'Ό ΠΛQΥΤΟΣ ΤΟΥ ΣΥΠΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΡΙΖΩΝ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ, ΟΠΩΣ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕτΑΙ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΝΝΟΙΩΝ. ΚΑΙ ΤΗΝ τυποποιηση ΤΗΣ ΟΡΟΛΟΓΙΑΣ"

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "'Ό ΠΛQΥΤΟΣ ΤΟΥ ΣΥΠΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΡΙΖΩΝ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ, ΟΠΩΣ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕτΑΙ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΝΝΟΙΩΝ. ΚΑΙ ΤΗΝ τυποποιηση ΤΗΣ ΟΡΟΛΟΓΙΑΣ""

Transcript

1 'Ό ΠΛQΥΤΟΣ ΤΟΥ ΣΥΠΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΡΙΖΩΝ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ, ΟΠΩΣ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕτΑΙ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΝ τυποποιηση ΤΗΣ ΟΡΟΛΟΓΙΑΣ" Μεγακλής Θ. Σωτηρόπουλος ΠΕΡΙΛΗΨΗ Κάθε όρος (term) κρύβει κάποια έννοια. Η λέξη "έννοια" νομίζουμε ότι είναι ένα σύνολο χαρακτηρισπκών (attributes). Π.χ.. τηλέφωνο εiναι η συσκευό, με την οποία σuνοψλοίιuε εκμεταλλευόμενοι τα nλεκτοοuαννητικά κύuατα. Ο Αριστοτέλης, όμως, είχε ορiσει το βάθος (intension) και το πλάτος (extension} μιας έννοιας. Δηλαδή, η έννοια αποτελείται και από το πλάτος, δηλαδή το σύνολο των ανrικειμένων (objects} που tχουν αυτά τα χαρακτηριστικά. Συνεπώς, ορίζω ιην έννοια σαν ένα ζεύγος (Π, Β), όπου Π ro πλάτος και Β το βάθος της έννοιας. Πάνω στα ζεύγη (έννοιες), ορίζω σuνολοθεωρηtικtς πράξεις και έτσι δημιουργείται το μαθηματικό οικοδόunuα tων εννοιών, το οποίο αποδεικνύεται ότι είναι Άλγεβρα Boole και Σύνδεσμος (Lattice). Η Ελληνική Γλώσσα διαθέtει, για κάθε Β, διαφοpεtικό όρο (ακόμη και όταν η διαφορά μεταξύ δύο Β είναι μικρή, ~λεπτή"). Π.χ., άνθος-λουλούδι. Αποδεικνύεται ότι, τυποποιώ ένα όρο, δηλαδή βρίσκω τα ικανά και αναγκαlα χaρακιηριστικά τοu, σημαίνει ότι χρησιμοποιώ μία από το uέya πλήθοc των ριζών της Ελληνικός Γλώσσας, "ΤΗΕ RICHNESS OF ΤΗΕ SYSTEM OF ROOTS OF ΤΗΕ GREEK LANGUAGE, AS PROVED ΒΥ ΤΗΕ THEORY OF CONCEPTS AND ΤΗΕ STANDARDIZAτiON OF TERMINOLOGY" Sotiropoulos Μ. Τ., Mathematics, M.Sc., member of G.T.W. ABSTRACT Eνery term coνers a concept. We usually consider the word "concept~ as a set of attributes. Eg., "telephone apparatus" is the deνice by which we can talk to each other, taking adνantage of the electro-magnetic waνes. But, Aristotle has defined the eχtension and the intension of a concept. Which means, that the concept consists of ~: the intension (the set of attributes) and the eχtension (the set of objects haνing these attributes). Consequently, we define the concept as a couple (Ο,Α}, where Ο is the eχtension and Α the intension of the concept. Then, we define set-theoretic operations on these couples (concepts) and, so, we create the mathematical structure of the concepts, which is proνed to be a Boolean Algebra and to haνe the Lattice order. The Greek Language possesses, for eνery Α, a different term (eνen when the difference between two Α is small, slight). E.g., "άνθος" (anthos) and "λουλούδι" (louloudi) for the "Πower". lt is proνed that, when we standardize a term (which means that we find its least necessary attributes), we use, as a matter of fact, one of the enormous number of roots of the Greek Language. 101

2 Ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έστω ότι έχουμε στη διάθεσή μας ένα κείμενο (text), ένα λεξικό (ερμηνευτικό μιας γλώσσας), ένα σύνολο όρων, με την ερμηνεία τους ή τον ορισμό τους, από μία φυσική ή τεχνητή γλώσσα κ.λ.π. Από τα ανωτέρω δεδομένα (data), θα εξάγουμε τις έννοιες που ενυπάρχουν σε αυτά. Όπως παραιηρούμε, σε οποιαδήποτε δεδομένα, δεν υπάρχουν αντικείμενα (objects) μόνα τους, αλλά πάντα υπάρχουν κάποιες αντιστοιχίες, κάποιες απεικονίσεις ιδιοτήτων (attributes) σια αντικεfμενα. Άλλωστε, οι ιδιότητες ορίζουν τα ανπκείμενα. Π.χ., το πολύ γνωστό παράδειγμα του πλανήτη Ουρανού, ο οποίος δεν ήταν γνωστός στους aστρονόμους (δεν τον έβλεπαν με το τηλεσκόπιο), αλλά παρετήρησαν αποκλίσεις απς κινήσεις των πλανητών από αυτές που περίμεναν, αν δεν υπήρχε άλλος πλανήτης. Οι αποκλίσεις αυτές απεtέλεσαν τις ιδιότnτεc βάσει 1ων οποίων προσδιορίστηκε η θέση του Ουρανού. Τα τηλεσκόπια εστράφησαν προς τα εκεί ΚαΙ, πράγμαπ, έγινε ορωός, Αφού έγινε ορατός, μελετήθηκαν σταδιακά διάφορα χαρακτηρισπκά του (βάρος, όγκος, χρώμα, κ.λ.π.) ΟΙ Ιδιότητες, όμως, που τον όρισαν, είχαν σχέση με το γενικό σύστημα (πλαίσιο) δυvάuεων, που συνδέει όλοuc τους πλανήtες. Πράγματι, για να ορίσουμε ένα ανπκείμενο, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε χαρακτηρισπκά (ένα τουλάχιστον), τα οποία να αφορούν όλα τα ανπκείμενα των δεδομένων μας. Οπότε, 01 διαφορετικές τιμές ή ιδιότητες των χαρακτηρισπκών αυτών, δημιουργούν και τη διάκριση μεταξύ των ανπκειμένων. Π.χ., η απόσταση των πλανηrώv από ων 'Ηλιο, ε!ναι ένα χαρακtηριστικό που αφορά όλους τους πλανήτες, παίρνει δε διάφορες τιμές σε εκατομμύρια χιλιόμετρα. Μπορούμε, όμως, αντί για χιλιόμετρα, να χρησιμοποιήσουμε πς ιδιότητες "μικρή", "μεσαία" και "μεγάλη" απόσταση. Αλλά, και η κάθε αριθμητική τιμή μπορεί, αν είμαστε λεπτολόγοι, να αποτελέσει ιδιότητα του χαρακτηρισπκού της "απόστασης". Οι εκφράσεις "είναι" (is) και "έχει"(has) είναι 01 συνηθέστεροι τρόποι για να αποδίδονται ιδιότητες στα ανπκείμενα. Καθώς μελετούμε τα δεδομένα μας, εξάγουμε αμέσως διάφορα ανηκεiμενα. Τα αντικείμενα εfναι όροι (terms) στους οποfους αποδίδονται διάφορες ιδιότητες. Τα ερωτήματα είναι: 1 ). τα αντικείμενα θεωρούνται (αν όχι όλα, ίσως μερικά) γνωστά από πριν (από άλλα δεδομένα); 2). αν θεωρούνται γνωστά, χρησιμοποιούνται "με την ίδια έννοια"(!'... ) στα παρόντα δεδομένα; Μήπως εδώ υπάρχουν ιδιότητες, που δεν "ταφιάζουν" με αυτά που ννωρίζαμε για το αντικείμενο; Μήπως εδώ δίδεται διαφορετικός (εν όλω ή εν μέρει) ορισuόc του αντικειμένου; 3). Αν το αντικεfμενο δεν είναι γνωστό από πριν, οι ιδιότητες που του αποδfδονιαι αρκούν για να το ορfσουν; 102

3 Ένα σύνολο I ιδιοτήτων, για να πούμε ότι ορίζει ένα αντικείμενο, πρέπει η απεικόνιση I~A. όπου το Α σημαίνει αντικείμενο, να είναι μονοσήμαντη, δηλαδή το σύνολο I να οδηγεί uόνο σε ένα αντικείμενο, ή, με άλλη έκφραση, το Α να είναι μονομελές σύνολο. Π. χ., αν το σύνολο l1 ορίζει το αντικείμενο "καρέκλα", τότε, το σύνολο, l2 που ορίζει το ανηκείμενο "πολυθρόνα", είναι διάφορο του Ιτ, δηλαδιj Ιτ*Ι,. Βέβαια, η έκφαση μονομελές σύνολο, είναι σχειtκό. Διότr, και όταν λέμε "καρέκλα", δεν εννοούμε μία μόνο καρέκλα, αλλά όλες γενικά τrς καρέκλες που υπάρχουν, δεν κάνουμε, όμως, διάκριση μεrαξύ τους, και, άρα, μπορούμε να τις θεωριjσουμε σαν ένα (...) "μεγάλο"(...) αντικείμενο. Δηλαδή, η ισότητα, ως προς κάποια χαρακτηριστικά (ή αλλιώς, οι κοινές ιδιότητες), δημιουργεί ένα νέο, "μεγάλο" αντικείμενο. Στο σημείο αυτό, πρέπει να επισημάνουμε ότι η απεικόνιση Α~Ι. δεν είναι μονοσήμαντη: σε ένα αντικείμενο, μπορεί να αποδοθούν διάφορα σύνολα ιδιοτήτων. Υπάρχει, οπωσδήποτε το σύνολο που.2..ρκfι_το ανηκείμενο, υπάρχουν, όμως, κι άλλες ιδιότητες. Π.χ. το χρώμα της τηλεφωνικιjς συσκευής δεν είναι χαρακτηριστικό που την ορίζει. Ορίζει, όμως, τις τηλεφωνικές συσκευές που χρησιμοποιούν οι ηγέτες μεγάλων χωρών για να επικοινωνούν μεrαξύ τους- αν και υπάρχουν και άλλες κόκκινες τηλεφωνικές συσκευές στο εμπόριο... Ο όρος (term) "κόκκινο τηλέφωνο" ενώ, απλά, αναφέρεται σε όλες τις τηλεφωνικές συσκευές με κόκκινο χρώμα, για αρκετούς ανθρώπους σημαίνει, ειδικά, τις κόκκινες συσκευές μεταξύ ηγετών. Ο ρόλος της Επιστήμης της Ορολογίας (Terminology) είναι, αφού ασχοληθεί μεθοδικά με όλα αurά τα προβλήματα, να προχωρήσει σε τυποποίηση (standardization) των όρων ώστε, όταν ένα σύνολο ιδιοτήτων I ορίζει ένα ανrικείμενο Α, ο όρος που χρησιμοποιείται γι'αυτό το αντtκείμενο να είναι ένας και μοναδικός. Όταν χρησιμοποιούμε ένα όρο, π.χ., "άνθος", τότε να γνωρίζουμε - και να είναι για όλουc ro ίδιο - το σύνολο I ιδιοτήτων που ορίζουν το "άνθος". Είναι προφανής, λοιπόν, η σπουδαιότητα της Ορολογίας. Πρέπει, βεβαίως, να συνοδεύεrαι και από πλούτο όρων, ώστε να αποδίδονται όλα τα σύνολα ορισμού Ι, έατω και αν έχουν μικρή διαφορά μεταξύ τους. Π.χ., "λουλούδι". τέλος παρατηρούμε ότι: 1 ). αν ένα σύνολο ιδιοτήrων I αποτελεί σύνολο ορισμού για ένα ανrικείμενο Α (π.χ., "καρέκλα"), τότε α). το Ι είναι υπερσύνολο του συνόλου l1 (I :2 l1), με το οποίο ορίζονται "τα αντικείμενα σrα οποία καθόμαστε" (καρέκλα, πολυθρόνα, σκαμπό κ.λ.π.) β). το I είναι υποσύνολο του συνόλου ι, (Ι,::::> 1), με το οποίο ορίζεται η "ηλεκτρική καρέκλα". 2}. όταν λέμε "το αντικείμενο Α είναι η <καρέκλα>", τότε χρησιμοποιούμε, ήδη, δύο όρους για το ίδιο σύνολο ορισμού 1.: 'Ά" και "καρέκλα". Το χωριό μου λέγεται Δίβρη και τώρα λέγεται (επισήμως) Λάμπεια, εξακολουθεί, όμως, να λέγεται και Δίβρη (υπάρχουν, 103

4 όμως, και άλλα δύο χωριά στον ελληνικό χώρο - Φθιώτιδα και Βόρειος Ήπειρος- με το iδιο όνομα...). Στα Μαθηματικά, όταν γράφουμε Α= Β, χρησιμοποιούμε δύο όρους, "Α" και "Β", για το ίδιο αντικεlμενο, που σημαίνει για το ίδιο σύνολο Ι (γιατί, αλλιώς, τι νόημα έχει το =, αφού τα Α και Β είναι διαφορετικά σύμβολα;) 1 ΜΑΘΗΜΑτJΚΗ ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ Από την ανωτέρω ανάλυση, γίνεται φανερό, ότι η τυποποίηση των όρων είναι μέρος μίας ευρύτερης δομης των εννοιών, η οποία πρέπει να περιλαμβάνει και τις τυποποιημένες έννοιες αλλά και όλες τις συνηθεις (καθημερινές είτε επιστημονικές) αμφισημίες, πολυσημίες και διαφοροποιησεις-διατάξεις των εννοιών. Καθώς όλα αλλάζουν, όροι και ιδιόtητες των ανrικειμένων, εκείνο που μένει και υπάρχει πραγuατικά είναι η συσχέηση,.ο. απεικόνισn, μεταξύ αντικειμένου και ιδιοτήτων tου. Αυtό ακριβώς ορίζουuε σαν έννοια. Είναι ένα οποιοδόποtε ζεύγος συνόλων (Π, Β), αρκεί τα σtοιχεία του Β να αποτελούν ιδιότπτεc (απλώς να αναφέρονται...) στο αντικείuενο Π. Εάν το Π είναι μονοσύvολο, τότε είναι σαφές ότι το αντικείμενο Π έχει σαν ιδιότητες τα σtοιχεiα του Β. (Όχι κατ'ανάγκnν σαν ιδιόtntες ορισuού ούtε. κατ'ανάγκην, μόνο αυτές). Αν το Π έχει παραπάνω από ένα στοιχεία, τόιε είναι προφανές ότι οι ιδιότηtες του Β αναφέρονται σε όλα τα στοιχεία του Π, άρα είναι κοινές ιδιότοτεc. Θα αποδείξουμε παρακάτω, ότι, ακριβώς, η πράξη "ένωση" εννοιών που θα ορίσουμε, δημιουργεί κοινές (για κάποια αντικεluενα) ιδιότητες. Επίσης, αν το Π έχει περισσότερα από ένα στοιχεία, μπορούμε να το θεωρqσουuε σαν ένα, "μεγάλο", αντικείμενο, το οποίο, ούτως ή άλλως, προκύπτει από μονομελη αντικείμενα με τη διαδικασία (πράξη) της ένωσης. Στα δεδομένα που έχουμε και στις έννοιες που εξάγον1αι από αυτά, μπορεί να μην υπάρχουν τα μονομελη αντικείμενα- μη πληρης δομη. Ορισμός της ένωσης υ δύο εννοιών: (Π,, Β,)υ(Π,, Β2) = (Π 1 uπ,, B1nB2), όπου u και n οι γνωστές πράξεις μεταξύ συνόλων, ένωση και τομή αντίστοιχα. Είναι φανερό, τώρα, ότι το Β, αφορά το π,, το 82 αφορά 10 Π2, αλλά το B,nB2 αφορά 10 Π1υΠ2, δηλαδή και 10 π, και το Π2, άρα είναι κοινά για 1α π, και Π2. Ορισμός της τομής n δύο εννοιών: (Π,, Β,)n(Π,, Β2) = (Π,nΠ,, B,uB,). Άρα τα αντικεlμενα π, n Π 2, είναι κοινά για 1ις ιδιόtητες Β, και τις ιδιόtη1ες 8 2. Διάταξη μεταξύ εννοιών: (Π1, Β,) ς (Π,, Β,)<=:> (Π,ςΠ, και ΒρΒ,) 104

5 Όταν, λοιπόν, το πλάτος μίας έννοιας μεγαλώνει, το βάθος αυτής μικραίνει. Προσέχουμε το "κα( στον ορισμό της διάταξης: οι διατάξεις, μεταξύ συνόλων, Π 1 ς;;π 2 και ΒρΒ,, δεν συνεπάγονται η μία την άλλη. Όλες οι έννοιες δεν είναι διατεταγμένες μεταξύ τους. Όσες προκύπτουν από ενώσεις (υ) είτε τομές (n), μπορεί να αποδειχθεί ότι, πράγματι, είναι διατεταγμένες εν σχέσει με αυτές που τις "εγέννησαν". (το ερώτημα, βέβαια, είναι πώς προέκυψαν οι άλλες, οι μη διατεταγμένες). Έτσι, λοιπόν, μπορούμε να "βλέπουμε στο παρελθόν" ψάχνονtας για τις υποκείμενες έννοιες μίας δοθείσας έννοιας (τις "μικρότερες" ως προς τη διάταξη ς::} ή παίρνοντας τομές (n), αν έχουμε δύο, τουλάχιστον, "τωρινές" έννοιες. Επίσης, μπορούμε να "δημιουργουμε το μέλλον", ψάχνοντας για τις υπερκείμενες μίας δοθείσας έννοιας (τις "μεγαλύτερες" ως προς την διάταξη ς::}, ή παίρνοντας ενώσεις (υ), αν έχουμε δύο, τουλάχιστον "τωρινές" έννοιες. Ορισμός συμπληρωματικής μίας έννοιας: (Π, Β)' = (Π', Β'). Δηλαδή, η συμπληρωματική έννοια μίας έννοιας αποτελείται από τα επί μέρους συμπληρωματικά σύνολα. Ορισμός συμμετρο-διαφοράς δύο εννοιών: έχει για πλάτος τη συμμετρο-διαφορά των δύο πλατών και για βάθος το συμπλήρωμα της συμμετρο-διαφοράς των δύο βαθών. Η ένωση και η τομή έχουν σχέση με τις οuοιότnτεc δύο αντικειμένων, ενώ η συμπληρωματική έννοια και η συμμετρο-διαφορά με τις διαφορές τους. Αποδεικνύεται ότι, με τις πράξεις αυτές, το σύνολο των εννοιών αποτελεί Άλγεβρα Boole (δηλαδή, έχει "πρόσθεση" και "πολλαπλασιασμό" και τις σχετικές ιδιότητες ) και έχει τη Διάταξη Συνδέσμου, δηλαδή, για κάθε δύο έννοιες, υπάρχει μία τρίτη ανώτερη και μία τέταρτη κατώτερη έννοια. Πράγματι, η τρίτη είναι η ένωσή τους και η τέταρτη η τομή τους. Έτσι, το πλέγμα (δίκτυο) των εννοιών έχει την παρακάτω μορφή (στην πλήρη του, θεωρητική μορφή). Τα πραγματικά δεδομένα δε δίνουν, συνήθ-ως, Πλήρη Σύνδεσμο (Complete Lattice). 105

6 Ο ανωtέρω "ρόμβος" είναι ιδιαiιερα σημαντικός στην ωποποίηση των εννοιών και στην σχέση τους με τις ρίζες της Ελληνικής Γλώσσας. 2 ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ Τυποποίηση σημαίνει ότι 1 ). ι ο σύνολο ιδιοτήτων Ι, με το οποίο ορίζεται ένα αντικείμενο, ορίζει uόνο αυτό το αντικείμενο (ή ένα ολόκληρο σύνολο αντικειμένων, μεταξύ ι ων οποίων, όμως, δε γίνεται διάκριση) 2). το αντικείμεινο αυτό εκφράζεται μόνο με ένα όρο (term) (δηλαδή, δεν μπορεf να υπάρχουν δύο όροι για το ίδιο σύνολο Ι). 3).το σύνολο Ι, για να ορίζει ένα αντικείμενο, σημαίνει ότι τα σιοιχεία του (ιδιόtηtες) συναντώνtαι πάντοτε όποtε συνανtάtαι το αντικεfμενο, ενώ μπορεί να υπάρχουν κι άλλες ιδιόtηtες, οι οποίες εμφανίζονται άλλοτε οι μεν και άλλοτε οι δε (π.χ., το χρώμα του δέρματος των ανθρώπων, ο αριθμός θέσεων κάθε αυτοκινήtου κ.λ.π.). Άρα, για 10 συγκεκριμένο αντικείμενο υπάρχουν διάφορα σύνολα ιδιοtήτων ι ι, ί = 1,2,.., n και είναι φανερό όιι το σύνολο ορισμού I είναι η τομή όλων των 1;, δηλαδή Ι= nl;, ί = 1,2,..,n. Επειδή η τομή I είναι υποσύνολο σε κάθε ιι (Ις;;ιί, i = 1,2,..,n) συμπεραίνουμε ότι το ι είναι το minimum σύνολο ιδιοtήιων του αντικειμένου που εξετάζουμε. Αυτά, όμως, μπορεί να προκύψουν και με τη χρήση των πράξεων μεταξύ εννοιών. Πράγματι, αν Π το αντικείμενο, έχουμε τις έννοιες (Π, I;), ί = 1,2,..,n. Αν πάρουμε, τώρα, την ένωση των εννοιών αυτών, θα έχουμε: (Π, Ι,)υ(Π, Ι,)= (ΠυΠ, ι,,.-,ι,) =(Π, ι,nl,). Η ένωση του αποτελέσματος αυτού με την τρίτη έννοια θα δώσει: (Π, ι,nι,)υ(π, Ι,)= (ΠυΠ, Ι,nl,n1 3 ) =(Π, ι,,.-,ι,n1 3 ). Και, γενικά, υ (Π, Ι,)= (Π, nl;). Δηλαδή, η διαδικασία της τυποποίησης εκφράζεται με την I!QQill υ (ένωση εννοιών). Ετσι όπως εκφράζουμε τις έννοιες με ζεύγη και πράξεις μεταξύ των ζευγών, έχουμε την ελευθερία (η οποία αντιστοιχεί στην καθημερινή πρακτική) να θεωρούμε έννοιες με το ίδιο σύνολο ιδιοtήτων Β, αλλά διαφορετικά αν11κείμενα Πi, ί = 1,2,3,...,n. Πράγματι, αν ένα σύνολο ανtικειμένων Π έχει τις (κοινές) ιδιότητες Β, τότε και κόθε υποσύνολο tου Π έχει για κοινές ιδιότητες τις Β. Άρα, δεν έχουμε μόνο την έννοια (Π, Β) αλλά και τις έννοιες (Πι, Β), ί = 1,2,...,n, όπου Πι υποσύνολα του Π. Αν σκέφτούμε αντίστροφα: έχουμε διάφορες έννοιες (Π,, Β), ί = 1, 2,..., n, tόtε οι ιδιότη1ες Β σε ποιο από τα αντικείμενα Πι οδηγούν...; Αν, μάλισtα, Β = ι, δηλαδή είναι σύνολο ορισμού ενός αντικειμένου, τότε αυtή η κατάσταση δεν αντιβαίνει σtην απαίτηση 1 ). της τυποποίησης εννοιών... ; Η λύση είναι πάλι η πράξη υ, δηλαδή: υ (Π; I) = (υπ;, nl) = (υπ;, Ι)= (Π, Ι). Και επειδή η ένωση Π είναι υπερσύνολο όλων των Πι (Π;2Π,), συμπεραίνουμε ότι 10 Π είναι to maximum σύνολο με tις ιδιόtητες ορισμού l. Τελικά, η τυποποίηση των εννοιών f..f:1,_j;l περιλαμβάνει, συγχρόνως, την εύρεση ενός μεγίστου 106

7 αντικειμένου Π και ενός ελαχίσtου βάθους Ι, επιτυγχάνεται δε uόνο uε τον πράξn u. Πράγμαrι, u (Π;, I;) =(υπ;, nl;) =(Π, I). Ενδιαφέρον είναι να δει κανείς τι σημαίνει η τομή r. (Πi, li) = (r.πi, uli). Αν οι ιδιότητες ορίζουν τα αντικείμενα, τότε μέχρι τώρα ξέρουμε πς ελάχιστες ιδιόtητες που ορίζουν το μέγιστο αντικείμενο. Θα μπορούσαμε, όμως, να ζητήσουμε το μέγισ10 σύνολο ιδιοτήtων που προέρχεται (ορίζεται;) από το ελάχισtο σύνολο αντικειμένων. Δηλαδή, ενώ μέχρι τώρα ξέραμε τυποποίηση των αντικειμένων ωc προς τις ιδιότητες, τώρα έχουμε τυποποίηση tων ιδιοτήtων ωc προς τα αντικείμενα (δυϊσμός). Διότι και οι ιδιότητες πρέπει κάπως να ορισθούν. Π.χ., το χρώμα "κροκί" (από το φυτό κρόκος), το χρώμα της πορφύρας κ.λ.π. Όλος ο πλούτος, λοιπόν, των εννοιών μπορεί να εκφρασθεί με τα ζεύγη και τις πράξεις μεταξύ αυτών. Όλες οι έννοιες προκύπτουν με πράξεις ("πρόσθεση" και "πολλαπλασιασμό") μεταξύ κάποιων άλλων εννοιών. Το σύνολο των εννοιών έχει γίνει άλγεβρα, δηλαδή, μπορούμε να κάνουμε πράξεις μεταξύ αυτών, όπως με τους αριθμούς. Η τυποποίηση είναι ένα μέρος των δυνατοτήτων των πράξεων. 3 ΡΙΖΕΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ Η Ελληνική Γλώσσα είναι γλώσσα πολύ δομημένη και μάλιστα με βάση της έννοιες. Δηλαδή, η δομή δεν προέρχεται μόνο από τους διάφορους τύπους της γραμματικής ούτε μόνο από τους συντακτικούς κανόνες. Βεβαίως, και οι γραμματικοί και οι συντακτικοί κανόνες υπάρχουν σε μεγάλη ποικιλία, αλλά οι τυπικοί αυτοί κανόνες (που, άλλωστε, υπάρχουν και σε άλλες γλώσσες - σε μερικές, μάλιστα, με μεγαλύτερη αυστηρότητα... ) ευρίσκονται στο "σημαντικό επίπεδο" (semantics) και δεν αρκούν για να εξηγήσουν τα μεγάλα προτερήματα της γλώσσας μας. Η απάντηση βρίσκεται βαθύτερα, στο επίπεδο των εννοιών. Ο λαός μας αρέσκεται στην ποικιλία, στις διαφορές, στη διάκριση. Στο σημείο αυτό, η τυποποίηση δεν έρχεται σαν εμπόδιο, αλλά για να προφυλάξει από συγχύσεις. Ο "ρόμβος" των εννοιών είναι ένα βήμα τυποποίησης (και "προς τα πάνω" και "προς τα κάτω"). Σύνθετες λέξεις υπάρχουν, βέβαια, όχι μόνο στην Ελληνική γλώσσα. Π.χ., καραβόπανο, καρεκλοκένταυρος, αλλά και Baustelle και Rathaus. Η Γερμανική Γλώσσα, έχει, από τις ξένες γλώσσες, τα περισσότερα παραδείγματα δομικών συνθέσεων λέξεων. Σε κάποιες γλώσσες, οι περισσότερες λέξεις, είναι 107

8 μεμονωμένες, δεν συνδέονται με άλλες (εκτός από τα γραμματικά παράγωγα), δεν έχουν "ιστορία". Εν σχέσει με τη Γερμανική, η Ελληνική υπερέχει στις αποχρώσεις, στις διαφορές, στις λεπτομέρειες. Γι'αυτό και πολλές ελληνικές λέξεις περικλείουν περισσότερες ιδιότητες ("κουβαλάνε περισσότερη ιστορία"). Συνεπώς μπορεί να χρησιμοποιηθούν για περισσότερους από ένα σκοπούς, ανάλογα με το ποιες ιδιότητές τους χρησιμοποιούνται κάθε φορά. Π.χ., η λέξη Baustelle μεταφράζεται εργοτάξιο και σημαίνει ένα οργανωμένο σύνολο ανθρώπων και μηχανημάτων για την ανέγερση κτιρίου. Δύσκολα, όμως, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να σημαίνει κάτι άλλο. Κατά λέξη σημαίνει "σημείο κτισίματος" και έτσι χρησιμοποιείται. Αντίθετα, το εργοτάξιο σημαίνει ότι υπάρχει μία "τάξη" για να προκύψει ένα "έργο". Έννοιες πολύ ευρύτερες από το"σημείο κτισίματος". Γι'αυτό και μπορεί η λέξη εργοτάξιο να χρησιμοποιηθεί και αλλού. Π.χ., "η πόλη μας είναι ένα απέραντο εργοτάξιο", ή "εργοτάξιο αισθημάτων". Επίσης, η λέξη Δημαρχείο (δήμος + άρχω) σημαίνει πολύ περισσότερα από το Rathaus, δηλαδή "σπίτι των συμβουλών". Είναι φανερό, ότι οι ποικίλες αυτές καταστάσεις μόνο από τα illyn (έννοιες) μπορούν να αντιμετωπισθούν. Οι ρίζες της Ελληνικής Γλώσσας δεν είναι, όπως θα νόμιζε κανείς, ένας όρος που σημαίνει J![g ιδιότητα και μετά, με την προσθήκη καταλήξεων ή τον συνδυασμό με άλλες λέξεις, δημιουργούνται ευρύτερες έννοιες. Το αντίθετο! Η ρίζα έχει διάφορες ιδιότητες - σημασίες - είναι δηλαδή στην "κορυφή" του "ρόμβου" και από εκεί μπορεί να γiνει πιο συγκεκριμένο (μέσω ενώσεων με άλλες ρίζες-έννοιες). "Πλούτος" της είναι, η "ασάφειά" της, διότι από αυτήν μπορούν να προκύψουν διάφορες έννοιες. Πάμε από το γενικό στο ειδικό. Παράδειγμα η ρίζα στελ- από την οποία βγαlνουν στόλος, στολή, στέλλω κ.λ.π. (από την οποία, άλλωστε, βγαίνει και η γερμανική λέξη Stelle!). Η παραγωγή λέξεων δεν γίνεται σαν δένδρο, αλλά σαν δίκτυο (πλέγμα, σύνδεσμος) με βάση τη διαφοροποίηση. ΑΝΑΦΟΡΕΣ 1.BIRKHOFF, G., "Lattice Theory", third edition, Amer. Math Soc., Providence, R.l., U.SA, FELBER, Η., "Terminology manυal", UNESCO, Paris,

9 3.ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ, Μ.Θ., Εσωτερικές Αναφορές πολλών σελίδων στο Ινστιτούτο Ορολογίας INFOTERM (ειδικευόμενος στην Σχολή Ορολογίας της Βιέννης), , και στο Ινστιτούτο Στατιστικής και Πληροφορικής του Πανεπιστημίου της Βιέννης (Βοηθός Ερευνητής), ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ, Μ.Θ., ''Ορολογικές Βάσεις Δεδομένων", "Μαθηματική Επιθεώρηση" (Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία), Τεύχος 3, σελ.46-51, SOTIROPOULOS, Μ.Τ., "Conceptυal - Mathematical models as a brίdge from the General Theory of Terminology to lnformatics", Terminologie et Traduction, Νο 3, ρ ρ , SOτiROPOULOS, Μ.τ., "Α conceptual model applied to medical knowledge Data Bases and medical diagnosis by Exper1 Systems", Proceeding of the 12'" World Congress on Medical lnformatics, K.C. Lun et al (editors), Elseνier Science Publishers B.V. (Nor1h Holland), p.463, SOτiROPOULOS, Μ.Τ., "Mathematical theory of concepts: a new tool for the application of Logo to Education", Poster Proceedings of the 12'" World Computer Congress of the IFIP, Madrid, Spain, September 7-11, 1992, p SOτiROPOULOS, Μ.Τ., "Mathematical Theory of Concepts", Abstracts οι the lnternational Congress of Mathematicians, ρ. 26, Zurich, SOτiROPOULOS, Μ. Τ, ''Α Mathematical Model οι Concepts for Knowledge Extraction from Statistical Data". Proceedings of the Second lnternationat Conference on New Techniques and Technologies for Statistics (NTTS- 95), Bonn, Germany, Noνember 20-22, 1995, p SOWA, J.F., "Conceptual Structures", Addison- Wesley, New York, WILLE, R., "Restructing Lattice Theory: an approach based on hierarchies of concepts". Riνal, Ι. (Ed.): ''Ordered sets". Dodrecht- Boston: Reidel Publ. Co., pp , WILLE, R., "Line diagrams of hierarchical concept systems", lnternational Classification, 11, pp , Μεγακλής Θ. Σωτηρόποuλος, Μαθηματικός, Μ. Sc. Πληροφορικής και Επιχειρησιακής Ερευνας, τακτικό μέλος της Διεθνούς Ορολογικής Εταιρείας GTW (Gesellschaft fϋr Terminologie und Wissenstransfer). Υμηττού 148, Παγκράτι, Αθήνα. Τηλ.: , τ/ο: και

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Η αλληλεπίδραση ανάμεσα στην καθημερινή γλώσσα και την επιστημονική ορολογία: παράδειγμα από το πεδίο της Κοσμολογίας

Η αλληλεπίδραση ανάμεσα στην καθημερινή γλώσσα και την επιστημονική ορολογία: παράδειγμα από το πεδίο της Κοσμολογίας Η αλληλεπίδραση ανάμεσα στην καθημερινή γλώσσα και την επιστημονική ορολογία: παράδειγμα από το πεδίο της Κοσμολογίας ΠΕΡΙΛΗΨΗ Αριστείδης Κοσιονίδης Η κατανόηση των εννοιών ενός επιστημονικού πεδίου απαιτεί

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

Use Cases: μια σύντομη εισαγωγή. Heavily based on UML & the UP by Arlow and Neustadt, Addison Wesley, 2002

Use Cases: μια σύντομη εισαγωγή. Heavily based on UML & the UP by Arlow and Neustadt, Addison Wesley, 2002 Use Cases: μια σύντομη εισαγωγή Heavily based on UML & the UP by Arlow and Neustadt, Addison Wesley, 2002 (γενικές εισαγωγικές ιδέες) ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΠΑΙΤΗΣΕΩΝ 2 Ανάλυση απαιτήσεων Λειτουργικές απαιτήσεις: τι

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Η συμβολή του Δ. Κάππου στην Kβαντική Πιθανότητα

Η συμβολή του Δ. Κάππου στην Kβαντική Πιθανότητα Η συμβολή του Δ. Κάππου στην Kβαντική Πιθανότητα Ιωάννης Ε. Αντωνίου Τμήμα Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκη 54124 iantonio@math.auth.gr Η συμβολή του Δ. Κάππου στην Kβαντική Πιθανότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. «Προστασία ηλεκτροδίων γείωσης από τη διάβρωση»

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. «Προστασία ηλεκτροδίων γείωσης από τη διάβρωση» ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Προστασία ηλεκτροδίων

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

A Lambda Model Characterizing Computational Behaviours of Terms

A Lambda Model Characterizing Computational Behaviours of Terms A Lambda Model Characterizing Computational Behaviours of Terms joint paper with Silvia Ghilezan RPC 01, Sendai, October 26, 2001 1 Plan of the talk normalization properties inverse limit model Stone dualities

Διαβάστε περισσότερα

Η Επιτροπή ΤΕ 21 και το έργο της

Η Επιτροπή ΤΕ 21 και το έργο της Η Επιτροπή ΤΕ 21 και το έργο της Κατερίνα Τοράκη toraki@tee.gr ΤΕ 21 ΕΛΟΤ ΤΕΕ Ένωση Ελλήνων Χημικών Ένωση Ελλήνων Φυσικών Πανεπιστήμιο Αθήνας (Τομέας Γλωσσολογίας) ΕΜΠ Παιδαγωγικό Ινστιτούτο Υπουργείο

Διαβάστε περισσότερα

Ζητήματα Τυποποίησης στην Ορολογία - ο ρόλος και οι δράσεις της Επιτροπής Ορολογίας ΤΕ21 του ΕΛΟΤ

Ζητήματα Τυποποίησης στην Ορολογία - ο ρόλος και οι δράσεις της Επιτροπής Ορολογίας ΤΕ21 του ΕΛΟΤ 1 Ζητήματα Τυποποίησης στην Ορολογία - ο ρόλος και οι δράσεις της Επιτροπής Ορολογίας ΤΕ21 του ΕΛΟΤ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Μαριάννα Κατσογιάννου, Κατερίνα Τοράκη Στην παρούσα εισήγηση παρουσιάζεται η λειτουργία και

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Ηλεκτρονική Υγεία

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Ηλεκτρονική Υγεία Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Ηλεκτρονική Υγεία Ενότητα: Use Case - an example of ereferral workflow Αν. καθηγητής Αγγελίδης Παντελής e-mail: paggelidis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics Contents 1. Markov set-chain 2. Model of bonus-malus system 3. Example 4. Conclusions

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Σχεδίαση Εργαστήριο Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜ. ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Ψηφιακή Σχεδίαση Εργαστήριο Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜ. ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Ψηφιακή Σχεδίαση Εργαστήριο Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜ. ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-2016 Άλγεβρα Boole (Boolean Algebra) Βασικοί ορισμοί Η άλγεβρα Boole μπορεί να οριστεί

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες

Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 1 / 26 Εισαγωγή & Ορισµοί ιµελής Σχέση R από

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΒΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΙΟΜΕΤΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΒΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΙΟΜΕΤΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΒΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΙΟΜΕΤΡΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ 3-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΓΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

ΝΕΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ 3-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΓΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής 008, σελ 9-98 ΝΕΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ 3-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΓΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Γεώργιος

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΥΟ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΕΝΟΣ ΑΕΙ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΤΟΥΣ ΣΤΗ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΥΟ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΕΝΟΣ ΑΕΙ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΤΟΥΣ ΣΤΗ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 17 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2), σελ. 11-1 ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΥΟ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΕΝΟΣ ΑΕΙ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ

Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η προβολή επιστημονικών θεμάτων από τα ελληνικά ΜΜΕ : Η κάλυψή τους στον ελληνικό ημερήσιο τύπο Σαραλιώτου

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Ασάφεια (Fuzziness) Ποσοτικοποίηση της ποιοτικής πληροφορίας Οφείλεται κυρίως

Διαβάστε περισσότερα

Παλεπηζηήκην Πεηξαηώο Τκήκα Πιεξνθνξηθήο Πξόγξακκα Μεηαπηπρηαθώλ Σπνπδώλ «Πξνεγκέλα Σπζηήκαηα Πιεξνθνξηθήο»

Παλεπηζηήκην Πεηξαηώο Τκήκα Πιεξνθνξηθήο Πξόγξακκα Μεηαπηπρηαθώλ Σπνπδώλ «Πξνεγκέλα Σπζηήκαηα Πιεξνθνξηθήο» Παλεπηζηήκην Πεηξαηώο Τκήκα Πιεξνθνξηθήο Πξόγξακκα Μεηαπηπρηαθώλ Σπνπδώλ «Πξνεγκέλα Σπζηήκαηα Πιεξνθνξηθήο» Μεηαπηπρηαθή Γηαηξηβή Τίηινο Γηαηξηβήο Ανάπτυξη διαδικτυακού εκπαιδευτικού παιχνιδιού για τη

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Καρλόβασι, 27/10/2016 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Ημερομηνίες Δηλώσεων Μαθημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκτηση Πληροφορίας

Ανάκτηση Πληροφορίας Το Πιθανοκρατικό Μοντέλο Κλασικά Μοντέλα Ανάκτησης Τρία είναι τα, λεγόμενα, κλασικά μοντέλα ανάκτησης: Λογικό (Boolean) που βασίζεται στη Θεωρία Συνόλων Διανυσματικό (Vector) που βασίζεται στη Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Οντολογικής Γνώσης για Τεκμηρίωση Οπτικοακουστικού Περιεχομένου ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Ανάπτυξη Οντολογικής Γνώσης για Τεκμηρίωση Οπτικοακουστικού Περιεχομένου ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Ανάπτυξη Οντολογικής Γνώσης για Τεκμηρίωση Οπτικοακουστικού Περιεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΕΝΑΡΙΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΥΔΡΟΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΟΥ ΥΔΡΟΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΠΟΤΑΜΟΥ ΝΕΣΤΟΥ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΕΝΑΡΙΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΥΔΡΟΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΟΥ ΥΔΡΟΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΠΟΤΑΜΟΥ ΝΕΣΤΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΕΝΑΡΙΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΥΔΡΟΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΟΥ ΥΔΡΟΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΠΟΤΑΜΟΥ ΝΕΣΤΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΕΝΑΡΙΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΥΔΡΟΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Case Study: Μελέτη Περιπτώσεως: Σύστημα Διαχείρισης Βάσης Βιβλιοθήκης (Library Information System) Μοντελοποίηση και Κανονικοποίηση -

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ-ΟΦΕΛΟΥΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΕΙΣΔΥΣΗ ΤΩΝ ΑΝΑΝΕΩΣΙΜΩΝ ΠΗΓΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΥΠΡΟ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 2030

Διαβάστε περισσότερα

H ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ ΣΤΟΝ Η.Υ. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΩΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ

H ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ ΣΤΟΝ Η.Υ. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΩΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 495 H ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ ΣΤΟΝ Η.Υ. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΩΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ Τσιπουριάρη Βάσω Ανώτατη Σχολή Παιδαγωγικής

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία νεότερων Μαθηματικών

Ιστορία νεότερων Μαθηματικών Ιστορία νεότερων Μαθηματικών Ενότητα 3: Παπασταυρίδης Σταύρος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Περιγραφή Ενότητας Ιταλοί Αβακιστές. Αλγεβρικός Συμβολισμός. Άλγεβρα στην Γαλλία, Γερμανία, Αγγλία.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΟ 2000 ΩΣ ΤΟ 2013.

ΜΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΟ 2000 ΩΣ ΤΟ 2013. ΜΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΟ 2000 ΩΣ ΤΟ 2013. Πρακτικές και καινοτομίες στην εκπαίδευση και την έρευνα. Άγγελος Μπέλλος Καθηγητής Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΠΛΕΚΟΜΕΝΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Μεγ. Θ. Σωτηρόπουλος

ΔΙΑΠΛΕΚΟΜΕΝΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Μεγ. Θ. Σωτηρόπουλος 1 CONCEPTS INTERRELATIONS Meg. Th. Sotiropoulos SUMMARY Concepts are couples of sets O and A. (O, A) gives the concept, that is the assignment, of the object 0 (a set of one or more elements -there is

Διαβάστε περισσότερα

Αντισταθμιστική ανάλυση

Αντισταθμιστική ανάλυση Αντισταθμιστική ανάλυση Θεωρήστε έναν αλγόριθμο Α που χρησιμοποιεί μια δομή δεδομένων Δ : Κατά τη διάρκεια εκτέλεσης του Α η Δ πραγματοποιεί μία ακολουθία από πράξεις. Παράδειγμα: Θυμηθείτε το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδια Μαθηµατικών και Χταποδάκι στα Κάρβουνα

Εγχειρίδια Μαθηµατικών και Χταποδάκι στα Κάρβουνα [ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Εγχειρίδια Μαθηµατικών και Χταποδάκι στα Κάρβουνα Νίκος Στυλιανόπουλος, Πανεπιστήµιο Κύπρου Λευκωσία, εκέµβριος 2009 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Πόσο σηµαντική είναι η απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

Reading Order Detection for Text Layout Excluded by Image

Reading Order Detection for Text Layout Excluded by Image 19 5 JOURNAL OF CHINESE INFORMATION PROCESSING Vol119 No15 :1003-0077 - (2005) 05-0067 - 09 1, 1, 2 (11, 100871 ; 21IBM, 100027) :,,, PMRegion,, : ; ; ; ; :TP391112 :A Reading Order Detection for Text

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΣΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΣΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΣΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Θεματική Ενότητα: Πολλαπλές Ερμηνευτικές Προσεγγίσεις Βασίλειος Τσακανίκας Γεώργιος Τσαπακίδης vasilistsakanikas@yahoo.gr

Διαβάστε περισσότερα

EPL 603 TOPICS IN SOFTWARE ENGINEERING. Lab 5: Component Adaptation Environment (COPE)

EPL 603 TOPICS IN SOFTWARE ENGINEERING. Lab 5: Component Adaptation Environment (COPE) EPL 603 TOPICS IN SOFTWARE ENGINEERING Lab 5: Component Adaptation Environment (COPE) Performing Static Analysis 1 Class Name: The fully qualified name of the specific class Type: The type of the class

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

«Η προτεραιότητα της ενέργειας στο Θ8 των Μετά τα Φυσικά του Αριστοτέλη»

«Η προτεραιότητα της ενέργειας στο Θ8 των Μετά τα Φυσικά του Αριστοτέλη» ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΕΠΙΘΕΤΟ: Χαρακτινού ΟΝΟΜΑ: Νικολίτσα Α.Μ.: 44 ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ: 2013-2014 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Κος Στασινός Σταυριανέας ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ:

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές της Στ Δημοτικού στην κατανόηση της λειτουργίας του Συγκεντρωτικού Φακού

Δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές της Στ Δημοτικού στην κατανόηση της λειτουργίας του Συγκεντρωτικού Φακού ΜΟΥΡΑΤΙΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ Δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές της Στ Δημοτικού στην κατανόηση της λειτουργίας του Συγκεντρωτικού Φακού Μεταπτυχιακή Εργασία Ειδίκευσης που υποβλήθηκε στο πλαίσιο του Προγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΗΜΟΣΙΑΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ

ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΗΜΟΣΙΑΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ Ε ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΗΜΟΣΙΑΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΙE ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ ΤΜΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέµα: Εκπαίδευση: Μέσο ανάπτυξης του ανθρώπινου παράγοντα και εργαλείο διοικητικής µεταρρύθµισης Επιβλέπουσα:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Είναι γνωστό άτι καθημερινά διακινούνται δεκάδες μηνύματα (E~mail) μέσω του διαδικτύου

ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Είναι γνωστό άτι καθημερινά διακινούνται δεκάδες μηνύματα (E~mail) μέσω του διαδικτύου GREEKLISH: ΜΙΑ ΝΕΑ ΔΙΑΛΕΚΤΟΣ ΤΟΥ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟΥ; Α.Καράκος, Λ.Κωτούλας ΠΕΡΙΛΗΨΗ Είναι γνωστό άτι καθημερινά διακινούνται δεκάδες μηνύματα (E~mail) μέσω του διαδικτύου {INTERNEη από την μια άκρη του κόσμου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΔΟΤΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ OLAP Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ. Υποβάλλεται στην

ΑΠΟΔΟΤΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ OLAP Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ. Υποβάλλεται στην ΑΠΟΔΟΤΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ OLAP Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ Υποβάλλεται στην ορισθείσα από την Γενική Συνέλευση Ειδικής Σύνθεσης του Τμήματος Πληροφορικής Εξεταστική Επιτροπή από την Χαρά Παπαγεωργίου

Διαβάστε περισσότερα

Βιοπληροφορική. Μαργαρίτα Θεοδωροπούλου. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Λαμία 2016

Βιοπληροφορική. Μαργαρίτα Θεοδωροπούλου. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Λαμία 2016 Βιοπληροφορική Μαργαρίτα Θεοδωροπούλου Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Λαμία 2016 Βιοπληροφορική Εισαγωγή στη Μοριακή Βιολογία, Γενωμική και Βιοπληροφορική. Βάσεις Βιολογικών Δεδομένων. Ακολουθίες Πρωτεϊνών και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά. 1 η Εβδομάδα. Κάθε Τρίτη (17:00-20:00) και Τετάρτη (13:00 15:00) στην αίθουσα Ι5. 4 ώρες Θεωρία (ΤΡ : 1η-2η ώρα, ΤΕ : 1η-2η ώρα)

Εισαγωγικά. 1 η Εβδομάδα. Κάθε Τρίτη (17:00-20:00) και Τετάρτη (13:00 15:00) στην αίθουσα Ι5. 4 ώρες Θεωρία (ΤΡ : 1η-2η ώρα, ΤΕ : 1η-2η ώρα) ΜΥΥ204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άι Εισαγωγικά 1 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Μερικά Οργανωτικά Θέματα ιδάσκων: ιαλέξεις: Κάθε Τρίτη (17:00-20:00) και Τετάρτη (13:00

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Ενότητα 1: Εισαγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

L A P. w L A f(w) L B (10.1) u := f(w)

L A P. w L A f(w) L B (10.1) u := f(w) Κεφάλαιο 10 NP -πληρότητα Σύνοψη Οι γλώσσες στην κλάση πολυπλοκότητας P μπορούν να αποφασίζονται σε πολωνυμικό χρόνο. Οι επιστήμονες πιστεύουν, αν και δε μπορούν να το αποδείξουν ότι η P είναι ένα γνήσιο

Διαβάστε περισσότερα

Repeated measures Επαναληπτικές μετρήσεις

Repeated measures Επαναληπτικές μετρήσεις ΠΡΟΒΛΗΜΑ Στο αρχείο δεδομένων diavitis.sav καταγράφεται η ποσότητα γλυκόζης στο αίμα 10 ασθενών στην αρχή της χορήγησης μιας θεραπείας, μετά από ένα μήνα και μετά από δύο μήνες. Μελετήστε την επίδραση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Ψυχαγωγικού Λογισμικού και Εικονικοί Κόσμοι Ενότητα 8η - Εικονικοί Κόσμοι και Πολιτιστικό Περιεχόμενο

Τεχνολογία Ψυχαγωγικού Λογισμικού και Εικονικοί Κόσμοι Ενότητα 8η - Εικονικοί Κόσμοι και Πολιτιστικό Περιεχόμενο Τεχνολογία Ψυχαγωγικού Λογισμικού και Εικονικοί Κόσμοι Ενότητα 8η - Εικονικοί Κόσμοι και Πολιτιστικό Περιεχόμενο Ιόνιο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Πληροφορικής, 2015 Κωνσταντίνος Οικονόμου, Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.1: Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (Ι). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011 Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1)

6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1) 6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1) Προχωρημένος Προγραμματισμός με Logo Δομή επιλογής Αν & ΑνΔιαφορετικά Στην δραστηριότητα που ακολουθεί, θα προσπαθήσουμε να βρούμε την απόλυτη τιμή ενός αριθμού,

Διαβάστε περισσότερα

Συνέδριο Μαθηματικών ΠΠΣ Πνευματικό Κέντρο Δήμου Αθηναίων 11-12 / 4 / 2014. Μαθηματικά και ζητήματα πραγματικότητας διάκριση και σύνδεση

Συνέδριο Μαθηματικών ΠΠΣ Πνευματικό Κέντρο Δήμου Αθηναίων 11-12 / 4 / 2014. Μαθηματικά και ζητήματα πραγματικότητας διάκριση και σύνδεση Συνέδριο Μαθηματικών ΠΠΣ Πνευματικό Κέντρο Δήμου Αθηναίων 11-12 / 4 / 2014 Δημήτρης Μπίρμπας ΠΠΛ Αγίων Αναργύρων Σοφία Παππά ΠΠΛ Ζάννειο Πειραιά Μαθηματικά και ζητήματα πραγματικότητας διάκριση και σύνδεση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.»

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.» 1 Η σχέση της διάταξης στο IR ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Η εργασία αυτή αποτελείται από δύο µέρη. Στο πρώτο µέρος ορίζεται η έννοια των θετικών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Πτυχιακή εργασία ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΠΛΑΤΦΟΡΜΑΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΤΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΥ ΗΠΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΑΠΤΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ Δηµήτρης Δούνας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ Γηπισκαηηθή Δξγαζία ηνπ Φνηηεηή ηνπ ηκήκαηνο Ζιεθηξνιόγσλ Μεραληθώλ θαη Σερλνινγίαο Ζιεθηξνληθώλ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΜΣ «ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ «ΕΥΦΥΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΑΝΘΡΩΠΟΥ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΜΣ «ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ «ΕΥΦΥΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΑΝΘΡΩΠΟΥ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΜΣ «ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ «ΕΥΦΥΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΑΝΘΡΩΠΟΥ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΤΟΥ ΕΥΘΥΜΙΟΥ ΘΕΜΕΛΗ ΤΙΤΛΟΣ Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ :ΤΥΠΟΙ ΑΕΡΟΣΥΜΠΙΕΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΡΟΠΟΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΡΙΑ: ΕΥΘΥΜΙΑ ΟΥ ΣΩΣΑΝΝΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΓΟΥΛΟΠΟΥΛΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 1 ΑΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους

Διαβάστε περισσότερα

Second Order RLC Filters

Second Order RLC Filters ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor

Διαβάστε περισσότερα

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume BULETINUL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A REPUBLICII MOLDOVA. MATEMATICA Numbers 2(72) 3(73), 2013, Pages 80 89 ISSN 1024 7696 On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume I.S.Gutsul Abstract. In

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Λογικές πύλες Περιεχόμενα 1 Λογικές πύλες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Φαινόμενα Εμπειρίες φαινομένων Οργάνωση φαινομένων Νοούμενα (πρώτες μαθηματικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ»

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ» I ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΝΟΜΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

CRASH COURSE IN PRECALCULUS

CRASH COURSE IN PRECALCULUS CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON 1 ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON Τι είναι «δύναμη»; Θα πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ότι ο όρος «δύναμη» στη Φυσική έχει αρκετά διαφορετική σημασία από ότι στην καθημερινή γλώσσα. Εκφράσεις όπως «τον χτύπησε με δύναμη»,

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα