Κεφάλαιο 5 Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 5 Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς"

Transcript

1 Κεφάλαιο Μετασχηματισμός και Συνάρτηση μεταφοράς Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του μετασχηματισμού και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Δίνεται ο ορισμός της συνάρτησης μεταφοράς και αναλύεται η περιγραφή των γραμμικών χρονικά αμετάβλητων (LiearTimeIvariat LTI) συστημάτων μέσω της συνάρτησης μεταφοράς Παρουσιάζεται η σχέση της ακολουθίας Fiboacci με τη συνάρτηση μεταφοράς Προαπαιτούμενη γνώση Σειρές, εξισώσεις διαφορών Κεφάλαιο, Κεφάλαιο, Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Ορισμός μετασχηματισμού Ο ευθύςαμφίπλευροςμετασχηματισμός (bilateral trasform) μίας ακολουθίας διακριτού χρόνου ορίζεται ως ακολούθως: X ( ) x( ) όπου η μιγαδική μεταβλητή ονομάζεται μιγαδική συχνότητα και μπορεί να εκφραστεί με τη χρήση πολικών j συντεταγμένων, ως r e, όπου r είναι το μέτρο του και είναι η γωνία του Ο μετασχηματισμός μίας ακολουθίας διακριτού χρόνου είναι, σύμφωνα με τον ορισμό, ένα άθροισμα απείρων όρων, το οποίο μπορεί να συγκλίνει σε έναν πραγματικό αριθμό για κάποιες τιμές της μιγαδικής μεταβλητής και μπορεί να μην συγκλίνει για κάποιες άλλες τιμές της μιγαδικής μεταβλητής Το σύνολο των τιμών της μεταβλητής για τις οποίες λέμε ότι υπάρχει ο μετασχηματισμός, δηλαδή για τις οποίες το άθροισμα του μετασχηματισμού συγκλίνει, ονομάζεται Περιοχή Σύγκλισης (ΠΣ) (Regio Of Covergece ROC) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός ορίζεται ως συνάρτηση του ακόλουθου επικαμπύλιου ολοκληρώματος: x( ) X ( ) d () j C όπου C είναι μία αριστερόστροφη κλειστή καμπύλη ολοκλήρωσης γύρω από την αρχή των αξόνων και εντός της Περιοχής Σύγκλισης O ευθύς μετασχηματισμός είναι μοναδικός (uique), αν είναι γνωστή η Περιοχή Σύγκλισης Επίσης, ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι μοναδικός (uique), αν είναι γνωστή η Περιοχή Σύγκλισης Αν λοιπόν είναι γνωστή η Περιοχή Σύγκλισης, τότε ο ευθύς και ο αντίστροφος μετασχηματισμός αποτελούν ένα μοναδικό ζεύγος και χρησιμοποιείται ο συμβολισμός: x( ) X ( ) Σχέση μετασχηματισμού και μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου j Αντικαθιστώντας r e στον ορισμό (), προκύπτει j j j X ( r e ) x( ) r e x( ) r e που σημαίνει ότι ο μετασχηματισμός είναι ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου της ακολουθίας x( ) r j στο σημείο r e δηλαδή j X () j X e () r e x ( ) () 9

2 και ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) αποτελεί ειδική περίπτωση του μετασχηματισμού X() Παρατήρηση Η σχέση ορίζει το Μοναδιαίο Κύκλο (Uit Circle) στο μιγαδικό επίπεδο Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλία Hayes, 000, McClella, Schafer & Yoder, 006, Ασημάκης, 008, Θεοδωρίδης, Μπερμπερίδης, Κοφίδης, 00, Καραγιάννης & Μαραγκός, 00, Καραγιάννης & Τζιτζιράχου, 00, Καραμπογιάς, 009, Μάργαρης, 0, Σκόδρας & Αναστασόπουλος, 00 Περιοχή Σύγκλισης Ο μετασχηματισμός μίας ακολουθίας διακριτού χρόνου πρέπει να συνοδεύεται από την Περιοχή Σύγκλισης, δηλαδή από την περιοχή του μιγαδικού επιπέδου, για την οποία υπάρχει ο μετασχηματισμός Ιδιότητες της Περιοχής Σύγκλισης - Αν το σήμα x ( ) είναι ακολουθία δεξιάς πλευράς, δηλαδή x( ) 0, 0, τότε η Περιοχή Σύγκλισης είναι η εξωτερική επιφάνεια ενός κύκλου, δηλαδή είναι της μορφής a Παρατήρηση: Αν 0 0, τότε το σήμα x ( ) είναι αιτιατό Οπότε τα αιτιατά σήματα έχουν μετασχηματισμό με Περιοχή Σύγκλισης την εξωτερική επιφάνεια ενός κύκλου - Αν το σήμα x ( ) είναι ακολουθία αριστερής πλευράς, δηλαδή x( ) 0, 0, τότε η Περιοχή Σύγκλισης είναι η εσωτερική επιφάνεια ενός κύκλου, δηλαδή είναι της μορφής b Παρατήρηση: Αν 0 0, τότε το σήμα x ( ) είναι αναιτιατό Οπότε τα αναιτιατά σήματα έχουν μετασχηματισμό με Περιοχή Σύγκλισης την εσωτερική επιφάνεια ενός κύκλου - Αν το σήμα x ( ) είναι αμφίπλευρη ακολουθία, τότε η Περιοχή Σύγκλισης είναι δακτυλιοειδής επιφάνεια της μορφής a b, όπου μπορεί να είναι a 0 ή b - Αν το σήμα ( ) είναι ακολουθία πεπερασμένης διάρκειας, δηλαδή x( ) 0, :, τότε η Περιοχή Σύγκλισης είναι ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο, εκτός ίσως από τα σημεία 0 ή Αν 0, τότε το σημείο 0 δεν ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης Αν 0, τότε το σημείο δεν ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης Πόλοι και Μηδενικά Αν ο μετασχηματισμός μίας ακολουθίας είναι ρητή συνάρτηση του της μορφής: B () X() A () τότε οι ρίζες του αριθμητή B () καλούνται μηδενικά (eros) της X() και οι ρίζες του παρονομαστή A () καλούνται πόλοι (poles) της X() Προφανώς, στην περίπτωση αυτή, η Περιοχή Σύγκλισης δεν περιλαμβάνει τους πόλους Παράδειγμα Δίνεται ο μετασχηματισμός : 9 X ( ), Ο μετασχηματισμός γράφεται: B( ) X() 9 9 A( ) 9 Επομένως, υπάρχει ένα μηδενικό στο σημείο 0 και ένας πόλος στο σημείο 0 j X e x

3 Στο Σχήμα φαίνεται το διάγραμμα πόλων-μηδενικών του μετασχηματισμού στο μιγαδικό επίπεδο, όπου τα μηδενικά συμβολίζονται με το σύμβολο «ο» και οι πόλοι με το σύμβολο Imagiary Part Σχήμα Πόλοι και Μηδενικά μετασχηματισμού Παρατήρηση: Συνήθως ο μετασχηματισμός παρουσιάζεται ως συνάρτηση της μεταβλητής Αν παρουσιαστεί ως συνάρτηση της μεταβλητής, τότε μπορεί να μετατραπεί σε συνάρτηση της μεταβλητής διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με την μεγαλύτερη δύναμη, που υπάρχει σε αυτούς Παράδειγμα X ( ), ( ) ( ) Υπολογισμός μετασχηματισμού Σήματα πεπερασμένης διάρκειας Ο μετασχηματισμός των σημάτων πεπερασμένης διάρκειας υπολογίζεται με χρήση του ορισμού Παράδειγμα Δίνεται το σήμα διακριτού χρόνου πεπερασμένης διάρκειας: x( ) ( ) ( ) ( ) Ο μετασχηματισμός είναι X ( ) με Περιοχή Σύγκλισης ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο εκτός από το σημείο 0 Σήματα άπειρης διάρκειας Real Part Ομετασχηματισμός γράφεται: ( ) X ( ) ( ) 97

4 Ο μετασχηματισμός των σημάτων πεπερασμένης διάρκειας υπολογίζεται με χρήση αθροισμάτων και απαιτεί τον καθορισμό της Περιοχής Σύγκλισης Παράδειγμα Δίνεται το σήμα διακριτού χρόνου άπειρης διάρκειας: x( ) a u( ) Ο μετασχηματισμός είναι αν a ή a, δηλαδή η Περιοχή Σύγκλισης είναι: a Επίσης, δίνεται το σήμα διακριτού χρόνου άπειρης διάρκειας: x( ) a u( ) Ο μετασχηματισμός είναι αν a ή a, δηλαδή η Περιοχή Σύγκλισης είναι: a Παρατηρούμε ότι τόσο το σήμα x( ) a u( ), όσο και το σήμα x( ) a u( ) έχουν την ίδια συνάρτηση ως μετασχηματισμό, αλλά έχουν διαφορετική Περιοχή Σύγκλισης Μάλιστα, οι Περιοχές Σύγκλισης είναι συμπληρωματικές, αφού η ένωσή τους είναι ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο χωρίς τα σημεία του κύκλου a Αυτό συμβαίνει γιατί ο μετασχηματισμός έχει έναν πόλο, τον πόλο a, αφού γράφεται: X() a a Το σήμα x( ) a u( ) είναι αιτιατό (ακολουθία δεξιάς πλευράς) και το σήμα x( ) a u( ) είναι αναιτιατό (ακολουθία αριστερής πλευράς) Εδώ αξίζει να παρατηρήσουμε ότι διαφορετικά σήματα μπορούν να έχουν τον ίδιο μετασχηματισμό, αλλά με διαφορετική Περιοχή Σύγκλισης Συγκεκριμένα, αν ο μετασχηματισμός έχει δύο πόλους, τότε υπάρχουν τρία σήματα με τον ίδιο μετασχηματισμό, με διαφορετικές Περιοχές Σύγκλισης Το ένα είναι ακολουθία δεξιάς πλευράς, το άλλο ακολουθία αριστερής πλευράς και το τρίτο είναι αμφίπλευρη ακολουθία Γενικεύοντας, αν ο μετασχηματισμός έχει N πόλους, τότε υπάρχουν N σήματα με τον ίδιο μετασχηματισμό Παράδειγμα X ( ) x( ) a u( ) a u( ) a u( ) a a a a a X ( ) x( ) a u( ) a u( ) a u( ) 0 a a 0 a 0 a a 0 0 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0

5 Ο μετασχηματισμός X() έχει δύο πόλους: και Οπότε υπάρχουν τρεις πιθανές Περιοχές Σύγκλισης: (α) Στην περίπτωση αυτή έχουμε Άρα οπότε και που είναι αιτιατό σήμα (ακολουθία δεξιάς πλευράς σήμα) (β) Στην περίπτωση αυτή έχουμε Άρα που είναι αμφίπλευρη ακολουθία (γ) Στην περίπτωση αυτή έχουμε Άρα και και που είναι αναιτιατό σήμα (ακολουθία αριστερής πλευράς) Ζεύγη μετασχηματισμού x( ) u( ) u( ) x( ) u( ) u( ) x( ) u( ) u( ) Στον Πίνακα παρουσιάζονται μερικοί τυπικοί μετασχηματισμοί Ακολουθία διακριτούχρόνου Μετασχηματισμός Περιοχή Σύγκλισης ( ) ( 0 ) 0 εκτός 0, 0 ή, 0 0 a u( ) a a u( ) a a u( ) a u( ) ( ) a u( ) si( ) u( ) 0 cos( ) u( ) 0 a a a a a a si cos cos 0 cos 0 a a a a a 99

6 a si( ) u( ) 0 a cos( ) u( ) 0 asi acos a 0 acos acos a a a Πίνακας Ζεύγη μετασχηματισμού Ιδιότητες μετασχηματισμού Γραμμικότητα Αν x ( ) X, ROC και x ( ) X, ROC, τότε c x ( ) c x ( ) c X c X, ROC έ ROC ROC για οποιεσδήποτε σταθερές c, c Παρατήρηση: Η λέξη «περιέχει» χρησιμοποιείται γιατί, στην περίπτωση όπου ο γραμμικός συνδυασμός είναι τέτοιος, που κάποια μηδενικά εξουδετερώνουν κάποιους πόλους, τότε η Περιοχή Σύγκλισης του γραμμικού συνδυασμού είναι μεγαλύτερη από την τομή των επί μέρους Περιοχών Σύγκλισης (Σκόδρας, Α, & Αναστασόπουλος, Β, 00) () Απόδειξη Αν y( ) c x ( ) c x ( ), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού στην () έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y y c x c x c x c x c x ( ) c x ( ) c x ( ) c x ( ) Μετατόπιση στον χρόνο Αν x( ) X, ROC, τότε Απόδειξη Αν y( ) x( ), τότε c X c X x( ) X, ROC ό 0, 0 ή, Θέτοντας m 0, έχουμε: 0 0 Y y( ) x( ) ( m0 ) 0 m 0 Y x( ) x( m) x( m) X 0 m m () Παράδειγμα Αν x( ) u( ) X, τότε y( ) x( ) u( ) Y( ) X, 00

7 Αναδίπλωση Αν x( ) X, ROC D D Απόδειξη Αν y( ) x( ), τότε Θέτοντας m, έχουμε: D D x( ) X,/ ROC ( ) ( ) Y y x, τότε ( ) ( ) ( ) m ( ) m Y x x m x m X m m (6) Μετατόπιση στη συχνότητα Αν x( ) X, ROC D D (6) Απόδειξη Αν y( ) a x( ) τότε Θέτοντας a, τότε a x( ) X a, a ROC a D a D ( ) ( ) Y y a x, έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) Y a x a x a a x a x( ) X X a Συνέλιξη Αν x ( ) X, ROC και x ( ) X, ROC, τότε x ( ) x ( ) X X, ROC έ ROC ROC Απόδειξη Αν y( ) x ( ) x ( ), τότε Y y( ) x ( ) x( ) x ( m) x( m) m Θέτοντας m k και αλλάζοντας τη σειρά των αθροισμάτων, έχουμε: Y x ( m) x ( m) x ( m) x( m) m m ( mk ) m k x ( m) x ( k) x ( m) x( k) X X m k (8) 0

8 Στον Πίνακα παρουσιάζονται οι βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Ιδιότητα Μετασχηματισμού Γραμμικότητα Μετατόπιση στον χρόνο Αναδίπλωση Μετατόπιση στη συχνότητα Συνέλιξη στον χρόνο Ακολουθία διακριτού χρόνου x () x () x ( ) c x ( ) c x ( ) x () x () Μετασχηματισμός c X c X x( ) 0 x( ) a Περιοχή Σύγκλισης X ROC D D X ROC X ROC έ ROC ROC x( ) X a ROC ό 0, 0 ή, 0 0 X 0 0 X D D a D a D X X έ ROC ROC Πίνακας Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ο μετασχηματισμός μπορεί να υπολογιστεί με χρήση των ζευγών του μετασχηματισμού και των ιδιοτήτων του μετασχηματισμού Παράδειγμα Δίνεται το σήμα διακριτού χρόνου άπειρης διάρκειας: x( ) ( ) a u( ) Το σήμα γράφεται: x( ) a a u( ) a u( ) Από τα ζεύγη του μετασχηματισμού γνωρίζουμε ότι: a x( ) a u( ) X, a a x( ) a u( ) X, a a Από την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού έχουμε ότι ο μετασχηματισμός του x( ) a a u( ) a u( ) είναι: a X a X X a, a a a Άρα a a a a a X a a a a a a Μπορείτε να διερευνήσετε τον μετασχηματισμό με το Διαδραστικό πρόγραμμα Διαδραστικό πρόγραμμα Μετασχηματισμός 0

9 Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα 6 Αντίστροφος μετασχηματισμός Ο αντίστροφος μετασχηματισμός ορίζεται μέσω επικαμπύλιου ολοκληρώματος, όπως στην () Στην παράγραφο αυτή θα αναλυθεί μία μεθοδολογία υπολογισμού του αντίστροφου μετασχηματισμού, χωρίς τη χρήση ολοκληρώματος Αντίστροφος μετασχηματισμός πολυωνύμου Ο αντίστροφος μετασχηματισμός μπορεί να γίνει με βάση τον ορισμό του μετασχηματισμού Τα σήματα που προκύπτουν είναι σήματα πεπερασμένης διάρκειας Για παράδειγμα, ο μετασχηματισμός X γράφεται με βάση τον ορισμό: Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι x( ) ( ) ( ) ( ) και βέβαια πρόκειται για σήμα πεπερασμένης διάρκειας Αντίστροφος μετασχηματισμός ρητής συνάρτησης Ο αντίστροφος μετασχηματισμός μπορεί να γίνει με τη μέθοδο της ανάλυσης της ρητής συνάρτησης σε άθροισμα απλών κλασμάτων Αν X() είναι ρητή συνάρτηση του με απλούς πόλους pk, k,,, N τότε για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού χρησιμοποιείται η μέθοδος ανάλυσης της X() σε άθροισμα απλών κλασμάτων: (α) αν N M, δηλαδή ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος από το βαθμό του παρονομαστή, τότε N Ak X() (0) p με συντελεστές Ak pk X ( ) (9) () (β) αν N M, δηλαδή ο βαθμός του αριθμητή είναι ίσος ή μεγαλύτερος από το βαθμό του παρονομαστή, τότε X ( ) X( ) X ( ) () όπου N Ak X() () p με συντελεστές Ak pk X ( ) και 0 ( ) X x B ( ) X( ) A ( ) k k MN M k 0 N k 0 X ( ) C k 0 k k k b( k) a( k) k k k pk pk () () 0

10 με συντελεστές C k που υπολογίζονται εκτελώντας τη διαίρεση B ( ) A ( ) από όπου προκύπτει το πολυώνυμο X ( ) βαθμού M N Ο αντίστροφος μετασχηματισμός επιτυγχάνεται υπολογίζοντας τους αντίστροφους μετασχηματισμούς σε κάθε όρο του αθροίσματος χρησιμοποιώντας τα ζεύγη του μετασχηματισμού και τελικά χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού Στην περίπτωση που υπάρχει πόλος με πολλαπλότητα, οι τύποι αλλάζουν Για παράδειγμα, αν η έναν διπλό πόλο p, τότε η ανάλυση σε απλά κλάσματα είναι η ακόλουθη: A A X() p p X() έχει (6) με συντελεστές d A p p X ( ) d A p X ( ) p p (7) (8) Παράδειγμα Δίνεται ο μετασχηματισμός X, και θέλουμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό, δηλαδή το σήμα x ( ) από το οποίο προέκυψε Η συνάρτηση X είναι ρητή συνάρτηση με βαθμό του αριθμητή μικρότερο από το βαθμό του παρονομαστή N M 0 και γράφεται X Επομένως η συνάρτηση X έχει δύο απλούς πόλους: p και p Τότε, χρησιμοποιώντας τη μέθοδος ανάλυσης της X σε άθροισμα απλών κλασμάτων, προκύπτει A A X όπου A X ( ) A X ( ) Άρα X Τέλος, χρησιμοποιώντας τα ζεύγη του μετασχηματισμού και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, προκύπτει ο αντίστροφος μετασχηματισμός : x( ) ( ) u( ) ( ) u( ) 0

11 Παράδειγμα Δίνεται ο μετασχηματισμός X, και θέλουμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό, δηλαδή το σήμα προέκυψε Η συνάρτηση από το οποίο είναι ρητή συνάρτηση με βαθμό του αριθμητή μικρότερο από το βαθμό του παρονομαστή N M και έχει έναν διπλό πόλο p Τότε, χρησιμοποιώντας τη μέθοδος ανάλυσης της Άρα που γράφεται: X 8 σε άθροισμα απλών κλασμάτων, προκύπτει: Τέλος, χρησιμοποιώντας τα ζεύγη του μετασχηματισμού και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, προκύπτει ο αντίστροφος μετασχηματισμός : Παράδειγμα Δίνεται ο μετασχηματισμός 7 X, και θέλουμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό, δηλαδή το σήμα x ( ) από το οποίο προέκυψε Η συνάρτηση X() είναι ρητή συνάρτηση με βαθμό του αριθμητή ίσο με το βαθμό του παρονομαστή N M Οπότε μετά τη διαίρεση των πολυωνύμων, η συνάρτηση X γράφεται: Τότε X X X με X X A A X όπου A d X ( ) d d d A X ( ) X x( ) u( ) 8 ( ) u( ) 8 X X X 7 8 x ( ) 0

12 Η συνάρτηση X έχει δύο απλούς πόλους: p και p Τότε, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ανάλυσης της X Άρα 06 σε άθροισμα απλών κλασμάτων, προκύπτει: Τέλος, χρησιμοποιώντας τα ζεύγη του μετασχηματισμού και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, προκύπτει ο αντίστροφος μετασχηματισμός : 7Συνέλιξη μέσω μετασχηματισμού Ο υπολογισμός της συνέλιξης μέσω μετασχηματισμού, στηρίζεται τόσο στα ζεύγη του μετασχηματισμού, όσο και στις ιδιότητες του μετασχηματισμού Η διαδικασία υπολογισμού της συνέλιξης δύο σημάτων διακριτού χρόνου μέσω μετασχηματισμού είναι η ακόλουθη: Δεδομένων δύο σημάτων x ( ) και x ( ), υπολογίζουμε τους μετασχηματισμούς, και Στη συνέχεια υπολογίζουμε το γινόμενο X X X, αφού γνωρίζουμε ότι X είναι ο μετασχηματισμός της συνέλιξης x( ) x( ) x( ) (ιδιότητα συνέλιξης του μετασχηματισμού ) Στη συνέχεια, το γινόμενο αναλύεται σε άθροισμα απλών κλασμάτων (όπως στην προηγούμενη παράγραφο) Τέλος, χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό (από τα ζεύγη του μετασχηματισμού) και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, υπολογίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό της X, που είναι η ζητούμενη συνέλιξη Παράδειγμα Δίνονται τα σήματα Να υπολογιστεί η συνέλιξη x( ) x( ) x( ) μέσω του μετασχηματισμού Αρχικά υπολογίζονται οι (ευθείς) μετασχηματισμοί με χρήση των ζευγών του μετασχηματισμού και των ιδιοτήτων του μετασχηματισμού: Το σήμα A A όπου A X ( ) A X ( ) X x( ) u( ) u( ) ( ) έχει μετασχηματισμό X Το σήμα s( ) u( ) έχει μετασχηματισμό S, Οπότε με χρήση της ιδιότητας αντιστροφής στον χρόνο το σήμα y( ) s( ) u( ) έχει μετασχηματισμό X X x ( ) u( ) x ( ) ( ) u x ( ) u( ) X,

13 Y S, Τότε, με χρήση της ιδιότητας μετατόπισης στη συχνότητα Μετά υπολογίζεται το γινόμενο X X X, οπότε X X X, Στη συνέχεια το γινόμενο αναλύεται σε άθροισμα απλών κλασμάτων: A A X με συντελεστές 6 A X ( ) 6 A X ( ) δηλαδή 6 6 X Τέλος, χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό (από τα ζεύγη του μετασχηματισμού) και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, έχουμε: 8 Θεωρήματα αρχικής και τελικής τιμής Θεώρημα αρχικής τιμής Αν x( ) 0, 0, τότε η αρχική τιμή του σήματος x ( ) είναι x(0) lim X (9) Απόδειξη Παράδειγμα Δίνεται ο μετασχηματισμός ενός αιτιατού σήματος X, Τότε η αρχική τιμή του σήματος το σήμα x ( ) y ( ) u ( ) έχει μετασχηματισμό X S, 6 6 x( ) u( ) u( ) 0 X x( ) x( ) x(0) x( ) 0 x(0) x( ) 0 x(0) x( ) x x x x x (0) () () (0) 0 0 (0) x ( ) είναι: x ( ) 07

14 x(0) lim X lim Θεώρημα τελικής τιμής Αν x( ) 0, 0, τότε η τελική τιμή του σήματος x ( ) είναι x(0) lim X (0) Απόδειξη 0 X x( ) x( ) x(0) x( ) x( ) x(0) 0 x( ) x(0) 0 x( ) x( ) x(0) 0 0 x(0) x(0) 0 Παράδειγμα Δίνεται ο μετασχηματισμός ενός αναιτιατού σήματος X, Τότε η τελική τιμή του σήματος x ( ) είναι: 9 Μονόπλευρος μετασχηματισμός Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός (oe-sided trasform) μίας ακολουθίας διακριτού χρόνου ορίζεται ως: () Πρόκειται για το ίδιο άθροισμα με αυτό του ορισμού του αμφίπλευρου μετασχηματισμού, με τη διαφορά ότι το άθροισμα υπολογίζεται μόνο για τις μη αρνητικές τιμές της μεταβλητής, δηλαδή για 0 Επομένως, ο μονόπλευρος μετασχηματισμός (oe-sided trasform) μίας ακολουθίας x ( ) είναι ίσος με τον μετασχηματισμό της ακολουθίας x( ) u( ) Προφανώς η Περιοχή Σύγκλισης του μονόπλευρου μετασχηματισμού μίας ακολουθίας είναι η εξωτερική επιφάνεια ενός κύκλου, δηλαδή είναι της μορφής > a Για τα ζεύγη του μονόπλευρου μετασχηματισμού χρησιμοποιείται ο συμβολισμός: x ( ) x(0) lim X lim lim lim X ( ) x( ) 0 x( ) X ( ) 0 x ( ) Ιδιότητα μετατόπισης στον χρόνο του μονόπλευρου μετασχηματισμού Οι περισσότερες ιδιότητες του μονόπλευρου μετασχηματισμού είναι ίδιες με αυτές του αμφίπλευρου μετασχηματισμού Μία ιδιότητα, όπου υπάρχει διαφορά, είναι η ιδιότητα της μετατόπισης στον χρόνο Μετατόπιση ή ολίσθηση προς τα δεξιά Αν x( ) X ( ), τότε ( ), 0 0 ( ) i x X x i Απόδειξη Αν y( ) x( ), τότε 0 ( ) ( ) ( 0) 0 0 Y y x i () 08

15 Θέτοντας Παράδειγμα Το σήμα έχει μονόπλευρο μετασχηματισμό X ( ), Τότε το σήμα Μετατόπιση ή ολίσθηση προς τα αριστερά Αν x( ) X ( ), τότε Απόδειξη Αν y( ) x( ), τότε Θέτοντας m 0 Παράδειγμα Το σήμα m 0 ( m0) 0 m ( ) ( 0) ( ) ( ) 0 m0 m0 Y x x m x m x( m) x( m) m 0 m0 0 m m 0 m 0 x( m) x( m) m0 m0 0 0 i 0 x( i) X ( ) i x( ) u( ), x( ) y( ) x( ) u( ) έχει μονόπλευρο μετασχηματισμό Y X x ( ) ( ) ( ), m ( 0), 0 0 ( ) i0 x X x i 0 ( ) ( ) ( 0) 0 0 Y y x ( m0) 0 m ( ) ( 0) ( ) ( ) 0 m0 m0 Y x x m x m x( m) x( m) m0 m0 0 0 m m 0 0 m 0 m x( m) x( m) m0 m i X ( ) x( i) x( ) u( ) i0 i () 09

16 με 0 x(0) u(0) έχει μονόπλευρο μετασχηματισμό X ( ), Τότε το σήμα y( ) x( ) u( ) έχει μονόπλευρο μετασχηματισμό Y ( ) X ( ) x(0), Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός χρησιμοποιείται για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων διαφορών με σταθερούς συντελεστές με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες Συνάρτηση μεταφοράς Ορισμός της συνάρτησης μεταφοράς Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (LTI) σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ) και είσοδο x ( ) παράγει στην έξοδο την απόκριση: y( ) h( ) x( ) () όπως φαίνεται στο Σχήμα Ο μετασχηματισμός, H, της κρουστικής απόκρισης h ( ) ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματοςονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς(trasferfuctio): ( ) H h Από την ιδιότητα της συνέλιξης του μετασχηματισμού, είναι προφανές ότι, συμβολίζοντας με X () μετασχηματισμό της εισόδου x ( ) και με Y τον μετασχηματισμό της εξόδου y( ) h( ) x( ) του LTI συστήματος, οι μετασχηματισμοί της εισόδου και της εξόδου συνδέονται με τη σχέση: Y H X (6) όπως φαίνεται στο Σχήμα τον Σχήμα Συνάρτηση μεταφοράς LTI συστήματος Έτσι, στα LTI συστήματα, η συνέλιξη στον χρόνο γίνεται πολλαπλασιασμός στη μιγαδική συχνότητα Περιγραφή LTI συστημάτων μέσω συνάρτησης μεταφοράς Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα περιγράφεται από μία γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: 0

17 y( ) b x( k) a y( k) Στο Κεφάλαιο είδαμε ότι η κρουστική απόκριση του χρόνου Τώρα θα δούμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς (7) αρκεί για να περιγράψει ένα LTIσύστημα στο πεδίο αρκεί για να περιγράψει ένα LTIσύστημα στο πεδίο της συχνότητας Γνωρίζουμε ότι ο μετασχηματισμός της κρουστικής απόκρισης h ( ) είναι η συνάρτηση μεταφοράς H Παίρνοντας τον μετασχηματισμό και στα δύο μέλη της εξίσωσης διαφορών (8), έχουμε οπότε N M k Y ak X bk k k0 Όμως, γνωρίζουμε ότι: Y H X οπότε Y H X Άρα (8) Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς εξαρτάται από τους συντελεστές του LTIσυστήματος Επομένως, οι σταθεροί συντελεστές της γραμμικής εξίσωσης διαφορών αρκούν για να ορίσουν τη συνάρτηση μεταφοράς Έτσι, η συνάρτηση μεταφοράς αρκεί για να περιγράψει ένα LTIσύστημα στο πεδίο της συχνότητας Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTI σύστημα: y( ) x( ) x( ) y( ) y( ) Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς Παίρνοντας τον μετασχηματισμό και στα δύο μέλη της εξίσωσης διαφορών, έχουμε Y X X Y Y Άρα M k k0 k M N k k Y b X a Y k k0 k M N k k Y X b Y a k k0 k N k k k k k0 k N k M k Y Y a X b H Y X M b k k 0 N k a k k k k k h ( ) H Y X Y X H Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTI σύστημα: y( ) x( ) x( ) x( ) y( ) y( ) Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς

18 Από την εξίσωση διαφορών προκύπτει ότι πρόκειται για IIR φίλτρο με M και N και ότι οι σταθεροί συντελεστές είναι: b0, b, b, a, a Επομένως, χρησιμοποιώντας τον τύπο της προηγούμενης παραγράφου, η συνάρτηση μεταφοράς είναι: H Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς 6 H Να βρεθεί η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει το LTI σύστημα Από την εξίσωση διαφορών προκύπτει ότι πρόκειται για IIR φίλτρο με M και N και ότι οι σταθεροί συντελεστές είναι: b0, b 0, b 6, a, a Επομένως, χρησιμοποιώντας τον τύπο της προηγούμενης παραγράφου, η εξίσωση διαφορών είναι: y( ) x( ) 6 x( ) y( ) y( ) Επίσης, είναι φανερό ότι η συνάρτηση μεταφοράς είναι ρητή συνάρτηση της μεταβλητής, οπότε έχει μηδενικά και πόλους Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς: 6 H Ο μετασχηματισμός γράφεται: 6 6 H Επομένως υπάρχουν δύο μηδενικά στα σημεία και και δύο πόλοι στα σημεία και Στο Σχήμα φαίνεται το διάγραμμα πόλων-μηδενικών της συνάρτησης μεταφοράς, όπου τα μηδενικά συμβολίζονται με το σύμβολο «ο» και οι πόλοι με το σύμβολο

19 Imagiary Part Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Ένα LTI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς Real Part Σχήμα Πόλοι και Μηδενικά συνάρτησης μεταφοράς H συνδέεται σε σειρά με ένα LTI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H, όπως φαίνεται στο Σχήμα Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο x ( ) με μετασχηματισμό X και έξοδο w ( ) με μετασχηματισμό W Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο, την έξοδο του πρώτου συστήματος και έξοδο y () με μετασχηματισμό Y Η σύνδεση σε σειρά των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα LTI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H, που εξαρτάται από τις συναρτήσεις μεταφοράς των συστημάτων και δίνεται από τη σχέση: H H H Απόδειξη Για τα δύο συστήματα, που είναι συνδεδεμένα σε σειρά, ισχύει: Y H W W H X οπότε Y H W H H X H H X επειδή ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στον πολλαπλασιασμό Όμως, η έξοδος γράφεται: Y H X Επομένως, H H H H H (9)

20 Σχήμα Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Η συνολική συνάρτηση μεταφοράς ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι το γινόμενο των συναρτήσεων μεταφοράς των επί μέρους συστημάτων Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Ένα LTI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H X w ( ) X v ( ) H συνδέεται παράλληλα με ένα LTI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς, όπως φαίνεται στο Σχήμα Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο x ( ) με μετασχηματισμό και έξοδο με μετασχηματισμό W Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο x ( ) με μετασχηματισμό και έξοδο μεμετασχηματισμό V Οι έξοδοι των δύο συστημάτων αθροίζονται και δίνουν την συνολική έξοδο y () με μετασχηματισμό Y Η παράλληλη σύνδεση των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα LTI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H, που εξαρτάται από τις συναρτήσεις μεταφοράς των συστημάτων και δίνεται από τη σχέση: H H H Απόδειξη Για τα δύο συστήματα, που είναι συνδεδεμένα παράλληλα, ισχύει: V H X W H X οπότε Y V W H X H X H H X επειδή ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα Όμως, η έξοδος γράφεται: Y H X Επομένως : H H H H H (0) Σχήμα Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Η συνολική συνάρτηση μεταφοράς ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα, είναι το άθροισμα των συναρτήσεων μεταφοράς των επί μέρους συστημάτων

21 Επίλυση εξισώσεων διαφορών μέσω μετασχηματισμού Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα περιγράφεται από μία γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: M y( ) b x( k) a y( k) k k0 k () και αρχικές συνθήκες εξόδου y( ), y( ),, y( N) και αρχικές συνθήκες εισόδου x( ), x( ),, x( M) Η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές είναι ένας ανοικτός τύπος υπολογισμού της απόκρισης του συστήματος, δεδομένων βέβαια των σταθερών συντελεστών Επομένως συνιστά έναν επαναληπτικό τρόπο υπολογισμού της εξόδου Για να υπολογιστεί η έξοδος y(0) απαιτούνται οι αρχικές συνθήκες εξόδου y( ), y( ),, y( N) και οι αρχικές συνθήκες εισόδου x( ), x( ),, x( M) Η επίλυση των εξισώσεων διαφορών μπορεί να γίνει μέσω του μετασχηματισμού Μάλιστα η ύπαρξη αρχικών συνθηκών υπαγορεύει τη χρήση του μονόπλευρου μετασχηματισμού Παίρνοντας μονόπλευρο μετασχηματισμό και στα δύο μέλη της εξίσωσης διαφορών, έχουμε: M k N k k k i k k i Y bk X x( i) ak Y y( i) k 0 i k i N N ki ai y( k) k i Hy N k ak k προκύπτει: Y H X H H N k N N k M M k k k i k k i k k ( ) k k ( ) k k i k 0 k 0 i Y a Y a y i b X b x i N k Y ( ) ak ak k N k M M k k i k k i y( i) X ( ) bk bk x( i) k i k 0 k 0 i N N N M M M k k i k k i Y ak ai y( k) X bk bi x( k) k k i k 0 k i M M M N N k k i k i bk bi x( k) ai y( k) k 0 k i k i Y X N N N k k k ak ak ak k k k Θέτοντας: M k 0 H H x M N b k k k i a k k k M ki bi x( k) N k ak k x y () () () () Ο πρώτος όρος εξαρτάται από τη συνάρτηση μεταφοράς, που αποτυπώνει τη συμπεριφορά του συστήματος για μηδενικές αρχικές συνθήκες εισόδου και εξόδου

22 Ο δεύτερος όρος εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες εισόδου Αν το σύστημα είναι αιτιατό, τότε οι αρχικές συνθήκες εισόδου είναι μηδενικές και ο όρος αυτός μηδενίζεται Ο τρίτος όρος εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες εξόδου και αντιστοιχεί στην απόκριση του συστήματος για μηδενική είσοδο Παίρνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό προκύπτει η απόκριση του συστήματος Παράδειγμα Δίνεται ένα αιτιατό σύστημα με γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) y( ) με αρχική συνθήκη y( ) Υπολογισμός κρουστικής απόκρισης Η κρουστική απόκριση h ( ) είναι η έξοδος του φίλτρου με είσοδο x( ) ( ) και μηδενικές αρχικές συνθήκες Χρησιμοποιώντας τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό έχουμε: X γιατί x( ) ( ) Από την εξίσωση διαφορών έχουμε: Y X Y Y X Άρα η συνάρτηση μεταφοράς είναι: Y H, X και η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι: h( ) u( ) Υπολογισμός της βηματικής απόκρισης Η βηματική απόκριση είναι η απόκριση του φίλτρου s ( ) στην είσοδο x( ) u( ) Χρησιμοποιώντας το μονόπλευρο μετασχηματισμό έχουμε: X, γιατί x( ) u( ) Από την εξίσωση διαφορών έχουμε: ( ) Y X Y y Y y( ) X που αναλύεται σε: 7 Y 8 Οπότε η βηματική απόκριση του φίλτρου είναι: Αξίζει να παρατηρήσετε ότι: Y 8 Επομένως: Y, s( ) u( ) u( ) 6

23 Y Y Θέτοντας: H Hy προκύπτει: Y H X H Ο πρώτος όρος εξαρτάται από την συνάρτηση μεταφοράς που αποτυπώνει την συμπεριφορά του συστήματος για μηδενικές αρχικές συνθήκες εισόδου και εξόδου Επειδή το σύστημα είναι αιτιατό, δεν υπάρχει ο όρος που εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες εισόδου Ο δεύτερος όρος εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες εξόδου και αντιστοιχεί στην απόκριση του συστήματος για μηδενική είσοδο Έχουμε: Y 8 Οπότε η απόκριση είναι: ( ) y u( ) u( ) u( ) 8 που βέβαια είναι ίση με τη βηματική απόκριση s ( ) που υπολογίστηκε προηγουμένως Ο πρώτος όρος της απόκρισης αντιστοιχεί στην απόκριση του συστήματος για μηδενικές αρχικές συνθήκες εισόδου και εξόδου (erostaterespose) και ο δεύτερος όρος της απόκρισης αντιστοιχεί στην απόκριση του συστήματος για μηδενική είσοδο (eroiputrespose) Πράγματι, για x ( ) 0, έχουμε y( ) y( ), οπότε που αντιστοιχεί στον όρο y Y ( ) ( ) Y y Y y Y 8 Y 8 της απόκρισης 6 Ευστάθεια σημάτων διακριτού χρόνου u ( ) 8 Ευστάθεια σημάτων διακριτού χρόνου και μετασχηματισμός Ευσταθές σήμα Ένα σήμα διακριτού χρόνου είναι ευσταθές, όταν όλοι οι πόλοι του μετασχηματισμού βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου Αν το σήμα είναι πραγματικό και ο πόλος p είναι θετικός, δηλαδή 0 p, τότε το σήμα είναι φθίνουσα συνάρτηση, ενώ αν ο πόλος είναι αρνητικός, δηλαδή p 0, τότε το σήμα είναι απόλυτα φθίνουσα συνάρτηση Αν οι πόλοι είναι μιγαδικοί (υπάρχουν σε ζεύγη συζυγών μιγαδικών), * δηλαδή p p,τότε το σήμα είναι φθίνον ημιτονοειδές σήμα (φθίνουσα ταλάντωση) Ασταθές σήμα Ένα σήμα διακριτού χρόνου είναι ασταθές, όταν ένας τουλάχιστον πόλος του μετασχηματισμού βρίσκεται εκτός του μοναδιαίου κύκλου Αν το σήμα είναι πραγματικό και ο πόλος p είναι θετικός, δηλαδή p, τότε το σήμα είναι αύξουσα συνάρτηση, ενώ αν ο πόλος είναι αρνητικός, δηλαδή p, τότε το 7

24 σήμα είναι απόλυτα αύξουσα συνάρτηση Αν οι πόλοι είναι μιγαδικοί (υπάρχουν σε ζεύγη συζυγών * μιγαδικών), δηλαδή p p,τότε το σήμα είναι αύξον ημιτονοειδές σήμα (αύξουσα ταλάντωση) Οριακά ευσταθές σήμα Ένα σήμα διακριτού χρόνου είναι οριακά ευσταθές, όταν όλοι οι πόλοι του μετασχηματισμού βρίσκονται πάνωστο μοναδιαίο κύκλο ή εντός του μοναδιαίου κύκλου και ένας τουλάχιστον πόλος του μετασχηματισμού βρίσκεται πάνωστο μοναδιαίο κύκλο Αν το σήμα είναι πραγματικό και ο πόλος p είναι θετικός, δηλαδή p, τότε το σήμα είναι σταθερό (ίσο με ), ενώ αν ο πόλος είναι αρνητικός, δηλαδή p, τότε το σήμα παλινδρομεί ανάμεσα στις τιμές και Αν οι πόλοι είναι μιγαδικοί (υπάρχουν σε ζεύγη συζυγών μιγαδικών), δηλαδή p p *,τότε το σήμα είναι ημιτονοειδές Μπορείτε να διερευνήσετε την ευστάθεια σημάτων διακριτού χρόνου με το Διαδραστικό πρόγραμμα Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Διαδραστικό πρόγραμμα Ευστάθεια σημάτων διακριτού χρόνου 7 Ευστάθεια συστημάτων διακριτού χρόνου και μετασχηματισμός Ευσταθές σύστημα Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο, ένα LTI σύστημα είναι ευσταθές, όταν η κρουστική απόκριση ικανοποιεί τη σχέση: (6) Αυτή η σχέση αφορά στο πεδίο του χρόνου Στο πεδίο των συχνοτήτων, ένα LTI σύστημα είναι ευσταθές, όταν ο μοναδιαίος κύκλος ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος Αιτιατό σύστημα Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο, ένα LTI σύστημα είναι αιτιατό, όταν η κρουστική απόκριση ικανοποιεί τη σχέση: h( ) 0, 0 (7) Αυτή η σχέση αφορά στο πεδίο του χρόνου Στο πεδίο των συχνοτήτων, ένα LTI σύστημα είναι αιτιατό, όταν η Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος είναι η εξωτερική επιφάνεια ενός κύκλου, δηλαδή είναι της μορφής a Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι πόλοι ανήκουν σε περιοχή της μορφής h( ) L a, αφού οι πόλοι δεν ανήκουν στην Περιοχή Σύγκλισης Πραγματοποιήσιμο σύστημα Ένα LTI σύστημα είναι πραγματοποιήσιμο,όταν είναι ευσταθές και αιτιατό Αυτό σημαίνει ότι ο μοναδιαίος κύκλος ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος και ταυτόχρονα ότι όλοι οι πόλοι ανήκουν σε περιοχή μορφής a Άρα, 0a, που σημαίνει ότι όλοι οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος βρίσκονται στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου Παράδειγμα Το LTIσύστημα με συνάρτηση μεταφοράς 8

25 c, H 8 έχει έναν πόλο στο σημείο c H 8 c αφού η συνάρτηση μεταφοράς γράφεται: Υπάρχουν δύο πιθανές Περιοχές Σύγκλισης, η Περιοχή Σύγκλισης και η Περιοχή Σύγκλισης 8 8 Το σύστημα είναι αιτιατό, αν η Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος είναι η εξωτερική επιφάνεια ενός κύκλου, δηλαδή, αν η Περιοχή Σύγκλισης είναι της μορφής > a Επομένως, αφού η συνάρτηση μεταφοράς έχει Περιοχή Σύγκλισης 8, τότε το σύστημα είναι αιτιατό Επιπλέον, για να είναι το σύστημα ευσταθές, πρέπει ο μοναδιαίος κύκλος να ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος Αυτό συμβαίνει, αφού η Περιοχή Σύγκλισης είναι 8 Επομένως, το σύστημα είναι πραγματοποιήσιμο Αξίζει να σημειωθεί ότι ο πόλος 8 βρίσκεται στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου Ευστάθεια αιτιατών LTIσυστημάτων διακριτού χρόνου και συνάρτηση μεταφοράς Ευσταθές αιτιατό LTIσύστημα Ένα αιτιατό LTIσύστημα διακριτού χρόνου είναι ευσταθές, όταν όλοι οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου Ασταθές αιτιατό LTIσύστημα Ένα αιτιατό LTIσύστημα διακριτού χρόνου είναι ασταθές, όταν ένας τουλάχιστον πόλος της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος βρίσκεται εκτός του μοναδιαίου κύκλου Οριακά ευσταθές αιτιατό LTIσύστημα Ένα αιτιατό LTIσύστημα διακριτού χρόνου είναι οριακά ευσταθές, όταν όλοι οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος βρίσκονται πάνωστο μοναδιαίο κύκλο ή εντός του μοναδιαίου κύκλου και ένας τουλάχιστον πόλος της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος βρίσκεται πάνωστο μοναδιαίο κύκλο Μπορείτε να διερευνήσετε την ευστάθεια LTIσυστημάτων διακριτού χρόνου σε σχέση με τον μετασχηματισμό (συνάρτηση μεταφοράς) με το Διαδραστικό πρόγραμμα Διαδραστικό πρόγραμμα Ευστάθεια LTI συστημάτων διακριτού χρόνου 8 Σύστημα ανάδρασης Στο Σχήμα 6 φαίνεται ένα τυπικό σύστημα ανάδρασης Το σύστημα έχει είσοδο με μετασχηματισμό X και έξοδο με μετασχηματισμό Y ευθέως κλάδου με συνάρτηση μεταφοράς μεταφοράς G Το σύστημα αποτελείται από δύο LTIσυστήματα Το σύστημα του H και το σύστημα κλάδου ανάδρασης με συνάρτηση 9

26 Σχήμα 6Σύστημα ανάδρασης Από το Σχήμα είναι φανερό ότι: Y H Y H X GY Y H G H X X H G Το συνολικό σύστημα ανάδρασης έχει συνάρτηση μεταφοράς Y Q X Άρα Q H H G (8) Μία εφαρμογή των συστημάτων ανάδρασης είναι η χρήση τους, ώστε να σταθεροποιηθούν ασταθή συστήματα Παράδειγμα Δίνεται ένα LTIσύστημα με συνάρτηση μεταφοράς 9, H 9 9 Το σύστημα είναι αιτιατό, γιατί η Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς είναι Όμως ο μοναδιαίος κύκλος δεν ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος, οπότε το σύστημα είναι ασταθές Ο λόγος που γίνεται αυτό είναι ότι η συνάρτηση μεταφοράς έχει έναν πόλο 9 p στο εξωτερικό του μοναδιαίου κύκλου, αφού p 9 Θεωρούμε τώρα ένα αιτιατό σύστημα ανάδρασης, όπου το σύστημα του ευθέως κλάδου έχει συνάρτηση μεταφοράς H και το σύστημα κλάδου ανάδρασης έχει συνάρτηση μεταφοράς G C 0 Τότε, το συνολικό σύστημα ανάδρασης έχει συνάρτηση μεταφοράς: H Q H G οπότε H Q H G C C C ( C) Η συνάρτηση μεταφοράς του συνολικού συστήματος ανάδρασης έχει έναν πόλο 9 p' C Επειδή το σύστημα ανάδρασης είναι αιτιατό, η Περιοχή Σύγκλισης είναι: 0

27 p' C Για να είναι το σύστημα ανάδρασης ευσταθές, πρέπει όταν ο μοναδιαίος κύκλος να ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος Επομένως, πρέπει: 9 p' C Άρα, πρέπει: C Αξίζει να σημειωθεί ότι ο πόλος p' του συστήματος ανάδρασης είναι μία συνάρτηση της παραμέτρου C 9 Όταν C τείνει στο μηδέν, τότε lim p' lim p, που σημαίνει ότι ο πόλος τείνει στον πόλο της C0 C0 C συνάρτησης μεταφοράς του ευθέως κλάδου Όταν C τείνει στο άπειρο, τότε Επίσης, η συνάρτηση 9 9 H lim p' lim 0, που σημαίνει ότι ο πόλος τείνει στο μηδέν C C p' C είναι μία φθίνουσα συνάρτηση ως προς την παράμετρο C Οπότε όσο C αυξάνει, τόσο η τιμή του πόλου p ' ελαττώνεται Αυτό σημαίνει ότι, όσο αυξάνει η τιμή του C, τόσο ο πόλος «σπρώχνεται» προς το εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου Μάλιστα, ο πόλος μπαίνει στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου, όταν C 9 Ακολουθία Fiboacci και συνάρτηση μεταφοράς Η ακολουθία Fiboacci 0,,,,,,8,,, είναι μία πολύ γνωστή ακολουθία αριθμών, όπου κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων: x( ) x( ) x( ) (9) με αρχικές συνθήκες x(0) 0, x() Γίνεται η αντιστοίχιση της ακολουθίας Fiboacciμε την παρακάτω γραμμική εξίσωση διαφορών που περιγράφει ένα LTIσύστημα: x( ) x( ) x( ) ( ) (0) Πράγματι, για x() x(0) x( ) (0) 0 x( ) x( ) 0 για 0 x(0) x( ) x( ) ( ) 0 0 x( ) 0 x( ) 0 οπότε εξασφαλίζονται μηδενικές αρχικές συνθήκες Παίρνοντας μετασχηματισμό στην εξίσωση διαφορών προκύπτει: X X X X Άρα η συνάρτηση μεταφοράς είναι: X Η συνάρτηση μεταφοράς γράφεται: X και έχει δύο πόλους: και C 9 9 p p

28 Στη συνέχεια το γινόμενο αναλύεται σε άθροισμα απλών κλασμάτων: A A X με συντελεστές A X A X δηλαδή X () Τέλος, χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό (από τα ζεύγη του μετασχηματισμού) και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, έχουμε: x u( ) u( ) () Η ακολουθία Fiboacci έχει την παρακάτω ιδιότητα: Ιδιότητα x ( ) lim r () x ( ) Απόδειξη Έστω ότι υπάρχει το όριο x ( ) lim r x ( ) Τότε, r 0, αφού η ακολουθία Fiboacciαποτελείται από θετικούς αριθμούς, οπότε και το όριο είναι θετικός αριθμός ως πηλίκο θετικών αριθμών Για τους ίδιους λόγους έχουμε: lim x ( ) r x ( ) Αλλά x( ) x( ) x( ) x( ) lim lim lim x( ) x( ) x( ) r Επομένως: r r Τότε r r 0 που έχει δύο λύσεις και r r Αλλά r 0 και Οπότε το όριο είναι: r r 0

29 Παρατήρηση Το όριο της ιδιότητας συνδέεται με τον αριθμό a , που είναι γνωστός με το όνομα χρυσή τομή Η σχέση που συνδέει την οριακή τιμή της () με τη χρυσή τομή είναι: a () r Πράγματι, a r Μετασχηματισμός σε προγραμματιστικό περιβάλλον Χρήσιμη βιβλιογραφία για Matlabείναι το βιβλίο TheMathWorksIc, 00 Χρήσιμη ξενόγλωσση βιβλιογραφία για σήματα σε Matlabείναι τα βιβλία IgleadProakis, 00 και Leis, 0 Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία για σήματα σε Matlabείναι το βιβλίο Ασημάκης, 008 Χρήσιμη βιβλιογραφία για Octave είναι τα βιβλία Eato, Batema, Hauberg, Wehbrig, 0 και Hase, 0 Η συνάρτηση plae(b,a) υπολογίζει τους πόλους και τα μηδενικά μίας ρητής συνάρτησης και σχεδιάζει το διάγραμμα πόλων-μηδενικών Τα μηδενικά συμβολίζονται με το σύμβολο «ο» και οι πόλοι με το σύμβολο Σε περίπτωση πολλαπλότητας πόλων ή μηδενικών, η πολλαπλότητα εμφανίζεται ως εκθέτης Η συνάρτηση έχει εισόδους τους συντελεστές του αριθμητή b και τους συντελεστές a του παρονομαστή και σχεδιάζει το σχεδιάζει το διάγραμμα πόλων-μηδενικών Για παράδειγμα, για τη σχεδίαση του διαγράμματος πόλων-μηδενικών της συνάρτησης μεταφοράς H 7 απαιτείται η κλήση b=[]; a=[,-]; plae(b,a); Η συνάρτηση [R,P,K]=residue(b,a) χρησιμοποιείται για την υλοποίηση του αντίστροφου μετασχηματισμού Η συνάρτηση υλοποιεί την ανάλυση μίας ρητής συνάρτησης σε άθροισμα απλών κλασμάτων Η συνάρτηση έχει εισόδους τους συντελεστές b του αριθμητή και τους συντελεστές a του παρονομαστή και εξόδους τους πόλους P, τους συντελεστές Rτων κλασμάτων και τους συντελεστές Kτου πολυωνύμου, που προκύπτει από τη διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή (όταν ο βαθμός του αριθμητή είναι ίσος ή μεγαλύτερος από το βαθμό του παρονομαστή) Για παράδειγμα, η ανάλυση σε απλά κλάσματα της συνάρτησης μεταφοράς H απαιτεί την κλήση b=[,]; a=[,]; [R,P,K]=residue(b,a); Τότε, η συνάρτηση επιστρέφει R=0 P=- K=06667 που σημαίνει H Η συνάρτηση [H,W]=freq(b,a) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό και τη σχεδίαση της απόκρισης συχνότητας ενός LTI συστήματος διακριτού χρόνου Η συνάρτηση έχει εισόδους τους συντελεστές b και aτης ρητής απόκρισης συχνότητας, που περιγράφει το LTIσύστημα και εξόδους το μέτρο και τη φάση της απόκρισης συχνότητας

30 Η συνάρτηση filticχρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της απόκρισης ενός LTI συστήματος, όταν δίνονται αρχικές συνθήκες Η συνάρτηση filticδημιουργεί αρχικές συνθήκες για τη συνάρτηση filter Η συνάρτηση xic=filtic(b,a,y) έχει εισόδους τους συντελεστές b και aτης εξίσωσης διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει το LTIσύστημα και τις αρχικές συνθήκες Y Η έξοδος της συνάρτησης χρησιμοποιείται ως είσοδος στη συνάρτηση filter Για παράδειγμα, για να υπολογιστεί η βηματική απόκριση του LTIσυστήματος y( ) x( ) y( ) y( ) με αρχικές συνθήκες y( ) 0, y( ) δηλαδή, η έξοδος του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) απαιτείται η παραγωγή της εισόδου uκαι στη συνέχεια απαιτείται η κλήση b=[]; a=[, -, -]; Y=[,0]; xic=filtic(b,a,y); y=filter(b,a,u,xic); Λυμένες Ασκήσεις Δίνεται ο μετασχηματισμός ενός αιτιατού σήματος 8 X Να υπολογίσετε την τιμή x(0) Λύση Εφαρμόζουμε το θεώρημα της αρχικής τιμής 8 8 x(0) lim X lim Δίνεται ο μετασχηματισμός ενός αναιτιατού σήματος X 9 Να υπολογίσετε την τιμή x(0) Λύση Εφαρμόζουμε το θεώρημα της τελικής τιμής x(0) lim X lim lim lim x ( ) x ( ) Ένα LTI σύστημα έχει είσοδο και έξοδο x( ) u( ) u( ) y( ) 6 u( ) 6 u( ) Να υπολογίσετε τη συνάρτηση μεταφοράς Λύση Από τα ζεύγη του μετασχηματισμού και από το γεγονός ότι η είσοδος ότι ο μετασχηματισμός της εισόδου είναι: X, ROC X Από τα ζεύγη του μετασχηματισμού και από το γεγονός ότι η έξοδος ότι ο μετασχηματισμός της εξόδου είναι: Y 6 6, ROC Y x ( ) y () είναι αιτιατό σήμα, γνωρίζουμε είναι αιτιατό σήμα, γνωρίζουμε

31 Επομένως, X Τότε, από την ιδιότητα της συνέλιξης του μετασχηματισμού έχουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς είναι: Y H X (α) Στην περίπτωση αυτή (β) Y ROC ROC και ROCY Στην περίπτωση αυτή ROC ROC και ROC, οπότε 6 6 όπου η Περιοχή Σύγκλισης του μετασχηματισμού της εξόδου ROC Y περιέχει την τομή της Περιοχής Σύγκλισης του μετασχηματισμού της εισόδου ROC X και της Περιοχής Σύγκλισης του μετασχηματισμού της συνάρτησης μεταφοράς ROC H Η συνάρτηση μεταφοράς έχει έναν πόλο, οπότε υπάρχουν δύο πιθανές Περιοχές Σύγκλισης: ROCH ROCH ROC ROC ROC X H Y Άρα η Περιοχή Σύγκλισης είναι: ROCH που σημαίνει ότι το σύστημα είναι αιτιατό Δίνεται η γραμμική εξίσωσης διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) y( ) y( ) με αρχικές συνθήκες y( ) 0, y( ) α Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση του φίλτρου β Να υπολογίσετε την απόκριση του φίλτρου στην είσοδο Λύση α Η κρουστική απόκριση h ( ) είναι η έξοδος του φίλτρου με είσοδο x( ) ( ) και μηδενικές αρχικές συνθήκες Χρησιμοποιώντας τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό έχουμε: X γιατί x( ) ( ) Από την εξίσωση διαφορών έχουμε: Y X Y Y Y X Άρα, η συνάρτηση μεταφοράς είναι: Y H, X και η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι: X β Χρησιμοποιώντας το μονόπλευρο μετασχηματισμό έχουμε: X, X H H Y h( ) u( ) u( ) x( ) u( )

32 γιατί x( ) u( ) Από την εξίσωση διαφορών έχουμε: Y X Y y( ) Y y( ) y( ) που αναλύεται σε: 9 Y Οπότε και η απόκριση y () του φίλτρου στην είσοδο x( ) u( ) είναι: Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h ( ) ενός LTIσυστήματος με είσοδο x( ) u( ) και έξοδο y( ) u( ) Y X y( ) y( ) y( ) Y 0 6 Y 9 Λύση Ο μετασχηματισμός της εισόδου είναι: X, Ο μετασχηματισμός της εξόδου είναι: Y, Από την ιδιότητα της συνέλιξης του μετασχηματισμού, προκύπτει ότι το σήμα y( ) h( ) x( ) έχει μετασχηματισμό Y H X με Περιοχή Σύγκλισης Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: Y H, X Η συνάρτηση μεταφοράς γράφεται: H Επομένως: 9 9 Y, y( ) u( ) u( ) u( ) 6

33 Τέλος, χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό (από τα ζεύγη του μετασχηματισμού) και τις ιδιότητες της γραμμικότητας και της μετατόπισης του μετασχηματισμού, υπολογίζεται η κρουστική απόκριση του συστήματος: h( ) u( ) u( ) 6 Να εξετάσετε ως προς την ευστάθεια το αιτιατό LTIσύστημα, που περιγράφεται από τη γραμμική εξίσωσης διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) 7 y( ) y( ) Λύση Η συνάρτηση μεταφοράς του LTIσυστήματος είναι: H 7 με πόλους p και p Επειδή δίνεται ότι το σύστημα είναι αιτιατό, η Περιοχή Σύγκλισης είναι: Προφανώς, ο μοναδιαίος κύκλος δεν ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος Άρα το σύστημα είναι ασταθές Ασκήσεις Γραμμική συνέλιξη μέσω μετασχηματισμού Να υπολογίσετε τη γραμμική συνέλιξη x( ) a u( ) u( ),0 a μέσω μετασχηματισμού Αντίστροφος μετασχηματισμός Να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμός της συνάρτησης μεταφοράς H, Επίλυση γραμμικής εξίσωσης διαφορών με σταθερούς συντελεστές με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες με χρήση του μονόπλευρου μετασχηματισμού Δίνεται η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) y( ) με αρχική συνθήκη y( ) Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h ( ), δηλαδή την έξοδο του φίλτρου με είσοδο x( ) ( ) και μηδενικές αρχικές συνθήκες Να υπολογίσετε τη βηματική απόκριση s ( ), δηλαδή την έξοδο του φίλτρου με είσοδο x( ) u( ) Επίλυση γραμμικής εξίσωσης διαφορών με σταθερούς συντελεστές με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες με χρήση του μονόπλευρου μετασχηματισμού Δίνεται η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) y( ) με αρχικές συνθήκες y( ), y( ) Να υπολογίσετε την απόκριση y () του συστήματος όταν η είσοδος είναι x( ) ( ) Δίνεται ένα LTIσύστημα με συνάρτηση μεταφοράς 7

34 H, Να δείξετε ότι το σύστημα δεν είναι ευσταθές Να θεωρήσετε σύστημα ανάδρασης, όπου το σύστημα του ευθέως κλάδου έχει συνάρτηση μεταφοράς και το σύστημα κλάδου ανάδρασης έχει συνάρτηση μεταφοράς παραμέτρου C, ώστε το σύστημα ανάδρασης να είναι ευσταθές 6 Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστηριακή Άσκηση 0 Μετασχηματισμός και Συνάρτηση μεταφοράς Μετασχηματισμός σήματος πεπερασμένης διάρκειας Να μελετήσετε τη συνάρτηση filter Δίνεται το σήμα πεπερασμένης διάρκειας x( ) ( ) 8 ( ) 9 ( ) Να υπολογίσετε θεωρητικά τον μετασχηματισμό του σήματος: X 8 9 Να παράγετε το σήμα x ( ) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filter να παράγετε το σήμα μετασχηματισμό της X Να σχεδιάστε τα σήματα x ( ) και y () και να επιβεβαιώσετε ότι x( ) y( ) Μετασχηματισμός εκθετικού σήματος Δίνεται το σήμα διάρκειας x( ) u( ) Να υπολογίσετε θεωρητικά τον μετασχηματισμό του σήματος: X Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filter να παράγετε το σήμα μετασχηματισμό της X Να σχεδιάστε τα σήματα x ( ) και y () και να επιβεβαιώσετε ότι x( ) y( ) Ιδιότητα συνέλιξης του μετασχηματισμού Δίνονται τα σήματα: x ( ) ( ) ( ) ( ) x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Να υπολογίσετε θεωρητικά τους μετασχηματισμούς των σημάτων x ( ) και x ( ) : Να βρείτε τις τιμές της, δηλαδή τον αντίστροφο, δηλαδή τον αντίστροφο X X Να υπολογίσετε θεωρητικά τον μετασχηματισμό της συνέλιξης των σημάτων x( ) x ( ) x ( ) : 7 6 X Να παράγετε τα σήματα x ( ) και x ( ) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση cov να παράγετε το σήμα x ( ) και να διαπιστώσετε ότι είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός της X C 0 H Να μελετήσετε τη συνάρτησηdecov Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση decov με εισόδους τα σήματα x ( ) και x ( ) και να παράγετε το σήμα y () Να διαπιστώσετε ότι y( ) x ( ) G y () y () 8

35 Διάγραμμα πόλων-μηδενικών μετασχηματισμού Δίνεται ο μετασχηματισμός X Να υπολογίσετε θεωρητικά τα μηδενικά και τους πόλους του μετασχηματισμού : Να μελετήσετε τη συνάρτηση plae Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση plaeνα σχεδιάσετε το διάγραμμα πόλων-μηδενικών Μετατόπιση στον χρόνο Να γράψετε πρόγραμμα για την επιβεβαίωση της ιδιότητας της μετατόπισης στον χρόνο του μετασχηματισμού Ένα σήμα διακριτού χρόνου x ( ) έχει μετασχηματισμό : X Στη συνέχεια, να υπολογίσετε την ποσότητα Y X Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filter να παράγετε το σήμα, δηλαδή τον αντίστροφο μετασχηματισμό της X και το σήμα y (), δηλαδή τον αντίστροφο μετασχηματισμό της Y Να σχεδιάσετε τα σήματα και να επιβεβαιώσετε ότι y( ) x( ) 6 Αντίστροφος μετασχηματισμός : N M και απλοί πόλοι Δίνεται ο μετασχηματισμός X, 8 Να υπολογίσετε θεωρητικά τον αντίστροφο μετασχηματισμό : Να μελετήσετε τη συνάρτηση residue Να γράψετε πρόγραμμα για την επιβεβαίωση του παραπάνω αποτελέσματος Να αναλύσετε την X σε άθροισμα απλών κλασμάτων τη χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση residue με κλήση: b=[0,]; a=[,-07,0]; [R,p,C]=residue(b,a); και να εμφανίσετε τα αποτελέσματα Στη συνέχεια, να παράγετε το σήμα x ( ) Να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση residue και τη συνάρτηση filter για να παράγετε το σήμα y () δηλαδή τον αντίστροφο μετασχηματισμό της X Να σχεδιάστε τα σήματα x ( ) και y () και να επιβεβαιώσετε ότι x( ) y( ) 7 Αντίστροφος μετασχηματισμός : N M και πολλαπλός πόλος Δίνεται ο μετασχηματισμός X, Να αναλύσετε την x( ) u( ) u( ) X εμφανίσετε τα αποτελέσματα x ( ) σε άθροισμα απλών κλασμάτων χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση residue και να 8 Αντίστροφος μετασχηματισμός : Δίνεται ο μετασχηματισμός X, N M 9

36 Να αναλύσετε την εμφανίσετε τα αποτελέσματα σε άθροισμα απλών κλασμάτων χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση residue και να 9 Αντίστροφος μετασχηματισμός : N M Δίνεται ο μετασχηματισμός X, Να αναλύσετε την X σε άθροισμα απλών κλασμάτων χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση residue και να εμφανίσετε τα αποτελέσματα 0 Επίλυση γραμμικής εξίσωσης διαφορών με σταθερούς συντελεστές με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες με χρήση του μονόπλευρου μετασχηματισμού Να μελετήσετε τις συναρτήσεις filterκαι filtic Δίνεται η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) y( ) με αρχική συνθήκη y( ) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filterνα υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h ( ), δηλαδή την έξοδο του φίλτρου με είσοδο x( ) ( ) και μηδενικές αρχικές συνθήκες Χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις filterκαι filtic να υπολογίσετε τη βηματική απόκριση s ( ), δηλαδή την έξοδο του φίλτρου με είσοδο x( ) u( ) Γραμμικό αμετάβλητο κατά τη μετατόπιση (LTI) φίλτρο και μονόπλευρος μετασχηματισμός Δίνεται η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) y( ) y( ) με αρχικές συνθήκες y( ), y( ) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filterνα υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h ( ), δηλαδή την έξοδο του φίλτρου με είσοδο x( ) ( ) και μηδενικές αρχικές συνθήκες Χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις filterκαι filtic να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε την απόκριση του φίλτρου y () X στην είσοδο x( ) u( ) Γραμμικό αμετάβλητο κατά τη μετατόπιση (LTI) φίλτρο Δίνεται η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) y( ) 8 με αρχική συνθήκη y( ) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση plaeνα σχεδιάσετε το διάγραμμα πόλων-μηδενικών Το φίλτρο είναι ευσταθές ή ασταθές; Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filterνα υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h ( ), δηλαδή την έξοδο του φίλτρου με είσοδο x( ) ( ) και μηδενικές αρχικές συνθήκες Χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις filterκαι filtic να υπολογίσετε τη βηματική απόκριση s ( ), δηλαδή την έξοδο του φίλτρου με είσοδο x( ) u( ) 0

37 7 Περίληψη (ηχογραφημένη) Μπορείτε να ακούσετε την περίληψη του Κεφαλαίου με τον Ήχο Ήχος Περίληψη Κεφαλαίου Μετασχηματισμός και Συνάρτηση μεταφοράς Το σύνολο των τιμών της μεταβλητής για τις οποίες υπάρχει ο μετασχηματισμός, δηλαδή για τις οποίες το άθροισμα του μετασχηματισμού συγκλίνει, ονομάζεται Περιοχή Σύγκλισης (ΠΣ) (Regio Of Covergece ROC) Αν μετασχηματισμός μίας ακολουθίας είναι ρητή συνάρτηση του, τότε οι ρίζες του αριθμητή καλούνται μηδενικά (eros) και οι ρίζες του παρονομαστή καλούνται πόλοι (poles) Η Περιοχή Σύγκλισης δεν περιλαμβάνει τους πόλους Ο μετασχηματισμός της κρουστικής απόκρισης ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματοςονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς (trasferfuctio) Η συνολική συνάρτηση μεταφοράς ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά είναι το γινόμενο των συναρτήσεων μεταφοράς των επί μέρους συστημάτων Η συνολική συνάρτηση μεταφοράς ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα είναι το άθροισμα των συναρτήσεων μεταφοράς των επί μέρους συστημάτων Ένα LTI σύστημα είναι ευσταθές, όταν ο μοναδιαίος κύκλος ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος Ένα LTI σύστημα είναι αιτιατό, όταν η Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος είναι η εξωτερική επιφάνεια ενός κύκλου Ένα LTI σύστημα είναι πραγματοποιήσιμο, όταν είναι ευσταθές και αιτιατό Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι πόλοι της συνάρτηση μεταφοράς βρίσκονται στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου Η σχέση ορίζει το Μοναδιαίο Κύκλο (Uit Circle) στο μιγαδικό επίπεδο

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Ο μετασχηματισμός αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου

Κεφάλαιο 3 Συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου Κεφάλαιο 3 Συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ένας ορισμός της έννοιας του συστήματος διακριτού και συνεχούςχρόνου Αναλύονται οι βασικές ιδιότητες των συστημάτων διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Μετασχηματισμός Ζ (Ζ Transform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου και Απόκριση συχνοτήτων

Κεφάλαιο 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου και Απόκριση συχνοτήτων Κεφάλαιο 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου και Απόκριση συχνοτήτων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + + Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z. χρόνου και εξηγήσουµε έννοιες όπως περιοχή σύγκλισης, πόλος και µηδενικό.

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z. χρόνου και εξηγήσουµε έννοιες όπως περιοχή σύγκλισης, πόλος και µηδενικό. 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε τον µετασχηµατισµό και τον µονόπλευρο µετασχηµατισµό και να περιγράψουµε τις βασικές διαφορές τους. περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός z αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: Xz ()

Ο μετασχηματισμός z αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: Xz () Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Ο μετασχηματισμός αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: X x x τη X O Μετασχηματισμός,, της ακολουθίας είναι μιγαδική συνάρτηση, της μιγαδικής μεταβλητής x r j Ω Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Μετασχηματισμός Laplace και Συνάρτηση μεταφοράς

Κεφάλαιο 7 Μετασχηματισμός Laplace και Συνάρτηση μεταφοράς Κεφάλαιο 7 Μετασχηματισμός aplace και Συνάρτηση μεταφοράς Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του μετασχηματισμού aplace και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Δίνεται ο ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο µετασχηµατισµός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήµατα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου. Ο µετασχηµατισµός αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Ιουνίου 2003 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις

Θέματα Εξετάσεων Ιουνίου 2003 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις Θέματα Εξετάσεν Ιουνίου 00 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις ΘΕΜΑ. μονάδες Έστ το αιτιατό σύστημα d y t y t x t d t όπου x t η είσοδος και y t η έξοδος του συστήματος. α Να υπολογιστεί η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

6-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Μετασχηματισμός z

6-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Μετασχηματισμός z 6-Μαρτ-29 ΗΜΥ 429. Μετασχηματισμός . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 Μετασχηματισμός Μέθοδος εκπροσώπησης, ανάλυσης και σχεδιασμού συστημάτων και σημάτων διακριτού χρόνου. Ό,τι είναι η μέθοδος Lplce στο συνεχή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια συστημάτων

Ευστάθεια συστημάτων 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια συστημάτων Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Α Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

x[n] = e u[n 1] 4 x[n] = u[n 1] 4 X(z) = z 1 H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + 4z 2 ) z 2 (βʹ) H(z) = H min (z)h lin (z) 4 z 1 1 z 1 (z 1 4 )(z 1) (1)

x[n] = e u[n 1] 4 x[n] = u[n 1] 4 X(z) = z 1 H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + 4z 2 ) z 2 (βʹ) H(z) = H min (z)h lin (z) 4 z 1 1 z 1 (z 1 4 )(z 1) (1) Ασκήσεις με Συστήματα στο Χώρο του Ζ Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 7 Νοεμβρίου 015 1. Υπολόγισε τον μετ. Ζ και την

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμός Laplace και ΓΧΑ Συστήματα Συνάρτηση μεταφοράς αιτιατών και ευσταθών συστημάτων Συστήματα που περιγράφονται από ΔΕ Διαγράμματα Μπλοκ Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΔΙΑΛΕΞΗ 1 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Διαφορετικοί Τύποι Μετασχηµατισµού Fourier Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603)

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t)

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t) Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου 2015 ΘΕΜΑ 1 Ο (6,0 μονάδες) Δίνεται το κύκλωμα του σχήματος, όπου v 1 (t) είναι η είσοδος και v 3 (t) η έξοδος. Να θεωρήσετε μηδενικές αρχικές συνθήκες. v 1

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα ΙΙ

Σήματα και Συστήματα ΙΙ Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 5: Μετασχηματισμός Ζ Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. στο χώρο της συχνότητας

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. στο χώρο της συχνότητας HMY 49: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου στο χώρο της συχνότητας Μιγαδικά εκθετικά σήματα και

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου 204 5 (Ιούνιος 205) ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος. α. Να προσδιοριστούν οι τιμές

Διαβάστε περισσότερα

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός-Z. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός-Z. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μετασχηµατισµός-Z Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Μετασχηµατισµός - Ιδιότητες Μετασχηµατισµού- Γραµµικότητα Χρονική Ολίσθηση Κλιµάκωση

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμός Z. Κυριακίδης Ιωάννης 2011

Μετασχηματισμός Z. Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Μετασχηματισμός Z Κυριακίδης Ιωάννης 20 Τελευταία ενημέρωση: /2/20 Εισαγωγή Ο μετασχηματισμός- είναι ένα πολύ ισχυρό μαθηματικό εργαλείο για τη μελέτη διακριτών σημάτων και συστημάτων. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί:

Διαβάστε περισσότερα

Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ. Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου. Σχεδίαση φίλτρων

Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ. Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου. Σχεδίαση φίλτρων Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου Σχεδίαση φίλτρων Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Αντίστροφος ΜΖ (inverse-zt) Προσεγγίσεις εύρεσης του αντίστροφου ΜΖ Τυπικά ο i-zt γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Οι Μιγαδικοί Αριθμοί

Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι μιγαδικοί αριθμοί αρχικά βοήθησαν στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων των οποίων η διακρίνουσα είναι αρνητική Το γενικότερο πρόβλημα βέβαια είναι ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 3 η Τα Συστήματα στις Τηλεπικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Συνεπώς, η συνάρτηση µεταφοράς δεν µπορεί να οριστεί για z=0 ενώ µηδενίζεται όταν z=1. Εύκολα προκύπτει το διάγραµµα πόλων-µηδενικών ως εξής:

Συνεπώς, η συνάρτηση µεταφοράς δεν µπορεί να οριστεί για z=0 ενώ µηδενίζεται όταν z=1. Εύκολα προκύπτει το διάγραµµα πόλων-µηδενικών ως εξής: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Άσκηση : Δίνεται το LTI σύστηµα y[ n ] T{ x[ n ] } που ορίζεται από την αναδροµική σχέση: y[n ]y[n - ] +x[n ]- x[ n -] +x[ n - ] ( ). Να βρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος H(z ). 𝑦

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός Laplace. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός Laplace. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μετασχηµατισµός Laplace Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αιτιατότητα Μη-Αιτιατότητα. Ευστάθεια. Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηµατισµού Laplace

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #20 Πόλοι και μηδενικά Διάγραμμα πόλων και μηδενικών Ιδιότητες της περιοχής σύγκλισης Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Μετασχηματισμός Laplace Αμφίπλευρος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα. Ψ.Ε.Σ.Ε. Σ. Θεοδωρίδης 1

Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα. Ψ.Ε.Σ.Ε. Σ. Θεοδωρίδης 1 Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα x T [ ] y x y Ψ.Ε.Σ.Ε. Σ. Θεοδωρίδης Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα x T [ ] y x y Συνέλιξη y x, όπου y x η κρουστική απόκριση Ψ.Ε.Σ.Ε. Σ. Θεοδωρίδης 2 Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

X(e jω ) = x[n]e jωn (1) x[n] = 1. T s

X(e jω ) = x[n]e jωn (1) x[n] = 1. T s Αναπαράσταση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας Ο Μετασχηματισμός Fourier Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015 Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 20 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες). Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος που περιγράφεται από το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα. (2,0

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ- ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3 ΕΝΟΤΗΤΑ 3.. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z...4 3... ΟΡΙΣΜΌΣ...4 3... ΎΠΑΡΞΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΎ-Z...5 3..3. ΙΔΙΌΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΎ-Z... ΕΝΟΤΗΤΑ 3..

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Εισαγωγή Οι γεννήτριες συναρτήσεις είναι ένα από τα ισχυρά εργαλεία για μια ενοποιημένη αντιμετώπιση πολλών κατηγοριών προβλημάτων απαρίθμησης Ο Lplce έθεσε πρώτος τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 5 σιμοποιούμε, δηλαδή όσο περισσότερα bits χρησιμοποιούμε για την αναπαράσταση της κάθε τιμής του πλάτους. ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με τα σήματα διακριτού χρόνου.

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 2: Συστήματα διακριτού χρόνου Συστήματα διακριτού χρόνου Σύστημα διακριτού χρόνου: Μετασχηματισμός Τ που μετατρέπει το σήμα εισόδου x[] στο σήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 2 Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών με Σταθερούς Συντελεστές (Linear Constant- Coefficient

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος είναι 2.

Επομένως το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος είναι 2. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΛΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Το φέρον σε ένα σύστημα DSB διαμόρφωσης είναι c t A t μηνύματος είναι το m( t) sin c( t) sin c ( t) ( ) cos 4 c και το σήμα. Το διαμορφωμένο σήμα διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

3. Δίνεται ψηφιακό σύστημα που περιγράφεται από τη σχέση. y[n] = x[n]-2x[n-1] y[n] = x[n]-2x[1-n]

3. Δίνεται ψηφιακό σύστημα που περιγράφεται από τη σχέση. y[n] = x[n]-2x[n-1] y[n] = x[n]-2x[1-n] 1. Δίνεται ψηφιακό σύστημα που περιγράφεται από τη σχέση y[] = x[]+x[-1]+2 για το σύστημα ισχύει η αρχή της: Α) Ομογένειας Β) Επαλληλίας Γ) Γραμμικότητας. Δ) Χρονικής αμεταβλητότητας. 2. Δίνεται ψηφιακό

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συνέλιξη Κρουστική απόκριση

Συνέλιξη Κρουστική απόκριση Συνέλιξη Κρουστική απόκριση Το εργαστήριο αυτό ασχολείται με τα «διασημότερα συστήματα στην επεξεργασία σήματος. Αυτά δεν είναι παρά τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα (ΓΧΑ) συστήματα. Ένα τέτοιο σύστημα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Έστω το γενικό σύστηµα 2 ας τάξεως µε σταθερό αριθµητή (1) Είθισται αυτό να γράφεται σε συγκεκριµένη µορφή, την εξής: θέτουµε ±, επιλέγοντας το πρόσηµο ούτως ώστε το

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4)

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα Συνάρτηση συστήματος Ένα σύστημα L απεικονίζει κάθε σήμα εισόδου x σε ένα σήμα εξόδου y, δηλ., συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Ηλεκτρονικη και 1/60 Πληροφορίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Ηλεκτρονικη και 1/60 Πληροφορίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 /6 Σήματα- συμβολισμοί 5 5 4 4 3 3 2 2 - -4-3 -2-2 3 4 5-2 3 4 5 6 7 8-2 -2-3 -3 x()=, x(-),x(), x(),. x()={,-2,-3,-,,, 2, 3, 4, } x()={x()}={,x(-),x(), x(),.} x()={,-2,-3, -,,, 2, 3, 4, } 2/6

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΑΣΗΜΑΚΗΣ Καθηγητής. ΜΑΡΙΑ ΑΔΑΜ Επίκουρη Καθηγήτρια. Σήματα και Συστήματα

ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΑΣΗΜΑΚΗΣ Καθηγητής. ΜΑΡΙΑ ΑΔΑΜ Επίκουρη Καθηγήτρια. Σήματα και Συστήματα ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΑΣΗΜΑΚΗΣ Καθηγητής ΜΑΡΙΑ ΑΔΑΜ Επίκουρη Καθηγήτρια Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Συγγραφή Νικόλαος Ασημάκης Μαρία Αδάμ Κριτικός αναγνώστης Δημήτριος Βέντζας Συντελεστές έκδοσης Γλωσσική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοπός του µαθήµατος Η Συστηµατική Περιγραφή: των Σηµάτων και των Συστηµάτων 2 Τι είναι Σήµα; Ένα πρότυπο

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #9 Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Συνάρτηση μεταφοράς Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα Συχνά

Διαβάστε περισσότερα