ΦΥΣΙΚΗ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Συγγραφική οµάδα: Πανελλαδικά Συνεργαζόµενα Φροντιστήρια Τµήµα Φυσικής:

Transcript

1 ΦΥΣΙΚΗ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Συγγραφική οµάδα: Πανελλαδικά Συνεργαζόµενα Φροντιστήρια Τµήµα Φυσικής: ΑΓΓΕΛΗΣ Β. ΑΛΕΞΙΟΥ Β. ΑΛΕΞΟΠΟΥΛΟΣ Π. ΑΝΑΣΤΑΣΑΚΗΣ Ν. ΑΝ ΡΙΟΠΟΥΛΟΣ Γ. ΒΑΓΙΟΝΑΚΗΣ Ι. ΒΑΡΒΑΡΑΣ Ι. ΒΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΣ Γ. ΒΕΪΤΗΣ Β. ΓΑΒΡΙΕΛΗΣ. ΓΑΖΗΣ Α. ΓΕΩΡΓΙΟΥ Β. ΓΙΑΝΝΑΚΗΣ Π. ΓΙΟΜΠΛIΑΚΗΣ Λ. ΓΚΡΟΣ Γ. ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΑΚΗΣ Γ. ΑΜΙΑΝΟΣ ΣΠ. ΕΛΗΓΙΑΝΝΗ Μ. ΕΡΜΙΤΖΑΚΗ Μ. ΗΜΟΣ Ι. ΡΑΚΑΚΗΣ Κ. ΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Α. ΖΕΛΙ ΗΣ Χ. ΖΗΣΑΚΟΣ Β. ΘΕΟ ΩΡΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΚΑΛΙΜΑΝΗΣ Ι. ΚΑΛΠΟΥΖΑΝΗ M. ΚΑΝΕΛΛΟΠΟΥΛΟΣ Ν. ΚΑΡΑΓΙΩΡΓΟΣ Π. ΚΑΤΣΑΝΑΚΗΣ Α. ΚΑΤΣΙΑΟΥΝΗΣ Κ. ΚΟΛΛΙΑΣ Κ. ΚΟΝΤΟΓΕΩΡΓΑΚΟΥ Ν. ΚΟΥΝΤΟΥΡΗΣ Π. ΚΟΥΡΟΣ. ΚΟΥΤΣΟΝΙΚΑ Ε. ΚΡΗΤΙΚΟΣ Ι. ΚΥΡΙΑΚΑΤΗ Α. ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΟΣ Κ. ΛΑΖΙ ΟΥ Μ. - ΜΙΤΟΓΛΟΥ ΛΙΜΟΣ Λ. ΛΙΝΑΚΗΣ Κ. ΛΙΝΑΡ ΟΥ Σ. ΛΟΥΒΕΡ ΗΣ Σ. ΛΟΥΠΑΚΗΣ Σ. ΜΑΝ ΡΑΒΕΛΗΣ Π. ΜΑΣΤΡΑΛΕΞΗΣ. ΜΑΤΣΟΣ Γ. ΜΑΥΡΟΜΙΧΑΛΗΣ Κ. ΜΙΣΙΡΛΗΣ Σ. ΜΙΧΑΛΑΡΙΑΣ Χ. ΜΟΣΧΟΒΟΣ Β. ΜΠΑΛΤΑΣ Κ. ΜΠΕΜΠΗΣ Σ. ΜΠΕΡΤΖΕΛΕΤΟΣ Γ. ΜΠΙΖΕΛΗΣ. ΝΤΡΕΣ Σ. ΠΑΛΑΪΝΗΣ Γ. ΠΑΝΙ ΗΣ Α. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΠΑΠΑ ΑΚΗΣ Β. ΠΑΠΑΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ ΣΤ. ΠΑΠΑΛΕΞΙΟΥ Γ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΗΛ Σ. ΠΑΠΑΠΟΣΤΟΛΟΥ Ι. ΠΑΠΠΟΥΣ ΧΡ. ΠΑΡΧΑΣ Θ. ΠΕΡ ΙΚΑKΗΣ Ν. ΠΕΤΡΙ ΗΣ Α. ΠΙΤΕΡΟΣ Τ. ΠΥΡΙΟΧΟΥ Β. ΡΟΥΠΑΚΑΣ Γ. ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ Ι. ΣΑΛΤΑΡΗ Μ. ΣΙΟΥΤΑΣ ΑΠ. ΣΚΟ ΡΑΣ. ΣΤΑΘΗΣ Γ. ΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ Χ. ΤΕΠΕΤΕΣ Ν. ΤΟΥΜΠΗΣ. ΤΟΥΝΤΑΣ Κ. ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΙ ΗΣ Γ. ΤΡΟΥΛΛΙΝΟΣ Γ. ΤΣΑΠΡΟΥΝΗΣ Ι. ΦΡΑΓΚΟΥΛΙ ΗΣ Π. ΧΑΤΖΗΜΑΡΙΝΑΚΗΣ ΣΤ. ΧΙΩΤΑΚΗ Ζ.

2 Copyright Eκδοτικές Επιχειρήσεις Η. ΜΑΝΙΑΤΕΑ Α.Ε. Απαγορεύεται η αναπαραγωγή του παρόντος βιβλίου, µε οποιονδήποτε τρόπο, χωρίς την έγγραφη άδεια του Εκδοτικού Οίκου. / ΝΣΗ Εκπαιδευτικής σειράς: Α. ΖΥΡΜΠΑΣ Ηλ. Σελιδοποίηση - Γραφικά: Β. ΑΝΑΤΟΛΙΤΗ, Β. ΚΑΚΑΛΗΣ, Σ. ΑΧΙΛΛΙΑ Eκτύπωση Μάρτιος 003 Εκδοτικές Επιχειρήσεις Η. ΜΑΝΙΑΤΕΑ Α.Ε Λ. Ιωνίας ΑΘΗΝΑ τηλ.:

3 ΦΥΣΙΚΗ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Περιέχει: Όλη την ύλη της Α Λυκείου, σύµφωνα µε το αναλυτικό πρόγραµµα του Υπουργείου Παιδείας. Με θεωρία - Μεθοδολογία ασκήσεων. Παραδείγµατα - Ερωτήσεις - Ασκήσεις µε τις απαντήσεις τους. Τεστ πολλαπλής επιλογής - Εύρεσης σωστού - λάθους Συµπλήρωσης κενών - Αντιστοίχισης - Σύντοµης απάντησης. Κριτήρια αξιολόγησης - Ανά κεφάλαιο και επαναληπτικά. Θέµατα που κινούν τη σκέψη και βοηθούν στο σωστο τρόπο µάθησης.

4

5 ΦΥΣΙΚΗ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

6

7 περιεχόµενα 1ο κεφάλαιο 1. Ευθύγραµµη κίνσηση ο κεφάλαιο. υναµική σε µία διάσταση ο κεφάλαιο 3. υναµική στο επίπεδο εύτερος νόµος Νεύτωνα για οµοεπίπεδες δυνάµεις Οριζόντια βολή Οµαλή κυκλική κίνηση ο κεφάλαιο 7. Νόµος παγκόσµιας έλξης - Πεδίο βαρύτητας ο κεφάλαιο 8. ιατήρηση ορµής ο κεφάλαιο 9. ιατήρηση της µηχανικής ενέργειας Συντηρητικές δυνάµεις

8

9 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό Εξετάσεις της Ελευθεροτυπίας. Παρουσιάσαµε στην εφηµερίδα τα µαθήµατα, όπως γίνονται στον πίνακα, δηµιουργώντας για το σκοπό αυτό την πολυπληθέστερη συγγραφική οµάδα που έχει ποτέ συσταθεί, προσπαθώντας την εµπειρία της τάξης να την αποτυπώσουµε στο χαρτί. Τη συγγραφική οµάδα αποτελούν καθηγητές συγγραφείς καταξιωµένοι στη συνείδηση γονιών και µαθητών για την ποιότητα της δουλειάς τους. Η συλλογική αυτή προσπάθεια, εµπλουτισµένη, σε σχέση µε το υλικό που παρουσιάστηκε στην εφηµερίδα, απευθύνεται, αφενός στον καθηγητή που θέλει να παρουσιάσει το µάθηµά του στην τάξη µε µια µεθοδικότητα, αφετέρου στο φιλόπονο µαθητή που θέλει να διαβάσει, να µελετήσει και να κατανοήσει την ύλη, χωρίς να σπαταλήσει τον πολύτιµο χρόνο του. Γι αυτό κάθε µάθηµα ολοκληρώνεται σ έναν τόµο. Στο βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας περιέχονται µια σειρά από νέες, στην Ελληνική βιβλιογραφία, ασκήσεις καθώς και συνδυαστικά θέµατα. Ο σκοπός µας: να δηµιουργήσουµε ένα εργαλείο δουλειάς για όλους µας. Η ύλη χωρίστηκε σε 10 ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα που το καθένα περιέχει: Τις απαραίτητες γνώσεις θεωρίας, µε παρατηρήσεις για βαθύτερη κατανόηση. Τη µεθοδολογία ασκήσεων, στις κίτρινες σελίδες. Λυµένα παραδείγµατα, στα οποία καταδεικνύεται η µεθοδολογία επίλυσής τους. Τα προτεινόµενα θέµατα µε τις απαντήσεις τους, στις µπλέ σελίδες. Το ξεχωριστό θέµα, που περιέχει ένα ή περισσότερα συνδυαστικά θέµατα και τέλος Ένα διαγώνισµα στις πράσινες σελίδες. Όσοι από τους συναδέλφους επιθυµούν να έχουν τις λύσεις των ασκήσεων, για έλεγχο των απαντήσεων, µε χαρά θα τις στείλουµε αν επικοινωνήσουν µαζί µας. Επίσης, θα θέλαµε κρίσεις, παρατηρήσεις, καθώς και επισηµάνσεις γι αυτή µας την προσπάθεια, ώστε η γόνιµη αυτή ανταλλαγή απόψεων να βοηθήσει στη βελτίωση των µελλοντικών µας εκδόσεων. Η συγγραφική οµάδα

10

11

12 Τυπολόγιο 1ου Κεφαλαίου ταχύτητα: Ευθύγραµµη κίνηση x υ = t µέση ταχύτητα: s υµ = t επιτάχυνση: υ α = t Ευθύγραµµη οµαλή κίνηση: υ = σταθ Ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη: α = σταθ 1 x υt αt, x = υ t ή x = υt υ= υ0 ± αt = 0 ± 0 υ= υ ± αx Ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη και σταµατά t = α υ 0 υ 0 S = α

13 1 Ευθύγραµµη κίνηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Χρονική στιγµή - χρονική διάρκεια - θέση - µετατόπιση - διάστηµα. Η χρονική στιγµή t προσδιορίζει το πότε συµβαίνει ένα γεγονός ενώ η χρονική διάρκεια t = t t1 που είναι η διαφορά δύο χρονικών στιγµών καθορίζει το πόσο διαρκεί ένα φαινόµενο. Κάθε ευθύγραµµη κίνηση την εφοδιάζουµε µε έναν προσανατολισµένο άξονα, η διεύθυνση του οποίου συµπίπτει µε την ευθεία της κίνησης. Έτσι διάνυσµα θέσης x είναι το διάνυσµα που έχει αρχή την αρχή του άξονα και τέλος το σηµείο του άξονα στο οποίο βρίσκεται το κινητό. Η αλγεβρική τιµή του διανύσµατος προσδιορίζει τη θέση του κινητού µια δεδοµένη χρονική στιγ- µή. Η µετατόπιση είναι η µεταβολή του διανύσµατος της θέσης x = x x1. Είναι ένα διάνυσµα µε αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική. Αν x > x1 τότε x > 0 και το κινητό κινείται προς την θετική κατεύθυνση, ενώ αν x < x1 τότε x < 0 και κινείται κατά την αρνητική κατεύθυνση. Το διάστηµα είναι το µήκος της συνολικής διαδροµής που διάνυσε το κινητό και είναι µονόµετρο µέγεθος µε θετική πάντα τιµή. Ταχύτητα Η µέση (διανυσµατική) ταχύτητα εκφράζεται µε το πηλίκο της µετατόπισης προς το χρονικό διάστηµα στο οποίο πραγµατοποιήθηκε. x x x1 υµ = = t t t 1 Αν x > 0 τότε και υ> 0, αν x < 0 τότε και υ< 0. Μονάδες µέτρησης στο (S.Ι) είναι το 1 /s. Στην πράξη χρησιµοποιούµε, το 1k/h. Η µέση αριθµητική ταχύτητα είναι αυτή που παρουσιάζει πρακτικό ενδιαφέρον και ισούται µε το πηλίκο του διανυθέντος διαστήµατος προς το αντίστοιχο χρονικό διάστηµα. s υµ = t H στιγµιαία ταχύτητα ισούται µε την τιµή που τείνει να πάρει η µέση διανυσµατική ταχύτητα όταν

14 14. Ευθύγραµµη κίνηση το χρονικό διάστηµα γίνεται πολύ µικρό. Αναφέρεται σε χρονική στιγµή και είναι ο ρυθµός µεταβολής της θέσης. Ευθύγραµµη οµαλή κίνηση Κίνηση κατά την οποία το κινητό κινούµενο ευθύγραµµα διατηρεί σταθερό το διάνυσµα της ταχύτητας. Έτσι σε ίσα χρονικά διαστήµατα οι µετατοπίσεις του είναι ίσες. Η µέση και η στιγµιαία ταχύτητα ταυτίζονται. Έτσι : x υ= x = υ t x x = υ t t t ( ) 0 0 και τελικά προκύπτει η εξίσωση της κίνησης : x = x + υ( t t) 0 0 Αν τη χρονική στιγµή t0 = 0(αρχικός χρόνος) είναι x0 = 0(αρχική θέση) τότε : x = υ t Επιτάχυνση - Ευθύγραµµα οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση Η επιτάχυνση είναι ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας σε µια συγκεκριµένη χρονική στιγµή. υ α = µονάδα µέτρησης στο SI : 1 / s. t Μία κίνηση χαρακτηρίζεται επιταχυνόµενη όταν αυξάνεται το µέτρο της ταχύτητας και επιβραδυνόµενη όταν το µέτρο της ταχύτητας µειώνεται. Στην επιταχυνόµενη κίνηση ταχύτητα και επιτάχυνση έχουν ίδια κατεύθυνση ενώ στην επιβραδυνόµενη αντίθετη.

15 Ευθύγραµµη κίνηση 15. Ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση Κίνηση στην οποία το κινητό κινούµενο ευθύγραµµα µεταβάλλει την ταχύτητά του µε σταθερό ρυθµό. ηλαδή σε ίσα χρονικά διαστήµατα παρατηρούνται ίσες µεταβολές της ταχύτητας. Η επιτάχυνση της κίνησης διατηρείται σταθερή. Εξίσωση ταχύτητας : υ α = υ = α t υ υ = α t t υ= υ + α t t t ( ) ( ) Αν τη χρονική στιγµή t0 = 0 είναι υ= υ0 τότε : υ= υ0 + αt Τέλος αν τη χρονική στιγµή t0 = 0 είναι υ0 = 0 : υ= αt Εξίσωση κίνησης : 1 x = υ0 t + α t Αν τη χρονική στιγµή t 0 = 0 είναι x = 0 τότε : 1 x = υ0 t+ αt Τέλος αν τη χρονική στιγµή t 0 = 0 είναι x 0 = 0 και υ 0 = 0 : Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ιαγράµµατα και πληροφορίες που παρέχουν α. Ευθύγραµµη οµαλή κίνηση ιάγραµµα ταχύτητας - χρόνου υ= f() t : 1 x = αt Αν υ > 0 Αν υ < 0 Το εµβαδόν που περικλείεται ανάµεσα στη γραφική παράσταση και τον άξονα των χρόνων είναι ίσο αριθµητικά µε την µετατόπιση x του κινητού στο χρονικό διάστηµα t. Όταν η ταχύτητα είναι θετική το εµβαδόν θα λαµβάνεται µε θετικό πρόσηµο και η µετατόπιση θα προκύπτει θετική. Όταν η ταχύτητα είναι αρνητική το εµβαδόν θα λαµβάνεται µε αρνητικό πρόσηµο και η µετατόπιση θα προκύπτει αρνητική.

16 16. Ευθύγραµµη κίνηση ιάγραµµα θέσης - χρόνου x = f() t : Αν x = υt και υ > 0. Η κλίση της ευθείας αριθµητικά, είναι ίση µε την ταχύτητα της κίνησης. x x 0 x εφω = = = = υ t t 0 t Αν x = x0 + υt και υ> 0 x x x0 x x0 εφω = = = = t t t t Αν x = x0 + υt και υ< 0 0 υ Στο διπλανό διάγραµµα το κινητό ξεκινάει από την θέση x 0 του θετικού ηµιάξονα και κινείται µε αρνητική ταχύτητα την χρονική στιγµή t 1 φτάνει στην αρχή του άξονα και συνεχίζει να κινείται µε την ίδια ταχύτητα στον αρνητικό ηµιάξονα µέχρι τη χρονική στιγµή t. Ισχύει : x 0 x0 x 0 υ= εφω= = ή υ = t t 1 0 t t1 Το πρόσηµο της ταχύτητας είναι ίδιο µε το πρόσηµο της µετατόπισης x. Μπορεί η θέση να είναι θετική και η ταχύτητα αρνητική. β. Ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση ιάγραµµα ταχύτητας - χρόνου υ= f() t : Αν υ= υ0 + αt και υ0 > 0, α > 0 Η κλίση της ευθείας αριθµητικά είναι ίση µε την επιτάχυνση της κίνησης υ υ υ0 υ υ0 εφω = = = = α t t t t Αν υ= αt και α > 0 υ υ 0 εφω = = = α t t 0 0 Σε κάθε διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου αποδεικνύεται ότι το εµβαδόν που περικλείεται ανάµεσα στην καµπύλη και στον άξονα των χρόνων αριθµητικά είναι ίσο µε την µετατόπιση x για το αντίστοιχο χρονικό διάστηµα.

17 Ευθύγραµµη κίνηση 17. ιάγραµµα θέσης - χρόνου x = f() t : 1 1 x = υ0 t+ αt ή x = αt, αν υ0 = 0 Η κλίση της καµπύλης αριθµητικά είναι ίση µε την ταχύτητα την συγκεκριµένη χρονική στιγµή. Παρατηρούµε ότι η κλίση αυξάνεται. ιάγραµµα επιτάχυνσης - χρόνου x = f() t : Το εµβαδόν που περικλείεται µεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα των χρόνων αριθµητικά είναι ίσο µε την µεταβολή της ταχύτητας για το αντίστοιχο χρονικό διάστηµα. αρ ( ) Ε= α t = α t t = υ 1 γ. Ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση Θεωρούµε την ταχύτητα θετική και την επιτάχυνση αρνητική (επιβράδυνση). ιάγραµµα ταχύτητας - χρόνου υ0 > 0, α< 0 υ 0 υ α = = 0 = εφω t t 0 αρ x = E ιάγραµµα θέσης - χρόνου ιάγραµµα επιτάχυνσης - χρόνου 1 x = υ0 t αt Η κλίση της καµπύλης (στιγµιαία ταχύτητα) µειώνεται. Στην ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνοµένη κίνηση ισχύουν: 1 υ= υ0 αt και x = υ0 t αt, όπου α: µέτρο της επιβράδυνσης

18 18. Ευθύγραµµη κίνηση Μετατόπιση στην διάρκεια κάποιου δευτερόλεπτου Αν για παράδειγµα ζητείται η µετατόπιση ενός κινητού που εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση κατά τη διάρκεια του 4 ου δευτερολέπτου εργαζόµαστε ως εξής : Υπολογίζουµε την θέση του κινητού την χρονική στιγµή t3 t4 = 4s. ηλαδή (υποθέτουµε t0 = 0, x0 = 0 ): = 3s και την χρονική στιγµή 1 1 x3 = υ0 t3 + αt3 και x4 = υ0 t4 + αt4 Η ζητούµενη µετατόπιση ισούται µε : x = x4 x3 Η παραπάνω µετατόπιση µπορεί να υπολογιστεί και γραφικά από το εµβαδόν σε διάγραµ- µα υ t. Όταν εξετάζουµε ταυτόχρονη κίνηση δύο κινητών πρέπει να προσδιορίζουµε τις µετατοπίσεις, τις ταχύτητες, τις επιταχύνσεις, τους χρόνους και τις θέσεις και για τα δύο κινητά και αν είναι απαραίτητο να σχεδιάζουµε τα διαγράµµατα ταχύτητας - χρόνου και θέσης - χρόνου σε κοινό σύστηµα αξόνων. Η σχέση που συνδέει την ταχύτητα µε την µετατόπιση είναι υ= υ0 ± αs (ανεξάρτητη του χρόνου ). Αποδεικνύεται στο παράδειγµα 5. Στην ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση όπου το κινητό τελικά σταµατά, ο ολικός χρόνος και το ολικό διάστηµα µέχρι να σταµατήσει είναι: υ= υ0 αt υ0 t = 1 υ= 0 α () 1 1 = 0 S υt αt () υ0 1 υ0 S = υ0 α S = α α α υ 0 Παράδειγµα 1 ύο κινητά Α και Β κινούνται ευθύγραµµα οµαλά πάνω στον ίδιο δρόµο και προς την ίδια κατεύθυνση, το πρώτο µε ταχύτητα υ 1 υ = 144 K / h και το δεύτερο µε ταχύτητα = 7K/h. Τη στιγµή t0 = 0 το πρώτο κινητό βρίσκεται 1000 πίσω από το δεύτερο. α. Ποια χρονική στιγµή και σε πόση απόσταση από την αρχική θέση του κινητού Α θα συναντηθούν τα δύο κινητά ; β. Ποια χρονική στιγµή θα απέχουν 500 για δεύτερη φορά; Λύση: α. Για τα µέτρα των ταχυτήτων των δύο κινητών έχουµε: υ = 7k/h = 0/s ενώ υ1 = 144 k / h = 40 / s. Θεωρώντας σαν αρχή του άξονα την αρχική θέση του κινητού Α έχουµε για τη στιγµή της συνάντησης:

19 Ευθύγραµµη κίνηση 19. x = υ1 t (1) και x = d+ υ t (). Απο τις (1) και () παίρνουµε : d υ1 t = d+ υ t t = = 50s υ1 υ Με αντικατάσταση στη σχέση (1) : x = 000 β. Για τη χρονική στιγµή t που το κινητό Α θα βρίσκεται 500 µπροστά από το Β ισχύει : x1 = υ1 t (3) και x = d+ υ t' (4) x x = s υ t d+ υ t' = s t' = 75s Αλλά ( ) 1 1 Παράδειγµα Για ένα κινητό που κινείται ευθύγραµµα το διάγραµµα θέσης - χρόνου δίνεται στο διπλανό σχήµα. Να υπολογιστούν : α. Η µετατόπιση του κινητού στο χρονικό διάστηµα από t = 0 µέχρι t = 5s. β. Το διάστηµα που διήνυσε το κινητό σε 5 sec. γ. Να γίνει το διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου. Λύση: α. x = 10 0 = 10 β. S = ( ) = 30 ολ γ. Είναι : υ x 10 = 1 1 t = 1 1s = x υ = = 0 t υ x 0 10/s 3 3 = = = t3 s 10/s Παράδειγµα 3 ύο λεωφορεία Α και Β µε µήκος κατεύθυνση και ταχύτητες υα l = 1 κινούνται σε ευθύγραµµο δρόµο µε την ίδια = 16/s και υb = 0/s. Το λεωφορείο Β βρίσκεται

20 0. Ευθύγραµµη κίνηση πίσω από το λεωφορείο Α και το πλησιάζει. Να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται να προσπεράσει το ένα λεωφορείο το άλλο καθώς και το διάστηµα που θα διανύσει το λεωφορείο Α. Λύση: Ο ζητούµενος χρόνος t είναι ο χρόνος από τη στιγµή που το µπροστινό µέρος του λεωφορείου Β φτάνει το πίσω µέρος του λεωφορείου Α µέχρι τη στιγµή που το πίσω µέρος του λεωφορείου Β περνά το µπροστά µέρος του λεωφορείου Α. SA = υα t και SΒ = SA + l = υβ t Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει : l υα t+ l = υβ t υβ t υα t = l t = = 6s υβ υα Το διάστηµα που διανύει το λεωφορείο Α σε αυτό το χρόνο είναι : S = υ t = 16 6 = 96 A Α Παράδειγµα 4 Μοτοσικλέτα κινείται µε σταθερή ταχύτητα υm = 0/s. Κάποια χρονική στιγµή που βρίσκεται πριν από ένα φανάρι απόσταση d = 80, αυτοκίνητο που βρίσκεται στο φανάρι ξεκινάει προς την ίδια κατεύθυνση έχοντας σταθερή επιτάχυνση 4/s, προπορευόµενο της µοτοσυκλέτας. Να βρεθεί η ελάχιστη απόσταση στην οποία η µοτοσικλέτα θα πλησιάσει το αυτοκίνητο. Λύση: Για όσο χρόνο το αυτοκίνητο έχει µικρότερη ταχύτητα από τη µοτοσικλέτα τα δύο οχήµατα πλησιάζουν. Όταν το αυτοκίνητο αποκτήσει µεγαλύτερη ταχύτητα από τη µοτοσικλέτα τα δύο οχήµατα θα αποµακρύνονται. Τη στιγµή που η απόσταση θα γίνει ελάχιστη (din) θα πρέπει οι ταχύτητες των δύο οχηµάτων να είναι ίσες, δηλαδή : υ Α = υ Β = 0/s. O χρόνος που χρειάστηκε το αυτοκίνητο για να αποκτήσει αυτή την ταχύτητα είναι υα = α t t = 5s Τα διαστήµατα που διάνυσαν τα δύο οχήµατα αντίστοιχα είναι: 1 SM = υm t = 100, SA = α t = 50 Όµως από το σχήµα έχουµε: d+ Sα = SM + din din = 30

21 Ευθύγραµµη κίνηση 1. Παράδειγµα 5 (Ανεξάρτητη του χρόνου) Αυτοκίνητο επιταχύνεται οµαλά σε ευθύγραµµο δρόµο µε επιτάχυνση µέτρου το αυτοκίνητο σε κάποιο χρονικό διάστηµα µετατοπίζεται κατά x = 100 και αποκτά ταχύ- = 30/s να βρεθεί η ταχύτητα στην αρχή του χρονικού διαστήµατος καθώς και το τητα υ χρονικό διάστηµα αυτό. Λύση: υ = υ1 + α t 1 x = υ1 t+ α t υ υ1 Από την πρώτη σχέση επιλύοντας ως προς το χρόνο : t = α Και µε αντικατάσταση στη δεύτερη : υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ x = υ1 + α α α = + α α υ υ1 x = υ1 = υ αx υ1 = 10 / s α υ υ1 Ο ζητούµενος χρόνος εποµένως είναι : t = = 5s α 4/s. Αν Παράδειγµα 6 Για κινητό που κινείται ευθύγραµµα και την χρονική στιγ- µή t0 = 0 βρίσκεται στη θέση x0 = 0 και έχει ταχύτητα υ0 = 10/s δίνεται το διπλανό διάγραµµα επιτάχυνσης - χρόνου. Με τη βοήθεια του διαγράµµατος να υπολογιστεί η ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγµή t = 8s και να γίνουν τα διαγράµµατα ταχύτητας - χρόνου και θέσης - χρόνου. Λύση: Για το χρονικό διάστηµα t1 = t1 t0 = 3 0 = 3s το κινητό επιταχύνεται οµαλά. Η µεταβολή της ταχύτητας ισούται µε το εµβαδό του σχήµατος ΟΑΒΓ. Είναι υ1 = 5 / s 3s = 15 / s, αλλά υ1 = υ1 υ0 οπότε : υ1 = υ1+ υ0 = 5 / s Για το χρονικό διάστηµα t = t t1 = ( 5 3) s = s το κινητό κινείται ευθύγραµµα οµαλά µε ταχύτητα υ = υ1 = 15/s. υ = 0. Τέλος για το χρονικό διάστηµα t = t t = ( 8 5) s = 3s το κινητό επιβραδύνεται οµαλά. 3 3

22 . Ευθύγραµµη κίνηση Η µεταβολή της ταχύτητας ισούται µε υ3 = E ΖΗΘ υ3 υ = 30 / s υ3 = 5/s Το αρνητικό πρόσηµο στην τελική τιµή της ταχύτητας σηµαίνει ότι το κινητό έχει αντιστρέψει την φορά κίνησής του. Ουσιαστικά επιταχύνεται πλέον κατά την αρνητική κατεύθυνση του άξονα. Απο το διπλανό διάγραµµα : x1 = 3 = 5, 5 x = 5 = 50 5,5 x3 = = 31, 5 ( ) 0,5 5 x 4 = = 1,5 Παράδειγµα 7 Αυτοκίνητο κινείται µε ταχύτητα 0 /s. Ο οδηγός, του οποίου ο χρόνος αντίδρασης είναι 0,5 s, αντιλαµβάνεται κόκκινο φανάρι σε απόσταση 50. α. Αν η επιβράδυνση του αυτοκινήτου έχει τιµή 4 /s, θα προλάβει το αυτοκίνητο να σταµατήσει πρίν το φανάρι ; β. Αν όχι ποια θα έπρεπε να είναι η τιµή της επιβράδυνσης για να σταµατήσει έγκαιρα; Λύση: α. Το αυτοκίνητο κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ0 = 0/s για χρόνο t1 = 0, 5s και διανύει διάστηµα x1 = υ0 t1 = 10. Συνεπώς για την επιβραδυνόµενη κίνηση αποµένουν x = ( 50 10) = 40. Για να σταµατήσει το αυτοκίνητο απαιτείται χρόνος t. Από την εξίσωση της ταχύτητας : υ0 0 = υ0 α t t = = 5s α Στον χρόνο αυτό το αυτοκίνητο θα διένυε: ' 1 x = υ0 t α t = 50 Επειδή x ' > x δεν προλαβαίνει να σταµατήσει. β. Έστω α 1 το µέτρο της απαιτούµενης επιβράδυνσης για να σταµατήσει έγκαιρα σε χρόνο t καλύπτοντας απόσταση x. Είναι: ' ' υ0 0 = υ0 α1 t t = () 1 α 1

23 Ευθύγραµµη κίνηση 3. 1 υ x = υ t α t x = α = 5 / s ( ) () 1 0 ' ' α1 Παράδειγµα 8 ροµέας των 00 ξεκινάει από την ηρεµία και κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση α1 = 3/s µέχρις ότου αποκτήσει ταχύτητα 1 υ = 1/s την οποία και διατηρεί µέχρι τη θέση που βρίσκεται 56 πριν τον τερµατισµό. Στη συνέχεια λόγω κόπωσης επιβραδύνεται οµαλά και τερµατίζει σε συνολικό χρόνο 0s. Να βρεθεί η επιβράδυνση και η ταχύτητα τερµατισµού. Λύση: Για την επιταχυνόµενη κίνηση ισχύει : υ1 = α1 t1 t1 = 4s 1 x1 = α1 t1 = 4 Στην συνέχεια µε την σταθερή ταχύτητα υ 1 µετατοπίζεται κατά x υ t t x = 1 = (1) υ1 Aλλά x = = 10 Εποµένως από την (1) t Τέλος για την επιβραδυνόµενη έχουµε : = 10s και t3 = 0s 14s = 6s x3 = υ1 t α t3 α = / s 9 υ = υ1 α t3 = 6,67 ( )

24 4. Ευθύγραµµη κίνηση Γ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της αριστερής στήλης µε τα στοιχεία της δεξιάς στήλης. 1. χρόνος t α.. µετατόπιση x β. s 3. ταχύτητα υ γ. /s 4. επιτάχυνση α δ. / s ε. /s. Το ίδιο για τις επόµενες στήλες 1. α = 0 υ α. επιταχυνόµενη κίνηση. υ α β. ευθύγραµµη οµαλή κίνηση 3. α υ γ. επιβραδυνόµενη κίνηση 4. υ= 0 α δ. ταχύτητα κατά την χρονική στιγµή της εκκίνησης 3. Μπορεί ένα αυτοκίνητο να έχει ταχύτητα προς την ανατολή ενώ θα έχει επιτάχυνση προς την δύση; 4. Μπορεί να αλλάξει η φορά της ταχύτητας ενός σώµατος όταν η επιτάχυνση του είναι σταθερή. 5. Χαρακτηρίστε µε (Σ) τις παρακάτω προτάσεις αν είναι σωστές και µε (Λ) αν είναι λανθασµένες: α. Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση το διάνυσµα της επιτάχυνσης είναι σταθερό β. Στο διάγραµµα υ(t) η κλίση µας δείχνει αριθµητικά την επιτάχυνση γ. Στο διάγραµµα υ(t) το εµβαδόν µας δείχνει την επιτάχυνση δ. Στην ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση το διάνυσµα της ταχύτητας είναι σταθερό. ε. Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση η µετατόπιση είναι ανάλογη του χρόνου κίνησης. 6. Μια διαφορά µεταξύ ταχύτητας και επιτάχυνσης είναι ότι: α. Το ένα είναι µονόµετρο µέγεθος και το άλλο διανυσµατικό β. Έχουν πάντα διαφορετική φορά γ. Το ένα εκφράζει το πόσο γρήγορα αλλάζει η µετατόπιση, ενώ το άλλο πόσο γρήγορα αλλάζει η ταχύτητα δ. Η ταχύτητα είναι δύναµη ενώ η επιτάχυνση δεν είναι 7. Η επιτάχυνση ενός κινητού εκφράζει: α. Το πόσο γρήγορα αυξάνεται η µετατόπιση β. Το πηλίκο του διαστήµατος προς το χρόνο γ. Το πόσο γρήγορα µεταβάλλεται η ταχύτητα ε. Το πόσο γρήγορα κινείται ένα κινητό

25 Ευθύγραµµη κίνηση Μια κίνηση χαρακτηρίζεται ως ευθύγραµµη οµαλή όταν: α. Το διάνυσµα της ταχύτητας παραµένει σταθερό β. Το διάνυσµα της επιτάχυνσης παραµένει σταθερό γ. Το µέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό δ. Το µέτρο της επιτάχυνσης είναι σταθερό 9. Η µέση ταχύτητα ενός κινητού εκφράζει το πόσο... κινείται. 10. Η µέση επιτάχυνση ενός κινητού εκφράζει το πόσο... µεταβάλλεται το... της ταχύτητας. k 11. Ένα αυτοκίνητο κατευθύνεται από την Αθήνα προς την Θεσσαλονίκη µε ταχύτητα 75 h k ενώ ένα άλλο από την Αθήνα προς την Πάτρα µε ταχύτητα 75. Είναι ίσες οι ταχύτητες h των δύο αυτοκινήτων; (Αιτιολογήστε). 1. Μπορεί ποτέ το µέτρο της στιγµιαίας ταχύτητας να είναι µεγαλύτερο από το µέτρο της µέσης ταχύτητας (Αιτιολογήστε).. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Η ταχύτητα των παλµών στα νεύρα των θηλαστικών είναι 100 s. Εάν ένας καρχαρίας δαγκώσει την ουρά µιας φάλαινας µήκους 30, µετά απο πόσο χρόνο θα το καταλάβει η φάλαινα; Απ: 3 s 10 k. Το πιο γρήγορο επίγειο ζώο είναι η cheetah (κυναίλουρος) που τρέχει µε ταχύτητα 101. h k Το δεύτερο σε ταχύτητα ζώο είναι η αντιλόπη που τρέχει µε 88. Υποθέστε ότι η cheetah h αρχίζει να κυνηγάει µια αντιλόπη που είναι µπροστά 100. α. Πόσο χρόνο χρειάζεται η cheetah για να φθάσει την αντιλόπη; β. Πόση απόσταση διένυσε η cheetah; Απ: α. 7,7s, β. 771,1 3. Το βλήµα ενός όπλου βγαίνει από την κάνη µε ταχύτητα υ = 400 και κινούµενο ευθύγραµµα και οµαλά φθάνει στον στόχο και σκάει. Αν ο πυροβολητής ακούει τον ήχο από την s έκρηξη µετά από 1s, να βρείτε την απόσταση του πυροβόλου από τον στόχο. ίνεται η ταχύτητα του ήχου υ1 = 340. s Απ: 05,9

26 6. Ευθύγραµµη κίνηση 4. Ένα τρένο κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ. Περνά από µια γέφυρα µήκους x1 χρόνο t 1 υπολογίσετε το µήκος και την ταχύτητα του τρένου; Απ: 600, = 80s, ενώ από µια άλλη γέφυρα µήκους x 0 s = 800 σε χρόνο t = 1000 σε = 70s. Να k 5. ύο τρένα που το καθένα έχει ταχύτητα υ= 30 κινούνται αντίθετα σε γειτονικές παράλληλες ράγες. Ένα πουλί που πετά µε σταθερή ταχύτητα υ1 = 60 φεύγει από το ένα h h k τρένο και κατευθύνεται προς το άλλο, όταν αυτά απέχουν 60 k. Φτάνοντας στο άλλο τρένο πετά πάλι προς το πρώτο κ.ο.κ. Ποια συνολική απόσταση θα διανύσει το πουλί πριν συναντηθούν τα τρένα; Απ: 60 k 6. ίνεται το διάγραµµα θέσης - χρόνου ενός κινητού. Να γίνει το διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου και να υπολογιστεί το συνολικό διάστηµα που διένυσε το κινητό, µέχρι την χρονική στιγµή 16s. Απ: 180 k 7. Με αρχική ταχύτητα 60 το γαλλικό τρένο T.G.V. διανύει απόσταση 1500 σε επίπεδες h γραµµές για να σταµατήσει. Αν η επιβράδυνση είναι σταθερή να υπολογίσετε το µέτρο της καθώς και τον χρόνο που απαιτείται για να σταµατήσει. Απ: 1, 74, 41,5s s 8. Η ταχύτητα ενός αθλητή αυξάνεται σταθερά κατά 0 σε κάθε 10s. Αν το σώµα αναχωρεί s από την ηρεµία α. µετά από πόσο χρόνο θα έχει διανύσει 100 ; β. πόση ταχύτητα θα έχει τότε; Απ: 10s, 0 s 9. Ένα cart διατρέχει το πρώτο µισό µιας πίστας µήκους 100 µε σταθερή ταχύτητα 5. Στο s δεύτερο µισό της πίστας παρουσιάζει µηχανικό πρόβληµα και επιβραδύνεται κατά 0,. s Σε πόσο χρόνο θα διατρέξει την απόσταση των 100 ; Απ: 33,8s

27 Ευθύγραµµη κίνηση Ένας αθλητής των 100 θέλει να κάνει παγκόσµιο ρεκόρ, που µέχρι την ηµέρα του αγώνα ήταν 9,84s, ξεκινώντας από τον βατήρα µε σταθερή επιτάχυνση 4 για 5s. Στη συνέχεια s κινείται µε σταθερή ταχύτητα και τέλος επειδή κουράστηκε επιβραδύνει µε σταθερή επιβράδυνση 10, οπότε φθάνει στο νήµα µε µηδενική ταχύτητα. Έκανε παγκόσµιο ρεκόρ; s Απ: όχι 11. Το διάγραµµα υ= f() t του σχήµατος προκύπτει από την κίνηση µιας Porshe 911s. Αν για t0 = 0 είναι x0 = 0. α. Υπολογίστε από το διάγραµµα την συνολική µετατόπιση που διένυσε β. Σχεδιάστε το διάγραµµα α= f() t γ. Γράψτε την εξίσωση x(t) για κάθε φάση της κίνησης και κάντε το διάγραµµά της δ. Ποια είναι η µέση ταχύτητα από 0 έως 50s ε. Ποια απόσταση διανύει µεταξύ των χρονικών στιγµών 10s έως 40s. Απ: α. 1875, δ. 37,5, ε. 1458,33 s 1. ύο κινητά Α και Β κινούνται στην ίδια οριζόντια ευθεία τροχιά ξεκινούν από το ίδιο σηµείο. Τα διαγράµµατα τους υ(t) είναι όπως στο σχήµα α. Τι είδους κινήσεις κάνουν; β. Ποια είναι η επιτάχυνση τους; γ. Πότε θα συναντηθούν; δ. Πότε έχουν κοινή ταχύτητα; Απ: β. s, 0 γ. 10s, δ. 5s 13. Στο σχήµα φαίνεται το διάγραµµα επιτάχυνσης χρόνου ενός αυτοκινήτου α(t). Αν η αρχική του ταχύτητα είναι υ0 = 5 s α. Να κατασκευάσετε το διάγραµµα υ= f() t β. Να κατασκευάσετε το διάγραµµα x = f() t γ. Την χρονική στιγµή t = 15s το αυτοκίνητο έχει σταµατήσει; Απ: γ. όχι

28 8. Ευθύγραµµη κίνηση 14. Το σχήµα περιγράφει το διάγραµµα ταχύτητας χρόνου υ(t) ενός αυτοκινήτου. Αν για t0 = 0 είναι x0 = 0Να υπολογίσετε: α. Τι κινήσεις εκτελεί το αυτοκίνητο; β. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση σε κάθε κίνηση και να κάνετε το διάγραµµα α(t) γ. Να κάνετε το διάγραµµα x(t) δ. Ξαναγύρισε στο σηµείο που ξεκίνησε; Απ: Ναι 15. Η µέγιστη επιτάχυνση που µπορεί να αναπτύξει ένα τρένο είναι α1 = s, ενώ η µέγιστη k επιβράδυνση α = 5. Αν η µέγιστη ταχύτητα του είναι υ= 108, να βρεθεί ο ελάχιστος χρόνος που χρειάζεται για να καλύψει µια απόσταση 4515, αν ξεκινήσει από την s h ηρεµία και φθάσει στο τέλος της διαδροµής µε ταχύτητα µηδέν. Απ: 161s 16. Ένα σώµα εκτελεί οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση. Το σώµα διανύει 16 κατά την διάρκεια του δεύτερου sec της κίνησής του και 8 κατά την διάρκεια του πέµπτου sec της κίνησής του. Να υπολογίσετε: α. την αρχική του ταχύτητα, β. την επιτάχυνση Απ: α. 10 β. 4 s s 17. 'Οχηµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ0 = 3/s όταν τη χρονική στιγµή t0 = 0 αρχίζει να επιβραδύνεται µε επιβράδυνση σταθερού µέτρου /s. α. Πόση απόσταση έχει διανύσει το όχηµα µέχρι να υποτετραπλασιαστεί η ταχύτητά του; β. Ποια η συνολική µετατόπιση του οχήµατος µέχρι να σταµατήσει ; Απ: α. 40 β Όχηµα Α κινείται µε σταθερή ταχύτητα υa = 10/s ενώ όχηµα Β που βρίσκεται πίσω από το Α σε απόσταση d = 39 ξεκινάει µε σταθερή επιτάχυνση α = /s. Να βρεθούν : α. Η µέγιστη απόσταση που θα έχουν τα δύο οχήµατα β. Ο χρόνος που απαιτείται από τη στιγµή που ξεκινάει το όχηµα Β για να συναντηθούν τα δύο οχήµατα. Απ: α. 64 β. 13 s

29 Ευθύγραµµη κίνηση ύο κινητά κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία. Τα διαγράµ- µατα θέσης - χρόνου των δύο κινητών δίνονται στο σχήµα που ακολουθεί. Από αυτά να υπολογιστούν : α. η ταχύτητα κάθε κινητού β. το συνολικό διάστηµα που διήνυσε κάθε κινητό σε 10 sec γ. η µετατόπιση κάθε κινητού σε 10 sec δ. η χρονική στιγµή της συνάντησής τους. Απ: α. -5 / s,5 /s β. 50, 50 γ. - 50, 50 δ. 7,5 s 0. ύο οχήµατα Α και Β κινούνται σε ευθύγραµµο δρόµο µε σταθερές ταχύτητες υa και υb = 8/s = 10/s αντίστοιχα. Το όχηµα Α περνάει µπροστά από περίπτερο και δύο δευτερόλεπτα αργότερα περνάει το όχηµα Β. α. Πόσος χρόνος έχει περάσει από τη στιγµή που πέρασε το όχηµα Α από το περίπτερο µέχρι τη στιγµή της συνάντησης ; β. Σε πόση απόσταση από το περίπτερο θα συναντηθούν τα δύο οχήµατα ; Απ: 10 s, Κινητό κινείται µε σταθερή ταχύτητα 5 /s και τη χρονική στιγµή t0 = 0 αποκτά σταθερή επιτάχυνση /s. Να βρεθεί η µετατόπιση του κινητού στη διάρκεια του 5 ου δευτερόλεπτου της κίνησής του. Απ: 14 Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ ύο σώµατα Α και Β βρίσκονται την ίδια χρονική στιγµή t 0 = 0 στην αρχή του άξονα ( x = 0). Το σώµα Α ξεκινάει από την ηρεµία και επιταχύνεται µε σταθερή επιτάχυνση α1 0 = 6/s. Το σώµα B την στιγµή 0 α = /s. µε επιβράδυνση σταθερού µέτρου t = 0 έχει ταχύτητα υ0 = 10/s και επιβραδύνεται α. Να βρεθούν οι χρονικές στιγµές που η απόσταση των δύο σωµάτων είναι d 4 = β. Πόσο απέχουν τα δύο σώµατα τη χρονική στιγµή που µηδενίζεται η ταχύτητα του σώµατος Β ; γ. Αν το σώµα Β διατηρεί την επιτάχυνση και µετά τον µηδενισµό της ταχύτητάς του πόσο θα απέχουν τα δύο σώµατα τη στιγµή που το σώµα Β επιστρέφει στην αρχή του άξονα ;

30 30. Ευθύγραµµη κίνηση Λύση: α. Αρχικά το Β σώµα αποµακρύνεται από το σώµα Α γιατί τρέχει γρηγορότερα παρά το ότι επιβραδύνεται ενώ το Α επιταχύνεται. Τη µέγιστη απόσταση από το Α θα την αποκτήσει όταν η ταχύτητά του καθώς µειώνεται γίνει ίση µε αυτήν του σώµατος Α. Στη συνέχεια το σώµα Α θα το προσπεράσει και θα το αφήσει πίσω. Η ζητούµενη απόσταση d = 4 c θα παρατηρηθεί 3 φορές αρκεί να είναι µικρότερη από την µέγιστη απόσταση που απέκτησε το Β όσο ήταν µπροστά από το Α. Οι δύο φορές θα είναι µε το Β προπορευόµενο µια και µία µε το Α. Ισχύει : 1 1 υ0 t α t α1 t = d 1 () 1 1 α1 t υ0 t α t = d ( ) Από την πρώτη έχουµε : 10 t t 3t 4 4t 10t 4 0 t 5t 0 = + = + = Επιλύοντας την δευτεροβάθµια ως προς το χρόνο βρίσκουµε : t1 = 0,5s και t = s Από την δεύτερη εξίσωση µε αντικατάσταση παίρνουµε : 3t 10t t 4 4t 10t 4 0 t 5t 0 + = = = Επιλύοντας την βρίσκουµε t 3 =,85 s (ή άλλη λύση είναι αρνητική). β. Τη στιγµή του µηδενισµού της ταχύτητας του Β ισχύει : ' ' υ0 0 = υ0 α t t = = 5s α ' 1 ' x ( ) B = υ0 t α t = 5 1 ' x ( ) A = α1 t = 75

31 Ευθύγραµµη κίνηση 31. Η ζητούµενη απόσταση είναι: x = xa xb = 50 γ. Μετά τον µηδενισµό της ταχύτητάς του το σώµα Β αλλάζει φορά κίνησης και επιστρέφει προς την αρχή του άξονα επιταχυνόµενα. Όταν φτάνει στην θέση όπου βρισκόταν την χρονική στιγµή t0 = 0 ισχύει 1 υ0 0 = υ0 t'' α t'' t'' = = 10s α Την ίδια χρονική στιγµή το σώµα Α θα βρίσκεται στη θέση : 1 = =, που είναι και η ζητούµενη απόσταση. x'' A α1 t'' 300 ΣΤ. ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 1. Επιλέξτε τις σωστές προτάσεις, θέτωντας σε κύκλο το αντίστοιχο γράµµα. Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση: α. Η µέση ταχύτητα είναι ίση µε την στιγµιαία β. Η µετατόπιση έχει µέτρο ίσο µε το διάστηµα γ. Η ταχύτητα είναι ανάλογη µε την µετατόπιση δ. Η ταχύτητα είναι ανάλογη µε τον χρόνο ε. Η µετατόπιση είναι ανάλογη µε τον χρόνο κίνησης. Μονάδες 15. Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση το διάγραµµα της συνάρτησης υ f( x) = είναι: Μονάδες 15

32 3. Ευθύγραµµη κίνηση ΘΕΜΑ 1. Από το διάγραµµα θέσης - χρόνου δύο κινητών (α) και (β) σε µια ευθύγραµµη κίνηση ποιο αντίστοιχο διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου προκύπτει; Μονάδες 15. Ένα αντικείµενο που κινείται ευθύγραµµα έχει για t0 = 0: x0 = 0. Αν δίνεται το διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου να υπολογίσετε την µετατόπιση από 0 έως 5 sec. Μονάδες 15 ΘΕΜΑ 3 k Η ταχύτητα απογείωσης ενός αεριωθούµενου είναι 360. Εάν πρόκειται να απογειωθεί h από ένα διάδροµο µήκους 100, πόση πρέπει να είναι η επιτάχυνση του; Μονάδες 0 ΘΕΜΑ 4 Ένα αυτοκίνητο µάρκας Jaguar καθώς φρενάρησε και σταµάτησε άφησε σηµάδια στο δρόµο µήκους 90. Αν η επιβράδυνσή του ήταν 10 s να υπολογιστεί η αρχική ταχύτητα του αυτοκινήτου. Μονάδες 0