επιστρέφει το αμέσως μεγαλύτερο από το x στοιχείο του S επιστρέφει το αμέσως μικρότερο από το x στοιχείο του S

Transcript

1 Μελετάμε την περίπτωση όπου αποθηκεύουμε ένα (δυναμικό) σύνολο στοιχειών,, τα οποίo είναι υποσύνολο του. Υποστηριζόμενες λειτουργίες αναζήτηση(s,x): εισαγωγή(s,x): διαγραφή(s,x): διάδοχος(s,x): προκάτοχος(s,x): επιστρέφει το στοιχείο x αν υπάρχει στο S θέτει θέτει επιστρέφει το αμέσως μεγαλύτερο από το x στοιχείο του S επιστρέφει το αμέσως μικρότερο από το x στοιχείο του S Οι λειτουργίες εύρεσης διαδόχου και προκατόχου αυξάνουν την πολυπλοκότητα του προβλήματος. Χωρίς αυτές ο δυναμικός πλήρης κατακερματισμός λύνει το πρόβλημα σε σταθερό αναμενόμενο αντισταθμιστικό χρόνο και χώρο. Με χώρο αρκεί ένας πίνακας δυαδικών ψηφίων.

2 Μελετάμε την περίπτωση όπου αποθηκεύουμε ένα (δυναμικό) σύνολο στοιχειών,, τα οποίo είναι υποσύνολο του. Συναρτήσεις επιλογής δυαδικών ψηφίων μισά πιο σημαντικά δυαδικά ψηφία μισά λιγότερο σημαντικά δυαδικά ψηφία Τότε Για απλότητα θα θεωρήσουμε ότι το είναι δύναμη του.

3 Χωρίζουμε το χώρο σε τμήματα μεγέθους Αν τότε. Η θέση του εντός του είναι η. Ενεργό τμήμα : περιέχει στοιχεία του

4 Εύρεση διαδόχου ενός στοιχείου Είναι το μικρότερο στοιχείο τέτοιο ώστε, αν υπάρχει. Διαφορετικά είναι το μικρότερο στοιχείο του επόμενου ενεργού τμήματος, Η αναζήτηση μπορεί να γίνει αναδρομικά αν διατηρήσουμε σε μια δομή για τα πιο σημαντικά ψηφία τα ενεργά τμήματα. Για κάθε ενεργό τμήμα η δομή για το αποθηκεύει την τιμή.

5 Εύρεση διαδόχου ενός στοιχείου Επομένως ο διάδοχος του μπορεί να βρεθεί με το πολύ τρεις αναδρομικές κλήσεις: μια για την αναζήτηση εντός του, μια για την εύρεση στο του επόμενου ενεργού τμήματος και μια για την αναζήτηση εντός του. Άρα ο χρόνος για την εύρεση του διαδόχου στη χειρότερη περίπτωση δίνεται από την αναδρομή Αντικαθιστούμε και οπότε έχουμε

6 Εισαγωγή ενός στοιχείου Η εισαγωγή του μπορεί να προκαλέσει το πολύ δύο αναδρομικές κλήσεις: μια για την εισαγωγή του στην δομή για το, αν το ήταν προηγουμένως ανενεργό, και μια για την εισαγωγή του εντός της δομής για το. Άρα ο χρόνος εισαγωγής στη χειρότερη περίπτωση δίνεται από την αναδρομή Αντικαθιστούμε και οπότε έχουμε

7 Για να βελτιώσουμε τους χρόνους εκτέλεσης των λειτουργιών πρέπει να μειώσουμε τον αριθμό των αναδρομικών κλήσεων

8 Για να βελτιώσουμε τους χρόνους εκτέλεσης των λειτουργιών πρέπει να μειώσουμε τον αριθμό των αναδρομικών κλήσεων Αρκεί να διατηρούμε σε κάθε αναδρομική δομή το μέγιστο και το ελάχιστο στοιχείο που αποθηκεύει!

9 Εύρεση διαδόχου ενός στοιχείου Είναι το μικρότερο στοιχείο τέτοιο ώστε, το οποίο υπάρχει αν το μέγιστο στοιχείο του είναι μεγαλύτερο του. Διαφορετικά είναι το μικρότερο στοιχείο του επόμενου ενεργού τμήματος, Στη δεύτερη περίπτωση αρκεί μια αναδρομική κλήση στη δομή του.

10 Εύρεση διαδόχου ενός στοιχείου Επομένως ο διάδοχος του μπορεί να βρεθεί με το πολύ μία αναδρομικές κλήσεις, είτε εντός του είτε στο για την εύρεση του επόμενου ενεργού τμήματος. Άρα ο χρόνος για την εύρεση του διαδόχου στη χειρότερη περίπτωση δίνεται από την αναδρομή Αντικαθιστούμε και οπότε έχουμε

11 δομή για τα στοιχεία του δομή για τα στοιχεία του

12 Εισαγωγή ενός στοιχείου Σταματάμε την αναδρομή για την εισαγωγή του όταν φτάσουμε είτε σε κενή δομή (οπότε θέτουμε απλά ) και τελειώνουμε εισάγοντας το στην άνω δομή. Άρα ο χρόνος εισαγωγής στη χειρότερη περίπτωση δίνεται από την αναδρομή Αντικαθιστούμε και οπότε έχουμε

13

14 Πολυπλοκότητα χώρου top bottom min, max, size Αντικαθιστούμε και οπότε έχουμε

15 Βελτίωση πολυπλοκότητας χώρου Χωρίζουμε το σύνολο σε υποσύνολα μεγέθους. Αν και με τότε. Κάθε αποθηκεύεται σε ένα ισορροπημένο δυαδικό δένδρο αναζήτησης. (Χώρος, χρόνος αναζήτησης.) Από κάθε επιλέγουμε το μέγιστο στοιχείο του ως αντιπρόσωπο. Οι αντιπρόσωποι αποθηκεύονται σε μία δομή veb με τη διαφορά ότι αντί για στατικό πίνακα χρησιμοποιούμε δομή δυναμικού πλήρους κατακερματισμού για τα τμήματα. Ο συνολικός χώρος για τη δομή veb είναι.

16 Βελτίωση πολυπλοκότητας χώρου Εύρεση διαδόχου ενός στοιχείου Η δομή veb μας επιστρέφει τον μικρότερο αντιπρόσωπο τέτοιον ώστε. Στη συνέχεια αναζητούμε τον διάδοχο του στο. Επομένως ο συνολικός χρόνος αναζήτησης είναι.

17 Βελτίωση πολυπλοκότητας χώρου Εισαγωγή στοιχείου Βρίσκουμε το σύνολο στο οποίο ανήκει ο διάδοχος του. Αν η εισαγωγή του στο αυξάνει το μέγεθος του σε τότε διασπάμε το σε δύο νέα σύνολα και κάνουμε τις κατάλληλες αλλαγές στη δομή veb αντιπροσώπων. Η δομή επιτυγχάνει αναμενόμενο αντισταθμιστικό χρόνο εισαγωγής.