Γραμμική Διαφορική Εξίσωση 2 ου βαθμού

Transcript

1 //04 Γραμμική Διαφορική Εξίσωση ου βαθμού, με τη βοήθεια του αορίστου ολοκληρώματος, της χρήσιμης γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτου βαθμού af ( ) f ( ) cf ( ) g( ), ac,, σταθεροί πραγματικοί αριθμοί με a 0 Στην πρώτη παράγραφο μελετάται η περίπτωση a 0 και στη δεύτερη η περίπτωση Για να προκύψουν οι μορφές που μελετώνται, στην διαιρούμε με όταν a 0 a 0 και στη με a. όταν a 0. Γραμμική διαφορική εξίσωση ης τάξης (πρώτου βαθμού με σταθερούς συντελεστές). Κάθε διαφορική εξίσωση που μπορεί να πάρει τη μορφή f ( ) af ( ) g( ) Πολλαπλασιάζοντας με e e f ( ) e g( )d έχουμε: e f ( ) ae f ( ) e g( ) ( ) ( ) ( ) e f e g d f e e g( ) d., h( ) d H() c, έτσι ώστε c κάποια σταθερά και H( ) h( ) Περιπτώσεις Αν g() ke έχουμε τη διαφορική εξίσωση f ( ) af ( ) ke (.) με γενική λύση k f ( ) e ce a Αν g ( ) 0 έχουμε την ομογενή διαφορική εξίσωση f ( ) af ( ) 0 (.3) με γενική λύση f ( ) ce Αν g() k έχουμε τη διαφορική εξίσωση f ( ) af ( ) k (.4) με γενική λύση k f ( ) ce a

2 //04. Γραμμική διαφορική εξίσωση ης τάξης (πρώτου βαθμού με σταθερούς συντελεστές). Κάθε διαφορική εξίσωση που μπορεί να πάρει τη μορφή f ( ) f ( ) af ( ) g( ).. Η εξίσωση f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) η τελευταία είναι στη μορφή (.3), με f f ce η οποία είναι στη μορφή (.) a, k c,, οπότε η γενική της λύση είναι a, οπότε ( )( ) f ( ) Ae Be, με ABανεξάρτητες, σταθερές., με. Η εξίσωση f x f x ( ) ( ), 0 Αν g() f x τότε g ( ) f f g( ) οπότε είμαστε στην περίπτωση. και x x x συνεπώς g() Ae Be δηλαδή f Ae Be και για x x f ( ) Ae Be x : x.3 Η εξίσωση f x f x ( ) ( ), 0 Είμαστε στην περίπτωση. με ix x : xi, i οπότε f ( ) ae e ix i Από τον τύπο του Euler e cos isin προκύπτει η γενική λύση f ( ) Asin( x) Bcos( x) Αυτή η λύση μπορεί να πάρει τη μορφή f ( ) C sin( x ), με C A B, sin B A, cos A B A B

3 //04 Ένας διαφορετικός τρόπος επίλυσης της f ( ) x f ( ), x 0 είναι ο παρακάτω: Επιλύουμε πρώτα την f ( ) f ( ) : f ( ) f ( ) sin f ( ) sin f ( ) sin f ( ) cos f ( ) cos f ( ) sin f ( ) sin f ( ) cos f ( ) sin f ( ) cos f ( ) B sin f ( ) cos f ( ) B () Με τον ίδιο τρόπο cos f ( ) cos f ( ) cos f ( ) sin f ( ) sin f ( ) cos f ( ) cos f ( ) sin f ( )... cos f ( ) sin f ( ) A () Πολλαπλασιάζοντας την () με cos και τη () με sin f ( ) Asin( ) Bcos( ) και προσθέτοντας προκύπτει: Για την f ( ) x f ( ), x 0 θεωρούμε τη συνάρτηση g() f x προηγούμενο. Τελικά θα προκύψει η f ( ) Asin( x) Bcos( x) και εφαρμόζουμε το.4 Η (ομογενής) εξίσωση f ( ) f ( ) af ( ) 0.4 Έστω η, (χαρακτηριστική της διαφορικής),εξίσωση: x x a 0 Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις: η εξίσωση έχει δύο πραγματικές διαφορετικές ρίζες της p, p τότε: p p και pp a Η εξίσωση γίνεται (.3) (.) p p p f ce ) Be f ( ) p f ( ) p f ( ) p f ( ) 0 f ( ) p ( ) f ( Ae (.4.) η εξίσωση έχει ίσες ρίζες p p p με τον ίδιο τρόπο προκύπτει η γενική λύση: p (.4. f () A B e ) η εξίσωση έχει δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες της p, p τότε: p k xi, p k xi οπότε k ix ix με τον ίδιο τρόπο η γενική λύση της διαφορικής θα είναι: f ( ) e ae e k (από.3), f e A x B x ή ( ) sin ( ) cos( ) (.4.) 3 k f ( ) C e sin( x ), με C A B, sin Άρα, B A, cos A B A B 3

4 //04.5 Η εξίσωση f ( ) f ( ) af ( ) g( ).5 Έστω η εξίσωση: p p και x x a 0 Αυτή έχει, στο σύνολο των μιγαδικών, δύο ρίζες της p p a p, p τότε: Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία της στη.4 και θεωρώντας ότι: h( ) d H() c, έτσι ώστε c κάποια σταθερά και H ( ) h( ).5, μπορούμε να πάρουμε τη γενική λύση της p p ( ) p p f e e e e g( ) d d (.5. ) Έτσι η επίλυση της διαφορικής ανάγεται στον υπολογισμό των αορίστων ολοκληρωμάτων της.5. Εύκολα μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι για.5. στην προκύπτουν οι περιπτώσεις της.4 g ( ) 0 και με υπολογισμό των ολοκληρωμάτων Μερικά ολοκληρώματα εφαρμογών ad a c ae d ae c f gd f g f gd (Ολοκλήρωση κατά παράγοντες) e e a e a e a e e d d e () d e d ae c e e a e a I e sin( ) d sin( ) d sin( ) e (sin ) d sin( ) e cos d e a e a e sin a cos sin( ) cos( ) e (cos ) d a I e sin a cos I e sin( ) d a Ομοίως c e cos asin J e cos( ) d c a 4

5 //04 Σημείωση: Η διαφορική και ρίζα την p a f ( ) af ( ) g( ) η οποία έχει χαρακτηριστική εξίσωση έχει λύση την ( ) p p f e e g( ) d xa0 Ανακεφαλαιώνοντας Διαφορική εξίσωση (Δ. ε.) f ( ) af ( ) g( ) Χαρακτηριστική εξίσωση (Χ. ε.) xa0 Ρίζες Χ. ε. p Γενική Λύση Δ. ε. f ( ) ( p p e e g ) d f ( ) f ( ) af ( ) g( ) x x a 0 p, p f ( e e g p ) p p p e e ( ) d d h( ) d H() c, έτσι ώστε c κάποια σταθερά και H( ) h( ) Εφαρμογή. Μάζα m συνδεμένη στο άκρο ελατηρίου k κινείται κατά μήκος του άξονα xx. Στη μάζα ασκείται δύναμη τριβής ανάλογη της ταχύτητάς της. Να βρεθεί η μετατόπιση της μάζας. Απάντηση Έστω f() η μετατόπιση της μάζας. Αυτή θα είναι η γενική λύση της διαφορικής: mf ( ) kf ( ) nf ( ) η οποία είναι ισοδύναμη με την f ( ) f ( ) af ( ) g( ), με n k, a, g( ) 0 m m. Άρα c f () e e e e 0d d e e c d e c e c e c e p p p p p p p p p p p p p Γνωρίζοντας της συνθήκες του προβλήματος μπορούμε να υπολογίσουμε της ρίζες p, pκαθώς και της σταθερές. Αν οι p, p δεν είναι πραγματικές τότε με τη βοήθεια του τύπου του Euler i e cos isin η μετατόπιση θα πάρει τη μορφή f ( ) Ae d sin Εφαρμογή. Μάζα m συνδεμένη στο άκρο ελατηρίου k κινείται κατά μήκος του άξονα xx. Στη μάζα ασκείται δύναμη τριβής ανάλογη της ταχύτητάς της, καθώς και εξωτερική δύναμη της μορφής F0 sin Να βρεθεί η μετατόπιση της μάζας. Απάντηση Έστω f() η μετατόπιση της μάζας. Αυτή θα είναι η γενική λύση της διαφορικής: mf ( ) kf ( ) nf ( ) F sin, η οποία είναι ισοδύναμη με την 0 5

6 //04 n k F0 f ( ) f ( ) af ( ) g( ), με, a, g( ) sin. m m m p Άρα ( ) p p p f e e g( ) d e e d Για την επίλυσή της θα υπολογίσουμε πρώτα το ολοκλήρωμα. e g( ) d e sind m p p F0 Βρήκαμε παραπάνω ότι 0 e sin a cos e sin( ) d c, οπότε a p p p F0 p p sin cos p e e e g() d e ce m p F p p p pe sin cos ce mp ( ) Οπότε F 0 p p p p p f ( ) e p e sind e cos d c e d mp ( ) Αντικαθιστώντας τα (γνωστά) ολοκληρώματα προκύπτει η λύση: F f ( ) p p sin p p cos Ae B e m 0 ( )( ) ( ) ( ) p p p p A B p p x ax, σταθερές,, οι ρίζες της 0 6