ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΚΕΣ (ΕΠΑΝΑ)ΔΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗΣ ΓΙΑ ΙΔΙΟΤΕΛΕΙΣ ΧΡΗΣΤΕΣ Η Διπλωµατική Εργασία παρουσιάστηκε ενώπιον του Διδακτικού Προσωπικού του Πανεπιστηµίου Αιγαίου Σε Μερική Εκπλήρωση των Απαιτήσεων για το Δίπλωµα του Μηχανικού Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστηµάτων της ΑΓΑΘΟΚΛΕΟΥΣ ΣΤΥΛΙΑΝΗΣ Α.Μ.: 321/ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2008

2 Η ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΩΝ ΕΠΙΚΥΡΩΝΕΙ ΤΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΗΣ ΑΓΑΘΟΚΛΕΟΥΣ ΣΤΥΛΙΑΝΗΣ ΦΩΤΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, επιβλέπων Τµήµα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστηµάτων ΤΖΟΥΡΑΜΑΝΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Μέλος Τµήµα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστηµάτων ΣΤΑΜΑΤΑΤΟΣ ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ, Μέλος Τµήµα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστηµάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2008 ii

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Χαρακτηριστικό του Διαδικτύου είναι η έλλειψη µιας κεντρικής διαχειριστικής αρχής ικανής να επιβλέπει την χρησιµοποίηση των διαµοιραζόµενων πόρων και να επιβάλλει κανόνες για την διαχείριση τους. Για τον λόγο αυτό, οι χρήστες του δρούν αυτόνοµα και εγωιστικά µε το µόνο που να τους ενδιαφέρει είναι να µην υπόκεινται καθυστερήσεις. Είναι γεγονός ότι δροµολογούνται καθηµερινά εκατοµµύρια πακέτα στο διαδίκτυο και υπάρχει υψηλή συµφόρηση σε κάθε είδους συνδέσης µεταξύ τερµατικών και εξυπηρετητών. Όσο µεγαλύτερος είναι ο αριθµός των πακέτων που περνούν από µια σύνδεση, τόσο µεγαλύτερη είναι και η καθυστέρηση που υφίστανται οι χρήστες που την χρησιµοποιούν. Κάθε χρήστης προσπαθεί να δροµολογήσει τα πακέτα του από µία σύντοµη διαδροµή ανάµεσα στην αφετηρία και τον προορισµό του. Όταν διαπιστώσει ότι αυτά δεν ακολουθούν µια συντοµότερη διαδροµή, τα επαναδροµολογεί σε κάποια συντοµότερη, ως αποτέλεσµα να αυξάνει την καθυστέρηση που υφίστανται τα πακέτα άλλων χρηστών, οι οποίοι µε τη σειρά τους προχωρούν σε επαναδροµολόγηση των δικών τους πακέτων κ.ο.κ. Μια καλή πολιτική επαναδροµολόγησης θα φρόντιζε κατάλληλα έτσι ώστε να µην χρειάζεται οι χρήστες να επαναδροµολογούν τα πακέτα τους λόγω υψηλής καθυστέρησης, πολλές φορές, εώς ότου να βρούν ένα µονοπάτι που θα τους παρέχει την ελάχιστη καθυστέρηση. Το έργο της, είναι κατά κάποιο τρόπο να εµποδίσει την δηµιουργία συµφόρησης σε ένα δίκτυο που δεν υπάρχει κάποιος διαχειριστής που να συντονίζει τους χρήστες και ο κάθε ένας δρά εγωιστικά. Στην παρούσα διπλωµατική εργασία µελετήσαµε, υλοποιήσαµε και αξιολογήσαµε την αποδοτικότητα δύο πολιτικών επαναδροµολόγησης σε διάφορες τοπολογίες δικτύων µε ικανοποιητικό αριθµό χρηστών ΑΓΑΘΟΚΛΕΟΥΣ ΣΤΥΛΙΑΝΗ Τµήµα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστηµάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ iii

4 ABSTRACT In large-scale or evolving networks, such as the Internet, there is no authority possible to enforce a centralized traffic management, as a result the users act autonomously and selfishly aiming to minimize the delays that they must confront due to network congestion. Millions of data packets are routed every day through each possible network link contributing to its congestion. The bigger the number of packets routed through a network link the bigger the delay for the users using it. Users are trying to route their packets through a shortest path between their current position and destination. When and if their packets face a bigger delay than what they expected, they reroute their traffic through another shortest path causing a delay increment for other commuting users and consequently the other users are pushed to reroute their traffic and so on. A good rerouting policy would prevent this iteration caused by users rerouting their traffic of becoming too many for each user until he finds a route which he will be pleased with its delay. A good rerouting policy should somehow prevent the creation of congestion through a network, where there is no central authority to coordinate users for a better distribution of their packets over the internet and users act selfishly and independently. In this diploma thesis we studied, programmed and evaluated the performance of two rerouting policies through various network topologies with sufficient number of users AGATHOCLEOUS STYLIANI Department of Information and Communication Systems Engineering UNIVERSITY OF THE AEGEAN iv

5 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ - ΑΦΙΕΡΩΣΕΙΣ Ολοκληρώνοντας την εκπόνηση της διπλωµατικής µου εργασίας και µαζί µε αυτήν και τον κύκλο των προπτυχιακών µου σπουδών, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερµά µια σειρά από ανθρώπους που µε βοήθησαν καθ'όλη τη διάρκεια της πορείας µου αυτής. Θα ξεκινήσω ευχαριστώντας τον καθηγητή και επιβλέποντα της διπλωµατικής κ. Φωτάκη Δηµήτριο, που ήταν ο άνθρωπος που µε τις εξαιρετικές διδακτικές του ικανότητες, τον ενθουσιασµό του για την επιστήµη του και την επιµονή του να µεταδώσει στους φοιτητές του όσες πιο πολλές γνώσεις µπορεί, µε έκανε να αγαπήσω το αντικείµενο των σπουδών µου και να ασχοληθώ µε αυτό σε µια εποχή που ήµουν έτοιµη να τα παρατήσω. Είναι για µένα ο µεντορας µου και τον ευχαριστώ θερµά για την εµπιστοσύνη που µου έδειξε και την διαρκή υποστήριξη που µου παρείχε τα τελευταία τρία χρόνια. Εν συνεχεία, θα ήθελα να πω ένα µεγάλο ευχαριστώ σε όλους τους φίλους µου και ιδιαίτερα στους Παντελίδη Παναγιώτη, Κρυσταλλία Ακρίδα και Ντόλλη Αγαθοκλέους που ήταν πάντα δίπλα µου, ευδιάθετοι και πάντα πρόθυµοι να µε βοηθήσουν σε ότι προέκυπτε. Μαζί τους έζησα άφθονες στιγµές γέλιου, µέθης και εποικοδοµητικών συζητήσεων, συστατικά δηλαδή που συντέλεσαν για αξέχαστα φοιτητικά χρόνια. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς µου Ανδρέα και Παναγιώτα, που δουλεύουν τόσα χρόνια ακούραστα για να σπουδάσουν και τα τέσσερα παιδιά τους, τον Σάββα ως Ηλεκτρολόγο Μηχανικό, την Ντόλλη ως Μαθηµατικό, τον Μάριο ως Μηχανικό Πλοίων και µε µένα να κλείνω τον κύκλο των σπουδών µου, τους αφιερώνω την διπλωµατική µου εργασία θελοντας να τους εκφράσω τον θαυµασµό µου και την αγάπη µου. Μου έχουν προσφέρει τόσα πολλά και τόσο απλόχερα που το µόνο που επιθυµώ είναι τα επόµενα χρόνια της ζωής µου να καταφέρω να τους φροντίσω έτσι ώστε να µην χρειαστεί να δουλέψουν ποτέ ξανά και να ξεκουραστούν όπως τους αξίζει. v

6 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή... 9 Μη Συνεργατικά Παίγνια Το Δίλληµα του Φυλακισµένου Το παράδοξο του Braess Δοµή Εργασίας Ατοµικά Παίγνια Συµφόρησης Παίγνια Συµφόρησης Δικτύου Ισορροπία Nash Πολυπλοκότητα Ισορροπίας Nash Σκοπός Μέθοδοι Εύρεσης Τοπικού Βέλτιστου Συναρτήσεων Δυναµικού και Συνολικού Κόστους Προβλήµατα Ελάχιστης Ροής Αλγόριθµος Υπολογισµού Βέλτιστης Λύσης Συµµετρικού Παίγνιου Συµφόρησης Δικτύου Successive Shortest Path v Αναβάθµιση κόστους των ακµών του συντοµότερου µονοπατιού Αναβάθµιση Δικτύου Παράδειγµα Υπολογισµού Βέλτιστης Λύσης Αλγόριθµος Υπολογισµού Βέλτιστης Ισορροπίας Nash Συµµετρικού Παίγνιου Συµφόρησης Δικτύου Successive Shortest Path v Παράδειγµα Υπολογισµού Βελτιστης Ισορροπίας Nash Ανάλυση Μεθόδου Υπολογισµού Ισορροπίας Nash και Βασικών Μοντέλων Σύγκλισης σε ε-nash Ισορροπία vi

7 Μέθοδος Υπολογισµού Ισορροπίας Nash µε τον Αλγόριθµο Άµεσης Απόκρισης Παράδειγµα Υπολογισµού µιας Ισορροπίας Nash Ακολουθιακό Μοντέλο Σύγκλισης σε ε-nash ισορροπία Μοντέλο Σύγκλισης σε ε-nash Ισορροπία που Επιτρέπει Ταυτόχρονες Αλλαγές Στρατηγικών Υλοποίηση Περιβάλλοντος Πειραµατικής Αξιολόγησης Συνάρτηση Read Graph Συνάρτηση Υπολογισµού Ισορροπίας Nash -Best Response Συναρτήσεις Υπολογισµού Βέλτιστους Κόστους και Βέλτιστης Ισορροπίας Nash -Successive Shortest Path v1 και Successive Shortest Path v Συνάρτηση Υπολογισµού ε-nash Ισορροπίας Ακολουθιακού Μοντέλου των Chien και Sinclair -Chien Sinclair Sequential Find Emoves Αλλαγή Στρατηγικής Παίκτη Συνάρτηση Υπολογισµού ε-nash Ισορροπίας Μοντέλου που Επιτρέπει Ταυτόχρονες Αλλαγές Στρατηγικών Concurrent Protocol Τεχνικά Χαρακτηριστικά Υλοποίησης Πειραµατικά Αποτελέσµατα και Αξιολόγηση vii

8 viii

9 Εισαγωγή Έχετε βρεθεί ποτέ σε αεροδρόµιο σε περίοδο αιχµής; Αν ναί, τότε καταλαβαίνετε γιατί οι ταξιδιωτικοί πράκτορες επιµένουν στο να φτάνουµε στο αεροδρόµιο τουλάχιστον δύο ώρες πριν την πτήση µας. Θα υποθέσουµε ότι η Φαίδρα είναι µια επιβάτης της πτήσης Χ203 για Παρίσι και ότι µόλις µπήκε στο κτήριο του αεροδροµίου και κατευθύνεται προς τα check in γραφεία της αεροπορικής εταιρίας Υ. Παρατηρεί ότι λειτουργούν πέντε γραφεία check-in και ότι συνολικά υπάρχουν περίπου διακόσια άτοµα που περιµένουν να εξυπηρετηθούν. Δεν υπάρχει µια και µοναδική ουρά αναµονής έτσι ώστε όποιος είναι πρώτος να εξυπηρετείται απο το γραφείο που µόλις άδειασε, αλλά η πολιτική του αεροδροµίου λέει ότι πρέπει να υπάρχει µία ουρά µπροστά από το κάθε γραφείο. Η Φαίδρα τώρα καλείται να αποφασίσει σε ποια ουρά θα τοποθετηθεί µε την ελπίδα να έχει κάνει την καλύτερη επιλογή. Όπως θα διαπιστώσει κάποιος που ταξιδέυει συχνά, το να επιλέξει κανείς την µικρότερη ουρά δεν σηµαίνει απαραίτητα ότι θα εξυπηρετηθεί και γρηγορότερα. Ο χρόνος αναµονής σε µια ουρά εξαρτάται από πολλούς παράγοντες, µε τον σηµαντικότερο να είναι το αν η υπάλληλος του γραφείου είχε µια καλή µέρα ή όχι. Όπως και να έχει, η Φαίδρα θα πρέπει να αποφασίσει -και µάλιστα γρήγορα- για το ποιό γραφείο θα επιλέξει, γιατί πλησιάζουν και άλλοι επιβάτες της πτήσης της που σκέφτονται ότι και αυτή. Η απόφαση που παίρνει είναι συναρτήση του πλήθους που έχει η κάθε ουρά και του ρυθµού που εκτιµάει η Φαίδρα ότι κινείται. Αφού εν τέλη εξυπηρετηθεί απο κάποιο check-in γραφείο, το επόµενο βήµα (στο οποίο ισχύει και πάλι η πολιτική του αεροδροµίου) είναι να προχωρήσει προς τον έλεγχο εισιτηρίων και διαβατηρίων και κάπως έτσι να φτάσει στον προορισµό της που ήταν ο χώρος που στεγάζονται τα αφορολόγητα είδη πώλησης για να κάνει τις αγορές της πριν την πτήση της. Καθ'ολην την διάρκεια της πορείας της µέσα στο αεροδρόµιο, η Φαίδρα όπως και οι συνεπιβάτες της, µπορεί να αποφασίσει να αλλάξει γραφείο εξυπηρέτησης αν δεν είναι ευχαριστηµένη µε την επιλογή της. Ευχαριστηµένη θα ήταν αν συµπέραινε ότι µε την τρέχουσα κατάσταση, δηλαδή αν όλοι οι επιβάτες παρέµεναν ως έχουν, όπου αλλού και να πάει, δεν πρόκειται να εξυπηρετηθεί νωρίτερα. Αν όλοι οι επιβάτες ήταν ευχαριστηµένοι, δηλαδή αν κανένας επιβάτης δεν ήθελε να αλλάξει τις επιλογές του, τότε οι επιβάτες θα είχαν φτάσει σε µια κατάσταση ισορροπίας και συγκεκριµένα σε µια κατάσταση ισορροπίας Nash. 1

10 Ο John Forbes Nash, είναι ο άνθρωπος που το 1950 θεµελίωσε την Θεωρία Παιγνίων, παρουσιάζοντας όλους εµάς, γυναίκες και άντρες, ως παίκτες και όλες τις κοινωνικές µας δραστηριότητες ως παίγνια, από τις αγοραπωλησίες µετοχών, τον σχεδιασµό δηµοπρασιών για τις συχνότητες της κινητής τηλεφωνίας µέχρι και για τις µουσικές µας προτιµήσεις, η Θεωρία Παιγνίων στοχεύει να προβλέπει την συµπεριφορά µας σε κάθε υπο-παίγνιο του "Μεγάλου Παίγνιου της Κοινωνίας". Ο Nash διατύπωσε ότι ένα παίγνιο µπορεί να φτάσει σε µια κατάσταση, την λεγόµενη ισορροπία Nash, όπου κανένας παίκτης που λαµβάνει µέρος στο παίγνιο δεν µπορεί να µειώσει το ατοµικό του κόστος µε το να αλλάξει µονοµερώς την στρατηγική του. Το προαναφερθέν παράδειγµα µε την Φαίδρα µπορεί να µοντελοποιηθεί µε βάση την Θεωρία Παιγνίων ως ένα µη-συνεργατικό παίγνιο και συγκεκριµένα ως ένα συµµετρικό παίγνιο συµφόρησης δικτύου µε ατελή πληροφόρηση. Θα µπορούσε να διερωτηθεί κανείς γιατί να µπούµε στον κόπο να ερευνήσουµε µια τέτοια κατάσταση όπως αυτήν που βρίσκεται η Φαίδρα. Στην παρούσα διπλωµατική θα µελετήσουµε ένα γενικό µοντέλο το οποίο µπορεί να χρησιµοποιηθεί σε πληθώρα προβληµάτων, αλλά µε ίδιες βασικές αρχές όπως του παραδείγµατος της Φαίδρας. Στο παράδειγµα της Φαίδρας υπάρχουν δύο οπτικές γωνίες, η οπτική γωνία της Φαίδρας και η οπτική γωνία των υπευθυνων του Αεροδροµίου. Η οπτική γωνία της Φαίδρας είναι απλή, θέλει όταν ταξιδέυει αντί να ξοδέυει χρόνο αναµονής στις διάφορες ουρές να ξοδέυει χρήµα στο τµήµα των αφορολόγητων ειδών. Η οπτική γωνία των υπευθυνων του αεροδροµίου είναι εξίσου απλή, επιθυµούν να µεγιστοποιήσουν τα έσοδα τους. Μια µεγάλη πηγή εσόδων του αεροδροµίου είναι το τµήµα των αφορολόγητων ειδών οπότε όσοι πιο πολλοί επιβάτες βρίσκονται σε αυτό το χώρο του αεροδροµίου παρά σε οποιοδήποτε άλλο χώρο τόσο πιο πολλά και τα έσοδα τους. Την Φαίδρα την ενδιαφέρει να φτάσει εκείνη πιο νωρίς στον τοµέα τον αφορολογήτων ειδών αδιαφορώντας για τους υπόλοιπους επιβάτες αντιθέτως µε τους υπεθυνους του αεροδροµίου που επιθυµούν όλοι οι επιβάτες τους να περνούν τον περισσότερο τους χρόνο στον τοµέα αυτό. Οπότε εδώ διακρίνουµε δύο έννοιες, αυτήν της βέλτιστης λύσης για τον κάθε ένα επιβάτη ξεχωριστά και την έννοια του κοινωνικού βέλτιστου. 2

11 Σχήμα 1 Α Είσοδος Αεροδροµίου (Πηγή), bi: 0< i 5 Γραφείο check-in, ci:0< i 3 Γραφείο Ελέγχου Διαβατηρίων, G Αφορολόγητα είδη (Προορισµός), dx Συνάρτηση καθυστέρησης γραφείου x Θεωρούµε ότι όλοι οι επιβάτες της πτήσης της Φαίδρας είναι οι παίκτες του παίγνιου και ότι κάθε παίκτης προσπαθεί να φτάσει στο τµήµα των αφορολόγητων ειδών στον ελάχιστο δυνατό χρόνο για να κάνει ξέγνοιαστος τις αγορές του χωρίς το άγχος της πτήσης του. Για να το κάνει αυτό θα πρέπει να επιλέξει ένα απο τα check-in γραφεία της αεροπορικής εταιρίας και ένα απο τα διαθέσιµα γραφεία ελέγχου διαβατηρίων. Τα γραφεία αυτά αποτελούν τους πόρους του παίγνιου και κάθε υπο-σύνολο των πόρων αυτών αποτελεί και µια στρατηγική του παίγνιου. Η απεικόνιση του παίγνιου συµφόρησης δικτύου φαίνεται στο σχήµα 1, µε κάθε πόρο να αντιπροσωπέυεται από µια ακµή του κατευθυνόµενου δικτύου και κάθε στρατηγική από ένα µονοπάτι απο το A στο G. Η καθυστέρηση των επιβατών προκύπτει από ένα συνδιασµό παραγόντων όπως, την απόσταση από το ένα γραφείο στο άλλο, τον ρυθµό εξυπηρέτησης στο εκάστοτε γραφείο και φυσικά από το πλήθος των επιβατών που περιµένουν να εξυπηρετηθούν. Στο παίγνιο, η καθυστέρηση αυτή εκπροσωπείται από µία µη φθίνουσα συνάρτηση σε κάθε ακµή. Απαραίτητη προϋπόθεση για την µοντελοποίηση του παιγνίου αποτελεί, κάθε παίκτης να είναι λογικός, ευφυής και να µην συνεργάζεται µε τους υπόλοιπους παίκτες. Στόχος του κάθε παίκτη είναι η ελαχιστοποίηση του εγωιστικού του κόστους που προκύπτει από το άθροισµα των καθυστερήσεων των πόρων που έχει επιλέξει στην στρατηγική του. Στόχος των υπέυθυνων του αεροδροµίου και του παίγνιου είναι η ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους των παικτών που προκύπτει αθροίζοντας τα κόστη όλων των παικτών. Αφού δείξαµε πως µοντελοποιείται µια κατάσταση του φυσικού κόσµου σε ένα παίγνιο για να επιτευχθεί µετέπειτα η λύση του, ήρθε η ώρα να κάνουµε µια µικρή αναδροµή στην κλασσική θεωρία παιγνίων, εφόσον θα πρέπει να µελετήσουµε τις βασικές αρχές της προκειµένου να κατανοήσουµε τα µοντέλα που εξετάζει η διπλωµατική αυτή εργασία. 3

12 Η ανάπτυξη της Θεωρίας Παιγνίων ξεκίνησε τις πρώτες δεκαετίες του 20ου αιώνα από τους µαθηµατικούς J. von Neumann, E. Zermelo και E. Borel. Καθοριστική για την ανάπτυξη της ήταν η δηµοσίευση το 1944 του βιβλίου Theory of Games and Economic Behavior των John von Neumann και Oskar Morgenstern [1] το οποίο και καθιέρωσε την µέχρι σήµερα ορολογία. Η Θεωρία Παιγνίων είναι η µελέτη µαθηµατικών µοντέλων ανταγωνισµού και συνεργασίας µεταξύ ευφυών και λογικών οντοτήτων, οι οποίες ονοµάζονται παίκτες και λαµβάνουν κάποιες αποφάσεις οι οποίες αλληλοεπηρεάζουν το όφελος τους. Υπάρχουν πολλά είδη παιγνίων. Επιγραµµατικά αναφέρω τις βασικές διαφορές µεταξύ των πιο γνωστών κατηγοριών. Συνεργατικά και Μη Συνεργατικά παίγνια. Στα συνεργατικά παίγνια υπάρχουν συνασπισµοί παικτών µε τους παίκτες να δρούν αφενός µε σκοπό την µείωση του ατοµικού τους κόστους και αφετέρου για την µείωση του συνολικού κόστους του συνασπισµού στον οποίο ανήκουν. Σηµαντικό είναι να σηµειωθεί το γεγονός ότι ένας συνασπισµός δεν συµπεριφέρεται σαν να είναι ένας παίκτης. Στα µη συνεργατικά παίγνια δεν υπάρχει καµµία επικοινωνία µεταξύ των παικτών, κάθε παίκτης ξεχωριστά δρα εγωιστικά µε στόχο την µείωση του ατοµικού του κόστους. Στρατηγικά και Εκτατικά παίγνια. Ένα στρατηγικό παίγνιο είναι ένα µοντέλο µιας κατάστασης στην οποία ο κάθε παίκτης επιλέγει την στρατηγική του µόνο µια φορά, στην αρχή του παίγνιου και όλοι οι παίκτες αποφασίζουν ταυτόχρονα (ένας παίκτης δεν µπορεί να ξέρει τις στατηγικές που έχουν επιλέξει οι υπόλοιποι παίκτες). Μόλις λοιπόν επιλέξουν όλοι οι παίκτες στρατηγική, αποτιµάται το αποτέλεσµα και ο κάθε παίκτης µπορεί να έχει ή όχι συµφέρον να αλλάξει την στρατηγική του. Η ενδεχόµενη αλλαγή της στρατηγικής κάποιου παίκτη µπορεί να κινητοποιήσει άλλους παίκτες να αναθεωρήσουν την στρατηγική τους και έτσι διαδοχικά όλοι οι παίκτες να επιθυµούν να αλάξουν την στρατηγική τους, αυτό όµως είναι κάτι που δεν µας ενδιαφέρει στην περίπτωση των στρατηγικών παίγνιων, αντίθετα, το µοντέλο των εκτατικών παιγνίων µελετά ακριβώς αυτή την πιθανή αλληλουχία γεγονότων: κάθε παίκτης µπορεί να αναθεωρεί την στρατηγική του όχι µόνο στο ξεκίνηµα του παίγνιου, αλλά και κατά την διάρκεια της εξέλιξης του. 4

13 Παίγνια µε Πλήρη και Ατελή Πληροφόρηση. Όταν ο κάθε παίκτης ενός παίγνιου γνωρίζει για όλους τους υπόλοιπους παίκτες : τις στρατηγικές που έχουν επιλέξει, το κόστος που αποφέρει στον κάθε ένα παίκτη η στρατηγική του καθώς και το κόστος του κάθε πόρου ξεχωριστά απο τους πόρους που απαρτίζουν την στρατηγικη του, τότε µιλάµε για παίγνια µε πλήρη πληροφόρηση. Στην περίπτωση που είναι ελλειπής η παραπάνω πληροφορία τότε µιλάµε για παίγνια µε ατελή πληροφόρηση. Η Θεωρία Παιγνίων είναι σε θέση να περιγράψει πολλές καταστάσεις της καθηµερινότητας µας και κυρίως να µοντελοποιήσει συστήµατα στα οποία απουσιάζει η κεντρική διαχείριση. Ένα τέτοιο σύστηµα είναι και το Διαδίκτυο, το οποίο αποτελείται από εκατοµµύρια χρήστες (τερµατικά ή εξυπηρέτες) όπου ο κάθε ένας δρα µε µόνο κριτήριο την ελαχιστοποίηση της ατοµικής του καθυστέρησης, χωρίς να υπάρχει κάποια κεντρική διαχειριστική αρχή η οποία να αποσκοπεί στην επίτευξη του κοινωνικού βέλτιστου. Αυτή ακριβώς η εφαρµογή της Θεωρίας Παιγνίων στην µοντελοποίηση του Διαδικτύου αποτελεί από µόνη της ικανότατο λόγο για την τεράστια προσοχή που έχει προσελκύσει το αντικείµενο τα τελευταία χρόνια. Η κατηγορία που µας ενδιαφέρει και θα µελετήσουµε, είναι αυτή των µη συνεργατικών παίγνιων όπου όπως έχει αναφερθεί και πιο πάνω, πρόκειται για παίγνια όπου οι παίκτες δρούν µόνοι τους και εγωιστικά χωρίς να υπάρχει η µεταξύ τους επικοινωνία. Μη Συνεργατικά Παίγνια Σε ένα µη συνεργατικό παίγνιο λαµβάνουν µερος n 2 παίκτες. Κάθε παίκτης έχει ένα σύνολο στρατηγικών και µια συνάρτηση κέρδους ή κόστους ανάλογα µε το παίγνιο. Το κόστος του κάθε παίκτη εξαρτάται τόσο απο την επιλογή της δικής του στρατηγικής όσο και από τις στρατηγικές που επέλεξαν οι υπόλοιποι παίκτες. Οι συνθήκες διεξαγωγής ενος µη συνεργατικού παίγνιου είναι οι εξής: Οι παίκτες είναι Λογικοί: Οι αποφάσεις που λαµβάνουν συµβάλλουν στην επίτευξη των προσωπικών τους στόχων και άρα στην µείωση του ατοµικού τους κόστους, αδιαφορώντας για τις συνέπειες της επιλογής τους στο κοινωνικό σύνολο. 5

14 Οι παίκτες είναι Ευφυείς: Έχουν πλήρη γνώση της δοµής του παίγνιου, γνωρίζουν τους κανόνες του και είναι απόλυτα ενηµερωµενοι για τις διαθέσιµες στρατηγικές, τόσο των ιδίων όσο και των άλλων παικτών. Έχουν την αναλυτική ικανότητα να εξάγουν συµπεράσµατα και γνωρίζουν ότι και οι άλλοι παίκτες είναι ευφυείς και λογικοί. Οι επιλογές ενός παίκτη επηρεάζουν την ευηµερία της κοινωνίας της οποίας είναι µέλος καθώς και τις επιλογές των υπόλοιπων παικτών. Δεν υπάρχει κάποια κεντρική αρχή που να κατευθύνει τις επιλογές των παικτών. Η θεωρία παιγνίων έχει την δυνατότητα να µοντελοποιεί πολλές καταστάσεις, τι γίνεται όµως αφού µοντελοποιήσει µια κατάσταση; Η πιο διαδεδοµένη αρχή λύσης των µοντέλων της θεωρίας παιγνίων είναι αυτή της ισορροπίας Nash. Η ισορροπία Nash περιγράφει µια κατάσταση που φτάνει το παίγνιο όπου όλοι οι παίκτες που λαµβάνουν µέρος είναι ευχαριστηµένοι µε τις επιλογές των στρατηγικών τους και κανένας παίκτης δεν µπορεί, µε το να αλλάξει µονοµερώς την στρατηγική του, να επιτέυξει µικρότερο κόστος από το κόστος του στην τρέχων κατάσταση. Υπάρχουν δύο είδη ισορροπίας, η αµιγής ισορροπία Nash και η µεικτή ισορροπία Nash. Στην αµιγή ισορροπία Nash, η οποία είναι και αυτή που µας ενδιαφέρει στην παρούσα διπλωµατική, ο παίκτης αποφασίζει ντετερµινιστικά για την επιλογή της στρατηγικής του, ενώ στην µεικτή ισορροπία Nash οι παίκτες παίζουν σύµφωνα µε µια πιθανοτική κατανοµή πιθανότητας στο σύνολο των στρατηγικών τους. Είναι γνωστό ότι µια Nash ισορροπία (αµιγής ή µεικτή) δεν βελτιστοποιεί πάντα την καθολοκή απόδοση του παίγνιου, την απόδοση δηλαδή που θα είχε αν υπήρχε ένας διαχειριστής ικανός να δροµολογήσει κατάλληλα τον κάθε παίκτη, αλλά µπορεί να µας δώσει µια υποβέλτιστη απόδοση. Ένα ζήτηµα που τίθεται και θα µελετήσουµε είναι το πόσο πολύ µπορεί να απέχει µια ισορροπία Nash από την βέλτιστη απόδοση. Παρακάτω µε δύο χαρακτηριστικά παραδείγµατα δείχνουµε ότι η απόσταση που µπορεί να υπάρξει ανάµεσα στην βέλτιστη απόδοση και σε µια αµιγή ισορροπία Nash στα µη συνεργατικά παίγνια µπορεί να είναι πολύ µεγάλη. 6

15 Το Δίλλημα του Φυλακισμένου Συλλαµβάνονται δύο ύποπτοι για ληστεία, ο Α και ο Β. Κατά την σύλληψη τους οι αστυνοµικοί τους τοποθετούν σε χωριστά ανακριτικά δωµάτια ούτως ώστε να µην µπορούν να επικοινωνήσουν µεταξύ τους. Οι αστυνοµικοί τους δίνουν δύο επιλογές: είτε να οµολογήσουν είτε να δηλώσουν αθώοι. Επίσης λένε στον κάθε ένα ότι αν αυτός οµολογήσει και ο συνέταιρος του δηλώσει αθώος, τότε θα τον αφήσουν ελέυθερο και τον συνέταιρο θα τον καταδικάσουν σε είκοσι χρόνια φυλάκισης. Αν δηλώσουν και οι δύο αθώοι, τότε λόγω έλλειψης στοιχείων θα καταδικαστούν και οι δύο σε ένα χρόνο φυλάκισης. Στην περίπτωση δε, που οµολογήσουν και οι δύο θα καταδικαστούν σε πέντε χρόνια φυλάκισης. Σχήμα 2 Το δίληµµα του φυλακισµένου µοντελοποιείται µε βάση την Θεωρία παιγνίων ως ένα µη συνεργατικό παίγνιο, εφόσον δεν υπάρχει επικοινωνία µεταξύ των υπόπτων. Οι παίκτες είναι ο Α και ο Β και οι διαθέσιµες στρατηγικές είναι δύο για τον κάθε παίκτη, είτε να οµολογήσει είτε όχι. Εφόσον και οι δύο έχουν κοινό σύνολο στρατηγικών, πρόκειται για µη συνεργατικό συµµετρικό παίγνιο. Στόχος του κάθε παίκτη είναι να καταδικαστεί σε 7

16 φυλάκιση όσο το δυνατόν λιγότερα χρόνια. Ο κάθε παίκτης ξέρει ότι αν οµολογήσει η καταδίκη του θα έχει µέσο όρο δυόµιση χρόνια και αν δεν οµολογήσει θα έχει δέκα και µισή χρόνια. Δεν υπάρχει αµοιβαία εµπιστοσύνη ανάµεσα στους υπόπτους έτσι ώστε να είναι σίγουρος ο κάθε ένας ότι αν δηλώσει αθώος ότι και ο άλλος θα δηλώσει αθώος και όπως εύλογα διαπιστώνουµε και οι δύο παίκτες αφού στοχέυουν στην µείωση του ατοµικού τους κόστους επιλέγουν να οµολογήσουν. Στην κατάσταση αυτή, ο κάθε παίκτης ξεχωριστά, είναι ευχαριστηµένος µε την επιλογή του να οµολογήσει από την στιγµή που δεν γνωρίζει την επιλογή του άλλου παίκτη. Αφού όλοι οι παίκτες είναι ευχαριστηµένοι, το παίγνιο φτάνει σε µια ισορροπία Nash. Το κόστος για τον κάθε παίκτη είναι πέντε χρόνια εφόσον οµολογούν και οι δύο, άρα, το συνολικό κόστος της ισορροπίας Nash ανέρχεται στα δέκα χρόνια. Εύκολα παρατηρεί κανείς ότι η βέλτιστη λύση για τον κάθε παίκτη αλλά και για το παίγνιο θα ήταν να µην οµολογήσει κανένας από τους παίκτες αφού θα είχε συνολικό κόστος δύο χρόνια. Η κατάσταση όµως αυτή, από την οποία προκύπτει η βέλτιστη λύση, δεν αποτελεί µια κατάσταση ισορροπίας Nash και µάλιστα η διαφορά τους είναι πολύ µεγάλη. Το παράδοξο του Braess Ένας συγκεκριµένος αριθµός οδηγών επιθυµεί να πάει από την πόλη του σε µία άλλη γειτονική πόλη. Θα υποθέσουµε ότι υπάρχουν µόνο δύο διαθέσιµες διαδροµές που ενώνουν τις δύο πόλεις. Η πρώτη διαδροµή εκτείνεται πολύ περισσότερο σε µήκος από ότι η δευτερη, όµως είναι τόσο πλατιά που χωράει όλα τα αµάξια να πηγαίνουν δίπλα δίπλα εν αντιθέση µε την δέυτερη διαδροµή που είναι πολύ στενή και χωράει µόνο ένα αµάξι. Στο παρακάτω σχήµα απεικονίζεται το οδικό δίκτυο απο την πόλη s στην πόλη t. Στο δίκτυο αυτό αν αφήσουµε µόνους τους τους οδηγούς το πιθανότερο είναι ότι οι µισοί θα ακολουθήσουν την µία διαδροµή και οι άλλοι µισοί την άλλη και έτσι ο κάθε ένας θα χρειαστεί 90 λεπτά να φτάσει στο t. Ενενήντα λεπτά είναι πολλά για να πας από την πόλη 8

17 s στην t. Για τον λόγο αυτό κατασκευάστηκε µία εξαιρετικά γρήγορη λωρίδα δρόµου που ενώνει στην µέση τις δύο αυτές διαδροµές. Σε αυτή την περίπτωση δεν περιµένουµε οι οδηγοί να συµπεριφερθούν όπως στην περίπτωση που ήταν µόνο δύο οι πιθανές διαδροµές. Το σύνολο των διαδροµών τώρα είναι το { s-v-t, s-v-w-t, s-w-t}. Δεδοµένου ότι τώρα οι οδηγοί είναι ήδη χωρισµένοι ανάµεσα στις δύο διαδροµές, ο κάθε οδηγός συµπαιρένει ότι αν ακολουθήσει την νέα διαδροµή s-v-w-t θα φτάσει στο t µε µόνο µία ώρα οδήγησης και έτσι θα επειχειρίσει να ακολουθήσει την διαδροµή αυτή. Εν τέλη όλοι οι οδηγοί επιλέγουν την διαδροµή s-v-w-t. Λόγω της υψηλής συµφόρησης που προκλήθηκε από την αλλαγή αυτή τώρα ο κάθε οδηγός θα χρειαστεί 2 ώρες για να φτάσει στον προορισµό του. Η κατάσταση που έφτασε τώρα το παίγνιο είναι µια κατάσταση ισορροπίας Nash γιατί όποια διαδροµή και να επιλέξει κάποιος οδηγός τώρα, δεδοµένου ότι όλοι οι υπόλοιποι οδηγοί παραµείνουν στην διαδροµή τους δεν βελτιώνει τον χρόνο άφιξης του στην πόλη t, οπότε παραµένουν όλοι στην επιλογή τους. Η εξέλιξη αυτή του παίγνιου είναι η χειρότερη δυνατή, παραµένει όµως µια ισορροπία Nash. Το παράδοξο του Braess µας δείχνει ότι η εξέλιξη του παίγνιου εξαρτάται σε µεγάλο βαθµό απο την υποδοµή του δικτύου και ότι για αποφυγή τέτοιων καταστάσεων θα πρέπει τα δίκτυα να είναι προσεκτικά σχεδιασµένα. Για την µέτρηση της απόστασης µιας Ισορροπίας Nash από την βέλτιστη λύση ενός παίγνιου έχουν προταθεί δύο τρόποι: Price of Stability[2]: Είναι η αναλογία του κόστους της καλύτερης Ισορροπίας Nash προς το κόστος της βέλτιστης λύσης. Price of Anarchy[3]: Είναι η αναλογία του κόστους της χειρότερης Ισορροπίας Nash προς το κόστος της βέλτιστης λύσης. 9

18 Ένα σηµαντικό πρόβληµα που έχουµε να αντιµετωπίσουµε είναι το γεγονός ότι ο υπολογισµός µιας ισορροπίας Nash παραµένει ένα πρόβληµα του οποίου η πολυπλοκότητα είναι, στη γενική περίπτωση, άγνωστη. Έχουν προταθεί αρκετές πολιτικές επαναδροµολόγησης στρατηγικών των οποίων η θεωρητική ανάλυση εγγυάται σχετικά γρήγορη σύγκλιση σε ισορροπίες Nash και σκοπός της διπλωµατικής αυτής εργασίας είναι η υλοποίηση και η πειραµατική αξιολόγηση των πιο διαδεδοµένων πολιτικών επαναδροµολόγησης σε ατοµικά παίγνια συµφόρησης καθώς και η αξιολόγηση τους ως προς την ταχύτητα σύγκλισης, την ευρωστία σε διάφορες παραµέτρους, το βαθµό προσέγγισης της ισορροπίας και το βαθµό προσέγγισης της βέλτιστης λύσης. Δομή Εργασίας Η διπλωµατική εργασία είναι χωρισµένη σε τρία κύρια µέρη. Στο πρώτο µέρος γίνεται ανάλυση του µοντέλου που µελετάµε, θέτουµε επίσηµα το πρόβληµα, τους στόχους και αναλύουµε τις µεθόδους που χρησιµοποιήσαµε για να προσεγγίσουµε το πρόβληµα. Στο δεύτερο µέρος περιγράφουµε αναλυτικά τα τεχνικά χαρακτηριστικά της υλοποίησης, τις διεπαφές του χρήστη, τις δοµές που χρησιµοποιήσαµε, τις κύριες συναρτήσεις και τις µεταξύ τους σχέσεις. Στο τρίτο και τελευταίο µέρος, δείχνουµε τα αποτελέσµατα από την υλοποίηση και γίνεται περιγραφή των συµπερασµάτων. Μαζί µε το κείµενο της διπλωµατικής παραθέτουµε και σε cd δεδοµένων, τα αρχεία της υλοποίησης και τα αποτελέσµατα των πειραµάτων σε κατάλληλη µορφή. 10

19 Ατομικά Παίγνια Συμφόρησης Η κλάση των παιγνίων συµφόρησης ορίστηκε το 1973 από τον R. W. Rosenthal[4] ο οποίος έδειξε ότι τα παίγνια της κλάσης αυτής είναι εγγυηµένα ότι έχουν τουλάχιστον µία αµιγή ισορροπία Nash που στηρίζεται στην εύρεση του τοπικού ελάχιστου µιας συνάρτησης δυναµικού. Ένα παίγνιο συµφόρησης είναι µια ειδική περίπτωση ενός µη συνεργατικού παίγνιου και έχει όλες τις ιδιότητες του. Με τον όρο "ατοµικό" παίγνιο συµφόρησης, αναφερόµαστε σε παίγνια συµφόρησης όπου ο κάθε παίκτης και η επιλογή του επηρεάζουν σε µεγάλο βαθµό τις επιλογές των άλλων παικτών του παίγνιου, αντίθετα µε τα µη ατοµικά παίγνια που δεν µπορεί ένας παίκτης να επηρεάσει πολύ τις επιλογές των υπόλοιπων παικτών. Σε ένα παίγνιο συµφόρησης υπάρχει ένα διαθέσιµο σύνολο πόρων και κάθε παίκτης έχει ως σύνολο στρατηγικών µια οικογένεια υποσυνόλων του συνόλου αυτού. Με κάθε πόρο σχετίζεται µια καθυστέρηση, η οποία αποτελεί µια µη φθίνουσα συνάρτηση του πλήθους των παικτών που επιλέγουν το συγκεκριµένο πόρο. Οπότε το κόστος του κάθε παίκτη προκύπτει από το άθροισµα των καθυστερήσεων πάνω σε όλους τους πόρους που συµπεριλαµβάνονται στην στρατηγική που έχει επιλέξει. Στόχος του κάθε παίκτη είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους του. Παίγνια Συμφόρησης Δικτύου Ένα παίγνιο συµφόρησης δικτύου είναι µια ειδική περίπτωση των παιγνίων συµφόρησης. Αποτελείται απο ένα πεπερασµένο σύνολο ευφυών και λογικών παικτών, ένα σύνολο πόρων που αντιστοιχεί στο σύνολο των ακµών ενός δικτύου και ένα σύνολο από στρατηγικές. Αναλυτικότερα, µε κάθε παίκτη σχετίζεται ένας κόµβος-πηγή και ένας κόµβος-προορισµός. Αν όλα τα ζεύγη πηγής-προορισµού όλων των παικτών συµπίπτουν τότε αναφερόµαστε σε ένα παίγνιο συµφόρησης δικτύου κοινής πηγής και κοινού προορισµού ή αλλιώς συµµετρικό παίγνιο συµφόρησης δικτύου G = ( N, E, (S i)i N, (de)e E ) που αποτελείται από ένα πεπερασµένο σύνολο παικτών Ν={p1,...,pn}, µε κάθε παίκτη να έχει διαθέσιµες ένα σύνολο από στρατηγικές Si και µια συνάρτηση κόστους ci : S1... Sn N. Το σύνολο των στρατηγικών Si 2 E είναι µια τυχαία συλλογή υποσυνόλων των ακµών Ε= {e1,...,em} του δικτύου, δηλαδή κάθε στρατηγική και ένα µονοπάτι στο δίκτυο από την πηγή στον προορισµό. Κάθε ακµή e Ε σχετίζεται µε µια 11

20 µη φθίνουσα συνάρτηση καθυστέρησης de : {1,...,n} N η οποία εξαρτάται από το πλήθος των παικτών που την έχουν επιλέξει στην στρατηγική τους. Το de(t) είναι το κόστος του κάθε παίκτη από την χρησιµοποίηση της ακµής e. Η κατάσταση s = (s1,..., sn): S1... Sn περιγράφει το σύνολο των στρατηγικών που έχουν επιλέξει οι παίκτες. Το συνολικό κόστος ενός παίκτη pi σε µια κατάσταση s υπολογίζεται απο το άθροισµα: ci(s)= de (fs e s (e)) όπου fs(e) είναι ο αριθµός των παικτών που χρησιµοποιούν την ακµή i e. Ορισµός : G = ( N, E, (S i)i N, (de)e E ) Το Ν είναι το πεπερασµένο σύνολο των παικτών {1, 2, 3,..., n} Το Ε είναι το πεπερασµένο σύνολο των ακµών του δικτύου {1, 2, 3,..., m} i N το Si ανιπαριστά το σύνολο των στρατηγικών του παίκτη i και Si 2 Ε i N το si είναι η στρατηγική που επέλεξε ο παίκτης i. e E η συνάρτηση de είναι η µη φθίνουσα συνάρτηση καθυστέρησης στην ακµή e. e E fe είναι ο αριθµός των παικτών που έχουν συµπεριλάβει την ακµή e στην στρατηγική τους. e Ε de(fe) ισοδυναµεί µε την καθυστέρηση στην ακµή e. ci είναι το συνολικό κόστος του παίκτη i όπου ci = d e s e(fs(e)). i Το συνολικό κόστος µιας κατάστασης ενός παίγνιου συµφόρησης δικτύου υπολογίζεται απο την συνάρτηση c = e s i f s(e).de(fs(e)) Ισορροπία Nash Η ισορροπία Nash είναι η πιο διαδεδοµένη αρχή λύσης των µοντέλων της Θεωρίας Παιγνίων. Περιγράφει µία σταθερή κατάσταση στην οποία ο κάθε παίκτης έχει κάνει την σωστή πρόβλεψη για την συµπεριφορά των άλλων παικτών και ενήργησε λογικά. Η αµιγής ισορροπία Nash προτείνει µια στρατηγική σε κάθε παίκτη, έτσι ώστε να µην υπάρχει παίκτης που να µπορεί να βελτιώσει το κόστος του από την χρήση των πόρων αν µετακινηθεί µονοµερώς σε κάποια άλλη στρατηγική. Επειδή όλοι οι παίκτες είναι λογικοί, είναι εύλογο κάθε παίκτης να περιµένει ότι οι αντίπαλοι του, όπως και ο ίδιος, θα 12

21 ακολουθήσουν τις στρατηγικές που τους υποδεικνύει η ισορροπία. Υπάρχουν πολλά ερωτήµατα γύρω από την αµιγή ισορροπία Nash, όπως το αν υπάρχει πάντα και αν ναί, σε ποια παίγνια υπάρχει και το βασικότερο πόσο γρήγορα µπορεί να υπολογισθεί. Έχει γίνει αρκετή έρευνα γύρω απο αυτά τα ερωτήµατα µε τον J. F. Nash[5] να παρουσιάζει την πρώτη απόδειξη της ύπαρξης µια µεικτής ισορροπίας Nash σε ένα οποιοδήποτε παίγνιο βασισµένος στο γενικευµένο θεώρηµα του οριστικά αµετάβλητου σηµείου του Kakutani[6]. Αργότερα ο ίδιος δηµοσίευσε στο [7] ότι κάθε παίγνιο µε πεπερασµένο αριθµό παικτών, στο οποίο κάθε παίκτης έχει ένα πεπερασµένο πλήθος στρατηγικών έχει τουλάχιστον µια µεικτή ισορροπία Nash βασισµένος στο fix point θεώρηµα του Brouwer [8]. Ακολούθησε ο R. W. Rosenthal[4] απέδεικνύοντας ότι σε κάθε µη συνεργατικό παίγνιο συµφόρησης υπάρχει πάντα µια αµιγής ισορροπία Nash η οποία ταυτίζεται µε το τοπικό ελάχιστο µίας συνάρτησης δυναµικού. Κάθε φορά που ένας παίκτης αλλάζει την στρατηγική του µειώνοντας το ατοµικό του κόστος, µειώνει και αντίστοιχα την συνάρτηση δυναµικού. Οπότε µια αλληλουχία αλλαγών των στρατηγικών των παικτών θα συγκλίνει τελικά σε ένα τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης δυναµικού και άρα σε µια αµιγή ισορροπία Nash. Η συνάρτηση δυναµικού έχει την µορφή : Η αµιγής ισορροπία Nash, δεν δίνει εγγυήσεις για το όφελος των παικτών ενός µη συνεργατικού παίγνιου στο σηµείο ισορροπίας. Αυτό µπορεί να θεωρηθεί λογικό αφού διαισθητικά δεν µπορεί όλοι οι παίκτες να είναι ευχαριστηµένοι από την εξέλιξη ενός παίγνιου. Αυτό που µπορεί να ερµηνευτεί ως παράδοξο, είναι ότι σε κάποια παίγνια υπάρχουν στρατηγικά προφίλ που δεν είναι ισορροπίες Nash και στα οποία όλοι οι παίκτες έχουν όφελος µεγαλύτερο από το όφελος που έχουν σε οποιαδήποτε κατάσταση ισορροπίας Nash του παίγνιου. Στα παίγνια αυτά συνήθως συµφέρει τους παίκτες να συνεργαστούν µεταξύ τους. Τα πιο γνωστά τέτοια παραδείγµατα είναι το Δίληµµα του φυλακισµένου και το παράδοξο του Braess που περιγράψαµε στην εισαγωγή. Πολυπλοκότητα Ισορροπίας Nash Πόσο πολύπλοκο είναι να υπολογισθεί µια ισορροπία Nash; Αυτό το ερώτηµα έχει χαρακτηρισθεί απο την επιστηµονική κοινότητα ώς "ένα πλέον θεµελιώδες υπολογιστικό πρόβληµα του οποίου η πολυπλοκότητα παραµένει ανοιχτή" και "µαζί µε το πρόβληµα της ανάλυσης σε πρώτους παράγοντες[...] το πιο σηµαντικό ανοικτό ερώτηµα στις µέρες µας για την οριοθέτηση της κλάσης πολυπλοκότητας P"[3]. Το πρόβληµα της εύρεσης 13

22 µιας αµιγής ισορροπίας Nash σε παίγνια συµφόρησης δεν µπορεί να είναι NP-complete εφόσον ο R. W. Rosenthal έδειξε ότι πάντα υπάρχει µια αµιγής ισορροπία Nash. Η απόδειξη της ύπαρξης της όµως µέσω fix point theorems δεν είναι κατασκευαστική, δηλαδή δεν µας παρέχει εναν αλγόριθµο κατασκευής της. Οπότε µπορούµε να πούµε ότι το πρόβληµα της εύρεσης µιας ισορροπίας Nash έχει ανεπαρκή απόδειξη ύπαρξης, κάτι που το τοποθετεί στην κλάση PPAD[3],[9]. Στις δηµοσιέυσεις [10] και [11] αποδείχθηκε ότι το πρόβληµα είναι PPAD-complete ακόµα και για παίγνια 4,3 και 2 παικτών. Η κλάση PPAD είναι υποσύνολο της κλάσης TFNP, η οποία περιλαµβάνει όλα τα προβλήµατα εύρεσης (NP- search problems) για τα οποία όµως ξέρουµε ότι υπάρχει λύση. Το πρόβληµα εύρεσης µιας αµιγής ισορροπίας Nash δεν είναι NP-complete αντιθέτως µε το πρόβληµα απόφασης της ύπαρξης περισσοτέρων απο µίας, αµιγής ισορροπίας Nash σε ένα παίγνιο, που είναι NP-complete[12]. Ενώ οι µεικτές ισορροπίες Nash υπάρχουν πάντα, η ύπαρξη αµιγών ισορροπιών Nash δεν είναι εξασφαλισµένη σε όλα τα παίγνια. Οι Παπαδηµητρίου, A. Fabrikant και K. Talwar[13] έδειξαν ότι η έυρεση µιας αµιγής ισορροπίας Nash σε γενικά παίγνια συµφόρησης είναι PLS-complete. Στο ερώτηµα αν υπάρχει πολυωνυµικός αλγόριθµος για την εύρεση µιας αµιγούς ισορροπίας Nash στην ίδια δηµοσίευση οι παραπάνω απάντησαν θετικά για τα συµµετρικά παίγνια συµφόρησης. Σχήμα 3 Με πιο απλά λόγια, είµαστε σίγουροι για την ύπαρξη µιας αµιγής ισορροπίας Nash στα συµµετρικά παίγνια συµφόρησης, το πρόβληµα όµως είναι ότι η έυρεση της ισοδυναµεί µε το πρόβληµα της έυρεσης ενός ψύλλου µέσα σε ένα χώρο γεµάτο απο άχυρα. Είµαστε σίγουροι για την υπαρξή του αλλά ο δρόµος για να τον βρούµε µπορεί να είναι εκθετικά µεγάλος. 14

23 Σκοπός Λαµβάνοντας υπόψην τα τελευταία αποτελέσµατα δυσκολίας της εύρεσης µιας αµιγής ισορροπίας Nash στις πλείστες κλάσεις παιγνίων µε κάθε αλγοριθµικό µέσο, το ενδιαφέρων έχει στραφεί τώρα στην εύρεση προσεγγιστικών αµιγών ισορροπιών Nash. Από εδώ και στο εξής όποτε αναφερόµαστε σε ισορροπία Nash θα εννοούµε πάντα την αµιγή ισορροπία Nash. Μια προσεγγιστική ισορροπία Nash ή αλλιώς µια ε-nash ισορροπία είναι µία σταθερή κατάσταση όπου κανένας παίκτης δεν µπορεί να µειώσει το κόστος του περισσότερο απο έναν παράγοντα ε µε το να αλλάξει µονοµερώς την στρατηγική του. Σκοπός της διπλωµατικής αυτής εργασίας είναι η πειραµατική αξιολόγηση αλγορίθµων (επανά)δροµολόγησης και σύγκλισης σε ε-nash ισορροπία σε ατοµικά συµµετρικά παίγνια συµφόρησης δικτύου µελετώντας δύο βασικά µοντέλα. Το πρώτο, είναι ένα ακολουθιακό µοντέλο που πρότεινουν οι Steve Chien και Alistair Sinclair, οι οποίοι υποστηρίζουν ότι επιτυγχάνει σύγκλιση σε µια ε-nash ισορροπία σε πολυωνυµικό αριθµό βηµάτων ως προς τον αριθµό των παικτών που λαµβάνουν µέρος στο παίγνιο. Το βασικό µειoνέκτηµα του πρώτου µοντέλου είναι ότι δεν είναι καθόλου ρεαλιστικό εφόσον από την φύση τους τα δίκτυα δροµολογούν ταυτόχρονα τα πακέτα των χρηστών και όχι ένα ένα ξεχωριστά. Το δεύτερο µοντέλο που θα µελετήσουµε, εισάγει την έννοια των ταυτόχρονων δροµολογήσεων, επιτρέποντας δηλαδή σε πολλούς χρήστες να αλλάζουν ταυτόχρονα τις στρατηγικές τους σε καλύτερες. Από την µελέτη των δύο µοντέλων προσδοκούµε να απαντήσουµε τα εξής ερωτήµατα: Mπορεί να υπάρξει µια ταχεία σύγκλιση σε µια ε-nash σε κάθε µοντέλο ξεχωριστά; Πόσο πολύ απέχει µια ε-nash ισορροπία από µία Nash ισορροπία(ε=0) ; Πόσο πολύ απέχει µια ε-nash ισορροπία από την βέλτιστη Nash ισορροπία; Πόσο πολύ απέχει µια ε-nash ισορροπία από την βέλτιστη λύση; Η αρχική κατάσταση του παίγνιου πόσο σηµαντική είναι για την εξέλιξη του; O παράγοντας ε, ποιες τιµές πρέπει να παίρνει για να έχουµε ένα καλό trade off ανάµεσα στο συνολικό κόστος και τον αριθµό των βηµάτων που θα χρειαστούν για την σύγκλιση σε ε-nash ισορροπία; Η µορφολογία του δικτύου και οι µορφή των συναρτήσεων καθυστέρησης πόσο επηρεάζουν τον βαθµό σύγκλισης σε µια ε-nash ισορροπία; 15

24 Στα πιο πάνω ερωτήµατα αναφερόµαστε σε βέλτιστη λύση, σε βέλτιστη Nash ισορροπία, και σε ισορροπία Nash. Ο υπολογισµός του κόστους τους είναι απαραίτητος για να µας βοηθήσει να αξιολογήσουµε τα δύο µοντέλα µας όσο το δυνατόν καλύτερα. Η βέλτιστη λύση σε ένα παίγνιο ισοδυναµεί µε την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης συνολικού κόστους που προκύπτει από το άθροισµα των επιµέρους κοστών των παικτών που το απαρτίζουν και το κόστος της βέλτιστης ισορροπίας Nash, εκφράζεται από την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης δυναµικού του παίγνιου. Αφού και στις δύο περιπτώσεις πρόκειται για προβλήµατα εύρεσης του τοπικού βέλτιστου µιας συνάρτησης, υπάρχουν διάφορες µεθόδοι επίλυσης τους, µερικές από αυτές είναι ο γραµµικός προγραµµατισµός και οι αλγόριθµοι που λύνουν τα προβλήµατα ελάχιστης ροής. Εµείς θα εφαρµόσουµε την µέθοδο µε τους αλγόριθµους που λύνουν το πρόβληµα της ελάχιστης ροής που είναι και πιο κοντά στο µοντέλο µας και θα είναι σχετικά πιο εύκολα υλοποιήσιµοι. Για την εύρεση του κόστους µιας ισορροπίας Nash θα χρησιµοποιήσουµε ένα γνωστό αλγόριθµο άµεσης απόκρισης. Επαναλαµβάνω ότι και οι τρείς αυτές µετρήσεις, είναι απαραίτητες για την διεξαγωγή της έρευνας µας. Οι µεθόδοι που θα χρησιµοποιήσουµε για τον υπολογισµό των ισορροπιών Nash, βέλτιστης λύσης και βέλτιστης ισορροπίας Nash από µόνες τους δεν είναι αρκετές για την αξιολόγηση των δύο βασικών µοντέλων. Θα πρέπει να δηµιουργήσουµε και τις συνθήκες κάτω από τις οποίες θα τρέξουν τόσο τα δύο βασικά µοντέλα όσο και αυτές οι µεθόδοι. Οι συνθήκες αυτές είναι : Η τοπολογία του δικτύου και το είδος των συναρτήσεων καθυστέρησης. Η αρχική κατάσταση του παίγνιου. Η τιµή του ε. Τα δίκτυα που θα χρησιµοποιήσουµε θα είναι δίκτυα Braess, πλέγµατα και δίκτυα mesh. Οι µη φθίνουσες συναρτήσεις καθυστέρησης σε κάθε ακµή των παραπάνω τοπολογιών µπορεί να είναι ή µόνο γραµµικές ή ένας συνδυασµός απο γραµµικές και πολυωνυµικές συναρτήσεις. Σε κάθε δίκτυο θα µελετήσουµε τι επιπτώσεις έχει στην εξέλιξη του παίγνιου η αρχική του κατάσταση. Θα µελετήσουµε τριών ειδών αρχικών καταστάσεων, δύο εκ των οποίων οι παίκτες ξεκινούν έχοντας όλοι την ίδια στρατηγική και µία όπου σε κάθε παίκτη έχει ανατεθεί τυχαία µια στρατηγική. Όσον αφορά την τιµή του ε, αυτή µπορεί να είναι είτε ίδια για όλους τους παίκτες είτε για κάθε παίκτη διαφορετική. Θα ακολουθήσει µια ανάλυση των αλγορίθµων που χρησιµοποιήσαµε για τον υπολογισµό µιας ισορροπίας Nash, µιας βέλτιστης ισορροπίας Nash και για τον υπολογισµό της βέλτιστης λύσης και τέλος θα προσθέσουµε την αναλυτική ανάλυση των δύο βασικών µας µοντέλων που θα µελετήσουµε. 16

25 Μέθοδοι Εύρεσης Τοπικού Βέλτιστου Συναρτήσεων Δυναμικού και Συνολικού Κόστους Για την εύρεση των βέλιστων τιµών της συνάρτησης δυναµικού και της συνάρτησης που µας δίνει το συνολικό κόστος ενός παίγνιου θα χρησιµοποιήσουµε αλγόριθµους που λύνουν προβλήµατα ελάχιστης ροής. Προβλήματα Ελάχιστης Ροής 'Ενα πρόβληµα ελάχιστης ροής, είναι η εύρεση του "φθηνότερου" τρόπου να στείλεις µια ροή µέσα απο ένα κατευθυνόµενο δίκτυο ροής. Σε ένα κατευθυνόµενο δίκτυο ροής κάθε ακµή έχει µια χωριτικότητα. Η ροή που περνάει από µια ακµή δεν µπορεί να υπερβαίνει την χωριτικότητα της. Ένας επιπλέον περιορισµός είναι ότι το ποσό της ροής που φτάνει σε ένα κόµβο θα πρέπει να ισούται µε το ποσό της ροής που εξέρχεται από τον κόµβο, εκτός και αν πρόκειται για τον κόµβο πηγής ή τον κόµβο προορισµού. Ορισµός Προβλήµατος Ελάχιστης Ροής : Δεδοµένου ενός κατευθυνόµενου δικτύου ροής G(V,E) µε κόµβο πηγή s V και κόµβο προορισµού t V, κάθε ακµή (u,v) Ε έχει χωριτικότητα c(u,v), ροή f(u,v) και κόστος α(u,v). Το κόστος για την αποστολή της ροής µέσω µιας ακµής ισούται µε το γινόµενο f(u,v).α(u,v). Στόχος είναι η αποστολή µιας ροής µεγέθους d απο το s στο t ελαχιστοποιώντας το συνολικό κόστος: u,v V f(u,v).α(u,v) και τηρώντας τους περιορισµούς : f(u,v) c(u,v) f(u,v) = - f(v,u) w V f(u,w) = 0 u s,t w V f(s,w)=d Ένα πρόβληµα ελάχιστης ροής, ένα πρόβληµα εύρεσης βέλτιστης ισορροπιας Nash σε ένα συµµετρικό παίγνιο συµφόρησης δικτύου και ένα πρόβληµα εύρεσης της βέλτιστης λύσης ενώς συµµετρικού παίγνιου συµφόρησης δικτύου σαν αυτά που µελετάµε έχουν τις ίδιες βασικές αρχές : 17

26 Το πρόβληµα ελάχιστης ροής επιθυµεί να δροµολογήσει ένα σύνολο ροών µέσα από ένα κατευθυνόµενο δίκτυο και τα δύο προβλήµατα του συµµετρικού παιγνίου συµφόρησης δικτύου επιθυµουν να δροµολογήσουν ένα σύνολο παικτών σε ένα κατευθυνόµενο δίκτυο. Και στα τρία προβλήµατα οι ακµές σχετίζονται µε συναρτήσεις καθυστέρησης. Στα παίγνια συµφόρησης οι συναρτήσεις αυτές θα πρέπει να είναι κυρτές µη φθίνουσες συναρτήσεις ενώ στο πρόβληµα ελάχιστης ροής έχουµε πιο ελέυθερες οι επιλογές συναρτήσεων καθυστέρησης. Όλα τα προβλήµατα αποσκοπούν στην ελαχιστοποίηση µιας συνάρτησης κόστους που προκύπτει από την ροή και από το σύνολο των παικτών αντίστοιχα. Στο πρόβληµα ελάχιστης ροής η συνάρτηση αυτή είναι η u,v V f(u,v).α(u,v). Στο πρόβληµα εύρεσης της βέλτιστης ισορροπίας Nash σε ένα συµµετρικό παίγνιο συµφόρησης δικτύου η συνάρτηση ελαχιστοποίησης είναι η συνάρτηση δυναµικού και τέλος στο πρόβληµα της εύρεσης της βέλτιστης λύσης σε ένα συµµετρικό παίγνιο συµφόρησης δικτύου η συνάρτηση είναι η συνάρτηση συνολικού κόστους του παίγνιου. Για την επίλυση των προβληµάτων εύρεσης της βέλτιστης λύσης και βέλτιστης ισορροπίας Nash, θα χρησιµοποιήσουµε δύο τροποποιήσεις του αλγόριθµου Successive Shortest Path που λύνει το πρόβληµα της ελάχιστης ροής για να υπολογίσουµε το τοπικά βέλτιστα των συναρτήσεων: Συνολικού κόστους e Ε de(f(e)) όπου de µη φθίνουσα συνάρτηση της ακµής e και f(e) είναι το ποσό της ροής ή το πλήθος των παικτών που διέσχισε την ακµή e (βέλτιστη λύση). Δυναµικού (βέλτιστη ισορροπία Nash). 18

27 Αλγόριθμος Υπολογισμού Βέλτιστης Λύσης Συμμετρικού Παίγνιου Συμφόρησης Δικτύου -Successive Shortest Path v1- Έστω ένα συµµετρικό παίγνιο συµφόρησης δικτύου που ανιπαριστάται απο ένα κατευθυνόµενο γράφηµα G = ( V, N, E, (de)e E ) όπου V={1,...,t} είναι το πλήθος των κόµβων του δικτύου, Ε={1,...,m} είναι οι ακµές του δικτύου, κάθε µία απο τις οποίες σχετίζεται µε µια µη φθίνουσα κυρτή συνάρτηση καθυστέρησης d και µια χωριτικότητα. Στην παραλλαγή του successive shortest path που χρησιµοποιούµε θεωρούµε ότι η χωρητικότητα στην κάθε ακµή ισούται µε 1 και έτσι µετακινούµε µια µονάδα ροής σε κάθε βήµα από το s στο t µεχρι όλη η ροή να έχει φτάσει στον κόµβο t. Η ροή µας ισούται µε το πλήθος των παικτών του παίγνιου Ν={1,...,n}. Κάθε κόµβος i έχει έναν δείκτη e(i) που µπορεί να ανήκει σε τρία διαστήµατα τιµών: e(i) = 0 (balanced node) e(i) > 0 (excess node) Οι παίκτες που βρίσκονται στον κόµβο αυτό επιθυµούν να φύγουν e(i) < 0 (deficit node) Ο κόµβος περιµένει -e(i) παίκτες Στο παίγνιο µας έχουµε µόνον ένα excess και ένα deficit κόµβο εφόσον πρόκειται για συµµετρικό παίγνιο. Οπότε ο excess κόµβος είναι ο κόµβος πηγής έστω s και ο deficit είναι ο κόµβος προορισµού, έστω t. Όλοι οι ενδιάµεσοι κόµβοι είναι ισορροπηµένοι δηλαδή απαιτούν όση ροή εισέρχεται να εξέρχεται αµέσως. Για κάθε ακµή e E του δικτύου το f(e) ισούται µε το πλήθος των µονάδων ροών που διέσχισαν την ακµή e. Σκοπός είναι η ελαχιστοποίηση της συνάρτησης : c = e Ε f(e).d(f(e)) που µας δίνει το συνολικό κόστος απο την µετακίνηση όλης της ροής απο το s στο t. 19

28 Αλγόριθμος G = ( V, N, E, (de)e E ) 1. e(s)=n, i:i V && i!=1 e(i)=0, i:i V πi = 0; 2. while ( n!=0 ) { 2.1 pi=n; 2.2 Υπολόγισε το κόστος των συντοµότερων µονοπατιών απο τον s σε όλους τους υπόλοιπους κόµβους χρησιµοποιώντας τον αλγόριθµο Dijkstra D={d1,...,dt} 2.3 Υπολόγισε κόµβο το π' = π - di : i {1,..,t} 2.4 Βρες το συντοµότερο µονοπάτι P απο τον κόµβο s στον κόµβο t 2.5 Άφησε να περάσει µία µονάδα ροής κατα µήκος του συντοµότερου µονοπατιού P 2.6 Αναβάθµισε τις ακµές που απαρτίζουν το P 2.7 Αναβάθµισε το δίκτυο 2.8 n--;e(s)--;e(t)++; } 3. Υπολόγισε το συνολικό κόστος : c = e Ε f(e).d(f(e)). 4. Υπολόγισε την συνάρτηση δυναµικού : Βήµα 1 : Αρχικοποίησε τις ισορροπίες των κόµβων, θέτοντας την ισορροπία του κόµβου πηγής s να ισούται µε το πλήθος των παικτών του παίγνιου και όλων των υπόλοιπων κόµβων να ισούνται µε 0. Αρχικοποίησε για κάθε κόµβο το potential του π. Όταν περνάει µια ροή απο ένα δίκτυο ο αλγόριθµος decomposition που χρησιµοποιούµε προσθέτει ακµές αρνητικού κόστους κατά µήκος του συντοµότερου µονοπατιού. Το π το χρησιµοποιούµε για να κανονικοποιούµε τα βαρη των ακµών έτσι ώστε να µην να µην παγιδεύεται ο αλγόριθµος εύρεσης συντοµότερου µονοπατιού σε κύκλους αρνητικού µήκους. Για την εύρεση συντοµότερων µονοπατιών χρησιµοποιούµε τον αλγόριθµο Dijkstra για τον οποίο είναι απαραίτητο το βήµα της κανονικοποίησης εφόσον δουλέυει µόνο για δίκτυα µε θετικά βάρη στις ακµές τους. 20

29 Βήµα 2: Για την κάθε µονάδα ροής pi : i N που δεν έχει φτάσει ακόµα στον κόµβο t ακολούθα τα εξής βήµατα: Υπολόγισε το κόστος από τον κόµβο πηγή προς όλους τους υπόλοιπους κόµβους D={c1,...,ct} χρησιµοποιώντας τον Dijkstra. Το βήµα αυτό γίνεται για να µπορέσουν να υπολογιστούν οι τιµές των potential, εφόσον πj=πj-cj :j V. Το συντοµότερο µονοπάτι βρίσκεται αυτόµατα απο το προηγούµενο βήµα και ανατίθεται στην τρέχουσα µονάδα ροής. Αναβάθμιση κόστους των ακμών του συντομότερου μονοπατιού Αφού χρησιµοποιήσει η ροή pi το συντοµότερο µονοπάτι, πρέπει για κάθε ακµή του συντοµότερου µονοπατιού να αυξήσουµε το κόστος της κατά µία µονάδα ροής, έτσι ώστε για την επόµενη µονάδα ροής που θα επιχειρήσει να βρεί το συντοµότερο µονοπάτι τα κόστη των ακµών να είναι σωστά υπολογισµένα. Το κόστος της κάθε ακµής προκύπτει από µια µη φθίνουσα συνάρτηση που εξαρτάται από το πλήθος των µονάδων ροής που την έχουν διασχίσει µέχρι στιγµής. Συγκεκριµένα αν µια ακµή e = (u,v) : e E και u,v V που βρίσκεται στο συντοµότερο µονοπάτι που µόλις διέσχισε η ροή pi την έχουν διασχίσει σύνολο m ροές (συµπεριλαµβανοµένου και της pi), τότε το νέο της κόστος θα ισούται µε το αποτέλεσµα της συνάρτησης : ce= (m+1).d(m+1) - m.d(m). Την πρώτη φορά που κάποια ακµή (u,v): u,v V επιλέγεται να διασχιστεί απο µια ροή, έχουµε δηµιουργία και της αντίστοιχης πίσω ακµης (v,u). Η (v,u) έχει κόστος cvu = - (m.d(m) - (m-1)d(m-1)). Κάθε φορά που µια ροή επιλέγει µια µπρός ακµή στο συντοµότερο της µονοπάτι τότε υπολογίζεται ξανά τόσο το κόστος της µπρός ακµής όσο και της πίσω ακµής µε τον τρόπο που περιγράψαµε πιο πάνω. Στην περίπτωση που το συντοµότερο µονοπάτι περνάει µέσα απο µία πίσω ακµή έστω την (v,u) που το κόστος της είναι cvu = - (m.d(m) - (m-1)d(m-1)) τότε το κόστος της µετατρέπεται σε cvu = - ((m-1).d(m-1) - (m-2)d(m-2)) και αντίστοιχα το κόστος της (u,v) από cuv= (m +1).d(m+1) - m.d(m) γίνεται cuv= m.d(m) - (m-1).d(m-1). Αναβάθμιση Δικτύου Εφόσον αναβαθµιστεί η κάθε ακµή που απαρτίζει το συντοµότερο µονοπάτι P θα πρέπει να κανονικοποιηθούν όλες οι µπρος και όλες οι πίσω ακµές για να είναι συνεπές το δίκτυο. Οπότε για κάθε ακµή (u,v): u,v V αναβαθµίζουµε το κόστος της µε την βοήθεια 21

30 των potential τιµών που υπολογίσαµε πιο πάνω και συγκεκριµένα η κανονικοποίηση γίνεται απο την συνάρτηση : cuv = cuv - π(u) + π(v). Το βήµα δύο επαναλαµβάνεται εώς ότου όλες οι µονάδες ροής φτάσουν στον κόµβο t. Ο Successive Shortest Path v1 µας δίνει την βέλτιστη λύση που θα µπορούσε να έχει το παίγνιο αν υπήρχε κεντρικός συντονισµός. Δηλαδή µας δίνει το τοπικό βέλτιστο της συνάρτησης c = e Ε f(e).de(f(e)). Το ιδανικότερο θα ήταν µια ισορροπία Nash να είχε το ίδιο αποτέλεσµα µε την βέλτιστη λύση που µας υποδικνύει ο Successive Shortest Path v1. Όµως, όσο αυξάνει η πολυπλοκότητα του δικτύου και ο αριθµός των χρηστών τόσο πιο ανέφικτο είναι να συµβεί κάτι τέτοιο. Για τον υπολογισµό της καλύτερης ισορροπίας Nash που µπορεί να προκύψει σε ένα δίκτυο και άρα το τοπικό βέλτιστο της συνάρτησης δυναµικού χρησιµοποιήσαµε µια παρόµοια εκδοχή µε αυτήν του Successice Shortest Path v1 την οποία και περιγράφουµε στην επόµενη παράγραφο. Παράδειγμα Υπολογισμού Βέλτιστης Λύσης Το αρχικό µας δίκτυο G=(V, N, E, (de)e E )απεικονίζεται στο σχήµα [4]. Το δίκτυο αποτελείται από V={s,1,2,3,4,5,t}, N={1,2,3,4,} και Ε={1s1,2s2,313,414,524,63t,74t}. Κάθε ακµή e Ε σχετίζεται µε µια συνάρτηση d(e) που εξαρτάται απο το ποσό της ροής που την έχει διασχίσει. Το κόστος κάθε µπρός ακµής υπολογίζεται ce= (m+1).d(m+1) - m.d(m) όπου το m ισούται µε τις µονάδες ροής που διέσχισαν την e και το κόστος κάθε πίσω ακµής e' ισούται µε ce'= - (m.d(m) - (m-1)d(m-1)). Η συνολική ροή στο παράδειγµα είναι τέσσερεις µονάδες. Σχήμα 4 22

31 Βήµα 1: Υπολογισµός κόστους συντοµότερων µονοπατιών απο τον κόµβο πηγή προς όλους τους υπόλοιπους. D={0,1,3,2,3,3} Βήµα 2: Ευρεση συντοµότερου µονοπατιού SP s-1-3-t και διέσχιση του απο µια µονάδα ροής. Ακμή f(e) Βήµα 3: Αναβάθµηση κόστους ακµών συντοµότερου µονοπατιού Βήµα 4: Αναβάθµιση δικτύου. Βήµα 5: Επανάληψη βηµάτων 1-4. D={0,2,0,5,3,5} SP s-2-4-t 23

32 Ακμή f(e) Ακμή f(e) D={0,0,0,3,0,4} SP s-1-4-t

33 Ακμή f(e) D={0,2,6,2,6,10} SP s-1-4-t c = (3*3)s1+(1*3)s2+(1)13 + (2*4)14 +(1*2)24 +(1*1)3t +(3*7)4t =46 Φ=(1+2+3)s1+(3)s2+(1)13+(2+4)14 +(2)24+(1) 3t +(3+5+7) 4t = 34 Αλγόριθμος Υπολογισμού Βέλτιστης Ισορροπίας Nash Συμμετρικού Παίγνιου Συμφόρησης Δικτύου -Successive Shortest Path v2- Ο αλγόριθµος για την έυρεση της βέλτιστης ισορροπίας Nash είναι ο ίδιος µε τον αλγόριθµο εύρεσης βέλτιστης λύσης (Successive Shortest Path v1) εκτός από το σηµείο όπου γίνεται η αναθεώρηση του κόστους των ακµών που συµπεριλαµβάνονται στο συντοµότερο µονοπάτι µετά την ανάθεση του σε κάποιο χρήστη pi. Αυτή η παραλλαγή µας επιτρέπει να υπολογίσουµε το τοπικό βέλτιστο της συνάρτησης δυναµικού. Όπως και στον Successive Shortest Path v1 έτσι και στον Successive Shortest Path v2 το νέο κόστος κάθε ακµής προκύπτει από µια µη φθίνουσα κυρτή συνάρτηση που εξαρτάται απο το πλήθος των µονάδων ροών που την έχουν διασχίσει. H διαφορά εντοπίζεται στην συνάρτηση υπολογισµού του κόστους αυτού. Στην προκειµένη περίπτωση για κάθε ακµή (u,v): u,v V που βρίσκεται στο συντοµότερο µονοπάτι που µόλις διέχισε η ροή pi το νέο της κόστος θα ισούται µε το αποτέλεσµα της συνάρτησης cuv= d(m+1) και της πίσω ακµής της cvu= -d(m). Στην περίπτωση που το συντοµότερο µονοπάτι έχει 25

34 συµπεριληφθεί και µια πίσω ακµή έστω η ακµή (v,u) τότε το κόστος της πίσω ακµής από cvu = -d(m) γίνεται cvu = -d(m-1) και της αντίστοιχης µπρος ακµής (u,v) από cuv= d(m+1) γίνεται cuv= d(m). Παράδειγμα Υπολογισμού Βελτιστης Ισορροπίας Nash Το αρχικό µας δίκτυο G=(V, N, E, (de)e E ) απεικονίζεται στο σχήµα 6. Αποτελείται από V={s,1,2,3,4,5,t}, N={1,2,3,4,} και Ε={1s1,2s2,313,414,524,63t,74t}. Κάθε ακµή e Ε σχετίζεται µε µια συνάρτηση d(e) που εξαρτάται απο το ποσό της ροής που την έχει διασχίσει. Το κόστος κάθε µπρός ακµής υπολογίζεται ce= d(m+1) όπου το m ισούται µε τις µονάδες ροής που διέσχισαν την e και το κόστος κάθε πίσω ακµής e' ισούται µε ce'= - d(m). Η συνολική ροή στο παράδειγµα είναι τέσσερεις µονάδες. Σχήμα 6 Βήµα 1: Υπολογισµός κόστους συντοµότερων µονοπατιών από τον κόµβο πηγή προς όλους τους υπόλοιπους. D={0,1,3,2,3,3} Βήµα 2: Ευρεση συντοµότερου µονοπατιού SP s-1-3-t και διεσχιση του απο µια µονάδα ροής. 26

35 Ακμή f(e) Βήµα 3: Αναβάθµηση κόστους ακµών συντοµότερου µονοπατιού Βήµα 4: Αναβάθµιση δικτύου. Βήµα 5: Επανάληψη βηµάτων 1-4. D={0,1,0,4,1,4} SP s-1-4-t D={0,1,0,1,1,3} SP s-2-4-t 27

36 Ακμή f(e) Ακμή f(e) D={0,0,2,0,2,4} SP s-1-4-t c = (3*3)s1+(1*3)s2+(1)13 + (2*4)14 +(1*2)24 +(1*1)3t +(3*7)4t = Φ=(1+2+3)s1+(3)s2+(1)13+(2+4)14 +(2)24+(1) 3t +(3+5+7) 4t = 34 28

37 Ανάλυση Μεθόδου Υπολογισμού Ισορροπίας Nash και Βασικών Μοντέλων Σύγκλισης σε ε-nash Ισορροπία Στους αλγόριθµους Successive Shortest Path v1 και v2 που υπολογίζαµε το κόστος της βέλτιστης λύσης και της βέλτιστης ισορροπίας Nash αντίστοιχα, είχαµε να κάνουµε µε ροές. Για τον υπολογισµό όµως, τόσο της ισορροπίας Nash όσο και των ε-nash ισορροπιών στα δύο βασικά µοντέλα της µελέτης µας έχουµε να αντιµετωπίσουµε λογικούς και ευφυείς παίκτες. Ένα συµµετρικό παίγνιο συµφόρησης δικτύου G = ( N, E, (S i)i N, (de)e E ) αποτελείται από ένα πεπερασµένο σύνολο παικτών Ν={p1,...,pn}, µε κάθε παίκτη να έχει διαθέσιµες ένα σύνολο από στρατηγικές Si και µια συνάρτηση κόστους ci : S1... Sn N. Το σύνολο των στρατηγικών Si 2 E είναι µια τυχαία συλλογή υποσυνόλων των ακµών Ε= {e1,...,em} του δικτύου δηλαδή κάθε στρατηγική και ένα µονοπάτι στο δίκτυο από την πηγή στον προορισµό. Τα κόστη των παικτών εξαρτώνται απο την κοινή χρήση των διαθέσιµων πόρων του παίγνιου, τους οποίους πόρους θα αναφέρουµε ως ακµές Ε= {e1,...,em}. Το σύνολο των στρατηγικών Si 2 E είναι µια τυχαία συλλογή υποσυνόλων του Ε. Κάθε ακµή e Ε σχετίζεται µε µια µη φθίνουσα συνάρτηση καθυστέρησης de : {1,...,n} N η οποία εξαρτάται από το πλήθος των παικτών που την έχουν επιλέξει στην στρατηγική τους. Το de(t) δείχνει το κόστος της ακµής e όπου t είναι το πλήθος των παικτών που την έχουν στην στρατηγική τους και άρα πληρώνουν κόστος για την ακµή ίσο µε de(t). Μια κατάσταση s = (s1,..., sn): S1... Sn περιγράφει το σύνολο των στρατηγικών που έχουν επιλέξει οι παίκτες. Σε µια τέτοια κατάσταση s το συνολικό κόστος ενός παίκτη pi υπολογίζεται απο το εξής άθροισµα: ci(s)= de (fs e s (e)) όπου i fs(e) είναι ο αριθµός των παικτών που χρησιµοποιούν την ακµή e στην κατάσταση s. Το συνολικό κόστος µιας κατάστασης s υπολογίζεται απο την συνάρτηση: c= e s i f s(e).de(fs(e)) 29

38 Μέθοδος Υπολογισμού Ισορροπίας Nash με τον Αλγόριθμο Άμεσης Απόκρισης Με τον αλγόριθµο άµεσης απόκρισης θα υπολογίσουµε το κόστος µιας ισορροπίας Nash. Μια κατάσταση s = (s1,..., sn) βρίσκεται σε ισορροπία Nash αν δεν µπορεί κανείς παίκτης να βελτιώσει το κόστος του µε το να αλλάξει µονοµερώς την στρατηγική του. Ορισµός (αµιγούς) Ισορροπίας Nash : Ένα παίγνιο συµφόρησης δικτύου G = ( N, E, (S i)i N,(de)e E ), βρίσκεται σε µια κατάσταση ισορροπίας Nash αν παίκτη ci(t) < ci(t+1). Δωθέντος µιας αρχικής κατάστασης του παίγνιου, ο αλγόριθµος αυτός σειριακά επιλέγει έναν έναν τους παίκτες. Σε περίπτωση που µε την τρέχων κατάσταση του παίγνιου ο εκάστωτε παίκτης µπορεί να µειώσει το κόστος του µε το να αλλάξει την στρατηγική του τότε την αλλάζει, αλλιώς ο αλγόριθµος προχωράει στον επόµενο παίκτη εως ότου ελεγχθούν όλοι οι παίκτες. Αλγόριθμος 1. Όρισε µια αρχική κατάσταση s = (s1,..., sn). 2. i=1; n = #παικτών; 3. while ( i!=n) { 3.1 e E που δεν βρίσκεται στην στρατηγική του παίκτη i αύξησε την συµφόρηση της κατα µία µονάδα και υπολόγισε το κόστος της. 3.2 Βρες το συντοµότερο µονοπάτι. 3.3 Αν το κόστος του συντοµότερου µονοπατιού είναι µικρότερο απο το τρέχον κόστος του i τότε ανάθεσε στον i την καινούργια στρατηγική 3.4 Ρύθµισε τα κόστη των ακµών κατάλληλα 3.5 i++; } 4. Υπολόγισε το συνολικό κόστος : c = f e s s(e).de(fs(e)). i 5. Υπολόγισε την συνάρτηση δυναµικού : 30

39 Παράδειγμα Υπολογισμού μιας Ισορροπίας Nash Στο παρακάτω σχήµα απεικονίζεται ένα συµµετρικό παίγνιο συµφόρησης δικτύου. Στο παίγνιο λαµβάνουν µέρος πέντε παίκτες, αποτελείται από επτά πόρους και τρεις διαθέσιµες στρατηγικές. Σε κάθε πόρο φαίνεται και η αντίστοιχη καθυστέρηση. Έστω ότι οι παίκτες αρχικά έχουν επιλέξει τις στρατηγικές τους σύµφωνα µε τον πίνακα Αρχικών Καταστάσεων. Υπολογίστε µια ισορροπία Nash. Πίνακας Αρχικών Καταστάσεων Παίκτης Στρατηγική Κόστος 1 s t s t s t s t s t 155 Βήµα 1 : Υπολογισµός συνάρτησης δυναµικού Φ(1) = ( ) + (0) + ( ) + (0) + (0) + ( ) + (0) = 295 Παίκτης Στρατηγική Κόστος 1 s t s t s t s t s t 155 Παίκτης Στρατηγική Κόστος 1 s t 8 2 s t s t s t s t 155 Βήµα 2 : Επιλέγουµε τον παίκτη που προηγείται στην σειρά και ψάχνουµε για το συντοµότερο µονοπάτι. Αν το κόστος του συντοµότερου µονοπατιού είναι µικρότερο από το τρέχων κόστος του παίκτη τότε του το αναθέτουµε. Παρατηρούµε ότι ο παίκτης 1 µε κόστος 155 αλλάζοντας στρατηγική και επιλέγοντας την s t το κόστος του γίνεται 8. 31

40 Παίκτης Στρατηγική Κόστος 1 s t 8 2 s t 84 3 s t 84 4 s t 84 5 s t 84 Βήµα 3: Ενηµέρωση των κόστων των παικτών ως συνέπεια του βήµατος 2 Βήµα 4 : Επανάληψη των βηµάτων 1, 2 και 3 µέχρι την εύρεση ισορροπίας Nash. Φ(2) = ( )+(3)+( )+(0)+(2)+( )+(3)=148 Παίκτης Στρατηγική Κόστος 1 s t 8 2 s t 11 3 s t 40 4 s t 40 5 s t 40 Φ(3) = ( ) + (3) + (1+4+9) + (2) + (2) + (1+8+27) + (3+5) = 75 Παίκτης Στρατηγική Κόστος 1 s t 8 2 s t 15 3 s t 15 4 s t 16 5 s t 16 Φ(4) = ( ) + (3) + (1+4) + (2+4) + (2) +(1+8)+(3+5+7)= 50 c = (4*4)s1 + (1*3)s2 + (2*4)13 + (2*4)14 +(1*2)24 + (2*8)3t + (3*7)4t = 72 Οι παίκτες 4 και 5 είναι ευχαριστηµένοι µε την στρατηγική τους οπότε παραµένουν σταθεροί. Σε αυτό το σηµείο όλοι οι παίκτες είναι ευχαριστηµένοι οπότε το παίγνιο έχει φτάσει σε µια ισορροπία Nash µε συνολικό κόστος 72. Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση δυναµικού µειωνόταν σταδιακά και έχει φτάσει σε ένα τοπικό ελάχιστο. 32

41 Ακολουθιακό Μοντέλο Σύγκλισης σε ε-nash ισορροπία Το πρώτο µας µοντέλο είναι ένα σειριακό µοντέλο των S. Chien και A. Sinclair, οι οποίοι µελετάνε την ταχύτητα σύγκλισης σε µια ε-nash ισορροπία για την κλάση των συµµετρικών παιγνίων συµφόρησης δικτύου. Ένα παίγνιο συµφόρησης φτάνει σε µία κατάσταση s = (s1,..., sn) που είναι κατάσταση ε-nash ισορροπίας, αν δεν µπορεί κανένας παίκτης να βελτιώσει το κόστος του περισσότερο απο ένα παράγοντα ε, µε το να αλλάξει µόνο αυτός την στρατηγική του δοθέντος ότι όλοι οι υπόλοιποι παίκτες παραµείνουν ως έχουν στις στρατηγικές τους. Προϋπόθεση για να αλλάξει στρατηγική ένας παίκτης είναι να έχει διαθέσιµη µια ε-move. ε-move είναι κάθε στρατηγική που µπορεί να βελτιώσει το κόστος του παίκτη στην δεδοµένη κατάσταση περισσότερο από έναν παράγοντα ε. Ο παράγοντας ε µπορεί διαισθητικά να θεωρηθεί ως ένα ποσοστό του τρέχοντος κόστους ενός παίκτη που είναι διαθέσιµος να χρεωθεί, προκειµένου να αλλάξει την στρατηγική του. Αναλυτικότερα, ο παράγοντας ε (0,1) µπορεί να είναι ίδιος για όλους τους παίκτες αλλά µπορεί να είναι και διαφορετικός για τον κάθε ένα. Έστω ότι το κόστος κάποιου παίκτη pi στην κατάσταση s ισούται µε ci(s) και εi=0.1. Τότε ο παίκτης pi για να είναι πρόθυµος να αλλάξει την στρατηγική του, θα πρέπει το κόστος της νέας του στρατηγικής ci(s') να είναι µικρότερο από το γινόµενο (1-ε)*ci(s) σε αντίθετη περίπτωση ο παίκτης θεωρεί ότι δεν αξίζει να αλλάξει την στρατηγική του και παραµένει σταθερός στην επιλογή του. Το συνολικό κόστος µιας κατάστασης s υπολογίζεται απο την συνάρτηση c = e Ε fs(e).de(fs(e)). Η ύπαρξη της αγνής ισορροπίας Nash στα παίγνια συµφόρησης στηρίζεται στην ύπαρξη µιας συνάρτησης δυναµικού η οποία ορίζεται ως εξής : Η συνάρτηση αυτή έχει την ιδιότητα ότι όταν ένας παίκτης pi αλλάξει την στρατηγική του από si στην s'i η διαφορά στο κόστος του από την αλλαγή της στρατηγικής του αντικατοπτρίζεται από αυτή την συνάρτηση : Φ(s) - Φ(s') = ci(s) - ci(s') [3]. Μια σηµαντική συνέπεια της ιδιότητας αυτής είναι ότι αν ακολουθήσουµε µια επαναληπτική διαδικασία όπου σε κάθε γύρο αλλάζει και ένας παίκτης την στρατηγική του, τότε η 33

42 συνάρτηση δυναµικού θα συνεχίζει να µειώνεται µέχρι να φτάσει σε ένα τοπικό ελάχιστο και άρα σε µια ισορροπία Nash. Στην προκειµένη περίπτωση σε µια ε-nash ισορροπία. Ορισµός : ε (0,1), µια κατάσταση s = (s1,..., sn) S1... Sn βρίσκεται σε ε- Nash ισορροπία αν pi ισχύει: ci(s1,..., s'i,..., sn ) (1-ε)ci(s1,..., si,..., sn ) s'i Si. Στο µοντέλο των Chien και Sinclair το παίγνιο παίζεται σε γύρους ή βήµατα. Σε κάθε γύρο υπολογίζονται ποιοι παίκτες έχουν το δικαίωµα να αλλάξουν στρατηγική, δηλαδή ποιοι έχουν διαθέσιµο ε-move(αλλαγή στρατηγικής που βελτιώνει το κόστος του παίκτη περισσότερο απο έναν παράγοντα ε). Στην περίπτωση που περισσότεροι απο έναν παίκτες έχουν διαθέσιµο ε-move τότε είναι δύο οι επιλογές : i. Να µετακινηθεί ο παίκτης µε το µεγαλύτερο όφελος ii. Να µετακινηθεί ο βαρύτερος παίκτης. Στην πρώτη περίπτωση ο παίκτης µε το µεγαλύτερο όφελος είναι αυτός που µεγιστοποιεί την συνάρτηση : (1) Στη δεύτερη περίπτωση επιλέγεται να µετακινηθεί ο παίκτης που έχει το µεγαλύτερο κόστος. Και στις δύο περιπτώσεις οι Chien και Sinclair εγγυούνται γρήγορη σύγκλιση σε ε-nash ισορροπία. Βασικό Θεώρηµα Σύγκλισης : Κάθε συµµετρικό παίγνιο συµφόρησης µε n παίκτες, µε οποιαδήποτε αρχική κατάσταση συγκλίνει σε µια ε-nash ισορροπία σε nαε -1 log(nc) 2k βήµατα, όπου C είναι ένα άνω όριο στο κόστος οποιουδήποτε παίκτη και k το σύνολο των ακµών. Υποθέτουµε ότι ένας παίκτης pi, µε τρέχων κόστος ci(s) αλλάζει στρατηγική. Η αλλαγή στρατηγικής προυποθέτει διαθέσιµη ε-move από την πλευρά του παίκτη i, η ε- move αυτή µειώνει το κόστος του ci οπότε και την συνάρτηση δυναµικού Φ περισσότερο απο έναν παράγοντα ε.. Περίπου µετά από βε -1 logφmax τέτοια βήµατα, όπου Φmax είναι η τιµή της συνάρτησης δυναµικού στην αρχική κατάσταση του παίγνιου, το παίγνιο θα πρέπει να φτάσει σε µια ε-nash ισορροπία. Εφόσον Φ(s) ci(s), αν κάθε φορά i Ν µετακινείται ο παίκτης µε το υψηλότερο κόστος τότε ο παράγοντας β=n. Οπότε, πρέπει να επιδιωχθεί κάθε φορά να κινούνται οι παίκτες µε τα υψηλότερα κόστη και να µην 34

43 µπλοκάρονται απο παίκτες µε µικρά κόστη, οι οποίοι µειώνουν ελάχιστα την συνάρτηση δυναµικού. Αλγόριθμος 1. Όρισε µια αρχική κατάσταση s = (s1,..., sn). 2. while ( υπάρχουν διαθέσιµες ε-moves ) { 2.1 Βρες ποιοί παίκτες έχουν διαθέσιµη ε-move 2.2 Μετακίνησε τον παίκτη που: i) maximizes: } ii) που έχει το max(c(s)) 3. Υπολόγισε το συνολικό κόστος : c = e Ε fs(e).d(fs(e)). 4. Υπολόγισε την συνάρτηση δυναµικού : **Σε κάθε παίγνιο θα χρησιµοποιείται εξ ολοκλήρου µόνο η µία πολιτική εκ των i και ii. 35

44 Μοντέλο Σύγκλισης σε ε-nash Ισορροπία που Επιτρέπει Ταυτόχρονες Αλλαγές Στρατηγικών Στο µοντέλο αυτό ισχύουν οι ίδιοι κανόνες µε του µοντέλου των S. Chien και A. Sinclair, δηλαδή και εδώ έχουµε ε-moves και σύγκλιση σε ε-nash ισορροπία, το µόνο που αλλάζει στην φιλοσοφία του µοντέλου είναι το γεγονός ότι σε κάθε βήµα αλλάζουν περισσότεροι του ενός παίκτη την στρατηγική τους. Το παίγνιο παίζεται σε γύρους, όπου σε κάθε γύρο υπολογίζονται ποιοί παίκτες έχουν το δικαίωµα να αλλάξουν στρατηγική, δηλαδή ποιοί έχουν διαθέσιµο ε-move. Σε κάθε γύρο µπορούν να αλλάξουν στρατηγική περισσότεροι απο έναν παίκτη ταυτόχρονα. Οι παίκτες µε διαθέσιµο ε-move χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, στους ενεργούς παίκτες και στους ανενεργούς. Το αν θα είναι ένας παίκτης ενεργός η όχι εξαρτάται από µια πιθανότητα, όσο πιο µικρή είναι αυτή η πιθανότητα τόσο πιο λίγοι παίκτες αλλάζουν στρατηγική ανά γύρο και έτσι το µοντέλο αυτό µε τις ταυτόχρονες αλλαγές στρατηγικών συγκλίνει προς το ακολουθιακό µοντέλο των S. Chien και A. Sinclair. Τους ανενεργούς παίκτες σε κάθε γύρο δεν τους εξετάζουµε καθόλου, το να είναι ένας παίκτης ενεργός δεν σηµαίνει απαραίτητα ότι θα αλλάξει και την στρατηγική του. Για να την αλλάξει, προϋπόθεση είναι ότι το κόστος που θα γλυτώσει από την αλλαγή της στρατηγικής του να είναι µεγαλύτερο από ένα ποσοστό που προκύπτει από το κόστος του ενεργού παίκτη που έχει να κερδίσει πιο πολύ µε την αλλαγή της στρατηγικής του. Αν υποθέσουµε ότι για κάθε παίκτη i Ν, diff(i) = ci(s) - ci(s') τότε βρίσκοντας το max(diff(i)) ορίζουµε ότι ένας ενεργός παίκτης j θα αλλάξει στρατηγική αν και µόνον αν diff(j) = a(max(diff(i))) : a (0,1). Με αυτό τον τρόπο περιορίζουµε κάπως τον αριθµό των παικτών ανά γύρο που θα µπορούσαν να αλλάξουν στρατηγική για να µην επέλθει "χάος". Το πρόβληµα µε τις ταυτόχρονες αλλαγές στρατηγικών από πολλούς χρήστες έγκειται στο γεγονός του ότι η συνάρτηση δυναµικού δεν εγγυάται ότι θα συνεχίσει να µειώνεται. Ο κάθε παίκτης ελέγχει αν έχει διαθέσιµη ε-move στην αρχή κάθε γύρου σύµφωνα µε την κατάσταση που βρίσκεται εκείνη την στιγµή το παίγνιο έστω s = (s1,..., sn), στην δεδοµένη κατάσταση όµως µπορεί πολλοί παίκτες να έχουν διαθέσιµο το ίδιο ε-move, όταν λοιπόν µετακινηθούν όλοι στην καινούργια τους στρατηγική, µπορεί να διαπιστώσουν ότι το νέο τους κόστος αντί να µειωθεί όπως υπολογίσαν στην αρχή του γύρου αυξήθηκε γιατί η συµφόρηση της στρατηγικής αυξήθηκε κατά πολλούς χρήστες και όχι µόνον έναν. Όποτε 36

45 συµπεραίνουµε ότι είναι απαραίτητα τα µέτρα που θα περιορίζουν τον αριθµό των παικτών που έχουν το δικαίωµα να αλλάξουν στρατηγική σε κάθε γύρο. Αλγόριθμος 1. Όρισε µια αρχική κατάσταση s = (s1,..., sn). 2. while ( υπάρχουν διαθέσιµες ε-moves ) { 2.1 Βρες ποιοί παίκτες έχουν διαθέσιµη ε-move. 2.2 Με κάποια πιθανότητα θέσε τους παίκτες σε ενεργούς και ανενεργούς. 2.3 Υπολόγισε την max(diff(i)) : i Ν, diff(i) = ci (s) - ci (s') 2.4 pj : j Ν ενεργό µε διαθέσιµη ε-move { if ( diff(j) > a.max(diff(i)) ) ο παίκτης j αλλάζει στρατηγική; } } 3. Υπολόγισε το συνολικό κόστος : c = e Ε fs(e).d(fs(e)) 4. Υπολόγισε την συνάρτηση δυναµικού : 37

46 Υλοποίηση Περιβάλλοντος Πειραματικής Αξιολόγησης Της πειραµατικής αξιολόγησης των µοντέλων µας προηγήθηκε η φάση της υλοποίησης. Στο σχήµα 7 φαίνονται τα βασικά κοµµάτια της και οι µεταξύ τους σχέσεις. Σχήμα 7 Με ορθογώνιο σχήµα συµβολίζονται τα προγράµµατα που δηµιουργήθηκαν, σύνολο τέσσερα. Τα πρώτα τρία Net_1, Net_2 και Net_3 είναι προγράµµατα που δηµιουργούν τρία διαφορετικού τύπου δίκτυα και τα εξάγουν σε µορφή αρχείου κειµένου, έτσι ώστε το τέταρτο πρόγραµµα (Main Program) να δεχθεί ως είσοδο το αρχείο κειµένου που περιέχει την τοπολογία του δικτύου και να τρέξει τους αλγόριθµους που συµβολίζονται στο σχήµα µε το στρογγυλοποιηµένο ορθογώνιο και να εξάγει αποτελέσµατα. Οι τοπολογίες των δικτύων που δηµιουργούνται από τα προγράµµατα είναι: 38

47 Νet_1: Τυχαία δίκτυα µε ορισµένο από τον χρήστη αριθµό κόµβων. Net_2: k τάξης δίκτυο Braess. Net_3: m δίκτυα Braess τυχαίας τάξης και τα τοποθετεί είτε σε σειρά, είτε παράλληλα. Για την πειραµατική αξιολόγηση χρησιµοποιήσαµε και δίκτυα που δεν ανήκουν στις πιο πάνω τοπολογίες, όπως δίκτυα πλέγµατος και mesh δίκτυα. Τα δίκτυα αυτά τα φτιάξαµε χειροκίνητα εφόσον η έξοδος των προγραµµάτων που δηµιουργούν τα δίκτυα είναι ένα αρχείο κειµένου µε συγκεκριµένη µορφή, το οποίο φαίνεται στο σχήµα 8. Κάθε ακµή στα πιο πάνω δίκτυα σχετίζεται µε µια τυχαία κυρτή συνάρτηση καθυστέρησης η οποία µπορεί να είναι: Γραµµική Πολυωνυµική Εκθετική Λογαριθµική Σχήμα 8 Όπως φαίνεται και στο σχήµα η πρώτη γραµµή µας δίνει πληροφορίες για το πλήθος των ακµών [Ε] του δικτύου, το πλήθος των κόµβων[ν] και τέλος για τον µέγιστο βαθµό πολυωνυµικής συνάρτησης που µπορεί να έχει µια ακµή µείων ένα. Σε όλα τα δίκτυα µας οι πολυωνυµικές συναρτήσεις δεν ξεπερνούν τον τρίτο βαθµό. Από την δεύτερη γραµµή και κάτω ουσιαστικά σχηµατίζεται ένας ΝxΝ πίνακας των κόµβων του δικτύου. Κάθε γραµµή αντιπροσωπεύει έναν κόµβο πηγής και κάθε στήλη έναν κόµβο προορισµού. Η σχέση που έχουν οι κόµβοι µεταξύ τους υποδηλώνεται µε το σύµβολο # ακολουθούµενο από ένα αριθµό i:i (0,1) αν i=1 τότε υπάρχει µία ακµή µεταξύ του κόµβου γραµµής και του κόµβου στήλης µε την συνάρτηση καθυστέρησης να φαίνεται από τους αριθµούς που ακολουθούν το 1. Αν έχω την εγγραφή # από το σχήµα 8 τότε η ακµή(3 5) έχει συνάρτηση καθυστέρησης 5 + 2x. Στην περίπτωση που i = 0 τότε δεν υπάρχει ακµή που 39

48 να συνδέει τον κόµβο γραµµής µε τον κόµβο στήλης. Όπως διαπιστώνει κάποιος είναι πολύ εύκολο να φτιάξει ένα δίκτυο υπό την µορφή αρχείου κειµένου χωρίς να χρησιµοποιήσει ένα από τα προγράµµατα Net_1, Net_2 και Net_3. Το δίκτυο του αρχείου κειµένου του σχήµατος 8 είναι το δίκτυο στο σχήµα 9. Σχήμα 9 Από την στιγµή που δηµιουργηθεί το αρχείο κειµένου που περιέχει το δίκτυο, είτε µέσω προγράµµατος είτε χειροκίνητα, το επόµενο βήµα είναι να τρέξουµε το κυρίως πρόγραµµα. Το κυρίως πρόγραµµα όπως φαίνεται και στο σχήµα 7 αποτελείται έξι κύριες συναρτήσεις: Read Graph (Προσαρµογή Δικτύου, δηµιουργία βασικής δοµής) Best Response (Υπολογισµός Ισορροπίας Nash) Successive Shortest Path v1 (Υπολογισµός Βέλτιστης Λύσης) Successive Shortest Path v2 (Υπολογισµός Βέλτιστης Ισορροπίας Nash) Chien Sinclar Sequential (Ακολουθιακό Μοντέλο σύγκλισης ε-nash ισορροπίας S. Chien και A. Sinclair ) Concurrent Protocol (Μοντέλο σύγκλισης ε-nash ισορροπίας που επιτρέπει ταυτόχρονες αλλαγές στρατηγικών των παικτών) 40

49 Συνάρτηση Read Graph Αρχικά έπρεπε να φτιάξουµε κατάλληλες δοµές για την αναπαράσταση του δικτύου µας. Οι δοµές αυτές θα έπρεπε να είναι εύελικτες και αξιοποιήσιµες από όλες τις συναρτήσεις του προγράµµατος. Για την απεικόνιση του δικτύου επιλέξαµε να χρησιµοποιήσουµε µια λίστα γειτνίασης όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Σχήμα 10 Η συνάρτηση Read Graph λοιπόν διαβάζει το αρχείο κειµένου που δέχεται σαν είσοδο το πρόγραµµα και µετατρέπει το δίκτυο σε µια λίστα γειτνίασης. Η λίστα γειτνίασης περιέχει λίγα δεδοµένα όπως το διακριτικό γνώρισµα του κάθε κόµβου και το διακριτικό γνώρισµα κάθε ακµής. Παράλληλα µε την λίστα γειτνίασης δηµιουργούµε και µια απλή συνδεδεµένη λίστα η οποία περιέχει όλη την πληροφορία για την κάθε ακµή. Δηλαδή, περιέχει την συνάρτηση καθυστέρησης της, την συµφώρηση της και άλλους χρήσιµες µετρήσεις και δείκτες που βοηθούν τις συναρτήσεις να προβούν στο επιθυµιτό αποτέλεσµα. Η λίστα γειτνίασης και η απλή συνδεδεµένη λίστα ενώνονται µε την χρήση δείκτων όπως φαίνεται στο σχήµα

50 Σχήμα 11 Αφού δηµιουργηθούν οι δύο αυτές λίστες, γίνεται κλήση της συνάρτησης compute latencies η οποία µε βάση την συνάρτηση καθυστέρησης κάθε ακµής υπολογίζει το τρέχων κόστος της και το τοποθετεί στο αντίστοιχο πεδίο στην λίστα ακµών, έτσι ώστε να παρέχεται όλη η απαραίτητη πληροφορία για τις ακµές και το επόµενο στάδιο που είναι η κλήση των πέντε συναρτήσεων που υλοποιούν τους αλγόριθµους που µας ενδιαφέρουν να έχουν όλα τα εφόδια για να ξεκινήσουν σωστά. Η Read Graph καλεί πρώτη την συνάρτηση Visualize Graph η οποία διαβάζει την λίστα γειτνίασης και δηµιουργεί ένα αρχείο κειµένου το οποίο ονοµατίζει ο χρήστης κατά την διάρκεια του τρεξίµατος του προγράµµατος και πρέπει να έχει την κατάληξη *.dot Το αρχείο *.dot χρησιµοποιείται από το πρόγραµµα GraphViz[15] για την οπτικοποίηση του δικτύου. 42

51 Πλέον θα αρχίσουν να καλούνται µία µία οι βασικές µας συναρτήσεις µε την εξής σειρά: Best Response Successive Shortest Path v1 Successive Shortest Path v2 Chien Sinclar Sequential Concurrent Protocol Για τις συναρτήσεις Best Response, Chien Sinclar Sequential και Concurrent Protocol, οι οποίες υπολογίζουν µια ισορροπία Nash και δύο ε-nash ισορροπίες αντίστοιχα απαιτείται µια δοµή που να περιέχει τις στρατηγικές των παικτών του παίγνιου. Η δοµή αυτή έχει την µορφή µιας λίστας γειτνίασης και συνδέεται και αυτή µε την λίστα µε τις ακµές για να ενηµερώνονται σωστά τα απαραίτητα στοιχεία. Η δοµή φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα. Σχήμα 12 43

52 Και οι τρείς αυτές συναρτήσεις απαιτούν αρχικοποίηση των στρατηγικών των παικτών. Υπάρχουν τρείς τρόποι αρχικοποίησης των στρατηγικών µε τις συναρτήσεις same path,same path2 και random path.η same path και η same path2 αρχικοποιούν όλους τους χρήστες στο ίδιο µονοπάτι, µε την διαφορά ότι η same path τους αναθέτει το δεύτερο καλύτερο µονοπάτι και η same path2 τους αναθέτει το καλύτερο µονοπάτι. Η random path µε τυχαίο τρόπο αναθέτει σε κάθε παίκτη ξεχωριστά και ένα µονοπάτι. Οπότε και οι τρείς κύριες συναρτήσεις στο ξεκίνηµα τους καλούν µία εκ των παραπάνω συναρτήσεων αρχικοποίησης στρατηγικών την οποία έχει επιλέξει ο χρήστης κατά την ρόη του προγράµµατος. Συνάρτηση Υπολογισμού Ισορροπίας Nash -Best Response- Το πρώτο βήµα είναι η αρχικοποίηση των στρατηγικών των παικτών σύµφωνα µε την επιλογή του χρήστη. Έπειτα για κάθε χρήστη υπολογίζουµε το συντοµότερο µονοπάτι µε τον αλγόριθµο του Dijkstra. Έστω ο παίκτης pi, για να δούµε αν υπάρχει καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη αυτό, ανατρέχουµε στην λίστα γειτνίασης των στρατηγικών, έστω S στην αντίστοιχη εγγραφή του παίκτη, δηλαδή στην S[i] και αθροίζουµε το κόστος κάθε ακµής που περιέχεται στην τρέχων στρατηγική του. Αν το τρέχων κόστος της στρατηγικής του είναι µεγαλύτερο από το κόστος του µονοπατιού που υπολόγισε ο Dijkstra τότε ανατίθεται στον παίκτη pi η καινούργια του στρατηγική(το συντοµότερο µονοπάτι). Πριν ανατεθεί στον pi η καινούργια του στρατηγική θα πρέπει να µειώσουµε την συµφόρηση σε κάθε µία από τις ακµές που βρίσκονται στην παλιά του στρατηγική και µετά το πέρας της ανάθεσης του στην καινούργια στρατηγική θα πρέπει να αυξηθεί κατα µία µονάδα η συµφόρηση της κάθε ακµής που βρίσκεται στην καινούργια του στρατηγική και έπειτα να ενηµερωθούν τα κόστη όλων των παικτών που είχαν κοινές ακµές στις στρατηγικές τους µε τον παίκτη i πρίν και µετά την µετάβαση. Η διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται εώς ώτου δωθεί η σκυτάλη της αλλαγής της στρατηγικής µια φορά στον κάθε παίκτη. Σχήμα 13 44

53 Συναρτήσεις Υπολογισμού Βέλτιστους Κόστους και Βέλτιστης Ισορροπίας Nash -Successive Shortest Path v1 και Successive Shortest Path v2- Η συνάρτηση Successive Shortest Path v1 υπολογίζει την βέλτιστη λύση ενός παίγνιου και η Successive Shortest Path v2 υπολογίζει την βέλτιστη συνάρτηση δυναµικού ενός παίγνιου. Οι αλγόριθµοι τους είναι οι ίδιοι µε την µόνη διαφορά να είναι στην συνάρτηση υπολογισµού του κόστους µιας ακµής, για τον λόγο αυτόν θα τους περιγράψουµε µαζί. Σύµφωνα µε τον αλγόριθµο τους, κάθε φορά που µία µονάδα ροής διασχίζει ένα συντοµότερο µονοπάτι τότε, αν η συµφόρηση µιας ακµής στο συντοµότερο αυτό µονοπάτι ισούται µε µηδέν(πρώτη φορά διασχίζεται) τότε δηµιουργείται η πίσω ακµή της και της ανατίθεται συγκεκριµένο αρνητικό κόστος ανάλογο της µπρός ακµής. Οπότε, η µέχρι τώρα δοµή µας δεν αρκεί για την υλοποίηση των αλγορίθµων αυτών εφόσον τόσο στον πίνακα γειτνίασης µε την µορφολογία του δικτύου όσο και στον πίνακα ακµών υπάρχουν µόνο οι µπρός ακµές. Δηµιουργήσαµε ένα αντίγραφο του πίνακα γειτνίασης και προσθέσαµε για κάθε ακµή που συνδέει δύο κόµβους e = (u,v) : e Ε και u,v V την αντίστοιχη πίσω ακµή της er = (v,u) και παράλληλα προσθέσαµε και τα στοιχεία της καινούργιας πίσω ακµής στην συνδεδεµένη λίστα ακµών. Η δοµή απεικονίζεται στο παρακάτω σχήµα και την δηµιουργεί η συνάρτηση create_negative_edges. Σχήμα 14 45

54 Κάθε ακµή στον πίνακα γειτνίασης φέρει ένα ειδικό flag που όταν ισούται µε ένα τότε η ακµή είναι µπρός ακµή, όταν ισούται µε µηδέν τότε είναι πίσω ακµή που δεν έχει βρεθεί ακόµη σε κάποιο συντοµότερο µονοπάτι και όταν ισούται µε δύο τότε είναι ενεργή πίσω ακµή. Οι πίσω ακµές κατά την δηµιουργία τους, από την συνάρτηση create_negative edges, είναι όλες ανενεργές µε τιµή flag=0. Αφού δηµιουργηθεί η δοµή αυτή, ακολουθιακά για κάθε µονάδα ροής υπολογίζεται το συντοµότερο µονοπάτι. Μόλις βρεθεί, ανατίθεται στην τρέχων µονάδα ροής. Για κάθε ακµή στο συντοµότερο µονοπάτι που για πρώτη φορά χρησιµοποιείται ενεργοποιούµε το flag της, δηλαδή από µηδέν το µετατρέπουµε σε δύο και υπολογίζουµε το κόστος της κατάλληλα για τον κάθε αλγόριθµο. Η αναβάθµιση του κόστους γίνεται πάντα όταν το συντοµότερο µονοπάτι περνάει από µία µπρος ακµή. Έστω ότι έχουµε m µονάδες ροής σε µια ακµή του συντοµότερου µονοπατιού τότε θα έχουµε: Successive Shortest Path v1: ce= (m+1).d(m+1) - m.d(m) ce r = - (m.d(m) - (m-1)d(m-1)) Successive Shortest Path v2: ce= d(m+1) ce r = - d(m) Όταν το συντοµότερο µονοπάτι περνάει από µια πίσω ακµή, βασικά αυτό που γίνεται είναι ότι εκεί που προσθέταµε κατά µία µονάδα την συµφόρηση της αντίστοιχης µπρος ακµής της τώρα αφαιρούµε µία µονάδα συµφόρησης από την µπρός ακµή και αναβαθµίζουµε και το κόστος της πίσω ακµής. Έστω ότι η µπρός ακµή πριν περάσει το µονοπάτι από την πίσω αντίστοιχη ακµή είχε συµφόρηση m. Τότε έχουµε: Successive Shortest Path v1: ce= (m).d(m) - (m-1).d(m-1) ce r = - ((m-1).d(m-1) - (m-2)d(m-2)) Successive Shortest Path v2: ce= d(m) ce r = - d(m-1) 46

55 Αφού αναβαθµιστεί το κόστος των ακµών που διέσχισε το συντοµότερο µονοπάτι, πρέπει να αναβαθµιστούν οι τιµές των µεταβλητών potential που σκοπό έχουν να κανονικοποιούν τα κόστη των ακµών έτσι ώστε να µην υπάρχουν αρνητικά κόστη κατά την εύρεση του συντοµότερου µονοπατιού. Καθώς τρέχει ο Dijkstra και υπολογίζει το συντοµότερο µονοπάτι αποθηκέυουµε σε έναν πίνακα τον Dis[Ν][2] τις συντοµότερες αποστάσεις από τον κόµβο πηγή του δικτύου(s) προς όλους τους υπόλοιπους κόµβους. Η αναβάθµιση των µεταβλητών potential, µίας για κάθε κόµβο, γίνεται αφαιρόντας από την τρέχων τιµή της µεταβλητής potential του εκάστωτε κόµβου που εξετάζεται την αντίστοιχη τιµή που επιστρέφει ο Dijkstra στον πίνακα Dis. Μόλις ενηµερωθεί η τιµή της µεταβλητής potential του κάθε κόµβου ανατρέχουµε στον πίνακα γειτνίασης και για κάθε ενεργή ακµή (u,v):u,v V αποθηκευουµε το κανονικοποιηµένο της κόστος στην συνδεδεµένη λίστα ακµών αφού το υπολογίσουµε ώς εξής : cuv = cuv - π(u) + π(v). Η διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται εώς ότου δροµολογήσουµε όλες τις µονάδες ροής που ισούνται µε τον αριθµό των παικτών του παίγνιου. Τέλος υπολογίζεται συνολικό κόστος της λύσης και το κόστος της συνάρτησης δυναµικού. Σχήμα 15 47

56 Συνάρτηση Υπολογισμού ε-nash Ισορροπίας Ακολουθιακού Μοντέλου των Chien και Sinclair -Chien Sinclair Sequential- Το µοντέλο των S. Chien και A. Sinclair υπολογίζει µια ε-nash ισορροπία και είναι το βασικό µοντέλο µελέτης της διπλωµατικής αυτής εργασίας. Το πρώτο βήµα της συνάρτησης αυτής είναι η αρχικοποίηση των στρατηγικών των παικτών µε µία εκ των τριών διαθέσιµων επιλογών όπως περιγράφουµε στην συνάρτηση Best Response. Από την στιγµή που αρχικοποιηθούν οι στρατηγικές, το επόµενο βήµα είναι να εντοπίσουµε αν υπάρχουν διαθέσιµες ε-moves(κινήσεις που βελτιώνουν το κόστος του παίκτη περισσότερο από έναν παράγοντα ε). Το βήµα αυτό εκτελείται από µια συνάρτηση την Find_SP_Emove, η συνάρτηση αυτή χρησιµοποιείται και από το δεύτερο µονέλο µας το Concurrent και για τον λόγο αυτό θα την εξηγήσουµε σε ξεχωριστή παράγραφο. Find Emoves Η συνάρτηση Find Emoves για κάθε παίκτη αναδροµικά καλεί την συνάρτηση του αλγόριθµου ευρεσης συντοµότερων µονοπατιών Dijkstra και υπολογίζει ποιο είναι το συντοµότερο µονοπάτι για τον εκάστωτε παίκτη. Ο Dijkstra για να υπολογίσει το συντοµότερο µονοπάτι χρησιµοποιεί τα κόστη των ακµών µε αυξηµένη την συµφόρηση τους κατά µία µονάδα, αν µια ακµή την έχουν στην στρατηγική τους n παίκτες τότε το κόστος της είναι d(n) για τον κάθε ένα από τους n παίκτες. Οπότε ένας που ψάχνει το καλύτερο µονοπάτι, δεν θα θεωρήσει το κόστος της ακµής d(n) εφόσον αν την επιλέξει στην στρατηγική του το κόστος που θα πληρώνει για την χρήση της θα είναι d(n+1) και όχι d(n). Όµως για κάθε ακµή που συµπεριλαµβάνεται στην τρέχων στρατηγική του και έχει συµφόρηση m παίκτες και κόστος d(m), τότε στον υπολογισµό του συντοµότερου µονοπατιού αυτή και πάλι θα θεωρηθεί ότι έχει κόστος d(m) γιατί ο παίκτης χρησιµοποιεί ήδη την ακµή αυτή και αν την επιλέξει στην καινούργια του στρατηγική η συµφόρηση της θα παραµείνει η ίδια. Όποτε πριν κληθεί ο Dijkstra θα πρέπει να βρεθούν και µε ειδικό flag να σηµαδευτούν οι ακµές που συµπεριλαµβάνονται στην στρατηγική του παίκτη έτσι ώστε ο Dijkstra να υπολογίσει ορθά το συντοµότερο µονοπάτι. Όταν υπολογιστεί το συντοµότερο µονοπάτι ελέγχεται αν το κόστος του είναι µικρότερο από το κόστος της στρατηγικής του παίκτη. Αν δεν είναι, τότε η διαδικασία επαναλαµβάνεται για τον επόµενο παίκτη στην σειρά. Αν είναι, τότε µε την βοήθεια του παράγοντα ε ο οποίος είναι αποθηκευµένος σε µία γραµµή του πίνακα Ee[N] ανά παίκτη, υπολογίζεται µία τιµή ως εξής: value = (1-Ee[i])*orig_cost; Η µεταβλητή orig_cost περιέχει το κόστος του παίκτη για την στρατηγική του. Αν το κόστος του συντοµότερου µονοπατιού είναι µικρότερο από το αποτέλεσµα της συνάρτησης αυτής, τότε ο παίκτης έχει διαθέσιµη ε- move. Η τιµή του ε µπορεί να είναι ίδια για όλους τους παίκτες ή διαφορετική για τον κάθε ένα ανάλογα µε τις επιλογές του χρήστη. Η συνάρτηση Find Emoves επιστρέφει έναν πίνακα µε τους παίκτες που έχουν διαθέσιµη ε-move. 48

57 Από τους παίκτες µε διαθέσιµο ε-move υπάρχουν δύο επιλογές για τον χρήστη. Σχήμα 16 Η πρώτη επιλογή λέει ότι θα µετακινηθεί ο χρήστης µε το µεγαλύτερο κόστος. Η εύρεση του παίκτη µε το µεγαλύτερο κόστος είναι µια απλή αναζήτηση σε έναν από τους πίνακες που επιστρέφει η συνάρτηση Find Emoves. Αν περισσότεροι από έναν παίκτη πληρώνουν το ίδιο µέγιστο κόστος τότε επιλέγεται ο πρώτος που εντοπίζεται. Η δευτερη επιλογή λέει οτι θα µετακινηθεί ο χρήστης που έχει την µεγαλύτερη µείωση στο κόστος του από την ε-move. Συγκεκριµένα πρέπει να βρεθεί ο παίκτης που µεγιστοποιεί την συνάρτηση: όπου ci(s) είναι το κόστος του παίκτη i στην κατάσταση s όπου ο παίκτης παραµένει στην στρατηγική του και ci(s1,...si',...,sn) είναι το κόστος που προκύπτει αν πραγµατοποιήσει την ε-move του. Στην περίπτωση που περισσότεροι από ένα παίκτη µεγιστοποιούν το αποτέλεσµα της συνάρτησης αυτής τότε επιλέγεται ο πρώτος στην σειρά. Στην συνέχεια, πρέπει να µετακινήσουµε τον παίκτη που µας δίνει σαν αποτέλεσµα ο ένας από τους δύο πιο πάνω τρόπους. Αλλαγή Στρατηγικής Παίκτη Αρχικά, για κάθε ακµή στην παλιά στρατηγική του παίκτη που δεν περιλαµβάνεται στην ε-move του, µειώνουµε την συµφόρηση της κατά µία µονάδα. Έπειτα για κάθε παίκτη που έχει κοινή ή κοινές ακµές µε την παλιά στρατηγική του παίκτη (και οι οποίες δεν ανήκουν στην ε-move του παίκτη) υπολογίζουµε εκ νέου τα κόστη τους σύµφωνα µε την νέα συµφόρηση. Αν για παράδειγµα, πληρώναν για µια ακµή d(m) πρίν την αλλαγή της στρατηγικής του παίκτη, µετά την αλλαγή θα πληρώνουν d(m-1). Το επόµενο βήµα είναι η ανάθεση του ε-move, δηλαδή της νέας στρατηγικής στον παίκτη. Για να γίνει αυτό, πρέπει να αφαιρεθεί η παλιά στρατηγική του παίκτη από τον πίνακα γειτνίασης στρατηγικών και να προστεθεί η καινούργια. Για κάθε ακµή της καινούργιας στρατηγικής αυξάνουµε την συµφόρηση της κατά µία µονάδα, εκτός και αν η ακµή βρισκόταν και στην παλιά στρατηγική του παίκτη, υπολογίζουµε το νέο της κόστος και τέλος για κάθε παίκτη που έχει κοινές ακµές µε την καινούργια αυτή στρατηγική υπολογίζουµε ξανά το κόστος τους εφόσον έχει αυξηθεί. 49

58 Αφού ολοκληρωθεί και αυτό το βήµα, ακολουθείται η ίδια διαδικασία επαναληπτικά εώς ότου δεν υπάρχουν διαθέσιµες ε-move για κανέναν παίκτη. Μόλις λοιπόν τελειώσει αυτή η επανάληψη, υπολογίζεται το συνολικό κόστος που κατέληξε η ε-nash ισορροπία, το τελικό αποτέλεσµα της συνάρτησης δυναµικού, το πλήθος των αλλαγών στρατηγικών που χρειάστηκαν για να συκλίνει το µοντέλο και ο µέσος όρος του ποσοστού του πλήθους των επιτυχών προσπαθειών των παικτών να αλλάξουν στρατηγική, ως προς το πλήθος των παικτών που είχαν διαθέσιµη κίνηση αλλαγής στρατηγικής(ε-move). Σχήμα 17 Συνάρτηση Υπολογισμού ε-nash Ισορροπίας Μοντέλου που Επιτρέπει Ταυτόχρονες Αλλαγές Στρατηγικών -Concurrent Protocol- Η συνάρτηση Concurrent Protocol υπολογίζει όπως και η συνάρτηση Chien Sinclair Sequential µια ε-nash ισορροπία. Η βασική τους διαφορά είναι ότι στο µοντέλο των S. Chien και A. Sinclair οι αλλαγές στρατηγικών γίνονται ακολουθιακά ενώ στο µοντέλο µας ένας αριθµός των διαθέσιµων ε-move γίνονται ταυτόχρονα. Η συνάρτηση Concurrent Protocol όπως και η συνάρτηση Chien Sinclair Sequential καλεί την συνάρτηση Find Emoves για να βρεί ποιοι παίκτες έχουν διαθέσιµη ε-move. Αφού τους εντοπίσει τότε µε µια πιθανότητα που επιλέγεται από τον προγραµµατιστή κάθε παίκτης µε διαθέσιµο ε-move είναι είτε ενεργός είτε ανενεργός. Από τους ενεργούς παίκτες βρίσκουµε µε χρήση ενός από τους πίνακες που επιστρέφει η συνάρτηση Find Emoves την τιµή που µεγιστοποιεί την συνάρτηση diff=ci(s)-ci(s'). Έπειτα για κάθε παίκτη ενεργό µε διαθέσιµη ε-move του οποίου το κόστος που προκύπτει από την αλλαγή της στρατηγική του, είναι µεγαλύτερο από ένα ποσοστό της τιµής που µεγιστοποιεί την πιο πάνω συνάρτηση δηλαδή, diff(pi) > a.max(diff(pi)) τότε ο παίκτης δικαιούται να προβεί στην αλλαγή της στρατηγικής του. Οπότε έχουµε πλέον ένα πλήθος από παίκτες που πρόκειται να αλλάξουν ταυτόχρονα τις στρατηγικές τους. Για να το επιτύχουν σωστά αυτό και να είναι συνεπές το δίκτυο, δηµιουργήθηκε ένας βοηθητικός πίνακας γειτνίασης στρατηγικών που περιέχει για κάθε παίκτη που πρόκειται να κινηθεί την νέα του στρατηγική. Αναδροµικά για κάθε παίκτη που πρόκειται να αλλάξει στρατηγική, ακολουθούµε την διαδικασία που περιγράφτηκε στην συνάρτηση Chien Sinclair Sequential ως αλλαγή στρατηγικής παίκτη. 50

59 Σχήμα 18 Αφού ολοκληρωθεί και αυτό το βήµα, ακολουθείται η ίδια διαδικασία επαναληπτικά εώς ότου δεν υπάρχουν διαθέσιµες ε-move για κανέναν παίκτη. Μόλις λοιπόν τελειώσει αυτή η επανάληψη, υπολογίζεται το συνολικό κόστος που κατέληξε η ε-nash ισορροπία, το τελικό αποτέλεσµα της συνάρτησης δυναµικού, το πλήθος των γύρων που και το πλήθος των αλλαγών στρατηγικών που χρειάστηκαν για να συκλίνει το µοντέλο καθώς και τον µέσο όρο του ποσοστού του πλήθους των επιτυχών προσπαθειών των παικτών να αλλάξουν στρατηγική ως προς το πλήθος των παικτών που είχαν διαθέσιµη κίνηση αλλαγής στρατηγικής(ε-move). Σχήμα19 51

60 Τεχνικά Χαρακτηριστικά Υλοποίησης Η υλοποίηση των µοντέλων µας έγινε στην γλώσσα προγραµµατισµού C χρησιµοποιώντας τον compiler gcc Σχήμα 20 Για να τρέξει το πρόγραµµα θα πρέπει να γίνει πρώτα compile για να παραχθεί το εκτελέσιµο αρχείο. Σχήμα 21 Με την εντολη gcc main.c γίνεται compile το αρχείο c µε το όνοµα main και το εκτελέσιµο αρχείο που παράγεται, έχει το όνοµα output. Στη συνέχεια για να τρέξει το πρόγραµµα πρέπει να ακολουθήσει η εντολή./output net.txt όπου output είναι το εκτελέσιµο αρχείο και net.txt είναι το αρχείο κειµένου που περιέχει το δίκτυο. 52

61 Πειραματικά Αποτελέσματα και Αξιολόγηση Για την πειραµατική αξιολόγηση των µοντέλων µας, πραγµατοποιήθηκε πληθώρα πειραµάτων σε τρία είδη δικτύων. Για κάθε τοπολογία δικτύου δηµιουργήσαµε δύο δίκτυα. Το ένα µε γραµµικές συναρτήσεις καθυστέρησης στις ακµές του και το άλλο µε πολυωνυµικές συναρτήσεις το πολλή τρίτου βαθµού. Για κάθε ένα από τα έξι δίκτυα, φτιάξαµε το ελάχιστο τέσσερα διαφορετικά πειράµατα. Σε κάθε πείραµα έγινε ένας συνδυασµός επιλογών. Έπρεπε να µελετήσουµε την επίδραση που έχει η αρχικοποίηση των στρατηγικών των παικτών στην εξέλιξη του παίγνιου και συγκεκριµένα να εξετάσουµε τι συµβαίνει όταν το παίγνιο ξεκινήσει µε τους παίκτες να έχουν όλοι τις ίδιες στρατηγικές και τι συµβαίνει όταν έχει ανατεθεί τυχαία µια στρατηγική σε κάθε παίκτη. Για κάθε µία από τις επιλογές αρχικοποίησης, έγιναν δύο πειράµατα. Τα πειράµατα αυτά αφορούσαν την επίδραση της τιµής του παράγοντα ε στην εξέλιξη του παίγνιου. Το πρώτο πείραµα είχε την τιµή ε = 0.1 και το δεύτερο ε = Έπειτα, τρέχαµε και ένα πείραµα µε τυχαίες τιµές του παράγοντα ε για κάθε παίκτη. Στο µοντέλο που επιτρέπει ταυτόχρονες αλλαγές στρατηγικών των παικτών -Concurrent Protocol- ξεκινήσαµε όλα τα πειράµατα µε πιθανότητα να είναι ενεργός ένας παίκτης που διαθέτει ε-move να ισούται µε 0.5 και αν η αλλαγή της στρατηγικής του θα του επέφερε τουλάχιστον ένα ποσοστό a της µείωσης που θα είχε ο παίκτης µε το καλύτερο ε- move(αρχικά το a = 76%), τότε του επιτρεπόταν να αλλάξει την στρατηγική του. Σε περίπτωση που αργούσε πολύ να συγκλίνει ο αλγόριθµος είτε µειώναµε την πιθανότητα να είναι ενεργός ο παίκτης, είτε αυξάναµε το ποσοστό a. Σε κάθε πείραµα µελετήσαµε την απόδοση των µοντέλων µας για παίγνια µε πλήθος παικτών που κυµαίνεται στο πεδίο [100,10000] και συγκεκριµένα για τις τιµές: , 500, 700, 1000, 2000, 4000, 6000, 8000 και Στο σχήµα που ακολουθεί δείχνουµε ένα δείγµα από την µορφή των αποτελεσµάτων. Σχήμα 22 53

62 Τα σχήµατα 23, 24 και 25 απεικονίζουν τις τοπολογίες των δικτύων που χρησιµοποιήσαµε για τα πειράµατα µας. Το πρώτο, είναι ένα δίκτυο πλέγµατος 5x5, όπου s ο κόµβος πηγής και t ο κόµβος προορισµού. Το δεύτερο, είναι ένα δίκτυο mesh εννέα κόµβων και το τρίτο ένα δίκτυο Braess. Σχήμα 23 Σχήμα 24 54

63 55

64 Δομή Αφού παρουσιάσουµε την απαραίτητη ορολογία για τα πειράµατα, το κεφάλαιο αυτό θα χωρισθεί σε τέσσερεις ενότητες, µία για κάθε δίκτυο µε την εξής σειρά: Δίκτυο Grid Δίκτυο Mesh Δίκτυο Braess και µια τελευταία ενότητα µε τα συµπεράσµατα της Διπλωµατικής αυτής εργασίας. Ορολογία Για την περιγραφή του τρόπου αρχικοποίησης των στρατηγικών των παικτών στο συµµετρικό παίγνιο συµφόρησης δικτύου χρησιµοποιούµε τους όρους: same path Για την αρχικοποίηση των στρατηγικών των παικτών στο ίδιο καλύτερο µονοπάτι. random path Για την τυχαία αρχικοποίηση στρατηγικής σε κάθε παίκτη ξεχωριστά. Στο µοντέλο των Chien και Sinclair γίνεται περιγραφή δύο επιλογών για την απόφαση του ποιος παίκτης από το σύνολο των παικτών που έχουν διαθέσιµο ε-move θα του επιτραπεί να αλλάξει την στρατηγική του. heaviest first Δίνεται το δικαίωµα στον παικτη µε το µεγαλύτερο κόστος να αλλάξει την στρατηγική του. max relative gain Ο παίκτης που θα αλλάξει την στρατηγική του θα είναι αυτός που µεγιστοποιεί την συνάρτηση 1. Ο όρος Price of Stability είναι η αναλογία του συνολικού κόστους του εκάστωτε µοντέλου που θα µελετάµε προς το κόστος της βέλτιστης λύσης. #Rounds είναι το πλήθος των γύρων που χρειάστηκαν τα µοντέλα µέχρι να συγκλίνουν σε µία ε-nash ισορροπία #Migrations είναι το πλήθος των αλλαγών στρατηγικών που επιτεύχθησαν σε ένα παίγνιο µέχρι να συγκλίνει σε µια ε-nash ισορροπία. 56

65 1ο Πείραμα Δικτύου Grid Το πρώτο µας πειραµατικό αποτέλεσµα αφορά το δίκτυο πλέγµατος του σχήµατος 23 µε συναρτήσεις καθυστέρησης στις ακµές του πολυωνυµικές το πολλή τρίτου βαθµού. Μελετήσαµε την εξέλιξη του παίγνιου ξεκινώντας το παίγνιο από τις δύο διαφορετικές καταστάσεις same path και random path. Μελετήσαµε την επίδραση του παράγοντα ε όταν ισούται µε 0.1, µε 0.01 και όταν είναι διαφορετικός για κάθε παίκτη. Κατόπιν µελετήσαµε τι συµβαίνει στην πολιτική που προτείνουν οι S. Chien και A. Sinclair όταν σε κάθε γύρο επιλέγεται να µετακινηθεί ο παίκτης που έχει το µεγαλύτερο κόστος (heaviest first) και τι συµβαίνει όταν ο παίκτης που επιλέγεται να µετακινηθεί είναι αυτός που µεγιστοποιεί την συνάρτηση 1 (max relative gain). Η πρώτη µας γραφική παράσταση δείχνει τον βαθµό προσέγγισης της βέλτιστης λύσης - Price of Stability- από τα µοντέλα µας όταν η αρχική κατάσταση είναι η same path και ε=0.1. Όσο πιο κοντά στην τιµή 1 βρίσκονται οι τιµές τους, τόσο τα µοντέλα µας προσεγγίζουν την βέλτιστη λύση. Το πρώτο που παρατηρούµε είναι ότι τα αποτελέσµατα των µοντέλων µας είναι πάρα πολύ κοντά στην τιµή της βέλτιστης λύσης και ιδιαίτερα όταν είναι µεγάλο το πλήθος των παικτών που λαµβάνουν µέρος στο παίγνιο. Πιο προσεκτικά, παρατηρούµε ότι η πολιτική Best Response δεν κατέληξε σε µια καλή Nash ισορροπία συγκριτικά µε τα δύο µοντέλα µας. Για πλήθος παικτών N > 500 την καλύτερη απόδοση έχει η Chien Sinclair Sequential Heaviest First και την ακολουθεί το Concurrent Protocol το οποίο έχει σταθερά µια καλή απόδοση σε όλα τα πλήθη παικτών. 57

66 Οι γραφικές παραστάσεις αυτές δείχνουν το συνολικό κόστος των µοντέλων µας, του Best Response και το κόστος της βέλτιστης λύσης που υπολογίζεται από τον αλγόριθµο Successive Shortest Path v1. Δεν θα παραθέσουµε άλλες τέτoιου είδους γραφικές γιατί τα ίδια συµπεράσµατα µπορούµε να τα εξάγουµε από την γραφική που µας δείχνει το price of stability. Για όλα τα πειράµατα υπάρχουν διαθέσιµα όλα τα πειραµατικά αποτελέσµατα σε cd δεδοµένων. Όπως είδαµε από τις πιο πάνω γραφικές παραστάσεις τα µοντέλα µας έχουν αρκετά καλά αποτελέσµατα. Πόσα όµως βήµατα απαιτήθηκαν για την εξαγωγή τους; Την απάντηση θα την λάβουµε από τις γραφικές παραστάσεις που ακολουθούν: Οι γραφικές αυτές µας δείχνουν πόσοι γύροι και πόσες αλλαγές στρατηγικών απαιτήθηκαν για να συγκλίνουν τα µοντέλα µας σε µια ε-nash ισορροπία σε κάθε ένα από τα δέκα παίγνια µε διαφορετικό πλήθος παικτών το κάθε ένα που τρέξαµε. Παρατηρούµε λοιπόν ότι για το µοντέλο των Chien και Sinclair απαιτήθηκαν 1,05*Ν γύροι περίπου για να συγκλίνει σε µια ε-nash ισορροπία. Σε κάθε γύρο του µοντέλου των Chien και Sinclair αλλάζει µόνο ένας παίκτης στρατηγική, οπότε το πλήθος των γύρων ισούται µε το πλήθος των αλλαγών στρατηγικών(migrations). Στο Concurrent Protocol έχουµε ένα πολύ µικρό αριθµό γύρων αναλογικά µε το πλήθος των παικτών εκτός στο 58

67 σηµείο των 2000 παικτών όπου το παίγνιο συγκλίνει σε 480 γύρους και αλλαγές στρατηγικών, που ούτε το ένα νούµερο είναι καλό ούτε το άλλο. Γενικώς παρατηρούµε ότι για µεγάλα πλήθη παικτών το Concurrent Protocol αν και παρουσιάζει σταθερά καλά αποτελέσµατα όσον αφορά τον βαθµό προσέγγισης της βέλτιστης λύσης απαιτεί για να συγκλίνει πολύ περισσότερα βήµατα από το ακολουθιακό µοντέλο. Η γραφική αυτή παράσταση δείχνει κατά µέσο όρο από τα διαθέσιµα ε-move που είχαν οι παίκτες σε τί ποσοστό τα πραγµατοποίησαν. Παρατηρούµε ότι όσο µικραίνει το ποσοστό migration αυξάνονται οι γύροι του παίγνιου και το συνολικό πλήθος των migration. Παρατηρούµε στους παίκτες πολύ υψηλό ποσοστό migration στον concurrent protocol οι οποίες πραγµατοποιήθηκαν µόλις σε 118 γύρους µε µέσο όρο 420 ταυτόχρονες αλλαγές στρατηγικών ανά γύρο. Εξετάζοντας και τον βαθµό προσέγγισης βλέπουµε ότι το συνολικό κόστος του concurrent protocol είναι πιο κοντά στην βέλτιστη λύση από ποτέ. Αν µειώναµε την πιθανότητα ενεργοποίησης των παικτών παράλληλα µε τα καλά αποτελέσµατα ως προς το κόστος το concurrent protocol θα σύγκλινε µε λιγότερα migrations. Στην συνέχεια µελετάµε την εξέλιξη του παίγνιου για αρχική κατάσταση random path όταν το ε=0.1 και όταν είναι διαφορετικό για κάθε παίκτη και συγκρίνουµε τα αποτελέσµατα µε το same path που µόλις περιγράψαµε. 59

68 ε = 0.1 Αρχική Κατάσταση Random Path ε τυχαίο για κάθε παίκτη 60

69 Μελετώντας τις γραφικές παραστάσεις παρατηρούµε ότι τόσο ο Best Response όσο και ο Chien Sinclair Sequential έχουν καλύτερα αποτελέσµατα όταν αρχικοποιηθούν στην κατάσταση random path. Συγκεκριµένα ο Chien Sinclair Sequential όχι µόνο έχει µικρότερο συνολικό κόστος στο random path αλλά συγκλίνει και σε 0.7*Ν περίπου γύρους. O Concurrent Protocol από την άλλη µεριά έχει καλύτερα αποτελέσµατα όταν αρχικοποιείται στο same path. Οι κόκκινες γραµµές στις γραφικές παραστάσεις δείχνουν τα σηµεία όπου µειώσαµε την πιθανότητα ενεργοποίησης των παικτών, όταν στην προηγούµενη µέτρηση αργούσε ο Concurrent Protocol να συγκλίσει. Αυτό έγινε στους 4000 παίκτες στην περίπτωση που οι παίκτες έχουν διαφορετικά ε και στους 6000 όταν το ε=0.1. Το µειώθηκε από 1/2 σε 1/3. Μετά την µειωσή του παρατηρούµε ότι και στις δύο περιπτώσεις (ε =0.1 και ε διαφορετικό) σύγκλινε σε φυσιολογικό αριθµό βηµάτων και migrations εν αντιθέση µε το same path όπου αν και έφερε καλύτερα αποτελέσµατα άργησε να συγκλίσει. Όταν τα ε είναι κατανεµηµένα τυχαία στους χρήστες και τα δύο µοντέλα συγκλίνουν πολύ γρήγορα µε λιγότερους γύρους και migrations από όταν το ε ήταν ίσο µε 0.1. Το Concurrent Protocol δεν έχει µεγάλη διαφορά κόστους από το όταν το ε=0.1(random path) αλλά έχει αρκετή διαφορά όταν το ε=0.1 και έχουµε αρχικοποίηση same path. Ο Chien Sinclair Sequential Heaviest First παρατηρούµε ότι έχει µικρότερο συνολικό κόστος από τον Chien Sinclair Sequential και από τον Concurrent Protocol για αρχικοποίηση same path. Σε συνδιασµό µε την παρακάτω γραφική παράσταση συµπεραίνουµε ότι µάλιστα συγκλίνει και σε 0.7*Ν περίπου γύρους, δηλαδή όσους και ο Chien Sinclair Sequential στο random path. 61

70 Στις γραφικές που ακολουθούν δείχνουµε για 500 παίκτες πόσες αλλαγές στρατηγικών έγιναν σε κάθε γύρο µέχρι να συγκλίνει το παίγνιο σε µια ε-nash ισορροπία. 62

71 Δίκτυο Grid µε Γραµµικές Συναρτήσεις Καθυστέρησης ε = 0.1 same path random path 63

72 Στο δίκτυο πλέγµατος µε γραµµικές συναρτήσεις καθυστέρησης στις ακµές του παρατηρούµε ότι ο Best Response υπολογίζει µια πάρα πολύ καλή ισορροπία Nash και στις δύο περιπτώσεις αρχικοποίησης στρατηγικών και ιδιαίτερα καλά αποτελέσµατα έχει στο random path. O Chien Sinclair Sequential στο same path χρειάζεται περίπου 0.75*Ν γύρους για να συγκλίσει ενώ στο random path χρειάζεται λιγότερους από Ν/2 γύρους και υπολογίζει και καλύτερη ε-nash ισορροπία. Ο Concurrent Protocol έχει περίπου την ίδια συµπεριφορά και στις δύο αρχικοποιήσεις στρατηγικών µε ελαφρά καλύτερη την same path στην οποία όµως απαιτούνται 4*Ν περίπου αλλαγές στρατηγικών για να συγκλίσει ενώ στην random path απαιτεί λιγότερες από Ν αλλαγές στρατηγικών για να συγκλίσει. Στο same path ο Concurrent Protocol είναι αισθητά καλύτερος ως προς τον βαθµό σύγκλισης από τον Chien Sinclair Sequential ενώ στο random path έχουν περίπου ίδια συµπεριφορά. Ο Chien Sinclair Sequential Heaviest First στο random path έχει µεγαλύτερο συνολικό κόστος από τον Chien Sinclair Sequential συγκλίνει όµως σε Ν/4 γύρους, αρκετά γρηγορότερα από τον Chien Sinclair Sequential. 64

73 Παρατηρούµε τον αριθµό των αλλαγών στρατηγικών σε ένα παίγνιο των 500 παικτών για τις αρχικοποιήσεις same path και random path. Βλέπουµε το Concurrent Protocol να συγκλίνει σχεδόν σε τριπλάσιους γύρους στο same path από ότι στο random path και σε κάθε γύρο έχουµε αρκετά migrations. Όσο το πλήθος των παικτών µεγαλώνει, µεγαλώνει και το πλήθος των migration στο same path εν αντιθέσει µε το random path που διατηρείται σταθερό και µικρότερο από Ν. 65

74 Δίκτυο Grid µε Γραµµικές Συναρτήσεις Καθυστέρησης ε = same path- Όταν το ε=0.01 το µοντέλο Chien Sinclair Sequential συγκλίνει σε µία πολύ καλή ε-nash ισορροπία σε 0.8*Ν εώς και 1.2*Ν γύρους ανεξαρτήτα από την αρχικοποίηση. Το αποτέλεσµα αυτό είναι πολύ καλό και ισχύει και για το πλέγµα µε πολυωνυµικές συναρτήσεις καθυστέρησης. Το Concurrent Protocol αν και συγκλίνει πολύ κοντά στην βέλτιστη λύση αργεί πολύ να συγκλίσει, κατά την διαξαγωγή του πειράµατος µειώσαµε την πιθανότητα ενεργοποίησης των παικτών µε διαθέσιµη ε-move στους 700 παίκτες στο 1/3 και στους 8000 στο 1/4 για να συγκλίσει πιο νωρίς. 66

75 Δίκτυο Mesh µε Πολυωνυµικές Συναρτήσεις Καθυστέρησης ε = 0.1 same path random path 67

76 Στο δίκτυο mesh µε πολυωνυµικές µη φθίνουσες συναρτήσεις καθυστέρησης στις ακµές του, παρατηρούµε τον Chien Sinclair Sequential να µας δίνει πολύ καλές συγκλίσεις σε ε- Nash ισορροπία ιδιαίτερα όταν γίνεται τυχαία αρχικοποίηση των στρατηγικών των παικτών(random path). Συγκεκριµένα όχι µόνο συγκλίνει µε µικρότερο κόστος από ότι στο same path αλλά συγκλίνει και σε λιγότερους γύρους αντί 0.98*Ν γύρους που χρειάζεται στο same path συγκλίνει σε 0.9*Ν περίπου γύρους. Ο Chien Sinclair Sequential Heavest First στο same path χρειάζεται όσους γύρους και ο Chien Sinclair Sequential και τα αποτελέσµατα τους είναι σχεδόν ίσα. Η εφαρµογή όµως του Chien Sinclair Sequential Heavest First στο random path βγάζει χειρότερα απότελέσµατα από ότι στο same path συγκλίνει όµως πολύ γρήγορα σε 0.75*Ν περίπου γύρους. Ο Best Response παρατηρούµε ότι στο random path έχει καλύτερο βαθµό σύγκλισης στην βέλτιστη λύση, κάτι που παρατηρήσαµε και στο δίκτυο grid. Ο Concurrent Protocol έχει περίπου ίδιο βαθµό σύγκλισης ανεξαρτήτως αρχικής κατάστασης, είναι λίγο καλύτερος στο same path. Παρατηρούµε ότι στο same path όσο αυξάνει ο αριθµός των παικτών, τόσο το πλήθος των γύρων όσο και το πλήθος των migration αυξάνεται πολύ, αυξάνεται όµως οµαλά ( , , , ) κάτι που δεν ισχύει στο random path στο οποίο ο αριθµός migration αν και πάρα πολύ µικρότερος από το same path δεν έχει καθόλου οµαλή κατανοµή. Μειώνοντας την πιθανότητα ενεργοποίησης των παικτών στους 6000 παίκτες στο random path παρατηρούµε ότι αρχίζει να συγκλίνει σε λιγότερους γύρους και migration. 68

77 Στις γραφικές που ακολουθούν δείχνουµε για 500 παίκτες πόσες αλλαγές στρατηγικών έγιναν σε κάθε γύρο µέχρι να συγκλίνει το παίγνιο σε µια ε-nash ισορροπία. Παρατηρούµε ότι όταν τα ε είναι διαφορετικά στους παίκτες στο same path ο αριθµός migration µειώνεται οµαλά όµως χρειάζονται σχεδόν τριπλάσιοι γύροι για να συγκλίσει το Concurrent Protocol σε µια ε-nash ισορροπία. Πολλούς γύρους για να συγκλίσει χρειάζεται και στο random path όπου στους αρχικούς γύρους έχουµε µικρό αριθµό migration και µετά αυξάνεται απότοµα και ξαναπέφτει. 69

78 Δίκτυο Mesh µε Γραµµικές Συναρτήσεις Καθυστέρησης ε = 0.1 same path random path 70

79 Παρατηρούµε στις γραφικές παραστάσεις του Price of Stability ότι ο Best Response για Ν > 500 και random path η ισορροπία Nash που υπολογίζει είναι και η βέλτιστη λύση σχεδόν. Όταν το παίγνιο έχει µικρό αριθµό παικτών παρατηρούµε ότι ο Best Response έχει καλύτερη απόδοση όταν έχουµε same path αρχικοποίηση. Ο Cocurrent Protocol και σε αυτή την περίπτωση έχει καλύτερα αποτελέσµατα προσέγγισης όταν ξεκινάει από same path, συκλίνει σε ελάχιστους γύρους µε λιγότερα migrations από ότι στο random path αλλά εξακολουθεί να χρειάζεται πολλά migrations για την σύγκλιση. Ο Chien Sinclair Sequential παρατηρούµε παρόµοια συµπεριφορά συγκλίσης και στις δύο περιπτώσεις αρχικοποίησης µόνο που χρειάζεται περισσότερους γύρους στο random path για να συγκλίνει. Οι πίνακες δείχνουν το συνολικό κόστος που κατέληξαν οι αλγόριθµοι για αρχική κατάσταση same path(ροζ) και για random path (πράσινο) 71

80 Δίκτυο Braess µε Πολυωνυµικές Συναρτήσεις Καθυστέρησης ε = 0.1 same path random path 72

81 Στο δίκτυο Braess µε πολυωνυµικές συναρτήσεις καθυστέρησης παρατηρούµε ότι τόσο στον Chien Sinclair Sequential όσο και στο Concurrent Protocol όταν το παίγνιο αρχικοποιείται στην κατάσταση same path το συνολικό κόστος των ε-nash ισορροπιών είναι µικρότερο από το κόστος που προκύπτει από την αρχικοποίηση random path. Ο Chien Sinclair Sequential παρουσιάζει µια σταθερή κατάσταση για οποιοδήποτε πλήθος παικτών. Παρατηρούµε ότι στην random path αρχικοποίηση συγκλίνει εξαιρετικά γρήγορα σε λιγότερους από Ν/2 γύρους εν αντιθέση µε την κατάσταση αρχικοποίησης same path που χρειάζεται περίπου 0,75*Ν γύρους σύγκλισης. Όταν στο random path µελετάµε την πορεία του Chien Sinclair Sequential µε του Chien Sinclair Sequential Heaviest First παρατηρούµε ότι ο δεύτερος συγκλίνει σε µια ε-nash ισορροπία σε περίπου 0.20*Ν γύρους, η γρηγορότερη σύγκλιση µέχρι στιγµής, βέβαια αυτό έχει αντίκτυπο στο συνολικό κόστος αλλά και πάλι όλα τα αποτελέσµατα είναι πάρα πολύ κοντά στην βέλτιστη λύση. Το Concurrent Protocol έχει µια ασταθή πορεία σύγκλισης µε τον αριθµό των migration στην αρχικοποίηση same path να είναι εξαιρετικά µεγάλος σε λίγους µόνο γύρους. Στο random path, εκτός από τα παίγνια µε 500 και 4000 παίκτες όπου είχαµε µεγάλο αριθµό migrations σε όλα τα υπόλοιπα παίγνια ο αριθµός migrations ήταν αρκετά ικανοποιητικός. 73

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΑ ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΑ ΙΔΙΟΤΕΛΟΥΣ ΕΠΑΝΑΔΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗΣ Η Διπλωµατική Εργασία παρουσιάστηκε ενώπιον του Διδακτικού Προσωπικού

Διαβάστε περισσότερα

Ανταγωνιστική Ανάθεση Πόρων και Παίγνια Συμφόρησης

Ανταγωνιστική Ανάθεση Πόρων και Παίγνια Συμφόρησης Ανταγωνιστική Ανάθεση Πόρων και Παίγνια Συμφόρησης Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μοντέλο Ανάθεσης Πόρων Σύνολο πόρων Ε = { e 1,, e

Διαβάστε περισσότερα

παίγνια και δίκτυα Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

παίγνια και δίκτυα Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών παίγνια και δίκτυα Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών 1 Διαδίκτυο (1) Είναι µάλλον αποδεκτό ότι το Διαδίκτυο έχει ξεπεράσει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και

Διαβάστε περισσότερα

Ανταγωνιστική Ανάθεση Πόρων και Παίγνια Συμφόρησης

Ανταγωνιστική Ανάθεση Πόρων και Παίγνια Συμφόρησης Ανταγωνιστική Ανάθεση Πόρων και Παίγνια Συμφόρησης ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συστήματα με Ιδιοτελείς (και Ανταγωνιστικούς) Χρήστες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς Μάθηµα : Overview Of The Algorithmic Game Theory Ηµεροµηνία : 007/04/19 Σηµειώσεις : Ελενα Χατζηγιωργάκη,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων: Εισαγωγή και Βασικές Έννοιες

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων: Εισαγωγή και Βασικές Έννοιες Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων: Εισαγωγή και Βασικές Έννοιες ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πολύπλοκα Συστήματα αποτελούνται από πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Μεικτές στρατηγικές σε παίγνια 2 Σημεία ισορροπίας: Ύπαρξη Δεν έχουν όλα τα παίγνια σημείο ισορροπίας Π.χ. Το Matching

Διαβάστε περισσότερα

Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1

Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Σημεία ισορροπίας Nash: Yπάρχουν πάντα; Έχουν όλα τα παίγνια σημείο ισορροπίας; - Ναι, στην εξιδανικευμένη

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων ιδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πολύπλοκα Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Λύσεις 2η σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 18 Μαίου 2015 Πρόβλημα 1. (14

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 1 η Διάλεξη Ορισμός Θεωρίας Παιγνίων και Παιγνίου Κατηγοριοποίηση παιγνίων Επίλυση παιγνίου Αξία (τιμή) παιγνίου Δίκαιο παίγνιο Αναπαράσταση Παιγνίου Με πίνακα Με

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. Ιωάννα Καντζάβελου. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1

Ασκήσεις. Ιωάννα Καντζάβελου. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Ασκήσεις Ιωάννα Καντζάβελου Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 1. Επιλογή Διαδρομής 2. Παραλλαγή του Matching Pennies 3. Επίλυση Matching Pennies με Βέλτιστες Αποκρίσεις 4. Επίλυση BoS με Βέλτιστες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων. Ε. Μαρκάκης. Επικ.

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Παίγνια πολλών παικτών 2 Παίγνια με > 2 παίκτες Όλοι οι ορισμοί που

Διαβάστε περισσότερα

/ / 38

/ / 38 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-37: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 205-6 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 0 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση. Ο Κώστας πηγαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Παίγνια Συμφόρησης. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Παίγνια Συμφόρησης. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Παίγνια Συμφόρησης ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μοντέλο Ανάθεσης Πόρων Σύνολο πόρων Ε = { e 1,, e m }. Πόροι: ακμές δικτύου, υπηρεσίες

Διαβάστε περισσότερα

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια;

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια; HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι οι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Λύσεις παιγνίων 2 Επιλέγοντας στρατηγική... Δεδομένου ενός παιγνίου, τι στρατηγική πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Τι είναι η Θεωρία Παιγνίων? Quote από το βιβλίο του Osborne: Game Theory aims to help us understand situawons in which decision makers interact

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών 1 Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ της Κωτσογιάννη Μαριάννας Περίληψη 1. Αντικείµενο- Σκοπός Αντικείµενο της διπλωµατικής αυτής εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων - Ορισμός. Αν οι επιλογές μιας επιχείρησης εξαρτώνται από την αναμενόμενη αντίδραση των υπόλοιπων επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά, τότε υπάρχει στρατηγική αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο (α) Αµιγείς Στρατηγικές (β) Μεικτές Στρατηγικές (α) Αµιγείς Στρατηγικές. Επαναλαµβάνουµε:

Κεφάλαιο 2ο (α) Αµιγείς Στρατηγικές (β) Μεικτές Στρατηγικές (α) Αµιγείς Στρατηγικές. Επαναλαµβάνουµε: Κεφάλαιο 2 ο Μέχρι τώρα δώσαµε τα στοιχεία ενός παιγνίου σε µορφή δέντρου και σε µορφή µήτρας. Τώρα θα ορίσουµε τη στρατηγική στην αναλυτική µορφή του παιγνίου (η στρατηγική ορίζεται από κάθε στήλη ή γραµµή

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Τρίτη 15 Ιανουαρίου 2008 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (13:00-16:00) ΘΕΜΑ 1 ο (2,5

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

Παίγνια Συμφόρησης και Ανταγωνιστική Ανάθεση Πόρων

Παίγνια Συμφόρησης και Ανταγωνιστική Ανάθεση Πόρων Παίγνια Συμφόρησης και Ανταγωνιστική Ανάθεση Πόρων Δημήτρης Φωτάκης Πολύπλοκα Συστήματα αποτελούνται από πολλές (ετερογενείς) συνιστώσες που αλληλεπιδρούν. Συμπεριφορά συστήματος δεν συνάγεται από χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να - Παράδειγμα. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να αποκρούσει ένας τερματοφύλακας. - Αν οι δύο παίκτες επιλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ

ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ (Kεφ. 10) ΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗ Χαρακτηριστικά Στρατηγικές ροµολόγησης Παραδείγµατα Βιβλίο Μαθήµατος: Επικοινωνίες Υπολογιστών & εδοµένων, William Stallings, 6/e, 2000. ΕΥ - κεφ.10 (2/3)

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους

Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους Περίληψη Επίλυση προβληµάτων χρησιµοποιώντας Greedy Αλγόριθµους Ελάχιστα Δέντρα Επικάλυψης Αλγόριθµος του Prim Αλγόριθµος του Kruskal Πρόβληµα Ελάχιστης Απόστασης

Διαβάστε περισσότερα

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand

Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τι θα πούμε Θα εξετάσουμε αναλυτικά το μοντέλο Cournot

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων

Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Εκδόσεις Κριτική Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Ύλη για τη Μίκρο ΙΙ: κεφάλαιο 29.1, 29.2, 29.4, 29.7, 29.8 Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems

HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems Ημερομηνία Παράδοσης: 0/1/017 την ώρα του μαθήματος ή με email: mkarabin@csd.uoc.gr Γενικές Οδηγίες α) Επιτρέπεται η αναζήτηση στο Internet και στην βιβλιοθήκη

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Πολίτη Όλγα Α.Μ. 4528 Εξάµηνο 8ο Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Άσκηση Προσομοίωσης Στατιστικές Εξόδου Ουράς Μ/Μ/1 - Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών Μ/Μ/1 - Θεώρημα Jackson

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Άσκηση Προσομοίωσης Στατιστικές Εξόδου Ουράς Μ/Μ/1 - Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών Μ/Μ/1 - Θεώρημα Jackson ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Άσκηση Προσομοίωσης Στατιστικές Εξόδου Ουράς Μ/Μ/1 - Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών Μ/Μ/1 - Θεώρημα Jackson Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 26/4/2017 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων ΕΚΠΑ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μικροοικονομική Θεωρία ΙΙ Εαρινό εξάμηνο Ακαδ. έτους 08-09 Αν. Παπανδρέου, Φ. Κουραντή, Ηρ. Κόλλιας Δεύτερο πακέτο ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης Παρασκευή 0 Μαϊου. Θα υπάρξει

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Πέµπτη, 19/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι έχουµε δει µέχρι τώρα Κατευθυνόµενοι µη κατευθυνόµενοι

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks) Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούµενο Μάθηµα: Κυρίαρχη Στρατηγική- Κυριαρχούµενη στρατηγική-nash equilibrium Μια στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών. Ιωάννης Παραβάντης. Επίκουρος Καθηγητής. Απρίλιος 2016

Τμήμα Διεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών. Ιωάννης Παραβάντης. Επίκουρος Καθηγητής. Απρίλιος 2016 Τμήμα Διεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Απρίλιος 2016 Το κλασσικό μοντέλο του διλήμματος των φυλακισμένων (prisoner s dilemma) προβλέπει τις ακόλουθες ανταμοιβές ( )

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

4. ΔΙΚΤΥΑ

4. ΔΙΚΤΥΑ . ΔΙΚΤΥΑ Τελευταία μορφή επιχειρησιακής έρευνας αποτελεί η δικτυωτή ανάλυση (δίκτυα). Τα δίκτυα είναι ένα διάγραμμα από ς οι οποίοι συνδέονται όλοι μεταξύ τους άμεσα ή έμμεσα μέσω ακμών. Πρόκειται δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ

ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ ΙΑ ΙΚΤΥΑΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ (Kεφ. 16) ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΑ ΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗΣ Αυτόνοµα Συστήµατα Πρωτόκολλο Συνοριακών Πυλών OSPF ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ (ISA) Κίνηση ιαδικτύου Προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 9: : Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE & Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός Προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 27 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 1 Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ

Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ Έστω ότι έχουµε δοχεία αριθµηµένα από το ως και σφαίρες αριθµηµένες από ως. Οι σφαίρες τοποθετούνται τυχαία στα δοχεία ανά µία. Εάν µία σφαίρα και το δοχείο

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούµενα Μαθήµατα: Παίχτες: είναι αυτοί που λαµβάνουν τις αποφάσεις. Ένα παίγνιο πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης

Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης - Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης http://www.seas.upenn.edu/~tcom50/lectures/lecture.pdf ροµολόγηση σε ίκτυα εδοµένων Αναπαράσταση ικτύου µε Γράφο Μη Κατευθυνόµενοι Γράφοι Εκτεταµένα έντρα Κατευθυνόµενοι

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας

Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας October 11, 2011 Στο μάθημα Αλγοριθμική και Δομές Δεδομένων θα ασχοληθούμε με ένα μέρος της διαδικασίας επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων. Συγκεκριμένα θα δούμε τι

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ουρές //1 εν σειρά, Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών arkov, Θεώρημα Jackson Εφαρμογή σε Δίκτυα Μεταγωγής Πακέτου Κλειστά Δίκτυα Ουρών arkov, Θεώρημα Gordon- Newell

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ανοικτά Δίκτυα Ουρών arkov - Θεώρημα Jackson (1) Παράδειγμα Επίδοσης Δικτύου Μεταγωγής Πακέτου (2) Παράδειγμα Ανάλυσης Υπολογιστικού Συστήματος Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr

Διαβάστε περισσότερα

3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων

3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων 1/48 3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΣΗΜΜΥ, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 2/48 1 Άσκηση 1: Πομποί και Δέκτες 2 Άσκηση 2: Διακοπές στην Ικαρία 3 Άσκηση 3: Επιστροφή στη Γη 4 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης K.5.1 Γραμμή Παραγωγής Μια γραμμή παραγωγής θεωρείται μια διάταξη με επίκεντρο το προϊόν, όπου μια σειρά από σταθμούς εργασίας μπαίνουν σε σειρά με στόχο ο κάθε ένας από αυτούς να κάνει μια ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ Όταν εξετάζουµε µία συγκεκριµένη αγορά, πχ. την αστική αγορά εργασίας, η ανάλυση αυτή ονοµάζεται µερικής ισορροπίας. Όταν η ανάλυση µας περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

3. Παίγνια Αλληλουχίας

3. Παίγνια Αλληλουχίας 3. Παίγνια Αλληλουχίας Τα παίγνια αλληλουχίας πραγµατεύονται περιπτώσεις όπου οι κινήσεις των παικτών διαδέχονται η µια την άλλη, σε αντίθεση µε τα παίγνια όπου οι αποφάσεις των παικτών γίνονται ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 0 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Ανάγκη θεωρίας επιλογής υπό αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Τα είδη των Δικτύων Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Τα είδη των Δικτύων Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Τα είδη των Δικτύων 1.1. Εισαγωγή Γενικότερα δεν υπάρχει κάποια ταξινόμηση των πιθανών δικτύων κάτω από την οποία να ταιριάζουν όλα τα δίκτυα. Παρόλα αυτά η ταξινόμηση τους είθισται να γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ουρές //1 εν Σειρά - Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών arkov - Θεώρημα Jackson Εφαρμογή σε Δίκτυα Μεταγωγής Πακέτου Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 25/4/2018

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εφαρμογές Θεωρήματος Jackson: (i) Δίκτυα Μεταγωγής Πακέτου (ii) Υπολογιστικά Μοντέλα Πολυεπεξεργασίας Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 3/5/2017 ΑΝΟΙΚΤΑ ΔΙΚΤΥΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου, Αθήνα, Τηλ: , Fax: URL

Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου, Αθήνα, Τηλ: , Fax: URL ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra

Διαβάστε περισσότερα

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη Θεωρία παιγνίων: Μεικτές στρατηγικές και Ισορροπία Nash Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 18 Μαρτίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 1 / 9 Κυριαρχία και μεικτές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Έννοιες. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Εισαγωγικές Έννοιες. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εισαγωγικές Έννοιες ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δροµολόγηση (Routing)

Δροµολόγηση (Routing) Δροµολόγηση (Routing) Περίληψη Flooding Η Αρχή του Βέλτιστου και Δυναµικός Προγραµµατισµός Dijkstra s Algorithm Αλγόριθµοi Δροµολόγησης Link State Distance Vector Δροµολόγηση σε Κινητά Δίκτυα Δροµολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 1 Εισαγωγή Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 3 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 3 η Διάλεξη-Περιεχόμενα (1/2) Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash Λύση ακολουθιακής κυριαρχίας και σημεία ισορροπίας Nash Αλγοριθμική εύρεση σημείων ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΘΕΜΑ 1 κανονική κατανομή

( ) ΘΕΜΑ 1 κανονική κατανομή ΘΕΜΑ 1 κανονική κατανομή Υποθέτουμε ότι τα εβδομαδιαία έσοδα μιας επιχείρησης ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή 1000 και τυπική απόκλιση 15. α. Ποια η πιθανότητα i. η επιχείρηση να έχει έσοδα

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες

Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 1 / 26 Εισαγωγή & Ορισµοί ιµελής Σχέση R από

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27)

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: ίκτυα ροής και το πρόβληµα της µέγιστης ροής Η µεθοδολογία Ford-Fulkerson Ο αλγόριθµος Edmonds-Karps ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση

Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση Παρακολουθώντας τη συζήτηση που έχει αναπτυχθεί, σχετικά µε το «... Αν η αποµάκρυνση x του σώµατος δίνεται από τη σχέση x=αηµ(ωt+φ) η κίνηση του σώµατος ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΜΣΕ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΜΣΕ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΜΣΕ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΟΜΑ Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ Στην εικόνα παρακάτω φαίνεται ένα νευρωνικό

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα