Θέµατα εξετάσεων και λύσεις

Transcript

1 Θέµατα εξετάσεων και λύσεις Μάθηµα : Κβαντική Θεωρία Πεδίου Ι Ηµεροµηνία : 9 Μαρτίου 016 ΘΕΜΑ 1) ίνεται Λαγκρανζιανή Lpφ a, B µ φ a q η οποία είναι συνάρτηση ϐαθµωτών πεδίων φ a και των πρώτων παραγώγων αυτών B µ φ a. Θεωρήστε µετασχηµατισµούς των πεδίων που καθορίζονται από συνεχή παράµετρο ωpxq που είναι εν γένει εξάρτηση των χωροχρονικών συντεταγµένων ( τοπικοί µετασχηµατισµοί ). Για µικρές τιµές της παραµέτρου ωpxq οι µεταβολές των πεδίων δίνονται από φ a Ñ φ a ` ωpxq F a pφq όπου F a pφq δεδοµένες συναρτήσεις των πεδίων. Απαντήστε στα κάτωθι ερωτήµατα : ι) είξτε ότι σε πρώτη τάξη ως προς την παράµετρο ωpxq η µεταβολή της Λαγκρανζιανής δίνεται από τη δl A ωpxq ` J µ B µ ωpxq (1) και καθορίστε την συνάρτηση A και το ϱεύµα J µ. ιι) Χρησιµοποιώντας τις εξισώσεις κίνησης για τα ϐαθµωτά πεδία δείξτε ότι B µ J µ A () Ενα σηµαντικό επακόλουθο αυτής είναι ότι αν η Λαγκρανζιανή είναι αναλλοίωτη σε καθολικούς (global) µετασχηµατισµούς, όταν δηλαδη η µεταβλητη ω είναι σταθερά, τότε A 0 και εποµένως η () οδηγεί σε ένα διατηρήσιµο ϱεύµα, που δίνεται ακριβώς από τον συντελεστή του B µ ωpxq της εξίσωσης (1)! ιιι) Ως εφαρµογή, δίνεται η Λαγκρανζιανή L B µ φ B µ φ V pφ, φ q όπου V pφ, φ q πραγµατικό δυναµικό. Θεωρήστε τους τοπικούς µετασχηµατισµούς ϕάσης φ Ñ e i ωpxq φ, φ Ñ e i ωpxq φ Θεωρήστε µικρούς µετασχηµατισµούς, και προσδιορίστε την συνάρτηση A και το ϱεύµα J µ της εξίσωσης (1). Με ποιές προυποθέσεις έχουµε µηδενισµό του A και εποµένως διατήρηση του ϱεύµατος J µ ; ΘΕΜΑ ) Σε τέσσερεις χωρο-χρονικές διαστάσεις, δίνεται ότι η Λαγκρανζιανή ενός πραγµατικού πεδίου φ είναι L f pφq pb µ φq Upφq (3) Το πεδίο φ έχει διαστάσεις µάζας, και οι fpφq και Upφq είναι πραγµατικές συναρτήσεις του φ, αλλά όχι των παραγώγων αυτού. Απαντήστε στα κάτωθι ερωτήµατα ι) Τι περιγράφει η Λαγκρανζιανή της εξίσωσης (3) ; ιι) Ειδικώτερα, τι περιγράφει η Λαγκρανζιανή της εξίσωσης (3) όταν f pφq exp όπου λ, µ σταθερές µε διαστάσεις µάζας ; φ µ και Upφq λ 4 exp φ µ, ΘΕΜΑ 3) ίνεται η Λαγκρανζιανή που περιγράφει ενα µιγαδικό, φ, και ένα πραγµατικό πεδίο ξ, L B µ φ M φ ` 1 pb µξq m ξ g φ ξ λ 3! ξ3 M, m, g, λ είναι πραγµατικές σταθερές µε µονάδες µάζας και επί πλέον M ą 0, m ą 0. ι) Να γραφεί το αναλλοίωτο πλάτος σκέδασης M, στην προσέγγιση δένδρου ( tree level ), συναρτήσει των µεταβλητών Mandelstam s, t, u για την διαδικασία ` φ pp q Ñ ξpk 1 q ` ξpk q, όπου p µ 1, pµ είναι οι ορµές του εισερχοµένου σωµατιδίου φ και του αντισωµατιδίου φ ενώ k µ 1, kµ είναι οι ορµές των εξερχοµένων σωµατιδίων ξ. Για την διαδικασία αυτή s pp 1 ` p q, t pp 1 k 1 q ενώ u pp 1 k q M ` m ps ` tq.

2 ιι) Θεωρήστε το στοιχείο του ϕασικού χώρου των δύο σωµατιδίων της τελικής κατάστασης dlips pq. Για την συγκεκριµένη διαδικασία ολοκληρώνοντας στην τετραορµή k του ενός εξερχοµένου σωµατιδίου, ξpk q, και στην ενέργεια ω 1 του ξpk 1 q, να δείξετε ότι στο σύστηµα κέντρου µάζας των εισερχοµένων σωµατιδίων ω 1 k dlips pq 1 3 π ˆs 4m 1{ dω (4) όπου dω sin θdθ dφ η στερεά γωνία εντός της οποίας σκεδάζεται το σωµατίδιο ξpk 1 q. Οι γωνίες ορίζονται έτσι ώστε αν η τρι-ορµή p 1 είναι κατά την κατεύθυνση του άξονα z τότε η κατεύθυνση της k 1 είναι ˆk 1 pcosφ sin θ, sinφ sin θ, cos θq. ιιι) Να ϐρεθεί η διαφορική ενεργός διατοµή στο σύστηµα κέντρου µάζας συναρτήσει της µεταβλητής s και του cos θ d σ dcos θ όπου θ η γωνία σκέδασης όπως αυτή ορίσθηκε στο προηγούµενο ερώτηµα, δηλαδή είναι η γωνία που σχηµατίζει η τρι-ορµή k 1 του εξερχοµένου σωµατιδίου ξpk 1 q µε την τρι-ορµή p 1 του εισερχοµένου. Υπόδειξη : Η διαφορική ενεργός διατοµή, ως συνάρτηση του αναλλοίωτου πλάτους M, δίνεται, ως γνωστόν, από την σχέση dσ s M 4 υ rel E 1 E dlips pq (6) όπου dlips pq το στοιχείο του ϕασικού χώρου των δύο σωµατιδίων της τελικής κατάστασης. (5) ΘΕΜΑ 4) ίνεται η Λαγκρανζιανή που περιγράφει δύο πραγµατικά πεδία, φ, και σ, L 1 pb µ φq m φ ` 3 σ λ σ φ (7) όπου λ είναι πραγµατική αδιάστατη σταθερά. ι) Να ϐρεθούν οι διαδότες φφ και σσ στον χώρο των ορµών, και ϐάση αυτών να υπολογισθεί η συνάρτηση συχετισµού για τέσσερα πεδία φ στον χώρο των ορµών στην προσέγγιση όπου αγνοούνται οι κβαντικοί ϐρόχοι ( tree level ). ιι) ZrJ, s είναι το συναρτησικό το οποίο είναι γεννήτορας των συναρτήσεων συσχετισµού, όπου J και είναι οι πηγες των πεδίων φ και σ αντίστοιχα. Οταν µηδενισθεί η πηγή του πεδίου σ, δηλαδή 0, ολοκληρώστε ως προς το πεδίο σ για να δείξετε ότι ZrJ, 0s N rdφs exp i S J rφs όπου η δράση S J δίνεται από την έκφραση S J rφs d 4 x r L 0 pφ, B µ φq ` Jpxq φpxq s µε την L 0 να είναι η αρχική Λαγκρανζιανή (7) µε την αντικατάσταση του πεδίου σ από την εξίσωση κίνησης του, και την σταθερά N να είναι τέτοια ώστε ZrJ 0, 0s 1. Τι περιγράφει η L 0 ; Με αυτήν την Λαγκρανζιανή ποιά είναι η συνάρτηση συσχετισµού για τέσσερα πεδία φ στην χαµηλώτερη τάξη της ϑεωρίας διαταραχών και πως συγκρίνεται αυτή µε την αντίστοιχη συνάρτηση του ερωτήµατος ι) ;

3 Λύσεις Θεµάτων : ΘΕΜΑ 1 : ι) Αν ϑεωρήσουµε τα πεδία πραγµατικά η µεταβολή της Λαγκρανζιανής είναι δ L B φ a δφ a ` B pb µ φ a q δpb µφ a q (8) όπου χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι η L περιέχει παραγωγίσεις των πεδίων το πολύ πρώτης τάξης. Για τις µεταβολές των πεδίων και των παραγώγων αυτών έχουµε Αντικαθιστώντας στην (8) έχουµε δφ a ω F a, δpb µ φ a q B µ pω F a q pb µ ωqf a ` ω B µ F a (9) δ L A δω ` J µ B µ ω (10) όπου A B φ a F a ` B pb µ φ a q B µf a, J µ B pb µ φ a q F a (11) ιι) Για την απόκλιση του ϱεύµατος έχουµε ˆ ˆ B µ J µ B µ B pb µ φ a q F a B φ a F a ` B µ F a ` B pb µ φ a q B pb µ φ a q B µf a B pb µ φ a q B µf a A QED (1) Στην δεύτερη σειρά της εξίσωσης αυτής χρησιµοποιήσαµε τις εξισώσεις κίνησης όπως υποδείχθηκε. ιιι) Για το συγκεκριµένο παράδειγµα έχουµε ένα µιγαδικό πεδίο ( η ισοδύναµα δύο πραγµατικά ). Με όποιο τρόπο να το αντιµετωπίσουµε ασφαλώς ϑα ϐρούµε τα ίδια αποτελέσµατα ( Αν δυσκολεύεστε µε τα µιγαδικά πεδία δοκιµάστε µε πραγµατικά που είναι το πραγµατικό και το ϕανταστικό µέρος του φ ). Αν επιλέξουµε να δουλέψουµε µε το πεδίο φ και το συζυγές του φ οι απειροστές µεταβολές των πεδίων είναι φ Ñ φ ` i ω φ, φ Ñ φ i ω φ (13) η ισοδύναµα φ Ñ φ ` ω F, φ Ñ φ ` ω F (14) όπου η συνάρτηση F δίνεται από F i φ (15) Το ϱεύµα δίνεται από J µ B pb µ φq F ` B pb µ φ q F (16) που δίνει ως αποτέλεσµα Η ποσότητα A της (11) είναι αντίστοιχα J µ i φ B µ φ i φ B µ φ (17) A B φ F ` B φ F ` B pb µ φq B µf ` B pb µ φ q B µf (18) που δίνει ως αποτέλεσµα A BV pi φq ` BV B φ B φ pi φ q ` B µ φ B µ pi φq ` B µ φ B µ p i φ q ˆ BV i φ BV B φ B φ φ (19)

4 Προφανώς διατήρηση του ϱεύµατος (17), (on shell), έχουµε όταν η ποσότητα A µηδενίζεται όταν δηλαδή η οποία είναι ισοδύναµη µε την BV φ BV B φ B φ φ 0 (0) BV B ln φ BV B ln φ (1) Γράφωντας το φ ως φ R e i θ έχουµε ln φ ln R ` i θ και µετατρέποντας στην εξίσωση (1), πολύ εύκολα, τις παραγωγίσεις ως προς ln φ, ln φ σε παραγωγίσεις ως προς lnr, θ προκύπτει άµεσα BV Bθ 0 () Αρα έχουµε διατήρηση του ϱεύµατος όταν το δυναµικό δέν έχει εξάρτηση απο την γωνία θ, είναι δηλαδή συνάρτηση του µέτρου φ του πεδίου φ. ΘΕΜΑ : ι) Η Λαγκρανζιανή του προβλήµατος µπορεί να τεθεί στην µορφή ενός κανονικά νορµαλισµένου ϐαθµωτού πεδίου αρκεί να απορροφήσουµε την συνάρτηση fpφq, που εµφανίζεται µπροστά από τον όρο pb µ φq. Για τή ακρίβεια όρίζουµε ένα νέο πεδίο ψ, που είναι συνάρτηση του fpφq, έτσι ώστε Αυτό επιτυγχάνεται όταν 1 pb µψq f pφq pb µ φq (3) 1? dψ fpφq dφ (4) η οποία δίνει την ψ ως συνάρτηση της φ, ψ? fpφq dφ (5) µε αντίστροφη την φ F pψq (6) Με αυτά έχουµε από την (3) L 1 pb µψq UpF pψqq (7) Αυτή είναι η Λαγκρανζιανή ενός κανονικά νορµαλισµένου ϐαθµωτού πεδίου ψ που κινείται στο δυναµικό V pψq UpF pψqq. ιι) Το ερώτηµα αυτό είναι ένα συγκεκριµένο παράδειγµα της προηγούµενης περίπτωσης. Η (5) δίνει ψ? ˆφ µ exp (8) µ από την οποίαν προκύπτει άµεσα οπότε η Λαγκρανζιανή (7) είναι UpF pψqq L 1 pb µψq 1 λ4 µ ψ (9) ˆ λ µ Αυτή περιγράφει ένα ελεύθερο ϐαθµωτό πεδίο ψ µε µάζα m λ µ. ψ (30)

5 ΘΕΜΑ 3 : ι) Η Λαγκρανζιανη του ϑέµατος αυτού περιγράφει ένα µιγαδικό πεδίο φ, µε µάζα M, και ένα πραγµατικό πεδίο ξ, µε µάζα m. Οι όροι g φ ξ λ 3! ξ3 είναι αλληλεπιδράσεις των οποίων οι αντίστοιχες κορυφές, στον χώρο των ορµών, µπορούν να γραφούν όπως απεικονίζεται στο Σχήµα (1). φpp q ξpp 1 q i pπq 4 δ p4q pp 1 ` p ` p 3 q g φ pp 3 q ξpp q ξpp 1 q i pπq 4 δ p4q pp 1 ` p ` p 3 q λ ξpp 3 q Σχήµα 1: Κορυφές αλληλεπίδρασης της Λαγκτρανζιανής του ϑέµατος 3 Για τον υπολογισµό του αναλλοίωτου πλάτους που εµφανίζεται στην (6) χρειάζεται να υπολογίσουµε τα διαγράµµατα της διαδικασίας και να παραλείψουµε τις εξωτερικές κυµατικές συναρτήσεις καθώς και ένα παράγοντα i pπq 4 δ p4q pp 1 ` p k 1 k q. Τα διαγράµµατα είναι αυτά του Σχήµατος () ιάγραµµα1 ξpk 1 q i pπq 4 δ p4q pp 1 ` p k 1 k q g t M φ pp q ξpk q ιάγραµµα ξpk 1 q i pπq 4 δ p4q pp 1 ` p k 1 k q g u M φ pp q ξpk q ιάγραµµα 3 ξpk 1 q i pπq 4 δ p4q pp 1 ` p k 1 k q λ g s m φ pp q ξpk q Σχήµα : ιαγράµµατα της διαδικασίας του ϑέµατος 3

6 οπότε το αναλλοίωτο πλάτος M δίνεται από την ˆ g M t M ` g u M ` λ g s m (31) ιι) Ο ϕασικός χώρος της τελικής κατάστασης των δύο σωµατιδίων έχει αναλυθεί και σε άλλα µαθήµατα και επίσης ήταν αντικείµενο του ερωτήµατος 5 της σειράς 4 των ασκήσεων. Για λόγους πλήρότητας ϑα αναλυθεί ακολούθως. Αν ω 1, είναι οι ενέργειες των τελικών σωµατιδίων, το στοιχείου του ϕασικού χώρου είναι dlips pq pπq δ p4q pp 1 ` p k 1 k q d3 k ω d 3 k 1 pπq δ p4q pp 1 ` p k 1 k q r d 4 k δ p`q pk m q s d3 k 1 (3) Για να καλύψουµε πιο γενικές περιπτώσεις ϑεωρούµε µάζες m 1 και m, εν γένει διαφορετικές, για τα τελικά σωµατίδια. Στην περίπτωση του προβλήµατος µας αυτές είναι ίσες. Στην (3) το σύµβολο p`q στην συνάρτηση δ p`q απλά σηµαίνει ότι µόνο το κοµµάτι της ϑετικής ενέργειας λαµβάνεται υπ όψη. Ολοκληρώνοντας την (3) στην τετραορµή k παιρνουµε άµεσα k dlips pq pπq δ p`q ppp 1 ` p k 1 q m q d3 k 1 pπq δ p`q ps ` m 1 k 1 pp 1 ` p q m q d3 k 1 (33) Στο κέντρο µάζας των αρχικών σωµατιδίων k 1 pp 1 ` p q? s ω 1, οπότε στο σύστηµα αυτό έχουµε k dlips pq pπq δ p`q ps ` m 1 m? s ω 1 q d3 k 1 Το στοιχείο του ϕασικού χώρου d 3 k 1 γράφεται ως pπq δ p`q ps ` m 1 m? s ω 1 q d3 k 1 pπq ˆs ` m? δp`q 1 m s? d3 k1 ω 1 (34) s d 3 k1 k 1 d k 1 dω k 1 d k 1 dω k 1 dω 1 dω k 1 ω 1 dω 1 dω (35) οπότε από την (34) έχουµε, αντικαθιστώντας το k 1 µε k 1 a ω1 m 1, dlips pq k pπq ˆs ` m 4? δp`q 1 m s? ω 1 bω 1 s m 1 dω 1 dω (36) που είναι ένα πολύ χρήσιµο αποτέλεσµα για γενική χρήση. Αν ολοκληρώσουµε ως προς την ενέργεια ω 1 έχουµε απλά να αντικαταστήσουµε το ω 1 µε την έκφραση p s ` m 1 m q{? s, λόγω της συνάρτησης δέλτα, και το τελικό αποτέλεσµα είναι dlips pq k pπq p s s pm 1 ` m 8 s q ` pm 1 m q q 1{ dω (37) ω 1 Για m 1 m m αυτή παίρνει την µορφή (4) που είναι το Ϲητούµενο. ιιι) Για τον υπολογισµό της διαφορικής ενεργού διατοµής (5) γράφουµε dω dcosθ dφ ( όπου µε dcosθ εννοούµε στην πραγµατικότητα την απόλυτη τιµή αυτού! ). Επίσης τετριµµένα ϐρίσκουµε ότι οπότε 4 υ rel E 1 E a s ps 4M q (38) d σ d cosθ dφ 1 64π s ˆ s 4m 1{ M (39) s 4M

7 Το αναλλοίωτο πλάτος M δεν εξαρτάται απο την γωνία φ οπότε ολοκληρώνουµε ως προς φ και παίρνουµε ΘΕΜΑ 4 : d σ d cosθ 1 3 πs ˆ s 4m 1{ M (40) s 4M ι) Οι διαδότες υπολογίζονται από το διγραµµικό ( ως προς τα πεδία ) µέρος της Λαγκρανζιανης. Οι τριγραµµικοί και ανώτεροι όροι περιγράφουν τις αλληλεπιδράσεις τις οποίες στην ϑεωρία διαταραχών διαχειριζόµαστε διαταρακτικά. Στην συγκεκριµµένη ϑεωρία δεν υπάρχουν διγραµµικοί όροι που να εµπλέκουν τα πεδία φ και σ και ο υπολογισµός των διαδοτών είναι τετριµµένος. Για την ακρίβεια το διγραµµικό µέρος του πεδίου φ είναι αυτό ενός πραγµατικού ϐαθµωτού πεδίου µε µάζα m, οπότε ο διαδότης του είναι ( στον χώρο των ορµών ), ă φφ ą i 1 pπq 4 p m (41) Το πεδίο σ δεν έχει κινηµατικό όρο και ο διαδότης του, αν γράψουµε το διγραµµικό µέρος του ως K σ ϑα είναι το αντίστροφο του K, άρα έχουµε στην περίπτωση µας ă σσ ą i pπq 4 λ 3 (4) Υπενθυµίζουµε ότι οι ελεύθεροι διαδότες ϐρίσκονται αντιστρέφοντας το διγραµµικό µέρος της Λαγκρανζιανής όπως έχει διατυπωθεί στην ϑεωρία. Ενας άλλος τρόπος να πεισθεί κανείς για την (4) είναι να παρατηρήσει ότι ο διγραµµικός όρος του σ είναι σαν τον όρο µάζας του φ µε m Ñ 3{λ. Επειδή το πεδίο σ δεν έχει κινητικό όρο ο διαδότης του ϑα είναι σαν αυτό του φ µε p 0. Αντικαθιστώντας λοιπόν p 0 και m Ñ 3{λ στην (41) πράγµατι ϐρίσκουµε την (4). Για τον υπολογισµό διαγραµµάτων Feynman εκτός από τους διαδότες χρειαζόµαστε τις κορυφές. Στην συγκεκριµµένη ϑεωρία έχουµε µόνο ένα είδος κορυφής που εµπλεκει δύο φ µε ένα σ. Μάλιστα δεν υπάρχει καποια σταθερά Ϲεύξης στον συγκεκριµµένο τριγραµµικό όρο. Η κορυφή αυτή δίνεται στο Σχήµα (3). φpp q σpp 1 q i pπq 4 δ p4q pp 1 ` p ` p 3 q φpp 3 q Σχήµα 3: Η κορυφή αλληλεπίδρασης του ϑέµατος 4 Τα διαγράµµατα που συνεισφέρουν στο επίπεδο δένδρου δίνονται στη Σχήµα (4) όπου έχουµε αγνοήσει για απλότητα τις εξωτερικές γραµµές. Και τα τρία διαγράµµατα έχουν την ίδια συνεισφορά. Εποµένως στον χώρο των ορµών η συνάρτηση συσχετισµού τεσσάρων σηµείων, αγνοώντας τις εξωτερικές γραµµές, ϑα είναι ă φφφφ ą i pπq 4 δ p4q pp 1 ` p ` p 3 ` p 4 q λ (43) ιι) Το συναρτησικό ZrJ, s δίνεται από την έκφραση ZrJ, s Z 1 0 Dφ Dσ exp i Srφ, σs ` i d 4 x Jpxq φpxq ` i d 4 x pxq σpxq (44) µε την σταθερά Z 0 να επιλέγεται έτσι ώστε ZrJ 0, 0s 1. Μηδενίζοντας την πηγή του πεδίου σ έχουµε ZrJ, 0s Z 1 0 Dφ Dσ exp i Srφ, σs ` i d 4 x Jpxq φpxq (45)

8 ιάγραµµα1 φpp 3 q i pπq 4 δ p4q pp 1 ` p ` p 3 ` p 4 q λ 3 φpp q φpp 4 q ιάγραµµα φpp 3 q i pπq 4 δ p4q pp 1 ` p ` p 3 ` p 4 q λ 3 φpp q φpp 4 q ιάγραµµα 3 φpp q φpp 3 q i pπq 4 δ p4q pp 1 ` p ` p 3 ` p 4 q φpp 4 q λ 3 Σχήµα 4: ιαγράµµατα που συνεισφέρουν στην συνάρτηση συσχετισµού τεσσάρων πεδίων φ του ϑέµατος 4. Οι εξωτερικές γραµµές δεν εµφανίζονται στο δεξί µέλος για απλότητα. Οι ορµές είναι εισερχόµενες. Η ολοκλήρωση ως προς σ γίνεται πολύ εύκολα γιατί µόνο γραµµικοί και διγραµµικοί όροι, ως προς αυτό το πεδίο, εµφανίζονται στην δράση Srφ, σs. Για την ακρίβεια έχουµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα I Dσ exp i d 4 x ˆ 3 λ σ 1 φ σ Σε αυτό το ολοκλήρωµα µπορούµε να αλλάξουµε την µεταβλητή ολοκλήρωσης ως (46) σpxq σ 1 pxq ` Lpxq (47) µε την συνάρτηση Lpxq να καθορίζεται έτσι ώστε να µην υπάρχουν γραµµικοί όροι ως προς την σ 1. Αυτό δίνει L λ 6 φ και το ολοκλήρωµα γίνεται I Dσ 1 exp ˆ 3 i d 4 x λ σ1 λ 4! φ4 K exp i λ d 4 x φ 4 4! (48) όπου η σταθερά K είναι απλά το ολοκλήρωµα ως προς σ 1. Αρα για το συναρτησιακό ZrJ, 0s έχουµε ZrJ, 0s N Dφ exp i S 0 rφs ` i d 4 x Jpxq φpxq (49) οπου N K{Z 0 και η δράση S 0 rφs είναι αυτή της Λαγκρανζιανής L 0 που δίνεται από την L 0 1 pb µ φq m φ λ 4! φ4 (50) Αυτή πράγµατι προκύπτει από την (7) όταν αντικαταστήσουµε το πεδίο σ από την εξίσωση κίνησης του σ λ 6 φ (51)

9 Παρατηρήστε ότι το δεξί µέλος της (51) είναι ακριβώς η συνάρτηση L που χρησιµοποιήσαµε προηγουµένως για να ϑέσουµε το ολοκλήρωµα I στην µορφή (48). Η νέα σταθερά N στην (49) προφανώς προσδιορίζεται από την απαίτηση ZrJ 0, 0s 1. Το συναρτησιακό (49) είναι αυτό µιάς συνήθους ϑεωρίας φ 4 της οποίας η συνάρτηση συσχετισµού τεσσάρων πεδίων, αν αγνοηθούν οι εξωτερικές γραµµες, είναι i pπq 4 δ p4q pp 1 ` p ` p 3 ` p 4 q λ ακριβώς όπως ϐρήκαµε στην εξίσωση (43) του προηγουµένου ερωτήµατος ι).