ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

Transcript

1 ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò [1,, 3, 4, 5, 6, 7] Ïñéóìïß óôù z ìéá ìåôáâëçôþ, ðïõ óõìâïëßæåé ôéò ôéìýò åíüò óõíüëïõ D üðïõ D C ìå C ôï óýíïëï ôùí ìéãáäéêþí áñéèìþí. Ôüôå ç z èá ëýãåôáé ìéãáäéêþ ìåôáâëçôþ Þ áðëü óôï åîþò ìåôáâëçôþ. Áí óå êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò z áíôéóôïé ïýí ìßá Þ ðåñéóóüôåñåò ôéìýò ôçò ìéãáäéêþò ìåôáâëçôþò w, ôüôå ç w èá ëýãåôáé üôé åßíáé ìßá ìéãáäéêþ óõíüñôçóç ôïõ z êáé èá ãñüöåôáé w = f(z): Åéäéêüôåñá, áí óôï z áíôéóôïé åß ìßá áêñéâþò ôéìþ ôïõ w, ç f èá ëýãåôáé ìïíüôéìç óõíüñôçóç, åíþ óå êüèå Üëëç ðåñßðôùóç ðëåéüôéìç. Ôüôå ôï D èá ïñßæåé ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f, åíþ ôï óýíïëï ôùí ôéìþí ôçò w, Ýóôù T, ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f. 161

2 16 ÌéãáäéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÐáñÜäåéãìá Ç óõíüñôçóç êáé ãåíéêüôåñá ç f(z) = z 3 z ; = 1; ; : : : ìå z C åßíáé ìïíüôéìç, åðåéäþ óýìöùíá ìå ôïí ïñéóìü ôçò äýíáìçò 1 óå êüèå z C áíôéóôïé åß áêñéâþò Ýíáò ìéãáäéêüò z. Åéäéêüôåñá, áí ÐáñÜäåéãìá z = 3 i; ôüôå z 3 = 46 9 i: Ç óõíüñôçóç êáé ãåíéêüôåñá ç g(z) = z 1=3 z 1= = ; 3; : : : ; üôáí z C, åßíáé ðëåéüôéìç, åðåéäþ -ôüîçò ñßæá åíüò ìéãáäéêïý áñéèìïý åßíáé ôï ðëþèïò äéáöïñåôéêïß ìéãáäéêïß áñéèìïß. ¼ìïéá, Ýóôù z = 1 + i. Ôüôå z = ( cos i sin 5 ) ; ïðüôå 4 z 1= = 4 ( cos k i sin k ) ; k = 0; 1: Áí w = f(z), ôüôå åßíáé äõíáôüí ôï z íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ôïõ w, ìå ôçí Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ðïõ ðáñáðüíù äüèçêå. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ãñüöåôáé z = f 1 (w) êáé ç f 1 ëýãåôáé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ áíôßóôñïöç óõíüñôçóç ôçò f. 1ÂëÝðå ÌÜèçìá Ìéãáäéêïß Áñéèìïß - ÐáñÜãñáöïò 4.. ÂëÝðå ÌÜèçìá Ìéãáäéêïß Áñéèìïß - ÐáñÜãñáöïò 4.6.

3 5.1. ÁíáëõôéêÞ Ýêöñáóç óôù ç óõíüñôçóç ÁíáëõôéêÞ Ýêöñáóç 163 w = f(z); üðïõ z = x + i y ìå x; y R: Ôüôå ìåôü áðü ðñüîåéò ç w ãñüöåôáé óôç ìïñöþ w = f(x + iy) = u(x; y) + i v(x; y) ãéá êüèå z D; ( ) üðïõ ïé u(x; y) êáé v(x; y) åßíáé ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò äýï ðñáãìáôéêþí ìåôáâëçôþí x êáé y, ðïõ ëýãïíôáé êáé óõíéóôþóåò ôçò f. Ç (5:1: 1) ïñßæåé ôüôå ôçí áíáëõôéêþ Ýêöñáóç ôçò f. Óôçí (5:1: 1) ç u(x; y) ëýãåôáé ôï ðñáãìáôéêü êáé ç v(x; y) ôï öáíôáóôéêü ìýñïò ôçò f óôï D êáé ïñßæïõí Ýíáí ìåôáó çìáôéóìü (transformation) óôï D, ìå ôçí Ýííïéá üôé Ýíá óçìåßï ôïõ z-åðéðýäïõ áðåéêïíßæåôáé ìýóù ôçò f óôï áíôßóôïé ï óçìåßï ôïõ w-åðéðýäïõ Þ óå ðåñßðôùóç ðëåéüôéìçò óõíüñôçóçò óôá áíôßóôïé á óçìåßá ôïõ w-åðéðýäïõ. ÐáñÜäåéãìá óôù f(z) = z. Ôüôå, áí z = x + i y, äéáäï éêü Ý ïõìå f(z) = f(x + i y) = (x + i y) = x + xy i + (i y) = x y + xy i; ïðüôå ôï ðñáãìáôéêü ôçò ìýñïò åßíáé ôï u(x; y) = x y êáé ôï öáíôáóôéêü v(x; y) = xy. 5. Óôïé åéþäåéò ìéãáäéêýò óõíáñôþóåéò 5..1 ÐïëõùíõìéêÞ Ïñéóìüò Ïñßæåôáé êüèå óõíüñôçóç ôçò ìïñöþò P (z) = P (z) = á z +á 1 z 1 +: : :+á 1 z+á 0 ãéá êüèåz C; (5..1-1) üðïõ á k C ãéá êüèå k = 0; 1; : : : ; ìå á 0.

4 164 ÌéãáäéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Áí P (z) = 0, äçëáäþ f(z) = P (z) = á z + á 1 z 1 + : : : + á 1 z + á 0 = 0; ( ) üôáí á k C êáé k = 0; 1; : : : ; ìå á 0, ôüôå ïñßæåôáé ç ðïëõùíõìéêþ åîßóùóç - âáèìïý. 3 Áðü ôçí ëãåâñá åßíáé ôüôå ãíùóôü ôï ðáñáêüôù èåþñçìá ó åôéêü ìå ôéò ñßæåò ôïõ ðïëõùíýìïõ P (z): Èåþñçìá (èåìåëéþäåò ôçò ëãåâñáò). ôïõëü éóôïí ìßá ñßæá óôï C. Ôï ðïëõþíõìï P Ý åé ÓõíÝðåéá ôïõ èåùñþìáôïò åßíáé üôé ôï P Ý åé áêñéâþò ñßæåò óôï C, Ýóôù z 1, z, : : :, z, ðïõ ìåñéêýò Þ êáé üëåò åßíáé äõíáôü íá óõìðßðôïõí. Áí ïé ñßæåò åßíáé äéáöïñåôéêýò ìåôáîý ôïõò, ôüôå P (z) = a (z z 1 ) (z z ) (z z ) ; (5..1-3) åíþ óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ìßá ñßæá, Ýóôù ç z 1, Ý åé ðïëëáðëüôçôá ñ, åßíáé P (z) = (z z 1 ) ñ P 1 (z); (5..1-4) üðïõ P 1 (z 1 ) 0 êáé ñ = ; 3; : : :. 5.. ÑçôÞ Ïñéóìüò Ïñßæåôáé êüèå óõíüñôçóç ôçò ìïñöþò R(z) = P (z) Q(z) ãéá êüèå z C {ñßæåò ôïõ Q} ; üðïõ P, Q ðïëõùíõìéêýò óõíáñôþóåéò. 3Ãéá åöáñìïãþ óôç ïõ âáèìïý êáé ôç äéþíõìç åîßóùóç âëýðå ÌÜèçìá Ìéãáäéêïß Áñéèìïß - ÐáñÜãñáöïé 4.6. êáé

5 5..3 ÅêèåôéêÞ Óôïé åéþäåéò ìéãáäéêýò óõíáñôþóåéò 165 Ïñéóìüò (åêèåôéêþò óõíüñôçóçò). Áí z = x + iy, ïñßæåôáé áðü ôïí ôýðï e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y) ãéá êüèå z C: (5..3-5) Áðü ôïí ïñéóìü ðñïêýðôïõí: i) áí ï z åßíáé ðñáãìáôéêüò áñéèìüò, äçëáäþ y = 0, ôüôå ç óõíüñôçóç e z óõìðßðôåé ìå ôçí ðñáãìáôéêþ e x, ii) áí x = 0, éó ýåé ç ôáõôüôçôá ôïõ Euler e iy = cos y + i sin y ãéá êüèå y R: (5..3-6) Ôüôå ðñïöáíþò åßíáé e iy = cos y + sin y = 1, åíþ óýìöùíá ìå ôçí (5::3 5) éó ýåé üôé e z = e x (cos y + i sin y) = e x cos y + sin y = e x : Éäéüôçôåò ôçò åêèåôéêþò óõíüñôçóçò Áðïäåéêíýåôáé üôé éó ýïõí ïé ðáñáêüôù éäéüôçôåò ôçò åêèåôéêþò óõíüñôçóçò: i) e z 1 e z = e z 1+z êáé (e z 1 ) z = e z 1 z ãéá êüèå z 1 ; z C, åíþ åßíáé e 1 = e êáé e 0 = 1. ii) e z 0 ãéá êüèå z C: iii) Éó ýåé e z = 1 ôüôå êáé ìüíïí, üôáí z = k i ìå k Z.

6 166 ÌéãáäéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò 5..4 ¼ñéóìá 4 Åßíáé ãíùóôü üôé êüèå ìéãáäéêüò áñéèìüò z ãñüöåôáé óôçí åêèåôéêþ ôïõ ìïñöþ ùò åîþò: z = z (cos è + i sin è) = z e i è : Ôüôå óýìöùíá êáé ìå ôïí Ïñéóìü Ý ïõìå: Ïñéóìüò (óõíüñôçóç ïñßóìáôïò). Ãéá êüèå ìéãáäéêü áñéèìü z ìå z = 1 ïñßæåôáé ùò óõíüñôçóç ôïõ ïñßóìáôïò (argument) êáé óõìâïëßæåôáé ìå argz, êüèå ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ãéá ôïí ïðïßï éó ýåé z = e i, äçëáäþ = argz ôüôå êáé ìüíïí, üôáí z = e i : ÅðåéäÞ e i = cos + i sin = cos( + k) + i sin( + k); åíþ ðñïöáíþò e i = 1, áðü ôïí Ïñéóìü ðñïêýðôåé üôé ç óõíüñôçóç ôïõ ïñßóìáôïò argz åíüò ìéãáäéêïý áñéèìïý åßíáé ðëåéüôéìç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï óýíïëï ôùí óçìåßùí ôçò ðåñéöýñåéáò ôïõ ìïíáäéáßïõ êýêëïõ. Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ z = 1 êáé z 0, áðü ôïí Ïñéóìü ðñïêýðôåé üôé: = argz = arg z ãéá êüèå z C ìå z 0: (5..4-7) z Ôüôå, åðåéäþ óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (5::4 7) êáé ôïí Ïñéóìü åßíáé e i = z= z, ðñýðåé, áí z = x + iy, ôï üñéóìá íá ðñïêýðôåé ùò ç êïéíþ ëýóç ôïõ ðáñáêüôù óõóôþìáôïò åîéóþóåùí: cos = x x + y = Re z z êáé sin = y x + y = Im z z (5..4-8) ìå Üãíùóôï ôï. 4ÂëÝðå ÌÜèçìá Ìéãáäéêïß Áñéèìïß - ÐáñÜãñáöïò

7 Óôïé åéþäåéò ìéãáäéêýò óõíáñôþóåéò 167 Áðü ôï óýíïëï áõôü ôùí ôéìþí ôçò óõíüñôçóçò argz óôçí (5::4 8) õðüñ åé áêñéâþò ìßá ôéìþ, Ýóôù 0 = Argz ìå 0 [0; ); (5..4-9) ðïõ ëýãåôáé âáóéêü üñéóìá ôïõ z êáé ç ïðïßá ïñßæåé ìßá ìïíüôéìç óõíüñôçóç. Ôüôå ðñïöáíþò éó ýåé åíþ åßíáé arg z = Arg z + k ãéá êüèå k = 0; ±1; : : : ; ( ) Óçìåßùóç z = z e i = z e i arg z = z e i (Arg z+k) : ( ) Áíôß ôïõ äéáóôþìáôïò [0; ) ñçóéìïðïéåßôáé åðßóçò êáé ôï äéüóôçìá [ ð; ), åßíáé üìùò äõíáôüí íá ñçóéìïðïéçèåß êáé êüèå Üëëï äéüóôçìá ðëüôïõò ËïãáñéèìéêÞ Ïñéóìüò (öõóéêïý ëïãüñéèìïõ). óôù z 0. Ôüôå ïñßæåôáé ùò öõóéêüò ëïãüñéèìïò ôïõ z êáé óõìâïëßæåôáé ìå log e z Þ óõíþèùò ìå ln z, êüèå ìéãáäéêüò áñéèìüò w ðïõ åðáëçèåýåé ôçí åîßóùóç e w = z. ÅðåéäÞ óýìöùíá ìå ôçí (5::4 11) åßíáé z = z e i è = z e i(è+k) = z e i(arg z+k) ãéá êüèå k = 0; ±1; : : : ; áðü ôïí ïñéóìü ôïõ ëïãüñéèìïõ ðñïêýðôåé üôé e w = z e i(argz+k) ãéá êüèå k = 0; ±1; : : : ; äçëáäþ ï ëïãüñéèìïò ïñßæåôáé áðü ôç ó Ýóç ln z = ln z + i (Argz + k) ãéá êüèå k = 0; ±1; : : : (5..5-1) êáé åßíáé ìéá ðëåéüôéìç óõíüñôçóç. Ôüôå ãéá k = 0 ïñßæåôáé ç áñ éêþ ôïõ ôéìþ, ðïõ óõìâïëßæåôáé ìå êáé åßíáé ôüôå ìßá ìïíüôéìç óõíüñôçóç. Ln z = ln z + i Arg z ( )

8 168 ÌéãáäéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò 5..6 Ãåíßêåõóç åêèåôéêþò óõíüñôçóçò ïíôáò õðüøç ôïõò Ïñéóìïýò êáé äßíåôáé ç ðáñáêüôù ãåíßêåõóç ôçò åêèåôéêþò óõíüñôçóçò: 5 Ïñéóìüò Ç óõíüñôçóç a z ìå a C êáé a 0, ïñßæåôáé áðü ôç ó Ýóç a z = e z ln a ãéá êüèå z C ìå áñ éêþ ôéìþ ôçí a z = e z Lna ãéá êüèå z C: Ôüôå ç a z åßíáé ìéá ðëåéüôéìç óõíüñôçóç, åíþ ç áñ éêþ ôçò ìïíüôéìç. Éäéüôçôåò Áðü ôïí Ïñéóìü ðñïêýðôïõí ïé éäéüôçôåò: a z 1 a z = a z 1+z, êáé (a z 1 ) z = a z 1 z ãéá êüèå z 1 ; z C, åíþ åßíáé a 1 = a êáé a 0 = 1. Ï Ïñéóìüò ãåíéêåýåôáé ùò åîþò: Ïñéóìüò Ãéá êüèå z C ìå f(z) 0 ç äýíáìç [f(z)] g(z) ïñßæåôáé áðü ôç ó Ýóç [f(z)] g(z) = e g(z) ln f(z) : ( ) Åßíáé ðñïöáíýò üôé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ Ý ïõìå åðßóçò ìßá ðëåéüôéìç óõíüñôçóç, åíþ ç áñ éêþ ôéìþ ôçò åßíáé [f(z)] g(z) = e g(z)lnf(z) : ( ) 5ÂëÝðå ÌÜèçìá ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò - ÐáñÜãñáöïò (áíôßóôïé ç ðñáãìáôéêþ åêèåôéêþ óõíüñôçóç a x ) êáé ÌÜèçìá Ìéãáäéêïß Áñéèìïß - ÐáñÜãñáöïò 4.7.

9 Óôïé åéþäåéò ìéãáäéêýò óõíáñôþóåéò 169 óêçóç Íá áðïäåé èïýí ïé éäéüôçôåò ôùí ÐáñáãñÜöùí 5..3 êáé ÔñéãùíïìåôñéêÝò óõíáñôþóåéò Ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ïñßæïíôáé ìå ôç âïþèåéá ôùí ìéãáäéêþí åêèåôéêþí óõíáñôþóåùí ùò åîþò: Çìßôïíï ÅöáðôïìÝíç sin z = eiz e iz i tan z = sin z cos z Óõíçìßôïíï ÓõíåöáðôïìÝíç ìå êáôüëëçëïõò ðåñéïñéóìïýò óôï z, üðïõ áõôü áðáéôåßôáé. Óçìåßùóç cos z = eiz + e iz cot z = cos z sin z Óôéò åöáñìïãýò ñçóéìïðïéïýíôáé åðßóçò ïé ðáñáêüôù óõíáñôþóåéò: sec z = 1 cos z = e iz + e iz êáé csc z = 1 sin z = Áíôßóôñïöåò ôñéãùíïìåôñéêýò óõíáñôþóåéò i e iz e iz : Áí w = sin z, ç áíôßóôñïöç óõíüñôçóç ðïõ óõìâïëßæåôáé ìå z = sin 1 w Þ åðßóçò êáé z = arc sin w, ïñßæåé ôï ôüîï çìéôüíïõ z êáé ðñïöáíþò åßíáé ìßá ðëåéüôéìç óõíüñôçóç. ¼ìïéá ïñßæïíôáé ïé áíôßóôñïöåò ôùí Üëëùí ôñéãùíïìåôñéêþí óõíáñôþóåùí. Áðïäåéêíýåôáé üôé ïé áñ éêýò ôéìýò ôùí áíôßóôñïöùí ôñéãùíïìåôñéêþí óõíáñôþóåùí äßíïíôáé áðü ôïõò ôýðïõò sin 1 z = 1 i Ln ( iz + 1 z ) cos 1 z = 1 (z i Ln + ) z 1 tan 1 z = 1 ( ) 1 + iz i Ln 1 iz cot 1 z = 1 ( ) z + 1 i Ln z 1 ìå êáôüëëçëïõò ðåñéïñéóìïýò óôï z, üðïõ áõôü áðáéôåßôáé.

10 170 ÌéãáäéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÁóêÞóåéò 1. Äåßîôå üôé i) sin z + cos z = 1, ii) sin( z) = sin z; cos( z) = cos z; tan( z) = tan z, iii) sin (z 1 ± z ) = sin z 1 cos z ± cos z 1 sin z.. ¼ìïéá üôé 3. Äåßîôå üôé ïé tan 1 z = 1 ( ) 1 + iz i Ln : 1 iz sin z; tan z êáé cot z åßíáé ðåñéôôýò óõíáñôþóåéò, åíþ ç cos z Üñôéá óõíüñôçóç. 4. Íá õðïëïãéóôïýí ôá sin 1 êáé cos 1 i: 5. Äåßîôå üôé ãéá êüèå z C éó ýåé üôé sin z = sin z; cos z = cos z êáé tan z = tan z: ÁðáíôÞóåéò 1. ÁíôéêáôÜóôáóç ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí óõíáñôþóåùí ìå ôéò áíôßóôïé åò åêöñüóåéò ôïõò.. óôù w = tan z = eiz e iz i = eiz + e iz ; ïðüôå ãñüöïíôáò e iz = 1 e iz êáé ëýíïíôáò ùò ðñïò z ðñïêýðôåé ëïãáñéèìßæïíôáò ôçí ôåëéêþ ó Ýóç ç áðïäåéêôýá. 3. ÅöáñìïãÞ ôïõ ïñéóìïý ôùí ðåñéôôþí, áíôßóôïé á Üñôéùí óõíáñôþóåùí óôéò åêöñüóåéò ôùí óõíáñôþóåùí. 4. Åßíáé sin 1 z = 1 i Ln ( iz + 1 z ), ïðüôå èýôïíôáò z = ðñïêýðôåé üôé sin 1 = 1 ( i Ln i + ) 1 = : : : = 1 [ ( ln + ) 3 + i ] i = 1: : i:

11 Óôïé åéþäåéò ìéãáäéêýò óõíáñôþóåéò 171 ¼ìïéá cos 1 i = 1 (i i Ln + ) i 1 = : : : = 1 [ ( ln 1 + ) + i ] i = 1: : i: 5. Èá äåé èåß üôé sin z = sin z. óôù z = x + i y, ïðüôå z = x i y. Ôüôå sin z = ei(x i y) i(x i y) e = : : : = ey (cos x + i sin x) e y (cos x i sin x) ; (1) i i åíþ sin z = e y+i x e y i x i = : : : = ey (cos x + i sin x) e y (cos x i sin x) i Áðü ôéò (1) êáé () ðñïêýðôåé ç áðïäåéêôýá. ¼ìïéá êáé ïé Üëëåò äýï ðåñéðôþóåéò ÕðåñâïëéêÝò óõíáñôþóåéò : () ¼ìïéá, üðùò êáé óôéò ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò, ïñßæïíôáé ïé õðåñâïëéêýò óõíáñôþóåéò ìå ôç âïþèåéá ôùí ìéãáäéêþí åêèåôéêþí óõíáñôþóåùí ùò åîþò: Çìßôïíï sinh z = ez e z Óõíçìßôïíï cosh z = ez + e z ÅöáðôïìÝíç tanh z = sinh z ÓõíåöáðôïìÝíç coth z = cosh z cosh z sinh z ìå êáôüëëçëïõò ðåñéïñéóìïýò óôï z üðïõ áõôü áðáéôåßôáé. Óçìåßùóç Åðßóçò óôéò åöáñìïãýò ñçóéìïðïéïýíôáé ïé ðáñáêüôù óõíáñôþóåéò: sechz = 1 cosh z = e z + e z êáé cschz = 1 sinh z = e z e z : Áíôßóôñïöåò ôñéãùíïìåôñéêýò óõíáñôþóåéò Áðïäåéêíýåôáé üôé ïé áñ éêýò ôéìýò ôùí áíôßóôñïöùí õðåñâïëéêþí óõíáñôþóåùí äßíïíôáé áðü ôïõò ôýðïõò ( sinh 1 z = Ln z + ) z + 1 tanh 1 z = 1 ( ) 1 + z Ln 1 z ( cosh 1 z = Ln z + ) z 1 coth 1 z = 1 ( ) z + 1 Ln z 1 ìå êáôüëëçëïõò ðåñéïñéóìïýò óôï z.

12 17 ÌéãáäéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÁóêÞóåéò 1. Äåßîôå üôé i) cosh z sinh z = 1, ii) sinh( z) = sinh z; cosh( z) = cosh z; tanh( z) = tanh z, iii) sinh (z 1 ± z ) = sinh z 1 cosh z ± cosh z 1 sinh z, iv) cosh (z 1 ± z ) = cosh z 1 cosh z sinh z 1 sinh z.. ¼ìïéá üôé ( sinh 1 z = Ln z + ) z + 1 tanh 1 z = 1 ( ) 1 + z Ln 1 z ìå êáôüëëçëïõò ðåñéïñéóìïýò óôï z. 3. Íá õðïëïãéóôåß ôï sinh 1 i. ÁðáíôÞóåéò 1. ÁíôéêáôÜóôáóç ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí óõíáñôþóåùí ìå ôéò áíôßóôïé åò åêöñüóåéò ôïõò.. óôù w = sinh z = ez e z ; ïðüôå ãñüöïíôáò e z = 1 e z ; ëýíïíôáò ùò ðñïò z êáé ëïãáñéèìßæïíôáò ðñïêýðôåé ôåëéêü ç áðïäåéêôýá. 3. Åßíáé sinh 1 z = Ln ( z + 1 z ), ïðüôå èýôïíôáò z = i ðñïêýðôåé üôé ( sinh 1 i = Ln i + ) i + 1 = : : : = Ln i = ln 1 + i = i :

13 5.3 Âéâëéïãñáößá [1] ÌðñÜôóïò, Á. (00). Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ. Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç. ISBN 960{351{453{5/978{960{351{453{4. [] ÎÝíïò, È. (008). ÌéãáäéêÝò ÓõíáñôÞóåéò. Åêäüóåéò ÆÞôç. ISBN 978{ 960{456{09{9. [3] ÔóÜãêáò, Ãñ. (1990). ÌáèÞìáôá Ìéãáäéêþí ÓõíáñôÞóåùí. Èåóóáëïíßêç. [4] Bak, J. & Newman, D. (004). ÌéãáäéêÞ ÁíÜëõóç. Åêäüóåéò Leader Books. ISBN: 978{960{790{140{8. [5] Churchill, R. & Brown, J. (005). ÌéãáäéêÝò óõíáñôþóåéò êáé åöáñìïãýò. ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò. ISBN 960{7309{41{3. [6] Spiegel, M. (009). Complex Variables. Åêäüôçò McGraw-Hill Education { Europe. ISBN 007{060{30{1. [7] Spiegel, M. & Wrede, R. (006). Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ. Åêäüóåéò Ôæéüëá. ISBN 960{418{087{8. 173

14 174 ÌéãáäéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí Page