Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος

Transcript

1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

2 ÌÜèçìá 10 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ - ÌÅÑÏÓ II Óôï ìüèçìá áõôü äßíåôáé ìéá ðñïóýããéóç ôçò ëýóçò ôïõ ðñïâëþìáôïò áñ éêþò ôéìþò 1çò ôüîçò y = ft; y) ; t [a; b ] ìå y 0 = y a) äéáöïñåôéêþò åêåßíçò ðïõ äüèçêå óôï ÌÜèçìá 9. ÓõãêåêñéìÝíá óýìöùíá ìå ôï ðñïçãïýìåíï ìüèçìá, áí õðïôåèåß üôé ôï äéüóôçìá [a; b ] Ý åé õðïäéáéñåèåß óå N ôï ðëþèïò ßóá õðïäéáóôþìáôá ðëüôïõò `, ôüôå ç ìýèïäïò: i) ôïõ Euler y i+1 = y i + `f t i ; y i ) ii) êáé ôïõ Taylor ôüîçò n y i+1 = y i + `f i + `! f `n i + : : : + n! f n 1) i ; i = 0; 1; : : : ; ; õðïëïãßæåé ôçí ðñïóåããéóôéêþ ëýóç y i+1 áðü ôçí y i ðñïóèýôïíôáò ôïí üñï 1

3 ÐñïóåããéóôéêÞ ëýóç ODE's Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ` f t i ; y i ) ãéá ôçí i), áíôßóôïé á ôïí ` f i + `! f `n 1 ) i + : : : + f n 1) i n! ãéá ôç ii) ìýèïäï. Êáé ïé äýï ìýèïäïé áíþêïõí óôçí êáôçãïñßá ôùí ìïíïâçìáôéêþí ìåèüäùí Þ ôùí ìåèüäùí ôïõ áðëïý âþìáôïò, äçëáäþ ôùí ìåèüäùí ïé ïðïßåò ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò ðñïóýããéóçò y i+1 ñçóéìïðïéïýí ìüíï ôçí áìýóùò ðñïçãïýìåíç ôéìþ y i. Êýñéï áñáêôçñéóôéêü ôùí ìåèüäùí áõôþí åßíáé: ç äõóêïëßá ôïõ õðïëïãéóìïý ôùí ðáñáãþãùí óôç ii), êáé ç ìéêñþ áêñßâåéá ôùí áðïôåëåóìüôùí ÌÝèïäïé ôùí Runge-Kutta ÅéóáãùãÞ óôù ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò 1çò ôüîçò y = ft; y) ; t [a; b ] ìå y 0 = y a) ) Óýìöùíá ìå ôï ÌÜèçìá 9 êáé ôçí ðáñáðüíù åéóáãùãþ üëåò ïé ìýèïäïé ðïõ åîåôüóôçêáí ôåëéêü ãñüöïíôáé óôç ìïñöþ y i+1 = y i + `F t i ; y n) ) i ; ` ) üðïõ F åßíáé ìßá ãíùóôþ óõíüñôçóç êáé n ç ôüîç ôçò ðáñáãþãïõ, üôáí i = 0; 1; : : : ; N 1 Ó ). Ï Runge êáé áñãüôåñá ï Kutta áðýäåéîáí üôé åßíáé äõíáôþ ç ëýóç ôïõ ðñïâëþìáôïò áñ éêþò ôéìþò 10:1:1 1) ìå áñéèìçôéêýò ìåèüäïõò ôçò ìïñöþò 10:1:1 ), ùñßò íá áðáéôåßôáé ï õðïëïãéóìüò ôùí ðáñáãþãùí ôçò óõíüñôçóçò áëëü ìå ôçí ßäéá áêñßâåéá ôçò ëýóçò. Ïé ìýèïäïé áõôýò, ðïõ åßíáé ãíùóôýò óáí ìýèïäïé ôùí Runge-Kutta, ãñüöïíôáé óôç ãåíéêþ ôïõò ìïñöþ ùò y i+1 = y i + `ö t i ; y i ; `) ãéá êüèå i = 0; 1; : : : ; N 1; ) 1 Ï áíáãíþóôçò ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá êáé óôï âéâëßï Á. ÌðñÜôóïò [] Êåö. 10.

4 ÌÝèïäïé ôùí Runge-Kutta 3 a b t 0 t 1 t i t i 1 t N 1 t N y 0 y 1 y i y i 1 y N 1 y N Ó Þìá : ç äéáìýñéóç ôïõ äéáóôþìáôïò [a; b ] áðü ôá óçìåßá t i = a + i `, üôáí ` = t i+1 t i êáé ïé áíôßóôïé åò ðñïóåããéóôéêýò ôéìýò y i ; i = 0; 1; : : : ; N üôáí ãéá ôçí n-ôüîç ôçò ìåèüäïõ, ç óõíüñôçóç ö äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç öt; y; `) = c 1 k 1 + c k + : : : + c n k n ) üðïõ k 1 = ft; y) êáé ãéá êüèå j = ; 3; : : : ; n k j = f t + `a j ; y + ` a j = j 1 b jm : m=1 j 1 b jm k m ; m= ) Åßíáé ðñïöáíýò üôé üëåò ïé ìýèïäïé 10:1:1 3) åêöñüæïíôáé ìå áíáëõôéêþ explicit) ìïñöþ, üðïõ ãéá íá õðïëïãéóôåß ç ëýóç ôïõ ðñïâëþìáôïò áñ éêþò ôéìþò 10:1:1 1) ìå åöáñìïãþ ìéáò ìåèüäïõ n ôüîçò, áðáéôåßôáé ï õðïëïãéóìüò n ôï ðëþèïò óõíáñôþóåùí. Äßíïíôáé óôç óõíý åéá ïé ðáñáêüôù äýï ñþóéìïé ïñéóìïß.

5 4 ÐñïóåããéóôéêÞ ëýóç ODE's Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ïñéóìüò óôù yt) ç èåùñçôéêþ ëýóç ôïõ ðñïâëþìáôïò áñ éêþò ôéìþò 10:1:1 1). Ôüôå ç ìýèïäïò ôùí Runge-Kutta, ðïõ ïñßæåôáé áðü ôç ó Ýóç 10:1:1 3), ëýãåôáé üôé åßíáé ôüîçò n, üôáí n åßíáé ï ìåãáëýôåñïò áêýñáéïò ãéá ôïí ïðïßï éó ýåé yt + `) yt) `öt; yt); `) = O `n+1) : ) Õðåíèõìßæåôáé üôé ìå ôï O `n+1) óõìâïëßæåôáé ôï Üèñïéóìá áðü ôïõ üñïõ `n+1 êáé ìåôü, äçëáäþ a 1`n+1 + a `n+ + : : : : Ïñéóìüò Ç ìýèïäïò 10:1:1 3) ëýãåôáé üôé åßíáé óõìâáôþ consistent) ìå ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò 10:1:1 1), üôáí öt; y; 0) = ft; y): ) ÐáñáôÞñçóç Ïé óõíôåëåóôýò c i ; k i ; i = 1; : : : ; n óôçí 10:1:1 5) õðïëïãßæïíôáé áíáðôýóóïíôáò üëïõò ôïõò üñïõò êáôü Taylor ùò ðñïò t êáé óôç óõíý åéá åöáñìüæïíôáò ôéò óõíèþêåò ôùí Ïñéóìþí êáé Åéäéêüôåñá óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü üëïé ïé óõíôåëåóôýò ôùí äõíüìåùí `i; i = 1; : : : ; n ðñýðåé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ íá åßíáé 0. Äßíïíôáé óôç óõíý åéá ïé ðáñáêüôù äýï ðåñéóóüôåñï ñçóéìïðïéïýìåíåò óôéò åöáñìïãýò ìýèïäïé ôùí Runge-Kutta RK) ÌÝèïäïò 3çò ôüîçò óôù üôé ç ôüîç ôçò ìåèüäïõ åßíáé n = 3. 10:1:1 5) åßíáé Ôüôå óýìöùíá ìå ôç ó Ýóç y i+1 = y i + ` c 1 k 1 + c k + c 3 k 3 ) üðïõ ôá c i ; k i ; i = 1; ; 3 õðïëïãßæïíôáé áðü áðü ôçí 10:1:1 6) ùò åîþò:

6 ÌÝèïäïé ôùí Runge-Kutta 5 k 1 = f t; y) êáé ãéá j = ) 1 k = f t + `a ; y + ` b 1 k m = f t + `a ; y + `b 1 k 1 ) ; m=1 a = 1 b m = b 1 ; ïðüôå m=1 k = f t + `a ; y + ` a k 1 ) : j = 3 ) k 3 = f t + `a 3 ; y + ` b 1 k m m=1 = f [t + `a 3 ; y + ` b 31 k 1 + b 3 k )] ; a 3 = 1 b m = b 31 + b 3 ; ïðüôå b 31 = a 3 b 3 : m=1 ñá k 3 = f [t + `a 3 ; y + ` a 3 b 3 ) k 1 + `b 3 k ] : Óôéò ðáñáðüíù ó Ýóåéò ïé ðáñüìåôñïé c 1, c, c 3, a, a 3 êáé b 3 ðñýðåé íá åêëåãïýí, Ýôóé þóôå óýìöùíá ìå ôçí ÐáñáôÞñçóç ç ìýèïäïò íá åßíáé ôüîçò n = 3. Ðáñáëåßðïíôáò óôï óçìåßï áõôü ôïõò åíäéüìåóïõò õðïëïãéóìïýò, ðáñáðýìðïíôáò ôïí áíáãíþóôç ðñïò ôïýôï óôç âéâëéïãñáößá, ôåëéêü ðñïêýðôåé ôï ðáñáêüôù óýóôçìá ìå 4 åîéóþóåéò êáé 6 áãíþóôïõò c 1 + c + c 3 = 1 c a + c 3 a 3 = 1 c a + c 3a 3 = 1 3 c 3 a b 3 = 1 6 : )

7 6 ÐñïóåããéóôéêÞ ëýóç ODE's Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ñá èá õðüñ åé Ýíá Üðåéñï ôï ðëþèïò ìåèüäïõò ôùí Runge-Kutta 3çò ôüîçò. Áðü ôï óýíïëï ôùí ìåèüäùí áõôþí åîåôüæåôáé ìüíï ç ìýèïäïò y i+1 = y i + ` 6 k 1 + 4k + k 3 ) ) k 1 = f t i ; y i ) k = f t i + ` ; y i + ` ) k 1 k 3 = f t i + `; y i `k 1 + `k ) ðïõ åßíáé ãíùóôþ êáé óáí êáíüíáò 3çò ôüîçò ôïõ Kutta RK3). ÐáñÜäåéãìá Íá ëõèåß ìå ôç ìýèïäï RK3 ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò y = y + t + 1; üôáí t [0; 0:5]; ` = 0:1; åíþ ç èåùñçôéêþ ëýóç ôïõ åßíáé yt) = e t + t t + 3: Ëýóç. Åßíáé ft; y) = y + t + 1: ÅðåéäÞ åßíáé ãíùóôþ ç èåùñçôéêþ ëýóç yt), ç áñ éêþ ôéìþ y 0, ðïõ áíôéóôïé åß óôçí ôéìþ t = 0, õðïëïãßæåôáé áðü ôçí yt) ùò åîþò: y 0 = y0) = e = 5: Ôüôå ãéá i = 0; 1; ; 3; 4 Ó ) Ý ïõìå: 1ï âþìá t 0 = 0; y 0 = 5) k 1 = f t 0 ; y 0 ) = y 0 + t = = 4; Ç ðáñáðüíù åéóáãùãþ íá ðáñáëåéöèåß óå ðñþôç áíüãíùóç

8 ÌÝèïäïé ôùí Runge-Kutta t 0 t 1 t t 3 t 4 t 5 y 0 y 1 y y 3 y 4 y 5 Ó Þìá : ç äéáìýñéóç ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò , üôáí ` = 0:1 êáé ïé áíôßóôïé åò ôéìýò y i ; i = 0; 1; : : : ; 5 ìå t i = i `. Ç áñ éêþ ôéìþ åßíáé y 0 = y t 0 ) = y0) = [ e t + t t + 3 ] = 5 ïðüôå k = f t 0 + ` ; y 0 + ` ) k 1 = y 0 + ` ) k 1 + t 0 + ` ) + 1 [ = 5 + 0:1 ] 4) :1 ) + 1 = 3:7975; k 3 = f t 0 + `; y 0 `k 1 + `k ) = y 0 ` k 1 + ` k ) + t 0 + `) + 1 = [5 0:1 4) 0:1 3:7975] :1) + 1 = 3:6305; y 1 = y 0 + ` 6 k 1 + 4k + k 3 )

9 8 ÐñïóåããéóôéêÞ ëýóç ODE's Êáè. Á. ÌðñÜôóïò = 5 + 0:1 [ :7975) 3:6305] = 4:61966: 6 ï âþìá t 1 = 0:1; y 1 = 4:61966) k 1 = f t 1 ; y 1 ) = y 1 + t = 4: :1 + 1 = 3:6097; k = f t 1 + ` ; y 1 + ` ) k 1 = y 1 + ` ) k 1 + t 1 + ` ) + 1 [ = y 1 + 0:1 ] 3:6097) + 0:1 + 0:1 ) + 1 = 3:4167; ïðüôå k 3 = f t 1 + `; y 1 `k 1 + `k ) = y 1 ` k 1 + ` k ) + t 1 + `) + 1 = [4: :1 3:6097) + 0:1 3:4167)] + 0:1 + 0:1) + 1 = 3:573; y = y 1 + ` 6 k 1 + 4k + k 3 ) = 4:7743: Óõíå ßæïíôáò ìå ðáñüìïéï ôñüðï Ý ïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ôïõ Ðßíáêá , åíþ óôï Ó ôá áíôßóôïé á óöüëìáôá e i. óêçóç Íá ëõèåß ìå ôç ìýèïäï RK3 ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò y = y + t + 1; üôáí t [0; 0:5]; ` = 0:1 êáé èåùñçôéêþ ëýóç yt) = t + e t :

10 ÌÝèïäïé ôùí Runge-Kutta 9 Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá : áðïôåëýóìáôá ìåèüäïõ RK3 t i y i y t i ) e i E E E E E-04 e i 1 Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá Ç êáìðýëç äåß íåé ôá óöüëìáôá e i

11 10 ÐñïóåããéóôéêÞ ëýóç ODE's Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÌÝèïäïò 4çò ôüîçò Áí n = 4, ôüôå ìå ó Ýóåéò áíüëïãåò áõôþí ôçò åéóáãùãþò ôçò ÐáñáãñÜöïõ ôåëéêü ðñïêýðôåé Ýíá óýóôçìá ïêôþ åîéóþóåùí ìå äýêá áãíþóôïõò, ïðüôå èá õðüñ åé êáé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ Ýíá Üðåéñï ðëþèïò ìåèüäùí Runge- Kutta 4çò ôüîçò, ôùí ïðïßùí ï ôýðïò èá åêöñüæåôáé ìå áíáëõôéêþ ìïñöþ. Áðü áõôýò åîåôüæåôáé ìüíï ç ðáñáêüôù ðåñéóóüôåñï ñçóéìïðïéïýìåíç ìýèïäïò, ðïõ åßíáé ãíùóôþ êáé óáí RK4: ÐáñÜäåéãìá y i+1 = y i + ` 6 k 1 + k + k 3 + k 4 ) ) k 1 = f t i ; y i ) k = f t i + ` ; y i + ` ) k 1 k 3 = f t i + ` ; y i + ` ) k k 4 = f t i + `; y i + `k 3 ) : Íá ëõèåß ìå ôç ìýèïäï RK4 ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò åíþ ç èåùñçôéêþ ëýóç åßíáé y = y + t + 1; üôáí t [0; 0:5]; ` = 0:1; yt) = t + e t : Ëýóç. Åßíáé ft; y) = y + t + 1: ¼ìïéá ç áñ éêþ ôéìþ y 0 üìïéá õðïëïãßæåôáé áðü ôç èåùñçôéêþ ëýóç ùò åîþò: Ôüôå ãéá i = 0; 1; ; 3; 4 Ý ïõìå: y 0 = y0) = 0 + e 0 = 1:

12 ÌÝèïäïé ôùí Runge-Kutta 11 1ï âþìá t 0 = 0; y 0 = 1) k 1 = f t 0 ; y 0 ) = y 0 + t = = 0; k = f t 0 + ` ; y 0 + ` ) k 1 = y 0 + ` ) k 1 = 1 + 0:1 ) t 0 + ` k 3 = f t 0 + ` ; y 0 + ` ) k = y 0 + ` ) k = 1 + 0:1 ) 0: :1 + t 0 + ` ) + 1 ) + 1 = 0:05; ) :1 ) + 1 = 0:0475; ïðüôå k 4 = f t 0 + `; y 0 + `k 3 ) = y 0 + ` k 3 ) + t 0 + 0:1) + 1 = y 0 + 0:1 0:0475) :1) + 1 = 0:0955; y 1 = y 0 + ` 6 k 1 + k + k 3 + k 4 ) = 1:00484: ï âþìá t 1 = 0:1; y 1 = 1:00484) k 1 = f t 1 ; y 1 ) = y 1 + t = 1: :1 + 1 = 0:09516; k = f t 1 + ` ; y 1 + ` ) k 1 = y 1 + 0:1 ) 0: t 1 + 0:1 ) + 1 = 0:1404;

13 1 ÐñïóåããéóôéêÞ ëýóç ODE's Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá : áðïôåëýóìáôá ìåèüäïõ RK4 t i y i y t i ) e i E E E E E-07 k 3 = f t 1 + ` ; y 1 + ` ) k = y 1 + 0:1 ) 0: t 1 + 0:1 ) + 1 = 0:13814; ïðüôå k 4 = f t 1 + `; y 1 + `k 3 ) = y 1 + 0:1 0:13814) + t 0 + 0:1) + 1 = 0:18135; y = y 1 + ` 6 k 1 + k + k 3 + k 4 ) = 1:01873: Óõíå ßæïíôáò ìå ðáñüìïéï ôñüðï, ôåëéêü Ý ïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ôïõ Ðßíáêá Áðü ôçí åîýôáóç ôùí óöáëìüôùí ôïõ Ðßíáêá ðñïêýðôåé üôé, áí êáé ïé ôéìýò ôùí åßíáé åëü éóôåò, õðüñ åé ìéá áýîçóþ ôùí ìå ôçí ðüñïäï ôïõ ñüíïõ. ÔåëéêÜ óôï Ó ãßíåôáé ç óýãêñéóç ôùí óöáëìüôùí ôçò ëýóçò ôïõ ðáñáðüíù ðáñáäåßãìáôïò ìå ôéò ìåèüäïõò RK3 Üóêçóç ÐáñáãñÜöïõ 10.1.) êáé ôçò RK4, áðü ôï ïðïßï Üìåóá ðñïêýðôåé ç ìåãáëýôåñç áêñßâåéá ôçò RK4.

14 ÌÝèïäïé ôùí Runge-Kutta 13 e i 1 Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá Ç êüêêéíç êáìðýëç äåß íåé ôá óöüëìáôá e i ìå ôç ìýèïäï RK3 êáé ç ìðëå ìå ôçí RK4 óêçóç Íá ëõèåß ìå ôç ìýèïäï ôïõ Taylor ôüîçò, áíôßóôïé á 3, ôçí RK3 êáé ôçí RK4 ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò y = y + t + 1; üôáí t [0:5; 0:7]; ` = 0:05 üðïõ ç èåùñçôéêþ ëýóç åßíáé yt) = t + e t êáé íá ãßíåé óõãêñéôéêüò ðßíáêáò áðïôåëåóìüôùí. 3 3 Áðáãïñåýåôáé ç áíáäçìïóßåõóç Þ áíáðáñáãùãþ ôïõ ðáñüíôïò óôï óýíïëü ôïõ Þ ôìçìüôùí ôïõ ùñßò ôç ãñáðôþ Üäåéá ôïõ Êáè. Á. ÌðñÜôóïõ. bratsos@teiath.gr URL:

15

16 Âéâëéïãñáößá [1] Aêñßâçò, Ã., ÄïõãáëÞò, Â. 1995), ÅéóáãùãÞ óôçí ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç, ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò, ÁèÞíá, ISBN 978{960{54{0{6. [] ÌðñÜôóïò, Á. 011), ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 978{960{351{874{7. [3] ÌðñÜôóïò, Á. 00), Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 960{351{453{5/978{960{351{453{4. [4] ÓôåöáíÜêïò,., Ðñïãñáììáôéóìüò Ç/Õ ìå MATLAB, Ãêïýñäáò ÅêäïôéêÞ, ISBN 978{960{387{856{8. [5] Burden, Richard L. and Faires, J. Douglas 000), Numerical Analysis 7th ed.), Brooks/Cole, ISBN 978{0{534{3816{. [6] Conte, S. D., Carl de Boor 1981), Elementary Numerical Analysis: An Algorithmic Approach 3rd ed.), McGraw-Hill Book Company, ISBN 978{0{07{01447{9. [7] Don, E., Schaum's Outlines { Mathematica 006), Åêäüóåéò ÊëåéäÜñéèìïò, ISBN 978{960{461{000{6. [8] Henrici, P. 1966), Elements of Numerical Analysis, John Wiley & Sons, New York, ISBN 978{0{471{3738{7. [9] Kendell A. Atkinson 1989), An Introduction to Numerical Analysis nd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0{471{5003{. 15

17 16 ÐñïóåããéóôéêÞ ëýóç ODE's Êáè. Á. ÌðñÜôóïò [10] Leader, Jeery J. 004), Numerical Analysis and Scientic Computation, Addison Wesley, ISBN 978{0{01{73499{7. [11] Schatzman, M. 00), Numerical Analysis: A Mathematical Introduction, Clarendon Press, Oxford, ISBN 978{0{19{85079{1. [1] Stoer, Josef; Bulirsch, Roland 00), Introduction to Numerical Analysis 3rd ed.), Springer, ISBN 978{0{387{9545{3. [13] Sli, E. and Mayers, D. 003), An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978{0{51{00794{8. ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí Page

18 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

19 Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 014. Αθανάσιος Μπράτσος. «Μαθηματικά ΙΙΙ. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ». Έκδοση: 1.0. Αθήνα 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.