( ) x( x ) ( ) 1.Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ. Είναι f x ( x ) οπότε. 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=

Transcript

1 .Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι Είναι ( ) () + 9 () () ( ) () () ( )... οπότε. Δίνεται η συνάρτηση () + Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g( ) ( ηµ ) ( ) ( ) ( + ) ( ) + + ( ) g ( )... ηµ συν. Έστω η συνάρτηση Είναι () +. ( + ) η µ + ( η µ + ) 5 συν αν αν () σ υ ν.να δείξετε ότι είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο χ. () συν συν οπότε επειδή lim( ) lim () και από Κριτήριο Παρεμβολής

2 έχουμε ότι () () lim συνεχής στο χ. Για είναι λ() () () λ() συν και κατά συνέπεια η είναι συν συν και συν οπότε και επειδή lim( ) lim λ() από κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι () lim λ() 4. Για τη συνάρτηση / R ισχύει ότι () ().Να υπολογίσετε () 9 το όριο lim + () Λόγω υπόθεσης θα έχουμε () lim () Θέτουμε g() () ( )g( )() Είναι ακόμη g() και () () lim lim X () ( () )( () + ) ( )( ) () ( + ) ( + ) () 9 Έχουμε lim lim + ( ) g() ( () + ) g() () lim lim ( )( ) () 8 5. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο χ και για κάθε χ ε R ισχύει () () + () ηµχ () να δείξετε ότι ( )

3 Αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο χ,θα είναι και συνεχής στο χ και κατά συνέπεια θα ισχύει () () L R (). lim Παίρνουμε όρια στη σχέση () και έχουμε lim( () () + ()) lim( ηµχ) ( L+ ) L L L + L L L (Αφού η εξίσωση L L+ έχει Δ-< και κατά συνέπεια δεν έχει πραγμ. ρίζες). Οπότε η () () () () lim Στη σχέση () διαιρούμε με χ και έχουμε : () () + () ηµ () () () () () () () + Αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο χ θα είναι () () lim L R ηµ Οπότε παίρνοντας όρια, στη σχέση () για έχουμε, L L + L L L + L L (L ) + (L ) (L )(L + ) L.Δηλαδή (). 6. Αν η συνάρτηση : R R παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ότι ( + ) ( + ) για κάθε R.Να βρείτε την παράγωγο της () στο χ Παραγωγίζουμε τη δοσμένη ισότητα(αφού μας δίνεται ότι η είναι παραγωγίσιμη στο R ) και έχουμε: [ ( + ) ( + ) ] ( ) ( + ) ( + ) () () (θέτουμε χ) (4)

4 7. Αν για τη συνάρτηση : R R ισχύει ότι () (ψ) ψ+ ψ () για κάθε,ψ R.Να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο R. 4 Η δοσμένη σχέση γράφεται () (ψ) ( ψ) () (ψ) ψ () Θέτουμε στην () όπου χ το χ+h και όπου ψ το χ και έχουμε ( + h) () + h ( + h) () h (διαιρούμε με h >) ( + h) () h ( + h) () ( + h) () h h h h h h h Όμως lim( h) limh h h οπότε από κριτήριο παρεμβολής θα ( + h) () είναι και lim R κατά συνέπεια η είναι h h παραγωγίσιμη στο R και (). () 8.Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων +ηµχ α) () συνχ β) g()(+ )ln γ) h() + συν α) ( ) ( + ηµ) συν ( + ηµ)( συν) ( συν) συν + ηµ + ηµ + ηµ ( συν) συν β) g ( ) ( + ) ln+ ( + )( ln) 6 ln+ ( + ) ( + ηµ)( ηµ) ( συν)

5 γ) ( ) ( ) ( + ) ( )( + ) h ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) 5 9.(α)Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση με ()> R. Να βρείτετην παράγωγο της συνάρτησης F με F( ) [ ( ) ], (β)έστω α>. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g με g( ), R. 99-ΔΕΣΜΕΣ R. (α)αφού η είναι παραγωγίσιμη στο R και ()>, Rγια την F θα έχουμε ότι : ln ( ) ln ( ) F ( ) {[ ( ) ] } [ e ] e [ ln( ) ] ln + ln { } [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) ln +, ( ) + α R. (β)για το πεδίο ορισμού της g έχουμε ότι D(g)R. Επίσης η g είναι παραγωγίσιμη στο R σαν σύνθεση των παραγωγισίμων στο R συναρτήσεων ω με ω( ) + και σ με σ( ) α συνεπώς θα έχουμε για την g ( )

6 ( ) ln( ) g α α + α R. ( ) α ln ln + 6. Α.Μία συνάρτηση έχει συνεχή παράγωγο στο R και ισχύει / χ + 4 lim Να αποδείξετε ότι η είναι δύο φορές χ παραγωγίσιμη στο χ ο Β. Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν παραγωγίσιμες συναρτήσεις, g με g ώστε ( ) g( ) χ Α. Πρέπει να βρω το ( ) Άρα '' Θέτω g( ) ( ) / + 4 limg Ισχύει ότι ( ) ( ) Από / ( ) lim ( ) lim g( ) όπου ' lim ( ) lim g ( ) ' ( ) ( ) lim ' ( ) ( ) / ( ) ( ) / // lim / ( ) g( ) + + 4( ) ( ) / / [ + + 4] ( ) + ( ) ( ) γιατί η ' ( ) είναι συνεχής ' ( ) ( ) g( ) g( ) lim lim + lim ( ) ( + 4 )( ) + lim + lim ( ) ( ) + 4

7 Β.Έστω υπάρχουν οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις,g. Είναι ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g χ g + g g + g 7 άτοπο.δίνεται η συνάρτηση : R R άρτια και παραγωγίσιμη και 4 g : R R με g () + 7+ () + 4.Να αποδείξετε ότι η εφαπτόμενη ευθεία της C στο σημείο A (,() ) είναι παράλληλη στην ευθεία (ε): ψ 7() +. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη και 4 g() 4 ( () )() () + 4 g 7() + ( () + ( ) οπότε ( ) ) () Όμως η συνάρτηση είναι άρτια οπότε θα είναι ( ) () R,άρα και ( ( ) ) () ( ) () () () () (). Άρα από () g ( ) 7( ) C στο σημείο (,() ) : ψ 7() +. και για χ γράφεται δηλαδή η εφαπτόμενη ευθεία της A είναι παράλληλη στην ευθεία (ε).οι συναρτήσεις,g,h έχουν κοινό πεδίο ορισμού το R και ικανοποιούν τις σχέσεις () g() h() (),()g()h() Επίσης οι g, h είναι παραγωγίσιμες στο χ με ()h ()5 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C g στο χ.

8 8 Από τη σχέση () έχουμε ()- g() - h()- άρα και ()- () g() - g() h()- h() () () () g() g() h() h() Αν χ> από () έχουμε () () g() g() h() h() Αν χ< από () έχουμε Όμωςλόγω υπόθεσης () () () () lim lim () 5 + Και h() h() h() h() lim lim h () 5 + Οπότε από κριτήριο παρεμβολής θα είναι και g() g() lim g () 5. Κατά συνέπεια η την εξίσωση της εφαπτομένης της C g στο χ είναι ψ g() g ()( ) ψ 4 5( ).... Να βρεθεί η συνάρτηση g ορισμένη στο διάστημα π π, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις g ()συν + g()ηµ g()συν και g () ΔΕΣΜΕΣ Ισχύει από υπόθεση ότι g ()συν + g()ηµ g()συν

9 9 :συν g()συν g()(συν) g()συν g ()συν g()(συν) g()συν συν συν A g() g() g() π π ce g() ce συν (), συν συν συν Για χ η () υποθ g() ce συν 99 c Οπότε από () g() 99e συν 4. Έστω η συνάρτηση :[ α,β] R συνεχής στο [,β] παραγωγίσιμη στο ( α,β) και (α) αποδείξετε ότι υπάρχει ( α,β) α και α (β) β ().Να ( ) ώστε. Θεωρούμε τη συνάρτηση h() () Η h () είναι συνεχής στο [ α,β] (σαν διαφορά συνεχών συναρτήσεων) Είναι h () () ορίζεται στο ( α,β) κατά συνέπεια η συνάρτηση h () είναι παραγωγίσιμη στο ( α,β). Από () προκύπτει ότι h (α) h(β ). Για την h () ισχύουν οι προυποθέσεις του. Rolle,κατά συνέπεια υπάρχει ( α,β) Δηλαδή ( ) ώστε h( ) Θ στο [ α,β]. 5. Έστω η συνάρτηση :(, ) R (,+ ) και η η είναι γνησίως αύξουσα στο (,+ ) Έστω οι αριθμοί α, β, γ, δ ανήκουν στο (,+ ) ώστε α<β<γ<δ, α+δβ+γ, A (α) + (δ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς Α και Β. + φορές παραγωγίσιμη στο. τέτοιοι, B (β) + (γ).

10 Για τη συνάρτηση ισχύει φανερά το Θ.Μ.Τ στα διαστήματα [ α,β] και [,δ] α,β γ,δ γ.κατά συνέπεια υπάρχουν χ ( ) και χ ( ) (β) (α) (δ) (γ) ώστε ( ) και ( ) () β α δ γ Λόγω υπόθεσης η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (,+ ),κατά συνέπεια,. και στο διάστημα [ ] Είναι < ( ) < ( ) ( ) α+δβ+γ α-βγ-δ) (β) (α) β α < (δ) (γ) δ γ (αφού (β) (α) < (δ) (γ) (β) + (γ) < (α) + (δ) B < A A > B α χ β γ χ δ + 6. Έστω η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R με + 5 () + 5() e Να δείξετε ότι δεν έχει τοπικά ακρότατα. Αφού η είναι παραγωγίσιμη στο R,αν παρουσιάζει στο χ τοπικό ακρότατο,θα έχουμε,σύμφωνα με το θεώρημα του FERMAT ότι ( ). () Με παραγώγιση της δοσμένης ισότητας έχουμε + 4 () () + 5 () e και για χχ γράφεται ( 4 ) ( ) + 5 ( ) e Άτοπο αφού e >. ( ) 4 e Κατά συνέπεια η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα

11 7. Έστω η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση () τέτοια ώστε () και () e για κάθε R της εφαπτομένης της C στο..να βρεθεί η εξίσωση Η δοσμένη σχέση () e γράφεται ισοδύναμα () e Θεωρούμε τη συνάρτηση g() () e Η συνάρτηση g () είναι παραγωγίσιμη στο R,άρα και στο Είναι g() g() g( ), δηλαδή η g έχει ακρότατο στο Κατά συνέπεια από το θεώρημα του Fermat θα ισχύει g () () Όμως g() () e ( ) () + e g() () + () + () Η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο έχει εξίσωση ψ () ()( ) ψ ψ + 8. (α)να δείξετε ότι η συνάρτηση () e + ln( + ) είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. (β)να δείξετε ότι η εξίσωση e ln( + ) λύση την χ έχει μοναδική (α) Το πεδίο ορισμού της () είναι Α[,+ ). Είναι () e + > για κάθε χ>- και κατά συνέπεια + η είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

12 (β)είναι () e + ln δηλαδή η χ είναι ρίζα της () Όμως η είναι γνησίως αύξουσα και κατά συνέπεια η χ είναι μοναδική λύση. 9. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία-ακρότατα τη συνάρτηση () + Το πεδίο ορισμού της () Είναι () /R { } είναι A R { } () ± οπότε έχουμε τον πίνακα χ - + () () Μ Ε. Α. Έστω η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα για κάθε.αν () να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () h() e + είναι γνησίως αύξουσα για κάθε >. Β. Δίνεται ότι η συνάρτηση είναι φορές παραγωγίσιμη στο

13 διάστημα [,+ ) και η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα για κάθε.αν () να αποδείξετε ότι η () συνάρτηση h() + e + είναι γνησίως αύξουσα για κάθε >. Α. Εδώ δεν μπορούμε να εργαστούμε με χρήση βοηθητικής συνάρτησης, στην εύρεση του προσήμου της h () και αυτό γιατί δεν δίνεται ότι ηείναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. () () Είναι h() e + () Εφαρμόζουμε για τη συνάρτηση () Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [,]. Η () λόγω υπόθεσης είναι παραγωγίσιμη στο [,+ ) άρα και συνεχής στο [,]. Η () είναι παραγωγίσιμη στο [,+ ) άρα και στο (,). Κατά συνέπεια από το Θ.Μ.Τ. υπάρχει ξ (,) ώστε () () () (ξ) () (ξ). Κατά συνέπεια η σχέση () ισοδύναμα γράφεται () (ξ) [ () (ξ)] h() e + e + () Όμως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα οπότε Για ξ (,) είναι < ξ < οπότε () < (ξ) < (). Από τη σχέση () προκύπτει ότι h () > για κάθε χ> και κατά συνέπεια η συνάρτηση h () είναι γνησίως αύξουσα για κάθε >. () () Β. Είναι h() + e + () Θεωρούμε τη βοηθητική συνάρτηση

14 g() () (). Είναι g () () + () () () για κάθε >. Κατά συνέπεια η συνάρτηση h () είναι γνησίως αύξουσα για κάθε >. 4.Σημείο Μ κινείται μεταξύ δύο σημείων Α και Β που απέχουν m με ταχύτητα m/sec. Για κάθε θέση του σημείου Μ θεωρούμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΜΓ και ΜΒΔ. i Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων ως συνάρτηση του χρόνου. ii Σε ποια χρονική στιγμή το εμβαδό που ορίζεται από την παραπάνω συνάρτηση γίνεται ελάχιστο; iii Σε ποια θέση του σημείου Μ συμβαίνει αυτό και πόσο είναι το ελάχιστο αυτό; iv Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού όταν (ΑΜ) 8m i)αν με χ συμβολίσουμε την απόσταση ΑΜ για την τυχαία θέση του Μ τότε ut tοπότε MB t ( 5 t) 5 t > t < 5 άρα χ t 4 ( AMΓ) t ( MBΓ) ( ) ( 5 t) άρα ( t) t + ( 5 t) t t+ 5

15 5 ii)h συνάρτηση (t) είναι συνεχής ως πολυωνυμική και παραγωγίσιμη με παράγωγο ' ( t) t ' ( t) t t t 5 Άρα για t 5/ έχω την ελάχιστη τιμή της (t) δηλ το ελάχιστο 5 iii)άρα για 5 5 t έχω: t 5m ( AM) 5m και επειδή ( AB) m το ελάχιστο εμβαδό δημιουργείται όταν το Μ βρίσκεται στο μέσο του ΑΒ. εμβαδό ( 5/) iv)όταν ( AM) 8mεπειδή ( AM ) ut 8 t t 4sec άρα ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής είναι ( t) d dt t 5/ 5 ' t - + t 4 ' ( 4) Δείξτε ότι ( ) ( ) ( t) ln+ 4 Θεωρώ συνάρτηση ( ) ln ( + ) ' ( )... + για για κάθε χ άρα η είναι στο R + Άρα για κάθε ΕΛΑΧΙΣΤΟ 4 4 ( ) ( ) ln ( + ) + ln ( + )

16 6. Να αποδείξετε ότι: α. Η συνάρτηση () +--ηµ, єr, είναι γνησίως αύξουσα. β. Η εξίσωση +-ηµ έχει µία µόνο ρίζα στο διάστηµα (,). -ΔΕΣΜΕΣ α] '() + συν + ( συν ) για κάθε R. Αρα γνησίως αύξουσα στο R. β] για την παραπάνω () ισχύει το Θ.BOLZANO, αφού συνεχής στο [,] () - <, () ημ > δηλαδή ()() <, άρα υπάρχει τουλάχιστον ρίζα στο (,) η οποία είναι μοναδική αφού γνησίως αύξουσα στο R άρα και στο 4. Έστω μια συνάρτηση με συνεχή παράγωγο για χ [ α,β] Αν ( β) ( γ) ( γ) ( α) ξ τέτοιο ώστε ( ξ ) υπάρχει γ ( α,β) τέτοιο ώστε ότι υπάρχει ( α,β) ' < να αποδείξετε Εφαρμόζω ΘΜΤ για τη συνάρτηση () στα διαστήματα a,γ και γ,β [ ] [ ] Άρα υπάρχει ( α,γ) Και ( γ,β) χ ώστε ( ) ( γ ) ( a ) ' ' χ ώστε ( ) γ a ( β) ( γ) β γ

17 Επειδή τα ( γ) ( a) και ( β) ( γ) είναι ετερόσημα, ' ' ' ' και γ-α>, β-γ> άρα ( ), ( ) ετερόσημα άρα ( ) ( ) < ' Εφαρμόζω το Θ.Bolzano για την στο[ χ,χ ] ' ' ( ) ( ) < οπότε υπάρχει ( χ,χ ) ( α,β) ώστε / ( ξ) αφού / συνεχής και ξ 7 5. Αν για τη συνάρτηση ισχύουν ( ) a και ' ( ) a( ) a για κάθε R συνάρτηση g( ) ( ) ( ) ο τύπος της Η g είναι παραγωγίσιμη στο R με :. Να δείξετε ότι η είναι σταθερή και να βρεθεί ' ' ' g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a( ) ( ) a( ) ( ) Άρα η g είναι σταθερή δηλ για κάθε R g( ) c Είναι g ( ) ( ) ( ) g( ) ( ) ( ) a είναι σταθερή είναι g ( ) a και επειδή η g 6. Δίνεται η συνάρτηση φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [,] και ισχύει () () + (). : ( ). Να δείξετε ότι υπάρχει χ ε (,) Για τη συνάρτηση ισχύει φανερά το Θ.Μ.Τ στα διαστήματα [,] και [,].Κατά συνέπεια υπάρχουν χ (, ) και χ (,) () () () () ώστε ( ) και ( ) () Λόγω υπόθεσης η συνάρτηση είναι χ χ

18 φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [,]. Κατά συνέπεια Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (, ). Ισχύει ότι ( ) ( ) αφού ( ) ( ) ( ) () () () () () () () () () () + () που ισχύει λόγω υπόθεσης Οπότε για τη συνάρτηση ισχύεει το θεώρημα Rolle στο,. Κατά συνέπεια υπάρχει ένα τουλάχιστο διάστημα [ ] (, ): ( ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο () ηµχσυνχ Είναι () Για κάθε συνχ συνχ συνχ ( ηµχ ) π, ( ηµχ ) π, με π συνχ ή ή ηµχ π 4 είναι συνχ>, άρα το πρόσημο της () εξαρτάται μόνο από το πρόσημο του ηµχ Η συνάρτηση h () ηµ είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε :αν π :, R π, 4 µε () ηµ π 4 ηµ + είναι < ηµ < ηµ ηµ < π 4 π

19 ηµχ < () < π π π π αν, είναι > ηµ > ηµ ηµ > ηµχ > () >.Έτσι έχουμε τον πίνακα μεταβολών Σύμφωνα με τον πίνακα μεταβολών έχουμε χ π/4 π/ π π π - + Τ.Ελάχιστο ηµ ηµ Τ.Μέγιστο () π Τ.Μέγιστο ( ) + 9 τ.µ. τ.ε. τ.µ. 8. Έστω η συνάρτηση, φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα () (,+ ) με () + 5 για κάθε (,+ ).να αποδείξετε ότι η εφαπτόμενη της C σε κάθε σημείο της, βρίσκεται κάτω από την C. Πολλαπλασιάζουμε τη δοσμένη σχέση με χ και έχουμε : () () + 5 ή () () 5 ή (διαιρούμε με χ ) () () 5 () ή ( ) () 5ln οπότε 5ln c (με c R) ή () 5ln + c οπότε 5 () 5ln+ 5 + c 5ln+ c+ 5 () >,+. για κάθε ( )

20 Άρα η,+ και κατά συνέπεια η εφαπτόμενη της C σε κάθε σημείο της, βρίσκεται κάτω από την C. C στρέφει τα κοίλα άνω στο ( ) 9. Έστω η : R R παραγωγίσιμη στο [-,] για την οποία ισχύει: ( ) ( ) για κάθε [,] A.Δείξτε ότι η αντιστρέφεται g δεν ορίζεται στο (-,) B.Δείξτε ότι η ( ) ( ) 995 ( ) + [ ( ) ] + ( ) + ( ) / 994 / ( ) + 995[ ( ) ] ( ) + / 994 ' [ ] + ( ) ( ) + 995( ) Άρα η άρα - άρα υπάρχει η <,, Αρκεί να δείξω ότι ( ) ( ) 995 Ισχύει ότι: ( ) + [ ( ) ] +, [, ] 995 Θέτω χ και έχω () + [ () ] () + ( () ) < έχω ( ) < () ( ) < Επειδή και χ 995 / ( [ ]) ( + ) ( ( ) ) 994 > 994 [ ] () /. α) Δίνεται η συνάρτηση ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ με τιμές στο (,+ ).Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g()ln() χεδ στρέφει τα κοίλα άνω αν και μόνο αν ισχύει η σχέση: () (χ) [ ()] για κάθε χ ε Δ. β) Να βρεθεί το μέγιστο διάστημα στο οποίο η συνάρτηση g με g()ln( +) στρέφει τα κοίλα άνω.

21 α)για κάθε χ ε Δ είναι g (χ) g (χ)( () () ()() [ ()] [()] ) () () Η g στρέφει τα κοίλα άνω αν και μόνο αν g (χ) για κάθε χ ε Δ και επειδή () > είναι [()] > άρα g (χ) ()() [ ()] () (χ) [ ()] για κάθε χ ε Δ και β)η συνάρτηση g είναι φορές παραγωγίσιμη στο R σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρήσεων και είναι : g (χ) + ( () επίσης g (χ) ( + ) 4 + ) ( ( + ) ) οπότε g (χ) (αφού (χ +) >) - χ ( ) ( -χ)( +χ) χ ε [-, ] Επομένως το μέγιστο διάστημα στο οποίο η συνάρτηση g στρέφει τα κοίλα άνω είναι το [-, ]. Θεωρούμε τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις, g που έχουν πεδίο ορισμού το [,+ ) για τις οποίες ισχύει η σχέση : () g() + ηµ e για [,+ ) + Να αποδείξετε ότι: () g() < g() + () + για κάθε [,+ ) Θεωρούμε τη συνάρτηση h() () g( ) Είναι h() () g() ηµ + e > υπ. 996-ΔΕΣΜΕΣ

22 Κατά συνέπεια η συνάρτηση h () είναι γνησίως αύξουσα,οπότε Για κάθε (,+ ) h είναι > h() > h() () g() > () g( ) () + g() < g() + (). Έστω η συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν : () < () () () για κάθε R και Να αποδείξετε ότι α) () < () για κάθε (,) και () < () για κάθε (,) β)να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση () h () για R. e α)θεωρούμε τη συνάρτηση g() () ().Είναι g() () () u ποθ > Όμως η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα,οπότε έχουμε Για χ < είναι g () < g() () () < () () () () < () < () Για χ > είναι g () > g() () ( > () () () () > () > () β) Είναι e () e () e h() e () < ( [ () () ] e () () e h () < οπότε Για χ < είναι ) άρα και δηλαδή η h είναι γνησίως αύξουσα Για χ > είναι () > () άρα και h () > δηλαδή η h είναι γνησίως αύξουσα.

23 . Έστω η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα ( e,+ ) και για την οποία ισχύουν : (e ) και () ln για κάθε (e, + ) Να αποδείξετε ότι e (e ). Θεωρούμε τη συνάρτηση g() () ln+ g(e ). () Είναι g () () οπότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα ( e,+ ),άρα θα είναι παραγωγίσιμη και στο e. Από τη σχέση () προκύπτει ότι η συνάρτηση g έχει ακρότατο στο e. Κατά συνέπεια από το θεώρημα του Fermat έχουμε g(e ) άρα ( e ) e (e ) e 4. Μια εταιρεία παράγει τον μήνα χ μονάδες ενός προϊόντος με 6 κόστος K ( ) ( + ) ευρώ. Τις χ μονάδες τις πουλάει με τιμή A( ) ( 5 ) ευρώ / μονάδα. Να βρείτε: I. Πόσες μονάδες πρέπει να παράγει, ώστε να μεγιστοποιήσει το κέρδος και ποια είναι τότε η τιμή πώλησης κάθε μονάδας. II. Ποιο το μηνιαίο κέρδος στο παραπάνω επίπεδο παραγωγής III. Ποια πρέπει να είναι η τιμή πώλησης για να προκύψει μέγιστο κέρδος όταν επιπλέον έχουμε επιβολή φόρου 4 ευρώ / μονάδα

24 4 I. Το συνολικό κέρδος θα δίνεται από τον τύπο: χ + Ρ'(χ) + - Ρ(χ) 6 ( ) A( ) K( ) ( 5 ) ( + ) P 5 P' P' ( ) ( + 4 )' ( ) ( ) 4( ) Η Ρ(χ) παρουσιάζει μέγιστο για χ άρα πρέπει να παράγει μονάδες ώστε να μεγιστοποιήσει το κέρδος της. Η τιμή πώλησης κάθε μονάδας θα είναι: A 5 Α(). ευρώ. ( ) 6 II. Το μηνιαίο κέρδος για χ θα είναι: 6 Ρ ( ) δρχ δηλ. Ρ(.)9.. ευρώ III. Ο νέος τύπος του κέρδους είναι: Ρ ( χ) Ρ( χ) 4.χ 6 6 Ρ( χ) χ + 4.χ 4.χ χ + 6.χ Ρ '( χ) 4χ+ 6. 4( χ 9) Ρ '( χ) χ 9 χ 9 `Αρα για να μεγιστοποιηθεί το κέρδος η τιμή πώλησης θα γίνει: 5-*9 ευρώ

25 5.Έστω, g : R R είναι συναρτήσεις συνεχείς στο τέτοιες 4, για κάθε χ є R ώστε να ισχύει ( ) g( ) Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση ψχ-7 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της (), καθώς + 5 α) Να βρείτε τα όρια : i) ιι) β)να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση ψχ- είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g καθώς - ΔΕΣΜΕΣ α) Από () - g() - 4 g() () + 4, για R. Η ευθεία y -7 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της, καθώς +, θα έχουμε Έτσι είναι : lim + ( ) και lim (() ) lim + g ( ) lim + ( ) + 4 ( ) lim ( ) +. Ακόμη : g( ) + + ηµ lim + ( ) + lim + g( ) ηµ + + ( ( ) ) , διότι

26 lim + και lim + lim (- + ) + lim ηµ ηµ ( για κάθε > : - άρα θα είναι και lim + ηµ ). β) Για να δείξουμε ότι η ευθεία με εξίσωση y - είναι και ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g, καθώς +, αρκεί να δείξουμε ότι ισότητα lim + g ( ) lim (g() ) + + lim + g ( ) και lim (g() ) -. Η + έχει αποδειχθεί στο (α). Έχουμε : lim (() ) lim (() ) Έστω η συνάρτηση : [α, β] R, η οποία είναι συνεχής στο [α, β],παραγωγίσιμη στο (α, β) και (α)β, (β)α. α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α, β). β. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ (α, β) τέτοια ώστε (ξ ) (ξ ) 4. -ΔΕΣΜΕΣ α) Θεωρούμε τη συνάρτηση g() () -, η οποία είναι συνεχής στο [α, β] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.

27 Ακόμη είναι g(α) (α) α (β α) > και g(β) (β) β -(β α) <, αφού β > α. Άρα g(α)g(β) <, επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση g() (), έχει μία τουλάχιστον ρίζα γ (α, β). β) Είναι (γ) γ. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, γ] και παραγωγίσιμη στο (α, γ) οπότε σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ( γ ) ( α) γ β ξ (α, γ) (α, β) τέτοιο ώστε (ξ ). γ α γ α Επειδή η είναι συνεχής στο [γ, β] και παραγωγίσιμη στο (γ, β), σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (γ, β) (α, β) τέτοιο ώστε ( β ) ( γ ) α γ γ α (ξ ). β γ β γ γ β Άρα υπάρχουν ξ, ξ (α, β) τέτοια γ β γ α ώστε (ξ ) (ξ ) 4. γ α γ β 7. Δίνεται η συνάρτηση., i) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία ii) Να δειχθεί ότι : iii) Να δειχθεί ότι: 7

28 i) Για κάθε έχουμε: 8, Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο ii) Είναι και γν. φθίνουσα στο, άρα () iii) Θέτουμε στην () : 8. α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος (c) των εικόνων του μιγαδικού z + yi,,y R, για τον οποίο ισχύει: 4 z 4 Im(z) β) Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων της (c) οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων. γ) Να βρεθούν οι μιγαδικοί που αντιστοιχούν στα σημεία επαφής των εφαπτομένων με την καμπύλη (c).

29 9 α) Είναι και, οπότε: 4 z 4( Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η παραβολή (c) : y β) Η είναι παραγωγίσιμη στο R με Έστω το σημείο επαφής μιας εφαπτομένης που διέρχεται από το. Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι : Από την () για y Im( z) y z + 4 Im(z) y παίρνουμε Άρα τα σημεία επαφής είναι τα Από την () για και προκύπτουν οι εξισώσεις των και εφαπτομένων της στα σημεία Α και Β που είναι αντίστοιχα και ) 4 y+ () + A(,( )) + 5 y O(,) + γ) Οι μιγαδικοί που έχουν εικόνες τα σημεία Α και Β είναι οι: z + i και () ε : y ( ) ( )( ) y ( + ) ( ) () B(, ( )) B(,) ε : y y (c) ε : y A(,()) ± A(,)

30 9.Να αποδείξετε ότι e + για κάθε. e Έστω η συνεχής συνάρτηση με,. Θα μελετήσουμε την ως προς τη μονοτονία της. ' Είναι ( ) e '', ( ) e και '' > e > e > lne > ln > ln ( ) Από τον πίνακα μεταβολών για την ' έχουμε Η έχει ολικό ελάχιστο στο ' ' ln Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα για άρα e e e. ( ) ' ln ( ) ( ) ln ( ) ( ) '( ) ( ln ) ( ) ( ) > ' e ln ' ln ' lne ln ( ) ( ) επομένως e + για 4. Έστω ƒ: (,+ ) R δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο (,+ ) και α, β, γ > με α<β<γ τέτοια ώστε ƒ(α) α, ƒ(β) β, ƒ(γ) γ. Να αποδειχθεί ότι : i) Υπάρχουν κ, λ τέτοια ώστε ƒ(κ) κƒ (κ) και ƒ(λ) λƒ (λ) ii) Αν η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(κ, ƒ(κ)) και Β(λ, ƒ(λ)) διέρχεται και από το σημείο Ο(,), να δειχθεί ότι υπάρχει χ > : ƒ (χ )

31 Θεωρώ τη συνάρτηση με <α<β<γ. Προφανώς ισχύουν : g(α) g(β) g(γ) Η g είναι συνεχής στα [α, β} και [ β, γ] ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων Η g είναι παραγωγίσιμη στα ( α, β) και ( β, γ) με ( ). ( ) g ( ) () Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχουν κ (α, β) και λ ( β, γ), ώστε : g (κ) g ( λ) και λόγω της ( ) προκύπτει κ. (κ) (κ) και λ. (λ) (λ) () ii) Βρίσκουμε τους συντελεστές διεύθυνσης των ΟΑ και ΟΒ : () ( κ ) λ ΟΑ ( κ ) κ () ( λ) λ ( λ) ΟΒ λ Εφόσον όμως είναι συνευθειακά τα σημεία Α, Β, Ο θα ισχύει : λ ΟΑ λ ΟΒ δηλαδή ( κ) (λ) Εφαρμόζουμε το Θ. Rolle στο [ κ, λ], όπου η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη : υπάρχει χ (κ,λ), ώστε (χ ) 4. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ με κ<λ και η συνάρτηση () (-κ) 5 (-λ) με R. Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) g( ) ( ) 5 α) + κ λ β) Η συνάρτηση g()ln () κάτω στο διάστημα (κ, λ)., για κάθε κ και λ. στρέφει τα κοίλα προς τα 995- ΔΕΣΜΕΣ

32 α) Για κάθε Rείναι ()5(-κ) 4 (-λ) +(-κ) 5 (-λ), άρα για κάθε R { κ,λ} έχουμε ( ) ( ) 4 5( κ) ( λ) ( κ ) ( λ) 5 5 ( κ) ( λ) ( κ) ( λ) + 5 ( ) ( ) 5 + κ. λ β) Για κάθε (κ, λ) ισχύει κ<<λ g()ln(-()), επομένως g () κ > λ < ( ) ( ) ( ) ( ) ()< 5 + κ και λ 5 g () ( κ ) κάτω στο (κ, λ). ( λ) + <.Άρα η g στρέφει τα κοίλα προς τα 4.Δίνεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Rγια την οποία ισχύει : ()+(6-)+, για κάθε R. α) Να βρείτε τον τύπο της. β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης g( ) (). ln α) Θέτουμε όπου το 6- και από το σύστημα που προκύπτει βρίσκουμε ()668-. β) Είναι g() Επειδή 668 ln g ( ) lim +, (, ) (,+ ). και lim (g()- ) - R, η C δεν + έχει οριζόντιες ή πλάγιες ασύμπτωτες.είναι + lim g() R

33 και + lim g() +, lim g() - οπότε η C έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία. 4.Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αποδείξτε ότι αν η στρέφει τα κοίλα άνω στο [α, β] τότε ( α+β ( α ) + ( β) < ) αν η στρέφει τα κοίλα κάτω στο [α, β] τότε α+β ( α ) + ( β) > Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής για την στα διαστήματα α +β α +β α +β [α, ],[, β] οπότε υπάρχουν ξ ( α, ), α +β ξ (, β) τέτοια ώστε (ξ ) (ξ ) α + β ( β ) ( ) β α α + β ( ) ( α) β α και. Αν η είναι κυρτή (κοίλη) τότε η είναι γνησίως αύξουσα (γνησίως φθίνουσα) οπότε ξ < ξ (ξ ) < (ξ ) ( (ξ ) > (ξ )) και μετά τις πράξεις παίρνουμε το ζητούμενο.

34 4 44. Έστω η συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, τέτοια ώστε : (5) + () (5) + (). α) Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ (, 5) με ξ < ξ τέτοια ώστε ( ξ ) ( ξ ). β) Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 5) τέτοιο ώστε (ξ). Η δοθείσα ισότητα γράφεται () - () (5) - (5) () () (5) (5) 5 5. Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής για την στα διαστήματα [, ] και [5, 5] και συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν ξ, ξ τέτοια ώστε ( ξ ) ( ξ ), με ξ (, ) και ξ (5, 5). β) Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την στο [ξ, ξ ]. 45. Δίνεται η συνάρτηση () e + +, R. α) Να δείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να λύσετε την εξίσωση (). γ) Θεωρώντας ότι η είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, να βρείτε την παράγωγο της στο σημείο. α) Για κάθε Rείναι () e + + > η είναι γνησίως αύξουσα η είναι η είναι αντιστρέψιμη.

35 5 Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο τιμών της, δηλαδή το (R) ( lim (), lim () ) (, + ) R. + β) Παρατηρούμε ότι (), άρα (). H είναι γνησίως αύξουσα στοr, αφού αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν α, β R με α < β και (α) (β) θα είχαμε ( (α)) ( (β)) α β (άτοπο). Άρα η εξίσωση () έχει μοναδική λύση την. γ) Για κάθε y Rέχουμε : ( (y)) y ( (y))( ) (y) (y) ( ) (y) (). ( ( y )). Για y : ( ) () ( ()) 46. α) Έστω μια συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση στο [α, β]. Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει λύση στο (α, β) αν και μόνο αν (α)(β) <. β) Να δείξετε ότι η εξίσωση λ έχει λύση στο (-, ) αν και μόνο αν λ (- 4, 4). α) Αν (α)(β) < τότε από το θεώρημα Bolzano η εξίσωση () έχει λύση στο (α, β).

36 6 Έστω τώρα ότι η εξίσωση () έχει λύση τον αριθμό ξ (α, β). Τότε θα είναι : (α) < (ξ) < (β) (α) < < (β), αν η είναι γνησίως αύξουσα ή (α) > (ξ) > (β) (α) > > (β), αν η είναι γνησίως φθίνουσα. Σε κάθε περίπτωση είναι (α)(β) <. β) Έστω () λ, [-, ]. H είναι γνησίως αύξουσα στο [-, ] και συνεχής σε αυτό, οπότε σύμφωνα με το (α) : η () έχει λύση στο (-, ) (-)() < λ (- 4, 4 47.Αν η κυρτή στο IR και ( ) βρείτε το πρόσημο της / g( ) ( ) ( ) Αν < στο διάστημα [χ, ] ισχύει το Θ.Μ.Τ. οπότε υπάρχει o μεταξύ του χ και του ώστε: / ( ) () ( ) ( o ). Στο / σημείο αυτό χρησιμοποιούμε τη μονοτονία της η οποία είναι γνησίως αύξουσα αφού κυρτή στο IR ως εξής: χ<χ ο < άρα / / / / ( ) / ( ) < ( o ) < () ( ) < () < πολλαπλασιάζουμε την πρώτη ανισότητα με το αρνητικό χ, αλλάζοντας τη φορά της : / ( ) > ( ) επομένως: g ( ) < για κάθε χε(-,). Με τον ίδιο τρόπο αν χ> θα συμπεράνουμε ότι: g ( ) < για κάθε χε(,+ ).