ΣΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ-ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ)

Transcript

1 ΣΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ-ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ Θέµα. Ένας αρµονικός ταλανττής µε ασθενή απόσβεση, (µάζα=, σταθερά ελατηρίου= s, συντελεστής τριβής= r διεγείρεται µε εξτερική δύναµη που η µιγαδική της αναπαράσταση είναι i t F( t = Fe. (α Γράψτε την διαορική εξίσση κίνησης, για την αποµάκρυνση x από την κατάσταση ισορροπίας. Υποθέστε ότι έχετε µόνιµη κατάσταση κίνησης, (τα µεταβατικά αινόµενα έχουν µηδενιστεί, και αναζητείστε λύση της µορής x= xe. Υπολογίστε το µιγαδικό πλάτος x της αποµάκρυνσης, συναρτήσει τν F,,, s r και, στη µόνιµη κατάσταση. (β Γράψτε το µιγαδικό πλάτος µε τη µορή x = Ae i, και προσδιορίστε τα πραγµατικά µεγέθη A και ta, καθώς και τις τιµές της άσης, όταν και (γ ώστε τις αντίστοιχες εκράσεις για τις µιγαδικές παραστάσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης. (α ιαορική εξίσση κίνησης: Μόνιµη λύση: x ɺɺ= sx rxɺ + Fe x ɺɺ+ sx+ rxɺ = Fe x= xe xɺ = ixe ɺɺ x= xe i t i t i t Για τον υπολογισµό του µιγαδικού πλάτους, αντικαθιστούµε τις εκράσεις για τα x, xɺ, ɺɺ, x στη διαορική εξίσση, οπότε: ( + + = = + s + ir F s i r xe Fe x F Τελικά : s x =, όπου + ir = : η υσική συχνότητα ταλάντσης του συστήµατος, αν δεν υπήρχε τριβή ( r= και εξτερική µόνιµη δύναµη ( F =. (β Για να γράψουµε το µιγαδικό πλάτος µε τη µορή παρανοµαστή µε τη µορή: (µετρο ɺ e i(αση ɺ, δηλαδή, ( ( r r iarcta γράουµε τον µιγαδικό x Ae i + ir = + e, οπότε F F F x = = = r + ir iarcta r r + + e ( ( ( ( e i F r Εποµένς: A=, ta = ( ( r + F Ισοδύναµα:, ta r A= = ( s + r s Οι οριακές συµπεριορές της άσης, εποµένς είναι : π (γ Έχουµε : Και, εποµένς, ταχύτητα: x xe (, ( = και x = Ae i i(t, άρα x= Ae ( x iae i t ɺ, και επιτάχυνση: = ɺɺ x= Ae i(t

2 Θέµα. Ν-τον-αριθµό σηµειακές µάζες, είναι στερεµένες σε ίσες αποστάσεις a, σε ιδανική χορδή (χρίς µάζα που είναι τεντµένη µε τάση Τ, και έχει ακλόνητα άκρα, (επίσης σε απόσταση a, από τις τερµατικές µάζες. Οι µάζες διαταράσσονται ώστε να εκτελούν ταλάντση εγκάρσια ς προς την χορδή (κινούµενες όλες στο ίδιο επίπεδο µε µικρά πλάτη (έτσι ώστε για τις γνίες που σχηµατίζει η χορδή, ς προς την αρχική της θέση, να ισχύει η προσέγγιση si θ ta θ θ και, επίσης, η τάση Τ να διατηρεί το µέτρο της. (α Γράψτε την διαορική εξίσση κίνησης που ισχύει για την αποµάκρυνση y της οστής µάζας, από την θέση ισορροπίας της. (β είξτε ότι, σε κανονικό τρόπο ταλάντσης (ΚΤΤ µε συχνότητα, τα πλάτη ταλάντσης τριών διαδοχικών µαζών ικανοποιούν τη σχέση (εξίσση διαορών ca A+ A =, και προσδιορίστε την τιµή της σταθεράς c, συναρτήσει τν,, a,. (γ Αν τα πλάτη είναι της µορής A = C si( δ, βρείτε τη σχέση που πρέπει να ικανοποιεί το δ, µε βάση τις οριακές συνθήκες. Από την σχέση που ικανοποιεί το δ και απαιτώντας να ικανοποιούν τα A, A, A+, την συνθήκη του ερτήµατος (β, προσδιορίστε τις επιτρεπτές τιµές του. (δ Για την περίπτση Ν=, σχεδιάστε τους τρεις ΚΤΤ, είτε µε βάση τα αποτελέσµατα του ερτήµατος (γ, είτε µε βάση επιχειρήµατα συµµετρίας. θ θ (α Η διαορική εξίσση του -στού σµατιδίου (βλ. σχήµα, γράεται y - y y + a a a y ɺɺ = si θ si θ Με τις προσεγγίσεις si θ θ ta θ, έχουµε y y y y+ y ɺɺ = a a (β Για κανονικούς τρόπους ταλάντσης (ΚΤΤ έχουµε y = A cos( t και αντίστοιχα: y cos( = A t, y cos( = A t + + Αντικαθιστώντας στην διαορική εξίσση κίνησης, έχουµε a a A cos( t = ( A+ + A A cos( t A = ( A+ + A A a a A A A+ A =, ή, ισοδύναµα ca A+ A =, όπου c= (γ Αν A = C si( δ, και έχουµε Ν-σµατίδια, η απαίτηση να έχουµε ακίνητα άκρα στην χορδή σηµαίνει A =, που ικανοποιείται αυτόµατα sπ και A + =, που σηµαίνει si[( + δ] = δ s=,,..., + Γράοντας τις αντίστοιχες εκράσεις για τις δύο γειτονικές µετατοπίσεις sπ A+ = C si[( + δ] = C si ( + +, sπ και A = C si[( δ] = C si ( +, A + A+ C si[( δ] + C si[( + δ] έχουµε = = cos(δ A C si[ δ] και συνδυάζοντας µε το αποτέλεσµα του ερτήµατος (β A + A όπου + A a

3 sπ έχουµε: cos(δ = cos = + Άρα, οι επιτρεπτές τιµές του είναι: sπ sπ cos = = cos, s=,,..., + + (δ Για Ν= έχουµε, αντίστοιχα π για s=, A = C si[ δ] = C si 4, A = C, A = C, A = C π s=, A = C si[ δ] = C si 4, A = C, A =, A = C s=, π A = C si[ δ] = C si 4, A = C, A = C, A = C s= s= s=

4 d Θέµα. Οµοιόµορη χορδή µεγάλου µήκους µε σταθερή γραµµική πυκνότητα, = ρ, εκτείνεται κατά dx µήκος του άξονα x, µε τάση, και ευρίσκεται µέσα σε ένα ελαστικό περιβάλλον το οποίο ασκεί πάν της µία δύναµη ανά µονάδα µήκους ανάλογη της αποµάκρυνσής της, y, από την κατάσταση ισορροπίας, Fελ,περ = ηy, όπου η : θετική σταθερά. dx (α Να γράψετε την εξίσση κίνησης της χορδής και να συνάγετε την εξίσση κύµατος που ικανοποιεί. (β Να υπολογίσετε τη σχέση διασποράς, = ( k για την διάδοση µονοχρµατικού κύµατος (γ Να υπολογίσετε την ασική και την οµαδική ταχύτητα, συναρτήσει του µήκους κύµατος λ. (α Για στοιχειώδες τµήµα της χορδής, µήκους dx και µάζας d= ρdx, ισχύει: y y y (ρ dx = ηydx x+ dx x Εκράζοντας την διαορά παραγώγν µέσ της δεύτερης παραγώγου, έχουµε: (ρ dx = dx ηydx, και απλοποιώντας τον παράγοντα dx, έχουµε ρ = ηy, που είναι η εξίσση κύµατος για την περίπτση αυτή. (β Για τον υπολογισµό της σχέσης διασποράς, αντικαθιστούµε στην εξίσση κύµατος του ερτήµατος i( kx t (α ένα οδεύον µονοχρµατικό κύµα της µορής y= Ae, και τις παραγώγους του, οπότε: ρ = ηy ρy= k y ηy Απλοποιώντας τον κοινό παράγοντα y παίρνουµε την σχέση διασποράς η ρ= k + η = + k ρ ρ (γ Για τον υπολογισµό ασικής και οµαδικής ταχύτητας, έχουµε: = = η + η ηλ ph k = + = + ph ph υ υ υ k k ρ ρ ρk ρ 4πρ ρ d d η η k υgr = = + k υgr = + k k = dk dk ρ ρ ρ ρ ρ η ρ + k ρ ρ υ gr k = = = η ηρ ηρ ρ + k + ρ λ ρ + ρ ρ k 4π ρ / ρ υgr = = = υ υ ph gr = = c ηρ ρ ηλ υph λ + ρ + 4π 4πρ ρ

5 b i( t kx Θέµα 4. εξιά οδεύον µονοχρµατικό κύµα ya = ae διαδίδεται σε ιδανικό ( = ck µονοδιάστατο ελαστικό µέσο κατά a c µήκος της διεύθυνσης x. Το µέσον διάδοσης έχει τρεις περιοχές µε e διαορετική χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση η κάθε µία: d ( < x< ( < x< L =, ( L< x< =, και αντίστοιχες ταχύτητες ( c, c, c. Λόγ τν ασυνεχειών της x= x=l σύνθετης αντίστασης στα σηµεία x= και x= L, έχουµε διαδοχικές ανακλάσεις στα ίδια σηµεία. Υποθέτουµε ότι ευρισκόµαστε στο όριο της ασθενούς ανάκλασης, σύµνα µε το οποίο, από τις συνιστώσες που < x<, µόνο οι δύο πρώτες συνιστώσες µε πλάτη b και επιστρέουν στην αρχική περιοχή (, είναι σηµαντικές, ενώ οι υπόλοιπες είναι αµελητέες, και, θερώντας ς δεδοµένες τις τιµές τν και, αναζητούµε κατάλληλες τιµές για το πάχος L και την σύνθετη αντίσταση της ενδιάµεσης περιοχής ( < x< L ώστε να µηδενίσουµε το αποτέλεσµα της συµβολής τν δύο ανακλώµενν δεσµών a και b, («προσαρµογή αντιστάσεν», µε παρεµβολή κατάλληλης ενδιάµεσης αντίστασης. (α Γράψτε τις µορές τν µονοχρµατικών κυµάτν yb, (β Γράψτε τις συνθήκες για τα πλάτη και τις άσεις τν yb, προκειµένου να έχουµε πάντοτε πλήρη αναιρετική συµβολή τν δύο αυτών ανακλώµενν. (γ Γράψτε τα πλάτη τν yb συναρτήσει τν,,. (δ Συνδυάζοντας τα ερτήµατα (β και (γ, υπολογίστε το συναρτήσει τν, και το L, συναρτήσει τν, c, c, έτσι ώστε να έχουµε µηδενική ανάκλαση, στο πλαίσιο τν παραπάν προσεγγίσεν. (α a i( t kx y ae b i( t+ kx y be y = e ( + i t kx k L (β Συνθήκες αναιρετικής συµβολής: b= και kl= π (γ b= ar = a +, = atrt = artt = a tt Στην προσέγγιση της ασθενούς ανάκλασης, ( r, λαµβάνοντας, επίσης υπόψη ότι r = r, έχουµε: tt = ( + r ( + r = ( + r ( r = + r r r = r Οπότε, τα δύο πλάτη είναι b= a, = a + (δ Με βάση την πρώτη συνθήκη αναιρετικής συµβολής: b= = + + = = = + + π πλ λ πc Όσον αορά στο µήκος L, από την σχέση kl= π L= = L= = k π 4