ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

Transcript

1 ΚΕΦΛΙΟ 9 Ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Θεώρημα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα. ηλαδή πόδειξη Έστω ορθογώνιο τρίγωνο και η προβολή της κορυφής στην υποτείνουσα. Τα τρίγωνα και είναι όμοια γιατί έχουν: A είναι κοινή γωνία των τριγώνων Επομένως ισχύει η αναλογία AB ΣΧΟΛΙΟ Το ίχνος της καθέτου που φέρουμε από το προς την ονομάζεται ορθή προβολή ή απλώς προβολή του στην Πόρισμα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσος με το λόγο των προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα. ηλαδή

2 πόδειξη Έστω ορθογώνιο τρίγωνο και η προβολή της κορυφής στην υποτείνουσα. Ισχύουν οι σχέσεις: και. ιαιρώντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη προκύπτει: B B Θεώρημα (Πυθαγόρειο) Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. πόδειξη Έστω ορθογώνιο τρίγωνο και η προβολή της κορυφής στην υποτείνουσα. Θα αποδείξουμε ότι: AB + Ισχύουν οι σχέσεις:

3 3 και. Προσθέτοντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη προκύπτει: + + (Λ + ). Θεώρημα 3 (ντίστροφο Πυθαγορείου) ν σε τρίγωνο ισχύει +, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με A L. πόδειξη Έστω τρίγωνο και ορθή γωνία xôy. Πάνω στις πλευρές Ox, Oy ορθής γωνίας xôy θεωρούμε αντίστοιχα τμήματα Ο και ΟΕ. Επειδή το τρίγωνο ΟΕ είναι ορθογώνιο σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα και την υπόθεση, έχουμε: Ε Ο + ΟΕ +. Άρα Ε. Επομένως τα τρίγωνα και ΟΕ είναι ίσα, γιατί έχουν και τις τρεις πλευρές ίσες, οπότε θα είναι A Ô ηλαδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με A L.

4 Θεώρημα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών του στην υποτείνουσα. ηλαδή πόδειξη Έστω ορθογώνιο τρίγωνο και η προβολή της κορυφής στην υποτείνουσα. Τα τρίγωνα και είναι όμοια, αφού είναι ορθογώνια και A ως συμπληρωματικές της. Επομένως,.

5 5 Λυμένα Θέματα. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â ) φέρουμε το ύψος. ν είναι 3 και, να υπολογιστούν τα μήκη των τμημάτων,, και ν σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â ) είναι ˆB ˆ τότε ο λόγος είναι ίσος με: α. β. γ. 3 δ. ε. 3. Κυκλώστε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση και αιτιολογήστε την απάντησή σας ˆB + ˆ 90 ο ˆ + ˆ 90 ο γ β 3 ˆ 90 ο () ˆ 30 ο γ

6 6 Πυθαγόρειο: 3 β 3 () (), () Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â ) φέρουμε το ύψος. ν είναι 5 και B 5, να διατάξετε κατά αύξουσα σειρά μήκους τα τμήματα, 3, και () () (3) () (), (), (3), () < < <

7 7 ποδεικτικές σκήσεις. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο, που έχει πλευρές α, β κλ και γ, όπου κ, λ θετικοί ακέραιοι με κ > λ, είναι ορθογώνιο. Παρατηρούμε ότι άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.. ν Ε, Ζ είναι αντίστοιχα οι προβολές δύο χορδών και ενός κύκλου σε μία διάμετρό του, να αποδείξετε ότι Ζ. Ε.. Φέρουμε τις,. ˆ (βαίνει σε ημικύκλιο) Ε O Ζ τρ. ορθογώνιο με ύψος Ε. Ε Ζ. Ζ.. Ε () Ομοίως στο τρ. θα έχουμε Ε. Ε..Ζ () πό τις (), () Ζ. Ε..

8 8 3. ν είναι μέσο της κάθετης πλευράς ενός ορθογωνίου τριγώνου ( Â ) και Ε η προβολή του στη, τότε να αποδείξετε ότι E + συνέχεια διατάξτε κατά αύξουσα σειρά μήκους τα τμήματα, Ε, Ε.. Στη Ε Φέρουμε τη (για να έχουμε κι άλλα ορθογώνια Τρ.Ε: Τρ.: E τρίγωνα) Προσθέτουμε κατά μέλη, και επειδή, έχουμε E +. () Τρ.Ε: () E +. πό την ισότητα που αποδείξαμε προκύπτει ότι Ε < Ε. πό το ορθογώνιο τρίγωνο Ε προκύπτει ότι Ε <. Άρα Ε < Ε <.. ύο ορθογώνια τρίγωνα και ( Â Â ) έχουν. Να αποδείξετε ότι: i) α α ii) β β. και Τι συμπεραίνετε για τα και. ' Τρ.: ' ' E E' ' Τρ.Ά :

9 9 Άρα (). Ομοίως, από τα τρίγωνα Ε, ΆΈ θα έχουμε (). Προσθέτουμε κατά μέλη τις (), (): (3) () (3) 3 3 Άρα τρ. τρ.. 5. Σε ισοσκελές τρίγωνο ( ) φέρουμε το ύψος του Ε. Να αποδείξετε ότι 3. Τρ.Ε: + Τρ.Ε: + Ε Άρα + + ( + )

10 0 Θέματα για.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με 90 ο και το ύψος του για το οποίο ισχύουν 5 και.να βρείτε τα μήκη και..ν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές με 90 ο,να δείξετε ότι: α β 3.Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ορθογώνιο. A x y B x y ν ισχύουν Κχ,χ,Λy και Κy,να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛ είναι ορθογώνιο..ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο,με 90 ο,και έστω το ύψος του.ν ισχύουν - και 3,να βρείτε: α)τα μήκη των τμημάτων και, β)τα μήκη των πλευρών και. 5.ίνεται κύκλος (Ο,R) και μία διάμετρος αυτού.πό το σημείο του κύκλου φέρνουμε την κάθετη στη.ν 0 και,να αποδείξετε 5. 6.Οι διαγώνιες και ενός κυρτού τετραπλεύρου είναι κάθετες.να αποδείξετε ότι: ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο,με 90 ο,και τυχαίο σημείο της πλευράς.πό το φέρουμε ευθεία παράλληλη στη,που τέμνει την στο Ε.Να αποδείξετε ότι: +Ε Ε +

11 Θεώρημα ΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΥΘΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΤΟΣ Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή. ηλαδή α β + γ β. πόδειξη Έστω τρίγωνο με γωνία οξεία και το ύψος του. Στα ορθογώνια τρίγωνα, εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε : α + () γ + γ () ν <, τότε είναι β και από τις ισότητες () και () έχουμε: α + γ - + γ +( β ) γ + β + -β β + γ β. αν > τότε είναι β και από τις ισότητες () και () έχουμε: α + γ + γ +( β) γ + β + β β + γ β.

12 αν τέλος, το συμπίπτει με το και το ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει β Τότε β + γ β β + γ β γ β α Θεώρημα Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αμβλεία γωνία είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, αυξημένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή. ηλαδή α β + γ + β πόδειξη Έστω τρίγωνο με γωνία αμβλεία και το ύψος του. Στα ορθογώνια τρίγωνα, εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε : α + () γ + γ () Επειδή A > έχουμε β + οπότε από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει: α + γ + γ + ( β + ) γ + β + + β β + γ + β

13 3 ΣΧΟΛΙ. Σε κάθε τρίγωνο ισχύουν οι ισοδυναμίες: (i) α > β + γ > (ii) α β + γ (iii) α < β + γ < Επειδή σε κάθε τρίγωνο η μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται απέναντι στη μεγαλύτερη γωνία, συγκρίνοντας το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς ενός τριγώνου με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων πλευρών του, διαπιστώνουμε αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο.. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει η σχέση: α β + γ βγ συν. (ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ)

14 Λυμένα Θέματα σκήσεις Εμπέδωσης. Να εξετάσετε αν υπάρχει τρίγωνο με α 6μ, β 5μ, γ μ, όπου μ θετική παράμετρος. Να εξετασθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. ια να υπάρχει τρίγωνο με πλευρές α, β, γ πρέπει και αρκεί 5 6 5, μ < 6μ < 9μ, που ισχύει. Άρα 36 υπάρχει τέτοιο τρίγωνο. 5 6 Άρα ˆ οξεία. Η γωνία ˆ βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά α, άρα είναι η μεγαλύτερη γωνία του τριγώνου. Και επειδή αυτή είναι οξεία, θα είναι και οι άλλες. Άρα το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.. Υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών α 6, β 5, γ ; ν ναι, να υπολογισθούν τα ύψη του τριγώνου. ια να υπάρχει τρίγωνο με πλευρές α, β, γ πρέπει και αρκεί < 6 < 9, που ισχύει. Άρα υπάρχει τέτοιο τρίγωνο.

15 Ομοίως και ίνεται τρίγωνο με, 3,. Να υπολογισθεί η γωνία ˆ.. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 ˆ 30 ο.. ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με, 5 και ˆ 30 ο, όπου το ύψος του. Να υπολογισθεί η πλευρά του.

16 6 Στο τρίγωνο θα έχουμε. ˆ ˆ 60 ο ποδεικτικές σκήσεις. 0 Οι πλευρές ενός τριγώνου έχουν μήκη 9, 7 και. Να υπολογισθεί το μήκος της προβολής της πάνω στην. η προβολή της πάνω στην Άρα > ˆ αμβλεία. Άρα

17 7. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τραπέζιο με βάσεις, ισχύει ότι + +. Έστω ˆ, ˆ οξείες. Φέρουμε Κ και Λ κάθετες στη. Κ Λ Τρ.: +. Κ Τρ.: +. Λ Προσθέτουμε κατά μέλη: + +. Κ. Λ ( Κ Λ) +. ΚΛ () ΛΚ ορθογώνιο ΚΛ () ν, είναι ύψη ενός οξυγωνίου τριγώνου, να αποδείξετε ότι β + γ. + β γ α β + γ Προσθέτουμε κατά μέλη

18 ( β + γ ) ( β + γ ) β + γ. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ ). Προεκτείνουμε την πλευρά κατά. Να αποδείξετε ότι.. Τρ.: ( + ) ( + ). 5. Σε ισοσκελές τρίγωνο ( ) φέρουμε παράλληλη της, που τέμνει τις και στα και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι +. Ε. Φέρουμε Κ, ΕΛ κάθετες στη. Ε Στο τρίγωνο Ε έχουμε K Λ +. Λ

19 9 + ( Λ) () τρ.κ τρ.ελ Κ Λ. Άρα Λ Λ Κ ΚΛ Ε () +. Ε. 6. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ ) με πλευρές α, β, γ. Υπάρχει τρίγωνο με πλευρές 5,, 3 ; Ορθογώνιο τρίγωνο + Πρέπει να ισχύει 5 < < 3 5 < 6 + βγ ( + ) < 6 + βγ < 6 + βγ βγ < που είναι αδύνατο. Άρα δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο.

20 0 Θέματα για.α)να αποδείξετε ότι υπάρχει τρίγωνο με πλευρές α9,β6 και γ5. β)ια το παραπάνω τρίγωνο : ι)να βρείτε το είδος του ως προς τις γωνίες. ιι)να βρείτε το μήκος της προβολής της πλευράς πάνω στη. ιιι) Να βρείτε το μήκος της προβολής της πλευράς πάνω στη..ίνεται τρίγωνο,με α 6,γ και 30 ο.να βρείτε: α)το μήκος της πλευράς β β)τη γωνία 3. ίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει ότι : α)να βρείτε τη γωνία β)στο σημείο φέρουμε ευθεία κάθετη στην,που τέμνει τη στο σημείο.να αποδείξετε ότι: + -.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο με.προεκτείνουμε τη βάση κατά τμήμα.να αποδείξετε ότι : + 5.ίνεται τρίγωνο με 5 ο και αγ-β. Να βρείτε τη γωνία. 6.ίνεται οξυγώνιο και ισοσκελές τρίγωνο,με,και έστω ύψος του.προεκτείνουμε την πλευρά κατά τμήμα Ε.Να αποδείξετε ότι: Ε 5-7. ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο,με <,και τυχαίο σημείο της πλευράς.ν Ε και Ζ είναι οι προβολές των και αντίστοιχα στη,να αποδείξετε ότι: ΕΖ

21 ΘΕΩΡΗΜΤ ΙΜΕΣΩΝ Θεώρημα ( ο Θεώρημα ιαμέσων) Το άθροισμα των τετραγώνων δυο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της διαμέσου που περιέχεται μεταξύ των πλευρών αυτών, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς. ηλαδή β + γ μ α α + πόδειξη Έστω τρίγωνο, η διάμεσος του AM μ α και το ύψος του. ν >, τότε το ίχνος του ύψους υ α βρίσκεται μεταξύ των, Μ και είναι Μ >, ενώ Μ >. Στα τρίγωνα Μ και Μ έχουμε: β μ α + γ μ α + + Μ Μ Προσθέτοντας κατά μέλη αυτές τις σχέσεις έχουμε: β + γ μ α + β + γ μ α α +

22 Θεώρημα ( ο Θεώρημα ιαμέσων) Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαμέσου πάνω στην πλευρά αυτή. ηλαδή β γ αμ πόδειξη Έστω τρίγωνο, η διάμεσος του AM μ α και το ύψος του. ν >, τότε το ίχνος του ύψους υ α βρίσκεται μεταξύ των, Μ και είναι Μ >, ενώ Μ > Στα τρίγωνα Μ και Μ έχουμε: β μ α + γ μ α + + Μ Μ φαιρώντας κατά μέλη αυτές τις σχέσεις έχουμε: β γ Μ ( Μ) β γ Μ β γ αμ

23 3 ΣΧΟΛΙ Μπορούμε να υπολογίσουμε τα τετράγωνα των διαμέσων ενός τριγώνου ως συνάρτηση των πλευρών του α, β, γ με την βοήθεια του πρώτου θεωρήματος των διαμέσων ως εξής: β + γ μ α α + β + γ μ α + α μ α β + γ α μ α και με κυκλική εναλλαγή των α, β και γ έχουμε για τις άλλες διαμέσους τις σχέσεις μ β και μ γ

24 Λυμένα Θέματα σκήσεις Εμπέδωσης. Σε τρίγωνο έχουμε β 7, γ 6 και 7. Να υπολογισθούν i) η πλευρά α ii) η προβολή της διαμέσου στη. i) Άρα α ii)έστω x η προβολή της διαμέσου στη. α x x 9 36 x 3 x x 3. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει + βγ > ρκεί να αποδείξουμε ότι + βγ >

25 5 ή ότι ή ότι ή ότι + βγ > + βγ > + βγ > ή ότι ή ότι β + γ > α που ισχύει από την τριγωνική ανισότητα. 3. ίνεται κύκλος (Ο, R), μια διάμετρός του και έστω, τα μέσα των Ο και Ο αντίστοιχα. ν υπολογισθεί η ακτίνα του κύκλου. + 5, όπου Μ τυχαίο σημείο του κύκλου, να M Στο τρ.μ : + + O 5 R + R 0 R + R 0 5 R R R. ίνεται τρίγωνο και έστω Θ το βαρύκεντρό του. Να αποδείξετε ότι: i) ( + + ) ii) ( + + ) i)

26 6 ( + + ) ( ) 3 ( + + ). ii)θ 3 9 και κυκλικά ( + + ) 9 3 ( + + ) 3 ( + + ποδεικτικές σκήσεις. ίνεται τρίγωνο με ˆ 60 ο, β 5, γ 3. Να υπολογισθεί η διάμεσός του. + - βγ συν ˆ συν60 ο Άρα 7

27 7. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( ) και τυχαίο σημείο της. Να αποδείξετε ότι. Έστω Μ το μέσο της και Κ. ο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο : K M. δειχθεί ότι. ΜΚ ΜΚ. Μ. -. ΜΚ. ρκεί να ΜΚ.. ΜΚ. που ισχύει από θεώρημα Θαλή, αφού Κ Μ. 3. i) ν ορθογώνιο και Μ τυχαίο σημείο, να αποδείξετε ότι MA + M M + M ii) ν τετράγωνο και σημείο Μ στο εσωτερικό του, ώστε Μ, Μ και Μ 3, να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου. i) Μ Φέρουμε τις διαγώνιες,, οι οποίες Ο διχοτομούνται στο Ο. τρ.μ: MA + M M + τρ.μ: M + M M +

28 8 Τα δεύτερα μέλη είναι ίσα, άρα και τα πρώτα. ii) i) MA + M M + M Μ M M 3 M Έτσι είναι Μ Μ, άρα το Μ είναι σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος,δηλαδή σημείο της διαγωνίου. Έστω α η πλευρά του τετραγώνου. Τότε α + 3 α α 3.. ν Μ, Ν είναι τα μέσα των διαγωνίων, ενός τετραπλεύρου, να αποδείξετε ότι (Θεώρημα Euler) Τρ. με διάμεσο Ν: N M Τρ. με διάμεσο Ν: + Προσθέτουμε κατά μέλη ( + ) + () τρ.ν διάμεσο ΝΜ : + + () ( + )

29 9 5. Στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου θεωρούμε τα σημεία και Ε τέτοια, ώστε Ε Ε. Να αποδείξετε ότι Μ μέσο του Ε άρα και της α Τρ.Ε με διάμεσο Μ: M Ε + αλλά Μ και Ε. Άρα ν σε τρίγωνο ισχύει +, να υπολογισθεί η γωνία ˆ. Είναι + + Η υπόθεση + γίνεται ˆ 90 ο 0 0 0

30 30 Θέματα για.σε ένα τρίγωνο έχουμε α5,β και γ. α)να εξετάσετε το είδος της γωίας του τριγώνου, β)να υπολλογίσετε τη διάμεσο μ α του τριγώνου..τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου είναι 6, και 8. α)να αποδείξετε ότι το τρίγωνο αυτό είναι αμβλυγώνιο, β)να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου Μ, γ)να υπολολγίσετε το μήκος της προβολής της διαμέσου Μ στην πλευρά. 3. Σε ένα τρίγωνο έχουμε α7,β3 και μ α 9 Να βρείτε: α)το μήκος της πλευράς γ, β)τη γωνία, τη προβολή της διαμέσου Ν πάνω στην..ίνεται τρίγωνο,με 3, και γωνία 30 ο. α)να αποδείξετε ότι 7, β)να υπολογίσετε τη διάμεσο Μ 5.Θεωρούμε τρίγωνο, στο οποίο ισχύει ότι μ α βγ και βγ+3 μήκος της πλευράς α..να βρείτε το 6. ίνεται τρίγωνο,η διάμεσός του Μ και έστω Ν το μέσο του Μ.Να αποδείξετε ότι: Ν β +γ -3α 6 7.ν σε ένα τρίγωνο ισχύει: μ β +μ γ 5μ α να δείξετε ότι είναο ορθογώνιο.

31 3 8. ίνεται τρίγωνο με 0 ο. α)να αποδείξετε ότι α β +γ +βγ β)ν επιπλέον ισχύει βγ,να αποδείξετε ότι η διάμεσος μ α είναι ίση με γ 3 9. ίνεται τρίγωνο για το οποίο ισχύει: μ α -βγ α α)να αποδείξετε ότι α β +γ -βγ γ)να υπολολγιστεί η γωνία. 0.ίνεται τρίγωνο και οι διάμεσοι του Λ,Μ και Ν.ν Θ το βαρύκεντρο του τριγώνου, να αποδείξετε ότι: ΘΛ +ΘΜ +ΘΝ α + β + γ. Θεωρούμε τρίγωνο,το ύψος του Κ και σημεία και Ε της πλευράς,ώστε +ΕΕ,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. A B Κ Ε Να αποδείξετε ότι: α) +Ε 9β + 9γ - α 9 β) Ε - Κ - ΚΕ

32 3 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ Θεώρημα ν δυο χορδές, ενός κύκλου τέμνονται σε ένα σημείο Ρ εσωτερικό του κύκλου, τότε ισχύει: Ρ Ρ Ρ Ρ. πόδειξη Τα τρίγωνα Ρ και Ρ είναι όμοια, αφού οι γωνίες ΡA Ρ και Ρ Ρ (ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο). Επομένως ισχύει: PA P P PA Ρ Ρ Ρ Ρ Θεώρημα ν από ένα εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (O,R) φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΡΕ και μία ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία,, να αποδείξετε ότι ισχύει: ΡΕ Ρ Ρ πόδειξη Τα τρίγωνα ΡΕ και ΡΕ είναι όμοια γιατί έχουν: ΕΡ ΕΡ κοινή γωνία ΡΕ Ε από χορδή και εφαπτομένη

33 33 Επομένως ισχύει PE PB ΡΕ Ρ Ρ. PA PE ΣΧΟΛΙA A. ν από σημείο Ρ εκτός κύκλου φέρουμε την ευθεία ΡΟ που τέμνει τον κύκλο στα και και μια τυχαία τέμνουσα Ρ και θέσουμε ΟΡ δ, έχουμε: Ρ Ρ Ρ Ρ (δ R)(δ + R) δ R Όμοια αποδεικνύεται ότι Ρ Ρ R δ, αν το Ρ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου. Η διαφορά δ R λέγεται δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (O, R) και συμβολίζεται P (O,R) δ R B. ια οποιοδήποτε σημείο Ρ του επιπέδου του κύκλου έχουμε: το Ρ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου (O, R) το Ρ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου (O, R) το Ρ είναι σημείο του κύκλου (O, R) P (O,R) 0 P (O,R) > 0 P (O,R) < 0

34 3 Λυμένα Θέματα σκήσεις Εμπέδωσης. ίνεται κύκλος (Κ, 6) και σημείο, ώστε Κ. ν από το σημείο φέρουμε τέμνουσα που τέμνει τον κύκλο κατά χορδή 6, να υπολογίσετε το. Έστω x, τότε x + 6 AB. R Κ x (x + 6) 6 x 6x x 6x 60 0 () () x άρα x 0. ν σε τρίγωνο ο κύκλος, που διέρχεται από το και τα μέσα Μ, Ν των και αντίστοιχα, εφάπτεται της στο, να αποδείξετε ότι..

35 35 Φέρουμε το τμήμα ΜΝ. Μ Λ Ν Τότε ΜΝ και τέμνει το στο μέσο του Λ. Άρα ΜΛ και ΛΝ Λ, ΜΛΝ τέμνουσες του κύκλου Λ. Λ ΛΜ. ΛΝ Θεωρούμε κύκλο (Ο, R) και τις χορδές του, που τέμνονται στο Ρ. ν ισχύει ότι, να αποδείξετε ότι οι χορδές, είναι ίσες. Ρ, Ρ τέμνουσες Ρ. Ρ Ρ. Ρ Ρ πό υπόθεση έχουμε Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη: Ρ Ρ ιαιρούμε κατά μέλη: Ρ Ρ. Να αποδείξετε ότι, η προέκταση της κοινής χορδής δύο τεμνόμενων κύκλων διχοτομεί κάθε κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους.

36 36 Μ Η κοινή χορδή τέμνει το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα σε σημείο Μ. Είναι και M Μ. Μ M Μ. Μ Άρα M M Μ Μ ποδεικτικές σκήσεις. Τετράγωνο πλευράς α είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R). ν Ε είναι το μέσο της και η Ε προεκτεινόμενη τέμνει τον κύκλο στο Ζ, να αποδείξετε ότι: 5 i) BE, ii) BE 5EZ i) Ζ Ε Ο Πυθαγόρειο στο τρ.ε: BE ()

37 37 ii) EB. EZ EA. E 5 ΕΖ 5 ΕΖ ΕΖ () πό τις (), () BE 5EZ.. πό σημείο εκτός κύκλου (Ο, R) φέρουμε τέμνουσα και εφαπτόμενο τμήμα. ν η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει τις, στα Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι Ε. Ζ Ε. Ζ. Θ. διχοτόμων στο τρ.: Θ. διχοτόμων στο τρ.: Ε Ζ ημιουργούμε το γινόμενο Ε. Ζ πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη... () επειδή όμως τέμνουσα και εφαπτομένη, θα έχουμε.. ().. Ε. Ζ Ε. Ζ.

38 38 3. ν η διάμεσος Μ τριγώνου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε, να αποδείξετε ότι: i) AM. ME ii) + AM. AE. i) ΜΕ, Μ τέμνουσες MA. ME MB. M Μ MA. ME MA. ME Ε ii) ο Θ. διαμέσων: (i) + Μ. ΜΕ Μ (Μ + ΜΕ) Μ. Ε.. ίνεται κύκλος (Ο, R) και ευθεία ε που δεν τέμνει τον κύκλο. πό σημείο Μ της ε φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα Μ, Μ και Ο ε. ν η τέμνει την Ο στο Ν, να αποδείξετε ότι ΟΝ. Ο R.

39 39 Φέρουμε την ΟΜ, η οποία είναι μεσοκάθετος της. Κ O Ν Kˆ ˆ ΚΝΜ εγγράψιμο ΟΝ. Ο ΟΚ. ΟΜ () ε Μ Τρ.ΟΜ ορθογώνιο με ύψος Κ R ΟΚ. ΟΜ () (), () ΟΝ. Ο R. 5. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â ) εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R) και το ύψος του. ν μεταβλητή ευθεία ε που διέρχεται από το τέμνει το ύψος στο Μ και τον κύκλο στο Η, να αποδείξετε ότι Μ. Η. Φέρουμε την Η. Η Μ Ο ˆ αφού βαίνει σε ημικύκλιο, αλλά και ˆ, οπότε ΗΜ εγγράψιμο Μ. Η. () Τρ. ορθογώνιο με ύψος. () (), () Μ. Η.

40 0 Θέματα για.στο παρακάτω σχήμα: Θ Ε H A Z έχουμε τη χορδή και τέμνοσες ΖΕ και ΖΗΘ του κύκλου,για τις οποίες ισχύει 3,,Ε6,ΖΗ7 και ΗΘ5.Να βρείτε τα μήκη των τμημάτων και Ζ..ίνεται κύκλος (Ο,R) και μια ακτίνα του Ο.Προεκτείνουμε την Ο κατα τμήμα R.ν ισχύει (Ο,R)8,τότε να βρείτε: α)την ακτίνα R β)τη δύναμη του μέσου Μ του Ο ως προς τον κύκλο (Ο,R) 3.Στο παρακάτω σχήμα η χορδή του κύκλου (Κ,R) εφάπτεται στον κύκλο (Λ,ρ) στο σημείο. Ε Η Κ Λ Ζ Θ Εστω τυχαίο σημείο του κύκλου (Λ,ρ).ν Ε,Ζ είναι τα σημεία τομής του (Λ,ρ) με τα, αντίστοιχα και Η,Θ είναι τα σημεία τομής του (Κ,R) με την ευθεία,να αποδείξετε ότι: Θ Η Ε Ζ

41 .ίνεται κύκλος (Ο,R) και σημείο Σ εκτός,που απέχει από το κέντρο Ο του κύκλου απόσταση ΟΣ0.πό το Σ φέρουμε τις τέμνουσες Σ και Σ του κύκλου,ώστε Σ6,Σχ-3,Σ,χ και την εφαπτομένη του κύκλου ΣΕ. Να υπολογίσετε α)το χ, β)την ακτίνα R του κύκλου, γ)το μήκος του εφαπτόμενου τμήματος ΣΕ 6.ίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο,με 5, 3 και 8.Φέρουμε το ύψος,του οποίου η προέκταση τέμνει τον κύκλο στο Ε.Να βρείτετο μήκος του Ε. 7.ίνεται κύκλος (Ο,R) και σημείο που απέχει απόσταση R από το Ο.Μια χορδή του κύκλου διέρχεται από το και ισχύει ότι: Να εκφράσετε συναρτήσει του R: 3 α)τη δύναμη του σημείου ως προς τον κύκλο (Ο,R), β)το μήκος της χορδής. 8.ίνεται τρίγωνο με πλευρές α,β,γ τέτοιες,ώστε να ισχύει β +γ 3α.ν η διάμεσος Μ τέμνμει τον περιγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο Ε,τότε: α)να εκφράσετε τη διάμεσο Μ ως συνάρτηση της πλευράς α, β)να αποδείξετε ότι Μ Ε 3α

42 ΚΕΦΛΙΟ 0 Ο ΕΜ Πολυγωνικό χωρίο :ονομάζεται ένα οποιοδήποτε πολύγωνο του επιπέδου μαζί με τα εσωτερικά του σημεία. Πολυγωνική επιφάνεια ονομάζεται ένα σχήμα που αποτελείται από πεπερασμένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων, που ανά δύο δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία. Ισοδύναμα ή ισεμβαδικά ονομάζονται δύο ή περισσότερα σχήματα που έχουν το ίδιο εμβαδόν. ΣΧΟΛΙΟ ν δύο πολυγωνικά χωρία είναι ίσα, τότε έχουν ίσα εμβαδά. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Θεώρημα Το εμβαδό του ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι Ε πόδειξη α β Έστω ένα ορθογώνιο, με α και β. Προεκτείνουμε την πλευρά κατά τμήμα Ε α, την κατά Ι β και σχηματίζουμε το τετράγωνο ΙΗΕ, το οποίο έχει πλευρά α + β και επομένως είναι: (ΙΗΕ) (α + β) (). Προεκτείνοντας τις και σχηματίζονται τα τετράγωνα ΖΕ, ΙΘ με πλευρές α, β αντίστοιχα και το ορθογώνιο ΘΗΖ που είναι ίσο με το. Έτσι έχουμε (ΖΕ)α, (ΙΘ) β και (ΘΗΖ) () () Είναι φανερό όμως ότι (ΙΗΕ) () + (ΘΗΖ) + (ΙΘ) + (ΖΕ),

43 3 από την οποία με τη βοήθεια των () και () προκύπτει ότι: (α + β) () + α + β. α +αβ + β () + α + β αβ () Θεώρημα Άρα () αβ. το εμβαδόν Ε ενός παραλληλογράμμου ισούται με το γινόμενο μιας πλευράς του επί το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτή. ηλαδή είναι : Ε β υ πόδειξη Έστω παραλληλόγραμμο και το ύψος του Ζ που αντιστοιχεί στη. πό το φέρουμε Η κάθετη στην προέκταση της. Τα τρίγωνα Ζ και Η είναι ίσα γιατί Z H 90 και Άρα (Ζ) (Η) (). πό το σχήμα όμως έχουμε ότι () (ABZ) + (Ζ), οπότε σύμφωνα με την () προκύπτει ότι: () (Ζ) + (Η) (ΖΗ). Επομένως έχουμε ηλαδή είναι: () (ΖΗ) Ζ Ζ, () Ζ.

44 Θεώρημα 3 Το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από την σχέση: Ε πόδειξη α υ Με πλευρές και σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο, το εμβαδόν του οποίου είναι () αυ α (). Όμως τα τρίγωνα και είναι ίσα, οπότε: () () (). πό το σχήμα έχουμε ότι: () () + () () () + () () () αυ α (), άρα () αυα ΣΧΟΛΙΟ Με κυκλική εναλλαγή των γραμμάτων α, β και γ έχουμε: () αυα βυβ γυγ Θεώρημα Το εμβαδό ενός τραπεζίου με βάσεις, β και ύψος υ δίνεται από τον τύπο Ε ( β) υ.

45 5 πόδειξη Θεωρούμε τραπέζιο (//), με βάσεις, β και ύψος υ. Φέρουμε τη διαγώνιο. Τότε έχουμε Ε () () + () (). λλά τα δύο τρίγωνα και έχουν το ίδιο ύψος υ και βάσεις, β αντίστοιχα και επομένως: () υ και () βυ (), Με αντικατάσταση των σχέσεων () στην () προκύπτει ότι: Ε () + () υ + βυ ( β) υ. ΣΧΟΛΙΟ Το εμβαδόν ενός τραπεζίου επιπλέον, ισούται με το γινόμενο της διαμέσου επί το ύψος του. ΣΗΜΝΤΙΚΕΣ ΠΡΤΗΡΗΣΕΙΣ Ι ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΙΣΜΟ ΤΩΝ ΕΜΩΝ ΣΙΚΩΝ ΣΧΗΜΤΩΝ Η διάμεσος Μ του τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισοδύναμα τρίγωνα. Ισόπλευρό με πλευρά α έχει εμβαδό: Ε 3 Το εμβαδό ενός τετραπλεύρου με διαγώνιες κάθετες ισούται με το ημιγινόμενο των διαγωνίων του δ και δ.

46 6 Λυμένα Θέματα σκήσεις Εμπέδωσης. Στο εσωτερικό τετραγώνου πλευράς α κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο Ζ. Να υπολογισθεί το εμβαδόν των, Ζ, Ζ και Ζ. Μ () 6 α Τρ.Ζ ισόπλευρο πλευράς α Κ Ζ (Ζ) Φέρουμε ΖΚ και ΖΜ. Τότε ΖΚ Μ (Ζ). ΖΚ (Ζ) () (Ζ) (Ζ) (Ζ) ν Μ τυχαίο σημείο της πλευράς 0 τετραγώνου, τότε το άθροισμα (Μ) + (Μ) είναι : 5, B: 0, : 50, : 75, E: 00. Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντησή σας.

47 7 Μ Φέρουμε ΜΚ 0 (Μ). ΜΚ , Κ επειδή όμως () 0 00 (Μ) + (Μ) ίνεται τρίγωνο με 6, 8 και ˆ 60 ο. Να βρεθούν: i) το ύψος, ii) το εμβαδόν (), iii) το ύψος. i) Ε 8 ˆ 60 ο ˆ 0 30 Ε 3. Πυθαγόρειο στο τρ.ε: ii) (AB). Ε iii)ε Πυθαγόρειο στο τρ.ε: (AB)

48 8. Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο και διαγώνιο 5. Να βρείτε το εμβαδόν του. Έστω x, y οι διαστάσεις του ορθογωνίου. Τότε x + y 7, οπότε y 7 x και (Πυθαγόρειο): x y 5 x 7 x 5 x 9 x x 5 x x 0 x 7x 0 x 3 ή x ια x 3 η εξίσωση y 7 x y Άρα το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι Ε x y ίνεται παραλληλόγραμμο με 0 και αντίστοιχο προς αυτήν ύψος υ 5. Πάνω στις πλευρές και παίρνουμε τα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα, ώστε Ε Ζ. i) Να βρείτε το εμβαδόν του. ii) φού πρώτα συγκρίνετε τα εμβαδά των τραπεζίων ΕΖ και ΕΖ να βρείτε το εμβαδόν καθενός από αυτά. Ε i) () ii) (ΕΖ) (ΕΖ) αφού έχουν ίσες βάσεις και ίδιο ύψος. Άρα 5 το καθένα. Ζ

49 9 6. Ένα οικόπεδο έχει σχήμα τραπεζίου ( ) με Aˆ Bˆ, 5m, 0m και m. Ένας καινούργιος δρόμος περνάει παράλληλα προς τη και αποκόπτει μία λωρίδα πλάτους 3m. Πόσα τετραγωνικά μέτρα είναι το οικόπεδο που απομένει; 5 0 K 3 Λ Η Έστω ΚΛ παραλληλόγραμμο ο καινούργιος δρόμος. ια να υπολογίσουμε την πλευρά του, φέρουμε Η A. Τότε Η και Η Η Πυθαγόρειο στο τρ.η: Άρα (ΚΛ) Όμως () Άρα (ΛΚ) m.

50 50 ποδεικτικές σκήσεις. ν Σ είναι σημείο μιας πλευράς παραλληλογράμμου, να αποδείξετε ότι (Σ) + (Σ) (). Σ ρκεί να αποδείξουμε ότι (Σ) (Σ). Τούτο συμβαίνει διότι έχουν ίδια βάση Σ και αντίστοιχα ύψη ίσα, αφού Σ.. ν οι διάμεσοι και Ε τριγώνου τέμνονται στο Θ, να αποδείξετε ότι: i) (Ε) (Ε), ii) (Θ) (ΕΘ) iii) (Θ) (ΘΕ). i) Έχουν ίσες βάσεις Ε Ε και ίδιο ύψος από το. Ε ii) Θυμόμαστε ότι Κάθε διάμεσος τριγώνου χωρίζει Θ το τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα Έτσι (Ε) () και () (), οπότε (Ε) (). φαιρούμε, από τα δύο μέλη, το (Θ). Τότε (ΕΘ) (Θ)

51 5 iii) Ομοίως είναι () (Ε) (). φαιρούμε, από τα δύο πρώτα μέλη, το (Θ) 3. ίνεται τρίγωνο και το βαρύκεντρό του Θ. πό σημείο Σ της διαμέσου φέρουμε τις κάθετες ΣΕ, ΣΖ στις, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: i) (Σ) (Σ) ii). ΣΖ. ΣΕ και iii) (Θ) (Θ) 3 () i) διάμεσος του τρ. () () Σ Σ διάμεσος του τρ.σ (Σ) (Σ) φαιρούμε κατά μέλη και έχουμε (Σ) (Σ) ii) (i) (Σ) (Σ). ΣΖ. ΣΕ Ζ Σ Ε. ΣΖ. ΣΕ Θ iii) Κατά το ii) έχουμε (Θ) (Θ) και ομοίως (Θ). Άρα το καθένα 3 ()

52 5. ίνεται τραπέζιο ( ). ν Μ το μέσο της πλευράς του, να αποδείξετε ότι () (Μ). Λ Έστω ΚΜΛ το ύψος του τραπεζίου. Μ () ( + ).ΚΛ Κ K K +. ΜΚ +. ΜΛ (. ΜΚ +. ΜΛ ). Άρα και () (Μ). 5. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με το γινόμενο της μίας από τις μη παράλληλες πλευρές του επί την απόσταση του μέσου της άλλης από αυτή. Η και Μ Κ Έστω το τραπέζιο, Μ το μέσο της ΜΚ η απόσταση του Μ από τη. Θ στα Η, Θ αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι (). ΜΚ πό το Μ φέρουμε, που τέμνει τις, Τότε τρ.μθ τρ.μη άρα και ισεμβαδικά και ΗΘ παραλληλόγραμμο Έχουμε () (ΘΜ) + (ΜΘ) (ΘΜ) + (ΜΗ) (ΗΘ) β.υ. ΜΚ

53 53 6. ίνεται τρίγωνο με, και ˆ 0 ο. Με πλευρές τις και κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου τα τετράγωνα Ε και ΖΘ αντίστοιχα. Τότε: i) να υπολογίσετε το τμήμα ΕΘ ii) να αποδείξετε ότι τα, Ε, Θ είναι συνευθειακά και iii) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της πολυγωνικής επιφάνειας ΖΘΕ είναι Θ i) Ζ ˆ 0 ο ˆ 60 ο Ε τρ.εθ Κ Νόμος συνημιτόνων στο Άρα ΕΘ 3 ii)εύκολα διαπιστώνουμε ότι, στο τρίγωνο ΕΘ ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα, άρα είναι ορθογώνιο στο Ε. Άρα τα, Ε, Θ είναι συνευθειακά iii)ια το εμβαδόν του τριγώνου, φέρουμε το ύψος του Κ. ˆ 0 ο ˆ 30 ο Κ Πυθαγόρειο στο τρίγωνο Κ 3 Άρα Κ 3

54 5 (). Κ 3 3 () (ΕΘ) ΕΘ. Ε 3 3 () (Ε) (3) (ΖΘ) () () + () + (3) + () (ΖΘΕ) ν ω είναι η γωνία των διαγωνίων και κυρτού τετραπλεύρου, να αποδείξετε ότι (). ημω. () () + (). +. B. ( + ) Ε. (Ε. ημω + Ε. ημω). (Ε + Ε)ημω. ημω 8. Ο ιδιοκτήτης ενός οικοπέδου σχήματος ορθογωνίου, του οποίου το μήκος είναι κατά 8m μεγαλύτερο του πλάτους, θέλει να σχηματίσει, γύρω από το οικόπεδο και

55 55 εξωτερικά αυτού, μια δενδροστοιχία πλάτους,5m. Έτσι αναγκάζεται να αγοράσει από τους γείτονές του 695 m. Να βρεθούν οι διαστάσεις του οικοπέδου. K x + 3 Λ Έστω το αρχικό οικόπεδο με x x + 5 πλάτος x και μήκος x + 8, x + 8 και ΚΛΜΝ το οικόπεδο μετά την επέκταση Ν (ΚΛΜΝ) () 695 Μ με ΛΜ x + 5 και ΚΛ x + 3. Είναι (x + 3) (x +5) (x + 8) x 695 x 5x 3x 5 x 8x x 580 x 58 το πλάτος και το μήκος.

56 56 Θέματα για.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με 90 ο,στο οποίο ισχύουν ()600,0 και έστω το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα.να βρείτε: α)το μήκος της πλευράς β)το μήκος του ύψους, γ)το εμβαδόν του τριγώνου.ίνεται τραπέζιο,με βάσεις 3 και 3.Θεωρούμε σημεία Ε και Ζ των βάσεων και αντίστοιχα,ώστε Ε και Ζ5,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Ε 5 Ζ 8 ν ισχύει (ΕΖ)(ΕΖ)6,να βρείτε: α)το ύψος του τραπεζίου β)το εμβαδόν του τραπεζίου 3.ν η πλευρά ενός τετραγώνου αυξηθεί κατά 3 cm,το εμβαδόν του αυξάνεται κατά 8 cm.να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου αυτού..ίνεται ένα ορθογώνιο τραπέζιο με //,<,90 ο,,3 και 5.Να υπολολγίσετε: α)τη προβολή της πάνω στη β)το εμβαδόν του τραπεζίου, γ)το εμβαδόν του τριγώνου 5.ίνεται ρόμβος πλευράς 5,με >.ν η απόσταση των δύο απέναντι πλευρών του ρόμβου είναι 5,να βρείτε: 5 α)το εμβδόν του ρόμβου,

57 57 β)τα μήκη των διαγωνίων του και 6.ίνεται παραληλλόγραμμο και σημείο Μ της πλευράς. A Μ B α)να αποδείξετε ότι ισχύει: (Μ)(Μ)+(Μ) β)να βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου,όταν (Μ)8 τ.μ 7.Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο,με 5,το μέσο Μ της υποτείνουσας του τριγώνου και το σημείο της,για το οποίο ισχύει,9. Μ 5 9 α)να αποδείξετε ότι το είναι ύψος του τριγώνου. β)να υπολογίσετε τις πλευρές και του τριγώνου. γ)να υπολογίσετε την προβολή της διαμέσου Μ στη πλευρά και το εμβαδόν οτυ τριγώνου Μ.

58 58 8.ύο αδέλφια κληρονόμησαν ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου τραπεζίου με βάσεις 0 m 5 m και ύψος 3 m.kατά την ένταξη της περιοχής στο σχέδιο πόλεως,το οικόπεδο χωρίστηκε από ένα δρόμο πλάτους ΕΗΖ5 m σε δύο τμήματα ΖΕ και Η,όπως φαίνεται στο σχήμα. Ε Η Ζ Ο πρώτος αδελφός πήρε το οικόπεδο ΖΕ,ενώ ο δεύτερος το Η. α)να υπολογίσετε το εμβαδόν καθενός από τα δύο οικόπεδα. β)ν ο δεύτερος αδελφός θελήσει να ανταλλάξει το οικόπεδό του με ένα οικόπεδο σχήματος τετραγώνου,ποιά θα πρέπει να είναι η πλευρά τουώστε το εμβαδόν του οικοπέδου που θα πάρει,να είναι ίσο με το εμβαδόν του οικοπέδου που κληρονόμησε;

59 59 λλοι Τύποι ια το Εμβαδόν Τριγώνου I. Ε ( )( )( ) όπου τ η ημιπερίμετρος του τριγώνου και α,b,c τα μήκη των πλευρών του τριγώνου II. Ετρ όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο. α β γ III. Ε όπου R η ακτίνα του περιγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. R IV. Ε β γ ημ. πόδειξη Ι)Ισχύει ότι υ α ( )( )( ) οπότε έχουμε Ε a αυ α α ( )( )( ) ( )( )( ) a ΙΙ) Έστω τρίγωνο και ο εγγεγραμμένος κύκλος του (Ι, ρ). Φέρουμε τα τμήματα Ι, Ι και Ι και έτσι το τρίγωνο χωρίζεται στα τρίγωνα Ι, Ι και Ι που έχουν το ίδιο ύψος ρ και δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία. Είναι : () (Ι) + (Ι) + (Ι) αρ + βρ + γρ (α + β +γ)ρ τρ τρ

60 60 ΙΙΙ) Θεωρούμε τη διάμετρο. Τα τρίγωνα Η και είναι όμοια, αφού B H και ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο. πό την ομοιότητα των τριγώνων έχουμε ότι βγ Rυ α. AH A Η AB A πό την σχέση βγ Rυ α έχουμε ότι υ α έχουμε:. Οπότε για το εμβαδό Ε του τριγώνου R Ε αυα α R R ΙV) ιακρίνουμε τις περιπτώσεις ν A>, στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε ημ υ β γημ άρα το εμβαδό Ε του τριγώνου είναι: Ε βυβ β γημ

61 6 ν A >, πάλι από το ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει ότι: ημ(80 ο - ) υ β γημ(80 ο - ) γημ άρα το εμβαδό Ε του τριγώνου είναι: Ε βυβ β γημ ν A, τότε υ β γ, επομένως πάλι ο τύπος ισχύει Άρα σε κάθε περίπτωση έχουμε: Ε β γημ ΣΧΟΛΙΟ Σε κάθε τρίγωνο ισχύει η σχέση R, όπου R είναι η ακτίνα του περιγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως ο νόμος των ημιτόνων.

62 6 Λυμένα Θέματα σκήσεις Εμπέδωσης. Σε παραλληλόγραμμο είναι 8, 0 και 3. Να βρείτε το εμβαδόν του. Με τον τύπο Ε βρίσκουμε το εμβαδόν (). τ (α + β + γ) ( ) 36 τ α τ β 36 3 τ γ () () () ίνεται τραπέζιο ( ) με 5,, 3 και 5. Να βρείτε το εμβαδόν του και το ύψος του. Φέρουμε Λ και το ύψος Κ Τότε Λ παρ/μμο. Λ 5 Κ Άρα Λ 3 και Λ Λ 5 5.

63 63 Με τον τύπο υπολογίζουμε το ύψος Κ στο τρίγωνο Λ α Λ, β 5, γ Λ 3 τ ( ) τ α 7 τ β 5 6 τ γ 3 8 Κ () ( + ). Κ (5 + ) ίνεται τρίγωνο με, 7 και ˆ 60 ο. Να βρείτε το εμβαδόν του. Ε β γ ημ 7. ημ60ο ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ ) με 6 και 8. Να βρείτε i) το εμβαδόν ii) το ύψος iii) την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύκλου.

64 6 i)ε. 6.8 ii) Πυθαγόρειο: Ε. 0 5 iii)τ ( ) Ε τρ ρ ρ. σκήσεις ποδεικτικές. ν σε τρίγωνο ισχύει βγ α, να αποδείξετε ότι ˆ. Είναι Ε βγημ και Ε α βγημ α ημ ˆ.. ν Ε το εμβαδόν του τριγώνου με πλευρές α, β, γ, να αποδείξετε ότι: i) E < τ(τ α) < ii) E τ(τ α) iii) E > τ(τ α) >

65 65 i)e < τ(τ α) < τ(τ α) < < βγ < τγ + τβ τα βγ < τ (β + γ α) βγ < (α +β + γ) (β + γ α) βγ < αβ + αγ < βγ βα + γβ + γα ii)ίδια καταγραφή (αντί για ανισότητες θα έχουμε ισότητες). iii)ίδια καταγραφή. 3. ν δύο τρίγωνα και είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο, να αποδείξετε ότι E πό τον τύπο Ε έχουμε R R E R. Σε τρίγωνο με ˆ φέρουμε τα ύψη Ζ και Η. Να αποδείξετε ότι (ΖΗ) ().

66 66 Όταν ˆ (ΖΗ) Η. Ζ.ημ () Στο ορθογώνιο τρίγωνο Η είναι Η β συν και στο ορθογώνιο τρίγωνο Ζ είναι Ζ γ συν () (ΖΗ) β συν γ συν ημ H γ Z β βγ ημ () λλά () βγ ημ () (ΖΗ) () Όταν ˆ > (ΖΗ) Η. Ζ.ημ (3) Στο ορθογώνιο τρίγωνο Η είναι Η β συν και στο ορθογώνιο τρίγωνο Ζ είναι Ζ γ συν (3) (ΖΗ) β συν γ συν ημ Ζ γ Η β βγ ημ () λλά () βγ ημ και συν συν () (ΖΗ) () ()

67 67 5. Σε τρίγωνο να αποδείξετε ότι: + + Είναι Ε. E. και κυκλικά. Άρα

68 68 Θέματα για.ίνεται τρίγωνο,με α0,β και γ.να υπολογίσετε: α)το εμβαδόν του τριγώνου β)την ακτίνα του εγγεγραμμένου και του περιγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου γ)το ημ.ίνεται παραλληλόγραμμο,με, και 60 ο > 60 Να υπολογίσετε: α)το εμβαδόν του παραλληλογράμμου β)το μήκος της διαγωνίου γ)την ακτίνα του περιγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου 3.ν οι διαγώνιοι και ενός κυρτού τετραπλεύρου σχηματίζουν γωνία 30 ο,να αποδείξετε ότι ().ν ρ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου,να αποδείξετε ότι: β γ ημ ρ α+β+γ 5.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο,με.προεκτείνουμε τη βάση κατά τμήμα.να αποδείξετε ότι οι περιγγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και έχουν ίσες ακτίνες. 6.ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με γ,β+ και εμβαδόν () βγ α)να αποδείξετε ότι α 3 β)να υπολογίσετε την ακτίνα R του περιγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου γ)να υπολογίσετε το μήκος της προβολής της πλευράς πάνω στη πλευρά.

69 69 Λόγος Εμβαδών Ομοιων Τριγώνων-Πολυγώνων Θεώρημα ν δύο τρίγωνα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ, ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας, δηλαδή Ε Ε πόδειξη λ Έστω τα όμοια τρίγωνα και ''' με A A' και B'. Τότε λ (), όπου λ ο λόγος ομοιότητας. ια τα εμβαδά Ε και Ε των τριγώνων είναι Ε αυα και Ε α υα που διαιρώντας κατά μέλη προκύπτει: ) ( λλ λ Θεώρημα Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας τους. πόδειξη Θεωρούμε δυο όμοια πολύγωνα π.χ. τα πεντάγωνα Ε και ''''Ε' με λόγο ομοιότητας λ, τότε ισχύουν οι αναλογίες

70 70 Φέρουμε τις διαγώνιους των πολυγώνων από τις κορυφές και ', οπότε αυτά χωρίζονται σε ισάριθμα τρίγωνα όμοια μεταξύ τους. ν Ε, Ε, Ε 3 και Ε', Ε', Ε' 3 είναι τα εμβαδά των αντίστοιχων τριγώνων, τότε E AB έχουμε : λ E E και αντίστοιχα έχουμε: E A B 3 E λ, επομένως E 3 είναι: λ E E E E E 3 E E E E3 ( ). E E E ( Έ ) Θεώρημα 3 3 Aν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση με μια γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με τον λόγο των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές. πόδειξη 3 Θεωρούμε τα τρίγωνα και ''' και διακρίνουμε τις περιπτώσεις. ν A A' τότε ημ ημ και ισχύει:.ν A + A' ο τότε ημ ημ(80 ο ) ημ', και πάλι ισχύει:.

71 7 Λυμένα Θέματα σκήσεις Εμπέδωσης. ύο τρίγωνα και έχουν α α και του είναι 30 m, να βρείτε το εμβαδόν του. 3. ν το εμβαδόν 3 ( ) 3 () ( ) 3 30 ( ) 0 m. ίνεται παραλληλόγραμμο με εμβαδόν 0 m. ν Μ σημείο στην προέκταση της τέτοιο ώστε Μ, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου Μ. Μ Φέρουμε τη διαγώνιο. Άρα Τα τρίγωνα Μ, έχουν ίδιο ύψος. (Μ) () () 0 5 m

72 7 3. ίνεται τρίγωνο και τα σημεία και Ζ των προεκτάσεων των και, ώστε 3 και Ζ. ν το εμβαδόν του τριγώνου είναι 30 m, να βρείτε το εμβαδόν του Ζ. Ζ ˆ ˆ (Ζ) 3 () m. Ένα τρίγωνο έχει εμβαδόν 75 m. Έστω σημείο της πλευράς και Μ σημείο του τέτοιο, ώστε AM M 3. πό το Μ φέρουμε παράλληλο προς την πλευρά, που τέμνει τις και στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου ΕΖ. AM M 3 AMM 3 3 AM Ε M 3 Ζ 5 τρ.εζ όμοιο του τρ. και με Θ. Θαλή A 3 5 (ΕΖ) 9 5 () (ΕΖ) m 5 Άρα (ΕΖ) () (ΕΖ) m

73 73 5. ύο τρίγωνα και έχουν ˆ ˆ και ˆ ˆ. Να αποδείξετε ότι α β α β. ˆ ˆ ˆ ˆ Άρα ποδεικτικές σκήσεις. ίνεται τρίγωνο και εσωτερικό του σημείο Ρ. ν οι Ρ, Ρ και Ρ τέμνουν τις, και στα, Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι i), ii) + + και iii) + + i)φέρουμε τα ύψη ΡΚ, Λ των τριγώνων Ρ, αντίστοιχα και επειδή έχουν κοινή βάση, θα είναι Ζ Λ Ρ Κ Ε Τρ.ΡΚ όμοιο του Λ Άρα ii) Ομοίως () ()

74 7 και (3) () + () + (3) iii) ομοίως. και Προσθέτουμε κατά μέλη ίνεται τρίγωνο με ˆ, ˆ και το ύψος του. Στο ημιεπίπεδο (,) φέρουμε x και y. Πάνω στις x, y παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Ε και Ζ, ώστε να έιναι Ε Ζ. ν Μ, Ν είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι (ΕΜ) + (ΖΝ) ().

75 75 Ε Ζ x Μ Ν y ˆ ˆ.. (ΕΜ) () Ομοίως (ΖΝ) () Προσθέτουμε (ΕΜ) + (ΖΝ) (). 3. ίνεται κύκλος κέντρου Ο και δύο κάθετες χορδές και. Να αποδείξετε ότι (Ο) (Ο). ˆ O Κ ˆ ˆ.. (Ο) (Ο).

76 76. ίνεται τρίγωνο. Ευθεία παράλληλη προς τη τέμνει την στο και την στο Ε. Να αποδείξετε ότι. Ε ρκεί να αποδείξουμε ότι AB AB Ε, Τα τρίγωνα Ε, Ε έχουν ίδιο ύψος από το άρα AB () Τα τρίγωνα, Ε έχουν ίδιο ύψος από το, άρα AB () Θ.Θαλή (3) (), (), (3) AB AB 5. Πάνω στις πλευρές κυρτού τετραπλεύρου κατασκευάζουμε εξωτερικά αυτού τα τετράγωνα ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ και ΛΜ. Να αποδείξετε ότι (ΜΖ) + (ΗΚ) (ΘΕ) + (ΙΛ)

77 77 Λ Μ Ζ Ε Θ Η Φέρουμε τη διαγώνιο. ˆ ˆ.. (ΜΖ) () και ομοίως Άρα (ΗΚ) () Ι Κ (ΜΖ) + (ΗΚ) (). Ομοίως (ΘΕ) + (ΙΛ) () 6. Άρα (ΜΖ) + (ΗΚ) (ΘΕ) + (ΙΛ) Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ ) και τρία πολύγωνα, και όμοια μεταξύ τους, που έχουν ως ομόλογες πλευρές, και 3 αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ( ) + ( ) ( ), όπου ( ), ( ) και ( ) 3 3 τα εμβαδά τους. ρκεί να αποδείξουμε ότι + 3 Πολύγωνο όμοιο του Ομοίως 3 Οπότε, αρκεί να αποδείξουμε ότι + που ισχύει., ή

78 78 Θέματα για.ίνεται τραπέζιο με βάσεις cm και 6cm.ν Ο είναι το σημείο τομής των διασγωνίων του και,να υπολογίσετε το λόγο (Ο) (Ο).ίνεται τρίγωνο με εμβαδόν τ.μ. Στις πλευρές του,, παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Κ,Λ,Μ έτσι.ώστε: Κ, Λ 3, Μ A Κ Μ B Ν Να υπολογίσετε τα εμβαδά των τριγώνων ΚΜ,ΚΛ,ΛΜ και ΚΛΜ. 3.ίνεται τρίγωνο με εμβαδόν 8 τ.μ και έστω τυχαίο σημείο της πλευράς.θεωρούμε σημείο Ε του τμήματος τέτοιο,ώστε Ε 3. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου Ε..ίνεται παραλληλόγραμμο και τυχαία σημεία Ε και Ζ της πλευράς. Ε Ζ Η Θεωρούμε σημείο Η της πλευράς τέτοιο,ώστε : Η 5 ν ισχύει ότι (ΕΗ) τ.μ,να βρείτε το εμβαδόν: α)του τριγώνου ΖΗ β)του παραλληλογράμμου

79 79 5.Θεωρούμε τρεις διαδοχικές γωνίες xoy,yoz και zox έτσι,ώστε xoyyoz50 ο.στις ημιευθείες Οχ,Οy,Oz παίρνουμε τα σημεία,, αντίστοιχα,έτσι ώστε Ο,Ο και Ο6. α)να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου Ο β)να υπολογίσετε το λόγο των εμβαδών (OAB) (OB) 6.Στο παρακάτω σχήμα τα σημεία Κ και Λ είναι τα μέσα των τμημάτων και αντίστοιχα. Λ K Ρ Να αποδείξετε ότι: α) ο λόγος των εμβαδών των τριγώνων Κ και Λ είναι ίσος με β)αν Ρ το σημείο τομής των Λ και Κ,τότε τα τρίγωνα ΛΡ και ΚΡ είναι ισεμβαδικά. 7.ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α,εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Ο.Στην πλευρά θεωρούμε σημείο Ε έτσι,ώστε Ε α 3 και προεκτείνουμε την Ε,που τέμνει το κύκλο στο σημείο Ζ. α)να αποδείξετε ότι Ε α 7 3 β)να αποδείξετε ότι ΕΖ 7α γ)να βρείτε το λόγο των εμβαδών των τριγώνων Ε και ΕΖ.

80 80 8.ίνεται τρίγωνο και Ε το μέσο της πλευράς.προεκτείνουμε τη πλευρά προς το μέρος του κατά ευθύγραμμο τμήμα και φέρουμε την. α)να αποδείξετε ότι (Ε) () β)να βρείτε τους λόγους (Ε) () και () () γ)ν Μ είναι η διάμεσος του τριγώνου,να αποδείξετε ότι (Ε)(ΜΕ) 9.Στις πλευρές,, τριγώνου παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία,ε και Ζ τέτοια ώστε να είναι:, Ελ, Ζλ όπου 0<λ<.Να αποδείξετε ότι: 3 α) (Ζ) -λ () 3 β) (ΕΖ) 3λ -λ+ () 3 γ)ν λ,το τρίγωνο ΕΖ έχει το ελάχιστο δυνατό εμβαδόν

81 8 ΚΕΦΛΙΟ Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα Ορισμός: Ένα πολύγωνο ονομάζεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. ωνία Κανονικού Πολυγώνου Σε κάθε κανονικό πολύγωνο με ν πλευρές η γωνία του φ ν είναι ίση με 80 ο 360. πόδειξη Έστω... ν ένα κανονικό πολύγωνο με ν πλευρές και έστω A A... A ν φ ν Επειδή το άθροισμα των γωνιών κάθε κυρτού ν-γώνου είναι (ν - )80, θα έχουμε: φ ν + φ ν + + φ ν (ν )80 νφ ν 80 ν 360 φ ν φ ν 80 ο 360 Ομοιότητα Κανονικών Πολυγώνων o 80 o 360 ύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. πόδειξη Θεωρούμε δύο κανονικά πολύγωνα...τ, '''...Τ' με τον ίδιο αριθμό πλευρών ν. Τότε η γωνία καθενός είναι ν, άρα είναι ίσες, δηλαδή ισχύει: A A, ',..., Τ Τ' ().

82 8 Επίσης, έχουν και τις πλευρές τους ίσες, δηλαδή ισχύει: '' ''... Τ''... Τ και Άρα AB A' B' B TA... () B' ' T' A' πό τις () και () προκύπτει ότι τα πολύγωνα... Τ και '''...Τ' είναι όμοια. Ιδιότητες και Στοιχεία Κανονικών Πολυγώνων. Κάθε κανονικό πολύγωνο έχει έναν περιγεγραμμένο και έναν εγγεγραμμένο κύκλο που έχουν κοινό κέντρο.. Το κοινό κέντρο των δύο αυτών κύκλων λέγεται κέντρο του πολυγώνου.. Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου.. Η απόσταση του κέντρου του πολυγώνου από μια πλευρά του, δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου λέγεται απόστημα του πολυγώνου. Ε. Η γωνία υπό την οποία φαίνεται κάθε πλευρά του πολυγώνου από το κέντρο του, λέγεται κεντρική γωνία του πολυγώνου. ΣΥΜΟΛΙΣΜΟΙ ΣΤ ΚΝΟΝΙΚ ΠΟΛΥΩΝ R η ακτίνα του κύκλου μέσα στο οποίο συνήθως σχεδιάζουμε κανονικό πολύγωνο δ η διάμετρος του προηγούμενου κύκλου. ν ο αριθμός των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου λ ν η πλευρά ενός κανονικού πολυγώνου

83 83 α ν το απόστημα ενός κανονικού πολυγώνου. ω ν η κεντρική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου φ ν η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου Ε ν το εμβαδό ενός κανονικού πολυγώνου P ν η περίμετρος ενός κανονικού πολυγώνου Θεώρημα Σε κάθε κανονικό πολύγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R ισχύει: ι) λ ν α ν R ιι) Ρ ν ν λ ιιι) ω ν 360 o ιν) Ε ν Ρν α ν. ν πόδειξη ι) Έστω...Τ ένα κανονικό ν-γωνο, R η ακτίνα του, λ ν η πλευρά του και OH α ν το απόστημά του. πό το ορθογώνιο τρίγωνο ΗΟ, με εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος προκύπτει OH +HA OA ιι) και ιιι) Έστω...Τ ένα κανονικό ν-γωνο, R η ακτίνα του, λ ν η πλευρά του και OH α ν το απόστημά του. R ιι) Επειδή... Τ λ ν, θα είναι Ρ ν νλ ν.

84 8 ιιι) Επειδή AB B... TA θα είναι Ô Ô... ΤÔ ω ν και αφού οι γωνίες Ô, Ô,... και ΤÔ έχουν άθροισμα 360, έχουμε: o 360 νω ν 360 ω ν ιν) Έστω...Τ ένα κανονικό ν-γωνο, R η ακτίνα του, λ ν η πλευρά του και OH α ν το απόστημά του. Τα τρίγωνα Ο, Ο,..., ΟΤ είναι ίσα, άρα και ισεμβαδικά και επομένως έχουμε: Ε ν ν(ο) ν ΟΗ νλν α ν νλν.(αφού Ρ ν νλ ν ) Πόρισμα Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται με το λόγο των ακτίνων λ ν R ν α τους και το λόγο των αποστημάτων τους. ηλαδή ισχύει: λν R' ν α ν πόδειξη Έστω δύο κανονικά πολύγωνα...τ και ' Τ'...Τ' με το ίδιο πλήθος πλευρών, έστω ν (ν 3) και Ο, Ο' τα κέντρα τους Τα τρίγωνα Ο και Ο''' είναι όμοια γιατί είναι ισοσκελή και έχουν Ô o 360 'Ô'' επομένως:. AB A' B' OA OH O' A' O' H' R R' όπου ΟΗ, Ο Η τα ύψη των τριγώνων.

85 85 Λυμένα Θέματα σκήσεις Εμπέδωσης. Να βρεθούν η γωνία και η κεντρική γωνία ενός κανονικού: πενταγώνου, εξαγώνου, δεκαγώνου και δωδεκαγώνου και και και και ν η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι 08 ο, τότε το πλήθος των πλευρών του είναι α. 5 β. γ. 0 δ. 5 ε ν 5

86 86 3. Σε δύο κανονικά πεντάγωνα ο λόγος των πλευρών τους είναι λ. Ποιος είναι ο λόγος των αποστημάτων, των ακτίνων τους, των περιμέτρων τους και των εμβαδών τους R R 5 P5 P Τα πλήθη, των πλευρών δύο κανονικών πολυγώνων είναι αντίστοιχα ρίζες των εξισώσεων: , 9. Να αποδείξετε ότι τα πολύγωνα είναι όμοια. Η εξίσωση , με σχήμα Horner, γίνεται ( 5 ) ( 3) ή 3 0. Επειδή ο ν είναι φυσικός αριθμός, έχουμε 3 > 0. Άρα ν 5 Ελέγχουμε αν η τιμή ν 5 επαληθεύει την εξίσωση που ισχύει. Έτσι, οι δύο εξισώσεις έχουν κοινή ρίζα μόνο το 5, άρα τα πολύγωνα είναι κανονικά πεντάγωνα, άρα είναι όμοια.

87 87 5. Να αποδείξετε ότι το μόνο κανονικό πολύγωνο με γωνία οξεία είναι το ισόπλευρο τρίγωνο άρα ν ν < 6. ν ένα κανονικό ν γωνο και ένα κανονικό μ-γωνο (μ > ν) είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο, να αποδείξετε ότι i) ii) > < i)είναι R και R + + ( ) ii) > > > 0 (i) ( ) > 0 > 0 > <

88 88 7. Θεωρούμε ένα κανονικό πεντάγωνο Ε εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R). Να αποδείξετε ότι : i) Κάθε διαγώνιος χωρίζει το πεντάγωνο σε ένα ισοσκελές τραπέζιο και σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, ii) Η διχοτόμος της γωνίας ˆ είναι κάθετη στην πλευρά Ε, iii) ύο διαγώνιοι που δεν έχουν κοινό άκρο σχηματίζουν με δύο πλευρές του πενταγώνου ρόμβο και iv) ν Η είναι το σημείο τομής της με τη, τότε. Η i)φέρουμε τη διαγώνιο. τρίγωνο ισοσκελές. Ε Ε τραπέζιο με Ε, άρα ισοσκελές. ii) Ε Ο H M Μ η διχοτόμος ˆ ˆ 8 0 ˆ ˆ ˆ ˆ Μ Ε

89 89 iii)όπως είναι Ε, έτσι είναι και Ε, άρα ΕΗ παραλληλόγραμμο και επειδή Ε Ε, είναι ρόμβος πλευράς. 5 iv)ρκεί να δείξουμε ότι. Η ρκεί να δείξουμε ότι το τρίγωνο είναι όμοιο με το Η, το οποίο ισχύει διότι ˆ κοινή και ˆ ˆ. ποδεικτικές σκήσεις. Το δάπεδο ενός δωματίου στρώθηκε με πλακίδια σχήματος κανονικών πολυγώνων με πλήθος πλευρών λ, μ, ν, όπου λ μ ν λ. Να αποδείξετε ότι + + Θα υπάρχει σημείο του δαπέδου που θα είναι κοινή κορυφή των τριών πολυγώνων. Άρα

90 90. ν ένα πολύγωνο είναι εγγράψιμο και περιγράψιμο σε δύο ομόκεντρους κύκλους, να αποδείξετε ότι είναι κανονικό. Τα αποστήματα των χορδών-πλευρών είναι ίσα σαν ακτίνες του μικρού κύκλου. Άρα χορδές-πλευρές του πολυγώνου ίσες. σ Κάθε γωνία του πολυγώνου είναι εγγεγραμμένη και βαίνει σε τόξο (ν-)σ. Άρα γωνίες του πολυγώνου ίσες. 3. ν,,, είναι διαδοχικές κορυφές ενός κανονικού ν γώνου (ν ), να αποδείξετε ότι.. ο Θ. ιαμέσων στο τρίγωνο : Ο. ΗΜ..ΗΜ ρκεί να αποδείξουμε ότι ΗΜ Η Μ Θ Φέρουμε και Θ. Είναι τρ.η τρ.θ, αφού ) ορθογώνια ) και 3) ˆ ˆ (παραπληρωματικές της ) Άρα Η Θ, άρα και ΗΜ ΜΘ ΗΘ ορθογώνιο ΗΘ ΗΜ

91 9. ν είναι το εμβαδόν ενός κανονικού ν-γώνου (ν ), εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο,R), να αποδείξετε ότι PR, όπου P η περίμετρος του κανονικού ν-γώνου ακτίνας R Θεωρούμε οπότε. Ο Φέρουμε τις ακτίνες Ο, Ο, Ο οπότε ΟΚ απόστημα του ν-γώνου. Κ PR ν (Ο) ν. R ν Ο. Κ ν Κ R που ισχύει. 5. ν είναι πλευρά κανονικού ν-γώνου περιγεγραμμένου σε κύκλο και, η πλευρά και το απόστημα αντίστοιχα κανονικού ν-γώνου εγγεγραμμένου στον ίδιο κύκλο, να αποδείξετε ότι R... Τα δύο πολύγωνα είναι όμοια, αφού έχουν ίδιο πλήθος πλευρών R (αφού R) R...

92 9 6. ν E,, είναι τα εμβαδά κανονικών ν-γώνων που έχουν πλευρές ίσες αντίστοιχα με τις πλευρές α, β, γ ορθογωνίου τριγώνου ( ˆ ), να αποδείξετε ότι + E. Τα τρία πολύγωνα είναι όμοια, αφού έχουν ίδιο πλήθος πλευρών. (α) πολύγωνο όμοιο του (β) (α) πολύγωνο όμοιο του (γ) Άρα + + από το Πυθαγόρειο.

93 93 Θέματα για.α)να βρείτε την γωνία ενός κανονικού 9-γωνου β)να βρείτε το πλήθος ν των πλευρών ενός κανονικού ν-γώνου,του οποίου η γωνία είναι 60 ο. γ)να εξετάσετε αν υπάρχει κανονικό ν-γωνο με γωνία 30 ο..σε ένα κανονικό πολύγωνο η κεντρική του γωνία είναι ω ν ο και έχει πλευρά λ ν cm.να βρείτε: α)το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου, β)τη γωνία φ ν του πολυγώνου, γ)τη περίμετρο Ρ ν του πολυγώνου. 3.Η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι τετραπλάσια από την κεντρική του γωνία.να βρείτε: α)το πλήθος ν των πλευρών του β)τη γωνία και τη κεντρική γωνία του πολυγώνου.η γωνία ενός κανονικού ν-γωνου και η γωνία ενός κανονικού ν-γωνου έχουν άθροισμα 300 ο.να βρείτε: α)το πλήθος των πλευρών των δύο κανονικών πολυγώνων β)τις κεντρικές γωνίες των δύο κανονικών πολυγώνων 5.Θεωρούμε ένα κανονικό ν-γωνο και ένα κανονικό μ-γωνο για τα οποία ισχύει ότι: φ ν -φ μ 80 ο +ω ν -ω μ Να αποδείξετε ότι τα δύο πολύγωνα είναι όμοια.

94 9 Εγγραφή Κανονικών Πολυγώνων Σε Κύκλο Τετράγωνο Έστω ένας κύκλος (Ο,R). ια την κατασκευή τετραγώνου φέρουμε δύο κάθετες διαμέτρους και, τότε θα είναι Ô Ô Ô Ô 90, οπότε B και επομένως το είναι τετράγωνο. ΥΠΟΛΟΙΣΜΟΣ ΠΛΕΥΡΣ πό το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο Ο με εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος έχουμε Ο + Ο λ R + R λ R λ R ΥΠΟΛΟΙΣΜΟΣ ΠΟΣΤΗΜΤΟΣ Ισχύει: R R επομένως α R R R R R α R R R R R

95 95 Εξάγωνο Έστω ένας κύκλος (Ο,R), για την κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου παίρνουμε τα σημεία,,,, Ε και Ζ που διαιρούν τον κύκλο σε έξι ίσα τόξα, τότε τα σημεία,, Ε είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου, αφού Ε Ε 0. ΥΠΟΛΟΙΣΜΟΣ ΠΛΕΥΡΣ Επειδή 80, η είναι διάμετρος και επομένως το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, οπότε λ 3 - (R) - R 3R λ 3 3R λ 3 3R R 3, δηλαδή είναι λ 3 R 3 ΥΠΟΛΟΙΣΜΟΣ ΠΟΣΤΗΜΤΟΣ 3 Ισχύει: 3 R 3 R 3 R R 3 R 3R R 3 R α 3 R R R δηλαδή α 6 Ο αριθμός π Έστω κύκλος με διάμετρο R. Aν συμβολίσουμε με L το μήκος του τότε λόγος του μήκους του κύκλου προς τη διάμετρό του είναι σταθερός, δηλαδή είναι ο ίδιος για κάθε κύκλο. Η σταθερή αυτή τιμή του λόγου L Ελληνικό γράμμα π (αρχικό της λέξης περιφέρεια) ηλαδή π R ΣΧΟΛΙ L R L R συμβολίζεται διεθνώς με το. Ο αριθμός π είναι ένας άρρητος, υπερβατικός αριθμός και μια προσέγγισή του, που στην πράξη χρησιμοποιείται, είναι π 3,.. Ο ρχιμήδης χρησιμοποιούσε ως προσέγγιση του π το 7

96 96 Λυμένα Θέματα σκήσεις Εμπέδωσης. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του R το εμβαδόν ενός ισοπλεύρου τριγώνου και ενός κανονικού εξαγώνου, που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο (Ο,R) R 3 R R R R 3 3R 3. Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα R 0cm και απόστημα 5 3cm. Να βρεθεί η πλευρά του και το εμβαδόν του R cm 0 3 R ν R R 3 3R cm 3.

97 97 Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα R 8cm και πλευρά απόστημά του και το εμβαδόν του. 8 cm.. Να βρεθεί το 8 R ν R cm. Σε κύκλο (Ο,R) παίρνουμε διαδοχικά τα τόξα AB 60 ο, B 90 ο και 0 ο. Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του R οι πλευρές και το εμβαδόν του τετραπλεύρου. 0 0 AB 60 ο R 6 Λ B 90 ο R Ο 0 ο R K 360 ο 60 ο 90 ο 0 ο 90 ο Άρα R B τραπέζιο. Φέρουμε το ύψος ΛΚ του τραπεζίου από το κέντρο Ο. R R 3 R ΛΚ ΟΛ + ΟΚ 3 6 3

98 98 () R R 3 R R R R 3 ποδεικτικές σκήσεις. Το άθροισμα των γωνιών ενός κανονικού πολυγώνου είναι 8 ορθές και το εμβαδόν του 6 3cm. Να βρεθεί η ακτίνα του σε ορθές 8 8.ν 8.ν ν R R 3 3 R R R. Σε κύκλο (Ο,R) και εκατέρωθεν του κέντρου του, θεωρούμε δύο παράλληλες χορδές του και, ώστε R και R 3. Να υπολογισθούν οι μη παράλληλες πλευρές και του τραπεζίου, το ύψος του και το εμβαδόν του ως συνάρτηση του R.

99 R 6 AB 60 ο Λ R 3 0 ο Ο 60 0 K 90 0 εγγεγραμμένο τραπέζιο ισοσκελές. λλά 360 ο 60 ο 0 ο 80 ο Άρα 90 ο R Φέρουμε το ύψος ΛΚ του τραπεζίου από το κέντρο Ο. R R 3 R ΛΚ ΟΛ + ΟΚ () R R 3 R R R R 3 3. Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του R η πλευρά και το απόστημα ενός κανονικού -γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο.R). Θεωρούμε οπότε R 6 Η Ο Κ άρα Κ Ο ΟΚ R R 3 Φέρουμε τη διάμετρο ΚΟ οπότε ΟΚ R 3 6 Κ R 3

100 00 Τρίγωνο Κ ορθογώνιο με ύψος Κ AB R R 3 R 3 AB. Κ A R 3 Είναι R R 3 R R R R R 3 R 3 R 3. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του R το εμβαδόν ενός κανονικού δωδεκαγώνου χωρίς να υπολογίσετε προηγουμένως την πλευρά και το απόστημά του. Θεωρούμε Ο οπότε R 6 Κ Φέρουμε τις Ο, Ο, Ο, είναι δε Ο A. R.R E 6 O 6 6 3R

101 0 Θέματα για.ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας Rcm. Να βρείτε: α)τη πλευηρά του λ 3 β)το απόστημά του α 3 γ)το εμβαδόν του Ε 3.Το εμβαδόν ενός τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο,ρ) είναι 3cm. Να βρείτε: α) την ακτίνα ρ β)το εμβαδόν κανονικού εξαγώνου που είναι εγγεγραμμένο στο κύκλο (Ο,ρ) 3.Η γωνία φ ν ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίση με 0 ο,ενώ η πλευρά του είναι λ ν cm. α)να αποδείξετε ότι το πλήθος των πλετρών του πολυγώνου αυτού είναι ν6 β)να υπολογίσετε την ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου και το απόστημα α ν του πολυγώνου γ)να βρείτε το εμβαδόν του πολυγώνου.ίνεται κανονικό ν-γωνο,εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,ρ),για το οποίο ισχύουν λ ν cm και α ν.να βρείτε: α)την ακτίνα ρ β)το πλήθος ν των πλευρών γ)το εμβαδόν του κανονικού πολυγώνου 5.Ένα κανονικό εξάγωνο και ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο (Ο,ρ).Το εμβαδόν του κανονικού εξαγώνου είναι κατά 7 3 cm μεγαλύτερο από το εμβαδόν του ισοπλεύρο τριγώνου.να βρείτε: α)την ακτίνα ρ β)το εμβαδόν του τετραγώνου που είναι εγγεγραμμένο στον ίδιο κύκλο.

102 0 6.Ένα κανονικό εξάγωνο ΕΖ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R).ν οι προεκτάσεις των και τέμνονται στο Μ,να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΕΖ συναρτήσει του R. 7.Θεωρούμε δύο κανονικά εξάγωνα,από τα οποία το ένα είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) και το άλλο περιγεγραμμένο στον ίδιο κύκλο,και έστω Ε 6, Ε 6 τα εμβαδά τους αντίσττοιχα.να βρείτε το λόγο E 6 E'6 8.ν ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ένα κανονικό εξάγωνο είναι εγγεγραμένα στον ίδιο κύκλο (Ο,R) και Ε 3,Ε 6 είναι τα εμβαδά τους αντίστοιχα,να αποδείξετε ότι: Ε 6 Ε 3 9.ίνεται ο κύκλος (Ο,R) και οι χορδές του λ 6 και λ,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Ρ Ο Μ ν Ρ είναι το σημείο τομής των και και Μ είναι το μέσο του,να αποδείξετε ότι (Ρ)(ΡΜ) 0.ίνεται ο κύκλος (Ο,R) και οι χορδές του R 3, R και R. α)να βρείτε το μήκος της χορδής,συναρτήσει της ακτίνας R. β)να βρείτε το λόγο () () γ)ν Ε η προβολή του πάνω στη και Μ το μέσο της,να αποδείξετε ότι ΕΟΜ.Στην πρωτεύσα της Ιαπωνίας,το Τόκιο,τον Ιούλιο του 003 διεξήχθει η Παγκόσμια Ολυμπιάδα των Μαθηματικών.Ένα πάρκο της πρωτεύουσας έχει σχήμα κανονικού εξαγώνου ΕΖ πλευράς Κm.Ένας μαθητής που θα συμμετάσχει στον διαγωνισμό,περπατάει κατά μήκος της περιμέτρου του πάρκου,αρχίζοντας από

103 03 την κορυφή και ακολουθώντας την διαδρομή ΕΖ φτάνει σε ένα σημείο Μ έχοντας διανύσει μήκος 5 Κm. a)na υπολογίσετε το υπόλοιπο της διαδρομής β)να βρείτε το εμβαδόν του πάρκου γ)να υπολογίσετε το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος Μ.Στο παρακάτω σχήμα δίνεται κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας R0. Ο To τμήμα μήκους 96 εφάπτεται στο σημείο του κύκλου (Ο,R).Το τμήμα της τέμνουσας έχει μήκος 6. α)να αποδείξετε ότι η είναι πλευρά κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο (Ο,R). β)στο κανονικό εξάγωνο πλευράς,να βρείτε: ι)το απόστημα α 6 ιι)το εμβαδόν Ε 6 ιιι)τη γωνία φ 6.

104 0 ασικες εννοιες και σχεσεις που ισχυουν στον κυκλο. Το μήκος L του κύκλου ακτίνας R δίνεται από τη σχέση L πr. Ένα τόξο, μετρημένο σε μοίρες μ ο R, κύκλου ακτίνας R έχει μήκος κτίνο (rad) ονομάζεται ένα τόξο κύκλου με μήκος R.. Ένα τόξο, μετρημένο σε ακτίνια α, κύκλου ακτίνας R έχει μήκος αr 5. Η σχέση που μετατρέπει μια γωνία από μοίρες σε ακτίνια και αντίστροφα είναι: Το εμβαδόν Ε ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας R δίνεται από τη σχέση E πr. 7. Θεωρούμε έναν κύκλο (O,R) και μία επίκεντρη γωνία Ô. Το σύνολο των κοινών σημείων της επίκεντρης γωνίας Ô και του κυκλικού δίσκου (O,R) λέγεται κυκλικός τομέας κέντρου Ο και ακτίνας R. Το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα (Ο) δίνεται από τις σχέσεις: (Ο AB ) R R Έστω ένας κύκλος (O,R) και μια χορδή του. Η χωρίζει τον κυκλικό δίσκο σε δύο μέρη που βρίσκονται εκατέρωθεν αυτής. Καθένα από αυτά τα μέρη λέγεται κυκλικό τμήμα. Το εμβαδόν ε του κυκλικού τμήματος που περιέχεται στην κυρτή γωνία Ο είναι ε (Ο AB ) ( Ο)

105 05 Λυμένα Θέματα σκήσεις Εμπέδωσης. Πάνω σε ευθεία ε θεωρούμε διαδοχικά τα σημεία,, και. ν L, L, L και L είναι τα μήκη των κύκλων με διαμέτρους,, και 3 αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι L + L + L L. 3 L + L + L ( + + ) L. Να βρείτε το μήκος του εγγεγραμμένου κύκλου σε κανονικό εξάγωνο πλευράς 0cm. R 3 Η ακτίνα του κύκλου θα είναι το απόστημα L Να βρεθεί το μήκος του τόξου που αντιστοιχεί στην πλευρά κανονικού 0-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 5cm. Oι μοίρες του τόξου είναι μ Το μήκος του τόξου θα είναι R.5.36 cm 80 80

106 06. Όταν ένα ποδήλατο διανύει μια απόσταση, ο ένας τροχός του που έχει ακτίνα R κάνει ν στροφές, ενώ ο άλλος που έχει ακτίνα ρ κάνει ν στροφές. Να αποδείξετε ότι R ρ. Ο κύκλος ακτίνας R έχει μήκος R, άρα διανύει απόσταση ν. R. Ο κύκλος ακτίνας ρ έχει μήκος, άρα διανύει απόσταση ν.. ιανύουν, όμως, την ίδια απόσταση Άρα ν. R ν. R ρ. 5. ίνεται κύκλος (Ο,R) και τα διαδοχικά του σημεία,,, ώστε να είναι R και R 3. Να βρεθούν τα μήκη των τόξων AB, B και ως συνάρτηση του R. R AB 90 ο R90 80 R R 3 B 0 ο R0 80 R ο 90 ο 0 ο 50 ο R R 6 ποδεικτικές σκήσεις. Με διάμετρο την ακτίνα Ο ενός κύκλου (Ο,R) γράφουμε κύκλο (Κ) και από το Ο φέρουμε ημιευθεία που τέμνει τον κύκλο (Ο) στο και τον κύκλο (Κ) Στο. Να αποδείξετε ότι τα τόξα και έχουν ίσα μήκη.

107 07 O θ K Έστω θ σε μοίρες η γωνία Κ ΚΟ ˆ θ ˆ ˆ θ σαν εξωτερική του τριγώνου ΚΟ R 80 R 80 R 80 Άρα. Να αποδείξετε ότι το μήκος του κύκλου, που εφάπτεται σε δύο ομόκεντρους κύκλους, ισούται με το ημιάθροισμα ή την ημιδιαφορά των μηκών αυτών, όταν αντίστοιχα ο κύκλος αυτός περιέχει στο εσωτερικό του ή όχι το μικρότερο κύκλο. Έστω Ο το κέντρο των δύο ομόκεντρων κύκλων και Κ το κέντρο του τρίτου. Ονομάζουμε, τα σημεία επαφής του κύκλου (Κ) με το μεγάλο και μικρό κύκλο (Ο) αντίστοιχα. Οπότε τα και θα ανήκουν στη διάκεντρο ΟΚ. Ονομάζουμε L το μήκος του μεγάλου κύκλου (Ο), L του μικρού και L το μήκος του κύκλου (Κ). Όταν ο κύκλος (Κ) περιέχει στο εσωτερικό του το μικρό κύκλο (Ο). L + L π Ο + π Ο B O K A π (Ο + Ο) π () π ( Κ) ( π Κ) L

108 08 Όταν κύκλος (Κ) δεν περιέχει στο εσωτερικό του το μικρό κύκλο (Ο). L L π Ο π Ο π (Ο Ο) O B K A π () π ( Κ) ( π Κ) 3. ίνεται τρίγωνο με α 3cm, β cm και γ 5cm. Να βρείτε το μήκος i) του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ii) του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου τ α + β + γ τ, τ α 8, τ β 7, τ γ 6 Ε () νωρίζουμε ότι Ε τ ρ ρ E 8 Άρα L π 8 π cm νωρίζουμε ότι E R RΕ αβγ R R R R Άρα L

109 09 σκήσεις Εμπέδωσης. ίνεται κύκλος (Ο,R) και ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε αυτόν. Να βρεθεί το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. του R O K Η ακτίνα ΟΚ του εγγεγραμμένου κύκλου τριγώνου είναι ίση με το απόστημα R 3 L (O,OK) R R R. ίνεται κύκλος (Κ) και τόξο του AB 60 ο. ν το τόξο AB έχει μήκος π cm, να βρείτε το εμβαδόν του κύκλου (Κ). Έστω R η ακτίνα του κύκλου (Κ) π R.60 π AB 80 R 3 R E R. π (K) cm 3. ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α. ράφουμε τα τόξα των κύκλων (,α), (, α) και (, α) που περιέχονται στις γωνίες Â, ˆB και ˆ αντίστοιχα. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α την περίμετρο και το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου.

110 0.60 B 80 3 Περίμετρος 3. B B Εμβαδόν καμπυλόγραμμου τριγώνου 3. + () B 3 3 ( ) Στο διπλανό σχήμα έχει σχεδιαστεί ένα 3 3 μ ημικύκλιο διαμέτρου R και μ μ 3 εξωτερικά του τα ίσα ημικύκλια με διαμέτρους Ο,, και. Ο R k εμβαδά των τριών σχηματιζόμενων μηνίσκων κα να αποδείξετε ότι : ν,, είναι τα 3 το εμβαδόν του ημικυκλίου, + ().

111 0 A 60 τα τρίγωνα Ο, Ο, Ο είναι ίσα ισόπλευρα πλευράς R. Άρα Ε R 3 (Ο) R 60 R R R 3 ί R 6 R R 3 R 3 R R R R 3 6 3R R R 3 R 3 R 3 + R 3R 3 R 8 + R 8 3R 3 () (AB) 3(Ο) 3 R 3 3R 3 () (), () ().

112 5. Τρεις ίσοι κύκλοι ακτίνας R εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο στα σημεία, και. Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου, ως συνάρτηση του R. Έστω Κ, Λ, Μ τα κέντρα των κύκλων. Είναι ΚΛ ΛΜ ΜΚ R R Άρα (ΚΛΜ) 3 R 3 K 360 R 60 R 6 Λ Μ Εμβαδόν καμπυλόγραμμου τριγώνου (ΚΛΜ) 3 R 3 3 R 6 R 3 R R 3 ποδεικτικές σκήσεις. ίνεται κύκλος (Ο,R) και ακτίνα του Ο. Στην προέκταση της Ο προς το παίρνουμε σημείο, ώστε Ο. ν είναι το εφαπτόμενο τμήμα που άγεται από το προς τον κύκλο, να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου, ως συνάρτηση του R.

113 3 Στο ορθογώνιο τρίγωνο Ο είναι 0 Ô 60 Ο Ο OB, άρα 0 ˆB 30, άρα R60 R 80 3 Πυθαγόρειο στο τρίγωνο Ο: R R R R 3 R R 3 Περίμετρος του μικτόγραμμου τριγώνου + + R 3 + R 3 + R R Εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου (Ο) R 3.R R 6 R 3 6.Ο R ίνεται τετράγωνο πλευράς α και τα τόξα B και των κύκλων (, α) και (, α) αντίστοιχα. Να βρεθεί το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους του τετραγώνου.

114 πό το εμβαδόν του τετραγώνου θα αφαιρέσουμε τα δύο ίσα λευκά μικτόγραμμα τρίγωνα. τριγώνου Κ. Κ ια το εμβαδόν μ του μικτόγραμμου AKB, από τον κυκλικό τομέα AKB θα αφαιρέσουμε το κυκλικό τμήμα Τρίγωνο Κ ισόπλευρο Â 60 ο Â 30 ο AK (Κ) μ AK Ζητούμενο εμβαδόν () μ

115 5 3. ύο ίσοι κύκλοι ακτίνας R έχουν διάκεντρο ίση με R. Να βρεθεί το εμβαδόν του κοινού τους μέρους. Κ Λ R R R R Είναι KA + A Άρα ˆ Ζητούμενο εμβαδόν δύο κυκλικά τμήματα Άρα ο ρόμβος ΚΛ είναι τετράγωνο ( (Κ) ) R 90 R R 360 R R R. ίνεται ένα ημικύκλιο διαμέτρου και στο εσωτερικό του τα ημικύκλια διαμέτρων και, όπου σημείο της διαμέτρου. Η κάθετος της στο τέμνει το αρχικό ημικύκλιο στο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ των τριών ημικυκλίων ( άρβηλος του ρχιμήδη ) είναι ίσο με το εμβαδόν του κύκλου διαμέτρου. Εμβ. μεταξύ των τριών ημικυκλίων ημικ. διαμέτρου ημικύκλιο. διαμέτρου ημικύκλιο διαμέτρου AB A B 8 8 8

116 6 ( ) Εμβαδόν μεταξύ των τριών ημικυκλίων. () Εμβαδόν του κύκλου διαμέτρου () πό τις (), (), αρκεί να ισχύει τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ύψος. 5.., το οποίο συμβαίνει, αφού το ίνεται κύκλος (Ο,R) και τόξο του 60 ο. Να βρεθεί το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου στον κυκλικό τομέα. O Έστω (Κ,x) ο εγγεγραμμένος κύκλος x x Ε x K στον κυκλικό τομέα και,, Ε τα σημεία επαφής. Κ ΚΕ ΟΚ διχοτόμος της ˆ Άρα ˆ 30 ο Είναι ΟΚ + Κ R x + x R OK x ΟΚ x 3 x R x R 3 E R R x 3 9

117 7 Θέματα για. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα,ο οποίος αναφέρεται σε τόξα κύκλου ακτίνας R6. ωνία Τόξου σε μοίρες 0 7 ωνία Τόξου σε ακτίνια π 0 π Μήκος Τόξου 0π 3. ύο τόξα και ενός κύκλου (Ο,R) έχουν μέτρα 36 ο και π 8 rad αντίστοιχα.ν το τόξο έχει μήκος 8π cm,να βρείτε: α)την ακτίνα R, β)το μήκος του τόξου 3.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο,με: 90 ο, 5cm και cm Na βρείτε το μήκος: α)του περιγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, β) του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.ο εγγεγραμμένος κύκλος ενός κανονικού εξαγώνου έχει μήκος π 08. Να βρείτε: α)το μήκος του περιγγεγραμμένου κύκλου του εξαγώνου, β)το εμβαδόν του εξαγώνου 5.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο,με 90 ο cm και 3.ράφουμε το τόξο του κύκλου (,) και το τόξο Ε του κύκλου (,).Να βρείτε την περίμετρο του μεικτόγραμμου τριγώνου Ε.

118 8 6.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο,με 90 ο,και το ύψος του.ν l, l,l 3 είναι τα μήκη των ημικυκλίων με διαμέτρους, και αντίστοιχα,να αποδείξετε ότι: l 3 l (l - l ) 7.Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 0 3 εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας R. A Ο B R α)να υπολογίσετε την ακτίνα R β)να υπολογίσετε το μήκος του τόξου γ)να υπολογίσετε το εμβαδόν κανονικού εξαγώνου που εγγράφεται στο κύκλο. 8.Σε κύκλο (Ο,R) είναι εγγεγραμμένο τετράγωνο και έστω (Ο,ρ) ο εγγεγραμμένος κύκλος του. Να βρείτε: α)το εμβαδόν του χρωματισμένου χωρίου β)το λόγο των εμβαδών των κύκλων (Ο,R) και (Ο,ρ) 9.Ένας κύκλος (Ο,R) έχει μήκος π 7 cm.να βρείτε την ακτίνα του κύκλου (Κ,ρ) που έχει διπλάσιο εμβαδόν από τον κύκλο (Ο,R).

119 9 0.ίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι (Ο,R) και (Ο,ρ) με R>ρ,και μία χορδή του (Ο,R) που εφάπτεται στον (Ο,ρ). M O Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου που ορίζεται από τους κύκλους (Ο,R) και (Ο,ρ) ισούται με το εμβαδόν του κύκλου με διάμετρο..στο τετράγωνο του παρακάτω σχήματος με διαγώνιο οι πλευρές, είναι διάμετροι των ημικυκλίων. Να υπολογίσετε: α)την πλευρά του τετραγώνου β)το εμβαδόν του τετραγώνου γ)το εμβαδόν του χρωματισμένου χωρίου.ίνεται τετράγωνο πλευράς cm.με διαμέτρους και γράφουμε κύκλους που εφάπτονται στο σημείο Μ,όπως φαίνεται στο σχήμα.

120 0 Να υπολογίσετε: α)το εμβαδόν του τριγώνου ΜΚ,όπου Κ το μέσο το μέσο της, β)το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου Μ 3.Με διαμέτρους τις πλευρές τετραγώνου πλευράς α γράφουμε ημικύκλια μέσα στο τετράγωνο. Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του χρωματισμένου χωρίου που σχηματίζεται..τρεις κύκλοι (Ο,R ), (O,R ) και (O 3,R 3 ) εφάπτονται ανά δύο εξωτερικά στα σημεία, και.ν R R kαι R 3 -,τότε: α)να αποδείξετε ότι το τρίγωνο Ο Ο Ο 3 είναι ορθογώνιο, β)να υπολογίσετε την περίμετρο του καμπυλόγραμμου τριγώνου, γ)να υπολογίσετε το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου. 5.Σε κύκλο (Ο.R) θεωρούμε τις διαδοχικές χορδές R,BR 3 Na υπολογίσετε συναρτήσει της ακτίνας R: α)το εμβαδόν του κυκλικού τομέα Ο,που αντιστοιχει στην κυρτή γωνία Ο,