpÐkouro Kajhght k. Nikìlao Nikolaïdh kai ton Lèktora k. Nikìlao L skarh, kaj c kai se ìla ta mèlh tou ergasthrðou pou moirast kame poll ton teleutaðo qrìno. JessalonÐkh, IoÔnioc tou 2008 vii

10

11 Perieqìmena 1 Eisagwg Stìqoi Diatrib c Di rjrwsh Diatrib c Anapar stash MousikoÔ S matoc AnatomÐa kai FusiologÐa thc Ako c Perifereiakì SÔsthma Ako c Kèntrikì SÔsthma Ako c AntÐlhyh Qronik n kai Suqnotik n Diamorf sewn Majhmatikì Montèlo AkoustikoÔ Sust matoc Montèlo PerifereiakoÔ Sust matoc Ako c Montèlo KentrikoÔ Sust matoc Ako c -Anapar stash FloioÔ Apì koinoô suqnotik an lush Logismìc Tanust n DianÔsmata kaipðnakec OrismoÐ Idiìthtec Orismìc Tanust n Pr xeic me Tanustèc Basikèc Pr xeic Ginìmena Tanust n MonadiaÐoc kai Isotropikìc Tanust c Sustol Tanust Ginìmeno Tanust me PÐnaka Bajmwtì Ginìmeno Orjogwniìthta Tanust n ix

12 3.3.8 An ptugma Tanust Bajmìc Tanust Uper-summetrikoÐ Tanustèc Tanustèc wc GrammikoÐ MetasqhmatismoÐ Anagn rish MousikoÔ EÐdouc Anagn rish MousikoÔ EÐdouc apì ton 'Anjrwpo To Prìblhma OrismoÔ tou MousikoÔ EÐdouc Autìmath Anagn rish MousikoÔ EÐdouc SÔnola Dedomènwn kai IerarqÐec Qarakthristik Perigraf c MousikoÔ EÐdouc Algìrijmoi Anagn rishc Sugkentrwtik Apotelèsmata -Sumper smata Polugrammikèc Teqnikèc An lushc Upoq rwn Eisagwg Grammikèc Teqnikèc An lushc Upoq rwn Polugrammikèc Teqnikèc An lushc Upoq rwn PARAFAC Polugrammik An lush Prwteuous n Sunistws n - MPCA Uyhl c T xhc AposÔnjesh Idiazous n Tim n - HOSVD ParagontopoÐhsh Mh-arnhtik n Tanust n - NTF ParagontopoÐhsh Mh-Arnhtik n Tanust n Qrhsimopoi ntac Proballìmena DianÔsmata KlÐshc Peiramatik Axiolìghsh DhmiourgÐa Tanust n Dedomènwn Exagwg Qarakthristik n apì tic Anaparast seic FloioÔ Peiramatik Apotelèsmata Peiramatik Apotelèsmata Qarakthristik n Qronik n kai Suqnotik n Diamorf sewn Peiramatik Apotelèsmata Qarakthristik n Qronik n Diamorf sewn Sqoliasmìc Peiramatik n Apotelesm twn Mellontikèc KateujÔnseic x

13 Kef laio 1 Eisagwg 1.1 Stìqoi Diatrib c EÐnai gegonìc, ìti thn teleutaða dekaetða me thn exèlixh twn diktôwn upologist n, twn u- phresi n diadiktôou kaj c kai twn katanemhmènwn arqitektonik n, ìpwc ta dðktua omìtimwn kìmbwn (peer-to-peer networks) to diadðktuo kajðstatai idanikì mèso gia th diakðnhsh polumesik n arqeðwn kai idiaðtera arqeðwn mousik c. Wc ek toôtou, oloèna kai aux netai to pl joc arqeðwn mousik c pou apojhkeôontai tìso se proswpikoôc upologistèc, ìso kai se exuphrethtèc hlektronik n katasthm twn kai yhfiak n bibliojhk n. H org nwsh kai h a- podotik diaqeðrish twn arqeðwn mousik c eðnai meðzonoc shmasðac gia thn orj leitourgða tètoiwn susthm twn. Molonìti èqoun anaptuqjeð ergaleða gia thn qeirokðnhth org nwsh twn arqeðwn, o ìgkoc touc eðnai tìso meg loc pou kajist to egqeðrhma sqedìn adônato. H an gkh an ptuxhc ergaleðwn autìmathc taxinìmhshc, anaz thshc, kai an kthshc twn arqeðwn krðnetai epitaktik. Tètoiou eðdouc ergaleða autìmathc taxinìmhshc prèpei na mporoôn na exag goun qr simec plhroforðec gia ta mousik komm tia apeujeðac apì to yhfiakì s ma. Pijanèc plhroforðec perigraf c tou perieqomènou tou mousikoô kommatioô ja mporoôse na eðnai: to mousikì eðdoc (music genre), h di jesh (mood), to mousikì stul (music style), o ektelest c - ermhneut c tou mousikoô kommatioô [78, 84]. O Aucouturier kai o Pachet [3] uposthrðzoun ìti to mousikì eðdoc eðnai pijan c h dhmofilèsterh perigraf tou perieqomènou enìc mousikoô tragoudioô. H taxinìmhsh twn katagraf n mousik c se diakrit eðdh eðnai èna dhmofilèc kai anoiqtì ereunhtikì pedðo sthn eponomazìmenh ereunhtik koinìthta An kthshc Mousik c PlhroforÐac (Music Information Retrieval-MIR). Parìla aut, to prìblhma thc anagn rishc mousikoô eðdouc den eðnai tetrimmèno: eðnai qarakthristikì ìti den èqei protajeð kamða genik taxinìmhsh gia mousik eðdh kai akìma kai h anjr pinh akrðbeia taxinìmhshc ft nei to 72% gia mh eidikoôc 1

14 sto pedðo. Sth bibliografða èqoun protajeð arket sust mata anagn rishc mousikoô eðdouc, ta opoða ex goun qarakthristik dianôsmata qroi c, qronik -rujmik qarakthristik, qarakthristik pou sthrðzontai sth jemeli dh (suqnìthta mousikoô tìnou - pitch) kaj c kai melwdik - armonik qarakthristik kai qrhsimopoioôn k poio algìrijmo mhqanik c m jhshc gia na ektelèsei thn taxinìmhsh twn arqeðwn katìpin ekpaðdeushc. MÐa llh logik eðnai h omadopoðhsh twn arqeðwn me b sh ta qarakthristik perigraf c touc, afoô oôtwc llwc den up rqei k poia koin c apodekt taxinìmhsh twn mousik n eid n. Prìsfata, stouc kìlpouc thc ereunhtik c koinìthtac pou asqoleðtai me thn An kthsh Mousik c PlhroforÐac, ekfr sthke o problhmatismìc ìti to mousikì eðdoc eðnai diforoômenoc kai asumbðbastoc trìpoc org nwshc kai anaz thshc mousik c, kai wc ek toôtou oi an gkec twn qrhst n ja kalôptontan kalôtera me th qr sh perigraf n basismènwn sth mousik omoiìthta [86]. Apì mia diaforetik skopi sto [75], epishmaðnetai ìti oi telikoð qr stec eðnai pijanìtero na anazht soun mousik me b sh to mousikì eðdoc par me b sh thn omoiìthta kalliteqn n thn omoiìthta mousik c. Epiplèon, o Aucouturier sto [4] diapist nei ìti ta prìsfata sust mata anagn rishc mousikoô eðdouc, apètuqan na aux soun shmantik thn apìdoshc touc, en sugkrðsei me ta prìwra sust mata kai ìti ta posost orj c taxinìmhshc mousikoô eðdouc ta kajistoôn mh axiìpista, ste na qrhsimopoihjoôn sthn pr xh. EÐnai safèc ìti oi nèec proseggðseic apaitoôntai gia na katast soun ta sust mata autìmathc anagn rishc mousikoô eðdouc bi sima sthn pr xh. O McKay sto [86] epiqeirhmatologeð upèr thc sunèqishc thc èreunac sto pedðo thc autìmath anagn rishc mousikoô eðdouc kai enjarrônei thn koinìthta MIR na proseggðsei diepisthmonik to prìblhma. Sthn paroôsa diatrib to prìblhma thc taxinìmhshc mousikoô eðdouc proseggðzetai upì mia nèa optik. Pr toc stìqoc aut c thc nèac prosèggishc eðnai h susthmatopoðhsh, kai h jewrhtik jemelðwsh twn qarakthristik n pou ex gontai kai qrhsimopoioôntai gia thn anagn rish mousikoô eðdouc. DeÔteroc stìqoc apoteleð h exagwg orj c anapar stashc qamhl c t xhc (low rank) twn qarakthristik n aut n qrhsimopoi ntac kat llhlec polugrammikèc teqnikèc. H aposaf nish twn stìqwn akoloujeð. Ta apotelèsmata yuqofusiologik n kai yuqoakoustik n ereun n [109, 133], twn teleutaðwn sar nta et n, katadeiknôoun th shmasða twn qronik n (temporal) kai qronofasmatik n (spectro-temporal) diamorf sewn tou hqhtikoô s matoc gia thn antðlhyh kai ermhneða tou qou apì ton njrwpo. ParakinoÔmenoi apì thn parap nw diatôpwsh, qrhsimopoioôme upologistik montèla [83, 130] tou anjr pinou akoustikoô sust matoc se sunduasmì me prohgmènec teqnikèc epexergasðac s matoc ètsi ste na ex goume bio-empneusmènec anaparast seic pou apeikonðzoun èna dedomèno monodi stato akoustikì s ma se èna q ro poll n diast sewn, 2

15 pou perigr fei to lanj non perieqìmeno twn fasmatik n kai qronik n diamorf se n tou. Gia k je arqeðo mousik c ex gontai anaparast seic tou mousikoô s matoc pou perigr foun to perieqìmeno mìno twn qronik n diamorf sewn, kai anaparast seic pou perigr foun to apì koinoô perieqìmeno qronik n kai fasmatik n diamorf sewn. Oi proanaferj sec anaparast seic, sthn paroôsa diatrib, ja anaferontai genik wc anapar staseic floioô, mia kai mimoôntai ton trìpoanapar stashc tou qou ston akoustikì floiì tou egkef lou. H majhmatik anapar stash twn qronik n diamorf sewn mporeð na gðnei qrhsimopoi ntac pðnakec tanustèc deôterhc t xhc, en h majhmatik anapar stash twn qronik n-suqnotik n diamorf sewn qrhsimopoi ntac èna trisdi stato pðnaka tanust trðthc t xhc. Sunep c, mporoôme na jewr soume ìti autèc oi poludi statec anaparast seic floioô orðzontai se ènan tanustikì q ro meg lwn diast sewn. H anapar stash enìc sunìlou apì arqeða mousik c gðnetai apì tanustèc dedomènwn trðthc kai tètarthc t xhc gia k je anapar stash floioô antðstoiqa. H apeujeðac qr sh twn parap nw anaparast sewn wc eðsodoc se k poion algìrijmo mhqanik c m jhshc, lìgw twn meg lwn diast se n touc, p sqei apì thn apokaloômenh kat ra twn meg lwn diast sewn (curse of dimensionality) [38, 80]. Epiplèon, autèc oi anaparast - seic floioô eðnai idiaðtera pleonastikèc (redundant). Epomènwc, eðnai logikì na jewr soume ìti oi tanustèc dedomènwn mporoôn na perigrafoôn s' èna q ro ligìterwn diast sewn qwrðc ousiastik ap leia plhroforðac. Teqnikèc meðwshc twn diast sewn (dimensionality reduction) pou èqoun wc stìqo na metasqhmatðsoôn ènan tètoio q ro poll n diast sewn se èna q ro ligìterwn diast sewn, diathr ntac to megalôtero mèroc thc plhroforðac sqetik me th lanj nousa dom thc pragmatik c anapar stashc floioô eðnai epijumhtèc. SÔmfwna me upologistikèc jewrðec, pou ermhneôoun th diadikasða thc antðlhyhc tou qou apì ton egkèfalo, h antðlhyh tou ìlou basðzetai sthn antðlhyh twn mer n tou. Dhlad, oi akoustikèc plhroforðec ston egkèfalo anaparðstantai san grammikìc sunduasmìc basik n stoiqeðwn plhroforðac (sunart seic b shc), kai prosjetikoð sunduasmoð poll n sunart sewn b shc anaparistoôn thn plhroforða [28]. H diapðstwsh aut mac parakineð na qrhsimopoi soume thn polugrammik teqnik an lushc upoq rwn thc ParagontopoÐhshc Mh-arnhtik n Tanust n (Non-Negative Tensor Factorization) wc mèjodo gia thn meðwsh twn diast sewn kai thn exagwg katall lwn mh olistik n qarakthristik n apì tic anaparast seic floioô. Oi mèjodoi paragontopoðhshc mh arnhtik n tanust n pou èqoun protajeð sthn bibliografða suqn periorðzontai se paragontopoi sh tanust n mèqri trðthc t xhc kai steroôntai apodeðxewn pou eggu ntai th sôgklish touc se st simo shmeðo. Sthn paroôsa metaptuqiak diatrib proteðnontai duo nèoi algìrijmoi paragontopoðhshc mh arnhtik n tanust n qrhsimopoi ntac teqnikèc probeblhmènwn dianusm twn klðshc (projected gradients). Oi dôo nèoi algìrijmoi èqoun jewrhtik jemeliwmènec idiìthtec sôgklishc kai mporoôn na efarmostoôn 3

16 se tanustèc N t xhc sumperilambanomènwn kai twn tanust n gia N =2, antimetwpðzontac ètsi thn paragontopoðhsh mh arnhtik n pin kwn (Non Negative Matrix Factorization - NMF) wc upoperðptwsh thc paragontopoi shc mh arnhtik n tanust n. Gia lìgouc plhrìthtac kai sôgkrishc, ektìc apì tic proteinìmenec mejìdouc NTF qrhsimopoioôme kai me mia seir llwn polugrammik n mejìdwn an lushc upoq rwn, pou èqoun prìsfata protajeð sthn bibliografða, gia thn exagwg qarakthristik n apì tic hqitikèc anaparast seic floioô. Pio sugkekrimèna qrhsimopoioôme, thn Polugrammik An lush Prwteuous n Sunistws n (Multilinear Principal Component Analysis - MPCA) [80], thn U- yhl c T xhc AposÔnjesh Idiazous n Tim n (High Order Singular Value Decomposition - HOSVD) [72] [73] kaj c kai th mèjodo NTF pou prot jhke apì ton Mpenèto sto [8, 9]. Gia thn anagn rish mousikoô eðdouc qrhsimopoioôme taxinomhtèc plhsièsterou geðtona kaj c kai Mhqanèc EdraÐwn Dianusm twn (Support Vector Machines-SVMs). Ektetamèna peir mata se dôo gnwst sônola dedomènwn, to sônolo dedomènwn GTZAN kai to sônolo dedomènwn ISMIR2004Genre, katadeiknôoun ta pleonekt mata twn proteinìmenwn algorðjmwn NTF metaxô twn llwn polugrammik n mejìdwn an lushc upoq rwn. H akrðbeia orj c anagn rishc mousikoô eðdouc thc proteinìmenhc prosèggishc ft nei kai xepern to 83% sthn kalôterh perðptwsh, xepern ntac oriak aut twn kalôterwn algorðjmwn anagn rishc mousikoô eðdouc pou èqoun protajeð sthn bibliografða. AxÐzei na shmeiwjeð ìti oi proteinìmenoi algìrijmoi eðnai genikoð kai mporoôn na qrhsimopoihjoôn kai se lla episthmonik pedða, ìpwc h epexergasða eikìnac, bðnteo kai alloô. 1.2 Di rjrwsh Diatrib c AkoloujeÐ h org nwsh thc diplwmatik c se kef laia: Sto Kef laio 2 o anagn sthc, arqik, eis getai sthn anatomða kai fusiologða tou anjr pinou sust matoc ako c. Sth sunèqeia parousi zontai ta basik yuqoakoustik kai yuqofusiologik eur mata pou katadeiknôoun th shmasða twn qronik n kai suqnotik n diamorf sewn gia thn antðlhyh tou qou apì ton njrwpo. To upologistikì montèlo tou sust matoc ako c kaj c kai algìrijmoi gia thn exagwg twn anaparast sewn floioô tou qou parousi zontai sta ed fia tou kefalaðou. Sto Kef laio 3dÐnetai mða eisagwg stic basikèc ènnoiec thc grammik c kai polugrammik c lgebrac. 'Emfash dðnetai ston orismì twn tanust n kai stic idiìthtèc touc. H sunoptik diereônhsh tou pedðou thc autìmathc anagn rishc mousikoô eðdouc apoteleð to perieqìmeno tou Kef laðou 4. Anafèrontai ta basik sônola dedomènwn pou 4

17 qrhsimopoioôntai se peir mata, ta qarakthristik perigraf c twn dedomènwn mousikoô eðdouc, kai oi sun jeic algìrijmoi taxinìmhshc. Sto Kef laio 5 parousi zontai basikèc polugrammikèc teqnikèc an lushc upoq rwn oi opoðec sthn paroôsa diatrib ja qrhsimopoihjoôn gia thn exagwg qarakthristik n apì tic anaparast seic floioô tou mousikoô eðdouc. Pio sugkekrimèna parousi zontai oi polugrammikèc teqnikèc an lushc upoq rwn PARAFAC, MPCA kai HOSVD. Sthn enìthta parousðazetai h pleionìthta twn NTF algorðjmwn pou èqoun protajeð sth bibliografða. Oi proteinìmenoi algìrijmoi paragontopoi shc mh arnhtik n tanust n dðnontai sthn Enìthta Melet tai h sôgklish touc kai proteðnontai sunj kec termatismoô touc. Tèloc, sto Kef laio 6perigr fetai h peiramatik diadikasða kai ta apotelèsmata. Parousi zetai h diadikasða kataskeu c tou tanust dedomènwn ekpaðdeushc apì tic anaparast seic floioô kaj c kai h diadikasða exagwg c qarakthristik n apì tic anaparast seic floioô me thn qr sh polugrammik n teqnik n an lushc upoq rwn. Tèloc, parousi zontai ta peiramatik apotelèsmata mazð me sqìlia kai sumper smata. Oi mellontikèc ereunhtikèc kateujônseic parousi zontai sto tèloc tou kefalaðou. 5

18 6

19 Kef laio 2 Anapar stash MousikoÔ S matoc 2.1 AnatomÐa kai FusiologÐa thc Ako c To anjr pino sôsthma ako c diadramatðzei spoudaðo rìlo ston trìpo pou antilambanìmaste ton qo. Leitourg ntac wc sôsthma metatrop c, metatrèpei thn hqhtik gl ssa tou èxw kìsmou, dhlad thn akoustik pðesh, se hlektrikèc seic, dhlad th gl ssa tou egkef lou. To anjr pino sôsthma ako c apartðzetai apì trða tm mata: to perifereiakì (peripheral), to endi meso (intermediate) kai to kentrikì (central) [94, 122]. Sthn paroôsa diatrib ja jewr soume mia aplousteumènh, apì anatomik c kai fusiologik c poyhc, ekdoq tou sust matoc ako c, sthn opoða to endi meso tm ma paraleðpetai Perifereiakì SÔsthma Ako c To perifereiakì tm ma tou akoustikoô sust matoc diaireðtai se trða tm mata: to exwterikì, to mèso kai to eswterikì autð (Sq ma 2.1). To exwterikì autð perilamb nei to pterôgio kai ton akoustikì pìro, dia mèsou tou opoðou o qoc afenìc sugkentr netai (pterôgio) kai afetèrou diadðdetai (akoustikìc pìroc) sto mèso autð, en par llhla filtr retai me anwdiabatì fðltro sto pterôgio kai zwnodiabatì fðltro ston akoustikì pìro. To mèso autð, perilamb nei thn tumpanik membr nh kaj c kai ta akoustik ost ria: th sfôra, ton kmona kai ton anabolèa. Ta akoustik ost ria metadðdoun tic talant seic thc tumpanik c membr nhc sto eswterikì autð. To exwterikì autð sun to eswterikì mporoôn na montelopoihjoôn wc fðltro me eureða koruf 30dB gôrw sta 1000Hz. To eswterikì autð apoteleðtai apì ton koqlða (Cochlea)(Sq ma 2.2) kai lla ìrgana, ta opoða enhmer noun ton egkèfalo gia th jèsh tou s matoc sto q ro. O koqlðac eðnai ènac speiroeid c swl nac me oloèna mikrìterh diatom kaj c tulðgetai eswterik. H diatom miac 7

20 Sq ma 2.1: AnatomÐa tou perferiakìu sust matoc ako c, (apì to [135]). Sq ma 2.2: Diatom tou koqlða (apì to [135]). speðrac tou koqlða faner nei thn parousða enìc diafr gmatoc pou kaleðtai basik membr nh (basilar membrane), to opoðo qwrðzei to eswterikì tou koqlða se dôo perðpou Ðsa mèrh apì ta opoða to k tw mèroc apoteleð thn tumpanik klðmaka en to ep nw upodiaireðtai sthn aijousiaða klðmaka kai ston koqliakì pìro. Oi klðmakec eðnai gem tec ugrì, thn perilèmfo, en o koqliakìc pìroc perièqei llo ugrì thn endolèmfo. Ta ugr qrhsimeôoun gia th met dosh twn hqhtik n kum twn proc th basik membr nh. O qoceisèrqetai sthn aijousiaða klðmaka mèsw thc woeidoôc jurðdac sthn opoða ef ptetai o anabolèac. H basik membr nh eðnai upeôjunh gia thn metatrop twn mhqanik n talant sewn, oi opoðec dhmiourgoôntai apì th dìnhsh thc woeidoôc jurðdac mèsw twn akoustik n ostarðwn, se hlektrikoôc palmoôc. Pio sugkekrimèna ep nw sthn basik membr nh up rqei to ìrgano tou 8

21 Corti to opoðo perièqei mia seir triqoeid n kutt rwn (Inner Hair Cells -IHC), organwmènwn tonotopik, pou sundèontai me tic Ðnec tou akoustikoô neôrou kai dhmiourgoôn hlektrikoôc palmoôc me suqnìthtec èwc 20kHz. To m koc thc basik c membr nhc eðnai perðpou 35mm, en to pl toc thc aux nei kaj c metabaðnoume apì thn b sh proc thn koruf (appex) tou koqlða, dhlad apì thn woeid jurðda sto kèntro thc perièlixhc tou koqlða kai h sklhrìthta thc elatt netai. Lìgw aut n twn mhqanik n idiot twn kat to m koc thc, h basik membr nh leitourgeð san fasmatikìc analut c suntonðzontac k je shmeðo thc se tal ntwsh diaforetik c suqnìthtac. 'Etsi, kont sthn woeid jurðda suntonðzontai oi uyhlèc suqnìthtec en kont sthn koruf suntonðzontai oi qamhlèc. Me lla lìgia, ènac qoc uyhl c suqnìthtac kaj c diatrèqei th basik membr nh polô gr gora exasjeneð epeid sunant ligìtero sklhrì mèso kaj c plhsi zei ton phka. Tìso oi qamhlèc ìso kai oi uyhlèc suqnìthtec enìc sônjetou qou ft noun sth basik membr nh tautìqrona dia mèsou twn ugr n twn dôo klim kwn. 'Etsi oi qamhlèc suqnìthtec den mporoôn na diadojoôn na suntonðsoun to sklhrì tm ma thc basik c membr nhc Kèntrikì SÔsthma Ako c To kentrikì sôsthma ako c perilamb nei ton prwtotag akoustikì floiì (primary auditory cortex). S> autì to tm ma tou anjr pinou sust matoc ako c sunteloôntai an terou epipèdou leitourgðec pou sqetðzontai me diadikasðec, ìpwc h antðlhyh (perception), h katanìhsh, h mn mh kai o prosdiorismìc thc jèshc thc hqhtik c phg c sto q ro [94]. O akoustikìc floiìc apoteleð thn prwtotag mon da epexergasðac twn akoustik n plhrofori n apì ton egkefalikì floiì. Oi akoustikèc plhroforðec eisèrqontai ston akoustikì floiì kwdikopoihmènec wc neurikoð palmoð, ekeð epanakwdikopoioôntai apì ta neurik kôttara tou floioô se mia anapar stash pou eðnai gnwst wc floi dhc anapar stash (cortical representation). Ta neurik kôttara ston koqlða eðnai organwmèna tonotopik, kat' analogða me thn tonotopik org nwsh twn neurik n kutt rwn thc basik c membr nhc ston koqlða. Eidikìtera, ta kôttara tou akoustikoô floioô organ nontai tonotopik me trìpo tètoio ètsi ste o xonac thc suqnìthtac na sqhmatðzei orj gwnða me tic lwrðdec ISO-suqnot twn pou kalôptoun thn epif neia tou akoustikoô floioô, kai diamorf noun mia pl rh anapar stash twn antilambanìmenwn suqnot twn [87] epð thc neurik c dom c tou akoustikoô floioô. Ektìc apì thn tonotopik org nwsh, ta neurik kôttara organ nontai se st lec an loga me thn kroustik touc apìkrish. ParadeÐgmatoc q rin, up rqoun endeðxeic gia thn Ôparxh susthmatik c org nwshc twn neurik n kutt rwn an loga me to sq ma kai th summetrða thc apìkrishc suqnot twn touc. KÔttara me apìkrish stenoô eôrouc z nhc brðskontai gôrw apì to kentrikì 9

22 mèsa mèroc tou akoustikoô floioô, en antðjeta ta kôttara me apìkrish eurôterou eôrouc z nhc brðskontai pio kont stic krec tou. Epiplèon, o Shamma sto [115] anafèrei ìti ta kôttara tou prwtotagoôc akoustikoô floioô organ nontai topografik me b sh thn summetrða twn kroustik n touc apokrðsewn. Ta neurik kôttara twn opoðwn h apìkrish suqnìthtac touc eðnai summetrik wc proc thn kentrik suqnìthta brðskontai sto kèntro tou akoustikoô floioô. Proc tic krec, h apìkrish suqnìthtac twn kutt rwn eðnai stadiak ligìtero summetrik. Epiplèon, faðnetai na up rqei mia kionoeid c (se st lec) org nwsh twn neurik n kutt rwn sômfwna me th stereoakoustik euaisjhsða (binaural sensivity) touc. Ta kôttara pou diegeðrontai apì ta erejðsmata kai apì ta duo auti (kôttara EE) kai ta kôttara pou diegeðrontai apì ta erejðsmata apì èna autð, all ìqi apì ta erejðsmata pou proèrqontai apì to llo autð (EI kai IE kôttara) brðskontai se qwristèc st lec [94]. H morfologik kai topografik org nwsh twn kutt rwn uponoeð ìti o akoustikìc floiìc, mèqri enìc shmeðou, diathreð ènan periektikì q rth sth neurik dom tou pou perigr fei posìthtec ìpwc h suqnìthta, to eôroc z nhc, h summetrða tou f smatoc, kai h jèsh sto q ro tou qou. H parap nw diatôpwsh uponoeð ìti h an lush twn akoustik n shm twn pragmatopoieðtai se ìlo to akoustikì sôsthma apì ton koqlða autioô, kai ta endi mesa st dia mèqri ton akoustikì floiì, kwdikopoi ntac stadiak kai epanakwdikopoi ntac tic hqhtikèc plhroforðec kat tètoio trìpo, ste na katastoôn dunatèc an terec egkefalikèc leitourgðec, ìpwc aut thc antðlhyhc. EpÐplèon, axðzei na shmeiwjeð oti oi neurofusiologikèc èreunec thc ako c odhgoôn sto sumpèrasma ìti h antðlhyh kai apokwdikopoðhsh twn hqhtik n mhnum twn eðnai polô diaforetik an loga me to an sth leitourgða aut summetèqei perissìtero to dexð to aristerì autð. To dexð autð sundèetai me to aristerì hmisfaðrio tou egkef lou, ekeð ìpou brðsketai èna eidikì neurwnikì kèntro (kèntro Broca) sto opoðo gðnetai h org nwsh tou lìgou kai thc gl ssac. AutoÔ tou eðdouc h sôndesh eðnai mesh kai akrib c. AntÐstoiqa to aristerì autð sundèetai me to dexð hmisfaðrio, all ìmwc ekeð den gðnetai h epexergasða thc gl ssac, ìpwc sto aristerì. 'Etsi, loipìn, ja prèpei to hqhtikì erèjisma na per sei mèsw tou mesolobðou (pou sundèei ta hmisfaðria tou egkef lou) sto dexð hmisfaðrio. Aut den eðnai mìno mia arg sôndesh, all kai idiaðtera anaxiìpisth. Gia autì to lìgo o Tomatis onìmase to dexð autð autð odhgì}, epeid mporeð : 1.) na apokwdikopoieð akribèstera ta hqhtik mhnômata, 2.) na elègqei apotelesmatikìtera thn paragwg tou lìgou, 3.) na esti zei kalôtera thn prosoq tou atìmou. E n loipìn to dexð autð eðnai hgetikì kai kurðarqo sth sôllhyh kai apokwdikopoðhsh twn hqhtik n erejism twn, up rqei dexi akoustik pleurðwsh. E n antðjeta kuriarqeð to aristerì autð tìte èqoume arister akoustik pleurðwsh, me ìla 10

23 ta arnhtik apotelèsmata pou autì sunep getai. H arister akoustik pleurðwsh eðnai mia prostasða tou atìmou, prìkeitai ousiastik gia mia sugkinhsiak muna. ApofeÔgontac kaneðc na qrhsimopoi sei to suntomìtero drìmo (dexð autð - aristerì egkefalikì hmisfaðrio), all epilègontac to makrôtero (aristerì autð - dexð egkefalikì hmisfaðrio- mesolìbio-aristerì egkefalikì hmisfaðrio) dhmiourgeð mia qronik kajustèrhsh kai ousiastik mia apìstash a- n mesa ston èxw kìsmo kai ston eautì tou, qwrðc bèbaia na p yei entel c na akoôei (apostasiopoðhsh apì thn phg pou tou dhmiourgeð prìblhma). O makrôteroc neurologik drìmoc èqei san apotèlesma thn kajustèrhsh thc katanìhshc twn plhrofori n me pijanèc sunèpeiec, thn ap leia enèrgeiac tou atìmou, thn kìpwsh, thn pt sh thc mn mhc, thn el ttwsh thc sugkèntrwshc, th di spash prosoq c, kai thn anorjografða. 2.2 AntÐlhyh Qronik n kai Suqnotik n Diamorf sewn Ta teleutaða sar nta qrìnia ta apotelèsmata yuqofusiologik n kai yuqoakoustik n ereun n katadeiknôoun ìti oi polô qamhl n suqnot twn qronikèc kai suqnotikèc diamorf seic (spectro-temporal modulations) tou qou eðnai oi kurioi foreðc plhroforðac tìso gia to h- qìqrwma thc mousik c ìso kai gia to s ma omilðac. EÐnai de, dunatì na exaqjoôn apì autèc tic qronikèc kai fasmatikèc diamorf seic posotik qarakthristik ìpwc gia par deigma oi fwnosuntonismoð (formants) tou s matoc omilðac [124]. O Dudley sto klasikì plèon rjro tou [39], sta 1939pr toc parat rhse ìti ta s mata omilðac kai mousik c eðnai diadikasðec stenoô eôrouc z nhc oi opoðec diamorf noun èna fèron megalôterou eôrouc z nhc. Sta 1971, o Moler [93] pr toc anagn rise ìti to sôsthma ako c twn jhlastik n èqei oxeða euaisjhsða sthn antðlhyh diamìrfwshc pl touc (amplitude modulation) qronik c diamìrfwshc (temporal modulation) akoustik n shm twn stenoô eôrouc z nhc. O Suga [123] apèdeixe pwc k je shmeðo thc basik c membr nhc apokrðnetai se diaforetikèc suqnìthtec qronik n diamorf sewn me mia logik an logh me aut pou lamb nei q ra kat thn apìkris thc se tìnouc. Me lla lìgia h apìkrish twn koqliak n kutt rwn stic di forec suqnìthtec qronik c diamìrfwshc èqei tonotopik qarakthristik. Oi Schreiner kai Urbas [112] diapðstwsan ìti antðstoiqa tonotopik qarakthristik èqoun kai ta neurik kôttara tou prwtotagoôc akoustikoô floioô. Pio prìsfata, o Kowalski kai lloi [35, 68, 116] apèdeixan ìti ta neurik kôttara ston prwtotag akoustikì floiì tou egkef lou - to u- yhlìtero epðpedo tou pr imou akoustikoô sust matoc - eðnai pio euaðsjhta se qouc pou sundu zoun fasmatikèc kai qronikèc diamorf seic. H kroustik apìkrish twn kutt rwn tou 11

24 floioô upologðsthke me kat llhla peir mata, ta opoða katèdeixan ìti to kentrikì sôsthma ako c ulopoieð apì koinoô fasmatik -qronik an lush pollapl n klim kwn (multiscale) h opoða ousiastik epanakwdikopoieð (metasqhmatðzei) to akoustikì fasmatogr fhma tou qou se epðpedo qronik n kai fasmatik n diamorf sewn. O Schulze [113] uposthrðzei ìti h kwdikopoðhsh tou mousikoô tìnou (pitch) kai tou rujmoô endeqomènwc na exhgeðtai qwrist apì suneliktik kai pollaplasiastik montèla. Epiplèon olangner, parat rhse se magnhtoegkefalograf mata ìti to suqnotikì kai rujmikì (periodikì) perieqìmeno tou qou anaparðstantai me orjog niouc q rtec ston akoustikì floiì tou egkef lou [70, 71, 113]. Eur mata apì thn yuqoakoustik isquropoioôn peraitèrw thn epiqeirhmatologða upèr thc shmasðac twn fasmatik n-qronik n diamorf sewn sthn antðlhyh tou qou. O Houtgast [58] èdeixe ìti h antðlhyh miac diamorf triac suqnìthtac apokrôptei (masking) thn antðlhyh geitonik n diamorfwtri n suqnot twn. Peraitèrw peir mata twn Bacon kai Grantham katadeiknôoun to gegonìc Ôparxhc kanali n anðqneushc thc qronik c diamìrfwshc antistoðqwc proc aut thc anðqneushc thn fasmatik c suqnìthtac ta opoða suqn apokaloôntai kai krðsimec z nec (critical bands) [5]. AntÐstoiqa fainìmena apìkruyhc parathroôntai kai se qouc me perieqìmeno apì koinoô qronik n kai fasmatik n diamorf sewn [25]. Sumperasmatik, ja lègame ìti, se mia pr th f sh, to perifereiakì sôsthma ako c ekteleð fasmatik an lush, sth sunèqeia to kentrikì sôsthma ako c epanakwdikopoieð th fasmatik plhroforða me ìrouc fasmatik n kai qronik n diamorf sewn. Efìson leitourgðec, ìpwc h antðlhyh tou qou, lamb noun q ra sto kentrikì sôsthma ako c kai se uyhlotèra tm mata tou akoustikoô sust matoc h an lush pou prohg jhke enisqôei thn epiqeirhmatologða upèr thc shmasðac twn fasmatik n-qronik n diamorf sewn sthn antðlhyh tou qou. 2.3 Majhmatikì Montèlo AkoustikoÔ Sust matoc H prìodoc enìc sunìlou efarmog n, ìpwc h autìmath anagn rish omilðac kai omilht, h sumpðesh kai kwdikopoðhsh shm twn omilðac kai mousik c k.a. exart tai shmantik apì thn katanìhsh thc leitourgðac tou anjr pinou sust matoc ako c. H idèa thc enswm twshc gn shc proerqìmenhc apì ton trìpo leitourgðac tou anjr pinou sust matoc ako c sthn kataskeu eôrwstwn susthm twn anagn rishc omilðac kai qou en gènei den eðnai nèa [54]. H Ôparxh eôrwstwn kai axiìpistwn majhmatik n-upologistik n montèlwn tou anjrwpðnou sust matoc ako c gia thn anapar stash kai thn exagwg qarakthristik n apì ta hqhtik s mata eðnai epitaktik. Sth bibliografða èqoun protajeð arket tètoia upologistik montèla ta opoða prosomoi noun uposust mata tou sust matoc ako c, ìpwc ton koqlða [83, 120] kai to kentrikì akoustikì sôsthma [130]. 12

25 Sthn paroôsa diatrib ja qrhsimopoi soume to upologistikì tou koqlða pou prot jhke apì ton Lyon [83, 120] ste na proseggðsoume thn anapar stash qronik n diamorf sewn tou akoustikoô floioô kai to montèlo pou prot jhke sto [130] gia na ex goume tic apì koinoô qronikèc kai suqnotikèc anaparast seic floioô apì ta arqeða qou. To anjr pino akoustikì sôsthma pou parousi sthke sthn enìthta 2.1 mporeð na montelopoihjeð majhmatik wc mia allhlouqða susthm twn ta opoða me th seir touc ulopoioôn mia akoloujða grammik n kai mh-grammik n metasqhmatism n. H majhmatik montelopoðhsh tou anjr pinou akoustikoô sust matoc sunant te sthn bibliografða wc Upologistikì Akoustikì Montèlo (Computational Auditory Model) [88, 103] To upologistikì akoustikì montèlo basðzetai se neurofusiologik, biofusik kai yuqoakoustik eur mata apì melètec twn di forwn sustatik n mer n tou akoustikoô sust matoc kai apartðzetai apì dôo basik tm mata: 1) To perifereiakì akoustikì sôsthma (early stage) to opoðo montelopoieð to metasqhmatismì tou akoustikoô s matoc se hlektrikèc seic. H anapar stash pou prokôptei sthn bibliografða anafèretai wc akoustikì fasmatogr fhma (auditory spectrogram). H leitourgða tou prosomoi netai apì mia oikogèneia koqliak n montèlwn poô arqik prot jhke apì ton Lyon [83, 120] kai tropopoi jhke en mèrh apì touc W- ang kai Shamma gia na qrhsimopoihjeð sth montelopoðhsh olokl rou tou sust matoc ako c [130]. 2) To kentrikì akoustikì sôsthma (central stage) analôei to akoustikì fasmatogr fhma kai ektim to perieqìmeno tou se fasmatikèc kai qronikèc diamorf seic (spectro-temporal modulations), h diadikasða ulopoieðtai apì mia tr peza fðltrwn ta opoða mimoôntai th sumperifor twn kutt rwn tou anjr pinou akoustikoô floioô (auditory cortex). H anapar stash pou prokôptei apì aut thn diadikasða suqn sunant tai wc anapar stash floioô (cortical representation) [26] Montèlo PerifereiakoÔ Sust matoc Ako c To akoustikì s ma s(t) kaj c eisèrqetai sto èsw autð dhmiourgeð èna sônjeto prìtupo qronik n kai fasmatik n diamorf sewn kat m koc thc basik c membr nhc ston koqlða. K je shmeðo tou koqlða suntonðzetai se tal ntwsh diaforetik c suqnìthtac, sunep c h mègisth metatìpish se k je shmeðo tou koqlða prokaleð thn antðlhyh diaforetikoô tìnou, me apotèlesma th dhmiourgða enìc tonotopikoô xona apìkrishc kat m koc tou koqlða. Sunep c, h basik membr nh mporeð na montelopoihjeð wc mia sustoiqða apì zwnodiabat fðltra kentrarismèna se isapèqousec suqnìthtec epð èna logarijmikì xona. H parap nw diadikasða mporeð na ekfrasteð majhmatik wc metasqhmatismìc kumatidðwn (wavelet transform) tou akoustikoô s matoc s(t). To akoustikì s ma s(t) filtr retai apì mða sustoiqða fðltrwn ston koqlða, me kroustik 13

26 Sq ma 2.3: Akoustikì fasmatogr fhma, (apì to [26]). apìkrish h cochlea (t, f). H èxodoc ton koqliak n fðltrwn y cochlea (t, f) metatrèpetai mèsw ton triqoeid n kutt rwn se hlektrikoôc palmoôc. H parap nw diadikasða mporeð na perigrafeð wc mia apì koinoô sto qrìno kai sthn suqnìthta katanom thc diègershc triqoeid n kutt rwn, èstw y an (t, f), kai dônatai na montelopoihjeð wc mia akoloujða tri n bhm twn: 1. Arqik, to akoustikì s ma s(t) filtr retai apì ena anwdiabatì fðltro me kroustik apìkrish h cochlea (t, f) (the fluid-cilia coupling), akoloujoômeno apì mia stigmiaða mhgrammik sumpðesh (geted ionic channels) g hc (.) kai èna katwdiabatì fðltro (hair cell membrane leakage) μ hc(t)(.). H diadikasða ekr zetai majhmatik wc ex c: y cochlea (t, f) = s(t) h cochlea (t, f) (2.1) y an (t, f) = g hc ( y cochlea (t, f)) μ hc(t) (2.2) t 2. Se mia deôterh f sh èna pleurikì anastaltikì dðktuo (Lateral Inhibitory Network - LIN) aniqneôei tic asunèqeiec stic apokrðseic kat m koc tou tonotopikoô xona tou akoustikoô neôrou. To LIN proseggðzetai apì thn pr th par gwgo wc proc ton tonotopikì xona akoloujoômeno apì ton anorjwt hmðseoc kômatoc (half-wave rectifier). Apotèlesma twn parap nw pr xewn eðnai h apì koinoô sto qrìno kai sthn suqnìthta katanom y LIN (t, f) kai ekfr zetai majhmatik apì thn sqèsh pou akoloujeð. y LIN (t, f) = max( y an (t, f), 0) (2.3) f 3. To teleutaðo b ma aut c thc diadikasðac eðnai h olokl rwsh thc y LIN (t, f) se èna braqô qronikì par juro thc t xhc twn 8 10 ms gegonìc pou mimeðtai to qrìno prosarmog c 14

27 twn akoustik n neurik n kutt rwn. To akoustikì fasmatogr fhma y(t, f) prokôptei wc ex c: y(t, f) = y LIN (t, f) μ midbrain (t, τ) (2.4) ìpou me sumbolðzetai h pr xh thc sunèlixhc sto qrìno. H majhmatik diatôpwsh tou koqliakoô montèlou pou prohg jhke apoteleð genik diatôpwsh thc oikogèneiac koqliak n montèlwn pou prot jhke apì ton Lyon [83, 120]. Di forec tropopo seic kai paralagèc autoô eqoun protajeð kai ulopoihjeð, p.q. to Auditory Toolbox 1 kai to NLS Toolbox 2 gia to perib llon programmatismoô Matlab Montèlo KentrikoÔ Sust matoc Ako c - Anapar stash FloioÔ Ta epìmena tm mata tou akoustikoô sust matoc analôoun peraitèrw to akoustikì fasmatogr fhma, me stìqo thn ektðmhsh tou perieqomènou tou se fasmatikèc -qronikèc diamorf seic. Pio sugkekrimèna, h parap nw diadikasða ekfr zetai majhmatik apì ton dusdi stato metasqhmatismì kumatidðou, me qr sh miac disdi stathc sun rthshc Gabor. H ektðmhsh twn qronofasmatik n diamorf sewn tou akoustikoô fasmatograf matoc u- pologðzetai mèsw miac sustoiqðac fðltrwn epilog c diamorf sewn pou eðnai kentrarismèna se isapèqousec suqnìthtec kat m koc tou tonotopikoô xona. K je fðltro suntonðzetai se èna eôroc qronik n diamorf sewn, oi opoðec anafèrontai wc rates, sumbolðzontai me ω kai èqoun wc mon da mètrhshc to Hz, kaj c kai se èna eôroc fasmatik n diamorf sewn oi opoðec anafèrontai wc scales sumbolðzontai me Ω kai metroôntai se KÔklouc an Okt ba. Mia tupik kroustik apìkrish enìc Gabor fðltrou kumatidðou kaleðtai Fasmatikì - Qronikì PedÐo Apìkrishc (Spectro-Temporal Response Field - STRF) kai montelopoieð thn kroustik apìkrish enìc dedomènou kutt rou tou akoustikoô floioô an loga me tic paramètrouc. 'Estw mia sustoiqða kateujuntik n fðltrwn STRFs apoteloômenh apì epliektik fðltra proc ta k tw STRF kai apì epilektik fðltra proc ta p nw STRF +. K je STRF eðnai mia pragmatik sun rthsh, apotèlesma tou pragmatikoô mèrouc, tou ginomènou miac migadik c sun rthshc qronik c kroustik c apìkrishc H rate me mða migadik sun rthsh fasmatik c kroustik c apìkrishc H scale. STRF + = R{H rate (t, ω, θ)h scale (f,ω,ϕ)} (2.5) STRF = R{H rate(t, ω, θ)h scale (f,ω,ϕ)}. (2.6) 1 malcolm/interval/ /

28 ìpou me R sumbolðzetai to pragmatikì mèroc, me to migadikì suzugèc, kaj c me θ, ϕ sumbolðzoume tic qarakthristikèc f seic oi opoðec kajorðzoun to bajmì asummetrðac kat ton xona tou qrìnou kai thc suqnìthtac antistoiqa. Gia thn exagwg twn analutik n sunart sewn H rate kai H scale prèpei na orðsoume tic sunart seic h rate (.), h scale (.) oi opoðec apoteloôn tic qronikèc kai fasmatikèc kroustikèc a- pokrðseic kai orðzontai apì mia hmitonoeid parembol an mesa se mia summetrik sun rthsh h r (.) (deôterh par gwgoc miac Gkaousian c) kai h s (.) (sun rthsh G mma) kai twn mh summetrik n Hilbert metasqhmatism n touc wc ex c: h rate (t, ω, θ) = h r (t, ω)cosθ + h r (t, ω)sinθ (2.7) h scale (f,ω,ϕ) = h s (f,ω) cos ϕ + h s (f,ω) sin ϕ. (2.8) ìpou me (.) sumbolðzetai o metasqhmatismìc Hilbert. Oi kroustikèc apokrðseic gia diaforetikèc timèc twn paramètrwn ω kai Ω upologðzontai wc ex c: h r (t, ω) = ωh r (ωt) (2.9) h s (f,ω) = Ωh s (Ωf) (2.10) ìpou h r (t) = t 3 e 4t cos(2πt) (2.11) h s (f) = (1 f 2 )e f2 2 (2.12) Sunep c oi analutikèc sunart seic H rate kai H scale prokôptoun apì tic h scale (.) kai h rate (.) wc ex c: H rate (t, ω, θ) = h rate (t, ω, θ)+j h rate (t, ω, θ) (2.13) H scale (f,ω,ϕ) = h scale (f,ω,ϕ)+j h scale (f,ω,ϕ). (2.14) Epomènwc, h fasmatik -qronik apìkrish enìc dedomènou kutt rou c tou akoustikoô floioô gia èna fasmatogr fhma eisìdou y(t, f) ja eðnai: r c+ (t, f; ω c, Ω c,θ c,ϕ c ) = y(t, f) t,f STRF + (t, f, ω c, Ω c,θ c,ϕ c ) (2.15) r c (t, f, ω c, Ω c,θ c,ϕ c ) = y(t, f) t,f STRF (t, f, ω c, Ω c,θ c,ϕ c ) (2.16) ìpou me t,f sumbolðzetai hdisdi stath sunèlixh wc proc to qrìno kai th suqnìthta. Kata thn ulopoi sh tou akoustikoô montèlou oi timèc twn paramètrwn pou qrhsimopoi- jhkan basðzontai se yuqofusiologik kai yuqoakoustik eur mata [68, 35, 41]. Pio sugkekrimèna qrhsimopoioôntai oi jetikèc [+] kai oi arnhtikèc[ ] timèc rates {2, 4, 8, 16, 32} 16

29 Sq ma 2.4: Hqhtik anapar stash floioô, (apì to [106]). (Hz) kaj c epishc qrhsimopoioôntai oi timèc scales {0.25, 0.5, 1, 2, 4, 8} (Cycles / Octave). Gia k je hqogr fhsh ex getai, mia tetradi stath anapar stash floioô. UpologÐzontac th mèsh tim wc proc to qrìno, prokôptei mia trisdi stath anapar stash floioô h opoða anaparðstatai apì ènan tanust trðthc t xhc. 'Estw, loipìn, o tanust c D R I 1 I 2 I 3 +, ìpou I 1 = I scales =6, I 2 = I rates =10, kai I 3 = I frequencies = 128 kalôptontac 128 suqnotik kan lia kat m koc tou tonotopikoô xona. Oi exis seic (2.15), (2.16) perigr foun majhmatik thn apo koinoô qronofasmatik a- napar stash diamorf sewn tou akoustikoô floioô (cortical representation) tou qou. H exagwg thc anapar stashc floioô sunoyðzetai sto sq ma 2.4. Gia thn anwterw diadikasða qrhsimopoi jhke to NSL Matlab toolbox. To mètro twn sunart sewn (2.15), (2.16) mporeð na qrhsimopoihjeð gia thn peretaðrw exagwg qarakthristik n. Prìsfata oi hqhtikèc anaparast seic floioô qrhsimopoi jhkan me epituqða se di fora probl mata taxinìmhshc qou me b sei to perieqìmeno. Oi Mesgarani [88], Wohlmayr [132] kai Rifkin [106] qrhsimopoðhsan tic anaparast seic floioô me skopì na diakrðnoun s mata omilðac apì s mata mh-omilðac en o Sundaram [110] gia na diakrðnei duo diaforetikoôc tôpouc jorôbou. 2.4 Apì koinoô suqnotik an lush H apo koinoô suqnotik an lush (joint frequency analysis) fasmatik an lush diamìrfwshc èqei wc stìqo na metasqhmatðsei to hqhtikì s ma, se mia dom pou na anaparist tic lanj nousec qronikèc diamorf seic tou s matoc. H dom aut eðnai gnwst wc apì koinoô suqnotik anapar stash (joint frequency representation) [124]. Formalistik, h apì koinoô suqnotik anapar stash, èstw Ps JF (ω, f) eðnai ènac metasqhmatismìc sto qrìno miac diamorfwmènhc braquqrìniac fasmatik c ektðmhshc. Me ω h 17

30 Sq ma 2.5: Apì koinoô suqnotik anapar stash, apì to [2]. suqnìthta diamìrfwshc en me f upodhl netai h akoustik suqnìthta. 'Enac tètoioc metasqhmatismìc tou s matoc s(t) prokôptei wc ex c : qronosuqnotik anapar stash p.q. Arqik upologðzetai mia apì koinoô to fasmatogr fhma to akoustikì fasmatogr fhma, èstw Ps SP (t, f). En suneqeða ènac deôteroc metasqhmatismìc p.q. (Fourier) sunhmðtonou kumatidðou efarmìzetai gia k je kan li akoustik c suqnìthtac ston xona tou qrìnou, ste na ektimhjeð h apì koinoô suqnotik anapar stash tou s matoc Ps JF (ω, f) (bl. sq ma2.4). Upì mia diaforetik skopi o metasqhmatismìc thc apì koinoô suqnotik c an lushc mporeð na upologisteð apì thn (2.17) dia thc sunèlixhc wc proc ω twn sunart sewn autosusqètishc tou metasqhmatismoô Fourier tou s matoc s(t), èstw S(ω), kai tou qronikoô par jurou an lushc w(t), èstw W (ω) [124, 125]. P JF s (ω, f) =(W (ω f 2 )W (ω + f 2 ) ω (S (ω f 2 )S(ω + f 2 ) (2.17) H fasmatik an lush diamìrfwshc èqei th dunatìthta na exag gei tic qronik metaballìmenec plhroforðec mèsw twn mh mhdenik n ìrwn thc apì koinoô suqnotik c anapar stashc. 'Otan h an lush efarmìzetai se pragmatikì s ma, p.q. s ma omilðac mousik c, autoð oi mh-mhdenikoð ìroi mporoôn na antiproswpeôoun di forec fusikèc posìthtec ìpwc fwnhtikèc plhroforðec, thn perðodo mousikoô tìnou, ton rujmì kai endeqomènwc na perièqoun qr simh plhroforða kat llhlh gia thn taxinìmhsh twn shm twn se kl seic. EntoÔtoic, h qr sh thc fasmatik c an lushc diamìrfwshc pou perigr fetai apì th sqèsh (2.17), den endeðknutai gia thn exagwg qarakthristik n gnwrism twn, diìti èqei to sobarì meionèkthma ìti par gei qarakthristik gnwrðsmata polô meg lwn diast sewn. Epiplèon h qr sh thc an lushc Fourier, llwn omoiìmorfwn metasqhmatism n suqnìthtac p.q. metasqhmatismìc sunhmðtonou, gia ton upologismì thc suqnìthtac diamìrfwshc odhgeð se èna metasqhmatismì me omoiìmorfa 18

31 Sq ma 2.6: Modulation Scale Analysis, apì to [125]. katanemhmèno eôroc z nhc suqnìthtac sth di stash thc suqnìthtac diamìrfwshc, gegonìc pou den prosidi zei sthn tonotopik org nwsh twn kutt rwn tou prwtotagoôc akoustikoô floioô ìpwc aut perigr fhke sthn enìthta O Sukittanon se mia prosp jeia na mimhjeð thn apìkrish tou anjr pinou akoustikoô sust matoc stic qronikèc diamorf seic proteðnei thn klimakwt an lush diamorf sewn (Modulation Scale Analysis) [125]. H apìkrish twn kutt rwn tou koqlða mporeð na montelopoihjeð apì mia tr peza fðltrwn stajeroô Q. metasqhmatismìc Q dônatai na proseggisteð apì ton metasqhmatismì kummatidðou suneqoôc qrìnou (continuoustime wavelet transform - CWT). To f sma klimakwt c an lushc diamorf sewn (Modulation Scale Analysis Spectrum) apoteleð thn apì koinoô anapar stash thc suqnìthtac Fourier kai thc suqnìthtac diamìrfwshc me to anomoiìmorfo eôroc z nhc gia thn suqnìthta diamìrfwshc. 'Opwc anaparðstatai sto Sq ma 2.4, to f sma klimakwt c an lushc diamorf sewn prokôptei apì mia akoloujða trðwn bhm twn H majhmatik diatôpwsh thc klimakwt c an lushc diamorf sewn èqei wc ex c: Arqik upologðzetai to fasmatogr fhma tou s(t): Ps SP (t, f) = 1 2π s(u)w(u t)e j2πfu du 2 (2.18) En suneqeða, efarmìzetai metasqhmatismìc kumatidðou me b sh thn sun rthsh Ψ(t) se k je qronik gramm tou fasmatograf matoc gia k je klðmaka (scale) qronik c diamìrfwshc s. O Ps SP (s, t, f) = 1 s P s SP (t, f) t Ψ( t s ) (2.19) H anwtèrw exðswsh (2.19) mporeð na antimetwpisjeð wc h efarmog metasqhmatismoô kummatidðou sth qronik perib llousa k je akoustikoô kanalioô. Sto teleutaðo b ma, h enèrgeia kat ton xona tou qrìnou t oloklhr netai kai ètsi prokôptei to f sma klimakwt c an lushc diamorf sewn: Ps JF (s, f) = P SP s (s, t, f) 2 dt (2.20) 19

32 Up rqoun poll pleonekt mata thc parap nw mejìdou apì koinoô suqnotik an lush en sugkrðsei me thn apì koinoô suqnotik c an lushc h opoða basðzetai ston metasqhmatismì Fourier. H apì koinoô suqnotik an lush pou basðzetai ston metasqhmatismì kumatidðou katarq c prosidi zei sto trìpo pou leitourgeð to anjr pino sôsthma ako c, mporeð na diaqwrðsei pollaplèc sunist sec AM tou s matoc kai par gei anaparast seic lðgwn diast sewn. H apo koinoô suqnotik an lush èqei qrhsimopoihjèi me epituqða wc mèjodoc exagwg c qarakthristik n se probl mata ìpwc anagn rish fwn c, hqitik n apotupwm twn (audio fingerprinting) kai kwdikopoðhshc [124, 125, 2]. Sthn paroôsa diatrib proteðnoume thn antikat stash tou aploô fasmatograf matoc me to akoustikì fasmatogr fhma sthn allhlouqða upologismoô thc disdi stathc apì koinoô suqnotik c anapar stashc se mia prosp jeia kalôterhc prosèggishc tou trìpou me ton o- poðo kwdikopoieðtai h plhroforða qronik n diamorf sewn ston akoustikì floiì. To koqliakì montèlo pou qrhsimopoieðtai gia ton upologismì tou akoustikoô fasmatograf matoc eðnai autì tou Lyon [83, 120], pou ousiastik prìkeitai gia mia mikr parallag autoô pou perigr fetai sthn enìthta Kat thn exagwg tou f smatoc klimakwt c an lushc diamorf sewn oi timèc twn paramètrwn pou qrhsimopoi jhkan eðnai gia tic klðmakec s {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128} (Hz) en to montèlo tou koqlða perilamb nei 96 fðltra, 24 ana okt ba, kalôptontac 4 okt bec kata m koc tou tonotopikoô xona. Gia k je hqogr fhsh ex getai, mia trisdðastath anapar stash floioô qronik n diamorf sewn apì thn (WT). UpologÐzontac th mèsh tim wc proc to qrìno, prokôptei mia disdi stath anapar stash floioô qronik n diamorf sewn h opoða anaparðstatai apì ènan tanust dèuterhc t xhc. 'Estw, loipìn, o tanust c D R I 1 I 2 +, ìpou I 1 = I s =8, I 2 = I frequencies =96kalÔptontac 96 suqnotik kan lia kat m koc tou tonotopikoô xona. 20

33 Kef laio 3 Logismìc Tanust n To parìn kef laio perièqei basikoôc orismoôc kai idiìthtec thc polugrammik c lgebrac. DÐnetai o orismìc kai oi basikèc idiìthtec twn tanust n. To kef laio autì diorj nei, sumplhr nei kai epikairopoieð to antðstoiqo kef laio sto [8]. 3.1 DianÔsmata kai PÐnakec OrismoÐ Orismìc (Dianusmatikìc Q roc) Dianusmatikìc q roc V p nw se èna pedðo F eðnai èna sônolo stoiqeðwn, pou lègontai dianôsmata, a, b V tètoia ste gia c, d F na isqôoun oi ex c idiìthtec: 1. (c a + d b) V 2. a V : a+(-a)=a-a=0 3. o V :0+a = a 4. 1 a = a, a V 5. a+b=b+a 6. a+(b+c)=(a+b)+c 7. (c + d) a = c a + d a, c (a + b) =c a + c b, (cd) a = c (da). Par deigma 'Ena a di nusma gramm m kouc n sumbolðzetai wc: ) a = (a 1 a 2... a n. (3.1) 21

34 Orismìc (PÐnakac) 'Estw V 1,V 2 dianusmatikoð q roi me diast seic, I 1,I 2, antðstoiqa. JewroÔme 2 dianôsmata u 1 V 1, u 2 V 2. O q roc pou dhmiourgeðtai apì ìla ta stoiqeða thc digrammik c apeikìnishc u 1 u 2 ston V 1 V 2 eðnai o q roc dianusmatikoô ginomènou gia dianôsmata apì touc q rouc V 1, V 2. 'Ena stoiqeðo tou q rou dianusmatikoô ginomènou onom zetai pðnakac ( m tra) ston V 1 V 2. 'Enac pio praktikìc orismìc tou pðnaka eðnai o ex c: mða disdi stath di taxh stoiqeðwn enìc pedðou F, pou èqei m grammèc kai n st lec, onom zetai pðnakac m n sto F. SumbolÐzetai wc A =[a ij ] mn, ìpou oi deðktec mn orðzoun tic dunamikèc perioqèc twn deikt n ij, dhlad i =1,...,mkai j =1,...,n. SumfwnoÔme ìti ìla ta dianôsmata ja ennooôntai wc dianôsmata gramm c efex c, opìte ta dianôsmata eðnai 1 n pðnakec. Par deigma 'Estw A pðnakac m n diast sewn, tìte a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =... a m1 a m2... a mn. (3.2) Idiìthtec Orismìc (Eswterikì Ginìmeno Dianusm twn) An u =(u 1...u n ) kai v = (v 1...v n ), to eswterikì ginìmeno twn u kai v orðzetai wc: n u v = u i v i. (3.3) Ta dianôsmata u kai v eðnai orjog nia, an u v =0. Orismìc (MonadiaÐoc PÐnakac) OrÐzetai wc o tetragwnikìc pðnakac (m = n): I =[δ ij ] nn. (3.4) ìpou δ ij to dèlta tou Kronecker. Gia opoiond pote tetragwnikì pðnaka A diast sewn n n isqôei ìti: I A = A I = A. Orismìc (Nìrma Frobenius) Gia ènan pðnaka A diast sewn m n orðzetai wc: m n A F = a ij 2. (3.5) i=1 i=1 j=1 22

35 Orismìc (Ginìmeno Pin kwn) AnA =[a ij ] mn kai B =[b ij ] nk, to ginìmeno twn pin kwn A kai B sumbolðzetai AB =[(AB) ij ] mk, kai èqei ij stoiqeðo: (AB) ij = n a ir b rj. (3.6) r=1 Orismìc (Orjog nioc Tetragwnikìc PÐnakac) 'Enac tetragwnikìc pðnakac A =[a ij ] nn eðnai orjog nioc an: A T = A 1. (3.7) ìpou A T =[a ji ] nn eðnai o an strofoc tou A, en A 1 eðnai o antðstrofoc tou A, dhlad pðnakac tètoioc ste AA 1 = I. 3.2 Orismìc Tanust n Oi tanustèc (tensors) apoteloôn mða genðkeush twn dianusm twn kai twn pin kwn kai apoteloôn basikì antikeðmeno thc Polugrammik c 'Algebrac. An loga me to episthmonikì pedðo sto opoðo sunant ntai, oi tanustèc mporoôn na oristoôn me diaforetikoôc trìpouc. Sto majhmatikì pedðo thcan lushc Tanust n, orðzontai wc antikeðmena pou upìkeintai se poludi statouc metasqhmatismoôc, apì èna sôsthma suntetagmènwn se èna llo. Oi metasqhmatismoð pou qrhsimopoioôntai onom zontai summetablhtoð (covariant -apì ton dianusmatikì sto du kì q ro) kai antimetablhtoð (contravariant - apì ton du kì q ro sto dianusmatikì). Sth fusik qrhsimopoioôntai gia na perigr youn posìthtec ston trisdi stato q ro. Oi tanustèc qrhsimopoioôntai epðshc gia thn perigraf pedðwn. Gia touc parap nw lìgouc, qrhsimopoioôntai ekten c sto pedðo thc mhqanik c suneq n mèswn (continuum mechanics). Perissìterec plhroforðec gia to pedðo thc polugrammik c lgebrac mporoôn na anazhthjoôn sto [49]. Ston kl do twn efarmosmènwn majhmatik n, ìpou den apaitoôntai metasqhmatismoð se sust mata suntetagmènwn, oi tanustèc orðzontai wc mða genikeumènh grammik ontìthta pou mporeð na anaparastajeð wc ènac pollaplìc (multiway) pðnakac. AkoloujeÐ o orismìc twn tanust n pou mporeð na efarmosteð mìno gia grammikoôc metasqhmatismoôc suntetagmènwn (component-free approach) [72]. Giathqr shtanust n se efarmogèc pou qrhsimopoioôntai wc pollaploð pðnakec, èqei protajeð to Tensor Toolbox gia perib llon MATLAB 1 kaj c epðshc kai to N-way Matlab Toolbox 2. 1 cmr.ca.sandia.gov/ tgkolda/tensortoolbox/

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Δειγματοληψία Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 5 DeigmatolhyÐa 'Estw èna sônolo periodikˆ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ις. συστήματα

Ανάλυση ις. συστήματα Σήματα Συστήματα Ανάλυση ourier για σήματα και συνεχούς χρόνου Λυμένες ασκήσει ις Κνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής συστήματα Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Diakritˆ Majhmatikˆ I. Leutèrhc KuroÔshc (EÔh Papaðwˆnnou)

Diakritˆ Majhmatikˆ I. Leutèrhc KuroÔshc (EÔh Papaðwˆnnou) Diakritˆ Majhmatikˆ I Leutèrhc KuroÔshc (EÔh Papaðwˆnnou) PlhroforÐec... Tetˆrth, 09.00-11.00, Paraskeu, 18.00-20.00 SÔggramma 1: Λ. Κυρούσης, Χ. Μπούρας, Π. Σπυράκης. Διακριτά Μαθηματικά: Τα Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN. 5h Seirˆ Ask sewn. Allag metablht n sto diplì olokl rwma

SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN. 5h Seirˆ Ask sewn. Allag metablht n sto diplì olokl rwma PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN 5h Seirˆ Ask sewn Allag metablht n sto diplì olokl rwma Jèma. Qrhsimopoi ntac

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Μετασχηματισμός Laplace Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 8 Metasqhmatismìc Laplace 8. Orismìc

Διαβάστε περισσότερα

Jerinì SqoleÐo Fusik c sthn EkpaÐdeush 28 IounÐou - 1 IoulÐou 2010 EstÐa Episthm n Pˆtrac

Jerinì SqoleÐo Fusik c sthn EkpaÐdeush 28 IounÐou - 1 IoulÐou 2010 EstÐa Episthm n Pˆtrac Kbantik Perigraf tou Kìsmou mac KwnstantÐnoc Sfètsoc Kajhght c Fusik c Genikì Tm ma, Panepist mio Patr n Jerinì SqoleÐo Fusik c sthn EkpaÐdeush 28 IounÐou - 1 IoulÐou 2010 EstÐa Episthm n Pˆtrac Ti ennooôme

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Μετασχηματισμός Z Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 7 Metasqhmatismìc Z 7. Orismìc tou metasqhmatismoô

Διαβάστε περισσότερα

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS.

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS. PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS 6h Seirˆ Ask sewn OmogeneÐc grammikèc diaforikèc exis seic me stajeroôc suntelestèc Jèma

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ο δυϊκός χώρος Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Diˆsthma empistosônhc thc mèshc tim c µ. Statistik gia Hlektrolìgouc MhqanikoÔc EKTIMHSH EKTIMHSH PARAMETRWN - 2. Dhm trhc Kougioumtz c.

Diˆsthma empistosônhc thc mèshc tim c µ. Statistik gia Hlektrolìgouc MhqanikoÔc EKTIMHSH EKTIMHSH PARAMETRWN - 2. Dhm trhc Kougioumtz c. Statistik gia Hlektrolìgouc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 6 Maòou 2010 EktÐmhsh Diast matoc empistosônhc Melet same thn ektim tria ˆθ paramètrou θ: An gnwrðzoume thn katanom thc X kai eðnai F X (x;

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ασκήσεις. συστήματα

Ανάλυση ασκήσεις. συστήματα Σήματα Συστήματα Ανάλυση Fourier για σήματα και διακριτού χρόνου Λυμένες ασκήσεις Κωνσταντίνος Κοτρόουλος Τμήμα Πληροφορικής συστήματα Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 3 Άδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Eisagwg sthn KosmologÐa

Eisagwg sthn KosmologÐa Eisagwg sthn KosmologÐa BasileÐou S. Gerogiˆnnh Kajhght Tm matoc Fusik c PanepisthmÐou Patr n Patra 2009 Kefˆlaio 1 Eisagwgikˆ 1.1 Gwniakì mègejoc, parsèk, ètoc fwtìc O parathrht c tou Sq matoc 1.1 parathreð

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Θέματα Εξετάσεων Όνομα Καθηγητή : Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

στο Αριστοτέλειο υλικού.

στο Αριστοτέλειο υλικού. Σήματα Συστήματα Μετασχηματισμός aplace Λυμένες ασκήσεις Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 03 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Διγραμμικές και Τετραγωνικές μορφές Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERHS KAI ANWTERHS TAXHS

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERHS KAI ANWTERHS TAXHS PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERHS KAI ANWTERHS TAXHS 1. Grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc kai an terhc tˆxhc

Διαβάστε περισσότερα

11 OktwbrÐou 2012. S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc

11 OktwbrÐou 2012. S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc Mˆjhma 7 0 11 OktwbrÐou 2012 Orismìc sunart sewn mèsw orismènwn oloklhrwmˆtwn To orismèno olokl rwma prosfèrei ènan nèo trìpo orismoô sunˆrthshc afoô to orismèno olokl rwma mia suneqoôc sunˆrthshc f (t),

Διαβάστε περισσότερα

Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PAR

Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PAR Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 8 DekembrÐou 202 t.m. X me mèsh tim µ t.m. X 2 me mèsh tim µ 2 Diaforˆ µ µ 2? [X kai X 2 anexˆrthtec] DeÐgma {x, x 2,..., x n } x DeÐgma {x 2,

Διαβάστε περισσότερα

GENIKEUMENA OLOKLHRWMATA

GENIKEUMENA OLOKLHRWMATA PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I GENIKEUMENA OLOKLHRWMATA Anplhrwt c Kjhght c: Dr. Pppˆc G. Alèndroc GENIKEUMENA OLOKLHRWMATA H ènnoi tou orismènou

Διαβάστε περισσότερα

στο Αριστοτέλειο υλικού.

στο Αριστοτέλειο υλικού. Σήματα Συστήματα Μετασχηματισμός Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 203 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS.

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS. PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS h Seirˆ Ask sewn Diaforikèc eis seic > diaforikèc

Διαβάστε περισσότερα

9. α 2 + β 2 ±2αβ. 10. α 2 ± αβ + β (1 + α) ν > 1+να, 1 <α 0, ν 2. log α. 14. log α x = ln x. 19. x 1 <x 2 ln x 1 < ln x 2

9. α 2 + β 2 ±2αβ. 10. α 2 ± αβ + β (1 + α) ν > 1+να, 1 <α 0, ν 2. log α. 14. log α x = ln x. 19. x 1 <x 2 ln x 1 < ln x 2 UpenjumÐseic gia thn Jetik kai Teqnologik KateÔjunsh Kajhght c: N.S. Maurogi nnhc 1 Tautìthtec - Anisìthtec 1. (α ± ) = α ± α +. (α ± ) 3 = α 3 ± 3α +3α ± 3 3. α 3 ± 3 =(α ± ) ( α α + ) 4. (α + + γ) =

Διαβάστε περισσότερα

Pragmatik Anˆlush ( ) TopologÐa metrik n q rwn Ask seic

Pragmatik Anˆlush ( ) TopologÐa metrik n q rwn Ask seic Pragmatik Anˆlush (2010 11) TopologÐa metrik n q rwn Ask seic Omˆda A' 1. 'Estw (X, ρ) metrikìc q roc kai F, G uposônola tou X. An to F eðnai kleistì kai to G eðnai anoiktì, deðxte ìti to F \ G eðnai kleistì

Διαβάστε περισσότερα

Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA

Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 20 Maòou 200 t.m. X me mèsh tim µ t.m. X 2 me mèsh tim µ 2 Diaforˆ µ µ 2? [X kai X 2 anexˆrthtec] DeÐgma {x, x 2,..., x n } x DeÐgma {x 2, x 22,...,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση. σήματα και συστήματα

Ανάλυση. σήματα και συστήματα Σήματα Συστήματα Ανάλυση ourier διακριτού χρόνου Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής για σήματα και συστήματα Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής Άσκηση 2η Στυλιανού Ιωάννης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών HU578: 2 η Seirˆ Ask sewn AporÐec: yannis@csd.uoc.gr 1. (aþ) Sac dðdetai o anadromikìc

Διαβάστε περισσότερα

25 OktwbrÐou 2012 (5 h ebdomˆda) S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc

25 OktwbrÐou 2012 (5 h ebdomˆda) S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc Mˆjhma 9 0 25 OktwbrÐou 2012 (5 h ebdomˆda) Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh y = f (x) Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh

Διαβάστε περισσότερα

1 η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος. Αναγνώριση Προτύπων και Νευρωνικά Δίκτυα

1 η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος. Αναγνώριση Προτύπων και Νευρωνικά Δίκτυα Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναγνώριση Προτύπων και Νευρωνικά Δίκτυα η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Anaplhrwt c Kajhght c : Dr. Pappˆc G. Alèxandroc PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I

Anaplhrwt c Kajhght c : Dr. Pappˆc G. Alèxandroc PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I. Aìristo Olokl rwma 2. Orismèno Olokl rwma 3. Diaforetik èkfrash tou aìristou oloklhr matoc H Sunˆrthsh F ()

Διαβάστε περισσότερα

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN.

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN. PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN h Seirˆ Ask sewn Akrìtata pragmatik n sunart sewn 1. Na brejoôn ta topikˆ akrìtata

Διαβάστε περισσότερα

στο Αριστοτέλειο υλικού.

στο Αριστοτέλειο υλικού. Σήματα Συστήματα Εισαγωγικά Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2013 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα Συστήματα Ανάλυση Fourier για σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου Περιοδικά Σήματα (Σειρά Fourier)

Σήματα Συστήματα Ανάλυση Fourier για σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου Περιοδικά Σήματα (Σειρά Fourier) Σήματα Συστήματα Ανάλυση Fourier για σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου Περιοδικά Σήματα (Σειράά Fourier) Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Ηλεκτροδυναμική II

Κλασσική Ηλεκτροδυναμική II ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασσική Ηλεκτροδυναμική II Πεδία Σημειακών Φορτίων Διδάσκων : Καθ. Κ. Ταμβάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

PERIEQŸOMENA I YHFIAKH THLEORASH 11 1 EISAGWGH STHN YHFIAKH THLEORASH Eisagwg Analogikì bðnteo

PERIEQŸOMENA I YHFIAKH THLEORASH 11 1 EISAGWGH STHN YHFIAKH THLEORASH Eisagwg Analogikì bðnteo PERIEQŸOMENA I YHFIAKH THLEORASH 11 1 EISAGWGH STHN YHFIAKH THLEORASH 13 1.1 Eisagwg......................... 13 1.2 Analogikì bðnteo..................... 14 1.2.1 Analogikì s ma bðnteo.............. 14

Διαβάστε περισσότερα

f(x) =x x 2 = x x 2 x =0 x(x 1) = 0,

f(x) =x x 2 = x x 2 x =0 x(x 1) = 0, NÐkoc E. AggourÐdhc To Je rhma tou Sarkovskii Panepist mio Kr thc Tm ma Majhmatik n 2 Thn kritik epitrop apotèlesan oi Ajanasìpouloc KwnstantÐnoc Katsoprin khc Emmanou l Kwst khc Ge rgioc (epiblèpwn) touc

Διαβάστε περισσότερα

ISTORIKH KATASKEUH PRAGMATIKWN ARIJMWN BIBLIOGRAFIA

ISTORIKH KATASKEUH PRAGMATIKWN ARIJMWN BIBLIOGRAFIA ΛΟΓΙΣΜΟΣ CALCULUS Διαφορικός Λογισμός, Απειροστικός Λογισμός 1670 1740 Ουράνια Μηχανική Isaac Newton 1648-1727 Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716 απειροστάπολύ μικρά μεγέθη, άπειροπάρα πολύ μεγάλο, όριο

Διαβάστε περισσότερα

ARISTOTELEIO PANEPISTHMIO JESSALONIKHS SQOLH JETIKWN EPISTHMWN TMHMA PLHROFORIKHS TEQNIKES PARAMORFWSIMWN MONTELWN SE PROBLHMATA TEQNHTHS ORASHS, EPEXERGASIAS EIKONAS KAI BINTEO Didaktorik Diatrib MIQAHL

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Βασικές Έννοιες Σημάτων και Συστημάτων Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 2 Basikèc ènnoiec

Διαβάστε περισσότερα

Autìmath Exagwg Peril yewn kai h Axiolìghs touc

Autìmath Exagwg Peril yewn kai h Axiolìghs touc Autìmath Exagwg Peril yewn kai h Axiolìghs touc Ge rgioc Giannakìpouloc 1 ggianna@iit.demokritos.gr 1 Tm ma Mhqanik n Plhroforiak n kai Epikoinwniak n Susthmˆtwn Panepist mio AigaÐou se sunergasða me to

Διαβάστε περισσότερα

Mègisth ro - elˆqisth tom

Mègisth ro - elˆqisth tom 15 DekembrÐou 2009 DÐnetai grˆfoc (N, A) me ìria ro c x ij [b ij, c ij ] gia kˆje akm (i, j) kai dôo epilegmènouc kìmbouc s kai t. Jèloume na upologðsoume th ro sto grˆfo, ste na megistopoieðtai h apìklish

Διαβάστε περισσότερα

Anagn rish ProtÔpwn & Neurwnikˆ DÐktua Probl mata 2

Anagn rish ProtÔpwn & Neurwnikˆ DÐktua Probl mata 2 Jeìdwroc Alexìpouloc, Anaplhrwt c Kajhght c Theodoros Alexopoulos, Associate Professor EJNIKO METSOBIO POLUTEQNEIO NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY SQOLH EFARMOSMENWN MAJHMATIKWN KAI DEPARTMENT OF PHYSICS

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic me ton Metasqhmatismì Laplace

Ask seic me ton Metasqhmatismì Laplace Ask seic me ton Metasqhmatismì Laplace Epimèleia: Gi rgoc Kafentz c Upoy. Didˆktwr Tm m. H/U Panepist mio Kr thc 8 IounÐou 4. 'Estw to s ma { A, t T x(t), alloô () (aþ) Na upologðsete to metasq. Fourier

Διαβάστε περισσότερα

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN EPIKAMPULIA OLOKLHRWMATA

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN EPIKAMPULIA OLOKLHRWMATA PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METLHTWN EPIKAMPULIA OLOKLHRWMATA 1. EpikampÔlio Olokl rwma 1ou eðdouc Efarmogèc 2. Dianusmatikˆ

Διαβάστε περισσότερα

5. (12 i)(3+4i) 6. (1 + i)(2+i) 7. (4 + 6i)(7 3i) 8. (1 i)(2 i)(3 i)

5. (12 i)(3+4i) 6. (1 + i)(2+i) 7. (4 + 6i)(7 3i) 8. (1 i)(2 i)(3 i) Peiramatiko Lukeio Euaggelikhc Sqolhc Smurnhc Taxh G, Majhmatika Jetikhc kai Teqnologikhc Kateujunshc, Askhseic Kajhght c: Oi shmei seic autèc eðnai gia sqolik qr sh. MporoÔn na anaparaqjoôn kai na dianemhjoôn

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Ενότητα 3: Συσχέτιση & Γραμμική Παλινδρόμηση Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

2+sin^2(x+2)+cos^2(x+2) Δ ν =[1 1 2 ν 1, ν ) ( ( π (x α) ημ β α π ) ) +1 + a 2

2+sin^2(x+2)+cos^2(x+2) Δ ν =[1 1 2 ν 1, ν ) ( ( π (x α) ημ β α π ) ) +1 + a 2 Parathr seic sta Jèmata Jetik c kai Teqnologik c KateÔjunshc tou ètouc 7 Peiramatikì LÔkeio Euaggelik c Sqol c SmÔrnhc 1 IounÐou 7 PerÐlhyh Oi shmei seic autèc anafèrontai sta jèmata Majhmatik n Jetik

Διαβάστε περισσότερα

1, 3, 5, 7, 9,... 2, 4, 6, 8, 10,... 1, 4, 7, 10, 13,... 2, 5, 8, 11, 14,... 3, 6, 9, 12, 15,...

1, 3, 5, 7, 9,... 2, 4, 6, 8, 10,... 1, 4, 7, 10, 13,... 2, 5, 8, 11, 14,... 3, 6, 9, 12, 15,... To Je rhma tou Dirichlet Dèspoina NÐka IoÔlioc 999 Majhmatikì Tm ma Panepist mio Kr thc 2 Prìlogoc Oi pr toi arijmoð, 2, 3, 5, 7,,..., eðnai ekeðnoi oi fusikoð arijmoð oi opoðoi èqoun akrib c dôo diairètec,

Διαβάστε περισσότερα

2 PerÐlhyh Se aut n thn ergasða, parousi zoume tic basikìterec klassikèc proseggðseic epðlushc Polu-antikeimenik n Problhm twn BeltistopoÐhshs(PPB) ka

2 PerÐlhyh Se aut n thn ergasða, parousi zoume tic basikìterec klassikèc proseggðseic epðlushc Polu-antikeimenik n Problhm twn BeltistopoÐhshs(PPB) ka MejodologÐec sthn Polu-Antikeimenik BeltistopoÐhsh apì Antwnèlou E. GewrgÐa Diplwmatik ErgasÐa Sqol Jetik n Episthm n Tm ma Majhmatik n Panepist mio Patr n Epiblèpousa: EpÐk.Kajhg tria J. N. Gr ya P tra,

Διαβάστε περισσότερα

Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc ELEGQOS UPOJ

Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc ELEGQOS UPOJ Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc ELEGQOS UPOJESEWN 18 DekembrÐou 2012 'Elegqoc Upojèsewn 1 Statistik upìjesh 2 Statistik elègqou kai perioq apìrriyhc 3 Apìfash elègqou Statistik upìjesh mhdenik upìjesh

Διαβάστε περισσότερα

+#!, - ),,) " ) (!! + Henri Poincar e./ ', / $, 050.

+#!, - ),,)  ) (!! + Henri Poincar e./ ', / $, 050. Topologik Taxinìmhsh Dunamik n Susthm twn StaÔroc AnastasÐou Didaktorikh Diatribh Panepisthmio Patrwn Sqolh Jetikwn Episthmwn Tmhma Majhmatikwn Patra 2012 H Trimelhc Sumbouleutikh Epitroph SpÔroc N. Pneumatikìc,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Μηχανική Μάθηση. Ενότητα 10: Θεωρία Βελτιστοποίησης. Ιωάννης Τσαμαρδίνος Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Μηχανική Μάθηση. Ενότητα 10: Θεωρία Βελτιστοποίησης. Ιωάννης Τσαμαρδίνος Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Ενότητα 10: Θεωρία Βελτιστοποίησης Ιωάννης Τσαμαρδίνος Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών To genikì prìblhma, na broôme to mègisto elˆqisto miac sunˆrthshc

Διαβάστε περισσότερα

YWMIADH BASILEIOU fifianalush PROSARMOGHS ELASTOPLASTIKWN METALLIKWN KATASKEUWN UPO TO TRISDIASTATO KRITHRIO DIARROHS TRESCA ME TEQNIKES TOU HMIJETIKO

YWMIADH BASILEIOU fifianalush PROSARMOGHS ELASTOPLASTIKWN METALLIKWN KATASKEUWN UPO TO TRISDIASTATO KRITHRIO DIARROHS TRESCA ME TEQNIKES TOU HMIJETIKO ARISTOTELEIO PANEPISTHMIO JESSALONIKHS TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN TOMEAS EPISTHMHS KAI TEQNOLOGIAS TWN KATASKEUWN YWMIADH BASILEIOU PtuqioÔqou PolitikoÔ MhqanikoÔ fifianalush PROSARMOGHS ELASTOPLASTIKWN

Διαβάστε περισσότερα

ARISTOTELEIO PANEPISTHMIO JESSALONIKHS POLUTEQNIKH SQOLH TMHMA HLEKTROLOGWN MHQANIKWN & MHQANIKWN UPOLOGISTWN TOMEAS THLEPIKOINWNIWN Diplwmatik ErgasÐa tou Papadìpoulou N. Iw nnh Melèth thc 'AllhlepÐdrashc

Διαβάστε περισσότερα

AM = 1 ( ) AB + AΓ BΓ+ AE = AΔ+ BE. + γ =2 β + γ β + γ tìte α// β. OΓ+ OA + OB MA+ MB + M Γ+ MΔ =4 MO. OM =(1 λ) OA + λ OB

AM = 1 ( ) AB + AΓ BΓ+ AE = AΔ+ BE. + γ =2 β + γ β + γ tìte α// β. OΓ+ OA + OB MA+ MB + M Γ+ MΔ =4 MO. OM =(1 λ) OA + λ OB Peiramatiko Lukeio Euaggelikhc Sqolhc Smurnhc Taxh B, Majhmatika Jetikhc kai Teqnologikhc Kateujunshc, Askhseic Kajhght c: Shmei seic gia sqolik qr sh. MporoÔn na anaparaqjoôn kai na dianemhjoôn eleôjera

Διαβάστε περισσότερα

Eisagwg sth Grammik 'Algebra Tìmoc B DeÔterh 'Ekdosh Dhm trhc B rsoc Dhm trhc Derizi thc Miq lhc Mali kac OlumpÐa Talèllh Prìlogoc Sto pr to mèroc autoô tou tìmou meletoôme idiìthtec enìc tetragwnikoô

Διαβάστε περισσότερα

EUSTAJEIA DUNAMIKWN SUSTHMATWN 1 Eisagwg O skop c tou par ntoc kefala ou e nai na parousi sei th basik jewr a gia th mel th thc eust jeiac en c mh gra

EUSTAJEIA DUNAMIKWN SUSTHMATWN 1 Eisagwg O skop c tou par ntoc kefala ou e nai na parousi sei th basik jewr a gia th mel th thc eust jeiac en c mh gra EUSTAJEIA DUNAMIKWN SUSTHMATWN Eisagwg O skop c tou par ntoc kefala ou e nai na parousi sei th basik jewr a gia th mel th thc eust jeiac en c mh grammiko sust matoc. 'Opwc e nai gnwst, h genik l sh en

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς

Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Ενότητα 3: Έλεγχος Υποθέσεων Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Χημικών Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

10/2013. Mod: 02D-EK/BT. Production code: CTT920BE

10/2013. Mod: 02D-EK/BT. Production code: CTT920BE 10/2013 Mod: 02D-EK/BT Production code: CTT920BE GR ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΧΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ σελ. 1 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 3 ΚΕΦ 2 ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ... 3 2.1 ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΣΥΣΚΕΥΑΣΙΑ...3 2.2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΡΙΟΥ ΚΥΠΕΡΟΥΝΤΑ Ηλεκτρολόγου Μηχανικού, Διπλωματούχου Μεταπτυχιακών Σπουδών ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΙΚΟΝΑΣ ΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς

Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Ενότητα 4: Συσχέτιση & Γραμμική Παλινδρόμηση Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Χημικών Μηχανικών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

I

I Panepist mio Patr n Sqol Jetik n Episthm n Tm ma Majhmatik n Tomèas Efarmosmènhs An lushs Eust jeia kai Q oc Qamilt niwn Susthm twn Poll n Bajm n EleujerÐac: Apì thn Klasik sth Statistik Mhqanik Didaktorik

Διαβάστε περισσότερα

Φυλλο 3, 9 Απριλιου Ροδόλφος Μπόρης

Φυλλο 3, 9 Απριλιου Ροδόλφος Μπόρης FÔlla Majhmatik c PaideÐac Φυλλο 3, 9 Απριλιου 2010 StoiqeiojeteÐtai me to L A TEX 2ε Epimèleia: N.S. Maurogi nnhc, Dr Majhmatik n Peiramatikì LÔkeio Euaggelik c Sqol c SmÔrnhc mavrogiannis@gmail.com 1

Διαβάστε περισσότερα

spin triplet S =1,M S =0 = ( + ) 2 S =1,M S = 1 = spin singlet S =0,M S =0 = ( )

spin triplet S =1,M S =0 = ( + ) 2 S =1,M S = 1 = spin singlet S =0,M S =0 = ( ) SummetrÐec kai Quarks Nikìlaoc A. Tetr dhc Iw nnhc G. Flwr khc 2 Perieqìmena Eisagwgikèc ènnoiec 5. Eisagwg............................. 5.2 SummetrÐa Isospin......................... 0 2 StoiqeÐa JewrÐac

Διαβάστε περισσότερα

6h Seirˆ Ask sewn. EpikampÔlia oloklhr mata

6h Seirˆ Ask sewn. EpikampÔlia oloklhr mata PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METLHTWN 6h Seirˆ Ask sewn EpikampÔlia oloklhr mata 1 Jèma 1. Na upologisjeð to epikampôlio

Διαβάστε περισσότερα

JEMATA EXETASEWN Pragmatik Anˆlush I

JEMATA EXETASEWN Pragmatik Anˆlush I JEMATA EXETASEWN Pragmatik Anˆlush I JEMA 1o. A)(M. 1.5) Na qarakthrðsete (me aitiolìghsh) tic protˆseic pou akoloujoôn me thn èndeixh Swstì Lˆjoc: (i) 'Estw x 0 tètoio ste x < ε, gia kˆje ε > 0. Tìte

Διαβάστε περισσότερα

SUNOLA BIRKHOFF JAMES ϵ ORJOGWNIOTHTAS KAI ARIJMHTIKA PEDIA

SUNOLA BIRKHOFF JAMES ϵ ORJOGWNIOTHTAS KAI ARIJMHTIKA PEDIA EJNIKO METSOBIO POLUTEQNEIO SQOLH EFARMOSMENWN MAJHMATIKWN & FUSIKWN EPISTHMWN TOMEAS MAJHMATIKWN DIDAKTORIKH DIATRIBH SUNOLA BIRKHOFF JAMES ϵ ORJOGWNIOTHTAS KAI ARIJMHTIKA PEDIA Qr stoc S. Qwrianìpouloc

Διαβάστε περισσότερα

SofÐa ZafeirÐdou: GewmetrÐec

SofÐa ZafeirÐdou: GewmetrÐec Tm ma Majhmatik n Panepist mio Patr n Bohjhtikèc Shmei seic gia to mˆjhma GewmetrÐec SofÐa ZafeirÐdou Anaplhr tria Kajhg tria Pˆtra 2018 Oi shmei seic autèc grˆfthkan gia tic anˆgkec tou maj matoc GewmetrÐa.

Διαβάστε περισσότερα

2

2 exomoiwsh kai sugkrish apodoshc grid diktuwn, me katanemhmenouc kai kentrikopoihmenouc algorijmouc elegqou porwn Tm ma Mhqanik n H/U kai Plhroforik c Mpakìlac Iw nnhc A.M 85 M.D.E. Susthm twn EpexergasÐac

Διαβάστε περισσότερα

Hmiomˆdec telest n sônjeshc kai pðnakec Hausdorff se q rouc analutik n sunart sewn

Hmiomˆdec telest n sônjeshc kai pðnakec Hausdorff se q rouc analutik n sunart sewn ARISTOTELEIO PANEPISTHMIO JESSALONIKHS SQOLH JETIKWN EPISTHMWN TMHMA MAJHMATIKWN TOMEAS MAJHMATIKHS ANALUSHS PETROS GALANOPOULOS Hmiomˆdec telest n sônjeshc kai pðnakec Hausdorff se q rouc analutik n sunart

Διαβάστε περισσότερα

PerÐlhyh H moriak arqitektonik kai o sqediasmìc polôplokwn morðwn pou perièqoun foullerènia antiproswpeôei èna pedðo thc upermoriak c epist mhc sto op

PerÐlhyh H moriak arqitektonik kai o sqediasmìc polôplokwn morðwn pou perièqoun foullerènia antiproswpeôei èna pedðo thc upermoriak c epist mhc sto op DIDAKTORIKH DIATRIBH MORIAKH MONTELOPOIHSH THS UGROKRUSTALLIKHS SUMPERIFORAS UPERMORIAKWN SUSTHMATWN POU PERIEQOUN FOULLERENIA StaÔrou D. PeroukÐdh upoblhjeðsa sto Diatmhmatikì Prìgramma Metaptuqiak n

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα 1.1: Διάφορες ισόχρονες καμπύλες με διαφορετικές μεταλλικότητες Ζ, και περιεκτικότητα σε ήλιο Υ.

Σχήμα 1.1: Διάφορες ισόχρονες καμπύλες με διαφορετικές μεταλλικότητες Ζ, και περιεκτικότητα σε ήλιο Υ. Perieqìmena 1 Astrik sm nh 3 1.1 Sm nh kai astrik exèlixh.................... 4 1.1.1 Isìqronec - Jewrhtik HR diagr mmata........ 4 1.1.2 Parathrhsiak diagr mmata............... 7 1.1.3 Astrik sm nh san

Διαβάστε περισσότερα

È Ö Ñ Ø Ó ÄÙ Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑÙÖÒ Ì Ü Å Ñ Ø Â Ø Ì ÕÒÓÐÓ Ã Ø Ù ÙÒ Ë Ñ Û Â ÛÖ Ã Ø ÆºËº Å ÙÖÓ ÒÒ Ç Ñ ô ÙØ Ò ÕÓÐ ÕÖ º ÅÔÓÖÓ Ò Ò Ò Ô Ö Õ Ó Ò Ò Ò Ñ Ó Ò Ð Ö Ö¹ Ò Ñ Ò ÐÐ Ü ÑÓÖ ØÓÙº ØÓÒ Ô Ö ÓÖ Ñ ØÛÒ Ò Ô Ù ØÛÒ Ð ôò

Διαβάστε περισσότερα

EJNIKO METSOBIO POLUTEQNEIO SQOLH HLEKTROLOGWN MHQANIKWN KAI MHQANIKWN UPOLOGISTWN TOMEAS TEQNOLOGIAS PLHROFORIKHS KAI UPOLOGISTWN ERGASTHRIO UPOLOGISTIKWN SUSTHMATWN Enopoihmènh efarmog metasqhmatism

Διαβάστε περισσότερα

Panepisthmio Patrwn Poluteqnikh Sqolh Tmhma Mhqanikwn H/U kai Plhroforikhc Prìgramma Metaptuqiak n Spoud n : fiepist mh kai TeqnologÐa twn Upologist nfl Diplwmatik ErgasÐa Suntomìterec Diadromèc DÔo KrithrÐwn:

Διαβάστε περισσότερα

Upologistik Fusik Exetastik PerÐodoc IanouarÐou 2013

Upologistik Fusik Exetastik PerÐodoc IanouarÐou 2013 Upologistik Fusik Exetastik PerÐodoc IanouarÐou 03 Patra, 6 Ianouariou 03 Jèma A. Na exhg sete grafikˆ thn mèjodo thc diqotìmhshc. B. Na exhg sete grafikˆ thn mèjodo Runge Kutta. Jèma. DiatÔpwsh Oi migadikèc

Διαβάστε περισσότερα

PANEPISTHMIO KRHTHS SQOLH JETIKWN KAI TEQNOLOGIKWN EPISTHMWN TMHMA MAJHMATIKWN ELENH TZANAKH SUNDUASTIKH GENIKEUMENWN SUMPLEGMATWN SMHNWN KAI PARATAGMATWN UPEREPIPEDWN DIDAKTORIKH DIATRIBH HRAKLEIO 2007

Διαβάστε περισσότερα

majhmatikoð upologismoð. To biblðo mporeð na qwristeð jematikĺ se treic enìthtec. Thn prÿth enìthta apoteloôn

majhmatikoð upologismoð. To biblðo mporeð na qwristeð jematikĺ se treic enìthtec. Thn prÿth enìthta apoteloôn Prìlogoc To parìn sôggramma apeujônetai se proptuqiakoôc foithtèc TmhmĹtwn Poluteqnikÿn Sqolÿn kai Teqnologikÿn Ekpaideutikÿn IdrumĹtwn sta opoða didĺskontai eisagwgikĺ topografikĺ majămata. Epiplèon apeujônetai

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΙΙ Εξετάσεις Ιουνίου 2002

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΙΙ Εξετάσεις Ιουνίου 2002 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Εξετάσεις Ιουνίου (α) Αναπτύξτε την µέθοδο του τραπεζίου για τον αριθµητικό υπολογισµό του ολοκληρώµατος: b I( f ) = f ( x) a όπου f (x) συνεχής και ολοκληρώσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA

Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 1 12 AprilÐou 2013 Eisagwgikˆ sthn ektðmhsh paramètrwn t.m. X me katanom F X (x; θ) Parˆmetroc θ: ˆgnwsth θ µ, σ 2, p DeÐgma {x 1,..., x n }: gnwstì

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση Ι. Γ. Στρατής Καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα, 2006 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Anaz thsh eustaj n troqi n se triplˆ sust mata swmˆtwn

Anaz thsh eustaj n troqi n se triplˆ sust mata swmˆtwn Tmhma Fusikhc Aristoteleio Panepisthmio Jessalonikhc Ptuqiakh Ergasia Anaz thsh eustaj n troqi n se triplˆ sust mata swmˆtwn Ajanˆsioc MourtetzÐkoglou A.E.M.:13119 epiblèpwn kajhght c G. Bougiatz c 8 IoulÐou

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Ενότητα 2: Εκτίμηση Παραμέτρων Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

2

2 LOGISMOS METABOLWN & EFARMOGES STH MAJHMATIKH MONTELOPOIHSH PTUQIAKH ERGASIA DIONUSHS JEODOSHS-PALIMERHS A.M. : 311/2003028 EPIBLEPWN: NIKOLOPOULOS QRHSTOS A PANEPISTHMIO AIGAIOU TMHMA MAJHMATIKWN SAMOS

Διαβάστε περισσότερα

Didaktorikèc spoudèc stic HPA, sta Majhmatikˆ. 20 MartÐou 2015

Didaktorikèc spoudèc stic HPA, sta Majhmatikˆ. 20 MartÐou 2015 Didaktorikèc spoudèc stic HPA, sta Majhmatikˆ 20 MartÐou 2015 Sunjhkec spoud n Misjìc: 1700-2500 dolˆria to m na. EnoÐkio: 700-1200 dolˆria. Mènw me sugkˆtoiko(-ouc). Upoqre seic se 2 wc 0 exˆmhna to qrìno:

Διαβάστε περισσότερα

Ergasthriak 'Askhsh 2

Ergasthriak 'Askhsh 2 Kefˆlaio 2 Ergasthriak 'Askhsh 2 Οπου θα δούμε πώς μπορούμε να ορίζουμε δικές μας διαδικασίες και θα παρουσιάσουμε τις primitive διαδικασίες χειρισμού λιστών, τις μεταβλητές και τα side effects. 2.1 P

Διαβάστε περισσότερα

r ν = I ν I c α ν =1 r ν = I c I ν W ν =

r ν = I ν I c α ν =1 r ν = I c I ν W ν = An kai ta kômata pl smatoc den eðnai hlektromagnhtik, h allhlepðdras touc me lla kômata (p.q. iontoakoustik kômata) mporeð na dìsei hlektromagnhtik aktinobolða sth suqnìthta pl smatoc kai thn pr th armonik

Διαβάστε περισσότερα

B ν = 2kT. I ν = 2kT b. Te tν/μ dt ν /μ (59) T b T (1 e τν ) (60) T b τ ν T (61)

B ν = 2kT. I ν = 2kT b. Te tν/μ dt ν /μ (59) T b T (1 e τν ) (60) T b τ ν T (61) Sta radiokômata (gia hν kt kai e hν/kt 1 hν/kt ) h sun rthsh tou Plank paðrnei thn polô apl morf tou nìmou Rayleigh-Jeans: kai h jermokrasða lamprìthtac dðnetai apì th sqèsh B ν = 2kT λ 2 (57) I ν = 2kT

Διαβάστε περισσότερα

MELETH TWN RIZWN TWN ASSOCIATED ORJOGWNIWN

MELETH TWN RIZWN TWN ASSOCIATED ORJOGWNIWN IWANNH D. STAMPOLA MAJHMATIKOU MELETH TWN RIZWN TWN ASSOCIATED ORJOGWNIWN q-poluwnumwn DIDAKTORIKH DIATRIBH TMHMA MAJHMATIKWN SQOLH JETIKWN EPISTHMWN PANEPISTHMIO PATRWN PATRA 2004 Stouc goneðc mou kai

Διαβάστε περισσότερα

APEIROSTIKOS LOGISMOS I

APEIROSTIKOS LOGISMOS I 1 OktwbrÐou 2012 Kwdikìc Maj matoc: 101 (U) 'Etoc didaskalðac: 2012-2013, Qeimerinì Exˆmhno Hmèrec didaskalðac: Deut. - Tet. - Par., 11:00-13:00 Didˆskontec Tm ma 1 o (AM pou l gei se 0,1,2) Amf 21, BasÐleioc

Διαβάστε περισσότερα

Eukleideiec Gewmetriec

Eukleideiec Gewmetriec Eukleideiec Gewmetriec 1. Ta stoiqeða tou EukleÐdh To pio shmantikì biblðo sthn IstorÐa twn Majhmatik n allˆ kai èna apì ta pio shmantikˆ sthn IstorÐa tou anjr pinou politismoô eðnai ta StoiqeÐa tou EukleÐdh.

Διαβάστε περισσότερα

thlèfwno: , H YHFIAKH TAXH A' GumnasÐou Miqˆlhc TzoÔmac Sq. Sumb. kl.

thlèfwno: , H YHFIAKH TAXH A' GumnasÐou Miqˆlhc TzoÔmac Sq. Sumb. kl. A' GumnasÐou Sq. Sumb. kl. PE03 GiatÐ epibˆlletai h eisagwg thc sôgqronhc teqnologðac sthn ekpaðdeush. Η Πληροφοριοποίηση της κοινωνίας. Η αυξανόμενη πολυπλοκότητα του εκπαιδευτικού συστήματος. Η σημερινή

Διαβάστε περισσότερα

MÐa SÔntomh Eisagwgă stic SÔgqronec JewrÐec Isìthtac

MÐa SÔntomh Eisagwgă stic SÔgqronec JewrÐec Isìthtac MÐa SÔntomh Eisagwgă stic SÔgqronec JewrÐec Isìthtac Nikìlac BroÔsalhc nicholas.vrousalis@lmh.ox.ac.uk 29 OktwbrÐou 2007 1 KĹpoiec basikèc diakrðseic 1.1 Ish Mèrimna Φέροµαι εξίσου στην Α και στον Β vs.

Διαβάστε περισσότερα

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN. Ask seic kai Jèmata sthn Pragmatik Anˆlush I TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN. Ask seic kai Jèmata sthn Pragmatik Anˆlush I TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN Ask seic kai Jèmata sthn Pragmatik Anˆlush I TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN Anaplhrwt c Kajhght c: Dr. Pappˆc G. Alèandroc Perieqìmena. Sumbolismìc kai OrologÐa..

Διαβάστε περισσότερα

2 PERIEQ OMENA H epðdrash tou upokeimènou diktôou sthn poiìthta uphresðac H diepaf thc uphresðac proc to qr

2 PERIEQ OMENA H epðdrash tou upokeimènou diktôou sthn poiìthta uphresðac H diepaf thc uphresðac proc to qr Perieqìmena 1 Eisagwg 5 1.1 Prìlogoc............................. 5 1.2 GiatÐ qrhsimopoioôme tupik perigraf.............. 6 1.3 Oi tupikèc mèjodoi stic thlepikoinwnðec............. 9 1.4 Ti eðnai oi gl

Διαβάστε περισσότερα

Farkas. αx+(1 α)y C. λx+(1 λ)y i I A i. λ 1,...,λ m 0 me λ 1 + +λ m = m. i=1 λ i = 1. i=1 λ ia i A. j=1 λ ja j A. An µ := λ λ k = 0 a λ k

Farkas. αx+(1 α)y C. λx+(1 λ)y i I A i. λ 1,...,λ m 0 me λ 1 + +λ m = m. i=1 λ i = 1. i=1 λ ia i A. j=1 λ ja j A. An µ := λ λ k = 0 a λ k Kefˆlaio 1 DiaqwrÐzon UperepÐpedo L mma Farkas 1.1 Kurtˆ SÔnola 'Ena uposônolo C tou R n onomˆzetai kurtì an, gia kˆje x,y C kai kˆje λ [0,1], αx+(1 α)y C. An a i, i = 1,2,...,m eðnai dianôsmata ston R

Διαβάστε περισσότερα

Upologistikˆ Zht mata se Sumbibastikèc YhfoforÐec

Upologistikˆ Zht mata se Sumbibastikèc YhfoforÐec Panepisthmio Patrwn - Poluteqnikh Sqolh Tm ma Mhqanik n Hlektronik n Upologist n kai Plhroforik c Upologistikˆ Zht mata se Sumbibastikèc YhfoforÐec Dhmhtrioc Kalaðtzhc Diplwmatik ErgasÐa sto plaðsio tou

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΣΥΝΟΡΩΝ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΝΙΠΥΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΣΥΝΟΡΩΝ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΝΙΠΥΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΣΥΝΟΡΩΝ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΝΙΠΥΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

HU215 - Frontist rio : Seirèc Fourier

HU215 - Frontist rio : Seirèc Fourier HU5 - Frontist rio : Seirèc Fourier Epimèleia: Gi rgoc P. Kafentz c Upoy. Didˆktwr Tm m. H/U Panepist mio Kr thc MartÐou 4. Na sqediˆsete to fˆsma plˆtouc kai to fˆsma fˆshc tou s matoc xt + cosπt sinπt

Διαβάστε περισσότερα

ENA TAXIDI STH SUNOQH. g ab T a bc. R i jkl

ENA TAXIDI STH SUNOQH. g ab T a bc. R i jkl ENA TAXIDI STH SUNOQH Γ i jk g ab T a bc K i jk i jk { i jk } g ab R i jkl Suggrafèac: Ant nioc Mhtsìpouloc 1 Epiblèpwn: Kajhght c Miqˆlhc Tsamparl c 2 AJHNA 2017 1 E-mail: antonmitses@gmailcom 2 Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

AntistoÐqish Ontologi n

AntistoÐqish Ontologi n AntistoÐqish Ontologi n BasÐlhc Sphliìpouloc 1,2 vspiliop@iit.demokritos.gr 1 Tm ma Mhqanik n Plhroforiak n kai Epikoinwniak n Susthmˆtwn, Ergast rio Teqnht c NohmosÔnhc, Panepist mio AigaÐou 2 InstitoÔto

Διαβάστε περισσότερα