1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση"

Transcript

1 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά 1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση Πολλοί επιστημονικοί κλάδοι, στην προσπάθειά τους να επιλύσουν πρακτικά προβλήματα κάνουν χρήση μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης. Οι μέθοδοι αυτές χρησιμοποιούνται πλέον ευρέως λόγω των υπολογιστών και των κινητών συσκευών. Τα επιστημονικά προβλήματα αυτά ανάγονται σε μαθηματικά προβλήματα, των ο- ποίων αναζητείται η λύση. Για παράδειγμα, ένα πρόβλημα μπορεί να αναχθεί στην επίλυση μιας μαθηματικής εξίσωσης. Ωστόσο, ορισμένες εξισώσεις είναι δύσκολο ή δεν μπορούν να υπολογιστούν αναλυτικά. Πιο συγκεκριμένα, η x 5 x 1 = 0 είναι μια πολυωνυμική εξίσωση, η οποία δεν μπορεί να επιλυθεί με αναλυτικές μεθόδους. Το ίδιο συμβαίνει με ορισμένα ολοκληρώματα όπως το e x2 dx. Στις περιπτώσεις αυτές χρη- 2 1 σιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι για την εύρεση προσεγγιστικών λύσεων. Η Αριθμητική Ανάλυση έρχεται να συνεισφέρει σε αυτά και σε άλλα μαθηματικά προβλήματα, ώστε να προσδιοριστούν μέθοδοι που παρέχουν προσεγγιστικές λύσεις. Η Αριθμητική Ανάλυση παρέχει μεθόδους για τον προσδιορισμό προσεγγιστικών λύσεων σε μαθηματικά προβλήματα τα οποία, είτε είναι δύσκολο, είτε είναι αδύνατον να επιλυθούν με αναλυτικές μεθόδους. Μία μέθοδος για την εύρεση της προσεγγιστικής τιμής της τετραγωνικής ρίζας του 23 μπορεί να υλοποιηθεί με μία αλγοριθμική διαδικασία και χωρίς τη χρήση αριθ-

2 16 Εφαρμοσμένη Αριθμητική Ανάλυση μομηχανής. Ωστόσο είναι μία διαδικασία που απαιτεί αρκετούς υπολογισμούς και κατά συνέπεια σημαντικό χρόνο. Με τη χρήση υπολογιστή μπορεί να επιτευχθεί ταχεία λύση του προβλήματος και σημαντική μείωση των πιθανών λαθών, αρκεί να έχει αναπτυχθεί σωστά ο σχετικός αλγόριθμος. Ένα άλλο παράδειγμα στο οποίο υπάρχει αναλυτική λύση αλλά η εφαρμογή της είναι πρακτικά ανέφικτη, είναι η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 200 εξισώσεων με 200 αγνώστους. Και εδώ η χρήση του υπολογιστή καθίσταται πρακτικά υποχρεωτική. Συνεπώς με τη χρήση της Αριθμητικής Ανάλυσης και του υπολογιστή η επίλυση επιτυγχάνεται πολύ πιο σύντομα (αρκεί να έχει αναπτυχθεί σε κάποια γλώσσα προγραμματισμού ο σχετικός αλγόριθμος και να έχει δημιουργηθεί το αντίστοιχο πρόγραμμα). Η Αριθμητική Ανάλυση δίνει τη δυνατότητα χρήσης του υπολογιστή για την επίλυση προβλημάτων. Η μελέτη μιας υπερβατικής ή (και) λογαριθμικής συνάρτησης μπορεί ν αναχθεί στη μελέτη μιας πολυωνυμικής συνάρτησης, η οποία προσεγγίζει αποδεκτά την αρχική συνάρτηση. Έτσι, ένα πρόβλημα που έχει μία πολύπλοκη μορφή, η οποία δεν επιτρέπει τη μελέτη του, μπορεί ν αλλάξει σε κάποια άλλη μορφή, η οποία μπορεί να μελετηθεί ευκολότερα. Η Αριθμητική Ανάλυση παρέχει τη δυνατότητα μετατροπής ενός μαθηματικού προβλήματος σε ένα άλλο, το οποίο επιλύεται ευκολότερα. Στην έρευνα και σε ένα πλήθος πειραμάτων συγκεντρώνονται αποτελέσματα από τα παρεχόμενα δεδομένα. Για παράδειγμα, σε κάποιο πείραμα δίνοντας τις τιμές x 1, x 2, x 3, x 4, παράγονται τ αποτελέσματα y 1, y 2, y 3, y 4, αγνοώντας τη μαθηματική σχέση, η οποία συνδέει το x με το y. Συχνά οι μετρήσεις ή τα αποτελέσματα δεν συνδέονται μεταξύ τους με κάποια γνωστή μαθηματική έκφραση. Αποτελούν διακεκριμένα σημεία τα οποία όμως δεν επιτρέπουν τη μελέτη της συνεχούς εξέλιξής τους. Με την Αριθμητική Ανάλυση είναι δυνατή η εύρεση μιας αποδεκτής μαθηματικής έκφρασης ή σχέσης της μορφής y = f(x), ξεκινώντας από τα υπάρχοντα αποτελέσματα, η οποία επιτρέπει τον υπολογισμό του y για κάθε x, χωρίς ν απαιτείται η εκτέλεση του πειράματος για επιπλέον x. Η Αριθμητική Ανάλυση παρέχει τη δυνατότητα εύρεσης κατάλληλου μαθηματικού μοντέλου για την περιγραφή των δεδομένων. Από τα παραπάνω φαίνεται ότι η Αριθμητική Ανάλυση στοχεύει στην παροχή εύχρηστων εργαλείων στο χρήστη ώστε να επιλέγει και να χρησιμοποιεί κατάλληλους αλγορίθμους για την επίλυση προβλημάτων. Στη συνέχεια του βιβλίου θα αναδειχτεί ότι η Αριθμητική Ανάλυση συνδέεται με: την αλγοριθμική,

3 1ο Κεφάλαιο: Εισαγωγικά 17 τη χρήση των υπολογιστών και άρα την αριθμητική των υπολογιστών, την προσέγγιση και τα πιθανά σφάλματα. 1.2 Πηγές Σφαλμάτων Κατά την εφαρμογή αριθμητικών μεθόδων οι παρεχόμενες λύσεις πλησιάζουν περισσότερο ή λιγότερο καλά τις πραγματικές λύσεις των προβλημάτων. Έτσι, είναι σύνηθες να καταγράφονται σφάλματα, τα οποία οφείλονται σε μια σειρά από παράγοντες, οι βασικότεροι των οποίων περιγράφονται στη συνέχεια. Η απόκλιση της προσεγγιστικής λύσης από την πραγματική (αυτή η οποία θα μπορούσε να υπολογιστεί αναλυτικά) καλείται Σφάλμα (Error). Τα σφάλματα μπορούν να κατηγοριοποιηθούν σε αυτά που οφείλονται: α) στα δεδομένα εισόδου, β) στον υπολογιστή και γ) στην αριθμητική μέθοδο Εισόδου Ορισμένες φορές τα δεδομένα εισόδου για την επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος με αριθμητικές μεθόδους, προκύπτουν από αποτελέσματα μετρήσεων, εκτιμήσεων κ.λπ. τα οποία περιέχουν κάποιο σφάλμα, σφάλμα το οποίο οφείλεται συνήθως στην υποκειμενική επιλογή του ατόμου. Για παράδειγμα, το ίδιο μέγεθος μετρούμενο από διαφορετικά άτομα μπορεί να δώσει διαφορετικές τιμές. Το σφάλμα των δεδομένων εισόδου προκαλεί με τη σειρά του σφάλμα στην τελική λύση. Επιπλέον, σφάλματα εισόδου προκαλούνται και από τον τρόπο καταγραφής των δεδομένων εισόδου με τη χρήση αποκοπής ή στρογγυλοποίησης. Στην περίπτωση αποκοπής των δεκαδικών ψηφίων ενός αριθμού (π.χ. αντί του αριθμού γραφεί ο αριθμός ) εμφανίζεται το Σφάλμα Αποκοπής (Truncation Error). Στην περίπτωση στρογγυλοποίησης ενός αριθμού (π.χ. αντί του αριθμού γραφεί ο αριθμός και αντί του αριθμού γραφεί ο αριθμός ) εμφανίζεται το Σφάλμα Στρογγυλοποίησης (Round off Error). Τα σφάλματα αποκοπής και στρογγυλοποίησης μπορούν να παρουσιαστούν και στα σφάλματα της αριθμητικής των υπολογιστών και στα σφάλματα των αριθμητικών μεθόδων, όπως θα περιγραφούν και θα αναλυθούν στις επόμενες παραγράφους.

4 18 Εφαρμοσμένη Αριθμητική Ανάλυση Αριθμητικής Υπολογιστών Αναφέρθηκε παραπάνω ότι οι αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων εφαρμόζονται με τη βοήθεια των υπολογιστών και άλλων κινητών συσκευών. Η αναπαράσταση των πραγματικών αριθμών στον υπολογιστή δεν είναι πάντα δυνατή, λόγω της πεπερασμένης δυνατότητας αποθήκευσης στη μνήμη του. Οι αριθμοί καταχωρούνται και επεξεργάζονται από τους υπολογιστές και τις άλλες κινητές συσκευές εκφραζόμενοι στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης. Έτσι, ένας πραγματικός αριθμός αναπαρίσταται από έναν αριθμό μηχανής. Ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να επεξεργαστεί ένας υπολογιστής εξαρτάται από το μήκος των Καταχωρητών (Registers) του υπολογιστή. Το μήκος αυτό εξαρτάται από την αρχιτεκτονική του υπολογιστή που μπορεί να είναι 8, 16, 32, 64 bits. Ο υπολογιστής αναπαριστά και αντιμετωπίζει με διαφορετικό τρόπο αριθμούς α- κέραιους, σε σχέση με τους υπόλοιπους πραγματικούς αριθμούς. Αναπαράσταση Ακεραίων Αριθμών (Integer) Αφορά τους ακέραιους αριθμούς οι οποίοι παριστάνονται χωρίς τη χρήση δυνάμεων (π.χ. 1550). Για την κατανόηση των γραφομένων, ας υποτεθεί ότι ο καταχωρητής έχει μήκος 4 bits. Το πρώτο bit παριστά το πρόσημο του ακέραιου και είναι 0, αν ο ακέραιος είναι θετικός και 1, αν είναι αρνητικός. Το μηδέν αντιστοιχεί στη δυαδική μορφή Ο μεγαλύτερος ακέραιος θα είναι ο I max = = 7 και αντιστοιχεί στη δυαδική μορφή 0111 (στη γενική περίπτωση μήκους ν, ο μέγιστος ακέραιος θα είναι ο I max = 2 ν 1 1, στην περίπτωση των 8 bits θα είναι ο = 127, στην περίπτωση των 16 bits θα είναι ο = κ.λπ.). Οι αρνητικές τιμές παριστάνονται από τα συμπληρώματα ως προς 2 των απόλυτων τιμών τους. Η μικρότερη τιμή του ακέραιου η οποία μπορεί να καταχωρηθεί είναι σε δυαδική μορφή η 1000 και αντιστοιχεί στον ακέραιο I min = 2 3 = 8 (στη γενική περίπτωση μήκους ν, ο ελάχιστος ακέραιος θα είναι ο I min = 2 ν 1, στην περίπτωση των 8 bits θα είναι ο 2 7 = 128, στην περίπτωση των 16 bits θα είναι ο 2 15 = κ.λπ.). Συνεπώς για κάθε υπολογιστή υπάρχει μια μέγιστη και μια ελάχιστη τιμή αποδοχής για τους ακέραιους αριθμούς. Το ερώτημα το οποίο τίθεται είναι το ακόλουθο: «τι θα συμβεί αν ζητηθεί η καταχώρηση ενός ακέραιου αριθμού μεγαλύτερου από το I max ή μικρότερου του I min ;».

5 1ο Κεφάλαιο: Εισαγωγικά 19 Η απάντηση εξαρτάται από τη γλώσσα προγραμματισμού με τη βοήθεια της ο- ποίας γίνεται η επίλυση του προβλήματος. Σε ορισμένες γλώσσες η υπέρβαση των ορίων επισημαίνεται στο χρήστη και η διαδικασία υπολογισμού σταματά, ενώ σε άλλες συμβαίνει το φαινόμενο της Υπερχείλισης (Overflow) το οποίο περιληπτικά έχει ως εξής (θεωρώντας την περίπτωση καταχωρητή 4 bits): Αν η τιμή υπερβεί κατά μια μονάδα το I max (π.χ. τίθεται 8 ενώ I max = 7), τότε θα κρατηθεί το I min (δηλαδή αντί του 8 θα καταχωρηθεί η τιμή 8). Αν η τιμή είναι μικρότερη κατά μια μονάδα από I min (π.χ. τίθεται 9, ενώ I min = 8) τότε θα κρατηθεί το I max (δηλαδή αντί του 9 θα καταχωρηθεί το 7). Αναπαράσταση Πραγματικών Αριθμών (Real) Η αναπαράσταση των ακεραίων αριθμών παρουσιάζει τα εξής μειονεκτήματα: Περιορίζει την ικανότητα υπολογισμού (π.χ. στην καλύτερη περίπτωση καταχωρητή 32 bits ο μέγιστος αριθμός ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί είναι ο = ). Αφορά μόνο ακέραιους αριθμούς. Για την αναπαράσταση πραγματικών αριθμών (real numbers) χρησιμοποιείται μια άλλη μορφή, η οποία χρησιμοποιεί δυνάμεις. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 52 και μπορούν να γραφούν αντίστοιχα 0.52x 10 2 και x10 4. Γενικότερα κάθε αριθμός μπορεί να γραφεί με τη μορφή Μx10^Ε, όπου το Μ α- ποκαλείται μαντίσσα και το E εκθέτης της βάσης του συστήματος αρίθμησης. Η παράσταση αυτή αποκαλείται εκθετική ή επιστημονική μορφή. Για κάθε αριθμό η παράσταση σε αυτή την μορφή δεν είναι μοναδική. Για παράδειγμα οι παραστάσεις 50x10^0, 5x10^1, 0.5x10^2, 0.05x10^3 είναι όλες ισοδύναμες και αντιστοιχούν στον αριθμό 50. Είναι άξιο αναφοράς ότι κάθε φορά που αυξάνεται (μειώνεται) ο εκθέτης κατά 1, η υποδιαστολή στη μαντίσσα μετακινείται μια θέση προς τ αριστερά (δεξιά). Για το λόγο αυτό η αναπαράσταση αυτή αποκαλείται και Κινητής Υποδιαστολής (Floating Point). Από τις (άπειρες) παραστάσεις κινητής υποδιαστολής ενός αριθμού, μία αποκαλείται κανονική. Είναι αυτή της οποίας η μαντίσσα έχει μηδέν ακέραια ψηφία και μετά την υποδιαστολή υπάρχει μη μηδενικό ψηφίο. Για παράδειγμα η κανονική μορφή κινητής υποδιαστολής του αριθμού 50 είναι η 0.5x10^2. Μετά από τα παραπάνω η γενική μορφή ενός αριθμού στο δεκαδικό σύστημα α- ρίθμησης είναι: ±0. α 1 α 2 α ν 10 ±E, ενώ αντίστοιχα στο δυαδικό σύστημα η

6 20 Εφαρμοσμένη Αριθμητική Ανάλυση παράσταση είναι: ±0. α 1 α 2... α i 2^Ε, όπου όμως τα α 1, α 2, είναι δυαδικά ψηφία. Για την αποθήκευση ενός πραγματικού αριθμού στον υπολογιστή αρκεί να αφιερωθούν μερικά bits για τη μαντίσσα και μερικά για τον εκθέτη. Σε μια συνήθη παράσταση αποδίδονται 4 bytes, εκ των οποίων τα 3 για τη μαντίσσα και το ένα για τον εκθέτη, όπως φαίνεται στο σχήμα 1.1. Μαντίσσα ± ± Σχήμα 1.1. Συνήθης Παράσταση Μαντίσσας και Εκθέτη Εκθέτης Σε αυτή την παράσταση η τάξη μεγέθους του αριθμού εξαρτάται από τον εκθέτη. Όπως είδαμε στην αναπαράσταση ακεραίων, ο μεγαλύτερος ακέραιος σε ένα byte είναι ο Όμως ο αριθμός αυτός τώρα είναι εκθέτης και έτσι ο μεγαλύτερος αριθμός κινητής υποδιαστολής είναι της τάξης του 2^127 που κάνει περίπου 10^38. Όπως είναι φανερό, ένας τόσο μεγάλος αριθμός χρειάζεται για να παρασταθεί μέχρι 38 δεκαδικά ψηφία, τα οποία πρέπει να διαθέτει η μαντίσσα. Έτσι το ερώτημα το οποίο τίθεται είναι: «τι θα συμβεί αν ανατεθεί στη μαντίσσα αριθμός με περισσότερα ψηφία απ όσα διαθέτει;» Σ αυτήν την περίπτωση γίνεται στρογγυλοποίηση με αποτέλεσμα τη δημιουργία σφάλματος στη μαντίσσα. Όμως υπάρχει και ο εκθέτης, ο οποίος επιδρά με τη σειρά του στο σφάλμα που δημιουργήθηκε αυξάνοντας ή μειώνοντας το μέγεθός του. Ας υποτεθεί ότι σε κάποιον καταχωρητή του οποίου η μαντίσσα έχει μήκος 4 δεκαδικά ψηφία, ανατίθεται η τιμή Αυτή η τιμή γράφεται ^5. Όμως η μαντίσσα μπορεί να δεχθεί μόνο τέσσερα σημαντικά ψηφία και συνεπώς ο καταχωρητής θα καταχωρήσει τον αριθμό Το σφάλμα που δημιουργείται είναι ( ) 10 5 = ^5 = 5 Στη γενική περίπτωση το απόλυτο σφάλμα της στρογγυλοποίησης το οποίο παράγεται από τη μαντίσσα είναι: ε α 2 Ε Μ, όπου Μ είναι τα δυαδικά ψηφία της μαντίσσας και Ε του εκθέτη. Συχνά το σφάλμα στρογγυλοποίησης το οποίο προέρχεται από το μήκος της μαντίσσας μπορεί να περιοριστεί ή ν αποφευχθεί με την κατάλληλη επιλογή αλγορίθμων ή διαδοχής των πράξεων. Σφάλμα υπερχείλισης μπορεί να συμβεί στον εκθέτη Ε, όταν η τιμή υπερβεί το μέγιστο ή το ελάχιστό του. Αυτό μπορεί να συμβεί κατά τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση αριθμών, όταν το αλγεβρικό άθροισμα των εκθετών τους υπερβεί το Ε max το E min.

7 1ο Κεφάλαιο: Εισαγωγικά 21 Διάφοροι τύποι αριθμητικών δεδομένων, οι οποίοι χρησιμοποιούνται από τους σημερινούς υπολογιστές παρουσιάζονται στον πίνακα 1.1. Πίνακας 1.1. Αριθμητικοί τύποι δεδομένων Τύπος Bytes Εύρος Τιμών Ακρίβεια Ακέραιος μη προσημασμένος 1 Από 0 έως 255 Ακέραιος προσημασμένος 1 Από 128 έως +127 Ακέραιος μη προσημασμένος 2 Από 0 έως Ακέραιος προσημασμένος 2 Από έως Μεγάλος ακέραιος 4 Από έως Κινητής υποδιαστολής, απλής ακρίβειας (*) 4 Από έως Κινητής υποδιαστολής, διπλής ακρίβειας (**) 8 Από έως (*) 1 bit για πρόσημο, 8 για εκθέτη και 23 για μαντίσσα (**) 1 bit για πρόσημο, 11 για εκθέτη και 52 για μαντίσσα (πρότυπο ΙΕΕΕ 754) Στους αρνητικούς αριθμούς χρησιμοποιείται το συμπλήρωμα ως προς 2. Στο εύρος τιμών των παραστάσεων κινητής υποδιαστολής δίδεται η τάξη μεγέθους. Η ακρίβεια στους ακέραιους είναι ίση με τον αριθμό ψηφίων του αριθμού Αριθμητικών Μεθόδων Για την ανάπτυξη μιας αριθμητικής μεθόδου με σκοπό την επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος χρειάζεται η διακεκριμενοποίηση του προβλήματος. Με τη Διακεκριμενοποίηση (Discretisation) εννοείται η μεταβολή του προβλήματος κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να επιλύεται με την εφαρμογή μόνο των τεσσάρων κλασικών αριθμητικών πράξεων (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση). Ορισμένα προβλήματα είναι από τη φύση τους διακριτά (βασίζονται στις τέσσερις αυτές πράξεις), όπως για παράδειγμα, ο υπολογισμός τιμών της f(x) = 3x 5. Άλλα, όμως προβλήματα είναι από τη φύση τους Συνεχή (Continuous), όπως για παράδειγμα, ο υπολογισμός τιμών της συνάρτησης f(x) = e x και του ορισμένου b ολοκληρώματος f(x)dx. a Σ αυτή τη δεύτερη περίπτωση η Αριθμητική Ανάλυση προσφέρει μεθόδους μετατροπής του συνεχούς προβλήματος σε διακεκριμένο. Η μετατροπή αυτή είναι προσεγγιστική με αποτέλεσμα να δημιουργείται κάποιο μικρό (αμελητέο) ή μεγάλο σφάλμα.

8 22 Εφαρμοσμένη Αριθμητική Ανάλυση Παράδειγμα 1.1 Να υπολογιστεί η τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος b b I = f(x)dx a Το ολοκλήρωμα I = f(x)dx, παριστάνει το εμβαδόν της περιοχής η οποία περικλείεται από το διάγραμμα της f(x), τον άξονα των x και τις ευθείες x = a, a x = b (σχήμα 1.2). y Δ Ε y = f(x) Γ Β Α a x 1 x 2 x 3 b x Σχήμα 1.2. Διακεκριμενοποίηση Ορισμένου Ολοκληρώματος Μια από τις αριθμητικές μεθόδους επιτρέπει την προσέγγιση του εν λόγω εμβαδού από το άθροισμα των εμβαδών των τραπεζίων ax 1 BA, x 1 x 2 ΓΒ, x 2 x 3 ΔΓ, x 3 b ΕΔ, τα οποία υπολογίζονται αριθμητικά. Όμως το άθροισμα αυτών των εμβαδών δεν συμπίπτει με το εμβαδόν της περιοχής και συνεπώς παράγεται σφάλμα υπολογισμού. Εφόσον η περιοχή χωριστεί σε περισσότερα τραπέζια, αυτό το σφάλμα μειώνεται. Παρόλα αυτά, το σφάλμα θα υπάρχει πάντα. Παράδειγμα 1.2 Να υπολογιστεί για x = 0.1. η τιμή της συνάρτησης f(x) = e x

9 1ο Κεφάλαιο: Εισαγωγικά 23 Ο υπολογισμός τιμών της f(x) = e x δεν μπορεί να γίνει άμεσα αριθμητικά. Για τον αριθμητικό υπολογισμό της γίνονται τα ακόλουθα βήματα: α) Η f(x) εκφράζεται με τη βοήθεια σειράς Maclaurin: e x = xν ν! ν=0 β) Δεδομένου ότι το άπειρο δεν είναι αριθμητικά προσδιορίσιμο επιλέγεται μια τιμή του ν αρκούντως μεγάλη. Άρα, η συνάρτηση f(x) = e x προσεγγίζεται τελικά από ένα ορισμένο άθροισμα, το οποίο όμως δεν αντιστοιχεί στην πραγματική τιμή της. Όσο μεγαλύτερη λαμβάνεται η τελική τιμή του ν τόσο το σφάλμα περιορίζεται. Έτσι, αν επιλεγεί ως ν η τιμή 2 ο αριθμητικός υπολογισμός της συνάρτησης είναι: Παράδειγμα 1.3 e = Να υπολογιστούν οι 20 πρώτοι όροι του αθροίσματος 1 ν ν=1 και να εξεταστεί αν αυτή η τιμή μπορεί να αποτελεί προσέγγιση του άπειρου α- θροίσματος. Αθροίζοντας τους 20 πρώτους όρους λαμβάνεται ως άθροισμα η τιμή Ωστόσο, αποδεικνύεται ότι το άθροισμα ν=1 (αρμονική σειρά) τείνει στο άπειρο. Συ- 1 ν νεπώς, οσοδήποτε μεγάλη τιμή επιλεγεί για το ν, υπάρχει κάποιο αριθμητικό ά- θροισμα, έστω α. Άρα το σφάλμα υπολογισμού είναι α = ανεξάρτητα από την τελική τιμή του ν, σφάλμα το οποίο θεωρείται μη αποδεκτό. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει ικανοποιητική αριθμητική μέθοδος προσέγγισης αυτού του αθροίσματος. Παρατήρηση 1.1 Συχνά σε κάποιο διακεκριμένο πρόβλημα, είτε περιέχονται δεδομένα με άπειρα δεκαδικά ψηφία (π.χ. οι αριθμοί π ή e), είτε παράγονται ως αποτελέσματα πράξεων αριθμοί με άπειρα δεκαδικά ψηφία (αποτελέσματα ατελών διαιρέσεων π.χ. 20: 3 = ). Το τελικό αποτέλεσμα της αριθμητικής λύσης του προβλήματος αποτελεί προσέγγιση της πραγματικής λύσης, δεδομένου ότι οι αριθμοί με τα

10 24 Εφαρμοσμένη Αριθμητική Ανάλυση άπειρα δεκαδικά ψηφία θα πρέπει να προσεγγιστούν από συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές (π.χ. π = 3.14). Συνεπώς εμφανίζεται κάποιο σφάλμα υπολογισμού. Το σφάλμα αποκοπής εμφανίζεται συνήθως από την προσέγγιση της πραγματικής τιμής μιας συγκλίνουσας απειροσειράς από μερικό άθροισμα. Όπως είδαμε στο Παράδειγμα 1.2 για τον υπολογισμό της τιμής του e x χρησιμοποιήθηκε το ανάπτυγμα της e x σε σειρά Maclaurin: e x = xi i! Αν στον υπολογισμό ληφθούν υπόψη οι πρώτοι Ν όροι του αθροίσματος δημιουργείται σφάλμα αποκοπής Γενικότερα: i=0 x N+1 ε (N + 1)! 1 x N + 2 Όταν μια συνάρτηση αναπτύσσεται σε σειρά Maclaurin, f(x) = f(i) (0) i! i=0 στην οποία λαμβάνονται, κατά τον υπολογισμό, υπόψη οι Ν πρώτοι όροι του αθροίσματος, παρουσιάζεται σφάλμα αποκοπής (κατά Lagrange) x i ε max f(n+1) (ξ) x N+1, 0 < ξ < x (N + 1)! Όταν μια συνάρτηση f(x) αναπτύσσεται σε σειρά Taylor f(x) = f(i) (x 0 ) (x x i! 0 ) i i=0 στην οποία λαμβάνονται, κατά τον υπολογισμό, υπόψη οι Ν πρώτοι όροι του αθροίσματος, τότε παρουσιάζεται σφάλμα αποκοπής (κατά Lagrange) ε max f(n+1) (ξ) (x x (N + 1)! 0 ) N+1, x 0 < ξ < x Ας υποτεθεί ότι ένας αριθμός αποτελείται από μ δεκαδικά ψηφία και παριστάνεται με κ δεκαδικά ψηφία (κ < μ). Τότε στην περίπτωση της αποκοπής μ κ ψηφίων, το μέγιστο σφάλμα το οποίο δημιουργείται είναι:

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο 1 Εισαγωγή Έντυπα εγχειρίδια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΑΚΡΙΒΗΣ Γ.Δ., ΔΟΥΓΑΛΗΣ Β.Α. Αριθμητική ανάλυση με εφαρμογές σε matlab & mathematica,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Ελληνικό - Ρωμαϊκό Σύστημα αρίθμησης

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα

Σφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα Σφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα Πηγές σφαλμάτων ανακριβής θεωρία ανακριβείς μετρήσεις παραμέτρων μεταβλητότητα παραμέτρων ανακριβής μέθοδος υπολογισμού (σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit!

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit! Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές ) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Αριθμοί Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΣΗΜΜΥ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ http://www.cslab.ece.ntua.gr/courses/comparch t / / h 1 ΑΡΙΘΜΟΙ Decimal Eύκολο για τον άνθρωπο Ιδιαίτερα για την εκτέλεση αριθμητικών

Διαβάστε περισσότερα

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές πράξεις) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Πράξεις με δυαδικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΗΜΜΥ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ http://www.cslab.ece.ntua.gr/courses/comparch 1 ΑΡΙΘΜΟΙ Decimal Eύκολο για τον άνθρωπο Ιδιαίτερα για την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων

Διαβάστε περισσότερα

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης: Ορολογία bit (binary digit): δυαδικό ψηφίο. Τα δυαδικά ψηφία είναι το 0 και το 1 1 byte = 8 bits word: η θεμελιώδης μονάδα σύμφωνα με την οποία εκπροσωπούνται οι πληροφορίες στον υπολογιστή. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1 Συστήματα αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης 1402 = 1000 + 400 +2 =1*10 3 + 4*10 2 + 0*10 1 + 2*10 0 Γενικά σε ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το b N, ένας ακέραιος αριθμός με n ψηφία παριστάνεται ως:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών Μονάδα Παράλληλης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (4 ο Εξάμηνο Σχολής Μηχ.Μηχ. ΕΜΠ) ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ενότητα 2: Αποθήκευση Δεδομένων, 2ΔΩ Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Θεόδωρος Τσιλιγκιρίδης Μαθησιακοί Στόχοι Η Ενότητα 2 διαπραγματεύεται θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΙΑ ΠΑΓΓΕ Περιεχόμενα 2 Δυαδικό Σύστημα Προσημασμένοι δυαδικοί αριθμοί Αφαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα 9: Ψηφιακή Αριθμητική Βασίλης Παλιουράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Ψηφιακή Αριθμητική Σκοποί ενότητας 2 Περιεχόμενα ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης: Ορολογία bit (binary digit): δυαδικό ψηφίο. Τα δυαδικά ψηφία είναι το 0 και το 1 1 byte = 8 bits word: η θεμελιώδης μονάδα σύμφωνα με την οποία εκπροσωπούνται οι πληροφορίες στον υπολογιστή. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕ ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2013-14 Δρ. Β. Σγαρδώνη ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1. Εισαγωγή 2. Σφάλματα, αριθμητική μηχανής και αλγόριθμοι 3. Επίλυση συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. 2.1 Αριθμητικά συστήματα

2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. 2.1 Αριθμητικά συστήματα 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 2.1 Αριθμητικά συστήματα Κάθε πραγματικός αριθμός χ μπορεί να παρασταθεί σε ένα αριθμητικό σύστημα με βάση β>1 με μια δυναμοσειρά της μορφής, -οο * = ± Σ ψ β " (2 1) η - ν

Διαβάστε περισσότερα

Ελίνα Μακρή

Ελίνα Μακρή Ελίνα Μακρή elmak@unipi.gr Μετατροπή Αριθμητικών Συστημάτων Πράξεις στα Αριθμητικά Συστήματα Σχεδίαση Ψηφιακών Κυκλωμάτων με Logism Άλγεβρα Boole Λογικές Πύλες (AND, OR, NOT, NAND, XOR) Flip Flops (D,

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση Υπολογιστών

Οργάνωση Υπολογιστών Οργάνωση Υπολογιστών Επιμέλεια: Γεώργιος Θεοδωρίδης, Επίκουρος Καθηγητής Ανδρέας Εμερετλής, Υποψήφιος Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Εκθετική Παράσταση (Exponential Notation) Οι επόµενες είναι ισοδύναµες παραστάσεις του 1,234 123,400.0

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Bits & Bytes Bit: η μικρότερη μονάδα πληροφορίας μία από δύο πιθανές καταστάσεις (ναι / όχι, αληθές / ψευδές, n / ff) κωδικοποίηση σε 0 ή 1 δυαδικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού Μάθημα 9ο Aντώνης Σπυρόπουλος Σφάλματα στρογγυλοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Πληροφορική Ι. Ενότητα 3 : Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Πληροφορική Ι. Ενότητα 3 : Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ. Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Πληροφορική Ι Ενότητα 3 : Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον. Υπολογιστή

Κεφάλαιο 2. Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον. Υπολογιστή ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 2 Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον Υπολογιστή Δεδομένα και Εντολές πληροφορία δεδομένα εντολές αριθμητικά δδ δεδομένα κείμενο εικόνα Επιλογή Αναπαράστασης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική υπολογιστών

Αριθµητική υπολογιστών Αριθµητική υπολογιστών Μιχάλης ρακόπουλος Υπολογιστική Επιστήµη & Τεχνολογία, #03 1 εκαδικό σύστηµα αρίθµησης Βάση το 10. 10 ψηφία: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 δεκαδικό ψηφίο εκφράζει 1 από 10 πιθανές επιλογές

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Σε οποιοδήποτε αριθμητικό σύστημα, με βάση τον αριθμό Β, ένας ακέραιος αριθμός με πλήθος ψηφίων ν, εκφράζεται ως ακολούθως: α ν-1 α ν-2 α 1 α 0 = α ν-1 Β ν-1 + α ν-2 Β ν-2 + + α 1

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών

Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μάθηµα: Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών Αναπαράσταση εδοµένων ιδάσκων: Αναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης clam@unipi.gr Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών Aναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 1 εδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ HY23. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Επιστημονικοί Υπολογισμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ www.cslab.ece.ntua.gr Εισαγωγή στην

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 7 και 8: Αναπαραστάσεις. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Πληροφορικής

Εισαγωγή στους Η/Υ. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 7 και 8: Αναπαραστάσεις. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Πληροφορικής Γιώργος Δημητρίου Μάθημα 7 και 8: Αναπαραστάσεις Αναπαράσταση Πληροφορίας Η/Υ Αριθμητικά δεδομένα Σταθερής υποδιαστολής Κινητής υποδιαστολής Μη αριθμητικά δεδομένα Χαρακτήρες Ειδικοί κώδικες Εντολές Γλώσσα

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Ενα αριθμητικο συστημα χαρακτηριζεται απο την βαση r και τα συμβολα a i που παιρνουν τις τιμες 0,1,...,r-1. (a n,,a 1,a 0. a -1,a -2,,a -m ) r = =a n r n + +a 1 r+a

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών 1 Αριθμητικό Σύστημα Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθμού με διακεκριμένα σύμβολα Ένας αριθμός αναπαρίσταται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Περιεχόμενα Μαθήματος Συστήματα αρίθμησης Πύλες Διάγραμμα ροής-ψευδοκώδικας Python Συστήματα Αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα Οι άνθρωποι χρησιμοποιούν το περίφημο «θεσιακό,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ 1 Πράξεις με μπιτ 2 ΑριθμητικέςΠράξειςσεΑκέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων

Λογική Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Πληροφορικής Λογική Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων Σταμούλης Γεώργιος georges@uth.gr Δαδαλιάρης Αντώνιος dadaliaris@uth.gr Δυαδικοί Αριθμοί Η γενική αναπαράσταση ενός οποιουδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα 1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα Δεκαδικοί Αριθµοί Βάση : 10 Ψηφία : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Αριθµοί: Συντελεστές Χ δυνάµεις του 10 7392.25 = 7x10 3 + 3x10 2 + 9x10 1 + 2x10 0 + 2x10-1 + 5x10-2

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 7 Οκτωβρίου 2014 ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση. Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Αριθμητική Ανάλυση. Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΡΑΓΚΙΣΚΟΣ ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ Εισαγωγή 2 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Αριθμητική παραγώγιση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 3: Δυαδικά Συστήματα Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ (ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ Τσιατούχας Παράρτηµα Β ιάρθρωση 1 Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2 Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3 Το πρότυπο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Κυκλώματα Ι. Μάθημα 1: Δυαδικά συστήματα - Κώδικες. Λευτέρης Καπετανάκης

Ψηφιακά Κυκλώματα Ι. Μάθημα 1: Δυαδικά συστήματα - Κώδικες. Λευτέρης Καπετανάκης ΤΛ2002 Ψηφιακά Κυκλώματα Ι Μάθημα 1: Δυαδικά συστήματα - Κώδικες Λευτέρης Καπετανάκης ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Άνοιξη 2011 ΤΛ-2002: L1 Slide 1 Ψηφιακά Συστήματα ΤΛ-2002:

Διαβάστε περισσότερα

Lab 6: Signed Add/Subtract, FF (U.Crete, CS-120) 14-10-28 17:28 διαίρεσης, δηλαδή αριστερά 28-24 = 4 bits της διεύθυνσης) μετατρέποντας στο δεκαδικό, βλέπουμε ότι όντως πρόκειται γιά τη θέση 256+128+16

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά. Αριθμητικά Συστήματα. Επιμέλεια Διαφανειών: Δ.

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά. Αριθμητικά Συστήματα. Επιμέλεια Διαφανειών: Δ. Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Ψηφιακά Ηλεκτρονικά Αριθμητικά Συστήματα Επιμέλεια Διαφανειών: Δ. Μπακάλης Πάτρα, Φεβρουάριος 2009 Αριθμητικά Συστήματα Δεκαδικό Σύστημα: Βάση το 10, ψηφία 10 και συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ. Τσιατούχας Παράρτηµα A ιάρθρωση 1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Δεδομένων. ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική

Αναπαράσταση Δεδομένων. ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική Αναπαράσταση Δεδομένων ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική Αναπαράσταση δεδομένων Κατάλληλη συμβολική αναπαράσταση δεδομένων, για απλοποίηση βασικών πράξεων, όπως πρόσθεση Πόσο εύκολο είναι

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής Πρόσθεση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής

Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής Πρόσθεση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής ΗΥ 134 Εισαγωγή στην Οργάνωση και στον Σχεδιασμό Υπολογιστών Ι Διάλεξη 11 Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής Πρόσθεση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής Νίκος Μπέλλας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits Δρ. Γκόγκος Χρήστος Κατηγορίες πράξεων με bits Πράξεις με δυαδικά ψηφία Αριθμητικές πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή

Κεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή Κεφάλαιο. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας Περιεχόμενα. Αριθμητικά συστήματα. Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα σε άλλο.3 Πράξεις στο δυαδικό σύστημα.4 Πράξεις στο δεκαεξαδικό σύστημα.5

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 11 ο και 12 ο

Εισαγωγή στους Η/Υ. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 11 ο και 12 ο Γιώργος Δημητρίου Μάθημα 11 ο και 12 ο Μονάδες ράξεων Αριθμητική/Λογική Μονάδα (ΑΛΜ - ALU): Βασικές αριθμητικές πράξεις ρόσθεση/αφαίρεση Λογικές πράξεις Μονάδες πολύπλοκων αριθμητικών πράξεων σταθερής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I. 4 η ΔΙΑΛΕΞΗ Αριθμητικά Συστήματα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I. 4 η ΔΙΑΛΕΞΗ Αριθμητικά Συστήματα ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΦΙΛΟΞΕΝΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I 4 η ΔΙΑΛΕΞΗ Αριθμητικά Συστήματα ΧΑΣΑΝΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 3. Αριθμητική Υπολογιστών. (συνέχεια)

Chapter 3. Αριθμητική Υπολογιστών. (συνέχεια) Chapter 3 Αριθμητική Υπολογιστών (συνέχεια) Διαφάνειες διδασκαλίας από το πρωτότυπο αγγλικό βιβλίο (4 η έκδοση), μετάφραση: Καθ. Εφαρμογών Νικόλαος Πετράκης, Τμήματος Ηλεκτρονικών Μηχανικών του Τ.Ε.Ι.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Ασκήσεων ΣΕΙΡΑ 1 η. Πρόσημο και μέγεθος

Λύσεις Ασκήσεων ΣΕΙΡΑ 1 η. Πρόσημο και μέγεθος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΞΑΜΗΝΟ: 1 ο /2015-16 ΤΜΗΜΑ: ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Καθηγητής: Θ. Τσιλιγκιρίδης Άσκηση 1η Περιεχόμενα μνήμης Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 63 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών Αναπαράσταση Αριθμών Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα Δεκαδικό και Δυαδικό Μετατροπή Για τη μετατροπή ενός αριθμού από το δυαδικό σύστημα στο δεκαδικό, πολλαπλασιάζουμε κάθε δυαδικό ψηφίο του αριθμού

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Οργάνωση Δεδομένων (1/2) Bits: Η μικρότερη αριθμητική μονάδα ενός υπολογιστικού συστήματος, η οποία δείχνει δύο καταστάσεις, 0 ή 1 (αληθές η ψευδές). Nibbles: Μονάδα 4 bit που παριστά

Διαβάστε περισσότερα

Τετάρτη 5-12/11/2014. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ

Τετάρτη 5-12/11/2014. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ Τετάρτη 5-12/11/2014 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΣ: ΤΡΟΧΙΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 1. Παράσταση και οργάνωση δεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. 5 ο Μάθημα. Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ. url:

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. 5 ο Μάθημα. Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ.   url: στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές 5 ο Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ email: leo@mail.ntua.gr url: http://users.ntua.gr/leo Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών Αναπαράσταση Αριθμών Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα Δεκαδικό και Δυαδικό Μετατροπή Για τη μετατροπή ενός αριθμού από το δυαδικό σύστημα στο δεκαδικό, πολλαπλασιάζουμε κάθε δυαδικό ψηφίο του αριθμού

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις

Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Περιεχόμενα 1 Δυαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Ποια είναι η βάση

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Η έννοια και η παράσταση της πληροφορίας στον ΗΥ. Εφ. Πληροφορικής Κεφ. 2 Καραμαούνας Πολύκαρπος 1

Κεφάλαιο 2 Η έννοια και η παράσταση της πληροφορίας στον ΗΥ. Εφ. Πληροφορικής Κεφ. 2 Καραμαούνας Πολύκαρπος 1 Κεφάλαιο 2 Η έννοια και η παράσταση της πληροφορίας στον ΗΥ Καραμαούνας Πολύκαρπος 1 2.1Η έννοια της πληροφορίας Δεδομένα Πληροφορία Καραμαούνας Πολύκαρπος 2 2.2 ΗΥ Το βασικό εργαλείο επεξεργασίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΚΩ ΙΚΕΣ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΚΩ ΙΚΕΣ 1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΚΩ ΙΚΕΣ 2 Σκοπός Μέθοδοι παράστασης και ερµηνείας των ψηφιακών δεδοµένων στα υπολογιστικά συστήµατα ιάφορα αριθµητικά συστήµατα που χρησιµοποιούνται στους υπολογιστές και επεξήγηση

Διαβάστε περισσότερα

Σ ή. : υαδικά. Ε ό. ή Ενότητα

Σ ή. : υαδικά. Ε ό. ή Ενότητα 1η Θεµατική Θ ή Ενότητα Ε ό : υαδικά δ ά Συστήµατα Σ ή Μονάδα Ελέγχου Ψηφιακοί Υπολογιστές Αριθµητική Μονάδα Κρυφή Μνήµη Μονάδα Μνήµης ιαχείριση Μονάδων Ι/Ο ίσκοι Οθόνες ικτυακές Μονάδες Πληκτρολόγιο,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version Συστήματα Αρίθμησης Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Στο σύστημα αυτό χρησιμοποιούμε δέκα διαφορετικά σύμβολα τα :,, 2, 3, 4, 5, 6,7 8, 9. Για τον αριθμό 32 θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν.

Διαβάστε περισσότερα

Επιστημονικός Υπολογισμός (set3) Δρ. Γιώργος Τσιρογιάννης

Επιστημονικός Υπολογισμός (set3) Δρ. Γιώργος Τσιρογιάννης Επιστημονικός Υπολογισμός (set3) Δρ. Γιώργος Τσιρογιάννης Μοντέλο Αριθμητικής και Σφάλματα υπολογισμού Απώλεια πληροφορίας λόγω: Μαθηματικής μοντελοποίησης και αποστεύσεων Διακριτοποίηση Σφάλματα στρογγύλευσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ]

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] Συγγραφείς ΝΤΑΟΥΤΙΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ Πανεπιστήμιο Miesota, USA ΜΑΣΤΡΟΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΟΣ Αριστοτέλειο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή, ακρίβεια και σφάλματα υπολογισμών

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή, ακρίβεια και σφάλματα υπολογισμών Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή, ακρίβεια και σφάλματα υπολογισμών Σύνοψη Στο πρώτο αυτό κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στο αντικείμενο της Αριθμητικής Ανάλυσης και εξετάζεται το θέμα της ακρίβειας και των σφαλμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Αρχιτεκτονική-Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Αρχιτεκτονική -Ι

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Αρχιτεκτονική-Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Αρχιτεκτονική -Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Αρχιτεκτονική-Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Αρχιτεκτονική -Ι Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Η/ΥΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες

Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες 1.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 Ένα αριθμητικό σύστημα ορίζει ένα σύνολο τιμών που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση μίας ποσότητας. Ποσοτικοποιώντας τιμές και αντικείμενα και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07 Τμήμα θεωρίας: Α.Μ. 8, 9 Κάθε Πέμπτη, 11πμ-2μμ, ΑΜΦ23. Διδάσκων: Ντίνος Φερεντίνος Γραφείο 118 email: kpf3@cornell.edu Μάθημα: Θεωρία + προαιρετικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Η γλώσσα προγραμματισμού C ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3: Πίνακες, βρόχοι, συναρτήσεις 1 Ιουνίου 2017 Το σημερινό εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος.

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος. Σειρές Σειρές και μερικά αθροίσματα: Το πρόβλημα της άθροισης μιας σειράς άπειρων όρων είναι πολύ παλιό. Μερικές φορές μια τέτοια σειρά καταλήγει σε πεπερασμένο αποτέλεσμα, μερικές φορές απειρίζεται και

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Υπολογιστών

Προγραμματισμός Υπολογιστών Προγραμματισμός Υπολογιστών Αναπαράσταση Πληροφορίας Κ. Βασιλάκης, ΣΤΕΦ, ΤΕΙ Κρήτης Δεδομένα και πληροφορία Δεδομένα είναι ένα σύνολο διακριτών στοιχείων σχετικά με ένα συμβάν ή μια διαδικασία χωρίς κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακοί Υπολογιστές

Ψηφιακοί Υπολογιστές 1 η Θεµατική Ενότητα : υαδικά Συστήµατα Ψηφιακοί Υπολογιστές Παλαιότερα οι υπολογιστές χρησιµοποιούνταν για αριθµητικούς υπολογισµούς Ψηφίο (digit) Ψηφιακοί Υπολογιστές Σήµατα (signals) : διακριτά στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Ενότητα 4: Σφάλματα περικοπής (truncation) και η σειρά Taylor Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα