( x) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Βασικά αξιώµατα και ιδιότητες της πιθανότητας. Σεραφείµ Καραµπογιάς

Transcript

1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Βασικά αξιώµατα και ιδιότητες της πιθανότητας Σεραφείµ Καραµπογιάς Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής cumulaive diribuio ucio CDF µίας τυχαίας µεταβλητής X ορίζεται ως F X P X Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας probabiliy deiy ucio PDF µίας τυχαίαςµεταβλητής Xορίζεταιωςηπαράγωγοςτης F X, X dfx d Για διακριτές τυχαίες µεταβλητές, συνηθίζεται να ορίζουµε τη συνάρτηση πιθανότηταςµάζας probabiliy ma ucio PMF, ηοποίαορίζεται ως {p i } όπου p i PX i..

2 Ιδιότητες της Αθροιστικής Συνάρτησης Κατανοµής F X Η F X είναιµηφθίνουσα F X df X df P [ X d ] X < + + d lim F X και lim + F X F X F X αν < P < X F F X X Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-

3 Ιδιότητες της Συνάρτησης Πυκνότητας Πιθανότητας F X X γιακάθε F X df X X P X + d P X dfx d X d dp [ < X ] F F X X + F P X X d X ξ dξ < X dfx d X Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3 X d [ X < + d] P dp + d dp X d Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

4 Η αναµενόµενη τιµή ή µαθηµατική ελπίδα µιας τυχαίας µεταβλητής X ορίζεται ως X X E[ X ] m d Η E[X-E[X] ]καλείταιδιακύµανση variace της τυχαίαςµεταβλητής X. Η διακύµανση είναι ένα µέτρο της διασποράς της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της X περί τη µέση τιµή. Ηδιακύµανσηδηλώνεταιως σ X απόκλιση adard deviaio. καιητετραγωνικήτηςρίζα,σ X ονοµάζεταιτυπική Αν X και Y είναι δύο τυχαίες µεταβλητές τότε η E[X Y] ονοµάζεται συσχέτιση correlaio των Xκαι Y. Η E[X m X Y m Y ] καλείταισυµµεταβολή covariace των Xκαι Y. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-4

5 Σηµαντικές Τυχαίες Μεταβλητές Οµοιόµορφη Τυχαία Μεταβλητή Σεραφείµ Καραµπογιάς Η συνάρτηση κατανοµής της οµοιόµορφης τυχαίας µεταβλητής είναι FX a b F X, a ba b, a, a < < b< a < b Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της οµοιόµορφης τυχαίας µεταβλητής είναι X ba a b X, a< < b a, αλλιώς b Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-5

6 Η Gauia Τυχαία Μεταβλητή Ησυνάρτησηκατανοµήςτης Gauia τυχαίαςµεταβλητής m, σ είναι FX, 84, 5 F X πσ e ξm σ dξ, 59 mσ m m+ σ Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Gauia τυχαίας µεταβλητής είναι X πσ,67 πσ m σ X e πσ mσ m m+ σ Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-6

7 Η συνάρτηση κατανοµής της Gauia τυχαίας µεταβλητής για m και σ,,, δηλώνεται µε Φ και δίνεται από τη σχέση π ξ Φ P X e dξ Η συνάρτηση Q του Marcum ορίζεται ως Q y P X > y e d π X e π Εµβαδɺ οq y Σεραφείµ Καραµπογιάς y y Παρατηρούµεότι Q Φ καιγιαµία Gauia µεταβλητήµεµέση τιµή mκαιδιακύµανσησ, mσ ισχύει P X > Q m σ Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-7

8 ιάφορες παρουσιάσεις της συνάρτησης Q δίνονται σε µορφή εύχρηστων πινάκων ή διαγραµµάτων. y Q y y Q y y Q y, 5,e-,4 8,975e-3 4,8 7,933e-7, 4,67e-,5 6,96e-3 4,9 4,798e-7, 4,74e-,6 4,66e-3 5,,8665e-7,3 3,88e-,7 3,4669e-3 5,,698e-7,4 3,4458e-,8,555e-3 5, 9,9644e-8,5 3,853e-,9,8658e-3 5,3 5,79e-8,6,745e- 3,,3498e-3 5,4 3,33e-8,7,496e- 3, 9,676e-4 5,5,8989e-8,8,85e- 3, 6,873e-4 5,6,77e-8,9,846e- 3,3 4,834e-4 5,7 5,993e-9,,5865e- 3,4 3,369e-4 5,8 3,357e-9,,3566e- 3,5,36e-4 5,9,875e-9,,56e- 3,6,59e-4 6, 9,8658e-,3 9,68e- 3,7,779e-4 6, 5,334e-,4 8,756e- 3,8 7,348e-5 6,,83e-,5 6,687e- 3,9 4,896e-5 6,3,488e-,6 5,4799e- 4, 3,67e-5 6,4 7,7688e-,7 4,4565e- 4,,657e-5 6,5 4,6e-,8 3,593e- 4,,3345e-5 6,6,557e-,9,876e- 4,3 8,5398e-6 6,7,4e-,,75e 4,4 5,45e-6 6,8 5,39e-,,7864e- 4,5 3,3976e-6 6,9,6e-,,393e- 4,6,4e-6 7,,798e-,3,74e- 4,7,38e-6 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-8

9 Βέλτιστος έκτης για Ψηφιακά ιαµορφωµένα Σήµατα παρουσία Προσθετικού Λευκού Gauia Θορύβου Εκπεµπόµενο σήµα m Κανάλι Λαµβανόµενο σήµα r m + Θόρυβος Μοντέλο για τη λήψη σήµατος µέσα από AWG κανάλι. Το λαµβανόµενο σήµα στο διάστηµα µπορεί να εκφραστεί ως r m +, Ο έκτης βασίζεται στην παρατήρηση του r και αποφασίζει ποια από τις Μ δυνατές κυµατοµορφές µεταδόθηκε. Ο έκτης επιθυµούµε να είναι βέλτιστος υπό την έννοια ότι ελαχιστοποιεί την πιθανότητα σφάλµατος. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-9

10 Ο έκτης αποτελείται από δύο τµήµατα τον Αποδιαµορφωτή σήµατος και τον Φωρατή. Ο Αποδιαµορφωτής σήµατος µετατρέπει την λαµβανόµενη κυµατοµορφή r σε έναν-διάστατοδιάνυσµα r r, r,..., r. Ο φωρατής βασιζόµενος στην παρατήρηση του διανύσµατος r αποφασίζει ποια από τις Μ δυνατές κυµατοµορφές µεταδόθηκε. Η υλοποίηση του αποδιαµορφωτή σήµατος βασίζεται α στην χρήση συσχετιστών β στη χρήση προσαρµοστικών φίλτρων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-

11 Αποδιαµορφωτής Συσχέτισης Ο αποδιαµορφωτής συσχέτισης αναλύει το σήµα και το θόρυβο σε µια σειρά γραµµικάσταθµισµένωνορθοκανονικώνσυναρτήσεωνβάσης {ψ }. Οι Ν συναρτήσεις βάσης {ψ } καλύπτουν το χώρο σηµάτων. Αντίθετα δεν καλύπτουν το χώρο θορύβου. ψ Λαµβανόµενο σήµα r ψ ψ d d r r d r Προς φωρατή ειγµατοληψία Αποδιαµορφωτής συσχέτισης Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-

12 ψ Σεραφείµ Καραµπογιάς r m + Κάθε συσχετιστής, από την συστοιχία των Ν συσχετιστών, υπολογίζει την προβολή του r στιςνσυναρτήσειςβάσης {ψ }. r ψ d m + [ ] ψ d r ψ d m ψ d+ ψ d r Ητελευταίασχέσηισχύειγια,,,, δηλαδή, r r r m m m d m ή µε τη µορφή διανυσµάτων r + m r m + Όπουτοσήµααναπαρίσταταιαπότοδιάνυσµα m µεσυνιστώσες m,,,,. Οιτιµέςτων συνιστωσών αυτών εξαρτώνται από το ποιο σήµα, από τα M δυνατά σήµατα µεταδόθηκε. Οι συνιστώσες του, δηλαδή, { }, είναι τυχαίες µεταβλητές που προκύπτουν από την παρουσία προσθετικού θορύβου. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-

13 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3 Το λαµβανόµενο σήµα r µπορεί να εκφραστεί στο χρονικό διάστηµα ως r r m ψ ψ ψ Είναι µία Gauia τυχαία διαδικασία θορύβου µηδενικής µέσης τιµής, που αντιπροσωπεύει τη διαφορά της αρχικής διαδικασίας θορύβου και της προβολής της στις συναρτήσειςβάσεις {ψ }. o όπως θα δούµε δεν επηρεάζει την απόφαση για το ποιο σήµα µεταδόθηκε έτσι η απόφαση βασίζεται εξ ολοκλήρου στις συνιστώσες σήµατος και θορύβου των συσχετιστών r mh +,,,,. Οόρος, οοποίοςορίζεταιως ψ

14 Επειδήτασήµατα { m } είναινοµοτελειακά, οισυνιστώσεςτουδιανύσµατος m είναι επίσης νοµοτελειακές. Οισυνιστώσεςθορύβου { } είναι Gauia τυχαίεςµεταβλητέςµεµέσεςτιµές γιαόλατα. E[ ] E[ ] ψ d Οι συµµεταβολές των συνιστωσών θορύβου είναι Τελικά E[ m ] E[ τ ] ψ ψ τ d dτ δ τ ψ ψ m ψ ψ m d E [ m ] δ m m τ d dτ δ m Οι Ν συνιστώσες θορύβου { } είναι ασυσχέτιστες Gauia τυχαίες µεταβλητές µηδενικήςµέσηςτιµήςµετηνίδιαδιακύµανσησ /. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-4

15 Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Gauia τυχαίας µεταβλητής µε µέση τιµή m καιδιακύµανσησ είναι m σ X e πσ ΕπίσηςοιΝπροβολέςτουσήµατοςλήψης, rστις συναρτήσειςβάσης, δηλαδή, το -διάστατο διάνυσµα λήψης r [r, r,,r ], η διανυσµατική αναπαράσταση του µεταδιδόµενουσήµατος m [ m, m,, m ] καιοινπροβολέςτουθορύβουλήψης, στις συναρτήσειςβάσης [,, ] συνδέονταιµετη r m + r m + r + m ή µε τη µορφή διανυσµάτων r m + Οι Ν συνιστώσες θορύβου { } είναι ασυσχέτιστες Gauia τυχαίες µεταβλητές µηδενικής µέσης τιµής µε την ίδια διακύµανσησ /, εποµένως η συνάρτηση πυκνότηταπιθανότηταςτηςτυχαίαςµεταβλητής [,,, ],, είναι i i π / e i i Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-5

16 Ανµεταδόθηκετο m-στοσήµα, οιέξοδοιτωνσυσχετιστών {r } { m } +{ } είναι Gauia τυχαίες µεταβλητές µε µέση τιµή E [ r ] E[ + ] E[ ] + E[ ] E[ ] m m m m και µε την ίδια διακύµανση σ r σ εποµένως οι υποσυνθήκη συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών r, r,,r είναι r r m e π m, m,,, M,,, Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-6

17 ΕπειδήοιΝσυνιστώσεςθορύβου { } είναιασυσχέτιστες Gauia τυχαίεςµεταβλητές καιστατιστικάανεξάρτητεςκαιοινσυνιστώσεςτουδιανύσµατοςλήψης {r } θαείναι στατιστικά ανεξάρτητες. Εποµένως η συνδυασµένη υποσυνθήκη συνάρτηση πυκνότηταςπιθανότητας r m τουδιανύσµατοςλήψης rείναι όπου r, m,, M r m m, r r m e π m, m,,, M,,, εποµένως r m ep π r m π ep r m, m,,, M Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-7

18 [ ] E j jψ j E ψ ψ Σεραφείµ Καραµπογιάς Γιατηντυχαίαδιαδικασία καιτις εξόδουςτωνσυσχετιστών {r } παρατηρούµε E r E m + E E E j jψ j E τ ψ dτ j E ψ j τ ψ τ dτ είναι ασυσχέτιστες. Επειδή η τυχαία διαδικασία και οι τυχαίες µεταβλητές {r } είναι Gauia τυχαίες µεταβλητές είναι και στατιστικά ανεξάρτητες. Συνεπώς η τυχαία διαδικασία δενπεριέχειπληροφορίαπουναείναισχετικήµετηναπόφασηγιατο ποια κυµατοµορφή σήµατος µεταδόθηκε. Με άλλα λόγια όλη η σχετική πληροφορία περιέχεταιστιςεξόδους {r } τωνσυσχετιστών. j Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-8

19 ίνεταιένα 4-αδικό PAM σύστηµα, όπουοβασικόςπαλµόςείναι g. Οπροσθετικός θόρυβος είναι λευκός Gauia µηδενικής µέσης τιµής. g A Σεραφείµ Καραµπογιάς Ο παλµός σήµατος οι 4-δικές κυµατοµορφές σήµατος PAM είναι m A g, m,,3, 4 m 3A A 3 A 4 3A M 4 κυµατοµορφές σήµατος PAM. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-9

20 Ηενέργειατουορθογώνιουπαλµού g είναι E Η συνάρτηση βάσης ψ είναι ψ g g d A d A g Η έξοδος του αποδιαµορφωτή συσχέτισης είναι,, A αλλιώς r r ψ d r d Υποθέτονταςότιµεταδόθηκεη m, αντικαθιστώνταςτο r m + έχουµε r m m + [ + ] d d d + m Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-

21 ο όρος θορύβου έχει µέση τιµή Ε[] και διακύµανση σ σ σ E δ E τ d dτ [ τ ] d dτ τ d d τ σ d τ Η υποσυνθήκη συνάρτηση πυκνότητα πιθανότητα της δειγµατοληπτηµένης εξόδου είναι r m r 4 r m π r e r r r 3 3 E b E b r E b 3 E b Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-

22 Αποδιαµορφωτής Προσαρµοσµένων Φίλτρων Αντί της συστοιχίας των Ν συσχετιστών χρησιµοποιούµε συστοιχία από Ν κατάλληλα γραµµικά φίλτρα ψ Σεραφείµ Καραµπογιάς ψ d r ψ r r ψ d d r r ειγµατοληψία Αποδιαµορφωτής συσχέτισης Λαµβανόµενο σήµα r ψ ψ Αποδιαµορφωτής πρασαρµοσµένων φίλτρων r r ειγµατοληψία Προς φωρατή Οι κρουστικές αποκρίσεις των Ν φίλτρων επιλέγονται ως h ψ, Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-

23 Ένα φίλτρο του οποίουηκρουστικήαπόκρισηείναι h, όπουτοσήµα είναι περιορισµένο στο διάστηµα, καλείται προσαρµοσµένο φίλτρο στο σήµα. h A A A Σήµα Το σήµα Κρουστική απόκριση φίλτρου προσαρµοσµένου στο y τ + τ dτ y Η απόκριση του προσαρµοσµένου φίλτρου στο σήµα είναι η συνάρτηση αυτόσυσχέτισης του σήµατος Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης y είναι άρτια συνάρτηση ως προς, η οποία µεγιστοποιείται για. Αποδεικνύεται ότι y E A 3 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3

24 Οι δειγµατοληπτηµένες, τη χρονική στιγµή, έξοδοι των προσαρµοσµένων φίλτρων είναι ίδιες µε τις τιµές {r } που λαµβάνονται από τους Ν συσχετιστές του αποδιαµορφωτήσυσχέτισης, πράγµατι, r ψ y y Η έξοδος του -στου προσαρµοσµένου φίλτρου είναι y r τ h τ dτ r τ ψ + τ dτ και η δειγµατοληπτηµένη τιµή της τη χρονική στιγµή είναι τ y r τ ψ τ d r,,,, Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-4

25 Ιδιότητες των Προσαρµοσµένων Φίλτρων Εάν ένα σήµα διαβρώνεται από AWG, το φίλτρο µε κρουστική απόκριση προσαρµοσµένη στο σήµα µεγιστοποιεί το SR εξόδου τη χρονική στιγµή. + d h d h d h r y τ τ τ τ τ τ τ τ τ συνιστώσα σήµατος συνιστώσα θορύβου Σεραφείµ Καραµπογιάς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-5 y y d h d h y + τ τ τ τ Τη χρονική στιγµή δειγµατολήπτησης, έχουµε Ο λόγος SR εξόδου ορίζεται ως y E y S ou

26 Η συνιστώσα του σήµατος τη χρονική στιγµή δειγµατολήπτησης, είναι Η διακύµανση του θορύβου στην έξοδο του φίλτρου ο παρονοµαστής του λόγου είναι E [ y ] E[ τ ] y h τ dτ h τ h d dτ φασµατική πυκνότητα ισχύος του θορύβου τ δ h τ h d d τ h d ενέργεια της κρουστικής απόκρισης h Έτσι ο λόγος SR εξόδου γράφεται ως S ou y E y τ h τ dτ h d h τ τ dτ h d Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-6

27 Ηανισότητα Cauchy-Schwarzγιαδύοσήµατα g και g, πεπερασµένηςενέργειας, είναι g g d g d g d Σεραφείµ Καραµπογιάς όπουηισότηταισχύειόταν g C g γιαοποιαδήποτεαυθαίρετησταθερά C. S ou τ h τ dτ h d τ dτ h τ dτ h d Παρατηρούµε ότι ο λόγος h είναι προσαρµοσµένο στο σήµα. S ou µεγιστοποιείται όταν h C, δηλαδή, όταν το Το µέγιστο SR εξόδου που επιτυγχάνεται µε το προσαρµοσµένο φίλτρο είναι S ou E d Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-7

28 Το µέγιστο SR εξόδου που επιτυγχάνεται µε το προσαρµοσµένο φίλτρο είναι λοιπόν S ou E Παρατηρούµεότιτο SR εξόδουεξαρτάταιαπότηνενέργειατηςκυµατοµορφής και όχι από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-8

29 Μελέτη του Προσαρµοσµένου Φίλτρου στο Πεδίο Συχνότητας j j j h j e d e d e d e h H π τ π τ π π τ τ + Η απόκριση συχνότητας του προσαρµοσµένου φίλτρου είναι j e S H π * Τελικά Σεραφείµ Καραµπογιάς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-9 Το προσαρµοσµένο φίλτρο έχει απόκριση συχνοτήτων φασµατική απόκριση που είναι ίση µε το συζυγές µιγαδικό του φάσµατος του µεταδιδόµενου σήµατος πολλαπλασιασµένοεπίτονπαράγονταφάσης e -jπ, οοποίοςαντιπροσωπεύειτην καθυστέρηση δειγµατολήπτησης κατά.

30 S H Y Το φάσµα της εξόδου του προσαρµοσµένου φίλτρου είναι Y S H * S S S e j π e και η έξοδος του προσαρµοσµένου φίλτρου είναι j π y j Y e d S π j π j π e e d ειγµατοληπτώντας την έξοδο του προσαρµοσµένου φίλτρου τη χρονική στιγµή, παίρνουµε y d E S d Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3

31 Η φασµατική πυκνότητα ισχύος του θορύβου στην έξοδο του προσαρµοσµένου φίλτρου είναι H S ou και η συνολική ισχύς του θορύβου είναι Σεραφείµ Καραµπογιάς P H * S e S j π H ou H d S d d d E Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3

32 Η ισχύς του σήµατος στην έξοδο του προσαρµοσµένου φίλτρου είναι y P E τελικά η συνολική ισχύς του θορύβου είναι P E Σεραφείµ Καραµπογιάς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3 Ο λόγος SR στην έξοδο του προσαρµοσµένου φίλτρου είναι P P E E E ou S

33 Παράδειγµα Για την µετάδοση πληροφορίας µέσα από ένα AWG χρησιµοποιούνται τα Μ 4 διορθογώνια σήµατα A A A A ψ ψ Επιλέγουµε τις συναρτήσεις βάσεις ψ, ψ, αλλιώς ψ, ψ, αλλιώς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-33

34 Η συναρτήσεις βάσης είναι ψ,, αλλιώς ψ ψ,, αλλιώς ψ Οι κυµατοµορφές των δύο προσαρµοσµένων φίλτρων είναι h, ψ, αλλιώς h ψ h, ψ, αλλιώς h ψ Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-34

35 Λαµβανόµενο σήµα r + ψ ψ r r Προς φωρατή Αν µεταδοθεί το, οι αποκρίσεις των δύο προσαρµοσµένων φίλτρων απουσία θορύβου είναι y A y A Οι κυµατοµορφές δειγµατοληπτούνται τη χρονική στιγµή, και έχουµε A και y y Το διάνυσµα που σχηµατίζεται από τις εξόδους των προσαρµοσµένων φίλτρων τη χρονική στιγµή δειγµατολήπτησης παρουσία θορύβου είναι r 3 r, r A +, + E, 3 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-35

36 Το διάνυσµα που σχηµατίζεται από τις εξόδους των προσαρµοσµένων φίλτρων τη χρονική στιγµή δειγµατολήπτησης παρουσία θορύβου είναι r r, r A +, + E, όπου y και y είναι οι συνιστώσες θορύβου στις εξόδους των προσαρµοσµένωνφίλτρων, y d, ψ Η µέση τιµή των συνιστωσών θορύβου είναι, E E y και η διακύµανσή τους είναι σ E y E τ ψ ψ τ d dτ δ τ ψ ψ τ d dτ d ψ Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-36

37 Παρατηρούµεότιολόγος S γιατοπρώτοπροσαρµοσµένοφίλτρο h είναι ou S ou E E Ανάλογα προκύπτει ότι οι τέσσερις δυνατές έξοδοι των προσαρµοσµένων φίλτρων, οι οποίες αντιστοιχούν στα τέσσερα δυνατά µεταδιδόµενα σήµατα είναι r r E+, r, ψ, E r r E+, r, r r E+, r, E, E, ψ r r E+, r,, E Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-37

38 Ο αστερισµός του Παραδείγµατος είναι ψ, E, E E, +, E, E ψ Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-38

39 Αν η διακύµανση του θορύβου είναι µεγαλύτερη τότε έχουµε ψ, E, E E +,, E ψ, E Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-39

40 Τολαµβανόµενοδιάνυσµα rείναιάθροισµαδύοδιανυσµάτων, του m, τουδιανύσµατος αναπαράστασης του µεταδιδόµενου σήµατος, και του, του διανύσµατος θορύβου. Οι συνιστώσες θορύβου είναι ανεξάρτητες µε την ίδια µέση τιµή και διακύµανση /. Η κατανοµή του διανύσµατος θορύβου στο διανυσµατικό χώρο έχει σφαιρική συµµετρία. Το λαµβανόµενο διάνυσµα r µπορεί να αναπαρασταθεί µε ένα σφαιρικό νέφος µε κέντροτο m. ψ, E, E Κέντρο E,, E Παράδειγµα αστερισµού σή- µατος και νέφος θορύβου Η πυκνότητα του νέφους είναι µεγαλύτερη στο κέντρο και ελαττώνεται καθώς αποµακρυνόµαστε από αυτό και ακολουθεί την Gauia κατανοµή. ψ Σεραφείµ Καραµπογιάς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-4