Διάνυσμα μετατόπισης. Στοιχεία Διανυσματικής Ανάλυσης

Transcript

1 Στοιχεία Διανυσματικής νάλυσης Συστήματα Συντεταγμένων (D) Διανυσματικά και αμωτά Μεγέη Πάξεις και ιδιότητες διανυσμάτων Διανυσματικές συνατήσεις Πααγώγιση Διανυσματικών συνατήσεων Ολοκλήωση Διανυσματικών συνατήσεων Θεμελιώδη Θεωήματα Ολοκλήωσης Καμπυλόγαμμα συστήματα συντεταγμένων (3D) Εισαγωγή Χώος ν διαστάσεων: Συνολο σημείων στο καένα απο τα οποία αντστοιχεί μια διατεταγμενη ν-ιάδα αιμών Μονοδιάστατος χώος Διδιάστατος χώος Οίζω σύστημα συντεταγμένων με αχή το σημείο αναοάς Ο και αντιστοιχώ το σημείο με έναν αιμό ` +` Q` (, ) + (`, `)= (+`, +`) Y. =(, ) Οίζω σύστημα συντεταγμένων με αχή το σημείο αναοάς Ο και αντιστοιχώ το σημείο με μια διατεταγμένη διάδα αιμών - τιςποβολέςτου στους αξονες ΟΧ και ΟΥ. X Συστήματα Συντεταγμένων Διάνυσμα Κατεσιανό Οογώνιο Σ.Σ. (,) και πολοειδές Σ.Σ (,) (,) tn = = cos = + = sn Γεωμετικό Διάνυσμα: κατευυνόμενο (ποσανατολισμένο) ευύγαμμο τμήμα Ισότητα ανυσμάτων: Δύο ανύσματα είναι ίσα αν είναι παάλληλα, έχουν την ίδια οά και έχουν ίσα μέτα. ν = τότε = 3 4. = (,, ) Διάνυσμα έσης Διάνυσμα έσης σημείου Ρ: Το κατευυνόμενο ευύγαμμο τμήμα (διάνυσμα) με αχή αυτή του συστήματος συντεταγμένων Ο και πέας το σημείο = = (,, ) = + + = + + Y = (, ) ΔL Διάνυσμα μετατόπισης = (, ) Καώς ένα σωμάτιο κινήται κατά μήκος μίας τυχαίας διαδομής από το σημείο στο, το άνυσμα της μετατόπισης τουδ L αναπαιστάται από ένα βέλος από το σημείο στο σημείο και είναι ανεξάτητο της διαδομής που το σωμάτιο ακολούησε X Ποσοχή: Το διάνυσμα έσης εξατάται από το Σ.Σ., ενώ το διάνυσμα μετατόπισης όχι. Δ L= ( ) + ( ) dl = d+ d 5 6

2 αμωτά και Διανυσματικά Μεγέη Τα υσικά μεγέη τα οποία ποσδιοίζονται πλήως από την αιμητική τιμή τους και την αντίστοιχη μονάδα μέτησης ονομάζονται βαμωτά ή μονόμετα μεγέη. Τα υσικά μεγέη για τον ποσδιοισμό των οποίων απαιτείται και η γνώση της κατεύυνσης τους ονομάζονται διανυσματικά ή ανυσματικά μεγέη. (Το μέτο του διανύσματος εκάζει την ένταση του μεγέους.) Πααδείγματα βαμωτών μεγεών: Ημάζαm, η εμοκασία Τ, οόγκοςv Πααδείγματα διανυσματικών μεγεών: ΗταχύτηταV, η μετατόπιση ΔL, ηδύναμηf, η επιτάγχυνση κτλ. Τα ανυσματικά μεγέη συνήως αναπαιστώνται είτε με έντονους χαακτήες ήμεέναβέλος. Το μέτο του διανύσματος αναπαιστάται ώς ήως, 7 8 Πάξεις με Διανύσματα Πόσεση δύο διανυσμάτων Πολλαπλασιασμός με ένα βαμωτό Εσωτεικό γινόμενο δύο διανυσμάτων Εξωτεικό γινόμενο δύο διανυσμάτων Γ=+ Ιδιότητες πόσεσης ανυσμάτων Γ Mεταετική Ιδιότητα: Ποσεταιιστική Ιδιότητα: + = + ( + ) + Γ = + ( + Γ) = ( + ) = + Πολλαπλασιασμός Διανύσματος με βαμωτό: Επιμ ειστική Ι διότητα : Mηδενικό διάνυσμα: 0=0 +0= + (-) =0 αίεση διανυσμάτων: = Mεταετική Ιδιότητα: Ποσεταιιστική Ιδιότη τα: +(+) + + = + ( + ) + = + ( + ) (+)+ + +=+ Εσωτεικό (βαμωτό) γινόμενο διανυσμάτων Το εσωτεικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ένα βαμωτό μέγεος και οίζεται από την = cos όπου είναι η γωνία που σχηματίζουν τα και αν ενωούν οι ουές τους. = cos αίεση διανυσμάτω ν: = Ιδιότητες = = = ( +) = + ν τότε = 0 cos Εσωτεικό γινόμενο: Γεωμετικά είναι το γινόμενο του επί το μήκος της ποβολής του στον άξονα του

3 Nόμος συνημιτονων = = = = + = + cos Νόμος συνημιτόνων Εξωτεικό (διανυσματικό) γινόμενο Ώς εξωτεικό γινόμενο του ανύσματος με το άνυσμα οίζεται ένα νέο ανυσμά = το οποίο έχει μέτο = sn, διεύυνση κάετη στο επίπεδο που οίζουν τα και, και οά τέτοια ώστε τα,, να οίζουν δεξιόστοο σύστημα. Δεξιόστοο σύστημα: Οίζεται με τον κανόνα του δεξιού χειού Ποσανατολίζω τον δεξιό αντίχεια με το Ποσανατολίζω τον δεξιό δείκτη με το Ο δεξιός μέσος δάκτυλος δείχνει την οά του ώστε τα,, να οίζουν δεξιόστοο σύστημα Εξωτεικό γινόμενο: Γεωμετικά το είναι το εμβαδόν ενός πααλληλογάμου με πλευές τα και 3 4 Πόσεση ανυσμάτων Το άοισμα δύο ανύσματων, ποκύπτει τοποετώντας διαδοχικά τα ανύσματα, έτσι ώστε το τέλος του να συμπίπτει με την αχή του και οίζεται ως ένα νέο άνυσμα Γ=+ το οποίο έχει σημείο αχής αυτό του και πέας αυτό του. Γ=+ Ιδιότητες εξωτεικού γινομένου = ν τότε = 0 = 0 ν τότε = = ( +) = + Πολλαπλασιασμός ανυσμάτος με βαμωτό To γινόμενο =α ενός παγματικού αιμού α με ένα άνυσμα οίζεται ώς ένα νέο άνυσμα παάλληλο με το, με μέτο = α και οά ίδια με του αν α>0 ή αντίετη με του αν α<0. (-) = - =(-3) = -3 Τιπλά Γινόμενα ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) 5 6 Διανυσματική άλγεβα υπό μοή συνιστωσών Πόσεση = + = = ( ) ( ) ( ) = + + Πολ/μός με βαμωτό = + + = Διανυσματική άλγεβα υπό μοή συνιστωσών Εσωτεικό γινόμενο = = =, = = = 0 = = + + Εξωτεικό γινόμενο = ( ) ( ) + ( ) = = =0 = = + = = = = = = 8

4 αμωτά και διανυσματικά πεδία Μια βαμωτή συνάτηση του χώου () που λαμβάνει σε κάε σημείο του χώου = (,, ) συγκεκιμένες τιμές, ονομάζεται βαμωτό πεδίο. Σε κάε σημείο του χώου αντιστοιχώ μια τιμή ( ) Μια διανυσματική συνάτηση του χώου, π.χ. =,, που λαμβάνει σε κάε σημείο του χώου = (,, ) συγκεκιμένες τιμές, ονομάζεται διανυσματικό πεδίο. Σε κάε σημείο του χώου αντιστοιχώ ένα άνυσμα.u. Επιτάχυνση βαυτικού πεδίου M M g = G = G = GM 3 = GM + 3/ 3/ ( + ) ( + ).u. 9 0 Πεδίο ταχύτητας οής ευστού V = Ve 0 Ισοσταμική επιάνεια Ισοσταμική επιάνεια/καμπύλη: Ηεπιάνεια/καμπύλη στο χώο τα σημεία της οποίας χαακτηίζονται από την ίδια αιμητική τιμή για ένα βαμωτό μέγεος, δηλ. ={ }, n : = β = στα. (π.χ. ισοϋψείς σε γεωγαικούς χάτες, ισοβαείς σε μετεεωλογικούς χάτες.) (m) V (m/sec) (m) (m) Δυναμική γαμμή Δυναμικές γαμμές (διανυσματικού πεδίου): Οι γαμμές που έχουν την ιδιότητα το διάνυσμα του πεδίου να εάπτεται σε κάε σημείο τους. V = V 0 V = V0 + gt = V0 g V 0 V V Διαοικός Λογισμός Ηπαάγωγοςdf/d μιας συνατησης f() εκάζει τον παάγοντα αναλογίας με τον οποίο μεταβάλλεται η συνατηση f() όταν αλλάζουμε τη μεταβλητή, κατά ένα στοιχειώδες ποσό d. df df = d d Το df ονομάζεται διαοικό της f f Δf Δ Γεωμετική εμηνεία: Ηπαάγωγοςdf/d μιας συνατησης δίνει την κλίση της καμπύλης f() Η πυκνότητα των δυναμικών γαμμών είναι ανάλογη της έντασης του πεδίου 3 4

5 Διαοικό συνάτησης ν οι μεταβλητές μιας βαμωτής συνάτησης f(,,, t) μεταβληούν κατά τις ελάχιστες ποσότητες d, d, d, dt, η τιμή της συνάτησης α μεταβληεί κατά την ποσότητα df, η οποία καλείται διαοικό της f f f f f df = d + d + d + dt t f : είναι η μεική παάγωγος της f ως πος α και εκάζει τον υμό α μεταβολής της f ως πος α, όταν οι άλλες μεταβλητές πααμενουν σταεές. [ ν u= f + g έπεται ότι α ισχύει du= df + dg ] Διαοικό διανυσματικής συνάτησης Μία ανυσματική συνάτηση μποεί να γαεί ως το διανυσματικό άοισμα των συνιστωσών της F(,, ) = F(,, ) + F(,, ) + F(,, ) H έννοια του διαοικού μποεί να επεκταεί στις ανυσματικές συνατήσεις (δεδομένου ότι τα,, πααμένουν σταεά) με τον οισμό: ) d F(,, = df+ df + df π.χ. για το διάνυσμα έσης = + + ο οισμός δίνει: d = dl= d+ d+ d, το στοιχειώδες άνυσμα μετατόπισης. 5 6 Πααγώγιση ανυσματικών συνατήσεων Η παάγωγος μιας ανυσματικής συνάτησης F( t,,, ), ως πος μία μεταβλητή της συνάτησης α = t,,, μποεί να γαεί d F df df df = + + dα π. χ. η παάγωγος του ανύσματος έσης (,, ), ως πος τον χόνο t είναι το άνυσμα της ταχύτητας d d d d V = = + + = V + V + V dt dt dt dt Μεικές ιδίοτητες... d( gf ) dg df Κανόνας αλυσίδας για βαμωτές συνατήσεις: = f + g d( gf) dg df = F + g d ( GF ) dg df = F+ G d ( G F) dg df = F+ G 7 8 Κλίση βαμωτού πεδίου Το διαοικό d μιας βαμωτής συνάτησης (,, ) είναι d = d+ d+ d Παατηούμε ότι μποεί να γαεί ως το εσωτεικό γινόμενο d = d όπου d = d+ d+ d και το ανύσμα δίνεται από + + : κλίση βαμωτού πεδίου Η κλίση είναι μια διανυσματική ποσότητα και αποτελεί γενίκευση της πααγώγου. gd = + + : Κλίση βαμωτού πεδίου Η κλίση δείχνει την κατεύυνση της μέγιστης αυξησης της συνάτησης Το μέ το Κλίση βαμωτού πεδίου δίνει τον υμό αύξησης κατά την κατεύυνση μέγιστης αύξησης 9 30

6 Ο ανυσματικός διαοικός τελεστής = + + = gd = + + : κλίση βαμωτού πεδίου F F F F= dv F= + + : απόκλιση διανυσματικού πεδίου F= cul F= : F F F στοβιλισμός διανυσματικού πεδίου 3 πόκλιση διανυσματικής συνάτησης F F F F= dv F= F F + F = + + Η απόκλιση διανύσματος είναι ένα βαμωτό μέγεος που μας δίνει κατά πόσο το δίανυσμα F αποκλίνει («απλώνεται») F = = + + F = 4 F = 3 F = 0 3 Στοβιλισμός διανυσματικής συνάτησης F F F F F F F= culf= = + + F F F F= + F= Ο στοβιλισμός του διανύσματος F εκάζει το κατά πόσο το διάνυσμα F πειστέεται (στοβιλίζεται) γύω από το σημείο που υπολογίζεται F Διανυσματικές ταυτότητες Κανόνες πόσεσης Κανόνες γινομένων ( f + g) = f + g ( fg) = g f + f g ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( + ) = + ( f) = f ( ) + f ( + ) = + ( ) = ( ) ( ) ( f ) = f ( f) = f ( ) f = ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) = Δεύτεοι παάγωγοι Τιπλά γινόμενα ( ) = 0 ( ) = ( ) = ( ) ( f ) = 0 ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) Γενίκευση οισμένου ολοκλήωματος σε πεισσότεες μεταβλητες: = b = d = g f (,, ) ddd = g = d = b f (,, ) d d d, = = c = = e = e = c = ν οι μεταβλητές του ολοκληώματος (,, ) αντιστοιχούν σε κατεσιανές συντεταγμένες, τότε το ολοκλήωμα μποεί να εωηεί ότι παγματοποιείται μέσα σε όγκο V = b- d c g e που πειβάλλεται από κάποια επιάνεια S που οίζεται από κάποια εξίσωση w (,, ) = 0. = g = d = b(, ) fdv = f (,, ) ddd f (,, ) d V = V d d = e = c = (, ) Γενίκευση στην πείπτωση ανυσματικών συνατήσεων F(,,, ) = F + F + F: FdV = FdV + FdV + FdV V Fd = ( ) ( ) ( V V V ) ( Fd ) + ( ) ( Fd + Fd ) Θεμελιώδες εώημα ανάλυσης: f b df f(b) d = f ( b ) d f f() b, df F d = f b f = F d b Για να ολοκληώσω την F πέπει να βω f: df = F d Το ολοκλήωμα μιας πααγώγου σε κάποιο διάστημα υπολογίζεται από τις τιμές της συνάτησης στα άκα (σύνοα) του διαστήματος 35 36

7 Θεμελιώδες εώημα για τις κλίσεις b Θεώημα της απόκλισης (εώημα Guss, εώημα Geen) Τ(,, ): αμωτή συνάτηση d l (,, ) bb (, b, b) Το διαοικό της Τ για στοιχειώδη μετατόπιση dl δίνεται από dt = ( T ) dl Η συνολική μεταβολή της Τ κατά την μετάβαση από το α στο b κατά μήκος της επιλεγόμενης διαδομής είναι b ( T) dl = T( b) T Το επικαμπύλιο ολοκλήωμα της κλίσης μια συνάτησης δίνεται από τις τιμές της συνάτησης στα σύνοα της διαδομής. u(,, ): Διανυσματική συνάτηση u dv = ud ( ) Όγκος Επιάνεια Το χωικό ολοκλήωμα της απόκλισης μιας διανυσματικής συνάτησης σε μία πειοχή, ισούται με το επιανειακό ολοκλήωμα της συνάτησης στην επιάνεια που πειβάλλει την πειοχή. Όγκος (Πηγές - Καταβόες πειοχής) = Επιάνεια (Συνολική Ροή από την συνοιακή επιάνεια) * Η τιμή του ολοκληώματος είναι ανεξάτητη της διαδομής * T d l = 0 37 F = = + + F = = F = 3 F = 0 38 Θεώημα στοβιλισμού (εώημα Stoes) Θεμελιώδη Θεωήματα - με απλά λόγια... v(,, ): Διανυσματική συνάτηση Επιάνεια v d= vdl Το επιανειακό ολοκλήωμα του στοβιλισμού μιας διανυσματικής συνάτησης, ισούται με το επικαμπύλιο ολοκλήωμα της συνάτησης Συνοιακή Γαμμή στην συνοιακή γαμμή που πεικλειεί την πειοχή. Εμηνεία: 39 επικαμπύλιο κλίση βαμωτής συνάτησης Το χωικό ολοκλήωμα μιας πααγώγου απόκλιση διανυσματικής συνάτησης επιανειακό στοβιλισμός διανυσματικής συνάτησης διαδομή πάνω σε κάποια πειοχή όγκος δίνεται από τις τιμές της συνάτησης στα σύνοα. επιάνεια b ( T) d l = T( b) T ( u) dv = ud Όκ γ ος Επιάνεια ( ) d = d v v l Επιάνεια Συνοιακή Γαμμή 40 Σαιικές συντεταγμένες Κυλινδικές συντεταγμένες 0 <, 0 π, 0 π = sn cos, = snsn, = cos = + + dl = d dl = d dl = snd d d 0 <, -, 0 π = cos, = sn, = = + + dl = d dl = d dl = d sn d snd dl= d+ d + snd dl= d+ d + d 4 4

8 Ποσοχή! Να δειχεί ότι στις κυλινδικές συντεταγμένες ισχύει: f f f f = + + () f f f f f f Γνωίζουμε ότι f = + + (Εξ. ). Θα εκάσουμε τις μεικές πααγώγου ς,, και τα μοναδιαία f f f (,, ),, (,, ) διανύσματα συνατήσει των και λαμβάνοντας υπόψι ν (,, ) = ( cos, sn, ). Σε αντίεση με τις κατεσιανές συντεταγμένες, η διεύυνση των μοναδιαίων διανυσμάτων στις καμπυλόγαμμες συντεταγμένες ΛΛΖΕΙ ανάλογα με το διάνυσμα έσης. Για αυτό το λόγο έλει ιδιαίτεη ποσοχή όταν χησιμοποιούμε διαοικούς τελεστές! + = = cos+ sn + + = = sn+ cos + = = cos sn = sn+ cos = (3) (,,) f f f f f f f f sn f = + + = cos + sn, = cos, f f f f f cos f =... = sn + cos = sn + f f f f = = (4) 43 ντικαιστώντας τις Εξ.(3,4) στην () και μετα από απλές πάξεις καταλήγουμε στην (). 44 Κατεσιανές Κυλινδικές Σαιικές (,,) ( cos, sn, ) ( sncos, snsn, cos ) f f f f f f f f f f sn ( ) ( ) ( sn ) sn sn sn + + sn ( ) + + sn ( ) ( ) + + f f f f f f f f f f + + sn sn sn 45 Κατεσιανες Κυλινδικές Σαιικές < < + < < + < < + (,,) 0 < 0 π 0 π = sn cos = sn sn = cos 0 < 0 π 0 π = sn cos = sn sn = cos 46 47