6. Αριθμητική Ολοκλήρωση

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "6. Αριθμητική Ολοκλήρωση"

Αγαθων Κούνδουρος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 6. Αριθμητική Ολοκλήρωση Ασκήσεις 6.1 Έστω f : [; b]! R μια συνάρτηση, της οποίας το ολοκλήρωμα του Riemnn στο διάστημα [; b] υπάρχει. Αν Qn T είναι ο σύνθετος τύπος ολοκλήρωσης του τραπεζίου με n ομοιόμορφα κατανεμημένους κόμβους στο διάστημα [; b]; αποδείξτε ότι lim n!1 QT n (f ) = f (x) dx: 6.2 Έστω ' : [; b]! R μια συνεχής συνάρτηση, και : [; b]! (; b) μια τυχούσα απεικόνιση. Αν η συνάρτηση k : [; b]! R δεν αλλάζει πρόσημο, αποδείξτε ότι υπάρχει # 2 (; b); τέτοιο ώστε k(x) ' (x) dx = '(#) k(x) dx; υποθέτοντας ότι τα ολοκληρώματα υπάρχουν. [Το γεγονός αυτό χρησιμοποιήθηκε επανειλημμένα σε αυτό το κεφάλαιο, π.χ. στην απόδειξη των σχέσεων (6.3), (6.5), (6.12) και (6.24) θα χρειαστεί επίσης σε μερικές από τις ασκήσεις που ακολουθούν.] Γιατί δεν ικανοποιείται η σχέση k(x) '(x) dx = '(#) k(x) dx; για κανένα # 2 [; 1]; για τις συναρτήσεις '(x) := k(x) := x; x 2 [; 1]; 6.3 Έστω n 2 N και 1 ; : : : ; n μη αρνητικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε n = 1: Έστω ' : [; b]! R μια συνεχής συνάρτηση, και x 1 ; : : : ; x n σημεία στο διάστημα [; b]: Αποδείξτε ότι 9 2 [; b] 1 '(x 1 ) + + n '(x n ) = '(): [Σημείωση. Κάθε παράσταση της μορφής 1 '(x 1 ) + + n '(x n ); με 1 ; : : : ; n όπως σε αυτήν την άσκηση, λέγεται κυρτός συνδυασμός τιμών της ': Μια ειδική περίπτωση του 23

2 24 6. Αριθμητική Ολοκλήρωση αποτελέσματος για 1 = = n χρησιμοποιήθηκε στην απόδειξη των σχέσεων (6.4) και (6.9) χρειάζεται επίσης στις Ασκήσεις 6.13, 6.14, 6.15 και 6.16.] 6.4 Για ' και x 1 ; : : : ; x n όπως στην προηγούμενη Άσκηση και 1 ; : : : ; n ομόσημους αριθμούς, αποδείξτε ότι 9 2 [; b] 1 '(x 1 ) + + n '(x n ) = ( n )'(): 6.5 Στο Παράδειγμα 6.3, ποιο πλήθος κόμβων εξασφαλίζει ότι ο σύνθετος τύπος του Simpson δίνει το αποτέλεσμα με ακρίβεια πέντε δεκαδικών ψηφίων; 6.6 Προσεγγίζουμε το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f; f (x) := p x; x 2 [0; 1]; στο διάστημα [0; 1] με τον σύνθετο τύπο του τραπεζίου ως προς έναν ομοιόμορφο διαμερισμό με βήμα h: Αποδείξτε ότι η τάξη της μεθόδου είναι 3/2: [Υπόδειξη: Έστω n 2 N; h = 1/n και x i := ih; i = 0; : : : ; n: Έστω r i το σφάλμα του τύπου του τραπεζίου στο διάστημα [x i ; x i+1 ]: Αποδείξτε ότι r 0 = h 3/2 /6 και h 3/ (i + 1) r 3/2 i h3/ ; i = 1; : : : ; n 1: i 3/2 Χρησιμοποιήστε επίσης τη σύγκλιση της σειράς 1X i=1 1 i 3/2 : ] 6.7 α) Προσδιορίστε τα βάρη w 1 και w 2 ; έτσι ώστε ο τύπος Q; Q(f ) = w 1 f (1/2)+w 2 f (1); να ολοκληρώνει στο διάστημα [; 1] πολυώνυμα μέχρι και πρώτου βαθμού ακριβώς. β) Προσδιορίστε τα βάρη w 1 ; w 2 και τους κόμβους x 1 και x 2 ; έτσι ώστε ο τύπος Q; Q(f ) = w 1 f (x 1 ) + w 2 f (x 2 ); να ολοκληρώνει στο διάστημα [; 1] ακριβώς πολυώνυμα μέχρι και βαθμού n για τη μέγιστη δυνατή τιμή του n: 6.8 Έστω Qn T και QS m ο σύνθετος τύπος του τραπεζίου και του Simpson, αντίστοιχα, με n και m ομοιόμορφα κατανεμημένους κόμβους στο διάστημα [; 1]; αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι για τη συνάρτηση f; f (x) := (x 6 /30) x 2 ; ισχύει Q T n (f ) f (x) dx Q S m (f ): 6.9 Έστω Q ένας τύπος ολοκλήρωσης στο διάστημα [; b]; και R το αντίστοιχο συναρτησιακό σφάλματος, R b f (x) dx Q(f ): Αποδείξτε ότι υπάρχει το πολύ ένας φυσικός αριθμός k τέτοιος ώστε να ισχύει 9C k 2 R 8f 2 C k [; b] 9 2 [; b] R(f ) = C k f (k) ():

3 Ασκήσεις Έστω Q n ο τύπος ολοκλήρωσης των Newton Cotes σε ένα διάστημα της μορφής [ ; ] με n κόμβους. Αν Q n (f ) = w 0 f (x 0 ) + + w n f (x n ) και x i ; x j δύο κόμβοι τέτοιοι ώστε x i = x j ; αποδείξτε για τα αντίστοιχα βάρη ότι w i = w j : (Πρόκειται δηλαδή, όπως λέμε, για έναν συμμετρικό τύπο ολοκλήρωσης.) 6.11 Έστω Q n ο τύπος ολοκλήρωσης των Newton Cotes σε ένα διάστημα της μορφής [ ; ]: Χρησιμοποιήστε την προηγούμενη Άσκηση για να αποδείξετε ότι ο Q n ολοκληρώνει ακριβώς κάθε περιττή και ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο [ ; ]: 6.12 Αποδείξτε ότι υπάρχουν βάρη w 1 ; w 2 ; w 3 ; τέτοια ώστε ο τύπος ολοκλήρωσης Q(f ) := w 1 f (0) + w 2 f 0 (0) + w 3 f (1); f 2 C 1 [0; 1]; να ολοκληρώνει στο [0; 1] πολυώνυμα μέχρι και δευτέρου βαθμού ακριβώς, δηλαδή με να ισχύει 0 f (x) dx Q(f ) 8p 2 P 2 R(p) = 0: Προσδιορίστε μια σταθερά c τέτοια ώστε 8f 2 C 3 [0; 1] 9 2 (0; 1) R(f ) = cf (3) (): 6.13 Θεωρούμε τον (αριστερό) τύπο του ορθογωνίου Q; Q(f ) := (b )f (); f 2 C [; b]: Έστω R το σφάλμα του, y f (x) f (x) dx Q(f ): α) Αποδείξτε ότι ο Q ολοκληρώνει ακριβώς σταθερές συναρτήσεις. Q(f ) b x β) Αποδείξτε ότι 8f 2 C 1 [; b] 9 2 (; b) R(f ) = (b )2 2 f 0 (): γ) Έστω n 2 N; h := (b )/n; και x i := + ih; i = 0; : : : ; n: Αποδείξτε ότι για f 2 C 1 [; b] υπάρχει 2 (; b); τέτοιο ώστε Xn f (x) dx h f (x i ) = b h f 0 (): 2 i=0

4 26 6. Αριθμητική Ολοκλήρωση 6.14 Θεωρούμε τον τύπο του μέσου Q; Q(f ) := (b )f +b 2 ; f 2 C [; b]: Έστω R το σφάλμα του, y f (x) f (x) dx Q(f ): Q(f ) ( + b)/2 b x α) Αποδείξτε ότι ο Q ολοκληρώνει ακριβώς πολυώνυμα μέχρι και πρώτου βαθμού, δηλαδή για p 2 P 1 ισχύει R(p) = 0: β) Αποδείξτε ότι 8f 2 C 2 [; b] 9 2 (; b) R(f ) = (b )3 24 f 00 (): γ) Έστω n 2 N; h := (b )/n; και x i := + ih; i = 0; : : : ; n: Αποδείξτε ότι για f 2 C 2 [; b] υπάρχει 2 (; b); τέτοιο ώστε Xn f (x) dx h f i=0 x i + h = b 2 24 h2 f 00 (): 6.15 Θεωρούμε τον τύπο ολοκλήρωσης Q; Q(f ) := (b y )f () + (b )2 2 f 0 (); f 2 C 1 [; b]; που προκύπτει ολοκληρώνοντας το πολυώνυμο Tylor p; p(x) = f () + f 0 ()(x f (x) ); στο διάστημα [; b]: Έστω R το σφάλμα του, f (x) dx Q(f ): Q(f ) b x α) Αποδείξτε ότι ο Q ολοκληρώνει ακριβώς πολυώνυμα μέχρι και πρώτου βαθμού, δηλαδή για p 2 P 1 ισχύει R(p) = 0: β) Αποδείξτε ότι 8f 2 C 2 [; b] 9 2 (; b) R(f ) = (b )3 6 f 00 (): γ) Έστω n 2 N; h := (b )/n; και x i := + ih; i = 0; : : : ; n: Αποδείξτε ότι για f 2 C 2 [; b] υπάρχει 2 (; b); τέτοιο ώστε Xn i f (x) dx hhf (x i ) + h2 2 f 0 (x i ) i=0 = b 6 h 2 f 00 ():

5 Ασκήσεις Έστω n 2 N; h := (b )/n; και x i := + ih; i = 0; : : : ; n; και Q n+1 ο τύπος ολοκλήρωσης 1 Q n+1 (f ) := h 2 f (x Xn 0) + f (x i ) f (x n) h2 f 0 (x n ) f 0 (x 0 ) ; 12 i=1 f 2 C 1 [; b]: Αποδείξτε ότι για f 2 C 4 [; b] υπάρχει 2 (; b); τέτοιο ώστε f (x) dx Q n+1 (f ) = b 720 h4 f (4) (): [Υπόδειξη: Προσδιορίστε πρώτα έναν απλό τύπο ολοκλήρωσης, ο οποίος εφαρμοζόμενος σε κάθε ένα από τα υποδιαστήματα [x i ; x i+1 ]; i = 0; : : : ; n 1; οδηγεί στον Q n+1 : ] 6.21 Θεωρούμε ένα διάστημα της μορφής [ ; ] και μια άρτια συνάρτηση βάρους w : [ ; ]! R: Αποδείξτε ότι ο τύπος ολοκλήρωσης του Guss Q n με n κόμβους ως προς w είναι συμμετρικός, δηλαδή αν x i είναι ένας κόμβος του, τότε και το σημείο x i είναι κόμβος και τα αντίστοιχα βάρη είναι ίσα. [Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε την Παρατήρηση 5.2 και το γεγονός ότι, για δεδομένη συνάρτηση βάρους w και δεδομένο πλήθος κόμβων n; υπάρχει ακριβώς ένας τύπος ολοκλήρωσης του Guss.] 6.22 Έστω x 1 ; : : : ; x n οι ρίζες του πολυωνύμου του Legendre βαθμού n: Αν L i ; i = 1; : : : ; n; είναι τα πολυώνυμα του Lgrnge ως προς x 1 ; : : : ; x n ; αποδείξτε ότι L i (x) = L i (x) dx = ny j =1 j i x x j x i x j ; i = 1; : : : ; n; Li (x) 2 dx; i = 1; : : : ; n: 6.24 Έστω w : [; b]! R μια συνάρτηση βάρους και Q n ο τύπος ολοκλήρωσης του Guss με n κόμβους ως προς w: Αποδείξτε ότι 8f 2 C [; b] lim Q n(f ) = w(x)f (x) dx: n!1 [Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το θεώρημα προσέγγισης του Weierstrss, τη θετικότητα των βαρών των τύπων του Guss, και το γεγονός ότι Q n (1) = R b w(x) dx: ]

6 28 6. Αριθμητική Ολοκλήρωση 6.25 Έστω [; b] ένα διάστημα και Q n ένας τύπος ολοκλήρωσης με κόμβους x 1 ; : : : ; x n 2 [; b]; ανά δύο διαφορετικούς μεταξύ τους, και βάρη w 1 ; : : : ; w n ; Q n (f ) = w 1 f (x 1 ) + + w n f (x n ) f (x) dx: Υποθέτουμε ότι ο Q n είναι παρεμβολικός, δηλαδή ολοκληρώνει πολυώνυμα βαθμού μέχρι και n 1 ακριβώς, 8p 2 P n Q n (p) = p(x) dx: Αν k 2 N 0 ; αποδείξτε ότι ο Q n ολοκληρώνει πολυώνυμα βαθμού μέχρι και n + k ακριβώς, αν και μόνο αν 8r 2 P k (x x 1 ) (x x n )r(x) dx = 0: Ποιος τύπος προκύπτει στην περίπτωση k = n 1; [Υπόδειξη: Έστω p 2 P n+k και q 2 P n το πολυώνυμο παρεμβολής του p στα σημεία x 1 ; : : : ; x n : Τότε, p(x) = q(x) + (x x 1 ) (x x n )r(x) με r 2 P k ; Q n (q) = Q n (p) και (p q)(x) dx = (x x 1 ) (x x n )r(x) dx: ] 6.26 Έστω [; b] ένα διάστημα και x 1 ; : : : ; x n 2 [; b] ανά δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία. Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας τύπος ολοκλήρωσης Q n ; με κόμβους x 1 ; : : : ; x n και βάρη w 1 ; : : : ; w n και zw 1 ; : : : ; zw n ; της μορφής Q n (f ) = w 1 f (x 1 ) + + w n f (x n ) + zw 1 f 0 (x 1 ) + + zw n f 0 (x n ); ο οποίος ολοκληρώνει πολυώνυμα βαθμού μέχρι και 2n 1 ακριβώς. Για ποια επιλογή των κόμβων x 1 ; : : : ; x n μηδενίζονται τα βάρη zw 1 ; : : : ; zw n ;

Σχετικά έγγραφα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα.

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα. 69: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Ολοκληρώματα ttp://ecourses.cemeng.ntu.gr/courses/computtionl_metods_or_engineers/ Αριθμητική Ολοκλήρωση συναρτήσεων Χρησιμοποιούμε αριθμητικές μεθόδους για τον