y[n] = h[n] x[n] = Y (e jω ) = H(e jω ) + X(e jω ) (16.8) Y (z) = X(z)H(z), R Y R X R H (16.3)

Transcript

1 Κεφάλαιο 6 Συστήματα στο χώρο του Z και της συχνότητας Στο προηγούμενο κεφάλαιο συζητήσαμε τη συμπεριφορά σημάτν και ΓΧΑ συστημάτν στο πεδίο του μετασχηματισμού Ζ. Η συζήτησή μας ήταν περισσότερο ποιοτική και διαισθητική, και λιγότερο ποσοτική. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα αναπτύξουμε τα εργαλεία για τη μελέτη σημάτν και ΓΧΑ συστημάτν στο πεδίο του μετασχ. Ζ με περισσότερη ακρίβεια, και θα γνρίσουμε χρήσιμες κατηγορίες ΓΧΑ συστημάτν που προκύπτουν πολύ συχνά σε πρακτικές εφαρμογές. Ανακεφαλαιώνοντας εν τάχει τα προηγούμενα, γνρίζουμε ότι, δεδομένου ενός ΓΧΑ συστήματος με κρουστική απόκριση h[n], η είσοδος και η έξοδος σχετίζονται με τη σχέση της συνέλιξης y[n] = h[n] x[n] = k= h[k]x[n k] (6.) Οπς έχουμε ήδη δει, η σχέση αυτή μεταφερόμενη στο πεδίο της συχνότητας συνεπάγεται ότι Y (e j ) = X(e j )H(e j ) (6.) όπου H(e j ) η απόκριση σε συχνότητα του συστήματος. Η σχέση αυτή μπορει να εκφραστεί στο χώρο του Ζ ς Y (z) = X(z)H(z), R Y R X R H (6.) όπου H(z) ο μετασχ. Ζ του h[n], που φέρει το όνομα συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος. Η συνάρτηση μεταφοράς είναι πολύ χρήσιμη στην περιγραφή και την ανάλυση ΓΧΑ συστημάτν. 6. Η Απόκριση σε Συχνότητα ΓΧΑ Συστημάτν, H(e j ) Αν αναλύσουμε σε πολική μορφή την απόκριση σε συχνότητα της εξόδου ενός ΓΧΑ συστήματος, εκφρασμένη όπς στη Σχέση (6., βλέπουμε ότι και άρα Y (e j ) = X(e j )H(e j ) (6.) Y (e j ) e j Y (ej) = X(e j ) e j X(ej) H(e j ) e j H(ej ) Y (e j ) e j Y (ej) = X(e j ) H(e j ) e j( H(ej )+ H(e j )) (6.5) (6.6) Y (e j ) = H(e j ) X(e j ) (6.7) Y (e j ) = H(e j ) + X(e j ) (6.8) Υπενθυμίζεται ότι η συνάρτηση πλάτους H(e j ) λέγεται απόκριση πλάτους (magnitude response) ή κέρδος (gain) του συστήματος, και η συνάρτηση φάσης H(e j ) λέγεται απόκριση φάσης (phase response) του συστήματος. Τονίζεται ξανά εδώ ότι η απόκριση πλάτους της εξόδου αποτελείται από το γινόμενο τν αποκρίσεν πλάτους της εισόδου και του συστήματος, ενώ η απόκριση φάσης της εξόδου αποτελείται από το άθροισμα τν αποκρίσεν φάσης της εισόδου και του συστήματος.

2 5 Μια εισαγγή στα Σήματα και Συστήματα Αυτές οι σχεσεις επιδρούν στην είσοδο του συστήματος και τη μεταβάλλουν, είτε με επιθυμητό είτε με ανεπιθύμητο τροπο. Οσον αφορά το τελευταιο, τότε οι αντίστοιχες σχέσεις αποκαλούνται διαταραχές πλάτους και φάσης, αντίστοιχα. 6.. Απόκριση Φάσης Οσον αφορά την απόκριση πλάτους ενός ΓΧΑ συστήματος, τα πράγματα είναι σχετικά ξεκάθαρα. Το γινόμενο της απόκρισης πλάτους του συστηματος και του φάσματος πλάτους της εισόδου δινει το φάσμα πλάτους της εξόδου. Τα πράγματα ειναι πιο περιπλοκα αν θέλουμε να δούμε και πς μεταβάλλεται η απόκριση φάσης, και ποιά είναι η επιρροής της στο φάσμα φάσης της εξόδου. Υπενθυμίζεται ότι η φάση σχετίζεται με τη χρονική δομή ενός σήματος, και υπό την οπτική του ΓΧΑ συστήματος, η απόκριση φάσης σχετίζεται με τη διατήρηση ή μη της αρχικής χρονικής δομής του σήματος εισόδου στην έξοδο. Γνρίζετε ότι η φάση ενός οποιουδήποτε μιγαδικού αριθμού δεν ορίζεται μονοσήμαντα, αφού αν προσθέσουμε έναν αριθμό πk, k Z, το αποτέλεσμα της φάσης παραμένει αμετάβλητο (όπς και ο ίδιος ο μιγαδικός). Οταν υπολογίζουμε τη φάση μέσ ενός προγράμματος ή μιας αριθμομηχανής, το αποτέλεσμα εμφανίζεται πάντα στο διάστημα ( π, π]. Αυτή η τιμή της φάσης λέγεται πρτεύουσα τιμή φάσης (principal value), και θα τη συμβολίζουμε ς π < ARG[H(e j )] π (6.9) Οποιαδήποτε άλλη γνία που δίνει ορθό αποτέλεσμα για τη μιγαδική τιμή της συνάρτησης H(e j ) μπορεί να αναπαρασταθεί με όρους πρτεύουσας τιμής ς H(e j ) = ARG[H(e j )] + πr() (6.) όπου r() είναι ένας θετικός ή αρνητικός ακέραιος που διαφέρει για κάθε τιμή του. Θα χρησιμοποιούμε γενικά τη γραφή H(e j ) ή arg[h(e j )] για να δηλώσουμε μη πρτεύουσα τιμή της φάσης. Σε πολλές περιπτώσεις, η πρτεύουσα τιμή φάσης παρουσιάζει π ασυνέχειες όταν τη βλέπουμε ς συνάρτηση του. Το Σχήμα 6. δείχνει μια συνάρτηση φάσης που είναι συνεχής, arg[h(e j )], και την πρτεύουσα τιμή της, ARG[H(e j )] στο διάστημα π < π. Η συνάρτηση φάσης του Σχήματος 6.(a) εκτείνεται πέρα από το διάστημα ( π, π]. Η πρτεύουσα τιμή φάσης του Σχήματος 6.(b) έχει άλματα κατά πολλαπλάσια του π, λόγ της αφαίρεσης πολλαπλάσιν του π που έλαβαν χώρα ώστε να βρεθεί κάθε τιμή της στο διάστημα ( π, π]. Τέλος, το Σχήμα 6.(c) δείχνει την τιμή του r() για κάθε διάστημα, δηλ. πόσα πολλαπλάσια του π απαιτούνται για το ξετύλιγμα (unwrapping) της φάσης εκτός του διαστήματος ( π, π]. Γι αυτό άλλστε και η διαδικασία μετατροπής της πρτεύουσας φάσης σε συνεχή συνάρτηση του μέσ προσθήκης πολλαπλασίν του π λέγεται ξετύλιγμα φάσης - phase unwrapping, και η αντίστοιχη συνάρτηση ξετυλιγμένη φάση - unwrapped phase. 6.. Καθυστέρηση Φάσης και Καθυστέρηση Ομάδας - Phase and Group Delay Θα ήταν ενδιαφέρον λοιπόν να μελετήσουμε τη φάση μέσ κάποιν νέν ορισμών. Εστ η έξοδος y[n] ενός ΓΧΑ συστήματος με φασματική απόκριση H(e j ). Σύμφνα με την αρχική ανάλυσή μας, το σύστημα θα εφαρμόσει κάποια καθυστέρηση στην έξοδο σε σχέση με την είσοδο x[n], η οποία οφείλεται σε μια, πιθανότατα, μη γραμμική απόκριση φάσης H(e j ) = θ() του συστήματος. Ας θερήσουμε την απλή περίπτση όπου η είσοδος είναι ένα απλό ημίτονο x[n] = A cos( n + φ) (6.) Ξέρουμε ότι η έξοδος θα είναι επίσης ημιτονοειδούς μορφής, και συγκεκριμένα ( y[n] = A H(e j ) cos( n + φ + θ( )) = A H(e j ) cos ( n + θ( ) ) + φ ) (6.) Η ποσότητα θ() μας υποδεικνύει τη χρονική καθυστέρηση (μετατόπιση), σε δείγματα, του σήματος εξόδου σε σχέση με το αρχικό σήμα εισόδου. Η συνάρτηση τ p () = θ() (6.) ονομάζεται καθυστέρηση φάσης - phase delay. Θερήστε τώρα ότι το σήμα εισόδου αποτελείται από πολλά ημίτονα, διαφορετικής συχνότητας το καθένα.

3 Κεφάλαιο 6. Συστήματα στο χώρο του Z και της συχνότητας 55 Σχήμα 6.: Συνεχής και πρτεύουσα τιμή φάσης. Καταλαβαίνετε ότι κάθε τέτοιο ημίτονο θα υποστεί διαφορετική καθυστέρηση φάσης από κάθε άλλο όταν περάσει από ένα ΓΧΑ σύστημα, και το σήμα εξόδου y[n] θα είναι, εν γένει, διαφορετικό στη μορφή του σε σχέση με το αρχικό σήμα εισόδου x[n]. Σε τέτοιες περιπτώσεις μας είναι χρήσιμη μια διαφορετική παράμετρος, που θα την αναπτύξουμε παρακάτ, μέσ ενός παραδείγματος. Εστ ένα σήμα x[n] = A cos( n) cos( c n) (6.) με c >. Η παραπάν σχέση ονομάζεται διαμόρφση πλάτους - Amplitude Modulation (AM) και ήταν μια πρώτης μορφής ραδιοφνική μετάδοση. Το σήμα χαμηλής συχνότητας λέγεται περιβάλλουσα (ή σήμα πληροφορίας - το χρήσιμο σήμα που θέλουμε να μεταδοθεί), ενώ το σήμα συχνότητας c λέγεται φέρον σήμα, αφού φέρει την πληροφορία στο πλάτος του. Με τις σχέσεις του Euler, αυτό μπορεί να γραφεί ς x[n] = A cos(( c + )n) + A cos(( c )n) = A cos( ln) + A cos( un) (6.5) με l = c και u = c +. Άρα στο σήμα απλής AM διαμόρφσης της Σχέσης (6.) υπάρχουν δυο συχνότητες, οι l, u, και οι δυο γύρ από τη φέρουσα συχνότητα c. Αν το παραπάν σήμα παρουσιαστεί ς είσοδος σε ένα ΓΧΑ σύστημα με φασματική απόκριση H(e j ) = H(e j ) e jθ() (6.6)

4 56 Μια εισαγγή στα Σήματα και Συστήματα τότε η έξοδος θα είναι της μορφής y[n] = H(e j l ) A cos( ln + θ( l )) + H(e ju ) A cos( un + θ( u )) (6.7) ( = A cos c n + θ( u) + θ( l ) ) ( cos n + θ( u) θ( l ) ) (6.8) θερώντας για ευκολία ότι H(e j ) στο διάστημα l u, και χρησιμοποιώντας τριγνομετρικές ταυτότητες. Ετσι, βλέπουμε ότι η έξοδος είναι επίσης στη μορφή γινομένου δυο ημιτόνν με συχνότητες c και, όμς το καθένα έχει διαφορετική φάση μετατόπισης, και άρα διαφορετική καθυστέρηση σε σχέση με το αρχικό σήμα εισόδου. Ας θερήσουμε την περίπτση όπου οι συχνότητες u, l είναι πολύ κοντά μεταξύ τους, δηλαδή c, οπότε u c και l c. Σε ένα μικρό εύρος συχνοτήτν γύρ από το c, μπορούμε να εκφράσουμε την ξετυλιγμένη φάση θ c () του ΓΧΑ συστήματος με χρήση αναπτύγματος Taylor ς θ c () θ c ( c ) + dθ c() d ( c ) (6.9) =c κρατώντας μόνο τους δυο πρώτους όρους του αναπτύγματος. Με χρήση του αναπτύγματος, μπορούμε να βρούμε τις χρονικές καθυστερήσεις του σήματος συχνότητας c και αυτού συχνότητας της Σχέσης (6.8). Για το σήμα συχνότητας c, η φάση μετατόπισής του είναι θ c( u ) + θ c ( l ) c θ c( c ) c = θ c( c ) c (6.) που είναι το ίδιο με την καθυστέρηση φάσης του σήματος συχνότητας c, σαν να περνούσε μόνο αυτό μέσα από το σύστημα. Για το σήμα συχνότητας, η χρονική καθυστέρηση είναι Η παράμετρος θ c( u ) θ c ( l ) = θ c( u ) θ c ( l ) u l τ g ( c ) = dθ c() d dθ c() d (6.) =c (6.) =c λέγεται καθυστέρηση ομάδας - group delay που προκαλείται από το σύστημα στη θέση = c. Στη γενική μορφή, η συνάρτηση είναι της μορφής τ g () = dθ c() d Στο εξής, ς καθυστερηση ομάδας ορίζεται η αρνητική παράγγος της φάσης, (6.) [ ] τ g () = grd H(e j ) = d d { H(ej )} = d d {arg{h(ej )}} (6.) και αφορά την καθυστέρηση που υπόκειται η περιβάλλουσα της εισόδου στο χρόνο λόγ της επίδρασης της απόκρισης φάσης του ΓΧΑ συστήματος. Μια σχηματική απεικόνιση της καθυστέρησης φάσης και της καθυστέρησης ομάδας για το παραπάν παράδειγμα βλέπετε στο Σχήμα 6.. Με άλλα λόγια, μας δίνει την καθυστέρηση μιας ομάδας συχνοτήτν στενής ζώνης (narrowband). Επίσης, η καθυστέρηση ομάδας μας δινει ένα μέτρο της γραμμικότητας (ή μη) της φάσης ς συνάρτηση της συχνότητας. Στο παραπάν παράδειγμα, θερήσαμε ότι το σήμα μας είναι στενής ζώνης, δηλ. μη μηδενικό για [ c ɛ, c +ɛ], αλλά μπορούμε να σκεφτούμε ότι οποιοδήποτε σήμα μπορεί να θερηθεί ς άθροισμα τέτοιν σημάτν, διαφορετικής c για το καθένα. Αν η καθυστέρηση ομάδας είναι σταθερή ς προς τη συχνότητα, τότε κάθε συνιστώσα στενής ζώνης θα υποστεί την ίδια καθυστέρηση. Αν η καθυστέρηση ομάδας δεν είναι σταθερή, τότε θα υπάρχουν διαφορετικές καθυστερήσεις για διαφορετικά πακέτα συχνοτήτν, με αποτέλεσμα τη διασπορά στο χρόνο της ενέργειας του σήματος στην έξοδο του συστήματος. Ετσι, η μη γραμμικότητα στη φάση ή, ισοδυνάμς, η μη σταθερή καθυστέρηση ομάδας συνεπάγεται διασπορά σήματος στο χρόνο. Για να καταλάβουμε καλύτερα την έννοια της καθυστέρησης ομάδας, ας δούμε δυο παραδείγματα. Ανάπτυγμα Taylor γύρ από x = a: + f(x) = n= f (n) (a) (x a) n n!

5 Κεφάλαιο 6. Συστήματα στο χώρο του Z και της συχνότητας 57 Σχήμα 6.: Καθυστέρηση φάσης και καθυστέρηση ομάδας για το σήμα y[n]. Παράδειγμα: Θερήστε το ΓΧΑ σύστημα ιδανικής καθυστέρησης, με κρουστική απόκριση h id [n] = δ[n n d ] (6.5) το οποίο έχει φασματική απόκριση η οποία σε πολική μορφή γράφεται ς H id (e ) = e jn d (6.6) H id (e j ) = (6.7) H id (e j ) = n d, < π (6.8) Παρατηρήστε ότι η χρονική καθυστέρηση (ή προήγηση, αν n d < ) σχετίζεται με τη φάση, η οποία είναι γραμμική ς προς τη συχνότητα. Παρατηρήστε επίσης ότι και τ g () = d d {arg{h(ej )}} = d d ( n d) = n d (6.9) τ p () = arg{h(ej )} = n d = n d (6.) Στην περίπτση της γραμμικής φάσης, η καθυστέρηση ομάδας συμπίπτει με την καθυστέρηση φάσης. Σε πολλές εφαρμογές, η διαταραχή φάσης σε μορφή καθυστέρησης θερείται αρκετά ήπια μορφή διαταραχής, μια και απλά μετατοπίζει το σήμα στο χρόνο, χρίς κανένα άλλο ανεπιθύμητο πρόβλημα. Ετσι, σε πολλές περιπτώσεις σχεδίασης φίλτρν ή ΓΧΑ συστημάτν, η γραμμική φάση είναι αποδεκτή ς μορφή διαταραχής φάσης. Ας δούμε τώρα ένα παράδειγμα όπου η καθυστέρηση ομάδας δεν είναι σταθερή. Παράδειγμα: Θερήστε το σύστημα H(z) = ( ) ( ) (.98e j.8π z )(.98e j.8π z ) (c k z )(c k z ) (.8e j.π z )(.8e j.π z ) ( c k z )( c = H (z)h (z) (6.) k= k z ) Το διάγραμμα πόλν-μηδενικών του παραπάν συστήματος φαίνεται στο Σχήμα 6.. Το υποσύστημα H (z) συνεισφέρει το συζυγές ζεύγος πόλν z =.8e ±j.π, όπς και το ζεύγος μηδενικών κοντά στο μοναδιαίο κύκλο στις θέσεις z =.98e ±j.8π. Το υποσύστημα H (z) συνεισφέρει τα ζεύγη πόλν και μηδενικών δεύτερης τάξης στις θέσεις c k =.95e ±j(.5π+.πk) και /c k = (/.95)e j(.5π+.πk), με k =,,,. Το H (z)

6 58 Μια εισαγγή στα Σήματα και Συστήματα Σχήμα 6.: Διάγραμμα πόλν-μηδενικών συστήματος H(z) = H (z)h (z). ονομάζεται all-pass σύστημα, γιατί H (e j ) =,. Θα μελετήσουμε σύντομα τα all-pass συστήματα, και θα δούμε ότι μπορούν να εισάγουν μεγάλη καθυστέρηση ομάδας σε μια στενή ζώνη συχνοτήτν, χρίς να επηρεάζουν το πλάτος τους. Η φασματικές αποκρίσεις (πλάτους και φάσης) του συνολικού συστήματος φαίνονται στο Σχήμα 6. και στο Σχήμα 6.5. Αρχικά, παρατηρήστε το Σχήμα 6.. Βλέπετε ότι αρχικά η φάση έχει υπολογιστεί στο διάστημα ( π, π] (πρτεύουσα φάση), με αποτέλεσμα να έχει π ασυνέχειες, οι οποίες στη συνέχεια αφαιρούνται, όταν προσθέσουμε κατάλληλα πολλαπλάσια του π στην πρτεύουσα φάση, καταλήγοντας στην ξετυλιγμένη φάση. Στο Σχήμα 6.5, βλέπετε την καθυστέρηση ομάδας και το φάσμα πλάτους του συστήματος. Παρατηρήστε αρχικά ότι η ξετυλιγμένη φάση είναι μονότονη συνάρτηση, και μάλιστα φθίνουσα, εκτός από μια μικρή περιοχή γύρ από τη συχνότητα = ±.8π. Ετσι, η καθυστέρηση ομάδας θα είναι θετική παντού εκτός αυτής της μικρής περιοχής γύρ από το = ±.8π. Επίσης, δείτε ότι η καθυστέρηση ομάδας έχει μεγάλες τιμές γύρ από τις συχνότητες.7π < <.π, όπου εκεί η ξετυλιγμένη φάση έχει μέγιστη αρνητική κλίση. Αυτές οι συχνότητες αντιστοιχούν στις συχνότητες τν ομάδν πόλν-μηδενικών που συζητήσαμε νρίτερα. Επίσης, προσέξτε το αρνητικό βύθισμα στη συχνότητα = ±.8π, όπου η φάση έχει θετική κλίση. Είπαμε νρίτερα ότι το H (z) είναι ένα all-pass σύστημα, άρα το φάσμα πλάτους καθορίζεται απόλυτα από τις θέσεις τν πόλν και μηδενικών του συστήματος H (z). Ετσι, αφού ξέρουμε ότι η φασματική απόκριση δεν είναι τίποτε άλλο παρά η εκτίμηση του H(z) επάν στο μοναδιαίο κύκλο z = e j, τα μηδενικά στις θέσεις z =.98e ±j.8π είναι η αιτία που το φάσμα πλάτους H(e j ) έχει πολύ μικρές τιμές, σχεδόν μηδενικές, κοντά στο = ±.8π. Αντίστοιχα, οι πόλοι στις θέσεις z =.8e ±j.π είναι η αιτία που το φάσμα πλάτους H(e j ) έχει υψηλές τιμές κοντά στο = ±.π. Ας θερήσουμε τώρα ότι στο παραπάν σύστημα εμφανίζεται ς είσοδος το σήμα του Σχήματος 6.6. Οπς βλέπετε, το σήμα αποτελείται από τρεις παλμούς στενής ζώνης, οι οποίοι είναι διαχρισμένοι στο χρόνο για ευκολία εποπτείας τους. Το φάσμα πλάτους του σήματος φαίνεται επίσης στο ίδιο Σχήμα. Η μαθηματική μορφή τν παλμών είναι η x [n] = w[n] cos(.πn) (6.) x [n] = w[n] cos(.πn π/) (6.) x [n] = w[n] cos(.8πn + π/5) (6.) με w[n] να είναι ένας πεπερασμένης διάρκειας παλμός που δίνεται ς.5.6 cos(πn/m), n M w[n] =, αλλού (6.5)

7 Κεφάλαιο 6. Συστήματα στο χώρο του Z και της συχνότητας 59 Σχήμα 6.: (a) Πρτεύουσα φάση και (b) ξετυλιγμένη φάση συστήματος H(z) = H (z)h (z). με M = 6. Άρα το συνολικό σήμα εισόδου περιγράφεται από τη σχέση x[n] = x [n] + x [n M ] + x [n M ] (6.6) δηλ. όπς φαίνεται και στο Σχήμα 6.6, η υψηλότερη συχνότητα εμφανίζεται πρώτη, η χαμηλότερη συχνότητα εμφανίζεται δεύτερη, και ακολουθεί η μεσαία συχνότητα. Κοιτάζοντας το φάσμα πλάτους X(e j ) μπορεί να αναρτηθεί κανείς που βρέθηκαν αυτοί οι λοβοί γύρ από τις συχνότητες = ±.π,.π,.8π. Θα περίμενε κανείς να συναντήσει συναρτήσεις Δέλτα σε αυτές τις συχνότητες, μια και αυτές αποτελούν το μετασχ. Fourier σημάτν συνημιτόνου όπς αυτά που έχουμε στην είσοδο. Ο λόγος που εμφανίζονται αυτοί οι λοβοί σε αυτές τις συχνότητες γίνονται κατανοητοί αν σκεφτούμε πώς μεταφράζεται το γινόμενο w[n] επί cos( n) στο χώρο της συχνότητας. Οπς ήδη ξέρετε, το γινόμενο στο χρόνο γίνεται συνέλιξη στη συχνότητα, και άρα w[n] cos( n) W (e j ) (πδ( ) + πδ( + )) = πw (e j( ) ) + πw (e j(+) ) (6.7) Άρα ουσιαστικά αυτό που βλέπουμε στο φάσμα πλάτους X(e j ) για κάθε ημίτονο της εισόδου είναι ο μετασχ. Fourier Διακριτού Χρόνου W (e j(±) ) του παραθύρου w[n] γύρ από τις συχνότητες = ±.π,.π,.8π! Γι αυτό και αντί για συναρτήσεις Δέλτα στις συχνότητες = ±.π,.π,.8π (δηλ. ενέργεια ακριβώς και μόνο σε αυτές τις συχνότητες), βλέπουμε σημαντική ενέργεια γύρ από αυτές τις συχνότητες, σε ένα μικρό εύρος συχνοτήτν, που εξαρτάται από το είδος και τη διάρκεια του παραθύρου. Εστ ότι αυτό το εύρος έχει διάρκεια B rad/sample. Κάθε παλμός λοιπόν συνεισφέρει ένα σύνολο από συχνότητες ( B, + B), όπου = ±.π,.π,.8π, ή αλλιώς ένα εύρος από συχνότητες που έχουν κέντρο τις συχνότητες = ±.π,.π,.8π. Οταν λοιπόν το παραπάν σήμα παρουσιαστεί ς είσοδος στο ΓΧΑ σύστημα H(z), κάθε ένα από τα συχνοτικά Το σήμα αυτό λέγεται παράθυρο Hamming, και είναι σημαντικό στην επεξεργασία σήματος.

8 5 Μια εισαγγή στα Σήματα και Συστήματα Σχήμα 6.5: (a) Καθυστέρηση ομάδας και (b) φάσμα πλάτους συστήματος H(z) = H (z)h (z). πακέτα ή αλλιώς, κάθε μια από τις συχνοτικές ομάδες που σχετίζεται με καθέναν απ τους παλμούς στενής ζώνης, θα επηρεαστεί από την απόκριση πλάτους του συστήματος, καθώς και από την καθυστέρηση ομάδας στο εύρος συχνοτήτν της κάθε συχνοτικής ομάδας. Από την απόκριση πλάτους του συστήματος, βλέπουμε ότι η συχνοτική ομάδα γύρ από τη συχνότητα =.π θα λάβει ένα μικρό κέρδος στο πλάτος της, και η ομάδα γύρ από τη συχνότητα =.π θα λάβει κέρδος στο πλάτος της περίπου ίσο με. Οσο για την ομάδα γύρ από τη συχνότητα =.8π, αφού η απόκριση πλάτους του συστήματος είναι πολύ μικρή γύρ από αυτή τη συχνότητα, ο παλμός υψηλότερης συχνότητας θα κατασταλεί σχεδόν πλήρς. Κάνοντας την ίδια εξέταση για την καθυστέρηση ομάδας του συστήματος, θα δούμε ότι η καθυστέρηση ομάδας γύρ από τη συχνότητα =.π θα είναι σημαντικά μεγαλύτερη από αυτή είτε της συχνότητας =.π είτε της συχνότητας =.8π, και κατά συνέπεια ο παλμος με τη χαμηλότερη συχνότητα θα λάβει τη μεγαλύτερη καθυστέρηση μέσ του συστήματος. Το σήμα εξόδου δίνεται στο Σχήμα 6.7. Ο παλμός συχνότητας =.8π έχει ουσιαστικά εξουδετερθεί. Οι άλλοι δυο παλμοί έχουν ενισχυθεί και καθυστερήσει: ο παλμός συχνότητας =.π είναι ελαφρώς μεγαλύτερου πλάτους, και έχει καθυστερήσει κατά 5 δείγματα περίπου, ενώ ο παλμός συχνότητας =.π είναι σχεδόν διπλάσιου πλάτους, και έχει καθυστερήσει κατά δείγματα περίπου. Η υποενότητα αυτή έδειξε πς τα ΓΧΑ συστήματα τροποποιούν τα σήματα εισόδου τους μέσ του συνδυασμού της απόκρισης πλάτους και της απόκρισης φάσης. Για το τελευταίο παράδειγμα, όπου το σήμα εισόδου αποτελούνταν από συνιστώσες στενής ζώνης, ήταν εύκολο να βρούμε τις συνέπειες σε κάθε παλμό ξεχριστά. Αυτό συνέβη γιατί οι συναρτήσεις φασματικής απόκρισης (πλάτους, φάσης, καθυστέρηση ομάδας) ήταν ομαλές και μεταβάλλονται ελάχιστα γύρ από το μικρό εύρος συχνοτήτν που εμφανίζονταν οι συνιστώσες της εισόδου. Ετσι, όλες οι συχνότητες που σχετίζονται με ένα δεδομένο παλμό υπέστησαν περίπου την ίδια καθυστέρηση και το ίδιο κέρδος στο πλάτος τους, με αποτέλεσμα την αναπαραγγή του παλμού στην έξοδο, σε διαφορετική θέση και με διαφορετικό πλάτος.

9 Κεφάλαιο 6. Συστήματα στο χώρο του Z και της συχνότητας 5 Σχήμα 6.6: Σήμα (a) στο χρόνο και (b) φάσμα πλάτους σήματος εισόδου x[n] του συστήματος H(z) = H (z)h (z). Σχήμα 6.7: Σήμα εξόδου y[n] του συστήματος H(z) = H (z)h (z). Για σήματα που δεν είναι στενής ζώνης, αλλά ευρείας ζώνης (wideband signals), το παραπάν δε θα ήταν γενικά αληθές, γιατί διαφορετικά τμήματα του φάσματος θα τροποποιούνταν διαφορετικά από το σύστημα. Σε αυτές τις περιπτώσεις, τα αναγνρίσιμα χαρακτηριστικά της εισόδου, όπς το σχήμα του παλμού, δε θα είναι εμφανή στην έξοδο, και ξεχριστοί παλμοί στο χρόνο στην είσοδο μπορεί να καταλήξουν να είναι επικαλύψεις παλμών στην έξοδο.

10 5 Μια εισαγγή στα Σήματα και Συστήματα 6. Ευστάθεια και Αιτιατότητα Οπς ξέρουμε, η συνάρτηση μεταφοράς ειναι ο μετασχ. Ζ της κρουστικής απόκρισης ενός συστήματος H(z) = n= h[n]z n (6.8) Η απόκριση σε συχνότητα μπορεί να προέλθει από τη συνάρτηση μεταφοράς, οταν την υπολογίζουμε επάν στο μοναδιαίο κύκλο: H(e j ) = H(z) (6.9) z=e j Μας ενδιαφερουν ιδιαίτερα τα ΓΧΑ συστηματα που χαρακτηριζονται από γραμμικές εξισώσεις διαφορών με σταθερούς συντελεστές: M N y[n] + a k y[n k] = b k x[n k] (6.) k= Αυτά τα τα ΓΧΑ συστήματα έχουν συνάρτηση μεταφοράς που ειναι ρητή συνάρτηση του z : k= N k= H(z) = b kz k N + M k= a kz = A k= ( b kz ) k M k= ( a kz ) (6.) Ετσι, η συνάρτηση μεταφοράς ορίζεται αποκλειστικά (εκτος από τη σταθερα A) από τη θέση τν πόλν, a k και τν μηδενικών b k. Προσέξτε ότι κάθε όρος του αριθμητή b k z = z b k z (6.) συνεισφέρει ένα μηδενικό, στη θέση z = b k, και έναν πόλο στη θέση z =, στη συνάρτηση μεταφοράς. Ομοια, ο αντίστοιχος ορος στον παρονομαστη συνεισφέρει έναν πόλο στη θέση z = a k και ένα μηδενικό στη θέση z =. Καταλαβαίνετε ότι αν M = N, τα μηδενικά και οι πόλοι στο z = αλληλοακυρώνονται, και έτσι το συστημα χαρακτηρίζεται από τους πόλους και τα μηδενικά που βρίσκονται στο υπόλοιπο z επίπεδο. Σε διαφορετική περιπτση, συμπεριλαμβάνουμε τους πόλους και τα μηδενικά που μπορει να βρίσκονται στο z = ή στο z =, κι ετσι έχουμε το πλήρες διάγραμμα πόλν-μηδενικών. Θυμίζουμε οτι όσοι πόλοι, τόσα μηδενικά σε κάθε συνάρτηση μεταφοράς! Αν η κρουστική απόκριση h[n] ειναι πραγματική συνάρτηση, το H(z) είναι συζυγές συμμετρική συνάρτηση του z: H(z) = H (z ) (6.) και έτσι οι πόλοι και τα μηδενικά απαντώνται σε συζυγη συμμετρικά ζευγη (δηλ. αν ένας πόλος ή μηδενικό βρίσκεται στη θέση z = z, υπάρχει κι ένας πόλος η μηδενικό στη θέση z = z). Επιθυμητά χαρακτηριστικά τν ΓΧΑ συστημάτν που εξετάζουμε είναι η ευστάθεια και η αιτιατότητα: οι δυο αυτές επιθυμητές ιδιότητες επιβάλλουν κάποιους σημαντικούς περιορισμούς στη συνάρτηση μεταφοράς ενός ΓΧΑ συστήματος Ευσταθεια Γνρίζουμε ότι η κρουστική απόκριση h[n] ενός ευσταθούς συστήματος πρέπει να είναι απολύτς αθροίσιμη: n= Προσέξτε οτι αυτή η σχέση είναι ισοδύναμη με τη σχέση n= h[n] < (6.) h[n] z n < (6.5) για z =, που σημαίνει ότι η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς περιλαμβάνει το μοναδιαίο κύκλο, αν και μόνο αν το σύστημα είναι ευσταθές. Άρα για κάθε αιτιατό σύστημα, απαιτείται οι παρουσία όλν τν πόλν εντός του μοναδιαίου κύκλου ώστε να καταστεί αυτό ευσταθές.

11 Κεφάλαιο 6. Συστήματα στο χώρο του Z και της συχνότητας Αιτιατότητα Επειδή η κρουστική απόκριση h[n] ενός αιτιατού συστηματος ειναι δεξιόπλευρο σήμα, το πεδιο σύγκλισης του H(z) θα είναι εξστρεφές, δηλ. θα ειναι της μορφης z > a, με a τον πόλο της H(z) με το μεγαλύτερο μέτρο. Η αιτιατότητα επιβάλλει κάποιους περιορισμούς στην απόκριση συχνότητας ενός ΓΧΑ συστήματος. Ενας απ αυτούς εκφράζεται με το θεώρημα Paley-Wiener: Αν h[n] =, n <, και h[n] έχει πεπερασμένη ενέργεια, τότε π π ln H(e j ) d < (6.6) Κατά συνέπεια, η απόκριση σε συχνότητα ενός ευσταθούς και αιτιατού συστήματος δεν μπορεί να είναι ποτέ μηδενική για κάποια πεπερασμένη ζώνη συχνοτήτν. Ετσι, οποιοδήποτε ευσταθές ιδανικό φίλτρο επιλογής συχνότητες (χαμηλοπερατό, ζνοπερατό, υψιπερατό) - τα οποία είδαμε σε προηγούμενο κεφάλαιο - θα είναι αναγκαστικά μη αιτιατό. Η αιτιατότητα επίσης επιβάλλει κάποιους περιορισμούς στο πραγματικό και στο φανταστικό μέρος της απόκρισης σε συχνότητα, H(e j ). Για παράδειγμα, αν η κρουστική απόκριση h[n] ειναι πραγματική, μπορεί να γραφεί ς το αθροισμα του άρτιου και του περιττού μέρους της, ς h[n] = h e [n] + h o [n] (6.7) με h c [n] = (h[n] + h[ n]) και h o[n] = (h[n] h[ n]). Αν το h[n] είναι αιτιατό, μπορει να καθοριστει απόλυτα από το αρτιο μέρος του ς h[n] = h e [n]u[n] h e [n]δ[n] (6.8) Αν η κρουστική απόκριση h[n] είναι απολύτς αθροίσιμη, ο μετασχ. Fourier της υπάρχει, και ο τελευταίος μπορει να γραφει ς το άθροισμα του πραγματικού και του φανταστικού μέρους του ς H(e j ) = H R (e j ) + jh I (e j ) (6.9) Ετσι, επειδή το H R (e j ) είναι ο μετασχ. Fourier του άρτιου μέρους της κρουστικής απόκρισης h[n], συνεπάγεται οτι η κρουστική απόκριση h[n] είναι πραγματικό, ευσταθές, και αιτιατό σήμα, και η φασματική απόκριση H(e j ) ορίζεται μοναδικά από το πραγματικό του μέρος. Αυτό υποδηλώνει μια σχέση μεταξύ του πραγματικού και του φανταστικού μέρους του H(e j ), η οποία είναι η ακόλουθη: H I (e j ) = π H R (e jθ ) cot π π ( θ ) dθ (6.5) Αυτό το ολοκλήρμα λέγεται - προς ενημέρσή σας - Διακριτός Μετασχηματισμός Hilbert, δηλ. το φανταστικό μέρος H I (e j ) της απόκρισης συχνότητας H(e j ) είναι ο Διακριτός Μετασχηματισμός Hilbert του πραγματικού της μέρους, H R (e j ). 6. Αντίστροφα Συστήματα Για ένα ΓΧΑ συστημα με συνάρτηση μεταφοράς H(z), το αντίστροφο συστημα ορίζεται ς το συστημα που έχει συνάρτηση μεταφοράς G(z), τέτοια ώστε H(z)G(z) = h[n] g[n] = δ[n] (6.5) Συνήθς το αντίστροφο συστημα συμβολίζεται με το δεικτη i, ς H i (z) = H(z). Ενα ερώτημα που μπορει να τεθεί είναι τι συμβαινει με το πεδίο σύγκλισης του αντιστρόφου συστήματος. Αν ROC H = R H, τότε ποιό είναι το πεδιο σύγκλισης του αντιστρόφου συστήματος, ROC H = R Hi ; Την απάντηση σε αυτό το ερώτημα μας δίνει το θεώρημα της συνέλιξης, το οποίο - οπς γνρίζετε - λέει οτι τα σήματα H(z) και G(z) = H i (z) πρέπει να έχουν επικαλυπτόμενα πεδία σύγκλισης. Για παράδειγμα, αν το H(z) είναι μια ρητή συνάρτηση μεταφοράς του z, όπς στη Σχέση (6.), το αντίστροφο σύστημα ειναι το G(z) = H i (z) = M k= ( a kz ) A N k= ( b (6.5) kz ) δηλ. οι πόλοι του H(z) γίνονται μηδενικά για το αντίστροφο συστημα, ενώ τα μηδενικά γίνονται πόλοι. Συστήματα που έχουν όλους τους πόλους και όλα τα μηδνεικά εντός του μοναδιαίου κύκλου λέγονται Συστήματα Ελάχιστης

12 5 Μια εισαγγή στα Σήματα και Συστήματα Φάσης, και θα τα μελετήσουμε πολύ σύντομα.. Ας δούμε δυο παραδείγματα. Παράδειγμα: Εστ τότε το αντίστροφο σύστημα είναι το H(z) =.5z, z >.8 (6.5).8z H i (z) =.8z.5z (6.5) Ομς, για το πεδιο συγκλισης έχουμε δυο επιλογές: i) z >.5, ii) z <.5. Από αυτά τα δυο πεδία, αυτό που επικαλύπτεται με το πεδιο συγκλισης του H(z) είναι το z >.5. Ετσι, μπορούμε να βρούμε και την κρουστική απόκριση, η οποία είναι h i [n] = Z {.5z } το οποίο ειναι αιτιατό και ευσταθές. Παράδειγμα: Εστ το σύστημα Z {.8z } ( ) nu[n] ( ) n u[n.5z =.8 ] (6.55) H(z) = Σε αυτην την περίπτση, το αντίστροφο συστημα είναι.5 z, z >.8 (6.56).8z H i (z) =.8z.8z =.5 z z (6.57) το οποίο έχει δυο πιθανά πεδια σύγκλισης, το z > και το z <. Παρατηρήστε ότι και τα δύο πεδία σύγκλισης επικαλύπτονται με το πεδίο σύγκλισης του H(z). Ετσι, και τα δυο ειναι έγκυρα αντίστροφα συστήματα, μόνο που ανταποκρίνονται σε διαφορετικά σήματα στο χρόνο. Για αυτό με πεδίο σύγκλισης το z >, η κρουστική απόκριση θα ειναι h i [n] = () n u[n].6() n u[n ] (6.58) το οποίο είναι αιτιατό αλλά ασταθές. Αυτό με πεδίο σύγκλισης το z < έχει κρουστική απόκριση το οποίο είναι ευσταθές αλλά όχι αιτιατό! h i [n] = () n u[ n ] +.6() n u[ n] (6.59) 6. Απόκριση σε Συχνότητα ΓΧΑ Συστημάτν με Χρήση Διαγράμματος Διανυσμάτν Ας θυμηθούμε ότι ένα ΓΧΑ συστημα με ρητή συνάρτηση μεταφοράς μπορει να γραφεί ς N k= H(z) = A ( b kz ) M k= ( a kz ) (6.6) Αν θερήσουμε οτι a k b l για κάθε k και l, το H(z) μπορει να αναπτυχθεί, στη γενικότερη μορφη του, με τη γνστή μέθοδο σε απλά κλάσματα (PFE) ς H(z) = N M k= B k z k + M k=,k i A S k a k z + και αν το σύστημα είναι αιτιατό, τοτε η Σχέση (6.6) δίνει την κρουστική απόκριση h[n] ς h[n] = N M k= B k δ[n k] + M k=,k i A k a n ku[n] + S m= m= C m ( a i z ) m (6.6) C m n + m (m )! an i u[n + m ] (6.6)

13 Κεφάλαιο 6. Συστήματα στο χώρο του Z και της συχνότητας 55 Φυσικά, αν δεν υπάρχουν πολλαπλές ρίζες, η προηγούμενη σχέση γίνεται απλά h[n] = N M k= ενώ αν M =, το H(z) έχει μόνο μηδενικά, δηλ. B k δ[n k] + H(z) = M A k a n ku[n] (6.6) k= N b k z k (6.6) k= και άρα η κρουστική απόκριση θα ειναι πεπερασμένης διάρκειας, δηλ. h[n] = N b k δ[n k] (6.65) k= Αυτά τα συστήματα, όπς ήδη ξέρετε, λέγονται Finite Impulse Response (FIR). Αν M >, τότε η H(z) έχει πόλους σε θέσεις εκτός του μηδενός, και η κρουστική απόκριση ειναι όπς στη Σχέση (6.6) ή στη Σχέση (6.6). Αυτά τα συστηματα λέγονται Infinite Impulse Response (IIR), γιατι ειναι άπειρα σε διάρκεια. Ενα σημαντικό ερώτημα - που το απαντήσαμε ποιοτικά για την απόκριση πλάτους στο προηγούμενο κεφάλαιο - είναι τι επιρροή εχουν οι πόλοι και τα μηδενικά της συνάρτησης μεταφοράς H(z) στη μορφή της φασματικής απόκρισης H(e j ). Για ρητές συναρτησεις μεταφοράς του z, η απόκριση σε συχνότητα μπορει να βρεθει γεμετρικά από τους πόλους και τα μηδενικά του H(z). Ας δούμε πς. Το μέτρο της απόκρισης σε συχνότητα δίνεται από τη Σχέση (6.), αν θέσουμε z = e j και πάρουμε το μέτρο: H(e j = b N k= b ke j a M k= a (6.66) ke j ενώ η φάση δίνεται από τη σχέση H(e j ) = arg[ b a ] + M N arg[ b k e j ] arg[ a k e j ] (6.67) όπου argh(e j ) είναι η ξετυλιγμένη φάση. Τέλος, η καθυστέρηση ομάδας δίνεται ς grd[h(e j )] = M k= k= d d arg[ a ke j ] Μια εναλλακτική έκφραση για την καθυστέρηση ομάδας είναι N k= k= d d arg[ b ke j ] (6.68) grd[h(e j )] = N k= a k R{a k e j } M + a k R{a k e j } b k R{b k e j } + b k R{b k e j } k= (6.69) Παρατηρήστε ότι οι Σχέσεις (6.66, 6.67, 6.68) εκφράζονται ς άθροισμα από τις συνεισφορές τν πόλν τν και τν μηδενικών σε πλάτος, φάση, και καθυστέρηση ομάδας. Αυτό είναι ενδιαφέρον, γιατί για να καταλάβουμε πώς οι πόλοι και τα μηδενικά επηρεάζουν τη φασματική απόκριση σε πραγματικά συστήματα μεγάλης τάξης, πρέπει να καταλάβουμε σε βάθος πς λειτουργούν συστήματα μικρής τάξης, όπς π.χ. πρώτης και δεύτερης τάξης, σε σχέση με τη θέση τν πόλν και τν μηδενικών τους. Μπορούμε τώρα να μελετήσουμε τη γεμετρική σχέση πόλν-μηδενικών και απόκρισης σε συχνότητα, χρησιμοποιώντας διαγράμματα διανυσμάτν. Ας επιστρέψουμε στη σχέση H(e j = b N k= b ke j a M k= a ke j (6.7) Βλέπετε ότι το H(e j ) ειναι b /a φορές το γινόμενο τν όρν b k e j δια το γινόμενο τν όρν a k e j. Κάθε όρος στον αριθμητή b k e j = ej b k e j = e j b k (6.7)

14 56 Μια εισαγγή στα Σήματα και Συστήματα είναι το μήκος του διανύσματος u k από το μηδενικό στη θέση z = b k ς το μοναδιαίο κύκλο στο z = e j. Ομοια ακριβώς, κάθε όρος στον παρονομαστή a k e j = ej a k e j = e j a k (6.7) είναι το μήκος του διανύσματος u k από τον πόλο στη θέση z = a k ς το μοναδιαίο κύκλο στο z = e j. Ας δούμε μερικά παραδείγματα υπολογισμού απόκρισης πλάτους από το διάγραμμα διανυσμάτν. Παράδειγμα : Ας ξεκινήσουμε με ένα απλό σύστημα που έχει ένα μηδενικό στη θέση z = b k = re jθ και, αναπόφευκτα, θα έχει έναν πόλο στη θέση z =, όπς στο Σχήμα 6.8. Το διάνυσμα από το μηδενικό ς το μοναδιαίο κύκλο συμβολίζεται με u, ενώ το διάνυσμα u είναι το διάνυσμα e j και το διάνυσμα u είναι το διάνυσμα re jθ, όπου και βρίσκεται το μηδενικό. Η συνάρτηση μεταφοράς αυτού του συστήματος είναι Σχήμα 6.8: Διάγραμμα Διανυσμάτν Συστήματος Πρώτης Τάξης. και άρα η φασματική απόκριση είναι H(z) = ( re jθ z ) = z rejθ z (6.7) Η πρτεύουσα φάση θα είναι H(e j ) = ( re jθ e j ) = ej re jθ e j (6.7) ARG[ re jθ e j ] = tan r sin( θ) r cos( θ) (6.75) Επίσης, η καθυστέρηση ομάδας θα είναι grd[ re jθ e j ] = r r cos( θ) + r r cos( θ) (6.76) Η απόκριση πλάτους θα είναι, όπς είδαμε πιο πάν, ίση με H(e j ) = ej re jθ e j = e j re jθ (6.77)

15 Κεφάλαιο 6. Συστήματα στο χώρο του Z και της συχνότητας 57 Αυτό το μέτρο είναι το μέτρο του διανύσματος u. Δηλαδή, η απόκριση πλάτους εξαρτάται μόνο από το μέτρο του διανύσματος u! Οταν το διάνυσμα u αρχίζει να τρέχει επάν στο μοναδιαίο κύκλο, μεταβάλλοντας τη γνία του, το μέτρο του u μεταβάλλεται, δίνοντάς μας τις τιμές της H(e j ) για κάθε. Ας δούμε πς, εξετάζοντας μια πλήρη περιστροφή του u : ˆ Προσέξτε ότι το u μικραίνει όσο το θ, και θα γίνει ελάχιστο όταν = θ. ˆ Οπότε η H(e j ) θα ξεκινά από μια τιμή στο =, έστ H(e j ), και θα φθίνει μέχρι το = θ, όπου το H(e j ) θα γίνει ελάχιστο. ˆ Μετά, το διάνυσμα u θα αρχίσει να μεγαλώνει ξανά, άρα η H(e j ) θα αυξάνει και πάλι μέχρι = π + θ, όπου θα γίνει μέγιστη. ˆ Οσο π, το u θα φθίνει και πάλι, άρα η H(e j ) θα μικραίνει ξανά, μέχρι να επανέλθει στην ίδια τιμή H(e j ) που είχε όταν =, αφού τώρα έχει συμπληρώσει μια πλήρη περιστροφή γύρ από τον μοναδιαίο κύκλο. Ας υποθέσουμε ότι οι τιμές του μηδενικού είναι r =.8 και θ =.5π, τιμές που μοιάζουν να ανταποκρίνονται στο Σχήμα 6.8. Το φάσμα πλάτους φαίνεται στο Σχήμα 6.9. Παρατηρήστε ότι η ελάχιστη τιμή του είναι για.8 Magnitude Response Phase Response Magnitude.8.6 Phase (radians) Frequency () Frequency () Σχήμα 6.9: Φάσμα Πλάτους και Φάσμα Φάσης Συστήματος Πρώτης Τάξης. = θ =.5π., όταν δηλαδή το διάνυσμα u βρίσκεται στο μικρότερο μήκος του, ενώ η μέγιστη τιμή του είναι για = π +.5π =.5π.55, όπς ακριβώς αναμενόταν από την προηγούμενη ανάλυσή μας. Για τη φάση, έχουμε ότι ( re jθ ) = (e j re jθ ) e j = u u = φ φ = φ (6.78) Αυτό σημαίνει ότι η απόκριση φάσης ισούται με τη διαφορά της γνίας φ, δηλ. της γνίας του διανύσματος u μείον τη γνία του διανύσματος u. Ας κάνουμε παρόμοια ανάλυση κι εδώ, με βάση το Σχήμα 6.8: ˆ Οταν =, η απόκριση φάσης έχει μια τιμή, έστ H(e j ) = φ, η οποία όμς είναι αρνητική, γιατί η φ είναι μεγαλύτερη από π, οπότε η τιμή της ανήκει στο διάστημα ( π, ). ˆ Οταν θ, παρατηρούμε τα εξής: Οταν το φανταστικό μέρος του u γίνει ίσο με το φανταστικό μέρος του u, τότε H(e j ) = π =, και εκεί η απόκριση φάσης είναι ελάχιστη. Οταν η θ από τα δεξιά, η γνία φ θα έχει πολύ μικρή μεταβολή σε σχέση με την, άρα η διαφορά τους θα μεγαλώνει απότομα. όταν = θ, η διαφορά φ θα είναι μηδέν, γιατί τότε φ = θ =. Άρα η φάση θα είναι μηδέν.

16 58 Μια εισαγγή στα Σήματα και Συστήματα Οταν η απομακρύνεται αλλά βρίσκεται κοντά στη θ, η γνία φ θα έχει πολύ μεγάλη μεταβολή σε σχέση με την, άρα η διαφορά τους θα μεγαλώνει απότομα μέχρι το φανταστικό μέρος του u γίνει ξανά ίσο με το φανταστικό μέρος του u. Τότε η απόκριση φάσης θα γίνει μέγιστη, και από εκεί και μετά θα αρχίσει να φθίνει. ˆ Οταν = π + θ, η φάση θα είναι μηδέν, γιατί οι γνίες φ και θα είναι ίσες. ˆ Τέλος, όταν π, η θα είναι όλο και μεγαλύτερη από την φ και άρα η απόκριση φάσης θα φθίνει, μέχρι να φτάσει στην ίδια τιμή H(e j ) = φ που είχε όταν =. Επιβεβαιώστε τα παραπάν κοιτάζοντας το Σχήμα 6.9. Παράδειγμα : Ας πάμε τώρα σε κάτι πιο σύνθετο. Δείτε το Σχημα 6., όπου έχουμε έναν πόλο z = a και ένα μηδενικό z = b στο z επίπεδο. Τότε η συνάρτηση μεταφοράς H(z) και το μέτρο της απόκρισης σε συχνότητα, H(e j, δίνεται απλά ς Σχήμα 6.: Διανύσματα Διανυσμάτν για Σύστημα Πρώτης Τάξης με έναν πόλο και ένα μηδενικό. H(z) = bz az H(ej ) = ej b e j a = v v (6.79) με v το διάνυσμα από τον πόλο ς το μοναδιαίο κύκλο, και v αυτό από το μηδενικό ς το μοναδιαίο κύκλο. Βλέπετε λοιπόν ότι το μέτρο της απόκρισης σε συχνότητα καθορίζεται μόνο από τις αποστάσεις τν πόλν και τν μηδενικών από το μοναδιαίο κύκλο! Οταν ο πόλος, a = re j, ειναι κοντά στο μοναδιαίο κύκλο (δηλ. r ), το πλάτος της απόκρισης σε συχνότητα γίνεται μεγάλο για, επειδή το μήκος του διανύσματος v γίνεται μικρό. Οταν το μηδενικό, b = ρe j, ειναι κοντά στο μοναδιαίο κύκλο (δηλ. ρ ), το πλάτος της απόκρισης σε συχνότητα γίνεται μικρό για, επειδή το μήκος του διανύσματος v γίνεται μεγάλο. Καταλαβαίνετε φυσικά οτι αν το μηδενικό ειναι πάν στο μοναδιαίο κύκλο, τοτε H(e j ) =, και αντίστοιχα, αν ένας πόλος βρίσκεται εκεί, τότε H(e j ) = +. Το φάσμα πλάτους και το φάσμα φάσης του παραπάν διαγράμματος φαίνεται στο Σχήμα 6., αν θερήσουμε ότι το μηδενικό είναι στη θέση z =.56e j5π/, ενώ ο πόλος είναι στη θέση z = e jπ/, που μοιάζουν να ανταποκρίνονται στις θέσεις του σχήματος. Καταλαβαίνετε γιατί η καμπύλη του φάσματος πλάτους είναι αυτής της μορφής; Αναλύστε το σύστημα αυτό όπς κάναμε για το προηγούμενο! Ομοια ειναι η ανάλυση για το υπολογισμό της φάσης. Για το μηδενικό, βλέπουμε οτι arg( be j ) = arg(e j (e j b)) = arg(e j b) = θ (6.8)

17 Κεφάλαιο 6. Συστήματα στο χώρο του Z και της συχνότητας 59 Magnitude Response Phase Response.5 Magnitude.5 Phase (rad) Frequency () Frequency () Σχήμα 6.: Φάσμα Πλάτους και Φάσμα Φάσης Συστήματος Πρώτης Τάξης με έναν πόλο και ένα μηδενικό. με θ τη γνία μεταξύ του άξονα τν πραγματικών και του διανύσματος v, όπς φαινεται στο Σχημα (6.). Ομοια, για τον πόλο, βλέπουμε ότι arg( ae j ) = θ (6.8) με θ τη γνία μεταξύ του άξονα τν πραγματικών και του διανύσματος v. Αναλύστε το σύστημα αυτό και επιβεβαιώστε την καμπύλη της φάσης που φαίνεται στο Σχήμα 6.. Παράδειγμα : Ας δούμε κι ένα σύστημα δεύτερης τάξης, με δυο πόλους σε συζυγείς θέσεις, όπς στο Σχήμα (6.). Το Σχήμα 6.: Διάγραμμα Διανυσμάτν Συστήματος Δευτέρας Τάξης με δυο συζυγείς πόλους.

18 5 Μια εισαγγή στα Σήματα και Συστήματα σύστημα αυτό περιγράφεται από τη σχέση H(z) = ή εναλλακτικά, από την εξίσση διαφορών Η φάση του συστήματος δίνεται ς ( re jθ z )( re jθ z ) = r cos(θ)z + r z (6.8) y[n] r cos(θ)y[n ] + r y[n ] = x[n] (6.8) arg[h(e j )] = tan r sin( θ) r cos( θ) tan r sin( + θ) r cos( + θ) (6.85) και άρα η καθυστέρηση ομάδας είναι grd[h(e j r( r cos( θ)) )] = + r r cos( θ) r( r cos( + θ)) + r r cos( + θ) (6.86) Η εξαγγή τν φασματικών χαρακτηριστικών του συστήματος από τις παραπάν σχέσεις απαιτεί λίγη προσπάθεια, αλλά θα μας ανταμείψει με υψηλή ακρίβεια. Μια πιο ποιοτική παραγγή τν φασματικών συναρτήσεν μπορεί να γίνει με διάγραμμα διανυσμάτν. Προφανώς, για δυο πόλους σε συζυγείς θέσεις, θα έχουμε δυο μηδενικά στο μηδέν, όπς φαίνεται και στο Διάγραμμα ;;. Το διάνυσμα e j re jθ, από τον πόλο του πρώτου τεταρτημορίου, re jθ, ς το μοναδιαίο κύκλο συμβολίζεται με u, ενώ το διάνυσμα u είναι το διάνυσμα e j, και το διάνυσμα u = e j re jθ είναι το διάνυσμα από το συζυγή πόλο του τέταρτου τεταρτημορίου ς το μοναδιαίο κύκλο. Η συνάρτηση μεταφοράς αυτού του συστήματος είναι H(z) = ( re jθ z )( re jθ z ) = z (z re jθ )(z re jθ ) (6.87) και άρα η φασματική απόκριση είναι H(e j ) = e j (e j re jθ )(e j re jθ ) = e j e j re j( θ) re j(+θ) + r = e j e j r cos(θ)e j + r (6.88) Η απόκριση πλάτους θα είναι ίση με H(e j ) = e j (e j re jθ ) (e j re jθ ) = u u (6.89) Δηλαδή, η απόκριση πλάτους εξαρτάται μόνο από τα μέτρα τν διανυσμάτν u, u! Οταν το διάνυσμα u αρχίζει να τρέχει επάν στο μοναδιαίο κύκλο, μεταβάλλοντας τη γνία του, το μέτρο τν u, u μεταβάλλεται, δίνοντάς μας τις τιμές της H(e j ) για κάθε. Ας δούμε πς, εξετάζοντας μια πλήρη περιστροφή του u : ˆ Οταν =, τα διανύσματα u, u έχουν το ίδιο μέτρο. ˆ Στη συνέχεια, το u μικραίνει όσο το θ, ενώ αντίστοιχα το u μεγαλώνει, και θα άρα το γινόμενό τους θα γίνει μέγιστο όταν = θ. ˆ Οπότε η H(e j ) θα ξεκινά από μια τιμή στο =, έστ H(e j ), και θα αυξάνει μέχρι το = θ, όπου το H(e j ) θα γίνει μέγιστο. ˆ Μετά, το διάνυσμα u θα αρχίσει να μεγαλώνει ξανά, ενώ το ίδιο θα κάνει και το u, άρα η H(e j ) θα φθίνει και πάλι μέχρι = π, όπου τα μέτρα τν u, u είναι ξανά ίσα. Εκεί, η απόκριση πλάτους θα έχει ελάχιστο. ˆ Οσο θ, το u θα μικραίνει, ενώ το u θα μεγαλώνει, άρα η H(e j ) θα μεγαλώνει ξανά, μέχρι = θ, όπου θα γίνει μέγιστη. Παρατηρήστε ότι η διαδικασία αυτή είναι συμμετρική με αυτή όταν θ. Δείξτε ότι αν κάνουμε Ανάπτυγμα σε Μερικά Κλάσματα, η κρουστική απόκριση του συστήματος δίνεται ς h[n] = rn sin(θ(n + )) u[n] (6.8) sin(θ)

19 Κεφάλαιο 6. Συστήματα στο χώρο του Z και της συχνότητας 5 ˆ Οταν η απομακρυνθεί απ τη γνία θ και, η απόκριση πλάτους θα φθίνει ξανά, μέχρι να επανέλθει στην ίδια τιμή H(e j ) που είχε όταν =, αφού τώρα έχει συμπληρώσει μια πλήρη περιστροφή γύρ από τον μοναδιαίο κύκλο. Ας υποθέσουμε ότι οι τιμές τν πόλν είναι r =.86 και θ = ±.955 ±55 o, τιμές που μοιάζουν να ανταποκρίνονται στο Σχήμα 6.. Το φάσμα πλάτους φαίνεται στο Σχήμα 6.. Παρατηρήστε ότι η ελάχιστη τιμή του.5 Magnitude Response Phase Response.5 Magnitude.5 Phase (rad) Frequency () Frequency () Σχήμα 6.: Φάσμα Πλάτους και Φάσμα Φάσης Συστήματος Δεύτερης Τάξης με δυο συζυγείς πόλους. είναι για = π, όταν δηλαδή τα u, u γίνονται ταυτόχρονα μέγιστα, άρα το u u ελάχιστο, ενώ η μέγιστη τιμή του είναι για = ±θ, όπς ακριβώς αναμενόταν από την προηγούμενη ανάλυσή μας. Για τη φάση, έχουμε ότι [ ] arg ( re jθ e j )( re jθ e j ) = arg( re jθ e j ) arg( re jθ e j ) (6.9) = (φ ) (φ ) (6.9) = φ φ (6.9) με βάση τις Σχέσεις (6.67,6.8). Εδώ η απόκριση φάσης είναι πιο πολυπλοκη. Ας κάνουμε παρόμοια ανάλυση κι εδώ, με βάση το Σχήμα 6.: ˆ Οταν =, η απόκριση φάσης είναι arg H(e j ) = φ φ =, γιατί η φ = φ, και άρα argh(e j ) = φ φ =. ˆ Οταν θ, παρατηρούμε ότι η φ μεγαλώνει, καθώς και η φ, οπότε όταν = θ, έχουμε argh(e j ) = θ θ π/ = θ π/. ˆ Οταν = π, τότε argh(e jπ ) = π φ φ, όμς τότε φ = π φ, και άρα argh(e jπ ) =. ˆ Τέλος, όταν απομακρύνεται από το π και προχρά προς το π, η argh(e j ) θα έχει περιττή συμμετρία σε σχέση με την καμπύλη που μόλις περιγράψαμε όσο (, π]. Επιβεβαιώστε τα παραπάν κοιτάζοντας το Σχήμα 6.. Τέλος, για την καθυστέρηση ομάδας, γνρίζοντας την φάση και παραγγίζοντάς την, μπορούμε να βρούμε προσεγγιστικά τη γραφική παράστασή της, όπς στο Σχήμα 6.. Παράδειγμα : Θερήστε το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς h[n] = δ[n] r cos( θ)δ[n ] + r δ[n ] (6.9) H(z) = r cos(θ)z + r z (6.9)

20 5 Μια εισαγγή στα Σήματα και Συστήματα Phase for two conjugate poles Radians Frequency () Group Delay for two conjugate poles 6 Samples Frequency () Σχήμα 6.: Φάσμα Φάσης και Καθυστέρηση Ομάδας Συστήματος Δεύτερης Τάξης με δυο συζυγείς πόλους. Προσέξτε ότι η H(z) είναι η αντίστροφη του συστήματος του Παραδείγματος! Σύμφνα λοιπόν με όσα έχουμε πει για τα αντίστροφα συστήματα, θα πρέπει οι αποκρίσεις πλάτους, φάσης, και καθυστέρησης ομάδας να είναι οι αντίστροφες απ αυτές του Παραδείγματος. Πράγματι, για r =.86 και θ =.955, έχουμε τις αποκρίσεις του Σχήματος 6.5. Ολη η παραπάν συζήτηση μας υποδεικνύει ότι όταν ενας πόλος είναι κοντά στο μοναδιαιο κύκλο, το πλάτος αυξάνεται γρήγορα ενώ η φάση μικραίνει γρήγορα όταν περνάμε κοντά απ αυτον τον πόλο. Ομοια, όταν ένα μηδενικό είναι κοντά στο μοναδιαιο κύκλο, το πλάτος μειώνεται γρήγορα, ενώ η φάση μεγαλώνει γρήγορα όταν περνάμε κοντά απ αυτό το μηδενικό. Επειδή η καθυστέρηση ομάδας (group delay) είναι η αρνητική παράγγος της φάσης, αυτό σημαίνει ότι η καθυστέρηση ομάδας είναι μεγάλη και θετική κοντά σε έναν πόλο, και μεγάλη και αρνητική κοντά σε ένα μηδενικό. Φυσικά, όλη αυτή η γεμετρική ανάλυση και η ακρίβειά της δυσκολεύει όσο μεγαλώνει ο αριθμός τν πόλν και τν μηδενικών. 6.5 Σχέση Πλάτους και Φάσης Μετά από όλη αυτή τη συζήτηση περί φασμάτν πλάτους και φάσης ενός ΓΧΑ συστήματος, θα μπορούσε κάποιος να αναρτηθεί: υπάρχει κάποια σχέση μεταξύ φάσματος πλάτους και φάσματος φάσης; Μπορεί να βρεθεί το ένα από το άλλο, μονοσήμαντα; Κι αν ναι, πότε; Κατ αρχάς πρέπει να αναγνρίσουμε ότι οι ερτήσεις αυτές είναι ενδιαφέρουσες. Επειτα, ας προσπαθήσουμε να μελετήσουμε αν κάτι τέτοιο μπορεί να συμβεί - η απάντηση θα είναι έκπληξη στο τέλος! Εν γένει, το φάσμα πλάτους δε μας δίνει κάποια πληροφορία για το φάσμα φάσης, και το αντίστροφο. Ομς, μιλώντας για ΓΧΑ συστήματα, αν γνρίζουμε πόσους πόλους και πόσα μηδενικά έχει ένα σύστημα, καθώς και την απόκριση πλάτους H(e j ), τότε έχουμε πεπερασμένου πλήθους επιλογές για την απόκριση φάσης. Ομοια ακριβώς, αν γνρίζουμε πόσους πόλους και πόσα μηδενικά έχει ένα σύστημα, καθώς και την απόκριση φάσης H(e j ), τότε έχουμε πεπερασμένου πλήθους επιλογές για την απόκριση πλάτους! Κι ακόμα, αν το σύστημα έχει έναν περιορισμό ο οποίος ονομάζεται ελάχιστη φάση - minimum phase, τότε μπορεί μονοσήμαντα να οριστεί η απόκριση φάσης από την απόκριση πλάτους, ενώ και η απόκριση φάσης μπορεί να ορίσει την απόκριση πλάτους σχεδόν μονοσήμαντα (με διαφορά μιας σταθεράς)! Ας δούμε αρχικά γιατί δεν μπορεί να οριστεί μονοσήμαντα η συνάρτηση μεταφοράς από την απόκριση πλάτους, με άλλα λόγια, πόσες πιθανές συναρτήσεις μεταφοράς υπάρχουν. Η μελέτη μας θα γίνει μέσ διαγραμμάτν πόλνμηδενικών, αφού στην ουσία μέσ της γνώσης αυτών ορίζεται (σχεδόν μονοσήμαντα) η συνάρτηση μεταφοράς H(z).

21 Κεφάλαιο 6. Συστήματα στο χώρο του Z και της συχνότητας 5 Magnitude for two conjugate zeros Magnitude 5 6 Frequency () Phase for two conjugate zeros Radians Frequency () Group Delay for two conjugate zeros Samples Frequency () Σχήμα 6.5: Φάσμα Πλάτους, Φάσμα Φάσης, και Καθυστέρηση Ομάδας Συστήματος Δεύτερης Τάξης με δυο συζυγή μηδενικά. Ας εκφράσουμε το H(e j ) ς H(e j ) = H(e j )H (e j ) = H(z)H (/z ) z=e j (6.95) Αυτό σημαίνει ότι το τετράγνο της απόκρισης πλάτους είναι η εκτίμηση επάν στο μοναδιαίο κύκλο του μετασχ. Ζ ( C(z) = H(z)H (/z b ) M k= ) = ( b kz )( b k z) a N k= ( a kz )( a k z) (6.96) αν θερήσουμε ότι η H(z) είναι μια ρητή συνάρτηση μεταφοράς, όπς την έχουμε δει τόσες φορές, δηλ. H(z) = b N k= ( b kz ) a M k= ( a kz ) (6.97) Άρα H (/z ) = b N k= ( b k z) a M k= ( a k z) (6.98) Οπότε αν μας δθεί το H(e j ), και αντικαταστήσουμε z = e j, μπορούμε να βρούμε το C(z) = H(z)H (/z ). Από το C(z) θέλουμε να μάθουμε όσα μπορούμε περισσότερα για το H(z). Παρατηρώντας τη Σχέση (6.96), βλέπουμε ότι για κάθε πόλο a k του H(z), έχουμε έναν πόλο a k κι έναν πόλο (a k ) στο C(z). Αντίστοιχα, βλέπουμε ότι για κάθε μηδενικό b k του H(z), έχουμε ένα μηδενικό b k κι ένα μηδενικό (b k ) στο C(z). Αυτό μας δείχνει ότι οι πόλοι και τα μηδενικά έρχονται σε συζυγή αμοιβαία ζεύγη στο C(z). Παρατηρήστε ότι το ένα Συζυγές αμοιβαίο θα λέμε το ζεύγος πόλν ή μηδενικών που τα στοιχεία του ζεύγους βρίσκονται σε θέσεις z = re jθ το ένα και

22 5 Μια εισαγγή στα Σήματα και Συστήματα στοιχείο ενός αμοιβαίου συζυγούς ζεύγους σχετίζεται με το H(z), ενώ το άλλο με το H (/z ). Επιπλέον, αν το ένα στοιχείο του ζεύγους βρίσκεται εντός του μοναδιαίου κύκλου, τότε το άλλο βρίσκεται εκτός (στην αμοιβαία συζυγή θέση) 5. Αν υποθέσουμε ότι το H(z) είναι ευσταθές και αιτιατό, τότε όλοι οι πόλοι του θα είναι εντός του μοναδιαίου κύκλου. Με αυτόν τον περιορισμό, μας είναι εύκολο να ξεχρίσουμε τους πόλους του H(z) από το C(z). Ομς χρίς να ξέρουμε τίποτα για τα μηδενικά, δεν μπορούμε να βρούμε τα μηδενικά του H(z) από το C(z), κι έτσι να ορίσουμε μονοσήμαντα το H(z). Ας το δούμε αυτό σε ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Εστ δυο ευσταθή συστήματα με συναρτήσεις μεταφοράς H (z) = H (z) = ( z )( +.5z ) (.8e jπ/ z )(.8e jπ/ z ) ( z )( + z ) (.8e jπ/ z )(.8e jπ/ z ) (6.99) (6.) Τα διαγράμματα πόλν-μηδενικών τν δυο αυτών συστημάτν φαίνονται στο Σχήμα 6.6. Ας σχηματίσουμε το C(z) για κάθε σύστημα. Είναι Σχήμα 6.6: Διαγράμματα πόλν-μηδενικών τν H (z) και H (z) αντίστοιχα. C (z) = C (z) = ( z )( +.5z ) ( z)( +.5z) (.8e jπ/ z )(.8e jπ/ z ) (.8e jπ/ z(.8e jπ/ z) ( z )( + z ) ( z)( + z) (.8e jπ/ z )(.8e jπ/ z ) (.8e jπ/ z)(.8e jπ/ z) (6.) (6.) Ομς ο αριθμητής του C (z) είναι ( +.5z )( +.5z)( z )( z) = ( + z )( + z)( z )( z) (6.) δηλ. ίσος με τον αριθμητή του C (z). Οι παρονομαστές είναι επίσης ίδιοι, άρα τελικά C (z) = C (z), με διάγραμμα πόλν-μηδενικών όπς στο Σχήμα (6.7)! Οι συναρτήσεις μεταφοράς H (z), H (z) στο παραπάν παράδειγμα διαφέρουν μόνο στη θέση τν μηδενικών. Στο παράδειγμα αυτό, ο όρος ( +.5z ) = (z + ) συνεισφέρει το ίδιο στο τετράγνο της απόκρισης πλάτους με τον όρο ( + z ), και κατά συνέπεια, οι αποκρίσεις πλάτους z = r ejθ το άλλο. 5 Εκτος κι αν βρίσκονται στην ίδια θέση, επάν στο μοναδιαίο κύκλο.

23 Κεφάλαιο 6. Συστήματα στο χώρο του Z και της συχνότητας 55 Σχήμα 6.7: Διάγραμμα πόλν-μηδενικών του C (z) = C (z). H (e j ) και H (e j ) είναι ίσες. Ομς, οι αποκρίσεις φάσεις αυτών τν δυο φασματικών αποκρίσεν είναι διαφορετικές. Οπότε καταλαβαίνουμε ότι ένα συγκεκριμένο C(z) δεν μπορεί να αντιστοιχιστεί μονοσήμαντα σε ένα H(z), ή με άλλα λόγια, δεν μπορούμε μονοσήμαντα να βρούμε το H(z) από το C(z). Κάποιος θα μπορούσε όμς να πει ότι υπάρχουν πεπερασμένες επιλογές για τα πιθανά H(z) που μπορούν να προκύψουν από ένα δεδομένο C(z), οπότε ίσς αυτές οι επιλογές - αν βρεθούν - να αρκούν. Ας δούμε αν είναι έτσι. Παράδειγμα: Εστ ότι μας δίνουν ένα διάγραμμα πόλν-μηδενικών για το C(z), όπς στο Σχήμα 6.8. Ας προσπαθήσουμε να βρούμε τους πόλους και τα μηδενικά του H(z). Γνρίζουμε ότι οι πόλοι και τα μηδενικά που αποτελούν στοιχεία συζυγών αμοιβαίν ζευγών θα ανήκουν το ένα στο H(z) και το άλλο στο H (/z ). Τα ζεύγη αυτά είναι: P P := (p, p ) (6.) P P := (p, p 5 ) (6.5) P P := (p, p 6 ) (6.6) ZP := (z, z ) (6.7) ZP := (z, z 5 ) (6.8) ZP := (z, z 6 ) (6.9) με P P x τα ζεύγη πόλν και ZP x τα ζεύγη μηδενικών. Προφανώς αν δεν έχουμε καμία άλλη πληροφορία για το H(z), υπάρχουν πολλοί τρόποι να αντιστοιχίσουμε πόλους και μηδενικά σε αυτό. Αν όμς γνρίζουμε ότι το H(z) είναι ευσταθές και αιτιατό, τότε ξέρουμε ότι οι πόλοι που θα διαλέξουμε από κάθε ζεύγος P P x θα πρέπει να είναι εντός του μοναδιαίου κύκλου. Άρα επιλέγουμε τους p, p, p. Ομς δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός για τα μηδενικά όταν μιλάμε για ευσταθή και αιτιατά συστήματα. Μπορούμε όμς να θερήσουμε ότι οι συντελεστές c k, d k της εξίσσης διαφορών που περιγράφει το σύστημα H(z) είναι πραγματικοί. Αυτό σημαίνει ότι οι πόλοι και τα μηδενικά έρχονται σε συζυγή ζεύγη ή είναι πραγματικοί αριθμοί. Με αυτόν τον περιορισμό, τα μηδενικά (τους πόλους τους διαλέξαμε ήδη) του H(z) μπορούν να είναι: z ή z 6 (6.) (z, z ) ή (z, z 5 ) (6.) Ετσι, έχουμε συνολικά τέσσερα διαφορετικά συστήματα H i (z), i =,,, που είναι ευσταθή και αιτιατά, με πραγματικούς συντελεστές, και τρεις πόλους και τρια μηδενικά το καθένα, τν οποίν το διάγραμμα πόλν-μηδενικών

24 56 Μια εισαγγή στα Σήματα και Συστήματα Σχήμα 6.8: Διάγραμμα πόλν-μηδενικών του C(z). του C(z) τους είναι αυτό του Σχήματος 6.8, και κατά συνέπεια, το φάσμα πλάτους τους, H i (e j ) είναι το ίδιο για όλα. Φαίνεται ς τώρα λοιπόν ότι ακόμα κι αν δε γνρίζουμε πόσους πόλους ή πόσα μηδενικά έχει ένα σύστημα H(z), μπορούμε να βρούμε πεπερασμένου πλήθους H i (z) από ένα δοθέν C(z), αν υποθεσουμε κάποια πράγματα για την ευστάθεια ή αιτιατότητα ή αν έχουμε κάποια άλλη πληροφορία, τα οποία όλα να έχουν ίδιο φάσμα πλάτους H i (e j ) αλλά διαφορετικό φάσμα φάσης arg[h i (e j ]. Άρα μήπς απαντήσαμε στο αρχικό μας ερώτημα μπορώ να βρ γενικά το H(z), και άρα το H(e j ), από το C(z) = H(z) ; Η απάντησή μας ς τώρα είναι Ναι, αλλά όχι μονοσήμαντα, υπάρχουν όμς πεπερασμένου πλήθους συστήματα που έχουν ίδιο H(e j ). Κάτι είναι κι αυτό, αν ισχύει. :-) Προσέξτε - δυστυχώς :-( - όμς το εξής. Αν ένα H(z) από αυτά τα τέσσερα που βρήκαμε έχει έναν όρο της μορφής δηλ. μπορεί να γραφεί ς τότε αν βρούμε το C(z) ξανά, είναι γιατί H ap (z) = z a az (6.) H(z) = H (z)h ap (z) = H (z) z a C(z) = H(z)H (/z ) = H (z) z a ( az H (/z ) z a H ap (z)h ap(/z ) = az (6.) az ) = H (z)h (/z ) (6.) ( z a ) ( z a ) az az = z a z a a z az = a z az + a az a z + a = (6.5) Αυτο τι σημαίνει;; Σημαίνει ότι το H(z) και H (z) έχουν το ίδιο C(z), και άρα το ίδιο H(e j )! Αυτό συμβαίνει

25 Κεφάλαιο 6. Συστήματα στο χώρο του Z και της συχνότητας 57 γιατί ο όρος H ap (z) ακυρώνεται στο C(z), λόγ της παρουσίας του όρου H ap(/z ) = z a a z (6.6) και άρα ο πόλος z = /a και το μηδενικό z = a του H ap (z) δεν εμφανίζονται ποτέ στο διάγραμμα πόλνμηδενικών του C(z)!! Ετσι, αν ο αριθμός τν πόλν και τν μηδενικών του H(z) δε μας ειναι γνστός, δεδομένου ενός C(z), υπάρχουν άπειρες επιλογές H(z), γιατί για κάθε ένα H(z) που μπορεί κανείς να βρει, μπορεί να θερήσει ότι υπάρχουν άπειροι όροι της μορφής H ap (z) = z a az (6.7) πολλαπλασιασμένοι με το H(z) που βρέθηκε, οι οποίοι δε φαίνονται στο διάγραμμα πόλν-μηδενικών του C(z), λόγ της ακύρσής τους με τους πόλους και τα μηδενικά του όρου H ap(/z ) = z a a z (6.8) Το ενδιαφέρον στην υπόθεση είναι ότι αυτοί οι όροι H ap (z) έχουν μοναδιαία απόκριση πλάτους, όπς θα δούμε σύντομα, δηλ. H ap (e j ) =, (6.9) Είναι αρκετά εύκολο να το δείξετε. Άρα όλα αυτά τα διαφορετικά H i (z) που μπορούν να βρεθούν λόγν τν διαφορετικών H ap (z) που μπορεί να υπάρχουν ς όροι τους, θα έχουν φασματική απόκριση H(e j ) με ίδιο πλάτος αλλά με διαφορετική φάση το καθένα, λόγ της επίδρασης της φάσης του όρου H ap (z) 6. Οπότε τελικά, η απάντηση στο ερώτημα μπορώ να βρ γενικά το H(z), και άρα το H(e j ), από το C(z) = H(z) ; είναι ΟΧΙ, δεν μπορεί να βρεθεί μονοσήμαντα το H(z) από το C(z), υπάρχουν άπειρες πιθανές επιλογές για το H(z), οι οποίες γίνονται πεπερασμένες αν γνρίζουμε το πλήθος τν πόλν και τν μηδενικών του H(z). Φυσικά, αυτοί οι περίφημοι όροι H ap (z) δε θα μπορούσαν να μην έχουν το δικό τους όνομα. Τέτοια συστήματα ονομάζονται all-pass συστήματα, και θα τα μελετήσουμε αμέσς τώρα. 6.6 All-pass Συστήματα Ενα all-pass σύστημα (όπς προδίδει και το όνομά του :-) ) έχει απόκριση σε συχνότητα που έχει σταθερο πλάτος, δηλ. H(e j ) =, (6.) δηλ. ένα all-pass σύστημα αφήνει αμετάβλητο το πλάτος του σήματος που δέχεται στην είσοδό του. Αυτή η ιδιότητα επιβάλλει τον περιορισμό στους πόλους και τα μηδενικά της συνάρτησης μεταφοράς να βρίσκονται σε συζυγή αμοιβαια ζευγη: H(z) = N k= z a k a k z (6.) Ετσι, αν το H(z) έχει έναν πόλο στη θέση z = a k, πρέπει να εχει κι ένα μηδενικό στη συζυγή αμοιβαια θέση z = /a k. Αν η h[n] είναι πραγματική, οι μιγαδικές ρίζες στην παραπάν σχέση έρχονται σε συζυγή ζευγη, και αν συνδυάσουμε αυτά τα ζευγη για να πάρουμε παράγοντες δευτερης τάξης, θα έχουμε H(z) = A N k= z b k b k z N k= (z d k )(z d k ) ( d k z )( d k z ) (6.) με συντελεστές b k πραγματικούς και d k μιγαδικούς, και τη σταθερά A πραγματικό αριθμό. Αν ένα all-pass σύστημα ειναι ευσταθές και αιτιατο, έχει προφανώς ολους τους πόλους του εντος του μοναδιαίου κύκλου, a k <. 6 Του οποιου τη φάση δεν έχουμε μελετήσει αλλά σας λέμε τώρα ότι είναι μη μηδενική :-)