2. Introduction Models Variables of a model 4 3. Dimensionless variables Heat conduction A chemical reaction 8

Transcript

1 Περιεχομενα 1. Πρόλογος Διάρθρωση ύλης μαθήματος 3 2. Introduction Models Variables of a model 4 3. Dimensionless variables Heat conduction A chemical reaction 8 4. Μοντέλα από την Βιολογία Απλά πληθυσμιακά μοντέλα Μοντέλο κυνηγού-θηράματος Lotka-Volterra Μοντέλα ανταγωνισμού δύο ειδών Μοντέλο επιδημιών Διάγραμμα φάσεων Συστήματα δύο εξισώσεων 1ης τάξης Διάγραμμα φάσεων γιά εξισώσεις 2ης τάξης Το απλό εκκρεμές Εξισώσεις 2ης τάξης ως σύστημα εξισώσεων 1ης τάξης Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Συστήματα με δύο μεταβλητές Πραγματικές ιδιοτιμές Μιγαδικές ιδιοτιμές Διάγραμμα σημείων ισορροπίας Ευστάθεια σημείων ισορροπίας Μη γραμμικά συστήματα Σημειακά σωμάτια Διανύσματα Πολικές συντεταγμένες Νόμοι του Νεύτωνα Ενέργεια Δυναμική ενέργεια και δυνάμεις Σταθερό δυναμικό Γραμμικό δυναμικό Αρμονικός ταλαντωτής Αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση Γενικά δυναμικά Απλό εκκρεμές Δυναμικό χημικού δεσμού Λογισμός μεταβολών Μεταβολικά προβλήματα Συνθήκη γιά ακρότατα Εξισώσεις Euler-Lagrange Εξισώσεις Lagrange Γενικευμένες συντεταγμένες 51 1

2 Αρχή του Hamilton Ολοκλήρωμα δράσης Λαγκρανζιανή Νόμοι διατήρησης Ενέργεια Γενικευμένη ορμή Άσκηση Μη-διατηρητικά συστήματα Γενικευμένες δυνάμεις Δυνάμεις που δεν προέρχονται από δυναμικό Ανακεφαλαίωση των εξισώσεων Lagrange Άσκηση (Αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση) Δίνες Συνήθεις δίνες σε ρευστά Δίνες σε υπερρευστά Μαγνητικές δίνες Δυναμική δινών Μία απομονωμένη δίνη Ζεύγος αλληλεπιδρώντων δινών: Διατηρήσιμες ποσότητες Ζεύγος αλληλεπιδρώντων δινών: Τροχιές Φορτίο σε μαγνητικό πεδίο Εξισώσεις Newton Εξισώσεις Lagrange Νόμοι διατήρησης Φορτίο σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο Ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Επίδραση δυνάμεων τριβής Κίνηση ζεύγους φορτίων σε μαγνητικό πεδίο 78 Αναφορές 80

3 1. Πρόλογος Στις ακόλουθες σελίδες δίνονται σύντομες σημειώσεις γιά το μάθημα Μαθηματική Μοντελοποίηση του τμήματος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης. Οι σημειώσεις είναι ιδιαίτερα σύντομες γιά θέματα τα οποία καλύπτονται επαρκώς από την υ- πάρχουσα βιβλιογραφία στα ελληνικά και κάπως πιό εκταταμένες γιά θέματα τα οποία δεν καλύπτονται επαρκώς στην βιβλιογραφία. Σημειώνουμε επίσης ότι η ύλη του μαθήματος καθορίζεται από τις παραδώσεις στην αίθουσα διαδασκαλίας κατά την διάρκεια του εξαμήνου και δεν συμπίπτει απολύτως με το περιεχόμενο των σημειώσεων. Εκτός αρκετών παραδειγμάτων δίνονται και πολλές ασκήσεις (οι περισσότερες άλυτες) ο βαθμός δυσκολίας των οποίων είναι από εύκολες έως ιδαίτερα περίπλοκες. Αυτές, ανάλογα με τον βαθμό δυσκολίας τους, μπορούν να χρησιμεύσουν γιά εξάσκηση, ως μικρές εργασίες γιά κάποιους φοιτητές, είτε ως αφορμή γιά συζήτηση διαφόρων θεμάτων. Δεν αναμένεται η λύση όλων των ασκήσεων οι οποίες περιέχονται στις σημειώσεις, από τους φοιτητές οι οποίοι θα παρακολουθήσουν το μάθημα Διάρθρωση ύλης μαθήματος. 1. Διαστατική ανάλυση Αδιάστατες μεταβλητές και παράμετροι 2. Δυναμικά συστήματα, στην Βιολογία, Χημεία, κ.α. Πληθυσμιακά μοντέλα από την Βιολογία, μοντέλα γιά χημικές αντιδράσεις, κ.α. Γραμμικά συστήματα εξισώσεων Μη γραμμικά συστήματα εξισώσεων Μελέτη ευστάθειας 3. Βασικές έννοιες θεωρητικής μηχανικής Νόμοι του Νεύτωνα Μηχανική συστήματος σωματίων Μοντελοποίηση συστημάτων στη Μηχανική 4. Εξισώσεις Lagrange Θεωρία μεταβολών Συστήματα σε δυναμικό: αρμονικός ταλαντωτής, εκκρεμές Νόμοι διατήρησης 5. Δίνες Μοντέλα γιά δίνες σε ρευστά, κλπ Κίνηση φορτίου σε μαγνητικό πεδίο

4 4 2. Introduction 2.1. Models. The need for mathematical modeling stems from the ability of mathematics to make predictions about the world. This area can be interpreted broadly to include the mathematical description of systems in many sciences, e.g., physics, biology and economics. One could argue that an early example of mathematical modeling was provided by Newton in his laws describing the dynamics (time evolution) of mechanical systems of particles. Later models were proposed to describe the dynamics of biological species populations and these have been quite successful. Modern examples include models for complex financial products. A careful observer of a certain system may at some point argue that the system obeys certain laws (for example, in its dynamics or in its equilibrium states), at least regarding its general behavior. As a next step, the observer may then attempt to phrase these laws using differential equations (which are then seen as laws for the system dynamics). The observer of the system may choose to take the view that the equations which he has written down actually contain the laws governing the (mechanical, biological, or other) system. However, there is little argument to support a priori this point of view. Even if one takes for granted that there actually are some laws governing the system (which is a question that needs to be answered before we make any further progress), it is hard to argue that a few terms in a differential equation will be completely sufficient to describe all types of behavior of a certain system. The above questions are difficult to discuss as we all have made the experience that physical and other systems often present particularly complex behavior. In view of the above it may be more reasonable for the observer to take the point of view that his system can be described by a mathematical model. This is typically a differential equation which contains all the terms necessary to render accurately the small number of important features observed. The observer then turns to a modeler who then hopes that his model will follow reality reasonably faithfully. In the history of science many models have been used to describe many many aspects of the world. Unsuccessful or partially successful models are certainly ubiquitous but it is necessary to mention that some models have been remarkably successful, at times, beyond any initial hopes. As such an example, one could cite Quantum Mechanics and the equation of Schroedinger which is supposed to describe the dynamics of particles at the microscopic level. In this task, it has been successful to the extent that there is still no known clear example where it fails. One may then have some reason to argue that this equation or other similarly successful ones give the laws governing their respective systems Variables of a model. In the course of writing down a model for a certain system one of the first problems we have to decide upon are the specific variables which are needed in order to achieve a correct and compete model. For example, Newton has used the acceleration (second time derivative of position) of a particle in order to write down its law of motion (Newton s second law). This has changed the trend of the previous two thousand years where, starting from the ideas of Aristoteles, the velocity (first time derivative of position) was thought to be the crucial variable.

5 Another example is the dynamics of vortices in fluids. In this case it turns out that the crucial variable to be used in the equations of motion of a vortex is its velocity (not its acceleration as in the case of Newtonian particles). A contemporary example showing the importance of choosing the correct variables is given by the current development of memristors. These are electronic circuits (so-called, passive circuit elements) which may be used in memory devices (hence their name as a concatenation of memory resistors ). It has been traditionally assumed that the fundamental relationship in passive circuitry was between voltage and charge. However, Leon Chua of the University of California at Berkeley realized, in a paper published in 1971, that the fundamental relationship is between changes-in-voltage and charge, thus these are the variables which should be used in the equations. In his words The situation is analogous to what is called Aristotle s Law of Motion, which was wrong, because he said that force must be proportional to velocity. That misled people for 2000 years until Newton came along and pointed out that Aristotle was using the wrong variables. Newton said that force is proportional to acceleration the change in velocity. This is exactly the situation with electronic circuit theory today. All electronic textbooks have been teaching using the wrong variables voltage and charge explaining away inaccuracies as anomalies. What they should have been teaching is the relationship between changes in voltage, or flux, and charge. Having realized the above, memristors are now (year 2010) considered for various applications in the electronics industry. 5 Figure 1. A GMR and a TMR structure. In the GMR structure we have a tri-layer system where the upper and lower layers are magnetic while the spacer layer is a non-magnetic metal. In the TMR structure the spacer layer is an insulator. (Taken from Grollier et al, Nature Physics (2011) An example for a memristor setup has been studied in ferromagnetic multilayers. A ferromagnet is a material where magnetic moments of neighbouring atoms tend to be aligned. A GMR (Giant-Magneto-Resistance) structure consists of three layers where the upper and lower layers are magnetic materials while the intermediate (spacer) layer is a non-magnetic metal. A TMR (Tunneling-Magneto-Resistance) structure is similar

6 6 to GMR but the spacer layer is an insulator. If we assume that the magnetic layers are thin stripes then the magnetic moments tend to be parallel along the long axis of the stripe. This is shown clearly in Fig. 1 for the lower magnetic layer. For the experiment which we are going to describe the upper layer has been prepared so that a part of the material is magnetized in one direction and the other part in the opposite direction. The plane separating the two parts is called a magnetic domain wall. In order to demonstrate the phenomenon we pass electrical current through the structure, from the top to the bottom. It is observed that the domain wall is moving at a constant velocity, and the motion takes place only for as long as the current is injected. The domain wall remains static otherwise. One could then imagine that the position of the domain wall (x) is proportional to the current (I) times the time interval (t) for which this was applied, i.e., x = I t. Note the I t is equal to the charge (Q) which has passed through the structure. We are therefore led to the conclusion that the position of the domain wall measures the quantity of charge which has passed through, in other words it remembers what has happened in the structure in its lifetime. Bibliography: [1] 3. Dimensionless variables 3.1. Heat conduction. ([3]) Suppose a rod extending from x = 0 to x = l which is homogeneous and has constant cross-sectional area A. We assume that heat flows in the x direction only and temperature is constant in any cross-section. Let the variable u(x, t) denote the temperature at position x at time t. We seek an equation for u(x, t). Let us first note that the amount of heat in a segment of the rod from x to x + x is c v ρ u(ξ, t)a x where (i) A x is the volume under consideration, (ii) ρ is the density, and therefore ρ A is the mass in the volume, (iii) c v is the specific heat, that is, the amount of heat required to raise one unit of mass of the material by one degree, measured in calories/(gram degree C), and finally (iv) x ξ x + x. In the next step we denote by φ(x, t) the heat flux, that is the amount of heat (energy) per time flowing through the sectional area A at x. Then we have the balance equation t [c vρ u(ξ, t)a x] = φ(x, t) φ(x + x, t). This equation states that the rate of change of the heat energy in the segment is equal to the energy flowing-in at x minus that flowing-out at x + x. We now divide by x, take the limit x 0 and obtain the partial differential equation (3.1) c v ρa u t (x, t) = φ x (x, t) where we have taken ξ x as x 0. This equation expresses conservation of energy. The equation which we have derived contains two unknown functions u and φ. In addition to this we have another constitutive relation which formulates the conductivity

7 of a material. The simplest form of such a relation is (3.2) φ(x, t) = KAu x (x, t) which states that the heat flux is proportional to temperature difference, and it is based on experimental observations. The constant K depends on the material, it is called thermal conductivity and it is measured in calories/(cm sec degree C). We substitute the constitutive relation Eq. (3.2) into Eq. (3.1) and obtain a partial differential equation for the temperature u(x, t): (3.3) c v ρ u t (x, t) = K u xx (x, t) We may now introduce the thermal diffusivity k k = K c v ρ with dimensions and write the above equation in the simpler form (3.4) u t (x, t) = k u xx (x, t) calories cm sec degreec calories gram gram degreec cm 3 = cm2 sec which is called the heat equation or diffusion equation. In defining the system more precisely we assume that the rod has length l extending in 0 < x < l. Let us choose as initial condition that the rod is, at time t = 0, at zero temperature: u(x, 0) = 0 for 0 < x < l and as boundary conditions that the two ends of the rod is at a temperature T 0 : u(0, t) = u(l, t) = T 0 for t > 0. Having formulated the problem we note that the equation contains one independent variable (u) and two dependent ones (x, t). We have no reason to believe that the usual physical units for these variables (i.e., degree C, cm, sec) are the most appropriate ones. Let us choose different units and see how the equation transforms. Looking at parameters of our problem we note that the constants l, T 0 and l 2 /k have dimensions of length, temperature and time, respectively. We therefore define x = x l, t = t l 2 /k, ū = u. T 0 The new variables are dimensionless since each of the original variables is divided by a constant with the same dimensions as the variable. An advantage of the new variables is that they all seem to vary from zero to unity, e.g., 0 < x < 1. A simple application of the chain rule gives in the heat equation gives ū t = ū x x while the initial and boundary conditions become ū( x, 0) = 0 for 0 < x < 1 ū(0, t) = ū(1, t) = 1 for t > 0. An advantage of the formulation with dimensionless variables is that no physical constants appear in the equation. The heat equation in its latter form essentially states 7

8 8 that the rate of change of temperature in time is on the order of the rate of change of the temperature in space A chemical reaction. ([2]) Let us suppose a chemical reactor of volume V. This is fed with a substance C on the one end, which is taking part in a chemical reaction inside the reactor, and what is left exits on the other end of the reactor. We assume that the substance C is contained in a solution which is fed at a rate q in the reactor and it exits at the same rate q. The substance is consumed at a rate k in the reactor. The dimensions of these parameters are q : volume time 1 k : time We further assume that the incoming substance has a constant concentration(density) c i while the outgoing has a concentration which is a function of time c(t) (with dimensions mass/volume). We can derive an equation for c(t) if we write an equation for the conservation of mass of the substance C. It is easy to see that the incoming mass of the substance is qc i, the outgoing mass is qc(t), and the mass consumed in the reactor is V kc(t). The mass of C in the reactor is V c(t) and thus the rate of change of this mass is d dt [V c(t)] = qc i qc(t) V kc(t). In order to define the initial value problem we assume that at t = 0 the incoming density is c(t) = c 0. As a first step we can write the above equation in the simpler form dc dt = q V (c i c) kc, t > 0 c(0) = c 0. Let us try to simplify the equations. An inherent measure for the concentration in this problem is the quantity c i, while a typical time scale for time is the inverse of k. We will use these quantities as new units for concentration and time respectively, that is we define the following new variables: The equation takes the form C = c, τ = t = kt. c i k 1 (3.5) dc = β(1 C) C, τ > 0 dτ C(0) = γ where the new constants are dimensionless. β = q V k, γ = c 0 c i

9 A careful reader would have already noted that there are more possibilities for scaling our original equation. We may write the new dimensionless variables C = c c i, τ = t V/q. The scaled equation now reads (3.6) β dc dτ = β(1 C) C and looks different than the first scaled equation. Both scaled equations are correct but one may be more suitable than the other for a specific problem. Take as an example the case of a rapid chemical reaction where k q/v β 1. The form of Eq. (3.5) indicates that the second term on the rhs is much more important than the first term. Therefore one may, for example, write the approximation dc = C C(τ) = γ exp( τ) dτ which is reasonable as it states that a rapid rate of reaction leads to rapid consumption of the substance C. On the other hand, if one would try to apply the condition β 1 in Eq. (3.6) and obtain an approximate solution, one could be misled to the conclusion that the second term on the rhs is much larger than the other terms in the equation. This would however not lead to any reasonable approximation of the equation. Exercise. Suppose the rate of reaction in the reactor is r(c) = kc 2. Write the equations for the reaction. Example. In order to understand the difficulties arising in some of the approximations used above, let us suppose a function of the form f(t) = t + e 100t. Its derivative is f (t) = e 100t and it of order unity for t 1 but takes very different values for t 1. We say that this has two different scales. It is obvious that the approximation for differential equation which may have solutions of this form should be done appropriately in the different regimes for the variable t. Note also that similar problems are important in methods for numerical solutions of differential equations. Bibliography: [2, 3] 9

10 10 4. Μοντέλα από την Βιολογία 4.1. Απλά πληθυσμιακά μοντέλα. Υποθέτουμε ένα βιολογικό είδος. Θα θέλαμε να μελετήσουμε την ανάπτυξη του πληθυσμού του N = N(t). Ας θεωρήσουμε ως κυριότερες αιτίες μεταβολής του πληθυσμού τις γεννήσεις και τους φυσιολογικούς θανάτους. Στην απλούστερη περίπτωση θεωρούμε ότι οι γεννήσεις αλλά και οι θάνατοι είναι ανάλογοι του μεγέθους του πληθυσμού. Δηλαδή, οι κατά κεφαλήν ρυθμοί γεννήσεων (b) και θανάτων (d) είναι σταθεροί. Ωστε γράφουμε ένα μοντέλο dn dt = bn dn, b, d > 0. το οποίο δίνει αύξηση (λόγω γεννήσεων) και μείωση (λόγω θανάτων) ανάλογες του πληθυσμού και αγνοεί άλλα φαινόμενα, π.χ., μετανάστευση κλπ. Η λύση της εξίσωσης είναι N(t) = N 0 e (b d)t, N 0 = N(t = 0). Αν b > d ο πληθυσμός αυξάνει. Θεωρούμε ως πιό φυσιολογικό γιά ένα είδος την αύξηση του πληθυσμού του οπότε θα γράφουμε συνήθως (4.1) dn dt = rn, όπου r μία θετική σταθερά. Παρατηρούμε όμως αμέσως ότι το μοντέλο αυτό δεν μπορεί να ισχύει για μεγάλο N διότι τότε ο πληθυσμός αυξάνει απεριόριστα. Διορθώνουμε το μοντέλο ως εξής (4.2) dn dt = rn ( 1 N K και αυτό το ονομάζουμε λογιστικό μοντέλο. Γιά N K το μοντέλο αυτό δίνει παρόμοια αποτελέσματα με το προηγούμενο, άρα r είναι και πάλι ο ρυθμός ανάπτυξης του πληθυσμού όταν το N είναι μικρό. Οσο το N γίνεται μεγαλύτερο βλέπουμε ότι ο ρυθμός αύξησης μειώνεται λόγω της παρουσίας του παράγοντα (1 N/K) και γιά N K ο νέος νόμος είναι σημαντικά διαφορετικός από τον προηγούμενο. Γιά N > K ο ρυθμός αύξησης γίνεται αρνητικός, έχουμε δηλαδή μείωση του πληθυσμού. Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι το K είναι το μέγεθος του πληθυσμού πάνω από το οποίο σταματάει η αύξηση του είδους διότι ενδεχομένως αυτός επιβαρύνει υπέρμετρα το περιβάλλον ή γιά άλλους λόγους. Η λύση της εξίσωσης (4.2) είναι (4.3) N(t) = ) N 0 Ke rt K + N 0 (e rt 1). Παρατηρούμε ότι, γιά r > 0, ισχύει N(t) K όταν t Η εξίσωση (4.2) είναι μία μη-γραμμική εξίσωση, διότι ο δύτερος όρος στο δεξιό μέλος της (αν το αναπτύξουμε) είναι τετραγωνικός στη μεταβλητή N. Αυτή είναι μία σημαντικά διαφορά σε σύγκριση με το γραμμικό μοντέλο (4.1). Μία σημαντική πληροφορία που θα θέλαμε να εξάγουμε από τα πληθυσμιακά μοντέλα αφορά τον πληθυσμό ισορροπίας του συστήματος. Ρωτάμε δηλαδή ποιός είναι εκείνος ο πληθυσμός ο οποίος όταν τον φθάσει το σύστημα τότε αυτός παραμένει σταθερός στον

11 11 χρόνο. Η συνθήκη γιά αυτό είναι dn/dt = 0 άρα ( rn 1 N ) = 0 N = 0 K ή N = K. Συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός των ατόμων θα ισορροπήσει είτε όταν εξαφανισθούν όλα τα άτομα (N = 0) είτε όταν φθάσουν τον αριθμό (N = K). Γιά την πιό ενδιαφέρουσα περίπτωση r > 0 θα ισχύσει η δεύτερη εκδοχή, όπως έχουμε ήδη δει από τη λύση (4.3). Τα μοντέλα που περιγράφηκαν εδώ είναι σχετικά απλά και μας παρέχουν μία πρώτη ε- παφή με το αντικείμενο. Είναι πάντως συνήθως ανεπαρκή για να περιγράψουν πραγματικά συστήματα, μπορούν όμως να βελτιωθούν και να γίνουν πιό ρεαλιστικά. Άσκηση. Κανονικοποιήστε κατάλληλα την ανεξάρτητη και εξαρτημένη μεταβλητή (t και N) και γράψτε την Εξ. (4.2) σε κανονική μορφή. Επίσης γράψτε την λύση της κανονικής μορφής και συνδέστε την με την λύση που δώθηκε παραπάνω. Άσκηση. Κάνετε τη γραφική παράσταση της λύσης της λογιστικής εξίσωσης (4.2). Δοκιμάστε διάφορες αρχικές συνθήκες Μοντέλο κυνηγού-θηράματος Lotka-Volterra. Σε μία λίμνη ζουν δύο είδη ψαριών: το Α, το οποίο ζει τρώγωντας χόρτα (τα οποία υποθέτουμε ότι υπάρχουν σε αφθονία) και το Β (κυνηγός) το οποίο τρέφεται τρώγοντας το Α (θήραμα). Χρειαζόμαστε ένα μοντέλο για την αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο ειδών. Εστω x(t) ο πληθυσμός του είδους Α και y(t) ο πληθυσμός του Β. Υποθέτουμε ότι ο πληθυσμός του Α αυξάνει ακολουθώντας έναν απλό νόμο όταν αυτό αφήνεται ελεύθερο από εξωτερικές επιδράσεις. Σε χρόνο δt έχουμε αύξηση δx κατά ax δt, a > 0 όπου έχει ληφθεί υπ όψιν ένας σταθερός ρυθμός κατά κεφαλήν γεννήσεων και θανάτων όπως ακριβώς στο μοντέλο (4.1). Υποθέτουμε τώρα ότι ο ρυθμός μείωσης του Α είναι ανάλογος των συναντήσεων μεταξύ Α και Β: cxy δt, c > 0 διότι τα Α τρώγονται από τα Β. Άρα έχουμε συνολική μεταβολή το οποίο σε διαφορική μορφή γράφεται δx = ax δt cxy δt, (4.4) ẋ = ax cxy. Τώρα υποθέτουμε ότι (απουσία του είδους Α, δηλ., της τροφής) για το Β έχουμε θανάτους και όχι γεννήσεις, άρα μία μεταβολή, εξ αυτού του λόγου, δy της μορφής by δt, b > 0. Από την άλλη μεριά, οι γεννήσεις του Β αναμένουμε ότι εξαρτόνται άμεσα από την ύπορξη τροφής. Υποθέτουμε λοιπόν αύξηση του πλυθυσμού του Β, λόγω εύρεσης τροφής, ανάλογη με τις συναντήσεις μεταξύ Α και Β: dxy δt, d > 0.

12 12 Τελικά έχουμε, σε διαφορική μορφή, τον ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού y (4.5) ẏ = by + dxy. Εχουμε να μελετήσουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων πρώτης τάξης (4.4), (4.5). Σημειώνουμε ότι υπάρχει ο περιορισμός x 0, y 0 (οι πληθυσμοί πρέπει να είναι θετικοί αριθμοί). Σημεία ισορροπίας. Το πρώτο βήμα γιά την μελέτη του συστήματος είναι να βρούμε τα σημεία ισορροπίας του, δηλαδή εκείνα τα σημεία για τα οποία έχουμε ẋ = 0, ẏ = 0: ax cxy = 0, bx + dxy = 0. Οι λύσεις των εξισώσεων δίνουν τα δύο σημεία (4.6) (0, 0) (b/d, a/c). Το πρώτο σημείο μας λέει απλώς ότι εάν αρχικώς δεν έχουμε κανένα Α και κανένα Β τότε κανένα είδος δεν πρόκειται να δημιουργηθεί. Το δεύτερο σημείο ισορροπίας παριστάνει μια κατάσταση του συστήματος στην οποία οι πληθυσμοί των δύο ειδών παραμένουν αμετάβλητοι στον χρόνο. (Δείτε τα δύο σημεία ισορροπίας στο διάγραμμα φάσεων στο σχήμα 2.) Φασικές καμπύλες. Το επόμενο βήμα είναι να βρούμε τις καμπύλες του διαγράμματος φάσεων. Αυτές ικανοποιούν την εξίσωση dy ( b + cx)y = dx (a cy)x, η οποία μπορεί να λυθεί αν διαχωρίσουμε τα x και y: a cy b + dx dy = dx, y x και παίρνουμε λύση (4.7) (cy a ln y) + (dx b ln x) = C. Το C είναι μιά αυθαίρετη σταθερά, η οποία παίζει τον ρόλο της παραμέτρου της οικογένειας καμπυλών του διαγράμματος φάσεων. Παρατηρούμε ότι το αριστερό μέλος της (4.7) είναι της μορφής f(x) + g(y), όπου f(x) = dx b ln x και g(y) = cy a ln y. Η συνάρτηση f(x) + g(y) έχει ελάχιστο στο σημείο όπου d[f(x) + g(y)]/dx = 0 df(x)/dx = 0 και d[f(x) + g(y)]/dy = 0 dg(y)/dy = 0. Βρίσκουμε (4.8) df dx = 0 b x d = 0 x = b d, dg dy = 0 a y c = 0 y = a c. Δηλαδή το δεξιό μέλος της (4.7) έχει ελάχιστο στο δεύτερο σημείο της Εξ. (4.6), δηλ. το (b/d, a/c). Γύρω από το σημείο ισορροπίας (4.8) οι καμπύλες του διαγράμματος φάσεων είναι κλειστές καμπύλες. Μπορούμε τώρα να σχεδιάσουμε το διάγραμμα φάσεων. Κάθε καμπύλη έχει μια κατεύθυνση η οποία δείχνει την αλλαγή της κατάστασης με την ροή του χρόνου. Την κατεύθυνση μπορούμε να την βρούμε, π.χ., υπολογίζοντας το πρόσημο του ẋ σε ένα σημείο x = b/d, y > a/c. Αν βρούμε την κατεύθυνση σε ένα σημείο όλες οι άλλες κατευθύνσεις προκύπτουν από ιδιότητες συνέχειας. Εφ όσον οι καμπύλες είναι κλειστές οι πληθυσμοί x(t), y(t) είναι περιοδικές συναρτήσεις του χρόνου. Η χρονική στιγμή που ο πληθυσμός Β είναι μέγιστος είναι περίπου ένα τέταρτο

13 13 y a ( d b, c ) O x Σχημα 2. Το διάγραμμα φάσεων του μοντέλου Lotka-Volterra. Ολες οι καμπύλες είναι κλειστές, παρ ότι ορισμένες βγαίνουν εκτός του πλαισίου. (Στο παράδειγμα του σχήματος έχουμε χρησιμοποιήσει a = 1, b = 2, c = 1, d = 1 οπότε τα σημεία ισορροπίας είναι τα (0, 0), (2, 1). Εχουμε σχεδιάσει τις καμπύλες της Εξ. (4.7) γιά C = 1.7, 2.2, 2.7, 3.2, 3.7.) της περιόδου μετά από την στιγμή που ο πληθυσμός Α ήταν στο μέγιστο. Οταν το Β τρώει το Α ο πληθυσμός του αυξάνει ενώ αυτός του Α μειώνεται. Αυτό έχει σαν συνέπεια να μειωθεί αργότερα το Β. Ακολούθως αυξάνεται το Α διότι δεν υπάρχουν πολλά άτομα από το Β για να το φάνε και ο κύκλος ξαναρχίζει. Τέτοιες συμπεριφορές έχουν παρατηρηθεί σε βιολογικά συστήματα. Τα παραπάνω αποτελέσματα δείχνουν ότι, αναλόγως των αρχικών συνθηκών, κάθε σύστημα κινείται για πάντα πάνω σε μία από τις κλειστές καμπύλες του διαγράμματος φάσεων. Μόνο εάν υποθέσουμε ότι υπάρξει κάποια ξαφνική αλλαγή στις συνθήκες του περιβάλοντος, π.χ., έλλειψη φυτικής τροφής κάποια χρονιά, τότε το σύστημα θα μεταβεί σε κάποια άλλη από τις κλειστές καμπύλες του διαγράμματος φάσεων (αυτό βέβαια δεν περιγράφεται από το παρόν μοντέλο). Σε κάθε περίπτωση το σύστημα παραμένει εγκλωβισμένο σε μία από τις κλειστές καμπύλες του διαγράμματος. Αυτό μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα μειονέκτημα του μοντέλου. Σε πολλά βιολογικά συστήματα θα περίμενε κανείς ότι το σύστημα θα είχε μια συγκεκριμένη κατάσταση ισσοροπίας (πιθανόν μία περιοδική κατάσταση) στην οποία θα επανερχόταν μετά από κάθε προσωρινή διαταραχή των εξωτερικών συνθηκών. Η συμπεριφορά του παρόντος μοντέλου πάντως είναι χρακτηριστική για όλα τα συστήματα τα οποία έχουν ένα πρώτο ολοκλήρωμα όπως το (4.7) Μοντέλα ανταγωνισμού δύο ειδών. Μία άλλη κατηγορία προβλημάτων είναι αυτά που αναφέρονται σε δύο είδη τα οποία ανταγωνίζονται γιά το ίδιο είδος τροφής. Τα μοντέλα που τα περιγράφουν είναι, κατά ένα μέρος, παρόμοια με το Lotka-Volterra. Θα θεωρήσουμε λοιπόν, αρχικά, ένα μοντέλο τύπου Lotka-Volterra με μία όμως σημαντική αλλαγή.

14 14 Υποθέτουμε ότι κάθε είδος αυξάνει απεριόριστα όταν δεν έρχεται σε επαφή με το άλλο είδος. Εχουμε το μοντέλο dn 1 (4.9) = r 1 N 1 c 1 N 1 N 2 dt dn 2 = r 2 N 2 c 2 N 1 N 2, dt όπου r 1, r 2 δίνουν τους ρυθμούς αύξησης των πληθυσμών γιά μικρά N 1, N 2. Στη συνέχεια, γιά να κάνουμε το μοντέλο πιό ρεαλιστικό εισάγουμε τη λογιστική ανάπτυξη γιά κάθε ένα από τα δύο είδη. Οπότε έχουμε το μοντέλο ( dn 1 = r 1 N 1 1 N ) 1 N 2 (4.10) b 12 dt K 1 dn 2 dt K 1 = r 2 N 2 ( 1 N 2 K 2 b 21 N 1 K 2 όπου οι K 1, K 2 είναι οι αριθμοί γιά τους οποίους έχουμε κορεσμό των αντίστοιχων πληθυσμών και b 12, b 21 είναι συντελεστές που μετρούν την επίδραση του ανταγωνισμού στους N 1 και N 2 αντίστοιχα. Μοντέλα τύπου Lotka-Volterra, σαν και το παραπάνω, τα οποία περιλαμβάνουν την λογιστική ανάπτυξη θεωρούνται ότι δίνουν αποτελέσματα πιο κοντά στην πραγματικότητα. ), 4.4. Μοντέλο επιδημιών. Θεωρούμε την εξάπλωση επιδημίας σε έναν σταθερό πληθυσμό. Θα μπορούσε κανείς να υποθέσει, γιά παράδειγμα, την εξάπλωση μία επιδημίας γρίπης σε ένα χωριό. Οι σημαντικότερες υποθέσεις που θα κάνουμε είναι οι ακόλουθες. Ο συνολικός πληθυσμός παραμένει σταθερός κατά τη διάρκεια της επιδημίας. Αυτό συμβαίνει διότι η επιδημία διαρκεί ένα μικρό χρονικό διάστημα και έτσι μπορούμε να αγνοήσουμε τις λίγες γεννήσεις και θανάτους σε αυτό το διάστημα. Επίσης, υποθέτουμε ότι η επιδημία δεν είναι θανατηφόρα. Η επιδημία μεταδίδεται με την επαφή αρρώστου με υγιή. Οσοι αναρρώνουν έχουν ανοσία. Αγνοούμε την περίοδο επώασης της αρρώστιας. Ας δούμε τις μεταβλητές με τις οποίες θα περιγράψουμε το πρόβλημα. Σε δεδομένη στιγμή t έχουμε S(t): τον αριθμό των υγιών οι οποίοι δεν έχουν αρρωστήσει και άρα είναι δυνατόν να αρρωστήσουν. I(t): τον αριθμό των αρρώστων. R(t): τον αριθμό αυτών που έχουν αναρρώσει και πλέον έχουν ανοσία. Υποθέτουμε τώρα ένα σταθερό ρυθμό επαφών μεταξύ των υγειών και των αρρώστων εκ των οποίων ένα ποσοστό οδηγεί στην μετάδοση της ασθένειας. Άρα σε χρόνο δt έχουμε δs = βsi δt νέους αρρώστους. Υποθέτουμε επίσης ότι οι άρρωστοι αναρρώνουν με ρυθμό γ, άρα δi = βsi δt γi δt.

15 Η αύξηση του πληθυσμού αυτών με ανοσία είναι δr = γi δt. Σε διαφορική μορφή οι παραπάνω σχέσεις δίνουν το σύστημα των εξισώσεων (4.11) Γιά το σύστημα αυτό βρίσκουμε Ṡ = βsi I = βsi γi Ṙ = γi. d (4.12) (S + I + R) = 0 S + I + R = N, dt δηλαδή βρίσκουμε ότι ο συνολικός πληθυσμός παραμένει σταθερός και τον παριστάνουμε με N. Λέμε ότι έχουμε ένα ολοκλήρωμα των εξισώσεων. Παρατηρούμε ότι η τρίτη εξίσωση του συστήματος προκύπτει από τις δύο πρώτες αν χρησιμοποιήσουμε το ολοκλήρωμα (4.12). Συγκεντρώνουμε στη συνέχεια την προσοχή μας στις δύο πρώτες εξισώσεις. Γιά το διάγραμμα φάσεων στο επίπεδο (S, I) έχουμε (α) Σημεία ισορροπίας: Θέτουμε Ṡ = 0 = I και βρίσκουμε (4.13) SI = 0, (βs γ)i = 0 I = 0, S > 0, δηλαδή όλα τα σημεία του άξονα S (για S > 0) είναι σημεία ισορροπίας. (β) Οι εξίσωση των καμπυλών του διαγράμματος φάσεων: di βsi γi (4.14) = = 1 + γ ( 1 ds βsi β S di = 1 + γ ) 1 ds I = γ β S β ln S S + C όπου το C είναι μιά σταθερά (η παράμετρος της οικογένειας των καμπυλών). Επειδή τώρα di ds = γ β 1 S = 0 S = γ β, ο αριθμός των αρρώστων I είναι μέγιστος (για μιά συγκεκριμένη καμπύλη) όταν ο αριθμός των υγιών είναι S = γ/β. Βιβλιογραφία: [9, 12, 11] 5. Διάγραμμα φάσεων Οι λύσεις των συστημάτων εξισώσεων τα οποία είδαμε στα προηγούμενα παραδείγματα είναι της μορφής x = x(t), y = y(t) και δίνουν τους πληθυσμούς δύο ειδών σαν συνάρτηση του χρόνου. Ας μελετήσουμε σε κάποια περισσότερη γενικότητα συτήματα τέτοιων εξισώσεων. Ξεκινάμε θεωρώντας το απλό παράδειγμα dx dt = by, dy = ax, a, b > 0. dt Γιά να βρούμε τα σημεία ισορροπίας θέτουμε dx/dt = 0, dy/dt = 0 και βρίσκουμε x = 0, y = 0, δηλαδή, το το (x, y) = (0, 0) είναι το μοναδικό σημείο ισορροπίας. Αν επεκταθούμε πέραν του σημείου ισορροπίας τότε οι πληθυσμοί θα εξελίσσονται στον χρόνο και γιά κάθε χρονική στιγμή μπορούμε να ορίσουμε το σημείο (x(t), y(t)). Αυτά τα σημεία είναι χρήσιμα διότι 15

16 16 συμβαίνει πολλές φορές να ενδιαφερόμαστε γιά την σχέση του ενός πληθυσμού με τον άλλον αφήνοντας σε δεύτερη μοίρα την ακριβή εξέλιξή του καθενός με τον χρόνο. Μπορούμε λοιπόν να θεωρήσουμε το επίπεδο (x, y) το οποίο ονομάζουμε χώρο των φάσεων. Κάθε σημείο στον χώρο των φάσεων παριστάνει μία κατάσταση του συστήματος (π.χ., έναν συγκεκριμένο συνδυασμό πληθυσμών). Είναι απλό να φανταστούμε ότι με την εξέλιξη του χρόνου t το αντίσοιχο σημείο (x(t), y(t)) διαγράφει μία καμπύλη στο χώρο των φάσεων. Γενικότερα, οι λύσεις του συστήματος των εξισώσεων περιγράφονται από οικογένειες καμπυλών του χώρου των φάσεων. Γιά να βρούμε τις καμπύλες ας θεωρήσουμε ότι το y εξαρτάται από τον χρόνο μέσω του x. Ο κανόνας της αλυσίδας μας δίνει (5.1) Παράδειγμα. Θεωρούμε το σύστημα dy dt = dy dx dx dt dy dx = dy/dt dx/dt. dx dt = y, dy dt = ax, a > 0. Οι καμπύλες του διαγράμματος φάσεων βρίσκονται από την εξίσωση dy dx = ax y, η οποία λύνεται με χωρισμό μεταβλητών: (5.2) y dy = ax dx ax 2 + y 2 = C. Το C μπορεί να πάρει, κατ αρχήν, οποιαδήποτε τιμή. Για C = 0 η Εξ. (5.2) ικανοποιείται μόνο γιά το σημείο ισορροπίας (0, 0). Γιά κάθε τιμή C > 0 παίρνουμε ελλείψεις που περικλείουν το σημείο ισορροπίας. Άρα λένε ότι οι καμπύλες του διαγράμματος φάσεων είναι ελλείψεις. Τέλος γιά C < 0 η Εξ. (5.2) δεν ικανοποιείται γιά κανένα σημείο. Παράδειγμα. Θεωρούμε το σύστημα dx (5.3) dt = y, dy = ax, a > 0. dt Οι καμπύλες του διαγράμματος φάσεων βρίσκονται από την (5.4) dy dx = ax y, y dy = ax dx ax 2 y 2 = C. Γιά κάθε τιμή C > 0 παίρνουμε υπερβολές συμμετρικές ως προς τον άξονα x. Γιά κάθε τιμή C < 0 παίρνουμε υπερβολές συμμετρικές ως προς τον άξονα y. Τέλος γιά C = 0 η Εξ. (5.2) δίνει y = ± a x, δηλαδή ευθείες που περνάνε από το σημείο ισορροπίας (0, 0). Βιβλιογραφία: [4, 9] 6. Συστήματα δύο εξισώσεων 1ης τάξης Τα συστήματα τα οποία έχουμε μελετήσει είναι συστήματα δύο εξισώσεων πρώτης τάξης. Συστήματα εξισώσεων πρώτης τάξης, προκύπτουν σαν μοντέλα συστημάτων στην μηχανική,

17 βιολογία, χημεία και αλλού. Η γενικής τους μορφή είναι ẋ = X(x, y) ẏ = Y (x, y). Ας συνοψίσουμε τα βασικά σημεία τα οποία μας ενδιαφέρει να μελετήσουμε σε τέτοια συστήματα: (α) Τα σημεία ισορροπίας, δηλαδή τα σημεία στα οποία X(x, y) = 0, Y (x, y) = 0. (β) Το διάγραμμα φάσεων, οι καμπύλες του οποίου δίνονται από την εξίσωση (γ) Οι λύσεις του συστήματος Βιβλιογραφία: [9, 8] dy Y (x, y) = dx X(x, y). x = x(t), y = y(t). 7. Διάγραμμα φάσεων γιά εξισώσεις 2ης τάξης 7.1. Το απλό εκκρεμές. Η εξίσωση κίνησης για το απλό εκκρεμές είναι (7.1) ml 2 θ + mgl sin θ = 0, όπου m, g, l είναι σταθερές. Παρατηρούμε ότι θ = d θ dt = d θ dθ και γράφουμε την εξίσωση (7.1) ως dθ dt = d θ dθ θ ml 2 d θ θ + mgl sin θ = 0. dθ Ετσι, ενώ είχαμε εξίσωση για την μεταβλητη θ με τον χρόνο t, τώρα έχουμε περάσει σε μιά εξίσωση γιά το θ ως συνάρτηση του θ. Ολοκληρώνουμε την τελευταία εξίσωση ml 2 θ d θ + mgl sin θ dθ = 0 και βρίσκουμε 1 (7.2) 2 ml2 θ2 mgl cos θ = C, το οποίο είναι ολοκλήρωμα της κίνησης (είναι μάλιστα το ολοκλήρωμα της ενέργειας). Εάν υποθέσουμε κάποιες αρχικές συνθήκες θ(t = 0), θ(t = 0) τότε μπορούμε να τις αντικαταστήσουμε στο αριστερό μέλος της παραπάνω εξίσωσης και έτσι να βρούμε την σταθερά C. Είναι προφανές ότι γιά κάθε ζευγάρι αρχικών συνθηκών θα βρίσκουμε, εν γένει, διαφορετική σταθερά C, δηλαδή, κάθε τιμή της C αντιστοιχεί σε διαφορετική λύση του προβλήματος. Γιά την εξίσωση (7.1) δεν μπορεί να δωθεί η λύση σε κλειστή μορφή. Ομως, με την βοήθεια του ολοκληρώματος (7.2) μπορούμε να δώσουμε ένα διάγραμμα της κίνησης του 17

18 18 συστήματος στον χώρο των καταστάσεων του. Η κάθε κατάσταση του συστήματος καθορίζεται από τις τιμές των δύο μεταβλητών θ και θ. Ο χώρος των δύο αυτών μεταβλητών [δηλαδή, το επίπεδο (θ, θ)] λέγεται χώρος των φάσεων. Η Εξ. (7.2) ορίζει καμπύλες στον χώρο των φάσεων. Σχημα 3. Διάγραμμα φάσεων για το απλό εκκρεμές. (Από το βιβλίο [9].) Παρατηρούμε ότι η Εξ. (7.2) δίνει C mgl cos θ και άρα έχουμε C mgl. Ετσι η διερεύνηση του διαγράμματος φάσεων μπορεί να περιορισθεί στις αποδεκτές τιμές του C. Για την κατανόηση του διαγράμματος φάσεων του απλού εκκρεμούς, στο Σχήμα 9, θα εξετάσουμε τρείς περιπτώσεις Σημεία ισορροπίας. Θεωρούμε C = mgl, οπότε η εξίσωση (7.2) ικανοποιείται μόνο για θ = 0, και θ = 0, ±2π,.... Αυτές οι τιμές παριστάνονται με μεμονωμένα σημεία στο διάγραμμα φάσεων, ενώ οι αντίστοιχες λύσεις των εξισώσεων (7.1) είναι θ(t) = 0, ±2π,.... Εξετάζουμε επίσης την περίπτωση C = mgl. Η εξίσωση (7.2) ικανοποιείται για θ = 0, και θ = ±π, ±3π,.... Επιπλέον η εξίσωση κίνησης (7.1) δίνει θ = 0 γιά αυτές τις τιμές του θ, συνεπώς έχουμε λύσεις θ(t) = ±π, ±3π,.... Άρα αυτά είναι σημεία ισορροπίας. Τα σημεία του χώρου φάσεων (θ, θ) = (0, 0), (0, ±2π),... και (θ, θ) = (0, ±π),... λέγονται σημεία ισορροπίας και αντιστοιχούν σε θέσεις όπου το εκκρεμές παραμένει ακίνητο Περιοδική κίνηση. Γιά C mgl (αλλά C > mgl) μπορούμε να γράψουμε cos θ 1 θ 2 /2 ώστε η (7.2) γράφεται ) 1 2 ml2 θ2 mgl (1 θ2 = C 2 θ 2 + g l θ2 = C, όπου C είναι μία νέα σταθερά. Η τελευταία εξίσωση δίνει μία οικογένεια ελλείψεων στο διάγραμμα φάσεων, οι οποίες περιβάλλουν το σημείο ισορροπίας θ = 0, θ = 0. Γιά C = 0 βρίσκουμε το σημείο ισορροπίας (θ = 0 = θ) και γιά κάθε C > 0 έχουμε μία έλλειψη Σαγματικά σημεία. Γιά C mgl βρισκόμαστε κοντά στα σημεία ισορροπίας (±π, 0). Μπορούμε να γράψουμε γιά θ π την προσέγγιση cos θ cos π (cos θ) θ=π (θ π) +

19 (cos θ) θ=π (θ π)2 /2 = 1 + (θ π) 2 /2 ώστε η (7.2) γράφεται ) 1 2 ml2 θ2 (θ π)2 mgl ( 1 + = C 2 θ 2 g l (θ π)2 = C, όπου C είναι μία νέα σταθερά. Αν ορίσουμε θ 1 := θ π τότε γιά καμπύλες κοντά στο σημείο (±π, 0) έχουμε την εξίσωση θ 2 1 g l θ2 1 = C η οποία περιγράφει μία οικογένεια υπερβολών στο διάγραμμα φάσεων, οι οποίες περιβάλλουν το σημείο ισορροπίας θ = π, θ = 0. Ομοιο αποτέλεσμα έχουμε και γιά το σημείο θ = π, θ = 0. Τα σημεία (±π, 0) που βρίσκονται ανάμεσα στις υπερβολές λέγονται σαγματικά σημεία και θα μελετηθούν αναλυτικότερα στη συνέχεια Περιστροφική κίνηση. Εστω C > mgl, οπότε η (7.2) δίνει θ2 > 0 (δηλ. θ 0). Αυτό σημαίνει ότι το θ είναι μία μονότονη συνάρτηση του χρόνου. Για θ > 0 παίρνουμε μηκλειστές καμπύλες με φορά από αρνητικά θ προς θετικά, ενώ για θ < 0 παίρνουμε αντίστοιχες καμπύλες με αντίθετη φορά. Οι καμπύλες αυτές αντιστοιχούν σε συνεχή περιστροφική κίνηση του εκκρεμούς. Είδαμε λοιπόν τα ακόλουθα: Κάθε ζευγάρι (θ, θ) είναι μία κατάσταση του συστήματος και καθορίζει την χρονική του εξέλιξη μέσω του προβλήματος αρχικών τιμών. Αυτή η εξέλιξη περιμένουμε να περιγράφεται εν γένει με μία συνεχή καμπύλη στο διάγραμμα φάσεων. Ο χρόνος t δεν εμφανίζεται στο διάγραμμα φάσεων αλλά η χρονική εξέλιξη υποδηλώνεται από τα βελάκια στις φασικές καμπύλες. Σημαντικά σημεία του διαγράμματος φάσεων είναι τα σημεία ισορροπίας τα οποία παριστάνουν λύσεις θ = const. της εξίσωσης κίνησης. Οι τροχιές γύρω από σημείο ισορροπίας μπορεί να είναι κλειστές καμπύλες, οπότε ονομάζουμε το σημείο ισορροπίας ευσταθές. Γενικότερα, αν μία μικρή διαταραχή από το σημείο ισορροπίας δεν οδηγεί (μέσω κάποιων φασικών καμπυλών) μακριά από αυτό, τότε ονομάζουμε το σημείο ισορροπίας ευσταθές. Εάν μία μικρή διαταραχή από το σημείο ισορροπίας οδηγεί (μέσω κάποιων φασικών καμπυλών) μακριά από αυτό, τότε ονομάζουμε το σημείο ισορροπίας ασταθές Εξισώσεις 2ης τάξης ως σύστημα εξισώσεων 1ης τάξης. Γενικεύουμε την περίπτωση του προηγουμένου παραδείγματος και υποθέτουμε την εξίσωση 2ης τάξης ẍ = f(x, ẋ) η οποία περιγράφει, π.χ., την κίνηση ενός μηχανικού συστήματος. Η κατάσταση του συστήματος καθορίζεται από τις τιμές των x, ẋ. Γιά να λύσουμε την εξίσωση (το πρόβλημα αρχικών τιμών) χρειαζόμαστε τις τιμές των μεταβλητών σε κάποια χρονική στιγμή [x(t 0 ), ẋ(t 0 )]. Αυτό δίνει την αφορμή να γράψουμε την παραπάνω εξίσωση σε μία νέα μορφή όπου τα x και ẋ θα εμφανίζονται σαν ανεξάρτητες μεταβλητές. Δίνουμε ένα νέο όνομα στο ẋ: ẋ = y 19

20 20 και η αρχική εξίσωση γράφεται ẏ = f(x, y). Οι δύο τελευταίες αποτελούν ένα σύστημα δύο εξισώσεων 1ης τάξης το οποίο είναι ισοδύναμο με την αρχική εξίσωση 2ης τάξης. Το διάγραμμα φάσεων του συστήματος των εξισώσεων βρίσκεται στο επίπεδο (x, y). Η κίνηση του συστήματος ικανοποιεί την εξίσωση (7.3) ẏ f(x, y) = dy ẋ y dx f(x, y) =. y Η εξίσωση αυτή μπορεί κατ αρχήν να δώσει λύσεις y = y(x) οι οποίες ορίζουν τις καμπύλες του διαγράμματος φάσεων στο επίπεδο (x, y). Παράδειγμα: Βρείτε το διάγραμμα φάσεων για την εξίσωση ẍ + a sin x = 0. Αυτή είναι η εξίσωση για το απλό εκκρεμές. Γράφουμε ẋ = y, ẏ = a sin x. Τα σημεία ισορροπίας βρίσκονται αν θέσουμε ẋ = 0, ẏ = 0 και λύσουμε το αλγεβρικό σύστημα που προκύπτει: y = 0 a sin x = 0. Οι λύσεις είναι y = 0, x = 0, ±π, ±2π,.... Παρατηρήστε ότι όλα τα σημεία ισορροπίας βρίσκονται στον άξονα x. Οι καμπύλες του διαγράμματος φάσεων δίνονται από την dy sin x = a dx y y dy = a sin x dx 1 2 y2 a cos x = C. Για κάθε τιμή της παραμέτρου C παίρνουμε μία καμπύλη στο διάγραμμα φάσεων (Σχήμα 3). Σχημα 4. Αριστερά: Διάγραμμα φάσεων για ένα κέντρο στην αρχή των αξόνων. Δεξιά: Διάγραμμα φάσεων για ένα σαγματικό σημείο στην αρχή των αξόνων. (Δεξιά: από το βιβλίο [9].) Παράδειγμα: Βρείτε το διάγραμμα φάσεων για την εξίσωση ẍ + ω 2 x = 0. Αυτή είναι η εξίσωση για τον αρμονικό ταλαντωτή. Γράφουμε ẋ = y, ẏ = ω 2 x.

21 Το σύστημα έχει ένα σημείο ισορροπίας το οποίο βρίσκεται αν θέσουμε ẋ = 0, ẏ = 0 (x, y) = (0, 0). Οι καμπύλες του διαγράμματος φάσεων δίνονται από την dy dx = x ω2 y dy + ω 2 x dx = 0 y 2 + ω 2 x = C. y Για κάθε τιμή της παραμέτρου C παίρνουμε μία καμπύλη, η οποία είναι έλλειψη. Οι ελλείψεις περιβάλλουν το σημείο ισορροπίας (0,0) (Σχήμα 4). Παράδειγμα: Βρείτε το διάγραμμα φάσεων για την εξίσωση ẍ ω 2 x = 0. Γράφουμε ẋ = y, ẏ = ω 2 x. Το σύστημα έχει ένα σημείο ισορροπίας το οποίο βρίσκεται αν θέσουμε ẋ = 0, ẏ = 0 (x, y) = (0, 0). Οι καμπύλες του διαγράμματος φάσεων δίνονται από την dy dx = ω2 x y dy ω 2 x dx = 0 y 2 ω 2 x 2 = C. y Για κάθε τιμή της παραμέτρου C 0 παίρνουμε μία καμπύλη, η οποία είναι υπερβολή, στο διάγραμμα φάσεων (Σχήμα 4). Γιά C = 0 παίρνουμε ευθείες (y = ±ωx) που παριστάνουν φασικές καμπύλες οι οποίες τέμνονται στο σημείο ισορροπίας (0,0). Βιβλιογραφία: [9, 10] 8. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Η μελέτη συστημάτων εξισώσεων αρχίζει από τα πιό απλά συστήματα που είναι τα γραμμικά. Εάν γιά μία μεταβλητή ο ρυθμός αύξησής της είναι ανάλογος της τιμής της, τότε η δυναμική της περιγράφεται από την γραμμική εξίσωση ẋ = ax x(t) = c e at, το οποίο έχουμε δει ότι είναι ένα απλό μοντέλο για αύξηση πληθυσμού Συστήματα με δύο μεταβλητές. Ενα γραμμικό σύστημα με δύο μεταβλητές έχει την γενική μορφή (8.1) ẋ = ax + by ẏ = cx + dy. Το σημείο ισορροπίας βρίσκεται από τις σχέσεις { { ax + by = 0 cx + dy = 0 x = 0 y = 0 εκτός εάν η ορίζουσα των συντελεστών στις παραπάνω εξισώσεις είναι μηδέν. Βρίσκουμε λύσεις των Εξ. (8.1) δοκιμάζοντας την μορφή (8.2) x = r e λt, y = s e λt, όπου r, s, λ είναι σταθερές. Αντικατάσταση στις (8.1) δίνει τις (8.3) (a λ)r + bs = 0, cr + (d λ)s = 0. 21

22 22 Θεωρούμε ως αγνώστους τους r, s και ζητάμε να μηδενίζεται η ορίζουσα του συστήματος, ώστε εξάγουμε την συνθήκη γιά το λ λ 2 (a + d)λ + (ad bc) = 0, η οποία λέγεται χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος και στην περίπτωση μας έχει δύο λύσεις λ 1, λ 2. Για κάθε τιμή του λ οι εξισώσεις (8.3) δίνουν τη σχέση μεταξύ r και s. Η γενική λύση είναι γραμμικός συνδυασμός των δύο λύσεων που βρήκαμε: x(t) = r 1 e λ 1t + r 2 e λ 2t y(t) = s 1 e λ 1t + s 2 e λ 2t. Θα επαναλάβουμε τώρα την παραπάνω διαδικασία σε μια διαφορετική γλώσσα. Το γραμμικό σύστημα (8.1) γράφεται στην μορφή [ ] [ ] [ ] ẋ a b x (8.4) =. ẏ c d y Αντικατάσταση της (8.2) δίνει το πρόβλημα ιδιοτιμών: [ ] [ ] [ r a b r λ = s c d s άρα α εκθετικά λ είναι οι (δύο) ιδιοτιμές του πίνακα 2 2 του συστήματος και οι λύσεις γιά τα (r, s) είναι τα ιδιοδιανύσματα του. ], 8.2. Πραγματικές ιδιοτιμές. Ας δούμε πρώτα την περίπτωση που οι λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πραγματικές (δηλαδή, ο πίνακας του συστήματος έχει πραγματικές ιδιοτιμές). Παράδειγμα. (σάγμα) Εστω το γραμμικό σύστημα ẋ = x 3y ẏ = 2y Βρίσκουμε λύσεις δοκιμάζοντας την μορφή x = r e λt, y = s e λt. Αντικαθιστούμε στο σύστημα εξισώσεων και βρίσκουμε (λ + 1) r + 3 s = 0, (λ 2) s = 0. Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι (λ + 1)(λ 2) = 0 λ 1 = 1, λ 2 = 2. Για λ = 1 βρίσκουμε ιδιοδιάνυσμα (r, s) = (1, 0) και γιά λ = 2 βρίσκουμε ιδιοδιάνυσμα (r, s) = (1, 1). Η γενική λύση του συστήματος είναι όπου c 1, c 2 είναι σταθερές. x(t) = c 1 e t + c 2 e 2t y(t) = c 2 e 2t

23 Σχεδίαση διαγράμματος φάσεων. Για να σχεδιάσουμε το διάγραμμα φάσης [στο επίπεδο (x, y)] παρατηρούμε ότι οι ευθείες που ορίζονται από τα ιδιοδιανύσματα [(1, 0) και (1, 1)] μένουν αναλλοίωτες από τις εξισώσεις κίνησης. Γιά να το δούμε αυτό υποθέτουμε ότι γιά κάποια χρονική στιγμή t = 0 έχουμε [x(t = 0), y(t = 0)] = r(1, 0) το οποίο είναι το πρώτο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα του συστήματος. Η λύση του συστήματος βρίσκεται αν θέσουμε στην γενική λύση c 2 = 0 και c 1 = r, οπότε βρίσκουμε [x(t), y(t)] = r(1, 0)e t, άρα η λύση παραμένει επάνω στο ιδιοδιάνυσμα. Επίσης παρατηρήστε ότι η λύση πλησιάζει την αρχή των αξόνων (το σημείο ισορροπίας). Ομοίως γιά [x(t = 0), y(t = 0)] = r(1, 1), θέτουμε c 1 = 0 και c 2 = r στην γενική λύση και έχουμε [x(t), y(t)] = r(1, 1)e 2t, δηλαδή η λύση παραμένει στο ιδιοδιάνυσμα, αλλά απομακρύνεται από το σημείο ισορροπίας. Συμπεραίνουμε ότι οι ευθείες r(1, 0) και r(1, 1) είναι δύο φασικές καμπύλες. Η φορά της κίνησης είναι προς την αρχή των αξόνων για την ευθεία r(1, 0) (διότι λ = 1 < 0 και άρα το x μειώνεται εκθετικά) ενώ γιά την κίνηση στην ευθεία r( 1, 1) έχουμε απομάκρυνση από την αρχή των αξόνων (διότι λ = 2 > 0 και άρα τα (x, y) αυξάνονται εκθετικά). Ολες οι υπόλοιπες καμπύλες του διαγράμματος σχεδιάζονται εάν σκεφτούμε ότι πρέπει να υπάρχει συνέχεια με τις δύο ευθείες που προαναφέρθηκαν. Ενα σημείο ισορροπίας με δύο πραγματικές ετερόσημες ιδιοτιμές λέγεται σαγματικό σημείο και είναι ένα ασταθές σημείο ισορροπίας. Παράδειγμα. (κόμβος) Εστω το γραμμικό σύστημα ẋ = x 2y ẏ = 3x 4y του οποίου η χαρακτηριστική εξίσωση είναι 1 λ λ = 0 λ2 + 3λ + 2 = 0, με λυσεις λ 1 = 2, λ 2 = 1 και αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα (2, 3), (1, 1). Η γενική λύση είναι x(t) = 2c 1 e 2t + c 2 e t, y(t) = 3c 1 e 2t + c 2 e t. Σχεδίαση διαγράμματος φάσεων. Παρατηρούμε ότι από όπου βρίσκουμε x(t) y(t) = 2c 1 e 2t + c 2 e t 3c 1 e 2t + c 2 e t x(t) y(t) = 2 3, t και x(t) y(t) = 1, t. Συμπεραίνουμε ότι όλες οι φασικές καμπύλες είναι παράλληλες με το ιδιοδιάνυσμα (2,3) της μεγαλύτερης (κατ απόλυτη τιμή) ιδιοτιμής γιά μεγάλους χρόνους (t ), ενώ είναι παράλληλες με το ιδιοδιάνυσμα (2,3) της μικρότερης (κατ απόλυτη τιμή) ιδιοτιμής μιά μικρούς χρόνους (t ). Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές και με βάση την παραπάνω παρατήρηση σχεδιάζουμε και τις υπόλοιπες φασικές καμπύλες. 23

24 24 Ενα σημείο ισορροπίας με δύο πραγματικές ομόσημες ιδιοτιμές λέγεται κόμβος. Οταν οι ιδιοτιμές είναι αρνητικές (όπως σε αυτό το παράδειγμα) έχουμε έναν ευσταθή κόμβο. Γενική θεωρία: Διαγωνοποίηση. Το γραμμικό σύστημα (8.1) που μελετάμε μπορεί επίσης να γραφεί ως ẋ = Ax, x := (x 1, x 2 ), όπου A είναι ο πίνακας 2 2 των συντελεστών (όπως και στην Εξ. (8.4)). Γιά την μελέτη αυτού του πίνακα, αλλά και γενικότερα πινάκων n n, ανακαλούμε ένα σημαντικό θεώρημα της γραμμικής άλγεβρας. Θεώρημα: Εάν οι ιδιοτιμές λ 1, λ 2,..., λ n ενός πίνακα A διάστασεων n n είναι πραγματικές και διάκριτες, τότε οποιοδήποτε σύνολο των αντίστοιχων ιδιοδιανυσμάτων {v 1, v 2,..., v n } είναι βάση του R n, ο πίνακας P = [v 1, v 2,..., v n ] είναι αντιστρέψιμος και P 1 AP = diag[λ 1, λ 2,..., λ n ]. Για να βρούμε την γενική λύση του γραμμικού συστήματος ορίζουμε ένα νέο διάνυσμα μεταβλητών y = P 1 x, γιά το οποίο έχουμε Το παραπάνω θεώρημα λέει ότι Η γενική λύση είναι ẏ = P 1 ẋ = P 1 Ax = P 1 AP y. ẏ = diag[λ 1, λ 2,..., λ n ]y. y(t) = diag[e λ 1t, e λ 2t,..., e λnt ] y(0), όπου y(0) είναι η αρχικές συνθήκες εκφρασμένες στις μεταβλητές y. Τελικά, στις αρχικές μεταβλητές έχουμε την γενική λύση x(t) = P diag[e λ 1t, e λ 2t,..., e λnt ]P 1 x(0), όπου x(0) είναι η αρχικές συνθήκες. Παρατήρηση: Δεδομένου ότι συνήθως μελετάμε συστήματα δύο εξισώσεων είναι χρήσιμο να θυμηθούμε ότι για έναν 2 2 πίνακα P ο αντίστροφος P 1 είναι [ ] a b P =, P c d 1 = 1 [ ] d b c a όπου = ad bc η ορίζουσα. Παράδειγμα. (σαγματικό σημείο) Εστω το γραμμικό σύστημα ẋ 1 = x 1 3x 2 του οποίου ο πίνακας είναι ẋ 2 = 2x 2 A = [ ].

25 25 Οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι λ 1 = 1, λ 2 = 2 και δύο αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα [ ] [ ] 1 1 v 1 =, v 0 2 =. 1 Άρα έχουμε και Εχουμε λοιπόν το σύστημα P = [ P 1 AP = ] [, P = 0 1 [ ẏ 1 = y 1 ẏ 2 = 2y 2 όπου y = P 1 x. Η γενική λύση του είναι y 1 (t) = c 1 e t, y 2 (t) = c 2 e 2t ή σε άλλη μορφή [ ] e t 0 y(t) = 0 e 2t y(0). ( Οπου θέσαμε y 1 (0) = c 1, y 2 (0) = c 2.) Τελικά έχουμε [ ] { e t 0 x(t) = P 0 e 2t P 1 x 1 (t) = x 1 (0)e t + x 2 (0)(e t e 2t ) x(0) x 2 (t) = x 2 (0)e 2t Σχεδιάζουμε τα διαγράμματα φάσης στα επίπεδα (y 1, y 2 ) και (x 1, x 2 ). Εχουμε ένα σαγματικό σημείο. ]. ] 8.3. Μιγαδικές ιδιοτιμές. Ας δούμε τώρα την περίπτωση που οι λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι μιγαδικές (δηλαδή, ο πίνακας του συστήματος έχει μιγαδικές ιδιοτιμές). Παράδειγμα. Εστω το σύστημα (8.5) ẋ 1 = ax 1 bx 2 ẋ 2 = bx 1 + ax 2 του οποίου η χαρακτηριστική εξίσωση είναι a λ b b a λ = 0 (λ2 a) 2 + b 2 = 0, λ = a ± ib. Τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι (1, i). Άρα x 1 (t) = r 1 e (a+ib)t + r 2 e (a ib)t = e at [r 1 e ibt + r 2 e ibt ] x 2 (t) = ir 1 e (a+ib)t + ir 2 e (a ib)t = e at 1 i [r 1e ibt r 2 e ibt ]

26 26 Εστω r 2 ο μιγαδικός συζηγής του r 2. Εκλέγουμε r 2 = r 1 := c 1 /2 + ic 2 /2 όπου c 1, c 2 R, ώστε να πετύχουμε πραγματική λύση (αφού σε όλα το παρόν κεφάλαιο υποθέτουμε ότι τα x, y είναι πραγματικές μεταβλητές): Η λύση αυτή γράφεται και στην μορφή x 1 (t) = e at 2Re[r 1 e ibt ] = e at [c 1 cos bt c 2 sin bt] x 2 (t) = e at 2Im[r 1 e ibt ] = e at [c 1 sin bt + c 2 cos bt]. [ (8.6) x(t) = e at cos bt sin bt sin bt cos bt ] x(0), όπου x = (x 1, x 2 ) και x(0) = x(t = 0) είναι οι αρχικές συνθήκες. Πολικές συνεταγμένες: Στην Εξ. (8.6) ο πίνακας στο δεξιό μέλος δίνει στροφή το x 0 κατά γωνία bt ενώ το εκθετικό γίνει είτε αύξηση (αν a > 0) είτε συρρίκνωση (αν a < 0) του μέτρου του x 0. Αυτά όμως τα αποτελέσματα μπορούν να γίνουν πιό εύκολα κατανοητά και μπορούμε να έχουμε μία πιό παραστατική μελέτη του συστήματος (8.5) και των λύσεών του αν χρησιμοποιήσουμε πολικές συντεταγμένες. Ξεκινάμε ορίζοντας την μιγαδική μεταβλητή z = x 1 + ix 2. Ενας σύντομος υπολογισμός δείχνει ότι το σύστημα (8.5), γράφεται στη συμπαγή μορφή ż = (a + ib) z. Στη συνέχεια εισάγουμε τις πολικές συντεταγμένες (r, θ) και χρησιμοποιούμε την πολική μορφή γιά την μιγαδική μεταβλητή z = r(t)e iθ(t), οπότε η εξίσωση γράφεται ως { { ṙ = ar r = r 0 e at (8.7) θ = b θ = bt + θ 0. Αυτή η μορφή της λύσης δείχνει ότι η χρονική εξέλιξη κάθε σημείου στο διάγραμμα φάσης δίνει περιστροφή γύρω από την αρχή των αξόνων, ενώ ταυτοχρόνως πλησιάζει (γιά a < 0) ή απομακρύνεται (γιά a > 0) από αυτό. Λέμε ότι η αρχή των αξόνων είναι ένα σπειροειδές σημείο ισορροπίας. Αυτό είναι ευσταθές για a < 0 και ασταθές για a > 0. Κέντρο: Στην περίπτωση a = 0 έχουμε κλειστές τροχιές και λέμε ότι το σημείο ισορροπίας είναι κέντρο. Οποιοδήποτε σύστημα της μορφής ẋ 1 = ax 1 + bx 2 ẋ 2 = cx 1 + dx 2 γιά τον οποίο έχουμε μιγαδικές ιδιοτιμές έχει ένα σπειδοειδές σημείο ισορροπίας. Αυτό προκύπτει από το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα: Εάν ένας πραγματικός πίνακας A διαστάσεων 2n 2n έχει διάκριτες ιδιοτιμές λ j = a j + ib j και λ j = a j ib j και ιδιοδιανύσματα w j = u j + iv j, wj = u j iv j, τότε {u 1, v 1,..., u n, v n } είναι βάση του R 2n, ο πίνακας P = [v 1, u 1,..., v n, u n ] είναι αντιστρέψιμος και [ ] P 1 aj b AP = diag j. b j a j

27 27 Ωστε εάν ορίσουμε ένα νέο διάνυσμα μεταβλητών y = P 1 x, έχουμε Άρα ισχύει [ ] ẏ = P 1 ẋ = P 1 Ax = P 1 aj b AP y = diag j y. b j a j [ ] aj b x(t) = P diag j P b j a 1 x(0). j Παράδειγμα. (σπειροειδές σημείο) Εστω το γραμμικό σύστημα του οποίου η χαρακτηριστική εξίσωση είναι ẋ 1 = x 1 + x 2 ẋ 2 = 5x 1 3x 2 λ 2 2λ + 2 = 0 λ 1, λ 2 = 1 ± i Τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι (x 1, x 2 ) = (1, 2 ± i). Άρα [ ] [ ] 0 1 P =, P =. 1 0 Αν κάνουμε τον μετασχηματισμό y = P 1 x τότε βρίσκουμε ẏ = P 1 ẋ = P 1 Ax = P 1 AP y. Από το παραπάνω θεώρημα (ή από κατ ευθείαν υπολογισμό του P 1 AP ) έχω [ ] 1 1 ẏ = y. 1 1 Από το προηγούμενο παράδειγμα (με a = 1, b = 1) συνάγουμε [ ] y(t) = e t cos t sin t y(0) sin t cos t Τελικά [ x(t) = P y(t) = P e t cos t sin t ] [ sin t y(0) = P e cos t t cos t sin t sin t cos t x 1 (t) = e t [x 1 (0) cos t + (2x 1 (0) + x 2 (0)) sin t] x 2 (t) = e t [x 2 (0) cos t (5x 1 (0) + 2x 2 (0)) sin t] ] P 1 x(0) Σχεδιάζουμε το διάγραμμα φάσης στο επίπεδο (x 1, x 2 ). Εχουμε ένα ευσταθές σπειροειδές σημείο. Παράδειγμα: (σπειροειδές σημείο) Βρείτε την γενική λύση του συστήματος Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι ẋ 1 = x 1 + x 2 ẋ 2 = 5x 1 3x 2. λ 2 + 2λ + 2 = 0 λ 1 = 1 + i, λ 2 = 1 i, όπου λ 2 = λ 1. Για λ = λ 1 και λ = λ 2 βρίσκουμε αντιστοίχως s 1 = ( 2 + i)r 1, s 2 = ( 2 i)r 2.

28 28 Άρα η γενική λύση γράφεται x 1 (t) = r 1 e ( 1+i)t + r 2 e ( 1 i)t, x 2 (t) = r 1 ( 2 + i) e ( 1+i)t + r 2 ( 2 i) e ( 1 i)t. Αν ζητάμε πραγματικές λύσεις τότε πρέπει να θέσουμε r 2 = r 1 και γράφοντας r 1 = 1 2 c ic 2 παίρνουμε x 1 (t) = e t (c 1 cos t c 2 sin t), x 2 (t) = e t [(2c 1 + c 2 ) cos t + (c 1 2c 2 ) sin t]. Σχεδιασμός διαγράμματος φάσεων. Σχεδιάζουμε μία σπείρα στην οποία τα βέλη οδηγούν προς το σημείο ισορροπίας, διότι το πραγματικό μέρος των ιδιοτιμών είναι αρνητικό. Υ- πάρχουν δύο τέτοιες σπείρες (αριστερόστροφη και δεξιόστροφη). Επιλέγουμε εκείνη που ικανοποιεί τις εξισώσεις, πράγμα που το ελέγχουμε με υπολογισμό των ẋ 1, ẋ 2 σε ορισμένα σημεία του διαγράμματος φάσεων Διάγραμμα σημείων ισορροπίας. Εστω η γενική μορφή ẋ 1 = ax 1 + bx 2 ẋ 2 = cx 1 + dx 2. Θέτουμε δ = deta = ad bc και τ = tracea = a + d. Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι λ 2 τλ + δ = 0 λ 1,2 = τ ± τ 2 4δ 2 (α) Γιά δ < 0 έχουμε σαγματικό σημείο. (β) Γιά δ > 0 και τ 2 4δ 0 έχουμε κόμβο. Είναι ευσταθής γιά τ < 0 και ασταθής γιά τ > 0. (γ) Γιά δ > 0 και τ 2 4δ < 0 έχουμε σπειροειδές σημείο (γιά τ 0). Είναι ευσταθές γιά τ < 0 και ασταθές γιά τ > 0. (δ) Γιά δ > 0 και τ = 0 έχουμε κέντρο. Σχημα 5. Διάγραμμα σημείων ισορροπίας στο χώρο των παραμέτρων.

29 29 Βιβλιογραφία: [9, 10, 8] 9. Ευστάθεια σημείων ισορροπίας Θεώρημα: Εάν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα A ενός γραμμικού συστήματος n εξισώσεων έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος τότε: για κάθε αρχική συνθήκη x 0 R n ισχύει lim t x(t) = 0 και επίσης, αν x 0 0, lim t x(t) =. Θεώρημα: Εάν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα A έχουν θετικό πραγματικό μέρος τότε: για κάθε αρχική συνθήκη x 0 R n ισχύει lim t x(t) = 0 και επίσης, αν x 0 0, lim t x(t) =. Ορισμός: Εστω λ j = a j + ib j οι ιδιοτιμές του πίνακα ενός γραμμικού συστήματος και w j = u j + iv j τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. Τότε ονομάζουμε τους χώρους E s = Span{u j, v j a j < 0} E u = Span{u j, v j a j > 0} E c = Span{u j, v j a j = 0} ευσταθή, ασταθή και κεντρικό υπόχωρο του συστήματος αντίστοιχα. Παράδειγμα: Για ένα σύστημα δύο εξισώσεων με ένα σαγματικό σημείο ο ευσταθής και ο ασταθής υπόχωρος είναι ο καθένας μία ευθεία. Παράδειγμα: Εστω ο πίνακας A = με ιδιοτιμές λ 1,2 = 2 ± i και ιδιοδιανύσματα w 1,2 = [0, 1, 0] T ± i[1, 0, 0] T και επίσης λ 3 = 3 με ιδιοδιάνυσμα u 3 = [0, 0, 1] T. Ο ευσταθής υπόχωρος E s είναι το επίπεδο (x 1, x 2 ) και ο ασταθής υπόχωρος E u είναι ο άξονας x 3. Θεώρημα: Οι υπόχωροι E s, E u, E c ενός πίνακα n n μένουν αναλλοίωτοι από τις αντίστοιχες εξισώσεις. Επίσης, R n = E s E u E c. Ορισμός: Ενα σημείο ισορροπίας x 0 λέγεται ευσταθές αν για κάθε ɛ > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε αρχική συνθήκη x(t = 0) N δ (x 0 ) έχουμε x(t) N ɛ (x 0 ) γιά κάθε χρόνο t > 0. Το σημείο ισορροπίας λέγεται ασταθές εάν δεν είναι ευσταθές. Παραδείγματα: Ενα σαγματικό σημείο είναι ασταθές. Ενας κόμβος μπορεί να είναι ασταθής (γιά θετικές ιδιοτιμές) ή ευσταθής (γιά αρνητικές ιδιοτιμές). Ενα σπειροειδές σημείο μπορεί να είναι ασταθές (ιδιοτιμές με θετικό πραγματικό μέρος) ή ευσταθές (ιδιοτιμές με αρνητικό πραγματικό μέρος). Ενα κέντρο είναι ευσταθές.

30 30 Ενα σημείο ισορροπίας λέγεται ασυμπτωτικά ευσταθές αν υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε x N δ (x 0 ) έχουμε lim x(t) = 0. t Παραδείγματα: Εάν ένα σπειροειδές σημείο είναι ευσταθές τότε είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. Ενα κέντρο είναι ευσταθές, αλλά όχι ασυμπτωτικά ευσταθές. Βιβλιογραφία: [8, 9, 10] 10. Μη γραμμικά συστήματα Εστω το μη γραμμικό σύστημα n εξισώσεων (10.1) ẋ = f(x), όπου x είναι το διάνυσμα των n μεταβλητών και f είναι διάνυσμα n συναρτήσεων. παράδειγμα, γιά ένα σύστημα δύο εξισώσεων έχουμε την μορφή ẋ 1 = f 1 (x 1, x 2 ) ẋ 2 = f 2 (x 1, x 2 ). Θεωρούμε ένα σημείο ισορροπίας του συστήματος x 0 και τον ιακωβιανό πίνακα υπολογισμένο στο σημείο ισορροπίας (υποθέτουμε σύστημα δύο εξισώσεων) [ ] df1 /dx Df(x 0 ) = 1 df 1 /dx 2 df 2 /dx 1 df 2 /dx 2 Θα δούμε ότι το γραμμικό σύστημα (10.2) ξ = Df(x0 ) ξ, ξ := x x 0 διατηρεί (στην γενική περίπτωση), κοντά στο σημείο ισορροπίας x 0 την μορφή του διαγράμματος φάσης του μη γραμμικού συστήματος (εκτός ειδικών περιπτώσεων). Θεώρημα (The stable manifold theorem). Εστω E ένα ανοιχτό υποσύνολο του R n που περιέχει την αρχή των αξόνων, επίσης f C 1 (E), όπου ẋ = f(x). Υποθέτουμε ότι f(0) = 0 και ότι Df(0) έχει k ιδιοτιμές με αρνητικό πραγματικό μέρος και n k ιδιοτιμές με θετικό πραγματικό μέρος. Τότε υπάρχει μία διαφορίσιμη πολλαπλότητα S διαστάσεως k η οποία είναι εφαπτόμενη στον ευσταθή υπόχωρο E s του γραμμικοποιημένου συστήματος (10.2) στο σημείο 0 τέτοια ώστε γιά κάθε αρχική συνθήκη x 0 S lim x(t) = 0. t Επίσης, υπάρχει μία πολλαπλότητα U διαστάσεως n k εφαπτόμενη στον ασταθή υπόχωρο E u του γραμμικοποιημένου συστήματος στο σημείο 0 τέτοια ώστε γιά κάθε αρχική συνθήκη x 0 U lim x(t) = 0. t Οι πολλαπλότητες S και U είναι αναλλοίωτες στις εξισώσεις. Με βάση το παραπάνω θέωρημα μπορούμε να πούμε ότι, αν ένα σημείο ισορροπίας έχει όλες τις ιδιοτιμές με μη-μηδενικό πραγματικό μέρος (οπότε λέγεται υπερβολικό σημείο ι- σορροπίας), τότε η συμπεριφορά του μη γραμμικού συστήματος στην περιοχή του σημείου x 0. Γιά

31 ισορροπίας είναι τοπολογικά ισοδύναμη με την συμπεριφορά του γραμμικοποιημένου συστήματος. Παράδειγμα Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων του μη γραμμικού συστήματος ẋ 1 = x 1 x 2, ẋ 2 = 1 x 1 x 2. Θέτουμε f 1 = x 1 x 2, f 2 = 1 x 1 x 2. Τα σημεία ισορροπίας βρίσκονται ως f 1 = 0 x 1 x 2 = 0 x 1 = x 2, f 2 = 0 x 1 x 2 = 1 x 1 = ±1 = x 2. Άρα έχουμε τα σημεία ( 1, 1) και (1, 1). Ο πίνακας του γραμμικοποιημένου συστήματος είναι [ ] df1 /dx 1 df 1 /dx 2 = df 2 /dx 1 df 2 /dx 2 [ ] 1 1. x 2 x 1 Για το σημείο ( 1, 1) ορίζω ξ 1 = x 1 + 1, ξ 2 = x και έχουμε το γραμμικοποιημένο σύστημα [ ] [ ] [ ] ξ1 1 1 ξ1 =. ξ ξ 2 Οι ιδιοτιμές του είναι λ 1,2 = 1 ± i, άρα το σημείο είναι ένα ασταθές σπειροειδές σημείο. Η φορά περιστροφής της σπείρας μπορεί να βρεθεί ως εξής. Στις γραμμικοποιημένες εξισώσεις θεωρούμε, π.χ., ξ 2 = 0, ξ 1 > 0 (δηλ., είμαστε στον θετικό άξονα x 1 ) και βρίσκουμε ξ 1 = ξ 2 > 0, άρα η κίνηση επάνω στην σπείρα είναι αντίθετη της φοράς των δεικτών του ρολογίου. Για το σημείο (1, 1) ορίζουμε ξ 1 = x 1 1, ξ 2 = x 2 1 και έχουμε το γραμμικοποιημένο σύστημα [ ] [ ξ1 1 1 = ξ ] [ ξ1 ξ 2 ]. Οι ιδιοτιμές του είναι λ 1,2 = ± 2, άρα το σημείο είναι ένα σαγματικό σημείο. Τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι (1, 1 2) και ορίζουν αντίστοιχα τον ασταθή και ευσταθή υπόχωρο. Παράδειγμα (μοντέλο επιδημίας) Θεωρούμε ένα μοντέλο επιδημίας παρόμοιο με αυτό που είδαμε στην παράγραφο 4.4. Εχουμε: S(t): αριθμός των υγιών οι οποίοι δεν έχουν αρρωστήσει και άρα είναι δυνατόν να αρρωστήσουν. I(t): αριθμός των αρρώστων. R(t): αριθμός αυτών που έχουν αναρρώσει και πλέον έχουν ανοσία. Επιπλέον των διαδικασιών που είδαμε στην παράγραφο 4.4, θεωρούμε ότι ο πληθυσμός των υγιών αυξάνεται με ένα σταθερό ρυθμό µ. Επίσης, γιά να διατηρείται σταθερός ο συνολικός πληθυσμός, θεωρούμε ότι οι άνοσοι πεθαίνουν με τον ίδιο σταθερό ρυθμό µ. Ωστε έχουμε το σύστημα εξισώσεων (10.3) Ṡ = βsi + µ I =βsi γi Ṙ =γi µ, 31

32 32 Σχημα 6. Διάγραμμα φάσης γιά το μη γραμμικό πρόβλημα του παραπάνω παραδείγματος. Εχουμε ένα ασταθές σπειροειδές σημείο και ένα σαγματικό σημείο (σημειώνονται μαύρους κύκλους στο σχήμα). Εχει σημειωθεί με βέλη η φορά ορισμένων καμπυλών. όπου θεωρούμε ότι όλες οι σταθερές είναι θετικές β, γ, µ > 0. Θα πρέπει να εξηγήσουμε από πού προέρχονται οι δύο νέοι όροι στις Εξ. (10.3), σε σύγκριση με τις Εξ. (4.11). Ας θεωρήσουμε ότι ο πληθυσμός που περιγράφεται από το μοντέλο είναι ένα τμήμα ενός μεγαλύτερου πληθυσμού. Γιά παράδειγμα, μπορεί να μιλάμε γιά μία ασθένεια που πλήτει μόνο νέα άτομα. Άρα το μοντέλο περιγράφει μόνο τον πληθυσμό των νέων μίας κοινότητας ζώντων (άρα μόνο ένα μέρος του γενικού πληθυσμού). Οι γεννήσεις συμβαίνουν κατά πάσα πιθανότητα με ρυθμό που εξαρτάται από τον γενικό πληθυσμό και, εφόσον αυτός είναι σταθερός, τότε και οι γεννήσεις είναι ένα σταθερό νούμερο. Ετσι μπορούμε τώρα να δικαιολογήσουμε την σταθερή αύξηση του αριθμού των υγιών θεωρώντας ότι προέρχεται από γεννήσεις νέων ατόμων. Ο αντίστοιχος όρος µ στην τρίτη εξίσωση το συστήματος (10.3) τίθεται γιά να έχουμε σταθερό συνολικό πληθυσμό S + I + R ώστε να απλοποιήσουμε το μοντέλο. Γιά το σύστημα (10.3) επιβεβαιώνουμε ότι d (10.4) (S + I + R) = 0 S + I + R = N, dt δηλαδή ότι ο συνολικός πληθυσμός παραμένει σταθερός και τον παριστάνουμε με N. Λέμε ότι έχουμε ένα ολοκλήρωμα των εξισώσεων. Παρατηρούμε ότι η τρίτη εξίσωση του συστήματος προκύπτει από τις δύο πρώτες αν χρησιμοποιήσουμε το ολοκλήρωμα (10.4). Συγκεντρώνουμε στη συνέχεια την προσοχή μας στις δύο πρώτες εξισώσεις. (α) Σημεία ισορροπίας: Θέτουμε Ṡ = 0 = I και βρίσκουμε (10.5) S = γ β, I = µ γ, δηλαδή έχουμε ένα και μοναδικό σημείο ισορροπίας.

33 (β) Γραμμικοποίηση: θέτουμε f 1 = βsi + µ, f 2 = βsi γi και έχουμε τον πίνακα του γραμμικοποιημένου συστήματος γύρω από το σημείο ισορροπίας: [ ] [ ] [ ] df1 /ds df 1 /di βi βs βµ/γ γ = =. df 2 /ds df 2 /di βi βs γ βµ/γ 0 (γ/β, µ/γ) Οι ιδιοτιμές λ του πίνακα βρίσκονται από την χαρακτηριστική εξίσωση ( ) 2 ( λ λ + βµ ) βµ ± βµ γ 4βµ + βµ = 0 λ =. γ 2 Ας θέσουμε, ως παράδειγμα, β = 1, γ = 1, οπότε έχουμε λ = µ ± µ 2 4µ. 2 Γιά κάθε µ > 0 το πραγματικό μέρος των ιδιοτιμών είναι μη μηδενικός αριθμός. Άρα ισχύει το θεώρημα της ευσταθούς πολλαπλότητας, οπότε συμπεραίνουμε ότι το σημείο ισορροπίας του μη γραμμικού συστήματος είναι του ιδίου είδους με το σημείο ισορροπίας του γραμμικοποιημένου συστήματος. Ειδικότερα Γιά µ 4 έχουμε λ R, ώστε το σημείο ισορροπίας είναι ευσταθής κόμβος. Γιά 0 < µ < 4 η υπόριζος ποσότητα είναι αρνητική, ώστε το σημείο ισορροπίας είναι ευσταθής σπείρα. Βιβλιογραφία: [9, 8, 10] 33

34 Σημειακά σωμάτια Διανύσματα. Στην μηχανική υποθέτουμε πολλές φορές ότι τα σωμάτια δεν έχουν μέγεθος και παριστάνουμε την θέση τους με ένα σημείο. Η θέση λοιπόν ενός σημειακού σωματίου δίνεται από ένα διάνυσμα r το οποίο παριστάνεται σε καρτεσιανές συντεταγμένες ως r = xî + yĵ + zˆk, όπου î, ĵ, ˆk είναι μοναδιαία διανύσματα και x, y, z είναι οι συντεταγμένες του σωματίου σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Παράδειγμα. Εστω θέση σωματίου επάνω στον οριζόντιο άξονα (11.1) r = αt î, όπου α είναι μία σταθερά. Αν υποτεθεί ότι η μεταβλητή t παριστάνει τον χρόνο, τότε η παραπάνω εξίσωση δίνει την θέση σημειακού σωματίου το οποίο κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα. Ταχύτητα λέγεται η χρονική παράγωγος της θέσης, δηλαδή το διάνυσμα v := dr dt. Στην περίπτωση του παραπάνω σωματίου έχουμε v = dr/dt v = α î, το οποίο είναι ένα σταθερό διάνυσμα. Παράδειγμα. Εστω το διάνυσμα θέσης σωματίου (11.2) r = αt î 1 2 gt2 ĵ, ώστε η ταχύτητά του είναι v = α î gt ĵ. Παράδειγμα. (κυκλική κίνηση) Εστω το διάνυσμα θέσης σωματίου σε κυκλική κίνηση (όπως στο σχήμα) (11.3) r = α sin(ωt) î + α cos(ωt) ĵ. Πραγματικά το σωμάτιο αυτό βρίσκεται πάντα επάνω σε κύκλο ακτίνας r = α 2 sin 2 (ωt) + α 2 cos 2 (ωt) = α. Η ταχύτητά του είναι v := dr = ωα cos(ωt)î ωα sin(ωt)ĵ. dt Παρατηρούμε ότι v = ωα είναι σταθερό διάνυσμα. Επίσης v r = 0, δηλαδή το διάνυσμα ταχύτητας είναι κάθετο στο διάνυσμα θέσης. Παράδειγμα. (κυκλοειδής κίνηση) Εστω το διάνυσμα θέσης σωματίου r = r 1 + r 2 r 1 = αωt î + α ĵ r 2 = α sin(ωt) î + α cos(ωt) ĵ.

35 35 Σχημα 7. Σωμάτιο σε κυκλική κίνηση. Η ταχύτητά του είναι v = dr 1 dt + dr 2 dt = ωα[1 + cos(ωt)] î ωα sin(ωt) ĵ Πολικές συντεταγμένες. Είναι πολύ συχνά ευκολότερο να περιγράψουμε την θέση ή την κίνηση ενός σωματίου σε πολικές συντεταγμένες (παρά στις συνήθεις καρτερσιανές). Θεωρούμε τις πολικές συντεταγμένες (r, θ) και τα αντίστοιχα μοναδιαία διανύσματα ê r, ê θ. Η θέση σωματίου δίνεται από το διάνυσμα r = r ê r. Τα μοναδιαία διανύσματα κατά τις δύο διευθύνσεις είναι Η ταχύτητα του σωματίου είναι όπου έχουμε ê r = cos θ î + sin θ ĵ, ê θ = sin θ î + cos θ ĵ. v = dr dt = dr dt êr + r dê r dt, dê r dt = d dθ dθ (cos θ î + sin θ ĵ) = sin θ î + cos θ dt dt dt ĵ = ê dθ θ dt. Θέτουμε dθ/dt := θ και dr/dt := ṙ και γράφουμε τελικά (11.4) v = ṙ ê r + r θ ê θ. Παράδειγμα. Αν γράψουμε r = r ê r = r (cos θ î + sin θ ĵ), παρατηρούμε ότι στο παράδειγμα (11.3), οι πολικές συντεταγμένες είναι r = α, θ = ωt. Ωστε ṙ = 0, θ = ω και άρα έχουμε ταχύτητα Βιβλιογραφία: [5, 7] v = ṙ ê r + r θ ê θ = αω ê θ.

36 Νόμοι του Νεύτωνα 1ος νόμος του Νεύτωνα. Σώμα στο οποίο δεν επιδρούν δυνάμεις κινείται σε ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή ταχύτητα. Παρατήρηση. Ας υποθέσουμε ότι παρατηρούμε ένα σώμα το οποίο βρίσκεται σε ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή ταχύτητα. Είναι προφανές ότι ένας περιστρεφόμενος παρατηρητής δεν θα βλέπει το ίδιο σώμα να βρίσκεται σε ευθύγραμμη κίνηση. Άρα με τον 1ο νόμο του Νεύτωνα εισάγεται η έννοια ενός αδρανειακού συστήματος αναφοράς ως προς το οποίο γίνονται οι παρατηρήσεις. Προχωρούμε τώρα να μελετήσουμε αλληλεπίδραση δύο σωμάτων. Οταν δύο σώματα αλληλεπιδρούν το πείραμα δείχνει ότι έχουμε μεταβολή των ταχυτήτων τους σε αντίθετες κατευθύνσεις: dv 1 dt = c dv 2 dt, όπου c είναι μία σταθερά. Γράφουμε αυτή την σχέση ως dv 1 m 1 dt = m dv 2 2 dt d(m 1v 1 ) = d(m 2v 2 ). dt dt Οι m 1, m 2 είναι σταθερές, λέγονται μάζες των σωμάτων, χαρακτηρίζουν το κάθε σώμα και δεν εξαρτώνται από το ζευγάρι των σωμάτων που μελετάμε. Η παραπάνω σχέση δίνει αφορμή να ορίσουμε την γραμμική ορμή (12.1) p := mv. Βλέπουμε λοιπόν ότι μεταβολή της ορμής ενός σώματος προκαλείται από την επίδραση άλλου σώματος. Θα θεωρήσουμε λοιπόν ότι το κάθε σώμα ασκεί στο άλλο μία δύναμη. 2ος νόμος του Νεύτωνα. Λέμε ότι σε σώμα του οποίου αλλάζει η κινητική κατάσταση (δηλαδή, του οποίου αλλάζει η ορμή) ασκείται δύναμη η οποία είναι ίση με F = dp dt = m dv dt. 3ος νόμος του Νεύτωνα. Οι δυνάμεις μεταξύ δύο σωμάτων είναι ίσες και αντίθετες: F 1 = F 2 και τις ονομάζουμε δράση και αντίδραση. Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι οι μεταβολές της ορμής γιά ένα ζευγάρι σωμάτων είναι αντίθετες, ώστε γράφουμε dp 1 = dp 2 d dt dt dt (p 1 + p 2 ) = 0 p 1 + p 2 = const. Η σχέση αυτή είναι βέβαια η ίδια με εκείνη που γράψαμε πριν τον 2ο νόμο. Εδώ έχουμε ουσιαστικά εισάγει μία ακόμα βασική έννοια, εκείνη της επιτάχυνσης (12.2) a := dv dt = d2 r dt 2. Η δύναμη είναι ανάλογη της επιτάχυνσης με βάση τον 2ο νόμο: F = ma.

37 37 Στα παραδείγματα που δώσαμε παραπάνω έχουμε, γιά το παράδειγμα (11.1), r = αt î v = α î a = 0. Αυτό το αποτέλεσμα περιγράφει τον 1ο νόμο του Νεύτωνα. Γιά το παράδειγμα (11.2) r = αt î 1 2 gt2 ĵ v = α î gt ĵ a = g ĵ. Γιά το παράδειγμα (11.3) r = α [sin(ωt) î + cos(ωt) ĵ] v = ωα [cos(ωt)î sin(ωt)ĵ] a = ω 2 α [sin(ωt)î + cos(ωt)ĵ] = ω 2 r. Άσκηση. Γράψτε τη γενική μορφή του διανύσματος της επιτάχυνσης σε πολικές συντεταγμένες. Λύση: a = ( r r θ 2 )ê r + (r θ + 2ṙ θ)ê θ. Βιβλιογραφία: [6, 5, 7] 13. Ενέργεια Θεωρούμε σωμάτιο το οποίο διανύει μία απόσταση από την θέση r 0 στην θέση r. Ολοκληρώνουμε την εξίσωση του Νεύτωνα ως εξής r r 0 F dr = r r 0 m d2 r dt 2 dr. Το δεύτερο ολοκλήρωμα γράφεται ως (αφού dr = vdt) r r 0 m d2 r dt 2 dr = r r 0 m dv dt dr = = 1 2 mv2 1 2 mv2 0. t t 0 m dv dt v dt = t t 0 ( ) d 1 dt 2 mv2 dt Στις παραπάνω σχέσεις θεωρήσαμε ότι το σωμάτιο είναι στην θέση r την χρονική στιγμή t και έχει ταχύτητα v και ότι είναι στην θέση r 0 την χρονική στιγμή t 0 και έχει ταχύτητα v 0. Εχουμε το αποτέλεσμα r (13.1) F dr = T T 0, T := 1 r 0 2 mv2, όπου T λέγεται κινητική ενέργεια του σωματίου. Θα εξετάσουμε την ειδική περίπτωση όπου υπάρχει πραγματική συνάρτηση V (r) τέτοια ώστε η δύναμη μπορεί να γραφεί ως (13.2) F = V (r). Τότε r r 0 F dr = r r 0 V (r) dr = V (r 0 ) V (r).

38 38 Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει Ορίζουμε την διατηρήσιμη ποσότητα V (r 0 ) V (r) = T T 0 V (r) + T = V (r 0 ) + T 0. (13.3) E := 1 2 mv2 + V (r), η οποία ονομάζεται ενέργεια. Εχουμε λοιπόν την εξίσωση E = E 0 όπου E 0 = V (r 0 ) + T 0 είναι μία σταθερά. Αυτή είναι μία εξίσωση πρώτης τάξεως και, στην περίπτωση κίνησης σε μία διάσταση, λύνεται ως εξής (13.4) 1 2 m ( dx dt ) 2 + V (x) = E 0 dx dt = ± t t 0 = ± 2 m [E 0 V (x)] x Παράδειγμα. Εστω ένα παραβολικό (αρμονικό) δυναμικό Η παραπάνω εξίσωση γράφεται t t 0 = ± x x 0 k x m (t t 0) = ± x 0 V (x) = 1 2 kx2. dx 2 m [E kx2 ] x = ± x 0 dx = ± 2E 0 k x2 x 0 x x 0 dx. 2 m [E 0 V (x)] k m dx 2E 0 k k 2E 0 dx 1 k 2E 0 x 2 x2 Γιά την απλοποίηση των υπολογισμών μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις μεταβλητές k k t = t, x = x, m 2E 0 Ωστε τώρα έχουμε t t 0 = ± x x 0 d x 1 x 2 = ± [ arccos( x)] x x 0 = ± [arccos( x 0 ) arccos( x)], όπου έχουμε βέβαια θέσει t 0 = k/m t 0 και x 0 = k/(2e 0 ) x 0. Θέτουμε την γωνία θ 0 := arccos( x 0 ) = arccos( k/(2e 0 ) x 0 ) και έχουμε ή, απλούστερα t t 0 = ± [θ 0 arccos( x)] arccos( x) = ±( t t 0 ) + θ 0 x = cos[±( t t 0 ) + θ 0 ], x = cos( t + φ 0 )

39 όπου φ 0 είναι μία σταθερή γωνία. Επιστρέφουμε τελικά στις αρχικές μεταβλητές στις οποίες η λύση έχει την έκφραση [ ] 2E0 k x = k cos m t + φ 0. Παρατήρηση: Θα μπορούσαμε να πετύχουμε το παραπάνω αποτέλεσμα με έναν πιό άμεσο τρόπο. Γράφουμε την ενέργεια ( ) 1 dx 2 2 m + 1 x dx dt 2 kx2 = E 0 t t 0 = ± x 0 2 m [E kx2 ] Θα πρέπει τώρα να αναρωτηθούμε ποιές είναι οι πιό κατάλληλες μεταβλητές γιά αυτό το πρόβλημα, δηλαδή, πώς θα βρούμε κατάλληλες αδιάστατες μεταβλητές. Συγκρίνοντας τον πρώτο και δεύτερο όρο (στο αριστερό μέλος) στην εξίσωση της ενέργειας παρατηρούμε ότι η ποσότητα m/k έχει διαστάσεις χρόνου. Επίσης συγκρίνοντας τον δεύτερο όρο (στο αριστερό μέλος) και το E 0 βλέπουμε ότι η ποσότητα 2E 0 /k έχει διαστάσεις μήκους. Άρα οι αδιάστατες μεταβλητές γιά τον χρόνο και την θέση είναι οι t και x τις οποίες έχουμε ήδη ορίσει. Τις εισάγουμε στην εξίσωση και έχουμε x t t 0 = ± x 0 dx 2 m [E kx2 ] m x k ( t t 0 ) = ± x 0 x t t 0 = ± x 0 2E 0 k d x 2 m [E k 2E 0 k x2 ] d x 1 x 2 η οποία είναι η εξίσωση την οποία βρήκαμε και παραπάνω με τον πρώτο τρόπο αντιμετώπισης του προβλήματος. Άσκηση. Από την εξίσωση διατήρησης της ενέργειας (13.3) να παραχθεί μία εξίσωση δεύτερης τάξης. 14. Δυναμική ενέργεια και δυνάμεις Σταθερό δυναμικό. Αν υποθέσουμε την δυναμική ενέργεια V (x) = const. τότε εύκολα υπολογίζουμε την δύναμη F = dv/dx = 0. Η εξίσωση του Νεύτωνα είναι mẍ = 0 ẋ = const. και εκφράζει ουσιαστικά τον 1ο νόμο του Νεύτωνα Γραμμικό δυναμικό. Αν υποθέσουμε την δυναμική ενέργεια V (x) = cx, c : const. τότε εύκολα υπολογίζουμε την δύναμη F = dv/dx = c. Ο νόμος του Νεύτωνα είναι mẍ = c. Παράδειγμα. Εστω c = mg όπου m η μάζα σώματος και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Τότε το δυναμικό V = mgx είναι το βαρυτικό δυναμικό και η εξίσωση σώματος σε βαρυτικό 39

40 40 δυναμικό γράφεται και λύνεται ως εξής mẍ = mg ẍ = g ẋ = gt + α x(t) = 1 2 gt2 + αt + β, όπου α, β είναι σταθερές Αρμονικός ταλαντωτής. Θα μελετήσουμε και πάλι το παραβολικό δυναμικό του παραδείγματος του προηγουμένου κεφαλαίου, θα ακολουθήσουμε όμως άλλη μέθοδο. Αφού γνωρίζουμε το δυναμικό μπορούμε να υπολογίσουμε την δύναμη: V (x) = 1 2 kx2 F = dv dx = kx. Ωστε η εξίσωση του Νεύτωνα γίνεται (14.1) mẍ + kx = 0. Μας ενδιαφέρει να βρούμε την γενική λύση της εξίσωσης η οποία δίνει την θέση του σωματίου x σαν συνάρτηση του χρόνου t. Πρόκειται γιά μια γραμμική εξίσωση και γιά να βρούμε λύσεις δοκιμάζουμε την συνάρτηση x(t) = C e iωt, όπου το C είναι μιγαδική σταθερά. Αντικατάσταση της συνάρτησης στην εξίσωση δίνει mω 2 x + kx = 0 ω 2 = k m. Ας θεωρήσουμε ω = k/m και C = Ae iφ 0 όπου A και φ 0 είναι πραγματικές σταθερές. Η γενική λύση γράφεται x(t) = A e iωt+φ 0, όπου οι A και φ 0 είναι αυθαίρετες σταθερές. Μία σημαντική παρατήρηση είναι ότι η λύση που βρήκαμε είναι μιγαδική και άρα δεν μπορεί να περιγράφει την θέση ενός σωματίου. Ομως, επειδή η αρχική διαφορική εξίσωση είναι γραμμική, ξέρουμε ότι και το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της λύσης είναι λύσεις της εξίσωσης. Άρα η πραγματική λύση μπορεί να γραφεί ως x(t) = A cos(ωt + φ 0 ). Η λύση αυτή περιέχει δύο αυθαίρετες σταθερές (A, φ 0 ) και άρα είναι η γενική λύση της εξίσωσης δεύτερης τάξης (14.1). Η λύση (14.2) περιγράφει μία περιοδική κίνηση η οποία είναι αρμονική ταλάντωση με πλάτος (δηλ., μέγιστη απόκλιση από το κέντρο x = 0 της ταλάντωσης) ίσο με A και συχνότητα ω = k/m. Σημειώνουμε ότι η γενική λύση μπορεί να γραφεί και στην μορφή (14.2) x(t) = A sin(ωt + φ 0 ). Άσκηση. Εστω ένα σώμα το οποίο βρίσκεται σε δυναμικό V = 1/2kx 2. Δίδεται ότι η θέση του σωματίου κατά την χρονική στιγμή t = 0 είναι x(t = 0) = 0 και η ταχύτητά του είναι v(t = 0) = 1. Βρείτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου. Λύση: Το σύστημα ικανοποιεί την Εξ. (14.1) με γενική λύση την (14.2). Με τα δεδομένα της άσκησης βρίσκουμε x(t) = A sin(ωt + φ 0 ) x(t = 0) = A sin φ 0 άρα A sin φ 0 = 0 φ 0 = 0, π,

41 41 όπου έχουμε εξαιρέσει την τετριμένη περίπτωση A = 0. έχουμε γιά την ταχύτητα Ας υποθέσουμε φ = 0, οπότε ẋ(t) = ωa cos(ωt + φ 0 ) ẋ(t = 0) = ωa cos(0) άρα ωa = 1 A = 1 ω. Άρα η ζητούμενη λύση είναι η οποία γράφεται x(t) = 1 ω sin (ωt), ω = k m, x(t) = ( ) m k k sin m t. Παρατήρηση: Αν είχαμε επιλέξει φ 0 = π θα καταλήγαμε στην ίδια λύση. Άσκηση. Δείξτε ότι η γενική πραγματική λύση γράφεται στην μορφή όπου A, B είναι πραγματικές σταθερές. Λύση: Χρησιμοποιούμε την σχέση ώστε x(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt), cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β x(t) = A cos(ωt + φ 0 ) = A[cos(ωt) cos φ 0 + sin(ωt) sin φ 0 ] = A cos(ωt) + B sin(ωt), όπου θέσαμε A := A cos φ 0, B := A sin φ 0. Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2kx 2. Γράψτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου όταν σε χρόνο t = 0 βρίσκεται στην θέση x = 1 και έχει ταχύτητα v = 0. Ποιά είναι η ενέργειά του; Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2kx 2. Η θέση του δίνεται από την x = x max cos(ωt + φ 0 ), όπου ω = k/m. Αν οι σταθερές x max, φ 0 είναι γνωστές, βρείτε την ενέργειά του η οποία δίνεται από την Εξ. (13.3) Αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση. Θεωρούμε έναν αρμονικό ταλαντωτή ο οποίος συναντά κάποια αντίσταση κατά την κίνησή του (π.χ., τριβή, αντίσταση του αέρα, κλπ). Μία τέτοια διαδικασία παριστάνεται από έναν επιπλέον όρο στο δεξιό μέλος της εξίσωσης του Νεύτωνα (14.1) της μορφής cẋ όπου c είναι μία σταθερά. Αυτός ο όρος παριστάνει δύναμη που μειώνει την επιτάχυνση όταν c > 0. Γράφουμε λοιπόν την εξίσωση κίνησης (14.3) mẍ = kx cẋ mẍ + cẋ + kx = 0. Η λύση αυτής της εξίσωσης είναι της μορφής x = Ce qt, την οποία αντικαθιστούμε στην εξίσωση γιά να βρούμε την συνθήκη mq 2 + cq + k = 0 q = c ± c 2 4mk. 2m

42 42 Βλέπουμε ότι το q έχει αρνητικό πραγματικό μέρος. Στην περίπτωση σχετικά μικρής α- πόσβεσης, όπου c 2 < 4mk, γράφουμε q = α ± iω, α := c 2m, 4mk c ω := 2, 2m η λύση γράφεται x(t) = Ce αt e iωt και παριστάνει ταλάντωση με μειούμενο πλάτος. Αν υποθέσουμε ότι η ενέργεια του ταλαντωτή είναι η E = 1 2 mẋ kx2, τότε αυτή θα μειώνεται καθώς το πλάτος της ταλάντωσης θα μειώνεται. υπολογίσουμε τον ρυθμό μεταβολής της ενέργειας ως εξής de dt = mẋẍ + kxẋ = (mẍ + kx)ẋ = cẋ2 < 0 δηλαδή, η ενέργεια E μειώνεται με τον χρόνο. Μπορούμε να Γενικά δυναμικά. Ας υποθέσουμε ένα δυναμικό το οποίο έχει ένα τοπικό ελάχιστο όπως φαίνεται στο Σχήμα 8. Γιά να καταλάβουμε ποιοτικά την κίνηση σωματίου γύρω από το ελάχιστο του δυναμικού θα χρησιμοποιήσουμε την σχέση που βρήκαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο 2 (14.4) v = ± [E V (x)], m όπου E είναι η σταθερά που δίνει την ενέργεια του σωματίου. Ας υποθέσουμε ότι E είναι μεγαλύτερη από το ελάχιστο του V (x) και ότι έχουμε δύο σημεία x 1, x 2 εκατέρωθεν της θέσης του ελαχίστου γιά τα οποία ισχύει E = V (x 1 ) και E = V (x 2 ). Πρέπει να είναι σαφές ότι η κίνηση είναι δυνατή μόνο στο διάστημα x 1 x x 2 όπου E > V (x), δηλαδή στο διάστημα όπου η υπόριζος ποσότητα στην Εξ. (14.4) είναι μη αρνητική. Στα άκρα του διαστήματος η Εξ. (14.4) δίνει v(x 1 ) = 0, v(x 2 ) = 0 και, με βάση το σχήμα, βλέπουμε ότι η ταχύτητα ενός σωματίου που κινείται μέσα σε αυτό το δυναμικό αλλάζει πρόσημο κάθε φορά που αυτό φθάνει στα σημεία x 1 ή x 2. Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι ένα σωμάτιο θα παλινδρομεί μεταξύ των x 1 και x 2. Παρατηρούμε επίσης ότι η ταχύτητα v είναι συνάρτηση της θέσης v = v(x) και μόνο. Αυτή η παρατήρηση σε συνδυασμό με την Εξ. (14.4) (ή ακριβέστερα την (13.4)) δείχνει ότι η χρονική διάρκεια της κίνησης από το x 1 στο x 2 και πάλι στο x 1 είναι σταθερή και άρα μπορεί κανείς τελικά να συμπεράνει ότι η κίνηση ενός σωματίου μέσα σε ένα τυχαίο δυναμικό, σαν αυτό του σχήματος, είναι περιοδική Απλό εκκρεμές. Υποθέτουμε ότι μία σημειακή μάζα m εξαρτάται από σημείο O μέσω μιάς αβαρούς ράβδου με μήκος l όπως φαίνεται στο Σχήμα 9. Η δυναμική ενέργεια αυτού του συστήματος είναι V = mgh όπου το h θεωρείται θετικό όταν η μάζα είναι χαμηλότερα του σημείου O. Το σημείο αναφοράς γι αυτή την δυναμική ενέργεια είναι το O, όπου h = 0 και άρα V = 0. Από το σχήμα βλέπουμε ότι h = l cos θ, όπου θ είναι η

43 43 Σχημα 8. Ενα δυναμικό το οποίο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο. Σχημα 9. Το απλό εκκρεμές. γωνιά σε πολικές συντεταγμένες που μετράται από την κατακόρφο (διακεκομμένη γραμμή στο σχήμα). Ωστε βρίσκουμε δυναμική ενέργεια (14.5) V (θ) = mgl cos θ. Γιά να γράψουμε την εξίσωση κίνησης ορίζουμε το μήκος τόξου που διανύει το σωμάτιο s = lθ από την κατακόρυφη θέση ισορροπίας του. Η επιτάχυνσή του είναι s = l θ. Από αυτήν προκύπτει η εξίσωση κίνησης m s = dv ds ml θ = 1 l dv dθ ml θ = mg sin θ θ + g sin θ = 0. l Μία απλή λύση που μπορούμε να βρούμε είναι η θ(t) = 0 πράγμα που σημαίνει ότι η κατακόρυφη θέση θ = 0 είναι μία θέση ισορροπίας του εκκρεμούς. Γενικά, η παραπάνω εξίσωση είναι μη γραμμική και η γενική λύση της είναι περίπλοκη.

44 44 Μπορούμε όμως να μελετήσουμε μία προσέγγισή της στην περίπτωση που το εκκρεμές δεν αποκλίνει πολύ από την κατακόρυφη θέση ισορροπίας του, δηλαδή γιά θ 1. Η προσέγγιση μπορεί να γίνει με τους ακόλουθους δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι να κάνουμε την προσέγγιση στην εξίσωση κίνησης. Χρησιμοποιούμε την προσέγγιση sin θ θ, θ 1, την οποία αντικαθιστούμε στην εξίσωση κίνησης. Βρίσκουμε g (14.6) θ + l θ = 0 της οποίας η λύση είναι g θ(t) = A cos(ωt + φ 0 ), ω := l. Δηλαδή έχουμε περιοδική κίνηση με συχνότητα ω και περίοδο T = 2π/ω = 2π l/g. Ο δεύτερος τρόπος είναι να γράψουμε μία προσέγγιση γιά την δυναμική ενέργεια. Εχουμε cos θ 1 θ2 2, θ 1, την οποία αντικαθιστούμε στην δυναμική ενέργεια. Βρίσκουμε V (θ) = 1 2 mgl θ2 mgl. Ο σταθερός όρος στην δυναμική ενέργεια mgl δίνει μηδενική δύναμη, όπως έχουμε δει παραπάνω και άρα δεν θα επηρρεαστεί η εξίσωση κίνησης αν τον παραλήψουμε. Γράφουμε τελικά γιά το προσεγγιστικό δυναμικό Η εξίσωση κίνησης προκύπτει τώρα ως εξής V (θ) = 1 2 mgl θ2. ml θ = 1 dv l dθ θ + g l θ = 0, και συμπίπτει με αυτή που βρήκαμε με τον πρώτο τρόπο. Παρατήρηση. Μπορούμε να έχουμε μία εκτίμηση της συχνότητας της κίνησης πριν καν λύσουμε τις εξισώσεις κίνησης. Παρατηρούμε ότι οι φυσικές σταθερές και οι αντίστοιχες διαστάσεις τους είναι m : [μάζα], g: [μήκος]/[χρόνος] 2, l: [μήκος]. Ο μόνος συνδυασμός τους που δίνει διαστάσεις [χρόνος] είναι ο l/g. Είναι λοιπόν σαφές ότι αυτή η τελευταία σταθερά θα είναι ο χαρακτηριστικός χρόνος του συστήματος (στην προκειμένη περίπτωση σχετίζεται με την περίοδο της ταλάντωσης). Γιά να γίνει πιό σαφής η αξία αυτής της παρατήρησης, θα μπορούσε κανείς να ορίσει μιά νέα αδιάστατη μεταβλητή t γιά τον χρόνο από την σχέση l t := t g. Με την βοήθεια αυτής η Εξ. (14.6) γράφεται d 2 θ d t 2 + θ = 0

45 45 Σχημα 10. Το δυναμικό Lennard Jones (γιά D = 1, R = 5) παριστάνεται με την συνεχή γραμμή. Ενα παραβολικό δυναμικό παριστάνεται με την διακεκομμένη γραμμή. όπου δεν εμφανίζεται καμμία φυσική σταθερά. Άσκηση. Βρείτε όλα τα σημεία ισορροπίας του εκκρεμούς. Κάνετε γιά όλα τα σημεία την αρμονική προσέγγιση χρησιμοποιώντας την μέθοδο που αναπτύχθηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Άσκηση. Σχεδιάστε το δυναμικό (14.5). (α) Τι είδους κίνηση κάνει ένα σωμάτιο με ενέργεια mgl < E < mgl; Είναι η περίοδος της κίνησης μεγαλύτερη ή μικρότερη από 2π l/g; (β) Τι κίνηση κάνει ένα σωμάτιο με ενέργεια E > mgl; (γ) Τι κίνηση κάνει ένα σωμάτιο με ενέργεια E = mgl; [Δώστε κατ αρχήν ποιοτικές απαντήσεις στα ερωτήματα. Η πλήρης ποσοτική μελέτη του προβλήματος είναι σχετικά εκτενής.] Δυναμικό χημικού δεσμού. Ο χημικός δεσμός μεταξύ δύο ατόμων προκύπτει από την αλληλεπίδραση μεταξύ τους. Μπορούμε να περιγράψουμε τέτοιες αλληλεπιδράσεις με την βοήθεια δυναμικών και ένα εμπειρικό τέτοιο δυναμικό είναι το λεγόμενο δυναμικό Lennard-Jones V (r) = D ( ) R 12 2 r ( ) R 6. r Αυτή η μορφή δυναμικού (η οποία παριστάνεται στο σχήμα με την συνεχή γραμμή) περιγράφει δεσμούς Van der Waals μεταξύ των ατόμων, δηλαδή αλληλεπιδράσεις διπόλου-διπόλου. Η απόσταση μεταξύ των ατόμων είναι r, ενώ D και R είναι εμπειρικές σταθερές. Γιά να σχεδιάσουμε το γράφημα της V (r) παρατηρούμε κατ αρχήν ότι V (r), as r 0 V (r) 0, as r. Γιά να αποκτήσουμε πληρέστερη εικόνα του γραφήματος της V πρέπει να βρούμε τις παραγώγους της: [ (R dv dr = 12 ) 6 ( ) ] R 12 D, r r r

46 46 ώστε το δυναμικό έχει ακρότατο στο σημείο r = r 0, όπου dv ( ) R 6 = 0 D = 1 r 0 = D 1/6 R, dr r=r0 με τιμή V (r = r 0 ) = 1/D. Με υπολογισμό της δεύτερης παραγώγου βρίσκουμε ότι r 0 d 2 V dr 2 (r = r 0) = 72 R 2 D 4/3 και άρα έχουμε ελάχιστο. Συμπεραίνουμε ότι τα άτομα, σε κατάσταση ισορροπίας, βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους r = r 0, αφού εκεί η δύναμη μεταξύ τους F = dv/dr μηδενίζεται. Αν και η γενική περιγραφή της δυναμικής των ατόμων είναι συνήθως περίπλοκη, μπορούμε όμως να την περιγράψουμε σχετικά απλά όταν αυτά βρίσκονται κοντά στην θέση ισορροπίας τους. Προσεγγίζουμε το δυναμικό με το ανάπτυγμα Taylor γύρω από το σημείο r = r 0 : V V 0 + dv dr r=r 0 (r r 0 ) + 1 d 2 V 2 dr 2 r=r 0 (r r 0 ) 2 = V d 2 V 2 dr 2 r=r 0 (r r 0 ) 2, όπου V 0 = V (r = r 0 ) είναι μία σταθερά. Η d 2 V/dr 2 (r = r 0 ) είναι επίσης μία σταθερά την οποία θα ονομάσουμε k. Τότε το σύστημά μας περιγράφεται από το δυναμικό V (r) = 1 2 kq2, όπου θέσαμε την σταθερά k := d 2 V/dr 2 (r = r 0 ) και την απόκλιση από την θέση ισορροπίας q := r r 0. Επίσης, παραλείψαμε την σταθερά V 0 η οποία δεν θα επηρρεάσει τις εξισώσεις κίνησης. Η παραβολική αυτή προσεγγιστική μορφή του δυναμικού γύρω από το ελάχιστο r = r 0 παριστάνεται στο σχήμα με την διακεκομμένη γραμμή. Άσκηση. Βρείτε αριθμητικά λύσεις της εξίσωσης του Νεύτωνα γιά την περίπτωση του δυναμικού Lennard-Lones γιά ενέργεια E < 0 και γιά E > 0. Ποιά είναι η περίοδος της κίνησης σαν συνάρτηση του E (γιά την περίπτωση περιοδικής κίνησης); Βιβλιογραφία: [5, 7]

47 15. Λογισμός μεταβολών Μεταβολικά προβλήματα. Κάνοντας μία επισκόπηση του απειροστικού λογισμού μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ένα από τα κεντρικά του προβλήματα είναι η εύρεση ακροτάτων μίας δεδομένης συνάρτησης. Π.χ., μία συνάρτηση μίας μεταβλητής f(x) έχει ε- λάχιστο στη θέση x 0 αν ισχύει f(x 0 ) f(x) γιά κάθε x στο πεδίο ορισμού της τέτοιο ώστε x x 0 < δ, γιά κάποιο δ > 0. Αν η f είναι διαφορίσιμη τότε είναι αναγκαία η συνθήκη df (15.1) = 0. dx x0 Ο λογισμός μεταβολών ασχολείται με γενικεύσεις του παραπάνω προβλήματος. Ασχολείται με ελαχιστοποίηση (ή μεγιστοποίηση) γενικότερων ποσοτήτων που λέγονται συναρτησοειδή. Ενα συναρτησοειδές (ή συναρτησιακό) αντιστοιχίζει σε κάθε συνάρτηση y(t) έναν αριθμό. Δηλαδή, αν θεωρήσουμε ένα σύνολο συναρτήσεων A και μία συνάρτηση y A, τότε ένα συναρτησοειδές J δίνει τον αριθμό J(y). Είναι δηλαδή J : A R. Παράδειγμα. Εστω A το σύνολο των συνεχώς διαφορίσιμων συναρτήσεων σε διάστημα [a, b] που πληρούν τις συνθήκες y(a) = y a, y(b) = y b. Γράψτε μία έκφραση γιά το μήκος τόξου επί του A. Θα θεωρήσουμε το γράφημα μίας συνάρτησης y A και θα γράψουμε μία έκφραση γιά το μήκος τόξου αυτού του γραφήματος, από το σημείο (a, y a ) στο (b, y b ). Πρόκειται γιά το συναρτησοειδές (15.2) J(y) = b a 1 + yx (x) 2 dx, όπου y x := dy/dx. Σε κάθε y A το συναρτησοειδές αντιστοιχίζει έναν πραγματικό αριθμό που είναι το μήκος τόξου της καμπύλης y = y(x) μεταξύ των δύο ακραίων σημείων. Παράδειγμα. Εστω A το σύνολο των μη αρνητικών συνεχών συναρτήσεων που ο- ρίζονται σε διάστημα [x 1, x 2 ] Μπορούμε να ορίσουμε, επί του A, το συναρτησοειδές (15.3) J(y) = x2 x 1 y(x) dx το οποίο δίνει το εμβαδόν της επιφάνειας που βρίσκεται μεταξύ του άξονα x και της καμπύλης y = y(x). Ενα θεμελιώδες πρόβλημα του λογισμού μεταβολών είναι η ελαχιστοποίηση ενός συναρτησοειδούς. Δηλαδή, η αναζήτηση συνάρτησης γιά την οποία το συναρτησοειδές έχει ελάχιστο. Στο παράδειγμα με το μήκος τόξου, αναζητούμε την καμπύλη y = y(x) γιά την οποία το μήκος τόξου είναι ελάχιστο. Είναι γνωστό ότι αυτό επιτυγχάνεται από μία συνάρτηση που δίνει ευθεία γραμμή (μεταξύ των ακραίων σημείων). Στο παράδειγμα με το εμβαδόν παρατηρούμε ότι το ολοκλήρωμα (15.3) είναι θετικά ορισμένο (αφού y(x) 0), ώστε εύκολα συμπεραίνουμε ότι η y(x) = 0, γιά την οποία το εμβαδόν μηδενίζεται, ελαχιστοποιεί το συναρτησοειδές (δηλ., το εμβαδόν). Στον κλασικό λογισμό μεταβολών τα συναρτησοειδή που έχουν ενδιαφέρον είναι της μορφής (15.4) J(y) = b a L(x, y(x), y x (x)) dx. 47

48 48 Εδώ η L = L(x, y(x), y x (x)) είναι μία έκφραση που περιέχει την συνάρτηση y(x) αλλά και την παράγωγό της, καθώς επίσης και την ανεξάρτητη μεταβλητή x. Σε προηγούμενο παράδειγμα είχαμε L = 1 + y (x) 2. Η συνάρτηση L ονομάζεται Λαγκρανζιανή (από το όνομα του Lagrange) και εμφανίζεται σε προβλήματα μηχανικής. Εκεί η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο χρόνος και έτσι γράφουμε συνήθως τη μορφή (15.5) J(y) = όπου εννοείται y = y(t). Βιβλιογραφία: [2] b a L(t, y, ẏ) dx, Συνθήκη γιά ακρότατα. Ας δούμε αναλυτικά το θεμελιώδες πρόβλημα του λογισμού μεταβολών, δηλαδή την ελαχιστοποίηση ενός συναρτησοειδούς. Θα ήταν ενδιαφέρον αν μπορούσαμε να είχαμε μία συνθήκη ελαχίστου όπως συμβαίνει στο συνήθη απειροστικό λογισμό, όπου αναγκαία συνθήκη είναι ο μηδενισμός της παραγώγου. Είναι όμως προφανές ότι γιά να πετύχουμε κάτι τέτοιο θα πρέπει πρώτα να ορίσουμε κάτι ανάλογο της παραγώγου γιά συναρτησοειδή. Ας υποθέσουμε μία συνάρτηση y = y(x) (μίας μεταβλητής x) και ενδιαφερόμαστε γιά το ολοκλήρωμα (15.6) J(y) = x2 x 1 L(x, y, y x ) dx, όπου y x := dy/dx και έστω οι συναρτήσεις y(x) οι οποίες είναι δύο φορές συνεχώς διαφορίσιμες, y C 2 [x 1, x 2 ]. Θα ονομάσουμε στα επόμενα το σύνολο αυτών των συναρτήσεων A. Ας θεωρήσουμε ότι υπάρχει μία συνάρτηση y 0 (x) A γιά την οποία το συναρτησιακό J έχει ελάχιστο, δηλαδή J(y 0 ) J(y) γιά κάθε y στη γειτονιά του y 0. Υποθέτουμε τώρα μία συνάρτηση η(x) με συνεχή δεύτερη παράγωγο και με η(x 1 ) = 0 = η(x 2 ). Εισάγουμε την παράμετρο ɛ και γράφουμε συναρτήσεις στην γειτονιά της συνάρτησης y 0 (x) A ως (15.7) y(x, ɛ) = y 0 (x) + ɛη(x). Σημειώστε ότι έχουμε y 0 (x) = y(x, ɛ = 0) και επίσης με τη συνθήκη μηδενισμού της η(x) στα άκρα του διαστήματος βλέπουμε ότι y(x, ɛ) A. Η μεταβολή της συνάρτησης y συμβολίζεται με ɛ δy και είναι στην περίπτωση αυτή δy = η(x). Η μεταβολή του συναρτησοειδούς που οφείλεται στη μεταβολή δy ορίζεται ως (15.8) J = J(y 0 + ɛη) J(y 0 ). Ορίσαμε λοιπόν στα παραπάνω κάποιες έννοιες και ποσότητες σε αναλογία με συνήθεις συναρτήσεις. Πηγαίνοντας ένα βήμα παραπέρα βλέπουμε ότι το συναρτησιακό J, με τον δεδομένο ορισμό του y(x, ɛ), γίνεται μία συνάρτηση του ɛ. Αυτή θα την συμβολίσουμε με το νέο σύμβολο J και γράφουμε (15.9) J (ɛ) = Εχουμε x2 x 1 L(x, y(x, ɛ), y x (x, ɛ)) dx. (15.10) J (0) = J(y 0 ), J (ɛ) = J(y 0 + ɛη).

49 Εφόσον θεωρήσουμε ότι το J(y) έχει ελάχιστο γιά y = y 0, τότε, γιά κάθε αποδεκτή επιλογή γιά το η(x), βλέπουμε ότι η J (ɛ) πρέπει ναέχει ελάχιστο στη θέση ɛ = 0. Άρα η συνθήκη (15.11) J (ɛ = 0) = 0 είναι αναγκαία γιά την ύπαρξη ελαχίστου της J(y). Ας δούμε την συνθήκη (15.11) στα πλαίσια του συμβολισμού του λογισμού μεταβολών. Από τον λογισμό πραγματικών συναρτήσεων μπορούμε να γράψουμε το ανάπτυγμα Taylor (15.12) J (ɛ) = J (0) + J (0)ɛ Εισάγοντας πάλι το σύμβολο J μπορούμε να βρούμε τη μεταβολή του συναρτησοειδούς: (15.13) J(y 0 + ɛη) = J(y 0 ) + J (0)ɛ +... J = J (0)ɛ +... Με βάση την τελευταία σχέση ορίζουμε ως πρώτη μεταβολή του J κατά την διεύθυνση η(x) την ποσότητα (15.14) δj(y 0, η) := J (ɛ = 0) = d dɛ J(y 0 + ɛη) ɛ=0. Είναι βέβαια σαφές ότι η μεταβολή εξαρτάται από την επιλογή της η(x). Παρατηρούμε ότι J(y 0 + ɛη) J(y 0 ) (15.15) δj(y 0, η) = lim, ɛ 0 ɛ δηλαδή ο ορισμός γιά την μεταβολή του J είναι αντίστοιχος του ορισμού παραγώγου κατά κατεύθυνση γιά συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Η κατεύθυνση στην παρούσα περίπτωση είναι η συνάρτηση η(x) και υπάρχουν, κατ αρχήν, άπειρες επιλογές γιά αυτή την συνάρτηση. Η συνθήκη (15.11) γράφεται επίσης και δj(y 0, η) = 0. Εχουμε δηλαδή καταλήξει στο συμπέρασμα ότι αν y 0 A είναι σημείο όπου το J έχει τοπικό ελάχιστο τότε η μεταβολή του J μηδενίζεται (15.16) δj(y 0, η) = 0 γιά όλες τις αποδεκτές συναρτήσεις η(x) Εξισώσεις Euler-Lagrange. Γιά να δούμε αναλυτικότερα την συνθήκη γιά το ελάχιστο θα χρειαστεί να υπολογίζουμε τη μεταβολή του J, δηλαδή την έκφραση (15.17) d dɛ J(y + ɛη) = d dɛ x2 x 1 L(x, y + ɛη, y x + ɛη x )dx. Θα θεωρήσουμε συναρτήσεις L(x, y, y x ) οι οποίες είναι δύο φορές διαφορίσιμες ως προς όλες τις μεταβλητές. Με τον κανόνα της αλυσιδωτής παραγώγισης έχουμε dj x2 ( L (15.18) dɛ = y y ɛ + L ) y x dx. y x ɛ x 1 x 1 x 1 Ο δεύτερος όρος στο δεξιό μέλος, με κατά παράγοντες ολοκλήρωση, γίνεται x2 L y x2 x (15.19) y x ɛ dx = L 2 y L y dx = x x2 ( ) 2 d L y y x x ɛ y x ɛ x 1 dx y x ɛ dx. x 1 49

50 50 Εχουμε y/ ɛ = η(x) και άρα (15.20) dj dɛ = x2 x 1 [ L y d dx x 1 ( L y x )] η(x) dx + L η(x) y x Εφόσον έχουμε υποθέσει η(x) = 0 στα άκρα του διαστήματος x = x 1, x = x 2, οι συνοριακοί όροι μηδενίζονται. Άρα έχουμε dj x2 [ L (15.21) dɛ = y d ( )] L η(x) dx. dx y x Η συνθήκη (15.11) γιά να έχουμε ακρότατο σημαίνει τον μηδενισμό της έκφρασης στο δεξιό μέλος της (15.21) γιά κάθε αποδεκτή συνάρτηση η(x). x 2. x 1 Στο σημείο αυτό χρειαζόμαστε το ακόλουθο: Θεμελιώδες Λήμμα του Λογισμού Μεταβολών. Αν φ(x) είναι συνεχής συνάρτηση και x2 (15.22) φ(x)η(x) dx = 0 x 1 ισχύει γιά κάθε συνάρτηση η(x) η οποία είναι δύο φορές συνεχώς διαφορίσιμη και μηδενίζεται στα όρια, τότε έχουμε φ(x) = 0. Σύντομη απόδειξη. Εστω φ(x) 0, π.χ., φ(x = ξ) > 0. Τότε υπάρχει γειτονιά G του x (ξ 0 < x < ξ 1 ) όπου φ(x) > 0. Τώρα εκλέγουμε η(x) = (x ξ 0 ) 4 (x ξ 1 ) 4 στο G και η(x) = 0 εκτός του G. Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε x 2 x 1 φη dx > 0, το οποίο όμως αντιβαίνει στην υπόθεση. Χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό που έχουμε εισάγει ας γράψουμε την (15.21) ως x2 [ L (15.23) δj = y d ( )] L δy dx. dx y x x 1 Η συνθήκη δj = 0 με την βοήθεια του προηγουμένου λήμματος (15.22) δίνει την ακόλουθη αναγκαία συνθήκη γιά να έχει ακρότατο το J: L (15.24) y d ( ) L = 0. dx y x Η διαφορική αυτή εξίσωση λέγεται εξίσωση Euler-Lagrange. Οι λύσεις y(x) εξασφαλίζουν ότι δj(y, η) = 0 γιά κάθε η(x) και λέμε ότι το y(x) είναι στάσιμο σημείο του J(y). Παράδειγμα. Βρείτε την καμπύλη y = y(x) η οποία συνδέει δύο σημεία (x 1, y(x 1 )) και (x 2, y(x 2 )) και έχει το ελάχιστο μήκος. Εχουμε δεί σε προηγούμενο παράδειγμα ότι το μήκος της καμπύλης δίνεται από το συναρτησιακό x2 J = 1 + y 2 x dx. x 1 Γιά να βρούμε ακρότατα γιά το J πρέπει να βρούμε τις y(x) γιά τις οποίες δj = 0, δηλαδή αρκεί να λύσουμε την εξίσωση Euler-Lagrange (15.24). Εχουμε (15.25) f = 1 + y 2 x f y = 0, f y x = y x 1 + y 2 x,

51 51 ώστε η εξίσωση (15.24) γράφεται ( ) d y x (15.26) = 0 y x = c y x = a y = ax + b, dx 1 + y 2 x 1 + y 2 x όπου a, b, c είναι σταθερές (και μάλιστα c = a/ 1 + a 2 ). Άρα η ζητούμενη καμπύλη είναι μία ευθεία. Τα a, b πρέπει να προσδιορισθούν έτσι ώστε η ευθεία να περνάει από τα δεδομένα σημεία. Άσκηση. Στην γεωμετρική οπτική η αρχή του Fermat ορίζει ότι ο χρόνος που χρειάζεται μία ακτίνα φωτός γιά να ταξιδέψει μεταξύ δύο σημείων είναι ελάχιστος μεταξύ όλων των διαδρομών που συνδέουν τα δύο σημεία. Περιοριστείτε στο επίπεδο και θεωρήστε μέσο με δείκτη διάθλασης n(x, y) (δηλαδή, η ταχύτητα στο μέσο είναι c(x, y) = 1/n(x, y)). Βρείτε την καμπύλη y = y(x) την οποία ακολουθεί μία ακτίνα φωτός. Βιβλιογραφία: [2] 16. Εξισώσεις Lagrange Γενικευμένες συντεταγμένες. Στη Μηχανική η θέση κάθε σωματίου στον χώρο μπορεί να περιγραφεί από τρεις καρτεσιανές συντεταγμένες. Αν θεωρήσουμε ένα σύστημα N σωματίων, τότε αυτό περιγράφεται (δηλαδή, οι θέσεις των σωματίων καθορίζονται πλήρως) από 3N συντεταγμένες. Σε πολλές όμως περιπτώσεις αυτές δεν είναι οι πιό κατάλληλες μεταβλητές γιά την περιγραφή του συστήματος, ενώ υπάρχουν κάποιες άλλες μεταβλητές οι οποίες περιγράφουν με απλούστερο τρόπο το συγκεκριμένο σύστημα. Γιά παράδειγμα θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε πολικές, ή σφαιρικές συντεταγμένες. Μία κατηγορία συστημάτων όπου συχνά χρειαζόμαστε κατάλληλα επιλεγμένες μεταβλητές γιά να τα περιγράψουμε είναι γιά κινήσεις οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς. Είναι τότε μάλιστα δυνατόν να χρειάζονται λιγότερες από 3N μεταβλητές γιά να περιγράψουν το σύστημα. Ενα τέτοιο παράδειγμα είναι ένα σωμάτιο το οποίο είναι περιορισμένο να κινείται πάνω σε μία σφαίρα. Τότε δεν είναι αναγκαίες τρεις μεταβλητές (π.χ., οι τρεις καρτεσιανές συντεταγμένες) γιά να περιγράψουν την κίνηση, αλλά, π.χ., μόνο οι δύο γωνίες σφαιρικών συντεταγμένων αρκούν. Επίσης, η θέση ενός σωματίου το οποίο είναι περιορισμένο να κινείται επάνω σε κύκλο δεδομένης ακτίνας l (π.χ., το απλό εκκρεμές) περιγράφεται από μία μόνο μεταβλητή, η οποία είναι μία γωνία θ. Γιά να περιγράψουμε γενικότερα συστήματα με μεταβλητές οι οποίες είναι ενδεχομένως κατάλληλες γιά το συγκεκριμένο κάθε φορά σύστημα εισάγουμε την έννοια των γενικευμένων συντεταγμένων. Γιά ένα σύστημα N σωματίων ορίζουμε τις n μεταβλητές q i έτσι ώστε να περιγράφουν πλήρως το σύστημα. Εφόσον οι γενικευμένες συντεταγμένες καθορίζουν πλήρως τις θέσεις του συστήματος σωμάτων θα πρέπει να είναι βέβαια δυνατόν να καθορίσουμε τις καρτεσιανές συντεταγμένες του συστήματος. Με άλλα λόγια οι καρτεσιανές συντεταγμένες θα δίνονται από σχέσεις της μορφής (16.1) x i = x i (q 1, q 2,..., q n, t), i = 1,..., 3N. Εχουμε δηλαδή σχέσεις μετασχηματισμού των γενικευμένων σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Σαν παράδειγμα μετασχηματισμού της μορφής (16.1) σκεφθείτε ότι οι q i μπορεί να είναι οι πολικές συντεταγμενες r, θ, οπότε έχουμε x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ. Σύμφωνα με την συζήτηση στην προηγούμενη παράγραφο περιμένουμε ότι γενικά θα ισχύει n 3N.

52 Αρχή του Hamilton. Ας υποθέσουμε ένα σύστημα που περιγράφεται από τις γενικευμένες συντεταγμένες q 1,..., q n. Σε κάθε χρονική στιγμή η κατάσταση του συστήματος δίνεται από τις τιμές των συντεταγμένων. Άρα η εξέλιξή του στον χρόνο μπορεί να περιγραφεί σαν κίνηση στον n-διάστατο χώρο των συντεταγμένων. Είμαστε τώρα σε θέση να δώσουμε μία πιό γενική αιτιολόγιση γιά τις εξισώσεις κίνησης ενός συστήματος σωμάτων, δηλαδή να εξάγουμε τις εξισώσεις Lagrange από μία γενική αρχή. Γνωρίζουμε ήδη ότι κίνηση ενός συστήματος σωμάτων περιγράφεται από τις εξισώσεις του Νεύτωνα. Θα δούμε όμως στην συνέχεια ότι είμαστε σε θέση να δώσουμε μία διαφορετική διατύπωση των νόμων κίνησης του συστήματος. Στη διατύπωση μάλιστα αυτή μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιεσδήποτε γενικευμένες συντεταγμένες είναι πιό βολικές γιά το κάθε σύστημα που θα μελετήσουμε. Η νέα διατύπωση θα γίνει με την βοήθεια μίας πραγματικής συνάρτησης L η οποία ονομάζεται Λαγκρανζιανή και παίζει το ρόλο ενός γενικευμένου δυναμικού. Οι νόμοι της κίνησης θα προκύψουν από την αρχή του Hamilton. Αυτή η τελευταία βασίζεται στο ολοκλήρωμα της L στον χρόνο, από μία αρχική στιγμή t 1 σε μία τελική στιγμή t 2 : (16.2) I = t2 t 1 L(q 1,..., q n, q 1,..., q n ) dt. Η αρχή του Hamilton λέει ότι από όλες τις πιθανές κινήσεις στον χώρο το σώμα επιλέγει να κινηθεί σε αυτήν γιά την οποία το I έχει ελάχιστη τιμή. Αυτό μας φέρνει κατευθείαν σε όσα είδαμε στο λογισμό μεταβολών σε προηγούμενες παραγράφους. Άρα μπορούμε αμέσως να δούμε ότι η αρχή του Hamilton διατυπώνεται και ως (δείτε την Εξ. (15.16)) (16.3) δi = δ t2 t 1 L(q 1,..., q n, q 1,..., q n ) dt = 0, όπου το σύμβολο δi δηλώνει την μεταβολή του I Ολοκλήρωμα δράσης. Το ολοκλήρωμα (16.2), του οποίου η ολοκληρωταία ποσότητα είναι η Λαγκρανζιανή και η ολοκλήρωση είναι στον χρόνο, λέγεται ολοκλήρωμα δράσης. Το I είναι ένα συναρτησιακό της μορφής που μελετήσαμε στις προηγούμενες παραγράφους όπου τον ρόλο του x παίζει ο χρόνος t. Πρέπει όμως να προσέξουμε ότι το I εξαρτάται από n συναρτήσεις q i και όχι από μία μόνο συνάρτηση y όπως το J(y) στην Εξ. (15.6). Η γενίκευση του αποτελέσματος (15.24) γιά συναρτησιακό το οποίο εξαρτάται από n συναρτήσεις I = I(q 1,..., q n, q 1,..., q n, t) είναι σχετικά απλή και αφήνεται σαν άσκηση. Άσκηση. Βρείτε τις εξισώσεις Euler-Lagrange για το ολοκλήρωμα δράσης (16.4) I = L (q 1,..., q n, q 1,..., q n, t) dt. Από την συνθήκη δi = 0 προκύπτουν οι εξής n εξισώσεις Lagrange (16.5) d dt ( L q k ) L q k = 0, k = 1,..., n.

53 Κάθε μία από αυτές έχει τη μορφή της Εξ. (15.24), έχουμε όμως ένα σύστημα n τέτοιων εξισώσεων Λαγκρανζιανή. Γιά να μπορέσουμε να μελετήσουμε οποιοδήποτε σύστημα με βάση την αρχή του Hamilton και τις εξισώσεις Lagrange θα πρέπει πρώτα να έχουμε την Λαγκρανζιανή του L. Θα δούμε σε αυτή την παράγραφο πώς αυτή προκύπτει γιά μία κατηγορία συστημάτων γιά τα οποία μπορούμε να ορίσουμε κινητική και δυναμική ενέργεια. Η κινητική ενέργεια ενός συστήματος σωματίων γνωρίζουμε ότι είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητάς τους όταν εργαζόμαστε σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Σε γενικευμένες συντεταγμένες η κινητική ενέργεια θα έχει μία τετραγωνική μορφή ως προς q i : n n (16.6) T = a ij (q i,..., q n ) q i q j, 1 j όπου οι a ij (q i,..., q n ) είναι συναρτήσεις των γενικευμένων συντεταγμένων q i. Ονομάζουμε τις q i γενικευμένες ταχύτητες. Η δυναμική ενέργεια θεωρούμε (στην απλή περίπτωση) ότι είναι συνάρτηση των q i και ίσως και του χρόνου t (αλλά όχι των γενικευμένων ταχυτήτων q i ), δηλαδή είναι της μορφής: (16.7) V = V (t, q 1,..., q n ). Γιά συστήματα όπου υπάρχουν η κινητική και η δυναμική ενέργεια ορίζουμε την Λαγκρανζιανή ως (16.8) L = L(t, q 1,..., q n, q 1,..., q n ) := T V. Ας περάσουμε αμέσως σε παραδείγματα γιά τις σχέσεις που είδαμε σε αυτή την παράγραφο. Παράδειγμα. Εστω ο αρμονικός ταλαντωτής με κινητική και δυναμική ενέργεια (16.9) T = 1 2 mẋ2, V = 1 2 kx2. Εδώ έχουμε μία συντεταγμένη, την x. Η Λαγκρανζιανή είναι (16.10) L = T V = 1 2 mẋ2 1 2 kx2. Υπολογίζουμε (16.11) dl dẋ = mẋ, dl dx = kx και άρα η εξίσωση Lagrange γράφεται ( ) d dl (16.12) = dl dt dẋ dx d (mẋ) = kx mẍ + kx = 0. dt Παράδειγμα. Εστω το απλό εκκρεμές με κινητική και δυναμική ενέργεια (16.13) T = 1 2 m(l θ) 2 = 1 2 ml2 θ2, V = mgl cos θ, 53

54 54 οπότε η Λαγκρανζιανή είναι (16.14) L = T V = 1 2 ml2 θ2 + mgl cos θ. Γιά αυτό το πρόβλημα έχουμε μία γενικευμένη συντεταγμένη, την γωνία θ. Υπολογίζουμε (16.15) dl d θ = ml2 θ, dl dθ = mgl sin θ και άρα η εξίσωση Lagrange γράφεται ( ) d dl (16.16) dt d θ = dl dθ d g dt (ml2 θ) = mgl sin θ θ + sin θ = 0. l Παράδειγμα. Εστω ένα σωμάτιο το οποίο κινείται σε δύο διαστάσεις και βρίσκεται σε κεντρικό δυναμικό, δηλαδή, όταν χρησιμοποιήσουμε πολικές συντεταγμένες (r, θ), το δυναμικό γράφεται V = V (r). Η κινητική του ενέργεια σε πολικές συντεταγμένες είναι (16.17) T = 1 2 mv2 = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 ) και άρα η Λαγκρανζιανή είναι (16.18) L = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 ) V (r). Υπολο- Εχουμε δύο γενικευμένες συντεταγμένες r, θ και άρα δύο εξισώσεις Lagrange. γίζουμε (16.19) L ṙ = mṙ, L θ = mr2 θ (16.20) L r = mr θ 2 dv dr, dl dθ = 0 και άρα οι εξισώσεις Lagrange είναι οι ( ) d L = L dt ṙ r m r = mr θ 2 dv dr (16.21) d dt ( ) L θ = L θ d dt (mr2 θ) = 0. Άσκηση. ([2] Άσκ. 5.13) Θεωρήστε το κεντρικό δυναμικό V (r) = k/r 2. (α) Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης. (β) Λύστε αναλυτικά τις εξισώσεις κίνησης. (γ) Προσδιορίσθε την κίνηση.

55 17. Νόμοι διατήρησης Ενέργεια. Οι εξισώσεις Lagrange είναι σε μορφή η οποία υποδεικνύει την ύπαρξη ποσοτήτων οι οποίες διατηρούνται κατά την διάρκεια της κίνησης. Γιά να βρούμε τέτοιες ποσότητες θα πρέπει να αποδείξουμε ότι η ολική παράγωγος τους στον χρόνο μηδενίζεται. Ο βασικότερος νόμος διατήρησης παράγεται ως εξής. Γράφουμε το ολικό διαφορικό της Λαγκρανζιανής (17.1) dl dt = k [ L q k + L ] d q k + L q k q k dt t, και χρησιμοποιούμε τις Εξ. Lagrange (16.5) dl dt = [ ( ) d L q k + L ] d q k + L dt q k q k dt t = k k ( ) d L q k L + L dt q k t = 0 k Προκύπτει άμεσα ότι, στην περίπτωση L/ t = 0, η ποσότητα (17.2) H := k L q k q k L είναι διατηρήσιμη. Αυτή λέγεται ενέργεια του συστήματος. [ ( )] d L q k + L dt q k t Παράδειγμα. Εστω ένα μονοδιάστατο σύστημα με Λαγκρανζιανή L = 1 2 mẋ2 V (x). Η ενέργειά του είναι (17.3) H = dl [ ] 1 dẋ ẋ L = (mẋ)ẋ 2 mẋ2 V (x) = 1 2 mẋ2 + V (x). Η ενέργεια H διατηρείται αφού L/ t = 0. Παράδειγμα. Εστω ένα σύστημα το οποίο περιγράφεται σε πολικές συντεταγμένες και έχει Λαγκρανζιανή (17.4) L = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 ) V (r, θ). Γιά να υπολογίσουμε την ενέργεια έχουμε (17.5) και άρα L ṙ = mṙ, L θ = mr2 θ, H = L ṙ ṙ + L [ ] 1 θ θ 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 ) V (r, θ) = m ṙ 2 + mr 2 θ2 1 2 m ṙ2 1 2 mr2 θ2 + V (r, θ) = 1 2 m (ṙ 2 + r 2 θ2 ) + V (r, θ). 55

56 56 Ας δούμε τώρα κάποιες γενικές ιδιότητες γιά τις Λαγκρανζιανές συστημάτων γιά τα οποία μπορούμε να ορίσουμε κινητική και δυναμική ενέργεια. Ας υποθέσουμε τις γενικευμένες συντεταγμένες οι οποίες ορίζονται από τις (17.6) x i = x i (q k, t). Εχουμε γιά τις ταχύτητες: (17.7) ẋ i = k x i q k q k + x i t. Θα υποθέσουμε στα επόμενα την περίπτωση που L/ t = 0, οπότε η κινητική ενέργεια γράφεται (17.8) T = 1 m i ẋ 2 i = 1 ( ) xi x i m i q j q k = 1 a jk q j q k 2 2 q j q k 2 i όπου τα a jk ορίζονται από την παραπάνω σχέση, δηλαδή, i j k j,k (17.9) a jk = i m i x i q j x i q k και ισχύει a jk = a kj. Είδαμε λοιπόν ότι η κινητική ενέργεια είναι μία ομογενής συνάρτηση δευτέρου βαθμού. Το θεώρημα του Euler γιά ομογενείς συναρτήσεις λέει (17.10) k T q k q k =... = 2T. Θεωρούμε επίσης ότι η δυναμική ενέργεια είναι V = V (q k ), οπότε L (17.11) q k = T q k = 2T. q k q k k k Βρίσκουμε τελικά (17.12) H = k L q k q k L = 2T (T V ) = T + V Γενικευμένη ορμή. Η μορφή των εξισώσεων Lagrange υποδεικνύει τις εξής σημαντικές ποσότητες (17.13) p k := L q k οι οποίες ονομάζονται γενικευμένες ορμές. Γιά κάθε γενικευμένη συντεταγμένη q k υπάρχει η αντίστοιχη γενικευμένη ορμή q k. Άλλος όρος που χρησιμοποιείται γιά τις ποσότητες p k είναι κανονική ορμή. Με αυτό τον ορισμό μπορούμε να γράψουμε τις εξισώσεις Lagrange στην μορφή (17.14) dp k dt = L q k

57 οπότε βλέπουμε ότι η μεταβολή στον χρόνο μιάς γενικευμένης ορμής ισούται με ποσότητα η οποία είναι, στις συνήθεις περιπτώσεις, ίση με μία γενικευμένη δύναμη - έτσι δικαιολογείται και το όνομά τους. Σημειώνουμε τέλος ότι, με τον συμβολισμό που εισαγάγαμε γιά τις γενικευμένες ορμές, η ενέργεια (17.2) ενός συστήματος γράφεται 57 (17.15) H = k q k p k L. Παράδειγμα. Εστω ένα μονοδιάστατο πρόβλημα με T = 1 2 mẋ2 και L = T V (x). Εχουμε τη γενικευμένη ορμή (17.16) p k = L ẋ = T ẋ = m ẋ, η οποία συμπίπτει με την συνήθη ορμή. Παράδειγμα. Εστω ένα σωμάτιο που βρίσκεται σε κεντρικό δυναμικό (σε δύο διαστάσεις) και περιγράφεται από πολικές συντεταγμένες. Εχουμε (17.17) T = 1 2 m (ṙ2 + r 2 θ2 ), L = T V (r), ώστε οι δύο γενικευμένες ορμές είναι (17.18) p r = L ṙ = mṙ, p θ = L θ = mr2 θ. Η p r μοιάζει με συνήθη ορμή, ενώ η p θ έχει μία ασυνήθιστη μορφή και ονομάζεται στροφορμή καθώς είναι ανάλογη (μέσω του θ) με τον ρυθμό περιστροφής του σωματίου. Η σημαντικότερη ιδιότητα των γενικευμένων ορμών προκύπτει από τις εξισώσεις (17.14). Παρατηρούμε την εξής περίπτωση: (17.19) L q k = 0 d dt (p k) = 0 p k = σταθ. Δηλαδή, έχουμε τον εξής γενικό κανόνα: στην περίπτωση που κάποια συντεταγμένη q k (γιά συγκεκριμένο k) δεν περιέχεται στην Λαγκρανζιανή, τότε η αντίστοιχη γενικευμένη ορμή p k είναι διατηρήσιμη ποσότητα. Παράδειγμα. Στην περίπτωση του κεντρικού δυναμικού που είδαμε στο προηγούμενο παράδειγμα, η Λαγκρανζιανή (17.20) L = 1 2 m (ṙ2 + r 2 θ2 ) V (r) δεν περιέχει την συντεταγμένη θ, δηλ., L/ θ = 0. Άρα η αντίστοιχη γενικευμένη ορμή p θ = mr 2 θ (η στροφορμή) είναι διατηρήσιμη ποσότητα. Αυτό σημαίνει ότι η γωνιακή ταχύτητα ενός σωματίου είναι αντιστόφως ανάλογη της ακτινικής του συντεταγμένης (17.21) θ = p θ mr 2 όπου p θ είναι μία σταθερά.

58 58 Τέτοιες σχέσεις είναι πολύ χρήσιμες. Στο παράδειγμά μας, μπορούμε να επιστρέψουμε στην εξίσωση κίνησης γιά το r (που έχουμε δει σε προηγούμενο παράδειγμα) (17.22) m r = mr θ 2 dv dr και να αντικαταστήσουμε το θ από τον νόμο διατήρησης: (17.23) m r p2 θ mr 3 + dv dr = 0, οπότε έχουμε μία εξίσωση που περιέχει μόνο το r Βιβλιογραφία: [2, 5, 7] Άσκηση. Εστω ένα σωμάτιο μάζας m 2 το οποίο εξαρτάται από αβαρή ράβδο μήκους l και η οποία μπορεί να ταλαντώνεται στο επίπεδο (x, y), όπου x είναι οριζόντια διεύθυνση και y είναι η κάθετη διεύθυνση (όπως φαίνεται στο σχήμα). Στο σημείο εξάρτησης της ράβδου υπάρχει μάζα m 1 η οποία μπορεί να ολισθαίνει επάνω σε οριζόντιο νήμα κατά την διεύθυνση x. Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης της μάζας. Η θέση r 1 της μάζας m 1 στο σημείο εξάρτησης της ράβδου μπορεί να περιγραφεί από μία μεταβλητή x η οποία δίνει την απόσταση του σημείου εξάρτησης από σταθερό σημείο επάνω στο νήμα: r 1 = x î. Η θέση της μάζας m 2 ως πρός το σημείο εξάρτησης της ράβδου μπορεί να περιγραφεί από μία γωνία θ όπως και στην περίπτωση του απλού εκκρεμούς. Η θέση r 2 της μάζας m 2 ως προς το σταθερό σημείο είναι r 2 = (x + l sin θ) î l cos θ ĵ. [Τα μοναδιαία διανύσματα î, ĵ είναι προς την οριζόντια και κάθετη διεύθυνση αντίστοιχα.] Τελικά, οι δύο μεταβλητές x, θ μπορούν να περιγράψουν τις θέσεις των μαζών m 1 και m 2 ως προς σταθερό σημείο αναφοράς και άρα μπορούν να θεωρηθούν ως γενικευμένες συντεταγμένες του συστήματος. Σχημα 11. Μάζα m 2 εξαρτάται από αβαρή ράβδο μήκους l, στο σημείο εξάρτησης της οποίας βρίσκεται μάζα m 1 η οποία ολισθαίνει στην οριζόντια διεύθυνση. Οι ταχύτητες των σωματίων γράφονται ṙ 1 = ẋ î, ṙ 2 = (ẋ + l θ cos θ) î + l θ sin θ ĵ.

59 59 Η κινητική ενέργεια είναι το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των δύο σωμάτων T = 1 2 m 1ṙ m 2ṙ 2 2 = 1 2 m 1ẋ m 2[(ẋ + l θ cos θ) 2 + (l θ sin θ) 2 ] = 1 2 m 1ẋ m 2(ẋ 2 + l 2 θ2 + 2l cos θ θẋ). Στη δυναμική ενέργεια συμβάλει μόνο αυτή της μάζας m 2 Άρα η Λαγκρανζιανή είναι V = m 2 gl cos θ. L = 1 2 m 1ẋ m 2(ẋ 2 + l 2 θ2 + 2l cos θ θẋ) + m 2 gl cos θ = 1 ( ) 1 2 (m 1 + m 2 )ẋ 2 + m 2 l 2 l θ 2 + cos θ θẋ + m 2 lg cos θ. Παρατηρούμε ότι η Λαγκρανζιανή δεν εξαρτάται από την γενικευμένη συντεταγμένη x, άρα έχουμε την διατηρήσιμη γενικευμένη ορμή (17.24) p x = L ẋ p x = (m 1 + m 2 )ẋ + m 2 l cos θ θ. Αυτή είναι ταυτοχρόνως και η πρώτη εξίσωση Lagrange. Η δεύτερη εξίσωση είναι d dt ( L θ ) L θ = 0 d dt [m 2l(l θ + cos θẋ)] + m 2 l sin θ ( θẋ + g) = 0 (17.25) θ + ẍ l cos θ + g sin θ = 0. l Θεωρώντας p x = const. θα μπορούσαμε να λύσουμε την Εξ. (17.24) ως προς ẋ: (17.26) ẋ = p x m 2 l cos θ θ m 1 + m 2 και να αντικαταστήσουμε στην εξίσωση (17.25), οπότε βρίσκουμε μία διαφορική εξίσωση που περιέχει το θ μόνο.

60 Μη-διατηρητικά συστήματα Γενικευμένες δυνάμεις. Ας θυμηθούμε το απλό παράδειγμα ενός σώματος μάζας m το οποίο κινείται σε μία διάσταση και βρίσκεται σε ένα παραβολικό δυναμικό V = V (x). Η Λαγκρανζιανή του είναι Η εξίσωση Lagrange είναι (18.1) d dt L = 1 2 mẋ2 V (x). ( ) L = L mẍ = V ẋ x x. Το αριστερό μέλος είναι η μάζα επί την επιτάχυνση ενώ το δεξιό είναι η δύναμη που ασκείται λόγω του δυναμικού. Αν, γιά παράδειγμα, το δυναμικό είναι παραβολικό V (x) = 1 2 kx2, τότε η δύναμη είναι f = dv/dx = kx, δηλαδή μία δύναμη επαναφοράς όπως στα ελατήρια. Η εξίσωση κίνησης είναι mẍ = kx και περιγράφει ταλαντώσεις του σώματος. Ας επαναλάβουμε τα παραπάνω γιά την περίπτωση μίας γενικευμένης συντεταγμένης q, οπότε θα έχουμε εξισώσεις Lagrange της μορφής d dt ( L q ) = L q. Οι δυνάμεις που ασκούνται προέρχονται από δυναμικό V = V (q) και περιλαμβάνονται στο δεξιό μέλος της εξίσωσης. Θα ονομάσουμε τον όρο Q q = dv/dq γενικευμένη δύναμη που αντιστοιχεί στη γενικευμένη συντεταγμένη q. Παράδειγμα. Το δυναμικό του απλού εκκρεμούς είναι V (θ) = mg cos θ, ώστε η γενικευμένη δύναμη είναι Q θ = dv = mg sin θ. dθ Πρέπει να προσέξουμε ότι, ενώ μία παράγωγος δυναμικού V ως προς χωρική μεταβλητή x δίνει μία συνήθη δύναμη (όπως στο παράδειγμα με το ελατήριο), η παράγωγος της V ως προς θ δεν δίνει μία δύναμη όπως αυτή συνήθως εννοείται στη Φυσική. Γενικότερα, υποθέτουμε ένα δυναμικό που εξαρτάται από m γενικευμένες συντεταγμένες q k και είναι V = V (q 1,..., q n ). Ονομάζουμε τις γενικευμένες δυνάμεις Q k = V/ q k. Θα μας φανεί πολύ χρήσιμο να δούμε πώς συνδέονται οι γενικευμένες δυνάμεις με τις συνήθεις δυνάμεις. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι οι q k μπορούν να δωθούν ως συναρτήσεις m συνήθων συντεταγμένων x i, δηλαδή q k = q k (x 1,..., x m ), k = 1,..., n. Με τον κανόνα της αλυσίδας γράφουμε (18.2) Q k := V q k = i V x i x i q k, k = 1,..., n. Στην εξίσωση αυτή οι συνήθεις δυνάμεις είναι οι F i := V/ x i και οι γενικευμένες δυνάμεις Q k δίνονται από ένα συνδυασμό των συνήθων δυνάμεων. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε (18.3) Q k = i F i x i q k, k = 1,..., n.

61 18.2. Δυνάμεις που δεν προέρχονται από δυναμικό. Ας επανέλθουμε στο παράδειγμα του μονοδιάστατου ταλαντωτή και ας υποθέσουμε τώρα μία δύναμη τριβής η οποία ασκείται στο σώμα ενώ αυτό ταλαντώνεται. Μία τέτοια δύναμη μπορεί να είναι ανάλογη της ταχύτητας ẋ, δηλαδή υποθέτουμε δύναμη f τ = cẋ. Εφόσον θεωρούμε ότι η τριβή είναι μία δύναμη που προστίθεται στις υπόλοιπες δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημα και οι οποίες ήδη περιλαμβάνονται στο δυναμικό (και στην Λαγκρανζιανή L), μπορούμε να περιλάβουμε το φαινόμενο της τριβής στις εξισώσεις Lagrange προσθέτοντάς τους αυτή τη δύναμη. Στην περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή η δύναμη τριβής πρέπει να προστεθεί στο δεξιό μέλος των (18.1), οπότε παίρνουμε τον αρμονικό ταλαντωτή με τριβή: mẍ = kx cẋ mẍ + cẋ + kx = 0. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να παρατηρήσουμε ότι μία δύναμη τριβής όπως η f τ δεν υπάρχει τρόπος να εξαχθεί από δυναμικό V και έτσι δεν μπορεί να περιληφθεί σε οποιαδήποτε μορφή Λαγκρανζιανής και άρα ούτε στις εξισώσεις Lagrange όπως τις έχουμε γνωρίσει ως τώρα. Γενικότερα μπορούμε να γράψουμε τη μορφή d dt ( L ẋ ) = L x + f τ όπου f τ είναι δύναμη που δεν δίνεται από το δυναμικό του συστήματος. Ας γενικεύσουμε την περιγραφή μας γιά ένα σύστημα το οποίο περιγράφεται από n γενικευμένες συντεταγμένες q k, k = 1..., n. Υποθέτουμε ότι στο σύστημα ασκούνται δυνάμεις και ορισμένες μόνο από αυτές παράγονται από δυναμικό V (q 1,..., q n ), δηλ., Q k = V q k + Q k, όπου Q k είναι οι συνολικές δυνάμεις και Q k είναι το μέρος των δυνάμεων οι οποίες δεν παράγονται από το δυναμικό V. Κανουμε μία επέκταση των εξισώσεων Lagrange προσθέτοντας τις δυνάμεις Q k, ώστε έχουμε τη μορφή ( ) d L L = Q k, k = 1,..., n. dt q k q k Οι Q k δίνονται από εξίσωση ανάλογη της (18.3): 61 (18.4) Q k := i F i x i q k όπου F i είναι τώρα οι δυνάμεις που δεν δίνονται από το δυναμικό. Παράδειγμα. Εστω αρμονικός ταλαντωτής σε μία διάσταση στον οποίο ασκείται μία επιπλέον δύναμη τριβής f = cẋ, όπου c μία σταθερά. Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις Lagrange. Η Λαγκρανζιανή είναι (όπου αγνοείται η δύναμη τριβής) L = 1 2 mẋ2 1 2 kx2. Στις εξισώσεις Lagrange πρέπει να λάβουμε επιπλέον υπ όψιν τη δύναμη τριβής. Αυτή είναι ίση με την γενικευμένη δύναμη Q x = f, η οποία θα προστεθεί στο δεξιό μέλος της εξίσωσης.

62 62 Η πλήρης εξ. Lagrange είναι ( ) d L = L dt ẋ x + Q x mẍ = kx cẋ mẍ + kx + cẋ = 0. Παράδειγμα. Εστω ένα σωμάτιο το οποίο βρίσκεται σε δυναμικό V = V (r), όπου (r, θ) είναι πολικές συντεταγμένες. Μία επιπλέον δύναμη τριβής f = λv (η οποία δεν περιέχεται στο δυναμικό) ασκείται σε αυτό το σωμάτιο, όπου λ είναι μία σταθερά και v είναι η ταχύτητά του. Γράψτε τις εξισώσεις κίνησής του. Λύση: Χρειάζεται να βρούμε τις γενικευμένες δυνάμεις που προκύπτουν από τη δύναμη τριβής. Εφαρμόζουμε την Εξ. (18.2) η οποία εδώ γράφεται ως εξής Q r = f r r, Q θ = f r θ. Εφόσον r = r ê r, έχουμε r/ r = ê r και επίσης, χρησιμοποιώντας τον ορισμό του ê r = cos θ î + sin θ ĵ, βρίσκουμε r/ θ = r ê θ. Άρα οι γενικευμένες δυνάμεις είναι Q r = f ê r, Q θ = rf ê θ. Η δύναμη τριβής σε πολικές συντεταγμένες είναι και άρα έχουμε τελικά f = λv = λ(ṙê r + r θê θ ) Q r = λ ṙ, Q θ = λ r2 θ. Αυτές οι γενικευμένες δυνάμεις πρέπει να προστεθούν στο δεξιό μέλος των εξισώσεων Lagrange (τις οποίες έχουμε βρει σε προηγούμενο παράδειγμα). Εχουμε ( ) d L = L dt ṙ r + Q r m r = mr θ 2 dv dr λ ṙ d dt ( ) L θ = L θ + Q θ d dt (mr2 θ) = λ r 2 θ. Παρατηρούμε ότι η 2η εξίσωση μπορεί να γραφεί στη μορφή ώστε αν θέσουμε αυτή γράφεται και λύνεται ως εξής d λ dt (mr2 θ) = m (m r2 θ) J := mr 2 θ, dj dt = λ m J J(t) = J 0 e λ m t. Η ποσότητα J λέγεται στροφορμή του σωματίου. Η σταθερά της ολοκλήρωσης J 0 είναι η στροφορμή την χρονική στιγμή t = 0, δηλ., J(t = 0) = J 0. Βλέπουμε ότι η στροφορμή μειώνεται με τον χρόνο λόγω της δύναμης τριβής. Βιβλιογραφία: [5, 7]

63 18.3. Ανακεφαλαίωση των εξισώσεων Lagrange. Θα συνοψίσουμε τις μορφές των εξισώσεων Lagrange τις οποίες έχουμε δει μέχρι τώρα. Στην περίπτωση που οι δυνάμεις παράγονται από δυναμικό V (q 1,..., q n ) ορίζουμε την Λαγκρανζιανή και έχουμε την συνήθη μορφή των εξισώσεων (18.5) d dt ( L ) L q k = 0, k = 1,..., n. q k Ας υποθέσουμε ότι στο σύστημα ασκούνται δυνάμεις και ορισμένες μόνο από αυτές παράγονται από δυναμικό V (q 1,..., q n ), δηλ., Q k = V q k + Q k, όπου Q k είναι οι συνολικές δυνάμεις και Q k είναι το μέρος των δυνάμεων οι οποίες δεν παράγονται από το δυναμικό V. Τότε ορίζουμε την Λαγκρανζιανή L = T V και γράφουμε τις εξισώσεις ως ( ) d L (18.6) L = Q k, k = 1,..., n. dt q k q k Αυτή την εξίσωση έχουμε χρησιμοποιήσει σε προηγούμενα παραδείγματα όπου έπρεπε να λάβουμε υπ όψιν δυνάμεις τριβής Άσκηση (Αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση). Θεωρούμε έναν αρμονικό ταλαντωτή ο οποίος συναντά κάποια αντίσταση κατά την κίνησή του (π.χ., τριβή, αντίσταση του αέρα, κλπ). Μία τέτοια διαδικασία παριστάνεται από μία επιπλέον δύναμη της μορφής cẋ όπου c είναι μία σταθερά. Αυτός ο όρος παριστάνει δύναμη που μειώνει την επιτάχυνση (όταν c > 0). Γράφουμε λοιπόν την εξίσωση κίνησης (18.7) mẍ + cẋ + kx = 0. Η ενέργεια του ταλαντωτή (η οποία διατηρείται όταν δεν υπάρχει τριβή ) είναι η E = 1 2 mẋ kx2. Οταν υπάρχει τριβή μπορούμε να υπολογίσουμε τον ρυθμό μεταβολής της ενέργειας ως εξής de dt = mẋẍ + kxẋ = (mẍ + kx)ẋ = cẋ2 < 0 δηλαδή, η ενέργεια E μειώνεται με τον χρόνο. Βιβλιογραφία: [2, 5, 7] 63

64 Δίνες Συνήθεις δίνες σε ρευστά. Δίνες εμφανίζονται και παίζουν σημαντικό ρόλο σε πάρα πολλά φυσικά συστήματα. Τα πιό γνωστά τέτοια συστήματα είναι τα ρευστά. Στην μηχανική ρευστών είναι γνωστό ότι οι δίνες (fluid vortices) παίζουν κεντρικό ρόλο στην περιγραφή και κατανόηση τόσο την κίνησης των ρευστών όσο και πιό περίπλοκων φαινομένων όπως η τυρβώδης ροή. Σχημα 12. Φωτογραφία δινών και ζευγών δινών οι οποίες δημιουργήθηκαν από την κίνηση ενός σωματίου στην επιφάνεια υγρού. Η περιγραφή της κίνησης των ρευστών και άρα και της δυναμικής των δινών βασίζεται στις εξισώσης της μηχανικής ρευστών οι οποίες είναι μη-γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις. Απλοποίηση της περιγραφής δινών προκύπτει στην περίπτωση που θεωρήσουμε ότι κάθε δίνη είναι μακριά από κάθε άλλη και άρα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η σημαντική κεντρική περιοχή της δίνης είναι μικρού μεγέθους σε σύγκριση με την απόσταση μεταξύ τους. Τότε μπορούμε να περιγράψουμε προσεγγιστικά την θέση κάθε δίνης από ένα σημείο. Λέμε τότε ότι έχουμε την προσέγγιση σημειακών δινών. Στην περιγραφή δινών πολύ χρήσιμη είναι μία ποσότητα που λέγεται vorticity (γ) και της οποίας το ολοκλήρωμα στην επιφάνεια του ρευστού Γ = γdxdy δίνει την ισχύ της δίνης. Επιπλέον, μπορεί να δειχθεί ότι γιά μία δίνη οι ποσότητες (19.1) I x = xγ dxdy, I y = yγ dxdy είναι διατηρήσιμες. Αυτές οι ποσότητες μπορούν να θεωρηθούν ως ένας ορισμός της θέσης μίας δίνης (μετά από κατάλληλη κανονικοποίηση). Στην περίπτωση που θεωρούμε την δίνη σημειακή μπορούμε εύκολα να δούμε ότι τα παραπάνω ολοκληρώματα δίνουν την θέση της σημειακής δίνης πολλαπλασιασμένη με την ισχύ της. (Γιά κετενέστερη μελέτη μπορείτε να δείτε στο P.G. Saffman, Vortex Dynamics, (Cambridge University Press, 1992), κεφάλαιο 7.)

65 19.2. Δίνες σε υπερρευστά. Ορισμένα ρευστά επιδεικνύουν ασυνήθιστες ιδιότητες όταν βρίσκονται σε ιδιαίτερα χαμηλές θερμοκρασίες. Η πιό εντυπωσιακή ίσως ιδιότητα τους είναι ότι ρέουν χωρίς η κίνησή τους να επιβραδύνεται από φαινόμενα τριβής. Υγρά που παρουσιάζουν αυτή την ιδιότητά ονομάζονται υπερρευστά. Τα σημαντικότερα υπερρευστά είναι το στοιχείο Ηλιο σε θερμοκρασίες T < 2.7 Kelvin το οποίο είναι τότε σε υγρή κατάσταση. Επίσης, υπερρευστά είναι οι ατμοί αλκαλικών μετάλλων (Li, Na, K, Rb, Cs) οι οποίοι παγιδεύονται με μαγνητικά πεδία και ψύχονται σε θερμοκρασίες T nanokelvin με οπτικά (LASER) και άλλα μέσα. 65 Σχημα 13. [Αριστερά:] Φωτογραφία δίνης σε υπερρευστό (το λευκό χρώμα σημαίνει μέγιστη πυκνότητα και το μαύρο μηδενκή πυκνότητα του υπερρευστού). [Δεξιά:] Αριθμητική προσομοίωση ζευγών δινών σε υπερρευστό (ο χρωματικός κώδικας αποδίδει την πυκνότητα του υπερρευστού). Μία επιπλέον ιδιότητα των υπερρευστών είναι ότι οι δίνες που δημιουργούνται σε αυτά έχουν ισχύ η οποία είναι ακέραιο πολλαπλάσιο μιας βασικής ποσότητας ισχύος. Τέτοιες δίνες ονομάζονται κβαντισμένες (quantized vortices). Η ιδιότητα αυτή των δινών σχετίζεται πάντως με την ιδιότητα της ροής χωρίς τριβή. Τα υπερρευστά και οι δίνες τους μελετώνται με την βοήθεια των νόμων της κβαντικής φυσικής. Σε ορισμένες περιπτώσεις η δυναμική τους μπορεί να περιγραφεί από μη-γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις. Οι εξισώσεις όμως αυτές διαφέρουν από εκείνες γιά τα συνήθη ρευστά στα οποία αναφερθήκαμε παραπάνω. Ενα σημαντικό σημείο είναι ότι η vorticity στα υπερρευστα συνδέεται με τοπολογικά χαρακτηριστικά του πεδίου που περιγράφει το υπερρευστό (αυτό είναι ένα μιγαδικό πεδίο Ψ(x, y) το οποίο ονομάζεται κυματοσυνάρτηση). Η ολική ισχύς Γ = γdxdy παίρνει διάκριτες τιμές και έχει την ερμηνεία ενός τοπολογικού αριθμού. Διατηρήσιμες ποσότητες ανάλογες των (19.1) υπάρχουν και σε αυτή την περίπτωση. Κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις μπορούμε να κάνουμε την προσέγγιση των σημειακών δινών και στο παρόν σύστημα. Ετσι μπορούμε να απλοποιήσουμε σημαντικά την μελέτη της δυναμικής τους Μαγνητικές δίνες. Παρά το ότι συνδέουμε συνήθως τις δίνες με τα ρευστά, η αλήθεια είναι ότι οι δίνες, ως μαθηματικές δομές διανυσματικών πεδίων, εμφανίζονται σε πολλά διαφορετικά συστήματα. Ενα παράδειγμα είναι τα μαγνητικά υλικά στα οποία έχουμε τις λεγόμενες μαγνητικές δίνες. Η μικροσκοπική δομή σε ένα μαγνητικό υλικό περιγράφεται από ένα διανυσματικό πεδίο m(x, y) το οποίο παριστάνει την μαγνήτιση του υλικού σε κάθε σημείο (x, y) του υλικού.

66 66 Ενα ενδιαφέρον ερώτημα είναι τι δομές σχηματίζει η μαγνήτιση στο υλικό και ποιά είναι η δυναμική της. Γιά παράδειγμα, αυτό το ερώτημα αποκτά ιδιαίτερο ενδιαφέρον όσον αφορά στον μαγνητικό δίσκο ενός υπολογιστή όπου η πληροφορία αποθηκεύεται σε κάποιες ειδικές δομές της μαγνήτισης, ενώ γιά τα γραφτεί ή να σβηστεί μία πληροφορία θα πρέπει οι δομές αυτές να μεταβληθούν με ελεγχόμενο τρόπο. Μία αριθμητική προσομοίωση μαγνητικών δομών οι οποίες χαρακτηρίζονται ως μαγνητικές δίνες παρουσιάζονται στο σχήμα 14. Στο σχήμα βλέπουμε ότι στην περίπτωση των μαγνητικών δινών δεν υπάρχει ροή πραγματικού ρευστού. Ομως μπορούμε να ορίσουμε μία ποσότητα q η οποία έχει ομοιότητες με την vorticity (γ) στα ρευστά. Η q δίνει κάποια τοπολογικά χαρακτηριστικά της μαγνήτισης και η ισχύς της δίνης Q = q dxdy είναι ακέραιο πολλαπλάσιο μιάς βασικής ποσότητας. Σχημα 14. Αριθμητική προσομοίωση ζεύγους μαγνητικών δινών (τα βελάκια αποδίδουν το διανυσματικό πεδίο m, δηλαδή, τον προσανατολισμό των μαγνητικών ροπών των ατόμων). Από τη θεωρία προκύπτουν διατηρήσιμες ποσότητες της μορφής (19.2) I x = xq dxdy, I y = yq dxdy οι οποίες μοιάζουν με τις και (19.1). Μπορεί να δειχθεί ότι, στην περίπτωση που θεωρήσουμε ότι οι μαγνητικές δίνες είναι σημειακές, η δυναμική τους συμπεριφορά μοντελοποιείται από εξισώσεις ανάλογες με αυτές που των δινών σε ρευστά.