Ακόμη μια σύνθετη κίνηση δοκού

Transcript

1 κόμη μια σύνθετη κίνηση δοκού Β Η δοκός Β το σχήματος έχει μάζα m και μήκος. Στο άκρο της δοκού πάρχον δύο μικρές προεξοχές αμελητέας μάζας. Με την βοήθεια τν δύο προεξοχών η δοκός στηρίζεται σε δύο οριζόντια στηρίματα, τα οποία επιτρέπον την χρίς τριβές οριζόντια κίνηση το άκρο αποτρέποντας την κατακόρη κίνησή το. Τατόχρονα η δοκός μπορεί να περιστρέεται χρίς τριβές ύρ από τον άξονα πο ορίζον οι προεξοχές. ρχικά η δοκός είναι κατακόρη με το κέντρο μάζας της πάν από το σημείο. Την στιμή t=0 αήνομε την δοκό ελεύθερη να κινηθεί (στην πραματικότητα πρέπει να την εκτρέψομε ελαρά από την θέση ασταθούς ισορροπίας της). ) Να πολοιστούν η νιακή ταχύτητα περιστροής της δοκού, η ταχύτητα το κέντρο μάζας της και η δύναμη πο ασκούν τα στηρίματα στην δοκό την στιμή πο ίνεται α) οριζόντια β) κατακόρη B) Να πολοιστούν τα ίδια σικά μεέθη σε μια τχαία θέση της δοκού, σναρτήσει της νίας πο σχηματίζει η δοκός με την κατακόρη. Δίνεται ροπή αδράνειας της δοκού ς προς άξονα πο διέρχεται από το μέσον της και είναι κάθετος σε 1 ατήν Ι = m. 1 Λύση Θερούμε μια τχαία χρονική στιμή στην οποία η δοκός σχηματίζει με την κατακόρο νία. Οι δνάμεις πο ασκούνται στην δοκό είναι το βάρος της και η δύναμη Ν πο της ασκούν τα στηρίματα. Επομένς, στην ράβδο δεν ασκούνται δνάμεις στην οριζόντια διεύθνση. Σμπεραίνομε λοιπόν ότι η επιτάχνση το κέντρο μάζας της στην οριζόντια διεύθνση είναι μηδέν. Επειδή δε η αρχική ταχύτητα το κέντρο μάζας είναι μηδενική, σμπεραίνομε ότι το κέντρο μάζας κινείται κατά μήκος της κατακορύο πο ορίζει η αρχική θέση της δοκού. Η κίνηση της δοκού είναι σύνθετη, σνδασμός της κατακόρης κίνησης το κέντρο μάζας και μιας περιστροής ύρ από το κέντρο μάζας. Η ταχύτητα το σημείο είναι η σνισταμένη δύο ταχτήτν. Της κατακόρης ταχύτητας το κέντρο μάζας. Ν G w 1

2 Της ραμμικής ταχύτητας περιστροής ύρ από το κέντρο μάζας κάθετη στην G. Η επιτάχνση το σημείο είναι σύνθεση τριών επιταχύνσεν : =, η οποία είναι Της κατακόρης επιτάχνσης το κέντρο μάζας. Της κεντρομόλο επιτάχνσης λό περιστροής ύρ από το κέντρο μάζας κ = = R = R η οποία έχει την διεύθνση της G και ορά από το προς το G. Της επιτροχίο επιταχύνσες περιστροής ύρ από το κέντρο μάζας οποία έχει διεύθνση κάθετη στην G. =α R=α, η ε Επειδή το σημείο δεν κινείται στον κατακόρο άξονα, η προβολή τόσο της επιτάχνσής το όσο και της ταχύτητάς το στον κατακόρο άξονα είναι μηδέν. Όταν η ράβδος βρίσκεται σε οριζόντια θέση ε κ Ν w Επειδή η ταχύτητα το σημείο στον κατακόρο άξονα είναι μηδέν, προκύπτει ότι: = = (1) Εαρμόζοντας το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέρειας μεταξύ της αρχικής και της οριζόντιας θέσης της δοκού προκύπτει ότι: mg = m + I mg = m + m 4 1 = 3g () 3g πό την (1) προκύπτει ότι =. Επειδή η επιτάχνση το σημείο στον κατακόρο άξονα είναι μηδέν, προκύπτει ότι:

3 = ε =α πό τον θεμελιώδη νόμο ια την κίνηση το κέντρο μάζας προκύπτει η σχέση: Σ Fy = m w N= m (4) Για την στροική κίνηση της ράβδο ισχύει ότι: Στ = Iα Ν = m α Ν= m α Ν= m (5) Σνδάζοντας τις (3), (4) και (5) προκύπτει ότι: 3 = g, 4 1 Ν= w, 4 α = 3g Όταν η ράβδος βρίσκεται σε κατακόρη θέση (3) κ ε Ν w Επειδή η ταχύτητα το σημείο στον κατακόρο άξονα είναι μηδέν, προκύπτει ότι: = 0 (6) Εαρμόζοντας το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέρειας μεταξύ της αρχικής και της κατακόρης θέσης της δοκού προκύπτει ότι: mg = mg + m + I mg= m = 1 4g Επειδή η επιτάχνση το σημείο στον κατακόρο άξονα είναι μηδέν, προκύπτει ότι: + κ = 0 + = 0 = = 1g πό τον θεμελιώδη νόμο ια την κίνηση το κέντρο μάζας και την προκύπτει η σχέση: Σ F = m w N= 1mg N= 13w (9) y Για την στροική κίνηση της ράβδο ισχύει ότι: (7) (8) 3

4 Στ = I α α = 0 (10) Β) y x,x,y G Επειδή το σημείο δεν κινείται στην κατακόρη διεύθνση, ισχύει ότι: =,y =ηµϕ = ηµϕ Θέτοντας ς επίπεδο μηδενικής δναμικής ενέρειας το οριζόντιο επίπεδο πο διέρχεται από τα στηρίματα η δναμική ενέρεια της δοκού στην τχαία θέση είναι: U= mgh= m g σνϕ Η κινητική ενέρεια της δοκού είναι: Κ= m + I = m ηµ ϕ+ m m (1 3 ) Κ= + ηµ ϕ (13) 4 Επομένς η μηχανική ενέρεια της είναι: 1 =Κ+ = + ηµ ϕ + σνϕ (14) 4 E U m (1 3 ) mg Στην αρχική θέση της δοκού είναι =0 και =0. Επομένς, E= m g (11) (1) (15) Επειδή η μηχανική ενέρεια της δοκού παραμένει σταθερή σμπεραίνομε ότι: 1 m (1 3 + ηµ ϕ ) + mg σνϕ= m g 4 =± 1 g(1 σνϕ) (1+ 3 ηµ ϕ) (16) Παραίζοντας την σχέση (11) ς προς τον χρόνο μπορούμε να πολοίσομε την σχέση της επιτάχνσης το κέντρο μάζας της δοκού με την νιακή της επιτάχνση. 4

5 = ηµϕ =α ηµϕ+ σνϕ ν θέλομε να απούομε τις παραίσεις τότε μπορούμε να εραστούμε ς εξής: Η επιτάχνση το σημείο είναι σύνθεση τριών επιταχύνσεν : (17) Της κατακόρης επιτάχνσης το κέντρο μάζας. Της κεντρομόλο επιτάχνσης λό περιστροής ύρ από το κέντρο μάζας κ = = R = R η οποία έχει την διεύθνση της G και ορά από το προς το G. Της επιτροχίο επιταχύνσες περιστροής ύρ από το κέντρο μάζας οποία έχει διεύθνση κάθετη στην G. =α R=α, η ε κ y x ε κ,y ε,y ε,x κ,x Επειδή το σημείο δεν κινείται στον άξονα y, πρέπει η κατακόρη σνιστώσα της επιτάχνσής το να είναι μηδέν. Επομένς, = ε,y + κ,y = εηµϕ+ κσνϕ =α ηµϕ+ σνϕ ανακτώντας έτσι την σχέση (17). ντικαθιστώντας στην (17) την νιακή ταχύτητα από την (16) προκύπτει ότι: 6g(1 σνϕ) σνϕ =α ηµϕ+ 1+ 3ηµ ϕ πό τον θεμελιώδη νόμο ια την κίνηση το κέντρο μάζας προκύπτει ότι: 6g(1 σνϕ) σνϕ w N= m w N= mα ηµϕ+ m 1+ 3ηµ ϕ (18) (19) πό τον θεμελιώδη νόμο ια την στροική κίνηση της δοκού έχομε: 1 1 Στ G = IGα Ν ηµϕ= m α Νηµϕ= mα m α = 6Νηµϕ (0) 1 6 5

6 Σνδάζοντας τις (0) και (19) προκύπτει ότι: w 6m g(1 σνϕ) σνϕ Ν= 1+ 3 ηµ ϕ (1+ 3 ηµ ϕ) Ν= w σν ϕ σνϕ (1+ 3 ηµ ϕ) (1) και 6ηµϕ 6gηµϕ 4+ 3σν ϕ 6σνϕ α = Ν= m (1+ 3 ηµ ϕ) () Για την επιτάχνση το κέντρο μάζας ισχύει ότι: 4+ 3σν ϕ 6σνϕ w N= m = g 1 (1+ 3 ηµ ϕ) 4 9σν ϕ 7σν ϕ+ 6σνϕ+ 1 = (1+ 3 ηµ ϕ) g (3) korfitis@sch.gr 6