Ειδικά Θέματα Οικονομετρίας-Χρονολογικές Σειρές ΙΙ (εκδ. 1.2)

Transcript

1 Ειδικά Θέματα Οικονομετρίας-Χρονολογικές Σειρές ΙΙ (εκδ. 1.2) Γεώργιος Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης

2 Περιγραφή 1 Στάσιμα Υποδείγματα Χρονολογικές Σειρών Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Υποδείγματα Κινητών Μέσων Μικτά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων Εποχικά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων 2 Μη-Στάσιμα Υποδείγματα Χρονολογικές Σειρών Υποδείγματα ARIMA 3 Μεθοδολογία Box-Jenkins Box-Jenkins 4 Προβλέψεις με υποδείγματα χρονολογικώς σειρών Προβλέψεις με ARMA/ARIMA υποδείγματα Μέτρα Αξιολόγησης Προβλέψεων 5 Εφαρμογές στις Χρονολογικές Σειρές-Μη εποχικά δεδομένα 6 Εφαρμογές στις Χρονολογικές Σειρές-Εποχικά δεδομένα 7 Βιβλιογραφία βεαμερ-τυ-λογ

4 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα(AR(p)) Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα(AR(p)) Στη γενική του μορφή το Αυτοπαλίνδρομο Υποδείγμα AR(p), εκφράζεται ως: y t = α+β 1 y t 1 + +β py t p +ǫ t όπουοιπαράμετροι α,β 1,...,β pείναιπροςεκτίμηση,ενώ ǫ tεκφράζειτον διαταρακτικόόρο(ήσφάλμα),γιατοοποίουποθέτουμε E(ǫ t) = 0,και V(ǫ t) = σ 2 σταθερή.επίσης,υποθέτουμεμηδενικήαυτοσυσχέτισηστα σφάλματα: E(ǫ t,ǫ t k ) = 0για k t.

5 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομο Υπόδειγμα πρώτης τάξης(ar(1)) Για p = 1και α = 0,έχουμετοΑυτοπαλίνδρομοΥποδείγμαπρώτουβαθμού, έτσι ώστε: y t = βy t 1 +ǫ t γιατιςπαρατηρήσεις y 1,...,y n. Συνθήκες Στασιμότητας,(AR(1), α = 0) y t = β[βy t 2 +ǫ t 1 ]+ǫ t = β 2 y t 2 +βǫ t 1 +ǫ t = β 3 y t 3 +β 2 ǫ t 2 +βǫ t 1 +ǫ t = n 1 = β n y 0 +ǫ t +βǫ t 1 +β 2 ǫ t 2 + = β n y 0 + β k ǫ t k όπουισχύει E(y t) = β n y 0.Επομένωςγιαναέχουμεστασιμότηταστημέση τιμήθαπρέπειναισχύειότι β < 1. k=0

6 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομο Υπόδειγμα πρώτης τάξης(ar(1)) Συνθήκες Στασιμότητας,(AR(1), α = 0)(συνεχ.) V(y t) = E(y 2 t ) = E(ǫ t +βǫ t 1 +β 2 ǫ t 2 + ) 2 = E(ǫ t) 2 +β 2 E(ǫ 2 t 1)+β 4 E(ǫ t 2 ) 2 + = σ 2 (1+β 2 +β 4 + ) = σ2 1 β 2 = γ 0. δεδομένηςτης σ 2 σταθερήςγιανασυγκλίνειηδιακύμανσηπρέπει β < 1.

7 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Συνθήκες Στασιμότητας,(AR(1), α = 0)(συνεχ.) Ας δούμε λεπτομερώς πως διαμορφώνονται οι αυτοσυνδιακυμάνση και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. γ 1 = E(y t, y t 1 ) = E[y t 1 (βy t 1 +ǫ t)] = βe(y 2 t 1)+E(y 2 t 1ǫ t) = βγ = βγ 0 γ 2 = E(y t, y t 2 ) = E[y t 2 (βy t 1 +ǫ t)] = βe(y t 2 y t 1 )+0 = βγ 1 = β 2 γ 0 γ k = β k γ 0 Άρα ρ(k) = γ k γ 0 = β k.επομένωςγιαναέχουμεστασιμότηταστη διακύμανση-συδιακύμανση θα πρέπει να ισχύει ότι β < 1.

8 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα δεύτερης τάξης(ar(2)) Για p = 2, έχουμε το Αυτοπαλίνδρομο Υποδείγμα δεύτερης τάξης, έτσι ώστε y t = α+β 1 y t 1 +β 2 y t 2 +ǫ t. Συνθήκες Στασιμότητας,(AR(2)) β 2 +β 1 < 1 β 2 β 1 < 1 β 2 < 1

9 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Παράδειγμα ταυτοποίησης-υποδείγματα AR ar(1),phi=0,6 ar(1),phi=0,6 ACF Partial ACF Lag Lag ar(1),phi= 0,6 ar(1),phi= 0,6 ACF Partial ACF Lag Lag ar(2),phi1=0,6 theta2=0,2 ar(2),phi1=0,6 phi2=0,2 ACF Partial ACF Lag Lag ar(2),phi1= 0,6 theta2= 0,2 ar(2),phi1= 0,6 phi2= 0,2 ACF Partial ACF Lag Lag

10 Υποδείγματα Κινητών Μέσων Υποδείγματα Κινητών Μέσων(MA(q)) Υποδείγματα Κινητών Μέσων(MA(q)) Στη γενική του μορφή το υποδείγματα κινητών μέσων(ma(q)), εκφράζεται ως: y t = µ+ǫ t θ 1 ǫ t 1 θ qǫ t q όπουοιπαράμετροι µ,θ 1,...,θ qείναιπροςεκτίμηση,ενώ ǫ tεκφράζειτον διαταρακτικό όρο(ή σφάλμα) που είναι λευκός θόρυβος, δηλαδή ισχύει E(ǫ t) = 0, V(ǫ t) = σ 2 σταθερή,καιμηδενικήαυτοσυσχέτισημε E(ǫ t,ǫ t k ) = 0για k t.

11 Υποδείγματα Κινητών Μέσων Υποδείγμα Κινητών Μέσων πρώτης τάξης(ma(1)) Για q = 1,έχουμετουποδείγμακινητώνμέσωνπρώτηςτάξης,έτσιώστε y t = µ+ǫ t θ 1 ǫ t 1 Ιδιότητες και Συνθήκες Στασιμότητας,(MA(1), µ = 0) E(y t) = 0 V(y t) = V(µ+ǫ t θ 1 ǫ t 1 ) = σ 2 (1+θ 2 1) = γ 0 γ 1 = E(y t, y t 1 ) = E[(ǫ t θ 1 ǫ t 1 )(ǫ t 1 θ 1 ǫ t 2 )] = θe(ǫ 2 t 1) = θσ 2 γ k = E(y t, y t k ) = E[y t(ǫ t k θ 1 ǫ t k 1 ) = 0, k > 1 Άρα ρ(k) = γ k = θ για k = 1και 0για k > 1.Επομένωςγιατην γ 0 1+θ 2 MA(1), σε αντίθεση με ότι συμβαίνει με τα αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα, έχει μνήμη μιάς μόνο περιόδου. βεαμερ-τυ-λογ

12 Υποδείγματα Κινητών Μέσων Υποδείγμα Κινητών Μέσων δεύτερης τάξης(ma(2)) Για q = 2,έχουμετουποδείγμακινητώνμέσωνδεύτερηςτάξης,έτσιώστε y t = µ+ǫ t θ 1 ǫ t 1 θ 2 ǫ t 2 Ιδιότητες και Συνθήκες Στασιμότητας,(MA(2), µ = 0) E(y t) = 0 V(y t) = σ 2 (1+θ1 2 +θ2) 2 = γ 0 γ 1 = E(y t, y t 1 ) = θ 1 (1 θ 2 )σ 2 γ 2 = θ 2 σ 2 γ k = 0, k > 2 Επομένως η MA(2) έχει μνήμη δύο περιόδων.

13 Υποδείγματα Κινητών Μέσων Υποδείγμα Κινητών Μέσων q τάξης(ma(q)) Αυτοσυσχέτιση στη(ma(q)) Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης για το υπόδειγμα MA(q) είναι ρ k = q k i=1 θ iθ i+k θ k 1+ q, k = 1, 2,...,q i=1 θ2 i και 0για k > q. Ετσισεμιαδιαδικασία MA(q)οιαυτοσυσχετίσεις ρ k μηδενίζονταιγια k > q.

14 Υποδείγματα Κινητών Μέσων Παράδειγμα ταυτοποίησης-υποδείγματα MA ma(1),theta=0,6 ma(1),theta=0,6 ACF Partial ACF Lag Lag ma(1),theta= 0,6 ma(1),theta= 0,6 ACF Partial ACF Lag Lag ma(2),theta1=0,6 theta2=0,2 ma(2),theta1=0,6 theta2=0,2 ACF Partial ACF Lag Lag ma(2),theta1= 0,6 theta2= 0,2 ma(2),theta1= 0,6 theta2= 0,2 ACF Partial ACF Lag Lag βεαμερ-τυ-λογ

15 Μικτά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων Υποδείγμα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων(ARMA(p, q)) Στη γενική του μορφή το Αυτοπαλίνδρομο υποδείγμα κινητών μέσων (ARMA(p, q)), εκφράζεται ως: y t = α+β 1 y t 1 + +β py t p +ǫ t θ 1 ǫ t 1 θ qǫ t q όπουοιπαράμετροι α,β 1,...,β p,θ 1,...,θ qείναιπροςεκτίμηση,ενώ ǫ t εκφράζει τον διαταρακτικό όρο(ή σφάλμα) που είναι λευκός θόρυβος, δηλαδή ισχύει E(ǫ t) = 0, V(ǫ t) = σ 2 σταθερή,καιμηδενικήαυτοσυσχέτισημε E(ǫ t,ǫ t+k ) = 0για k t. Παρατήρηση Οταν τα δεδομένα μιας χρονολογικής σειράς έχουν συνάρτηση αυτοσυσχέτισης που δεν φαίνονται να μηδενίζονται μετά από κάποιο σημείο αλλάφθίνουνμεαργόρυθμό,τότεέχουμεστοιχείακαιαπόταδύομορφών AR, MA.

16 Μικτά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων Υπόδειγμα Αυτοπαλίνδρομο Κινητών Μέσων(ARMA(1, 1)) Για p = q = 1,έχουμετουποδείγμακινητώνμέσωνπρώτηςτάξης,έτσιώστε y t = α+βy t 1 +ǫ t θǫ t 1 Ιδιότητες και Συνθήκες Στασιμότητας,(ARMA(1, 1)) E(y t) = µ = α 1 β, V(yt) = 1+θ2 2βθ 1 β 2 σ 2 = γ 0 γ 1 = βγ 0 θσ 2, γ k = βγ k 1, k > 1 Επομένως η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ισούται με ρ(1) = β θσ2 γ 0, ρ(k) = βρ(k 1), k > 1 γιαστάσιμη y tμε α < 1,και θ < 1,οιαυτοσυσχετίσειςφθίνουν γεωμετρικά μετά την πρώτη υστέρηση.

17 Μικτά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων Παράδειγμα ταυτοποίησης-υποδείγματα ARMA arma(2,2),phi1=0,6 phi2= 0,1 theta1= 0,2 theta2=0,2 arma(2,2),phi1=0,6 phi2= 0,1 theta1= 0,2 theta2=0,2 ACF Partial ACF Lag Lag arma(2,2),phi1=0,6 phi2=0,1 theta1= 0,2 theta2=0,2 arma(2,2),phi1=0,6 phi2=0,1 theta1= 0,2 theta2=0,2 ACF Partial ACF Lag Lag arma(2,2),phi1= 0,6 phi2= 0,1 theta1= 0,2 theta2=0,2 arma(2,2),phi1= 0,6 phi2= 0,1 theta1= 0,2 theta2=0,2 ACF Partial ACF Lag Lag arma(2,2),phi1=0,6 phi2=0,1 theta1= 0,2 theta2= 0,2 arma(2,2),phi1=0,6 phi2=0,1 theta1= 0,2 theta2= 0,2 ACF Partial ACF Lag Lag βεαμερ-τυ-λογ

19 Υποδείγματα ARIMA Ολοκληρωμένο Υπόδειγμα ARMA(p, q) ή Υποδείγματα ARIMA(p, d, q)) Παρατήρηση Στηνπιοπάνωανάλυσηγιατα AR, MA, ARMAκαι SARMAυποδείγματα υποθέταμε ότι οι χρονολογικές σειρές ήταν στάσιμες. Πολλές όμως σειρές δεν είναι στάσιμες. Οταν μια σειρά παρουσιάζει μη-στασιμότητα υπό μορφήν τάσης,μπορούμεμέσωτηςπρώτηςδιαφορας, y t y t 1 νατη μετασχηματίσουμε σε στάσιμη. Ετσι, έχοντας την y t = y t y t 1 = (1 B)y t αυτή μπορεί να ονομαστεί ως ολοκληρωμένο υπόδειγμα πρώτης τάξης ARMA(p, q)ήαλλιώς ARIMA(p, 1, q).

20 Υποδείγματα ARIMA Υποδείγματα ARIMA(p, d, q) Ορισμός Στη γενική του μορφή όπου d y t = y t y t d = (1 B) d y t τότε η σειρά μπορεί να ακολουθεί ένα αυτοπαλίνδρομο ολοκληρωμένο υπόδειγμακινητώνμέσων ARIMA(p, d, q)ήένα SARIMA(p, d, q)(p, D, Q) s. Επίσης η d-ταξεως διαφορά μπορεί να εφαρμοστεί και στο εποχικό κομμάτι οπότεμιλάμεγιαυποδείγματα SARIMA(p, d, q)(p, D, Q) s. Παρατήρηση Οταν η χρονολογική σειρά δείχνει να έχει αυξημένη διακύμανση(μη-στάσιμη σειρά ως προς τη διακύμανση), τότε συνιστάται η χρήση του λογαριθμικού μετασχηματισμύ πριν από τις πρώτες διαφορές, έτσι log y t = log y t log y t 1 = (1 B) log y t.

22 Box-Jenkins Μεθοδολογία Box-Jenkins Μεθοδολογία Box-Jenkins σε τρία στάδια 1 Ταυτοποίηση: Κατά το στάδιο αυτό δίνεται η εξειδίκευση του αριθμού d ή/και D των διαφορών προς επίτευξη στασιμότητας. Σ τη συνέχεια γίνεταιηεξειδίκευσητων p, q,καιγιαεποχικά P,και Qανχρειάζεται (Βλέπε πίνακα με οδηγίες ταυτοποίησης για τα ARIMA υποδείγματα). 2 Εκτίμηση: Κατά το στάδιο αυτό γίνεται η εκτίμηση των παραμέτρων α,β 1,...,β p,θ 1,...,θ qτουεπιλεγόμενουυποδείγματος. 3 Διαγνωσικός Ελεγχος: Κατά το στάδιο αυτό γίνεται ο διαγνωστικός έλεγχος μέσω στατιστικών κριτηρίων για την τελική μορφή του ARIMA ή SARIMA υποδείγματος που πρέπει να επιλέξουμε(τις ακριβείς τιμές των p, q, P,και Q).

26 Box-Jenkins Μεθοδολογία Box-Jenkins Πίνακας οδηγιών ταυτοποίησης μεθοδολογία Box-Jenkins AR(p) MA(q) ARMA(p, q) ACF Φθίνει Διακόπτεται Φθίνει μετά υστέρηση q PACF Διακόπτεται Φθίνει Φθίνει μετά υστέρηση p

27 Box-Jenkins Μεθοδολογία Box-Jenkins Ταυτοποίηση στην πράξη Αρχικά γίνεται έλεγχος στασιμότητας της σειράς. Εδώ ελέγχεται η αυτοσυσχέτιση της σειράς για τυχών ύπαρχη τάσης, εποχικότητας ή άλλων διακυμάνσεων. ΟτανηACFτείνειστομηδένμεπολύαργόρυθμότότε υπάρχει ένδειξη μη-στασιμότητας. Τότε με διαδοχικές τιμές για την d = 1, 2,,...ορίζουμετην dγιατηνοποίαεπιτυγχάνεταιπρώτηφορά στασιμότητα. Στη συνέχεια μέσω των οδηγιών ταυτοποίησης προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τα p και q της χρονολογικής μας σειράς. Στην πράξη είναι δύσκολο να φτάσουμε σε ένα άριστο υποδειγμα με συγκρεκριμένα (p, d, q). Ετσι καταληγουμε σε δύο, τρία ή και περισσότερα υποδείγματα τα οποία ελέγχονται στο τρίτο στάδιο μέσω διαγνωσικού ελέγχου για την επιλογή του άριστου υποδείγματος.

28 Box-Jenkins Μεθοδολογία Box-Jenkins Εκτίμηση στην πράξη(παρ. AR(I)MA) Στην περίπτωση που έχουμε AR(p) υπόδειγμα, τότε η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων μπορεί να εφαρμοστεί. Σε αντίθεση όμων με τα AR υποδείγματα,τα MAκαι AR(I)MAδενμπορούναεκτιμηθουνμεαυτήτη μέθοδοδιότιεξαρτώνταιαπότασφάλματα ǫ t, ǫ t 1,...οιοποίεςείναι μη-παρατηρήσιμες μεταβλητές. Εναλλακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Yule-Walker η οποία βασίζεται στις συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης ρ(k) ή και τη μέθοδο μεγίστης πιθανοφάνειας.

29 Box-Jenkins Μεθοδολογία Box-Jenkins Διαγνωσικός Ελεγχος στην πράξη(παρ. ARMA) Αναφορικά με τον τρόπο τελικής επιλογής του άριστου υποδείγματος μπορόύμε να χρησιμοποιήσουμε δύο διαφορετικά κριτήρια. Αυτά είναι, πρώτα το κριτήριο Akaike (AIC) και δεύτερο αυτό του Schwartz (BIC). Αυτά ορίζονται ως: AIC = log(ssr)+2k/n, BIC = log(ssr)+k log(n), όπου, SSR είναι η εκτίμηση της διακύμανσης των καταλοίπων, k = (p + q + 1)είναιοαριθμόςτωνπροςεκτίμησηπαραμέτρων,και nο αριθμός των παρατηρήσεων. Ηεπιλογήτου άριστου υποδείγματοςμέσωτων (p, d, q)γίνεταιμεβάση ποιός συνδιασμός ελαχιστοποιεί τα πιο πάνω κριτήρια.

31 Εποχικά Υπόδειγμα Αυτοπαλίνδρομο Κινητών Μέσων (SARMA(p, q)(p, Q) s ) Ορισμός Τα Εποχικά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων, κοινώς SARMA(p, q)(p, Q) sεκφράζουντηδυνατότηταύπαρξηςφαινομένων αυτοσυσχέτισηςγιατις y tκαι ǫ tανά sχρονικάδιαστήματα.εμφανίζουνμε άλλα λόγια εποχική συμπεριφορά ανά s χρονικά διαστήματα. Στη γενικευμένη τουςμορφήσυμβολίζονταιμε SARMA(p, q)(p, Q) s.εδώτο sσυμβολίζειτην εποχική διάσταση(s = 12 για μηνιαίες παρατηρήσεις) p και q αναφέρονται στον μη-εποχικό βαθμό υστέρησης, ενώ τα P και Q στον αντίστοιχο εποχικό.

32 Πολλαπλασιαστικά SARMA(p, q) (P, Q) s Στη γενική τους μορφή όπου και Φ(B s )φ(b)y t = Θ(B s )θ(b) Φ(B s ) = 1 Φ 1 B s Φ 2 B 2s Φ Ps B Ps Θ(B s ) = 1 Θ 1 B s Θ 2 B 2s Θ Qs B Qs ταεποχικά,ενώ φ(b) = 1 φ 1 B φ 2 B 2 φ pb p και θ(b) = 1 θ 1 B θ 2 B 2 θ qb q ταμηεποχικά.

33 Παραδείγματαπολλαπλασιαστικού SARMA(0, 0) (2, 1) 12 SARMA(0, 0) (2, 1) 12 αλλιώς y t(1 Φ 1 B 12 Φ 2 B 24 ) = ǫ t(1 Θ 1 B 12 ) y t = Φ 1 y t 12 +Φ 2 y t 24 +ǫ t Θ 1 ǫ t 12 SARMA(1, 0) (2, 1) 12 αλλιώς y t(1 Φ 1 B 12 Φ 2 B 24 )(1 φ 1 B) = ǫ t(1 Θ 1 B 12 ) y t Φ 1 y t 12 Φ 2 y t 24 (φ 1 y t 1 φ 1 Φ 1 y t 13 +φ 1 Φ 2 y t 25 ) = ǫ t Θ 1 ǫ t 12 ή y t = φ 1 y t 1 +Φ 1 y t 12 φ 1 Φ 1 y t 13 +Φ 2 y t 24 +φ 1 Φ 2 y t 25 +ǫ t Θ 1 ǫ t 12

34 Αθροιστικά SARMA(p, q),(p, Q) s Στη γενική τους μορφή όπου και τα εποχικά. Φ(B s )y t = Θ(B s ) Φ(B s ) = 1 Φ 1 B s Φ 2 B s+1 Φ P B s+p Θ(B s ) = 1 Θ 1 B s Θ 2 B s+1 Θ Q B s+q

35 Παράδειγματα αθροιστικού SARMA(0, 0),(2, 1) 12 αλλιώς y t(1 Φ 1 B 12 Φ 2 B 13 ) = ǫ t(1 Θ 1 B 12 ) y t = Φ 1 y t 12 +Φ 2 y t 13 +ǫ t Θ 1 ǫ t 12 SARMA(1, 0),(2, 1) 12 αλλιώς y t(1 φ 1 B Φ 1 B 12 Φ 2 B 13 ) = ǫ t(1 Θ 1 B 12 ) y t = φ 1 y t 1 +Φ 1 y t 12 +Φ 2 y t 13 +ǫ t Θ 1 ǫ t 12

36 Παραδείγματααθροιστικώνυποδειγμάτων SARMA(p, q),(p, Q) s Παρ. Υποδείγματα Τουπόδειγμα SARMA(0, 0)(1, 0) 12 y t = α+β 1 y t 12 +ǫ t Τουπόδειγμα SARMA(1, 1)(1, 0) 12 y t = α+β 1 y t 1 +β 2 y t 12 +ǫ t θ 1 ǫ t 1 Τουπόδειγμα SARMA(1, 1)(2, 0) 12 y t = α+β 1 y t 1 +β 2 y t 12 +β 3 y t 13 +ǫ t θ 1 ǫ t 1

37 Παραδείγματααθροιστικώνυποδειγμάτων SARMA(p, q),(p, Q) s μέσω Eviews Παρ. Υποδείγματα μέσω Eviews: Quick/Estimate Equation... Τουπόδειγμα SARMA(0, 0)(1, 0) 12 εκτιμάταιως: series c sar(12) Τουπόδειγμα SARMA(1, 1)(1, 0) 12 εκτιμάταιως: series c ar(1) ma(1) sar(12) Τουπόδειγμα SARMA(1, 1)(2, 0) 12 εκτιμάταιως: series c ar(1) ma(1) sar(12) sar(13)

38 Μεθοδολογία Box-Jenkins-Για εποχικά(πολλαπλασιαστικά) Πίνακας οδηγιών ταυτοποίησης μεθοδολογία Box-Jenkins AR(P) s MA(Q) SARMA(P, Q) s ACF Φθίνει Διακόπτεται Φθίνει μετάτην ks(k = 1,...) μετάυστέρηση Qs μετάτην ks PACF Διακόπτεται Φθίνει Φθίνει μετά υστέρηση Ps μετά την ks μετά την ks

39 Υποδείγματα SARIMA Εποχικά Ολοκληρωμένα Υπόδειγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων (SARIMA(p, d, q) (P, D, Q) s ) Στη γενική τους μορφή Φ(B s )φ(b)(1 B) d (1 B s ) d y t = Θ(B s )θ(b) SARIMA(1, 1, 1) (1, 1, 1) 4 αλλιώς y t(1 Φ 1 B 4 )(1 φ 1 B)(1 B)(1 B 4 ) = ǫ t(1 θ 1 B)(1 Θ 1 B 4 ) y t = (1+φ 1 )y t 1 φ 2 y t 2 +(1+Φ 1 )y t 4 (1+φ 1 +Φ 1 +φ 1 Φ 1 )y t 5 +(φ 1 +φ 1 Φ 1 )y t 6 Φ 1 y t 8 +(Φ 1 +φ 1 Φ 1 )y t 9 φ 1 Φ 1 y t 10 + ǫ t θ 1 ǫ t 1 Θ 1 ǫ t 4 +θ 1 Θ 1 ǫ t 5 ηοποίααποτελείτηνπρόβλεψηενός SARIMA(1, 1, 1) (1, 1, 1) 4 υποδείγματος,αφούέχουνεκτιμηθείτα φ 1, Φ 1, θ 1 και Θ 1. βεαμερ-τυ-λογ

41 Προβλέψεις με ARMA/ARIMA υποδείγματα Προβλέψεις Πώς γίνονται οι προβλέψεις; Η πρόβλεψη των μελλοντικών τιμών μιας χρονολογικής σειράς βασίζεται στα αποτελέσματα του εκτιμόμενου υποδείγματος. Τα αποτελέσματα αυτά εχουν νακάνουνβασικάμετιςεκτιμήσειςγιατα α,β 1,...,β p,θ 1,...,θ q(παρ. AR(I)MA(p, q)). Ετσι,μιαπρόβλεψηπουκάνουμεγιατηνπερίοδο n+1, εκφράζεται ώς: ŷ n+1 = E(y n+1 y 1,...,y n) Επομένως, η αναμενόμενη τιμή την χρονολογικής μας σειράς για την περίοδο n+1στηρίζεταιστηνπληροφόρησημέχριτηνπερίοδο n.ηγενικευσητης γιατηνπερίοδο n+h,εκφράζεταιώς: ŷ n+h = E(y n+h y 1,...,y n).

42 Προβλέψεις με ARMA/ARIMA υποδείγματα Προβλέψεις σε στάσιμα υποδείγματα Προβλέψεις στο AR(1) Για p = 1, έχουμε το Αυτοπαλίνδρομο Υποδείγμα πρώτου βαθμού, έτσι ώστε y t = α+βy t 1 +ǫ t Μέσωτουδείγματος 1,...,nεκτιμούμετα α, β.ηπρόβλεψημαςσεπερίοδο n+1,ορίζεταιως: ενώ το σφάλμα πρόβλεψης ορίζεται ως ŷ n+1 = E(α+βy n +ǫ n+1 ) = α+βy n, ˆǫ n+1 = y n+1 ŷ n+1 = ǫ n+1, με διακύμανση V(ˆǫ n+1 ) = V(ǫ n+1 ) = σ 2 ǫ.

43 Προβλέψεις με ARMA/ARIMA υποδείγματα Προβλέψεις σε στάσιμα υποδείγματα Προβλέψεις στο AR(1)(συνεχ.) Ηπρόβλεψημαςσεπερίοδο n+2,ορίζεταιως: ŷ n+2 = E(α+βy n+1 +ǫ n+2 ) = α+βŷ n+1 = α+β(α+βy n) = α(1+β)+βy n, ενώ το σφάλμα πρόβλεψης ορίζεται ως: ˆǫ n+2 = y n+2 ŷ n+2 = α+βŷ n+1 +ǫ n+2 (α+βŷ n+1 ) = ǫ n+2 +β(y n+1 ŷ n+1 ) = ǫ n+2 +βǫ n+1, με διακύμανση V(ˆǫ n+2 ) = σ 2 ǫ(1+β 2 ).

44 Προβλέψεις με ARMA/ARIMA υποδείγματα Προβλέψεις σε στάσιμα υποδείγματα Προβλέψεις στο AR(1)(συνεχ.) Ηπρόβλεψημαςσεπερίοδο n+h,ορίζεταιως: ŷ n+h = α+βŷ n+h 1, = α(1+β +β β h 1 )+β h 1 y n α 1 β. ενώ η διακύμανση του σφάλματος πρόβλεψης ορίζεται ως V(ˆǫ n+h ) = σ 2 ǫ(1+β 2 +β 4 + +β 2(h 1) ) σ2 ǫ 1 β 2

45 Προβλέψεις με ARMA/ARIMA υποδείγματα Προβλέψεις σε στάσιμα υποδείγματα Προβλέψεις στο MA(1) Για q = 1,έχουμετοΥποδείγμαΚινητούΜέσουπρώτουβαθμού,έτσιώστε y t = µ+ǫ t θ 1 ǫ t 1 Μέσωτουδείγματος 1,...,nεκτιμούμετα µ, θ.ηπρόβλεψημαςσεπερίοδο n+1,ορίζεταιως: ŷ n+1 = µ θǫ n, με διακύμανση V(ŷ n+1 ) = V(ǫ n+1 ) = σ 2 ǫ. Ηπρόβλεψημαςσεπερίοδο n+2,ορίζεταιμεμέσοκαιδιακύμανση αντίστοιχα: ŷ n+1 = µ, V(ŷ n+2 ) = σ 2 ǫ(1+θ 2 ). Ηίδιαμέσητιμήκαιδιακύμανσηθαισχύεικαιγια h > 1.

46 Προβλέψεις με ARMA/ARIMA υποδείγματα Προβλέψεις μη-στάσιμα υποδείγματα Προβλέψεις στο ARIMA(1, 1, 1) Εστω,γιατουπόδειγμα ARIMA(1, 1, 1)ηπρόβλεψημαςσεπερίοδο n+1, ορίζεται ως: y n+1 = α+β y n +ǫ n+1 θ 1 ǫ n, τότεημέσηεκτίμηγιατονχρόνο n+ 1εκφράζεταιως: ŷ n+1 = y n +α+β y n. Ημέσηεκτίμηγιατονχρόνο n+ 2εκφράζεταιως: ŷ n+2 = ŷ n+1 y n+2 = (y n +α+β y n)+(α+β y n+1 ) = (y n + 2α+αβ)+(β +β 2 ) y n

47 Μέτρα Αξιολόγησης Προβλέψεων Προβλέψεις Εκτιμητές πρόβλεψης Μέσο Τετραγωνικό Σφάλμα(Mean Square Error) MSE = 1 n N ˆǫ 2 t t=n+1 Τετραγωνική ρίζα του Μέσο Τετραγωνικού Σφάλματος RMSE = 1 N ˆǫ 2 t n t=n+1 όπου N αναφέρεται στη τελική χρονική στιγμά πρόβλεψης.

48 Μέτρα Αξιολόγησης Προβλέψεων Προβλέψεις Εκτιμητές πρόβλεψης(συν.) Μέσο Απόλυτο Σφάλμα(Mean Absolute Error) MSE = 1 n N ˆǫ t t=n+1 Μέσο Απόλυτο Ποσοστιαίο Σφάλμα(Mean Absolute Percentage Error) MAPE = 1 n N t=n+1 ˆǫ t y t 100

50 Παράδειγμα Ι: Ανάλυση μηνιαίων χρονολογικών σειρών τιμών Ρωσικού φυσικού αερίου, δεδομένα: RusGas.XLS Βασικός στόχος της Ανάλυση Χρονολογικής Σειράς 1 Πρόβλεψη μελλοντικών τιμών της χρονολογικής σειράς Στάδια επίτευξης στόχου: 1 Βήμα 1: Καθορισμός εκτός δείγματος περιόδου(στο Παράδειγμα Ι ορίζεται η περίοδος: 3/2015 2/2016). 2 Βήμα 2: Ταυτοποίηση μέσω του προσδιορισμού των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης(στάδιο 1, μεθοδολογία Box-Jenkins). Ελεγχος στασιμότητας μέσω του(adf). 3 Βήμα 3: Εκτίμηση υποδείγματων AR(I)MA εντός δείγματος(στάδιο 2, μεθοδολογία Box-Jenkins) και πρόβλεψη για την εκτός δείγματος περίοδο. 4 Βήμα 4: Διαγνωστικός έλεγχος και συγκριση υποδειγμάτων ARIMA ως προς τα εντός και εκτός δείγματος μέτρα(σύγκριση προβλεπτική ικανότητα των υποδειγμάτων)(στάδιο 3, μεθοδολογία Box-Jenkins). βεαμερ-τυ-λογ

51 Παράδειγμα Ι(συν.) Στάδιο1:Διαχρονικόδιάγραμμαγιατησειρά y t

52 Παράδειγμα Ι(συν.) Στάδιο1:Προσδιορισμο ςτωνσυναρτήσεων ACFγιατησειρά y t

53 Παράδειγμα Ι(συν.) Στάδιο1:Προσδιορισμο ςτωνσυναρτήσεων ACFγιατησειρά y t

54 Παράδειγμα Ι(συν.) Στάδιο1:Προσδιορισμο ςτωνσυναρτήσεων PACFγιατησειρά y t

55 Παράδειγμα Ι(συν.) Σχόλιαστιςσυναρτήσειςαυτοσυσχέτισηςγια y t 1 Στόν Πίνακας 1 βλέπουμε υψηλά επίπεδα αυτοσυσχέτισης. Τα επίπεδα αυτοσυσχέτισης βαίνουν φθίνοντα με αργό ρυθμό το οποίο αποτελεί ένδειξει μη-στασιμότητας. Το μέτρο Box-Ljung δείχνει απόρριψη την μηδενικής υπόθεσης περι μηδενικής αυτοσχέτισης για όλες τις υστερήσεις(σημ.για χ 2 95%,1 3, 841, χ 2 95%,1 5, 991κ.ο.κ.). 2 Στήν Εικόνα ACF βλέπουμε ότι αρκετές τιμές αυτοσυσχέτισης βρίσκονται πιο πάνω από τη γραμμή στατιστικής σημαντικότητας (±1.96/ kμε kτοναριθμόυστερήσεων). Άρα,έχουμεαπόρριψητην μηδενικής υπόθεσης περι μηδενικής αυτοσχέτισης για όλες τις υστερήσεις. Επίσης, δεν φθίνουν άμεσα γεγονός ύπαρξης μη-στασιμότητας. 3 ΣτήνΕικόνα PACFβλέπουμεότιηπρώτη,ηδεύτερη,ητέταρτη υστέρηση της μερικής αυτοσυσχέτισης βρίσκονται πιο πάνω από τη γραμμή στατιστικής σημαντικότητας. Επίσης, η PACF βαίνει φθίνουσα άρα έχουμε ενδείξεις AR και MA στοιχείων. βεαμερ-τυ-λογ

56 Παράδειγμα Ι(συν.) Στάδιο1:Προσδιορισμο ςτωνσυναρτήσεων ACFγια y t

57 Παράδειγμα Ι(συν.) Στάδιο1:Προσδιορισμο ςτωνσυναρτήσεων PACFγια y t

58 Παράδειγμα Ι(συν.) Σχόλιαστιςσυναρτήσειςαυτοσυσχέτισηςγια y t 1 ΣτήνΕικόνα ACFκαι PACFβλέπουμεότιέωςκαιτηντρίτηυστέρηση έχουμε στατιστικής σημαντικότητας. 2 Επίσης,ηPACFβαίνειφθίνουσαάραέχουμεενδείξεις ARκαι MA στοιχείων. 3 Δοκιμάζουμετιςεξειδικεύσεις: p, q = 1, 2, 3.

59 Παράδειγμα Ι(συν.) Στάδιο2:(Πίνακας1) Ελεγχοςστασιμότητας-ADFγια y t(μέσω Eviews)

60 Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Στάδιο2:(Πίνακας2) Ελεγχοςστασιμότητας-ADFγια y t(μέσω Eviews)

61 Παράδειγμα Ι(συν.) Σχόλια στον έλεγχο στασιμότητας ADF(10) 1 Στόν Πίνακα 1 πραγματοποιούμε τον ADF(10) έλεγχο στασιμότητας 10 υστερήσεων.διαπιστώνουμεαποδοχήτης H 0 υπόθεσηςπερί μη-στασιμηςσειράς(παρ. 2, 10 t H0 > t 5% 2, 882)γιαεπίπεδο σημαντικότητας(σφάλμα) 5%. 2 Στή συνέχεια παίρνοντας τη πρώτη διαφορά με στόχο τη δημιουργία στάσιμης σειράς. 3 Στόν Πίνακα 2 που ακολουθεί, πραγματοποιούμε τον ADF(10) έλεγχο στασιμότητας για την νέα σειρά της πρώτης διαφοράς. Διαπιστώνουμε απορριψητης H 0 υπόθεσηςπερίμη-στασιμηςσειράς(παρ. 3, 224 t H0 < t 5% 2, 882). Ετσι,επιτυγχάνουμεστασιμότητατης σειράς 4 Δοκιμάζουμετιςεξειδικεύσεις: d = 1 p, q = 1, 2, 3για ARIMA(p, 1, q).

62 Παράδειγμα Ι(συν.) Στάδιο1:Διαχρονικόδιάγραμμαγιατησειρά y t

63 Παράδειγμα Ι(συν.) Στάδιο 2: Εκτίμηση υποδείγματος ARIMA(2, 1, 3)-εκτίμηση

64 Παράδειγμα Ι(συν.) Στάδιο 2: Εκτίμηση υποδείγματος ARIMA(2, 1, 3)-αυτοσυσχέτιση καταλοίπων

65 Παράδειγμα Ι(συν.) Στάδιο 2: Εκτίμηση υποδείγματος Ι-αυτοσυσχέτιση καταλοίπων- ΕλεγχοςBox-Ljung

66 Παράδειγμα Ι(συν.) Στάδιο 3: Διαγνωστικός έλεγχος υποδείγματος ARIMA(2, 1, 3)

67 Παράδειγμα Ι(συν.) Στάδιο 3: Πίνακας 1, Συγκριση υποδειγμάτων εντος δείγματος βάσει των RMSE, MAPE, BICκριτηρίων Μέτρα ARIMA(0, 1, 3) ARIMA(2, 1, 1) ARIMA(2, 1, 3) RMSE 0,623 0,665 0,621 MAPE 3,367 3,763 3,652 BIC -0,904-0,643-0,693

68 Παράδειγμα Ι(συν.) Στάδιο 3: Πίνακας 2, Συγκριση προβλεπτικής ικανότητας υποδειγμάτων βάσει των MSE, MAE, MAPEκριτηρίων Μέτρα ARIMA(0, 1, 3) ARIMA(2, 1, 1) ARIMA(2, 1, 3) MAE 2,742 3,340 2,322 MSE 6,428 13,380 8,853 MAPE 48,087 56,343 39,158

69 Παράδειγμα Ι(συν.) Σχόλια στο Στάδιο 3 1 Στόν Πίνακα 1 συγκριση υποδειγμάτων εντος δείγματος. Το υποδείγμα ARIMA(2, 1, 3)είναιάριστοσύμφωναμετο RMSEκριτήριο,το υποδείγμα ARIMA(0, 1, 3)σύμφωναμετο MSEκριτήριοκαιτο υποδείγμα ARIMA(2, 1, 1) σύμφωνα με το BIC. 2 Στόν Πίνακα 2 συγκρισης υποδειγμάτων βάσει προβλεπτικής ικανότητας βλέπουμεότιτο ARIMA(2, 1, 3)έρχεταιπρώτοστα MAEκαι MAPE κριτήριαενώτο ARIMA(0, 1, 3)στό MSEκριτήριο.

71 Παράδειγμα ΙΙ: Ανάλυση Χρονολογικής Σειράς Αφίξεων Αεροπορικών Επιβατών, δεδομένα: AirPassengers.XLS Βασικός στόχος της Ανάλυση Χρονολογικής Σειράς 1 Πρόβλεψη μελλοντικών τιμών της χρονολογικής σειράς Στάδια επίτευξης στόχου: 1 Βήμα 1: Καθορισμός εκτός δείγματος περιόδου(στο Παράδειγμα Ι ορίζεται η περίοδος: 1/ /1960). 2 Βήμα 2: Ταυτοποίηση μέσω του προσδιορισμού των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης(στάδιο 1, μεθοδολογία Box-Jenkins). 3 Βήμα 3: Εκτίμηση υποδείγματων ARIMA και SARIMA εντός δείγματος (Στάδιο 2, μεθοδολογία Box-Jenkins) και πρόβλεψη για την εκτός δείγματος περίοδο. 4 Βήμα4:Συγκρισηυποδειγμάτων ARIMAκαι SARIMAωςπροςταεντός και εκτός δείγματος μέτρα(σύγκριση προβλεπτική ικανότητα των υποδειγμάτων)(στάδιο 3, μεθοδολογία Box-Jenkins). βεαμερ-τυ-λογ

72 Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Στάδιο 1: Προσδιορισμο ς των συναρτήσεων ACF

73 Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Στάδιο 1: Προσδιορισμός των συναρτήσεων ACF-πίνακας

74 Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Στάδιο 1: Προσδιορισμός των συναρτήσεων PACF

75 Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Πίνακας X 2 κατανομής

76 Παράδειγμα Ι(συν.) Σχόλιαστις ACFκαι PACF 1 Στο διάγραμμα της ACF και PACF αναφέρεται στη στάσιμη πρώτη διαφορά της σειράς. Η υψηλότερη τιμή των ACF και PACF εμφανίζεται στη δωδέκατη υστέρηση. Επίσης, εμφανίζει υψηλή στατιστική σημαντικότητα(acf και PACF σε υψηλότερα επίπεδα από τη γραμμή σημαντικότητας). 2 Ηπρώτηυστέρησηεμφανίσημικρότερη ACFκαι PACFαπότηδωδεκάτη υστέρηση πλήν όμως με στατιστική σημαντικότητα. 3 Για τη διαπίστωση ύπαρξης Στατιστικής σημαντικότητας των ACF συγκρίνουμε την τιμή Box-Ljung του ανωτέρου πίνακα με τις αντίστοιχες τιμέςγια 5%ποσοστόσφάλματος(χ 2 0,05). Ετσι,έχουμεστατιστικά σημαντικηυστέρησηπρώτουβαθμου 4, 754 > 3, 841 = χ 2 1,5%,δεύτερου βαθμού 6, 937 > 5, 991 = χ 2 2,5%,τρίτουβαθμου 10, 177 > 7, 815 = χ 2 3,5%,κ.ο.κ.

77 Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Στάδιο2:Εκτίμησηυποδείγματος SARIMA(1, 1, 1)(0, 0, 0) 12 (Ι)-εκτίμηση

78 Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Στάδιο 2: Εκτίμηση υποδείγματος Ι-αυτοσυσχέτιση καταλοίπων

79 Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Στάδιο 2: Εκτίμηση υποδείγματος Ι-αυτοσυσχέτιση καταλοίπων-στατιστικά

80 Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Στάδιο 3: Εκτίμηση υποδείγματος Ι-εκτίμηση

81 Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Στάδιο 3: Εκτίμηση υποδείγματος Ι MSE, MAE, MAPE Πρόβλεψης

82 Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Στάδιο2:Εκτίμησηυποδείγματος SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1) 12 (ΙΙ)-εκτίμηση

83 Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Στάδιο 2: Εκτίμηση υποδείγματος ΙΙ-αυτοσυσχέτιση καταλοίπων

84 Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Στάδιο 2: Εκτίμηση υποδείγματος ΙΙ-αυτοσυσχέτιση καταλοίπων-στατιστικά

85 Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Στάδιο 3: Εκτίμηση υποδείγματος ΙΙ-εκτίμηση

86 Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Στάδιο 3: Εκτίμηση υποδείγματος ΙΙ MSE, MAE, MAPE Πρόβλεψης

87 Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Στάδιο2:Εκτίμησηυποδείγματος SARIMA(1, 1, 1)(1, 1, 1) 12 (ΙΙΙ)-εκτίμηση

88 Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Στάδιο 2: Εκτίμηση υποδείγματος ΙΙΙ-αυτοσυσχέτιση καταλοίπων

89 Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Στάδιο 2: Εκτίμηση υποδείγματος ΙΙΙ-αυτοσυσχέτιση καταλοίπων-στατιστικά

90 Παράδειγμα Ι(συν.) Στάδιο 3: Εκτίμηση υποδείγματος ΙΙΙ-εκτίμηση

91 Παράδειγμα Ι(συν.) Στάδιο3:Εκτίμησηυποδείγματων SARIMA(1, 1, 1)(1, 1, 1) 12 MSE, MAE, MAPE Πρόβλεψης

92 Παράδειγμα Ι(συν.) Στάδιο 3: Πίνακας 1, Συγκριση υποδειγμάτων εντος δείγματος βάσει των RMSE, MAPE, BICκριτηρίων Μέτρα Υποδείγμα Ι Υποδείγμα ΙΙ Υποδείγμα ΙΙΙ RMSE 0,044 0,016 0,017 MAPE 1,594 0,535 0,535 BIC -6,117-8,155-7,992

93 Παράδειγμα Ι(συν.) Στάδιο 3: Πίνακας 2, Συγκριση προβλεπτικής ικανότητας υποδειγμάτων βάσει των MSE, MAE, MAPEκριτηρίων Μέτρα Υποδείγμα Ι Υποδείγμα ΙΙ Υποδείγμα ΙΙΙ MAE 0,0526 0,0123 0,0110 MSE 0,0047 0,0001 0,0002 MAPE 1,9404 0,4622 0,4122

94 Παράδειγμα Ι(συν.) Σχόλια στο Στάδιο 2 1 Στα διαγράμματα εκτίμησης-πρόβλεψης παρατηρούμε τα εξής: Το Υποδείγμα Ι αποτυγχάνει να ενσωματώσει την εποχικότητα των δεδομένων, υπο-εκτιμώντας τις μέγιστες και υπερ-εκτιμώντας τις ελάχιστες τιμές. Επίσης, τα διαστήματα εμπιστοσύνης των προβλέψεων αν και περιλαμβάνουν τις παρατηρήσεις, έχουν μεγάλη διακύμανση. Τα υποδείγματα ΙΙ και ΙΙΙ έχουν σχεδόν άριστη ενσωμάτωση-πρόβλεψη. 2 Στα κατάλοιπα των υποδειγμάτων παρατηρούμε τα εξής: Το Υποδείγμα Ι τα κατάλοιπα εμφανίζουν υψηλή αυτοσυσχέτιση από την τέταρτη υστέρηση. Αυτό φανερώνει και το μέτρο Box-Ljung Q 133, 4 > 26, 296 = χ 2 16,5%.Στοναντόποδαβρίσκονταιτα υποδείγματαιικαιιιιμε Q 10, 915και Q 10, 225 < 23, 685 = χ 2 14,5% αντίστοιχα.

95 Παράδειγμα Ι(συν.) Σχόλια στο Στάδιο 3 1 Στόν Πίνακα 1 συγκριση υποδειγμάτων εντος δείγματος, βλέπουμε το Υποδείγμα ΙΙ να επιτυγχάνει καλύτερη ενσωμάτωση εντός δείγματος βάσει των RMSE και MAPE κριτηρίων. Η επικράτηση του είναι πιο εμφανή βάσει του BIC κριτηρίου μιας και αυτό λαμβάνει υπ οψιν και τον αριθμό των προς εκτίμηση παραμέτρων. 2 Στόν Πίνακα 2 συγκρισης υποδειγμάτων βάσει προβλεπτικής ικανότητας βλέπουμεότιτουποδείγμαιιιέρχεταιπρώτοστα MAEκαι MAPE κριτήρια ενώ το Υποδείγμα ΙΙ στό MSE κριτήριο.

97 Βιβλιογραφία Ε. Μπόρα και Ξ. Μωυσιάδη. Εφαρμοσμένη Στατιστική. Ζήτη, Θεσσαλονίκη Σ.Π. Δημέλη Σύγχρονες Μέθοδοι Ανάλυσης Χρονολογικών Σειρών. Μπένου, Αθήνα Makridakis, S., Wheelwright, S.C., Hyndman, R.D.. Forecasing: methods and applications. 3rd ed. Wiley: NY 1998.